Chuyên đề đẳng thức tổ hợp dành cho mọi người

Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP

1

LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2015

KHÓA 12 THÁNG

THÁNG 3

BÀI TOÁN THAM SỐ (TT)

KHỐI LĂNG TRỤ VÀ MẶT CẦU

Địa chỉ: H40/47 K543 TÔN ĐỨC THẮNG, Đ NẴNG.

ĐT: 0975.050.027

FACEBOOK: facebook.com/nobi39

FAGE HỌC TOÁN: LTĐH Toán “Mỗi tuần một chuyên đề”

http://www.vietmaths.com/




2

LỜI NÓI ĐẦU

Các em thân mến.

Thấm thoát đã mười hai năm, từ cái ngày đầu đến trường còn

rụt rè bỡ ngỡ, giờ đây các em đã đi đến những ngày tháng cuối cùng

của thời học sinh.Năm cuối cùng của khoảng thời gian đẹp nhất của

cuộc đời và đây cũng là năm quan trọng làm tiền đề cho tương lai

của các em.

Kể từ hôm nay, các em sẽ lần lượt trải qua những thử thách

khó khăn của cuộc sống.Thử thách đầu tiên các em phải trải qua đó

là kì thi đại học. Đây là một thử thách không có chổ cho những suy

nghĩ bồng bột, lười nhác…

Để giúp các em có sự chuẩn bị tốt hơn, thầy đã soạn ra tuyển

tập các chuyên đề ôn thi đại học Môn Toán.

Hy vọng những chuyên đề mà thầy soạn, sẽ giúp các em trang

bị tốt hơn kiến thức, giúp các em có thể vượt qua thử thách đầu tiên

của cuộc đời một cách dễ dàng hơn.

Đây là lần đầu tiên thầy soạn chuyên đề, nên không tránh khỏi

sai sót…các em đọc và góp ý để thầy chỉnh sửa kịp thời, để các em

khóa sau có sự chuẩn bị tốt hơn các em nhá.

Chúc các em học tốt.

Địa chỉ: H40/47 K543 TÔN ĐỨC THẮNG, Đ NẴNG.

ĐT: 0975.050.027

FACEBOOK: facebook.com/nobi39

FAGE HỌC TOÁN: LTĐH Toán “Mỗi tuần một chuyên đề”





3





1 PHẦN 1. BÀI TOÁN THAM SỐ (TT).

CHƢƠNG III: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I. Lý thuyết

1. Ý nghĩa hình học

Cho hàm số ( ) có đồ thị là ( ), một điểm ( ; ) ( ). Phương trình đường thẳng tiếp xúc với ( ) tại có phương

trình

( )( ) .

2. Sự tiếp xúc

Cho hàm số ( ) có đồ thị là ( ), ( ) có đồ thị là

( ). Đồ thị ( ) ( ) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ sau

{ ( ) ( )

( ) ( )( )

có nghiệm.

3. Đặc điểm phƣơng trình tiếp tuyến

Nếu ( ) là đường con bậc 3 thì số tiếp tuyến với ( ) bằng số

tiếp điểm.

Đường thẳng không phải là tiếp tuyến của ( ) II. Bài toán

1. Bài toán về tiếp tuyến tại M cho trƣớc trên ( ) Phương pháp

- Gọi ( ; ) ( ) là tọa độ tiếp điểm

- Phương trình đường thẳng tiếp tuyến với ( ) tại có

phương trinh ( )( )

Ví dụ 1.

Cho ( )

Viết phương trình tiếp biết tiếp tuyết vuông góc

Giải

TXĐ:

Gọi ( ; ) tiếp điểm. Tiếp tuyến cần tìm có dạng





2 (

)( )

Vì tiếp tuyến vuông góc với

nên

( ) Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng

Ví dụ 2. Cho

( )

Viết phương trình tiếp tuyến với ( ) cắt trục hoành, trục tung

lần lượt tại sao cho tam giác vuông cân.

Giải

TXĐ: *

+

( )

Gọi ( ; ) tiếp điểm. Tiếp tuyến cần tìm có dạng

( )

( ) ( )

Vì vuông cân tại O nên

( )

|

( ) |

Với ( ) (loại)

Với ( ) .

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm

.





3

Ví dụ 3. Cho

( )

Tìm ( ) sao cho tiếp tuyến với ( ) tại M cắt trục hoành,

trục tung lần lượt tại sao cho diện tích tam giác bằng

Giải

TXĐ: * +

( )

Gọi ( ;

) là điểm cần tìm. Tiếp tuyến với (C) tại

có dạng

( ) ( )

Cho (

( ) )

Cho ( )

( )

( )

[

( )

(

)





4

Ví dụ 4. Cho

( ) Tìm m để ( ) cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt A,

D, E sao cho tiếp tuyến tại D, E với ( ) (có hoành độ khác 0) vuông

góc nhau.

Giải

TXĐ:

Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) cắt đường thẳng

( ) Để ( ) cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt A, D, E

thì phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt

{

( ) {

Gọi 3 giao điểm là ( ) ( ) ( ) Tiếp tuyến tại D và E vuông góc nhau cho ta

( ) ( )

( )(

) Áp dụng định lý Viet ta được

√





5

2. Bài toán về tiếp tuyến qua ( ) cho trƣớc.

Phương pháp

- Đường thẳng không là tiếp tuyến của hàm số. Phương

trình đường thắng d qua M tiếp xúc với đồ thị có dạng

( )

- Gọi là hoành độ tiếp điểm. Khi đó

{ ( ) ( ) ( )

( ) ( )

- Thế (2) vào (1), tìm nghiệm.

Ví dụ 1.

Cho ( ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) đi qua ( )

Giải

TXĐ:

Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của ( ) nên

phương trình đường thẳng d qua ( ) là tiếp tuyến của ( ) có

dạng

( )

Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d và ( ). Khi đó

{

( ) ( )

( )

Thế (2) vào (1) ta được

( )( )

[

[





6

Ví dụ 2. Cho

( ) Tìm M trên ( ) sao cho qua M có duy nhất một tiếp tuyến.

Giải

TXĐ:

Gọi ( ) ( ) là điểm cầ tìm.


phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của ( ) có dạng

( )

Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d tiếp xúc ( ). Khi đó

{

( ) ( )

( )


( )

( ), ( ) -

( ) ( )

[

Vì đƣờng cong bậc 3 có số tiếp tuyến bằng số tiếp điểm nên

để từ M chỉ có một tiếp tuyến với (C) thì

( ) Nhận xét: Điểm M cần tìm ở đây chính là điểm uốn.





7

Ví dụ 3. Cho

( ) Tìm M trên trục hoành sao cho qua M có 3 tiếp tuyến tới ( )

Giải

TXĐ:

Gọi ( ) là điểm cầ tìm.



( ) Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d tiếp xúc ( ).

Khi đó

{

( ) ( )

( )


( ), ( ) -

Đồ thì bậc ba có số tiếp tuyến bằng số tiếp điểm nên, để từ M

vẽ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị thì phương trình ( )

( ) có hai nghiệm phân biệt

{

( ) {

Ví dụ 4. Cho

( )

Tìm ( ) sao cho qua M có duy nhất một tiếp tuyến duy

nhất.





8 Giải

TXĐ: * +

( )

Gọi ( ; ) là điểm cần tìm.



( )


{

( ) ( )

( ) ( )


( ) ( )

Để từ M có duy nhất một tiếp thì phương trình (*) có nghiệm

duy nhất khác 1.

1.

{

( ) 0

{

( )

Với

( ) ( ) ( ) ( )

Vậy có 4 điểm trên d thỏa yêu cầu bài toán.





9

Ví dụ 5. Cho

( )

Tìm sao cho qua M vẽ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị sao

cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía trục hoành.

Giải

TXĐ: * +

( )

Gọi ( ) là điểm cần tìm.




{

( )

( ) ( )


( ) ( ) ( )

Để từ M có 2 tiếp tuyến tới đồ thị thì phương trình (*) có 2

nghiệm phân biệt khác 1.

{ ( )

{

( )

Gọi .

/ .

/ là 2 tiếp điểm. Để A, B nằm về

2 phía trục hoành thì

( )

( ) ( )

Vì là nghiệm của phương trình (*) nên





10 {

( )

Thế vào (1’) ta được

Kết hợp với (**) ta được

{





11 CHƢƠNG IV: SỰ TƢƠNG GIAO

I. Lý thuyết

1. Ý nghĩa hình học

Cho hàm số ( ) có đồ thị là ( ), hàm số ( ) có đồ

thị là ( ). ( ) và ( ) giao nhau tại m điểm phân biệt khi và chỉ khi

phương trình hoành độ giao điểm sau có m nghiệm phân biệt

( ) ( ). 2. Mối liên hệ giữa số giao điểm của đƣờng cong bậc 3 (C)

với trục ox và cực trị của nó.

a) (C) giao trục hoành tại 3 điểm phân biệt b) (C) giao trục hoành tại 2 điểm phân biệt c) (C) giao trục hoành tại 1 điểm phân biệt

hoặc (C) không có cực trị.

II. Bài toán

1. Các bài toán cơ bản.

Ví dụ 1.

Cho ( )

Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành

độ sao cho

Giải

TXĐ:

Phương trình hoành độ giao điểm

( )

( )( )

0

Đặt . Để đồ thị giao trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì

phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt

khác 1.

{

( ) {

( )





12 Giả thiết

( )

Kết hợp với (*) ta được

{

Ví dụ 2. Cho

( )

và ( )

Tìm m để ( ) và ( ) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B sao

cho √

Giải

TXĐ: * + Phương trình hoành độ giao điểm

{

( )

Để ( ) và ( ) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B thì phương

trình ( ) ( ) có hai nghiệm phân biệt

khác -1

{ ( )

( )

Gọi ( ) ( ) Khi đó

√ ( ) √ ( )

√

( ( )) | |

√ | |√ √





13

Ví dụ 3.

Cho ( ) ( ) Tìm m để ( ) và cắt nhau tại 4 điểm phân biệt có

hoành độ bé hơn 2.

Giải

TXĐ:


( )

Đặt . Để ( ) và cắt nhau tại 4 điểm phân

biệt có hoành độ bé hơn 2 thì phương trình ( ) ( ) có 2 nghiệm phân biệt thỏa

{

{

( ) ( )

{

{

Ví dụ 4.

Cho ( ) ( ) ( ) Tìm m để ( ) và cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có

hoành độ lớn hơn 1.





14 Giải

TXĐ:


( ) ( )

( )( )

0

Để ( ) và cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có

hoành độ lớn hơn 1 thì phương trình ( )

có hai nghiệm phân biệt và

{

( )

{

( )

( )

Ví dụ 5.

Cho ( ) ( ) Tìm m để ( ) và cắt nhau tại 4 điểm phân biệt có hoành

độ lập thành cấp số cộng.

Giải

TXĐ:


( )

Đặt . Để ( ) và cắt nhau tại 4 điểm phân

biệt thì phương trình ( ) ( ) có 2

nghiệm phân biệt thỏa





15 {

( )

{

{

( )

Hoành độ các giao điểm của ( ) với lần lượt là

√ √ √ √ Để các hoành độ lập

theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì

| | ( | |) [

( )





16

2. Bài toán ứng dụng cực trị hàm.

Ví dụ 1.

Cho ( ) ( ) Tìm m để ( ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

Giải

TXĐ:


( )

Đặt ( ) ( )

( ) ( )

Đồ thị hàm số ( ) đạt cực đại cực tiểu tại khi chỉ

khi ( ) Gọi ( ), ( ) là

cực tiểu và cực đại của hàm số ( ). Để ( ) cắt trục hoành tại

3 điểm phân biệt thì đồ thị hàm số ( ) có cực đại cực tiểu nằm

về 2 phía trục hoành. Do đó

( )( ) ( )

là nghiệm phương trình ( ) nên {

Thế vào (1), ta được ( )

Ví dụ 2.

Cho ( ) ( ) Tìm m để ( ) cắt đường thẳng ( ) tại đúng 2

điểm phân biệt.

Giải

TXĐ:






17

Đặt ( ) ( )

Đồ thị hàm số ( ) đạt cực đại cực tiểu tại khi chỉ

khi ( ) Gọi (

), ( ) là cực tiểu

và cực đại của hàm số ( ). Để ( ) cắt ( ) tại 2

điểm phân biệt thì đồ thị hàm số ( ) có cực đại hoặc cực tiểu

nằm trên trục hoành. Do đó

( )( )

( )

là nghiệm phương trình ( ) nên {

Thế vào (1), ta được Kết hợp với (*) ta được

Ví dụ 3.

Cho ( ) Tìm m để ( ) cắt đường thẳng ( ) tại 3 điểm

phân biệt.

Giải

TXĐ:


( )

Với ta được (vô lý)

Với ta được

( )

( )

( )





18 ( ) ( )( )

( )

( )

Để ( ) cắt đường thẳng ( ) tại 3 điểm phân

biệt thì đường thắng cắt đồ thị ( ) tại 3 điểm phân biệt.

Do đó

Ví dụ 4. Cho

( )

Tìm trên ( ) hai điểm A, B đối xứng nhau qua ( )

Giải

Giả sử A, B là hai điểm cần tìm. Vì A, B đối xứng nhau qua

( )

nên phương trình AB có dạng

( )

( ) cắt ( ) tại hai điểm phân biệt A, B nên phương trình hoành

độ giao điểm sau có 2 nghiệm phân biệt

{

( ) ( )

Hệ (1) có hai nghiệm phân biệt khi chỉ khi phương trình

( ) ( ) có hai nghiệm phân biệt

khác 1





19 {

( ) √ √ ( ).

Gọi ( ) ( ).

(

( ) )

Vì A, B đối xứng nhau qua d nên :

( )

( )

( )

Kết hợp (*) ta được √

√

( √

√ ) (

√

√ )





20

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho hàm số

( )

Viết phương trình tiếp tuyến với ( ) cắt tiệm cận ngang và

đứng lần lượt tại sao cho là giao điểm 2 tiệm cận.


( )

Tìm trên ( ) các điểm M sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm

cận của đồ thị tại A, B sao cho AB ngắn nhất.


( )

M là điểm bất kì trên đồ thị. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận

của đồ thị tại A, B. I là giao điểm 2 tiệm cận. Tìm M sao cho đường

tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích tam giác IAB nhỏ nhất.


( )

I là giao điểm 2 tiệm cận. Đường thẳng là tiếp tuyến bất kì

của đồ thị. Tìm giá trị lớn nhất của ( ) Bài 5: Cho hàm số

( )

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết rằng tiếp tuyến

cách đều ( ) ( ) Bài 6: Cho hàm số ( ) Tìm trên đường thẳng các điểm từ đó kẻ được đúng 2

tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị.

Bài 7: Cho hàm số ( ) Tìm trên đường thẳng các điểm từ đó kẻ được 3 tiếp





21 tuyến phân biệt tới đồ thị.

Bài 8: Cho hàm số ( ) Tìm trên ( ) những điểm là từ đó có duy nhất một tiếp tuyến

với đồ thị.

Bài 9: Cho hàm số ( ) Tìm m để phương trình đường thẳng d qua ( ) có hệ số

góc m cắt ( ) tại ba điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến của

( ) tại N, P (có hoành độ khác -1) vuông góc nhau.

Bài 10 Cho

( )

Tìm m để ( ) và cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có

hoành độ bé hơn 15.

Bài 11: Cho hàm số ( ) ( ) Tìm m để ( ) cắt ( ) tại 3 điểm phân biệt A, B, C

(B, C có hoành độ khác 0) sao cho √ ( ) Bài 12: Cho hàm số ( ) ( ) Tìm m để ( ) cắt ( ) tại một điểm duy nhất.

Bài 13:Cho ( ) ( ) Tìm m để ( ) cắt tại 3 điểm phân biệt có hoành

độ bé hơn 3.

Bài 14:Cho hàm số ( )

Tìm để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 4 điểm

phân biệt theo thứ tự sao Bài 15: Cho hàm số

( )

Viết phương trình đường thẳng d qua ( ) và cắt ( ) tại

hai điểm phân biệt M, N sao cho I là trung điểm MN.


( )

Tìm m để ( ) cắt đường thẳng ( ) tại hai điểm

phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O.





22

PHẦN 2. HÌNH KHÔNG GIAN (TT)

Vấn đề 3: Khối lăng trụ và các bài toán liên quan

I. Vài khái niệm cần nhớ:

Hình lăng trụ là hình có 2 đáy là 2 đa giác bằng nhau và

nằm ở 2 mp song song.

Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc

với mặt đáy. Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng và có đáy là đa giác

đều.

Hình hộp là hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành.

Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng và có đáy là hình

chữ nhật.

Chú ý:

Khi tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ngoài

cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng thì ta còn một

cách nữa không cần biết hình chiếu vuông góc ở đâu ta vẫn tính được

khoảng cách nhờ công thức tính thể tích. Ví dụ :

.3.( , ( )) S ABC

SBC

Vd A SBC

S

Trong hình lăng trụ có nhiều yếu tố song song nên ta đặc biệt

chú ý đến điểm này để áp dụng cho kĩ thuật “đổi đỉnh” trong bài

toán về khoảng cách.





23

II. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình hộp đứng có đáy là

hình vuông, vuông cân, . Tính ( ( )) theo

Phân tích: Tính ( ( )) Việc tìm hình chiếu vuông góc của lên ( ) của ta gặp

chút khó khăn đây…ta thử xét theo hướng khác xem thử có đơn giản

hơn không?

Giải. Ta có

vuông cân tại suy ra

√

√ √

√

Suy ra

√

( )

( )

Do đó

( ( ))

√





24 Bài toán được giải quyết một cách nhẹ nhàng rồi.

Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ đứng có

5 và . Gọi M là trung điểm của

CC’. Tính ( ( )) và ( ( )) theo .

Giải :

Cách truyền thống

Gọi là chân đường cao kẻ từ của tam giác Ta có: và suy ra ( ) hay

( ( )) √

Cách dùng thể tích

√

√

( )

Ta tiếp tục ý tưởng ở ví dụ 1.

( ( ))

Ta có

√ ( )

√

( )

√

( )

√ ( )

Do đó

( ( )) √

( ( ))

√

(chú ý A’BM vuông tại ).





25

Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ có đáy là

hình chữ nhật 3 Hình chiếu vuông góc của

điểm lên ( ) trùng với giao điểm của và . Mặt phẳng

( ) tạo với mặt đáy một góc 600. Tính ( ( )) theo .

Giải:

Từ giả thiết suy ra ( ) Gọi là trung điểm của , ta dễ dàng xác định được

(( ) ( )) Ta có:

( ( ))

Việc tính của ta gặp chút khó khăn ?

Ta thử chuyển hƣớng nhé:

( ( )) ( ( ))

Bây giờ việc tính toán của

ta sẽ đơn giản hơn nhiều

√

( ( )) √

( )

Ngoài ra, nếu ta chú ý hơn một chút thì ta có thể tính trực

tiếp ( ( )) nhƣ sau :

Gọi là chân đường cao kẻ từ của tam giác Ta có: và suy ra ( ) hay

( )) √

( )





26 Chú ý : Bài trên ta đã thực hiện kĩ thuật đổi đỉnh. Và quả thật

nó rất hiệu quả.

Ví dụ 4. Cho lăng trụ tam giác đều có ,

góc giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) bằng 600. Tính ( )

theo với là trung điểm của

Giải :

Dễ dàng xác định được (( ) ( )) = 600. Và

Tính ( ) Nhận xét : và suy ra ( )

hay Trong mp ( ) từ kẻ tại

Ta có và nên là đoạn vuông góc

chung của và

( )

√





27

Vấn đề 4: Bài toán tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp

I. Nhắc lại:

1. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu đi qua các đỉnh của

hình chóp.

2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là điểm cách đều các đỉnh

của hình chóp.

3. Tâm đường tròn ngoại tiếp của:

- Tam giác đều là trọng tâm của tam giác.

-Tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

- Hình vuông là giao điểm của hai đường chéo.

- Hình chữ nhật là giao điểm của hai đường chéo.

4. Trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường thẳng đi qua

tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác và vuông góc với mặt phẳng chứa

đa giác đó.

5. Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mp đi qua trung

điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

6. Diện tích của mặt cầu :

7. Thể tích của khối cầu :

, với R là bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp.

II. Phƣơng pháp tìm tâm đƣờng mặt cầu ngoại tiếp

B1. Tìm đường thẳng d là trục của đường tròn ngoại tiếp đa

giác đáy.

B2. Tìm mặt trung trực ( ) (hay là đường trung trực ) của

cạnh bên.

(…. tìm như thế nào cho thích hợp Thầy trò mình nói trên

lớp nhé ….)

Khi đó : giao điểm của 2 đường thẳng d và là tâm mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp.

Lƣu ý: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thông thường sẽ

được tìm thông qua 2 cách:

- Các hệ thức lượng trong tam giác vuông.





28 - Sử dụng tam giác đồng dạng.

III. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng

a√ , góc giữa cạnh bên với mặt đáy bẳng 600. Hãy xác định tâm và

tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo

Giải:

Gọi .

Và ( ( )) =( ) = 600 suy ra SO = a√ và

SD = 2a.

Khi đó : ( ) hay SO là trục của đường tròn ngoại

tiếp hình vuông

Gọi K là trung điểm của SD.

Trong mp ( ) dựng đường trung trực của cạnh cắt

cạnh SO tại I

Suy ra hay là tâm mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp Bán kính





29

√

Nhận xét : tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là

tìm điểm cách đều các đỉnh A, B, C , D, S.

Chính vì vậy trong bài toán trên với nhận xét là

2 tam giác đều. Gọi I là trọng tâm của thì I cũng là trọng tâm

của . Khi đó : hay I là tâm mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD. Việc tính bán kính IS cũng sẽ nhẹ

nhàng hơn rất nhiều.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S có đáy là hình vuông

tâm , cạnh ( ) và SAC vuông cân.

Hãy xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp theo a.

Giải :

Trong mp ( ) - Dựng đường thẳng qua và song song với Mà

( ) ( ) hay là trục của đường tròn

ngoại tiếp hình vuông - Dựng đường trung trực của cạnh , cắt d tại I.(I là

trung điểm của SC )

Khi đó :





30 Suy ra hay là tâm mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp

Bán kính √ √ Nhận xét : ba điểm cùng nhìn cạnh dưới một góc

vuông nên gọi I là trung điểm SC thì ta có

hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp và bán kính

√

Chú ý:

Hai ví dụ trên chỉ là một vài trường hợp đặc biệt , ta sẽ tiếp tục

với các ví dụ khác.

Ví dụ 3. Cho hình chóp đáy là tam giác đều cạnh

bằng a√ . vuông góc với mặt phẳng ( ) Hãy xác

định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

theo a.

Giải :

Gọi G là trọng tâm . Trong mp ( ): - Dựng đường thẳng d qua và song song với

Mà SA ( ) nên ( ) hay d là trục của đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC.

- Dựng đường trung trực của cạnh SA, cắt d tại I. Khi đó :





31 Suy ra : hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp

Bán kính √ = √

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B,

AB = BC = 2a. SB vuông góc với (ABC). Mặt phẳng (SAC) tạo với

mặt đáy một góc 300. Hãy xác định tâm I và tính bán kính R của mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a

Giải :

Gọi là trung điểm của Dễ dàng được: (( ) ( )) 30

0.

Trong ( ) - Dựng đường thẳng qua và song song với

Mà ( ) nên ( ) hay d là trục của đường tròn

ngoại tiếp tam giác - Dựng đường trung trực của cạnh SB, cắt d tại I. Khi đó :





32 Suy ra : hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp

Bán kính √ √

Ví dụ 5. Cho hình chóp S có đáy là hình vuông

tâm , cạnh bằng a√ . Mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với ( ) Hãy xác định tâm và tính bán kính

của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo

Giải :

Gọi là trung điểm của , chứng minh được (ABCD)

là trọng tâm của tam giác Trong ( ) - Dựng đường thẳng qua và song song với .

Mà ( ) nên ( ) hay d là trục của đường tròn

ngoại tiếp hình vuông - Dựng đường thẳng qua và song song với

Mà ( ) nên (SAB) hay là trục của đường tròn

ngoại tiếp SAB. Và cắt tại Khi đó:





33 Suy ra : hay là tâm mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp

√ √

Vấn đè 5. Bài toán tính góc trong không gian

Cần chú ý:

( ) | ( )| |

|

Ví dụ 1 Cho hình chóp có đáy hình vuông

cạnh √ . Mặt ( ) vuông góc đáy. Gọi

lần lượt là trung điểm của . Tính thể tích khối chóp

theo a và tính ( )

Giải

Trong ( ) kẻ ( ) Suy ra ( )

Ta có: √ nên vuông tại

Do đó :

√

Lại có

Ta có :

√

( ) Ta có

( ) Mặt khác

( )( )

Do đó





34 ( )

( )

Tam giác vuông tại nên

Suy ra √

Tam giác vuông tại nên √ √

Thay vào (1), ta được

( )

√

( ) √

Ví dụ 2

Cho hình lập phương cạnh Tính

( ) theo a.

Gọi lần lượt là trung điểm của Tính góc

( )

Giải

Gọi ( ), suy ra là hình bình hành

( )

( ) ( ( )) ( ( )) Vì ( ) * + nên

( ( ))

( ( ))





35

Ta có

{

( ).

( ) ( ) theo giao tuyến . Trong ( ), kẻ ( ) ta được

( ) suy ra ( ( ) Tam giác vuông tại , có là đường cao nên

√

( ) √

( )

Tính góc ( )

( ) Mặt khác

( ) . /

Do đó: ( )





36

Bài tập áp dụng:

Bài 1. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam

giác vuông tại gọi là trung

điểm của cạnh là giao điểm của . Tính thể tích khối

tứ diện IABC và ( ( )) theo

Bài 2. Cho hình lăng có đáy là hình

vuông cạnh cạnh bên Hình chiếu vuông góc của lên

mặt phẳng ( ) trùng với trung điểm của . Gọi là trung

điểm của Tính thể tích tứ diện và ( ( )) theo

Bài 3. Cho hình lăng trụ có đáy là tam giac

đều cạnh a. Đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc 300.

Gọi lần lượt là trung điểm Tính thể tích khối lăng trụ

và ( ( )) theo a, với là trọng tâm của

Bài 4. Cho lăng trụ , biết là hình chóp đều

có cạnh đáy bằng a. Góc giữa hai mặt phẳng A BC và BCC B

bằng 900. Tính thể tích khối lăng trụ .ABC A B C và ( )

theo a.

Bài 5. Cho lăng trụ có đáy là tam giác vuông

cân tại Gọi là trọng tâm của tam giác Biết rằng

vuông góc với mặt đáy ( ) và tạo với mặt đáy một góc

bằng 600. Tính thể tích khối chóp và ( ) theo

Bài 6. Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác

đều cạnh Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng ( )

là điểm thỏa 2.DC DB . Đường thẳng tạo với ( ) một

góc 450. Tính thể tích khối lăng trụ và côsin của góc tạo

bởi hai đường thẳng BB’ và AC.





37

Bài 7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.

a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và b. Gọi là trung điểm của Mặt phẳng ( ) chia hình

lập phương thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa

diện này.

Bài 8. Cho hình lăng trụ có đáy là hình

vuông cạnh Gọi lần lượt là trung điểm của Hình

chiếu vuông góc của lên mặt phẳng ( ) trùng với giao điểm

của và Góc giữa hai mặp phẳng ( ) và ( ) bằng 060 . Tính thể tích khối lăng trụ và ( ) theo

a.

Bài 9. Cho lăng trụ tam giác đều C’ có góc

giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) bằng 600. Gọi là trọng tâm

của tam giác Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

tứ diện theo

Bài 10. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy Mặt bên tạo với mp mặt đáy một góc 60

0. Hãy xác định tâm và tính

bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

√ ( )

a. Hãy xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp b. Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các

cạnh Hãy xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu

( ) đi qua các điểm





38

Bài 12. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông

tại √ góc giữa mặt phẳng ( ) và mặt phẳng

đáy bằng tam giác cân tại thuộc mặt phẳng vuông góc với

mặt phẳng đáy. Tính thể tích hình chóp và thể tích khối cầu

ngoại tiếp hình chóp .

Bài 13. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh

tâm 2 mặt phẳng ( ) ( ) cùng vuông góc với

đáy, mặt phẳng ( ) tạo với đáy một góc

√ Tính thể

tích của khối chóp và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Bài 14. Cho hình chóp có đáy hình vuông cạnh

√ . Mặt ( ) vuông góc đáy. Gọi lần lượt

là trung điểm của . Tính thể tích khối chóp theo a và

tính ( )

Bài 15. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh

√ ( ) vuông góc đáy. lần lượt là trung

điểm Tính thể tích hình chóp và ( )

Bài 16. Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác

vuông tại √ ( ) ( ) và

(( ) ( )) Tính thể tích theo . Giả

sử √ , tính góc giữa hai đường thẳng .





39



Education

Chuyên đề đẳng thức tổ hợp dành cho mọi người