Seminar4: Zlatni Rez

Seminar 4

Eva, Marija,Renata, Ana,

Anita

PovijestPovijest zlatnog reza

Zapisi zlatnogreza

Zlatni rez umatematici

Zlatni rez uumjetnostiArhitektura

Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi

Upitna otkricazlatnog reza

Zakljucak

Popis literature

Seminar 4Zlatni rez

Eva Marija Renata Ana Anita

PMF-Matematicki odjelSveucilište u Zagrebu

Zagreb, lipanj 2008.

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Sadržaj

1 PovijestPovijest zlatnog reza

2 Zapisi zlatnog reza

3 Zlatni rez u matematici

4 Zlatni rez u umjetnostiArhitekturaLikovna umjetnost

5 Zlatni rez u prirodi

6 Upitna otkrica zlatnog reza

7 Zakljucak

8 Popis literature

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Povijest zlatnog reza

poceci proucavanja su iz doba stare Grcke

Pitagora - Pitagorin pentagram

Dvije oznake

φτ

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature




Dvije oznake

φτ

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature




Dvije oznake

φτ

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature




Dvije oznake

φτ

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature




Dvije oznake

φτ

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature




Dvije oznakeφ

τ

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature




Dvije oznakeφτ

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Povijesni razvoj zlatnog reza

Fidija (490. - 430. p. K.) - kipovi za Partenon

Platon (427. - 347. p. K.) - Platonova tijela

Euklid (325. - 256. p. K.) - prva poznata definicija

Johannes Kepler (1571. - 1630.) izjavljuje:

"Geometrija ima dva velika blaga: jedno jePitagorin teorem, a drugo je podjela linije u"krajnjem i srednjem omjeru"; prvo možemousporediti s mjerom zlata, a drugo možemonazvati dragocjenim draguljem."

Martin Ohm - 1835. god. prvi puta koristi naziv zlatni rez

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature








Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature








Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature








Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature





Johannes Kepler (1571. - 1630.) izjavljuje:"Geometrija ima dva velika blaga: jedno jePitagorin teorem, a drugo je podjela linije u"krajnjem i srednjem omjeru"; prvo možemousporediti s mjerom zlata, a drugo možemonazvati dragocjenim draguljem."


Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature





Johannes Kepler (1571. - 1630.) izjavljuje:"Geometrija ima dva velika blaga: jedno jePitagorin teorem, a drugo je podjela linije u"krajnjem i srednjem omjeru"; prvo možemousporediti s mjerom zlata, a drugo možemonazvati dragocjenim draguljem."


Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Vrijednost zlatnog reza

Definicija

Cjelina podijeljena na dva dijela je u omjeru zlatnog reza akoje omjer cjeline i veceg dijela jednak omjeru veceg i manjegdijela.

φ+ 1φ

= φ

⇒ φ2 − φ − 1 = 0⇒ φ =√

5+12

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature


Definicija


φ+ 1φ

= φ

⇒ φ2 − φ − 1 = 0⇒ φ =√

5+12

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature


Definicija


φ+ 1φ

= φ

⇒ φ2 − φ − 1 = 0⇒ φ =√

5+12

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature


Definicija


φ+ 1φ

= φ

⇒

φ2 − φ − 1 = 0⇒ φ =√

5+12

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature


Definicija


φ+ 1φ

= φ

⇒ φ2 − φ − 1 = 0

⇒ φ =√

5+12

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature


Definicija


φ+ 1φ

= φ

⇒ φ2 − φ − 1 = 0⇒

φ =√

5+12

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature


Definicija


φ+ 1φ

= φ

⇒ φ2 − φ − 1 = 0⇒ φ =√

5+12

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zlatni broj na 2000 decimala

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Verižni razlomak

Razvoj φ+1φ = φ u verižni razlomak:

φ = 1 + 1φ = 1 + 1

1+ 1φ

= 1 + 11+ 1

1+ 1φ

= · · · = 1 + 11+ 1

1+ 11+...

⇒ zlatni rez je iracionalan broj!

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Verižni razlomak


φ = 1 + 1φ

= 1 + 11+ 1

φ

= 1 + 11+ 1

1+ 1φ

= · · · = 1 + 11+ 1

1+ 11+...


Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Verižni razlomak


φ = 1 + 1φ = 1 + 1

1+ 1φ

= 1 + 11+ 1

1+ 1φ

= · · · = 1 + 11+ 1

1+ 11+...


Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Verižni razlomak


φ = 1 + 1φ = 1 + 1

1+ 1φ

= 1 + 11+ 1

1+ 1φ

= · · · = 1 + 11+ 1

1+ 11+...


Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Verižni razlomak


φ = 1 + 1φ = 1 + 1

1+ 1φ

= 1 + 11+ 1

1+ 1φ

= · · · = 1 + 11+ 1

1+ 11+...


Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Verižni razlomak


φ = 1 + 1φ = 1 + 1

1+ 1φ

= 1 + 11+ 1

1+ 1φ

= · · · = 1 + 11+ 1

1+ 11+...


Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Kvadratni korijen

φ2 − φ − 1 = 0

⇒ φ2 = φ+ 1 (φ ≥ 0)⇒ φ =√

1 + φ =√

1 +√

1 + φ

=

√1 +√

1 +√

1 + φ = · · · =

√1 +

√1 +

√1 +√

1 + ...

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Kvadratni korijen

φ2 − φ − 1 = 0

⇒ φ2 = φ+ 1

(φ ≥ 0)⇒ φ =√

1 + φ =√

1 +√

1 + φ

=

√1 +√

1 +√

1 + φ = · · · =

√1 +

√1 +

√1 +√

1 + ...

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Kvadratni korijen

φ2 − φ − 1 = 0

⇒ φ2 = φ+ 1 (φ ≥ 0)

⇒ φ =√

1 + φ =√

1 +√

1 + φ

=

√1 +√

1 +√

1 + φ = · · · =

√1 +

√1 +

√1 +√

1 + ...

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Kvadratni korijen

φ2 − φ − 1 = 0

⇒ φ2 = φ+ 1 (φ ≥ 0)⇒ φ =√

1 + φ

=√

1 +√

1 + φ

=

√1 +√

1 +√

1 + φ = · · · =

√1 +

√1 +

√1 +√

1 + ...

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Kvadratni korijen

φ2 − φ − 1 = 0

⇒ φ2 = φ+ 1 (φ ≥ 0)⇒ φ =√

1 + φ =√

1 +√

1 + φ

=

√1 +√

1 +√

1 + φ = · · · =

√1 +

√1 +

√1 +√

1 + ...

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Kvadratni korijen

φ2 − φ − 1 = 0

⇒ φ2 = φ+ 1 (φ ≥ 0)⇒ φ =√

1 + φ =√

1 +√

1 + φ

=

√1 +√

1 +√

1 + φ

= · · · =

√1 +

√1 +

√1 +√

1 + ...

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Kvadratni korijen

φ2 − φ − 1 = 0

⇒ φ2 = φ+ 1 (φ ≥ 0)⇒ φ =√

1 + φ =√

1 +√

1 + φ

=

√1 +√

1 +√

1 + φ = · · · =

√1 +

√1 +

√1 +√

1 + ...

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Potencije zlatnog reza

φ2 = φ+ 1

⇒ φ3 = φ+ φ2 = φ+ 1 + φ = 1 + 2φ⇒ φ4 = 2 + 3φ⇒ φ5 = 3 + 5φDobili smo niz:φ = 0 + φ , φ2 = 1 + φ , φ3 = 1 + 2φ , φ4 = 2 + 3φ ,φ5 = 3 + 5φ , ... , φn = Fn−1 + Fn · φ

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature


φ2 = φ+ 1⇒ φ3 = φ+ φ2

= φ+ 1 + φ = 1 + 2φ⇒ φ4 = 2 + 3φ⇒ φ5 = 3 + 5φDobili smo niz:φ = 0 + φ , φ2 = 1 + φ , φ3 = 1 + 2φ , φ4 = 2 + 3φ ,φ5 = 3 + 5φ , ... , φn = Fn−1 + Fn · φ

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature


φ2 = φ+ 1⇒ φ3 = φ+ φ2 = φ+ 1 + φ

= 1 + 2φ⇒ φ4 = 2 + 3φ⇒ φ5 = 3 + 5φDobili smo niz:φ = 0 + φ , φ2 = 1 + φ , φ3 = 1 + 2φ , φ4 = 2 + 3φ ,φ5 = 3 + 5φ , ... , φn = Fn−1 + Fn · φ

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature


φ2 = φ+ 1⇒ φ3 = φ+ φ2 = φ+ 1 + φ = 1 + 2φ

⇒ φ4 = 2 + 3φ⇒ φ5 = 3 + 5φDobili smo niz:φ = 0 + φ , φ2 = 1 + φ , φ3 = 1 + 2φ , φ4 = 2 + 3φ ,φ5 = 3 + 5φ , ... , φn = Fn−1 + Fn · φ

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature


φ2 = φ+ 1⇒ φ3 = φ+ φ2 = φ+ 1 + φ = 1 + 2φ⇒ φ4 = 2 + 3φ

⇒ φ5 = 3 + 5φDobili smo niz:φ = 0 + φ , φ2 = 1 + φ , φ3 = 1 + 2φ , φ4 = 2 + 3φ ,φ5 = 3 + 5φ , ... , φn = Fn−1 + Fn · φ

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature


φ2 = φ+ 1⇒ φ3 = φ+ φ2 = φ+ 1 + φ = 1 + 2φ⇒ φ4 = 2 + 3φ⇒ φ5 = 3 + 5φ

Dobili smo niz:φ = 0 + φ , φ2 = 1 + φ , φ3 = 1 + 2φ , φ4 = 2 + 3φ ,φ5 = 3 + 5φ , ... , φn = Fn−1 + Fn · φ

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature


φ2 = φ+ 1⇒ φ3 = φ+ φ2 = φ+ 1 + φ = 1 + 2φ⇒ φ4 = 2 + 3φ⇒ φ5 = 3 + 5φDobili smo niz:

φ = 0 + φ , φ2 = 1 + φ , φ3 = 1 + 2φ , φ4 = 2 + 3φ ,φ5 = 3 + 5φ , ... , φn = Fn−1 + Fn · φ

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature


φ2 = φ+ 1⇒ φ3 = φ+ φ2 = φ+ 1 + φ = 1 + 2φ⇒ φ4 = 2 + 3φ⇒ φ5 = 3 + 5φDobili smo niz:φ = 0 + φ , φ2 = 1 + φ , φ3 = 1 + 2φ , φ4 = 2 + 3φ ,φ5 = 3 + 5φ , ... ,

φn = Fn−1 + Fn · φ

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature


φ2 = φ+ 1⇒ φ3 = φ+ φ2 = φ+ 1 + φ = 1 + 2φ⇒ φ4 = 2 + 3φ⇒ φ5 = 3 + 5φDobili smo niz:φ = 0 + φ , φ2 = 1 + φ , φ3 = 1 + 2φ , φ4 = 2 + 3φ ,φ5 = 3 + 5φ , ... , φn = Fn−1 + Fn · φ

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Fibonnacijev niz

FnFn−1

dok n → ∞

φ = φn

φn−1 = · · · =Fn

Fn−1·φ+1

φ+ 1Fn−2Fn−1

FnFn−1

:= x

⇒ φ = x·φ+1φ+ 1

x⇒(1 + 1

x

)= x

⇒ x = φ⇒ Omjer dvaju uzastopnih clanova Fibonnacijevogniza jednak je omjeru zlatnog reza!

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Fibonnacijev niz

FnFn−1

dok n → ∞

φ = φn

φn−1

= · · · =Fn

Fn−1·φ+1

φ+ 1Fn−2Fn−1

FnFn−1

:= x

⇒ φ = x·φ+1φ+ 1

x⇒(1 + 1

x

)= x


Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Fibonnacijev niz

FnFn−1

dok n → ∞

φ = φn

φn−1 = · · · =Fn

Fn−1·φ+1

φ+ 1Fn−2Fn−1

FnFn−1

:= x

⇒ φ = x·φ+1φ+ 1

x⇒(1 + 1

x

)= x


Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Fibonnacijev niz

FnFn−1

dok n → ∞

φ = φn

φn−1 = · · · =Fn

Fn−1·φ+1

φ+ 1Fn−2Fn−1

FnFn−1

:= x

⇒ φ = x·φ+1φ+ 1

x⇒(1 + 1

x

)= x


Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Fibonnacijev niz

FnFn−1

dok n → ∞

φ = φn

φn−1 = · · · =Fn

Fn−1·φ+1

φ+ 1Fn−2Fn−1

FnFn−1

:= x

⇒ φ = x·φ+1φ+ 1

x

⇒(1 + 1

x

)= x


Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Fibonnacijev niz

FnFn−1

dok n → ∞

φ = φn

φn−1 = · · · =Fn

Fn−1·φ+1

φ+ 1Fn−2Fn−1

FnFn−1

:= x

⇒ φ = x·φ+1φ+ 1

x⇒(1 + 1

x

)= x


Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Fibonnacijev niz

FnFn−1

dok n → ∞

φ = φn

φn−1 = · · · =Fn

Fn−1·φ+1

φ+ 1Fn−2Fn−1

FnFn−1

:= x

⇒ φ = x·φ+1φ+ 1

x⇒(1 + 1

x

)= x

⇒ x = φ

⇒ Omjer dvaju uzastopnih clanova Fibonnacijevogniza jednak je omjeru zlatnog reza!

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Fibonnacijev niz

FnFn−1

dok n → ∞

φ = φn

φn−1 = · · · =Fn

Fn−1·φ+1

φ+ 1Fn−2Fn−1

FnFn−1

:= x

⇒ φ = x·φ+1φ+ 1

x⇒(1 + 1

x

)= x


Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Geometrijski

Geometrijska definicija

Za dužinu d kažemo da je podijeljena jednom tockom u omjeruzlatnog reza ako se cijela dužina prema vecem dijelu odnosikao veci dio naprama manjem dijelu.

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Geometrijski

Geometrijska definicija

Za dužinu d kažemo da je podijeljena jednom tockom u omjeruzlatnog reza ako se cijela dužina prema vecem dijelu odnosikao veci dio naprama manjem dijelu.

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Peterokut

Pitagorin pentagram - peterokut i sve njegove dijagonale

"zlatni trokut"

"zlatni gnomon"

Gdje su zlatni trokut i zlatni gnomon?

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Peterokut

Pitagorin pentagram - peterokut i sve njegove dijagonale"zlatni trokut"

"zlatni gnomon"


Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Peterokut


"zlatni gnomon"


Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Peterokut


"zlatni gnomon"


Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Pitagorin pentagram


Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Pitagorin pentagram


Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zlatni pravokutnik

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Keplerov trokut

pravokutan trokut kojemu su duljine stranica clanovigeometrijskog niza

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zlatna spirala

logaritamska spirala kojoj je faktor rasta povezan sazlatnim omjerom

na njoj leže tocke koje dobivamo pri podjeli zlatnogpravokutnika na kvadrat i novi zlatni pravokutnik

Fibonaccijeva spirala

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zlatna spirala




Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zlatna spirala




Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Platonova tijela 1

pravilni poliedri (poliedri cije su strane sukladni pravilnipoligoni)

pri racunanju volumena i oplošja pojavljuje se zlatni rez

dodekaedar s jedinicnim bridom:

oplošje: 15φ√

3−φ

volumen: 5φ3

3·(2−φ)

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Platonova tijela 1




oplošje: 15φ√

3−φ

volumen: 5φ3

3·(2−φ)

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Platonova tijela 1




oplošje: 15φ√

3−φ

volumen: 5φ3

3·(2−φ)

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Platonova tijela 1



dodekaedar s jedinicnim bridom:oplošje: 15φ

√3−φ

volumen: 5φ3

3·(2−φ)

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Platonova tijela 1



dodekaedar s jedinicnim bridom:oplošje: 15φ

√3−φ

volumen: 5φ3

3·(2−φ)

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Platonova tijela 2

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Dualni poliedri

središta strana Platonovih tijela spojena bridovima

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Dualni poliedri

središta strana Platonovih tijela spojena bridovima

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zlatna piramida

pravilna cetverostrana piramida kojoj je a = φ · b

4MNV je Keplerov trokut

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zlatna piramida

pravilna cetverostrana piramida kojoj je a = φ · b

4MNV je Keplerov trokut

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zlatni kut

Vrijednost zlatnog kuta iznosi:

360 ·(1 − 1

φ

)= 360 · (2 − φ) = 360

φ2 stupnjeva

2π ·(1 − 1

φ

)= 2π · (2 − φ) = 2π

φ2 radijana

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zlatni kut

Vrijednost zlatnog kuta iznosi:360 ·

(1 − 1

φ

)= 360 · (2 − φ) = 360

φ2 stupnjeva

2π ·(1 − 1

φ

)= 2π · (2 − φ) = 2π

φ2 radijana

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zlatni kut

Vrijednost zlatnog kuta iznosi:360 ·

(1 − 1

φ

)= 360 · (2 − φ) = 360

φ2 stupnjeva

2π ·(1 − 1

φ

)= 2π · (2 − φ) = 2π

φ2 radijana

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zlatna funkcija

gornja grana hiperbole y2−1y = x

gold (x) =x+√

x2+42

gold (1) =√

5+12

gold (2) = 1 +√

2 - srebrni rez

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zlatna funkcija


gold (x) =x+√

x2+42

gold (1) =√

5+12

gold (2) = 1 +√

2 - srebrni rez

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zlatna funkcija


gold (x) =x+√

x2+42

gold (1) =√

5+12

gold (2) = 1 +√

2 - srebrni rez

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zlatna funkcija


gold (x) =x+√

x2+42

gold (1) =√

5+12

gold (2) = 1 +√

2 - srebrni rez

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Elipsa i kružnica

elipsa s fokusima F1,F2 i k (O ,F1)

površine su im jednake za ab = φ, a i b poluosi elipse

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Elipsa i kružnica

elipsa s fokusima F1,F2 i k (O ,F1)

površine su im jednake za ab = φ, a i b poluosi elipse

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Stereometrija

ZadatakStožac je upisan krnjem stošcu tako da je njegov vrh u središtugornje, manje osnovke, a osnovka mu je osnovka krnjegstošca. Koja relacija povezuje polumjere osnovki krnjeg stošcaako je obujam upisanog stošca polovica obujma krnjeg stošca?

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

IGRA

x=3 i y=5

pravokutnik stranica duljine 13 i 5

64=65

NAÐITE GREŠKU!

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

IGRA

x=3 i y=5


64=65

NAÐITE GREŠKU!

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

IGRA

x=3 i y=5


64=65

NAÐITE GREŠKU!

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

IGRA

x=3 i y=5


64=65

NAÐITE GREŠKU!

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Kratak uvod

Renesansa - nastanak teorija o estetici zlatnog reza

zlatni rez u umjetnickim djelima

Luca Pacioli - 1509. god. "De Divine Proportione"

Matil Ghyka (20.st.) - 2 knjige podaci o pojavljivanjuzlatnog reza u umjetnosti

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Kratak uvod





Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Kratak uvod





Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Kratak uvod





Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Tlocrt Velike Džamije u Kairouanu

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Le Corbusier 1

sustav proporcija baziran je uglavnom na zlatnom rezu iFibonaccijevom nizu

Modulor - predstavlja harmonicne odnose u ljudskometijelu

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Le Corbusier 1

sustav proporcija baziran je uglavnom na zlatnom rezu iFibonaccijevom nizu

Modulor - predstavlja harmonicne odnose u ljudskometijelu

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Le Corbusier 2

183113 = φ ,113

70 = φ

koristio je obrnut Fibonaccijev niz:180 = 113 + 70, 113 = 70 + 43...

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Le Corbusier 2

183113 = φ ,113

70 = φ

koristio je obrnut Fibonaccijev niz:180 = 113 + 70, 113 = 70 + 43...

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Modulorove proporcije 1

Vila Stein u Garchesu

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Modulorove proporcije 2

Tlocrt prizemlja i kata

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Notre Damme

Sadrži zlatni rez na više mjesta

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Notre Damme

Sadrži zlatni rez na više mjesta

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zlatni rez u Hrvatskoj

Gornjogradska gimnazija:

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zlatni rez u Hrvatskoj

Gornjogradska gimnazija:

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Keopsova piramida

Pokazano da nije rijec o zlatnoj piramidi

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Keopsova piramida

Pokazano da nije rijec o zlatnoj piramidi

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Partenon

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zgrada Ujedinjenih naroda

Slutnja - procelje zgrade je zlatni pravokutnik.

Ne vrijedi - zgrada je na neravnom terenu i nema jedinstvenuvisinu

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature




Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature




Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Japanska arhitektura

Pagoda

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Da Vinci

prostorucni crteži platonovih tijela

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Da Vinci

prostorucni crteži platonovih tijela

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Vitruvijev covjek

studija proporcija ljudskog tijela

crtež djelomicno aproksimira zlatni rez

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Vitruvijev covjek

studija proporcija ljudskog tijela

crtež djelomicno aproksimira zlatni rez

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Mona Lisa

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Posljednja vecera

Dimenzije prostorije i stola izradene u skladu sa zlatnim rezom

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Salvador Dali

Sakrament posljednje vecere - platno

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Salvador Dali

Sakrament posljednje vecere - platno

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Sir Lawrence Alma-Tadem 1

The Roses of Heliogabalus - gdje se skriva zlatni rez?

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature


The Roses of Heliogabalus - gdje se skriva zlatni rez?

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature


Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Mondrian

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Rembrandt

Oko lika slavnog slikara se opisuje trokut cija visina dijeli bazuu zlatnom rezu.

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Seurat

Kupaci

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Suncokret

zlatni omjer i Fibonaccijevi brojevi sveprisutni u prirodi

zlatni broj - pokretac u rastu raznih biljaka

suncokret

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Suncokret



suncokret

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Suncokret



suncokret

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Primjeri

tratincica

cešer

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Primjeri

tratincica

cešer

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zlatni cvijet

iracionalni kut rotacije

svaka sjemenka je rotirana za približno 1.618 okreta uodnosu na prethodnu

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zlatni cvijet

iracionalni kut rotacije

svaka sjemenka je rotirana za približno 1.618 okreta uodnosu na prethodnu

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Spiralan rast

Spirale s redom 8, 13 i 21 krakova:

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Fibonacci

Fibonaccijevi brojevi:

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Ljudsko tijelo 1

Navodi:

Duljine kostiju u šaci su u zlatnom omjeru:

Zubi se odnose u zlatnom rezu:

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Ljudsko tijelo 1

Navodi:



Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Ljudsko tijelo 1

Navodi:



Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Ljudsko tijelo 2

Navodi:

Uho - zlatna spirala:

Podlaktica i dlan se odnose u zlatnom rezu:

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Ljudsko tijelo 2

Navodi:



Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Ljudsko tijelo 2

Navodi:



Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Mjerenja

Rezultati mjerenja:

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zakljucak

zlatni rez je omjer koji povezuje matematiku, prirodu iumjetnike

zlatni rez u glazbi

teza - ljudi prepoznaju zlatni omjer

Mari Livio - na bilo kojem predmetu s dovoljnim brojemvelicina možemo naci zlatni omjer

Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zakljucak


zlatni rez u glazbi



Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zakljucak


zlatni rez u glazbi



Seminar 4


Anita


Zapisi zlatnogreza



Likovna umjetnost

Zlatni rez uprirodi


Zakljucak

Popis literature

Zakljucak


zlatni rez u glazbi



Literatura:

Z.Šikic: Istine i laži o zlatnom rezu, Poucak, 2003.

http://e.math.hr/64je65/index.html

M.Naylor: A Spiral Story, Mathematical Magazine, vol. 75, no. 3,163-172, 2002.god.

http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio

http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/

http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_function

http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_rectangle

http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_triangle

Technology

Seminar4: Zlatni Rez