Problemas resueltos de ecuaciones e inecuaciones con intervalos

ECUACIONES E INECUACIONES CON INTERVALOS 1 - PROBLEMAS DE CLASE: 01. Resolver: |3𝑥 − 9| = 6

Aplicamos la propiedad:

|𝑎| = 𝑏 ⟷ 𝑏 ≥ 0 ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)

|3𝑥 − 9|⏟ 𝑎

= 6⏟𝑏

Como 6 > 0 entonces:

3𝑥 − 9 = 6 ∨ 3𝑥 − 9 = −6 3𝑥 = 15 ∨ 3𝑥 = 3 𝑥 = 5 ∨ 𝑥 = 1

∴ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: {5 ; 1}

02. Hallar el conjunto solución de |2𝑥 − 4| = −3

Aplicamos la misma propiedad del ejercicio 1

|𝑎| = 𝑏 ⟷ 𝑏 ≥ 0 ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)

Observamos que: |2𝑥 − 4|⏟ 𝑎

= −3⏟𝑏

Pero 𝑏 = −3 y para aplicar la propiedad se debe cumplir que 𝑏 ≥ 0 Por lo tanto no tiene solución en el conjunto R. Entonces: conjunto solución: ∅

03. Resolver: |𝑥 − 6| = 0

Aplicamos la misma propiedad del ejercicio 1 y 2

|𝑎| = 𝑏 ⟷ 𝑏 ≥ 0 ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)

Observamos que: |𝑥 − 6|⏟ 𝑎

= 0⏟𝑏

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒 𝑎: 𝑥 − 6 = 0 Luego: 𝑥 = 6 ∴ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: {6}

04. Resolver: |3𝑥 − 4| = 2𝑥 + 10

Aplicamos la misma propiedad utilizada anteriormente:

|𝑎| = 𝑏 ⟷ 𝑏 ≥ 0 ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)

Observamos que: |3𝑥 − 4|⏟ 𝑎

= 2𝑥 + 10⏟ 𝑏

Hacemos que se cumpla la condición: 𝑏 ≥ 0

2𝑥 + 10 ≥ 0 2𝑥 ≥ −10 𝑥 ≥ −5 Ahora continuamos aplicando la propiedad: 3𝑥 − 4 = 2𝑥 + 10 ∨ 3𝑥 − 4 = −2𝑥 − 10 3𝑥 − 2𝑥 = 10 + 4 ∨ 3𝑥 + 2𝑥 = −10 + 4 𝑥 = 14 ∨ 5𝑥 = −6

𝑥 = 14 ∨ 𝑥 = −6

5

Ahora graficamos en la recta numérica:

Se observa que como 𝑥 ≥ −5 entonces se produce

intersección en los 2 puntos −6

5 y 14

∴ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: {−6

5 ; 14}

05. Resolver: |4𝑥 − 1| = 2𝑥 − 1 Aplicamos la propiedad

|𝑎| = 𝑏 ⟷ 𝑏 ≥ 0 ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)

Observamos que: |4𝑥 − 1|⏟ 𝑎

= 2𝑥 − 1⏟ 𝑏

Hacemos que se cumpla la condición: 𝑏 ≥ 0

2𝑥 − 1 ≥ 0 2𝑥 ≥ 1

𝑥 ≥1

2

Ahora continuamos aplicando la propiedad: 4𝑥 − 1 = 2𝑥 − 1 ∨ 4𝑥 − 1 = −2𝑥 + 1 4𝑥 − 2𝑥 = −1 + 1 ∨ 4𝑥 + 2𝑥 = 1 + 1 2𝑥 = 0 ∨ 6𝑥 = 2

𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 1

3

Ahora graficamos en la recta numérica:

Se observa que como 𝑥 ≥1

2 entonces no hay

intersección con ninguno de los 2 puntos por lo tanto el conjunto solución es el vacío, no tiene solución en R.

06. Hallar las raíces de la ecuación: |3𝑥 − 10| =|2𝑥 + 5|

Aplicamos la propiedad: |𝑎| = |𝑏| ⟷ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)

|3𝑥 − 10|⏟ 𝑎

= |2𝑥 + 5|⏟ 𝑏

3𝑥 − 10 = 2𝑥 + 5 ∨ 3𝑥 − 10 = −2𝑥 − 5

3𝑥 − 2𝑥 = 5 + 10 ∨ 3𝑥 + 2𝑥 = −5 +10 𝑥 = 15 ∨ 5𝑥 = 5

𝑥 = 15 ∨ 𝑥 = 1

∴ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: {15; 1}

07. Resolver: |3𝑥+2

𝑥−1| = 10

Aplicamos la propiedad:

|𝑎| = 𝑏 ⟷ 𝑏 ≥ 0 ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)

|3𝑥 + 2

𝑥 − 1|

⏟ 𝑎

= 10⏟𝑏

-5 -6

5 14

1

2 0 1

3

Como 10 > 0 entonces:

3𝑥 + 2

𝑥 − 1= 10 ∨

3𝑥 + 2

𝑥 − 1= −10

3𝑥 + 2 = 10(𝑥 − 1) ∨ 3𝑥 + 2 = −10(𝑥 − 1) 3𝑥 + 2 = 10𝑥 − 10 ∨ 3𝑥 + 2 = −10𝑥 + 10 12 = 7𝑥 ∨ 13𝑥 = 8 12

7= 𝑥 ∨ 𝑥 =

8

13

∴ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: {12

7 ;8

13}

08. Resolver: ||𝑥 − 3| − 5| = 2

Aplicamos la propiedad:

|𝑎| = 𝑏 ⟷ 𝑏 ≥ 0 ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)

||𝑥 − 3| − 5|⏟ 𝑎

= 2⏟𝑏

Como 2 > 0 entonces:

|𝑥 − 3| − 5 = 2 ∨ |𝑥 − 3| − 5 = −2 |𝑥 − 3| = 7 ∨ |𝑥 − 3| = 3 Otra vez Aplicamos 2 veces la propiedad:

|𝑎| = 𝑏 ⟷ 𝑏 ≥ 0 ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)

|𝑥 − 3|⏟ 𝑎

= 7⏟𝑏

∨ |𝑥 − 3|⏟ 𝑎

= 3⏟𝑏

Como 7> 0 entonces: como 3 > 0 entonces:

𝑥 − 3 = 7 ∨ 𝑥 − 3 = −7 𝑥 − 3 = 3 ∨ 𝑥 − 3 = −3 𝑥 = 10 ∨ 𝑥 = −4 𝑥 = 6 ∨ 𝑥 = 0

∴ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: {−4 ; 0 ; 6 ; 10} 09. Hallar las raíces de la ecuación: |3𝑥 − 9| − |2𝑥 − 6| = 4 Sacamos factor común y reducimos la expresión así: 3|𝑥 − 3| − 2|𝑥 − 3| = 4 |𝑥 − 3| = 4 Aplicamos la propiedad:

|𝑎| = 𝑏 ⟷ 𝑏 ≥ 0 ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)

|𝑥 − 3|⏟ 𝑎

= 4⏟𝑏

Como 4 > 0 entonces:

𝑥 − 3 = 4 ∨ 𝑥 − 3 = −4 𝑥 = 7 ∨ 𝑥 = −1

∴ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: {−1 ; 7} 10. Resolver: |6𝑥 − 4| < 3

Aplicamos la propiedad: |𝑥| < 𝑏 ⟷ 𝑏 ≥ 0 ∧ (−𝑏 < 𝑥 < 𝑏)

|6𝑥 − 4|⏟ 𝑥

< 3⏟𝑏

Como s e v e r i f ica q u e 3 > 0 , e nto nc es :

−3 < 6𝑥 − 4 < 3

1

6 < 𝑥 <

7

6

−3 + 4 < 6𝑥 − 4 + 4 < 3 + 4 1 < 6𝑥 < 7

1

6<6𝑥

6<7

6

1

6< 𝑥 <

7

6

∴ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: ⟨1

6; 7

6⟩

11. Hallar el conjunto solución de: |3𝑥 − 2| < 𝑥 + 3

propiedad: |𝑥| < 𝑏 ⟷ 𝑏 > 0 ∧ (−𝑏 < 𝑥 < 𝑏)

|3𝑥 − 2|⏟ 𝑥

< 𝑥 + 3⏟ 𝑏

ve r i f ica mos q u e b > 0 , e n tonc es :

𝑥 + 3 > 0

𝑥 > −3

Lue go:

−𝑥 − 3 < 3𝑥 − 2 < 𝑥 + 3

−𝑥 − 3 < 3𝑥 − 2 ∧ 3𝑥 − 2 < 𝑥 + 3

−3 + 2 < 3𝑥 + 𝑥 ∧ 3𝑥 − 𝑥 < 3 + 2

−1 < 4𝑥 ∧ 2𝑥 < 5

−1

4 < 𝑥 ∧ 𝑥 <

5

2

Gra f ica mos e n la r ecta lo s 3 i n te rva los : x> -3

x >-1/ 4 ; x<5 /2

y ob se rvamo s la i n te rs ec c ión, lo cu a l no s d a como r es p ue st a qu e e l co nj u nto so l uc ión e s:

⟨−1

4 ; 5

2⟩

12. Resolver: |3𝑥 − 5| < −2

Como b < 0 y ningún valor absoluto es menor que un negativo entonces el conjunto solución es vacío, es decir no tiene solución en R. 13. Hallar el conjunto solución de: |2𝑥 − 3| > 3

𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑

|𝑥| > 𝑏 ⟷ 𝑥 > 𝑏 ∨ 𝑥 < −𝑏

2𝑥 − 3 > 3 ∨ 2𝑥 − 3 < −3

2𝑥 > 6 ∨ 2𝑥 < 0

𝑥 > 3 ∨ 𝑥 < 0

Gra f ica mos e n l a r ect a y ha l l amo s la un ió n: ∴ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:< −𝛼; 0 > 𝑈 < 3;+𝛼 >