Matriks dan operasinya

Definisi Matrik :

susunan bilangan berbentuk segi empat atau

bujur sangkar yang diatur dalam baris

dan kolom, ditulis antara dua kurung,

yaitu ( ) atau [ ]

Matrik dan operasi-operasinya

Jumlah baris : m Jumlah kolom : n Ukuran/ordo : m x n Elemen diagonal : a11, a22,….. ann

Suatu bagan transportasi yang menghubungkan 3 kota digambarkan sebagai berikut : 1

2 3

Kita buat tabel : Kota 1 Kota 2 Kota 3 Dari kota 1 dapat pergi ke kota 1 1 0Dari kota 2 dapat pergi ke kota 1 1 1Dari kota 3 dapat pergi ke kota 0 0 1

Angka 1 dari tabel menyatakan bahwa kota pada baris

dapat pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat

ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen

aij = 1 ketika dapat pergi dari kota i ke kota j dan lainnya

nol.

Perhatikan : selalu dapat pergi dari kota i ke kota i

Dengan demikian aii = 1 untuk i = 1, 2, 3

1 1 0

A 1 1 1

0 0 1

Kesamaan Matrik

Matrik A dan Matrik B dikatakan sama jika :

Ordonya sama

Elemen yang seletak sama

A = (aij )

A = B jika aij = bij untuk i = 1,2,……..m

dan j = 1,2, …….n

B = (bij )

Contoh : 1)

Matrik A = B jika a = 2, b = 0, c = 5 dan d = 3. Matrik A dan B tidak akan sama dengan matrik Csebab ordo A dan B adalah 2 x 2, sedangkan ordo C adalah 2 x 3.

2)

R C karena R berordo 1 x 3 dan C : 3 x 1

a b 2 0 2 0 xA B C

c d 5 3 5 3 y

1

R 1 4 3 C 4

3

Bentuk-bentuk Matrik

a.Matrik Bujur sangkar : jumlah baris =

jumlah kolom (Ann n x n)

Contoh :

b. Matrik Diagonal :

matrik bujur sangkar yang elemen diagonal

utamanya tidak semua nol (tidak

disyaratkan elemen diagonal harus

tidak nol), sedangkan elemen yang

lain nol.

Contoh :

c.Matrik Segitiga Matrik segitiga atas :

matrik bujur sangkar yang setiap elemen di

bawah diagonal utama bernilai 0

Matrik segitiga bawah :

matrik bujur sangkar yang setiap elemen di

atas diagonal utama bernilai 0

Catatan : tidak disyaratkan bahwa elemen

diagonal harus bernilai tak nol

Contoh :

Matrik A adalah matrik segitiga atas,

matrik B adalah matrik segitiga bawah,

sedangkan matrik C merupakan matrik segitiga

atas dan juga matrik segitiga bawah

Ada tiga hal yang perlu diketahui tentang

matrik segitiga :

1.Transpose dari matrik segitiga atas akan

menghasilkan matrik segitiga bawah,

demikian pula sebaliknya.

Contoh :

T

1 0 0

A 4 2 0 (segitiga bawah)

5 3 4

1 4 5

A 0 2 3 (segitiga atas)

0 0 4

2. Hasil kali antara matrik segitiga atas akan

menghasilkan matrik segitiga atas, demikian juga

sebaliknya.

1 2 1 2 1 3

A 0 3 2 (segitiga atas) B 0 4 2 (segitiga atas)

0 0 1 0 0 1

1 2 1 2 1 3 2 9 8

maka A B 0 3 2 0 4 2 0 12 8

0 0 1 0 0 1 0 0

x x

1

3. Matrik segitiga mempunyai invers jika dan hanya

jika elemen pada diagonal utamanya tidak

memuat angka nol (0).

Contoh :

Matrik A di atas tidak mempunyai invers, karena

salah satu elemen pada diagonalnya bernilai nol

(0)

1 2 1

A 0 1 3

0 0 0

d. Matrik Nol : matrik dengan semua elemennya nol (0)e. Matrik satuan/identitas :

matrik bujur sangkar yang elemen diagonal

utamanya bernilai satu, sedangkan elemen yang

lain bernilai nol.

Contoh :

2 3

1 0 01 0

I I 0 1 00 1

0 0 1

Sifat matrik identitas dan matrik nol

Jika A adalah matrik berukuran n x n,

maka :

I . A = A . I = A

A + 0 = 0 + A = A

A . 0 = 0 . A = 0

f. Matrik singular : matrik bujur sangkar yang

tidak mempunyai invers

(determinannya = 0)

g. Matrik non singular : matrik bujur sangkar

yang mempunyai invers

(determinannya

0)

2

2

2 -2 -4

A -1 3 4 Tentukan A !

1 -2 -3

2 -2 -4 2 -2 -4 2 -2 -4

A A.A -1 3 4 -1 3 4 -1 3 4 A

1 -2 -3 1 -2 -3 1 -2 -3

h. Matrik Pangkat : Ar As = Ar + s ; (Ar)s = Ars

Matrik Idempotent : matrik bujur

sangkar yang berlaku A2 = A atau An =

A, dengan n = 2, 3, 4 …..

Contoh :

Jawab :

Matrik Nilpotent : matrik bujur sangkar yang berlaku A3 =

0 atau An = 0, dengan n = 3, 4 …..

Contoh :

3

1 1 3

A 5 2 6

-2 -1 -3

1 1 3 1 1 3 1 1 3 0 0 0

A A.A.A 5 2 6 5 2 6 5 2 6 0 0 0

-2 -1 -3 -2 -1 -3 -2 -1 -3 0 0 0

0

2 31 1A Hitung A dan A

1 1

2

3 2

1 1 1 1 2 2A

1 1 1 1 2 2

2 2 1 1 4 4A A A

2 2 1 1 4 4

Jawab :

Contoh beberapa kasus pemangkatan matrik

1).

Untuk n = 1

1-1 1-1 0 01

1-1 1-1 0 0

2 2 2 2 1 1A A

1 12 2 2 2

n-1 n-1n

n-1 n-1

2 2A untuk n 1

2 2

Disimpulkan :

2)2 3 40 -1

B Tentukan: B ,B dan B !1 0

2

3 2

4 3

0 -1 0 -1 -1 0 B

1 0 1 0 0 -1

-1 0 0 -1 0 1B B B

0 -1 1 0 -1 0

0 1 0 -1 0 1B B B

-1 0 1 0 1 0

Jawab :

Jadi B5 = B.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa

pemangkatan B hingga Bn merupakan

pengulangan dari B4

B B2 B3 B4 B5 = B

0 -1 -1 0 0 1 0 1 0 -1, , , , ..............

1 0 0 -1 -1 0 1 0 1 0

i. Transpose matrik Transpose matrik A (dinotasikan AT) , adalah diubahnya baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris dari matrik A. Notasi matematik transpose matrik ditulis sebagai berikut : (AT)ij = (A)ji

1 1

2 2 1 1 2 2

1

T1 2 2

Tij ji

Jika diketahui matrik U dan V berikut ini :

U V , maka UV .....

U V

(A) A

n n

n n

n

n

u v

u v u v u v u v

u v

v

u u u v

v

untuk semua i dan j

Sifat-sifat dari transpose suatu matrik :

T T

T T T

T T

T T T

1). (A ) A

2). (A B) A ± B

3). (kA) kA , dengan k adalah skalar

4). (AB) B A

Pembuktian sifat matrik transpose :

Pembuktian sifat 1 :

T T

Jika diketahui matrik A dan B berikut ini :

2 3 3 1A dan B

1 4 4 2

Maka :

2 1 3 4A B

3 4 1 2

T

T T 2 1 2 3(A ) A

3 4 1 4

Pembuktian sifat 2 :

Pembuktian sifat 3 :

T

T T

T T T

2 3 3 1 5 4 5 5A B , maka (A B)

1 4 4 2 5 6 4 6

2 1 3 4 5 5A B

3 4 1 2 4 6

(A B) A B terbukti

T

T

T T

2 3 10 15 10 55A 5 , maka (5A)

1 4 5 20 15 20

2 1 10 55A 5

3 4 15 20

(5A) 5A terbukti

Pembuktian sifat 4 :

T

T T

2 3 3 1 6 12 2 6 18 8A.B .

1 4 4 2 3 16 1 8 19 9

maka:

18 19(A.B)

8 9

3 4 2 1 6 12 3 16B .A .

1 2 3 4 2 6 1

T T T

18 19

8 8 9

(A.B) B A terbukti

Contoh Soal :1) Tentukan AT, BT dan CT dari matrik :

Jawab :

1 3 2 a bA B C 5 -1 2

5 0 1 c d

T T T

1 5 5a c

A 3 0 B C -1 b d

2 1 2

2) Tentukan AT, BT dan CT dari matrik :

Jawab :

3 -2

1A 1 4 B C 0 -1 2

-25 -3

T T T

0 3 1 5

A B 1 -2 C -1 -2 4 -3

2

j. Matrik simetri :Sebuah matrik bujur sangkar dikatakan simetri jika A = AT.

Jika suatu matrik :

A = AT

Ditranspose menjadi :

Maka matrik A dikatakan simetri, karena elemen yang terdapat pada A sama dengan pada AT

1 4 8

A 4 7 3

8 3 2

T

1 4 8

A 4 7 3

8 3 2

Beberapa hal penting mengenai matrik

simetri :

1. Jika A simetri, maka AT juga simetri

2. Jika A dan B simetri, maka A+B atau A-

B juga simetri

3. Jika a simetri yang mempunyai invers,

maka A-I adalah simetri

4. Jika A memiliki invers, maka A.AT dan

AT.A memiliki invers pula.

Contoh Soal : Apakah matrik A dan B berikut ini

merupakan matrik simetri ?

Jawab :

A merupakan matrik simetri karena AT = A

B bukan matrik simetri karena

≠ B

1 3 2 1 2

A 3 5 0 B -1 3

2 0 4

T 1 -1 B

2 3

k. Matrik Partisi : sebuah matrik dapat dibagi menjadi bagian

yang lebih kecil dengan garis pemisah/partisi mendatar dan vertikal.

1 0 0 2 -1

0 1 0 1 3

A 0 0 1 4 0

0 0 0 1 7

0 0 0 7 2

1 0 0 2 -1

0 1 0 1 3

0 0 1 4 0

0 0 0 1 7

0 0 0 7 2

I adalah matrik identitas 3 x 3,

B adalah matrik 3 x 2

O adalah matrik nol 2 x 3

C adalah matrik 2 x 2

Dengan cara partisi tersebut, kita dapat lihat bahwa

matrik A adalah sebagai matrik 2 x 2

I B

O C

Jika terdapat matrik A berukuran m x n dan

matrik B berukuran n x r, maka untuk

mendapatkan hasil perkaliannya (AB) kita

dapat membuat matrik partisi.

1. Kita partisi matrik B dalam bentuk vektor

kolom

maka :

Bentuk akhir disebut perkalian matrik-

kolom.

1 2 r 1 2 rAB A b b .... b Ab Ab .... Ab

1 2 rB b b .... b

2. Kita partisi matrik A dalam bentuk vektor baris

Bentuk akhir disebut perkalian matrik-baris

1

2

m

A

AA

A

1 1

2 2

m m

A A B

A A BAB B

A A B

3. Kita partisi matrik A dalam bentuk vektor

baris dan matrik B dalam bentuk vektor

kolom. Bentuk akhir disebut perkalian baris-

kolom. Demikian pula dapat dilakukan partisi

sebaliknya (kolom-baris), disebut perkalian

kolom-baris.

1

21 2 n

n

B

BA a a .... a dan B

B

i ia B

1 1 2 2 n na B a B ..... a B

1

21 2 n

n

1 1 2 2 n n

B

BAB a a .... a

B

a B a B ..... a B

disebut perkalian bagian luar

disebut : ekspansi

perkalian bagian luar

Contoh soal :Hitung ekspansi perkalian bagian luar AB

jika diketahui :

Jawab :

4 -11 3 2

A dan B 1 20 -1 1

3 0

1

1 2 3 2

3

B 4 -11 3 2

A a a a dan B B 1 20 -1 1

3 0B

Perkalian bagian luar adalah :

1 1 2 2

3 3

1 4 -1 3 3 6a B 4 -1 , a B 1 2

0 0 0 -1 -1 -2

2 6 0dan a B 3 0

1 3 0

1 1 2 2 3 3

4 -1 3 6 6 0 13 5a B a B a B AB

0 0 -1 -2 3 0 2 -2

Jadi ekspansi perkalian bagian luar AB :

Jika matrik A dipartisi menjadi beberapa submatrik, maka bagian tersebut dinamakan blok.

Sehingga kita mempunyai struktur blok sebagai berikut:

1 0 0 2 -1 4 3 1 2 1

0 1 0 1 3 -1 2 2 1 1

A 0 0 1 4 0 dan B 1 -5 3 3 1

0 0 0 1 7 1 0 0 0 2

0 0 0 7 2 0 1 0

0 3

11 12 1311 12

21 22 11 12 13

B B BA AA dan B

A A B B B

l. Matrik dalam bentuk eselon baris dan

eselon baris tereduksi .

Matrik memiliki bentuk eselon baris tereduksi

harus memenuhi kriteria :

1.Dalam suatu baris yang semua elemennya

bukan nol (0), angka pertama pada baris

tersebut haruslah 1 ( disebut leading 1)

2.Jika suatu baris yang elemennya nol semua,

maka baris tersebut diletakkan pada baris

paling bawah.

3. Untuk sembarang dua baris yang berurutan,

leading 1 dari baris yang lebih bawah harus

berada disebelah kanan leading 1 baris di

atasnya.

4. Kolom yang memiliki leading 1 harus angka

nol untuk semua elemen pada kolom tersebut.

Contoh : Syarat 1 : baris pertama disebut leading 1

Syarat 2 : baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2

1 4 -2 5

0 -5 2 7

0 0 -3 9

0 0 -8 8

1 4 -2 5

0 -5 2 7

0 0 -3 9

0 0 0 0

Syarat 3 : baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3

Syarat 4 : matrik di bawah ini memenuhi syarat ke 4 disebut eselon baris

1 4 -2 5

0 1 2 7

0 0 -3 9

0 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 2 5

0 0 1 0 0 0 3 0

0 0 0 1 0 0 0 6

Contoh matrik eselon baris tereduksi :

Matrik yang memenuhi kriteria 1 – 3 saja

disebut :

matrik eselon baris

Contoh matrik eselon baris :

Operasi Aljabar Matrik

,

Contoh Soal :1)

Tentukan A+B, A+C dan B+C !

Sedangkan A+C dan B+C tidak dapat dikerjakan

karena ordo kedua matrik tidak sama

1 4 0 -3 1 -1 4 3A B C

-2 6 5 3 0 2 2 1

2)

Tentukan A + B, A + C dan B + C

A + C dan B + C tidak dapat dijumlahkan karena ordo-ordonya berbeda

-2 5 -1A B

1 6 7

Bagaimana dengan A – B ?

Perlu diingat bahwa :

A – B = A + (– B )

A + 0 = A = 0 + A

A – A = 0 = – A + A

4 3 1A B

-5 6 3

b. Perkalian matrik dengan matrik

Operasi perkalian matrik dapat dilakukan

pada dua buah matrik (A dan B) jika jumlah

kolom matrik A = jumlah baris matrik B.

Aturan Perkalian

Jika Amn dan Bnk maka Amn Bnk = Cmk dengan

elemen-elemen dari C(cij) merupakan

penjumlahan dari perkalian elemen-elemen

A baris i dengan elemen-elemen B kolom j.

Contoh Soal1)

-4 0 3 -1 1 3 -1

A B 5 -2 -1 1 Tentukan AB-2 -1 1

-1 2 0 6

Notasi perkalian matrik dengan matrik :

Jawab : c11 =1(-4) + 3( 5) + (-1)(-1) = 12

c12 =1( 0) + 3(-2) + (-1)( 2) = - 8

c13 =1( 3) + 3(-1) + (-1)( 0) = 0

c14 =1(-1) + 3( 1) + (-1)( 6) = - 4

c21 =(-2)(-4) + (-1)( 5) + (1)(-1) = 2

c22 =(-2)( 0) + (-1)(-2) + (1)( 2) = 4

c23 =(-2)( 3) + (-1)(-1) + (1)( 0) = - 5

c24 =(-2)(-1) + (-1)( 1) + (1)( 6) = 712 -8 0 -4

C AB 2 4 -5 7

2)

Sedangkan B X A tidak dapat dikerjakan, karena jumlah kolom matrik B tidak sama dengan jumlah baris matrik A

Jawab:

3)

Jawab :

Kesimpulan : AB ≠ BA

2 4 1 0A B Tentukan AB dan BA

-1 -2 1 1

2 4 1 0 6 4AB

-1 -2 1 1 -3 -2

1 0 2 4 2 4BA

1 1 -1 -2 1 2

4) Tuti dan Rina berencana berbelanja buah-buahan.

Mereka ingin membeli apel, anggur dan jeruk

dengan jumlah yang berlainan seperti tercantum

dalam tabel 1.

Ada dua toko buah yang saling berdekatan yaitu Tip

top dan Rezeki dengan harga jual masing-masing

diberikan pada tabel 2.

Berapakah uang yang harus disiapkan Tuti dan Rina

untuk berbelanja di kedua toko buah tersebut?

Tabel 1. Kebutuhan (dalam Kg)

Apel Anggur JerukTuti 6 3 10Rina 4 8 5

Tabel 2. Daftar harga (dalam ribuan)

Tip top RezekiApel 10 15Anggur 40 30Jeruk 10 20

Jawab :

Kita buat dua matrik yaitu matrik D untuk kebutuhan

dan matrik P untuk harga.

Dengan menghitung perkalian matrik D dan matrik

P, maka dapat menjawab jumlah uang yang harus

disiapkan Tuti dan Rina (tabel 3).

10 156 3 10

D P 40 304 8 5

10 20

Tabel 3. Jumlah uang yang disiapkan

(dalam ribuan) Tip top RezekiTuti 280 380Rina 410 400

10 156 3 10 280 380

DP 40 304 8 5 410 400

10 20

Contoh :

Contoh soal:1) Tentukan : 2A, (- 1A) dan ½ A 1 4 0

A-2 6 5

12

52

2 8 0 -1 -4 02A ( 1A)

-4 12 10 2 -6 -5

2 01A

2 -1 3

Jawab :

c. Perkalian matrik dengan skalar Suatu matrik dapat dikalikan suatu skalar k dengan

aturan tiap-tiap elemen pada A dikalikan dengan k

2) 4 -3 2 -11A 2 0 6 5 Tentukan 3A, A2

1 3 4 -2

Jawab :

12 -9 6 -3

3A 6 0 18 15

3 9 12 -6

3 12 2

-52

-312 2

-2 -1 1 A -1 0 -3 2

- -2 1

Sifat-sifat operasi Matrik :

* A B B A komutatif

* A (B C) (A B) C asosiatif

* k(A B) kA kB k sembarang bilangan

* A(B C) AB AC distributif

* (A B)C AC BC

distributif

* A(BC) (AB)C asosiatif

Pada umumnya :

AB BA

AB 0 tidak berakibat A 0 atau B 0

AB AC tidak berakibat B C

Latihan :

3.

4.

5.

6.

7

8

9

10