Arquímedes, el genio de siracusa
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Este es un trabajo que recoje datos de la historia de la ciencias para analizar las herramientas conceptuales y científicas que dejó como legado Arquimedes
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- 1. 1863090476885Arqumedes
El genio de Siracusa
Para comenzar mi trabajo considero pertinente responder la
siguiente pregunta:
Porqu estudiar a Arqumedes?
En lo personal, debo admitir que me fue una gran influencia leer,
hace algn tiempo, a Leibniz, donde encontr la siguiente
expresin:
Quien comprenda a Arqumedes y
Apolonio admirar menos los logros
de hombres posteriores .
Ante tal expresin no pude evitar recordarla y dada la oportunidad,
intentar comprenderla. Hoy tengo la oportunidad de comenzar en esta
actividad de investigacin, y recoleccin de informacin, que sin duda
no dar por acabada luego se esta actividad, sino que me ser sta de
punto de partida para continuar luego a lo largo del tiempo.
291465-913130
Fue as entonces, que habiendo ledo tal expresin y habiendo
escuchado frecuentemente su nombre en discusiones
filosfico-cientficas (o epistemolgicas) me vi impulsada por ello a
conocer ms de este cientfico.
Sin duda considero importante siempre que se tratar una figura de
tal importancia, remitirnos a su momento histrico, a su biografa,
no como simple anecdotario (que tambin lo es) sino como fuente
insoslayable de ciertos aspectos que debemos tener en cuenta para
la comprensin completa del sujeto y su pensamiento.
Quin fue Arqumedes ()?
Arqumedes naci hacia el ao 287 a.C. en la ciudad Estado de
Siracusa, en la isla de Sicilia, de tradicin y costumbres
Griegas.
El genio de Siracusa es el nombre que muchos hasta hoy en da le
otorgan. Aunque tambin Plutarco lo denomin El de inteligencia
sobrehumana.
Fue hijo de un Astrnomo, y se sabe que estudi luego en Alejandra,
donde tuvo como maestro a Conn de Samos y fue all donde entr en
contacto con Eratstenes siendo discpulo de destacados sabios de la
poca como Conn de Samos (280-220 a.C.) astrnomo de la corte de
Ptolomeo III, Eratstenes de Cirene
(276-194 a.C.) director de la Biblioteca de Alejandra y Euclides de
Alejandra (365-300 a.C.) entre otros.
Luego de un tiempovolvi a su patria, Siracusa, dedicndose
al estudio y resolucin de mltiples problemas adquiriendo una gran
fama. Escribi numerosas obras sobre geometra, mecnica e
hidrosttica, que han sido reconocidas como tratados de gran inters
por numerosos cientficos a lo largo de la historia.
Arqumedes muri durante el asalto a la ciudad de Siracusa por las
tropas romanas de Marcelo durante la Segunda Guerra Pnica. Aunque
no se conoce exactamente cmo muri, se cuenta que estando absorto en
la resolucin de un problema de geometra, un soldado irrumpi en el
estudio de Arqumedes asesinndolo, pues el sabio se resisti
a abandonar la resolucin del problema matemtico en el que estaba
inmerso, llegando a recriminarlo por haber Desordenado sus esquemas
y dibujos.
Sobre todo nos llegan ancdotas de su vida y comportamiento as como
informacin de su desarrollo como cientfico.
Sus obras principales fueron:
Sobre la cuadratura de la parbola, Sobre la esfera y el cilindro,
Sobre espirales
Sobre los conoides y esferoides, Sobre la medida del crculo, Sobre
el equilibrio de los planos, Sobre el mtodo de los teoremas
mecnicos (El mtodo), Sobre los, cuerpos flotantes, Sobre la
cuadratura de la parbola, El Arenario
Dentro de las ancdotas ms conocidas podemos citar las
siguientes;
Isaac Asimov dice en su texto Momentos estelares de la
ciencia:
Cabra decir que hubo una vez un hombre que luch contra todo un
ejrcito. Los historiadores antiguos nos dicen que el hombre era un
anciano, pues pasaba va de los setenta. El ejrcito era el de la
potencia ms fuerte del mundo: la mismsima Roma.
Lo cierto es que el anciano, griego por ms seas, combati durante
casi tres aos contra el ejrcito romano... y a punto estuvo de
vencer: era Arqumedes de Siracusa, el cientfico ms grande del mundo
antiguo.
El ejrcito romano conoca de sobra la reputacin de Arqumedes, y ste
no defraud las previsiones. Cuenta la leyenda que, habiendo montado
espejos curvos en las murallas de Siracusa (una ciudad griega en
Sicilia): hizo presa el fuego en las naves romanas queda asediaban.
No era brujera: era Arqumedes.
Dice tambin que Arqumedes era diferente de los cientficos y
matemticos griegos que le haban precedido, sin que por eso les
neguemos a stos un pice de su grandeza. Arqumedes les ganaba a
todos ellos en imaginacin.
Luego de leer esta cita me vi en la obligacin de preguntarme Cmo
estaba la ciencia en Grecia en ese momento? Qu tal estaban las
matemticas?
No es fcil marcar un punto de comienzo exacto en la matemtica
griega, sabemos que se considera a Tales de Mileto como el primer
cientfico, recordemos que contribuy en la astronoma as como tambin
en la matemtica, para ser ms exactos, se le atribuyen las primeras
demostraciones de teoremas geomtricos mediante el razonamiento
lgico. Algunos de esos teoremas fueron: Todo crculo se bisecta por
su dimetro, tambin que los ngulos de la base de un tringulo
issceles son iguales. Si dos tringulos son tales que dos ngulos y
un lado de uno de ellos son iguales a los de otro tringulo, ambos
tringulos son congruentes. Adems que los ngulos opuestos por el
vrtice que forman
al cortarse dos rectas son iguales y sin olvidar que todo ngulo
inscrito en una semicircunferencia es un ngulo recto.
Otro personaje insoslayable que no debemos olvidar en este pequeo
viaje por la ciencia griega es Pitgoras, nacido en la isla de
Samos, le da el impulso definitivo a las matemticas con la creacin
de su gran escuela en Crotona a orillas del mar al sur de
Italia.
A ellos se les atribuyen numerosos descubrimientos matemticos,
entre otros, la demostracin del teorema de Pitgoras (que es
normalmente el ms conocido por todos), o el descubrimiento de los
irracionales, el cual fue uno de los acontecimientos ms profundos
en la historia de las matemticas.
Adems, los pitagricos elaboraron un primer grupo de cuatro
disciplinas matemticas: la
Aritmtica, la msica, la geometra plana y la geometra esfrica.
Los pitagricos sostenan que todas las razones que rigen el mundo
deban ser razones de nmeros enteros o fraccionarios, para los
pitagricos todo es nmero; estos puntos de vista fueron combatidos
por otra escuela griega importante: la escuela Elea; su crtica tom
la forma en los trabajos de Parmnides(tengamos en cuenta que es el
primer filosofo que procede con total rigor racional, convencido de
que nicamente con el pensamiento, y no con los sentidos, puede
alcanzarse la verdad y de que todo lo que se aparte de aqul no pude
ser sino error; slo lo racionalmente pensado "es", y a la inversa,
lo que es responde rigurosamente al pensamiento)y las clebres
paradojas de Zenn (se caracteriza por haber elaborado numerosos
argumentos -aporas o paradojas- contra la pluralidad y el
movimiento, en consonancia con la defensa de las teoras eleticas de
la unidad e inmovilidad del ser, de los que conservamos algunos,
basados en la reduccin al absurdo; se parte de las tesis que se
quiere criticar y se conduce la argumentacin a una, o una serie de
contradicciones que ponen de manifiesto, en consecuencia, la
invalidez de las tesis).
Podemos ahora continuar, con un pensador muy importante, que es de
la primera escuela de Alejandra, estamos hablando de Euclides (300
a.C) cuya obra ms importante se titula Los elementos cuyo contenido
fue trascendental en el desarrollo de la geometra. El mtodo
euclidiano comprende, en un primer lugar, una teora general fundada
sobre axiomas. Euclides llam a sus axiomas postulados."Los
Elementos" consta de trece libros sobre geometra y aritmtica. Los
seis primeros libros tratan de geometra plana. Del VII al IX sobre
teora de nmeros, el X sobre segmentos irracionales, y los tres
ltimos libros hablan de geometra espacial.
Es en esta momento en el cual aparecen en la matemtica griega tres
problemas fundamentales que sern de inters para los cientficos, por
un lado la cuadratura del crculo, por otro la triseccin del ngulo y
finalmente la duplicacin del cubo, pero lo difcil es que se
pretendan resolver con el slo uso de regla y comps.
Ahora s, finalmente, entran en escena Apolonio y Arqumedes.
Apolonio fue conocido como "el gran gemetra" tuvo gran influencia
en el desarrollo de las matemticas, introduciendo trminos como
parbola, elipse e hiprbola.
Naci alrededor del 262 a. de C. en Perga, Panfilia, Grecia Jnica
(ahora Murtina, Antalia, Turqua) y muri alrededor del 190 a. de C.
en Alejandra, Egipto.
Sabemos poco de su vida pero sus trabajos tuvieron una gran
influencia en el desarrollo de las matemticas, en particular su
famoso libro Las cnicas.
Segn Francisco Javier Tapia MorenoApolonio representa la grandeza
tcnica especializada, el virtuosismo geomtrico por
excelencia.
En cuanto a las circunstancias de la composicin de la obra de
Apolonio estn explicadas por l mismo en su primer libro. Apolonio
saba mucho ms de lo que hasta entonces se conoca y de un modo mucho
mejor organizado. Por ello se decide a publicarlo. l mismo, en este
prlogo al libro primero, explica el contenido de la obra bien
claramente. Los cuatro primeros libros constituyen una introduccin
elemental. Deban constituir materia probablemente ya sabida, pero
no organizada como la propone Apolonio. A partir del libro V se
exponen los hallazgos ms importantes del mismo Apolonio. Su ndice
se puede proponer ms o menos as:
I. Modos de obtencin y propiedades fundamentales de las
cnicas.
II. Dimetros, ejes y asntotas.
III. Teoremas notables y nuevos. Propiedades de los focos.
IV. Nmero de puntos de interseccin de cnicas.
V. Segmentos de mxima y mnima distancia a las cnicas. Normal,
evoluta, centro de curvatura.
VI. Igualdad y semejanza de las secciones cnicas. Problema inverso:
dada la cnica, hallar el cono.
VII. Relaciones mtricas sobre dimetros.
VIII. Se desconoce (hasta ahora).
Sin duda que su influencia fue insoslayable, y a medida que sus
obras se fueron traduciendo lograron grandes impactos en la
matemtica mundial.
Despus de un largo perodo de progresos son escasos, surge otro
fructfero periodo debido a la Segunda Escuela de Alejandra (100-300
d.C.) en la que destacan: Nicman, Ptolomeo (con su clebre sistema
del mundo), Diofanto (a menudo conocido como el 'padre del lgebra',
es mejor conocido por su Aritmtica, un trabajo sobre la solucin de
ecuaciones algebraicas y sobre la teora de los nmeros.) y Pappus
(con su obra "Coleccin").
Pero vallamos ahora a nuestro autor; Arqumedes (287 a.C).
Es interesante ver que en Alejandra le haban enseado que el
cientfico est por encima de los asuntos prcticos y de los problemas
cotidianos; pero eran precisamente esos problemas los que le
fascinaban a Arqumedes, los que no poda apartar de su mente.
Avergonzado de esta aficin, se neg a llevar un registro de sus
artilugios mecnicos; pero sigui construyndolos y a ellos se debe
hoy da su fama.
Uno de sus primero inventos relevantes fue el tornillo de
Arqumedes. La cclea (del latn cochla [caracol], y este del griego )
ms conocida como tornillo de Arqumedes es una mquina simple
utilizada sobre todo para elevar agua.
La mquina est constituida por un cilindro con una hlice en su
interior dispuesto el conjunto oblicuamente de forma que la parte
inferior est sumergida en el depsito del que se quiere elevar el
agua. Girando el tornillo en el sentido descendente de la hlice (en
el que se enrosca) arrastra una cierta cantidad de agua que es
vertida en el depsito elevado. El mismo efecto se logra si se
arrolla un tubo flexible a un cilindro.
Desde su invencin hasta ahora se ha utilizado para el bombeado de
fluidos. Tambin es llamado Tornillo Sin fin por su circuito en
infinito.
Por otra parte, tenemos su inters por la palanca a pesar de que
probablemente la palanca fue descubierta y utilizada por el hombre
desde los tiempos ms remotos. Debemos a Arqumedes de Siracusa (S.
III a.C.) el primer estudio riguroso de esta mquina. A l se la
atribuye la frase:
Dadme un punto de apoyo y mover el mundo
Esta frase la dijo en alusin a que cualquier objeto de cualquier
peso puede moverse con la palanca adecuada. El principio de
funcionamiento de la palanca utiliza la accin y reaccin de fuerzas
para maximizar la fuerza aplicada sobre un objeto, utilizando para
ello un punto de apoyo y una barra rgida situada sobre el punto de
apoyo y bajo el objeto a mover.
En fsica, la frmula de la palanca es: P x dp = R x dr Siendo P la
potencia o fuerza que ejercemos y R la resistencia o fuerza que
transmitimos o vencemos, dp y dr son las distancias que hay del
punto de apoyo a P y R.
Por otro lado un tema de mucho inters para nuestro filsofo fue la
esfera y el cilindro.Consta de dos libros en los que Arqumedes
determina las reas y volmenes de esferas y cuerpos relacionados con
ellas.
Adverta por ejemplo que la superficie de cualquier esfera es cuatro
veces la de su crculo mximo.
La demostracin vuelve a ser una doble reduccin al absurdo,
suponiendo primero que la
superficie de la esfera es mayor que cuatro veces la del circulo y
suponiendo luego que es menor, llegando en ambos casos a una
contradiccin. La tcnica empleada es el mtodo de exhaucin; es decir,
inscribiendo y circunscribiendo cuerpos geomtricos, como conos y
troncos de cono (cuyas superficies haba demostrado previamente), y
aproximndose desde dentro y desde fuera a la superficie de la
esfera. Qued establecido por lo tanto que S=4pr2.
Siendo adems que dada una esfera cualquiera es igual a cuatro veces
el cono que tiene su base igual al crculo mximo de la esfera, y su
altura igual al radio de la esfera. La demostracin la hace basndose
en los volmenes del cono y del cilindro que haba hallado
previamente. Partiendo de una esfera cualquiera, considera un
cilindro cuyo radio de la base es igual al radio de la esfera y su
altura igual al radio, y un cono con base igual a la del cilindro y
altura igual al radio de la esfera. Haciendo un corte horizontal en
los tres cuerpos a una altura inferior al radio, demuestra que la
superficie de la seccin correspondiente al cilindro es igual a la
suma de las superficies de las secciones correspondientes al cono y
a la esfera.
Afirma adems que entre todas las lneas que tienen los mismos
extremos, la recta es la ms corta. Otro axioma se refiere a las
longitudes de las curvas como el segundo axioma, que dice: de dos
lneas planas convexas que unen dos puntos situados en el mismo lado
de la recta que los une, y donde una de las cuales envuelve a otra,
la envolvente es la de mayor longitud.
Principio de Arqumedes
Hiern II de Sicilia prometido a los dioses una corona de oro,
cuando gan el poder en Siracusa. Hizo para su fabricacin y se pesa
el oro. El proveedor envi en su momento una corona con el peso
correcto. Sin embargo, algunos de los acusados y le dijo que un
poco de oro que haba sido tomado de la corona, y que un peso igual
de plata se ha aadido en su lugar. El rey saba cunto oro fue
considerado como orfebre recibido, y la corona pesaba la misma
cantidad, pero el rey se encontraba todava en duda. Una oportunidad
para conocer la verdad fueron a fundir la corona, pero el rey Hern
no quera estropear la hermosa obra. La corona se supona que era de
oro puro. Por ltimo llamado Hiern de Arqumedes y le pidi que
investigara. Mientras estaba pensando en esto, ocurri a Arqumedes
se dio un bao. Cuando entr en la baera, se dio cuenta de que cuanto
ms su cuerpo fue arrojado al agua, ms el agua flua sobre el borde
de la tina. Esto le dio la idea de la solucin. Llenos de alegra,
corri a casa gritando desnudo "Eureka! Eureka! "(" He descubierto,
he descubierto! "). Lo que encontr fue en realidad el concepto de
densidad. Se produce dos trozos del mismo peso que la corona, una
de oro y una de plata. Luego llen un recipiente hasta el borde con
agua y se coloca en el nudo de plata. El agua que se agot, tuvo un
volumen igual de plata. Cuando se mide el agua que flua de la
embarcacin, y ha llegado hasta el volumen de plata. Hizo lo mismo
con una pepita de oro igualmente pesada. La pequea cantidad de agua
que se agot cuando el oro estaba, de por supuesto, era como mucho
menos como el volumen de oro era menos de la plata, porque el oro
es ms pesado que la plata. Ahora era el mismo con la corona. Cuando
la corona estaba en el agua, corri hacia fuera ms agua que el oro
del mismo peso, pero menos agua que la plata del mismo peso. De
esta forma descubri parte de la plata en oro. Arqumedes haba sido
de hecho el peso relativo especfico de oro, plata y una mezcla de
las dos mediante la comparacin de las cantidades relativas de agua,
que flua sobre cuando un bulto del mismo peso de cada metal se
sumerge en agua. La parte cientfica de su descubrimiento se
describe en el trabajo, si las clulas flotantes. Es el primer
ejemplo conocido de la aplicacin cientfica de lo que hoy llamaramos
"densidad", aunque, por supuesto, mucho antes de que Arqumedes saba
muy bien que algunos temas eran relativamente ms pesada que
otros.
Posteriormente, desarroll este y descubri que el cuerpo tambin se
volvi ms fcil en el agua, entonces llevaba el agua a una parte de
su peso corporal. Dijo entonces que el agua lleva el mismo peso que
el peso del agua desplazada. Este principio se explica cmo, cuando
grandes barcos pesados pueden flotar. Bsicamente podemos decir que
si esa parte del barco por debajo de la superficie tiene una
densidad menor que el agua lo hace el barco flota. Lo mismo sucede
con los globos, el globo tiene una densidad total menor que el
aire, por lo que levantarla.
Tambin dedico su ingenio y tiempo a su inters por los espirales. En
lo que a esto respecta nuestro autor expres;
Imagnese una lnea que gira con velocidad angular constante
alrededor de un extremo, mantenindose siempre en un mismo plano, y
un punto que se mueve a lo largo de la lnea con velocidad lineal
constante: ese punto describir una espiral.
Y con sus experimentos concluy;
El rea limitada por la primera vuelta de la espiral y el rea
inicial es igual a un tercio del primer crculo
"El rea barrida por el radio en la segunda vuelta es 6 veces el rea
de la primera vuelta".
"El rea barrida en la segunda revolucin est en razn 7/12 con el
crculo cuyo radio es la 11 posicin final del radio vector"
En lo que respecta al crculo tambin obtuvo sus logros. Y estas se
resumen en tres proposiciones que se consideran
fundamentales.
Primera: El rea de cualquier crculo es igual a la de un tringulo
rectngulo en el cual uno de los catetos es igual al radio y el otro
a la circunferencia del crculo.
Segunda: El rea del crculo es al cuadrado de su dimetro 11 a 14 (el
crculo es los 11/14 del cuadrado circunscrito si la longitud de la
circunferencia es 3+ 1/7 veces el valor del dimetro).
Tercera: El permetro de todo crculo es igual al triple del dimetro
aumentando en un segmento comprendido entre 10/71 y 1/7 de dicho
dimetro (lo que equivale a decir que el permetro del crculo es
menor que los 3 + 1/7 del dimetro puesto que es superior a los 3 +
10/71 de este dimetro).
Una de las obras de nuestro autor que ms me sorprendi fue la que
comnmente podemos llamar El arenario aqu vemos que nuestro autor va
ms all de nuestra imaginacin e intenta contar los granos de
arena.
Arqumedes se expresar sobre esto de la siguiente manera;
Hay algunos que creen que el nmero de granos de arena es infinito
en cantidad y por arena entiendo no slo la que existen en Siracusa
y el resto de Sicilia, sino tambin la que se encuentra en cualquier
regin habitada o sin habitar. Hay tambin algunos que, sin
considerarlo infinito, creen que no existe una cifra lo bastante
grande para exceder a su magnitud. Y est claro que quieren
mantienen esta
opinin, si imaginasen una masa hecha de arena en otros aspectos tan
grande como la masa de la Tierra, incluyendo en ella todos los
mares y las cavidades de la Tierra llenadas hasta una altura igual
a la de las montaas ms altas estaran muchas veces lejos de
reconocer que se pueda expresar ningn nmero para exceda a la
magnitud de la arena as conseguida. Pero intentar demostraros por
medio de puntos geomtricos que seris capaces de seguir, que los
nmeros nombrados por mi algunos exceden no slo al nmero de la masa
de arena igual en magnitud a la de la Tierra llena de la forma
descrita, sino al de la masa igual en magnitud al Universo
El contador de arena(o arenario) era un sistema numrico que
permitira contar los granos de arena que haran falta para llenar el
Universo. Despus de demostrar que en el interior de una semilla de
amapola podan caber 10.000 granos de arena, se propuso determinar
el orden de magnitud de los granos que llenaran el Universo que,
tal y como se conceba entonces, consista en una esfera con origen
en el centro de la Tierra y cuyo radio deba ser la distancia de la
Tierra al Sol. Los sistemas de numeracin de la poca no le permitan
utilizar nmeros ms grandes que la mirada (diez mil), por lo que
introdujo la mirada de miradas. Progresivamente fue introduciendo
rdenes de magnitud cada vez mayores, hasta que se dio cuenta de que
era posible continuar indefinidamente la serie de nmeros, lo que
constituy uno de los descubrimientos ms trascendentales de su
poca.
Otro de sus grandes descubrimientos es el nmero pi.
El nmero se define como la razn entre la longitud de una
circunferencia y su dimetro. Se puede calcular una aproximacin de
forma experimental. Los objetos redondos (ruedas, recipientes,...)
han sido utilizados por el hombre desde hace miles de aos. En algn
momento debieron darse cuenta de que ese 3'14... que aparece
siempre que manejamos circunferencias, crculos y esferas es un
nmero que podemos utilizar para calcular longitudes, reas y
volmenes.
Los gemetras de la Grecia clsica conocan que la razn entre la
longitud de una circunferencia cualquiera y su dimetro es siempre
constante (el nmero al que ahora llamamos pi). Tambin conocan y
haban conseguido demostrar que tanto la razn entre el rea de un
crculo y su dimetro al cuadrado, como la del volumen de una esfera
al cubo de su dimetro eran constantes (desconocidas en aquel
momento, libro XII de "Los Elementos"). Fue Arqumedes (siglo III a.
de C.) quien determin que estas constantes estaban estrechamente
relacionadas con . Adems, utiliz el mtodo de exhaucin, inscribiendo
y circunscribiendo polgonos de hasta 96 lados y consiguiendo una
magnfica aproximacin (si tenemos en cuenta los medios con los que
contaba), 3+10/71 < < 3+1/7; es decir, el nmero buscado est
entre 3'1407 y 3'1428 (se puede ver en su obra "Sobre la medida del
circulo").
Por otra parte tambin present lo que podemos llamar; Teorema de la
cuerda doblada.
Imaginemos una lnea quebrada ABC (segmento AC doblado en un punto
B). Su punto medio, M, puede hallarse por el siguiente
procedimiento:
Se traza el arco de circunferencia que pasa por los tres puntos A,
B y C.
Se halla el punto medio, M', del arco de circunferencia AC.
Entonces, la perpendicular a BC trazada por M' da sobre BC el punto
medio, M, de la cuerda doblada ABC.
Pero nuestro gran inventor realiz adems numerosos descubrimientos
de tipo prctico ya sea para ser utilizados en las guerras o en la
vida cotidiana.
Se deben a l la invencin de catapultas, de garfios movidos por
palancas y de una serie de dispositivos mecnicos y pticos con los
que logr defender durante tres aos la ciudad de Siracusa, sitiada
por los romanos.
Se destaca tambin la garra de Arqumedes que es un arma que fue
diseada para defender la ciudad de Siracusa del asedio al que la
haban sometido los romanos. Tambin conocida como "el agitador de
barcos", la garra consista en un brazo semejante a una gra de donde
estaba suspendido un enorme gancho de metal. Cuando se dejaba caer
la garra sobre un barco enemigo el brazo se balanceara en sentido
ascendente, levantando el barco fuera del agua y posiblemente
hundindolo. Ha habido experimentos modernos con la finalidad de
probar la viabilidad de la garra, se construyo una versin real del
arma y se concluy que era un dispositivo tan factible como
cualquier otro actual. (ver la siguiente imagen)
Arqumedes construy tambin el que probablemente fue el primer
Planetario de la historia. Consista en una gran esfera celesta
movida mediante un sistema hidrulico que representaba el movimiento
de las estrella fijas y los planetas alrededor de la Tierra. Este
gran globo fue el nico trofeo que el general Marcelo pudo llevarse
a Roma tras la conquista de Siracusa.
Para finalizar expondremos El mtodo; quees la obra ms estudiada de
Arqumedes puesto que nos a llegado con mayor exactitud. El texto
fue descubierto en 1906 por Heiberg. Tuvo noticias del hallazgo en
el convento del Santo Sepulcro de Constantinopla de un palimpsesto
de contenido matemtico. Un palimpsesto es un pergamino en el que el
primer texto escrito fue lavado para poder volver a escribir una
nueva obra, en este caso un libro de oraciones de la iglesia
ortodoxa.
La particularidad de este libro radica en el uso de la
experimentacin previa a la hora de resolver los problemas.
Arqumedes en una carta a Eratstenes lo expresa de la siguiente
manera:
Ser posible captar ciertas cuestiones matemticas por medios
mecnicos, lo cual, estoy convencido, ser til para demostrar los
mismos teoremas. Yo mismo, algunas de las cosas que descubr por va
mecnica, las demostr luego geomtricamente, ya que la investigacin
hecha por este mtodo no implica verdadera demostracin. Pero es ms
fcil, una vez adquirido por este mtodo, un cierto conocimiento de
los problemas, dar luego la demostracin, que buscarla sin ningn
conocimiento previo
Las caractersticas de este mtodo exhaustivo son
esencialmente:
Llamemos X a una figura o slido plano cuyo volumen o rea se
desconozcan. El mtodo consiste en pesar elementos infinitesimales
de X comparndolo con los de una figura Y de la que se conoce su
rea, volumen y su centro de gravedad. Para conseguir un equilibrio
se dispone de un eje de tal manera que las figuras se encuentren en
la misma recta, entonces los centros de gravedad de estas figuras
infinitesimales estn en algn punto del eje. El eje se convierte en
el brazo de una balanza.
El propsito de Arqumedes consiste en balancear los elementos de X,
aplicndolos todos en un nico punto de la palanca, mientras los de Y
permanecen en su sitio. Como el centro de gravedad, el volumen y su
rea son conocidos, se imagina Y como una masa que acta sobre su
centro de gravedad. Si X e Y estn situados en sus puntos
respectivos, conocemos las distancias de los centros de gravedad al
punto de aplicacin de la palanca. As, se calcula el rea o volumen
de X. Proposicin 1:Sea ABG el segmento de una parbola limitado por
la recta AG y la parbola ABG, y sea D el punto medio de AG.
Trazar la recta DBE paralela al eje de la parbola y unir A con B y
B con G. Entonces el segmento ABGes 4/3 del tringulo ABG.
Demostracin:
Desde A, trazar AKZ paralela a DBE; los puntos E y Z los encuentra
en la interseccin de la tangente a la parbola en G y las
perpendiculares desde A y D. Trazar GB y prolongar hasta K (en la
recta AZ) y prolongar hasta Q de tal manera que QK = GK. QG ser el
brazo de la palanca y K su punto medio. Sea MX una recta paralela a
ED que corta en M, O, X a la tangente, la parbola y la base
respectivamente. EB = DB y AK = KZ (por ser la tangente y la
semiordenada, esto se demuestra segn Arqumedes en los elementos de
las cnicas de Aristeo y Euclides).
Ahora por la propiedad de la parbola probada en su libro cuadratura
de la parbola MX/XO = GA/XA
Medir TH igual a XO y colocarla en su centro de gravedad en H, de
manera que TQ = QH, entonces puesto que N es el centro de gravedad
de MX, se tiene MX/TH = QK/KN. Segn el libro de los equilibrios, se
desprende que TH en Q y MX en N estn en equilibrio alrededor de K.
Adems K es el centro de gravedad de todo el sistema.
Puesto que el tringulo GZA est constituido por todas las paralelas
como MX, y el segmento GBA est constituido por todas las paralelas
como OX bajo la curva limitada por AG, se desprende que el tringulo
ABG(= ) est en equilibrio alrededor de K con el segmento GBA
situado con su centro de gravedad en H.
Dividir KG de manera que GK = 3KX, entonces X es el centro de
gravedad del tringulo AGZ.
Adems:
/ABC = HK/KX = 3
De donde
ABC = 1/3
Pero
AGZ = 4
Luego
ABC = 4/3 .
Pero est demostracin no corresponde a Arqumedes Reviel Netz, un
estudioso de Arqumedes, nos cuenta en su artculo The origins of
mathematical physics: new light on an old question que el dibujo
encontrado en el palimpsesto de Arqumedes es este otro
En la primera figura todo es tcnicamente correcto, pero en la
segunda no es del todo correcto.
Por ejemplo las relaciones de tamao no se cumplen KB = QK no se
puede considerar cierto en la segunda figura, y adems la primera
figura tiene un segmento parablico y la segunda tiene un segmento
de un crculo.
Netz continua explicando que esta sera probablemente la razn por la
que Heiberg eligi no hacer caso a los diagramas del manuscrito y en
lugar de los autnticos, produjo los suyos corrigiendo figuras. Al
hacer esto, quizs, haya suprimido una importante caracterizacin
sobre Arqumedes ya que:
-los diagramas del palimpsesto provienen de la antigedad,
probablemente de
Arqumedes mismo.
-los diagramas exhiben una lgica visual constante. Mientras Heiberg
representa figuras y cocientes, Arqumedes produca figuras
esquemticas . Sus diagramas demuestran relaciones de configuracin e
identidad, que objetos participan, como son sus relaciones Hay poca
tentativa de demostrar la forma verdadera.
Si estas conjeturas de Netz son ciertas no habra que pensar que la
figura estuviese mal. Es ms el palimpsesto nos dara una forma de
entender la capacidad de Arqumedes y como visualizabael los
problemas.
Qu ocurre en la matemtica griega luego de Arqumedes?
Tras la poca de Arqumedes, las matemticas sufrieron unas
transformaciones radicales (no muy positivas a la vista de
muchos).
Debidos a los cambios de la sociedad, polticos, culturales y sin
duda los econmicos de la poca. El declive de la sociedad griega
viene acompaado del asentamiento de la civilizacin romana (con su
practicidad), los romanos se preocuparon slo por las matemticas que
precisaban para hacer frente a los problemas de la vida cotidiana,
de hecho su aportacin en matemticas es prcticamente nula. No daban
importancia a la teorizacin o investigacin de la matemtica pos si
misma sino en tanto sta fuese necesaria para la praxis.
Una de sus aportaciones, su sistema numrico, de funcionamiento
decimal y smbolos literales, restaba agilidad a los clculos.
Los romanos eran un pueblo puramente prctico, poco dado a las
innovaciones cientficas. La mayor utilidad que sacaron a las
matemticas fue la agrimensura que utilizaba el lgebra y la geometra
para medir terrenos, aplicar fronteras a las ciudades. Los
agrimensores utilizaban procedimientos ya conocidos antes como el
uso de tringulos congruentes y otro tipo de procedimientos
utilizados por los griegos.
Qu huellas deja Arqumedes en la historia? Qu influencias
ejerce?
La suma de la contribucin de Arqumedes a nuestro conocimiento es
enorme. Su carcter, la humanidad, la amplitud de sus intereses y la
sencillez de su exposicin lo ha colocado en un lugar donde desde el
cual ha sido objeto de simpata universal y respeto.
Los descubrimientos de Arqumedes han pasado a formar parte de la
herencia de la humanidad. Demostr que era posible aplicar una mente
cientfica a los problemas de la vida cotidiana y que una teora
abstracta de la ciencia pura -el principio que explica la palanca-
puede ahorrar esfuerzo a los msculos del hombre. Y tambin demostr
lo contrario: porque arrancando de un problema prctico -el de la
posible adulteracin del oro- descubri un principio cientfico.
El esfuerzo e Arqumedes por convertir la esttica en un cuerpo
doctrinal riguroso es comparable al realizado por Euclides con el
mismo propsito respecto a la geometra: esfuerzo que se puede ver en
sus dos ltimos libros. En los Equilibrios planos argumenta y
fundamenta la ley de la palanca, la cual es deducida de un nmero
reducido de postulados y determina adems el centro de gravedad de
paralelogramos, trapecios, tringulos y un segmento de una
parbola.
En la obra sobre la esfera y el cilindro utiliz el mtodo denominado
exhaustin procedente del clculo integral, para determinar la
superficie de una esfera y para estableces la relacin entre una
esfera y el cilindro circunscrito en ella. Este ltimo resultado pas
por ser su teorema favorito, que por expreso deseo suyo grab sobre
su tumba, hecho gracias al cual Cicern pudo recuperar la figura de
Arqumedes cuando sta haba sido ya olvidada.
La astronoma tambin decidi honrar a este gran sabio dando nombre a
varios accidentes geogrficos lunares. El Crter de Arqumedes tiene
un dimetros de aproximadamente 80 Km., siendo el crter ms grande
del Mar de las Lluvias o Mare Imbrium.
A su vez, como consecuencia del impacto del meteorito que form el
crter, se produjo la eyeccin de materiales crendose una formacin
montaosa que se denomin Montes de Arqumedes o Arquimedianos.
Y finalmente, en direccin sur sureste existen varias grietas de
gran longitud que se conocen como Rima o Fisura de Arqumedes. De
los viajes espaciales que han tenido por destino la Luna slo dos
alunizaron en las proximidades de esta zona. El primero de ellos
(14/09/1959) la nave sovitica Luna 2 que no llevaba tripulacin y el
segundo fue un vuelo tripulado de la NASA, el Apolo 15
Finalmente, podemos concluir que, sin dudas, la enorme influencia
que la obra de Arqumedes ha tenido a lo largo de la Historia de la
Ciencia est fuera de discusin.
Recordando sus aportaciones podemos pasar porla geometra, tambin
porla aritmtica,la mecnica y a la hidrosttica.
Considero que luego del trabajo realizado, podemos estar ms cerca
de comprender la frase de Laibniz con la que comenzamos este
texto:
Quien comprenda a Arqumedes y
Apolonio admirar menos los logros
de hombres posteriores .
Compartirla o no depender de cada lector, pero sin dudas queda
comprendida la importancia insoslayable de nuestro autorEl genio de
Siracusa.
Bibliografa.
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-. Los manuscritos griegos de Arqumedes en la Biblioteca del
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Arqumedes. Fundacin Orotava de Historia dela Ciencia. Congreso de
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Mederos Martn, C. Arqumedes y la Geometra Dinmica. Ponencia:
Symposium
Arqumedes. Fundacin Orotava de Historia de la Ciencia. Congreso de
la R.S.M.E.
Momentos estelares de la ciencia - Isaac Asimov Ed.
Alianza