Ecuaciones

Ecuaciones de primer grado

I.E.S. Profesor Juan Bautista

Quini Carrera

En estas diapositivas trataremos sobre:

- Qué son ecuaciones.

- Qué partes tienen.

- Resolución de ecuaciones de 1er grado.

Eva y Rubén fueron a la papelería a comprar bolígrafos.

Ambos llevaban la misma cantidad de dinero.

Eva compró 5 bolígrafos y le sobró 2 2́5 euros, mientras que Rubén compró 9 del mismo tipo que los de Eva, pero dejó a deber 0 7́5.

¿ Cómo podremos saber a cuánto costaba cada bolígrafo?

Comenzaremos con un ejemplo.

En primer lugar, escribiremos este ejemplo de forma algebraica.Como no sabemos el precio de un bolígrafo, le llamamos x.

5x + 2 2́5

9x - 0 7́5

Pero ambos llevaban la misma cantidad de dinero. Entonces:

5x + 2 2́5 9x - 0 7́5=

Tenemos así una ECUACIÓN.

Una ecuación es la igualdad entre dos expresiones algebraicas.

Eva compró 5 bolígrafos y le sobró 2 2́5

Rubén compró 9 y dejó a deber 0 7́5

En toda ecuación se pueden distinguir las siguientes partes:

5x + 2´25 = 9x - 0´75

Miembros

1er miembro 2º miembro

Incógnitas

Incógnita Incógnita

Coeficientes

Coeficientes

Términos

Términos

: S on cada una de las expresiones que están igualadas.

: Cada uno de los sumandos.

: S on las letras o valores escondidos.

: S on los números que están solos o acompañando a las incógnitas.

Pero volviendo a nuestro ejemplo, queríamos saber a qué precio estaban los bolígrafos.

Lo podemos averiguar probando cantidades, pero tardaríamos mucho tiempo.

Aprenderemos de otra manera.

Para ello no debes olvidarte de que en toda igualdad si se hace una operación en uno de sus miembros, debe hacerse la misma en el otro para que siga siendo igualdad.

Hemos de tratar de dejar sola a la incógnita. Para ello haremos una serie de operaciones:

5x + 2´25 = 9x - 0´75Restamos en los dos miembros 2 2́5

5x + 2 2́5 = 9x - 0 7́5- 2 2́5 - 2 2́5Hacemos las operaciones

5x = 9x - 3Restamos en los dos miembros 5x

5x = 9x – 3Hacemos las operaciones

0 = 4x - 3

- 5x - 5x

S umamos en los dos miembros 3

Hacemos las operaciones

0 = 4x - 3

0 = 4x

3 = 4xDividimos en los dos miembros por 4

3 = 4xHacemos las operaciones

3/4 = xS eguimos operando

0 7̀5 = x Hemos llegado a la solución buscada:El bolígrafo valía 0 7́5 euros

+ 3 + 3

/4 /4

Para hacerlo más fácil, aprenderemos una palabra mágica:

QUI-QUI-A-RE-DES -S IM-COMEstá formada por las primeras sílabas de las acciones a realizar

QUI tar paréntesis

tar denominadoresQUIAREDES

S IM

COM

grupar términos semejantesducir términos semejantes

pejar la incógnita

plificar la fracción

probar el resultado

S e multiplica el número de fuera por cada uno de los términos de dentro del paréntesis. ¡Cuidado con los signos!

QUI-QUI-A-RE-DES -S IM-COM

QUI tar paréntesis:

Veámoslo con un ejemplo. Resolvamos la siguiente ecuación:

3x 2

−3x=−3·2x43

3x 2

−3x=−6x−123

1.- S e calcula el m.c.m. de todos los denominadores.

QUI-QUI-A-RE-DES-SIM-COM

QUI tar denominadores

En nuestro caso es 2

2.- S e multiplica cada término por él.

(Hemos multiplicado por 2 todos los términos.)

3.- S e simplifican las fracciones.

3x 2

−3x=−6x−123

2·3x2

−6x=−12x−246

3x−6x=−12x−246

QUI-QUI-A-RE -DES -S IM-COM

Agrupar (o transponer) términos semejantes

(Fíjate como han cambiado los s ignos de 12x y de 3)

Al cambiar de un miembro a otro, se cambia de signo.

Pretendemos agrupar los términos que tienen incógnita en un miembro, y los que no la tienen en el otro

3x−6x=−12x−246

x−6x12x=−246−3

QUI-QUI-A-RE -DES -S IM-COM

REducir términos semejantes

En el primer miembro hacemos: 1 – 6 + 12.En el segundo: - 24 + 6 - 3

Hacemos las operaciones que se indican para tener un único término con incógnita y uno sólo sin incógnita.

x−6x12x=−246−3

7x=−21

QUI-QUI-A-RE-DES -S IM-COM

DES pejar la incógnita

Quedaría así:

E l coeficiente (número) que la acompaña multiplicando pasa al segundo miembro dividiendo.

7x=−21

x=−217

QUI-QUI-A-RE-DES -S IM -COM

S IM plificar el resultado

Dividiendo por 7, quedaría así:

¡¡ Y ya hemos encontrado la solución !!

Ahora sólo queda comprobar el resultado.

x=−217

x=−3

QUI-QUI-A-RE-DES -S IM-COM

COM probar el resultado

Lo haremos sustituyendo la incógnita por el valor encontrado.

Escribimos la ecuación inicial.

Cambiamos la x por (-3), que es el resultado encontrado.

Hacemos las operaciones indicadas y vamos reduciendo.

E sto es cierto: 9 s í es igual a 9. Por tanto, la solución era correcta.

S olución:X = -3

3−32

−3·−3=−6·−3−123;

3x2

−3x=−6x−123;

029=18−123;

09=18−123;

9=21−12;

9=9

Ahora te toca a ti practicar

Fin