Azzi These

UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE MOHAMMED BOUDIAF D’ORAN

FACULTE DE GENIE-MECANIQUE

Département de Génie-Maritime

Thèse de DOCTORAT D’ETAT

Spécialité : Energétique

INVESTIGATION NUMERIQUE DU REFROIDISSEMENT PAR FILM APPLIQUE AUX

AUBES DES TURBINES A GAZ

Présenté et soutenue publiquement par :

Azzi Abbès

Chargé de cours au Département de Génie-Maritime, Faculté de Génie-Mécanique, USTO

Devant le jury composé de :

Président : Pr. A. Youcefi USTO, Oran, Algérie Examinateurs :

Pr. F. Leboeuf ECL, France Pr. S. Benmanssour USTHB, Alger, Algérie Dr O. Imine USTO, Oran, Algérie Invité : Dr A. Liazid ENSET, Oran, Algérie Directeurs de thèse :

Pr. M. Abidat USTO, Oran, Algérie Dr D. Lakehal IET, ETH-Zurich, Suisse.

Octobre 2001

A la mémoire de mon père

A ma mère

A mes frères et sœurs

A ma femme et mes enfants

A ma famille

"Nobody believes in the results of the numerical simulation except the researcher himself. But

everybody believes in the experimental data except the researcher himself."

"If you want a new idea, read an old book"

extrait du "net"

Remerciements

Je tiens à exprimer ma gratitude à mon premier directeur de thèse Monsieur Abidat Miloud

qui m’a accompagné durant toutes ces années de travail. J’aimerais le remercier pour son

soutien et ses conseils. Je remercie également mon second directeur de thèse Monsieur

Bassam Ali Jubran pour m’avoir orienté dans ce thème et m’avoir facilité le contact avec

d’autres laboratoires. Je tiens aussi à remercier profondément mon troisième directeur de

thèse Monsieur Lakehal Djamel avec qui j’ai beaucoup appris et grâce à qui mes efforts ont

pu aboutir. Je lui suis reconnaissant pour le suivi de mon travail, et pour sa grande

compétence qui m'a donné le goût de la recherche. Mes remerciements vont aussi à Monsieur

G. Theodoridis de l’Université de Thessaloniki pour son soutien et ses conseils durant mes

séjours à l’Université de Thessaloniki en Grèce.

D’autre part, je tiens à remercier le Professeur Habil N. Moussiopoulos directeur du

''Laboratory of Heat and Environmental Engineering'' de l’Université Aristotle Thessaloniki

en Grèce, et le Professeur G. Yadigaroglu, directeur du ''Nuclear Engineering Laboratory'' de

l’école polytechnique fédérale de Zurich en Suisse pour leurs soutiens matériels durant mes

séjours dans leurs laboratoires. Mes remerciements vont aussi à Monsieur Philipe Ligrani

(Utah University, USA) et Monsieur W. Haslinger (University of Darmstadt, Germany) pour

m’avoir permis d’utiliser leurs résultats expérimentaux pour la validation de mes calculs.

Un remerciement chaleureux est adressé à Monsieur Liazid Abdelkrim, Directeur du

Laboratoire des Technologies de l'Environnement (ENSET, Oran), pour m’avoir aidé à

structurer ce rapport et transformé avec patience mon script en un rapport clair et lisible.

Je tiens également à remercier Monsieur Francis Leboeuf pour l'intérêt qu'il a bien voulu

porter à ce travail en acceptant de l'examiner et d'être membre de jury de cette thèse.

Mes vifs remerciements s'adressent également à Monsieur A. Youcefi, Monsieur S.

Benmanssour, Monsieur O. Imine, pour avoir accepté d'être membres du jury de cette thèse.

Toute ma reconnaissance à tous mes amis et mes collègues de travail.

Résumé

Cette thèse constitue une étude numérique pour la simulation du refroidissement par film en

trois dimensions. Le code utilisé est basé sur la méthode des volumes finis pour la résolution

des équations moyennes de Reynolds ainsi que l’équation de l’énergie pour la prédiction du

champ thermique. Le modèle utilise une grille de calcul multi-blocs, de type structuré,

curvilinaire épousant parfaitement la géométrie complexe du domaine de calcul. Un

algorithme de couplage pression-vitesse de type SIMPLEC à maillage non entrelacé a été

utilisé pour la conduite des calculs itératifs. Les termes convectifs ont été approximés par des

schémas de convection de haute précision à limiteurs et appliqués à toutes les équations de

l'écoulement, y compris celles du modèle de turbulence. Les essais conduits sur une série de

cas de tests incluant l’écoulement pleinement développé entre deux plaques parallèles, la

cavité dont la face haute est entraînée (lid driven case), et le cas d'une marche descendante ont

permis de valider l'approche globale avec des résultats de la simulation numérique directe

(DNS).

Les configurations de refroidissement par film étudiées sont :

• Une plaque plane munie d’une ou de deux rangées d'orifices d'injection inclinées suivant

des angles simples ou composés, l'intérieur des trous d'injection étant inclus dans le

domaine de calcul.

• Une plaque plane munie d'une rangée d'orifices d’injections inclinées suivant un angle

simple, (Le domaine de calcul couvre aussi bien le trou d'injection que le "plenum").

• Une aube symétrique munie d'une rangée d'orifices d’injections inclinées suivant un angle

simple de part et d'autre du bord d'attaque.

Le premier but de cette thèse est d'étudier l'influence d'un certain nombre de paramètres sur la

distribution de l'efficacité de refroidissement. Cette première partie a été faite en utilisant un

modèle ε−k à haut nombre de Reynolds combiné à une approche loi de paroi. Les résultats

montrent que, hormis une sous-estimation de la dispersion latérale du jet, le modèle basé sur

la version standard du modèle ε−k reflète assez fidèlement les phénomènes physiques

accompagnants le refroidissement par film.

Le second but de cette étude est de comparer les performances de deux nouvelles classes de

modèle de turbulence, récemment développées, à prédire convenablement la physique de ce

type d'écoulement et qui consistent en une modification anisotropique de la

viscosité/diffusivité turbulente et une série de modèles algébriques explicites développés

jusqu'aux termes cubiques.

Dans La première classe de modèles on s'est basé sur des résultats d’un calcul DNS pour

améliorer le comportement du modèle Standard ε−k en lui affectant des coefficients de

transport anisotropiques. Cette technique est employée conjointement avec une approche bi-

couche résolvant la sous couche visqueuse par un model à une seule équation. Ce dernier est

lui-même basé sur des distributions de fluctuations normales tirées directement des calculs

DNS. Le second groupe de modèles est connu sous le nom de EASM. Des variantes

quadratiques et cubiques ont été testées. Ces modèles sont eux aussi utilisés conjointement

avec l'approche bi-couche (DNS) citée plus haut. La comparaison des distributions de

l'efficacité de refroidissement par film calculées par ces modèles aux mesures expérimentales

a montré que seule l'approche anisotropique de la viscosité/diffusivité peut reproduire

fidèlement la dispersion latérale du champ de température en réduisant l'intensité des deux

vortex contre rotatifs. Les modèles EASM quant à eux n’ont pas permis une nette conclusion

concernant leur supériorité (ou non) sur les modèles à deux équations.

Mots clefs : Refroidissement par film - Méthode des volumes finis - Modélisation de la

turbulence - EASM modèles - Approche "bi-couche" - Méthode multi-zones - Schémas de

convection à limiteurs.

Abstract

Typical film-cooling configurations are numerically investigated using a three-dimensional

finite volume method. The computational method uses arbitrary curvilinear, body-fitted,

multi-block, structured, non-staggered grids for implicitly solving the incompressible

averaged Navier-Stokes equations. An appropriate momentum-interpolation technique is used

to prevent pressure-field oscillations. The pressure-velocity coupling is achieved using the

SIMPLEC algorithm. The accuracy of the code is improved by using a second order-bounded

scheme for convection terms for all equations including the k and ε turbulence model

equations. The code is calibrated through applications to a wide range of flows such a 2D

channel flow, a lid driven cavity and a back step flow and the results are compared to DNS

data (Direct Numerical Simulation).

The thesis compares measured and calculated temperature and velocity fields obtained with

various classes of recently developed turbulence models. The film cooling configurations

studied are respectively:

• Simple and compound angle injections from one and two staggered rows of holes on a flat

plate (the holes are included in the computational domain).

• Simple angle injection from one row of holes on a flat plate (the hole and the plenum are

both included in the computational domain).

• Simple angle injection from one row of holes placed on each side near the leading edge of

a symmetrical turbine-blade.

The first aim of the thesis is to use a standard ε−k model with wall function in order to

investigate the physics of the flow. The influence of the number of rows and the injection

angles as well as the blowing ratio on the film cooling protection has been investigated and

compared with experimental data. Comparison between predicted and experimental results

indicates that the trends of the streamwise mean velocity and thermal fields are well predicted

in most cases. However, the spanwise-averaged film cooling effectiveness is globally

underpredicted by the model.

The second aim is to investigate the capability of some new trends in modelling jets-in-cross

flow with relevance to film cooling of turbine blades. The aim is to compare two classes of

recently developed turbulence models with respect to their predictive performance in

reproducing flow physics. The study focuses on anisotropic eddy-viscosity/diffusivity models

and explicit algebraic stress models up to cubic fragments of strain and vorticity tensors. The

first class of model is DNS-based two-layer approach transcending the conventional ε−k

model by means of a non-isotropic representation of the turbulent transport coefficients; this

is employed in connection with the near-wall one-equation model resolving the semi-viscous

sublayer only. The aspects of this new strategy are based on known DNS statistics of channel

flows and boundary layers. The other class of turbulence models is quadratic and cubic

explicit algebraic stress models rigorously derived from second-moment closure models. The

stress-strain relations are solved in the context of a two layer strategy resolving the near-wall

region by means of a non-linear one-equation model; the outer core flow is treated by use of

the two-equation model. The models are tested for the case of film cooling of a flat plate.

Comparison of the calculated and measured wall-temperature distributions shows that only

the anisotropoic eddy viscosity/diffusivity model can correctly predict the spanwise spreading

of the temperature field and reduces the strength of the secondary vortices. Unlike in the

shear-flow case, the non-linear stress models were of a mixing quality in film cooling

calculations.

Keywords : Film cooling - Volume finite method - Turbulence modelling - EASM models -

Two-layer model - Multi-bloc method - Bounded convective schemes.

Nomenclature

Lettres latines

cp, chaleur spécifique à pression constante

D , diamètre du trou d'injection

g, accélération de la pesanteur

h, coefficient d'échange thermique par convection

I, taux de quantité de mouvement, 22∞∞= UUI cc ρρ

J , jacobien de la transformation

k , énergie cinétique turbulente

M, taux d'injection, ρ ρc cU U∞ ∞

p, pression statique

Pr, nombre de Prandtl laminaire

tPr , nombre de Prandtl turbulent

ijP , production mécanique de la turbulence

Dp , espacement entre deux rangées de trous

q, densité du flux thermique

ReD, nombre de Reynolds basé sur le diamètre du trou, ∞∞= νDUReD

S, espacement entre deux trous dans une même rangée

Ds , espacement latéral de deux trous sur la même rangée

T, température

t, temps

Tu, intensité de turbulence, 22' ∞= UuTu

ui , composante de la vitesse dans la direction xi

3,2,1x , coordonnées curvilignes non-orthogonales, ζηξ ,,≡

3,2,1y , coordonnées cartésiennes, zyx ,,≡

Lettres grecques

δ , épaisseur de la couche limite

ijδ , symbole de Kronecker.

ε , taux de dissipation de l'énergie cinétique

Γ , coefficient de diffusion.

η, efficacité de refroidissement adiabatique

ρ , masse volumique

ν , viscosité cinématique moléculaire

tν , viscosité cinématique turbulente

effν , viscosité cinématique effective

µ , viscosité dynamique moléculaire

tµ , viscosité dynamique turbulente

effµ , viscosité dynamique effective

λ , conductivité thermique du fluide

α , diffusivité thermique

ijΠ , terme de corrélation pression-vitesse

ijτ , tenseur des contraintes de Reynolds

ijS , tenseur des taux de déformation

κ , constante de Von Karman

ijΩ , tenseur des taux de rotation

φ , variable associée à une quantité scalaire

Indices

‘, composante fluctuante

∞ , condition à l'infini, à l'entrée de l'écoulement principal.

c, condition à l'injection

w, condition sur la paroi solide.

, valeur moyenne

eff, effective

Sommaire Introduction générale ........................................................................................................1

Chapitre I : Aspect du refroidissement par film.............................................................3

1.1. Introduction ......................................................................................................................3 1.2. Procédés de refroidissement .............................................................................................6

1.2.1. Refroidissement par convection.................................................................................7 1.2.2. Refroidissement par jet (impact)................................................................................7 1.2.3. Refroidissement par film ...........................................................................................8 1.2.4. Refroidissement par transpiration à travers une paroi poreuse..................................8

1.3. Processus de refroidissement par film..............................................................................9 1.4. Paramètres qui influencent le processus de refroidissement ..........................................10

1.4.1. Influence du taux d’injection .................................................................................10 1.4.2. Influence du gradient de pression longitudinal........................................................11 1.4.3. Influence du nombre de Reynolds ...........................................................................12 1.4.4. Influence du rapport des masses volumiques...........................................................12 1.4.5. Influence de l’épaisseur de la couche limite ............................................................12 1.4.6. Influence de l’intensité de turbulence .....................................................................12 1.4.7. Influence des paramètres géométriques de l’injection.............................................13

1.5. Pertes hydrodynamiques causées par le jet refroidissant................................................15 1.6. Etude thermique du refroidissement par film.................................................................16 1.7. Analyse théorique du refroidissement par film ..............................................................17

1.7.1. Trajectoire du jet ......................................................................................................17 1.7.2. Prédiction de l’efficacité du refroidissement ...........................................................20

1.8. Etude numérique du refroidissement par film ................................................................24 Chapitre II : Modélisation de la turbulence ..................................................................25

2.1. Introduction ....................................................................................................................25 2.2. Description de la turbulence .........................................................................................25 2.3. Equations de transport ....................................................................................................27

2.3.1. Equations de Navier-Stokes.....................................................................................27 2.3.2. Equation de l’énergie ...............................................................................................28

2.4. Equations de la turbulence..............................................................................................29 2.4.1. Méthodes statistiques de modélisation de la turbulence ..........................................29 2.4.2. Equations moyennes de Navier Stokes ....................................................................29 2.4.3. Equation moyenne de l’énergie de Reynolds...........................................................30 2.4.4. Equations de transport des tensions turbulentes de Reynolds .................................30 2.4.5. Equation de transport de la dissipation de la turbulence..........................................34 2.4.6. Equation de transport de l’énergie cinétique turbulente ..........................................36

2.5. Modèles de turbulence à deux équations........................................................................36 2.5.1. Modèle de turbulence standard ε−k ......................................................................37 2.5.2. Approche ‘loi de paroi ’...........................................................................................37 2.5.3. Approche à bas nombre de Reynolds.......................................................................39 2.5.4. Approche '' bi-couche''. ............................................................................................40

2.6. Faiblesses des modèles de viscosité turbulentes (EVM)................................................42 2.7. Modèles des tensions turbulentes algébriques ASM ......................................................43 2.8. Modèle anisotropique de Bergeles .................................................................................46 2.9. Modèle anisotropique bi-couche ....................................................................................46 2.10. Récapitulation des modèles utilisés lors de cette étude..................................................47

Chapitre III : Présentation de la méthode numérique .................................................51 3.1. Transformation des équations en coordonnées généralisées (body fitted coordinates)..51 3.2. Méthode des volumes finis .............................................................................................54 3.3. Schémas de convection...................................................................................................57

3.3.1. Schémas de haute précisions....................................................................................58 3.3.2. Schémas de haute précision à limiteurs ...................................................................59

3.4. Traitement du gradient de pression ................................................................................62 3.5. Interpolation de Rhie et Chow........................................................................................64 3.6. Couplage vitesse-pression (SIMPLE et SIMPLEC).......................................................65 3.7. Introduction de la sous-relaxation ..................................................................................68 3.8. Résolution du système d’équations algébriques.............................................................68 3.9. Techniques de génération du maillage ...........................................................................70 3.10. Description de la version améliorée de FAST-3D........................................................74

Chapitre IV : Validation de l'outil de calcul .................................................................77

4.1. Introduction ......................................................................................................................77 4.2. Erreurs de discrétisations..................................................................................................78

4.2.1. Etude de la qualité du maillage ...................................................................................78 4.2.2. Etude des schémas de convection ...............................................................................83

4.3. Erreurs de modélisation....................................................................................................89 4.3.1. Simulation de l’écoulement turbulent pleinement développé entre deux plaques parallèles ...............................................................................................................................89 4.3.2. Simulation de l’écoulement turbulent sur une Marche descendante (turbulent backward facing step flow) ...................................................................................................94

Chapitre V : Simulation 3D du refroidissement par film ..........................................101

5.1. Injection sur une plaque plane.........................................................................................101 5.1.1. Motivations ...............................................................................................................101 5.1.2. Présentation du problème..........................................................................................101 5.1.3. Domaine de calcul.....................................................................................................103 5.1.4. Conditions aux limites...............................................................................................104 5.1.5. Grilles de calcul.........................................................................................................105 5.1.6. Analyse des résultats .................................................................................................107

5.2. Injection sur une plaque plane avec plenum....................................................................117 5.2.1. Motivations ...............................................................................................................117 5.2.2. Présentation du problème..........................................................................................117 5.2.3. Domaine de calcul et conditions aux limites.............................................................117 5.2.4. Analyse des Résultats................................................................................................119

5.3. Refroidissement d'une aube de turbine symétrique .........................................................126 5.3.1. Motivations ...............................................................................................................126 5.3.2. Présentation du problème..........................................................................................126 5.3.3. Domaine de calcul et conditions aux limites.............................................................126 5.3.4. Analyse des Résultats................................................................................................128

5.4. Conclusion des trois simulations .....................................................................................129 Conclusions et perspectives...........................................................................................135

ANNEXE A : Développement des équations de transport.....................................................141 ANNEXE B : Développement des termes des tensions de turbulences des modèles EASM 144

Références.......................................................................................................................149

Introduction générale

Les performances des turbines à gaz et notamment leur efficacité thermique n'ont pas cessé de

subir de spectaculaires progrès depuis la seconde guerre mondiale. En aéronautique, les

applications militaires ont vu augmenter le rapport puissance/poids alors que dans l'aviation

civile, la consommation du combustible a sensiblement diminué. La technologie

turbomachine est aussi importante dans les systèmes de production d'énergie, si bien que la

dualité rendement des turbines/efficacité de refroidissement des aubes s'impose de la même

manière qu'en aéronautique. En effet, les progrès enregistrés dans la conception des turbines à

gaz sont liés directement à l’augmentation de la température maximale de fonctionnement du

cycle thermique de la machine. Néanmoins, en augmentant la température à l'entrée des

turbines, les aubes de celle-ci (leur bord d'attaque en particulier) s'exposent à des charges

thermiques pouvant les détériorer. Celles appartenants aux premiers étages (HP) sont

exposées aux plus hautes températures en plus d'un champ thermique à caractère fortement

non homogène. Ce dernier favorise l'apparition des points chauds et provoque la détérioration

prématurée des aubes. Ces aubes de turbines doivent donc être protégées par un moyen qui

n'affecterait (ou faiblement) ni le rendement de la turbine (en terme de pertes) ni ces autres

caractéristiques (en terme de charges thermiques). On comprend alors pourquoi le choix du

moyen de refroidissement des aubes est au cœur du processus de design.

L’objectif de ce travail est de contribuer à la compréhension des phénomènes complexes qui

accompagnent l’un des procédés les plus employés dans les turbines à gaz, à savoir le

refroidissement par film. L'étude est orientée vers la contribution au développement des

méthodes de calcul relatives à ce sujet et de tester quelques nouvelles approches de

modélisation de la turbulence, pour différentes configurations (de la plus simple à la plus

proche d'une turbine réelle) et pour différentes conditions d'écoulement. Les écoulements dans

les turbomachines sont généralement fortement turbulents, et en tant que tels ils nécessitent

une attention particulière. Par ailleurs, le choix de la méthode de refroidissement peut altérer

la structure de l'écoulement moyen, de sorte que le modèle de turbulence soit plus approprie à

un type de refroidissement qu'à un autre. Le but est de dégager des conclusions pratiques

quant à l'utilité d'un modèle complexe par rapport à un autre plus simple, mais conçu pour

prendre en charge les mécanismes physiques les plus pertinents à ce type d'écoulement.

Ainsi, nous avons consacré le premier chapitre pour expliquer les motivations et les aspects

théoriques relatifs au refroidissement par film. Une description exhaustive des différents

Introduction générale

2

paramètres géométriques, hydromécaniques et thermodynamiques qui influencent directement

l’efficacité de refroidissement est également présentée. Ensuite, nous avons effectué un

aperçu des différentes corrélations utilisées dans l’étude théorique de ce phénomène. Enfin, ce

chapitre est clôturé par un exposé rapide des études numériques précédentes.

La description du modèle mathématique et plus spécialement des modèles de turbulence

utilisés dans cette étude sont exposés avec détail dans le second chapitre.

Le troisième chapitre décrit la méthode numérique utilisée. Tous les aspects relatifs à la

méthode des volumes finis sont exposés en détail, en particulier la génération des grilles de

calcul, la discrétisation des équations du problème, les schémas de convection, l’algorithme et

la méthode de résolution des équations algébriques finales.

Au quatrième chapitre nous avons validé et calibré le code de calcul par les résultats DNS

(Direct Numerical Simulation), sur une série d'applications (cas-tests), incluant l’écoulement

turbulent complètement développé entre deux plaques parallèles, la cavité ouverte de type "lid

driven cavity" et l'écoulement turbulent sur une marche descendante.

Les applications numériques conduites dans le cadre de cette étude sont présentées en trois

parties distinctes au cinquième chapitre. La première application concerne trois

configurations géométriques d’une plaque tridimensionnelle, auxquelles on a appliqué le

modèle de turbulence standard ε−k et la loi de paroi. Le but étant de ressortir les

caractéristiques globales de cet écoulement. La seconde application concerne aussi une plaque

où l'on a inclus le "plenum" dans le domaine de calcul. L’approche bi-couche à bas nombre de

Reynolds ainsi que les modèles EASM (Explicit Algebraic Stress Models) et la modification

anisotropique de Bergeles sont toutes appliquées à ce cas. Enfin, une aube réelle avec

injection près du bord d’attaque a fait l’objet de la troisième application.

L’étude est couronnée par une synthèse des conclusions les plus marquantes de ce travail, tout

en proposant des axes de recherches pour l'avenir.

CHAPITRE I. Le refroidissement par film

3

Chapitre I

Le refroidissement par film 1.1 Introduction La turbine à gaz nécessite une étude approfondie de son comportement thermique, du fait

qu’elle est particulièrement exposée aux gaz chauds en provenance de la chambre de

combustion. L’analyse du transfert de chaleur par convection d’une aube de turbine à gaz peut

être scindée en trois grandes parties (Lakshminarayana, 1996) : le transfert interne pour une

aube stationnaire, le transfert interne pour une aube en rotation et le transfert de chaleur

externe. Cette thèse envisage l’étude de cette dernière partie.

Le transfert de chaleur externe concerne les échanges thermiques entre les gaz chauds

émanant de la chambre de combustion et la surface externe de l’aube, avec ou sans

refroidissement. Cet échange se fait principalement par convection forcée. Il est très complexe

car il dépend de plusieurs facteurs dont la nature de la couche limite (laminaire ou turbulente)

qui se développe sur le profil de l’aube, le point de stagnation, le gradient de pression imposé,

la séparation et le ré-attachement de la couche limite, l’intensité et la structure de la

turbulence de l’écoulement en amont, la compressibilité, l’interaction des ondes de chocs avec

la couche limite pour les écoulements supersoniques ainsi que les effets induits par la nature

tri dimensionnelle de l’écoulement. Les paramètres de l’aube tels que la courbure, l’aspect

géométrique (hauteur/corde), l’incidence par rapport à l’écoulement en amont, la rotation, la

rugosité de la surface et le rayon de courbure du bord d’attaque jouent également un rôle non

négligeable sur le transfert thermique.

Les figures (I-1) et (I-2) représentent la structure générale de l’écoulement et la densité du

flux thermique autour d’une aube.

On peut en dégager les constatations suivantes :

• En raison de la faible épaisseur de la couche limite sur le bord d’attaque, un fort taux de

transfert de chaleur s’y développe. L’échange thermique autour de cette partie de l’aube

peut être étudié théoriquement en adoptant différentes corrélations établies pour le cas

d’un écoulement en stagnation sur un cylindre solide exposé à un écoulement transversal

(Lakshminarayana, 1996, page : 649).

• Sur l’extrados de l’aube, on remarque le développement d’une zone de transition

laminaire/turbulente conduisant à la formation d’une couche limite turbulente. Le taux de


4

transfert de chaleur a naturellement tendance à augmenter dans la zone de transition et

diminuer un peu plus loin.

• Sur l’intrados, la couche limite est généralement laminaire, transitionnel ou relaminarisé.

Figure I-1 : Détails du taux du transfert de chaleur autour d’une aube de turbine,

(Adapté de Daniels et Schultz, 1982, par Lakshminarayana, 1996)

L’intensité de turbulence de l’écoulement en amont de l’aube, la rugosité de sa surface

d’échange et sa courbure affectent directement la zone de transition et par conséquent le taux

de transfert de chaleur. L’augmentation de l’intensité de la turbulence contribue à un

développement prématuré de cette zone. Pour de forts taux de turbulence en amont de l’aube

la zone de transition se développe près de son bord d’attaque de façon prématurée.

La courbure de l’aube et la rotation influent simultanément sur la stabilité de la couche limite.

Une surface convexe empêche la génération de la turbulence alors qu’une surface concave

augmente la génération de l’énergie turbulente. La conséquence est que le transfert de chaleur

augmente dans la zone d’une surface concave (intrados) et diminue dans la partie convexe

(extrados).


5

Figure I-2 : évolution du coefficient du transfert de chaleur. (Nealy et al., 1984 ; NASA CR 168015, d’après Lakshminarayana, 1996)

Le gradient de pression étouffe ou favorise le développement de la couche limite suivant qu’il

est favorable ou inverse. Il influe directement sur le gradient de la vitesse et de la température

sur la paroi, sur la séparation et le ré-attachement de la couche limite. Une nette augmentation

du taux de transfert de chaleur existe près du point de ré-attachement juste après la zone de

recirculation. Cette dernière est normalement une zone à faible échange thermique. Par

ailleurs, un gradient de pression favorable stabilise la couche limite, retarde et rallonge la

zone de transition. L’écoulement dans la zone du bord d’attaque est caractérisé par une faible

épaisseur de la couche limite si elle se développe, une forte accélération de l’écoulement et un

fort effet de la courbature de la surface d’échange. Souvent, ceci conduit à un décollement

local de la couche limite. Comme annoncé plus haut, les études théoriques et analytiques du

point de stagnation d’un cylindre exposé à un écoulement transversal sont applicables sur

cette zone de l’aube. Le taux de transfert de chaleur dans cette partie de l’aube est très

sensible à l’intensité de turbulence de l’écoulement incident.

Dans la littérature spécialisée (Lakshminarayana, 1996 et Schlichting, 1979), plus de détails

sont développés sur l’influence de ces différents paramètres sur le taux de transfert de chaleur.

A la différence du transfert de chaleur interne entre l’aube et le fluide refroidissant qui peut

être facilement prédit par des corrélations plus ou moins simples, le transfert de chaleur

externe est difficilement prévisible. La difficulté vient du fait de l’incapacité de localiser les


6

zones de transition et de recirculation ainsi que les effets de la turbulence. Ce qui fait que la

prédiction du transfert de chaleur externe est orientée aujourd’hui vers les méthodes

expérimentales et récemment vers les méthodes numériques basées sur la solution des

équations de transport gouvernant l’écoulement moyen et la turbulence.

En réalité, le problème est plus complexe puisqu’on est généralement amené à augmenter la

température maximale du cycle thermique de la turbine à gaz afin d’améliorer les

performances et le rendement de la machine. Il est bien établi que l’augmentation de la

température maximale du cycle thermodynamique d’une turbine à gaz augmente

considérablement ses performances.

Si on conjugue cet accroissement de température au caractère fortement non uniforme du

champ thermique décrit ci dessus, il devient indispensable d’adopter un procédé de

refroidissement judicieusement optimisé afin d’assurer une répartition de température aussi

uniforme que possible de telle façon que l’efficacité globale ne soit pas moins altérée.

L’adoption d’un procédé de refroidissement est indispensable si on veut garder une durée de

vie acceptable de la turbine, puisqu’elle est directement liée à la charge thermique. En effet, le

refroidissement des surfaces en contact avec les gaz chauds permet d’augmenter la

température maximale du cycle tout en gardant la température des surfaces dans des limites

acceptables. D’après Lakshminarayana, (1996), les progrès réalisés dans le domaine du

refroidissement ainsi que la sélection des alliages métalliques utilisés ont permis un gain

considérable au niveau du cycle thermodynamique des turbines à gaz (750°K en l’espace

d’une vingtaine d’années). Il faut aussi souligner que la température d’une chambre de

combustion d’un turboréacteur peut atteindre 1600°K dans le domaine du transport civil, et

jusqu’à 1800°K dans le secteur militaire.

1.2 Procédés de refroidissement Les différentes techniques de refroidissement utilisées pour les aubes des turbines à gaz sont

présentées sur la figure (I-3).

Bien évidement, l’air constitue le fluide refroidissant employé dans le domaine de l’aviation.

Ce sera aussi la seule variante considérée dans cette étude. L’air de refroidissement est

généralement soutiré à la sortie du compresseur introduisant ainsi, suivant le cas, soit une

diminution du rendement de la machine, soit une augmentation de la consommation en

combustible. Il est ainsi requis des ingénieurs d’optimiser la quantité d’air extraite de sorte


7

que la performance globale du turboréacteur n’en serait que légèrement affectée, tout en

gagnant sur la protection des aubes par le biais du refroidissement.

Figure I-3 : Différentes techniques de refroidissement des aubes de turbines à gaz. (Lakshminarayana, 1996)

Les travaux de Lakshminarayana (1996), classent les procédés de refroidissement en deux

grandes catégories : les refroidissements internes et les refroidissements externes. La première

catégorie englobe la convection forcée et le jet interne. Ces procédés sont moins efficaces que

le refroidissement externe et sont par conséquents utilisés pour les turbines dont la

température amont varie entre 1300 et 1600°K. Ceci est en partie imputé au fait que les

caractéristiques thermiques de l’air sont assez limitées. Le refroidissement externe, tel que le

refroidissement par film et par transpiration à travers des surfaces poreuses, sont plus

efficaces et sont par conséquent réservés pour des températures amont dépassant 1600°K.

1.2.1 Refroidissement par convection Le refroidissement par convection est la plus simple technique à réaliser. C’est d’ailleurs le

premier procédé utilisé pour les premières générations des turbines à gaz. Le fluide

refroidissant passe à plusieurs reprises à travers des conduites judicieusement aménagées dans

le corps des aubes et du rotor. Il est ensuite éjecté par des trous positionnés sur les bords de

fuites des aubes. Le refroidissement se fait alors par convection forcée.

1.2.2 Refroidissement par impact Ce procédé est une amélioration du refroidissement par convection, figure (I-3). Il est réalisé

par un aménagement spécial à l’intérieur des aubes de telle manière à créer des jets internes


8

permettant un refroidissement plus efficace que par convection. Cette technique est

généralement utilisée dans la zone du bord d’attaque de l’aube, une région particulièrement

vulnérable du fait qu’elle est exposée directement aux gaz à hautes températures.

1.2.3 Refroidissement par film Dans ce cas, l’air de refroidissement est injecté directement dans l’espace inter-aube, figure

(I-3). La fine couche de fluide froid ainsi formée sur la surface de l’aube joue le rôle d’un

tampon protégeant la surface du fluide chaud. L’injection se fait à travers une ou plusieurs

rangées de trous reliant le passage interne de l’air froid à la surface extérieure. Plusieurs

configurations peuvent être envisagées : (i) forme et disposition variables des orifices

d’injections, (ii) l’espacement entre trous, rangées et leurs angles d’injection par rapport à

l’axe de l’aube.

1.2.4 Refroidissement par transpiration Pour ce fait, on utilise un matériau poreux permettant à l’air de refroidissement de s’infiltrer à

travers les parois à refroidir, figure (I-3). Ce procédé permet entre autre une distribution plus

homogène du fluide refroidissant sur la surface que par le biais du refroidissement par film,

d’où une meilleure efficacité de refroidissement. Néanmoins, à cause des difficultés de

construction, ce procédé reste réservé à des applications très restreintes.

Une analyse des différents procédés de refroidissement introduits plus haut nous amène à dire

que le principe le plus simple est sans doute celui effectué par convection, surtout que les

autres procédés fragilisent l’aube et que les orifices sont susceptibles de provoquer des

vibrations de la turbine. Des corps étrangers peuvent aussi obturer ces trous d’où une

influence sur le comportement thermique de la turbine. Ces corps étrangers peuvent être dus à

l’oxydation ou transportés par l’air lui-même. Néanmoins, les trois premiers procédés sont

largement utilisés dans les turbines modernes et sont souvent utilisés conjointement comme le

montre la figure (I-4).


9

Figure I-4 : Exemple typique d’une aube à haute pression utilisant conjointement le refroidissement

par film, par jet interne et par convection, (Elovic, 1976). 1.3 Refroidissement par film Ce procédé consiste à soutirer un certain débit d’air froid du compresseur et l’injecter dans

l’espace inter-aube à travers des orifices judicieusement aménagés sur le corps de l’aube à

refroidir. Le jet d’air froid entre en interaction directe avec l’écoulement principal. Le but à

atteindre est de former une fine couche d’air qui joue le rôle d’un tampon protégeant la

surface du fluide à haute température. L’interaction directe entre le jet et l’écoulement

principal est très compliquée et donne lieu à une structure de l’écoulement en aval fortement

tridimensionnelle, turbulente, avec présence de tourbillons secondaires. L’avantage de ce

procédé ne peut être perceptible que si le débit d’air utilisé pour le refroidissement est

soigneusement optimisé. Il est nécessaire que ce débit soit minimisé tout en gardant un bon

niveau de refroidissement des aubes de la turbine à gaz. Il faut noter que chaque débit d’air

soutiré pour le refroidissement représente une augmentation de consommation en combustible

qu’il faut estimer et donc optimiser. En plus du souci économique, l’injection du fluide

refroidissant dans l’espace inter-aube doit être bien contrôlée de sorte à ne pas perturber

l’aérodynamique du passage inter-aube et détériorer les performances de la turbine en

augmentant les pertes de charges. Le processus de refroidissement par film est à ce jour un

des sujets les plus complexes en turbomachines, d’où l’intérêt croissant des chercheurs à

comprendre et améliorer ce procédé.


10

A la différence du refroidissement par convection, le refroidissement par film induit une

interaction directe entre l'air froid et les gaz chauds. Une forte interaction peut aussi exister

entre les jets voisins d’une même rangée ou de rangées différentes. Cette interaction influe

directement sur la structure de la couche limite qui se développe sur l’aube.

La complexité du phénomène est due aux aspects suivants :

• La température, la masse volumique et la vitesse du fluide refroidissant sont différentes de

celles de l’écoulement principal.

• L'interaction des jets avec l’écoulement principal influe directement sur la turbulence de

l’écoulement aval, par exemple en augmentant considérablement la production et la

dissipation de l’énergie cinétique turbulente près du point d’injection.

• La configuration géométrique est souvent assez complexe. La forme de l’aube et la

rugosité de surface interviennent directement sur la distribution de la pression autour de

l’aube.

• Le nombre de rangées de trous utilisés, le diamètre des trous d’injection, l’espace entre les

rangées ainsi que celui entre les trous, l’angle d’inclinaison des trous d’injection, leurs

positions relatives (carré ou en quinconce).

• Le plus souvent, le caractère non stationnaire de l’écoulement principal ainsi que l’effet

des forces de Coriolis dues à la rotation de l’aube augmentent la complexité du processus.

• L’injection du fluide refroidissant provoque une transition laminaire/turbulente

prématurée de l’écoulement, avec possibilité de relaminarisation sous certaines

circonstances. 1.4 Paramètres qui influencent le processus de refroidissement On trouve dans la littérature spécialisée (Lakshminarayana, 1996, et Hartnett, 1985), une

revue exhaustive des différents paramètres qui agissent sur le processus du refroidissement

par film. Ces paramètres peuvent être classés en deux grandes catégories : les paramètres

thermo- et hydro-dynamiques de l’écoulement principal et du jet, ainsi que les paramètres

géométriques des orifices d’injection (diamètre, angles d’inclinaisons, nombre de rangées,

etc…)


11

1.4.1 Influence du taux d’injection L’écoulement principal est caractérisé par l’indice “∞”, alors que celui du fluide refroidissant

par l’indice “c”. Le rapport ∞∞= UUM cc ρρ , est appelé taux d’injection, alors que

22∞∞= UUI cc ρρ , représente le taux de la quantité de mouvement. Des chercheurs comme

Ligrani et al. (1992, 1994a, 1994b, 1995, 1996a, 1996b, 1997a et 1997b), Jubran et al. (1997

et 1999) ont pu montrer que l’efficacité du refroidissement augmente avec l'accroissement du

taux d’injection jusqu’à une certaine limite au-delà de laquelle elle diminue. Ce phénomène

appelé "Blow-off" est expliqué par le fait qu’à faible taux d’injection, le jet est pratiquement

plaqué contre la surface à protéger et remplit donc son rôle de façon correcte alors qu’à fort

taux d’injection, le jet pénètre profondément dans l’écoulement principal en se décollant de la

surface. Cette dernière est alors directement exposée aux gaz chauds d’où une mauvaise

protection. Pour une configuration à une seule rangée de trous inclinés à 35° et un rapport de

masse volumique avoisinant l’unité, la valeur optimale du taux d’injection est de l’ordre de

0.4 à 0.5, (Ligrani et al., 1992, 1994a & 1994b). Pour les configurations de refroidissement bi-

dimensionnelles et dans le cas où le jet resterait attaché à la surface, l’efficacité dépend du

taux d’injection (Demuren et al., 1986a). Cependant, dans le cas où le jet se détacherait de la

surface, le paramètre influençant l’efficacité devient le taux de la quantité de mouvement

(Sinha et al., 1991a). Ce taux est donc directement responsable de la trajectoire que prendra le

jet. Ce résultat a été confirmé par plusieurs études aussi bien expérimentales que numériques

(Ligrani et al., 1992, 1994a, 1994b, 1995, 1996a, 1996b, 1997a et 1997b), (Jubran et al., 1997

et 1999), (Lakehal et al., 1998) et (Theodoridis et al., 2001).

1.4.2 Influence du gradient de pression longitudinal L’influence du gradient de pression longitudinal sur l’efficacité du refroidissement par film a

été explorée expérimentalement par chercheurs cités par Hartnett (1985). L’étude de

l’influence de ce paramètre est très importante puisque dans l’espace inter-aube, il existe un

gradient de pression favorable sur une première partie du canal, suivi par un gradient inverse

sur la dernière partie. Hartnett (1985) rapporte que certains chercheurs ont détecté une

augmentation de l’efficacité pour un gradient de pression favorable, alors que d’autres ont

exprimé l’effet inverse. Il nous semble que d’autres paramètres interviennent dans le

processus en parallèle avec le gradient de pression, de telle sorte que ce dernier influe

différemment suivant leurs importances. En effet, dans l’étude expérimentale présentée par


12

Maiteh et Jubran (1999), il ressort que le gradient de pression influe différemment sur

l’efficacité du refroidissement suivant que le taux d’injection est faible ou important. Pour les

faibles taux d’injection, un faible gradient de pression favorable diminuerait la protection de

la surface, alors qu’un gradient de pression inverse augmenterait l’efficacité latérale moyenne.

Le phénomène inverse est observé pour le cas des grandes valeurs du taux d’injection.

1.4.3 Influence du nombre de Reynolds Les études rapportées par Hartnett (1985) s’accordent sur le fait qu’il n'y a qu’une très faible

influence du nombre de Reynolds ( ∞∞= νDUReD ) sur l’efficacité du refroidissement par

film. Néanmoins, l'étude menée récemment par Haslinger (1997), a montré que

l'augmentation du nombre de Reynolds permet de maintenir le corps du jet plus proche de la

surface à refroidir, ce qui ce traduit directement par une augmentation de l'efficacité de

refroidissement.

1.4.4 Influence du rapport des masses volumiques L’influence de ce paramètre est très importante, puisqu’il conditionne le taux de quantité de

mouvement I qui est directement responsable de la trajectoire du jet et par conséquent sur son

décollement ou son attachement à la paroi. En pratique, l’air injecté est plus dense que

l’écoulement principal, le rapport est de l’ordre de 2. Dans de telles conditions, la valeur

optimale du taux d’injection est supérieure à 0.5 (valeur pour 1=∞ρρc ), d’où une meilleure

efficacité de refroidissement. Pour le même taux d’injection, un gaz plus dense a un faible

taux de quantité de mouvement, donc sa pénétration est plus faible et son efficacité de

refroidissement est meilleure.

1.4.5 Influence de l’épaisseur de la couche limite L’augmentation de l’épaisseur de la couche limite turbulente a pour effet de diminuer la

distribution de l’efficacité du refroidissement sur la ligne centrale qui passe par le centre du

trou d’injection. Ceci est expliqué par le fait que l’augmentation de l’épaisseur de la couche

limite diminue le module de la vitesse près de la paroi ce qui augmente l’épaisseur moyenne

de la couche limite thermique. Par conséquent, la valeur de l’efficacité sur la ligne centrale

diminue. Par contre, l’efficacité augmente sur la ligne médiane entre deux trous d’une même

rangée, puisqu’une couche limite plus épaisse permet une meilleure dispersion latérale du jet.


13

La compensation entre ces deux effets fait que l’efficacité moyenne latérale est finalement

peu influencée par ce paramètre.

1.4.6 Influence de l’intensité de turbulence Hartnett (1985) présente quelques études qui montrent une légère diminution de l’efficacité de

refroidissement avec l’augmentation de l’intensité de turbulence ( 22' ∞= UuTu ). La même

conclusion a été trouvée expérimentalement par Maiteh et Jubran (1999). Ce résultat

s’explique par le fait que l’augmentation du mélange entre le jet froid et les gaz chauds

participe à la dilution graduelle du jet et par conséquent diminue l’effet protecteur du jet sur la

surface.

1.4.7 Influence des paramètres géométriques de l’injection Le comportement d’un jet isolé, confiné à un écoulement transversal a été largement étudié

aussi bien expérimentalement que numériquement. Il découle de ces études que suivant le

taux d’injection du jet, il se produit un décollement de la couche limite juste en aval du point

d’injection. Une zone de très haut niveau de turbulence est immédiatement crée dans cette

partie de l’écoulement. Le jet se comporte comme un corps solide flexible à structure

fortement tridimensionnelle. En amont du jet, l’écoulement est freiné comme s’il s’abattait

contre une paroi solide (impingement). Une zone de basse pression se crée immédiatement en

aval du jet. Cette dépression est directement responsable de la déviation (courbure) du jet dans

la direction de l’écoulement principal.

L’écoulement aux environs du jet se caractérise par un ensemble de vortex d’intensité et

d’importance différente en forme d’un fer à cheval appelé ‘horseshoe vortice’ (Andreopoulos,

1982). Sous l’effet de deux vortex longitudinaux tournant en sens inverse l’un par rapport à

l’autre (counter rotating vortices), la section droite du jet prend une forme rappelant celle

d’un rein (kidney shape). Ces deux vortex ont l’effet néfaste de ramener le fluide chaud de

l’écoulement principal vers la paroi plane ce qui va à l’encontre du but souhaité. Juste après le

point d’injection, il se développe un sillage tridimensionnel très complexe. Dans cette région,

la vitesse longitudinale est faible et la zone du sillage augmente proportionnellement avec le

taux d’injection. La chute de pression dans cette région cause un écoulement inverse ramenant

le fluide vers le plan de symétrie. En augmentant la vitesse du jet, cet effet devient de plus en


14

plus intense et prend la forme d’un jet contre une paroi. Cet effet est ensuite responsable du

décollement du sillage de la surface. Pour tous les taux d‘injection, il existe une couche de

cisaillement au-dessus de la région du sillage, où la vitesse longitudinale subit un changement

très rapide (zone de très forte intensité de turbulence). En se déplaçant dans la direction de

l’écoulement principal le jet se dissipe graduellement pour laisser se rétablir une structure

normale de couche limite sur une plaque plane (zone pleinement développée).

L’angle d’injection a une très grande influence sur la structure de l’écoulement près du point

d’injection. Un jet perpendiculaire perturbe plus intensément la structure de l’écoulement et

en particulier la taille des structures vorticales qui, dans ce cas sont plus grosses que celles

induites par un jet incliné. Différentes études (Sinha et al., 1991a) ont montré que la

trajectoire du jet est liée au taux de quantité de mouvement cité plus haut. Une méthode très

simple pour éviter le phénomène du "Blow-off" est donc de diminuer la vitesse du jet au point

d’injection sans toutefois diminuer le débit d’injection. Ceci peut être réalisé par

l’élargissement de la section de l’orifice d’injection par une sorte de chanfrein local. Cette

technique est connue sous le nom de "Shaped holes". Elle améliore considérablement

l’efficacité du refroidissement puisqu’elle permet d’utiliser un fort débit refroidissant tout en

évitant le décollement du jet. Ce paramètre est cité ici à titre indicatif, il ne sera pas traité dans

cette étude.

En pratique, pour le refroidissement des aubes de turbine à gaz, les orifices d’injection sont

disposés en rangée. Puisque les jets voisins entrent en interaction mutuelle, cette disposition

géométrique introduit un changement profond du comportement individuel de chaque jet.

Sinha et al. (1991a) ont observé que le jet issu d’une rangée est plus plaqué contre la paroi

solide qu’un jet isolé. Dans le cas de plusieurs rangées de trous, la structure de l’écoulement

devient de plus en plus complexe. Des études comme celles de Sinha et al. (1991b) montrent

en effet que la couche limite au voisinage de la deuxième rangée est plus épaisse que celle de

la première rangée. Une conséquence directe de cette structure se traduit par un décollement

plus significatif du jet issu de la deuxième rangée par rapport à celui de la première rangée.

Par ailleurs, il a été observé aussi qu’un jet incliné dans la direction longitudinale (angle

simple) produit une efficacité de refroidissement meilleure que celle produite par une

injection perpendiculaire du fait que l’inclinaison favorise l’adhésion du jet sur la plaque et

minimise l’effet du décollement de celui ci. Ce type de configuration est appelé trou a

inclinaison simple. Une inclinaison composée, constituée d’une inclinaison transversale

supplémentaire par rapport au plan transversal (angle composé) s’est avérée encore plus

performante, puisqu’elle permet aux différents jets de la même rangé de couvrir une plus


15

grande surface de l’aube à refroidir (Ligrani et al., 1992, 1994a, 1994b, 1995, 1996a, 1996b,

1997a et 1997b), (Jubran et al., 1997 et 1999), (Lakehal et al., 1998), (Theodoridis et al.,

2001) et (Azzi et al., 1998 et 2001a). L’utilisation de deux rangées de trou en quinconce a

montré une nette amélioration puisqu’elle contribue à minimiser les effets du phénomène

"Blow-off". Une configuration à deux rangées de trous produit une meilleure efficacité de

refroidissement comparée à celle d’une seule rangée, pour le même taux d’injection.

L’utilisation d’un arrangement de trous en quinconce est préférable à un arrangement en ligne

puisqu’il permet d’avoir une distribution latérale plus uniforme de l’efficacité de

refroidissement. L’étude faite par Jubran et Maiteh (1999) a la particularité d’expérimenter

deux rangées de trous à inclinaisons différentes. Il en découle qu’une disposition d’une

première rangée à inclinaison simple suivie d’une deuxième rangée à inclinaison composée

procure une meilleure protection de la surface, comparativement aux dispositions classiques

où les deux rangées sont simples ou composées. Il faut toutefois noter que les configurations

expérimentées présentent un espacement inter-trou de deux fois le diamètre seulement.

Récemment, Leylek et Zerkle (1994), Walters et Leylek (1996 et 1997) ont mené plusieurs

études numériques proches aux cas réels des turbines à gaz avec deux rapports

longueur/diamètre du trou d’injection. Ces études ont montré une très grande différence de

comportement suivant que le tube est long ou court. Pour des tubes d’injection assez court,

l’angle d’injection effectif se trouve amplifié et par conséquent le décollement du jet se

manifeste pour des valeurs assez basses du taux d’injection. Plus récemment, Lutum et

Johnson (1999) ont confirmé ces constatations en menant une investigation expérimentale qui

a montré que les plus faibles valeurs de l’efficacité de refroidissement sont enregistrées pour

les plus courts tubes d’injection. Les mêmes constatations ont été enregistrées par l'étude

numérique menée récemment par Azzi, et al. (2001c).

1.5 Pertes hydrodynamiques causées par le jet refroidissant Bien que ce thème ne fasse pas partie de notre étude, nous lui consacrons ce paragraphe ne

serait ce que pour marquer son importance lors de la conception des turbines à gaz. Plus de

détails sont fournis dans (Lakshminarayana, 1996). En effet, le jet de refroidissement

provoque un détachement et un rattachement de la couche limite avec création d’une zone de

recirculation. Un tel phénomène provoque des pertes hydro dynamiques majeures. Les

modifications apportées à la couche limite sont liées à plusieurs paramètres, aussi bien

hydrodynamiques que géométriques. Les pertes associées à la position du jet peuvent être


16

optimisées à travers la détermination de la distribution de pression, de la transition, et de la

structure de la couche limite. L’un des paramètres les plus important est la position du jet. En

effet, comme le montre la figure (I-5), la position du jet dans l’aube est critique : elle est

souvent contradictoire avec l’optimisation du transfert thermique. Selon cette figure, le jet au

bord d’attaque "shower head" et l’injection perpendiculaire à 90° provoque les plus grandes

pertes hydrodynamiques. Ce résultat est dû au fait que ces configurations perturbent

radicalement la structure de la couche limite. Par contre, l’étude menée par Holmes (1985),

rapportée par Lakshminarayana (1996), montre une amélioration apportée par le jet dans le

bord de fuite. C’est pour cette raison que l’air de refroidissement par convection est

généralement évacué à travers une rangée de trous aménagés sur le bord de fuite de l’aube.

Figure I-5 : Influence de la position et de l’inclinaison du jet sur les pertes hydro dynamique dans un passage inter aube, (Heiser, 1978) (d'après Lakshminarayana (1996).

1.6. Etude thermique du refroidissement par film La densité du flux thermique échangé par convection entre la paroi solide de l’aube et le

fluide s’écrit :

( )wTThq −= ∞00 (I-1)

où 0h est le coefficient de transfert thermique local sans le jet secondaire, wT est la température

locale de la paroi, et ∞T la température du fluide dans la zone externe non perturbée (bulk). En

présence du film refroidissant, la densité locale du flux thermique s’écrit :

( )wff TThq −= (I-2)


17

où fh est le coefficient de transfert thermique local en présence du film refroidissant, et fT la

température locale du film (mélange entre le jet et l’écoulement principal).

Dans ce qui précède, la détermination de la température du film résultant du mélange entre le

jet froid et les gaz chauds de l’écoulement principal est difficile. Le problème est détourné en

définissant une température adimensionnelle.

c

f

TTTT

−

−

∞

∞ (I-3)

où cT est la température du jet froid au point d’injection.

Puisque les différentes températures citées ci-dessus vérifient toujours l’inégalité suivante

∞<< TTT fc , le rapport des températures dans la relation (I-3) est toujours inférieur à l’unité.

Pour les faibles nombre de Mach et pour une paroi adiabatique la température de la paroi en

l’absence du film refroidissant vérifie l’égalité suivante :

∞= TTaw (I-4) où awT est appelée la température adiabatique de la paroi. En remplaçant fT par awT , on

définit une température adimensionnelle appelée efficacité adiabatique du refroidissement par

film. Elle est exprimée par :

c

aw

TTTT−−

=∞

∞η (I-5)

L’efficacitéη , vérifie bien les conditions aux limites logiques, c’est à dire 0=η en absence de

refroidissement ( ∞= TTaw ), et 1=η , près du point d’injection où caw TT = .

En pratique, on s’intéresse généralement à la moyenne transversale de l’efficacité de

refroidissement communément définie par :

( )∫=L

dzzL 0

1 ηη (I-6)

où, L est la largeur de la surface à refroidir.

En plus de l’étude de l’efficacité adiabatique du refroidissement par film, l’étude thermique

porte sur la détermination de l’évolution du coefficient de transfert thermique pour voir si le

gain réalisé par la diminution de la température ( fT au lieu de ∞T ) n’est pas annulé par

l’augmentation du taux de transfert thermique étant donnée que généralement 0hh f > .

1.7 Analyse théorique du refroidissement par film Le but recherché est de proposer des corrélations simples pour prédire quantitativement aussi

bien la trajectoire du jet que la distribution de l’efficacité du refroidissement par film sous


18

certaines conditions et cela sans trop perdre de la qualité. Dans ce paragraphe, nous allons

citer quelques-unes de ces corrélations.

1.7.1 Trajectoire du jet L’étude du refroidissement par film se réduit à celle du jet dans un milieu non confiné.

L’étude théorique d’une telle configuration passe inévitablement par une idéalisation du

processus comme cela est schématisé par la figure (I-6).

Figure I-6 : Jet turbulent dans un écoulement transversal (adaptée de Demuren (1986b).

L’écoulement principal est perturbé par le jet de manière proche que celle d’un cylindre solide

exposé à un écoulement transversal. Les vortex issus du jet transversal sont généralement

compressés par l’écoulement principal. Ces deux vortex longitudinaux, tournants en sens

inverse pénètrent profondément dans l’écoulement global avant de s’estamper graduellement

suivant le taux d’injection de l’écoulement secondaire. Ce phénomène est directement

responsable de la section droite du jet en forme de rein. L’écoulement dans les environs du jet

est fortement turbulent et le jet est entraîné par l’écoulement principal pour lui être

pratiquement aligné, loin du point d’injection. Cependant, la structure du jet caractérisé par la

forme du rein est souvent préservée sur une longue distance en aval du jet. Dans le cas de

l’injection à partir de plusieurs trous disposés en une ou plusieurs rangées, les jets entrent en

interaction mutuelle et la structure devient de plus en plus complexe. La figure (6) montre un

plan de symétrie d’un jet simple perpendiculaire à l’écoulement transversal. On définit l’axe

du jet comme étant la trajectoire de la vitesse maximale à l’intérieur du jet que l’on appelle "la

trajectoire du jet". D’après l’étude théorique présentée par Demuren et al. (1986b), on peut

décomposer le jet en trois régions distinctes. La première zone, appelée corps du jet,


19

représente la partie non perturbée par l’écoulement principal. Sa longueur est liée directement

au taux d’injection et elle n’est significative que pour les fortes valeurs de ce dernier

(pratiquement, M > 4). Il est à rappeler que pour un jet libre, c’est à dire sans écoulement

transversal, les études expérimentales mentionnent une valeur de la longueur avoisinant 6D

pour cette zone. On peut citer les quelques corrélations empiriques pour l’évaluation de cette

longueur :

Fan (1967) Mj Dl 3.32.6 −= (I-7)

Kamotani et Greber (1974) M

l j 608.414.6

+= (I-8)

Les relations (I-7) et (I-8) sont pratiquement équivalentes pour les fortes valeurs du taux

d’injection, alors qu’elles différent sensiblement pour les faibles valeurs.

La seconde région du jet est celle déviée de la trajectoire caractérisée par une forte courbure

du jet. La troisième et dernière région du jet englobe la partie du jet qui est pratiquement

parallèle à la direction principale de l’écoulement.

Les modèles empiriques de prédiction de la trajectoire d’un jet sont évidemment les plus

simples du point de vue pratique, mais ils ont l’inconvénient d’avoir un domaine de validité

étroit. Ceci est dû au fait que ces modèles sont toujours liés aux conditions expérimentales qui

leurs ont donné naissance. L’un des modèles utilisés pour la prédiction de la trajectoire d’un

jet issu d’un trou circulaire et perpendiculaire à l’écoulement transversal s’écrit (Demuren,

1986b) : c

b

DxMa

Dy

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (I-9)

où :

39.033.00.174.031.175.0

÷=÷=÷=

cba

La plage d’application de ce type de modèle est : 504.1 ÷=M

Dans cette catégorie, le modèle de Kamotani et Greber (1974) est applicable pour 104 ÷=M ,

94.0=b , 36.0=c , 89.0=a pour un jet issu d’une fente à profil plat, et 81.0=a pour un jet issu

d’un tube à profil complètement développé. Si le jet est chauffé, sa trajectoire sera affectée

par le rapport des masses volumiques entre l’écoulement principal est celui du jet.

L’expression de la trajectoire prendra ainsi la forme : 29.0

52.011.0

73.0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∞ DxI

Dy c

ρρ

(I-10)

où I est le taux de la quantité de mouvement définit précédemment.


20

Pour le cas d’un jet incliné d’un angle θ , on peut citer la corrélation de Shandorov (1957) :

( ) θcot1 155.2

1 −− ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= I

Dy

DyI

Dx (I-11)

Cette loi fût construite à partir de l’expérience du jet froid dans un écoulement chaud pour un

taux de quantité de mouvement I variant de 2 à 22, et θ allant de 45° à 90° (Demuren,

1986b).

1.7.2 Prédiction de l’efficacité du refroidissement Hartnett (1985) présente une revue bibliographique de plusieurs corrélations semi–empiriques

déterminant l’efficacité du refroidissement. Ces formulations, qui sont aussi reprises par

Leontiev, (1999), titulaire du prix Max Jacob1998, se distinguent entre elles par la prise en

compte de plus ou moins de paramètres influençant le refroidissement par film. Il faut

toutefois noter que les corrélations proposées reposent sur un raisonnement bi-dimensionnel

n’incluant que le jet issu d’une fente bi-dimensionnel. Cette configuration dont quelques

variantes sont illustrées sur la figure (I-7), n’est pas souvent utilisée pour le refroidissement

des turbines à gaz en raison des difficultés de constructions.

La configuration la plus attractive est celle de l’injection à travers des rangées de trous

distincts (c’est aussi l’unique configuration explorée dans notre étude). Parmi ces formules

empiriques nous citons :

Librizzi et Cresci, (1964)

( ) ( )[ ]101.4329.011

8.0 −++=

∞ ζη

pcp CC (I-12)

Kutaeladze et Leontiev, (1963)

( ) 8.0329.011

ζη

pcp CC ∞+= (I-13)

Goldstein et Haji-Sheikh, (1967)

( ) 8.0

32

329.01Pr9.1

ζη

pcp CC ∞+= (I-14)

où ζ est le taux d’injection définit par: 41−

∞⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= c

cc ReFsx

µµζ (I-15)

où

c

ccc

sUReµ

ρ= et

∞∞

=UUF cc

ρρ (I-16)


21

cU : vitesse moyenne du jet refroidissant

cx : distance du bord de la fente d’injection.

L'équation (I-12) par exemple, tient compte du gradient de pression longitudinal, la

compressibilité et la non isothermalité du fluide, la rugosité de la surface d’échange, et

l’organisation des trous d’injection.

Figure I-7 : Plusieurs configurations de refroidissement par film de type fente,

Hartnett (1985)

Une autre technique, basée également sur l’hypothèse de bi-dimensionnalité, a été proposée

par Brown (1967) :

( ) ( )AfIf 211=η (I-17) où

( ) γAIAf =,2 ; ( )If3=γ (I-18)


22

( )

xx

Rex

ms

Ai

x

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=1

2.0

(I-19)

où x est la distance mesurée à partir du bord d’attaque de la plaque, ix est la distance jusqu’au

point d’injection. La largeur de la fente “s” utilisée dans l’équation (I-19), est généralement

prise égale à

pDs

4

2π= (I-20)

1.8 Etude numérique du refroidissement par film L’objectif de notre travail étant principalement à caractère numérique, tous les aspects relatifs

à cette approche pour le refroidissement par film seront traités avec détail le long des

chapitres qui suivent. Ceci inclu la formulation des équations de transport, la génération du

maillage, l’algorithme de résolution, l’approximation des termes non-linéaires, ainsi que la

modélisation de la turbulence. Notre but est de faire de ce document une référence assez

complète pour la modélisation numérique des écoulements et du transfert de chaleur, sans

toutefois être excessivement longue. Mais avant cela, nous devons rappeler et commenter les

différentes contributions disponibles à ce sujet.

Le transfert par convection forcée peut être traité par la résolution numérique des équations de

Navier-Stokes et l’équation de l’énergie. Plusieurs simplifications peuvent être faites afin de

rendre l’approche numérique plus aisée et adaptée aux capacités de calcul disponibles. Ainsi,

une simplification majeure peut être réalisée en assimilant la courbure de l’aube à une plaque

plane, et en négligeant l’effet de rotation.

En raison de la faible capacité de stockage des premiers calculateurs, les premiers modèles

mathématiques utilisés sont de type parabolique. Ces modèles présentent l’inconvénient d’être

applicable aux situations à faibles taux d’injection, où le jet reste plaqué contre la paroi de la

surface de l’aube. Bergles et al. (1976, 1981) ont proposé un modèle semi-parabolique qui

s’est avéré relativement efficace pour ce type de conditions. Ce modèle basé sur les mêmes

équations paraboliques de la couche limite permet le stockage des variables sur un seul plan,

sauf pour la pression. L’effet de celle-ci est introduit dans les équations de quantité de

mouvement par un processus itératif jusqu’à la convergence. La vitesse de l’écoulement est

maintenue positive ou nulle. De plus, les écoulements de retour ne sont pas captés. Demuren

(1983) a utilisé un modèle complément elliptique limité aux zones proches du point

d’injection et parabolique loin de l’injection. Dans la même stratégie, Shönung et Rodi (1987)


23

ont proposé un modèle bi- dimensionnel basé sur le même principe, mais étendu aux

équations de la turbulence. Chaque variable est décomposée en une moyenne d’espace latérale

et une fluctuation (Dans les équations de Reynolds la moyenne est temporelle). L’introduction

d’une telle décomposition dans les équations de Navier Stokes donne naissance à de nouveaux

termes qu’il faut modéliser afin de tenir compte de l’effet tri dimensionnel.

Avec l’essor de l’informatique et l’augmentation de la capacité de stockage des calculateurs

modernes, les modèles mathématiques pour le refroidissement par film sont devenus de plus

en plus complets, utilisant des procédures complètements elliptiques, dans lesquels le

domaine de calcul est étendu à l’intérieur des trous d’injection et parfois au plenum. La

courbure des aubes et les formes des trous d’injection sont fidèlement reproduites, avec de

surcroît des modèles de turbulence plus élaborés (Theodoridis, et al. 2001), (Lakehal, et al.

2001), (Azzi, et al. 2001b). Andreopoulos (1982), a par exemple montré que l’écoulement à

l’intérieur du tube d’injection est largement influencé par l’écoulement principal et que la

spécification des conditions aux limites aux points d’injection sous forme de profil de vitesse

ou autres ne correspondent pas exactement à la réalité. Ainsi, la résolution de l’écoulement à

l’intérieur des tubes d’injection devient nécessaire pour une bonne prédiction numérique.

Leylek et Zerkle (1994), ont montré aussi qu’un bon modèle numérique pour la prédiction du

refroidissement par film doit inclure le plenum situé avant l’entrée du tube d’injection.

L’importance de ce point est plus accentuée pour les cas à faible rapport entre la longueur et

le diamètre des trous d’injection.

L’approximation des termes de convection dans les premiers modèles se limitait à des

schémas de discrétisation de premier ordre (Demuren, 1983) et (Leylek et Zerkle 1994). Plus

récemment des schémas d’ordre supérieur et à limiteur sont systématiquement utilisés pour

l’ensemble des équations de transport, y compris ceux de la turbulence (voir le chapitre II).

Au registre de la modélisation de la turbulence, le modèle à deux équations ε−k est de loin

le modèle le plus utilisé bien qu’il s’est avéré que cette approche présente des faiblesses plus

ou moins importantes, suivant la complexité de l’écoulement. Le principal défaut de ce

modèle est lié à l’approximation de Boussinesq sur laquelle il est basé (hypothèse de viscosité

turbulente). Il est ainsi incapable de capter l’effet anisotrope de la turbulence responsable de

la dispersion latérale du jet. Amer et al. (1992) ont mené une étude comparative entre les

modèles ω−k et ε−k . Leur conclusion était que chaque modèle est mieux adapté que

l’autre, dans des situations différentes. Bergeles (1981) a corrigé avec succès cette défaillance

par un modèle simple, basé sur la multiplication des composantes latérales du tenseur de

Reynolds par un coefficient déduit des mesures expérimentales. Lakehal et al. (2001) et Azzi


24

& Lakehal (2001b), ont récemment utilisé un modèle de type bi-couche à bas nombre de

Reynolds tout en adaptant la modification de Bergeles par le biais des résultats DNS. Le

modèle aide à capter plus de détails associés au champ de température. Les mêmes

constatations sont obtenues de l’étude menée par Ferguson et al. (1998) utilisant un autre type

de modèle bi-couche. Les investigations menées par le groupe de Leylek, utilisant certaines

variantes du modèle RSM (Reynolds Stress Models) ont montré que ces modèles ne sont pas

plus performants que ceux du premier ordre.

Il ressort des études numériques disponibles à ce jour que les modèles basés sur l'hypothèse

de la viscosité turbulente (Eddy Viscosity Models) appliqués suivant l'approche loi de paroi,

ne sont pas adaptés pour les configurations du refroidissement par film. En particulier la

dispersion latérale du jet est sous estimée, ce qui conduit directement à une sous estimation de

l'efficacité latérale moyenne sur la paroi solide. Cette réalité a poussé le groupe de Rodi

travaillant sur ce domaine (Lakehal, et al., 2001; Theodoridis et al., 2001) a opter pour une

modification anisotropique des termes du tenseur de Reynolds appliquée en combinaison avec

une technique bi-couche à bas nombre de Reynolds. Les facteurs de multiplication ont été

inspirés directement des calculs DNS.

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence

25

Chapitre II

Modélisation de la turbulence

2.1 Introduction

L'étude de la turbulence est une science interdisciplinaire à large domaine d’application. On

peut citer à titre d'exemple : le comportement de l’aile d’un avion ou d’une aube de

turbomachine, la pulvérisation d’un combustible dans une chambre de combustion ou le jet

d’un réacteur d’avion ainsi que les différents types de jets aussi bien naturels qu’industriels.

Du coté des applications relatives à l'étude de l'environnement on peut citer : la fumée sortant

d’une cheminée d’usine, les gaz d’échappement d’une voiture, le développement d’un feu de

foret sous l’influence du vent, le vent dans une ‘rue canyon’, l'écoulement de l’eau dans une

rivière et bien d’autres exemples. D'un autre coté les mouvements des océans, les écoulements

biologiques sont aussi des applications où l’étude de la turbulence est nécessaire à la

compréhension des divers mécanismes d’influence et de contrôles. Cette branche de la

mécanique des fluides est très complexe et reste méconnue ou du moins par quelques aspects,

même après un siècle de recherche, depuis les premiers travaux de Reynolds (1895).

En définissant la turbulence par opposition à l’écoulement laminaire, on peut dire que

l’écoulement turbulent est caractérisé par des variations temporelles et spatiales aléatoires de

la vitesse, de la pression et de la température. L’autre caractéristique de l’écoulement

turbulent est que les fluctuations du champ de vorticité sont très fortes et le mélange est

intense. Au contact d’une paroi solide, le coefficient de frottement et d’échange thermique

sont augmentés par rapport au régime laminaire.

2.2 Description de la turbulence

Le problème des écoulements et du transfert de chaleur relève de la résolution des équations

de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie. Actuellement, il

existe deux techniques pour approcher le problème de la turbulence dans le fluide. La

première méthode est dite ''modélisation de la turbulence''. Elle consiste à décomposer le

champ de la vitesse et de la température en une composante moyenne et une fluctuation

turbulente. Le système d’équations résultant (Reynolds Averaged Navier-Stokes equations,


26

RANS) quantifie ainsi le comportement de l’écoulement moyen. Mais la non-linéarité des

équations fait apparaître un nouveau terme, reflétant l’effet de la turbulence sur le champ

moyen, qu’il faut modéliser. Ce problème est connu sous l’acronyme de ''problème de

fermeture'' où l’on dispose d’un nombre d’équations inférieur au nombre d’inconnues. Une

variété de modèles est à présent disponible dans la littérature, allant du plus simple (à zéro

équation) au plus complexe (Reynolds Stress Model, RSM). Malheureusement aucun de ces

modèles n’est optimisé pour tous les cas de figures. La règle générale consiste à adapter le

modèle au problème posé. Toutefois, le modèle à deux équations ε−k de Launder &

Spalding (1974) est de loin le modèle le plus utilisé et considéré comme étant universel.

Malgré un certain nombre de limites que nous développerons un peu plus loin, ce modèle est

pratiquement implémenté dans tous les codes de calcul commerciaux.

L’idée maîtresse derrière la modélisation de la turbulence repose sur l’analogie que l’on fait

avec la phénoménologie de celle-ci : on se base ainsi sur la description des structures dont les

tailles des plus grosses pouvant avoir celles de la géométrie du domaine de l’écoulement aux

plus petites dites de Kolmogorov. Les premières sont appelées structures énergétiques parce

qu’elles transmettent l’énergie reçue aux structures de taille plus faible (phénomène de

cascade). Elles sont fortement anisotropes. Les plus petites sont appelées structures

dissipatrices (ou de Kolmogorov) ; Ainsi l’énergie reçue des macro-structures est directement

dissipée sous forme de chaleur. Les micro-structures sont par contre isotropes et

indépendantes de la spécificité de l’écoulement. L'approche par cette logique indique que la

turbulence peut être définie par deux échelles : une échelle de longueur et une deuxième de

temps. La première est en rapport avec la taille des structures turbulentes, et la deuxième avec

leur durée de vie, et c’est principalement l’idée des modèles de turbulences conventionnels.

La seconde méthode est la simulation directe (Direct Numerical Simulation, DNS). Dans

laquelle toutes les structures de la turbulence (macro- et micro-structures) sont résolues

directement et sans le recours à des approximations. Ceci n’est possible que par le biais d’une

résolution très fine des équations instantanées de Navier-Stokes. C’est à dire que l’algorithme

utilisé devra être suffisamment précis (en espace et en temps) pour capter toutes les échelles

de longueur et de temps de la turbulence. Malheureusement, le spectre des échelles de la

turbulence est tellement large (proportionnel au nombre de Reynolds) que les pas de

discretisation (espace et temps) indispensables dépassent de loin les capacités de stockage et

de calcul des meilleurs calculateurs actuels.

Une autre méthode aussi sophistiquée que la DNS, mais moins onéreuse est connue sous le

nom de ''simulation des macro-echelles'' (LES, Large Eddy Simulation). Elle consiste à filtrer


27

(en espace) les échelles de la turbulence pour ne résoudre ''directement'' que les macro

structures, et modéliser les petites structures par le biais de modèles plus ou moins simples,

dits ''modèles de sous-maille'' (subgrid models). Cette technique (LES) a le mérite de donner

des résultats d’une précision comparable à celle de la DNS, mais à moindre coût. Pour des

raisons strictement techniques (puissance de calcul) les méthodes de simulation (DNS et LES)

sont réservées aux écoulements à faible nombre de Reynolds et pour des configurations

géométriques simples. Pour les applications pratiques et industrielles les méthodes statistiques

de modélisation à partir des équations moyennes de Reynolds sont incontournables et le

seront probablement pour assez longtemps.

Dans le but d’être explicite et plus complet nous évoquons certains chercheurs de renommée

qui ont compilé des ouvrages plus ou moins complet sur la turbulence et les méthodes liées à

son étude. Nous citons, à titre d’exemple : Launder (1972), Bradshaw (1981), Nallasamy

(1987), Hinze (1975), Rodi (1980) etc. Dans les ouvrages de Schlichting (1979), et de

Cousteix (1989), la couche limite turbulente est amplement étudiée. Alors que Mohammadi

(1994), a consacré son ouvrage à la présentation mathématique du modèle ε−k . Lakehal

(1999), dans son récent rapport a introduit pratiquement toutes les méthodes actuelles de

traitement numérique de la turbulence, y compris les modèles algébriques et la LES.

Le but visé dans ce chapitre est de présenter le plus clairement possible et sans trop de détails

le modèle mathématique utilisé dans ce travail ayant servi à la prédiction du refroidissement

par film. Ce modèle repose sur les équations de Navier-Stokes et un modèle de turbulence, en

l’occurrence le modèle ε−k . Nous consacrerons une attention particulière à la modification

de Bergeles et cinq modèles algébriques de type EASM (Explicit Algebraic Stress Model).

2.3 Equations de transport

2.3.1 Equations de Navier-Stokes Pour un fluide Newtonien, incompressible, isotherme et à propriétés constantes, les équations

de Navier-Stokes s’écrivent sous la forme :

;0=∂∂

i

i

xv

(II-1)

3,2,1;2 =+∇+∂∂

−= igvxp

DtDv

iii

i ρµρ (II-2)


28

où j

j xv

tDtD

∂∂

+∂∂

= représente la dérivée substantielle (totale), ρ la masse volumique,

g l'accélération de la pesanteur, et µ la viscosité dynamique,

La sommation d’Einstein s’applique, dans le sens où pour chaque index i, une sommation

suivant l’index j est nécessaire. Par exemple, 321 xxxxiii

j

i

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂ φφφφ

Le premier terme de l’équation (II-2) correspond à l’accélération du fluide comprenant une

première partie dépendante du temps et une deuxième décrivant la convection par la vitesse

iv . Le terme non linéaire ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

j

ij x

vv de l’équation (II-2) représente la principale difficulté dans

la résolution de ce système.

2.3.2 Equation de l’énergie Cette équation peut s’exprimer aussi bien en fonction de la température statique ou de

l’enthalpie de stagnation. Pour un fluide incompressible on a :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

=jj

p xT

xDtDTc λρ (II-4)

où pc est la chaleur spécifique à pression constante, et λ la conductivité thermique du fluide.

Cette équation traduit le bilan énergétique entre la convection et la conduction moléculaire à

l’intérieur du fluide. L’équation est écrite pour un fluide incompressible (La déformation

volumique est nulle, 0, =kkv ) où on a négligé l’augmentation de l’énergie interne par

compression. On a aussi négligé l’augmentation de l’énergie interne par dissipation visqueuse

qui est très faible dans le cas d’un fluide incompressible.

Si de surcroît la conductivité thermique est constante, l’équation (II-4) s’écrit sous la forme :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

=jj x

TxDt

DT α (II-5)

avec Prν

ρλα ==

pc (II-6)

où λµpc

=Pr est le nombre de Prandtl laminaire.

Le transfert de chaleur par convection est un phénomène complexe et étroitement lié à la

structure de l’écoulement (turbulence, géométrie de la paroi solide, état de surface). Dans tous


29

les cas, la distribution de la température sera fonction de celle du champ de vitesse, mais si en

plus ce dernier dépend de celui de la température, la convection est dite naturelle, sinon elle

est dite forcée.

2.4 Equations de la turbulence

2.4.1 Méthodes statistiques de modélisation de la turbulence Comme évoqué un peu plus haut, la modélisation de la turbulence est basée sur le principe de

décomposition de chaque variable du champ dynamique et thermique en une valeur moyenne

et une fluctuation, décomposition de Reynolds, (Hinze, 1975). En pratique, on choisi un

intervalle de temps T grand devant l'échelle de temps des fluctuations turbulentes et

suffisamment petit devant l'échelle de temps des autres fluctuations (écoulement non

stationnaire).

La moyenne temporelle de la variable φ s’écrit :

( )dttT

Tt

t∫+

= φφ 1 (II-7)

'φφφ += ...;,,, Tpvi=φ (II-8)

'iii uvv += ; 'ppp += ; 'θ+= TT (II-9)

où φ est la valeur moyenne de la variable φ et 'φ sa fluctuation temporelle. Suivant la

décomposition de Reynolds, les lois de la statistique impliquent les relations suivantes :

.0'' ==ψφ

''ψφψφφψ += ,

0'' == φψψφ (II-10)

2.4.2 Equations moyennes de Navier-Stokes L’application de la décomposition des variables aux équations de Navier-Stokes (II-1) et (II-

2) conduit aux équations moyennes de Reynodls (Reynolds Averaged Navier-Stokes -RANS) :

;0=∂∂

i

i

xv

(II-11)

3,2,1;1 2 =∂

∂−∇+

∂∂

−= ix

vxp

DtvD

j

iji

i

i τν

ρ (II-12)


30

où l’on voit apparaître le tenseur des tensions de Reynolds ''jiij uu≡τ , qui a une forme

symétrique, jiij ττ = , et qui traduit la contribution de la turbulence au mouvement moyen. Les

tensions croisées, c’est à dire ''vu , ''wv , et ''wu dominent le mouvement turbulent, alors que

les termes de la diagonale ( 2'u , 2'v , et 2'w ) ne jouent qu’un rôle mineur.

2.4.3 Equation moyenne de l’énergie de Reynolds En appliquant la décomposition précédente, l’équation de l'énergie (II-4), sera écrite pour le

champ turbulent moyen de la température sous la forme :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

∂∂

= ''θρλρ jpjj

p ucxT

xDtTDc (II-13)

où '''' θρ jpj ucQ −= représente la densité du flux thermique turbulent.

Pour résoudre le nouveau système des équations moyennes de Reynolds (II-11), (II-12) et (II-

13) nous disposons en général de deux approches : la première consiste à écrire une équation

de transport pour chaque composante du tenseur de Reynolds et du flux thermique turbulent

(six plus trois, ce qui fait neuf équations en plus des équations du mouvement d’origine), ou

alors trouver un modèle de fermeture pour ijτ et ''jQ . Le modèle introduit doit représenter de

façon cohérente la physique de la turbulence. Ceci est l’élément clé de la modélisation de la

turbulence.

2.4.4 Equations de transport des tensions turbulentes de Reynolds Ces équations sont déduites de la soustraction des équations (II-12) de (II-2), et en multipliant

le résultat par 'ju . L’équation résultante est ensuite sommée à une équation similaire en inter-

changeant les indices i et j, et en prenant la moyenne temporelle. L’équation finale aura la

forme suivante:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

∂

∂

∂∂

+−Π+= ijkk

ij

kijijij

ij Cxx

PDt

D τνε

τ (II-14)

où :

k

ijk

k

jikij x

vxv

P∂∂

−∂

∂−= ττ (II-15)


31

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂∂

=Πi

j

j

iij x

uxu

p''

' (II-16)

k

j

k

iij x

uxu

∂

∂

∂∂

≡''

2µε (II-17)

ikjjkikjiijk upupuuuC δδρ ''''''' ++≡ (II-18)

désignent respectivement, la production mécanique de la turbulence appelé aussi source des

tensions de Reynolds ijP , le terme de corrélation vitesse-pression ijΠ , le taux de dissipation de

la turbulence (par viscosité) ijε et la diffusion de la turbulence ( ) kijk xC ∂∂ . Le terme de

corrélation vitesse-pression joue le rôle de redistribution de l’énergie cinétique turbulente

suivant les trois directions ; il joue surtout en faveur d’un retour à l’isotropie (Hinze, 1975).

Le développement de l’équation de transport des tensions de Reynolds (II-14) conduit à six

nouvelles équations, une pour chaque composante. L’ensemble de ces équations contient 22

nouveaux termes inconnus. A savoir, six pour ijΠ , six autres pour ijε , et dix pour

'''kji uuuρ intervenants dans ijkC . On note ici que dans l’équation (II-14), seul le terme

production est déterminé directement sans le recours à un modèle. On remarque aussi d’après

l’équation (II-18) l’apparition des fluctuations de troisième ordre '''kji uuuρ , ce qui veut dire

qu’on a encore besoin de développer de nouvelles équations de transport pour chacune de ses

composantes. Cette procédure engendrera d’autres inconnues d’ordre plus élevées qu’il faudra

impérativement modéliser pour fermer le système à un niveau donné. En somme,

l’introduction de la moyenne de Reynolds dans les équations de Navier-Stokes conduit à un

système ouvert hiérarchiquement.

Finalement, on a le choix d’introduire directement un modèle pour estimer ijτ ou résoudre les

équations complètes (II-14), sachant qu’on doit modéliser au moins trois termes des équations

en question, à savoir le terme de corrélation vitesse-pression ijΠ , le terme de la diffusion de

la turbulence ijkC et le terme de dissipation ijε . Ce dernier niveau de fermeture est appelé

modèle de fermeture du second ordre ou Reynolds Stress Model (RSM). Ces modèles sont

capables de capter plusieurs effets locaux puisqu’ils tiennent compte de la convection et de la

diffusion des tensions de Reynolds. Ils sont malheureusement très lourds à utiliser, en

particulier pour les configurations géométriques tridimensionnelles. Le problème majeur avec

ce type de fermeture réside dans leur faible performance près des parois solides. Les erreurs


32

de prédiction dans la couche logarithmique peuvent aller jusqu’à 100%. La cause est attribuée

à l’hypothèse d’homogénéité de la turbulence sur laquelle sont basés ces modèles, ce qui n’est

pas le cas près des parois solides. Pour remédier à cette insuffisance, la plupart de ces modèles

incorporent des termes additionnels appelés termes de réflexion de la paroi (Gibson et

Launder, 1978) pour forcer la concordance avec les résultats expérimentaux.

En conclusion :

1. Les modèles de type RSM sont actuellement les plus sophistiqués, puisqu’ils prennent en

considération la majorité des aspects de la turbulence, tel que la convection, la diffusion et

les effets de ''mémoire'' de chaque composante de ijτ et de ''θiu .

2. Ils souffrent de certaines instabilités numériques, selon la modélisation de la zone proche

de la paroi solide.

3. Ils sont relativement encombrants, surtout pour les écoulements tridimensionnels et en

présence de forces de flottabilité. En pratique, il faut résoudre 15 équations

simultanément: une pour l’équation de continuité, trois pour les équations de la quantité

de mouvement, une pour l’équation de l’énergie, six pour les tensions de Reynolds, une

pour la dissipation, et trois pour le flux de chaleur turbulent. Ceci présente en effet une

limitation majeure qui décourage les utilisateurs à employer de tels modèles. En pratique,

les industriels préfèrent utiliser d’autres types de fermetures plus simples et moins

coûteuses, tel que les modèles à deux équations que nous exposerons un peu plus loin.

Turbulence isotrope et homogène Si en un point donné de l’écoulement turbulent, les composantes du tenseur de Reynolds sont

indépendantes de l’orientation du repère de référence, la turbulence est dite isotrope. Si en

plus, toutes les propriétés statistiques de la turbulence sont indépendantes du point d‘espace,

la turbulence est dite homogène (Cousteix, 1989). Par exemple, pour un écoulement turbulent

isotrope et homogène l’égalité suivante se vérifie.

kwvu322'2'2' === (II-19)

où ''

21

iiuuk = , représente l’énergie cinétique turbulente. En pratique il est très difficile de

rencontrer un écoulement turbulent isotrope, bien qu’à très grand nombre de Reynolds les

petites structures ont tendance à devenir isotropes ; alors que les macro-structures conservent


33

leur anisotropie. En soufflerie, l'homogénéité et l’isotropie de la turbulence sont réalisées à

travers des grilles appelées nid d’abeilles.

Equilibre: Production - Dissipation Considérons un écoulement stationnaire et homogène où toutes les quantités moyennes sont

indépendantes de la position et définissons le tenseur des taux de déformation :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂∂

=i

j

j

iij x

vxv

S21 (II-20)

Dans ce cas l’équation de transport du tenseur des tensions de Reynolds (II-14) se réduit à: ''2 ijijijij ssS ντ =− (II-21)

où 'ijs est le tenseur du taux de déformation du champ fluctuant de vitesse

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂∂

=i

j

j

iij x

vxv

s''

'

21 . L’équation (II-21) est souvent écrite sous forme de bilan comme :

''2 ijijijij ssetS νετ ≡−≡Ρ (II-22)

traduisant le principe de l’équilibre entre la production de l’énergie turbulente et sa

dissipation. Des résultats récents obtenues par la méthode DNS (Lakehal, 1999) ont montré

que cet équilibre est peu probable dans la sous couche visqueuse, mais il existe plutôt dans la

région logarithmique.

Concept de la viscosité turbulente (Eddy Viscosity) Au lieu de résoudre les équations de transport de chaque composante du tenseur de Reynolds,

nous allons essayer de modéliser directement ces termes. La meilleure approximation connue

est basée sur l’hypothèse de Boussinesq qui stipule que les contraintes de Reynolds peuvent

être exprimées selon l’équation suivante :

ijtijij Sk νδτ 232

−= (II-23)

où 1=ijδ pour ji = , et zéro autrement.

Le premier terme est isotrope, alors que le deuxième reliant linéairement ijτ au tenseur du

taux de déformation ijS est symétrique. Le coefficient de proportionnalité tν désigne la


34

viscosité turbulente qui contrairement à la viscosité cinématique est une caractéristique de

l’écoulement et non pas du fluide. Ce concept est appelé Eddy Viscosity Modelling (EVM).

L'approche est développée par analogie au tenseur des contraintes de viscosité. L’introduction

de l’équation (II-23) dans (II-12) conduit à :

3,2,1;1=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

−= ixv

xxp

DtvD

j

ieff

ji

i νρ

(II-24)

où teff ννν += est la viscosité effective comprenant la viscosité moléculaire et la viscosité

turbulente. En pratique tνν << , ceci reflète bien le fait que l’écoulement turbulent favorise le

mélange du fluide et améliore l’échange par diffusion. On note ici que la pression p dans

l’équation (II-24) renferme implicitement la partie isotrope 32k de ijτ .

Par analogie à l’hypothèse de Boussinesq appliquée ci-dessus, la corrélation vitesse-

température est rendue proportionnelle au gradient de température par :

ji x

Tu∂∂

−= θαθ '' (II-25)

où θα est le coefficient de diffusivité. Il est proportionnel à la viscosité turbulente :

t

t

Prναθ = (II-26)

tPr , est le nombre de Prandtl turbulent (par opposition au nombre de Prandtl laminaire Pr ).

Enfin, l’équation turbulente du transport de la chaleur s’écrit :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

=j

effj x

TxDt

DT α (II-27)

où:

t

teff PrPr

ννα += (II-28)

En résumé, on admet une similitude entre le transport turbulent de la quantité de mouvement

et de la chaleur par analogie de Reynolds.

2.4.5 Equation de transport de la dissipation de la turbulence Une méthode pratique pour modéliser la dissipation ijε dans l’équation (II-14) consiste à

l'assumer isotrope (Hinze, 1975), ce qui donne:


35

ijij εδε32

= ; k

i

k

iii x

uxu

∂∂

∂∂

=≡''

21 νεε (II-29)

Cette hypothèse est connue sous le nom d’approximation de Kolmogorov pour l’isotropie

locale. Elle stipule que la dissipation de l’énergie turbulente associée aux petites structures de

la turbulence n’a pas de direction privilégiée, elle est donc isotrope.

Une équation de transport de ε (et non de ijε ) est ensuite construite, elle prend la forme

suivante (Hinze, 1975) :

ενεεεεε

221 ∇++Φ++= DPP

DtD (II-30)

où:

kj

i

j

ik

k

j

k

i

j

k

i

k

j

i

xxv

xu

uxu

xu

xu

xu

xv

P∂∂

∂∂∂

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

−=2'

'''''

1 22 ννε (II-31)

j

i

j

k

i

k

xu

xu

xu

P∂∂

∂∂

∂∂

−='''

2 2νε (II-32)

2'2

22 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

−=Φkj

i

xxu

νε (II-33)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

+∂

∂

∂∂

∂∂

−=k

i

k

ij

i

j

ij xu

xuu

xu

xp

xD

'''''

22νε (II-34)

représentent respectivement les processus physiques suivants: la production par l’écoulement

moyen 1εP , le taux de génération de la fluctuation de la vorticité 2εP , la destruction de la

dissipation par action de la viscosité εΦ et la diffusion turbulente de la dissipation εD . La

diffusion moléculaire est représentée par le terme εν 2∇ . A part la diffusion visqueuse tous les

autres termes de l’équation (II-30) nécessitent l’introduction de modèles pour les représenter.

Une description des différentes approximations de ces termes est disponible dans (Hanjalic et

Launder, 1972)

La modélisation de l’équation (II-30) basée sur une hypothèse de turbulence homogène est

donnée par l'équation suivante :

ενετε

εετεεεε

22

21 ∇+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

+−∂∂

−=j

ijij

iij x

kx

Ck

Ckx

vC

DtD (II-35)


36

où 1εC et 2εC sont des constantes du modèle que nous verrons plus loin lors du traitement des

modèles à deux équations. εC est une autre constante qui vaut approximativement 0.15 . Elle

est calibrée de façon à retrouver la valeur exacte de la constante de Von Karman dans la

couche limite (Lakehal, 1999).

2.4.6 Equation de transport de l’énergie cinétique turbulente Elle est déduite de l’équation (II-14), en posant 2iik τ≡

kupuuuxx

vDtDk

jjiij

P

j

iij

2'''''

21

∇+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

−−∂∂

−= νετ43421

(II-36)

où 2iiPP ≡ représente la production mécanique de la turbulence due à l’interaction entre les

contraintes turbulentes et le gradient des vitesses moyennes. Notons ici que dans l’équation

(II-14) le terme ijΠ disparaît dans l’équation (II-36), à cause de 0', =iiu . Cette simplification

est la plus importante concession faite par les RSM en faveur des EVM basés sur l’équation

de k, puisque le terme corrélation vitesse- pression est responsable de la redistribution de

l’énergie entre les composantes des contraintes de Reynolds. Le terme de dissipation dans

l’équation (II-36), ainsi que les termes d’ordre deux et trois doivent être modélisé pour rendre

cette équation utilisable. Les propositions suivantes sont retenues (Hinze, 1975) :

jk

tjjii x

kupuuu∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

σν'''''

21 (II-37)

023 lkC∆=ε (II-38)

où kσ , ∆C sont des constantes du modèle et 0l l’échelle de longueur de la turbulence.

L’équation (II-38) est connue sous le nom de relation de Prandtl-Kolmogorov.

2.5 Modèles de turbulence à deux équations Comme il a été précisé plus haut, les deux échelles de turbulence 0l et 0τ varient d’une

manière significative dans l’espace et le temps. Pour bien représenter le processus de

convection/diffusion dans la turbulence, les modèles doivent être formulés en fonction d'une

autre échelle indépendante qui est l'échelle de vitesse 0v . Dans la plus part des modèles à deux

équations, cette échelle est associée à l’énergie cinétique turbulente k dont il faut une


37

équation de transport. En combinant 0v et 0l , on peut définir une autre échelle, en

l’occurrence la dissipation de l’énergie turbulent, 030 lv≡ε donnée par l’équation (II-35).

Bien que le recours à une deuxième quantité autre que ε est possible, il y a plus d’une raison

pour choisir la dissipation comme deuxième quantité turbulente. La plus importante, est que

cette même quantité apparaît explicitement dans l’expression de transport de ijτ et k. Cette

quantité a également un sens physique facilitant son interprétation et sa comparaison.

2.5.1 Modèle de turbulence ε−k standard (à haut nombre de Reynolds) C’est le modèle standard proposé par Launder et Spalding (1974), où une combinaison des

deux échelles turbulentes (de longueur et de temps) ε230 kl ≈ et ετ k≈0 aboutit à la forme

isotrope de la viscosité turbulente :

εν µ2kCt= (II-39)

où µC est une constante, prise généralement égale à 0.09.

L’énergie cinétique de la turbulence k et son taux de dissipation sont déterminés par des

équations de transports déduites de (II-35) et (II-36) où la diffusion visqueuse est négligée :

εσν

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

= kik

t

i

Pxk

xDtDk , (II-40)

kC

kPC

xxDtD

ki

t

i

2

21εεε

σνε

εεε

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

= , (II-41)

j

i

i

j

j

itk x

uxu

xu

P∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂∂

=ν

Les constantes empiriques du modèle standard sont : 09.0=µC ; 44.11 =εC ; 92.12 =εC ;

0.1=kσ et 3.1=εσ . Ces constantes ont été fixées suivant des observations expérimentales et

d’autres intuitives (Launder et Spalding, 1974). La turbulence est supposée être en équilibre,

isotrope et surtout évoluant loin des frontières solides. Un traitement spécial pour les zones

proches des parois est nécessaire et est discuté ci-après.

2.5.2 Approche ‘loi de paroi ’ La couche limite près d’une paroi solide est composée de trois sous couches (Schlichting,

1979) :


38

La sous couche visqueuse, où l’effet de viscosité est dominant ; les contraintes tangentielles

s’expriment par : w

w yu∂∂

−= µτ .

Une couche (tampon) de transition, où les contraintes visqueuses et turbulentes sont de même

ordre de grandeur.

La région de turbulence pleinement développée, où l’effet de la turbulence l’emporte sur la

viscosité, et où la contrainte pariétale s’exprime par ''vuw ρτ −=

Dans cette dernière sous couche le profil de la vitesse répond expérimentalement à une loi

logarithmique :

( ) Byuu

+= +ln1κτ

(II-42)

où ρτ

τwu = est la vitesse de frottement,

ντ pyu

y =+ est la distance à la paroi

adimensionnelle, py la distance normal à la paroi, et B une constante d’intégration égale à

5.25 pour une paroi lisse.

L’équation (II-42) peut aussi s’exprimer par ( )+= yEuu ln1

κτ

où 9=E .

Les conditions aux limites appliquées à une paroi solide imperméable sont normalement

celles d’adhérence. Elles consistent à annuler toutes les composantes de la vitesse sur les

points de calcul qui se confondent avec la paroi solide.

La technique de l’approche 'loi de paroi' initiée par Launder et Spalding (1974), consiste à

éviter d’intégrer la zone pariétale qui est une zone fortement complexe nécessitant un très

grand nombre de points d’intégration afin de reproduire correctement le fort gradient de ε .

L’idée consiste à placer le premier point de calcul dans la zone logarithmique (la troisième

sous couche citée plus haut), et de fixer directement la vitesse parallèle à la paroi à partir de

l‘équation (II-42). Ce traitement est basé sur deux suppositions principales : (i) l’écoulement

dans cette zone est en équilibre si bien que la production de la turbulence est égale à sa

dissipation ( ε=P ), (ii) le profil de la vitesse suit la loi logarithmique citée plus haut (eq. II-

42).

Dans ces conditions d’équilibre, nous avons :

212

1

µτ Cuk p = ; ρττ wu = (II-43)


39

Des résultats expérimentaux indiquent que pour une paroi lisse 3.32 ≈τuk p , d’où:

09.0=µC . En utilisant (II-38) et (II-39), nous pouvons estimer les contraintes tangentielles

retardatrice par:

pww Vλτ −= (II-44)

où:

⎪⎩

⎪⎨⎧ <+

autrementykC

ysiy

pp

ppw µρ

µλ

µ2141

6.11 (II-45)

µρ µ ppp ykCy 2141=+ (II-46)

Les contraintes tangentielles appliquées à la distance pp yd 2= à partir de la paroi (appliquées

sur tout le volume de contrôle) sont responsables du taux de production de l'énergie turbulente

suivant (transfert d’énergie de l’écoulement moyen vers la turbulence):

( )p

wp

www

d

ypw d

uuvudy

yuvu

dP

p

w

−−=

∂∂

−= ∫ '''' .1 ρρ (II-47)

Cette nouvelle expression de la production doit remplacer celle de l’équation de transport de k

(équation II-40). Dans la sous couche pleinement turbulente, où la dissipation de k est donnée

par l’équation (II-38), une valeur moyenne de wε peut être obtenue par intégration de

l’équation (II-38) sur le volume de contrôle.

dyy

kC

d

pd

y

p

pw .1

0

23

∫=

∆=ε (II-48)

où k est supposée être uniforme dans le volume de contrôle. Finalement la production et la

dissipation prennent les expressions suivantes :

+=p

ww y

Pµκτ 2

; p

pw y

kCκ

ε µ2343

= (II-49)

En résumé, l’application des conditions aux limites suivant l’approche de la 'loi de paroi'

consiste à imposer les conditions suivantes :

Les contraintes tangentielles de l’équation (II-44) sont incorporées dans l’équation de quantité

de mouvement comme forces retardatrices.

La production dans l’équation de transport de k, est remplacée par celle donnée par (II-49).

Au lieu de résoudre l’équation de transport de ε , cette quantité est déterminée par (II-49).

Puisque le principe de l’équilibre sur lequel est basée cette théorie n’est pas valable dans la

sous couche visqueuse, une attention très particulière doit être consacrée à la position du


40

centre du premier volume de contrôle sur lequel les conditions aux limites sont appliquées. Il

doit impérativement se situer dans la zone 2006.11 ≤≤ +py . La valeur 11.6 n’est autre que

l’intersection du profil linéaire et la loi logarithmique. Notons aussi que certains auteurs

repoussent cette limite jusqu’à 500.

2.5.3 Modèle de turbulence ε−k à bas nombre de Reynolds. Comme il a été dit précédemment, les équations du modèle ε−k ne sont valables que dans

les régions où les effets de la turbulence (inertie) l’emportent largement sur ceux de la

viscosité, c’est à dire loin des parois solides. Pour tenir compte des effets bas-nombre de

Reynolds sans utiliser l’approche ‘loi de paroi’ on introduit un certain nombre de fonctions,

1εf , 2εf et µf pour modifier les constantes, 1εC , 2εC et µC . Des termes sources additifs D et

E sont aussi incorporés aux deux équations du modèle.

DPxk

xDtDk

kik

t

i

+−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

= εσν

(II-50)

Ek

fCk

PfCxxDt

Dk

i

t

i

+−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=2

2211εεε

σνε

εεεεε

(II-51)

εν µµ2kfCt= (II-52)

Les différents modèles à bas nombre de Reynolds différent dans l’expression des coefficients

introduits ci-dessus et qui sont généralement donnés en fonction des nombres suivants :

εµρ 2kRt = (II-53)

µρ ykRy = (II-54)

2.5.4 Approche '' bi-couche''. L’approche à bas nombre de Reynolds citée plus haut présente l’inconvénient de nécessiter un

très grand nombre de volume d’intégration près des parois solides en vue de refléter

fidèlement le profil de la dissipation dans cette zone critique. Cet inconvénient rend

l’application de cette technique pour les configurations à frontières complexes et tri

dimensionnelles très lourde. L’approche bi-couche proposée apporte le remède à cette

situation en divisant le domaine de calcul en deux zones : dans la première zone, loin des

parois solides, on applique le model standard à haut nombre de Reynolds, et dans la seconde

zone, proche de la paroi, on utilise un modèle à une seule équation (Norris et Reynolds,


41

1975). Dans le modèle à une seule équation, la viscosité turbulente est calculée

proportionnellement à une échelle de vitesse et une échelle de longueur µl . L'échelle de

longueur est déterminée algébriquement alors que celle de la vitesse est calculée à travers la

résolution de l'équation de k. La dissipation qui apparaît dans l'équation de k est calculée en

fonction de k et d'une échelle de longueur notée εl . Cette dernière est aussi déterminée

algébriquement. Les modèles qui existent dans la littérature utilisent des variantes pour

introduire l'échelle de vitesse et celles des longueurs mentionnées ci-dessus. L'approche de

Rodi (1991) utilisant 21k comme échelle de vitesse sera notée dorénavant modèle TLK.

µµρµ lkCt21= (II-55)

εε lk 23= (II-56)

µµµ κ fCyl 43−= (II-57)

( )µµ ARf y−−= exp1 (II-59)

( )43

43

2.131 −

−

+=

µ

µε κ

κCR

yCl

y

(II-58)

Dans ce modèle µC prend la valeur 0.082 et la limite entre la région influencée par les effets

de la viscosité et le reste du domaine de calcul est fixée à 95.0=µf .

Une seconde variante de Rodi (1993), exposée par Lakehal (1997), utilise comme échelle de

vitesse la fluctuation normale à la paroi solide 2'v . Ce modèle sera noté dorénavant le

modèle TLV et sera formulé comme suit :

νεε ,2' lkv= (II-60)

νµν ,2' lvt = (II-61)

avec, yl 33.0, =νµ et ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += yvyl 2'

, 12.213.1 ννε (II-62)

Cette composante de fluctuation de la vitesse est supposée être plus déterminante dans les

échanges de quantité de mouvement dans les zones proche des parois solides. Le grand

avantage de ce modèle est qu'il tire la distribution de cette échelle de vitesse directement des

calculs DNS de Kim et al. (1987).

( ) ( )yy RRkv 4252' 100.41065.4 −− ×+×= (II-63)


42

Les deux zones critiques sont séparées par la valeur du nombre de Reynolds turbulent

80=yR .

Une reformulation de ce modèle pour ré-introduire l'énergie cinétique de turbulence 21k

comme échelle de vitesse et retrouver une forme similaire au modèle TLK, permet de ré-

écrire le modèle comme suit (Azzi et Lakehal, 2001) :

µµρµ lkCt21= (II-64)

µµµ κ fCyl 43−= (II-65)

εε lk 23= (II-66)

( )µµ

µε κ

κfCR

yCl

y43

43

29.172 −

−

+= (II-67)

Maintenant, c'est µf qui va suivre une distribution inspirée des résultats DNS.

yy RRf +×= 2116.0321

µ (II-68)

L'application de la procédure bi-couche est liée à la manière de séparer la zone proche de la

paroi affectée par la viscosité du reste de l'écoulement. Comme évoqué précédemment cette

séparation est faite sur la base d'un critère ( µf ou yR ). Elle peut être fixée au début du calcul

ou bien réactualiser à chaque itération (ou un certain nombre d'itération). Cette dernière

technique qui permet de suivre la couche visqueuse d'une manière dynamique, a été choisi

lors de l'application de ce type de modèles.

2.6. Faiblesses des modèles de viscosité turbulentes (EVM) Comme indiqué plus haut, les modèles à une et deux équations s’appuient sur l’approximation

de Boussinesq. Cette approximation est elle-même basée sur une hypothèse d’isotropie de la

turbulence qui est loin d’être le cas dans beaucoup de situations pratiques. Plusieurs exemples

peuvent être cités, entre autres : l’écoulement stagnant avec séparation, en présence d’un

écoulement secondaire, les jets dans un écoulement transversal, l’écoulement en rotation,

l’écoulement dans des conduites de section non circulaire, etc. La qualité des prédictions de

cette classe de modèles peut être améliorée en utilisant les options des modèles à faible

nombre de Reynolds ou à bi-couches (two layer models), où on étend les calculs jusqu’à la

sous couche visqueuse. Ceci est surtout vrai lors du calcul du champ thermique en convection

forcée. Cette tendance a été largement explorée dans les années 80 et 90, et a abouti à

plusieurs types de modèles. Malheureusement, cette catégorie de modèles est difficilement


43

applicable pour les configurations tri-dimensionnelles, du fait que l’intégration totale de la

sous couche visqueuse nécessite l’emploi de grilles de calcul très denses à la paroi ( )1<+y .

Ecoulements fortement déformés Les écoulements avec contraction brusque (stagnation) ou avec élargissement brusque

(accélération de la couche limite) sont des exemples d’écoulements à forte dilatation. Dans le

cas où la production de la turbulence est déterminée par l’expression isotrope de ''jiuu , cette

quantité sera inconditionnellement positive,

2'' SCxv

uuPj

iji εµ=∂∂

−≡ (II-69)

où klkl SSkS21

ε= , ( )kllkkl uuS ,,2

1+= (II-70)

Il s’ensuit que dans le cas d’un point de stagnation ( 2S étant très grand), la production peut

être largement surestimée. Comme remède à ce problème le modèle de Kato et Launder

(1993), tirant profit du fait que près d’un point de stagnation la vorticité tend vers zéro,

reformule le terme de production en fonction de la vorticité klklk

ΩΩ=Ω21

ε

Ω= SCP εµ (II-71)

( )lklklk uS ,,, =Ω+ (II-72)

( )kllkkl uu ,,21

−=Ω (II-73)

Principe de réalisabilité (Realizability Principe)

Le principe de réalisabilité impose que les tensions normales ''iiuu soient toujours positives, et

l'application de l’égalité de Schwarz pour les composantes diagonales ''jiuu ( )ji ≠ ;

( ) 2'2'2

''jiji uuuu ≤ (II-74)

Or l’expression de Boussinesq, iitii Skuu ν−=32'' , peut donner des valeurs négatives à ''

iiuu

dans le cas où iiS est significatif (par exemple : accélération de la couche limite). Le principe

de réalisabilié est dans ce cas violé. Ce cas peut se poser lors d’un écoulement freiné, où


44

xuS ,11 = (dans la direction longitudinale) est très important. Puisque l’équation (II-69)

surestime la production de la turbulence, la valeur de tν a tendance d’augmenter

dangereusement, kSiit 32

>ν . Wilcox (1993), présente une revue de plusieurs exemples où la

théorie de l’EVM échoue.

2.7 Modèles algébriques des tensions turbulentes ASM La principale défaillance des modèles basés sur l’hypothèse de Boussinesq est la dépendance

linéaire entre les contraintes turbulentes et le tenseur des taux de déformation. Cette linéarité

rend les modèles complètement isotropes et aucune différence n’est faite entre les différentes

composantes normales du tenseur de Reynolds. Evidement, les modèles de second ordre

(RSM) transcendent naturellement cette défaillance, puisqu’ils tiennent compte de l’historique

(convection et diffusion) de toutes les composantes du tenseur de Reynolds.

Malheureusement, en plus de leur lourdeur mathématique, ils comportent beaucoup de termes

encore non maîtrisables. Les chercheurs se sont donc retournés vers les modèles à deux

équations en essayant de les perfectionner. La première alternative consiste à essayer de

trouver des expressions plus évoluées pour les différentes constantes empiriques. En effet,

Rodi (1980), a postulé que les capacités prédictives du modèle ε−k peuvent être

sensiblement améliorées si au lieu de considérer µC comme une constante, on la remplace par

une expression dépendante de ( )εP . Leschziner et Rodi (1981), ont proposé une expression

tenant compte de la courbure des lignes de courant. Récemment, Yakhot (1986), et ses

coauteurs ont proposé un modèle baptisé RNG (ReNormalization Group), qui n’est autre que

le modèle standard ε−k , où les différentes constantes empiriques ont été remplacés par des

expressions déduites théoriquement.

Une autre tendance d’amélioration des modèles à deux équations est de généraliser

l’expression de Boussinesq pour la rendre anisotrope. En éliminant les termes de convection

et de diffusion des équations du modèle RSM, Rodi (1976), a proposé une expression

algébrique anisotrope pour chaque composante du tenseur de Reynolds. Les modèles ainsi

construits sont appelés ASM (Algebraic Stress Models). Bien que les premiers résultats étaient

prometteurs, ces modèles avaient le grand inconvénient d’être implicites. C’est à dire que le

terme des tensions turbulentes apparaît dans les deux parties de leurs formulations. En

conséquence, leur utilisation nécessite la résolution d’un système d’équations à chaque


45

itération de calcul. Cet handicap a fait que ces modèles ont tout de suite été abandonnés

pendant plus d’une décennie en faveur du modèle standard ε−k et ses autres versions.

Récemment, et en se basant sur des techniques d’analyse dimensionnelle, des chercheurs

comme Gatski et Speziale (1993), ont proposé des formulations explicites de ces modèles

baptisés Explicit ASM. Bien que les hypothèses de déduction de ce type de modèles sont

basées sur une turbulence homogène proche de l'équilibre, ils retiennent une grande majorité

des éléments physiques de la turbulence, notamment la précieuse faculté de distinction entre

les composantes du tenseur de Reynolds. Les nouvelles expressions du tenseur de Reynolds

sont ainsi composées d’une partie linéaire qui correspond exactement à l’approximation de

Boussinesq et une deuxième partie non linéaire formée d’une combinaison des termes de

déformation et de vorticité ijS et ijΩ .

La forme générale de ces modèles est tronquée à sept termes linéairement indépendants:

33

22

11 4442

32

ijtijtijtijtijji TkCTkCTkCSkuuε

νε

νε

ννδ +++−= partie quadratique

72

2

76

2

2

65

2

2

54

2

2

4 8888 ijtijtijtijt TkCTkCTkCTkCε

νε

νε

νε

ν ++++ partie cubique (II-75)

où :

ijklkljkikij SSSST δ311 −= (II-76)

ikjkjkikij SST Ω+Ω=2 (II-77)

ijklkljkikijT δΩΩ−ΩΩ=313 (II-78)

likjljkiij SST Ω+Ω=4 (II-79)

ijnlmnlmmjlmilmjlmilij SSST δΩΩ−ΩΩ+ΩΩ=325 (II-80)

klklijij SSST =6 (II-81)

klklijij ST ΩΩ=7 (II-82)

L’équation générale précédente peut ainsi s’écrire sous la forme suivante :

( )⎜⎝⎛ ++−−= 3

32

21

1 222232

ijijijijtijji TCTCTCkSkuuε

νδ

( )⎟⎟⎠

⎞+++− 7

76

65

54

42

2

22222 ijijijij TCTCTCTCkε

(II-83)

Le coefficient 5C étant généralement nul, l’équation précédente prend la forme suivante :


46

( )⎜⎝⎛ −−−+−= 3

32

21

1 222232

ijijijijtijji TCTCTCkSkuuε

νδ

( )⎟⎟⎠

⎞−−−+ 7

76

64

42

2

2222 ijijij TCTCTCkε

(II-84)

Les différents termes ci-dessus sont développés en annexe et l’expression des coefficients

pour différents modèles de type EASM est donnée au tableau (II-1) (Shih et al, 1993; Shih et

al, 1995; Lien et al, 1996; Craft et al, 1996; Lakehal et Thiele, 2001).

Ce type de modèles différencie entre les différentes composantes des contraintes turbulentes

bien qu’il ne retient pas leur historique. Ils sont classés parmi les modèles anisotropes puisque

l’expression de µC est basée sur l’invariant du tenseur des taux de la déformation et/ou de la

vorticité. Ils peuvent être utilisés avec la loi de paroi ou avec les variantes des modèles à

faible nombre de Reynolds.

2.8 Modèle anisotropique de Bergeles Une autre méthode, pour remédier à l’isotropie de la version standard du modèle

ε−k consiste à multiplier les composantes latérales du tenseur des contraintes de turbulence

par des coefficients appropriés. Cette technique a été initialement appliquée aux modèles

mathématiques du refroidissement par film par Bergeles et al. (1978). Les calculs du

refroidissement par film et du jet dans un écoulement transversal ont montré que la dispersion

latérale calculée avec la version standard du modèle ε−k est systématiquement sous-estimée.

Ainsi, dans la modification de Bergeles, la viscosité turbulente affectée à la composante

latérale du tenseur des contraintes turbulentes et du flux thermique turbulent

zuwu t

∂∂

=−ρµ

'' ; zTw

t

t

∂∂

=−Pr

''ρµ

θ (II-85)

est remplacée par une valeur amplifiée, calculée par :

( )[ ]δµµ yftat −−= 0.10.1 (II-86)

où tµ est la viscosité turbulente calculée suivant le modèle standard, y est la distance à la paroi

solide et δ l’épaisseur de la couche limite. La formule ci-dessus a été déduite à partir des

équations des contraintes turbulentes en supposant un équilibre local de la turbulence et en

négligeant les composantes '' wv par rapport à ''vu et '' wu . Le facteur d’amplification est

inspiré des mesures expérimentales et a été fixé par Bergeles à 5.3=f . Ce modèle a été

aussi utilisé par Demuren et al. (1986a), et Zhou et al. (1993), pour la prédiction numérique


47

d’un jet tri dimensionnel dans un écoulement transversal. Notons aussi que l'application de

cette technique a été limitée à la procédure ''loi de paroi'' et la modification appliquée aux

seules équations moyennes de l’écoulement et de la température.

2.9 Modèle anisotropique bi-couche. Dans des études récentes Lakehal et al. (2001), ont élargie l'application de la modification

anisotropique de Bergeles aux deux équations du modèle de turbulence ε−k . Mieux encore,

en appliquant une procédure bi-couche pour résoudre la sous couche visqueuse, ils se sont

inspiré des résultats des calculs DNS pour proposer une distribution anisotropique du

coefficient d’amplification f .

En effet, puisqu'on se rapprochant de la paroi 2'v tend vers zéro plus rapidement que la

fluctuation latérale 2'w , le rapport 2'2' vw atteint des valeurs plus grande que celle adopté par

Bergeles à la limite de la sous couche ( 5.4=f ). Une loi de distribution reproduisant les

résultats DNS, a été proposée par Lakehal et al. (2001). Elle s'écrit :

( )( ) 463.5682.2

102

42.03

2'

2'

−=

+

+

yy

vw (II-87)

Cette relation traduit la forte anisotropie qui existe près de la paroi solide. Elle est valable

jusqu'à 5.1>+y et seulement pour une couche limite attachée. L'isotropie ( 2'2' vw = ), est

retrouvé dans la zone logarithmique à 43=+y . Pour des raisons de stabilité de calcul, il est

conseillé de limiter le rapport à 60. Pour compléter la formulation du modèle, une relation

entre yR et +y est elle aussi, inspirée des résultats DNS.

545.0294.000442.0 2 ++=+yy RRy (II-88)

L'application de ce modèle sous sa forme bi-couche passe par l'amplification de la viscosité

turbulente ( )2'2' vwt ×ν pour l'équation de quantité de mouvement relative à la vitesse latérale

et l'équation de k . Le terme de production de l'énergie cinétique turbulente renferme aussi

l'effet de la modification.

2.10 Récapitulation des modèles utilisés lors de cette étude

Les modèles de turbulences présentés dans cet exposé et qui seront utilisés dans les chapitres

suivants se résument ainsi :


48

• SKE (Standard k-epsilon Model) : Modèle ε−k à haut nombre de Reynolds.

Les modèles algébriques explicites :

• SZL93 : modèle de Shih, T., H., Zhu, J., and Lumley, J. L. (1993)

• SZL95 : modèle de Shih, T., H., Zhu, J., and Lumley, J., L. (1995)

• GS/LT : modèle de Gatski, T., B., and Speziale, C., G. (1993), modifié par Lakehal, D.,

and Thiele, F. (2001)

• CLS : modèle de Craft, T., J., Launder, B., E., and Suga, K (1996)

• LCL : modèle de Lien, F., S., Chen, W., L., and Leschziner, M. (1996)

La pose des conditions aux limites sur les parois solides :

• -WF (Wall Function) : loi de paroi

• -TLK : bicouche de Rodi, W. (1991)

• -TLV : bicouche de Rodi, W., Manssour, N. N., and Michelassi, V. (1993)

• -Mut(DNS) : modification anisotropique de Lakehal, D., Theodoridis, G.S., and Rodi, W.

(2001)


49

Tabl

eau

II-1

: Con

stan

tes

des

mod

èles

EA

SM

.M

odèl

e, C

ode

C

1C

2C

3C

4C

6C

7C

Shih

et a

l., 1

995

SZL9

5

k

UA s

**

5.6

1

0.

kk

S

kS

C

**

2*

2

61

91

0.

0.0.

0.

Shih

et a

l., 1

993

SZL9

3

9.025.1

32 S

SC

100075.0

S

C 10

008.3

SC

10008.4

0.0.

0.

Lien

et a

l., 1

996

LCL9

6

9.025.1

32 S

SC

100075.0

S

C 10

008.3

SC

10008.4

2

10

C

25

C

2

5

C

Cra

ft et

al.,

199

6

CLS

96

5.13

,m

ax35.0

13.0

Sf

1.0

1.026.0

210

C

2

2

C

22

C

Gat

ski e

t Spe

zial

e, 1

993

Lake

hal e

t Thi

ele,

199

9

GS/

LT99

22

24

4

62

63

31.1

.3

C

C

*3

2g

*42

1g

0.

0.0.

0.

,

max

75.0ex

p36.0

exp

13

Sf

,

cos

6*

sA,

*6

arcc

os31

W

,

3

*

**

**

S

SS

SW

kijk

ij

,ij

kkij

ijS

SS

31

*

,

**

*ij

ijS

SS

,

**

**

*ij

ijij

ijS

SU

,ij

ij

*,

4.31

,

36.02

,

25.13

,

4.04

,

,

max

*3.1*25.0

8.45.0

25

SS

,

15

1*

g

,

*

2*5.0

67.01

gC

C

,

2

22

2S

C

,

22

4S

,

22

12

C

,ij

ijS

SS

2

,ij

ij

2


50

CHAPITRE III. Présentation de la méthode numérique

51

Chapitre III

Présentation de la méthode numérique

L’outil mathématique utilisé dans notre étude du refroidissement par film est traduit par un

code de calcul basé sur la méthode des volumes finis et intitulé FAST-3D (Flow Analysis

Simulation Tool of 3-Dimensions). La version originale du code a été développée par Zhu

(1992) à l’Institut d’Hydromécanique de l’Université de Karlsruhe, sous la direction du

professeur W. Rodi. L’utilisation d’un tel outil, élaboré par des spécialistes de renommée dans

le domaine de la modélisation numérique des écoulements turbulents et du transfert de

chaleur, est une assurance de la crédibilité des résultats issus de cette étude. Il s’agit du

meilleur moyen de formation par la recherche et de perfectionnement que nous avons eu dans

le cadre de cette thèse. On note bien que la moindre intervention dans les différentes

subroutines du code, sans parler de l’implémentation de nouveaux schémas ou modèles,

nécessite une connaissance précise de la structure détaillée du programme. L’utilisation du

présent code nous a conduit à étudier en détail la méthode des volumes finis, les algorithmes

de couplage pression-vitesse, les techniques d’interpolation, les méthodes de résolution des

systèmes d’équations algébriques, la génération des grilles de calcul de type ‘‘body fitted’’, la

méthode multi-blocs et avant tout le développement des équations de transport type à résoudre

et la modélisation de la turbulence. Ce dernier point étant déjà développé dans le chapitre

précèdent, nous allons consacrer le présent chapitre à l'aspect numérique.

3.1 Transformation des équations en coordonnées généralisées (body

fitted coordinates) Tout le long de ce chapitre nous allons considérer que le domaine physique est représenté par

le système de coordonnées cartésiennes ( zyxy ,,3,2,1 ≡ ), et le domaine de calcul par le

système de coordonnées curvilignes non-orthogonales ( ζηξ ,,3,2,1 ≡x ).

L'équation stationnaire de transport d'une variable φ par convection-diffusion dans un

système de coordonnées cartésiennes, s'écrit sous la forme générale suivante :

φφ

φρ Sy

Uy i

ii

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Γ−∂∂ 3,2,1=i (III-1)

où:


52

iU est la composante de la vitesse suivant la direction iy .

ρ la masse volumique.

Γ le coefficient de diffusion.

φ une des variables suivantes Tetkwvu εφ ,,,,,1= .

φS le terme source relatif à la variable φ

Cette équation traduit bien un principe de conservation, où la partie gauche exprime le flux

par convection et diffusion alors que celle de droite représente la génération ou la destruction

de la variableφ.

Dans un système de coordonnées curvilignes non orthogonales généralisées, l’équation

précédente prend la forme suivante :

( ) φφφ SJDCx ii

i

=+∂∂ 3,2,1=i (III-2)

où jiji uC βρ= le terme de convection

φiD le terme de diffusion de la variable φ

J le jacobien de la transformation qui est définit par :

ζζζ

ηηη

ξξξ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

zyx

zyx

zyx

J (III-3)

le développement de l’équation, (III-2) donne l’expression suivante :

( ) ( ) ( ) φφφφ φζ

φη

φξ

SJDCDCDC =+∂∂

++∂∂

++∂∂

332211 (III-4)

et celui des termes d’advection :

( )13

12

1111 βββρ wvuUC ++== (III-5)

( )23

22


( )33

32


où : i

jij x

y∂

∂=β , est le cofacteur du jacobien définit par (III-3).

Pour les équations de la quantité de mouvement, les termes de diffusion s’écrivent :


53

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 31

13

21

12

11

11

13

12

111 ωβωβωβ

ζφ

ηφ

ξφµ BBB

JD u (III-8)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 31

23

21

22

11

21

23

22

212 ωβωβωβ

ζφ

ηφ

ξφµ BBB

JD u (III-9)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 31

33

21

32

11

31

33

32

313 ωβωβωβ

ζφ

ηφ

ξφµ BBB

JD u (III-10)

et le terme source :

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 31

21

11

1 βζ

βη

βξ

pppJ

Su (III-11)

où :

n

inj

ij x

u∂∂

= βω , jn

in

ijB ββ= (III-12)

qui se développent comme :

ζβ

ηβ

ξβω

∂∂

+∂∂

+∂∂

= ij

ij

ij

ij

uuu 321 (III-13)

jijijiijB 332211 ββββββ ++= (III-14)

Dans le code de calcul utilisé (FAST3D), l’équation (III-8) du terme de diffusion est

décomposée en trois parties (les expressions ci-dessous sont écrites pour l’équation de

transport de u=φ , celles des autres variables sont rassemblées en annexe ):

• Une contribution normale exprimée par ξ

µ∂∂

−u

BJ

11 et comptabilisée avec le flux

convectif par la subroutine coeff(n).f.

• Une contribution croisée exprimée par ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−ζη

µ uBuBJ

13

12 et comptabilisé comme

terme source par la subroutine cdflux.f.

• Une contribution due à la non-orthogonalité du système de coordonnées, exprimée par

( )31

13

21

12

11

11 ωβωβωβµ

++−J

et calculée par la subroutine pdtst.f avec le terme source

relatif au gradient de pression.

En prenant, 1=∆=∆=∆ ζηξ , le jacobien J correspond au volume de l’élément sur lequel les

équations sont intégrées. Cette particularité sera d’un grand intérêt pour l’évaluation du

jacobien lors de l’implémentation du code de calcul.


54

3.2 Méthode des volumes finis

Le domaine de calcul est divisé en une série de sous domaines appelés volumes de contrôle.

Ces volumes de contrôle enveloppent tout le domaine de calcul sans chevauchement, de telle

façon que la somme de leurs volumes soit égale exactement au volume du domaine de calcul.

Un point est positionné au centre de chaque volume et est appelé centre du volume de

contrôle, il sera noté P, figure (III-1). Les nœuds des volumes voisins seront notés suivant

leurs positions N, S, W, E, T et B (se rapportant aux directions North, South, West, East, Top

et Bottom respectivement). Dans la méthode des volumes finis les lois de conservation (de la

masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie) sont exprimées localement sous une

forme intégrale. La pierre angulaire de cette méthode réside dans le théorème de Gauss

(appelé aussi le théorème de la divergence ou théorème d’Ostrogradski) et qui permet de

transformer une intégrale de volume en une intégrale de surface.

Figure III-1 : Volume de contrôle dans un maillage tri dimensionnel non orthogonal.

L’équation (III-1) s’écrit encore sous la forme suivante:

( ) ( )( ) φφ φφρ Sgraddivudiv +Γ= . (III-15)

et en intégrant sur un volume de contrôle (théorème de la divergence)

( ) ( ) ∫∫∫ +Γ=CVAA

dVSdAngraddAnu φφ φφρ ..... (III-16)

EB

W

P

y1,

y2

y3,


55

Où n est le vecteur unitaire perpendiculaire à la surface d'intégration A (on a privilégié la

lettre A pour la surface d'intégration pour éviter toute confusion avec le terme source qu'on a

déjà désigner par la lettre S). L'équation précédente s'écrit sous la forme :

( ) ∑∑ ∆+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Γ=f

fff

fff VSAn

Anu ... φφφφρ bettsnwef ,,,,= (III-17)

Où f représente la face d'intégration.

Traitement du terme source

Le terme source est scindé en deux parties suivant l'équation :

PPU SSS φ+= (III-18)

où US et PS peuvent être ou ne pas être fonction des variables indépendantes du problème.

On note ici que le taux de convergence et la stabilité des calculs sont étroitement liés à la

manière de définir les deux constantes de linéarisation ci-dessus. La principale condition à

respecter, en vue d'assurer la dominance diagonale de la matrice résultante, est que PS doit

représenter une quantité négative.

Traitement du terme de diffusion

Le terme de diffusion définit par ( )∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Γf

ff

fA

nφ

φ sera approximé par :

NP

PN

f dnφφφ −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

(III-19)

où N représente le volume voisin ayant la

facette d'intégration f en commun avec le

volume P, figure (III-2)

NPd est la distance entre les points P et N.

et ( )fφΓ peut être estimé par une simple

interpolation linéaire

Figure III-2 : Volume de contrôle (2D),maillage non-orthogonal

PP

f


56

( ) ( ) ( )( )NfPff φφφ αα Γ−+Γ=Γ 1 (III-20)

où fα est un coefficient d'interpolation définit par:fPNf

Nff dd

d+

=α

Nfd et fPd se rapportent aux distances entre le point N - f, et f - P respectivement.

Traitement des termes de convection

Pour approximer les termes de convection définis par ( )∑f

fff Anu φρ . , il faut estimer les

quantités ( ) fnu. et fφ aux facettes du volume de contrôle. La première partie sera traité un

peu plus loin par l'interpolation de Rhie et Chow. La seconde fera intervenir des schémas

d’interpolation appropriés appelés schémas de convection.

Pour cela, on définit d'abord les deux coefficients :

( ) fff AnuF .ρ= (III-21)

( )NP

fff d

AD

φΓ= (III-22)

qui quantifient respectivement la convection et la diffusion.

Le plus simple schéma qu'on puisse imaginer est une interpolation linéaire entre les deux

points P et N respectivement. Ce schéma centré présente un bon degré de précision (ordre 2),

il est noté CDS, Central Differencing Scheme et il s'écrit (pour un maillage équidistant)

comme :

2NP

fφφ

φ+

= (III-23)

Enfin, la combinaison des équations (III-23) du schéma centré aux équations (III-17 à III-22)

donne l'équation générale suivante:

∑ += baa nbnbPP φφ (III-24)

où l'indice nb se rapporte aux nœuds voisins du point de calcul P.

et

ffnb FDa21

−= (III-25)

VSb U ∆= (III-26)


57

et ∑ ∆−= VSaa PnbP (III-27)

Malheureusement, il a été trouvé que ce schéma (CDS) n’est stable que pour des valeurs du

nombre de Peclet ( DFPe = ) inférieur à 2. La discrétisation des termes de convection

nécessite donc, l’introduction de schémas tenant compte de l’effet de convection en amont. Le

plus simple étant le schéma avant (UDS, Upwind Differencig Scheme) qui présente une très

bonne stabilité numérique mais une mauvaise précision (ordre 1). L’adoption de ce schéma

consiste à suivre la propagation des propriétés physiques de l’écoulement.

En d'autres termes, le schéma UDS s'écrit de la manière suivante:

0>= fPf Fsiφφ ;

0<= fNf Fsiφφ ; (III-28)

Un nouveau schéma, appelé schéma HYBRID, permet de basculer entre le CDS et l'UDS. Il

profite de la stabilité du schéma UDS quand Pe>2 et de la précision du schéma CDS quand

Pe<2.

3.3 Schémas de convection

Le schéma UDS cité plus haut est très apprécié pour sa forte stabilité, mais il présente

l’inconvénient d’être d’une précision insuffisante, surtout pour les cas de décollement ou à

impact suivi de recirculation. Le passage au schéma centré CDS d’ordre 2, pose des

problèmes de stabilité des calculs. Ainsi, l’approximation des termes de convection est un

élément clé aussi bien pour la stabilité que pour la précision de l’algorithme numérique. Il se

trouve que le schéma le plus stable est en même temps le moins précis et vis versa. La

première amélioration qu’on puisse imaginer est de remplacer le schéma amont de premier

ordre par des formules de second ordre, où on fait intervenir plus d’un point amont. On espère

ainsi garder la stabilité du schéma amont tout en améliorant sa précision. Malheureusement,

ce genre de procédure conduit à des problèmes de stabilité similaires à ceux du schéma centré.

Beaucoup d’études comparatives ont été menées pour tester le mérite de tel ou tel schéma. En

résumé, les avantages du schéma QUICK (Quadratic Upstream Interpolation for Convective

Kinematics ) ont été largement appréhendés, aussi bien du coté de la précision que de la

stabilité. Toutefois, il faut noter que pour des équations faiblement non-lineaires et couplées,

tous les schémas de second ordre produisent des résultats précis. Alors, que pour des

équations fortement couplées et non linéaires, la convergence devient difficile, voir

impossible avec des schémas centrés ou même de type QUICK. Il se produit des oscillations


58

près des discontinuités appelées «wiggles ». C’est pour cette raison que dans les premières

simulations numériques, les termes de convection dans les équations du modèle k-ε , étaient

généralement approximées par des schémas amont de premier ordre. C’est une limitation

assez sévère, et le schéma correspondant devient ainsi très diffusif.

3.3.1 Schémas à haute précisions

Pour des raisons de simplicité de présentation, le développement suivant des schémas de

convection sera fait pour un problème à une seule dimension, figure (III-3).

Figure III-3 : Volume de contrôle pour un cas unidimensionnel.

Soit l'expression de la variable φ à la facette ''est'' du volume de contrôle de centre P définit

par :

ePe φφφ ∆+= (III-29)

où eφ∆ est la correction à apporter aux schéma de base UDS ( )0>eF .

ee x

x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂∆

≈∆φφ

2 (III-30)

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∆−+

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∆−−

≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

xxxPEWP

e

φφκφφκφ2

12

1

(III-31)

qui donne finalement l'expression suivante pour l’expression de φ sur la facette "e".

( ) ( )[ ]eePe ∆++∆−+= − κκφφ 1141 0>eU (III-32)

Les opérateurs suivants sont définis en rapport avec la figure (III-3) :


59

PEe φφ −=∆ EEEe φφ −=∆+

(III-33)

WPe φφ −=∆−

WWWe φφ −=∆ −−

(III-34)

La formulation de l’équation (III-32) présente l’avantage d’être universelle, on peut ainsi

basculer d’un schéma à un autre en changeant simplement le paramètre κ , ce qui revient à

dire qu’avec une seule subroutine nous disposons d’une famille de schémas différents tels

que:

K=-1, SOU, Second Order Upwind Differencing Scheme

ou LUDS, Linear Upwind Difference Scheme

WPe φφφ21

23

−= (III-35)

K=1/2 QUICK, Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics

WPEe φφφφ81

43

83

−+= (III-36)

K=1/3 CUI, (Cubic Upwind Interpolation scheme)

WPEe φφφφ61

65

31

−+= (III-37)

K=1 CDS, (Central Difference Scheme)

( )PEe φφφ += 5.0 (III-38)

K=0 Chakravarty-1, (Chakravarthy et Osher 1985)

WEPe φφφφ41

41

−+= (III-39)

K=-1/3 Chakravarty-2, (Chakravarthy et Osher 1985)

EWPe φφφφ61

31

67

+−= (III-40)

3.3.2 Schémas à haute précision à limiteurs A coté de la précision et de la stabilité qui sont les deux caractéristiques les plus importantes,

le critère de limite aux frontières (boundedness) est une propriété très recherchée pour un

schéma numérique de convection. Ainsi, en l’absence de sources (ou puits) les valeurs d’une

quantité φ à l’intérieur du domaine ne doivent en aucun cas sortir de l’intervalle construit par

les valeurs de la variable aux frontières. L’importance de cette caractéristique devient décisive


60

dans le calcul de l’énergie cinétique turbulente. Si lors de l’utilisation du modèle de

turbulence k-ε, la valeur de la dissipation de l’énergie turbulente devient négative, elle aboutit

directement à des valeurs négatives de la viscosité turbulente et inévitablement à la

divergence de l’algorithme de calcul. C’est pour cette raison que la plupart des premiers

calculs avec le modèle de turbulence k-ε utilisent le schéma HYBRID pour les équations de k

et ε.

Il ressort des études effectuées par plusieurs chercheurs que seul le schéma UDS peut garantir

le critère des limites aux frontières (boundedness). Malheureusement, ce schéma est précis

seulement au premier ordre, ce qui n’est pas suffisant pour les calculs courants. Il devient

impératif donc de construire un schéma garantissant le critère des limites aux frontières tout

en étant précis à un ordre supérieur à un. Un tel schéma ne doit pas prendre en considération

les très grandes valeurs du gradient de la variable considérée. Ceci est réalisable par un

contrôle continu du gradient à chaque itération et à l’intérieur de chaque volume de contrôle,

de telle manière à ne considérer que le gradient dans une certaine limite. Cet important

concept a été introduit sous forme de ‘limiteur’ contrôlant l’évolution du calcul. Le rôle de ces

limiteurs est de forcer le calcul numérique à vérifier la propriété des limites aux frontières.

Pour construire un tel schéma, il faut en premier lieu reconnaître les régions où une

intervention est nécessaire, et ensuite décider sur la nature de l’intervention à pratiquer.

Différentes procédures ont été proposées pour la construction des schémas limités à haute

précision. Les plus pratiques sont sans doute celles connues sous le nom de Total Variation

Diminishing (TVD). Cette technique repose sur la correction des termes de convection en

fonction de la solution instantanée disponible en utilisant une fonction indicatrice reflétant la

solution instantanée.

Schémas TVD Considérons un schéma amont de second ordre :

( ) ( )[ ]eePe ∆++∆−+= − κκφφ 1141 0>eU (III-41)

Pour rendre ce schéma compatible avec la propriété TVD, nous introduisons un limiteur non-

linéaire noté Ψ.

( ) ( )[ ]eieiPe ∆Ψ++∆Ψ−+= ++

−+− 2121 11

41 κκφφ

0>eU (III-42)

pour refléter l’allure locale de la solution, un indicateur est définit comme :


61

1

121

−

++− −

−=

ii

iiir φφ

φφ

(III-43)

Une discussion très détaillée tenant compte de plusieurs options est disponible dans (Hirsh,

1984), toutefois nous pouvons citer quelques conditions importantes que doit vérifier ce genre

de limiteur. La plus importante est sans doute le fait que ce limiteur doit être positif

( ) 00 ≥≥Ψ rpourr (III-44)

quand un maximum ou un minimum est rencontré, r devient négatif. Dans ce cas on imposera

au limiteur la valeur nulle, ce qui correspond à un taux nul de changement de la variable φ. On

évite ainsi la parution des ‘under’ et ‘overshots’ au prix d’une perte locale de la précision

puisqu’en ce point le schéma devient purement UDC, équation (III-42).

( ) 00 ≤=Ψ rpourr (III-45)

En résumé le limiteur vérifie la condition suivante :

( ) rr 20 ≤Ψ≤ (III-46)

On trouve dans la littérature plusieurs variantes de fonction limiteur, telle que celle de van

Leer’s MUSCL (Monotonic Upstream Scheme for Convection Laws, Leonard, 1991) :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

>>

><

=

000

0

),mod(minxyif

xyandyxify

xyandyxifx

yx

(III-47)

et sous forme compacte :

( ) ( ) ( ) ABsgnAAsgnBA ωω ,min,0max,modmin = (III-48)

La fonction minmod, est définie pour sélectionner le nombre du plus faible module d’une série

de nombre quand ceux ci ont le même signe, et zéro autrement.

Comme précédemment nous adoptons une formulation condensée pour générer différents

types de schémas à limiteur appartenant à la même famille :

( ) ( )[ ]eePe ∆++∆−+= − ~1141 κκφφ

0>eU (III-49)

( ) ( )[ ]eePe ∆++∆−+= + κκφφ 1~141

0<eU (III-50)

( )eee ∆∆=∆ −− ω,modmin ( )−∆∆=∆ eee ω,modmin~ (III-51)

( )+∆∆=∆ eee ω,modmin ( )eee ∆∆=∆ ++ ω,modmin~ (III-52)


62

où les différents limiteurs se définissent par le paramètre ω choisi dans l’intervalle (1<ω<2):

Donc, le concept de la totale variation à conduit à des schémas d’ordre supérieur tout en

préservant la monotonicité. Ces schémas sont en général de second ordre, sauf dans les zones

de maximum ou minimum où le schéma devient seulement d’ordre 1. La principale restriction

est que l’analyse de ces schémas a été faite pour des problèmes à une seule dimension et

l’extension de tels schémas pour des problèmes à deux ou trois dimensions n’est pas évidente.

Dans cette étude nous allons adapter le schéma TVD/MUSCL avec le limiteur de

Chakravarthy-Osher pour l’approximation des termes de convection, en utilisant l’équation

(III-53) pour l’estimation de ω.

( ) ( )κκω −−≤≤ 131 (III-53)

A cause de la non-linéarité du schéma TVD/MUSCL, nous suivons la procédure différée déjà

adaptée dans le code original (FAST3D) et qui consiste à scinder le schéma en une première

partie correspondant au schéma UDS et une deuxième partie qui représente la correction

apportée que nous ajoutons au terme source. Les schémas décrits plus haut sont implémentés

dans la nouvelle version du code par le biais deux nouvelles subroutines appelées coeff6.f et

coeff7.f pour les schémas d’ordre 2 avec limiteurs et les schémas d’ordre 2 sans limiteurs

respectivement.

Avant de terminer ce paragraphe, on note que la version originale du code (Fast3D) comporte

déjà quatre types de schéma et qui sont : HYBRID, QUICK, SOUCUP et HLPA. Les deux

derniers sont de type à limiteurs utilisant la technique NVD (Normalised Variable Diagram).

Cette dernière est similaire à la technique TVD décrite plus haut.

3.4 Traitement du gradient de pression Normalement, le terme source US dans les équations de la quantité de mouvement contient

un gradient de pression. L'équation (III-1) s'écrit donc (1D):

( ) Sdx

uddxd

dxdpuu

dxd

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−= µρ (III-54)

Malheureusement, la pression n'apparaît pas dans l'équation de continuité. Pire encore, pour

un fluide incompressible où la masse volumique est constante, l'équation de continuité, qui

traduit le principe de conservation de la masse, se trouve complètement découplée des

équations du mouvement. Pour 1=φ ; 0=Γ et 0=S dans l'équation (III-1), on obtient

l'équation de continuité.


63

0=xdud

(III-55)

ce qui donne:

0=− we uu (III-56)

Normalement, si le champ de pression est connu, la résolution de l'équation de quantité de

mouvement (III-54) donne un champ de vitesse qui vérifie automatiquement l'équation de

continuité (III-56). Mais comme aucune information sur la pression ne peut être obtenue de

l'équation de continuité on est amené à résoudre ce problème par un algorithme itératif. C'est à

dire, on utilise une distribution quelconque de la pression pour résoudre l'équation de quantité

du mouvement. Le champ des vitesses obtenu ne vérifie pas l'équation de continuité, puisqu'il

a été déduit d'un champ de pression quelconque. L'idée est de déduire de l'équation de

continuité une équation pour corriger la pression. Alors, cette nouvelle pression est ré utiliser

pour calculer un nouveau champ de vitesse et ainsi de suite jusqu'à convergence de toutes les

variables du problème. Patankar (1981), a proposé un tel algorithme qu'il désigna Semi

Implicit Method for Pressure Linked Equations ou SIMPLE

Supposons qu'on veut intégrer l'équation (III-54) par rapport au volume de contrôle de centre

P. Le gradient de la pression sera discrétisé comme suit:

xpp

xdpd ew

P ∆−

=⎟⎟⎠

⎞− (III-57)

et en utilisant une interpolation linéaire :

xpppppp

xxdpd EWEPPW

P ∆−

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

+∆

=⎟⎟⎠

⎞−

2221 (III-58)

Ce qui fait que l'information sur la pression au point P a purement et simplement disparue,

comme si la pression était calculée sur une grille double de celle de la vitesse. En

conséquence, un champ de pression non uniforme de type (50,100,50,100,50,…) sera capté

par le schéma ci-dessus comme étant un champ uniforme. L’addition d’un tel champ

(échiquier pour le cas bi dimensionnel) à la solution exacte sera aussi solution des équations

discrétisées. C’est le problème très connu sous le nom du problème de l’échiquier (chekboard

or red black problem). Le premier remède à cette situation a été proposé par Patankar. Il

consiste en l’utilisation de plusieurs grilles de calcul décalées les unes par rapport aux autres.

La pression sera intégrée sur le volume de contrôle de centre P, alors que la vitesse u sera

intégrée sur un autre volume ayant son centre au point w et ses limites W et P.


64

Pendant longtemps, il a été établi que le maillage entrelacé était la seule solution au problème

de la pression cité ci-dessus. En 1981, des travaux sur la méthode des volumes finis utilisant

un maillage non entrelacé ont été publiés par Hsu (1981), Prakash (1981) et Rhie (1981)

(références citées par Peric (1988)). Au début, ces travaux n’ont pas eu un grand écho parce

que la communauté des chercheurs était convaincue que l’utilisation d’une grille de calcul non

entrelacée aboutit inévitablement à des instabilités (Patankar, 1981). Un peu plus tard la

nouvelle méthode connue sous le nom de l’interpolation de Rhie & Chow fut tout de suite

adoptée par la quasi-totalité des codes et on a rapidement oublié l’ancienne méthode des

grilles entrelacées et ses complications.

3.5 Interpolation de Rhie et Chow Quelques avantages de la nouvelle méthode par rapport à l’ancienne :

• Toutes les variables sont stockées au centre du même volume de contrôle, par conséquent

une seule grille de calcul est utilisée (gain en espace mémoire de stockage)

• Les termes de convections calculés sur les facettes des volumes de contrôle sont les

mêmes pour toutes les équations du problème.

• La pose des conditions aux limites est extrêmement simplifiée.

Une étude comparative entre les deux méthodes a été conduite par Peric (1988). Les résultats

numériques sur trois configurations différentes (toutes laminaires) ont montré que le taux de

convergence, la dépendance vis à vis des coefficients de relaxation et la précision sont

identiques pour les deux méthodes. Pour quelques cas étudiés, la nouvelle méthode converge

rapidement et garde l’avantage de la simplicité. Elle est aussi bien adaptée pour les techniques

multigrid, multizones et aux maillages non orthogonaux.

L’équation (III-54), écrite pour un volume de contrôle de centre P s’écrit :

( ) PPnb

nbnbPxPP buapua +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=∇− ∑ (III-59)

ou encore

( )P

Px

P

PP a

paH

u∇

+= (III-60)

avec

PPnb

nbnbP buaH +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑ (III-61)

et pour le volume de contrôle voisin de centre N :


65

( ) NNnb

nbnbNxNN buapua +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=∇− ∑ (III-62)

( )N

Nx

N

NN a

paH

u∇

+= (III-63)

NNnb

nbnbN buaH +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑ (III-64)

Le principe de conservation permet d'écrire une équation de la même forme pour le point f

appartenant à la facette d'intégration.

( ) ffnb

nbnbfxff buapua +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=∇+ ∑ (III-65)

( )f

fx

f

ff a

p

aH

u∇

+= (III-66)

ffnb

nbnbf buaH +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑ (III-67)

où :

( ) ( )PNxffx ppnAp −=∇ (III-68)

( ) NPf aaa αα −+= 1 (III-69)

α est le coefficient d’interpolation.

le principe de l'interpolation de Rhie et Chow se base sur les équations (III-59) et (III-62) pour

approximer l'équation (III-65), d'où :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

xPP

aHH

au PN

f

NP

ff

12

1 (III-70)

[ ]NPf aaa +=21 (III-71)

La clé de cette interpolation est que la vitesse est fonction de la pression en deux points

adjacents. En d’autres termes, pour éviter le problème de l’échiquier cité plus haut, la

nouvelle méthode passe indirectement par l’idée du maillage entrelacé.

3.6 Couplage vitesse-pression (SIMPLE et SIMPLEC) L’intégration de l’équation (III-54) sur le volume de contrôle de centre P et de limites e et w

donne :


66

( )wePnbnbPP ppAbuaua −−+= ∑ (III-72)

L’introduction d’un champ de pression initial *p donne la solution provisoire *u (notons que *u ne vérifie pas l’équation de continuité) :

( )

Pp

nbwePnbnb

P a

ppAbuau

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−+=∑ ***

* (III-73)

A ce stade, aucune des deux variables n’est correcte. Toutes les deux nécessitent une

correction. '* uuu += (III-74)

'* ppp += (III-75)

où 'u et 'p sont les corrections qu’il faut estimer.

En introduisant les équations (III-74) et (III-75) dans (III-73) et en tenant compte de (III-72),

il s’ensuit :

( )''*wePPP ppduu −−= (III-76)

où :

P

PP a

Ad = (III-77)

Notons ici qu’on a négligé le terme ∑ 'nbnbua . Normalement, ce terme doit s’annuler lors de

la convergence. C’est à dire que cette omission n’influe par sur le résultat final, mais elle

fausse un peu le résultat temporaire. C’est d’ailleurs la seule simplification faite dans

l’algorithme SIMPLE. Elle a été corrigée dans les variantes plus évoluées (SIMPLEC). On obtient de l’équation (III-76) la correction de la vitesse :

( )**' 1weP

PPP ppA

au −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= (III-78)

L'équation de correction de la pression est déduite.

mnb

nbnbPP Spapa −=∑ '' (III-79)

L’introduction de l’expression corrigée (III-78) dans l’équation de continuité (III-56) , donne

l’équation de correction de la pression, qu’on écrira sous la forme (1D) :

bpapapa WWEEPP ++= ''' (III-80)

où :

( )eE Ada = (III-81)


67

( )wW Ada = (III-82)

WEP aaa += (III-83)

( ) ( )ew AuAub ** −= (III-84)

D’après l’équation (III-80), le terme b représente le terme source de masse témoin d’un

champ de pression initial aléatoire. Normalement, l’algorithme de résolution doit annuler ce

terme. L’algorithme SIMPLE est constitué des étapes suivantes :

1. Choix arbitraire d’un champ de pression initial *p .

2. Résolution des équations de quantité de mouvement (III-73 ), pour déduire un champ de

vitesse *u .

3. Calcul du terme source de la masse b de l’équation (III-84) et résolution de l’équation (III-

80) de correction de la pression.

4. Correction des champs de pression et de vitesse par les équations (III-74) et (III-75).

5. Résolution des autres équations de transport relatives aux autres scalaires du problème, tel

que la température ou les quantités turbulentes.

6. Remplacement de l’ancien champ de pression par le nouveau et retour à l’étape 2.

Les calculs seront répétés jusqu’à convergence de toutes les variables.

Comme il a été mentionné plus haut, la simplification du terme ∑ 'nbnbua n’affecte en rien la

solution finale, puisque si la convergence est atteinte ce terme devrait s’annuler. Toutefois, le

taux de convergence est modifié par cette simplification. Il se trouve que la correction 'p est

surestimée par SIMPLE et le calcul a tendance à diverger. Le remède pour stabiliser les

calculs est d’utiliser un coefficient de sous relaxation aussi bien pour les équations du moment

que celle de la pression. L’équation (III-75) devient :

'* ppp pα+= (III-85)

On note aussi que pour stabiliser l’algorithme, il est nécessaire de fixer le coefficient de sous

relaxation de p’ à des valeurs plus faibles que celles des équations du moment et que

l’équation de correction de la pression est généralement résolue plusieurs fois dans la même

itération globale.

Pour corriger l’erreur introduite par la négligence du terme ∑ 'nbnbua dans SIMPLE, Van

Doormal et Raithby (1984) ont apporté une amélioration à l’algorithme SIMPLE, qu’ils ont

renommé algorithme SIMPLEC (SIMPLE-Consistent)


68

La correction de la vitesse obtenue précédemment par les équations (III-74) et (III-75) sera

écrite :

( )''*EPeee ppduu −+= (III-86)

où :

∑−=

nbe

ee aa

Ad (III-87)

Remarquons, qu’au lieu de négliger complètement le terme ∑ 'nbnbua , on a retenu une partie

de lui ∑ nba . Les étapes de SIMPLE restent les mêmes pour SIMPLEC.

On note aussi, avant de terminer ce paragraphe, que les deux algorithmes SIMPLE et

SIMPLEC présentent l’inconvénient de nécessiter un champ de pression initiale pour amorcer

les calculs, or il est très difficile d’estimer un champ de pression correcte pour un écoulement

donné. L’amélioration apportée par l’algorithme SIMPLER (SIMPLE-Revised) corrige ce

défaut en initialisant le calcul par un champ de vitesse qu’il est plus facile à estimer et en

développant une équation propre de la pression p à coté de celle de la correction p’.

La version originale du code utilisé lors de cette étude (Fast3D) comporte l’algorithme

SIMPLE. L’algorithme SIMPLEC a été introduit plus tard par G. Theodoridis.

3.7 Introduction de la sous-relaxation Soit *

Pφ , la valeur de la variable issue de l'itération précédente, l'équation (III-24) s'écrit :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

++= ∑ **

PP

nbnbPP a

baφ

φφφ (III-88)

Où l'expression entre crochets représente le changement de Pφ dans l'itération actuelle. Pour

diminuer ce changement en vue de stabiliser les calculs, on introduit un coefficient α ayant

une valeur entre 0 et 1. Cette opération est appelée sous relaxation.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

++= ∑ **

PP

nbnbPP a

baφ

φαφφ (III-89)

ou encore :

( )α

φαφφ

α

*1 PPnbnbP

P aba

a −++=∑ (III-90)

Cette dernière équation garde la forme de l'équation (III-24), avec une légère modification des

coefficients. Cette formulation est très utile lors de l’implémentation numérique de la


69

relaxation. On introduit ainsi la sous relaxation par le choix d'un bon coefficient α . On note

également qu'après convergence, l'égalité *PP φφ = est satisfaite.

3.8 Résolution du système d’équations algébriques Le but de la méthode numérique étant de transformer l’équation aux différences partielles

(E.D.P) en un système d’équations algébriques composé d’autant d’équations que

d’inconnues. Les inconnues sont les valeurs de la variable à prédire aux différents points de la

grille de calcul (centre des volumes de contrôle pour la méthode des volumes finis). Le

résultat peut s’exprimer sous forme matricielle :

bA =φ. (III-91)

Où A est une matrice carrée (n x n, n est le nombre des volumes de contrôle global), φ est le

vecteur d’inconnues et b un vecteur des quantités connues (source). La résolution d’un tel

système par une méthode directe n’est pas envisageable, vu la taille excessive de la matrice

habituellement utilisée dans les prédictions des écoulements et du transfert de chaleur (CFD).

Les méthodes directes sont très précises mais aussi extrêmement consommatrices de mémoire

de stockage et de temps de calcul. Elles sont donc réservées pour les systèmes de faible taille.

Les méthodes indirectes, dites itératives, sont donc incontournables en CFD. Ces méthodes

utilisent l’approximation actuelle nφ pour estimer (améliorer l’estimation) une nouvelle

solution 1+nφ . L’algorithme de résolution sera répéter plusieurs fois jusqu’à ce que la solution

satisfasse un critère de convergence prédéterminé. Le nombre des méthodes itératives étant

très importants et sont toutesdisponibles dans la littérature. Ainsi, on se limite à exposer ici la

méthode dite Strongly-Implicit Procedure (SIP) de Stone (1968) utilisée dans la version

originale du code.

Le principe de cette méthode est de décomposer la matrice A en deux matrices triangulaires

U (upper) et L (lower).

bULA == φφ ... (III-92)

ou : bVL =. (III-93)

et VU =φ. (III-94)

la résolution du système passe par deux étapes :

étape 1 : résoudre l’équation (III-93) pour trouver le vecteur temporaire V

étape 2 : résoudre l’équation (III-94) pour trouver le vecteur solution φ


70

L’avantage de la méthode réside dans la grande simplification apportée par les matrices

triangulaires. Des tests de résolution de l’équation de Laplace ont montré que la méthode est

50 à 60% plus rapide que la méthode ADI (à directions alternées), (Anderson, 1984).

On note aussi que l’implémentation du code est complètement vectorisée. C’est à dire que

toutes les variables (3D) utilisées par le programme (plus de 70 variables) sont stockées dans

un même vecteur F (1D). Cette disposition permet de tirer profit des capacités des calculateurs

vectoriels pour minimiser le temps des calculs. Plus de détails sont disponibles dans (Zhu,

1992). L’étude présentée par G. Theodoridis (1996) montre que pour la même application, le

nombre de "CPU times" en minutes nécessaires à la convergence passe de 79 à 7900 d’une

machine vectorielle à une machine scalaire.

3.9 Techniques de génération du maillage La précision des résultats obtenus par la méthode des volumes finis, ainsi que la conduite du

calcul (taux de convergence) sont étroitement liées à la qualité du maillage utilisé. La

complexité géométrique des problèmes à traiter numériquement a conduit à l’utilisation de

maillages de plus en plus complexes allant du simple maillage structuré, uniforme, et

orthogonal aux maillages non structurés, en passant par les grilles structurées, curvilignes et

non uniformes. Le maillage non structuré, qui a été initialement utilisé pour le calcul des

structures solides a trouvé récemment un large domaine d’application dans le calcul des

écoulements et du transfert de chaleur. Il présente une très grande flexibilité de génération de

la grille de calcul surtout pour augmenter la densité de concentration des points dans certaines

zones critiques.

Une autre solution plus simple, appliquée aux domaines de calcul tridimensionnel et à

géométrie complexe, réside dans l’utilisation de la méthode dite multi-bloc ou multi-zones

(Chen, 1994 ; Lien, 1996). La description détaillée de cette méthode sera faite un peu plus

loin.

En vue d’optimiser la taille de la grille de calcul, on est amené à utiliser une concentration de

points dans les zones de fort gradient, tel que les points de stagnation ou de discontinuité et

près des parois solides. Quand on n'est pas certain de la position exacte de ces zones critiques,

on peut utiliser la méthode de génération de maillage dite adaptive, où les nœuds du maillage

sont périodiquement redistribuer suivant des tests effectués sur la solution disponible

instantanément. Naturellement, la procédure est consommatrice d’un temps de calcul

supplémentaire.


71

Quand les frontières du domaine de calcul ne sont pas rectangulaires on est amené à utiliser

un maillage curviligne non-orthogonal épousant parfaitement les frontières de calcul de type

"body fitted". Ce genre de maillage facilite la pose des conditions aux limites et améliore par

conséquent la précision des résultats obtenus. La génération d’un tel maillage peut se faire

aussi bien par des méthodes différentielles ou algébriques. La plupart des méthodes

différentielles sont basées sur la solution des équations elliptiques de Laplace ou de Poisson

(Thompson et al., 1974). Dans ce dernier type d’équation, des termes sources sont employés

pour contrôler le maillage à l’intérieur du domaine de calcul, Thomas et Middlecoff (1979).

La méthode algébrique présente plusieurs niveaux de complexité allant de l’interpolation

transfinite à l’isogéométrique en passant par l’interpolation semi-isogéométrique.

La méthode la plus utilisée de génération du maillage est sans doute la méthode différentielle

de résolution des équations elliptiques. Elle présente l’avantage de contrôler les nœuds

internes par les termes sources et l’inconvénient d’être numériquement instable, surtout pour

le cas tridimensionnel ou les cas de fortes concentrations de points dans certaines régions.

Les fonctions de contrôle injectent l’influence de la distribution des nœuds de frontières à

l’intérieur du domaine de calcul. Les méthodes algébriques ont le grand avantage d’être

numériquement efficaces, elles sont très flexibles et permettent un contrôle parfait de l’espace

entre les nœuds. Cependant, dans beaucoup de situation, il est nécessaire d’introduire des

courbes ou des surfaces à l’intérieur du domaine avant d'interpoler algébriquement le reste des

nœuds.

Certains codes de calcul utilisent une méthode différentielle pour générer un premier maillage

grossier et ensuite une méthode algébrique pour raffiner le maillage suivant les spécifités de la

configuration étudiée (Zhu, 1992).

Les recommandations suivantes sont généralement très appréciées lors de la génération d’un

maillage de calcul (CFX-Tascflow, 1995).

Orthogonalité Bien que l’orthogonalité du maillage à l’intérieur du domaine de calcul soit très appréciée, par

ce qu'elle minimise les erreurs de troncature, elle n’est pas un critère indispensable. Par contre

sur les frontières, cette condition est très importante, surtout si on utilise la loi de la paroi lors

de la modélisation de la turbulence.


72

Direction de l’écoulement Il est très important de maintenir autant que possible les surfaces à i,j et k constants, alignées

avec la direction de l’écoulement. Cette disposition aide à maintenir les erreurs de diffusion

numérique au plus faible niveau possible. Cependant quand cet alignement est impossible à

réaliser, il faut utiliser des schémas numériques de convection à haut niveau de précision.

Aspect géométrique du volume de contrôle (Aspect ratio) et discontinuité Cette caractéristique est définie par le rapport des arêtes des volumes de contrôle, qu’il est

généralement recommandé de maintenir à des valeurs raisonnables. C’est à dire qu’il faut

éviter d’avoir des volumes de contrôles où une arête dépasse 100 fois les autres. (La valeur

100 est donnée à titre indicatif. Elle est inspirée du manuel du code commercial Tascflow

(1995). L’utilisation d’un maillage à densité non uniforme conduit à la détérioration de la

précision surtout si les schémas de convection utilisés sont développés pour un maillage

uniforme (la très connue formule du schéma QUICK est développée pour un maillage

uniforme) comme c’est le cas du code utilisé dans cette étude. Ainsi, il est très recommandé

d’utiliser un coefficient de raffinement autant que possible près de l’unité à l’intérieur de

chaque zone et quand une région de forte densité de nœud est voisine à une autre région de

faible densité de nœuds. Il faut s’arranger de telle manière que le passage entre les deux

régions soit progressif.

En général, un bon maillage doit épouser parfaitement les frontières du domaine de calcul,

avoir une distribution lissée des nœuds, avoir une concentration de nœuds dans les zones où

un large gradient est suspecté et enfin il doit être orthogonal aux frontières. Le code de génération de maillage tridimensionnel construit lors de cette étude repose sur les

deux méthodes : algébrique et elliptique suivant une procédure multi-blocs (ou multi-zones).

La méthode multi-block (ou multi-zones) Cette méthode est un compromis entre les méthodes structurées mono-bloc et les méthodes

non-structurées générales. Elle consiste à décomposer le domaine de calcul en bloc (sous-

domaines) qui seront résolus séparément. L’information se propage entre les blocs par

l’intermédiaire de zones de connectivités. La solution finale doit être indépendante du choix

du nombre et de la taille des blocs utilisés. Normalement, les sous domaines ainsi construits

doivent être géométriquement plus simples que le domaine global. Par exemple, pour le cas


73

du refroidissement par film, la considération de l’écoulement à l’intérieur du trou d’injection

et le "plenum" est facilitée par la décomposition du domaine de calcul en plusieurs blocs,

comprenant un bloc principal de l’écoulement au-dessus de la plaque à refroidir, un bloc pour

chaque trou d’injection considéré et un bloc pour le "plenum".

Les avantages de cette méthode se résument en :

• La possibilité de décomposer le domaine de calcul suivant les processus physiques et

utiliser des modèles mathématiques différents sur chacun des sous-domaines en fonction

des caractéristiques physiques du problème. Par exemple différents modèles de turbulence

selon ses caractéristiques, ou différents types d’équations (elliptiques ou paraboliques)

suivant la complexité de l’écoulement, ou encore différents schémas d’approximation de

la convection.

• L’exploitation efficace des machines multi-processeurs, en partageant de façon optimale

les calculs entre les différents processeurs moyennant une programmation parallélisée.

• Pour les domaines géométriquement complexes, la méthode permet de réaliser un

important gain en espace mémoire de stockage des variables en évitant l’utilisation

excessive des volumes bloqués.

• La génération du maillage se trouve considérablement simplifiée et plus efficace. Le

traitement des sous domaines de formes simplifiées est plus aisé par rapport au domaine

global complexe. On peut même envisager différents types de maillage pour chaque bloc

(par exemple en O, C ou H).

Pour utiliser cette méthode, la première étape réside dans la définition des frontières et des

systèmes de coordonnées pour chaque bloc. Un maillage est ensuite généré pour chaque bloc

séparément, et les systèmes de coordonnées utilisées peuvent avoir - ou ne pas avoir - les

mêmes directions. La seule restriction à vérifier est la continuité du maillage entre les blocs

adjacents et la parfaite superposition des nœuds des interfaces reliants les différentes zones.

Suivant la technique d’interpolation utilisée, un certain nombre de volumes de contrôles sont

communs aux zones voisines les unes aux autres et forment des zones appelées zones de

connectivité, figure (III-4). Elles sont considérées comme une sorte de conditions aux limites

temporaires. Pour notre cas, l’utilisation de l’interpolation de Rhie et Chow (1983) pour la

correction de la pression et les schémas de convection d’ordre supérieur pour les termes de

convection nous conduit à joindre à chaque zone une couche de deux volumes de contrôles

originaires du bloc voisin. La figure (III-4) montre ce détail pour le trou d’injection.


74

Les calculs sont effectués dans chaque bloc séparément. Avant et après la résolution de

chaque équation du modèle mathématique, on procède à une actualisation des variables des

zones de connectivité, figure (III-4).

Figure III-4 : Zone de connectivité (la méthode multi-blocs)

Donc, après avoir repérer les différents blocs (géométrie assez simple) on génère une grille

pour chaque bloc à part. La génération d’une sous-grille passe par quatre étapes successives :

1. Génération des points : Cette première étape est la plus simple, elle consiste à repérer les

points extrêmes du domaine, leur donner des indices et introduire les dimensions

géométriques du bloc.

2. Génération des lignes : En utilisant une routine adaptée, on génère des lignes ou des

courbes entres les différents points construits précédemment. Un coefficient de

raffinement permet de contrôler la distribution des nœuds intermédiaires entre les nœuds

frontières.

3. Génération des surfaces : Disposant des nœuds

formant les lignes frontières, on génère les

surfaces soit par interpolation géométrique ou par

la résolution des équations elliptiques de Poisson.

4. Génération du volume : Ici aussi, la génération

du volume passe par une interpolation

géométrique ou bien par la méthode

différentielle.

La conduite des calculs est contrôlée par une visualisation graphique après chaque étape.

Une fois les grilles de tous les blocs construites, on fait appel à un module de pre-processing

pour rassembler les différentes grilles en une seule grande grille en les arrangeant de la façon

la plus optimale possible suivant la taille et la forme de chaque bloc (en minimisant les zones

1 2

X

Y

Z


75

bloquées), en joignant à chaque bloc les zones de connectivité nécessaires et en y insérant des

zones bloquées entre les sous grilles.

3.10 Description de la version améliorée de FAST-3D La version originale du FAST-3D est destinée pour la résolution de l’écoulement tri-

dimensionnel, incompressible, stationnaire et à frontières complexes. Il présente les

caractéristiques suivantes :

• Utilisation d’un maillage structuré, curvilinaire, non orthogonale de type Body-fitted.

• La grille de calcul est de type non entrelacé, permettant la localisation de toutes les

variables au centre des volumes de contrôles. Cette disposition à l’avantage de simplifier

la pose des conditions aux limites et la programmation, d’économiser l’espace mémoire

ainsi que le temps de calcul. Pour remédier aux oscillations du champ de pression, le code

utilise la technique d’interpolation de Rhie et Chow (1983).

• Les composantes de la vitesse sont rapportées au système de coordonnées cartésiennes.

Cette disposition permet de simplifier la pose des conditions aux limites par rapport à

celle utilisant des composantes alignées au maillage curvilinaire, surtout à l’entrée du

domaine étudié.

• Le couplage pression-vitesse est effectué suivant l’algorithme SIMPLE de Patankar et

Spalding (1972)

• L’approximation des termes de convection peut se faire suivant l’un des quatre schémas

de convection disponibles : HYBRID (Spalding, 1972), QUICK (Leonard, 1979),

SOUCUP (Zhu, 1991) et HLPA (Zhu et Rodi 1991).

• Les équations algébriques discrétisées sont résolues par la méthode SIP (Strongly Implicit

Procedure) (Stone, 1968).

• La turbulence est traitée suivant la version standard du modèle ε−k , et les conditions aux

frontières solides sont traitées par la loi logarithmique de Launder et Spalding (1974).

• Le langage de programmation utilisé est le Fortran à haut degré de vectorisation.

• Le programme ne comporte aucun module de pre- ou post-processing.

Le programme est composé d’une centaine de subroutine compilé en projet, et divisé en deux

groupes distincts comme le montre clairement la figure (III-5) :


76

Figure III-5 : Processus du calcul du FAST3D, Zhu, 1992.

• Les routines indépendantes sont générales et ne doivent pas être changées.

• Les routines dépendantes doivent être adaptées pour chaque configuration étudiée.

Plusieurs améliorations ont été introduites précédemment par G. Theodoridis et D. Lakehal, et

récemment par A. Azzi (2001a), notamment, quelques opérations de pré-processing en

relation avec la méthode multibloc, les schémas de convection à limiteur et une contribution

dans la mise au point des modèles EASM de turbulence et de l'approche bi-couche. En plus

des caractéristiques propres au FAST-3D, la nouvelle version est dotée des particularités

suivantes :

• L’utilisation de la méthode multibloc.

• L’utilisation de l’algorithme SIMPLEC de Van Doormal et Raithby (1984).

• L’intégration de plusieurs nouveaux schémas de convection à haute précision et à limiteur.

• L’implémentation de la modification anisotropique de Bergeles (1978) ainsi que celle

relative à la zone bi-couche.

• L’implémentation de nouveaux modèles de turbulence de type EASM.

• L'implémentation de la technique bi-couche en TLK et TLV.

• La considération de la compressibilité du fluide ainsi que l’état non stationnaire.

• L’introduction de nouveaux types de conditions aux limites pour la température.

CHAPITRE IV. Validation de l'outil de calcul

77

Chapitre IV

Validation de l'outil de calcul

4.1 Introduction

La prédiction numérique des écoulements et du transfert de chaleur, communément connue

sous le nom de CFD (Computational Fluid Dynamics), devient de plus en plus acceptable

dans le monde de l’engineering comme moyen d'aide à l'optimisation et au contrôle des

écoulements. Cela est bien sur dû au grand essor de l’informatique mais surtout au

développement spectaculaire des méthodes numériques et de la maîtrise des erreurs

introduites par cette technique.

En effet, les erreurs des prédictions numériques peuvent être classées en trois grands groupes

comme l’a présenté avec détail Jasak (1998 ) dans ces travaux.

• Erreur due au modèle mathématique, définie comme la différence entre la

physique de l'écoulement et la solution exacte du modèle mathématique censé la

décrire. Ce type d'erreur n'apparaît donc pas dans le cas ou l'écoulement est

laminaire. Les équations de Navier-Stokes lui sont suffisantes. Dans le cas d'un

écoulement turbulent ou réactif, c'est précisément l'introduction du modèle

mathématique qui est à la source de ces erreurs.

• Le deuxième groupe d’erreurs est lié aux méthodes numériques utilisées pour

la résolution du modèle mathématique qui est formé de plusieurs équations aux

dérivées partielles non linéaires et fortement couplées. C’est donc la différence entre

la solution exacte du modèle mathématique et la solution du système d’équations

algébriques issues de la discrétisation des équations originales. Ce type d’erreur est

lié d’un coté aux schémas de discrétisation et d’un autre coté à la discrétisation

spatiale et temporelle du domaine de calcul.

• Le système d’équations algébriques obtenu est généralement résolu en

utilisant un algorithme itératif. La différence entre la solution exacte du système et

la solution convergente de la méthode itérative est considérée comme le troisième

type d’erreur. Evidement cette erreur est maîtrisée par un critère de convergence

établi par l’utilisateur en fonction de la précision désirée.


78

Il est clair maintenant que les deux premiers groupes d’erreur nécessitent une calibration

assez précise avant acceptation d’une solution numérique. La validation de l'outil de calcul

sera donc faite dans ce chapitre en deux étapes : La première vérifie les erreurs liées à la

manière de discretiser le domaine de calcul et les schémas de convection adoptés et la

seconde contrôle les performances des modèles de turbulence utilisés.

4.2 Erreurs de discrétisations

4.2.1 Etude de la qualité du maillage La version originale du code utilisé dans cette étude, comporte comme beaucoup d’autres

codes des expressions de schémas de convection formulées pour un maillage uniforme. Ainsi,

le but de cette étude est de montrer que les schémas QUICK de Leonard (1979), et HLPA de

Zhu (1991), tels qu’ils sont implementés dans FAST3D, présentent des niveaux de précision

dépendant de la nature du maillage utilisé (uniforme ou non uniforme).

Le cas-test sélectionné est le ‘2-d lid-driven cavity, laminar’. Cette configuration est très

documentée et a été déjà utilisée pour développer des schémas numériques à haute précision

(Shreiber and Keller, 1983 ; Huang et al. 1985 ; Theodoridis, 1993). Nous avons utilisé trois

grilles uniformes ayant ( )2222× , ( )4242× et ( )8282× nœuds, qu’on a noté Grid1U,

Grid2U et Grid3U respectivement. Trois autres grilles de même taille mais non uniformes,

notées Gird1NU, Grid2NU et Grid3NU sont générées en raffinant le maillage à partir du

centre de la cavité vers les parois par un coefficient 1,2. Les coefficients de relaxation utilisés

sont de 0.8 pour les équations de quantité de mouvement et de 0.3 pour la correction de la

pression.

Maillage Uniforme

Sur la figure (IV-1), est représenté un schéma du cas-test étudié avec ses conditions aux

limites et son système de coordonnées. La grille de calcul Grid2NU est représentée sur la

figure (IV-2).

Pour ce premier test, 12 cas ont été calculés correspondants aux quatre schémas du FAST3D

et les trois grilles (Grid1U, Grid2U et Grid3U). Les figures (IV-3), (IV-4), (IV-5) et (IV-6)

représentent la distribution de la composante vitesse U à la position x/D = 0.5 comparée aux

mesures expérimentales de Schreiber et Keller (1983) pour les quatre schémas disponibles


79

que sont HYBRID de Spalding (1972), QUICK de Leonard (1979), SOUCUP de Zhu (1991) et

HLPA de Zhu (1991).

Bien que l’indépendance numérique vis à vis du maillage n’est atteinte pour aucun des

schémas utilisés, la supériorité des schémas QUICK et HLPA (second ordre) est bien évidente.

Pour la même densité de grille de calcul les résultats du schéma QUICK sont plus proche des

mesures expérimentales que ceux obtenus par le schéma HYBRID. On note aussi que les

calculs effectués avec les schémas QUICK et HLPA ( )8282× adhérent exactement aux

mesures expérimentales.

En comparant la figure (IV-6) à la figure (IV-3), il est clair que les prédictions numériques

obtenues par le schéma QUICK ( )4242× sont plus proches des mesures expérimentales que

ceux obtenus par le schéma HYBRID ( )8282× . Ce qui confirme qu'on peut avoir plus de

précision avec un schéma de second ordre et un maillage grossier qu'avec un schéma d'ordre 1

et une grille plus dense.

Maillage Non Uniforme

Les mêmes cas ont été calculés pour un maillage non uniforme. Les figures (IV-7), (IV-8),

(IV-9) et (IV-10) représentent la distribution de la composante vitesse U à la position x/D =

0.5 comparée aux résultats expérimentaux de Schreiber et Keller (1983), pour les mêmes

schémas disponibles, à savoir HYBRID, QUICK, SOUCUP et HLPA.

Ici l’indépendance numérique de la grille de calcul est atteinte pour tous les schémas à

Grid2NU. La supériorité des deux schémas QUICK et HLPA par rapport aux deux autres est

toujours vérifiée, mais comparés aux résultats du maillage uniforme une nette détérioration

des résultats est sensible. L'examen des figures (IV-7) et (IV-8), indiquent bien que même en

utilisant des grilles de calcul denses, les prédictions numériques sont assez éloignées des

mesures expérimentales. Les résultats numériques des deux schémas HLPA et QUICK avec le

maillage grossier Grid1NU ( )2222× présentent même une légère supériorité sur ceux du

schéma HYBRID avec Grid3NU ( )8282× , plus spécialement dans la moitié supérieure des

courbes. Ces tests confirment la supériorité des schémas de second ordre par rapport à ceux

du premier ordre.

Sur la figure (IV-11), sont représentés les résultats obtenus pour le schéma QUICK avec les

deux grilles Grid3U et Grid3NU. Les résultats de la grille Grid3U Uniforme sont nettement


80

meilleurs que ceux de Grid3NU. Les mêmes conclusions sont obtenues de la figure (IV-12)

pour le schéma HLPA. Alors que les courbes correspondantes à la grille uniforme sont

exactement superposées sur les résultats expérimentaux, ceux de la grille non uniforme

présentent des erreurs qui sont plus accentuées pour le schéma HLPA que pour le QUICK.

En conclusion, nous pouvons dire que le schéma QUICK (seconde ordre pour un maillage

uniforme) implementé dans FAST3D, en se basant sur une formulation de maillage uniforme,

devient moins précis pour un maillage non uniforme. La détérioration de la précision est plus

accentuée pour le HLPA que pour le QUICK. Ainsi le FAST3D tel qu’il est structuré donne

une bonne précision seulement pour un maillage uniforme. Dans le cas où l’utilisation d’un

maillage non uniforme serait nécessaire, ce qui est pratiquement toujours le cas, il est

fortement conseillé l’usage d’un coefficient de raffinement (streching) très proche de 1.


81

0 10

1U

Y

X

WallWall

Wall

Figure (IV-1) : 2D Lid-driven Cavité

Figure (IV-2) : Grille de calcul non uniforme,

Grid2NU

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Hybrid

Schre iber & Keller, 1983 Gr id1u Gr id2u Gr id3u

y/D

U/U0

Figure (IV-3) : Schéma Hybrid avec maillage

uniforme

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Soucup

Schreiber & Keller, 1983 Grid1u Grid2u Grid3u

y/D

U/U0

Figure (IV-4) : Schéma Soucup avec maillage

uniforme

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Hlpa


y/D

U/U0

Figure (IV-5) : Schéma Hlpa avec maillage

uniforme

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Quick


y/D

U/U0

Figure (6 IV-) : Schéma Quick avec maillage

uniforme


82

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Hybrid

Schreiber & Keller, 1983 Grid1 nu Grid2 nu Grid3 nu

y/D

U/U0

Figure (IV-7) : Schéma Hybrid avec maillage non

uniforme

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Soucup


y/D

U/U0

Figure (IV-8) : Schéma Soucup avec maillage non

uniforme

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Hlpa


y/D

U/U0

Figure (IV-9) : Schéma Hlpa avec maillage non

uniforme

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Quick


y/D

U/U0

Figure (IV-10) : Schéma Quick avec maillage non

uniforme

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

QUICK

Schreiber & Keller, 1983 Grid3 U Grid3 NU

y/D

U/U0

Figure (IV-11) : Schéma Quick avec maillage

uniforme et non uniforme

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

HLPA

Schreiber & Keller, 1983 Grid3 U Grid3 NU

y/D

U/U0

Figure (IV-12) : Schéma Hlpa avec maillage

uniforme et non uniforme


83

4.2.2 Etude des schémas de convection Dans cette partie, nous allons vérifier la précision des quatre schémas disponibles dans

FAST3D, ensuite les six schémas non limités (unbounded) de la routine coeff7, et enfin les

cinq schémas à limiteurs (bounded) de la routine coeff6 (voir le chapitre III pour les routines

coeff6 et coeff7). Ces derniers schémas ont été implementés dans la nouvelle version du code.

Pour se limiter au seul phénomène de convection, nous considérons un cas de pure convection

d'un scalaire φ , sans diffusion et sans source.

L'équation correspondante s'écrit :

( ) .0.. =φGradU (IV-1)

Pour tester le cas défavorable où la direction de l’écoulement ne coïncide pas avec la direction

du maillage, l’angle entre la direction de la vitesse et l'axe horizontal est fixé à 30°. Sur la

figure (IV-13), sont représentés le domaine de calcul, la direction de la vitesse, les conditions

aux limites et la solution exacte du premier test (la marche).

0 10

1

U

φ=1

φ=0

30°

entré

entré

sortie

sortie

Figure (IV-13) : Cas test des schémas de convection : Profil de la marche

Pour écarter les erreurs induites par la non uniformité du maillage cités dans le paragraphe

précédent, nous avons choisis un maillage uniforme constitué de 3030× volumes de contrôle.

En s'inspirant de l’étude exhaustive menée par Jasak (1998), nous avons sélectionné trois test

représentatifs. Le but est de vérifier le comportement des schémas de convection dans ces

différentes situations.


84

Les conditions à l’entrée de Leonard (1991), citées par Jasak (1998), s’écrivent :

• Test 1 : Profil de la marche :

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤

<≤=

,1611

,6100

xfor

xforxφ (IV-2)

• Test 2 : Profil Sin2 :

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧<≤⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

,0

,21

61

613sin 2

autrement

xforxx

πφ (IV-3)

• Test 3 : Profil Semi-ellipse :

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧<≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

,0

,21

61

61311

2

autrement

xforxxφ (IV-4)

Profil de la marche La solution de ce cas présente la particularité d'une discontinuité brusque rappelant l'onde de

choc dans les écoulements compressibles. Cette discontinuité dans la solution exacte est un

test assez sévère pour les schémas de convection. Sur la figure 14, sont comparées les

solutions obtenues par les schémas disponibles dans le code FAST3D, comparées à la

solution exacte, alors que sur la figure (IV-15) sont comparées les solutions données par la

routine coeff7 implémentée dans le code. On rappelle que cette routine utilise une formule

universelle permettant de passer d'un schéma à un autre par le choix d'un paramètre. Les

schémas sont tous de second ordre mais sans limiteur. La solution du schéma HYBRID sur la

figure (IV-14) est loin d'être satisfaisante, alors que celles des autres schémas de second ordre

est plus près de la solution exacte mais présente des imperfections des deux cotés de la

discontinuité. Exception faite pour le schéma HLPA, qui est limité suivant la technique de la

variable normalisée. La figure (IV-16), présente les solutions obtenues par les mêmes

schémas mais en introduisant un limiteur (coeff6, chapitre III). L'introduction du limiteur

permet de garder la précision des schémas de second ordre tout en éliminant l'imperfection de

la figure (IV-15).

Enfin, pour permettre une comparaison directe nous avons rassemblé sur la figure (IV-17) le

schéma QUICK avec et sans limiteur (TVD) et le schéma HLPA (limiteur NVA). La

comparaison de ces schémas avec la solution exacte indique clairement l'avantage de


85

l'utilisation du limiteur pour ce cas test. Le schéma QUICK avec limiteur présente une légère

supériorité sur le schéma HLPA.

Profil Sin2 L’objectif de ce cas est de vérifier le comportement des différents schémas de convection

dans une situation où la solution exacte présente un changement progressif passant par un

maximum. Ce test est motivé par le fait que les limiteurs associés aux schémas de convection

forcent ces derniers à une précision d'ordre 1 lorsqu'il y' a changement de direction (maximum

ou minimum). Notre but est de mettre en évidence ce point précis qui est considéré comme

l'inconvénient majeur des schémas à limiteurs. Les solutions numériques comparées à la

solution exacte sont représentées sur les figures (IV-18), (IV-19), (IV-20) et (IV-21). Celles

ci sont construites suivant la même stratégie du test précèdent. C'est à dire que la figure (IV-

18) montre la précision limitée du schéma HYBRID et les oscillations indésirables du schéma

QUICK. Sur la figure (IV-19), on aboutit aux mêmes observations précédentes pour les

schémas d'ordre deux sans limiteurs alors que sur la figure (IV-20) l'introduction des limiteurs

empêche la solution de chevaucher hors des limites naturelles du problème. Le prix à payer

est bien sur une faible précision au environ du maximum. La figure (IV-21) montre clairement

que le schéma QUICK avec limiteur est plus performant dans la zone de changement de

direction alors qu'il est moins bon que le QUICK sans limiteurs au environ du maximum.

Profil Semi-ellipse Ce test diffère du précèdent par le fait que la solution change brusquement alors que le

maximum n'est pas très marqué. Dans le test précèdent le changement était progressif et le

maximum bien marqué (sous forme de pic). Les résultats sont représentés sur les figures (IV-

22), (IV-23), (IV-24) et (IV-25) et les mêmes conclusions du test précèdent sont valables pour

celui-ci. La différence est que l'absence du pic a fait que le schéma QUICK avec limiteur

donne les meilleurs résultats puisqu'il n'est plus confronté à un maximum très marqué de la

solution.

Pour estimer l'effort de calcul supplémentaire introduit par l'adoption des limiteurs, nous

avons reporté sur le tableau (IV-1) le nombre d'itérations nécessaires pour réaliser un résidu

maximum de 10-5, le temps de calcul global et le temps moyen consommé par chaque

itération sur une machine scalaire de type PC 333 Mhz. La première remarque obtenue du


86

tableau est bien sur le nombre excessif d'itérations (575) nécessaires pour le schéma CDS avec

un temps globale de 23 secondes. Bien que le temps alloué à chaque itération pour ce schéma

est seulement de 0.04 seconde. La comparaison entre les schémas originaux du code et la

routine coeff7 que nous avons implémenté montre la supériorité de cette dernière en temps de

calcul nécessaire. Le schéma QUICK original nécessite 0.089 secondes alors que le nôtre ne

prend que 0.076, ce qui donne pour ce cas une différence d'une seconde dans le temps global

du calcul. L'examen de la dernière partie du tableau révèle que l'introduction des limiteurs

n'apporte aucune complication supplémentaire puisque le temps global de convergence reste

pratiquement dans les mêmes limites.

En conclusion l’étude présentée ci-dessus, montre que l'adoption des limiteurs ne peut être

que bénéfique, puisqu'elle permet de se débarrasser définitivement des oscillations

indésirables lors des changements brusques de la solution. Cette particularité bien précieuse

permet l'application des schémas à haute précision aux équations très sensibles de la

turbulence. Nous avons montré aussi que la faible précision des schémas d'ordre 1 les écartent

systématiquement de toute simulation raisonnable. Parmi les schémas essayés dans cette

étude, le schéma à haute précision QUICK avec limiteur s’est avéré le meilleur de tous et sera

par conséquent utilisé par défaut dans tout ce qui suit.

Tableau (IV-1). Nombre d’itérations et temps de calcul

Schémas du Fast3d HYBRID QUICK SOUCUP HLPA Nombre d’itérations 62 79 62 53

Temps [Sec] 8 7 6 6 Temps moyen par itération [Sec] 0.129 0.089 0.097 0.113

Schémas de haute précision de la routine,

coeff7 CUI CHAKRAVA

RTHY-1 LUDS CHAKRAVA

RTHY-2 QUICK CDS

Nombre d’itérations 70 60 54 55 79 575 Temps [Sec] 6 5 5 5 6 23

Temps moyen par itération [Sec] 0.086 0.083 0.093 0.091 0.076 0.040

Schémas à limiteurs, coeff6 CUI CHAKRAVARTHY-1 LUDS CHAKRAVARTHY-2 QUICK Nombre d’itérations 66 68 82 65 68

Temps [Sec] 5 6 6 5 5 Temps moyen par itération [Sec] 0.076 0.088 0.073 0.077 0.074


87

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

Exact Hybrid Quick Soucup Hlpa

φ(x)

X

Figure (IV-14) : Profil de la marche : schémas du code Fast3D

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

Exact CDS CUI Chakravarty-1 Luds Chakravarty-2 Quick

φ(x)

X

Figure (IV-15) : Profil de la marche, schémas sans limiteurs (coeff7)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Exact CUI Chakravarty-1 Luds Chakravarty-2 Quick

φ(x)

X

Figure (IV-16) : Profil de la marche, schémas avec limiteurs, (coeff6)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

Exact Quick Hlpa Quick avec limiteur

φ(x)

X

Figure (IV-17) : Profil de la marche

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Exact Hybrid Quick Soucup Hlpa

φ(x)

X

Figure (IV-18) : Profil Sin2 , schémas du code Fast3D

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Exact Cds Cui Chakravarty-1 Luds Chakravarty-2 Quick

φ(x)

X

Figure (IV-19) : Profil Sin2, schémas sans limiteurs (coeff7)


88

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Bounded Schemes Exact Cui Chakravarty-1 Luds Chakravarty-2 Quick

φ(x)

X

Figure (IV-20) : Profil Sin2, schémas avec limiteurs, (coeff6)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Exact Quick Hlpa Quick avec limiteur

φ(x)

X

Figure (IV-21) : Profil Sin2

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Exact Hybrid Quick Soucup Hlpaφ(

x)

X

Figure (IV-22) : Profil Semi-ellipse, schémas du code Fast3D

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

Exact Cds Cui Chakravarty-1 Luds Chakravarty-2 Quick

φ(x)

X

Figure (IV-23) : Profil Semi-ellipse, schémas sans limiteurs (coeff7)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Bounded Schemes

Exact Cui Chakravarty-1 Luds Chakravarty-2 Quick

φ(x)

X

Figure (IV-24) : Profil Semi-ellipse, schémas avec limiteurs, (coeff6)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 Exact Quick Hlpa Quick avec limiteur

φ(x)

X

Figure (IV-25) : Profil Semi-ellipse


89

4.3 Erreurs de modélisation Pour valider les modèles de turbulence adoptés, nous avons procédé aux essais suivants :

L'écoulement turbulent complètement développé entre deux plaques parallèles et l'écoulement

turbulent sur une marche descendante. Ces deux écoulements font intervenir des phénomènes

assez importants et diversifiés leurs attribuants le statut de cas test largement utilisés pour la

validation des codes de calcul.

4.3.1 Simulation de l’écoulement turbulent pleinement développé entre deux plaques parallèles En dépit de sa simplicité géométrique, l’écoulement turbulent pleinement développé dans un

canal bi-dimensionnel est un cas-test très important. C'est par excellence le cas idéal pour

calibrer la modélisation de la turbulence près des parois solides. La validation est

considérablement facilitée par la disponibilité de beaucoup de mesures expérimentales et de

calculs DNS aussi claires que complètes. L’écoulement en question présente donc un très bon

exemple pour montrer les limites des modèles basés sur l’hypothèse de la viscosité turbulente

tel que la version standard du modèle k-ε.. En effet, ce type de modèles complètement

isotropes est incapable de marquer la différence entre les contraintes normales et de

cisaillement de Reynolds. Le cas-test est aussi un bon moyen pour montrer les limites du

traitement classique des conditions aux limites avec la technique ''loi de la paroi''. L’utilisation

d’un modèle à une seule équation pour résoudre la sous couche visqueuse est plus appropriée

pour la capture des quantités turbulentes près des parois solides, tout en étant raisonnable vis a

vis de la densité du maillage nécessaire (10 à 15 nœuds au lieu de 25 à 30 pour les modèles

purement à bas nombre de Reynolds). Le fait que l'échelle de longueur demeure constante

près de la paroi solide, rend ce type de modèles plus appropriés pour les cas de gradient de

pression défavorable que les modèles purs k-ε à bas nombre de Reynolds. Notons aussi que la

bonne prédiction des quantités turbulentes dans cette partie critique de l’écoulement est

indispensable pour la justesse du calcul du champ thermique associé.


90

Dans ce cas bien précis le seul gradient de vitesse qui existe est yU ∂∂ . Par conséquent, les

termes non linéaires dans les modèles EASM n’ont plus d'influence et la principale

amélioration de ces modèles est attribuée principalement aux expressions évoluées de µC et

au traitement près de la paroi solide.

L’un des plus importants paramètres dans ce cas est le coefficient de frottement, qui est

formulé par Dean (1978) comme suit : 41073.0 −= ReC f .

Pour la validation de nos calculs, nous avons choisi deux cas avec différent nombre de

Reynolds (Re=6666 et Re=13750) et dont les résultats DNS sont disponibles dans la

littérature.

Le premier cas-test est celui de Gilbert et Kleiser (1993) ayant les caractéristiques suivantes :

Test Case: Fully Developed 2-D Channel Flow

Code Number: CH12__PG.WL5 Date of Release: December, 1993

Computors: N. Gilbert and L. Kleiser Institute of Fluid Mechanics German Aerospace

Research Establishment (DLR) Bunsenstrasse 10 D-37073 Goettingen, Germany

Flow conditions

Re_tau = delta*u_tau/nu = 211

Re_m = 2*delta*Um/nu = 6666 The data presented here are non-dimensionalized by the wall variables, i.e., u_tau and nu.

Les fichiers des résultats DNS sont disponibles à l’adresse électronique suivante :

http://www.thtlab.t.u-tokyo.ac.jp/

Le deuxième cas est celui de Kim et al. (1987), basé sur un nombre de Reynolds relativement

élevé par rapport au précédent (Re=13750). Les calculs DNS de Kim et al, ont été vérifiés

expérimentalement plus tard par Nishino et Kasagi (1989) en utilisant la méthode dite (three-

dimensional particle tracking velocimeter measurements).

Les modèles de turbulences appliqués sont :

• La version standard du modèle k-ε à haut nombre de Reynolds.

• Les deux modèles algébriques de type EASM (Explicit Algebraic Stress Model) de Shih et

al. (1993 et 1995) où le développement des composantes du tenseur de Reynolds est limité

aux termes quadratiques.


91

• Le modèle de Craft et al., (1996) qui est aussi de type EASM mais comportant les termes

quadratiques et cubiques.

• Le modèle de Lien et al. (1996) de même nature que le précèdent.

• Le modèle de Gatski et Speziale (1993) modifié par Lakehal et Thiele (1999), de type

EASM quadratique.

Ces modèles seront notés respectivement SKE, S93, S95, LCL, CLS et GLT.

Le traitement des parois solides est réalisé en plus du traitement classique ''loi de paroi'', selon

une méthode bi-couches à bas nombre de Reynolds. Les deux variantes du modèle de Rodi

(1991 et 1993) sont appliquées à ce cas test, et sont notés TLK et TLV respectivement.

Les expressions de ces modèles sont développées dans le chapitre II consacré aux modèles

mathématiques.

Afin d’assurer le caractère complètement développé de l’écoulement, le domaine de calcul

utilisé dans cette étude est élargi jusqu’à 30 fois la distance entre les deux plaques. Une large

étude de sensibilité des résultats à la taille de la grille de calcul a mené à l’adoption de 221 et

101 points dans les directions longitudinales et transversales respectivement.

Les autres conditions sont :

La vitesse débitante moyenne et fixée à sec/5 mU m = , la moitié de la distance entre les deux

plaques m5.0=δ , la masse volumique 2.1=ρ et la viscosité dynamique est calculé suivant

le nombre de Reynolds par µδρ 2Re mU= . A l’entrée du canal, l’intensité de la turbulence

a été fixée à 5% et la viscosité turbulente vaut 50 fois la viscosité laminaire. Le tableau (IV-

2), représente les prédictions numériques du coefficient de frottement comparées aux valeurs

empiriques de Dean (1978). L’examen des valeurs ci-dessous montre qu’il y a une légère

surestimation de ce coefficient et que l’approche TLK semble être plus appropriée pour la

prédiction de ce coefficient.

Tableau. (IV-2). Comparaison du Coefficient de frottement pour un écoulement turbulent pleinement développé dans un canal 2D.

RE Exp. SKE-WF SKE S93 S95 GLT LCL CLS

0.0090 0.0086 0.0085 0.0086 0.0087 0.0087 TLK GK92

6666

0.0080 0.0073

0.0090 0.0091 0.0086 0.0092 0.0073 0.0093 TLV

0.0067 0.0067 0.0064 0.0068 0.0068 0.0071 TLK KM87

13750

0.0067

0.0073 0.0072 0.0067 0.0074 0.0074 0.0073 TLV


92

Sur les figures (IV-26a, b, c et d) sont présentés les résultats de nos calculs comparés aux

résultats du calcul DNS de Gilbert & Kleiser (1993). La comparaison est faite respectivement

pour les grandeurs suivantes : tensions croisées de Reynolds, énergie cinétique de turbulence,

sa dissipation et les tensions normales de la turbulence. Nos résultats concernent le modèle

standard k-ε couplé à une procédure de loi logarithmique de la paroi ainsi que les deux

variantes du modèle bi-couches notés TLK et TLV. On rappelle que ce dernier modèle est basé

sur une distribution de la composante normale de fluctuation de la vitesse 'ν basée sur les

résultats DNS de Kim et al. (1987).

On note tout d'abord sur la figure (IV-26a) que jusqu'à environ ( )200=+y , les tensions

croisées de la turbulence sont parfaitement reproduit par les deux modèles TLK et TLV.

Cependant, le pic de +k est bien capter par le modèle TLV, alors qu(il est sous-estimé par le

modèle TLK, figure (IV-26b). Cette défaillance est une conséquence directe de la

surestimation de +ε enregistrée au environ de l'endroit où +k atteint son maximum. On note

aussi sur la figure (IV-26c) que le modèle TLK se comporte de la même manière que les

autres modèles à bas nombre de Reynolds en sous estimant sensiblement la valeur maximale

de +ε près de la paroi solide. La défaillance des modèles basés sur la théorie de la viscosité

turbulente à séparer les composantes normales de Reynolds est bien évidente sur la figure

(IV-26d).

1 10 1000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-uv/Uτ2

y+

DNS GK93 SKE-WF SKE-TLK SKE-TLV

( a ) Profil des tensions turbulentes croisées.

0 50 100 150 2000

1

2

3

4

5k+

y+


( b ) Profil de l’énergie turbulente.


93

1 10 1000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

ε / (Uτ4/µ)

y+


( c ) Profil de la dissipation de l’énergie turbulente.

1 10 1000

1

2

3

u rm

s/Uτ

v rm

s/Uτ

wrm

s/Uτ

y+

Symbols DNS GK93 SKE-WF SKE-TLK SKE-TLV

( d ) Profils des tensions turbulentes normales.

Figure (IV-26) : Ecoulement turbulent complètement développé entre deux plaques parallèles, Re= 6666, DNS ( Gilbert & Kleiser, 1992)

Une sélection des résultats issus du test des modèles algébriques est représentée par les

figures (IV-27a, b, c et d). La comparaison concerne les composantes normales de la

turbulence du modèle quadratique GS/LT ainsi que le modèle cubique CLS. Les résultats des

deux approches TLK et TLV sont comparés au calcul DNS. L'examen de ces figures met en

évidence l'aptitude de l'ensemble des modèles algébriques à séparer les différentes

composantes du tenseur de Reynolds, sans toutefois égaler celle faite par le calcul DNS. Il est

claire aussi que les résultats issus de l'approche TLV sont meilleurs que ceux de TLK et que le

modèle quadratique GS/LT l'emporte sur le CLS. Ce dernier ainsi que les autres modèles

algébriques (non représentés) ne séparent pas assez les composantes normales ( )+v et latérales

( )+w par rapport à la paroi solide.

1 10 1000

1

2

3

y+

u rm

s/Uτ

v rms/U

τ w

rms/U

τ

Symbols: DNS GK93Lines : GLT-TLK

( a )

1 10 1000

1

2

3

y+

u rm

s/Uτ

v rms/U

τ w r

ms/U

τ

Symbols: DNS GK93Lines : GLT-TLV

( b )


94

1 10 1000

1

2

3

y+

u rm

s/Uτ

v rms/U

τ w

rms/U

τ

Symbols: DNS GK93Lines : CLS-TLK

( c )

1 10 1000

1

2

3

y+

u rms/U

τ v rm

s/Uτ

w rm

s/Uτ

Symbols: DNS GK93Lines : CLS-TLV

( d )

Figure (IV-27) : Ecoulement turbulent complètement développé entre deux plaques parallèles, Re= 6666, DNS( Gilbert & Kleiser, 1992)

Bien que la reproduction exacte de ces composantes n'est par primordiale pour un écoulement

attaché comme celui de notre test, elle est très appréciée dans le cas d'écoulements

secondaires (vortex). A l'issue de ce test, nous pouvons dire que l'utilisation d'un modèle non-

linéaire à deux équations couplé à un modèle non-linéaire à une équation dans la zone affectée

par la viscosité, peut constitué une alternative assez robuste et concurrente aux procédures

purement à bas nombre de Reynolds.

La confrontation des résultats issus de notre test sur le cas de Kim et al. (1987) aux calculs

DNS est légèrement meilleure que celle enregistrée pour le cas test précèdent. Ceci est dû

sûrement au fait que le nombre de Reynolds (Re =13750) de ce cas est plus élevé que celui de

Gilbert & Kleiser (1993). Les conclusions qu'ont pourrait tirées de ces résultats sont similaires

à ceux du cas test procèdent, ainsi nous avons choisis de ne pas encombrer ce mémoire par

d'autres figures.

4.3.2. Simulation de l’écoulement turbulent sur une Marche descendante (turbulent backward facing step flow) Cette configuration est le cas-test le plus utilisé pour la validation des codes de calcul et plus

spécialement les modèles de turbulence. Il a été codifié sous le numéro 0421, lors de la

classification des cas-test à la conférence de Stanford sur les écoulements turbulents en 1981

(Nallasamy, 1987).


95

Bien que la configuration géométrique d’un tel écoulement semble être assez simple,

l’écoulement est en effet très complexe puisqu’il est associé à des phénomènes physiques tel

que le décollement de la couche limite, son ré-attachement, un gradient de pression inverse

accompagné d’un bulbe de recirculation et la courbature des lignes de courant. Tous ces

phénomènes doivent être captés et estimés avec justesse, ce qui rend ce cas particulièrement

difficile à modéliser numériquement.

La première configuration testée dans cette étude est celle étudiée expérimentalement par Kim

et al. (1978) et numériquement par Shih et al. (1993) et (1995). Elle sera dorénavant notée cas

KK78. Notre choix pour cette configuration est motivé par le fait qu'elle a été choisie par Shih

et al. (1993) et (1995) lors de la présentation de leur modèles EASM. La validation par ce cas

sera pour nous une assurance de la bonne implémetation du modèle dans notre code de calcul.

La deuxième configuration est celle étudiée par Lee and Moin (1992). Elle correspond à un

cas de faible nombre de Reynolds (Re = 5100) où les résultats détaillés obtenus par la

méthode DNS sont disponibles sur le réseau Internet. Elle sera notée cas LM92.

La figure (IV-30) associée au tableau (IV-3) résument tous les paramètres des deux cas test.

Figure (IV-30) : Géométrie de la marche descendante.

Tableau (IV-3) : Paramètres du cas test de la marche descendante.

Cas Re δ Ls Le Hs Hd Uref

KK78 44737 0.6 10 40 1 2 1 LM9 5100 - 3 27 1 5 1

Cas KK78

Le Ls

Hs

Hd y

0

P i l KK78 t ét i l


96

Ce cas a été étudié numériquement à deux reprises par le même groupe de chercheurs (Shih et

al., 1993) et (Shih et al., 1995) avec deux modèles de type EASM que nous avons repris dans

notre étude et qui sont notés SZL93 et SZL95 respectivement (voir le chapitre II). Un profil de

vitesse suivant une fonction puissance d’ordre 6 avec épaisseur de la couche limite

δ mentionnée au tableau (IV-3) est appliqué à l’entrée du domaine de calcul. Comme nous ne

disposons pas des profils de k et ε à l’entrée, nous avons appliqué une intensité de

turbulence de l’ordre de 5% et une dissipation de l’énergie cinétique turbulente ε selon la loi

LkC 2343µε = . Où ( )δ085.0,41.0min yL ∆= et y∆ est la distance entre le point de calcul et

la paroi solide. Ces deux expressions ont été utilisées par Shih et al, (1993) et (1995).

La taille du maillage utilisé pour cette configuration est inspirée de l’étude numérique

conduite par Shih et al. (1993), où l’étude de sensibilité numérique a montré que les résultats

obtenus par la grille fine se composant de 92200 × volumes de contrôles dans les directions x

et y respectivement, sont numériquement indépendants de la taille de la grille de calcul.

Pour ce cas nous ne disposons que de la longueur de ré-attachement qui est d'ailleurs un

important paramètre de validation pour le cas de la marche descendante. Le tableau (IV-4)

présente cette longueur, calculée par les différents modèles de turbulence considérés par la

présente étude, comparée aux valeurs expérimentales ainsi que celles calculées par Shih et al.

(1993) et Obi et al. (1989) avec un modèle de type RSM.

La première constatation qui constitue pour nous une assurance de la bonne implémentation

du modèle S93 et S95 dans le code de calcul, montre la correspondance des résultats obtenus

par cette étude (''loi de paroi'') avec ceux obtenus par Shih et al. (1993) et (1995) (toujours en

''loi de paroi''). Le code de calcul original étant le même, la très faible différence est sûrement

due aux conditions à l’entrée qui sont légèrement différentes puisque nous ne disposons pas

des profils à l’entrée contrairement à Shih et al. (1993). Un autre facteur d’influence sera peut

être le taux de raffinement du maillage adopté pour les deux calculs.

Les résultats du tableau (IV-4) montrent clairement la nette amélioration apportée par les

modèles EASM par rapport à la version standard du modèle ε−k et aussi l’avantage d’une

approche type bi-couche. Il est mentionné par Shih et al. (1993) que cette amélioration est due

principalement à l’expression évoluée de µC et que l’anisotropie du modèle ne joue qu’un

rôle marginal dans un tel cas-test.

Tableau (IV-4) : Longueurs de ré-attachement du cas test KK78 de la marche descendante.

Exp, KK78 SKE de Shih et al. 1993 SZL93 de Shih et al. 1993

SZL95 de Shih et al. 1995

RSM de Obi et al. 1989


97

7± 0.5 6.35 7.35 7.27 6.44

Exp, KK78 SKE-TLK SZL93-TLK SZL95-TLK GLT-TLK LCL-TLK 7± 0.5 6.21 7.48 6.98 6.67 7.15

Cas LM92 Notre choix pour cette configuration est motivé par le fait de disposer de fichiers complets des

profils de toutes les variables du cas dans différentes stations après la marche, y compris dans

la zone de recirculation. Le cas est aussi caractérisé par son faible nombre de Reynolds. On

note aussi, qu’une condition de symétrie est appliquée à la frontière supérieure de la marche et

qu'on dispose des profils de la vitesse moyenne et l’énergie cinétique turbulente à l’entrée du

domaine de calcul. La dissipation a été calculée en supposant une viscosité turbulente égale à

cinquante fois la viscosité moléculaire ( µµ .50=t ).

L’étude de sensibilité aux maillages basée sur trois grilles différentes a aboutit à un maillage

optimal non uniforme composé de 121191× points suivant les coordonnées x et y

respectivement. Un raffinement du maillage est appliqué au voisinage du coin de la marche

dans les deux directions et aussi près des parois solides.

Les figures (IV-31) et (IV-32) comparent les profils de la vitesse longitudinale, les contraintes

de cisaillement de Reynolds et l'énergie cinétique turbulente en plusieurs positions après la

marche descendante, avant et après le point de ré-attachement. Sur la première figure sont

rassemblés les résultats du modèle SKE, des modèles EASM (SZL93 et SZL95) et ceux de la

méthode DNS de Lee and Moin (1992), et sur la seconde on compare les modèles GLT et

LCL. Les figures (IV-31a) et (IV-32a) montrent la supériorité des modèles EASM à mieux

capter les profils de la vitesse dans la zone de recirculation, spécialement l'écoulement de

retour. Un peu plus loin (x/H>20) tous les profils coïncident avec les résultats DNS.

Conformément à beaucoup d’investigations précédentes (Michelassi, 1996), il a été trouvé

que la version standard du modèle ε−k sur-estime l'énergie cinétique turbulente dans la zone

de recirculation, figures (IV-31c) et (IV-32c). Ces figures montrent aussi que les modèles

EASM reproduisent assez fidèlement un bon niveau de l’énergie cinétique turbulente dans la

zone de recirculation.

L'examen des figures (IV-31c) et (IV-31d) et (IV-32c) et (IV-32d) confirme les constatations

avancées par Nallasamy (1987), qui explique que la sous estimation de la longueur de ré-

attachement est liée à une énergie de turbulence élevée dans la zone de recirculation. La sur-

estimation du niveau des contraintes de cisaillement dans cette zone produit un niveau élevé

de la viscosité turbulente.


98

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

2 4 6 8 10 12 14 16 10 . U + x

y/H

DNS Le & Moin, 1992 SKE-TLK S93-TLK S95-TLK

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 10 . U + x

y/H

( a )

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0 2 4 6

y/H

300 . u'v' + x

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

9 12 15 18

y/H

300 . u'v' + x

( b )

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

4 6 8 10

y/H

100 . k + x

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

9 12 15 18 21

y/H

100 . k + x

( c )

Figure (IV-31) : Ecoulement turbulent sur une marche descendente, Re = 5100. SKE, S93 et S95


99

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

2 4 6 8 10 12 14 16 10 . U + x

y/H

DNS Le & Moin, 1992 SKE-TLK GLT-TLK LCL-TLK

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 10 . U + x

y/H

( a )

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0 2 4 6

y/H

300 . u'v' + x

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

9 12 15 18

y/H

300 . u'v' + x

( b )

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

4 6 8 10

y/H

100 . k + x

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

9 12 15 18 21

y/H

100 . k + x

( c )

Figure (IV-32) : Ecoulement turbulent sur une marche descendente, Re = 5100. SKE, GLT et LCL

CHAPITRE V. Simulation 3D du refroidissement par film

101

Chapitre V

Simulation 3D du refroidissement par film

5.1 Injection sur une plaque plane

5.1.1 Motivations L'équipe du Professeur Ligrani à l’Université de Utah (USA) a menée des recherches

considérables dans le domaine du refroidissement par film. Leurs études expérimentales

portent sur la compréhension des mécanismes physiques qu'impliquent la variation de la

disposition des canaux d'injection. Dans le but de cerner de plus près le phénomène et

concentrer l’étude sur l’interaction du fluide refroidissant avec les gaz émanant de chambre de

combustion, la géométrie du modèle a été simplifiée en la ramenant à une simple plaque

plane. Plus de détails sont disponibles dans les travaux publiés par Ligrani et al. (1992, 1994

et 1995).

5.1.2 Présentation du problème Parmi une multitude de cas testés notre choix s’est porté sur trois configurations géométriques

étudiées expérimentalement par Ligrani et al. (1992, 1994 et 1995). Ces configurations

correspondent à :

• Une seule rangée de trous inclinés d’un angle simple (c’est à dire dans la direction de

l’écoulement principal).

• Deux rangés de trous inclinés d’un angle simple.

• Deux rangés de trous inclinés d’un angle composé (Inclinaison dans la direction de

l’écoulement, et inclinaison latérale).

Elles seront notées cas 1RS, cas 2RS et cas 2RC respectivement.

La géométrie de ces trois configurations est schématisée par la figure (V-1). Chaque partie de

cette figure présente une vue de la surface plane à refroidir (plan x-z). La figure (V-2), montre

une vue en perspective détaillant les différents angles d'inclinaison des trous d'injection. La

projection de l'axe du trou d'injection sur le plan longitudinal (x-y) forme l'angle Ω qui vaut

35° pour toutes les variantes. La projection de l'axe du trou d'injection sur le plan transversal

(z-y) forme l'angle β qui vaut 90° pour les deux premières configurations et 30° pour la

dernière. La vue de dessus montrée à le figure (V-1), présente pour la configuration 3 un


102

angle de déviation de 50.5°, alors que l'inclinaison par rapport à la surface à refroidir sera de

24°. Sur le tableau (V-1) sont représentés toutes les dimensions géométriques des trois

configurations.

( a ) Cas 1RS: Une rangée de trous inclinés d’un angle simple.

( b ) Cas 2RS: Deux rangées de trous inclinés d’un angle simple.

( c ) Cas 2RC: Deux rangées de trous inclinés d’un angle composé. Figure (V-1) : Géométrie des trois cas étudiés

z/d

x/d

6d 3d

Z

X

z/d

x/d

6d

4d

domaine de calcul

Z

X

z/d

x/d

6d

4d

50.5°


103

X

Z

Y

β=30°

Ω=35°

α=50.5°

θ=24°

Projection du troud'injecton sur le plan latéral

Projection du troud'injection sur le planlongitudinal

Figure (V-2) : Détails géométriques de l’inclinaison composée (2RC)

Table (V-1) : Paramètres géométriques des trois configurations

Configuration

α

θ

Ω

β

[ ]mmd

s/d

p/d

Cas1, 1RS

0°

35°

35°

90°

9,45

6

-

Cas2, 2RS

0°

35°

35°

90°

9,45

6

4

Cas3, 2RC

50.5°

24°

35°

30°

9,45

6

4

5.1.3 Domaine de calcul Dans la figure (V-1) l’espacement (p/d) entre les trous dans chaque rangée est de six fois le

diamètre du trou d’injection, alors que l’espace (s/d) entre les deux rangées des 2RS et 2RC

est de quatre fois le diamètre du trou d’injection. Le diamètre nominal du trou d’injection est


104

de 9.45 mm. Comme il est montré sur la figure (V-1), la position longitudinale (x/d) à partir

du bord aval du trou d’injection de la deuxième rangée est utilisée pour représenter la

distribution de l’efficacité de refroidissement et comparer les différentes configurations entre

elles. L’abscisse X indique la distance à partir du centre du trou d’injection de la première

rangée. Le début du domaine de calcul qui correspond à l’entrée de l’écoulement principal est

positionné à 7d en amont du centre du trou d’injection de la première rangée, alors que la

sortie de l’écoulement est à 78d en aval du même point. La hauteur du domaine de calcul est

fixée à 8d et la longueur du trou d’injection est prise égale à 7d, figure (V-3). Les dimensions

géométriques indiquées ont étés fixées après plusieurs tentatives afin de minimiser leurs

influences sur les résultats de la simulation tout en optimisant la taille de la grille de calcul.

X

Y

Z

3 d

8 d

7 d

4 d

Figure (V-3) : Géométrie du domaine de calcul, cas 2RS.

5.1.4 Conditions aux limites En raison de la nature elliptique du problème considéré, des conditions aux limites pour toutes

les variables doivent être définies sur toutes les frontières géométriques du domaine de calcul.

Néanmoins, vu la non compressibilité des fluides considérés, la pression fait exception et sera

extrapolée à partir de l’intérieur du domaine de calcul. Le tableau (V-2) rassemble quelques

paramètres du problème étudié. En s’inspirant de la répétabilité du processus le long des

rangées de trous suivant la direction z, le domaine de calcul est limité par un plan de symétrie

passant par le centre du trou d’injection et un deuxième plan passant par le milieu de la


105

distance entre deux trous de la même rangée pour le cas 1RS et 2RS. Alors que pour le cas

2RC et à cause de l’injection composée, deux plans de périodicités sont positionnés comme le

montre la figure (V-1).

Table (V-2) : Paramètres des différentes simulations [ ]smU /∞

ρ [ ]3/ mkg

µ

∞Tu

δ /d

∞ρρc

M

10.0

1.2

1.8 10-5

5 %

1.03

1

0.5, 1.0 & 1.5

A l’entrée du domaine de calcul, un profil de vitesse inspiré des données expérimentales de

Ligrani et al. (1992) est imposé. Il correspond à une vitesse débitante moyenne de 10m/s et

une épaisseur de couche limite d’environ 1d. Les profiles de k et ε sont spécifiés en utilisant

une distribution uniforme correspondante à une intensité de turbulence de 5 % et un rapport

entre la viscosité turbulente et moléculaire de 50. Le profil de la vitesse au trou d’injection

étant très difficile à estimer surtout pour les faibles taux d’injection. Ceci est dû

principalement à la forte interaction qui existe entre l’écoulement principal et l’intérieur du

trou d’injection et rend pratiquement impossible la prédiction avec justesse du profil du jet.

Ainsi, dans notre étude, l’intérieur du trou d’injection est inclus dans le domaine de calcul. Un

profil de vitesse correspondant à l’écoulement complètement développé est imposé à l’entrée

inférieur du trou d’injection, suivant la loi de puissance, ( )U U y din j= 126 21 6

. . . . / , où y est la

distance à partir de la paroi du tube d’injection. Une distribution uniforme de k et ε basée sur

une intensité de turbulence de 5 % et une longueur d’échelle d est imposée à l’entrée du trou

d’injection.

A la sortie de l’écoulement ainsi qu’aux différents plans de symétrie, le gradient de toutes les

variables calculées est annulé. Sur les parois solides les conditions d’adhérence couplées à la

loi logarithmique de la paroi sont imposées. Pour la température, toutes les parois sont

considérées adiabatiques alors qu’une différence de température est imposée entre le jet et

l’écoulement principal. La représentation finale de la température sera faite en valeurs

adimensionnelles (efficacité du refroidissement).


106

5.1.5. Grilles de calcul La figure (V-4) montre un exemple de la grille de calcul utilisée pour le cas 2RC. Le maillage

est considérablement raffiné près des parois solides et au voisinage du trou d’injection. Une

attention particulière a été consacrée au raffinement du maillage près de la plaque plane pour

ne pas chevaucher sur la sous couche laminaire. Le distance adimensionnelle y+ a été

maintenue dans les limites imposées par les conditions aux limites de type loi de la parois (12

< y+ < 60). Les coefficients utilisés pour le raffinement du maillage ont été eux aussi

maintenus tout près de l’unité pour minimiser les erreurs introduites par les schémas de

convection qui ne sont pas adaptés pour un maillage non uniforme (voir chapitre III).

X

Y

Z

Figure (V-4) : Grille de calcul pour le cas 2RC, 5028137 ×× points

suivant x, y et z respectivement.

La méthode multibloc utilisée consiste à diviser le domaine de calcul en deux blocs pour le

cas 1RS et trois blocs pour les cas 2RS et 2RC. Le premier bloc correspond au domaine de

l’écoulement principal au-dessus de la plaque plane alors que les autres blocs correspondent à

l’intérieur des tubes d’injection.

Une étude de sensibilité des résultats de la simulation à la taille des grilles de calcul utilisées a

été menée et a conduit aux tailles raisonnables vis à vis des moyens de calcul disponibles

(PIII 450 Mhz, 128 Mo de RAM) suivantes : 146x26x23, 156x26x20 et 137x28x50 nœuds pour

les cas 1RS, cas 2RS et cas 2RC respectivement. Les calculs menés avec des coefficients de


107

relaxation adéquats n’a montré aucune difficulté de convergence et les résidus de toutes les

équations ont diminué de plus de cinq niveaux y compris ceux de k et ε pour les cas 1RS et

2RS et de quatre niveaux pour le cas 2RC.

5.1.6 Analyse des résultats On définit une température adimensionnelle η telle que :

∞

∞

−−

=TTTT

c

η (V-1)

où ∞T est la température de l’écoulement principal, cT la température du fluide refroidissant et

T la température locale de la paroi. On rappelle ici qu’on a suivi la tendance expérimentale à

prendre ∞>TTc contrairement à la réalité. Ceci ne pose aucun problème puisque la

température est un scalaire passif n’ayant aucune influence sur l’écoulement.

Une efficacité latérale moyenne est calculée :

∫=L

zdL 0

1 ηη (V-2)

où L est la largeur de la plaque à refroidir

Cette Efficacité Latérale Moyenne (ELM) est utilisée comme paramètre d'évaluation et de

comparaison des différentes configurations étudiées.

Il est bon à noter tout de suite, que le but de cette partie de notre étude n'étant pas de prétendre

une étude détaillée du cas, puisqu'il a été démontrer au par avant (Djamel et al. 1998) que seul

la résolution complète de la sous couche visqueuse par le biais d'un modèle à bas nombre de

Reynolds ou un modèle bi-couche est capable de bien simuler cette zone de l'écoulement. En

appliquant le modèle à haut nombre de Reynolds et une technique de loi de paroi, nous

espérons reproduire les caractéristiques globales de cet écoulement. D'autres techniques plus

élaborées seront introduites lors de la simulation de la deuxième plaque.

Sur les figures (V-5), (V-6) et (V-7) on confronte les prédictions numériques pour un taux

d’injection égale à 1 aux résultats expérimentaux. Les figures de droites concernent les

contours de la vitesse longitudinale alors que celles de droite sont pour l'efficacité de

refroidissement.

La figure (V-5) présente les contours de la vitesse longitudinale et de température sur trois

plans transversaux et à différentes distances du bord aval de l’orifice d’injection. La position


108

des orifices d’injection est schématisée par des vecteurs en bas de chaque figure. En premier

lieu, on constate un très bon accord d'allure entre le calcul et les mesures expérimentales.

Les contours de la vitesse présentent un aspect symétrique avec un gradient de vitesse assez

important entre deux trous de la même rangée et une couche limite plus épaisse au niveau des

points d’injection. Au niveau du premier plan (x/d=9) et des deux cotés inférieurs du jet,

existe une pénétration de fluide à faible quantité de mouvement et haute température. Ceci

peut s'expliquer par l'existence des deux vortex tournant en sens inverse l'un par rapport à

l'autre des deux cotés du jet. Les contours de la température confirment l’existence de ces

deux vortex longitudinaux issus de l'interaction entre l'écoulement principal et le jet,

caractéristique des écoulements "jet-un-cros-flow". Toutefois, comparés aux mesures

expérimentales, ces deux vortex sont plus intenses. Ils ramènent en conséquences plus de gaz

chauds sous le jet et détériorent la protection de la plaque. Très loin du point d’injection les

contours de la vitesse longitudinale montrent bien un retour progressif à une structure de

couche limite.

Sur la figure (V-6) sont représentées les résultats pour la configuration 2RS à deux rangées

d’inclinaison simple. Ici, la position de la deuxième rangée est représentée par un grand

vecteur alors que le petit vecteur représente la position de la première rangée. Comme

précédemment, puisque l’angle d’injection est de type simple dirigé seulement dans la

direction longitudinale de la plaque, les gradients de vitesses maximales sont disposés

exactement entre les trous d’injection avec une nette différence entre les deux rangées sur le

premier plan (x/d=9.4). En conformité avec les mesures expérimentales, les calculs montrent

que le jet issu de la première rangée de trou est plus élevé que celui issu de la deuxième

rangée. Ceci est du principalement à la distance séparant le plan de visualisation du point

d'injection qui est plus grande pour la première rangée que pour la deuxième. Un peu plus

loin, la déformation de l’écoulement est identique aussi bien pour la première rangée que pour

la seconde puisque l’écoulement s’uniformise et tend à retrouver une structure bien

développée de la couche limite. Pour les contours de température on note aussi une nette

différence entre les deux rangées seulement au premier plan. En comparant les contours de

température sur le dernier plan du cas précédent (1RS) et celui ci (2RS), il ressort que dans ce

dernier cas les jets issus des deux rangées se mélangent fortement de façon à ce que le contour

en forme ovale est plus marqué pour le cas précédent (1RS) que pour celui ci (2RS).

La figure (V-7) présente les résultats de la troisième configuration (2RC). La principale

remarque dans cette figure concerne la disparition des deux vortex tournant en sens inverse

l’un par rapport à l’autre. Ils sont remplacés par un seul vortex dévié dans le sens de


109

l’injection composée. L’écoulement retrouve rapidement une structure uniforme puisque le

mélange entre les différents jets de la même rangée et des deux rangées est dans ce cas

extrêmement intense. En conséquence, les contours de température ne présentent plus de

zones non couvertes entre les jets comme pour les cas précédents. La protection de la plaque

se trouve nettement améliorée. Là aussi, la comparaison qualitative avec les mesures

expérimentales est parfaite surtout pour les premiers plans de la simulation. L'épaisseur de la

couche limite au dernier plan et en quelques sorte sous estimée.

Sur la figure (V-8) sont rassemblés les contours de la température au premier plan (x/d=9.4)

pour différents taux d’injection et pour les deux derniers cas (2RS et 2RC). L’effet du taux

d’injection est caractérisé sur ces figures par l’élévation de la position des deux vortex par

rapport à la plaque plane. Cette position augmente avec l’accroissement du taux d’injection,

puisque dans ce cas le jet est plus énergétique et pénètre profondément en se décollant de la

plaque. Cette situation et à éviter dans le processus du refroidissement par film puisque la

zone de décollement sera purement est simplement exposée aux gaz chauds. Le jet perçant la

couche limite va se diluer dans l’écoulement principal sans remplir son rôle de protection.

L’intensité des deux vortex contre rotatifs est aussi un élément clé, puisqu'ils contribuent à

ramener les gaz chauds vers la plaque. Leurs positions relatives et par rapport à la paroi sont

aussi déterminantes. Plus les deux vortex sont rapprochés l’un par rapport à l’autre, plus ils

seront énergétiques et détériorent la protection. Leur élévation par rapport à la paroi leur

procure aussi plus d'énergie. Ce qui conduit à la conclusion que si on veut une meilleure

protection de la plaque il faut trouver des techniques pour rapprocher le plus possible les jets

de la plaque et les séparer l'un de l'autre. La technique de l'évasement des bords des trous

d'injection est pratiquer dans ce but. La géométrie du troisième cas 2RC est par conséquent

plus favorable puisqu’elle dilue les deux vortex. Les bas taux d’injection sont aussi meilleurs

que les autres puisque le jet reste attaché à la plaque, comme le montre les figures (V-8).

La figure (V-9) montre les champs des vecteurs vitesse, alors que la figure (V-10) présente la

distribution de l’efficacité de refroidissement sur la plaque pour les trois cas étudiés.

L'examen de la figure (V-9) montre la disparition des deux vortex de part et d'autre du jet

pour l'injection à angle composé. Pour ce cas, il n'existe qu'un seul vortex ramenant du fluide

à haute température sous le jet du coté droit. En conséquence, les contours de l'efficacité sur

la plaque présentés sur la figure (V-10), montrent une zone de faible efficacité de

refroidissement du coté droit des jets.

Sur la figure (V-11) est représentée la distribution longitudinale de l’efficacité latérale

moyenne de refroidissement pour les trois cas 1RS, 2RS et 2RC et pour trois taux d’injection


110

M = 0.5, 1.0 et 1.5. La première constatation est qu'hormis le cas 2RC, les autres sont tous

numériquement sous estimés. On pense que ceci est dû principalement au caractère isotrope

du modèle de turbulence ε−k . En effet pour les modèles basés sur le principe de viscosité

turbulente, le transport turbulent est le même dans les trois directions. Ceci est faux puisque,

proche de la paroi, le transport latéral devrait être nettement plus important que dans la

direction normale à la paroi. En conséquence, dans les simulations numériques précédentes le

modèle est incapable de reproduire fidèlement la dispersion latérale du jet sur la plaque, ce

qui se traduit naturellement par une surestimation de l’efficacité sur la ligne centrale du jet et

une sous estimation de la moyenne latérale. Hormis cette défaillance, l’allure générale de

variation de l’ELM est bien reproduite pour les deux premiers cas. Pour le taux d’injection le

plus faible M=0.5, elle est décroissante dans la direction de l’écoulement, alors que pour les

taux d’injection plus forts et spécialement pour le cas 2RS, le décollement du jet est

caractérisé par une chute brusque après le point d’injection. Il est clair aussi que le cas le plus

favorable est celui où M=0.5 puisqu’il permet une protection équilibrée sur une longue

distance de la plaque et plus spécialement après le point d’injection.

La figure (V-12) rassemble les résultats pour les trois cas. Pour permettre une comparaison

rationnelle des différents cas, on a pris M=1.0 pour 1RS et M=0.5 pour les deux autres cas,

puisque dans le premier on ne dispose que d’une seule rangée de trous. La figure (V-12)

montre bien la supériorité du cas 2RC caractérisé par une injection à angle composé. On note

aussi la parfaite concordance des résultats numériques avec les mesures expérimentales. Bien

que ce cas soit géométriquement le plus complexe, il a été le mieux reproduit numériquement.

On pense que ceci est dû au mélange intense entre les différents jets, ce qui rend l’écoulement

plus uniforme que celui où les jets sont isolés les uns par rapport aux autres.


111

-12.0 -8.0 -4.0 0.0 4.0 8.00.0

2.0

4.0

109

6 5

x/d = 9.4

Z (cm)

0 0

2.0

4.0

10

97.5

x/d = 42.50 0

2.0

4.0

6.0

109.5

98

x/d = 85.9Y (cm)

-12.0 -8.0 -4.0 0.0 4.0 8.00.0

2.0

4.0

0.010.25

x/d = 9.4

Z (cm)

0 0

2.0

4.00.001

0.01

0.05

0.1

0.15

x/d = 42.50 0

2.0

4.0

6.0

0.010.05

0.075

x/d = 85.9Y (cm)

( a ) résultats numériques.

U (m/s) : 0. < 5.5

1 5.5 - 6.0 2 6.0 - 6.5 3 6.5 - 7.0 4 7.0 - 7.5 5 7.5 - 8.0 6 8.0 - 8.5 7 8.5 - 9.0 8 9.0 - 9.5 9 9.5 - 10.0 10 > 10.0

T0-T∞ (°C) : 0. < 0.5 1. 0.5 - 1.0 2. 1.0 - 1.5 3. 1.5 - 2.0 4. 2.0 - 2.5 5. 2.5 - 3.0 6. 3.0 - 3.5 7. 3.5 - 4.0 8. 4.0 - 4.5 9. > 4.5

( b ) résultats expérimentaux (Ligrani et al., 1992).

Champs des vitesses moyennes Champs de la température

Figure (V-5) : Contours de la vitesse longitudinale et de la température pour le cas 1RS, M= 1.0.


112

-12.0 -8.0 -4.0 0.0 4.0 8.00.0

2.0

4.0

10

x/d = 9.4

Z (cm)

0 0

2.0

4.0

10

8 6.5

x/d = 43.70 0

2.0

4.0

6.0

1010

8.57.5

x/d = 83.9Y (cm)

-12.0 -8.0 -4.0 0.0 4.0 8.00.0

2.0

4.0

0.010.3

0.1

x/d = 9.4

Z (cm)

0 0

2.0

4.0

0.010.05

0.1

0.15 0.15

x/d = 43.70 0

2.0

4.0

6.0

0.010.05

0.1

x/d = 83.9Y (cm)


U (m/s) : 0. < 5.5

11 5.5 - 6.0 12 6.0 - 6.5 13 6.5 - 7.0 14 7.0 - 7.5 15 7.5 - 8.0 16 8.0 - 8.5 17 8.5 - 9.0 18 9.0 - 9.5 19 9.5 - 10.0 20 > 10.0

T0-T∞ (°C) : 0. < 0.5 10. 0.5 - 1.0 11. 1.0 - 1.5 12. 1.5 - 2.0 13. 2.0 - 2.5 14. 2.5 - 3.0 15. 3.0 - 3.5 16. 3.5 - 4.0 17. 4.0 - 4.5 18. > 4.5

( b ) résultats expérimentaux (Ligrani et al., 1992).


Figure 6 : Contours de la vitesse longitudinale et de la température pour le cas 2RS, M= 1.0.


113

-12.0 -8.0 -4.0 0.0 4.0 8.00.0

2.0

4.0

10

x/d = 9.5

Z (cm)

0 0

2.0

4.0

6.0

8.0

1010

98.5

x/d = 75.3Y (cm)

0 0

2.0

4.0

10

98

x/d = 44.3

-12.0 -8.0 -4.0 0.0 4.0 8.00.0

2.0

4.0

0.010.05

0.1

0.2 0.4

x/d = 9.5

Z (cm)

0 0

2.0

4.00.01

0.050.1

0.150.2

x/d = 44.30 0

2.0

4.0

6.0

8.0

0.010.05

0.1

0.15

x/d = 75.3Y (cm)


U (m/s) : 0. < 5.5

21 5.5 - 6.0 22 6.0 - 6.5 23 6.5 - 7.0 24 7.0 - 7.5 25 7.5 - 8.0 26 8.0 - 8.5 27 8.5 - 9.0 28 9.0 - 9.5 29 9.5 - 10.0 30 > 10.0

T0-T∞ (°C) : 0. < 0.5 19. 0.5 - 1.0 20. 1.0 - 1.5 21. 1.5 - 2.0 22. 2.0 - 2.5 23. 2.5 - 3.0 24. 3.0 - 3.5 25. 3.5 - 4.0 26. 4.0 - 4.5 27. > 4.5

( b ) résultats expérimentales [1].


Figure 7 : Contours de la vitesse longitudinale et de la température pour le cas 2RC, M= 1.0.


114

0 0

2.0

4.0

0.01

0.3 0.40.1

m = 1.0

-12.0 -8.0 -4.0 0.0 4.0 8.0Z0.0

2.0

4.0

0.01

0.3 0.30.05 0.2

m = 0.5

Z (cm)

0 0

2.0

4.0

0.010.05

0.20.4 0.3

m = 1.5Y (cm)

(a)

-12.0 -8.0 -4.0 0.0 4.0Z0.0

2.0

4.0

0.010.05 0.1

0.20.30.30.4

m = 0.5

Z (cm)

0 0

2.0

4.0

0.010.05

0.10.2

0.30.5

m = 1.00 0

2.0

4.0

0.010.05

0.1

0.2

0.3

0.3

0.4

m = 1.5Y (cm)

(b)

Figure 8 : Contours de la température pour différents taux d’injection

au plan 4.9=dx , ( a ) 2RS, ( b ) 2RC.


115

x/d = 5 2 m/s

x/d = 5

x/d = 5

x/d = 9.5

x/d = 9.4

x/d = 9.4

Figure 9 : Champs des vecteurs vitesses au plans 0.5=dx et 5.9=dx pour les trois configurations, 0.1=M


116

19

Case1; 1RS, m = 1.0

3

123

49 1

4

1Case3; 2RC, m = 0.5

1233

9 Level T9 0.98 0.87 0.76 0.65 0.54 0.43 0.32 0.21 0.1

Case2; 2RS, m = 0.5

Figure 10 : Distribution de l’efficacité de refroidissement adiabatique locale sur la plaque à refroidir, cas 1RS : 0.1=M ; cas 2RS et 2RC : 5.0=M

0 20 40 60 80 1000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

m=0.5; exp [1] m=1.0; exp [1] m=1.5; exp [1] m=0.5; SKE m=1.0; SKE m=1.5; SKEη

x/d

Figure 11(a ) : Distribution longitudinale de l’efficacité de refroidissement adiabatique latérale

moyenne en fonction du taux d’injection, 1RS.

0 20 40 60 80 1000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35 m=0.5; exp [1] m=1.0; exp [1] m=1.5; exp [1] m=0.5; SKE m=1.0; SKE m=1.5; SKE

η

x/d

Figure 11(b ) : Distribution longitudinale de l’efficacité de refroidissement adiabatique latérale

moyenne en fonction du taux d’injection, 2RS.

0 20 40 60 80 1000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35 m=0.5; exp [1] m=1.0; exp [1] m=1.5; exp [1] m=0.5; SKE m=1.0; SKE m=1.5; SKE

η

x/d

Figure 11(c ) : Distribution longitudinale de l’efficacité de refroidissement adiabatique latérale

moyenne en fonction du taux d’injection, 2RC.

0 20 40 60 80 1000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35 1RS; m=1.0; exp[1] 2RS; m=0.5; exp[1] 2RC; m=0.5; exp[1] 1RS; m=1.0; SKE 2RS; m=0.5; SKE 2RC; m=0.5; SKE

η

x/d

Figure 12 : Distribution longitudinale de l’efficacité de refroidissement adiabatique latérale moyenne

en fonction du taux d’injection


117

5.2 Injection sur une plaque plane avec "plenum"

5.2.1 Motivations Cette seconde configuration se distingue de celle étudiée au paragraphe 5.1 par deux aspects

importants :

• La différence de température entre le fluide de refroidissement et les gaz chauds a pour

conséquence directe un rapport de masses volumiques différent de l’unité. Dans les

situations réelles de fonctionnement des turbines à gaz ce rapport est différent de 1.

• Dans les configurations réelles des Turbines à gaz le rapport entre la longueur des tubes

d’injection et leur diamètre est assez petit : de 2 à 4. Cette géométrie particulière rend

l’application des conditions aux limites à l’entrée des trous d’injection incompatibles avec

la méthode utilisée dans le cas précèdent. Une bonne application des conditions

d’injection nécessite la simulation de l’écoulement dans le plenum lui-même. On note ici

que dans le cas étudié précédemment 7=dL , ce qui est assez élevé pour ne pas perturber

les résultats de la simulation.

5.2.2 Présentation du problème La configuration géométrique est identique à celle étudiée expérimentalement par Sinha et al.

(1991) et numériquement par Leylek et Zerkle (1994). Cette configuration correspond à une

seule rangée de trous inclinés d’un angle simple. Elle sera notée cas SINH. Notre apport se

situe dans l’application de la modification anisotropique de Bergeles, la pose des conditions

aux limites suivant une technique bi-couche à bas nombre de Reynolds et enfin le test de

plusieurs variantes de modèles algébriques de type EASM. La modification anisotropique

ainsi que l'approche bi-couche ont été améliorée par l'introduction d'une distribution de la

fluctuation normale de la vitesse tirée directement des calculs DNS.

5.2.3 Domaine de calcul et conditions aux limites

La figure (V-13) et le tableau (V-3) récapitulent tous les paramètres géométriques et hydro-

thermodynamiques du cas simulé. La grille de calcul utilisée comprend 2375179 ×× nœuds

distribués suivant les directions x, y et z avec 88.57% de nœuds actifs. Les trois blocs formant

cette grille sont formés de 2375108 ×× pour le domaine au-dessus de la plaque,


118

94016 ×× pour le demi- trou d’injection et 237553 ×× pour le "plenum". Toutes les grilles

sont hautement raffinées près des parois solides de telle façon que 1≈+y (modèle bi-couche).

Pour assurer une application assez précise des schémas de convection, le facteur de

raffinement est maintenu proche de l’unité.

Les conditions aux limites sont identiques à celles appliquées au cas 1RS, en plus de celles

appliquées au "plenum". Celles de l’écoulement principal seront maintenues constantes pour

toutes les variantes calculées alors que celles appliquées à l’entrée du "plenum" seront

ajustées pour chaque cas afin de vérifier le taux d’injection souhaité. La faible compressibilité

de l'écoulement due à la différence des masses volumiques imposée entre le jet et

l'écoulement principal est prise en compte dans les calcul à travers l'équation d'état.

Table (V-3) : Paramètres du cas SINH. ∞U

ρ

µ

∞Tu

δ /d

∞ρρc

M

20 m/s

1.2 Kg/m3

1.8 10-5

2 %

1.0

2

0.5 & 1.0

α d p/d l/d ∞T injT

35° 12.7 mm 3 1.75 302°K 153°K


119

ZX

Y

6 D

25 D

8 D

4 D

1.5 D

13 D

"Plenum"

Figure (V-13). Géométrie du domaine de calcul du cas SINH.

La température de l’écoulement principal est fixée comme dans l’expérience de Sinha à

302°K et celle du fluide refroidissant à 153°K. L’écoulement principal est à 20m/s et 2%

d’intensité de turbulence alors que la dissipation est calculée en fixant une viscosité turbulente

égale à 50 fois la viscosité laminaire. La distribution obtenue après convergence totale du cas

5.0=M et SKE est utilisée comme condition initiale pour les autres variantes (taux

d’injection et modèles de turbulence). Une solution est déclarée convergente après que les

résidus de toutes les équations sont diminués de trois niveaux au minimum, que la tolérance

sur le bilan de masse soit inférieure à 1% et qu’aucune différence sur la distribution de

l’efficacité moyenne n’est sensible durant 50 itérations successives. La convergence de

chaque variante a nécessité environ 1500 itérations exécutées sur un PC à 450 Mhz et doté de

512 Mo de RAM, durait environ 24 heures.

5.2.4 Analyse des Résultats Sur la figure (V-14), sont présentés les contours de l’efficacité sur la plaque calculée par les

différents modèles pour deux taux d’injection (M = 0.5 et 1). L'examen de ces figures montre

que la dispersion latérale de l’efficacité de refroidissement calculée par le modèle


120

SKE/Mut(DNS)-2L (dorénavant appelé TLVA) est plus marquée que celle calculée par le

modèle SKE-2L. On note aussi que les valeurs enregistrées sur la ligne centrale sont plus

petites. Ce qui veut dire que la modification anisotropique raccourci la zone de recirculation

en aval du point d'injection. En comparant, les résultats du modèle EASM GS/LT-2L à ceux du

modèle SKE-2L, on remarque que l'amélioration de la dispersion latérale est négligeable, par

contre les valeurs de l'efficacité sur la ligne centrale sont très bien reproduite. Le modèle SZL-

2L ne présente pas d'avantages par rapport au modèle SKE-2L puisque les valeurs sur la ligne

centrale sont quelque peu incorrectes.

A partir de cette première analyse, et en se basant sur la dispersion latérale, il est claire que la

modification anisotropique adaptée pour cet écoulement donne de meilleurs résultats que ceux

apportés par les modèles EASM. D'un autre coté et en comparant les deux taux d’injections,

on comprend bien la supériorité du taux d’injection M = 0.5, qui couvre mieux la plaque. Les

contours de l’efficacité sur un plan longitudinal à z/d=0 (ligne centrale) sont représentés sur la

figure (V-15) pour M=0.5 et sur la figure (V-16) pour M=1.0. La ressemblance du

comportement des deux modèles SKE-2L et GS/LT-2L sur la ligne centrale, (déjà évoque lors

de la discussion de la figure précédente) est clairement visible sur cette figure. La

comparaison des contours des deux taux d'injection (M=0.5 et M=1.0) montre clairement la

pénétration profonde du jet pour le taux d’injection élevé.

-2 0 2 4 6 8X/D

-1

0

1

2

3

4

Z/D

0.10.3

0.50.70.9 0.7

0.9

0.5 0.30.1

0.10.30.5

0.90.7

0.90.7

0.50.3

0.1

TLV M=0.5

SZL M=0.5

TLVA M=0.5

GS/LT M=0.5

( a ) M=0.5


121

-2 0 2 4 6 8X/D

-1

0

1

2

3

4Z/

D

0.90.1

0.30.4 0.4 0.30.1

0.10.30.4

0.1

0.30.40.9

0.9

0.9

TLV M=1.0

SZL M=1.0

TLVA M=1.0

GS/LT M=1.0

( b ) M=1.0 Figure (V-14). Efficacité de refroidissement sur la plaque (Y/D=.0).

Le champ des vecteurs vitesses sur les mêmes plans longitudinaux est représenté sur la figure

(V-17) pour les deux taux d’injections. Il est clair à partir de ces deux figures que le champ

des vitesses à l’intérieur des trous d’injection est très perturbé et ne correspond en aucun cas à

l’écoulement pleinement développé à l’intérieur d’une conduite cylindrique.

La cause est bien évidemment la faible longueur du tube d’injection. L’écoulement vient

s'écraser sur la surface arrière du tube comme dans le cas d’un jet pariétal, alors que sur la

partie avant du tube se crée une zone de faible vitesse et même un retour pour le taux

d’injection élevé. Le profil des vitesses sur la plaque et en aval du jet présente un caractère de

relaminarisation. L’intensité de la turbulence est représentée par la figure (V-18), qui montre

bien pour le cas M=0.5 une intensité maximale en aval du jet, alors que pour M=1.0 le

maximum est situé à l’intérieur du tube d’injection. L’explication vient du fait que pour le

premier cas (M=0.5) la différence de la vitesse du jet par rapport à celle de l’écoulement

principal fait que la production de la turbulence se produit dans le jet lui-même, alors que

pour le cas M=1.0, les vitesses sont pratiquement identiques et les grands frottements se

situent dans le tube d’injection.


122

0.10.3

0.50.70.9

TLV M=0.5

0.70.9

0.5

0.10.3

SKE-TLV, M=1.0

0.10.4

0.50.70.9

GS/LT-TLV M=0.5

0.10.3

0.90.7

0.4

GS/LT-2L, M=1.0

0.10.3

0.50.70.9

SKE-2L/Mut(DNS), M=0.5

0.10.3

0.50.70.9

SKE-2L/Mut(DNS), M=1.0

Figure (V-15). Efficacité de refroidissement sur un plan longitudinal (Z/D=.0), M=0.5

Figure (V-16). Efficacité de refroidissement sur un plan longitudinal (Z/D=.0), M=1.0


123

TLV M=0.5

20 m/s

TLV M=1.0

20 m/s

Figure (V-17). Vecteurs vitesses sur un plan longitudinal (Z/D=.0)

3.5

14

2

6.55

3.5

8

TLV M=0.5

412

16

2

6

68

4

TLV M=1.0

Figure (V-18). Intensité de turbulence sur un plan longitudinal (Z/D=.0).

Sur la figure (V-19) est présentée la distribution longitudinale de l’efficacité de

refroidissement sur la plaque plane à z=0. Les résultats des différentes simulations

numériques sont comparés aux résultats expérimentaux de Sinha et al. (1991). Contrairement,

aux résultats de la procédure loi de paroi SKE-WF (non représentés sur la figure), le modèle

SKE-2L détecte le décollement en aval du point d’injection. Ce défaut est caractérisé par

l’efficacité qui vaut 1 à x/D=1 pour la procédure WF. Le modèle SKE-2L reflète mieux la

valeur de l’efficacité en ce point important et le décollement pour le cas M=1, figure (V-19b)

est mieux capté. Les figures (V-19a) et (V-19b) introduisent les résultats des modèles

quadratiques EASM (voir chapitre II). Il ressort de ces deux figures que le modèle GS/LT

améliore les résultats alors que le SZL-2L produit des résultats moins bons que ceux du SKE-

2L. On note bien que le GS/LT reproduit fidèlement l’allure de la courbe, bien qu’il surestime

quelque peu l’efficacité pour M=0.5. Pour M=1.0, l'efficacité est sous estimer. Sur la figure

(V-19b), les résultats du modèle TLVA, semble être les plus proches des mesures

expérimentales.

La figure (V-20) compare l’efficacité moyenne latérale calculée par les modèles précédents

aux données expérimentales. Ici aussi, la principale constatation est la supériorité absolue du

modèle TLVA sur les autres, figures (V-20a) et (V-20b). On note ici, que ce modèle reproduit

fidèlement la valeur de l'efficacité de refroidissement juste après le point d'injection. La

supériorité de ce modèle est mise en évidence sur la figure (V-21) où sont représentés les


124

profils de l’efficacité sur des lignes latérales à différentes positions longitudinales (x/d=1, 3, 6

et 10) et pour un taux d'injection M=0.5. Le modèle SKE-2L sous estime largement l'efficacité

pour z/d>0.4, alors qu'il produit une nette surestimation pour z/d<0.4, exception faite pour le

premier plan. Le modèle SZL-2L reproduit les plus mauvais résultats en exagérant la valeur de

l'efficacité au niveau du vortex. Les résultats du modèle GS/LT-2L sont comparables à ceux

du modèle SKE-2L avec une nette amélioration au environ de z/d=0 pour le dernier plan.

Enfin, le modèle TLVA, donne les meilleurs résultats en améliorant sensiblement la

dispersioin latèrale. On voit bien qu’à la position z/d=1.5 (exactement entre deux orifices de

la même rangée), l’efficacité calculée par tous les modèles (excepté le TLVA) est

pratiquement nulle, alors qu’expérimentalement la dispersion latérale est marquée par une

efficacité non nulle pour x/d = 6 et 10. Cette valeur n’est détectée que par le modèle TLVA.

0 5 10 15 20 25X/D

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

η

Exp. Sinha et al.TLVSZL-TLVTLVAGS/LT-TLV

M = 0.5

( a ) M=0.5, SKE-WF et SKE-2L

0 5 10 15 20 25X/D

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

η


M = 1.0

( b ) M=1.0, SKE-WF et SKE-2L

Figure (V-19). Efficacité de refroidissement sur la ligne centrale.

0 5 10 15 20 25X/D

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

<η>


M = 0.5

( c ) M=0.5, SKE-2L, SZL-2L et GS/LT-2L

0 5 10 15 20 25X/D

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

<η>


M = 1.0

( d ) M=1.0, SKE-2L, SZL-2L et GS/LT-2L

Figure (V-20). Efficacité moyenne latérale de refroidissement


125

0 0.5 1 1.5Z/D

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1η


X/D=1, M = 0.5

0 0.5 1 1.5Z/D

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

η


X/D=3, M = 0.5

0 0.5 1 1.5Z/D

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

η


X/D=6, M = 0.5

0 0.5 1 1.5Z/D

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

η


X/D=10, M = 0.5

Figure (V-21). Efficacité de refroidissement latérale sur trois positions longitudinales


125

5.3 Refroidissement d'une aube de turbine symétrique

5.3.1 Motivations Comme évoquée au chapitre I au sujet du refroidissement par film, la zone la plus critique

d’une aube de turbine à gaz est son bord d’attaque. Cette partie de l’aube est exposée

directement aux gaz chauds et nécessite une attention particulière pour son refroidissement.

Les jets pratiqués dans cet endroit sont aussi les plus perturbés puisqu’ils sont dirigés en sens

contraire à l’écoulement principal des gaz chauds. Ainsi nous avons tenu à compléter cette

étude par la considération d’un cas de ce type. Notre choix c'est porté sur l'aube symétrique

étudiée expérimentalement par Haslinger et Hennecke (1997) à l'Université de Darmstadt,

Allemagne. Le chois de ce modèle d'aube est motivé par sa ressemblance avec une aube de

turbine réelle et par la disponibilité des mesures expérimentales pour la validation des calculs.

5.3.2 Présentation du problème La géométrie du modèle expérimental est représentée sur la figure (V-22). Elle présente une

forme symétrique de longueur 515 mm et une largeur maximale de 72 mm. La partie bord

d'attaque du modèle est identique à une aube réelle à haute pression appelée AGTB. Les trous

d’injection sont disposés sur deux rangées symétriques, où les orifices sont espacés d’une

distance de 5 fois le diamètre nominal des trous (d=4 mm). En raison de nos moyens de

calcul assez limités, nous nous sommes limités au seul cas de l'injection longitudinale et nous

n'avons utilisé que la technique loi de paroi. La vitesse de l'écoulement principale est de

l'ordre de 30 m/s et le fluide est considéré incompressible. Le niveau de turbulence est de

l'ordre de 0.5%, et le nombre de Reynolds basé sur la vitesse de l'écoulement principal et le

diamètre du trou d'injection est de l'ordre de 7950. Trois niveaux du taux d'injections ont été

considérés lors de cette étude, à savoir M=0.3, 0.7 et 1.1.

5.3.3 Domaine de calcul et conditions aux limites En raison de la symétrie de l'aube et d’une injection à inclinaison simple (seulement dans la

direction de l’écoulement), le domaine de calcul est limité par deux plans de symétrie dans la

direction "z". le premier passe par le plan médian du trou d'injection (z/d=.0) et le deuxième

passe exactement au milieu de la distance entre deux trous de la même rangée (z/d=2.5). La

distance entre l'axe de symétrie et la limite haute (direction "y") du domaine de calcul est


126

fixée à 180 mm où une condition de paroi solide est appliquée pour refléter exactement les

dimensions de la veine d'essai de la soufflerie. L'entrée du domaine de calcul est fixée à

360mm du point de stagnation sur le bord d'attaque et la sortie à 385 mm du point limite sur le

bord de fuite. La grille de calcul est constituée de trois blocs. Le premier bloc couvre la

première partie du domine de calcul jusqu'au point d'injection, le second est situé du point

d'injection jusqu'à la sortie de l'écoulement et le dernier bloc représente l'intérieur du trou

d'injection, figure (V-23). La taille de la grille globale de calcul obtenue après une étude de

sensibilité se compose de 1668152 ×× dans les directions x, y, et z, respectivement, (Lakehal

et al. 2001). Le trou d'injection qui a une longueur de 5d, est discrétisé par 6816 ×× points.

Le niveau de turbulence adopté est de l'ordre de 0.5%, et le rapport 30=µµ t . Au niveau de

l'injection, on a adopté une vitesse uniforme vérifiant le taux d'injection, un niveau de

turbulence de l'ordre de 3% et une échelle de longueur dk 3.023 =ε . Enfin, toutes les parois

solides sont adiabatiques.

En raison de nos moyens de calcul assez limité, Ce test a été conduit seulement, suivant

l'approche "loi de paroi" et les modèles appliqués sont respectivement : SKE-WF, S93-WF,

GS/LT-WF et CLS-WF. A la lumière des conclusions du test précèdent qui indiquent

clairement que seul une procédure "bas nombre" de Reynolds peut fournir des détails sur

l'écoulement proche de la paroi, toute conclusion issue de ce test reste tentative.

Figure V-22 : Géométrie du modèle expérimental de l'aube (Haslinger et Hennecke, 1997).


127

X

Y

Z

Bloc 2

Bloc 1

Bloc 3

Figure V-23: Grille de calcul (multi blocs).

5.3.4 Analyse des Résultats

Les champs de vitesse et de température sur le plan médian passant par le trou d'injection sont

présentés sur la figure (V-24). Les contours se rapportent aux trois taux d'injection calculés

par le modèle standard à haut nombre de Reynolds. Ces figures montrent l'interaction entre le

jet et l'écoulement principal sous forme de vues élargies près du bord d'attaque. Pour le plus

faible taux d'injection (M=0.3), le jet est dévié énergiquement dans le sens de l'écoulement

principal et la zone de recirculation formée est de taille assez petite. Cette zone est

caractérisée par de faibles niveaux de quantité de mouvement et sous certaines conditions par

un écoulement de retour. Sa taille est proportionnelle au taux d'injection. Pour M=1.1 le jet

réussit à pénétrer profondément et contribue à la formation d'une zone de haut niveau de

turbulence en raison de la différence entre l'amplitude et la direction des vitesses du jet et

celles de l'écoulement principal. Les qualités protectrices du plus faible taux d'injection sont

largement mises en évidence par les contours de l'efficacité qui caractérisent une pénétration

profonde du jet pour les taux d'injection les plus élevés. Pour M=1.1, on remarque l'existence

d'une zone de haute température sous le jet. On note ici que les calculs conduits par Lakehal et

al. (2001) suivant une procédure bi-couche ont montrés l'existence d'une petite zone de

recirculation au niveau du bord amont de l'orifice d'injection. Ce détail n'est pas reproduit par

la procédure loi de paroi en raison de la légèreté de la grille de calcul.

Sur la figure (V-25) on a présenté une vue rapprochée en perspective du voisinage du point

d'injection. La complexité du phénomène est mise en évidence par le tracé des lignes de

courant formé simultanément par la trajectoire des particules fluides issues du trou d'injection

et de l'écoulement principal. L'allure des contours de température sur des plans

perpendiculaires à la surface de l'aube est visualisée par la figure (V-26). La structure


128

tridimensionnelle du jet est mise en évidence par la forme "kidney shape" caractéristique du

"jet-in-cross-flow".

Sur la figure (V-27) sont présentés les distributions de l'efficacité moyenne latérale pour les

taux d'injections M=0.3, 0.7 et 1.1. L'allure expérimentale montre que pour le plus faible taux

d'injection (M=0.3), le jet reste attaché à la paroi ce qui se traduit par une très grande valeur

pour l'efficacité près de l'injection. Plus loin, et à cause de la dilution du jet dans l'écoulement

principal on remarque une décroissance régulière de l'efficacité de refroidissement. Cette

allure est bien reproduite par le modèle ε−k à haut nombre de Reynolds et par le modèle

GS/LT avec une sous estimation flagrante. Par contre les deux autres modèles et plus

spécialement le modèle CLS reproduit une augmentation de l'efficacité après s/d =10, comme

si le jet se réattache après un décollement.

Pour les taux d'injection plus élevés (M=0.7 et 1.1), les mesures expérimentales montrent que

le jet se réattache après un décollement, ce qui est traduit sur la figure par une plus faible

valeur de l'efficacité juste après le point d'injection, une diminution brusque et ensuite une

augmentation de l'efficacité. Du coté calcul, l'efficacité de refroidissement après l'injection est

toujours surestimée, probablement due au fait que le décollement n'est pas capturer par la

procédure loi de paroi adoptée. L'augmentation de l'efficacité est reproduite sauf pour le taux

d'injection M=1.1 et le modèle CLS.

5.4 Conclusion des trois simulations Les trois configurations présentées lors de cette étude sont caractérisées par une géométrie

tridimensionnelle assez complexe associée à une forte interaction aussi bien entre les jets issus

des trous d'injection et l'écoulement principal qu'entre les jets eux-mêmes. Les simulations

numériques présentées dans ce chapitre ont montré que la structure calculée de l'écoulement

reflète assez fidèlement les observations expérimentales, telles que l'existence des deux

vortex contre rotatifs le long du jet, sa profonde pénétration en fonction du taux d'injection et

la structure assez complexe de l'écoulement à l'intérieur des trous d'injection. Il ressort des

calculs ci-dessus, qu'une bonne modélisation passe par une juste estimation de l'intensité et la

position des deux vortex contre rotatifs du jet. Plus ils sont mal capturés par le modèle (un peu

élevés de la surface), plus ils rament de fluide chaud en dessous, ce qui joue en défaveur de

l'efficacité de refroidissement. L'intégration du trou d'injection et du plenum (dans la

deuxième configuration en raison du faible rapport longueur/diamètre) dans le domaine de

calcul est plus que nécessaire et contribue à rapprocher le modèle numérique des conditions


129

expérimentales. Les différents essais numériques conduits lors de cette étude ont confirmé la

supériorité de l'injection à angle composé et à faible taux d'injection par rapport à l'injection

longitudinale et à taux d'injection élevé.

A travers l'étude comparative des différents modèles de turbulence, il a été montré que le

meilleur modèle capable de prédire raisonnablement la distribution de l'efficacité moyenne

latérale est celui utilisant la modification anisotropique. L'approche bi-couche à bas nombre

de Reynolds a été trouvée plus que nécessaire si on veut prédire assez raisonnablement le

champ thermique. L'application de ces deux techniques renforcée par des distributions de

variables inspirées des calculs DNS présente une alternative assez prometteuse pour la

simulation de ce type d'écoulement. Néanmoins, l'utilisation des résultats DNS d'un

écoulement attaché, alors que dans notre cas nous avons toujours des zones de recirculation

semble être en défaveur pour la méthode.

Bien que l'application des modèles EASM aux tests que nous avons utilisés pour la validation

était satisfaisante, notre expérience avec les situations tri-dimensionnelles et complexes du

refroidissement par film n'a pas été très encourageante.


130

30 m/sec

SKE-WF M=0.3

30 m/sec

SKE-WF M=0.7

30 m/sec

SKE-WF M=1.1

Figure (V-24) : Vecteurs vitesse et efficacité de refroidissement sur un plan longitudinal passant par le milieu du trou d'injection, M=0.3, 0.7 et 1.1.


131

X

Y

Z

Figure (V-25) : Lignes de courant, "Streamlines" en 3D, M = 1.1

X

Y

Z

eta0.60.50.40.30.20.10.050.020.01

Figure (V-26) : Plans 3D de l'efficacité de refroidissement, M = 1.1


132

0 5 10 15 20 25 30 350,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

M = 0.3

eta

ave

s/D

Measurements SKE-WF S93-WF GS/LT-WF CLS-WF

0 5 10 15 20 25 30 350,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

M = 0.7

eta

ave

s/D


0 5 10 15 20 25 30 350,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

M = 1.1

eta

ave

s/D


Figure (V-27) : Distribution de l'efficacité moyenne latérale pour M = 0.3, 0.7 et 1.1

CHAPITRE IV. Conclusions et perspectives

133

Conclusions et perspectives

Les travaux effectués lors de cette thèse présentent une contribution à la compréhension des

phénomènes physiques associés au refroidissement par film des aubes de turbines à gaz. Afin

d'atteindre ce but, nous avons conduit une étude numérique tout en apportant des

améliorations successives au modèle de calcul initial. Le but visé par l'étude est de se

rapprocher le mieux des conditions réelles d'utilisation des turbines à gaz et refléter avec plus

de précision la structure de l'écoulement et du champ thermique.

Notre intérêt a porté en premier sur la compréhension du comportement thermique d'une aube

de turbine à gaz exposée aux gaz émanant de la chambre de combustion. Nous avons mis en

évidence, à la lumière d'une revue bibliographique des travaux théoriques, expérimentaux et

numériques, l'intérêt apporté par l'utilisation d'un dispositif de refroidissement par film, tout

en mettant le point sur les différents paramètres qui influencent son efficacité. Ces paramètres

ont été classés en deux grandes catégories : les paramètres thermo- et hydrodynamique et les

paramètres géométriques. Dans la première catégorie nous avons mis le points sur le taux

d'injection et le taux de la quantité de mouvement et dans la seconde nous nous sommes

intéressés au nombre de rangées d'orifices d'injection, leurs espacements, leurs inclinaisons et

la longueur des trous d'injections eux-mêmes. L'étude a été clôturée par la considération d'une

aube à géométrie réelle.

Pour mener à bien cette étude nous nous sommes longuement attardés sur la formulation

mathématique du problème et plus spécialement sur la modélisation numérique de la

turbulence. Le problème étudié est à caractère fortement tridimensionnel, présentant un

décollement et un rattachent de la couche limite avec formation d'un ensemble de vortex

secondaires. La complexité de la modélisation numérique de ce type de problème est

accentuée par l'existence d'un mélange intense et une interaction directe de deux écoulements

ayants des caractéristiques thermiques assez différentes (température, masse volumique et

direction de l'écoulement).

Au cours de cette étude, nous avons montré que le modèle de turbulence ε−k , sous la forme

standard peut donner un aperçu qualitatif du champs hydrodynamique et thermique du

phénomène tout en étant incapable de restituer quantitativement la distribution de l'efficacité

adiabatique moyenne latérale. Ce défaut est lié à son incapacité de prendre en considération le

caractère anisotropique du jet, d'où une sous estimation systématique de la dispersion latérale


134

de celui-ci. La modification anisotropique de Bergeles consistant à multiplier les composantes

latérales des contraintes de Reynolds ainsi que les composantes du flux thermique turbulent

par un coefficient obtenu des mesures expérimentales semble apporter la solution à ce défaut.

Toutefois, l'approche de la pose des conditions aux limites des parois solides selon la "loi de

paroi" semble être aussi un important obstacle à restituer le champ thermique. La non-

résolution de la sous couche visqueuse imposée par cette technique ne permet pas de capter

les zones de décollement de la couche limite existant en aval du point d'injection. Le

développement de cette zone a un effet déterminant sur l'évolution de l'efficacité de

refroidissement. Pour contourner l'utilisation assez lourde d'un modèle à bas nombre de

Reynolds, nous avons opter pour un modèle bi-couche utilisant un modèle à une équation

dans la sous couche visqueuse et le modèle standard loin de la paroi solide. Une version

améliorée de ce modèle consistant à utiliser la fluctuation normale de la vitesse au lieu de

l'énergie cinétique turbulente pour le calcul de la dissipation de la turbulence par le biais d'une

relation algébrique a aussi été testée et c'est avérée plus performante lors des tests effectués

sur l'écoulement pleinement développé entre deux plaques parallèles. Le modèle utilise une

distribution de la fluctuation de la vitesse normale inspirée des calculs DNS. La combinaison

de ce type d'approche avec la modification anisotropique de Bergles citée un peu plus hauts a

été réalisé par la substitution du coefficient expérimental d'amplification par une distribution

inspirée elle aussi des calculs DNS. Cette dernière variante a été trouve la mieux adaptée pour

refléter une distribution raisonnable de l'efficacité vis a vis des mesures expérimentales.

Enfin une tentative (à notre connaissance, faite pour la première fois) d'appliquer des modèles

algébriques quadratiques et cubiques en combinaison avec l'approche bi-couche basée sur les

calculs DNS, aux cas extrêmement complexe étudiés (refroidissement par film sur une plaque

tridimensionnel et sur une aube symétrique) a été initiée. Nous pensons qu'avec la disposition

de plus de moyens informatiques, les résultats de cette approche ne peuvent qu'être plus

probants. Ce type de modèles a le grand avantage de tenir des modèles de premier ordre leur

légèreté et des modèles de second ordre leur caractère anisotropique.

A la lumière des observations faites au cours de ce travail, un effort considérable reste à faire

aussi bien dans la modélisation de la turbulence que dans l'approche numérique elle-même.

Ceci ne fait que confirmer ce que d'autres chercheurs ont déjà remarqué : il n'existe pas de

modèle qui soit universel pour ce type d'écoulements, encore moins pour de forts taux

d’injection ( )1>M . Nous pensons alors que l'approche consistant à introduire une viscosité

turbulente anisotropique, combinée avec un modèle à une équation pour la sous-couche


135

dominée par les effets visqueux est la mieux adaptée à ce type d'écoulements, pour sa

robustesse et sa prise en compte des éléments physiques les plus pertinents. Toutefois, le fait

que les résultats DNS ayant servi au développement du modèle sont ceux d'écoulements

attachés (couche limite et canal) pose des questions quant à la validité de l'approche en

présence de fortes recirculations. Aussi, d'autres volets permettant d'améliorer la prévision du

champ thermique sont à investir, tels que le gradient de température généralisé ou d'autres

formulations anisotropiques pour le nombre de Prandtl turbulent.

En ce qui concerne la méthode numérique, nous avons mis le point sur l'importance de la

nature de la grille de calcul sur la précision des prédictions numériques. Nous avons montré

par la conduite d'un cas test (Lid driven case) que l'adoption d'un maillage non uniforme

aboutit à des résultats moins précis que ceux obtenus par le biais d'un maillage uniforme.

Nous avons conclu que le taux de raffinement des maillages doit impérativement être le plus

proche possible de l'unité. Une étude assez détaillée appliquée à des cas test ayant des

solutions analytiques et utilisant des schémas de convection de différent ordre, a renforcé

notre conviction à n'utiliser que des schémas de second ordre y compris pour les équations du

modèle de turbulence. Cette dernière application a été possible par l'adoption d'une technique

assez récente qui consiste à utiliser des limiteurs empêchant l'apparition des oscillations

accompagnant les schémas à haute précision.

Le mode colocatif de stockage des variables utilisé dans cette étude est bien adapté à la

complexité géométrique des écoulements considérés. Il présente l'avantage d'une économie

non négligeable de la taille mémoire, puisque les calculs sont limités à un seul volume de

contrôle pour l'ensemble des variables. Cette technique simplifie également la pose des

conditions aux limites.

La complexité de la configuration géométrique a été maîtrisée par l'adoption d'une technique

de génération des grilles de calcul de type multi-bloc. Cette technique est parfaitement

adaptée aux domaines de calcul formant des jonctions tridimensionnelles et permet un gain

d'espace mémoire important. Des zones de connectivité communes aux parties adjacentes

permettent de transmettre l'information entre les différents blocs.

Sur le plan de la validation de l'outil de calcul, la méthode numérique développée lors de cette

étude a été appliquée avec succès à différents cas test. Nous avons présenté dans ce rapport

trois d'entre elles, l'écoulement pleinement développé entre deux plaques parallèles, la cavité

carré avec translation du coté haut et la marche descendante.


136

L'étude paramétrique menée lors de cette thèse a porté sur :

• Une configuration bidimensionnelle assez simple de type fente (non présentée dans ce

rapport).

• Une configuration de type plaque plane tridimensionnelle sans tubes d'injection (encore

non présentée dans ce rapport). (Azzi et Abidat, 1999)

• Une plaque plane tridimensionnelle incluant les tubes d'injection, (Azzi et al., 1998a,

1998b et 2001a).

• Une plaque plane tridimensionnelle incluant le tube d'injection et le plenum, (Azzi and

Lakehal, 2001b) (Azzi et al., 2001c et 2001e).

• Une injection près du bord d'attaque de l'aube, (non présentée dans ce rapport), (Azzi et

Abidat, 2000 et 2001d)

• Enfin une aube réelle de turbine à gaz à haute pression, (Azzi et Lakehal, 2000b).

Durant ces différentes études, les tubes d'injection sont disposés en une et deux rangées et leur

inclinaison est simple ou composée. Le rapport des masses volumiques et la longueur des

tubes d'injection ont été adaptés dans les dernières simulations selon des valeurs comparables

avec les situations réelles des turbines à gaz modernes.

Durant cette étude on s'est efforcé de respecter et d'améliorer la structure originale du code de

calcul (FAST3D) pour qu'il garde un aspect pratique permettant de basculer d'une application

à une autre par un nombre d'opérations assez limité. Nous disposons ainsi, d'un outil robuste

capable de prédire l'écoulement turbulent et le champ thermique du fluide incompressible

dans des géométries complexes et tridimensionnelles.

La grande difficulté rencontrée lors de cette étude réside dans le temps excessivement long

nécessaire à l'obtention d'une solution convergente. Ceci a rendu la conduite des calculs

fastidieuse. Par ailleurs, la limite de la taille mémoire de stockage dont nous disposons a

rendu la tache d'optimisation des grilles de calcul assez lourde.

A l'issue de ce travail, nous pensons qu'il est intéressant de revoir quelques aspects dans le but

d'améliorer les possibilités de la simulation numérique de ce type d’écoulements.


137

Pour remédier à la lourdeur de la conduite des calculs, nous pensons qu'à défaut de disposer

d'une machine vectorielle, il faut adopter des techniques permettant l'économie de l'espace

mémoire de stockage et le temps de calcul. Nous pensons dans ce contexte au maillage de

type non structuré et aux techniques de l'adaptation des grilles de calcul ainsi qu'à la méthode

multigrid.

La disponibilité des résultats expérimentaux (éventuellement LES ou DNS) détaillés des

champs dynamique et thermique de cas types de refroidissement par film bien définis en

géométrie et conditions aux limites est un besoin plus qu'indispensable pour la validation des

codes de calculs élaborés.

Pour suivre la tendance actuelle du refroidissement par film, il faut passer à la simulation des

trous d'injections à géométrie complexes, (connue sous le nom de shaped holes), introduire

l'effet de la compressibilité et aussi la rotation.

Annexes

139

ANNEXE A

Développement des équations de transport

L’équation (III-4) écrite pour la composante vitesse u=φ donne :

( ) ( ) ( ) uuuu SJDuCx

DuCx

DuCx

=+∂∂

++∂∂

++∂∂

333

222

111

(A-1)

Les termes de diffusion s’écrivent :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 31

13

21

12

11

11

3

13

2

12

1

111 ωβωβωβµ

xuB

xuB

xuB

VolD u (A-2)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 31

23

21

22

11

21

3

23

2

22

1

212 ωβωβωβµ

xuB

xuB

xuB

VolD u (A-3)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 31

33

21

32

11

31

3

33

2

32

1

313 ωβωβωβµ

xuB

xuB

xuB

VolD u (A-4)

et le terme source :

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 31

3

21

2

11

1

1 βββ px

px

pxVol

Su (A-5)

où :

n

inj

ij x

u∂∂

= βω , jn

in

ijB ββ= (A-6)

qui se développent comme suit :

3

3

2

2

1

1

xu

xu

xu i

ji

ji

jij ∂

∂+

∂∂

+∂∂

= βββω (A-7)

jijijiijB 332211 ββββββ ++= (A-8)

Dans le code de calcul utilisé, l’équation (A-2) est décomposée en :

1

111 x

uBVol

D u ∂∂

−=µ calculée par la subroutine coeff.f, et comptabilisée avec la convection

dans la matrice principale.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−3

13

2

12 x

uBxuB

Volµ est calculé par la subroutine cdflux.f et comptabilisé comme

terme source.

( )31

13

21

12

11

11 ωβωβωβµ

++−Vol

est calculé par la subroutine pdtst.f avec le terme source

relatif au gradient de pression.

Les équations relatives aux autres variables seront écrites et développées comme suit :

v=φ

Annexes

140

( ) ( ) ( ) vvvv SJDvCx

DvCx

DvCx

=+∂∂

++∂∂

++∂∂

333

222

111

(A-9)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 32

13

22

12

12

11

3

13

2

12

1

111 ωβωβωβµ

xvB

xvB

xvB

VolD v (A-10)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 32

23

22

22

12

21

3

23

2

22

1

212 ωβωβωβµ

xvB

xvB

xvB

VolD v (A-11)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 32

33

22

32

12

31

3

33

2

32

1

313 ωβωβωβµ

xvB

xvB

xvB

VolD u (A-12)

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 32

3

22

2

12

1

1 βββ px

px

pxVol

Su (A-13)

w=φ

( ) ( ) ( ) wwww SJDwCx

DwCx

DwCx

=+∂∂

++∂∂

++∂∂

333

222

111

(A-14)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 33

13

23

12

13

11

3

13

2

12

1

111 ωβωβωβµ

xwB

xwB

xwB

VolD w (A-15)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 33

23

23

22

13

21

3

23

2

22

1

212 ωβωβωβµ

xwB

xwB

xwB

VolD w (A-16)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 33

33

23

32

13

31

3

33

2

32

1

313 ωβωβωβµ

xwB

xwB

xwB

VolD w (A-17)

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 33

3

23

2

13

1

1 βββ px

px

pxVol

Su (A-18)

T=φ

( ) ( ) ( ) TTTT SJDTCx

DTCx

DTCx

=+∂∂

++∂∂

++∂∂

333

222

111

(A-19)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=3

13

2

12

1

111 . x

TBxTB

xTB

VolD

TT σ

µ (A-20)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=3

23

2

22

1

212 . x

TBxTB

xTB

VolD

TT σ

µ (A-21)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=3

33

2

32

1

313 . x

TBxTB

xTB

VolD

TT σ

µ (A-22)

0.=TS (A-23)

1=φ

( ) ( ) ( ) SJDCx

DCx

DCx

=+∂∂

++∂∂

++∂∂

333

222

111

(A-24)

0.1 =D (A-25) 0.2 =D (A-26)

Annexes

141

0.3 =D (A-27) 0.=S (A-28)

k=φ

( ) ( ) ( ) kkkk SJDkCx

DkCx

DkCx

=+∂∂

++∂∂

++∂∂

333

222

111

(A-29)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=3

13

2

12

1

111 . x

kBxkB

xkB

VolD

kk σ

µ (A-30)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=3

23

2

22

1

212 . x

kBxkB

xkB

VolD

kk σ

µ (A-31)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=3

33

2

32

1

313 . x

kBxkB

xkB

VolD

kk σ

µ (A-32)

ερ−= GST (A-33)

εφ =

( ) ( ) ( ) εεεε εεε SJDCx

DCx

DCx

=+∂∂

++∂∂

++∂∂

333

222

111

(A-34)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=3

13

2

12

1

111 . x

Bx

Bx

BVol

D εεεσµ

εε (A-35)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=3

23

2

22

1

212 . x

Bx

Bx

BVol

D εεεσµ

εε (A-36)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=3

33

2

32

1

313 . x

Bx

Bx

BVol

D εεεσµ

εε (A-37)

( )k

CGCS ερεεεε 21 −= (A-38)

2

2.2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

= ni

n

jnj

n

it

xu

xu

JG ββ

µ (A-39)

ερµ µ2kCt = (A-40)

09.0=µC 44.11 =εC 92.12 =εC 0.1=kσ 3.1=εσ 9.0=Tσ

Annexes

142

ANNEXE B

Développement des termes des tensions de turbulence des modèles EASM

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂∂

=i

j

j

iij x

UxU

S21 (B-1)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂∂

=Ωi

j

j

iij x

UxU

21 (B-2)

c’est à dire :

xUS∂∂

=11 (B-3)

yVS∂∂

=22 (B-4)

zWS∂∂

=33 (B-5)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

==xV

yUSS

21

2112 (B-6)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

==x

Wz

USS21

3113 (B-7)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

==y

WzVSS

21

3223 (B-8)

0332211 =Ω=Ω=Ω (B-9)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=Ω−=ΩxV

yU

21

2112 (B-10)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=Ω−=Ωx

Wz

U21

3113 (B-11)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=Ω−=Ωy

WzV

21

3223 (B-12)

Pour développer les termes intervenant dans l’expression des contraintes de Reynolds et en

tenant compte de l’égalité suivante : 0.332211 =++ SSS , nous définissons les opérateurs

suivants :

∑=

≡3

1kjkikjkik SSSS

Annexes

143

213

212

2111313121211111111 SSSSSSSSSSSSS kk ++=++== (B-13)

223

222


233

223


123323132313221221112112 SSSSSSSSSSSSSS kk −=++== (B-16)



∑=

Ω=Ω3

1kjkikjkik SS

131312121313121211111111 SSSSSSOS kk Ω+Ω=Ω+Ω+Ω=Ω= (B-19)

232312122323222221212222 SSSSSSOS kk Ω+Ω−=Ω+Ω+Ω=Ω= (B-20)

232313133333323231313333 SSSSSSOS kk Ω−Ω−=Ω+Ω+Ω=Ω= (B-21)







1313121211 Ω−Ω−= SSSO (B-28)

2323121222 Ω−Ω= SSSO (B-29)

2323131333 Ω+Ω= SSSO (B-30)

1323122221 Ω−Ω−= SSSO (B-31)

2313121112 Ω−Ω= SSSO (B-31)

1333122331 Ω−Ω−= SSSO (B-33)

2312131113 Ω+Ω= SSSO (B-34)

2333121332 Ω−Ω= SSSO (B-35)

2322131223 Ω+Ω= SSSO (B-36)

Annexes

144

∑=

ΩΩ=ΩΩ3

1kjkikjkik

213

212131312121111 Ω+Ω=ΩΩ+ΩΩ=ΩΩ= kkOO (B-37)

223

212232321212222 Ω+Ω=ΩΩ+ΩΩ=ΩΩ= kkOO (B-38)

223

213323231313333 Ω+Ω=ΩΩ+ΩΩ=ΩΩ= kkOO (B-39)

2313231322122112 ΩΩ=ΩΩ+ΩΩ=ΩΩ= kkOO (B-40)

2312331332123113 ΩΩ−=ΩΩ+ΩΩ=ΩΩ= kkOO (B-41)

1312322231213223 ΩΩ=ΩΩ+ΩΩ=ΩΩ= kkOO (B-42)

∑ ∑= =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

3

1

3

1n mmnmnmnmn SSSS

( )223

213

212

233

222

211 2 SSSSSSSSSKK ijij +++++== (B-43)

∑ ∑= =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ΩΩ=ΩΩ

3

1

3

1n mmnmnmnmn

( )223

213

2122 Ω+Ω+Ω=ΩΩ= ijijSOO (B-44)

( )22112

12233

222

211

3 3 SSSSSSSSSS ++++==

( ) ( ) 13231222332233311

213 633 SSSSSSSSS +++++ (B-45)

ijklkljkikij SSSST δ311 −=

SKKSST31111

11 −= (B-46)

SKKSST31221

22 −= (B-47)

SKKSST31331

33 −= (B-48)

12112 SST = 131

13 SST = 23123 SST = (B-49)

ikjkjkikij SST Ω+Ω=2

Annexes

145

11.21111211 SOOSOST −=+= (B-50)

22.22222222 SOOSOST −=+= (B-51)

33.23333233 SOOSOST −=+= (B-52)

12212112212 SOSOOSOST −−=+= (B-53)

13313113213 SOSOOSOST −−=+= (B-54)

23323223223 SOSOOSOST −−=+= (B-55)

ijklkljkikijT δΩΩ−ΩΩ=313

SOOOOT31113

11 −= (B-56)

SOOOOT31223

22 −= (B-57)

SOOOOT31333

33 −= (B-58)

12312 OOT = 133

13 OOT = 23323 OOT = (B-59)

likjljkiij SST Ω+Ω=4

ijnlmnlmmjlmilmjlmilij SSST δΩΩ−ΩΩ+ΩΩ=325

puisque le coefficient 5C est nul, on n’a pas besoin de développer ce terme.

klklijij SSST =6

SKKST .116

11 = SKKST .226

22 = SKKST .336

33 = (B-60)

SKKST .21

126

12 = SKKST .21

136

13 = SKKST .21

236

23 = (B-61)

klklijij ST ΩΩ=7

SOOT .117

11 Ω= SOOT .227

22 Ω= SOOT .337

33 Ω= (B-62)

SOOT .21

127

12 Ω= SOOT .21

137

13 Ω= SOOT .21

237

23 Ω= (B-63)

Annexes

146

Références

149

Références

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