Seminar4: Zlatni Rez

Seminar 4

Eva, Marija,Renata, Ana,

PovijestPovijest zlatnog reza

Zapisi zlatnogreza

Zlatni rez umatematici

Zlatni rez uumjetnostiArhitektura

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Upitna otkricazlatnog reza

Zakljucak

Popis literature

Seminar 4Zlatni rez

Eva Marija Renata Ana Anita

PMF-Matematicki odjelSveucilište u Zagrebu

Zagreb, lipanj 2008.

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Sadržaj

1 PovijestPovijest zlatnog reza

2 Zapisi zlatnog reza

3 Zlatni rez u matematici

4 Zlatni rez u umjetnostiArhitekturaLikovna umjetnost

5 Zlatni rez u prirodi

6 Upitna otkrica zlatnog reza

7 Zakljucak

8 Popis literature

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Povijest zlatnog reza

poceci proucavanja su iz doba stare Grcke

Pitagora - Pitagorin pentagram

Dvije oznake

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Dvije oznake

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Dvije oznake

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Dvije oznake

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Dvije oznake

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Dvije oznakeφ

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Dvije oznakeφτ

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Povijesni razvoj zlatnog reza

Fidija (490. - 430. p. K.) - kipovi za Partenon

Platon (427. - 347. p. K.) - Platonova tijela

Euklid (325. - 256. p. K.) - prva poznata definicija

Johannes Kepler (1571. - 1630.) izjavljuje:

"Geometrija ima dva velika blaga: jedno jePitagorin teorem, a drugo je podjela linije u"krajnjem i srednjem omjeru"; prvo možemousporediti s mjerom zlata, a drugo možemonazvati dragocjenim draguljem."

Martin Ohm - 1835. god. prvi puta koristi naziv zlatni rez

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Johannes Kepler (1571. - 1630.) izjavljuje:"Geometrija ima dva velika blaga: jedno jePitagorin teorem, a drugo je podjela linije u"krajnjem i srednjem omjeru"; prvo možemousporediti s mjerom zlata, a drugo možemonazvati dragocjenim draguljem."

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Johannes Kepler (1571. - 1630.) izjavljuje:"Geometrija ima dva velika blaga: jedno jePitagorin teorem, a drugo je podjela linije u"krajnjem i srednjem omjeru"; prvo možemousporediti s mjerom zlata, a drugo možemonazvati dragocjenim draguljem."

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Vrijednost zlatnog reza

Definicija

Cjelina podijeljena na dva dijela je u omjeru zlatnog reza akoje omjer cjeline i veceg dijela jednak omjeru veceg i manjegdijela.

φ+ 1φ

⇒ φ2 − φ − 1 = 0⇒ φ =√

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Definicija

φ+ 1φ

⇒ φ2 − φ − 1 = 0⇒ φ =√

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Definicija

φ+ 1φ

⇒ φ2 − φ − 1 = 0⇒ φ =√

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Definicija

φ+ 1φ

φ2 − φ − 1 = 0⇒ φ =√

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Definicija

φ+ 1φ

⇒ φ2 − φ − 1 = 0

⇒ φ =√

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Definicija

φ+ 1φ

⇒ φ2 − φ − 1 = 0⇒

φ =√

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Definicija

φ+ 1φ

⇒ φ2 − φ − 1 = 0⇒ φ =√

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zlatni broj na 2000 decimala

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Verižni razlomak

Razvoj φ+1φ = φ u verižni razlomak:

φ = 1 + 1φ = 1 + 1

1+ 1φ

= 1 + 11+ 1

1+ 1φ

= · · · = 1 + 11+ 1

1+ 11+...

⇒ zlatni rez je iracionalan broj!

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Verižni razlomak

φ = 1 + 1φ

= 1 + 11+ 1

1+ 1φ

= · · · = 1 + 11+ 1

1+ 11+...

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Verižni razlomak

φ = 1 + 1φ = 1 + 1

1+ 1φ

= 1 + 11+ 1

1+ 1φ

= · · · = 1 + 11+ 1

1+ 11+...

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Verižni razlomak

φ = 1 + 1φ = 1 + 1

1+ 1φ

= 1 + 11+ 1

1+ 1φ

= · · · = 1 + 11+ 1

1+ 11+...

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Verižni razlomak

φ = 1 + 1φ = 1 + 1

1+ 1φ

= 1 + 11+ 1

1+ 1φ

= · · · = 1 + 11+ 1

1+ 11+...

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Verižni razlomak

φ = 1 + 1φ = 1 + 1

1+ 1φ

= 1 + 11+ 1

1+ 1φ

= · · · = 1 + 11+ 1

1+ 11+...

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Kvadratni korijen

φ2 − φ − 1 = 0

⇒ φ2 = φ+ 1 (φ ≥ 0)⇒ φ =√

1 + φ =√

1 +√

1 + φ

√1 +√

1 +√

1 + φ = · · · =

√1 +

√1 +√

1 + ...

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Kvadratni korijen

φ2 − φ − 1 = 0

⇒ φ2 = φ+ 1

(φ ≥ 0)⇒ φ =√

1 + φ =√

1 +√

1 + φ

√1 +√

1 +√

1 + φ = · · · =

√1 +

√1 +√

1 + ...

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Kvadratni korijen

φ2 − φ − 1 = 0

⇒ φ2 = φ+ 1 (φ ≥ 0)

⇒ φ =√

1 + φ =√

1 +√

1 + φ

√1 +√

1 +√

1 + φ = · · · =

√1 +

√1 +√

1 + ...

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Kvadratni korijen

φ2 − φ − 1 = 0

⇒ φ2 = φ+ 1 (φ ≥ 0)⇒ φ =√

1 + φ

1 +√

1 + φ

√1 +√

1 +√

1 + φ = · · · =

√1 +

√1 +√

1 + ...

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Kvadratni korijen

φ2 − φ − 1 = 0

⇒ φ2 = φ+ 1 (φ ≥ 0)⇒ φ =√

1 + φ =√

1 +√

1 + φ

√1 +√

1 +√

1 + φ = · · · =

√1 +

√1 +√

1 + ...

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Kvadratni korijen

φ2 − φ − 1 = 0

⇒ φ2 = φ+ 1 (φ ≥ 0)⇒ φ =√

1 + φ =√

1 +√

1 + φ

√1 +√

1 +√

1 + φ

= · · · =

√1 +

√1 +√

1 + ...

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Kvadratni korijen

φ2 − φ − 1 = 0

⇒ φ2 = φ+ 1 (φ ≥ 0)⇒ φ =√

1 + φ =√

1 +√

1 + φ

√1 +√

1 +√

1 + φ = · · · =

√1 +

√1 +√

1 + ...

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Potencije zlatnog reza

φ2 = φ+ 1

⇒ φ3 = φ+ φ2 = φ+ 1 + φ = 1 + 2φ⇒ φ4 = 2 + 3φ⇒ φ5 = 3 + 5φDobili smo niz:φ = 0 + φ , φ2 = 1 + φ , φ3 = 1 + 2φ , φ4 = 2 + 3φ ,φ5 = 3 + 5φ , ... , φn = Fn−1 + Fn · φ

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

φ2 = φ+ 1⇒ φ3 = φ+ φ2

= φ+ 1 + φ = 1 + 2φ⇒ φ4 = 2 + 3φ⇒ φ5 = 3 + 5φDobili smo niz:φ = 0 + φ , φ2 = 1 + φ , φ3 = 1 + 2φ , φ4 = 2 + 3φ ,φ5 = 3 + 5φ , ... , φn = Fn−1 + Fn · φ

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

φ2 = φ+ 1⇒ φ3 = φ+ φ2 = φ+ 1 + φ

= 1 + 2φ⇒ φ4 = 2 + 3φ⇒ φ5 = 3 + 5φDobili smo niz:φ = 0 + φ , φ2 = 1 + φ , φ3 = 1 + 2φ , φ4 = 2 + 3φ ,φ5 = 3 + 5φ , ... , φn = Fn−1 + Fn · φ

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

φ2 = φ+ 1⇒ φ3 = φ+ φ2 = φ+ 1 + φ = 1 + 2φ

⇒ φ4 = 2 + 3φ⇒ φ5 = 3 + 5φDobili smo niz:φ = 0 + φ , φ2 = 1 + φ , φ3 = 1 + 2φ , φ4 = 2 + 3φ ,φ5 = 3 + 5φ , ... , φn = Fn−1 + Fn · φ

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

φ2 = φ+ 1⇒ φ3 = φ+ φ2 = φ+ 1 + φ = 1 + 2φ⇒ φ4 = 2 + 3φ

⇒ φ5 = 3 + 5φDobili smo niz:φ = 0 + φ , φ2 = 1 + φ , φ3 = 1 + 2φ , φ4 = 2 + 3φ ,φ5 = 3 + 5φ , ... , φn = Fn−1 + Fn · φ

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

φ2 = φ+ 1⇒ φ3 = φ+ φ2 = φ+ 1 + φ = 1 + 2φ⇒ φ4 = 2 + 3φ⇒ φ5 = 3 + 5φ

Dobili smo niz:φ = 0 + φ , φ2 = 1 + φ , φ3 = 1 + 2φ , φ4 = 2 + 3φ ,φ5 = 3 + 5φ , ... , φn = Fn−1 + Fn · φ

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

φ2 = φ+ 1⇒ φ3 = φ+ φ2 = φ+ 1 + φ = 1 + 2φ⇒ φ4 = 2 + 3φ⇒ φ5 = 3 + 5φDobili smo niz:

φ = 0 + φ , φ2 = 1 + φ , φ3 = 1 + 2φ , φ4 = 2 + 3φ ,φ5 = 3 + 5φ , ... , φn = Fn−1 + Fn · φ

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

φ2 = φ+ 1⇒ φ3 = φ+ φ2 = φ+ 1 + φ = 1 + 2φ⇒ φ4 = 2 + 3φ⇒ φ5 = 3 + 5φDobili smo niz:φ = 0 + φ , φ2 = 1 + φ , φ3 = 1 + 2φ , φ4 = 2 + 3φ ,φ5 = 3 + 5φ , ... ,

φn = Fn−1 + Fn · φ

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

φ2 = φ+ 1⇒ φ3 = φ+ φ2 = φ+ 1 + φ = 1 + 2φ⇒ φ4 = 2 + 3φ⇒ φ5 = 3 + 5φDobili smo niz:φ = 0 + φ , φ2 = 1 + φ , φ3 = 1 + 2φ , φ4 = 2 + 3φ ,φ5 = 3 + 5φ , ... , φn = Fn−1 + Fn · φ

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Fibonnacijev niz

FnFn−1

dok n → ∞

φ = φn

φn−1 = · · · =Fn

Fn−1·φ+1

φ+ 1Fn−2Fn−1

FnFn−1

⇒ φ = x·φ+1φ+ 1

x⇒(1 + 1

⇒ x = φ⇒ Omjer dvaju uzastopnih clanova Fibonnacijevogniza jednak je omjeru zlatnog reza!

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Fibonnacijev niz

FnFn−1

dok n → ∞

φ = φn

φn−1

= · · · =Fn

Fn−1·φ+1

φ+ 1Fn−2Fn−1

FnFn−1

⇒ φ = x·φ+1φ+ 1

x⇒(1 + 1

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Fibonnacijev niz

FnFn−1

dok n → ∞

φ = φn

φn−1 = · · · =Fn

Fn−1·φ+1

φ+ 1Fn−2Fn−1

FnFn−1

⇒ φ = x·φ+1φ+ 1

x⇒(1 + 1

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Fibonnacijev niz

FnFn−1

dok n → ∞

φ = φn

φn−1 = · · · =Fn

Fn−1·φ+1

φ+ 1Fn−2Fn−1

FnFn−1

⇒ φ = x·φ+1φ+ 1

x⇒(1 + 1

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Fibonnacijev niz

FnFn−1

dok n → ∞

φ = φn

φn−1 = · · · =Fn

Fn−1·φ+1

φ+ 1Fn−2Fn−1

FnFn−1

⇒ φ = x·φ+1φ+ 1

⇒(1 + 1

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Fibonnacijev niz

FnFn−1

dok n → ∞

φ = φn

φn−1 = · · · =Fn

Fn−1·φ+1

φ+ 1Fn−2Fn−1

FnFn−1

⇒ φ = x·φ+1φ+ 1

x⇒(1 + 1

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Fibonnacijev niz

FnFn−1

dok n → ∞

φ = φn

φn−1 = · · · =Fn

Fn−1·φ+1

φ+ 1Fn−2Fn−1

FnFn−1

⇒ φ = x·φ+1φ+ 1

x⇒(1 + 1

⇒ x = φ

⇒ Omjer dvaju uzastopnih clanova Fibonnacijevogniza jednak je omjeru zlatnog reza!

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Fibonnacijev niz

FnFn−1

dok n → ∞

φ = φn

φn−1 = · · · =Fn

Fn−1·φ+1

φ+ 1Fn−2Fn−1

FnFn−1

⇒ φ = x·φ+1φ+ 1

x⇒(1 + 1

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Geometrijski

Geometrijska definicija

Za dužinu d kažemo da je podijeljena jednom tockom u omjeruzlatnog reza ako se cijela dužina prema vecem dijelu odnosikao veci dio naprama manjem dijelu.

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Geometrijski

Geometrijska definicija

Za dužinu d kažemo da je podijeljena jednom tockom u omjeruzlatnog reza ako se cijela dužina prema vecem dijelu odnosikao veci dio naprama manjem dijelu.

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Peterokut

Pitagorin pentagram - peterokut i sve njegove dijagonale

"zlatni trokut"

"zlatni gnomon"

Gdje su zlatni trokut i zlatni gnomon?

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Peterokut

Pitagorin pentagram - peterokut i sve njegove dijagonale"zlatni trokut"

"zlatni gnomon"

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Peterokut

"zlatni gnomon"

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Peterokut

"zlatni gnomon"

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Pitagorin pentagram

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Pitagorin pentagram

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zlatni pravokutnik

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Keplerov trokut

pravokutan trokut kojemu su duljine stranica clanovigeometrijskog niza

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zlatna spirala

logaritamska spirala kojoj je faktor rasta povezan sazlatnim omjerom

na njoj leže tocke koje dobivamo pri podjeli zlatnogpravokutnika na kvadrat i novi zlatni pravokutnik

Fibonaccijeva spirala

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zlatna spirala

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zlatna spirala

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Platonova tijela 1

pravilni poliedri (poliedri cije su strane sukladni pravilnipoligoni)

pri racunanju volumena i oplošja pojavljuje se zlatni rez

dodekaedar s jedinicnim bridom:

oplošje: 15φ√

3−φ

volumen: 5φ3

3·(2−φ)

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Platonova tijela 1

oplošje: 15φ√

3−φ

volumen: 5φ3

3·(2−φ)

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Platonova tijela 1

oplošje: 15φ√

3−φ

volumen: 5φ3

3·(2−φ)

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Platonova tijela 1

dodekaedar s jedinicnim bridom:oplošje: 15φ

√3−φ

volumen: 5φ3

3·(2−φ)

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Platonova tijela 1

dodekaedar s jedinicnim bridom:oplošje: 15φ

√3−φ

volumen: 5φ3

3·(2−φ)

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Platonova tijela 2

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Dualni poliedri

središta strana Platonovih tijela spojena bridovima

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Dualni poliedri

središta strana Platonovih tijela spojena bridovima

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zlatna piramida

pravilna cetverostrana piramida kojoj je a = φ · b

4MNV je Keplerov trokut

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zlatna piramida

pravilna cetverostrana piramida kojoj je a = φ · b

4MNV je Keplerov trokut

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zlatni kut

Vrijednost zlatnog kuta iznosi:

360 ·(1 − 1

)= 360 · (2 − φ) = 360

φ2 stupnjeva

2π ·(1 − 1

)= 2π · (2 − φ) = 2π

φ2 radijana

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zlatni kut

Vrijednost zlatnog kuta iznosi:360 ·

(1 − 1

)= 360 · (2 − φ) = 360

φ2 stupnjeva

2π ·(1 − 1

)= 2π · (2 − φ) = 2π

φ2 radijana

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zlatni kut

Vrijednost zlatnog kuta iznosi:360 ·

(1 − 1

)= 360 · (2 − φ) = 360

φ2 stupnjeva

2π ·(1 − 1

)= 2π · (2 − φ) = 2π

φ2 radijana

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zlatna funkcija

gornja grana hiperbole y2−1y = x

gold (x) =x+√

gold (1) =√

gold (2) = 1 +√

2 - srebrni rez

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zlatna funkcija

gold (x) =x+√

gold (1) =√

gold (2) = 1 +√

2 - srebrni rez

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zlatna funkcija

gold (x) =x+√

gold (1) =√

gold (2) = 1 +√

2 - srebrni rez

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zlatna funkcija

gold (x) =x+√

gold (1) =√

gold (2) = 1 +√

2 - srebrni rez

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Elipsa i kružnica

elipsa s fokusima F1,F2 i k (O ,F1)

površine su im jednake za ab = φ, a i b poluosi elipse

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Elipsa i kružnica

elipsa s fokusima F1,F2 i k (O ,F1)

površine su im jednake za ab = φ, a i b poluosi elipse

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Stereometrija

ZadatakStožac je upisan krnjem stošcu tako da je njegov vrh u središtugornje, manje osnovke, a osnovka mu je osnovka krnjegstošca. Koja relacija povezuje polumjere osnovki krnjeg stošcaako je obujam upisanog stošca polovica obujma krnjeg stošca?

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

x=3 i y=5

pravokutnik stranica duljine 13 i 5

NAÐITE GREŠKU!

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

x=3 i y=5

NAÐITE GREŠKU!

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

x=3 i y=5

NAÐITE GREŠKU!

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

x=3 i y=5

NAÐITE GREŠKU!

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Kratak uvod

Renesansa - nastanak teorija o estetici zlatnog reza

zlatni rez u umjetnickim djelima

Luca Pacioli - 1509. god. "De Divine Proportione"

Matil Ghyka (20.st.) - 2 knjige podaci o pojavljivanjuzlatnog reza u umjetnosti

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Kratak uvod

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Kratak uvod

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Kratak uvod

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Tlocrt Velike Džamije u Kairouanu

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Le Corbusier 1

sustav proporcija baziran je uglavnom na zlatnom rezu iFibonaccijevom nizu

Modulor - predstavlja harmonicne odnose u ljudskometijelu

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Le Corbusier 1

sustav proporcija baziran je uglavnom na zlatnom rezu iFibonaccijevom nizu

Modulor - predstavlja harmonicne odnose u ljudskometijelu

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Le Corbusier 2

183113 = φ ,113

70 = φ

koristio je obrnut Fibonaccijev niz:180 = 113 + 70, 113 = 70 + 43...

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Le Corbusier 2

183113 = φ ,113

70 = φ

koristio je obrnut Fibonaccijev niz:180 = 113 + 70, 113 = 70 + 43...

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Modulorove proporcije 1

Vila Stein u Garchesu

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Modulorove proporcije 2

Tlocrt prizemlja i kata

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Notre Damme

Sadrži zlatni rez na više mjesta

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Notre Damme

Sadrži zlatni rez na više mjesta

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zlatni rez u Hrvatskoj

Gornjogradska gimnazija:

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zlatni rez u Hrvatskoj

Gornjogradska gimnazija:

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Keopsova piramida

Pokazano da nije rijec o zlatnoj piramidi

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Keopsova piramida

Pokazano da nije rijec o zlatnoj piramidi

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Partenon

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zgrada Ujedinjenih naroda

Slutnja - procelje zgrade je zlatni pravokutnik.

Ne vrijedi - zgrada je na neravnom terenu i nema jedinstvenuvisinu

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Japanska arhitektura

Pagoda

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Da Vinci

prostorucni crteži platonovih tijela

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Da Vinci

prostorucni crteži platonovih tijela

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Vitruvijev covjek

studija proporcija ljudskog tijela

crtež djelomicno aproksimira zlatni rez

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Vitruvijev covjek

studija proporcija ljudskog tijela

crtež djelomicno aproksimira zlatni rez

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Mona Lisa

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Posljednja vecera

Dimenzije prostorije i stola izradene u skladu sa zlatnim rezom

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Salvador Dali

Sakrament posljednje vecere - platno

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Salvador Dali

Sakrament posljednje vecere - platno

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Sir Lawrence Alma-Tadem 1

The Roses of Heliogabalus - gdje se skriva zlatni rez?

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

The Roses of Heliogabalus - gdje se skriva zlatni rez?

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Mondrian

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Rembrandt

Oko lika slavnog slikara se opisuje trokut cija visina dijeli bazuu zlatnom rezu.

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Seurat

Kupaci

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Suncokret

zlatni omjer i Fibonaccijevi brojevi sveprisutni u prirodi

zlatni broj - pokretac u rastu raznih biljaka

suncokret

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Suncokret

suncokret

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Suncokret

suncokret

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Primjeri

tratincica

cešer

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Primjeri

tratincica

cešer

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zlatni cvijet

iracionalni kut rotacije

svaka sjemenka je rotirana za približno 1.618 okreta uodnosu na prethodnu

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zlatni cvijet

iracionalni kut rotacije

svaka sjemenka je rotirana za približno 1.618 okreta uodnosu na prethodnu

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Spiralan rast

Spirale s redom 8, 13 i 21 krakova:

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Fibonacci

Fibonaccijevi brojevi:

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Ljudsko tijelo 1

Navodi:

Duljine kostiju u šaci su u zlatnom omjeru:

Zubi se odnose u zlatnom rezu:

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Ljudsko tijelo 1

Navodi:

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Ljudsko tijelo 1

Navodi:

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Ljudsko tijelo 2

Navodi:

Uho - zlatna spirala:

Podlaktica i dlan se odnose u zlatnom rezu:

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Ljudsko tijelo 2

Navodi:

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Ljudsko tijelo 2

Navodi:

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Mjerenja

Rezultati mjerenja:

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zakljucak

zlatni rez je omjer koji povezuje matematiku, prirodu iumjetnike

zlatni rez u glazbi

teza - ljudi prepoznaju zlatni omjer

Mari Livio - na bilo kojem predmetu s dovoljnim brojemvelicina možemo naci zlatni omjer

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zakljucak

zlatni rez u glazbi

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zakljucak

zlatni rez u glazbi

Seminar 4

Zapisi zlatnogreza

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Zakljucak

Popis literature

Zakljucak

zlatni rez u glazbi

Literatura:

Z.Šikic: Istine i laži o zlatnom rezu, Poucak, 2003.

http://e.math.hr/64je65/index.html

M.Naylor: A Spiral Story, Mathematical Magazine, vol. 75, no. 3,163-172, 2002.god.

http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio

http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/

http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_function

http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_rectangle

http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_triangle

Seminar4: Zlatni Rez

Technology

by Studio PRIVÉ - prive-academy.com · • Prezentacija upotrebe šestara Divine za oblikovanje obrva (Zlatni rez), • Detaljni prikaz karakterističnih točaka obrva uz pomoć

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU - core.ac.uk · optičke ravnoteže u fotografiji su ritam, zlatni rez, stabilnost i simetrija. Vidljivo je da odnos izmeĎu lijeve i desne strane nije jednak,

O zlatnom trokutu | math · PDF filemath.e Hrvatski matematički elektronički časopis O zlatnom trokutu konstrukcije ravnalom i šestarom zlatni rez Mirela Katić Žlepalo i Bojan

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU · 2015. 11. 6. · U fotografiji se zlatni rez koristi na tri načina: zlatna spirala, zlatna sredina i zlatni trokut. Sva tri načina služe da bi se dobio

vanjaredzepovski.files.wordpress.com€¦ · Web viewZvali su ga zlatna sredina, zlatni rez, božanska proporcija, Fibonačijev broj, Fidijasova srednja vrednost, a njegova vrednost

TMD-sazetak Zlatni Rez 1

Seminar4 210609 2 final test

Matematički projekti · 2020-01-24 · Partneri: Grčka (osnivač), Hrvatska (suosnivač), Poljska i Francuska Istraživali smo zlatni rez u matematici i svuda oko nas Učenici su

O zlatnom trokutu | math · math.e Hrvatski matematički elektronički časopis O zlatnom trokutu konstrukcije ravnalom i šestarom zlatni rez Mirela Katić Žlepalo i Bojan Kovačić

Zlatni rez i Fibonaccijev niz u glazbi 20. stoljeća

PRIJENOS MATRICE NA ZEMLJU, ŢIVOT, POVRATAKpiramidasunca.ba/images/2019/06/prijenos-matrice.pdf · Zlatni rez kuta 45° je 27.81°. Iz točke E kruţnice Ošlja pravac pod tim kutom

Web vulnerability seminar4

337 seminar4 g_rebeccahaines

Priya Hemenway - Tajni kod - Zlatni rez, tajanstvena formula koja vlada umjetnošču prirodom i znanošću.pdf

340 seminar4 m_scottdineen

Seminar4 - Wittgenstein, Teoria Jocurilor de Limbaj

ZLATNI REZ - Naslovnicaos-dtadijanovica-zg.skole.hr/.../File/ZLATNI_REZ.pdf · Title: ZLATNI REZ Author: frantin Created Date: 11/11/2015 10:17:52 AM

Zlatni presjek

Zlatni rast

Solution - Seminar4 · Microsoft Word - Solution - Seminar4.doc Author: Eugenia Created Date: 11/4/2010 2:09:50 PM