View
3.055
Download
5
Category
Preview:
DESCRIPTION
Cebir aileleri, gruplar, halkalar. Kısmi sıralı kümeler, kafesler, Boole cebirleri.
Citation preview
Ayrık MatematikCebirsel Yapılar
H. Turgut Uyar Aysegul Gencata Yayımlı Emre Harmancı
2001-2012
Lisans
c©2001-2012 T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı
You are free:
to Share – to copy, distribute and transmit the work
to Remix – to adapt the work
Under the following conditions:
Attribution – You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in anyway that suggests that they endorse you or your use of the work).
Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes.
Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work onlyunder the same or similar license to this one.
Legal code (the full license):http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
Konular
1 Cebirsel YapılarGirisGruplarHalkalar
2 KafeslerKısmi Sıralı KumelerKafeslerBoole Cebirleri
Konular
1 Cebirsel YapılarGirisGruplarHalkalar
2 KafeslerKısmi Sıralı KumelerKafeslerBoole Cebirleri
Cebirsel Yapı
cebirsel yapı: <kume, islemler, sabitler>
tasıyıcı kumeislemler: ikili, teklisabitler: etkisiz, yutucu
Islem
her islem bir fonksiyon
ikili islem:◦ : S × S → T
tekli islem:∆ : S → T
kapalı: T ⊆ S
Islem
her islem bir fonksiyon
ikili islem:◦ : S × S → T
tekli islem:∆ : S → T
kapalı: T ⊆ S
Kapalı Islem Ornekleri
Ornek
cıkarma islemi Z kumesinde kapalı
cıkarma islemi Z+ kumesinde kapalı degil
Kapalı Islem Ornekleri
Ornek
cıkarma islemi Z kumesinde kapalı
cıkarma islemi Z+ kumesinde kapalı degil
Ikili Islem Ozellikleri
Tanım
degisme:∀a, b ∈ S a ◦ b = b ◦ a
Tanım
birlesme:∀a, b, c ∈ S (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)
Ikili Islem Ornegi
Ornek
◦ : Z× Z → Za ◦ b = a + b − 3ab
degisme:a ◦ b = a + b − 3ab = b + a− 3ba = b ◦ a
birlesme:(a ◦ b) ◦ c = (a + b − 3ab) + c − 3(a + b − 3ab)c
= a + b − 3ab + c − 3ac − 3bc + 9abc= a + b + c − 3ab − 3ac − 3bc + 9abc= a + (b + c − 3bc)− 3a(b + c − 3bc)= a ◦ (b ◦ c)
Ikili Islem Ornegi
Ornek
◦ : Z× Z → Za ◦ b = a + b − 3ab
degisme:a ◦ b = a + b − 3ab = b + a− 3ba = b ◦ a
birlesme:(a ◦ b) ◦ c = (a + b − 3ab) + c − 3(a + b − 3ab)c
= a + b − 3ab + c − 3ac − 3bc + 9abc= a + b + c − 3ab − 3ac − 3bc + 9abc= a + (b + c − 3bc)− 3a(b + c − 3bc)= a ◦ (b ◦ c)
Ikili Islem Ornegi
Ornek
◦ : Z× Z → Za ◦ b = a + b − 3ab
degisme:a ◦ b = a + b − 3ab = b + a− 3ba = b ◦ a
birlesme:(a ◦ b) ◦ c = (a + b − 3ab) + c − 3(a + b − 3ab)c
= a + b − 3ab + c − 3ac − 3bc + 9abc= a + b + c − 3ab − 3ac − 3bc + 9abc= a + (b + c − 3bc)− 3a(b + c − 3bc)= a ◦ (b ◦ c)
Ikili Islem Ornegi
Ornek
◦ : Z× Z → Za ◦ b = a + b − 3ab
degisme:a ◦ b = a + b − 3ab = b + a− 3ba = b ◦ a
birlesme:(a ◦ b) ◦ c = (a + b − 3ab) + c − 3(a + b − 3ab)c
= a + b − 3ab + c − 3ac − 3bc + 9abc= a + b + c − 3ab − 3ac − 3bc + 9abc= a + (b + c − 3bc)− 3a(b + c − 3bc)= a ◦ (b ◦ c)
Ikili Islem Ornegi
Ornek
◦ : Z× Z → Za ◦ b = a + b − 3ab
degisme:a ◦ b = a + b − 3ab = b + a− 3ba = b ◦ a
birlesme:(a ◦ b) ◦ c = (a + b − 3ab) + c − 3(a + b − 3ab)c
= a + b − 3ab + c − 3ac − 3bc + 9abc= a + b + c − 3ab − 3ac − 3bc + 9abc= a + (b + c − 3bc)− 3a(b + c − 3bc)= a ◦ (b ◦ c)
Ikili Islem Ornegi
Ornek
◦ : Z× Z → Za ◦ b = a + b − 3ab
degisme:a ◦ b = a + b − 3ab = b + a− 3ba = b ◦ a
birlesme:(a ◦ b) ◦ c = (a + b − 3ab) + c − 3(a + b − 3ab)c
= a + b − 3ab + c − 3ac − 3bc + 9abc= a + b + c − 3ab − 3ac − 3bc + 9abc= a + (b + c − 3bc)− 3a(b + c − 3bc)= a ◦ (b ◦ c)
Ikili Islem Ornegi
Ornek
◦ : Z× Z → Za ◦ b = a + b − 3ab
degisme:a ◦ b = a + b − 3ab = b + a− 3ba = b ◦ a
birlesme:(a ◦ b) ◦ c = (a + b − 3ab) + c − 3(a + b − 3ab)c
= a + b − 3ab + c − 3ac − 3bc + 9abc= a + b + c − 3ab − 3ac − 3bc + 9abc= a + (b + c − 3bc)− 3a(b + c − 3bc)= a ◦ (b ◦ c)
Ikili Islem Ornegi
Ornek
◦ : Z× Z → Za ◦ b = a + b − 3ab
degisme:a ◦ b = a + b − 3ab = b + a− 3ba = b ◦ a
birlesme:(a ◦ b) ◦ c = (a + b − 3ab) + c − 3(a + b − 3ab)c
= a + b − 3ab + c − 3ac − 3bc + 9abc= a + b + c − 3ab − 3ac − 3bc + 9abc= a + (b + c − 3bc)− 3a(b + c − 3bc)= a ◦ (b ◦ c)
Ikili Islem Ornegi
Ornek
◦ : Z× Z → Za ◦ b = a + b − 3ab
degisme:a ◦ b = a + b − 3ab = b + a− 3ba = b ◦ a
birlesme:(a ◦ b) ◦ c = (a + b − 3ab) + c − 3(a + b − 3ab)c
= a + b − 3ab + c − 3ac − 3bc + 9abc= a + b + c − 3ab − 3ac − 3bc + 9abc= a + (b + c − 3bc)− 3a(b + c − 3bc)= a ◦ (b ◦ c)
Sabitler
Tanım
etkisiz eleman:x ◦ 1 = 1 ◦ x = x
soldan etkisiz: 1l ◦ x = x
sagdan etkisiz: x ◦ 1r = x
Tanım
yutucu eleman:x ◦ 0 = 0 ◦ x = 0
soldan yutucu: 0l ◦ x = 0
sagdan yutucu: x ◦ 0r = 0
Sabitler
Tanım
etkisiz eleman:x ◦ 1 = 1 ◦ x = x
soldan etkisiz: 1l ◦ x = x
sagdan etkisiz: x ◦ 1r = x
Tanım
yutucu eleman:x ◦ 0 = 0 ◦ x = 0
soldan yutucu: 0l ◦ x = 0
sagdan yutucu: x ◦ 0r = 0
Sabit Ornekleri
Ornek
< N,max > icin etkisiz eleman 0
< N,min > icin yutucu eleman 0
< Z+,min > icin yutucu eleman 1
Ornek◦ a b c
a a b b
b a b c
c a b a
b soldan etkisiz
a ve b sagdan yutucu
Sabit Ornekleri
Ornek
< N,max > icin etkisiz eleman 0
< N,min > icin yutucu eleman 0
< Z+,min > icin yutucu eleman 1
Ornek◦ a b c
a a b b
b a b c
c a b a
b soldan etkisiz
a ve b sagdan yutucu
Sabitler
Teorem
∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r
Tanıt.
1l ◦ 1r = 1l = 1r
Teorem
∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r
Tanıt.
0l ◦ 0r = 0l = 0r
Sabitler
Teorem
∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r
Tanıt.
1l ◦ 1r = 1l = 1r
Teorem
∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r
Tanıt.
0l ◦ 0r = 0l = 0r
Sabitler
Teorem
∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r
Tanıt.
1l ◦ 1r = 1l = 1r
Teorem
∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r
Tanıt.
0l ◦ 0r = 0l = 0r
Sabitler
Teorem
∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r
Tanıt.
1l ◦ 1r = 1l = 1r
Teorem
∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r
Tanıt.
0l ◦ 0r = 0l = 0r
Sabitler
Teorem
∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r
Tanıt.
1l ◦ 1r = 1l = 1r
Teorem
∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r
Tanıt.
0l ◦ 0r = 0l = 0r
Sabitler
Teorem
∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r
Tanıt.
1l ◦ 1r = 1l = 1r
Teorem
∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r
Tanıt.
0l ◦ 0r = 0l = 0r
Sabitler
Teorem
∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r
Tanıt.
1l ◦ 1r = 1l = 1r
Teorem
∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r
Tanıt.
0l ◦ 0r = 0l = 0r
Sabitler
Teorem
∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r
Tanıt.
1l ◦ 1r = 1l = 1r
Teorem
∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r
Tanıt.
0l ◦ 0r = 0l = 0r
Evrik
x ◦ y = 1 ise:
x elemanı y elemanının sol evrigiy elemanı x elemanının sag evrigi
x ◦ y = y ◦ x = 1 ise x ile y evrik
Evrik
Teorem
◦ islemi birlesme ozelligi tasıyorsa:w ◦ x = x ◦ y = 1 ⇒ w = y
Tanıt.w = w ◦ 1
= w ◦ (x ◦ y)= (w ◦ x) ◦ y= 1 ◦ y= y
Evrik
Teorem
◦ islemi birlesme ozelligi tasıyorsa:w ◦ x = x ◦ y = 1 ⇒ w = y
Tanıt.w = w ◦ 1
= w ◦ (x ◦ y)= (w ◦ x) ◦ y= 1 ◦ y= y
Evrik
Teorem
◦ islemi birlesme ozelligi tasıyorsa:w ◦ x = x ◦ y = 1 ⇒ w = y
Tanıt.w = w ◦ 1
= w ◦ (x ◦ y)= (w ◦ x) ◦ y= 1 ◦ y= y
Evrik
Teorem
◦ islemi birlesme ozelligi tasıyorsa:w ◦ x = x ◦ y = 1 ⇒ w = y
Tanıt.w = w ◦ 1
= w ◦ (x ◦ y)= (w ◦ x) ◦ y= 1 ◦ y= y
Evrik
Teorem
◦ islemi birlesme ozelligi tasıyorsa:w ◦ x = x ◦ y = 1 ⇒ w = y
Tanıt.w = w ◦ 1
= w ◦ (x ◦ y)= (w ◦ x) ◦ y= 1 ◦ y= y
Evrik
Teorem
◦ islemi birlesme ozelligi tasıyorsa:w ◦ x = x ◦ y = 1 ⇒ w = y
Tanıt.w = w ◦ 1
= w ◦ (x ◦ y)= (w ◦ x) ◦ y= 1 ◦ y= y
Cebir Ailesi
cebir ailesi: cebirsel yapı, aksiyomlar
degisme, birlesmeevrik elemanlar
Cebir Ailesi Ornekleri
Ornek
aksiyomlar:
x ◦ y = y ◦ x(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)x ◦ 1 = x
bu aksiyomları saglayan yapılar:
< Z,+, 0 >< Z, ·, 1 >< P(S),∪, ∅ >
Cebir Ailesi Ornekleri
Ornek
aksiyomlar:
x ◦ y = y ◦ x(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)x ◦ 1 = x
bu aksiyomları saglayan yapılar:
< Z,+, 0 >< Z, ·, 1 >< P(S),∪, ∅ >
Altcebir
Tanım
altcebir:A =< S , ◦,∆, k > ∧ A′ =< S ′, ◦′,∆′, k ′ > olsun
A′ cebrinin A cebrinin bir altcebri olması icin:
S ′ ⊆ S∀a, b ∈ S ′ a ◦′ b = a ◦ b ∈ S ′
∀a ∈ S ′ ∆′a = ∆a ∈ S ′
k ′ = k
Altcebir
Tanım
altcebir:A =< S , ◦,∆, k > ∧ A′ =< S ′, ◦′,∆′, k ′ > olsun
A′ cebrinin A cebrinin bir altcebri olması icin:
S ′ ⊆ S∀a, b ∈ S ′ a ◦′ b = a ◦ b ∈ S ′
∀a ∈ S ′ ∆′a = ∆a ∈ S ′
k ′ = k
Altcebir Ornekleri
Ornek
< Z+,+, 0 > cebri, < Z,+, 0 > cebrinin bir altcebridir.
< N,−, 0 > cebri, < Z,−, 0 > cebrinin bir altcebri degildir.
Altcebir Ornekleri
Ornek
< Z+,+, 0 > cebri, < Z,+, 0 > cebrinin bir altcebridir.
< N,−, 0 > cebri, < Z,−, 0 > cebrinin bir altcebri degildir.
Konular
1 Cebirsel YapılarGirisGruplarHalkalar
2 KafeslerKısmi Sıralı KumelerKafeslerBoole Cebirleri
Yarıgruplar
Tanım
yarıgrup: < S , ◦ >
∀a, b, c ∈ S (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)
Yarıgrup Ornekleri
Ornek
< Σ+,& >
Σ: alfabe, Σ+: en az 1 uzunluklu katarlar
&: katar bitistirme islemi
Monoidler
Tanım
monoid: < S , ◦, 1 >
∀a, b, c ∈ S (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)
∀a ∈ S a ◦ 1 = 1 ◦ a = a
Monoid Ornekleri
Ornek
< Σ∗,&, ε >
Σ: alfabe, Σ∗: herhangi uzunluklu katarlar
&: katar bitistirme islemi
ε: bos katar
Grup
Tanım
grup: < S , ◦, 1 >
∀a, b, c ∈ S (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)
∀a ∈ S a ◦ 1 = 1 ◦ a = a
∀a ∈ S ∃a−1 ∈ S a ◦ a−1 = a−1 ◦ a = 1
Abel grubu: ∀a, b ∈ S a ◦ b = b ◦ a
Grup
Tanım
grup: < S , ◦, 1 >
∀a, b, c ∈ S (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)
∀a ∈ S a ◦ 1 = 1 ◦ a = a
∀a ∈ S ∃a−1 ∈ S a ◦ a−1 = a−1 ◦ a = 1
Abel grubu: ∀a, b ∈ S a ◦ b = b ◦ a
Grup Ornekleri
Ornek
< Z,+, 0 > bir gruptur.
< Q, ·, 1 > bir grup degildir.
< Q− {0}, ·, 1 > bir gruptur.
Grup Ornekleri
Ornek
< Z,+, 0 > bir gruptur.
< Q, ·, 1 > bir grup degildir.
< Q− {0}, ·, 1 > bir gruptur.
Grup Ornegi: Permutasyon Bileskesi
permutasyon: kume ici bijektif bir fonksiyon
gosterilim: (a1 a2 . . . an
p(a1) p(a2) . . . p(an)
)
Permutasyon Ornekleri
Ornek
A = {1, 2, 3}
p1 =
(1 2 31 2 3
)p2 =
(1 2 31 3 2
)p3 =
(1 2 32 1 3
)p4 =
(1 2 32 3 1
)p5 =
(1 2 33 1 2
)p6 =
(1 2 33 2 1
)
Grup Ornegi: Permutasyon Bileskesi
permutasyon bileskesi birlesme ozelligi gosterir
birim permutasyon: 1A(a1 a2 . . . an
a1 a2 . . . an
)
bir kume uzerindeki permutasyonların kumesi,permutasyon bileskesi islemive birim permutasyon bir grup olusturur
Grup Ornegi: Permutasyon Bileskesi
permutasyon bileskesi birlesme ozelligi gosterir
birim permutasyon: 1A(a1 a2 . . . an
a1 a2 . . . an
)
bir kume uzerindeki permutasyonların kumesi,permutasyon bileskesi islemive birim permutasyon bir grup olusturur
Grup Ornegi: Permutasyon Bileskesi
Ornek ({1, 2, 3, 4} kumesindeki permutasyonlar)
A 1A p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 22 2 2 3 3 4 4 1 1 3 3 4 43 3 4 2 4 2 3 3 4 1 4 1 34 4 3 4 2 3 2 4 3 4 1 3 1
p12 p13 p14 p15 p16 p17 p18 p19 p20 p21 p22 p23
1 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 42 1 1 2 2 4 4 1 1 2 2 3 33 2 4 1 4 1 2 2 3 1 3 1 24 4 2 4 1 2 1 3 2 3 1 2 1
Grup Ornegi: Permutasyon Bileskesi
Ornek
p8 � p12 = p12 � p8 = 1A:p12 = p−1
8 , p8 = p−112
p14 � p14 = 1A:p14 = p−1
14
G1 =< {1A, p1, . . . , p23}, �, 1A > bir gruptur
Grup Ornegi: Permutasyon Bileskesi
Ornek
p8 � p12 = p12 � p8 = 1A:p12 = p−1
8 , p8 = p−112
p14 � p14 = 1A:p14 = p−1
14
G1 =< {1A, p1, . . . , p23}, �, 1A > bir gruptur
Grup Ornegi: Permutasyon Bileskesi
Ornek
� 1A p2 p6 p8 p12 p14
1A 1A p2 p6 p8 p12 p14
p2 p2 1A p8 p6 p14 p12
p6 p6 p12 1A p14 p2 p8
p8 p8 p14 p2 p12 1A p6
p12 p12 p6 p14 1A p8 p2
p14 p14 p8 p12 p2 p6 1A
< {1A, p2, p6, p8, p12, p14}, �, 1A > G1’in bir altgrubudur
Sagdan ve Soldan Kaldırma
Teorem
a ◦ c = b ◦ c ⇒ a = bc ◦ a = c ◦ b ⇒ a = b
Tanıt.a ◦ c = b ◦ c
⇒ (a ◦ c) ◦ c−1 = (b ◦ c) ◦ c−1
⇒ a ◦ (c ◦ c−1) = b ◦ (c ◦ c−1)⇒ a ◦ 1 = b ◦ 1⇒ a = b
Sagdan ve Soldan Kaldırma
Teorem
a ◦ c = b ◦ c ⇒ a = bc ◦ a = c ◦ b ⇒ a = b
Tanıt.a ◦ c = b ◦ c
⇒ (a ◦ c) ◦ c−1 = (b ◦ c) ◦ c−1
⇒ a ◦ (c ◦ c−1) = b ◦ (c ◦ c−1)⇒ a ◦ 1 = b ◦ 1⇒ a = b
Sagdan ve Soldan Kaldırma
Teorem
a ◦ c = b ◦ c ⇒ a = bc ◦ a = c ◦ b ⇒ a = b
Tanıt.a ◦ c = b ◦ c
⇒ (a ◦ c) ◦ c−1 = (b ◦ c) ◦ c−1
⇒ a ◦ (c ◦ c−1) = b ◦ (c ◦ c−1)⇒ a ◦ 1 = b ◦ 1⇒ a = b
Sagdan ve Soldan Kaldırma
Teorem
a ◦ c = b ◦ c ⇒ a = bc ◦ a = c ◦ b ⇒ a = b
Tanıt.a ◦ c = b ◦ c
⇒ (a ◦ c) ◦ c−1 = (b ◦ c) ◦ c−1
⇒ a ◦ (c ◦ c−1) = b ◦ (c ◦ c−1)⇒ a ◦ 1 = b ◦ 1⇒ a = b
Sagdan ve Soldan Kaldırma
Teorem
a ◦ c = b ◦ c ⇒ a = bc ◦ a = c ◦ b ⇒ a = b
Tanıt.a ◦ c = b ◦ c
⇒ (a ◦ c) ◦ c−1 = (b ◦ c) ◦ c−1
⇒ a ◦ (c ◦ c−1) = b ◦ (c ◦ c−1)⇒ a ◦ 1 = b ◦ 1⇒ a = b
Sagdan ve Soldan Kaldırma
Teorem
a ◦ c = b ◦ c ⇒ a = bc ◦ a = c ◦ b ⇒ a = b
Tanıt.a ◦ c = b ◦ c
⇒ (a ◦ c) ◦ c−1 = (b ◦ c) ◦ c−1
⇒ a ◦ (c ◦ c−1) = b ◦ (c ◦ c−1)⇒ a ◦ 1 = b ◦ 1⇒ a = b
Grupların Temel Teoremi
Teorem
a ◦ x = b denkleminin tek cozumu: x = a−1 ◦ b.
Tanıt.a ◦ c = b
⇒ a−1 ◦ (a ◦ c) = a−1 ◦ b⇒ 1 ◦ c = a−1 ◦ b⇒ c = a−1 ◦ b
Grupların Temel Teoremi
Teorem
a ◦ x = b denkleminin tek cozumu: x = a−1 ◦ b.
Tanıt.a ◦ c = b
⇒ a−1 ◦ (a ◦ c) = a−1 ◦ b⇒ 1 ◦ c = a−1 ◦ b⇒ c = a−1 ◦ b
Grupların Temel Teoremi
Teorem
a ◦ x = b denkleminin tek cozumu: x = a−1 ◦ b.
Tanıt.a ◦ c = b
⇒ a−1 ◦ (a ◦ c) = a−1 ◦ b⇒ 1 ◦ c = a−1 ◦ b⇒ c = a−1 ◦ b
Grupların Temel Teoremi
Teorem
a ◦ x = b denkleminin tek cozumu: x = a−1 ◦ b.
Tanıt.a ◦ c = b
⇒ a−1 ◦ (a ◦ c) = a−1 ◦ b⇒ 1 ◦ c = a−1 ◦ b⇒ c = a−1 ◦ b
Grupların Temel Teoremi
Teorem
a ◦ x = b denkleminin tek cozumu: x = a−1 ◦ b.
Tanıt.a ◦ c = b
⇒ a−1 ◦ (a ◦ c) = a−1 ◦ b⇒ 1 ◦ c = a−1 ◦ b⇒ c = a−1 ◦ b
Konular
1 Cebirsel YapılarGirisGruplarHalkalar
2 KafeslerKısmi Sıralı KumelerKafeslerBoole Cebirleri
Halka
Tanım
halka: < S ,+, ·, 0 >
∀a, b, c ∈ S (a + b) + c = a + (b + c)
∀a ∈ S a + 0 = 0 + a = a
∀a ∈ S ∃(−a) ∈ S a + (−a) = (−a) + a = 0
∀a, b ∈ S a + b = b + a
∀a, b, c ∈ S (a · b) · c = a · (b · c)
∀a, b, c ∈ S
a · (b + c) = a · b + a · c(b + c) · a = b · a + c · a
Halka
Tanım
halka: < S ,+, ·, 0 >
∀a, b, c ∈ S (a + b) + c = a + (b + c)
∀a ∈ S a + 0 = 0 + a = a
∀a ∈ S ∃(−a) ∈ S a + (−a) = (−a) + a = 0
∀a, b ∈ S a + b = b + a
∀a, b, c ∈ S (a · b) · c = a · (b · c)
∀a, b, c ∈ S
a · (b + c) = a · b + a · c(b + c) · a = b · a + c · a
Halka
Tanım
halka: < S ,+, ·, 0 >
∀a, b, c ∈ S (a + b) + c = a + (b + c)
∀a ∈ S a + 0 = 0 + a = a
∀a ∈ S ∃(−a) ∈ S a + (−a) = (−a) + a = 0
∀a, b ∈ S a + b = b + a
∀a, b, c ∈ S (a · b) · c = a · (b · c)
∀a, b, c ∈ S
a · (b + c) = a · b + a · c(b + c) · a = b · a + c · a
Alan
Tanım
alan: < S ,+, ·, 0, 1 >
butun halka ozellikleri
∀a, b ∈ S a · b = b · a∀a ∈ S a · 1 = 1 · a = a
∀a ∈ S ∃a−1 ∈ S a · a−1 = a−1 · a = 1
Alan
Tanım
alan: < S ,+, ·, 0, 1 >
butun halka ozellikleri
∀a, b ∈ S a · b = b · a∀a ∈ S a · 1 = 1 · a = a
∀a ∈ S ∃a−1 ∈ S a · a−1 = a−1 · a = 1
Kaynaklar
Grimaldi
Chapter 5: Relations and Functions
5.4. Special Functions
Chapter 16: Groups, Coding Theory,and Polya’s Method of Enumeration
16.1. Definitions, Examples, and Elementary Properties
Chapter 14: Rings and Modular Arithmetic
14.1. The Ring Structure: Definition and Examples
Konular
1 Cebirsel YapılarGirisGruplarHalkalar
2 KafeslerKısmi Sıralı KumelerKafeslerBoole Cebirleri
Kısmi Sıralı Kume
Tanım
kısmi sıra bagıntısı:
yansımalı
ters bakıslı
gecisli
kısmi sıralı kume (poset):elemanları uzerinde kısmi sıra bagıntısı tanımlanmıs kume
Kısmi Sıralı Kume
Tanım
kısmi sıra bagıntısı:
yansımalı
ters bakıslı
gecisli
kısmi sıralı kume (poset):elemanları uzerinde kısmi sıra bagıntısı tanımlanmıs kume
Kısmi Sıra Ornekleri
Ornek (kumeler kumesi, ⊆)
A ⊆ A
A ⊆ B ∧ B ⊆ A ⇒ A = B
A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C
Kısmi Sıra Ornekleri
Ornek (Z, ≤)
x ≤ x
x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y
x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z
Kısmi Sıra Ornekleri
Ornek (Z+, |)
x |xx |y ∧ y |x ⇒ x = y
x |y ∧ y |z ⇒ x |z
Karsılastırılabilirlik
a � b: a b’nin onundedir
a � b ∨ b � a: a ile b karsılastırılabilir
cizgisel sıra:her eleman cifti karsılastırılabiliyor
Karsılastırılabilirlik
a � b: a b’nin onundedir
a � b ∨ b � a: a ile b karsılastırılabilir
cizgisel sıra:her eleman cifti karsılastırılabiliyor
Karsılastırılabilirlik Ornekleri
Ornek
Z+, |: 3 ile 5 karsılastırılamaz
Z,≤: cizgisel sıra
Karsılastırılabilirlik Ornekleri
Ornek
Z+, |: 3 ile 5 karsılastırılamaz
Z,≤: cizgisel sıra
Hasse Cizenekleri
a � b: a b’nin hemen onundedir¬∃x a � x � b
Hasse cizenegi:
a � b ise a ile b arasına cizgionde olan eleman asagıya
Hasse Cizenekleri
a � b: a b’nin hemen onundedir¬∃x a � x � b
Hasse cizenegi:
a � b ise a ile b arasına cizgionde olan eleman asagıya
Hasse Cizenegi Ornekleri
Ornek
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24}| bagıntısı
Tutarlı Sayılama
tutarlı sayılama:f : S → Na � b ⇒ f (a) ≤ f (b)
birden fazla tutarlı sayılama olabilir
Tutarlı Sayılama Ornekleri
Ornek
{a 7−→ 5, b 7−→ 3, c 7−→ 4, d 7−→ 1, e 7−→ 2}{a 7−→ 5, b 7−→ 4, c 7−→ 3, d 7−→ 2, e 7−→ 1}
Tutarlı Sayılama Ornekleri
Ornek
{a 7−→ 5, b 7−→ 3, c 7−→ 4, d 7−→ 1, e 7−→ 2}{a 7−→ 5, b 7−→ 4, c 7−→ 3, d 7−→ 2, e 7−→ 1}
En Buyuk - En Kucuk Eleman
Tanım
en buyuk eleman: max∀x ∈ S max � x ⇒ x = max
Tanım
en kucuk eleman: min∀x ∈ S x � min ⇒ x = min
En Buyuk - En Kucuk Eleman
Tanım
en buyuk eleman: max∀x ∈ S max � x ⇒ x = max
Tanım
en kucuk eleman: min∀x ∈ S x � min ⇒ x = min
En Buyuk - En Kucuk Eleman Ornekleri
Ornek
max : 18, 24min : 1
Sınırlar
Tanım
A ⊆ S
A’nın ustsınırı M:∀x ∈ A x � M
M(A): A’nın ustsınırları kumesi
A’nın en kucuk ustsınırı sup(A):∀M ∈ M(A) sup(A) � M
Tanım
A ⊆ S
A’nın altsınırı m:∀x ∈ A m � x
m(A): A’nın altsınırları kumesi
A’nın en buyuk altsınırı inf (A):∀m ∈ m(A) m � inf (A)
Sınırlar
Tanım
A ⊆ S
A’nın ustsınırı M:∀x ∈ A x � M
M(A): A’nın ustsınırları kumesi
A’nın en kucuk ustsınırı sup(A):∀M ∈ M(A) sup(A) � M
Tanım
A ⊆ S
A’nın altsınırı m:∀x ∈ A m � x
m(A): A’nın altsınırları kumesi
A’nın en buyuk altsınırı inf (A):∀m ∈ m(A) m � inf (A)
Sınır Ornegi
Ornek (36’nın bolenleri)
inf = en buyuk ortak bolensup = en kucuk ortak kat
Konular
1 Cebirsel YapılarGirisGruplarHalkalar
2 KafeslerKısmi Sıralı KumelerKafeslerBoole Cebirleri
Kafes
Tanım
kafes: < L,∧,∨ >∧: karsılasma, ∨: butunlesme
a ∧ b = b ∧ aa ∨ b = b ∨ a
(a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)(a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
a ∧ (a ∨ b) = aa ∨ (a ∧ b) = a
Kafes
Tanım
kafes: < L,∧,∨ >∧: karsılasma, ∨: butunlesme
a ∧ b = b ∧ aa ∨ b = b ∨ a
(a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)(a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
a ∧ (a ∨ b) = aa ∨ (a ∧ b) = a
Kısmi Sıralı Kume - Kafes Iliskisi
P bir kısmi sıralı kume ise < P, inf , sup > bir kafestir.
a ∧ b = inf (a, b)a ∨ b = sup(a, b)
Her kafes bu tanımların gecerli oldugu bir kısmi sıralı kumedir.
Kısmi Sıralı Kume - Kafes Iliskisi
P bir kısmi sıralı kume ise < P, inf , sup > bir kafestir.
a ∧ b = inf (a, b)a ∨ b = sup(a, b)
Her kafes bu tanımların gecerli oldugu bir kısmi sıralı kumedir.
Dualite
Tanım
dual:∧ yerine ∨, ∨ yerine ∧
Teorem (Dualite Teoremi)
Kafeslerde her teoremin duali de teoremdir.
Dualite
Tanım
dual:∧ yerine ∨, ∨ yerine ∧
Teorem (Dualite Teoremi)
Kafeslerde her teoremin duali de teoremdir.
Kafes Teoremleri
Teorem
a ∧ a = a
Tanıt.
a ∧ a = a ∧ (a ∨ (a ∧ b))
Kafes Teoremleri
Teorem
a ∧ a = a
Tanıt.
a ∧ a = a ∧ (a ∨ (a ∧ b))
Kafes Teoremleri
Teorem
a � b ⇔ a ∧ b = a ⇔ a ∨ b = b
Kafes Ornekleri
Ornek
< P{a, b, c},∩,∪ >
⊆ bagıntısı
Sınırlı Kafesler
Tanım
L kafesinin altsınırı: 0∀x ∈ L 0 � x
Tanım
L kafesinin ustsınırı: I∀x ∈ L x � I
Teorem
Sonlu her kafes sınırlıdır.
Sınırlı Kafesler
Tanım
L kafesinin altsınırı: 0∀x ∈ L 0 � x
Tanım
L kafesinin ustsınırı: I∀x ∈ L x � I
Teorem
Sonlu her kafes sınırlıdır.
Sınırlı Kafesler
Tanım
L kafesinin altsınırı: 0∀x ∈ L 0 � x
Tanım
L kafesinin ustsınırı: I∀x ∈ L x � I
Teorem
Sonlu her kafes sınırlıdır.
Kafeslerde Dagılma
dagılma ozellikli kafes:
∀a, b, c ∈ L a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)∀a, b, c ∈ L a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Karsı Ornekler
Ornek
a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ c = c
Karsı Ornekler
Ornek
a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ c = c
Karsı Ornekler
Ornek
a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ c = c
Karsı Ornekler
Ornek
a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ c = c
Karsı Ornekler
Ornek
a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ c = c
Karsı Ornekler
Ornek
a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ c = c
Karsı Ornekler
Ornek
a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ c = c
Karsı Ornekler
Ornek
a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I
Karsı Ornekler
Ornek
a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I
Karsı Ornekler
Ornek
a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I
Karsı Ornekler
Ornek
a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I
Karsı Ornekler
Ornek
a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I
Karsı Ornekler
Ornek
a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I
Karsı Ornekler
Ornek
a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I
Kafeslerde Dagılma
Teorem
Bir kafes yalnız ve ancak bu iki yapıdan birine izomorfik bir altkafesiceriyorsa dagılma ozelligi gostermez.
Butunlesmeyle Indirgeme
Tanım
butunlesmeyle indirgenemez eleman:a = x ∨ y ⇒ a = x veya a = y
atom: altsınırın hemen ardından gelen,butunlesmeyle indirgenemez eleman
Butunlesmeyle Indirgeme
Tanım
butunlesmeyle indirgenemez eleman:a = x ∨ y ⇒ a = x veya a = y
atom: altsınırın hemen ardından gelen,butunlesmeyle indirgenemez eleman
Butunlesmeyle Indirgeme Ornegi
Ornek (bolunebilirlik bagıntısı)
asal sayılar ve 1 butunlesmeyle indirgenemez
1 altsınır, asal sayılar atom
Butunlesmeyle Indirgeme Ornegi
Ornek (bolunebilirlik bagıntısı)
asal sayılar ve 1 butunlesmeyle indirgenemez
1 altsınır, asal sayılar atom
Butunlesmeyle Indirgeme
Teorem
Butunlesmeyle indirgenebilir butun elemanlar, butunlesmeyleindirgenemez elemanların butunlesmesi seklinde yazılabilir.
Tumleyen
Tanım
a ile x tumleyen:a ∧ x = 0 ve a ∨ x = I
Tumlemeli Kafesler
Teorem
Sınırlı, dagılma ozellikli bir kafeste tumleyen varsa tektir.
Tanıt.
a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I
x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)
= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)
= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
Tumlemeli Kafesler
Teorem
Sınırlı, dagılma ozellikli bir kafeste tumleyen varsa tektir.
Tanıt.
a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I
x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)
= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)
= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
Tumlemeli Kafesler
Teorem
Sınırlı, dagılma ozellikli bir kafeste tumleyen varsa tektir.
Tanıt.
a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I
x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)
= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)
= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
Tumlemeli Kafesler
Teorem
Sınırlı, dagılma ozellikli bir kafeste tumleyen varsa tektir.
Tanıt.
a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I
x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)
= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)
= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
Tumlemeli Kafesler
Teorem
Sınırlı, dagılma ozellikli bir kafeste tumleyen varsa tektir.
Tanıt.
a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I
x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)
= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)
= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
Tumlemeli Kafesler
Teorem
Sınırlı, dagılma ozellikli bir kafeste tumleyen varsa tektir.
Tanıt.
a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I
x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)
= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)
= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
Tumlemeli Kafesler
Teorem
Sınırlı, dagılma ozellikli bir kafeste tumleyen varsa tektir.
Tanıt.
a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I
x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)
= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)
= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
Tumlemeli Kafesler
Teorem
Sınırlı, dagılma ozellikli bir kafeste tumleyen varsa tektir.
Tanıt.
a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I
x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)
= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)
= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
Tumlemeli Kafesler
Teorem
Sınırlı, dagılma ozellikli bir kafeste tumleyen varsa tektir.
Tanıt.
a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I
x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)
= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)
= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
Tumlemeli Kafesler
Teorem
Sınırlı, dagılma ozellikli bir kafeste tumleyen varsa tektir.
Tanıt.
a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I
x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)
= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)
= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
Tumlemeli Kafesler
Teorem
Sınırlı, dagılma ozellikli bir kafeste tumleyen varsa tektir.
Tanıt.
a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I
x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)
= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)
= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
Tumlemeli Kafesler
Teorem
Sınırlı, dagılma ozellikli bir kafeste tumleyen varsa tektir.
Tanıt.
a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I
x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)
= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)
= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
Tumlemeli Kafesler
Teorem
Sınırlı, dagılma ozellikli bir kafeste tumleyen varsa tektir.
Tanıt.
a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I
x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y) = I ∧ (x ∨ y)
= x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x)
= (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
Konular
1 Cebirsel YapılarGirisGruplarHalkalar
2 KafeslerKısmi Sıralı KumelerKafeslerBoole Cebirleri
Boole Cebri
Tanım
Boole cebri:< B,+, ·, x , 1, 0 >
a + b = b + a a · b = b · a(a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)a + 0 = a a · 1 = aa + a = 1 a · a = 0
Boole Cebri
Tanım
Boole cebri:< B,+, ·, x , 1, 0 >
a + b = b + a a · b = b · a(a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)a + 0 = a a · 1 = aa + a = 1 a · a = 0
Boole Cebri
Tanım
Boole cebri:< B,+, ·, x , 1, 0 >
a + b = b + a a · b = b · a(a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)a + 0 = a a · 1 = aa + a = 1 a · a = 0
Boole Cebri
Tanım
Boole cebri:< B,+, ·, x , 1, 0 >
a + b = b + a a · b = b · a(a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)a + 0 = a a · 1 = aa + a = 1 a · a = 0
Boole Cebri
Tanım
Boole cebri:< B,+, ·, x , 1, 0 >
a + b = b + a a · b = b · a(a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)a + 0 = a a · 1 = aa + a = 1 a · a = 0
Boole Cebri - Kafes Iliskisi
Tanım
Bir Boole cebri sonlu, dagılma ozellikli,her elemanın tumleyeninin oldugu bir kafestir.
Dualite
Tanım
dual:+ yerine ·, · yerine +0 yerine 1, 1 yerine 0
Ornek
(1 + a) · (b + 0) = bteoreminin duali:(0 · a) + (b · 1) = b
Dualite
Tanım
dual:+ yerine ·, · yerine +0 yerine 1, 1 yerine 0
Ornek
(1 + a) · (b + 0) = bteoreminin duali:(0 · a) + (b · 1) = b
Boole Cebri Ornekleri
Ornek
B = {0, 1},+ = ∨, · = ∧
Ornek
B = { 70’in bolenleri }, + = okek, · = obeb
Boole Cebri Ornekleri
Ornek
B = {0, 1},+ = ∨, · = ∧
Ornek
B = { 70’in bolenleri }, + = okek, · = obeb
Boole Cebri Teoremleri
a + a = a a · a = aa + 1 = 1 a · 0 = 0a + (a · b) = a a · (a + b) = a(a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)
a = aa + b = a · b a · b = a + b
Boole Cebri Teoremleri
a + a = a a · a = aa + 1 = 1 a · 0 = 0a + (a · b) = a a · (a + b) = a(a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)
a = aa + b = a · b a · b = a + b
Boole Cebri Teoremleri
a + a = a a · a = aa + 1 = 1 a · 0 = 0a + (a · b) = a a · (a + b) = a(a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)
a = aa + b = a · b a · b = a + b
Boole Cebri Teoremleri
a + a = a a · a = aa + 1 = 1 a · 0 = 0a + (a · b) = a a · (a + b) = a(a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)
a = aa + b = a · b a · b = a + b
Boole Cebri Teoremleri
a + a = a a · a = aa + 1 = 1 a · 0 = 0a + (a · b) = a a · (a + b) = a(a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)
a = aa + b = a · b a · b = a + b
Boole Cebri Teoremleri
a + a = a a · a = aa + 1 = 1 a · 0 = 0a + (a · b) = a a · (a + b) = a(a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)
a = aa + b = a · b a · b = a + b
Kaynaklar
Okunacak: Grimaldi
Chapter 7: Relations: The Second Time Around
7.3. Partial Orders: Hasse Diagrams
Chapter 15: Boolean Algebra and Switching Functions
15.4. The Structure of a Boolean Algebra
Recommended