View
248
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
1
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2015
KHÓA 12 THÁNG
THÁNG 3
BÀI TOÁN THAM SỐ (TT)
KHỐI LĂNG TRỤ VÀ MẶT CẦU
Địa chỉ: H40/47 K543 TÔN ĐỨC THẮNG, Đ NẴNG.
ĐT: 0975.050.027
FACEBOOK: facebook.com/nobi39
FAGE HỌC TOÁN: LTĐH Toán “Mỗi tuần một chuyên đề”
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
2
LỜI NÓI ĐẦU
Các em thân mến.
Thấm thoát đã mười hai năm, từ cái ngày đầu đến trường còn
rụt rè bỡ ngỡ, giờ đây các em đã đi đến những ngày tháng cuối cùng
của thời học sinh.Năm cuối cùng của khoảng thời gian đẹp nhất của
cuộc đời và đây cũng là năm quan trọng làm tiền đề cho tương lai
của các em.
Kể từ hôm nay, các em sẽ lần lượt trải qua những thử thách
khó khăn của cuộc sống.Thử thách đầu tiên các em phải trải qua đó
là kì thi đại học. Đây là một thử thách không có chổ cho những suy
nghĩ bồng bột, lười nhác…
Để giúp các em có sự chuẩn bị tốt hơn, thầy đã soạn ra tuyển
tập các chuyên đề ôn thi đại học Môn Toán.
Hy vọng những chuyên đề mà thầy soạn, sẽ giúp các em trang
bị tốt hơn kiến thức, giúp các em có thể vượt qua thử thách đầu tiên
của cuộc đời một cách dễ dàng hơn.
Đây là lần đầu tiên thầy soạn chuyên đề, nên không tránh khỏi
sai sót…các em đọc và góp ý để thầy chỉnh sửa kịp thời, để các em
khóa sau có sự chuẩn bị tốt hơn các em nhá.
Chúc các em học tốt.
Địa chỉ: H40/47 K543 TÔN ĐỨC THẮNG, Đ NẴNG.
ĐT: 0975.050.027
FACEBOOK: facebook.com/nobi39
FAGE HỌC TOÁN: LTĐH Toán “Mỗi tuần một chuyên đề”
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
3
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
1 PHẦN 1. BÀI TOÁN THAM SỐ (TT).
CHƢƠNG III: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. Lý thuyết
1. Ý nghĩa hình học
Cho hàm số ( ) có đồ thị là ( ), một điểm ( ; ) ( ). Phương trình đường thẳng tiếp xúc với ( ) tại có phương
trình
( )( ) .
2. Sự tiếp xúc
Cho hàm số ( ) có đồ thị là ( ), ( ) có đồ thị là
( ). Đồ thị ( ) ( ) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ sau
{ ( ) ( )
( ) ( )( )
có nghiệm.
3. Đặc điểm phƣơng trình tiếp tuyến
Nếu ( ) là đường con bậc 3 thì số tiếp tuyến với ( ) bằng số
tiếp điểm.
Đường thẳng không phải là tiếp tuyến của ( ) II. Bài toán
1. Bài toán về tiếp tuyến tại M cho trƣớc trên ( ) Phương pháp
- Gọi ( ; ) ( ) là tọa độ tiếp điểm
- Phương trình đường thẳng tiếp tuyến với ( ) tại có
phương trinh ( )( )
Ví dụ 1.
Cho ( )
Viết phương trình tiếp biết tiếp tuyết vuông góc
Giải
TXĐ:
Gọi ( ; ) tiếp điểm. Tiếp tuyến cần tìm có dạng
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
2 (
)( )
Vì tiếp tuyến vuông góc với
nên
( ) Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng
Ví dụ 2. Cho
( )
Viết phương trình tiếp tuyến với ( ) cắt trục hoành, trục tung
lần lượt tại sao cho tam giác vuông cân.
Giải
TXĐ: *
+
( )
Gọi ( ; ) tiếp điểm. Tiếp tuyến cần tìm có dạng
( )
( ) ( )
Vì vuông cân tại O nên
( )
|
( ) |
Với ( ) (loại)
Với ( ) .
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm
.
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
3
Ví dụ 3. Cho
( )
Tìm ( ) sao cho tiếp tuyến với ( ) tại M cắt trục hoành,
trục tung lần lượt tại sao cho diện tích tam giác bằng
Giải
TXĐ: * +
( )
Gọi ( ;
) là điểm cần tìm. Tiếp tuyến với (C) tại
có dạng
( ) ( )
Cho (
( ) )
Cho ( )
( )
( )
[
( )
(
)
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
4
Ví dụ 4. Cho
( ) Tìm m để ( ) cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt A,
D, E sao cho tiếp tuyến tại D, E với ( ) (có hoành độ khác 0) vuông
góc nhau.
Giải
TXĐ:
Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) cắt đường thẳng
( ) Để ( ) cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt A, D, E
thì phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt
{
( ) {
Gọi 3 giao điểm là ( ) ( ) ( ) Tiếp tuyến tại D và E vuông góc nhau cho ta
( ) ( )
( )(
) Áp dụng định lý Viet ta được
√
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
5
2. Bài toán về tiếp tuyến qua ( ) cho trƣớc.
Phương pháp
- Đường thẳng không là tiếp tuyến của hàm số. Phương
trình đường thắng d qua M tiếp xúc với đồ thị có dạng
( )
- Gọi là hoành độ tiếp điểm. Khi đó
{ ( ) ( ) ( )
( ) ( )
- Thế (2) vào (1), tìm nghiệm.
Ví dụ 1.
Cho ( ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) đi qua ( )
Giải
TXĐ:
Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của ( ) nên
phương trình đường thẳng d qua ( ) là tiếp tuyến của ( ) có
dạng
( )
Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d và ( ). Khi đó
{
( ) ( )
( )
Thế (2) vào (1) ta được
( )( )
[
[
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
6
Ví dụ 2. Cho
( ) Tìm M trên ( ) sao cho qua M có duy nhất một tiếp tuyến.
Giải
TXĐ:
Gọi ( ) ( ) là điểm cầ tìm.
Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của ( ) nên
phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của ( ) có dạng
( )
Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d tiếp xúc ( ). Khi đó
{
( ) ( )
( )
Thế (2) vào (1) ta được
( )
( ), ( ) -
( ) ( )
[
Vì đƣờng cong bậc 3 có số tiếp tuyến bằng số tiếp điểm nên
để từ M chỉ có một tiếp tuyến với (C) thì
( ) Nhận xét: Điểm M cần tìm ở đây chính là điểm uốn.
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
7
Ví dụ 3. Cho
( ) Tìm M trên trục hoành sao cho qua M có 3 tiếp tuyến tới ( )
Giải
TXĐ:
Gọi ( ) là điểm cầ tìm.
Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của ( ) nên
phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của ( ) có dạng
( ) Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d tiếp xúc ( ).
Khi đó
{
( ) ( )
( )
Thế (2) vào (1) ta được
( ), ( ) -
Đồ thì bậc ba có số tiếp tuyến bằng số tiếp điểm nên, để từ M
vẽ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị thì phương trình ( )
( ) có hai nghiệm phân biệt
{
( ) {
Ví dụ 4. Cho
( )
Tìm ( ) sao cho qua M có duy nhất một tiếp tuyến duy
nhất.
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
8 Giải
TXĐ: * +
( )
Gọi ( ; ) là điểm cần tìm.
Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của ( ) nên
phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của ( ) có dạng
( )
Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d tiếp xúc ( ). Khi đó
{
( ) ( )
( ) ( )
Thế (2) vào (1) ta được
( ) ( )
Để từ M có duy nhất một tiếp thì phương trình (*) có nghiệm
duy nhất khác 1.
1.
{
( ) 0
{
( )
Với
( ) ( ) ( ) ( )
Vậy có 4 điểm trên d thỏa yêu cầu bài toán.
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
9
Ví dụ 5. Cho
( )
Tìm sao cho qua M vẽ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị sao
cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía trục hoành.
Giải
TXĐ: * +
( )
Gọi ( ) là điểm cần tìm.
Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của ( ) nên
phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của ( ) có dạng
Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d tiếp xúc ( ). Khi đó
{
( )
( ) ( )
Thế (2) vào (1) ta được
( ) ( ) ( )
Để từ M có 2 tiếp tuyến tới đồ thị thì phương trình (*) có 2
nghiệm phân biệt khác 1.
{ ( )
{
( )
Gọi .
/ .
/ là 2 tiếp điểm. Để A, B nằm về
2 phía trục hoành thì
( )
( ) ( )
Vì là nghiệm của phương trình (*) nên
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
10 {
( )
Thế vào (1’) ta được
Kết hợp với (**) ta được
{
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
11 CHƢƠNG IV: SỰ TƢƠNG GIAO
I. Lý thuyết
1. Ý nghĩa hình học
Cho hàm số ( ) có đồ thị là ( ), hàm số ( ) có đồ
thị là ( ). ( ) và ( ) giao nhau tại m điểm phân biệt khi và chỉ khi
phương trình hoành độ giao điểm sau có m nghiệm phân biệt
( ) ( ). 2. Mối liên hệ giữa số giao điểm của đƣờng cong bậc 3 (C)
với trục ox và cực trị của nó.
a) (C) giao trục hoành tại 3 điểm phân biệt b) (C) giao trục hoành tại 2 điểm phân biệt c) (C) giao trục hoành tại 1 điểm phân biệt
hoặc (C) không có cực trị.
II. Bài toán
1. Các bài toán cơ bản.
Ví dụ 1.
Cho ( )
Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành
độ sao cho
Giải
TXĐ:
Phương trình hoành độ giao điểm
( )
( )( )
0
Đặt . Để đồ thị giao trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì
phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt
khác 1.
{
( ) {
( )
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
12 Giả thiết
( )
Kết hợp với (*) ta được
{
Ví dụ 2. Cho
( )
và ( )
Tìm m để ( ) và ( ) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B sao
cho √
Giải
TXĐ: * + Phương trình hoành độ giao điểm
{
( )
Để ( ) và ( ) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B thì phương
trình ( ) ( ) có hai nghiệm phân biệt
khác -1
{ ( )
( )
Gọi ( ) ( ) Khi đó
√ ( ) √ ( )
√
( ( )) | |
√ | |√ √
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
13
Ví dụ 3.
Cho ( ) ( ) Tìm m để ( ) và cắt nhau tại 4 điểm phân biệt có
hoành độ bé hơn 2.
Giải
TXĐ:
Phương trình hoành độ giao điểm
( )
Đặt . Để ( ) và cắt nhau tại 4 điểm phân
biệt có hoành độ bé hơn 2 thì phương trình ( ) ( ) có 2 nghiệm phân biệt thỏa
{
{
( ) ( )
{
{
Ví dụ 4.
Cho ( ) ( ) ( ) Tìm m để ( ) và cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ lớn hơn 1.
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
14 Giải
TXĐ:
Phương trình hoành độ giao điểm
( ) ( )
( )( )
0
Để ( ) và cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ lớn hơn 1 thì phương trình ( )
có hai nghiệm phân biệt và
{
( )
{
( )
( )
Ví dụ 5.
Cho ( ) ( ) Tìm m để ( ) và cắt nhau tại 4 điểm phân biệt có hoành
độ lập thành cấp số cộng.
Giải
TXĐ:
Phương trình hoành độ giao điểm
( )
Đặt . Để ( ) và cắt nhau tại 4 điểm phân
biệt thì phương trình ( ) ( ) có 2
nghiệm phân biệt thỏa
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
15 {
( )
{
{
( )
Hoành độ các giao điểm của ( ) với lần lượt là
√ √ √ √ Để các hoành độ lập
theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì
| | ( | |) [
( )
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
16
2. Bài toán ứng dụng cực trị hàm.
Ví dụ 1.
Cho ( ) ( ) Tìm m để ( ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Giải
TXĐ:
Phương trình hoành độ giao điểm
( )
Đặt ( ) ( )
( ) ( )
Đồ thị hàm số ( ) đạt cực đại cực tiểu tại khi chỉ
khi ( ) Gọi ( ), ( ) là
cực tiểu và cực đại của hàm số ( ). Để ( ) cắt trục hoành tại
3 điểm phân biệt thì đồ thị hàm số ( ) có cực đại cực tiểu nằm
về 2 phía trục hoành. Do đó
( )( ) ( )
là nghiệm phương trình ( ) nên {
Thế vào (1), ta được ( )
Ví dụ 2.
Cho ( ) ( ) Tìm m để ( ) cắt đường thẳng ( ) tại đúng 2
điểm phân biệt.
Giải
TXĐ:
Phương trình hoành độ giao điểm
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
17
Đặt ( ) ( )
Đồ thị hàm số ( ) đạt cực đại cực tiểu tại khi chỉ
khi ( ) Gọi (
), ( ) là cực tiểu
và cực đại của hàm số ( ). Để ( ) cắt ( ) tại 2
điểm phân biệt thì đồ thị hàm số ( ) có cực đại hoặc cực tiểu
nằm trên trục hoành. Do đó
( )( )
( )
là nghiệm phương trình ( ) nên {
Thế vào (1), ta được Kết hợp với (*) ta được
Ví dụ 3.
Cho ( ) Tìm m để ( ) cắt đường thẳng ( ) tại 3 điểm
phân biệt.
Giải
TXĐ:
Phương trình hoành độ giao điểm
( )
Với ta được (vô lý)
Với ta được
( )
( )
( )
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
18 ( ) ( )( )
( )
( )
Để ( ) cắt đường thẳng ( ) tại 3 điểm phân
biệt thì đường thắng cắt đồ thị ( ) tại 3 điểm phân biệt.
Do đó
Ví dụ 4. Cho
( )
Tìm trên ( ) hai điểm A, B đối xứng nhau qua ( )
Giải
Giả sử A, B là hai điểm cần tìm. Vì A, B đối xứng nhau qua
( )
nên phương trình AB có dạng
( )
( ) cắt ( ) tại hai điểm phân biệt A, B nên phương trình hoành
độ giao điểm sau có 2 nghiệm phân biệt
{
( ) ( )
Hệ (1) có hai nghiệm phân biệt khi chỉ khi phương trình
( ) ( ) có hai nghiệm phân biệt
khác 1
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
19 {
( ) √ √ ( ).
Gọi ( ) ( ).
(
( ) )
Vì A, B đối xứng nhau qua d nên :
( )
( )
( )
Kết hợp (*) ta được √
√
( √
√ ) (
√
√ )
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
20
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho hàm số
( )
Viết phương trình tiếp tuyến với ( ) cắt tiệm cận ngang và
đứng lần lượt tại sao cho là giao điểm 2 tiệm cận.
Bài 2: Cho hàm số
( )
Tìm trên ( ) các điểm M sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm
cận của đồ thị tại A, B sao cho AB ngắn nhất.
Bài 3: Cho hàm số
( )
M là điểm bất kì trên đồ thị. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận
của đồ thị tại A, B. I là giao điểm 2 tiệm cận. Tìm M sao cho đường
tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích tam giác IAB nhỏ nhất.
Bài 4: Cho hàm số
( )
I là giao điểm 2 tiệm cận. Đường thẳng là tiếp tuyến bất kì
của đồ thị. Tìm giá trị lớn nhất của ( ) Bài 5: Cho hàm số
( )
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết rằng tiếp tuyến
cách đều ( ) ( ) Bài 6: Cho hàm số ( ) Tìm trên đường thẳng các điểm từ đó kẻ được đúng 2
tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị.
Bài 7: Cho hàm số ( ) Tìm trên đường thẳng các điểm từ đó kẻ được 3 tiếp
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
21 tuyến phân biệt tới đồ thị.
Bài 8: Cho hàm số ( ) Tìm trên ( ) những điểm là từ đó có duy nhất một tiếp tuyến
với đồ thị.
Bài 9: Cho hàm số ( ) Tìm m để phương trình đường thẳng d qua ( ) có hệ số
góc m cắt ( ) tại ba điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến của
( ) tại N, P (có hoành độ khác -1) vuông góc nhau.
Bài 10 Cho
( )
Tìm m để ( ) và cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ bé hơn 15.
Bài 11: Cho hàm số ( ) ( ) Tìm m để ( ) cắt ( ) tại 3 điểm phân biệt A, B, C
(B, C có hoành độ khác 0) sao cho √ ( ) Bài 12: Cho hàm số ( ) ( ) Tìm m để ( ) cắt ( ) tại một điểm duy nhất.
Bài 13:Cho ( ) ( ) Tìm m để ( ) cắt tại 3 điểm phân biệt có hoành
độ bé hơn 3.
Bài 14:Cho hàm số ( )
Tìm để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 4 điểm
phân biệt theo thứ tự sao Bài 15: Cho hàm số
( )
Viết phương trình đường thẳng d qua ( ) và cắt ( ) tại
hai điểm phân biệt M, N sao cho I là trung điểm MN.
Bài 16: Cho hàm số
( )
Tìm m để ( ) cắt đường thẳng ( ) tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O.
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
22
PHẦN 2. HÌNH KHÔNG GIAN (TT)
Vấn đề 3: Khối lăng trụ và các bài toán liên quan
I. Vài khái niệm cần nhớ:
Hình lăng trụ là hình có 2 đáy là 2 đa giác bằng nhau và
nằm ở 2 mp song song.
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc
với mặt đáy. Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng và có đáy là đa giác
đều.
Hình hộp là hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành.
Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng và có đáy là hình
chữ nhật.
Chú ý:
Khi tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ngoài
cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng thì ta còn một
cách nữa không cần biết hình chiếu vuông góc ở đâu ta vẫn tính được
khoảng cách nhờ công thức tính thể tích. Ví dụ :
.3.( , ( )) S ABC
SBC
Vd A SBC
S
Trong hình lăng trụ có nhiều yếu tố song song nên ta đặc biệt
chú ý đến điểm này để áp dụng cho kĩ thuật “đổi đỉnh” trong bài
toán về khoảng cách.
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
23
II. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình hộp đứng có đáy là
hình vuông, vuông cân, . Tính ( ( )) theo
Phân tích: Tính ( ( )) Việc tìm hình chiếu vuông góc của lên ( ) của ta gặp
chút khó khăn đây…ta thử xét theo hướng khác xem thử có đơn giản
hơn không?
Giải. Ta có
vuông cân tại suy ra
√
√ √
√
Suy ra
√
( )
( )
Do đó
( ( ))
√
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
24 Bài toán được giải quyết một cách nhẹ nhàng rồi.
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ đứng có
5 và . Gọi M là trung điểm của
CC’. Tính ( ( )) và ( ( )) theo .
Giải :
Cách truyền thống
Gọi là chân đường cao kẻ từ của tam giác Ta có: và suy ra ( ) hay
( ( )) √
Cách dùng thể tích
√
√
( )
Ta tiếp tục ý tưởng ở ví dụ 1.
( ( ))
Ta có
√ ( )
√
( )
√
( )
√ ( )
Do đó
( ( )) √
( ( ))
√
(chú ý A’BM vuông tại ).
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
25
Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ có đáy là
hình chữ nhật 3 Hình chiếu vuông góc của
điểm lên ( ) trùng với giao điểm của và . Mặt phẳng
( ) tạo với mặt đáy một góc 600. Tính ( ( )) theo .
Giải:
Từ giả thiết suy ra ( ) Gọi là trung điểm của , ta dễ dàng xác định được
(( ) ( )) Ta có:
( ( ))
Việc tính của ta gặp chút khó khăn ?
Ta thử chuyển hƣớng nhé:
( ( )) ( ( ))
Bây giờ việc tính toán của
ta sẽ đơn giản hơn nhiều
√
( ( )) √
( )
Ngoài ra, nếu ta chú ý hơn một chút thì ta có thể tính trực
tiếp ( ( )) nhƣ sau :
Gọi là chân đường cao kẻ từ của tam giác Ta có: và suy ra ( ) hay
( )) √
( )
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
26 Chú ý : Bài trên ta đã thực hiện kĩ thuật đổi đỉnh. Và quả thật
nó rất hiệu quả.
Ví dụ 4. Cho lăng trụ tam giác đều có ,
góc giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) bằng 600. Tính ( )
theo với là trung điểm của
Giải :
Dễ dàng xác định được (( ) ( )) = 600. Và
Tính ( ) Nhận xét : và suy ra ( )
hay Trong mp ( ) từ kẻ tại
Ta có và nên là đoạn vuông góc
chung của và
( )
√
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
27
Vấn đề 4: Bài toán tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp
I. Nhắc lại:
1. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu đi qua các đỉnh của
hình chóp.
2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là điểm cách đều các đỉnh
của hình chóp.
3. Tâm đường tròn ngoại tiếp của:
- Tam giác đều là trọng tâm của tam giác.
-Tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
- Hình vuông là giao điểm của hai đường chéo.
- Hình chữ nhật là giao điểm của hai đường chéo.
4. Trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường thẳng đi qua
tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác và vuông góc với mặt phẳng chứa
đa giác đó.
5. Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mp đi qua trung
điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
6. Diện tích của mặt cầu :
7. Thể tích của khối cầu :
, với R là bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp.
II. Phƣơng pháp tìm tâm đƣờng mặt cầu ngoại tiếp
B1. Tìm đường thẳng d là trục của đường tròn ngoại tiếp đa
giác đáy.
B2. Tìm mặt trung trực ( ) (hay là đường trung trực ) của
cạnh bên.
(…. tìm như thế nào cho thích hợp Thầy trò mình nói trên
lớp nhé ….)
Khi đó : giao điểm của 2 đường thẳng d và là tâm mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp.
Lƣu ý: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thông thường sẽ
được tìm thông qua 2 cách:
- Các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
28 - Sử dụng tam giác đồng dạng.
III. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng
a√ , góc giữa cạnh bên với mặt đáy bẳng 600. Hãy xác định tâm và
tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo
Giải:
Gọi .
Và ( ( )) =( ) = 600 suy ra SO = a√ và
SD = 2a.
Khi đó : ( ) hay SO là trục của đường tròn ngoại
tiếp hình vuông
Gọi K là trung điểm của SD.
Trong mp ( ) dựng đường trung trực của cạnh cắt
cạnh SO tại I
Suy ra hay là tâm mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp Bán kính
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
29
√
Nhận xét : tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là
tìm điểm cách đều các đỉnh A, B, C , D, S.
Chính vì vậy trong bài toán trên với nhận xét là
2 tam giác đều. Gọi I là trọng tâm của thì I cũng là trọng tâm
của . Khi đó : hay I là tâm mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD. Việc tính bán kính IS cũng sẽ nhẹ
nhàng hơn rất nhiều.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S có đáy là hình vuông
tâm , cạnh ( ) và SAC vuông cân.
Hãy xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp theo a.
Giải :
Trong mp ( ) - Dựng đường thẳng qua và song song với Mà
( ) ( ) hay là trục của đường tròn
ngoại tiếp hình vuông - Dựng đường trung trực của cạnh , cắt d tại I.(I là
trung điểm của SC )
Khi đó :
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
30 Suy ra hay là tâm mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp
Bán kính √ √ Nhận xét : ba điểm cùng nhìn cạnh dưới một góc
vuông nên gọi I là trung điểm SC thì ta có
hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp và bán kính
√
Chú ý:
Hai ví dụ trên chỉ là một vài trường hợp đặc biệt , ta sẽ tiếp tục
với các ví dụ khác.
Ví dụ 3. Cho hình chóp đáy là tam giác đều cạnh
bằng a√ . vuông góc với mặt phẳng ( ) Hãy xác
định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
theo a.
Giải :
Gọi G là trọng tâm . Trong mp ( ): - Dựng đường thẳng d qua và song song với
Mà SA ( ) nên ( ) hay d là trục của đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC.
- Dựng đường trung trực của cạnh SA, cắt d tại I. Khi đó :
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
31 Suy ra : hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp
Bán kính √ = √
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B,
AB = BC = 2a. SB vuông góc với (ABC). Mặt phẳng (SAC) tạo với
mặt đáy một góc 300. Hãy xác định tâm I và tính bán kính R của mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a
Giải :
Gọi là trung điểm của Dễ dàng được: (( ) ( )) 30
0.
Trong ( ) - Dựng đường thẳng qua và song song với
Mà ( ) nên ( ) hay d là trục của đường tròn
ngoại tiếp tam giác - Dựng đường trung trực của cạnh SB, cắt d tại I. Khi đó :
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
32 Suy ra : hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp
Bán kính √ √
Ví dụ 5. Cho hình chóp S có đáy là hình vuông
tâm , cạnh bằng a√ . Mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với ( ) Hãy xác định tâm và tính bán kính
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo
Giải :
Gọi là trung điểm của , chứng minh được (ABCD)
là trọng tâm của tam giác Trong ( ) - Dựng đường thẳng qua và song song với .
Mà ( ) nên ( ) hay d là trục của đường tròn
ngoại tiếp hình vuông - Dựng đường thẳng qua và song song với
Mà ( ) nên (SAB) hay là trục của đường tròn
ngoại tiếp SAB. Và cắt tại Khi đó:
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
33 Suy ra : hay là tâm mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp
√ √
Vấn đè 5. Bài toán tính góc trong không gian
Cần chú ý:
( ) | ( )| |
|
Ví dụ 1 Cho hình chóp có đáy hình vuông
cạnh √ . Mặt ( ) vuông góc đáy. Gọi
lần lượt là trung điểm của . Tính thể tích khối chóp
theo a và tính ( )
Giải
Trong ( ) kẻ ( ) Suy ra ( )
Ta có: √ nên vuông tại
Do đó :
√
Lại có
Ta có :
√
( ) Ta có
( ) Mặt khác
( )( )
Do đó
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
34 ( )
( )
Tam giác vuông tại nên
Suy ra √
Tam giác vuông tại nên √ √
Thay vào (1), ta được
( )
√
( ) √
Ví dụ 2
Cho hình lập phương cạnh Tính
( ) theo a.
Gọi lần lượt là trung điểm của Tính góc
( )
Giải
Gọi ( ), suy ra là hình bình hành
( )
( ) ( ( )) ( ( )) Vì ( ) * + nên
( ( ))
( ( ))
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
35
Ta có
{
( ).
( ) ( ) theo giao tuyến . Trong ( ), kẻ ( ) ta được
( ) suy ra ( ( ) Tam giác vuông tại , có là đường cao nên
√
( ) √
( )
Tính góc ( )
( ) Mặt khác
( ) . /
Do đó: ( )
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
36
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam
giác vuông tại gọi là trung
điểm của cạnh là giao điểm của . Tính thể tích khối
tứ diện IABC và ( ( )) theo
Bài 2. Cho hình lăng có đáy là hình
vuông cạnh cạnh bên Hình chiếu vuông góc của lên
mặt phẳng ( ) trùng với trung điểm của . Gọi là trung
điểm của Tính thể tích tứ diện và ( ( )) theo
Bài 3. Cho hình lăng trụ có đáy là tam giac
đều cạnh a. Đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc 300.
Gọi lần lượt là trung điểm Tính thể tích khối lăng trụ
và ( ( )) theo a, với là trọng tâm của
Bài 4. Cho lăng trụ , biết là hình chóp đều
có cạnh đáy bằng a. Góc giữa hai mặt phẳng A BC và BCC B
bằng 900. Tính thể tích khối lăng trụ .ABC A B C và ( )
theo a.
Bài 5. Cho lăng trụ có đáy là tam giác vuông
cân tại Gọi là trọng tâm của tam giác Biết rằng
vuông góc với mặt đáy ( ) và tạo với mặt đáy một góc
bằng 600. Tính thể tích khối chóp và ( ) theo
Bài 6. Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác
đều cạnh Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng ( )
là điểm thỏa 2.DC DB . Đường thẳng tạo với ( ) một
góc 450. Tính thể tích khối lăng trụ và côsin của góc tạo
bởi hai đường thẳng BB’ và AC.
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
37
Bài 7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và b. Gọi là trung điểm của Mặt phẳng ( ) chia hình
lập phương thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa
diện này.
Bài 8. Cho hình lăng trụ có đáy là hình
vuông cạnh Gọi lần lượt là trung điểm của Hình
chiếu vuông góc của lên mặt phẳng ( ) trùng với giao điểm
của và Góc giữa hai mặp phẳng ( ) và ( ) bằng 060 . Tính thể tích khối lăng trụ và ( ) theo
a.
Bài 9. Cho lăng trụ tam giác đều C’ có góc
giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) bằng 600. Gọi là trọng tâm
của tam giác Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện theo
Bài 10. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy Mặt bên tạo với mp mặt đáy một góc 60
0. Hãy xác định tâm và tính
bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
√ ( )
a. Hãy xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp b. Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các
cạnh Hãy xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu
( ) đi qua các điểm
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
38
Bài 12. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông
tại √ góc giữa mặt phẳng ( ) và mặt phẳng
đáy bằng tam giác cân tại thuộc mặt phẳng vuông góc với
mặt phẳng đáy. Tính thể tích hình chóp và thể tích khối cầu
ngoại tiếp hình chóp .
Bài 13. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh
tâm 2 mặt phẳng ( ) ( ) cùng vuông góc với
đáy, mặt phẳng ( ) tạo với đáy một góc
√ Tính thể
tích của khối chóp và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Bài 14. Cho hình chóp có đáy hình vuông cạnh
√ . Mặt ( ) vuông góc đáy. Gọi lần lượt
là trung điểm của . Tính thể tích khối chóp theo a và
tính ( )
Bài 15. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh
√ ( ) vuông góc đáy. lần lượt là trung
điểm Tính thể tích hình chóp và ( )
Bài 16. Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác
vuông tại √ ( ) ( ) và
(( ) ( )) Tính thể tích theo . Giả
sử √ , tính góc giữa hai đường thẳng .
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
39
Recommended