Funciones

funciones

Alvaro M. Naupay Gusukuma

Escuela Talentos

07 de Agosto 2014

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Funcion

Definicion

Dados los conjuntos A,B ⊂ R, una funcion f es un sub-conjunto f ⊂ A × B, de tal manera que para x ∈ A, pri-mera componente de f , le corresponde un unico elementof(x) ∈ B, segunda componente de f .

Notacion:

f : A→ B

x 7→ f(x)

f = {(x, f(x)) | x ∈ A}A se llama conjunto de partida, B se llama conjunto de lle-gada.

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Funcion

Definicion

Dados los conjuntos A,B ⊂ R, una funcion f es un sub-conjunto f ⊂ A × B, de tal manera que para x ∈ A, pri-mera componente de f , le corresponde un unico elementof(x) ∈ B, segunda componente de f .

Notacion:

f : A→ B

x 7→ f(x)

f = {(x, f(x)) | x ∈ A}A se llama conjunto de partida, B se llama conjunto de lle-gada.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Funcion

Definicion

Dados los conjuntos A,B ⊂ R, una funcion f es un sub-conjunto f ⊂ A × B, de tal manera que para x ∈ A, pri-mera componente de f , le corresponde un unico elementof(x) ∈ B, segunda componente de f .

Notacion:

f : A→ B

x 7→ f(x)

f = {(x, f(x)) | x ∈ A}A se llama conjunto de partida, B se llama conjunto de lle-gada.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Funcion

Definicion

Dados los conjuntos A,B ⊂ R, una funcion f es un sub-conjunto f ⊂ A × B, de tal manera que para x ∈ A, pri-mera componente de f , le corresponde un unico elementof(x) ∈ B, segunda componente de f .

Notacion:

f : A→ B

x 7→ f(x)

f = {(x, f(x)) | x ∈ A}A se llama conjunto de partida, B se llama conjunto de lle-gada.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}

de esto tenemos que

f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4

no es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

de esto tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

si es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

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Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}

de esto tenemos que

f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4

no es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

de esto tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

si es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

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Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}

de esto tenemos que

f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4

no es funcion.

Hacer su grafico y diagrama de venn.Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

de esto tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

si es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

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Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}

de esto tenemos que

f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4

no es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

de esto tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

si es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

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Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}

de esto tenemos que

f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4

no es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

de esto tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

si es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

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Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}

de esto tenemos que

f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4

no es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

de esto tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

si es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

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Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}

de esto tenemos que

f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4

no es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

de esto tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

si es funcion.

Hacer su grafico y diagrama de venn.

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Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}

de esto tenemos que

f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4

no es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

de esto tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

si es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

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Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}

de esto tenemos que

f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4

no es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

de esto tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

si es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

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Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ Q×Q, definido por

f = {(1/2, 3), (3, 1/3), (2/5, 5/2), (1, 1/2)}

verifique si es funcion.Ejemplo: Sea f ⊂ R× R, definido por

f = {(√

2,√

3), (√

5, 1/6), (√

4,√

9), (2, 3)}

verifique si es funcion.

Hacer su grafico y diagrama de venn.

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Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ Q×Q, definido por

f = {(1/2, 3), (3, 1/3), (2/5, 5/2), (1, 1/2)}

verifique si es funcion.Ejemplo: Sea f ⊂ R× R, definido por

f = {(√

2,√

3), (√

5, 1/6), (√

4,√

9), (2, 3)}

verifique si es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

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Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ Q×Q, definido por

f = {(1/2, 3), (3, 1/3), (2/5, 5/2), (1, 1/2)}

verifique si es funcion.Ejemplo: Sea f ⊂ R× R, definido por

f = {(√

2,√

3), (√

5, 1/6), (√

4,√

9), (2, 3)}

verifique si es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

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Dominio y Rango

Sean A,B conjuntos y f : A→ B una funcion,

Dominio

Denotado por Df ⊂ A, es el conjunto de elementos donde lafuncion esta (bien) definida.

Rango

Denotado por Rf ⊂ B, es el conjunto de elementos definidocomo sigue:

Rf = {f(x) | x ∈ Df}

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Dominio y Rango

Sean A,B conjuntos y f : A→ B una funcion,

Dominio

Denotado por Df ⊂ A, es el conjunto de elementos donde lafuncion esta (bien) definida.

Rango

Denotado por Rf ⊂ B, es el conjunto de elementos definidocomo sigue:

Rf = {f(x) | x ∈ Df}

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Dominio y Rango

Sean A,B conjuntos y f : A→ B una funcion,

Dominio

Denotado por Df ⊂ A, es el conjunto de elementos donde lafuncion esta (bien) definida.

Rango

Denotado por Rf ⊂ B, es el conjunto de elementos definidocomo sigue:

Rf = {f(x) | x ∈ Df}

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Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

halle el dominio y rango.

Tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

luego: Df = {3, 1, 4, 9},

Rf = {f(3), f(1), f(4), f(9)} = {2, 2, 5, 9}

es decirRf = {2, 5, 9}

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Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

halle el dominio y rango.Tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

luego: Df = {3, 1, 4, 9},

Rf = {f(3), f(1), f(4), f(9)} = {2, 2, 5, 9}

es decirRf = {2, 5, 9}

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Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

halle el dominio y rango.Tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

luego: Df = {3, 1, 4, 9},

Rf = {f(3), f(1), f(4), f(9)} = {2, 2, 5, 9}

es decirRf = {2, 5, 9}

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Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

halle el dominio y rango.Tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

luego: Df = {3, 1, 4, 9},

Rf = {f(3), f(1), f(4), f(9)} = {2, 2, 5, 9}

es decirRf = {2, 5, 9}

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Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

halle el dominio y rango.Tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

luego: Df = {3, 1, 4, 9},

Rf = {f(3), f(1), f(4), f(9)} = {2, 2, 5, 9}

es decirRf = {2, 5, 9}

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Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ Q×Q, definido por

f = {(1/2, 3), (3, 1/3), (2/5, 5/2), (1, 1/2), (4, 1/3)}

halle su dominio y rango.

Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(x, y) | x = 1, 2, 3, 4 ; y = x2}

hallar su domino y rango.Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(x, y) | x = 4, 9, 16, 25 ; y =√x}

hallar su dominio y rango.

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Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ Q×Q, definido por

f = {(1/2, 3), (3, 1/3), (2/5, 5/2), (1, 1/2), (4, 1/3)}

halle su dominio y rango.Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(x, y) | x = 1, 2, 3, 4 ; y = x2}

hallar su domino y rango.

Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(x, y) | x = 4, 9, 16, 25 ; y =√x}

hallar su dominio y rango.

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Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ Q×Q, definido por

f = {(1/2, 3), (3, 1/3), (2/5, 5/2), (1, 1/2), (4, 1/3)}

halle su dominio y rango.Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(x, y) | x = 1, 2, 3, 4 ; y = x2}

hallar su domino y rango.Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(x, y) | x = 4, 9, 16, 25 ; y =√x}

hallar su dominio y rango.

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Regla de correspondencia de una funcion

Regla de correspondencia

Es aquella expresion algebraica que asocia la primeracomponente con la segunda componente de una funcion.

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Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7)}.

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = x + 2

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (5, 25), (6, 36)}

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = x2

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Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7)}.

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = x + 2

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (5, 25), (6, 36)}

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = x2

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Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7)}.

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = x + 2

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (5, 25), (6, 36)}

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = x2

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Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7)}.

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = x + 2

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (5, 25), (6, 36)}

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = x2

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Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7)}.

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = x + 2

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (5, 25), (6, 36)}

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = x2

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Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 16), (5, 25), (6, 36)}

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) =

{x + 2 ; si x = 1, 2, 3x2 ; si x = 4, 5, 6

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Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 16), (5, 25), (6, 36)}

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) =

{x + 2 ; si x = 1, 2, 3x2 ; si x = 4, 5, 6

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Ejemplo

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2)}

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = 2, ∀x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}

Observacion: Este tipo de funciones se les llama de cons-tantes

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Ejemplo

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2)}

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = 2, ∀x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}

Observacion: Este tipo de funciones se les llama de cons-tantes

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Ejemplo

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2)}

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = 2, ∀x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}

Observacion: Este tipo de funciones se les llama de cons-tantes

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Comentario

En la practica, por lo general se da la regla de correspon-dencia de la funcion y se pide hallar el conjunto donde dicharegla de correspondencia esta bien definido, a este conjun-to se llama dominio y los valores que toma dicha regla decorrespondencia se llama rango.

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Ejemplos

En cada una de las funciones, f : R → R, hallar el dominioy rango:1.- f(x) = x + 2

2.- f(x) = x2

3.- f(x) =1

x

4.- f(x) =2

x + 3

5.- f(x) =√x + 2

6.- f(x) =√

(x− 3)(x− 2)

7.- f(x) =√x2 − x− 6

8.- f(x) = 2x

9.- f(x) = 2x+3

10.- f(x) = log x

11.- f(x) = log x2

12.- f(x) =

√x− 2

x− 3

13.- f(x) =x + 2√

(x + 2)(x− 5)

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