funciones

Alvaro M. Naupay Gusukuma

Escuela Talentos

07 de Agosto 2014

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Funcion

Definicion

Dados los conjuntos A,B ⊂ R, una funcion f es un sub-conjunto f ⊂ A × B, de tal manera que para x ∈ A, pri-mera componente de f , le corresponde un unico elementof(x) ∈ B, segunda componente de f .

Notacion:

f : A→ B

x 7→ f(x)

f = {(x, f(x)) | x ∈ A}A se llama conjunto de partida, B se llama conjunto de lle-gada.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Funcion

Definicion

Dados los conjuntos A,B ⊂ R, una funcion f es un sub-conjunto f ⊂ A × B, de tal manera que para x ∈ A, pri-mera componente de f , le corresponde un unico elementof(x) ∈ B, segunda componente de f .

Notacion:

f : A→ B

x 7→ f(x)

f = {(x, f(x)) | x ∈ A}A se llama conjunto de partida, B se llama conjunto de lle-gada.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Funcion

Definicion

Dados los conjuntos A,B ⊂ R, una funcion f es un sub-conjunto f ⊂ A × B, de tal manera que para x ∈ A, pri-mera componente de f , le corresponde un unico elementof(x) ∈ B, segunda componente de f .

Notacion:

f : A→ B

x 7→ f(x)

f = {(x, f(x)) | x ∈ A}A se llama conjunto de partida, B se llama conjunto de lle-gada.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Funcion

Definicion

Dados los conjuntos A,B ⊂ R, una funcion f es un sub-conjunto f ⊂ A × B, de tal manera que para x ∈ A, pri-mera componente de f , le corresponde un unico elementof(x) ∈ B, segunda componente de f .

Notacion:

f : A→ B

x 7→ f(x)

f = {(x, f(x)) | x ∈ A}A se llama conjunto de partida, B se llama conjunto de lle-gada.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}

de esto tenemos que

f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4

no es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

de esto tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

si es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}

de esto tenemos que

f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4

no es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

de esto tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

si es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}

de esto tenemos que

f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4

no es funcion.

Hacer su grafico y diagrama de venn.Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

de esto tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

si es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}

de esto tenemos que

f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4

no es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

de esto tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

si es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}

de esto tenemos que

f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4

no es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

de esto tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

si es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}

de esto tenemos que

f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4

no es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

de esto tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

si es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}

de esto tenemos que

f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4

no es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

de esto tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

si es funcion.

Hacer su grafico y diagrama de venn.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}

de esto tenemos que

f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4

no es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

de esto tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

si es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}

de esto tenemos que

f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4

no es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.Ejemplo: Sea f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

de esto tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

si es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ Q×Q, definido por

f = {(1/2, 3), (3, 1/3), (2/5, 5/2), (1, 1/2)}

verifique si es funcion.Ejemplo: Sea f ⊂ R× R, definido por

f = {(√

2,√

3), (√

5, 1/6), (√

4,√

9), (2, 3)}

verifique si es funcion.

Hacer su grafico y diagrama de venn.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ Q×Q, definido por

f = {(1/2, 3), (3, 1/3), (2/5, 5/2), (1, 1/2)}

verifique si es funcion.Ejemplo: Sea f ⊂ R× R, definido por

f = {(√

2,√

3), (√

5, 1/6), (√

4,√

9), (2, 3)}

verifique si es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea f ⊂ Q×Q, definido por

f = {(1/2, 3), (3, 1/3), (2/5, 5/2), (1, 1/2)}

verifique si es funcion.Ejemplo: Sea f ⊂ R× R, definido por

f = {(√

2,√

3), (√

5, 1/6), (√

4,√

9), (2, 3)}

verifique si es funcion.Hacer su grafico y diagrama de venn.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Dominio y Rango

Sean A,B conjuntos y f : A→ B una funcion,

Dominio

Denotado por Df ⊂ A, es el conjunto de elementos donde lafuncion esta (bien) definida.

Rango

Denotado por Rf ⊂ B, es el conjunto de elementos definidocomo sigue:

Rf = {f(x) | x ∈ Df}

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Dominio y Rango

Sean A,B conjuntos y f : A→ B una funcion,

Dominio

Denotado por Df ⊂ A, es el conjunto de elementos donde lafuncion esta (bien) definida.

Rango

Denotado por Rf ⊂ B, es el conjunto de elementos definidocomo sigue:

Rf = {f(x) | x ∈ Df}

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Dominio y Rango

Sean A,B conjuntos y f : A→ B una funcion,

Dominio

Denotado por Df ⊂ A, es el conjunto de elementos donde lafuncion esta (bien) definida.

Rango

Denotado por Rf ⊂ B, es el conjunto de elementos definidocomo sigue:

Rf = {f(x) | x ∈ Df}

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

halle el dominio y rango.

Tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

luego: Df = {3, 1, 4, 9},

Rf = {f(3), f(1), f(4), f(9)} = {2, 2, 5, 9}

es decirRf = {2, 5, 9}

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

halle el dominio y rango.Tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

luego: Df = {3, 1, 4, 9},

Rf = {f(3), f(1), f(4), f(9)} = {2, 2, 5, 9}

es decirRf = {2, 5, 9}

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

halle el dominio y rango.Tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

luego: Df = {3, 1, 4, 9},

Rf = {f(3), f(1), f(4), f(9)} = {2, 2, 5, 9}

es decirRf = {2, 5, 9}

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

halle el dominio y rango.Tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

luego: Df = {3, 1, 4, 9},

Rf = {f(3), f(1), f(4), f(9)} = {2, 2, 5, 9}

es decirRf = {2, 5, 9}

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}

halle el dominio y rango.Tenemos que

f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9

luego: Df = {3, 1, 4, 9},

Rf = {f(3), f(1), f(4), f(9)} = {2, 2, 5, 9}

es decirRf = {2, 5, 9}

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ Q×Q, definido por

f = {(1/2, 3), (3, 1/3), (2/5, 5/2), (1, 1/2), (4, 1/3)}

halle su dominio y rango.

Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(x, y) | x = 1, 2, 3, 4 ; y = x2}

hallar su domino y rango.Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(x, y) | x = 4, 9, 16, 25 ; y =√x}

hallar su dominio y rango.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ Q×Q, definido por

f = {(1/2, 3), (3, 1/3), (2/5, 5/2), (1, 1/2), (4, 1/3)}

halle su dominio y rango.Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(x, y) | x = 1, 2, 3, 4 ; y = x2}

hallar su domino y rango.

Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(x, y) | x = 4, 9, 16, 25 ; y =√x}

hallar su dominio y rango.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ Q×Q, definido por

f = {(1/2, 3), (3, 1/3), (2/5, 5/2), (1, 1/2), (4, 1/3)}

halle su dominio y rango.Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(x, y) | x = 1, 2, 3, 4 ; y = x2}

hallar su domino y rango.Ejemplo: Sea la funcion f ⊂ N× N, definido por

f = {(x, y) | x = 4, 9, 16, 25 ; y =√x}

hallar su dominio y rango.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Regla de correspondencia de una funcion

Regla de correspondencia

Es aquella expresion algebraica que asocia la primeracomponente con la segunda componente de una funcion.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7)}.

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = x + 2

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (5, 25), (6, 36)}

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = x2

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7)}.

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = x + 2

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (5, 25), (6, 36)}

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = x2

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7)}.

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = x + 2

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (5, 25), (6, 36)}

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = x2

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7)}.

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = x + 2

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (5, 25), (6, 36)}

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = x2

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7)}.

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = x + 2

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (5, 25), (6, 36)}

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = x2

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 16), (5, 25), (6, 36)}

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) =

{x + 2 ; si x = 1, 2, 3x2 ; si x = 4, 5, 6

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 16), (5, 25), (6, 36)}

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) =

{x + 2 ; si x = 1, 2, 3x2 ; si x = 4, 5, 6

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplo

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2)}

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = 2, ∀x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}

Observacion: Este tipo de funciones se les llama de cons-tantes

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplo

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2)}

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = 2, ∀x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}

Observacion: Este tipo de funciones se les llama de cons-tantes

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplo

Ejemplo: Sea la funcion

f = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2)}

Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y grafico.

f(x) = 2, ∀x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}

Observacion: Este tipo de funciones se les llama de cons-tantes

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Comentario

En la practica, por lo general se da la regla de correspon-dencia de la funcion y se pide hallar el conjunto donde dicharegla de correspondencia esta bien definido, a este conjun-to se llama dominio y los valores que toma dicha regla decorrespondencia se llama rango.

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

Ejemplos

En cada una de las funciones, f : R → R, hallar el dominioy rango:1.- f(x) = x + 2

2.- f(x) = x2

3.- f(x) =1

x

4.- f(x) =2

x + 3

5.- f(x) =√x + 2

6.- f(x) =√

(x− 3)(x− 2)

7.- f(x) =√x2 − x− 6

8.- f(x) = 2x

9.- f(x) = 2x+3

10.- f(x) = log x

11.- f(x) = log x2

12.- f(x) =

√x− 2

x− 3

13.- f(x) =x + 2√

(x + 2)(x− 5)

Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones