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Elemento de Estadística Descriptiva (Introducción, Métodos Tabualres, Métodos Gráficos, Métodos Numéricos, Deformación de Curvas) Regresión y Correlación Lineal Simple
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ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Del 03 de Septiembre al 26 de Septiembre del 2009
Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez SolarisMgs. Educación Superior
martinezsolaris@cotas.com.bomartinezsolaris@hotmail.com
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIANociones Generales
182
46
134
32
0
50
100
150
200
Negativo Positivo
Femenino
Masculino
HAI
SexoTotal
Femenino Masculino
n % n % n %
Negativo 182 57.59 134 42.41 316 80.2
Positivo 46 58.97 32 41.03 78 19.8
Total 228 57.87 166 42.13 394 100
ESTADÍSTICA
DESCRIPTIVA
PROPOSITO
METODOS
INFERENCIAL
PROPOSITO
METODO
• TABULARES
• GRAFICOS•
NUMERICOS
PROBABILISTICO
¿Qué es?...
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Nociones Generales
Características
Ciencia encargada de la Recolección, Manipulación, Organización y Presentación de información de manera tal que ésta tenga una Confiabilidad determinada
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Nociones Generales
Población NParámetros µ, σ2, p, etc
Muestra n=?Estadístico
sEstadígrafo
s
Deducción
TECNICAS DE MUESTREO
INFERENCIA
ESTIMACION
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Nociones Generales
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Nociones Generales
MUESTRA Tipos
Probabilística
No Probabilística
Azar
Arbitraria
MUESTREO
Probabilístico
No Probabilístico
MAS, MAP y MAE
POBLACION
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Nociones Generales
MUESTRA
Atributo
Variable
Cambiar
• Nombre
• Definición
• Rango de Valores
• Clasificación
Elementos
TiposCualitativas
Cuantitativas
Categorías
Discretas
Continuas
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Nociones Generales
Variable
• Nombre
• Definición
• Rango de Valores
• Clasificación
Elementos
Medirse
Escalas de Medición
Nominal
De Razón
+
Ordinal
De Intervalo
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Métodos Tabulares
DESCRIPTIVA
METODOS
TABULARES
Sea X y Y dos variables y sea x1, x2, … xn y y1, y2, … yn, valores que toman las variables X y Y, y sean “a” y “b” dos constantes. Entonces:
Sumatoria
Propiedades
x1 + x2 + x3 + …xn y1 + y2 + y3 + …yn
n
iyi
1
n
ixi1
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Propiedades de Sumatoria
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Métodos Tabulares/Ordenamiento
17
18
18
16
21
15
17
19
20
18
16
18
Edad (años)
Ordenándolo
15
16
16
17
17
18
18
18
18
19
20
21
Edad (años)
Valores extremos
Valores mas frecuente
Valores extremos
Desventaja
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Cuadro de Frecuencia
Edad (años
)fi fr Fia Fra
15 1 8.3 1 8.3
16 2 16.7 3 25.0
17 2 16.7 5 41.7
18 4 33.3 9 75.0
19 1 8.3 10 83.3
20 1 8.3 11 91.7
21 1 8.3 12 100
Total 12 100
Cuadros de Frecuencia
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Cuadro de Frecuencia
Lugar de realización del Diplomado n %
Extranjero 19 13.87
Universidad Objeto de Estudio 87 63.50
Otras universidades bolivianas 31 22.63
Total 137 100
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Cuadro de Frecuencia
67.7 39.2 52.5 42.3 69.8 61.2
63.9 37.2 45.7 41.7 69.1 55.5
64.9 38.9 52.4 41.9 69.2 58.9
68.3 39.2 52.6 42.7 70.0 61.9
68.3 39.2 53.3 45.5 70.1 63.2
Cuadro de Frecuencia
La Estadística ofrece otra alternativa Tablas de Frecuencias Absolutas y Relativas
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Tabla de Frecuencia
Procedimiento
Definir el Número de Intervalos
K = 1 + 3.33* log n
≥ 5 ó ≤ 20 ó 25
Sturges
Tipo de Intervalos (Li - LS]
Ac = A/kA = Valor Máx.- Valor Mín.
Ac = Ajustada
MD = (RI – A)/2
RI = Ac*K > A
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Tabla de Frecuencia
Intervalos de Clases PMC fi fr Fia Fra
37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27
42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37
48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50
53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57
59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70
64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1
30 1
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Métodos Gráficos
Métodos Gráficos Clásicos
Diagrama de Puntos
Histograma
Polígono de Frecuencias
Ojiva
Diagrama de Sectores
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Diagrama de Puntos
15 16 17 18 19 20 21
Edad (años)
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Histograma
02468
10
Tiempo (minutos)
Núm
ero
de E
stud
iant
es
(fi)
Histograma de Frecuencias Absolutas
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Polígono de Frecuencias
0
2
4
6
8
10
39.85 39.85 45.35 50.85 56.35 61.85 67.35 72.85
Puntos Medios de Clases
Núm
ero
de E
stud
iant
es
(fi)
Polígono de Frecuencias Absoluta
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Ojiva
0
10
20
30
40
37.1 42.6 48.1 53.6 59.1 64.6 70.1
Tiempos (minutos)
fia
Ojiva/Polígono de Frecuencias Acumuladas
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Diagrama de Sectores
Lugar de realización de estudios Postgraduales
n Grados
Extranjero 19 50
Universidad de Interés 87 229
Otras universidades bolivianas 31 81
Total 137 360
137-------360
19 ------- x
(19*360)
X= = 49.9
137
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Diagrama de Sectores
Lugar de realización de estudios postgraduales
Universidad de Interés
63.50%
Extranjero13.87%
Otras universidades
bolivianas22.63%
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Métodos Numéricos (Medidas de Tendencia Central)
Cuando se desea comparar dos o más poblaciones o bien muestras, y si las variables de interés son de carácter numérico …
Los métodos tabulares no son los más recomendables
La Estadística oferta otra herramienta llamada Métodos Numéricos
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Medidas de Tendencia Central
Métodos Numéricos
Medidas de Tendencia Central
Medidas de Dispersión
Localizan el centro de una base de datos numéricas
Cuantifican cuánto se dispersan los datos de una medida de tendencia central
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central
Medidas de Tendencia Central
Promedio
Moda
Media Ponderada
Mediana
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central/Promedio
Promedio
Población
Muestra
Media µ Poblacional
Es la sumatoria de las observaciones que toma una variable dividido entre el total de éstas
Se interpreta como el punto de equilibrio de una base de datos numéricas
Media Muestral
x
Tiempo (minutos)
52.6
38.9
68.3
67.2
63.9
64.9
68.3
39.2
42.3
61.9
567.5
56.75
Suma
Promedio
Desviaciones
-4.15
-17.85
11.55
10.45
7.15
8.15
11.55
-17.55
-14.45
5.15
0Suma
Propiedad
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central
01
n
i
xxi
xxi
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central
Media en datos tabulados
Si la tabla no presenta clases abierta es posible hacer una estimación de la media tomando en cuenta lo siguiente:
• PMC es el promedio de las observaciones de las observaciones que caben dentro del intervalos.
• PMC*fi proporciona una estimación de la suma de las observaciones que caben en el intervalo y como una tabla tiene k-ésimo intervalos entonces:
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central
Intervalos de Clases
PMC fi
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
30
PMC*fi
318.8
136.05
203.4
112.7
247.4
606.15
1624.5
1624.5 = = 54.15 30 x
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central
Cargo fi Salario
Rector 1 2000
Asesores 2 1200
Vic. Académico 1 1150
Vic. Administrativo 1 1250
Jefe de Carrera C.S 2 1000
Jefe de Carrera 5 800
Administrativo 2 600
Secretarias 9 120
Cuando los datos tienen diferente peso dentro de la base de datos, si desea obtener el promedio, la media aritmética no es la más indicada
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central
Cargo fi (wi)Salario
(xi)
Rector 1 2000
Asesores 2 1200
Vic. Académico 1 1150
Vic. Administrativo 1 1250
Jefe de Carrera C.S 2 1000
Jefe de Carrera 5 800
Administrativo 2 600
Secretarias 9 120
Xiwi
2000
2400
1150
1250
2000
4000
1200
1080
15080
15080 = = 655.65 23wx
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central
Mediana (Me)
Datos sin tabular
Datos tabulados
Si los datos no se distribuyen simétricamente (curva simétrica) el promedio no es la mejor medida para localizar el centro de los mismos
(b-a)(0.5- c)Me = a + d
Me = xn/2 + 0.5
• Ordenar
Impar
Par
n
Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central
Tiempo (minuto
s)38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
Tiempo (minuto
s)38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
n es impar
Me
Me = xn/2 + 0.5
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central
Tiempo (minuto
s)38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
68.3
Tiempo (minuto
s)38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
68.3
n es par
Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2
61.9 + 63.9Me = = 62.9 262.9
Mediana es aquella medida de tendencia central que antes y después de ella no existe más del 50% de la información
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central
(b-a)(0.5- c)Me = a + d
a = Límite inferior de la clase de la Me
b = Límite superior de la clase de la Me
c = Fra una clase antes de la clase de la Me (Nj-1)
d = fr de la clase de la Me
Clase de la Mediana• Complete la columna
Fia• Localice la menor Fia
> n/2• La clase a la que
pertenece esta frecuencia es la clase de la mediana (Nj)
• La Clase antes de Nj es Nj -1
Intervalos de Clases
PMC fi fr Fia Fra
37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27
42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37
48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50
53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57
59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70
64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central
(b-a)(0.5- c)Me = a + d
a = Límite inferior de la clase de la Me
b = Límite superior de la clase de la Me
c = Fra una clase antes de la clase de la Me (Nj-1)
d = fr de la clase de la Me
n = 30
n/2 = 15
Nj = 17… (53.6 – 59.1)
Nj- 1 = (48.1 – 53.6)
(59.1-53.6)(0.5- 0.5)Me = 53.6 + = 53.6 0.07
Ubicación de la clase de la Me
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central
Connotancia de Moda (Mo) en Estadística
En caso de existir es la (s) observación (nes) que más se repiten en una base de datos
Tiempo (minuto
s)38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
68.3
Distribuciones:
Unimodales
Bimodales
Etc.
Mo
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central
(ficmo- ficpremo)
Mo = Licmo + Acmo
(ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)
Donde:
Licmo: Límite inferior de la Clase Modal
Acmo: Ancho de clase de la Clase Modal
Ficmo: Frecuencia absoluta de la Clase Modal
Ficpremo: Frecuencia absoluta de la Clase Premodal
Ficpostmo: Frecuencia absoluta de la Clase Postmodal
Clase Modal es la (s) que tiene(n) la mayor (es) fi
Intervalos de Clases PMC fi
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central
(ficmo- ficpremo)
Mo = Licmo + Acmo
(ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)
(9 - 4)
Mo = 64.6 + 5.5 = 66.56
(9 - 4) + (9 – 0)
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Dispersión
Medidas de Dispersión
Rango/Distancia/Amplitud o Recorrido
Varianza (Variancia)
Desviación Típica o Estándar
Coeficiente de Variación
Una medida de tendencia central por si sola no es tan importante. Por esta razón debe estar acompañada de una medida de dispersión
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Dispersión
Rango Rango = Valor Máximo – Valor Mínimo
Varianza
Población ( σ²)
Muestra (S²)
Es el promedio de las desviaciones al cuadrado de las observaciones que toma una variable respecto a su media
2
12
N
xiN
i
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Dispersión
xi(Desviaciones)
2
52.6 17.2225
38.9 318.6225
68.3 133.4025
67.2 109.2025
63.9 51.1225
64.9 66.4225
68.3 133.4025
39.2 308.0025
42.3 208.8025
61.9 26.5225
Sumatoria 567.5 1372.725
Promedio 56.75
1372.725
S² = = 152.525mi²/est²
10 - 1
Desventaja
Desviación Típica S = √S²
S = √152.525 = 12.35 min/est
Interpretación x ± S
56.75 ± 12.35 min/est.
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA
Intervalos de Clases
PMC fi
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
Si la tabla no presenta clases abierta es posible hacer una estimación de la varianza de la siguiente forma:
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Dispersión
Intervalos de Clases
PMC fi
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
PMC*fi PMC2*fi
318.8 12704.18
136.05 6169.8675
203.4 10342.89
112.7 6350.645
247.4 15301.69
606.15 40824.203
1624.5 91693.475
774.124
13030
5.1624475.91693
2
2
S
70.11774.124 S
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Dispersión
Todas las medidas de dispersión expuestas anteriormente son dimensionales (toman las unidades de medidas de las variables)
Existe otra medida de dispersión pero adimensional llamadas Coeficiente de Variación o Dispersión Relativa
x
SVC. 100*.
x
SVC
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Dispersión
Las medidas de dispersión cuantifican cuánto se dispersan los datos alrededor de una medida de tendencia central, pero, ¿Para donde se desvían los datos?, a la izquierda de la media, a la derecha o se distribuyen simétricamente.
Existen otras medidas aplicable solo a curvas unimodales que tratan de las deformación de curvas tanto de forma horizontal como vertical
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Deformación de Curvas Unimodales
Asimetría
Asimetría Negativa
Asimetría Positiva
Curvas Simétricas
> Me > Mox
< Me < Mox
= Me = Mox
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Deformación de Curvas Unimodales
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Deformación de Curvas Unimodales
Curtosis
Curva Platicúrtica
Curva Leptocúrtica
Curva Mesocúrtica
Kur > 3
Kur < 3
Kur = 3
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple
Y
X1
X2...
Xi
En el desarrollo de los eventos, puede ser que una variable sea afectada por el comportamiento de otra (s) variable (s)
Es de interés poder cuantificar este tipo de relación de manera que se pueda predecir una variable en función de otra
En Regresión Lineal Simple es de interés cuando una variable afecta el comportamiento de otra variable
Y: Variable Dependiente
X: Variable Independiente
Y = f(X)Propósito de la R.L.S: Predicción
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple
Por análisis de regresión se entiende al conjunto de métodos estadísticos que tratan con la formulación de modelos matemáticos que describen la relación entre variables y el uso de estas relaciones modeladas con el propósito de predecir e inferir.
Por Regresión Lineal Simple se entiende …
Supuestos del Análisis de Regresión Lineal Simple
“Y” es una variable aleatoria cuya distribución probabilística depende de “X”
Modelo de la Línea RectaHomogeneidad de VarianzaNormalidadIndependencia
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple/Diagrama de
Dispersión
Llamado también Ploteo de Datos, tiene como propósito mostrar la posible tendencia (en caso de existir) entre las variables “X” y “Y”.
Consiste en llevar los pares de valores “x, y” a un sistema de coordenadas (bidimensional)
Y
X
(x, y)
Rango de Sueldo (X) Inasistencias (Y)11 1810 178 295 369 119 267 283 35
11 148 207 322 399 168 266 313 40
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple/Diagrama de
Dispersión
0 2 4 6 8 10 120
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Rango de Salario
Inas
iste
nci
a
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos
Cuadrados
El supuesto No 2 de RLS plantea que de existir una relación entre “X” y “Y”, ésta es una línea recta, por lo tanto se puede pensar en una ecuación de la siguiente forma:
De tal manera que se llegue a obtener una ecuación de la siguiente naturaleza:
Parámetros
Estimación
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos
Cuadrados
Uso de la Técnica de Mínimos Cuadrados (Carl Gauss)
A partir de muestras (x1, y1), (x2, y2), …(xi, yi) de las variables “X” y “Y”, se trata de obtener los estimadores . Para ello la Técnica de Mínimos Cuadrados minimiza la suma de cuadrado de las distancias entre los valores observados y los estimados de tal manera que :
Y
X
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple/Recta de Estimación
Estimada una vez la recta de Predicción y teniendo en cuenta que el propósito de la R.L.S es la predicción, se hace necesario estar seguro que la ecuación estimada es capaz de predecir.
Por esta razón es necesario validar la ecuación estimada
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de
Estimación
Validación
Cálculo de Coeficiente de Determinación R²
Análisis de Varianza de la Regresión “ANARE”
Cuantifica la cantidad de la variabilidad de “Y” que puede ser explicada por “X”R² ≥ 70%
ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de
Estimación/ANARE
Por análisis de Varianza se entiende, de forma general, a la partición de la variación total en fuente de variación conocida que en el caso de R.L.S son de acuerdo al siguiente modelo aditivo lineal:
xi= Variación debida a Regresiónεi = Variación debida al Error
FV gl SC CM FcFt
(Pr>F)Regresión
1SCRegresión
CMRegresión
CMRegresión/CMError
Error n-2 SCError CMErrorTotal n.1 SCTotales
Regla de DecisiónNRHo : Fc ≤ Ft
RHo : Fc > Ft
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