Háromszögek nevezetes pontjai

HÁROMSZÖGEK NEVEZETES

PONTJAI

MAGASSÁGPONT

mc

ma

mb

A háromszög magasságpontját a csúcsokból a szemközti oldalakra bocsátott merőleges szakaszok metszéspontja határozza meg

ma,mb,mc magasságvonalak

A

Az ABC háromszögben az A csúcshoz tartozó magasság m_a, B-hez tartozó pedig m_b. Húzzunk a háromszög csúcsain keresztül párhuzamosakat a szemközti oldallal, így egy új A'B'C' háromszöget kapunk, amiben ABCB', AC'BC, ABA'C négyszögek paralelogrammák. Az eredeti ABC háromszög oldalai az A'B'C' háromszög középvonalai, mivel B'C' felezőpontja A, A'C' felezőpontja B, A'B' felezőpontja pedig C. A'B'C' háromszög származtatása miatt m_c az A'B' oldalfelező merőlegese, m_b az A'C' felezőmerőlegese, m_a pedig B'C'-nek. Mivel ezek egy pontban metszik egymást, így a magasságvonalak is egy pontban metszik egymást.

BIZONYITÁS:

MAGASSÁG TALPPONTJA ÉS TALPPONTI HÁROMSZÖG

• A magasság talppontja a magasságvonal és az arra vonatkozó oldal metszéspontja.

• A talpponti háromszög a háromszög magasságainak talppontjai által meghatározott háromszög. Egy hegyesszögű háromszögbe írt háromszögek közül a talpponti háromszög kerülete a legkisebb; a hegyesszögű háromszög magasságpontja a talpponti háromszög beírt körének középpontja, és tompaszögű háromszög magasságpontja a talpponti háromszögének körülírt köre, ugyanis a magasságvonalak felezik a talpponti háromszög szögeit, vagy külső szögeit.

• A háromszög magasságainak talppontjai rajta vannak a háromszög Feuerbach-körén.

SÚLYPONT

A1

C1

B1

A1,B1,C1 oldalfelező pontok

A súlypont a csúcsok és a szemközti oldalakat összekötő szakaszok metszéspontja

BIZONYITÁS:

• A háromszög súlypontja a súlyvonalak (a csúcsokat a szemközti oldalak felezőpontjával összekötő vonalak) metszéspontja. A súlypont a súlyvonalakat 2:1 arányban osztja úgy, hogy a csúcstól távolabb van. Ahogy a jobb oldali ábra mutatja, a súlypont az oldal és a szemközti csúcs közötti merőleges távolság 1/3-ánál található.

• A súlypont megegyezik a háromszög tömegközéppontjával, ha a háromszöglap állandó sűrűségű anyagból készült. A súlypont koordinátái Descertes-féle derékszögű koordináta-rendszerben a csúcspontok koordinátáinak számtani közepével egyezik meg.

A KÖRÉÍRT KÖR KÖZÉPPONTJA

A1

C1

B1

A1,B1,C1 oldalfelező pontok

R

R köréírt kör sugara

Egy háromszög köréírt körének középpontját az oldalak oldalfelező merőlegeseinek metszéspontja határozza meg.

Tétel: A háromszög köré írt kör középpontja az oldalfelező merőlegeseinek metszéspontja.

Bizonyítás: A háromszög AB oldalának felező merőlegesének minden pontja egyenlő távolságra van a háromszög A és B csúcsától. Hasonlóan, a BC oldal felezőmerőlegesének minden pontja egyenlő távolságra van a B és a C csúcstól. Ezért ez a metszéspont egyenlő távolságra van mindhárom csúcstól, tehát ez a köré írt kör középpontja, és a harmadik felezőmerőleges is ezen a ponton megy át.

Jelölje a beírt kör sugarát r, a köré írt kör sugarát R! Ekkor a két kör középpontjának távolsága /gyök{R(R-2r)}.

TÉTEL, BIZONYITÁS:

Egy háromszög beírt körének középpontját a háromszög szögeinek szögfelező egyeneseinek metszéspontja határozza meg.

fb

fc

fa

r

r beírt kör sugara

fa,fb,fc szögfelező egyenesek

A BEIRT KÖR KÖZÉPPONTJA

• A geometriában a háromszög beírt köre vagy a háromszögbe írt kör olyan kör, amely a háromszög minden oldalát érinti, középpontja a belső szögfelezők metszéspontja, sugara a kör középpontját és az érintési pontokat összekötő szakasz (azaz a középpontból az oldalakra állított merőleges szakasz hossza). A beírt körnek nagy a jelentősége a háromszögek geometriájában.

TÉTEL, BIZONYITÁS:

• Tétel: A háromszög beírt körének középpontja a háromszög három szögfelezőjének közös metszéspontja.

• Bizonyítás: Az α szög felezőjének minden pontja egyenlő távolságra van az AB és a CA oldalaktól. Hasonlóan, a β szög felezőjének pontjai egyenlő távolságra fekszenek a BC és az AB oldalaktól. A két szögfelező metszéspontjai tehát egyenlő távolságra vannak mindhárom oldaltól, ezért a harmadik szögfelezőnek is át kell mennie ezen a ponton.

• A beírt kör a háromszög minden oldalát belülről érinti, míg a hozzá írt körök kívülről érintenek egy-egy oldalt, és a két oldalegyenest a háromszögön kívül. Mindegyik kör középpontja a háromszög nevezetes pontjai közé tartozik.

• A beírt kör középpontjának trilineáris koordinátái 1:1:1, baricentrikus koordinátái a:b:c, ahol a : arra utal, hogy ezek a koordináták csak konstans szorzó erejéig vannak meghatározva.

A háromszög hozzáírt körének középpontját két külső szögének szögfelezője és a harmadik csúcs belső szögfelezőjének metszéspontja határozza meg.

A HOZZÁÍRT KÖR KÖZÉPPONTJA

f1

f2

f3

r

f1,f2,f3

szögfelező egyenesek

rhozzáírt kör sugara

A háromszög két külső szögének szögfelezője és a harmadik szög belső szögfelezője egy pontban metszi egymást. Ez a metszéspont egyenlő távolságra van a háromszög három oldalegyenesétől, ezért ebből a pontból, mint középpontból olyan kört szerkeszthetünk, amely érinti a háromszög mindhárom oldalegyenesét. Ezt a háromszög hozzáírt körének vagy más néven érintőkörének nevezzük.

Tudjuk, hogy a háromszög három szögfelezője egy pontban metszi egymást, és hogy ez a pont a beírható kör középpontja. Azt is tudjuk, hogy ez a pont egyforma távolságra van a háromszög mindhárom oldalegyenesétől. Felmerül a kérdés, léteznek-e még hasonló tulajdonságú pontok? A válasz igen, a háromszög hozzáirt köreinek középpontjai. Ahhoz, hogy ezeket a pontokat meg tudjuk szerkeszteni, tudnunk kell, hogy a háromszög bármely két külső szögfelezője, valamint a harmadik csúcson áthaladó belső szög szögfelezője is egy pontra illeszkedik.

EULER EGYENES:• Leonhard Euler 1707-ben született Svájcban, Baselban. 1727-ben meghívták

Oroszországba, a szentpétervári Akadémiára. 1747-ben Berlinbe ment, hogy elfoglalja a Porosz Akadémia matematika székét. 1766-ban visszatér Szentpétervárra, és ott élt 1783-ban bekövetkezett haláláig.

• Rendkívül termékeny tudós volt. A matematika majd minden területén kimagasló tevékenységet fejtett ki. 473 dolgozata még életében megjelent, 200 dolgozat nem sokkal halála után látott napvilágot, míg 61 egyéb írásának várnia kellett a publikálásra. A matematika mellett még csillagászattal és fizikával is foglalkozott. S ha ehhez még azt is hozzávesszük, hogy élete utolsó évtizedében teljesen vakon dolgozott, akkor érzékelhetjük igazán rendkívül sokirányú munkásságát és eredményeit.

• Többek között ő bizonyította be először, hogy a háromszög három nevezetes pontja egy egyenesen van. Ezt az egyenest később róla nevezték el.

Leonard Euler megmutatta, hogy bármely háromszögben ez a négy pont egy egyenesre esik. A Feuerbach-kör középpontja felezi a magasságpont és a háromszög körülírt körének középpontja által meghatározott szakaszt. A súlypont 1:2 arányban osztja a körülírt kör középpontját és a magasságpontot összekötő szakaszt.

A HÁROMSZÖG SZÖGFELEZŐI

• A háromszög belső szögfelezői azok az egyenesek, melyek a háromszög belső szögeit elfelezik. Ezeknek az egyeneseknek minden pontja azonos távolságra van a háromszög két-két oldalegyenesétől, mivel szögfelezők.

• A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ezt beláthatjuk a következőképpen: Az csúcson és a csúcson átmenő szögfelezők metszéspontja egyenlő távol van a és oldalegyenestől (mivel az csúcson átmenő szögfelező pontja) valamint a és oldalegyenesektől is (mivel a csúcson átmenő szögfelezőnek is pontja). Tehát mindhárom oldalegyenestől egyenlő távol van, így -tól és -től is, ezért rajta van a -n átmenő szögfelezőn.

• A belső szögfelezők metszéspontja mindhárom oldaltól azonos távolságra van, ezért ez a pont a háromszög mindhárom oldalát érintő kör középpontja. A kör sugara a középpontból az oldalakra állított merőleges szakasz.

AZ IZOGONÁLIS PONT

• Az izogonális pont, Fermat-pont vagy Torricelli-pont a geometriában az a pont, amit egy háromszög csúcsaival összekötve az összekötő szakaszok együttes hossza minimális. Fermat fedezte fel, aki feladványul adta Evangelista Torricellinek a pont megszerkesztését.

• Ha a háromszögnek nincs 120°-nál nagyobb szöge, az izogonális pont egyben az a pont, amiből a háromszög mindhárom oldala azonos szög alatt látszik. (Ha van, a hozzá tartozó csúcs lesz az izogonális pont.) Megszerkesztéséhez egy-egy szabályos háromszöget kell emelni a háromszög oldalaira, és az újonnan kapott csúcsokat összekötni az eredeti háromszög szemközti csúcsaival. A három egyenes az izogonális pontban metszi egymást. (Ugyanebben a pontban metszik egymást a szabályos háromszögek köréírt körei is; Torricelli ezt használta fel a megoldásához.)

TÉTEL, BIZONYITÁS:

• Tétel: Egy háromszög Fermat-pontjából a háromszög minden oldala 120 fok alatt látszik.

• Bizonyítás: a matematikai optimalizálást, a Lagrange-szorzókat és a koszinusztételt használja.

• A háromszög belsejében felvett pontot összekötjük a háromszög csúcsaival, és rendre X-nek, Y-nak, és Z-nek nevezzük ezeket a szakaszokat. Jelölje ezeknek a hosszát rendre x, y, z. Az X és Y által bezárt hegyesszög legyen α, az Y és a Z által bezárt szög β; ekkor az X és a Z szakasz szöge (2π − α − β).

FEUERBACH-KÖR

• A geometriában a Feuerbach-kör vagy „a kilenc pont köre” egy nevezetes kör, amely bármely háromszöghöz megszerkeszthető. Kilenc nevezetes ponton megy át, melyek közül hat a háromszög oldalain található, ha a háromszög nem tompaszögű. Ezek:

• a háromszög oldalfelező pontjai,

• a háromszög magasságainak talppontjai,

• a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai.

• A Feuerbach-kört nevezik még Euler-körnek (nem összetévesztendő a gráfelméletben ismeretes Euler-körrel), Terquem-körnek, a hatpontú körnek, a tizenkétpontú körnek vagy n-pontú körnek is.

• A Feuerbach-kör tehát azonos a felezésponti háromszög körülírható körével, a talpponti háromszög körülírható körével és azzal a körrel, melyet a körülírható körből a magasságpontra, mint középpontra vonatkozó 1/2 arányú kicsinyítéssel kapunk.