21η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Γραμμική ΄Αλγεβρα

Βάσεις θεμελειωδών διανυσματικών χώρων

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

12 Νοεμβρίου 2014

Παρατηρήσεις

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

, U = 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

1. Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται (άρα έχει την ίδιαδιάσταση r και την ίδια βάση) με τον χώρο γραμμών τουU.

2. Ο χώρος στηλών του A δεν ταυτίζεται με τον χώροστηλών του U.

3. Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο τουU.

Παρατηρήσεις

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

, U = 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

1. Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται (άρα έχει την ίδιαδιάσταση r και την ίδια βάση) με τον χώρο γραμμών τουU.

2. Ο χώρος στηλών του A δεν ταυτίζεται με τον χώροστηλών του U.

3. Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο τουU.

Παρατηρήσεις

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

, U = 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

1. Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται (άρα έχει την ίδιαδιάσταση r και την ίδια βάση) με τον χώρο γραμμών τουU.

2. Ο χώρος στηλών του A δεν ταυτίζεται με τον χώροστηλών του U.

3. Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο τουU.

Παρατηρήσεις

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

, U = 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

1. Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται (άρα έχει την ίδιαδιάσταση r και την ίδια βάση) με τον χώρο γραμμών τουU.

2. Ο χώρος στηλών του A δεν ταυτίζεται με τον χώροστηλών του U.

3. Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο τουU.

Παρατηρήσεις

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

, U = 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

1. Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται (άρα έχει την ίδιαδιάσταση r και την ίδια βάση) με τον χώρο γραμμών τουU.

2. Ο χώρος στηλών του A δεν ταυτίζεται με τον χώροστηλών του U.

3. Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο τουU.

Βάσεις και διαστάσεις θεμελειωδών υπόχωρων του A ∈Rm,n

χώρος γραμμών Βάση: το σύνολο των μη-μηδενικών

γραμμών του U. Διάσταση: r (το πλήθος τωνοδηγών του A).

χώρος στηλών Βάση: το σύνολο των στηλών του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουνοδηγό. Διάσταση: r.

μηδενόχωρος Βάση: οι (γραμμικά ανεξάρτητες) λύσεις του

ομογενούς. Διάσταση: n− r.αριστερός μηδενόχωρος Βάση: το σύνολο των γραμμών του

L−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του

U. Διάσταση: m− r.

A= LU ⇒ L−1A=U

Βάσεις και διαστάσεις θεμελειωδών υπόχωρων του A ∈Rm,n

χώρος γραμμών Βάση: το σύνολο των μη-μηδενικών

γραμμών του U. Διάσταση: r (το πλήθος τωνοδηγών του A).

χώρος στηλών Βάση: το σύνολο των στηλών του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουνοδηγό. Διάσταση: r.

μηδενόχωρος Βάση: οι (γραμμικά ανεξάρτητες) λύσεις του

ομογενούς. Διάσταση: n− r.αριστερός μηδενόχωρος Βάση: το σύνολο των γραμμών του

L−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του

U. Διάσταση: m− r.

A= LU ⇒ L−1A=U

Βάσεις και διαστάσεις θεμελειωδών υπόχωρων του A ∈Rm,n

χώρος γραμμών Βάση: το σύνολο των μη-μηδενικών

γραμμών του U. Διάσταση: r (το πλήθος τωνοδηγών του A).

χώρος στηλών Βάση: το σύνολο των στηλών του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουνοδηγό. Διάσταση: r.

μηδενόχωρος Βάση: οι (γραμμικά ανεξάρτητες) λύσεις του

ομογενούς. Διάσταση: n− r.

αριστερός μηδενόχωρος Βάση: το σύνολο των γραμμών του

L−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του

U. Διάσταση: m− r.

A= LU ⇒ L−1A=U

Βάσεις και διαστάσεις θεμελειωδών υπόχωρων του A ∈Rm,n

χώρος γραμμών Βάση: το σύνολο των μη-μηδενικών

γραμμών του U. Διάσταση: r (το πλήθος τωνοδηγών του A).

χώρος στηλών Βάση: το σύνολο των στηλών του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουνοδηγό. Διάσταση: r.

μηδενόχωρος Βάση: οι (γραμμικά ανεξάρτητες) λύσεις του

ομογενούς. Διάσταση: n− r.αριστερός μηδενόχωρος Βάση: το σύνολο των γραμμών του

L−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του

U. Διάσταση: m− r.

A= LU ⇒ L−1A=U

Βάσεις και διαστάσεις θεμελειωδών υπόχωρων του A ∈Rm,n

χώρος γραμμών Βάση: το σύνολο των μη-μηδενικών

γραμμών του U. Διάσταση: r (το πλήθος τωνοδηγών του A).

χώρος στηλών Βάση: το σύνολο των στηλών του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουνοδηγό. Διάσταση: r.

μηδενόχωρος Βάση: οι (γραμμικά ανεξάρτητες) λύσεις του

ομογενούς. Διάσταση: n− r.αριστερός μηδενόχωρος Βάση: το σύνολο των γραμμών του

L−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του

U. Διάσταση: m− r.

A= LU ⇒ L−1A=U

Παράδειγμα

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

→ 1 0 0

0 1 01 1 1

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

Παράδειγμα

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

→ 1 0 0

0 1 01 1 1

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

΄Υπαρξη Αντιστρόφων

Ï Ο B είναι αριστερός αντίστροφος του A αννBA= I

Ï Ο C είναι δεξιός αντίστροφος του A ανν AC= I

Εάν n=m= r τότε ο αριστερός αντίστροφοςταυτίζεται με τον δεξιό και είναι μοναδικός

΄Υπαρξη Αντιστρόφων

Ï Ο B είναι αριστερός αντίστροφος του A αννBA= I

Ï Ο C είναι δεξιός αντίστροφος του A ανν AC= I

Εάν n=m= r τότε ο αριστερός αντίστροφοςταυτίζεται με τον δεξιό και είναι μοναδικός

΄Υπαρξη Αντιστρόφων

Ï Ο B είναι αριστερός αντίστροφος του A αννBA= I

Ï Ο C είναι δεξιός αντίστροφος του A ανν AC= I

Εάν n=m= r τότε ο αριστερός αντίστροφοςταυτίζεται με τον δεξιό και είναι μοναδικός

Τύποι Αντιστρόφων

B= (ATA

)−1AT

C=AT (AAT)−1

Γιατί (και πότε) αντιστρέφονται οι

ATA και AAT;

Τύποι Αντιστρόφων

B= (ATA

)−1AT

C=AT (AAT)−1

Γιατί (και πότε) αντιστρέφονται οι

ATA και AAT;

Τύποι Αντιστρόφων

B= (ATA

)−1AT

C=AT (AAT)−1

Γιατί (και πότε) αντιστρέφονται οι

ATA και AAT;