Cálculo Integral UTN

UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTEFICAYA

MATEMÁTICA III

MAGISTER: Daniel Sono

CLASE 1.- Miércoles 20/01/2015

CAPÍTULO V INTEGRACIÓN DE

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

MAGISTER: Daniel Sono

CAPÍTULO V: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

• 5.1. Integrales de senos y cosenos, siendo m y n enteros positivos pares o impares.

• 5.2. Integrales de tangentes y cotangentes, siendo m y n enteros positivos pares o impares.

• 5.3. Integrales de productos entre senos y cosenos.

• 5.4. Integrales de productos entre tangentes y cotangentes.

DESARROLLO:

• 5.1. Integrales de senos y cosenos, siendo m y n enteros positivos pares o impares.

• 5.3. Integrales de productos entre senos y cosenos.

CASO 1:

Identidades Trigonométricas

Ejercicio 5:

Ejercicio 8:

CASO 2:

Ejercicio:

CASO 3:

FÓRMULAS

• cos2x= 2 cos2x -1 ≡

Ejercicio 9:

Ejercicio 7:

CASO 4:

Ejercicio 15:

-

INTEGRACIÓN DE TANGENTES Y

COTANGENTES SIENDO m Y n NÚMEROS ENTEROS

POSITIVOS PARES E IMPARES

MAGISTER: Daniel Sono

CLASE 2.-Jueves 21/01/2016

CASO 1:

Ejemplo:

CASO 2:

Ejemplo 9:

Ejercicio 10:

CASO 3:

Ejercicio:

Ejercicio:

CLASE 3.- Miércoles 27/01/2016 CASO 4:

MAGISTER: Daniel Sono

Ejemplo 15:

Ejercicio 17:

CASO 5:

Ejercicio:

CASO 6:

Ejercicio:

න𝑡𝑎𝑛2𝑥 𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥= නሺ𝑠𝑒𝑐2𝑥− 1ሻ 𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥

න(𝑠𝑒𝑐5𝑥− 𝑠𝑒𝑐3𝑥) 𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 + 𝑠𝑒𝑐5𝑥 𝑑𝑥

a b

• Resolución de a:u= du= 3 dxdv= v= tan x

Todo:

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

• CASO 1:

u=a senѲ x=a senѲ

MAGISTER: Daniel Sono

CLASE4.- Jueves 28/01/2016

Definición de las funciones trigonométricas

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B

A

��ଶ ൌ���ଶ �ଶ

Teorema de Pitágoras

Ejercicio:

CASO 2:

• u=a tanѲ

Ejercicio 3:

u=a secѲ

CLASE5.- Miércoles 03/02/2016

MAGISTER: Daniel Sono

Ejercicio 21:

MEDIDA DEL ÁREA DE UNA REGIÓN R

MAGISTER: Daniel Sono

CLASE 6.- Jueves 04/02/2016

Definición:

Sea R la región limitada por la gráfica de la curva , las rectas , y el eje x, se define la medida A del área de la región R de la siguiente forma:

Siempre que .La ecuación anterior significa que para cualquier existe un tal que , y N pertenece a los enteros positivos.

f(ci)= Número absoluto de la función.En el intervalo cerrado

INTEGRAL DEFINIDA

• Definición:Si f es una función definida en entonces la integral definida f desde , se denota por:

Notas:

• En la integral es igual:f(x)= integrandoa= límite inferior

b=límite superior

TEOREMA:

Una función f es continua en el , entonces F es integrable en . • Definición:Sea la función f continua en el y para toda x en el . Sea R la región acotada por la curva y , el eje x y las rectas . Entonces la medida del área de la región “R” está dada por:

• Definición:Si , entonces la integral de a hasta b

• Definición:Si existe, entonces:

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1. Si k es una constante, entonces:

2. 3. , donde

TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO

a. Primer teorema fundamental del cálculoSea la función f continua en el y sea x cualquier número en el . Si F en la función definida por donde es igual a la entonces,. Si , la derivada (2) puede ser una derivada por la derecha, y si , la derivada en (2) puede ser una derivada por la izquierda.b. Segundo teorema fundamental del cálculo Si la función f es continua en el y siendo g una función total que . Para toda x en , entonces:, si , la derivada de (8) puede ser una derivada por la derecha y si , la derivada en (8) puede ser una derivada por la izquierda.

EJERCICO 9.8

CLASE 7.- Miércoles 10/02/2016

MAGISTER: Daniel Sono

•

CÁLCULO DE ÁREAS• Ejercicio 5.9

V (0,4)

MAGISTER: Daniel Sono

CLASE 8.- Miércoles 11/02/2016

X -2 -1 0 1 2

Y 0 3 4 3 0

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.51

1.52

2.53

3.54

4.5

Valores Y

Valores Y

2.

V (2,4)

X -1 0 1 2 3 4 5Y -5 0 3 4 3 0 -5

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

Valores Y

Valores Y

•

, considere elementos de área perpendiculares al eje x.

V (0,1)

CLASE 9.- Miércoles 17/02/2016

MAGISTER: Daniel Sono

1)2)

X -2 -1 0 1 2

Y 5 2 1 2 5

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

1

2

3

4

5

6

Valores Yxy

X 0 -1

Y 0 0

∫0

1

𝑦𝑑𝑥=𝐼

4.

Ecuación 2 en Ecuación 1

1 -9 24 -16 1 -18 16 11 -8 16 /

X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y 2,5 2,08 1,6 1 0 1 1,6 2,08 2,5

X 0 5

Y 1,3 3

-6 -4 -2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Valores Y

Valores Y

•

5.-• Determine m de tal forma que la región sobre

la curva , a la derecha del eje y, y bajo la recta tenga un área de k unidades cuadradas, donde k

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

2

2.5

Valores Y

Valores Y