LA PARABOLA

LA PARÁBOLA.

Parábola (matemáticas), una de las cónicas. Se trata

de una curva plana, abierta, que se obtiene al cortar

una superficie cónica de eje e y ángulo α mediante un

plano P que no pasa por el vértice y que corta a e bajo

el mismo ángulo α.

La parábola se puede definir como el lugar geométrico de

los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado

foco, y de una recta fija llamada directriz.

La distancia entre el foco y la directriz se llama parámetro

(p)

Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola

destacan los siguientes elementos:

•Eje de la parábola, e.

•Vértice, V.

• Distancia de F a d, p.

LA PARÁBOLA

Si un rayo es paralelo al eje de la parábola, se refleja en ésta pasando por su foco. Y, viceversa, si pasa por su foco, se refleja en la parábola y se aleja paralelo al eje.

Esta propiedad se utiliza, por ejemplo, para fabricar los faros de forma parabólica de los automóviles (el punto luminoso está en el foco y, por tanto, el haz de rayos es paralelo al eje) y las antenas para captar emisiones (dirigidas hacia el lugar de donde proviene la emisión, concentra en el foco todos los rayos que recibe). Parábolas son también las trayectorias de cualquier cuerpo (bola, pelota, chorro de agua…) que cae atraído por la tierra.

LA PARÁBOLA

LA PARÁBOLA

EJE

DIRECTRIZ

l

P’

P

v F

o

.o

Fig. 1Si P es un punto en el plano y P’ es

el punto sobre l determinado por la

recta perpendicular a l y que pasa

por P (Fig. 1), entonces, según la

definición de parábola, P está en la

parábola si y solo si

d ( P , F) = d ( P, P’ ).

El punto P puede estar en cualquier

parte sobre la curva en la fig. 1

La recta que pasa por F y es

perpendicular a la directriz se llama

eje de la parábola.

El punto V sobre el eje y que esta

a la misma distancia de F y de l, se

llama Vértice de la parábola.

COMPONENTES DE LA PARÁBOLA:

Foco: Es el punto fijo F.

Directriz : Es la recta fija D.

Parámetro : Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.

Eje : Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.

Radio vector : Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

PARÁBOLA CON VÉRTICES EN EL ORIGEN:

PÁRABOLAS HORIZONTALES:

HORIZONTAL DERECHA HORIZONTAL

IZQUIERDA

Y 2 = 4 pX Y 2 = -4 pX

PARÁBOLAS VERTICALES:

VERTICAL HACIA ARRIBA VERTICAL

HACIA ABAJO

X 2 = 4 pY X 2 = -4 pY

PÁRABOLAS CON VÉRTICES EN (a,b):

Horizontales:

Derecha: (y – b)2 = 4p(x – a)

Izquierda: (y – b)2 = - 4p(x –

a)

Verticales:

Arriba: (x – a)2 = 4p(y – b)

Abajo: (x – a)2 = - 4p(y – b)

ECUACION ESTANDAR Y GENERAL:

POSICIÓN ECUACIÓN

ESTÁNDAR

ECUACIÓN

GENERAL

HORIZONTAL (y – b)2 = +/- 4p(x –

a)

y2 + Dx + Ey + F = 0

VERTICAL (x – a)2 = +/- 4p(y –

b)

x2 + Dx + Ey + F = 0

GRAFICA EJEMPLO 1 LA PARÁBOLA

y

F(- 3/2, 0 )

X = 3/2y2 = - 6x

.

1. Encontrar el foco y la directriz de la parábola con la ecuación y2 = - 6x y trazar su gráfica.

SOLUCION.

La ecuación y2 = - 6x , tiene laforma (ii) de los teoremasanteriores con 4p = - 6, y porlo tanto p = - 3/2.

Resulta que el foco es F (p,0),es decir , F( - 3/2 , 0).

La ecuación de la directriz esx = - p , o bien

x = - ( -3/2), x= 3/2.

EJEMPLO 2: Encontrar la ecuación de la parábola con eje paralelo al eje “y” y que pasa por

los puntos P(-2, 1); Q(4, -5) y R(10, 1).

Solución:

Los tres puntos pertenecen a la parábola, por lo que deben cumplir con la ecuación:

x2 + Dx + Ey + F = 0. (por ser parábola horizontal)

Tendremos entonces tres ecuaciones con tres incógnitas, D, E y F.

Escribamos las ecuaciones sustituyendo los valores de las coordenadas de los puntos.

1) (-2)2 + (-2)D + (1)E + F = 0 -2D + E + F = -4

2) (4)2 + (4) D + (-5)E + F = 0 4D – 5E + F = -16

3) (10)2 + (10)D + E + F = 0 10D + 10E + F = -100

Al resolver el sistema, obtenemos los resultados: D= - 8, E= - 6, F = - 14.

La ecuación de la parábola es: x2 – 8x – 6y – 14 = 0.

Al expresar la ecuación en su forma estándar es : (x – 4)2 = 6( y + 5)

EJEMPLO 3:

Una sección de un puente colgante tiene un peso uniformementedistribuido entre dos torres gemelas que distan 400 pies una deotra; y se elevan 90 pies sobre una carretera horizontal. Un cablesuspendido entre los extremos superiores de las torres tieneforma parabólica y su punto medio se encuentra a 10 pies porarriba de la carretera, considere los ejes coordenados que semuestran:

a) encuentre la ecuación de la parábola respectiva

Ecuación estándar: (x- a)2 = 4p(y – b)

vértice (0, 10) p = 10

Ecuación: x2= 40 (y – 10)

b) establezca una integral que de la longitud del cable.

Esta queda de la forma:

EJEMPLO 3: