Seções Cônicas - Hipérbole

HipérboleHistória, Conceituação, Elementos, Equações, Assíntotas, Casos Especiais e Aplicações Práticas

História

História

O período de cerca de 300 a 200 a.C.

foi denominado Idade Áurea da

Matemática grega por, nessa época,

terem se destacado três grandes

nomes principais: Euclides, Arquimedes

e Apolônio de Perga.

História

Apolônio demonstrou que as

três espécies de cônicas

podiam ser obtidas

simplesmente ao variarmos a

inclinação de um plano

qualquer que seccionasse

determinada região específica

de um único cone circular reto.

História

Das obras de Apolônio que

não se perderam, a mais

importante se intitula “As

Cônicas”. Ela foi capaz de

aperfeiçoar e surpreender

todos os estudos anteriores

sobre o assunto.

Exemplos

Exemplos

Conceituação

Conceituação

Vimos, então, que uma hipérbole é um

tipo de secção cônica definida como

a interseção entre uma superfície

cônica circular regular (dupla) e

um plano paralelo ao seu eixo de

formação.

Conceituação

Matematicamente falando, também pode ser

definida como o conjunto de todos

os pontos coplanares para os quais a diferença das

distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é

constante.

Mas, o que isso significa?

• Focos: F1 e F2

• Ponto Genérico: P (x, y)

• Distância Focal: d(F1, F2)

| d’(P, F1) - d”(P, F2) |= Constante

0 < Constante < Distância Focal

Conceituação

1° Exemplificação

Todos os pontos dessa

hipérbole, quando

submetidos à relação

fundamental, resultarão

sempre no mesmo valor.

• Distância Focal = 6

• Constante = 4

Elementos

Elementos

• Focos: F’ e F”

• Distância Focal: 2c

• Vértices: V’ e V”

• Eixo Real: 2a

• Centro: O

• Eixo Imaginário: 2b

• “Limites” do Eixo Imaginário: B’ e B”

• Excentricidade: c/a

• c² = a² + b²

Assíntota’

Assíntota”

2° Exemplificação

Determine :

• Centro;

• Focos;

• Vértices;

• Distância Focal;

• Eixo Real;

• Eixo Imaginário;

• Excentricidade;

Tipos de

Hipérbole

Tipos de Hipérbole

Uma hipérbole se classifica em 2 casos de acordo

com a localização de seu centro e em 4 casos de

acordo com a posição de seu Eixo Real.

Eixo Real sobre o Eixo X Eixo Real sobre o Eixo Y

Tipos de Hipérbole: C(0, 0)

Eixo Real paralelo ao Eixo X Eixo Real paralelo ao Eixo Y

Tipos de Hipérbole: C(x, y)

Equações

1° Caso:

• C (0, 0);

• F1 (– c, 0);

• F2 (c, 0);

• Quaisquer pontos P da

hipérbole possuirão

coordenadas (x, y).

1° Caso:

𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎

• Substituindo o valor das coordenadas de P, F1 e F2:

[𝑥 − −𝑐 ]2+(𝑦 − 0)² − (𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)² = 2𝑎

𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 − (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 2𝑎

1° Caso:

𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦² = (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦² + 2𝑎

• Elevando ambos os lados da equação ao quadrado:

𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 = 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 + 4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦² + 4𝑎²

4𝑐𝑥 − 4𝑎² = 4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦²

1° Caso:

4𝑐𝑥 − 4𝑎² = 4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦²

• Simplificando o termo 4 e elevando a equação ao quadrado:

𝑐𝑥 − 𝑎2 2 = 𝑎2 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑎2𝑦²

𝑐2 − 𝑎2 𝑥2 − 𝑎2𝑦² = 𝑎2(𝑐2 − 𝑎2)

1° Caso:

𝑐2 − 𝑎2 𝑥2 − 𝑎2𝑦² = 𝑎2(𝑐2 − 𝑎2)

• A partir da relação fundamental da hipérbole, temos que:

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏²

• Substituindo o valor de c² na equação anterior:

𝑏²𝑥2 − 𝑎2𝑦² = 𝑎2𝑏²

1° Caso:

𝑏²𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2

• Dividindo ambos os lados da equação por a²b²:

𝑥2

𝑎²−

𝑦2

𝑏2= 1

2° Caso:

• C (0, 0);

• F1 (0, – c);

• F2 (0, c);

• Quaisquer pontos

P da hipérbole

possuirão

coordenadas

(x, y).

2° Caso:

𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎

• Substituindo o valor das coordenadas de P, F1 e F2:

𝑥 − 0 2 + [𝑦 − − 𝑐 ]² − 𝑥 − 0² + (𝑦 − 𝑐)² = 2𝑎

𝑥2 + 𝑦 + 𝑐 2 − 𝑥2 + 𝑦 − 𝑐 2 = 2𝑎

2° Caso:

• Conclui-se que a posição dos valores de X e Y nas

coordenadas dos focos é o inverso do 1° Caso, logo,

simplificadamente:

𝑦2

𝑎²−

𝑥2

𝑏2= 1

3° Caso:

• C (𝑥𝑐, 𝑦𝑐);

• F1 (𝑥𝑐 − 𝑐, 𝑦𝑐);

• F2 (𝑥𝑐 + 𝑐, 𝑦𝑐);

• Quaisquer pontos P da

hipérbole possuirão

coordenadas (x, y).

3° Caso:

𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎

• Substituindo o valor das coordenadas de P, F1 e F2:

[𝑥 – (𝑥𝑐 − 𝑐)]² + (𝑦 − 𝑦𝑐)² + [𝑥 – (𝑥𝑐 + 𝑐)]² + (𝑦 − 𝑦𝑐)² = 2𝑎

3° Caso:

• Desenvolvendo a equação obtida da mesma forma

como foi feito nos 2 casos anteriores, temos a

formação da seguinte equação:

(𝑥 − 𝑥𝑐)2

𝑎²−

(𝑦 − 𝑦𝑐)2

𝑏2= 1

4° Caso:

• C (𝑥𝑐, 𝑦𝑐);

• F1 (𝑥𝑐, 𝑦𝑐 − 𝑐);

• F2 (𝑥𝑐, 𝑦𝑐 + 𝑐);

• Quaisquer pontos P da

hipérbole possuirão

coordenadas (x, y).

4° Caso:

𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎

• Substituindo o valor das coordenadas de P, F1 e F2:

𝑥 – 𝑥𝑐2 + [𝑦 − 𝑦𝑐 − 𝑐 ]² + 𝑥 – 𝑥𝑐

2 + [𝑦 − 𝑦𝑐 + 𝑐 ]² = 2𝑎

4° Caso:

• Analisando a posição dos termos obtidos na

equação anterior, observamos que, assim como o

2° Caso é oposto ao 1°, o 4° é oposto ao 3°. Assim:

(𝑦 − 𝑦𝑐)2

𝑎²−

(𝑥 − 𝑥𝑐)2

𝑏2= 1

3° Exemplificação

Determine a equação da hipérbole com focos

F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e Eixo Real medindo 16 unidades.

3° Exemplificação

Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de

equação:

𝑦²

16−

𝑥2

9= 1

Assíntotas

Equações das Assíntotas

Considerando a hipérbole ao

lado, temos: Centro (𝑥𝑐, 𝑦𝑐).

Sua representação algébrica é:

𝑥 − 𝑥𝑐2

𝑎2−

𝑦 − 𝑦𝑐2

𝑏2= 1

Equações das Assíntotas

• Isolando o membro Y da equação:

−𝑦 − 𝑦𝑐

2

𝑏2= 1 −

𝑥 − 𝑥𝑐2

𝑎2

• Multiplicando ambos os lados pelo fator -b²:

𝑦 − 𝑦𝑐2 = − 𝑏2 +

𝑏2

𝑎2𝑥 − 𝑥𝑐

2

Equações das Assíntotas

𝑦 − 𝑦𝑐2 = − 𝑏2 +

𝑏2

𝑎2𝑥 − 𝑥𝑐

2

• Extraindo a raiz quadrada do segundo membro da equação:

𝑦 − 𝑦𝑐 = ±𝑏2

𝑎2𝑥 − 𝑥𝑐

2 − 𝑏2

Equações das Assíntotas

• Aproximando:

𝑦 − 𝑦𝑐 ≈ ±𝑏

𝑎𝑥 − 𝑥𝑐

• Logo, obtemos as equações de ambas assíntotas:

𝑦 − 𝑦𝑐 = +𝑏

𝑎𝑥 − 𝑥𝑐 𝑦 − 𝑦𝑐 = −

𝑏

𝑎𝑥 − 𝑥𝑐

4° Exemplificação

Determine as equações das

assíntotas pertencentes à hipérbole

de equação:

𝑦²

9−

𝑥2

16= 1

Hipérbole

Equilátera

Hipérbole Equilátera

Quando temos b = a,

observamos que as assíntotas

tornam-se perpendiculares e

a hipérbole passa a ser

nomeada como hipérbole

equilátera.

Aplicações

Propriedade Reflexiva

Se um raio de luz

proveniente de um

ponto A incidir no

espelho em P, de forma

que a reta AP passe

pelo foco F´, então o

raio será refletido para o

outro foco F.

Telescópios Refrator

A desvantagem de um Telescópio

Refrator é que a lente possui a

capacidade de desfragmentar o raio

de luz.

Telescópios Refletor

A desvantagem de um Telescópio Refletor

Newtoniano é o limite de comprimento que o espelho

plano deve possuir.

Telescópios Cassegrain

Telescópios Cassegrain

Telescópio Espacial Hubble

Relógio Solar

Conclusão

Conclusão

Possui uma propriedade de reflexão bastante útil

quando se estuda fenômenos óticos, proporcionando

a ela diversas aplicações práticas no ramo da

Astronomia e da Física.

Os estudos acerca de suas propriedades são bastante

arcaicos e proporcionaram até mesmo a criação e

desenvolvimento dos relógios mais primitivos.

Alexandre de Araújo Barreto Filho

Felipe Costa Almeida

Gabriel Resende Miranda

Janaína Soares S. Torres Almeida

Matheus Machado de Araújo

Pedro Henrique Chagas Alves

Rayssa Souza Araújo

Sara da Silva Lopes

Tainara Gabriela Costa

3° Ano – Informática (IFTM – Campus Ituiutaba)

Integrantes