Modeliranje i simulacija

MODELIRANJE I

SIMULACIJA

Eksperiment i teorija

U osnovi svih fizičko-tehničkih nauka ležeeksperimenti i merenja.

Na osnovu merenja vršenih u nekomeksperimentu, na nekom realnom fizičkomobjektu, postuliraju se izvesni zakoni, na kojima segradi teorija.

Zadatak teorije je da predvidi rezultate koji sepotvrđuju novim eksperimentima.

Fizički sistemi i procesi

Sistem u kome se dešava neka složena fizička

pojava (jedan ili, najčešće, više fizičkih procesa)

nazivamo fizički sistem.

Fizički sistem sastoji se od elemenata.

Originali i modeli

Pod objektom podrazumevamo različite fizičkesisteme i procese.

Ako se između dva objekta može ustanovitisličnost u bilo kakvom određenom smislu, tadaizmeđu njih postoji odnos originala i modela.

Najvažnija sličnost je sličnost njihovih ponašanja.

Šta je to model?

U najopštijem smislu model je pojednostavljeni pogled na

stvarnost

Formalno se može definisati i kao opis ili specifikacija

sistema i njegovog okruženja za neku određenu svrhu.

Analitički i sintetički model

Analitički

model

Sintetički

model

Fizički sistem Fizički sistem

Ap

str

akcija

Re

aliz

acija

Pro

sto

r

mo

de

laR

ea

lno

st

Modeliranje i simulacija

Proces izgradnje modela naziva se modeliranje ilimodelovanje (Br. Engl. Modelling, Am. Engl.Modeling).

Korišćenje modela za određivanje očekivanogponašanja sistema naziva se simulacija.

Model i simulacija

Stanje i prostor stanja

sistema

Stanje sistema predstavlja skup vrednosti veličinakoje određuju njegovo ponašanje.

Moguće je različito prikazivanje stanja sistema:npr. analitičko (X1, X2, X3,...), grafičko, tabelarno,...

Prostor u kome se svako stanje prikazujeodređenom tačkom naziva se prostor stanjasistema, ili jednostavnije, prostor stanja.

Prostor stanja

Prostor stanja je n-dimenzioni prostor(hiperprostor). Svako stanje predstavlja tačku (X1,X2, X3,... Xn), u prostoru stanja. Ova tačka se nazivareprezentativna tačka, a promenljive X1, X2, X3,...Xn se nazivaju koordinate sistema. Ponekad sekaže i da “vrh” reprezentativne tačke određujevektor stanja sistema (X1, X2, X3,... Xn) a dimenzija nstepen slobode sistema .

Diskretni i kontinualni prostor

stanja

Oblast prostora stanja u kojoj se može nalazitireprezentativna tačka naziva se oblast dopuštenih stanja.

Ako svaka tačka u oblasti dopuštenog stanja može bitireprezentativna, onda je prostor stanja neprekidan(kontinualan), u suprotnom on je diskretan.

Ulazne veličine sistema

Promena stanja sistema naziva se kretanje

sistema, i ono može da nastane kako pod

uticajem spoljašnjih dejstava, tako i kao rezultat

procesa koji se odvijaju unutar samog sistema.

Spoljašnja dejstva koja izazivaju kretanje sistema

nazivaju se ulazne veličine (ulazna dejstva, ili,najjednostavnije, ulazi) sistema.

Dejstvo sistema na okolnu sredinu karakterišu vrednosti

pro-menljivih koje se nazivaju izlazne veličine (izlazna

dejstva, ili, najjednostavnije, izlazi) sistema.

Izlazne veličine sistema

Sistem čije je unutrašnje uređenje nepoznato za

spoljašnjeg posmatrača (tj. poznate su samo ulazne i

izlazne veličine) naziva se crna kutija.

Model crne kutije

Izomorfni sistemi i

homomorfni model

Sistemi koje karakterišu jednaki skupovi

ulaznih i izlaznih veličina i jednaka

promena izlaznih veličina pri jednakoj

promeni ulaznih veličina nazivaju se

izomorfni sistemi.

Sistem B dobijen od polaznog sistema A

njegovim uprošćavanjem (npr.

smanjivanjem broja koordinata, ili

grubljom procenom njihovih vrednosti)

naziva se homomorfni model sistema A.

Fizičko i matematičko

modelovanje

Fizičko modelovanje polazi od istovetnostifizičke prirode (tj. ulaznih i izlaznih veličina)objekta i modela, s tim da je običnomodel manje srazmere od originala.

Opis sistema nekim formalnim jezikomnaziva se matematički model (poštomatema-tički opis ne može biti idealnotačan, matematički modeli ne opisujurealne sisteme već njihove homomorfnemodele).

Analogni modeli

Matematički modeli najčešće predstavljaju jednu

jednačinu ili sistem jednačina. Jednačine mogu

biti algebarske, diferencne, obične i parcijalne

diferencijalne, integralne, ...

Matematički modeli istog oblika a različite fizičke

prirode nazivaju se analogni modeli.

Analogni modeli koji će se

proučavati:

Mehanički sistemi (kretanje čvrstih tela);

Fluidni sistemi (hidraulični sistemi – kretanjetečnosti, pneumatski sistemi – kretanje gasova);

Termički sistemi (prenos toplotne energije);

Električni sistemi (prenos naelektrisanja).

Klasifikacija matematičkih

modela

Prema prirodi promenljivih veličina mogu biti:

deterministički (promenljive nisu slučajne veličine);

stohastički (promenljive jesu slučajne veličine).

Klasifikacija matematičkih

modela

Prema prirodi jednačina:

diskretni (jednačine su algebarske ili obične

diferencijalno-integralne);

raspodeljeni (parcijalne diferencijalne jednačine).

Klasifikacija matematičkih

modela

Prema obliku jednačina:

linearni (važi princip superpozicije);

nelinearni (ne važi princip superpozicije).

Klasifikacija matematičkih

modela

Prema promenama u vremenu:

statički (promenljive ne zavise od vremena – upitanju su algebarske jednačine);

dinamički (promenljive su vremenski promenljive,opisane su diferencijalnim jednačinama); onimogu biti:

stacionarni (ne zavise eksplicitno od vremena);

nestacionarni (zavise eksplicitno od vremena).

Klasifikacija matematičkih

modela

Prema obliku rešenja za fizičke veličine:

analitički (do rešenja se dolazi preko poznatih

funkcija);

numerički (do rešenja se dolazi numeričkim postupcima).