[Vnmath.com] he thong kien toan thcs dai so va hinh hoc

www.VNMATH.com

V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù nghiÖp trång ng−êi

N¨m häc 2011 - 2015

1

1Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc Phæ

1. §iÓm - §−êng th¼ng- Ng−êi ta dïng çc ch÷ çi in hoa A,

B, C, ... ®Ó ®Æt tªn cho ®iÓm- BÊt cø h×nh nµo còng lµ mét tËp hîp

çc ®iÓm. Mét ®iÓm còng lµ mét h×nh.

- Ng−êi ta dïng çc ch÷ çi th−êng a, b, c, ... m, p, ... ®Ó ®Æt tªn cho çc®−êng th¼ng (hoÆc dïng hai ch÷ çi in hoa hoÆc dïng hai ch÷ çi th−êng, vÝ dô ®−êng th¼ng AB, xy,... )

- §iÓm C thuéc ®−êng th¼ng a (®iÓm C n»m trªn ®−êng th¼ng a hoÆc ®−êng th¼ng a ®i qua ®iÓm C), kÝ hiÖu lµ: C a

- §iÓm M kh«ng thuéc ®−êng th¼ng a (®iÓm M n»m ngoµi ®−êng th¼ng a hoÆc ®−êng th¼ng a kh«ng ®i qua®iÓm M), kÝ hiÖu lµ: M a

2. Ba ®iÓm th¼ng hµng- Ba ®iÓm cïng thuéc mét ®−êng th¼ng ta nãi chóng th¼ng hµng- Ba ®iÓm kh«ng cïng thuéc bÊt k×®−êng th¼ng nµo ta nãi chóngkh«ng th¼ng hµng.3. §−êng th¼ng trïng nhau, c¾t nhau, song song- Hai ®−êng th¼ng AB vµ BC nh− h×nh vÏ bªn lµ hai ®−êng th¼ngtrïng nhau.- Hai ®−êng th¼ng chØ cã mét ®iÓm chung ta nãi chóng c¾t nhau, ®iÓm chung ®ã ®−îc gäi lµ giao ®iÓm (®iÓm E lµ giao ®iÓm)

www.VNMATH.com

Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i

Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n

- Hai ®−êng th¼ng kh«ng cã ®iÓm

www.VNMATH.com


N¨m häc 2011 - 2015

Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc Phæ

chung nµo, ta nãi chóng song song víi nhau, kÝ hiÖu xy//zt4. Kh¸i niÖm vÒ tia, hai tia ®èi nhau, hai tia trïng nhau- H×nh gåm ®iÓm O vµ mét phÇn ®−êng th¼ng bÞ chia ra bëi ®iÓm O®−îc gäi lµ mét tia gèc O (cã hai tia Ox vµ Oy nh− h×nh vÏ)- Hai tia chung gèc t¹o thµnh®−êng th¼ng ®−îc gäi lµ hai tia®èi nhau (hai tia Ox vµ Oy trong h×nh vÏ lµ hai tia ®èi nhau)

- Hai tia chung gèc vµ tia nµy n»m trªn tia kia ®−îc gäi lµ hai tia trïng nhau- Hai tia AB vµ Ax lµ hai tia trïng nhau

5. §o¹n th¼ng, ®é dµi ®o¹n th¼ng- §o¹n th¼ng AB lµ h×nh gåm®iÓm A, ®iÓm B vµ tÊt c¶ çc ®iÓmn»m gi÷a A vµ B- Hai ®iÓm A vµ B lµ hai mót (hoÆc hai ®Çu) cña ®o¹n th¼ng AB.6. Khi nµo th× AM + MB = AB ?- NÕu ®iÓm M n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ B th× AM + MB = AB. Ng−îc l¹i, nÕu AM + MB = AB th× ®iÓm M n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ B7. Trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng- Trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB lµ ®iÓm n»m gi÷a A, B vµ çch®Òu A, B (MA = MB)- Trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB cßn gäi lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña®o¹n th¼ng AB

- Mçi ®o¹n th¼ng cã mét ®é dµi. §é dµi ®o¹n th¼ng lµ mét sè d−¬ng

8. Nöa mÆt ph¼ng bê a, hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau- H×nh gåm ®−êng th¼ng a vµ métphÇn mÆt ph¼ng bÞ chia ra bëi a®−îc gäi lµ mét nöa mÆt ph¼ng bê a- Hai nöa mÆt ph¼ng cã chung bê®−îc gäi lµ hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau (hai nöa mÆt ph¼ng (I) vµ (II)®èi nhau)

9. Gãc, gãc bÑt

3

3

xÔy

www.VNMATH.com



- Gãc lµ h×nh gåm hai tia chung gèc, gèc chung cña hai tia gäi lµ®Ønh cña gãc, hai tia lµ hai c¹nh cña gãc- Gãc xOy kÝ hiÖu

lµxÔy hoÆc Oˆ

hoÆc xOy- §iÓm O lµ ®Ønh cña gãc- Hai c¹nh cña gãc : Ox, Oy- Gãc bÑt lµ gãc cã hai c¹nh lµ haitia ®èi nhau10. So s¸nh hai gãc, gãc vu«ng, gãc nhän, gãc tï.- So s¸nh hai gãc b»ng çch so s¸nh çc sè ®o cña chóng- Hai gãc xOy vµ uIv b»ng nhau®−îc kÝ hiÖu lµ: xÔy uÎv- Gãc xOy nhá h¬n gãc uIv, ta viÕt:xÔy uÎv uÎv xÔy

- Gãc cã sè ®o b»ng 900 = 1v, lµ gãc vu«ng- Gãc nhá h¬n gãc vu«ng lµ gãc nhän- Gãc lín h¬n gãc vu«ng nh−ng nhá h¬n gãc bÑt lµ gãc tï.11. Khi nµo th×- NÕu tia Oy n»m gi÷a hai tia Oxvµ Oz th× xÔy yÔz xÔz .

- Ng−îc l¹i, nÕu xÔy yÔz xÔzth× tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox vµ Oz

12. Hai gãc kÒ nhau, phô nhau, bï nhau, kÒ bï- Hai gãc kÒ nhau lµ hai gãc cã mét c¹nh chung vµ hai c¹nh cßn l¹i n»m trªn hai nöa mÆt ph¼ng®èi nhau cã bê chøa c¹nh chung.- Hai gãc phô nhau lµ hai gãc cã tæng sè ®o b»ng 900

- Hai gãc bï nhau lµ hai gãc cã tæng sè ®o b»ng 1800

www.VNMATH.com


N¨m häc 2011 - 2015


- Hai gãc võa kÒ nhau, võa bï nhau ®−îc gäi lµ hai gãc kÒ bï

a

A I B

a AB t¹i I IA =IB

a3 A 24 1

b3 2B

4 1

www.VNMATH.com



13. Tia ph©n gi¸c cña gãc

- Tia ph©n gi¸c cña mét gãc lµ tia n»m gi÷a hai c¹nh cña gãc vµ t¹o víi hai c¹nh Êy hai gãc b»ng nhau- Khi: xÔz zÔy xÔy vµ xÔz = zÔy=> tia Oz lµ tia ph©n gi¸c cña gãc xOy- §−êng th¼ng chøa tia ph©n gi¸c cña mét gãc lµ ®−êng ph©n gi¸c cña gãc ®ã (®−êng th¼ng mn lµ®−êng ph©n gi¸c cña gãc xOy)

14. §−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng

a) §Þnh nghÜa: §−êng th¼ng vu«ng gãc víi mét ®o¹n th¼ng t¹i trung®iÓm cña nã ®−îc gäi lµ ®−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng Êy

b) Tæng qu¸t:

a lµ ®−êng trung trùc cña AB

#

15. Çc gãc t¹o bëi mét ®−êng th¼ng c¾t hai ®−êng th¼ng

a) Çc cÆp gãc so le trong:ˆ ˆ ˆ Â1 vµ B3 ; A4 vµ B2 .

b) Çc cÆp gãc ®ång vÞ:ˆ ˆ ˆ Â1 vµ B1 ; A2 vµ B2 ;ˆ ˆ ˆ Â3 vµ B3 ; A4 vµ B4 .

c) Khi a//b th×:ˆ ˆ ˆ Â1 vµ B2 ; A4 vµ B3 gäi lµ çc cÆp

gãc trong cïng phÝa bï nhau

16. Hai ®−êng th¼ng song song

www.VNMATH.com

V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù nghiÖp trång N¨m häc 2011 5

5Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc Phæ

cb

aa cb c

a / / b

cb

ac ba / / b

c a

a) DÊu hiÖu nhËn biÕt- NÕu ®−êng th¼ng c c¾t hai ®−êng

th¼ng a, b vµ trong çc gãc t¹o thµnh cã mét cÆp gãc so le trong b»ng nhau (hoÆc mét cÆp gãc ®ång vÞ b»ng nhau) th× a vµ b song song víi nhau

b) Tiªn ®Ò ¥_clÝt- Qua mét ®iÓm ë ngoµi mét ®−êng

th¼ng chØ cã mét ®−êng th¼ng song song víi ®−êng th¼ng ®ã

c a

b

M b

ac, TÝnh chÊt hai ®−êng th¼ng song song- NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai ®−êng th¼ng song song th×:

✓ Hai gãc so le trong b»ng nhau;✓ Hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau;✓ Hai gãc trong cïng phÝa bï nhau.

d) Quan hÖ gi÷a tÝnh vu«ng gãc víi tÝnh song song- Hai ®−êng th¼ng ph©n biÖt

cïng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng thø ba th× chóng song song víi nhau

- Mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mét trong hai ®−êng th¼ng song song th× nã còng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng kia

e) Ba ®−êng th¼ng song song- Hai ®−êng th¼ng ph©n biÖt cïng a

song song víi mét ®−êng th¼ng thøba th× chóng song song víi nhau b

a//c vµ b//c => a//b c

AˆCx Aˆ Bˆ

ABC A ' B'C'

AB A 'B '; AC A 'C '; BC B 'C '

A A ';ˆ ˆ B B ';ˆ ˆ C C 'ˆ ˆ

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:AB A 'B 'AC A 'C ' ABC A ' B 'C '( c.c.c)

BC B'C'

www.VNMATH.com



17. Gãc ngoµi cña tam gi¸ca) §Þnh nghÜa: Gãc ngoµi cña mét

Atam gi¸c lµ gãc kÒ bï víi mét gãccña tam gi¸c Êy

b) TÝnh chÊt: Mçi gãc ngoµi cña tam gi¸c b»ng tæng hai gãc trong kh«ng

kÒ víi nã BC x

18. Hai tam gi¸c b»ng nhaua) §Þnh nghÜa: Hai tam gi¸c b»ng A

nhau lµ hai tam gi¸c cã çc c¹nh t−¬ng øng b»ng nhau, çc gãc t−¬ng øng b»ng nhau

B CA'

B' Cb) Çc tr−êng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c*) Tr−êng hîp 1: C¹nh - C¹nh - C¹nh A

(c.c.c)- NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy b»ng

ba c¹nh cña tam gi¸c kia th× hai tamgi¸c ®ã b»ng nhau

B CA'

B' C'

7

7

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:AB A 'B '

Bˆ Bˆ ' ABC A 'B 'C '( c.g.c)

BC B'C'

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:Bˆ Bˆ '

BC B 'C' ABC A 'B 'C '( g.c.g ) Cˆ Cˆ '

www.VNMATH.com

V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù nghiÖp trång N¨m häc 2011


*) Tr−êng hîp 2: C¹nh - Gãc - C¹nh A(c.g.c)

- NÕu hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tamgi¸c nµy b»ng hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam gi¸c kia th× hai tamgi¸c ®ã b»ng nhau B C

A'

B' C'*) Tr−êng hîp 3: Gãc - C¹nh - Gãc (g.c.g)

A- NÕu mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam

gi¸c nµy b»ng mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c®ã b»ng nhau

B CA'

B' C'c) Çc tr−êng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c vu«ng

➢ Tr−êng hîp 1: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

B B'

A C A' C'

➢ Tr−êng hîp 2: NÕu mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc

ABC : NÕu AC > AB th× Bˆ

ABC : NÕu Bˆ > Cˆ th× AC > AB

www.VNMATH.com



nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

B B'

A C A' C'

➢ Tr−êng hîp 3: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

B B'

A C A' C'➢ Tr−êng hîp 4: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam

gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

B B'

A C A' C'

19. Quan hÖ gi÷a çc yÕu tè trong tam Agi¸c (quan hÖ gi÷a gãc vµ c¹nh ®èi diÖntrong tam gi¸c)

- Trong mét tam gi¸c, gãc ®èi diÖn víi c¹nh lín h¬n lµ gãc lín h¬n

B C✓ Trong mét tam gi¸c, c¹nh ®èi diÖn víi gãc lín h¬n th× lín h¬n

9

9

d

www.VNMATH.com



20.Quan hÖ gi÷a ®−êng vu«ng gãc vµ ®−êng xiªn, ®−êng xiªn vµ h×nh chiÕu

Kh¸i niÖm ®−êng vu«ng gãc, ®−êng xiªn, h×nh chiÕu cña®−êng xiªn

- LÊy A d, kÎ AH d, lÊy B d vµ B H. Khi ®ã :- §o¹n th¼ng AH gäi lµ ®−êng vu«ng Agãc kÎ tõ A ®Õn ®−êng th¼ng d- §iÓm H gäi lµ h×nh chiÕu cña A trªn

®−êng th¼ng d- §o¹n th¼ng AB gäi lµ mét ®−êng xiªn

kÎ tõ A ®Õn ®−êng th¼ng d- §o¹n th¼ng HB gäi lµ h×nh chiÕu cña

®−êng xiªn AB trªn ®.th¼ng d H Quan hÖ gi÷a ®−êng xiªn vµ ®−êng vu«ng gãc:

Trong çc ®−êng xiªn vµ ®−êng vu«ng gãc kÎ tõ mét ®iÓm ë ngoµi mét ®−êng th¼ng ®Õn ®−êng th¼ng ®ã, ®−êng vu«ng gãc lµ ®−êng ng¾n nhÊt.

Quan hÖ gi÷a ®−êng xiªn vµ h×nh chiÕu:Trong hai ®−êng xiªn kÎ tõ mét ®iÓm n»m ngoµi mét ®−êng th¼ng®Õn ®−êng th¼ng ®ã, th×:

✓ §−êng xiªn nµo cã h×nh chiÕu lín h¬n th× lín h¬n✓ §−êng xiªn nµo lín h¬n th× cã h×nh chiÕu lín h¬n✓ NÕu hai ®−êng xiªn b»ng nhau th× hai h×nh chiÕu b»ng nhau vµ

ng−îc l¹i, nÕu hai h×nh chiÕu b»ng nhau th× hai ®−êng xiªn b»ng nhau.

21.Quan hÖ gi÷a ba c¹nh cña mét tam gi¸c. BÊt ®¼ng thøc tam gi¸c

- Trong mét tam gi¸c, tæng ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng lín h¬n®é dµi c¹nh cßn l¹i.

AB C

- Trong mét tam gi¸c, hiÖu ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng nhá h¬n®é dµi c¹nh cßn l¹i.

AC - BC < AB AB - BC < AC AC - AB < BC

- NhËn xÐt : Trong mét tam gi¸c, ®é dµi mét c¹nh bao giê còng lín h¬n

AB + AC > BC AB + BC > AC AC +

B

www.VNMATH.com



hiÖu vµ nhá h¬n tæng ®é dµi hai c¹nh cßn l¹i.VD: AB - AC < BC < AB + AC

1

1

F G E

www.VNMATH.com



GA GB GC 2DAEBFC3

O

O

B C

21. TÝnh chÊt ba ®−êng trung tuyÕn cña tam gi¸c- Ba ®−êng trung tuyÕn cña mét tam gi¸c Acïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm ®ã çch mçi®Ønh mét kho¶ng b»ng 2

3trung tuyÕn ®i qua ®Ønh Êy:

®é dµi ®−êng

B CG lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC D

22. TÝnh chÊt ba ®−êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c- Ba ®−êng ph©n gi¸c cña mét Atam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm.§iÓm nµy çch ®Òu ba c¹nh cña tam gi¸c ®ã

- §iÓm O lµ t©m ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC

B C23. TÝnh chÊt ba ®−êng trung trùc cña tam gi¸c- Ba ®−êng trung trùc cña mét tam Agi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm nµy çch ®Òu ba ®Ønh cña tam gi¸c®ã

- §iÓm O lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC

24. Ph−¬ng ph¸p chøng minh mét sè bµi to¸n c¬ b¶n (sö dông mét trong çc çch sau ®©y)

a) Chøng minh tam gi¸c c©n1. Chøng minh tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng nhau2. Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau3. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®−êng trung tuyÕn võa lµ ®−êng cao4. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®−êng cao võa lµ ®−êng ph©n gi¸c ë

®Ønhb) Chøng minh tam gi¸c ®Òu

1. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba c¹nh b»ng nhau2. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba gãc b»ng nhau3. Chøng minh tam gi¸c c©n cã mét gãc lµ 600

c) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh b×nh hµnh1. Tø gi¸c cã çc c¹nh ®èi song song lµ h×nh b×nh hµnh2. Tø gi¸c cã çc c¹nh ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh

D EDE / / BC, DE 1 BC2

www.VNMATH.com



3. Tø gi¸c cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh4. Tø gi¸c cã çc gãc ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh5. Tø gi¸c cã hai ®−êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng lµ h×nh b×nh hµnh

d) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thang:Ta chøng minh tø gi¸c ®ã cã hai c¹nh ®èi song song

e) Chøng minh mét h×nh thang lµ h×nh thang c©n1. Chøng minh h×nh thang cã hai gãc kÒ mét ®¸y b»ng nhau2. Chøng minh h×nh thang cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau

f) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh ch÷ nhËt1. Tø gi¸c cã ba gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt2. H×nh thanh c©n cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt3. H×nh b×nh hµnh cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt4. H×nh b×nh hµnh cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau lµ h×nh ch÷ nhËt

g) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thoi1. Tø gi¸c cã bèn c¹nh b»ng nhau2. H×nh b×nh hµnh cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau3. H×nh b×nh hµnh cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc víi nhau4. H×nh b×nh hµnh cã mét ®−êng chÐo lµ ®−êng ph©n gi¸c cña mét gãc

h) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh vu«ng1. H×nh ch÷ nhËt cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau2. H×nh ch÷ nhËt cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc3. H×nh ch÷ nhËt cã mét ®−êng chÐo lµ ®−êng ph©n gi¸c cña mét gãc4. H×nh thoi cã mét gãc vu«ng5. H×nh thoi cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau

25. §−êng trung b×nh cña tam gi¸c, cña h×nh thanga) §−êng trung b×nh cña tam gi¸c

✓ § Þ n h n g h Ü a : §−êng trung b×nh cña tam gi¸c lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh cña tam gi¸c

✓ § Þ n h l Ý : §−êng trung b×nh cña tam gi¸c th× song song víi c¹nh thø ba vµ b»ng nöa c¹nh Êy

A

DE lµ ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c

B C

1

1

EF

EF//AB, EF//CD, EF AB CD2

B'C'/ / BC AB'

AB' AC' ; B'B C'CAB

AC' ;AC

B' BC'CAB AC

B' C' a

AB' AC'AB AC

B'C'/ / BC

www.VNMATH.com



b) §−êng trung b×nh cña h×nh thang✓ § Þ n h n g h Ü a : §−êng trung b×nh cña h×nh thang lµ ®o¹n th¼ng nèi

trung ®iÓm hai c¹nh bªn cña h×nh thang✓ § Þ n h l Ý : §−êng trung b×nh cña h×nh thang th× song song víi

hai®¸y vµ b»ng nöa tæng hai ®¸yEF lµ ®−êng trung b×nh cña A B

h×nh thang ABCD

D C26. Tam gi¸c ®ång d¹nga) §Þnh lÝ Ta_lÐt trong tam gi¸c:- NÕu mét ®−êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ c¾t hai c¹nh cßn l¹i th× nã ®Þnh ra trªn hai c¹nh ®ã nh÷ng ®o¹n th¼ng t−¬ng øng tØ lÖ

A

B Cb) §Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Ta_lÐt:- NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ ®Þnh ra trªn hai c¹nh nµy nh÷ng ®o¹n th¼ng t−¬ng øng tØ lÖ th× ®−êng th¼ng ®ã song song víi c¹nh cßn l¹i cña tam gi¸c

VÝ dô:

c) HÖ qu¶ cña ®Þnh lÝ Ta_lÐt

; Çc tr−êng hîp kh¸c t−¬ng tù

- NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ song song víi c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam gi¸c míi cã ba c¹nh t−¬ng øng tØ lÖ víi ba c¹nh cña tam gi¸c ®· cho. HÖ qu¶ cßn ®óng trong tr−êng hîp®−êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ c¾t phÇn kÐo dµicña hai c¹nh cßn l¹i ( B'C'/ / BC AB' AC' B'C' )

AB AC BC

A

DB ABDCAC

D'B ABD'CAC

Aˆ Aˆ '; Bˆ Bˆ '; Cˆ Cˆ 'ABC A 'B'C'

AB AC BC k( tØ sè ®ång d¹ng ) A 'B' A 'C'B'C'

MNa

www.VNMATH.com



A a

C' B'

A

B C

a B' C' B C

d) TÝnh chÊt ®−êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c:- §−êng ph©n gi¸c trong (hoÆc ngoµi) cña mét tam gi¸c chia c¹nh ®èi diÖn thµnh hai ®o¹n tØ lÖ víi hai c¹nh kÒ cña hai ®o¹n ®ã

A

B D CD' B

C

e) §Þnh nghÜa hai tam gi¸c ®ång d¹ng :- Hai tam gi¸c ®ång d¹ng lµ hai tam gi¸c cã çc gãc t−¬ng øng b»ng nhau vµ çc c¹nh t−¬ng øng tØ lÖ

f) §Þnh lÝ vÒ hai tam gi¸c ®ång d¹ng:- NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ song song víi c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam gi¸c míi ®ång d¹ng víi tam gi¸c®· cho

A

*) L−u ý: §Þnh lÝ còng ®óng ®èi víitr−êng hîp ®−êng th¼ng c¾t phÇn kÐo dµi hai c¹nh cña tam gi¸c vµ song songvíi c¹nh cßn l¹i B C

g) Çc tr−êng hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c

MN / / BC AMN

S

S

1

1

NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AB AC BC ABCA 'B'A 'C'B'C'

A ' B'C'( c.c.c)

NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AB BC A 'B' B'C' ABC

Bˆ Bˆ '

A 'B'C'( c.g.c)

NÕu ABC vµ A'B'C' cã: Aˆ Aˆ '

B B ' ˆ ˆ ABC A 'B'C'( g.g )

www.VNMATH.com



*)Tr−êng hîp 1: NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy tØ lÖ víi ba c¹nh cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång d¹ng.

A'A

BC B' C

*)Tr−êng hîp 2: NÕu hai c¹nh cña tam gi¸c nµy tØ lÖ víi hai c¹nh cña tam gi¸c kia vµ hai gãc t¹o bëi çc c¹nh ®ã b»ng nhau th× hai tam gi¸c ®ång d¹ng

A'A

BC B' C'

*)Tr−êng hîp 3: NÕu hai gãc cña tam gi¸c nµy lÇn l−ît b»ng hai gãc cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ång d¹ng;

A'A

BC B' C

h) Çc tr−êng hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c vu«ng

SS

S

S

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:A ̂ Aˆ ' 900 Cˆ

Cˆ ' ABC A 'B'C'

B'

C A’

Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã: AB AC ABCA 'B'C'A 'B'A 'C'

Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã: AB BC ABCA 'B'C'A 'B'B'C'

www.VNMATH.com



*)Tr−êng hîp 1: NÕu hai tam gi¸c vu«ng cã mét gãc nhän b»ng nhau th× chóng ®ång d¹ng.

B

A C'*)Tr−êng hîp 2: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ lÖ víi hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång d¹ng.

B'

B

A C A' C'

*)Tr−êng hîp 3: NÕu c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ lÖ víi c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai gi¸c ®ã ®ång d¹ng.

27.TØ sè hai ®−êng cao, tØ sè diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng- TØ sè hai ®−êng cao t−¬ng øng cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng tØ sè ®ång d¹ng- TØ s« diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng b×nh ph−¬ng tØ sè®ång d¹ng- Cô thÓ : A

'B'C'ABC theo tØ sè k

S

SS

1

1

A 'H'AH

k vµSA 'B'C'SABC

k2

a

ha

ha

S 1 ah2

S 1 ah2

EF ha

S 1 ( a b)h EF.h2

ha

S 1 ah2

S 12

d d12

d2d1bh

a

www.VNMATH.com



p( p a)( p b)( p c)

=>

28. DiÖn tÝch çc h×nh

S a.b

b

Chó ý:1. DiÖn tÝch ®a gi¸c ®Òu n c¹nh, mçi c¹nh cã ®é dµi b»ng a ®−îc

tÝnhtheo c«ng thøc S = 1

4.na 4R 2 a

2(R lµ b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i

tiÕp ®a gi¸c ®Òu )2. Diện tích tam giác:sABC = 12

.a.ha = 12

a.b.sinC = p.r = abc =4R+) a, b, c là độ dài các cạnh tương ứng+) ha là độ dài đường cao ứng với cạnh a

S

S a.h

ba

www.VNMATH.com



+) C là độ lớn của góc xen giữa hai cạnh a, b+) p là nửa chu vi của tam giác+) r là độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác+) R là độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

29. Häc sinh cÇn n¾m v÷ng çc bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n

www.VNMATH.com



c bh

c'H

b'a

sin c¹nh ®èic¹nh huyÒntg c¹nh ®èi

c¹nh kÒα

(dïng th−íc th¼ng, th−íc ®o ®é, th−íc cã chia kho¶ng, compa, ªke)a) Dùng mét ®o¹n th¼ng b»ng mét ®o¹n th¼ng cho tr−íc;b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tr−íc;c) Dùng ®−êng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng cho tr−íc, dùng trung

®iÓm cña mét ®o¹n th¼ng cho tr−íc;d) Dùng tia ph©n gi¸c cña mét gãc cho tr−íc;e) Qua mét ®iÓm cho tr−íc, dùng ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mét ®−êng

th¼ng cho tr−íc;f) Qua mét ®iÓm n»m ngoµi mét ®−êng th¼ng cho tr−íc, dùng

®−êng th¼ng song song víi mét ®−êng th¼ng cho tr−íc;g) Dùng tam gi¸c biÕt ba c¹nh, hoÆc biÕt hai c¹nh kÒ vµ gãc xen

gi÷a, hoÆc biÕt mét c¹nh vµ hai gãc kÒ.

30. HÖ thøc l−îng trong tam gi¸c vu«ng (líp 9)

a) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®−êng cao trong tam gi¸c vu«ng

✓ b2 ab'

✓ c2 ac'

✓ a2 b2

c2

A(Pi_ta_go)

✓ bc = ah

B C

b) TØ sè l−îng gi¸c cña gãc nhän

✓ §Þnh nghÜa çc tØ sè l−îng gi¸c cña gãc nhän

✓ Mét sè tÝnh chÊt cña çc tØ sè l−îng gi¸c+) §Þnh lÝ vÒ tØ sè l−îng gi¸c cña hai gãc phô nhau

Cho hai gãc α vµ β phô nhau. Khi ®ã:sinα = cosβ; tgα = cotgβ; cosα = sinβ; cotgα = tgβ.

+) Cho 00 90

0 . Ta cã:

✓ h2 b' c '

✓ 1 b2 1

c2 1 h2

cos c¹nh kÒ c¹nh huyÒn

cotg c¹nh kÒ

www.VNMATH.com



0 sin 1;0 cos 1;sin 2 co 2 1stg sin ;cos

cotg cos ;sin

tg.cotg 1

1

1

00 90 sin sin ;cos cos ; tg tg ;cotg cotg012 1 2 1 21 2 1 2

b = a.sinB;b = a.cosC; b = c.tgB;b = c.cotgC;

c = a.sinCc = a.cosB c = b.tgCc = b.cotgB

=> a = b c b csinBsinCcosC cosB

www.VNMATH.com



✓ So s¸nh çc tØ sè l−îng gi¸c

c) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng

31. §−êng trßn, h×nh trßn, gãc ë t©m, sè ®o cung

s®

www.VNMATH.com



- §−êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R lµ h×nh gåm çc ®iÓm çch O mét kho¶ng b»ng R, kÝ hiÖu (O ; R).- H×nh trßn lµ h×nh gåm çc ®iÓm n»m trªn ®−êng trßn vµ çc ®iÓm n»m bªntrong ®−êng trßn ®ã.- Trªn h×nh vÏ:+) Çc ®iÓm A, B, C, D n»m trªn (thuéc)®−êng trßn; OA = OB = OC = OD = R.+) M n»m bªn trong ®−êng trßn; OM < R+) N n»m bªn ngoµi ®−êng trßn; ON > R+) §o¹n th¼ng AB lµ d©y cung (d©y)+) CD = 2R, lµ ®−êng kÝnh (d©y cung lín nhÊt, d©y ®i qua t©m)+) AˆmB lµ cung nhá ( 00

1800 )+) AˆnB lµ cung lín+) Hai ®iÓm A, B lµ hai mót cña cung- Gãc cã ®Ønh trïng víi t©m ®−êng trßn®−îc gäi lµ gãc ë t©m ( AÔB lµ gãc ë t©mch¾n cung nhá AmB)- Gãc bÑt COD ch¾n nöa ®−êng trßn- Sè ®o cung:

+) Sè ®o cña cung nhá b»ng sè ®o cña gãc ë t©m ch¾n cung ®ã

( 00 1800 )+) Sè ®o cña cung lín b»ng hiÖu gi÷a 3600 vµ sè ®o cña cung nhá (cã chung hai mót víi cung lín)

+) Sè ®o cña nöa ®−êng trßn b»ng1800, sè ®o cña c¶ ®−êng trßn b»ng 3600

32. Quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®−êng kÝnh vµ d©y- Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung®iÓm cña d©y Êy

AB CD t¹i H => HC = HD- Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy

33. Liªn hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng çch tõ t©m ®Õn d©y

00

s® AˆnB

www.VNMATH.co

2

2

V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù nghiÖp trång ng−êi§Þnh lÝ 1: Trong mét ®−êng trßnHai d©y b»ng nhau th× çch ®Òu t©mHai d©y çch ®Òu t©m th× b»ng nhau AB = CD => OH = OK

OH = OK => AB = CD

§Þnh lÝ 2: Trong hai d©y cña mét ®−êng trßnD©y nµo lín h¬n th× d©y ®ã gÇn t©m h¬nD©y nµo gÇn t©m h¬n th× d©y ®ã lín h¬n AB < CD => OH > OK

OH > OK => AB < CD

N¨m häc 2011 - 2015

d = OH < R vµ HA = HB =R2 OH2


34. VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña ®−êng th¼ng vµ ®−êng trßna) §−êng th¼ng vµ ®−êng trßn c¾t nhau(cã hai ®iÓm chung)

- §−êng th¼ng a gäi lµ çt tuyÕn cña (O)

b) §−êng th¼ng vµ ®−êng trßn tiÕp xóc nhau (cã mét ®iÓm chung)- §−êng th¼ng a lµ tiÕp tuyÕn cña (O)- §iÓm chung H lµ tiÕp ®iÓm

d = OH = R*) T Ý n h c h Ê t t i Õ p t u yÕ n : NÕu mét ®−êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®−êng trßn th× nã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm.

a lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i H => a OHc) §−êng th¼ng vµ ®−êng trßn kh«ng giao nhau (kh«ng cã ®iÓm chung)

d = OH > R

35. DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn- §Ó nhËn biÕt mét ®−êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®−êng trßn ta cã hai dÊu hiÖu sau:

✓ DÊu hiÖu 1: §−êng th¼ng vµ ®−êng trßn chØ cã mét ®iÓm chung(®Þnh nghÜa tiÕp tuyÕn)

✓ DÊu hiÖu 2: §−êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña ®−êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua ®iÓm ®ã

H Oa OH t¹i H

a lµ tiÕp tuyÕn cña (O)

www.VNMATH.com



36. TÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau; ®−êng trßn néi tiÕp, bµng tiÕp tam gi¸ca) §Þnh lÝ: NÕu hai tiÕp tuyÕn cña mét ®−êng trßn c¾t nhau t¹i mét®iÓm th×:

✓ §iÓm ®ã çch ®Òu hai tiÕp ®iÓm✓ Tia kÎ tõ ®iÓm ®ã ®i qua t©m lµ

tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai tiÕp tuyÕn

✓ Tia kÎ tõ t©m ®i qua ®iÓm ®ã lµtia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai b¸n kÝnh ®i qua çc tiÕp®iÓm.

b) §−êng trßn nét tiÕp tam gi¸c- §−êng trßn tiÕp xóc víi ba c¹nh cña tam gi¸c ®−îc gäi lµ ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c, khi ®ã tam gi¸c gäi lµ tam gi¸c ngo¹i tiÕp ®−êng trßn- T©m cña ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña çc ®−êng ph©n gi¸c çc gãc trong cña tam gi¸cc) §−êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c- §−êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh cña mét tam gi¸c vµ tiÕp xóc víi çc phÇn kÐo dµi cña hai c¹nh kia gäi lµ®−êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c- T©m cña ®−êng trßn bµng tiÕp lµ giao ®iÓm cña hai ®−êng ph©n gi¸cçc gãc ngoµi t¹i hai ®Ønh nµo ®ã hoÆc lµ giao ®iÓm cña mét ®−êng ph©n gi¸c gãc trong vµ mét ®−êng ph©n gi¸c gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh

- Víi mét tam gi¸c cã ba ®−êngtrßn bµng tiÕp (h×nh vÏ lµ®−êng trßn bµng tiÕp trong gãc A)

AB AC;OÂB OÂC ;

www.VNMATH.co


37. VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai ®−êng trßn, tiÕp tuyÕn chung cña hai ®−êng trßn.

www.VNMATH.com

Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i 2

2Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n

a) Hai ®−êng trßn c¾t nhau(cã hai ®iÓm chung)

- Hai ®iÓm A, B lµ hai giao ®iÓm- §o¹n th¼ng AB lµ d©y chung

R - r < OO' < R + r- §−êng th¼ng OO’ lµ ®−êng nèi t©m,

®o¹n th¼ng OO’ lµ ®o¹n nèi t©m*) T Ý nh c h Ê t ® − ên g n è i t © m : §−êng nèi t©m lµ ®−êng trung trùc cña d©y chungb) Hai ®−êng trßn tiÕp xóc nhau

(cã mét ®iÓm chung)- §iÓm chung A gäi lµ tiÕp ®iÓm

+) TiÕp xóc ngoµi t¹i A:

OO' R r

+) TiÕp xóc trong t¹i A:

OO' R r

c) Hai ®−êng trßn kh«ng giao nhau(kh«ng cã ®iÓm chung)

+) ë ngoµi nhau:

OO' R r

+) §ùng nhau:

OO' R r

+) §Æc biÖt (O) vµ (O’) ®ång t©m:

OO' 0

d) TiÕp tuyÕn chung cña hai ®−êng trßn

BÂC 1

s®

TiÕp tuyÕn chung cña hai ®−êng trßn lµ ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi c¶ hai®−êng trßn ®ãTiÕp tuyÕn chung ngoµi kh«ng c¾t®o¹n nèi t©mTiÕp tuyÕn chung trong c¾t ®o¹n nèi t©m

www.VNMATH.com



38. So s¸nh hai cung trong mét ®−êng trßn hay trong hai ®−êng trßn b»ng nhau.- Hai cung ®−îc gäi lµ b»ng nhau nÕu chóng cã sè ®o b»ng nhau- Trong hai cung, cung nµo cã sè ®o lín h¬n ®−îc gäi lµ cung lín h¬n- KÝ hiÖu:39. Liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y.

*) §Þnh lÝ 1:Víi hai cung nhá trong mét ®−êng trßn hay trong hai ®−êng trßn b»ng nhau:

a) Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhaub) Hai d©y b»ng nhau c¨ng hai cung b»ng nhau

*) §Þnh lÝ 2:Víi hai cung nhá trong mét ®−êng trßn hay trong hai ®−êng trßn b»ng nhau:

a) Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬nb) D©y lín h¬n c¨ng cung lín h¬n

40. Gãc néi tiÕpa) §Þnh nghÜa:- Gãc néi tiÕp lµ gãc cã ®Ønh n»m trªn®−êng trßn vµ hai c¹nh chøa hai d©y cung cña ®−êng trßn ®ã.- Cung n»m bªn trong gãc ®−îc gäi lµ cung bÞ ch¾nb) §Þnh lÝ:Trong mét ®−êng trßn, sè ®o cña gãc néi tiÕp b»ng nöa sè ®o cña cung bÞ ch¾n

c) HÖ qu¶: Trong mét ®−¬ng trßn

BÂC lµ gãc néi tiÕp ch¾n cung nhá BC(h×nh a) vµ ch¾n cung lín BC(h×nh b)

+) Çc gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n çc cung b»ng nhau+) Çc gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n çc cung b»ng nhau th× b»ng nhau

AˆB CˆD; EˆF GˆH

AˆB CˆD AB CD ; AB CD

AˆB CˆD AB CD ; AB CD

2

2

B

BÂx 1 s® AˆmB

BÂy 1 s® AˆnB2

2

www.VNMATH.com



e

o

n

+) Gãc néi tiÕp (nhá h¬n hoÆc b»ng 900) cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung+) Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn lµ gãc vu«ng.

41. Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cunga) Kh¸i niÖm:- Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung lµ gãc cã ®Ønh n»m trªn ®−êng trßn, mét c¹nh lµ mét tia tiÕp tuyÕn cßn c¹nh kia chøa d©y cung cña®−êng trßn- Cung n»m bªn trong gãc lµ cung bÞ ch¾n- H×nh vÏ:

✓ BÂx ch¾n cung nhá AmB✓ BÂy ch¾n cung lín AnB

b) §Þnh lÝ:- Sè ®o cña gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung b»ng nöa sè ®o cña cung bÞ ch¾nc) HÖ qu¶:Trong mét ®−êng trßn, gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau.

42. Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®−êng trßn. Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi®−êng trßn.a) Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®−êng trßn.- Gãc cã ®Ønh n»m bªn trong ®−êng trßn ®−îc gäi lµ gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®−êng trßn

d m a

- H×nh vÏ: lµ gãc cã ®Ønh ë bªn trong®−êng trßn ch¾n hai cung lµ- Sè ®o cña gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®−êng trßn cb»ng nöa tæng sè ®o hai cung bÞ ch¾n

b

BÂx AˆCB 1 s® AˆmB

BˆnC ,

BÊC

s® BˆnC s® 2

B

A

α =

A m D

O

Bn C

23

1

www.VNMATH.com



b) Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®−êng trßn. E- Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®−êng trßn lµ gãc cã®Ønh n»m ngoµi ®−êng trßn vµ çc c¹nh ®Òu cã ®iÓm chung víi ®−êng trßn- Hai cung bÞ ch¾n lµ hai cung n»m bªn tronggãc, h×nh vÏ bªn: lµ gãc cã ®Ønh ë bªnngoµi ®−êng trßn, cã hai cung bÞ ch¾n lµ

- Sè ®o cña gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®−êng trßn b»ng nöa hiÖu sè ®o hai cung bÞ ch¾n

BÊC

s® BˆnC s® AˆmD2

43. KÕt qu¶ bµi to¸n quü tÝch cung chøa gãca) Bµi to¸n: Víi ®o¹n th¼ng AB vµ gãc ( 00 1800 ) cho tr−íc th× quü tÝch çc ®iÓmM tháa m·n lµ hai cung chøa gãc dùng trªn ®o¹n th¼ng AB

- Hai cung chøa gãc dùng trªn ®o¹n th¼ng AB ®èi xøng víi nhau qua AB

- Khi th× hai cung chøa gãc lµ hai nöa®−êng trßn ®−êng kÝnh AB, suy ra: Quü tÝch çc ®iÓm nh×n ®o¹n th¼ng AB cho tr−íc d−íi mét gãc vu«ng lµ ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB (¸p dông kiÕn thøc nµy ®Ó chøng minh tø gi¸c néi tiÕp)

AˆmD vµ

www.VNMATH.com


2

Aˆ Cˆ Bˆ

V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù nghiÖp trång ng−êib) Çch vÏ cung chøa gãc α- VÏ ®−êng trung trùc d cña ®o¹n th¼ng AB.

- VÏ tia Ax t¹o víi AB mét gãc( BÂx = )VÏ tia Ay vu«ng gãc víi tia Ax . Gäi O lµ giao®iÓm cña Ay víi dVÏ cung AmB, t©m O b¸n kÝnh OA sao cho cung nµy n»m ë nöa mÆt ph¼ng bê AB kh«ng chøa tia Ax.

N¨m häc 2011 - 2015


c) Çch gi¶i bµi to¸n quü tÝchMuèn chøng minh quü tÝch (hay tËp hîp) çc ®iÓm M tháa m·n tÝnh chÊt T lµ mét h×nh H nµo ®ã, ta chøng minh hai phÇn:P h Ç n t h u Ë n : Mäi ®iÓm cã tÝnh chÊt T ®Òu thuéc h×nh H P h Ç n ® ¶ o: Mäi ®iÓm thuéc h×nh H ®Òu cã tÝnh chÊt TK Õ t l u Ë n : Quü tÝch (hay tËp hîp) çc ®iÓm M cã tÝnh chÊt T lµ h×nh H44. Tø gi¸c néi tiÕpa) Kh¸i niÖm tø gi¸c néi tiÕp- Mét tø gi¸c cã bèn ®Ønh n»m trªn mét ®−êng trßn ®−îc gäi lµ tø gi¸c néi tiÕp ®−êng trßn (gäi t¾t lµ tø gi¸c néi tiÕp)

b) §Þnh lÝ:- Trong mét tø gi¸c néi tiÕp, tæng sè ®o hai

gãc®èi diÖn b»ng 1800

c) DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp✓ Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800

Tø gi¸c ABCD néi tiÕp (O), suy ra:

✓ Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn

✓ Tø gi¸c cã bèn ®Ønh çch ®Òu mét ®iÓm (mµ ta cã thÓ x¸c ®Þnh®−îc). §iÓm ®ã lµ t©m cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c

✓ Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i d−íi mét gãc α

L − u ý : §Ó chøng minh mét tø gi¸c lµ tø gi¸c néi tiÕp ta cã thÓ chøng minh tø gi¸c ®ã lµ mét trong çc h×nh : H×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng, h×nh thang c©n.

45. §−êng trßn ngo¹i tiÕp. §−êng trßn néi tiÕp

§−êng trßn ®i qua tÊt c¶ çc ®Ønh cña mét®a gi¸c ®−îc gäi lµ ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ®a gi¸c vµ ®a gi¸c ®−îc gäi lµ ®a gi¸c néi tiÕp®−êng trßn§−êng trßn tiÕp xóc víi tÊt c¶ çc c¹nh cña mét ®a gi¸c ®−îc gäi lµ ®−êng trßn néi tiÕp ®a gi¸c vµ ®a gi¸c ®−îc gäi lµ ®a gi¸c ngo¹i tiÕp®−êng trßn

I

BÊt k× ®a gi¸c ®Òu nµo còng cã mét vµ chØmét ®−êng trßn ngo¹i tiÕp, cã mét vµ chØ mét®−êng trßn néi tiÕp.

Trong ®a gi¸c ®Òu, t©m cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp trïng víi t©m cña ®−êng trßn néi tiÕp vµ ®−îc gäi lµ t©m cña ®a gi¸c ®Òu.

www.VNMATH.co


46. Mét sè ®Þnh lÝ ®−îc ¸p dông : (kh«ng cÇn chøng minh)a) §Þnh lÝ 1:

+) T©m cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c vu«ng lµ trung ®iÓm cña c¹nh huyÒn+) NÕu mét tam gi¸c cã mét c¹nh lµ ®−êng kÝnh cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp th× tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c vu«ng

b) §Þnh lÝ 2:Trong mét ®−êng trßn, hai cung bÞ ch¾n gi÷a hai d©y song song th× b»ng nhau

c) §Þnh lÝ 3:Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh ®i qua ®iÓm chÝnh gi÷a cña mét cung th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y c¨ng cung Êy.

d) §Þnh lÝ 4:Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y cung (kh«ng ph¶i lµ ®−êng kÝnh) th× chia cung c¨ng d©y Êy thµnh hai cung b»ng nhau

e) §Þnh lÝ 5:Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh ®i qua ®iÓm chÝnh gi÷a cña mét cung th× vu«ng gãc víi d©y c¨ng cung Êy vµ ng−îc l¹i, ®−êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung c¨ng d©y Êy.

47. §é dµi ®−êng trßn, ®é dµi cung trßn, diÖn tÝch h×nh trßn, diÖn tÝch h×nh qu¹t trßna) §é dµi ®−êng trßnC«ng thøc tÝnh ®é dµi ®−êng trßn (chu vi h×nh

www.VNMATH.com


2

C =2 R C = d

3,1415...

l R.n180

S .R2


R2nSquat =360

SquatA.R2

trßn) b¸n kÝnh R lµ:HoÆc

Trong ®ã: C : lµ ®é dµi ®−êng trßnR: lµ b¸n kÝnh ®−êng trßn d: lµ ®−êng kÝnh ®−êng trßn

lµ sè v« tØ.

b) §é dµi cung trßn

§é dµi cung trßn n0 lµ:

Trong ®ã: l : lµ ®é dµi cung trßn n0

R: lµ b¸n kÝnh ®−êng trßn n: lµ sè ®o ®é cña gãc ë t©m

c) DiÖn tÝch h×nh trßn

Trong ®ã:S : lµ diÖn tÝch h×nh trßn . R : lµ b¸n kÝnh h×nh trßn . 3 , 14

d) DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn

HoÆc

Trong ®ã:S lµ diÖn tÝch h×nh qu¹t trßn cung n0

R lµ b¸n kÝnhl lµ ®é dµi cung n0 cña h×nh qu¹t trßn 3 , 14

48. Ph−¬ng ph¸p chøng minh mét sè bµi to¸n h×nh häc th−êng gÆp khi «n thi vµo THPTa) Chøng minh tam gi¸c c©n

1. Chøng minh tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng nhau2. Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau3. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®−êng trung tuyÕn võa lµ ®−êng cao4. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®−êng cao võa lµ ®−êng ph©n gi¸c ë

®Ønhb) Chøng minh tam gi¸c ®Òu

1. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba c¹nh b»ng nhau2. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba gãc b»ng nhau3. Chøng minh tam gi¸c c©n cã mét gãc lµ 600

c) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh b×nh hµnh

www.VNMATH.com



1. Tø gi¸c cã çc c¹nh ®èi song song lµ h×nh b×nh hµnh

www.VNMATH.com



2. Tø gi¸c cã çc c¹nh ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh3. Tø gi¸c cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh4. Tø gi¸c cã çc gãc ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh5. Tø gi¸c cã hai ®−êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng lµ h×nh b×nh hµnh

d) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thang:Ta chøng minh tø gi¸c ®ã cã hai c¹nh ®èi song song

e) Chøng minh mét h×nh thang lµ h×nh thang c©n1. Chøng minh h×nh thang cã hai gãc kÒ mét ®¸y b»ng nhau2. Chøng minh h×nh thang cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau

f) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh ch÷ nhËt1. Tø gi¸c cã ba gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt2. H×nh thanh c©n cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt3. H×nh b×nh hµnh cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt4. H×nh b×nh hµnh cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau lµ h×nh ch÷ nhËt

g) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thoi1. Tø gi¸c cã bèn c¹nh b»ng nhau2. H×nh b×nh hµnh cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau3. H×nh b×nh hµnh cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc víi nhau4. H×nh b×nh hµnh cã mét ®−êng chÐo lµ ®−êng ph©n gi¸c cña mét gãc

h) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh vu«ng1. H×nh ch÷ nhËt cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau2. H×nh ch÷ nhËt cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc3. H×nh ch÷ nhËt cã mét ®−êng chÐo lµ ®−êng ph©n gi¸c cña mét gãc4. H×nh thoi cã mét gãc vu«ng5. H×nh thoi cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau

i) Chøng minh hai ®−êng th¼ng vu«ng gãc✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 1 : NÕu hai gãc cña mét tam gi¸c cã tæng b»ng 900 th×

tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c vu«ng => gãc cßn l¹i b»ng 900 => hai®−êng th¼ng chøa hai c¹nh gãc vu«ng lµ vu«ng gãc víi nhau.

✓ Ph−¬ng ph¸p 2 : NÕu mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mét trong hai®−êng th¼ng song song th× nã còng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng kia

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 3 : VËn dông tÝnh chÊt, nÕu mét tam gi¸c cã mét®−êng trung tuyÕn øng víi mét c¹nh b»ng nöa c¹nh Êy th× tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c vu«ng => hai ®−êng th¼ng chøa hai c¹nh gãc vu«ng lµ vu«ng gãc víi nhau.

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 4 : VËn dông tÝnh chÊt ba ®−êng cao cña tam gi¸c,✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 5 : VËn dông hai gãc kÒ phô nhau (hai gãc kÒ cã tæng

b»ng 900)✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 6 : VËn dông tÝnh chÊt hai c¹nh kÒ cña h×nh

ch÷ nhËt, h×nh vu«ng th× vu«ng gãc víi nhau

3

3

www.VNMATH.com



✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 7 : VËn dông tÝnh chÊt cña tam gi¸c c©nTrong tam gi¸c c©n, ®−êng ph©n gi¸c, ®−êng trung tuyÕn xuÊt ph¸t tõ ®Ønh ®ång thêi lµ ®−êng cao

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 8 : VËn dông tÝnh chÊt hai ®−êng chÐo cña h×nh thoivu«ng gãc víi nhau

✓ Ph−¬ng ph¸p 9 : VËn dông hai tam gi¸c ®ång d¹ng víi nhau (hoÆc hai tam gi¸c b»ng nhau), trong ®ã cã mét tam gi¸c vu«ng.

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 1 0 : VËn dông tÝnh chÊt hai tia ph©n gi¸c cña hai gãckÒ bï th× vu«ng gãc víi nhau

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 1 1 : Dùa vµo ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Py - ta - go✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 1 2 : Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp cã mét gãc b»ng 900,

suy ra gãc ®èi diÖn còng b»ng 900 => hai ®−êng th¼ng chøa hai c¹nh cña gãc lµ vu«ng gãc víi nhau.

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 1 3 : VËn dông tÝnh chÊt ®−êng nèi t©m✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 1 4 : VËn dông ®Þnh nghÜa ®−êng trung trùc.✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 1 5 : Sö dông tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ch¾n nöa

®−êng trßn b»ng 900

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 1 6 : Sö dông tÝnh chÊt ®−êng kÝnh cña mét ®−êng trßn ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y cung kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy hoÆc ®−êng kÝnh cña mét ®−êng trßn ®i qua®iÓm chÝnh gi÷a cña mét cung th× vu«ng gãc víi d©y c¨ng cung Êy

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 1 7 : Sö dông tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn lu«n lu«n vu«ng gãc víi b¸n kÝnh t¹i mót n»m trªn ®−êng trßn); tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn chung cña hai®−êng trßn.

✓ Ph−¬ng ph¸p 18 : D©y cung chung vµ ®−êng nèi t©m cña hai®−êng trßn th× vu«ng gãc víi nhau

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 1 9 : Sö dông hai gãc kÒ bï b»ng nhau✓ Ph−¬ng ph¸p 20 : Chøng minh mét tam gi¸c b»ng mét tam gi¸c

vu«ng✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 2 1 : Sö dông tÝnh chÊt tam gi¸c c©n✓ Ph−¬ng ph¸p 22 : Chøng minh b»ng ph¶n chøng

k) Chøng minh hai ®−êng th¼ng song song víi nhau✓ Ph−¬ng ph¸p 1 : Chøng minh hai ®−êng th¼ng chøa hai c¹nh ®èi

cña h×nh b×nh hµnh (hoÆc h×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng, h×nh thoi)✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 2 : Dùa vµo dÊu hiÖu nhËn biÕt hai ®−êng th¼ng song

song: NÕu ®−êng th¼ng c c¾t hai ®−êng th¼ng a, b vµ trong çc gãc t¹o thµnh cã mét cÆp gãc so le trong b»ng nhau (hoÆc mét cÆp gãc®ång vÞ b»ng nhau) th× a vµ b song song víi nhau

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 3 : Hai ®−êng th¼ng cïng song song víi ®−êng th¼ng thø ba th× song song víi nhau.

www.VNMATH.com



✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 4 : Hai ®−êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng thø ba th× song song víi nhau.

www.VNMATH.com



✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 5 : ¸p dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Ta - lÐt✓ Ph−¬ng ph¸p 6 : Sử dụng tính chất đường trung bình của tam

giác, hình thang✓ Ph−¬ng ph¸p 7 : Sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản

chứng.m) Chøng minh hai gãc b»ng nhau

✓ Ph−¬ng ph¸p 1 : Chøng minh hai gãc ®ã lµ hai gãc t−¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau

✓ Ph−¬ng ph¸p 2 : Chøng minh hai gãc ®ã lµ hai gãc t−¬ng øng cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 3 : Chøng minh hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh✓ Ph−¬ng ph¸p 4 : NÕu hai ®−êng th¼ng song song => hai gãc so

le trong b»ng nhau, hai gãc so le ngoµi b»ng nhau, hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau.

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 5 : Chøng minh hai gãc cña cïng mét tam gi¸c c©n✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 6 : Chøng minh hai gãc cña cïng mét tam gi¸c ®Òu✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 7 : Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba✓ Ph−¬ng ph¸p 8 : Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau

kh¸c✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 9 : Chøng minh hai gãc cïng phô hoÆc cïng bï

víi mét gãc thø ba✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 1 0 : Chøng minh hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét

cung hoÆc ch¾n hai cung b»ng nhau✓ Ph−¬ng ph¸p 11 : Chøng minh hai gãc cã sè ®o b»ng nhau.✓ Ph−¬ng ph¸p 12 : Chøng minh hai gãc b»ng tæng (hiÖu) hai gãc

t−¬ng øng b»ng nhau✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 1 3 : Chøng minh hai gãc ®ã lµ hai gãc ë ®¸y cña

h×nh thang c©n✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 1 4 : Sö dông tÝnh chÊt vÒ gãc cña h×nh b×nh hµnh✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 1 5 : Sö dông ®Þnh nghÜa tia ph©n gi¸c cña mét gãc✓ Ph−¬ng ph¸p 16 : Sö dông çc gãc b»ng nhau cho tr−íc vµ biÕn

®æi✓ Ph−¬ng ph¸p 17 : Sö dông ph−¬ng ph¸p chøng minh b»ng ph¶n

chøng✓ Ph−¬ng ph¸p 18 : Sử dụng hàm số lượng giác sin, c«sin, tang,

c«tang.n) Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 1 : Chøng minh hai ®o¹n th¼ng lµ hai c¹nh t−¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 2 : Sö dông tÝnh chÊt hai ®−êng chÐo cña h×nh b×nhhµnh, h×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi®−êng

3

3

www.VNMATH.com



✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 3 : VËn dông tÝnh chÊt hai c¹nh bªn cña tam gi¸c c©n b»ng nhau

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 4 : VËn dông tÝnh chÊt ba c¹nh cña tam gi¸c ®Òu b»ng nhau

✓ Ph−¬ng ph¸p 5 : VËn dông sù b»ng nhau cña çc c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh, h×nh ch÷ nhËt, h×nh thoi , h×nh vu«ng.

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 6 : Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng mét ®o¹n th¼ng thø ba

✓ Ph−¬ng ph¸p 7 : Chøng minh hai ®o¹n th¼ng lµ hai c¹nh bªn cña h×nh thang c©n

✓ Ph−¬ng ph¸p 8 : Trong mét ®−êng trßn hoÆc trong hai ®−êng trßn b»ng nhau, hai d©y c¨ng hai cung b»ng nhau th× b»ng nhau

✓ Ph−¬ng ph¸p 9 : Trong mét ®−êng trßn hoÆc trong hai ®−êng trßn b»ng nhau, hai d©y çch ®Òu t©m th× b»ng nhau

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 1 0 : VËn dông ®Þnh lÝ, nÕu mét ®−êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm mét c¹nh cña tam gi¸c vµ song song víi c¹nh thø haith× nã sÏ ®i qua trung ®iÓm cña c¹nh thø ba

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 1 1 : VËn dông ®Þnh nghÜa ®−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng, ®ịnh nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, định nghĩa đường trung tuyến của tam giác

✓ Ph−¬ng ph¸p 12 : Chøng minh hai đoạn thẳng cã cùng số đo.✓ Ph−¬ng ph¸p 13 : Chøng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn

thẳng thứ ba.✓ Ph−¬ng ph¸p 14 : Chøng minh hai đoạn thẳng cùng bằng tổng,

hiệu, trung bình nhân, . . . , của hai đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một.

✓ Ph−¬ng ph¸p 15 : Sö dông tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền, tính chất cạnh đối diện với góc 300 của tam giác vuông.

✓ Ph−¬ng ph¸p 16 : Sö dông tính chất đường phân giác của một góc.

✓ Ph−¬ng ph¸p 17 : Sö dông tính chất của hai đoạn thẳng song song bÞ chắn giữa bởi hai đường thẳng song song.

✓ Ph−¬ng ph¸p 18 : Chứng minh bằng phản chứng.✓ Ph−¬ng ph¸p 19 : Sử dụng các đoạn thẳng bằng nhau cho trước

rồi biến đổi.✓ Ph−¬ng ph¸p 20 : Sử dụng định lí đường trung bình của tam

giác (thuận và đảo).✓ Ph−¬ng ph¸p 21 : Sử dụng tính chất trọng tâm cña tam gi¸c

(tính chất của giao điểm ba đường phân giác cña tam gi¸c), tính chất của giao điểm ba đường trung trực.

✓ Ph−¬ng ph¸p 22 :

www.VNMATH.com



Sử dụng bình phương của chúng bằng nhau (có thể sử dụng định lí Pitago, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng trong tam giác, trong đường tròn để đưa về bình phương của chúng bằng nhau)

o) Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 1 : Lîi dông hai gãc kÒ bï✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 2 : VËn dông tiªn ®Ò ¬-clÝt

Qua mét ®iÓm ë ngoµi mét ®−êng th¼ng, chØ cã mét ®−êng th¼ng song song víi ®−êng th¼ng ®· cho (hai ®−êng th¼ng cïng ®i qua hai trong ba ®iÓm Êy cïng song song víi ®−êng th¼ng thø ba)

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 3 : VËn dông tÝnh chÊt:Qua mét ®iÓm ë ngoµi mét ®−êng th¼ng, chØ cã mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng ®· cho (hai ®−êng th¼ng cïng ®i qua hai trong ba ®iÓm Êy cïng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng thø ba)

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 4 : Chøng minh ®−êng th¼ng vÏ qua hai ®iÓm ®i qua®iÓm cßn l¹i.

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 5 : VËn dông tÝnh chÊt cña h×nh b×nh hµnh lµ hai®−êng chÐo cña chóng c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng.

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 6 : Chøng minh ba ®iÓm cïng thuéc mét tia hoÆc mét®−êng th¼ng

✓ Ph−¬ng ph¸p 7 : Chøng minh b»ng ph¶n chøngp) Chøng minh ba ®−êng th¼ng ®ång quy

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 1 : Dùa vµo tÝnh chÊt çc ®−êng ®ång quy trong tam gi¸c: Ba ®−êng cao, ba ®−êng trung tuyÕn, ba ®−êng ph©n gi¸c, ba®−êng trung trùc.

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 2 : Chøng minh giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng n»m trªn ®−êng th¼ng thø ba.

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 3 : Chøng minh çc ®−êng cïng ®i qua mét ®iÓm cè®Þnh.

✓ Ph−¬ng ph¸p 4 : Chøng minh b»ng ph¶n chøngL − u ý : Çc ph−¬ng ph¸p trªn cã thÓ ®−îc vËn dông bëi nh÷ng kÜ n¨ng kh¸c nhau.q) Chøng minh çc ®iÓm cïng thuéc mét ®−êng trßn

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 1 : Chøng minh çc ®iÓm çch ®Òu mét ®iÓm cè®Þnh, kho¶ng çch ®ã lµ b¸n kÝnh cña ®−êng trßn.

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 2 : NÕu mét ®iÓm nh×n mét ®o¹n th¼ng d−íi gãc 900 , th× theo quü tÝch cung chøa gãc, ®iÓm ®ã thuéc ®−êng trßn nhËn

www.VNMATH.com



®o¹n th¼ng Êy lµ ®−êng kÝnh✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 3 : NÕu chøng minh bèn ®iÓm cïng thuéc mét ®−êng

trßn, ta cã thÓ chøng minh tø gi¸c néi tiÕp

3

3

www.VNMATH.com



✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 4 : NÕu chøng minh bèn ®iÓm cïng thuéc mét ®−êng trßn, ta cã thÓ chøng minh bèn ®iÓm ®ã lµ bèn ®Ønh cña h×nh vu«ng, h×nh ch÷ nhËt, h×nh thang c©n.

r) Chøng minh quü tÝch cña ®iÓm lµ ®−êng trßn✓ B − í c 1 : T×m ®iÓm cè ®Þnh✓ B − í c 2 : Chøng minh kho¶ng çch cña ®iÓm chuyÓn ®éng víi ®iÓm

cè ®Þnh kh«ng ®æi.✓ B − í c 3 : KÕt luËn.

§iÓm chuyÓn ®éng trªn ®−êng trßn, nhËn ®iÓm cè ®Þnh lµm t©m, kho¶ng çch kh«ng ®æi lµ b¸n kÝnh.

s) Chøng minh mét tø gi¸c lµ tø gi¸c néi tiÕp✓ Ph−¬ng ph¸p 1: Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 2 : Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 3 : Tø gi¸c cã bèn ®Ønh çch ®Òu mét ®iÓm (mµ ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc). §iÓm ®ã lµ t©m cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 4 : Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i d−íi mét gãc α

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 5 : §Ó chøng minh mét tø gi¸c lµ tø gi¸c néi tiÕp ta cã thÓ chøng minh tø gi¸c ®ã lµ mét trong çc h×nh : H×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng, h×nh thang c©n.

✓ Ph−¬ng ph¸p 6: Chøng minh tæng çc gãc ®èi b»ng nhau*) Thñ thuËt th−êng gÆp: Sö dông kü thuËt céng gãc Chøng minh tæng hai gãc ®èi diÖn cña tø gi¸c b»ng tæng ba gãc

cña mét tam gi¸c nµo ®ã Dùa vµo çc tam gi¸c ®ång d¹ng ®Ó chøng minh gãc ngoµi t¹i mét

®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn. §Ó chøng minh tø gi¸c nµy néi tiÕp ta cÇn chøng minh th«ng qua

mét tø gi¸c néi tiÕp kh¸c n÷a.t) Chøng minh mét ®−êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña ®−êng

trßn; chøng minh mét ®−êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai®−êng trßn

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 1 : Chøng minh ®−êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña®−êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua ®iÓm ®ã.

H O

a lµ tiÕp tuyÕn cña (O)

a OH t¹i H

www.VNMATH.com



✓ Ph−¬ng ph¸p 2 :§Ó chøng minh ®−êng th¼ng d tiÕp xóc víi ®−êng trßn (O) t¹i ®iÓm A ta chøng minh gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng d víi d©y AB nµo ®ã b»ng gãc néi tiÕp ch¾n cung AB.Cho h×nh vÏ:NÕu BÂx

AˆCBth× d lµ tiÕp tuyÕn cña

®−êng trßn✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 3 : Sö dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ vÒ gãc t¹o bëi tia

tiÕp tuyÕn vµ d©y cungCho h×nh vÏ:NÕu BÂx

12

s®

AˆmB

th× Ax lµ mét tia

tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn

u) Ph−¬ng ph¸p chøng minh mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a çc ®o¹n th¼ng, çc c¹nh cña hai tam gi¸c, çc ®o¹n th¼ng víi b¸n kÝnh cña ®−êng trßn , ...

✓ Ph−¬ng ph¸p 1 : ¸p dông hÖ thøc l−îng trong tam gi¸c vu«ng✓ Ph−¬ng ph¸p 2 : Chøng hai tam gi¸c ®ång d¹ng✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 3 : VËn dông hai cÆp tam gi¸c ®ång d¹ng ®Ó cã tØ

sè trung gian (nguyªn t¾c b¾c cÇu) a c b d a' hay ab' = a'b

a' c b' d

b b'

✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 4 : VËn dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 5 : VËn dông ®Þnh lÝ Py - ta - go✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 6 : Ph−¬ng ph¸p ®Þnh l−îng (tÝnh to¸n hai vÕ)✓ P h − ¬ n g p h ̧ p 7 : VËn dông tÝnh chÊt ®−êng ph©n gi¸c trong

tam gi¸c ®Ó cã tØ sè trung gian49. Ph−¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ h×nh häc THCS

1. Với ba điểm bất kì trong mặt phẳng (không gian) A, B, C ta có: AC AB + BCAC = AB + BC A, B, C thẳng hàng và B ở giữa A và CAB AC BC

www.VNMATH.com



AC – AB = BC A, B, C thẳng hàng và B ở giữa A và C2. Trong số các đường xiên và đường vuông góc hạ từ một điểm đến

một đường thẳng trong mặt phẳng ta có:

3

3

www.VNMATH.com



a) Đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên.b) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại.

3. Trong một tam giác, đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn và ngược lại.

4. Trong hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau, nếu cạnh thứ ba của tam giác này lớn hơn cạnh thứ ba của tam giác kia thì góc đối diện cũng tương ứng lớn hơn và ngược lại.

5. Trong tất cả các đường nối liền hai điểm, đoạn thẳng nối liền haiđiểm đó là ngắn nhất.

6. Trong tất cả các dây cung của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất.

7. Trong một đường tròn, dây nào có độ dài lớn hơn thì khoảng cách từ đó đến tâm nhỏ hơn và ngược lại.

8. Bất đẳng thức côsi:Cho a, b là hai số không âm. Ta luôn có: a b ab

2+) Nếu a + b (không đổi) ⇒ ab lớn nhất khi a = b.+) Nếu ab (không đổi) ⇒ a + b nhỏ nhất khi a = b.

9. Một phân thức với tử và mẫu dương, có tử thức không đổi, phân thứcđạt giá trị lớn nhất nếu mẫu thức đạt giá trị nhỏ nhất và phân thứcđạt giá trị nhỏ nhất nếu mẫu thức đạt giá trị lớn nhất.

ph©n d¹ng vµ ph−¬ng ph¸p gi¶i

e#a M«n : §¹i Sè - THCS

Website: h t t p : / / q u a n g h i e u 03 0 778 . v i o l e t . v n

I - Çc lo¹i ph−¬ng tr×nh1. Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt

- Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng ax + b = 0 (a 0 )- Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = b

www.VNMATH.com



a

www.VNMATH.com



- C h ó ý : NÕu ph−¬ng tr×nh chøa tham sè ta chuyÓn vÒ d¹ng Ax = B vµ xÐt çc tr−êng hîp sau:➢ NÕu

A 0 ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = B

A➢ NÕu A = 0 , B 0 ph−¬ng tr×nh trë thµnh 0.x = B

=> ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm➢ NÕu A = 0, B = 0 => ph−¬ng tr×nh v« sè nghiÖm

2. Ph−¬ng tr×nh tÝch- Ph−¬ng tr×nh tÝch cã d¹ng A(x).B(x) = 0- Çch gi¶i: A(x).B(x) = 0 <=> A(x) = 0 hoÆc B(x) = 0

A( x) 0- Tr×nh bµy gän : A(x).B(x) = 0 <=>

B( x ) 0

- Më réng: A(x).B(x).C(x) = 0 <=>

3. Ph−¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu

A( x ) 0B( x ) 0C( x ) 0

- Gi¶i ph−¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu ta thùc hiÖn theo 4 b−íc:✓ B−íc 1: T×m §KX§ cña ph−¬ng tr×nh✓ B−íc 2: Quy ®ång mÉu hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh råi khö mÉu✓ B−íc 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh võa nhËn ®−îc✓ B−íc 4: (kÕt luËn)

Trong çc gi¸ trÞ cña Èn t×m ®−îc ë b−íc 3, çc gi¸ trÞ tháa m·n§KX§ chÝnh lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®· cho, gi¸ trÞ cña x kh«ng thuéc §KX§ lµ nghiÖm ngo¹i lai (lo¹i ®i)

4. Ph−¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi

- §Þnh nghÜa: A nÕu A 0 A A nÕu A < 0

- Çc d¹ng ph−¬ng tr×nh✓ f ( x) 0 f ( x) 0

f ( x) k

✓ f ( x ) k( k 0 ) f ( x ) k f ( x) k✓ f ( x) f ( x) g( x) g( x) f ( x ) g( x )

HoÆc f ( x) g( x) f ( x)2

g(

x)2 f ( x)2

g(

x)2 0 , ¸p

dông h»ng ®¼ng thøc hiÖu hai b×nh ph−¬ng vµ ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh tÝch (nÕu çc ®a thøc ë hai vÕ lµ bËc nhÊt th× cã thÓ khai triÓn ngay vµ kh«ng cÇn chuyÓn vÕ)

3

3

2 2

www.VNMATH.com



f ( x)

f ( x)

f ( x) g( x)

✓ f ( x) g( x)

<=>

f ( x) 0

f ( x ) g( x ) f ( x) 0f ( x ) g( x )

hoÆc <=>

g( x ) 0f ( x ) g( x )

g( x) 0f ( x ) g( x )

HoÆc <=>

HoÆc <=>

g( x) 0f ( x ) g( x ) hoÆc f ( x ) g( x ) g( x ) 0f ( x ) g( x)

- Chó ý: A 2 A2 ;

A

A

vµ A B A B

A B

5. Ph−¬ng tr×nh v« tØ✓ A( A 0) f ( x)

A2(víi f(x) lµ mét ®a thøc)

✓ g( x)

f ( x) 0g( x) 0

f ( x ) g( x )2

✓

f ( x) 0g( x) 0

f ( x ) g( x )

*)L−u ý: HÇu hÕt khi gi¶i ph−¬ng tr×nh chøa Èn trong c¨n, ta cÇn x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn cã nghÜa cña ph−¬ng tr×nh vµ çc ®iÒu kiÖn t−¬ng®−¬ng. NÕu kh«ng cã thÓ thö l¹i trùc tiÕp.6. Ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng

Ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:ax4 bx2 c 0 ( a 0 )

✓ §Æt x2 = t ( t 0 ), ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng trë thµnh ph−¬ngtr×nh bËc hai Èn t : at2 bt c 0

(*)

✓ Gi¶i ph−¬ng tr×nh (*), lÊy nh÷ng gi¸ trÞ thÝch hîp tháa mãn t 0✓ Thay vµo ®Æt x2 = t vµ t×m x = ?

7. Ph−¬ng tr×nh bËc caoa) Ph−¬ng tr×nh bËc ba d¹ng: ax3 + bx2 + cx + d = 0

H−íng dÉn: NhÈm nghiÖm (nÕu cã nghiÖm nguyªn th× nghiÖm ®ã lµ −íc cña h¹ng tö tù do d) hoÆc dïng s¬ ®å Hooc- ne hoÆc dïng m¸y tÝnh ®Ó t×m nhanh nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh, khi

www.VNMATH.com



®ã biÕt mét nghiÖm th× dÔ dµng ph©n tÝch VT d−íi d¹ng tÝch vµ gi¶i ph−¬ng tr×nh tÝch (hoÆc chia ®a thøc)

b) Ph−¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0H−íng dÉn: Ph−¬ng ph¸p t−¬ng tù nh− ph−¬ng tr×nh bËc ba trªn

c) Ph−¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng:

a

2

www.VNMATH.com



x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 (víi d = c ).

Ph−¬ng ph¸p:Víi x = 0, thay vµo ph−¬ng tr×nh vµ kiÓm tra xem x = 0 cã lµ

nghiÖm hay kh«ng ?Víi x 0. Chia c¶ hai vÕ cho x2, sau ®ã ta ®Æt t = x + c

axd) Ph−¬ng tr×nh bËc 4 d¹ng:

(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (víi a + b = c + d = m)

P h − ¬ n g p h ̧ p : §Æt t = x2 + mx +

e) Ph−¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng:

ab cd 2

(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2 (víi ab = cd = k) Ph−¬ng ph¸p:Chia c¶ hai vÕ cho x2. §Æt t = x + k

xII- BÊt ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn1) §Þnh nghÜa:

Mét bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng ax + b > 0 (hoÆc ax + b < 0) víi a 0®−îc gäi lµ mét bÊt ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn

2) Çch gi¶i: ax + b > 0 <=> ax > - b

NÕu a > 0 th×

NÕu a < 0 th×

x ba

x ba

3) KiÕn thøc cã liªn quan:➢ Hai bÊt ph−¬ng tr×nh ®−îc gäi lµ t−¬ng ®−¬ng nÕu chóng cã cïng

tËp nghiÖm vµ dïng kÝ hiÖu <=> ®Ó chØ sù t−¬ng ®−¬ng ®ã➢ Quy t¾c chuyÓn vÕ: Khi chuyÓn mét h¹ng tö (lµ sè hoÆc ®a thøc) tõ

vÕ nµy sang vÕ kia cña bÊt ph−¬ng tr×nh ta ph¶i ®æi dÊu h¹ng tö®ã => ta cã thÓ xãa hai h¹ng tö gièng nhau ë hai vÕ

➢ Quy t¾c nh©n: Khi nh©n hai vÕ cña mét bÊt ph−¬ng tr×nh víi cïng mét sè kh¸c 0, ta ph¶i: Gi÷ nguyªn chiÒu BPT nÕu sè ®ã d−¬ng;®æi chiÒu BPT nÕu sè ®ã ©m.

4) TÝnh chÊt c¬ b¶n cña bÊt ®¼ng thøc- Víi mäi sè thùc a, b, c ta cã : a > b <=> a + c > b + c

- Víi mäi sè thùc a, b, c, d ta cã : a > b, b > c => a > c (t/c b¾c cÇu)a > b, c > d => a + c > b + d a > b > 0, c > d > 0 => ac > b

- Víi mäi sè thùc a, b, c,

www.VNMATH.com



+ NÕu c > 0 th× a > b <=> ac > bc

a3

a b

www.VNMATH.com



b3

A2

ab

A

C

A

A2AB AB

+ NÕu c < 0 th× a > b <=> ac < bc

- Víi a, b lµ hai sè thùc : a > b <=> vµ a > b <=> a3 b3

- NÕu a 0, b 0 th× a > b <=>

vµ a > b <=> a2

b2

- Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc A

A A, nÕu A 0

A, nÕu A < 0.

Ta cã: A2 ≥ 0, |A| ≥ 0, A- BÊt ®¼ng thøc C« - si: Cho a, b lµ hai sè thùc kh«ng ©m, ta cã: a

b 2 DÊu “=” x¶y ra <=> a = b

III – Çc d¹ng bµi tËp cã liªn quan ®Õn biÓu thøc h÷u tØ, c¨n bËc hai, c¨n bËc ba.1. D¹ng 1 : Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ çc biÓu thøc h÷u tØ

- Khi thùc hiÖn rót gän mét biÓu thøc h÷u tØ ta ph¶i tu©n theo thø tù thùc hiÖn çc phÐp to¸n : Nh©n chia tr−íc, céng trõ sau. Cßn nÕu biÓu thøc cã çc dÊu ngoÆc th× thùc hiÖn theo thø tù ngoÆc trßn, ngoÆc vu«ng, ngoÆc nhän.

- Víi nh÷ng bµi to¸n t×m gi¸ trÞ cña ph©n thøc th× ph¶i t×m ®iÒu kiÖn cña biÕn ®Ó ph©n thøc ®−îc x¸c ®Þnh (mÉu thøc ph¶i kh¸c 0) 2. D¹ng 2 : T×m ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cã nghÜa

- BiÓu thøc cã d¹ng AB

x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi B 0

- BiÓu thøc cã d¹ng x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi A 0- BiÓu thøc cã d¹ng A

B

x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi B > 0

- BiÓu thøc cã d¹ng A B

x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi

A 0C 0

- BiÓu thøc cã d¹ng

BC

x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khiA 0C 0

3. D¹ng 3 : Rót gän çc biÓu thøc chøa c¨n bËc hai, c¨n bËc ba

LÝ thuyÕt chung:a) Çc c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc

1) A

2)

4

4

www.VNMATH.com



A BB

A2B B

( víi A 0 vµ B 0)

3) A (víi A 0 vµ B > 0)

4) A (víi B 0)

5) A A2B (víi A 0 vµ B 0)

www.VNMATH.com



B

BA2 B

A B AB

B

A

A

A B

A B

3 a 3 a33 a

3 b3 a

3 ab 3 b

a.ba b

a.b

A

(víi A < 0 vµ B

0)

6) 1B

7) A A B B

(víi AB 0 vµ B 0)

(víi B > 0)

C C

∓ B 2

8) B A B2 (víi

A 0 vµ A B )

C9) C

∓A B

(víi A 0 , B 0 vµ A B)

3

10) x x3 a vµ ta cã :

a

11) a < b <=> 3 a

12) 3 ab .3 b3

13) Víi b ≠ 0, ta cã: a

*) L−u ý:§Ó rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai ta lµm nh− sau :

- Quy ®ång mÉu sè chung (nÕu cã)- §−a bít thõa sè ra ngoµi dÊu c¨n (nÕu cã)- Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã)- Thùc hiÖn çc phÐp tÝnh lòy thõa, khai c¨n, nh©n, chia ,

…theo thø tù ®· biÕt ®Ó lµm xuÊt hiÖn çc c¨n thøc ®ång d¹ng

- Céng, trõ çc biÓu thøc ®ång d¹ng (çc c¨n thøc ®ång d¹ng)b) Çc h»ng ®¼ng thøc quan träng, ®¸ng nhí:

1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

( )2 a 2

b (a,b 0)

2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

3

www.VNMATH.com



a b

a b a b

b a3 b3 a b a b aba

( )2 a 2

b (a,b 0)

3) a2 - b2 = (a + b).(a - b)a b (

).( ) (a,b 0)

4) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

5) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

6) a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )

a b

(

)(a b) (a,b 0)

7) a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )

4

4

3

a

www.VNMATH.com



b a3 b3 a b a b ab

a b c ab ac bc

a2

3

a b

(

)(a b) (a,b 0)

8) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc9) ( )2 a b c

2 2 2

(a,b,c 0)

10) a

Ph©n d¹ng bµi tËp chi tiÕt

D¹ng 3.1 : TÝnh – Rót gän biÓu thøc kh«ng cã ®iÒu kiÖn

Rót gän biÓu thøc cã ®iÒu kiÖn

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi biÕt gi¸ trÞ cña biÕn

D¹ng 3.4 : T×m gi¸ trÞ cña biÕn khi biÕt gi¸ trÞ cña biÓu thøc

D¹ng 3.5 : T×m gi¸ trÞ nguyªn cña biÕn ®Ó biÓu thøc nhËn gi¸ trÞ nguyªn

T×m gi¸ trÞ cña biÕn khi biÕt dÊu cña biÓu thøc

Chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau khi ®· rót gän

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc

Bµi tËp tæng hîp

IV– Çc d¹ng to¸n vÒ hµm sè

LÝ thuyÕt chung

1) Kh¸i niÖm vÒ hµm sè (kh¸i niÖm chung).NÕu ®¹i l−îng y phô thuéc vµo ®¹i l−îng thay ®æi x sao cho

víi mçi gi¸ trÞ cña x ta lu«n x¸c ®Þnh ®−îc chØ mét gi¸ trÞ t−¬ng øng cña y th× y ®−îc gäi lµ hµm sè cña x vµ x ®−îc gäi lµ biÕn sè.

*) VÝ dô: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x +*) Chó ý:

; ...

Khi ®¹i l−îng x thay ®æi mµ y lu«n nhËn mét gi¸ trÞ kh«ng ®æi th× y

D¹ng 3.2

D¹ng 3.3

D¹ng 3.6

D¹ng 3.7

D¹ng 3.8

D¹ng 3.9

www.VNMATH.com



®−îc gäi lµ hµm h»ng.*) VÝ dô: Çc hµm h»ng y = 2; y = - 4; y = 7; ...

2) Çc çch th−êng dïng cho mét hµm sè

www.VNMATH.com



a) Hµm sè cho bëi b¶ng.b) Hµm sè cho bëi c«ng thøc.

- Hµm h»ng: lµ hµm cã c«ng thøc y = m (trong ®ã x lµ biÕn, m )- Hµm sè bËc nhÊt: Lµ hµm sè cã d¹ng c«ng thøc y = ax + b

Trong ®ã: x lµ biÕn,a,b , a 0 .a lµ hª sè gãc, b lµ tung ®é gèc.

Chó ý: NÕu b = 0 th× hµm bËc nhÊt cã d¹ng y = ax (a 0 )- Hµm sè bËc hai: Lµ hµm sè cã c«ng thøc

(trong ®ã x lµ biÕn, a,b,c , a 0 ).Chó ý: NÕu c = 0 th× hµm bËc hai cã d¹ng y = ax2 + bx ( a 0 )

NÕu b = 0 vµ c = 0 th× hµm bËc hai cã d¹ng y = ax2 ( a 0 )

3) Kh¸i niÖm hµm ®ång biÕn vµ hµm nghÞch biÕn.Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh víi mäi x . Víi x1, x2 bÊt k× thuéc R

a) NÕu gi¸ trÞ cña biÕn x t¨ng lªn mµ gi¸ trÞ t−¬ng øng f(x) còng t¨ng lªn th× hµm sè y = f(x) ®−îc gäi lµ hµm ®ång biÕn.

NÕu x1 x2

mµ f(x1 ) < f(x2 ) th× hµm sè y = f(x) ®ång biÕn trªn R

b) NÕu gi¸ trÞ cña biÕn x t¨ng lªn mµ gi¸ trÞ t−¬ng øng f(x) gi¶m ®i th× hµm sè y = f(x) ®−îc gäi lµ hµm nghÞch biÕn.

NÕu x1 x2

mµ f(x1 ) > f(x2 ) th× hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn /R

4) DÊu hiÖu nhËn biÕt hµm ®ång biÕn vµ hµm nghÞch biÕn.a) Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b ( a 0 ).

- NÕu a > 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n ®ång biÕn trªn .- NÕu a < 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n nghÞch biÕn trªn .

b) Hµm bËc hai mét Èn sè y = ax2 ( a 0 ) cã thÓ nhËn biÕt ®ång biÕn vµ nghÞch biÕn theo dÊu hiÖu sau:

- NÕu a > 0 th× hµm ®ång biÕn khi x > 0, nghÞch biÕn khi x < 0.- NÕu a < 0 th× hµm ®ång biÕn khi x < 0, nghÞch biÕn khi x > 0.

5) Kh¸i niÖm vÒ ®å thÞ hµm sè.§å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ çc ®iÓm biÓu diÔn çc

cÆp gi¸ trÞ t−¬ng øng (x; f(x)) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é.Chó ý: D¹ng ®å thÞ:

a) Hµm h»ng.§å thÞ cña hµm h»ng y = m (trong

®ã x lµ biÕn, m ) lµ mét®−êng th¼ng lu«n song song víi trôc Ox.

§å thÞ cña hµm h»ng x = m (trong®ã y lµ biÕn, m ) lµ mét®−êng th¼ng lu«n song

song víi trôc Oy.

y = ax2 + bx +

www.VNMATH.com


4

V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù nghiÖp trång ng−êiN¨m häc 2011 - 2015


b) §å thÞ hµm sè y = ax ( a 0 ) lµ mét ®−êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp çc®iÓm) lu«n ®i qua gèc to¹ ®é.

*) C ̧ c h v Ï : LÊy mét ®iÓm thuéc ®å thÞ kh¸c O(0 ; 0), ch¼ng h¹n

®iÓm A(1 ; a). Sau ®ã vÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm O(0 ; 0) vµ A(1 ; a) ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y = ax ( a 0 )

c) §å thÞ hµm sè y = ax + b ( a,b 0 ) lµ mét ®−êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp çc ®iÓm) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; b) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm(

b , 0).

a

*) Çch vÏ: Cã hai çch vÏ c¬ b¶n+) Çch 1: X¸c ®Þnh hai ®iÓm bÊt k× nµo ®ã thuéc ®å thÞ,

ch¼ng h¹n nh− sau:Cho x = 1 => y = a + b, ta ®−îc A(1 ; a + b) Cho x = -1 => y = - a + b, ta ®−îc A(-1 ; - a + b)VÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vµ B ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y

www.VNMATH.co


= ax + b ( a,b 0 )

www.VNMATH.com



y

a > 0x

O

tg a

+) Çch 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi çc trôc täa ®é, cô thÓ: Cho x = 0 => y = b, ta ®−îc M(0 ; b) Oy

Cho y = 0 => x = ba

, ta ®−îc N( ba

; 0) Ox

VÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M vµ N ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y= ax + b ( a,b 0 )

d) §å thÞ hµm sè y = ax2 ( a 0 ) lµ mét ®−êng cong Parabol cã ®Ønh O(0;0). NhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng- §å thÞ ë phÝa trªn trôc hoµnh nÕu a > 0.- §å thÞ ë phÝa d−íi trôc hoµnh nÕu a < 0. y

O x

a < 0

6) VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai ®−êng th¼ng*) Hai ®−êng th¼ng y = ax + b ( a 0 ) vµ y = a’x + b’ ( a' 0 )+ Trïng nhau nÕu a = a’, b = b’.+ Song song víi nhau nÕu a = a’, b b’.+ C¾t nhau nÕu a a’.+ Vu«ng gãc nÕu a.a’ = -1 .

*) Hai ®−êng th¼ng ax + by = c vµ a’x + b’y = c’ (a, b, c, a’, b’, c’ ≠ 0)+ Trïng nhau nÕu a b c

a' b' c '+ Song song víi nhau nÕu a b c

+ C¾t nhau nÕu a ba ' b'

a' b' c '

7) Gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng y = ax + b (a 0 ) vµ trôc OxGi¶ sö ®−êng th¼ng y = ax + b (a 0 ) c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm A.Gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng y = ax + b (a 0 ) lµ gãc t¹o bëi tia Ax

vµ tia AT (víi T lµ mét ®iÓm thuéc ®−êng th¼ng y = ax + b cã tung®é d−¬ng).

- NÕu a > 0 th× gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng y = ax + b víi trôc Ox ®−îctÝnh theo c«ng thøc nh− sau: dïng).

(cÇn chøng minh míi ®−îc

- NÕu a < 0 th× gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng y = ax + b víi trôc Ox ®−îctÝnh theo c«ng thøc nh− sau:

víi (cÇn chøng minh míi ®−îc dïng).

tg

1800

www.VNMATH.com

V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù nghiÖp trång N¨m häc 2011 4

4

y

T

(a > 0)

A O x


y

T

(a < 0)

A O x


D¹ng 1: NhËn biÕt hµm sè

D¹ng 2: TÝnh gi¸ trÞ cña hµm sè, biÕn sè.

D¹ng 3: Hµm sè ®ång biÕn, hµm sè nghÞch biÕn.a) Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b ( a 0 ).

- NÕu a > 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n ®ång biÕn trªn .- NÕu a < 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n nghÞch biÕn trªn .

b) Hµm bËc hai mét Èn sè y = ax2 ( a 0 ) cã thÓ nhËn biÕt ®ång biÕn vµ nghÞch biÕn theo dÊu hiÖu sau:

- NÕu a > 0 th× hµm ®ång biÕn khi x > 0, nghÞch biÕn khi x < 0.- NÕu a < 0 th× hµm ®ång biÕn khi x < 0, nghÞch biÕn khi x > 0.

D¹ng 4: VÏ ®å thÞ hµm sè§å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ çc ®iÓm biÓu diÔn çc

cÆp gi¸ trÞ t−¬ng øng (x; f(x)) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é.Chó ý: D¹ng ®å thÞ:

a) Hµm h»ng.§å thÞ cña hµm h»ng y = m (trong

®ã x lµ biÕn, m ) lµ mét®−êng th¼ng lu«n song song víi trôc Ox.

§å thÞ cña hµm h»ng x = m (trong®ã y lµ biÕn, m ) lµ mét®−êng th¼ng lu«n song

song víi trôc Oy.

www.VNMATH.com



b) §å thÞ hµm sè y = ax ( a 0 ) lµ mét ®−êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp çc®iÓm) lu«n ®i qua gèc to¹ ®é.

*) C ̧ c h v Ï : LÊy mét ®iÓm thuéc ®å thÞ kh¸c O(0 ; 0), ch¼ng h¹n

®iÓm A(1 ; a). Sau ®ã vÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm O(0 ; 0) vµ A(1 ; a) ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y = ax ( a 0 )

c) §å thÞ hµm sè y = ax + b ( a,b 0 ) lµ mét ®−êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp çc ®iÓm) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; b) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm(

b , 0).

a

*) Çch vÏ: Cã hai çch vÏ c¬ b¶n+) Çch 1: X¸c ®Þnh hai ®iÓm bÊt k× nµo ®ã thuéc ®å thÞ,

ch¼ng h¹n nh− sau:Cho x = 1 => y = a + b, ta ®−îc A(1 ; a + b) Cho x = -1 => y = - a + b, ta ®−îc A(-1 ; - a + b)VÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vµ B ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y

= ax + b ( a,b 0 )+) Çch 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi çc trôc täa ®é, cô thÓ:

Cho x = 0 => y = b, ta ®−îc M(0 ; b) Oy

Cho y = 0 => x = ba

, ta ®−îc N( ba

; 0) Ox

VÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M vµ N ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y

www.VNMATH.com



= ax + b ( a,b 0 )d) §å thÞ hµm sè y = ax2 ( a 0 ) lµ mét ®−êng cong Parabol cã

®Ønh O(0;0). NhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng

4

4

2

2

y

a > 0x

O

www.VNMATH.com



- §å thÞ ë phÝa trªn trôc hoµnh nÕu a > 0.- §å thÞ ë phÝa d−íi trôc hoµnh nÕu a < 0. y

O x

a < 0

D¹ng 5: §iÓm thuéc vµ kh«ng thuéc ®å thÞ hµm sè.*) §iÓm thuéc ®−êng th¼ng.

- §iÓm A(xA; yA) (d): y = ax + b (a 0) khi vµ chØ khi yA = axA + b- §iÓm B(xB; yB) (d): y = ax + b (a 0) khi vµ chØ khi yB= axB + b

*) §iÓm thuéc Parabol : Cho (P) y = ax2 ( a 0 )- §iÓm A(x0; y0) (P) y0 = ax0 .- §iÓm B(x1; y1) (P) y1 ax1 .

D¹ng 6: X¸c ®Þnh hµm sè

D¹ng 7: X¸c ®Þnh ®iÓm cè ®Þnh cña hµm sè*) Ph−¬ng ph¸p:

§Ó t×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®−êng th¼ng y = ax + b ( a 0 ; a,b cã chøa tham sè) lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m, ta lµm nh− sau:

✓ B−íc 1: Gäi ®iÓm cè ®Þnh lµ A(x0; y0) mµ ®−êng th¼ng y = ax + blu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m

✓ B−íc 2: Thay x = x0; y = y0 vµo hµm sè ®−îc y0 = ax0 + b, ta biÕn ®æivÒ d¹ng <=> A( x0 ,y0 ).m B( x0 ,y0 ) 0 , ®¼ng thøc nµy lu«n ®óngvíi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m hay ph−¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm m

✓ B−íc 3: §Æt ®iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm.(A( x0 ,y0 ).m B( x0 ,y0 ) 0 , cã v« sè nghiÖm 0 0 )

A(x ,y ) 0B(x0, y0 ) 0

D¹ng 8: T×m giao ®iÓm cña hai ®å thÞ 8.1: T×m giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng.

Giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2

Lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh y a1x b1y a2 x b2

8.2 : T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña Parabol víi ®−êng th¼ng.Cho (P) : y = ax2 (a 0) vµ (d) : y = mx + n.✓ XÐt ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm ax2 = mx + n.✓ Gi¶i ph−¬ng tr×nh t×m x.

www.VNMATH.com



✓ Thay gi¸ trÞ x võa t×m ®−îc vµo hµm sè y = ax2 hoÆc y = mx + n ta t×m ®−îc y.

+ Gi¸ trÞ cña x t×m ®−îc lµ hoµnh ®é giao ®iÓm.+ Gi¸ trÞ cña y t×m ®−îc lµ tung ®é giao ®iÓm.

8.3: T×m sè giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng vµ Parabol.Cho (P) : y = ax2 (a 0) vµ (d) : y = mx + n.XÐt ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm ax2 = mx + n. (*)

+ Ph−¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm ( < 0) (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung.

+ Ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp ( = 0) (d) tiÕp xóc víi (P).+ Ph−¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt ( > 0 hoÆc ac < 0)

(d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt.8.4: T×m gi¸ trÞ cña mét tham sè khi biÕt giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng. 8.5: T×m gi¸ trÞ cña 2 tham sè khi biÕt giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng.8.6: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt sè giao ®iÓm cña Parabol vµ

®−êng th¼ng.Cho (d) : y = ax + b vµ (P): y = a’x2 (a’ 0)(a’, a, b cã chøa tham sè)

XÐt ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm a’x2 = ax + b. (*)+ (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung

Ph−¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm ( < 0)+ (d) tiÕp xóc víi (P) Ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp ( = 0).

NghiÖm kÐp lµ hoµnh ®é ®iÓm tiÕp xóc+ (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt Ph−¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt ( > 0 hoÆc ac < 0). Hai nghiÖm ®ã lµ hoµnh ®é cña hai giao ®iÓm

8.7: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt to¹ ®é giao ®iÓm cña Parabol vµ ®−êng th¼ng.

Cho (d): y = ax + b vµ (P): y = a’x2 (a’ 0)(a’, a, b cã chøa tham sè)

T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó (d) vµ (P) c¾t nhau t¹i A(xA; yA).Çch lµm: Thay täa ®é cña A vµo hµm sè cña (d); (P) ®Ó t×m gi¸ trÞ cña tham

sè.Dang 9: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm 9.1: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm

A(xA; yA) vµ B(xB; yB) trong ®ã xA xB vµ yA yB. Ph−¬ng ph¸p:

Gäi ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) cÇn lËp ®i qua A vµ B cã d¹ngy = ax + b (a 0).

Do A(d) thay x = xA; y = yA vµo y = ax + b ta cã yA = axA + b (1)

Do B(d) thay x = xB; y = yB vµo y = ax + b ta cã yB = axB + b (2)

www.VNMATH.com



Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh: yA axA b

yB axB bGi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh nµy t×m ®−îc a, b vµ suy ra ph−¬ng tr×nh®−êng th¼ng (d) cÇn lËp

9.2: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua M(x0 ; y0) vµ cã hÖ sè gãc lµ k.✓ B−íc 1: Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cã hÖ sè gãc k cã d¹ng

y = kx + b✓ B−íc 2: §−êng th¼ng nµy ®i qua M(x0 ; y0) => y0 kx0 b

=> b y0 kx0

✓ B−íc 3: Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cÇn t×m lµ y = kx y0 kx09.3 : LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm

A(m; yA) vµ B(m; yB) trong ®ã yA yB.

Ph−¬ng ph¸p:Do A(m; yA) (d): x = m;Do B(m; yB) (d) : x = m;VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cÇn lËp lµ: (d): x = m

9.4 : LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓmA(xA; n) vµ B(xB; n) trong ®ã xA xB.

Ph−¬ng ph¸p:Do A(xA; n) (d): y = n;Do B(xB; n) (d) : y = n;VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cÇn lËp lµ: (d): y = n

9.5 : LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(xA ; yA) vµ tiÕp

xóc víi ®−êng cong

y ax2

( a 0)

✓ B−íc 1: Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh cÇn lËp lµ y = a’x + b’✓ B−íc 2: §−êng th¼ng nµy tiÕp xóc víi ®−êng cong y ax

2 ( a 0 )

khi vµ chØ khi ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm

ax2 a' x b' cã

nghiÖm kÐp. Ta cho 0 , t×m ra mét hÖ thøc gi÷a a’ vµ b’ (1)✓ B−íc 3: §−êng th¼ng ®i qua A(xA ; yA) => yA a' xA b' (2)✓ B−íc 4: Tõ (1) vµ (2) ta cã mét hÖ ph−¬ng tr×nh hai Èn lµ a’ vµ b’.

Gi¶i hÖ t×m ®−îc a’ vµ b’ => ph−¬ng tr×nh cÇn lËp9.6 : LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cã hÖ sè gãc lµ k vµ tiÕp xóc

víi ®−êng cong y ax

2 ( a 0)

✓ B−íc 1: Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cÇn t×m gi¶ sö lµ y = ax + b V× ®−êng th¼ng cã hÖ sè gãc lµ k nªn a = k => y = kx + b

5

5

www.VNMATH.com



✓ B−íc 2: §−êng th¼ng y = kx + b tiÕp xóc víi ®−êng cong

y ax2

( a 0)

<=> ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm

kx b ax2 ax

2 kx b

0cã nghiÖm kÐp

b1

www.VNMATH.com



Cho 0( ' 0) => b = ?✓ B−íc 3: Tr¶ lêi

D¹ng 10: Ba ®iÓm th¼ng hµng10.1 : Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng.

✓ B−íc 1: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm.✓ B−íc 2: Chøng minh ®iÓm cßn l¹i thuéc ®−êng th¼ng võa lËp.

10.2 : T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ba ®iÓm th¼ng hµng.✓ B−íc 1: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cã to¹ ®é ®¬n

gi¶n nhÊt.✓ B−íc 2: Thay to¹ ®é cña ®iÓm cßn l¹i vµo ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng

võa lËp. Gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ t×m tham sè.D¹ng 11: Ba ®−êng th¼ng ®ång qui11.1 : Chøng minh ba ®−êng th¼ng ®ång qui.

✓ B−íc 1: T×m giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng.✓ B−íc 2: Chøng minh giao ®iÓm ®ã thuéc ®−êng th¼ng cßn l¹i.

11.2 : T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ba ®−êng th¼ng ®ång qui.✓ B−íc 1: T×m giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng ®¬n gi¶n nhÊt.✓ B−íc 2: Thay to¹ ®é giao ®iÓm trªn vµo ph−¬ng tr×nh ®−êng

th¼ng cßn l¹i. Gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ t×m tham sè.D¹ng 12: VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai ®å thÞ cña hai hµm sè12.1 : VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai ®å thÞ cña hai hµm sè bËc nhÊt

Cho hai ®−êng th¼ng : (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2

+) (d1) c¾t (d2) a1 a2

+) (d1) // (d2) a1 = a2

+) (d1) (d2) a1 = a2 vµ b1 = b2

+) (d1) (d2) a1.a2 = -1 (ph¶i chøng minh míi ®−îc dïng)12.2 : T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hai ®−êng th¼ng c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn

trôc tung.Cho (d1): y = a1x + b1 vµ (d2): y = a2x + b2§Ó (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung th× a1 a2 (1)

Gi¶i (1)Gi¶i (2) vµ chän nh÷ng gi¸ trÞ tho¶ mãn (1).

b (2)

12.3 : T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hai ®−êng th¼ng c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoµnh.Cho (d1): y = a1x + b1 vµ (d2): y = a2x + b2

a1 a2 (1)§Ó (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoµnh th× b b 1 2 (2)

a1 a2

L−u ý: ChØ nªn ¸p dông khi hai ph−¬ng tr×nh ®Òu chøa tham sè.

5

5

www.VNMATH.com



D¹ng 13: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®−êng th¼ng y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é Ox, Oy t¹o thµnh mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng c✓ B−íc 1: §Ó ®å thÞ hµm sè y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é t¹o thµnh

mét tam gi¸c th× ta cã ®iÒu kiÖn cÇn lµ: a 0, b 0m

=> ®iÒu kiÖn cña

✓ B−íc 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi hai trôc täa ®é; gi¶ sö A vµ B lÇn l−ît lµ giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung vµ trôc hoµnh

Ð A(0 ; b) vµ B( b ;0 )a

✓ B−íc 3: XÐt tam gi¸c vu«ng OAB cãSOAB = 1 OA.OB

1 b . b c

2 2 a=> m = ? (kiÓm tra víi ®iÒu kiÖn ë b−íc 1)

D¹ng 14: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®−êng th¼ngy = ax + b c¾t hai trôc täa ®é Ox, Oy t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n Çch 1 :

✓ B−íc 1: §Ó ®å thÞ hµm sè y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é t¹o thµnhmét tam gi¸c th× ta cã ®iÒu kiÖn cÇn lµ: a 0, b 0=> ®iÒu kiÖn cña m

✓ B−íc 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi hai trôc täa ®é; gi¶ sö A vµ B lÇn l−ît lµ giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung vµ trôc hoµnh

Ð A(0 ; b) vµ B( b ;0 )a

✓ B−íc 3: Tam gi¸c OAB c©n <=> OA = OB <=>b b a

(*)

Gi¶i ph−¬ng tr×nh (*) ta t×m ®−îc gi¸ trÞ cña m (kiÓm tra ®iÒu kiÖn ë b−íc1)

Çch 2: §å thÞ hµm sè c¾t hai trôc täa ®é t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n khi vµ chØ khi ®−êng th¼ng y = ax + b song song víi ®−êng th¼ng y = x hoÆc song song víi ®−êng th¼ng y = - x

D¹ng 15: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó giao ®iÓm cña hai®−êng th¼ng ax + by = c vµ a’x + b’y = c’ n»m trong çc gãc phÇn t− cña hÖ trôc täa ®é.✓ B−íc 1: T×m täa ®é giao ®iÓm A(x ; y) cña hai ®−êng th¼ng, chÝnh

lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh: ax by c

✓ B−íc 2:

a' x b' y c '

x 0+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t− thø I th× ®iÒu kiÖn lµ:

y 0

y

www.VNMATH.com



+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t− thø II th× ®iÒu kiÖn lµ: x 0

y

B

www.VNMATH.com



+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t− thø III th× ®iÒu kiÖn lµ: x 0

y 0

+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t− thø IV th× ®iÒu kiÖn lµ: x 0

✓ B−íc 3: T×m m = ?

D¹ng 16:X¸c ®Þnh gi¸ trÞ tham sè ®Ó ®a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc 0

✓ B−íc 1: §a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc 0 <=> A 0

✓ B−íc 2: Gi¶i hÖ nµy t×m ®−îc gi¸ trÞ cña tham sè

V - Çc d¹ng to¸n vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh

LÝ thuyÕt chung

1. §Þnh nghÜa:HÖ hai ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã d¹ng tæng qu¸t lµ:

ax by c(I) (trong ®ã a, b, c, a’ , b’, c’ cã thÓ chøa tham sè)

a' x b ' y c '2. §Þnh nghÜa nghiÖm, tËp nghiÖm

- NghiÖm (x0 ; y0) cña hÖ (I) lµ nghiÖm chung cña hai ph−¬ng tr×nh trong hÖ

- NÕu hai ph−¬ng tr×nh trong hÖ kh«ng cã nghiÖm chung th× hÖ ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm

- Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh lµ t×m tÊt c¶ çc nghiÖm (t×m tËp nghiÖm) cña nã.

*) § i Ò u k i Ö n ® Ó h Ö h a i p h − ¬ n g t r × n h b Ë c nh Ê t h a i È n c ã n g h i Ö m du y nh Ê t , cã v « s è n g h i Ö m , v « n g h i Ö m .

ax by ca' x b' y c '

(a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)

+ HÖ cã v« sè nghiÖm nÕu

a b

c

a' b' c '+ HÖ v« nghiÖm nÕu

a

b

c

a' b' c '+ HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu

a

b

a' b'+ §iÒu kiÖn cÇn ®Ó hÖ v« nghiÖm hoÆc v« sè nghiÖm lµ

www.VNMATH.com



ab’ – a’b = 03. Çc ph−¬ng ph¸p gi¶i hÖ hai ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn .

5

5

www.VNMATH.com




a) Ph−¬ng ph¸p céng ®¹i sè.*) Çch gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh b»ng ph−¬ng ph¸p céng ®¹i sè

✓ B−íc1: Nh©n hai vÕ cña mçi ph−¬ng tr×nh víi mét sè thÝch hîp (nÕu cÇn) sao cho çc hÖ sè cña mét Èn nµo ®ã trong hai ph−¬ng tr×nh cña hÖ b»ng nhau hoÆc ®èi nhau.

✓ B−íc 2: ¸p dông quy t¾c céng ®¹i sè ®Ó ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh míi, trong ®ã cã mét ph−¬ng tr×nh mµ hÖ sè cña mét trong hai Èn b»ng 0 (tøc lµ ph−¬ng tr×nh mét Èn)

✓ B−íc 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh mét Èn võa thu ®−îc, råi suy ranghiÖm cña hÖ ®· cho

*) Tæng qu¸t:

+ NÕu cã ax by c

(b b')y c c '

ax b' y c 'ax by c

ax b' y c '(b b')y c c '

+ NÕu cã ax b' y c 'ax by c

ax b' y c 'k.ax kby kc

(kb b')y k.c c '

+ NÕu cã k.ax b' y c '

k.ax b' y c '

ax by c

b) Ph−¬ng ph¸p thÕ.*) Çch gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh b»ng ph−¬ng ph¸p thÕ

✓ B−íc 1: Dïng quy t¾c thÕ biÕn ®æi hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho ®Ó®−îc mét hÖ ph−¬ng tr×nh míi, trong ®ã cã mét ph−¬ng tr×nh mét Èn

✓ B−íc 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh mét Èn võa cã, råi suy ra nghiÖmcña hÖ ®· cho

*) Tæng qu¸t: y

a x

cax by c

y

a x

c b b

b b a' x b' y c '

a ' x b' y c '

a ' x b '

a x

c c '

b b

c) Ph−¬ng ph¸p ®å thÞ

- VÏ hai ®−êng th¼ng biÓu diÔn hai tËp nghiÖm cña hai ph−¬ng tr×nh trong hÖ

- Dùa vµo ®å thÞ, xÐt vÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai d−êng th¼ng

www.VNMATH.com



+) NÕu hai ®−êng th¼ng c¾t nhau th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt, dùa vµo ®å thÞ ®o¸n nhËn nghiÖm duy nhÊt ®ã, sau ®ã thö l¹i vµ kÕt luËn nghiÖm cña hÖ

+) NÕu hai ®−êng th¼ng song song th× hÖ v« nghiÖm+) NÕu hai ®−êng th¼ng trïng nhau th× hÖ cã v« sè nghiÖm

www.VNMATH.com



Chó ý: Cã thÓ ®Æt Èn phô tr−íc khi ¸p dông çc ph−¬ng ph¸p gi¶i hÖ: (¸p dông cho çc hÖ ph−¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu, d−íi dÊu c¨n bËc hai.)


D¹ng 1: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè

D¹ng 2: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh khi biÕt gi¸ trÞ cña tham sèPh−¬ng ph¸p:

✓B−íc 1: Thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo hÖ ph−¬ng tr×nh✓B−íc 2: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè võa thu ®−îc.

D¹ng 3: Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh theo tham sè- Dïng ph−¬ng ph¸p céng hoÆc thÕ ®Ó t×m x theo tham sè m (hoÆc

y theo tham sè m), lµm xuÊt hiÖn ph−¬ng tr×nh cã d¹ng :Ax = B (1) (hoÆc Ay = B)

✓ NÕu A = 0 th× ph−¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 0x = B.+) Khi B = 0 th× ph−¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 0x = 0

⇒ ph−¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm=> hÖ ph−¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm

+) Khi B 0 ph−¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm=> hÖ ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm

✓ NÕu A 0 th× ph−¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt B

A x B=> hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt A

y y( m)

D¹ng 4: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt, v« nghiÖm, v« sè nghiÖm.

*) § i Ò u k i Ö n ® Ó h Ö h a i p h − ¬ n g t r × n h b Ë c nh Ê t h a i È n cã n g h i Ö m du y nh Ê t , cã v « s è n g h i Ö m , v « n g h i Ö m .


(a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)

+ HÖ cã v« sè nghiÖm nÕu a

b

c

a' b' c '+ HÖ v« nghiÖm nÕu

a

b

c

a' b' c '

www.VNMATH.com



+ HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu a b

a' b'D¹ng 5: T×m gi¸ trÞ tham sè khi biÕt dÊu cña nghiÖm cña

hÖ ph−¬ng tr×nh

5

5

www.VNMATH.com



D¹ng 6: T×m gi¸ tham sè khi biÕt nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh 6.1: T×m mét gi¸ trÞ tham sè khi biÕt nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh.

Cho hÖ ph−¬ng tr×nh : ax by c (1)

ax by c (2)x x

T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm 0

y y0Çch 1:

Thay x = x0; y = y0 lÇn l−ît vµo (1) vµ gi¶i. Thay x = x0; y = y0 lÇn l−ît vµo (2) vµ gi¶i.

Çch 2:Thay x = x0; y = y0 vµo c¶ hai ph−¬ng tr×nh vµ gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè

6.2 : T×m hai gi¸ trÞ tham sè khi biÕt nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh.

Cho hÖ ph−¬ng tr×nh: ax by cax by c

cã nghiÖm

x x0y y0

✓B−íc 1: Thay x = x0; y = y0 vµo c¶ hai ph−¬ng tr×nh cña hÖ ph−¬ng

tr×nh ta ®−îc ax0 by0 cax0 by0 c

✓B−íc 2: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè.D¹ng 7: T×m gi¸ trÞ tham sè khi biÕt hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y.

Cho hÖ ph−¬ng tr×nh : ax by c (1) (I)ax by c (2)

Cã nghiÖm (x; y) tho¶ mãn: px + qy = d (3)✓ B−íc 1: Tr−íc hÕt cÇn t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó hÖ (I)

cã nghiÖm duy nhÊt✓ B−íc 2: Do (x; y) lµ nghiÖm cña hÖ (I) vµ tho¶ mãn (3) ⇒ (x; y) lµ

nghiÖm cña (1), (2), (3). KÕt hîp 2 ph−¬ng tr×nh ®¬n gi¶n nhÊt ®Ó®−îc mét hÖ ph−¬ng tr×nh => Gi¶i hÖ t×m nghiÖm thay vµo ph−¬ng tr×nh cßn l¹i

✓ B−íc 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè

D¹ng 8: T×m gi¸ trÞ tham sè m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt (x0 ; y0) lµ nh÷ng sè nguyªn

✓ B−íc 1: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt✓ B−íc 2: Ph©n tÝch x0 ; y0 d−íi d¹ng

x a b0 A( m)

www.VNMATH.com



y c d 0 B( m)

víi a, b Z

víi c, d Z

x

www.VNMATH.com



0

y0

Z b Z A( m) ¦ ( b) A( m)

Z d Z B( m) ¦ ( d) B( m)

m ?

*) §Æc biÖt nÕu :x a b

0 A( m)y c d 0 A( m)

víi a, b Z

víi c, d Z

=> x0 ,y0 Z A( m) ¦ C( b,d) m ?

D¹ng 9: T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ó biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x, y lµ P(x,y) = ax2 + bx + c nhËn gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt.Çch 1:

➢ B−íc 1: Tr−íc hÕt t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt

➢ B−íc 2: BiÕn ®æi biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y lµ:P(x,y) = kA2(x) + d (d lµ h»ng sè).

✓ k < 0 ⇒ kA2(x) 0 ⇒ kA2(x) + d d ⇒P(x,y) dGi¸ trÞ lín nhÊt cña P(x,y) b»ng d ®¹t ®−îc khi A(x) = 0.

✓ k > 0 ⇒ kA2(x) 0 ⇒ kA2(x) + d d ⇒ P(x,y) dGi¸ trÞ nhá nhÊt cña P(x,y) b»ng d ®¹t ®−îc khi A(x) = 0.

Çch 2:P(x,y) = ax2 + bx + c ax2 + bx + c – P(x,y) = 0

✓ B−íc 1: TÝnh hoÆc ' .✓ B−íc 2: §Æt ®iÒu kiÖn 0 ( ' 0)

⇒ Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh chøa Èn P(x,y).✓ P(x,y) e ⇒Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P(x,y) b»ng e ®¹t

®−îc khi = ' = 0 x

b =2a

b' .a✓ P(x,y) e ⇒Gi¸ trÞ lín nhÊt cña P(x,y) b»ng e ®¹t ®−îc khi

= ' = 0 x b

=2a

b' a

D¹ng 10: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo tham sè

1. Ph−¬ng ph¸p :

Cho hÖ ph−¬ng tr×nh:

ax by ca ' x b ' y c '

trong ®ã a, b, c, a’, b’, c’ chøa

www.VNMATH.com



tham sè m. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµotham sè m ?

*) Çch 1:

5

5

www.VNMATH.com



➢ B−íc 1: Tõ mét ph−¬ng tr×nh cña hÖ ta rót m theo x vµ y lµ m = A(x,y)

➢ B−íc 2: Thay m = A(x,y) vµo ph−¬ng tr×nh thø hai cña hÖ ta®−îc hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo tham sè m

*) C ̧ c h 2 : Sö dông ®èi víi hÖ ph−¬ng tr×nh cã tham sè m d−íi d¹ng bËc nhÊt

✓ B−íc 1: Tõ hÖ ph−¬ng tr×nh ax by

c m A( x, y )

a ' x b ' y c ' m B( x, y )➢ B−íc 2: Cho A(x,y) = B(x,y). §©y lµ hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y

kh«ng phô thuéc vµo tham sè mL−u ý: Ta cÇn rót gän çc hÖ thøc sao cho ng¾n gän, ®¬n gi¶n nhÊt

D¹ng 11: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai hÖ ph−¬ng tr×nh t−¬ng®−¬ng

- Hai hÖ ph−¬ng tr×nh ®−îc gäi lµ t−¬ng ®−¬ng nÕu chóng cã cïng mét tËp nghiÖm (tøc lµ mäi nghiÖm cña hÖ nµy ®Òu lµ nghiÖm cña hÖ kia vµ ng−îc l¹i)

D¹ng 12: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh theo ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô vµ gi¶i mét sè hÖ ph−¬ng tr×nh kh«ng ë d¹ng hÖ hai ph−¬ng tr×nh

bËc nhÊt hai Èn (hÖ ®Æc biÖt)

VI – Ph−¬ng tr×nh bËc hai mét Èn

PhÇn I: Ph−¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè

I. §Þnh nghÜa: Ph−¬ng tr×nh bËc hai mét Èn (nãi gän lµ ph−¬ng tr×nhbËc hai) lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng ax2 bx c 0 ( a 0)

Trong ®ã: x lµ Èn; a, b, c lµ nh÷ng sè cho tr−íc gäi lµ çc hÖ sèII. Ph©n lo¹i.1. Ph−¬ng tr×nh khuyÕt c: ax2 + bx = 0 (a

0) Ph−¬ng ph¸p gi¶i:ax2 + bx = 0 (a, b 0)

x 0 x(ax + b) = 0 b x

ab

Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 0; x2 =a

www.VNMATH.com



2. Ph−¬ng tr×nh khuyÕt b: ax2 + c = 0 (a, c 0)Ph−¬ng ph¸p gi¶i:

www.VNMATH.com



ca

ca

ax2 + c = 0 (a 0) x2

c

a+)

NÕu c ac

+) NÕu a

< 0 ⇒ Ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm.

> 0 ⇒ Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

x1 ; x2

3. Ph−¬ng tr×nh bËc hai ®Çy ®ñ: ax2 + bx + c = 0 (a , b, c 0)*) C « n g t hø c n g h i Ö m : = b2 - 4ac+) < 0 ⇒ Ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm+) > 0 ⇒ ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

x1 = b 2a

; x2 =b

2ab

+) = 0 ⇒ Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 =2a

* ) C « n g t h øc n g h i Ö m t h u g ä n

NÕu b = 2b’ (b’ =

b ) ta cã : ’ = b’2 - ac2

+ NÕu ’ > 0 ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ :

x b ' '

1 a; x2

b ' ' a

+ NÕu ’ = 0 ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐpb '

x1 = x2 =a

+ NÕu ’ < 0 ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm

PhÇn II – Çc d¹ng ph−¬ng tr×nh chøa tham sèD¹ng 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh khi biÕt gi¸ trÞ cña tham sè

Thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo ph−¬ng tr×nh vµ gi¶i ph−¬ng tr×nhD¹ng 2: Gi¶i vµ biÖn ph−¬ng tr×nh theo tham sèTæng qu¸t:

✓ Víi a = 0: Ph−¬ng tr×nh trë thµnh ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt bx + c = 0.+ NÕu b 0 th× ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = c

b+ NÕu b = 0 vµ c 0 th× ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm.+ NÕu b = 0 vµ c = 0 th× ph−¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm.

✓ Víi a 0 ph−¬ng tr×nh trë thµnh ph−¬ng tr×nh bËc hai cã biÖt sè:

www.VNMATH.com



= b2 – 4ac ( hay ’ = b’2 – ac)

6

6

www.VNMATH.com



+ NÕu < 0 ( ’ < 0) th× ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm.+ NÕu = 0 ( ’ = 0) th× ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp :

x1 = x2 = - b2a = b ' a

+ NÕu > 0 ( ’ > 0) th× ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

x1 = b b' ' ; x2 = b

b' ' 2a a 2a a

D¹ng 3: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm- XÐt hai tr−êng hîp cña hÖ sè a:

✓ Tr−êng hîp 1: a = 0, ta t×m ®−îc mét vµi gi¸ trÞ cña m, sau ®ã thay trùc tiÕp vµo ph−¬ng tr×nh råi kÕt luËn víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm

✓ Tr−êng hîp 2: a ≠ 0, ph−¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã nghiÖm <=> 0 ' 0

D¹ng 4: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt

Ph−¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã hai nghiÖm ph©n biÖt

<=> a 0

0( ' 0)D¹ng 5: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp

a 0Ph−¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã nghiÖm kÐp <=>

0( ' 0 )

D¹ng 6: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm- XÐt hai tr−êng hîp cña hÖ sè a:

✓ Tr−êng hîp 1: a = 0, ta t×m ®−îc mét vµi gi¸ trÞ cña m, sau ®ã thay trùc tiÕp vµo ph−¬ng tr×nh råi kÕt luËn víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm

✓ Tr−êng hîp 2: a ≠ 0, ph−¬ng tr×nh bËc hai mét Èn v« nghiÖm<=> 0' 0

D¹ng 7: Chøng minh ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt

§Ó chøng minh ph−¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a 0

➢ Çch 1: Chøng minh:

ac 0

www.VNMATH.com



➢ Çch 2: Chøng minh:

a 0 0

Chó ý: Cho tam thøc bËc hai = am2 bm c

a 0§Ó chøng minh 0,m ta cÇn chøng

minhm

b2

4ac 0

D¹ng 8: T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu, tr¸i dÊu, cã hai nghiÖm d−¬ng, cã hai nghiÖm ©m, cã hai nghiÖm d−¬ng ph©n biÖt, cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt, cã hai nghiÖm lµ hai sè ®èi nhau, cã hai nghiÖm lµ hai sè nghÞch®¶o cña nhau

Cho ph−¬ng tr×nh ax2 bx c 0 ; trong ®ã a, b, c chøa tham sèS x x b 1 2 aTheo ®Þnh lÝ Vi - Ðt, ta cã : P x x c

1 2 a a 0

a 0

a) Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu <=> 0 P 0

hoÆc 0

ac 0

b) Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu <=> a 0 P 0

hoÆc a 0

ac 0

c) Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d−¬ng <=>

a 0 0

P 0 S 0

d) Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m <=>

a 0 0

P 0 S 0

a 0 0

e) Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d−¬ng ph©n biÖt <=>

www.VNMATH.com



P 0

S 0

www.VNMATH.com



a.ba b

a3 b3

a

a b

b ab

f) Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt <=>

g) Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ hai sè ®èi nhau

a 0 0

P 0 S 0

a 0

<=> 0

S x1 x2

b 0a

h) Ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ hai sè nghÞch ®¶o cña nhau a 0

<=> 0

P x1

x2

c 1

a

D¹ng 9: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm✓ B−íc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm.✓ B−íc 2: TÝnh x1 + x1 = b

avµ x1.x1 = c

a✓ B−íc 3: BiÓu thÞ ®−îc çc biÓu thøc theo x1 + x1 vµ x1.x1 ; sau ®ã thay

gi¸ trÞ cña x1 + x1 vµ x1.x1 vµo ®Ó tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc.Chó ý:

a2 b2 (a b)2 2aba3 b3 (a b)3 3ab(a b)(a b)2 (a b)2 4ab

( )2 (a b) 2

(a,b 0)

a4 b4 (a2 b2 )2 2a2b2

a

(

b

)(a b) (a,b 0)

D¹ng 10: T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tháa m·n mét trong çc ®iÒu kiÖn sau:a) x1 x2 b) 1 1 n

6

6

1 2 1 2

www.VNMATH.com



c) x 2 x 2 k d) x3 x 3 t ,x1 x2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

www.VNMATH.com



➢ B−íc 1: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖma 0

x1, x2. Gi¶i hÖ §K:

0 => m = ?

S x x

b

1 2➢ B−íc 2: Theo hÖ thøc Vi – Ðt, ta cã: P x x c

1 2 a➢ B−íc 3: BiÕn ®æi ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi (lµ mét ®¼ng thøc hoÆc bÊt®¼ng thøc) ®Ó cã tæng vµ tÝch hai nghiÖm, sau ®ã thay tæng vµ tÝch hai nghiÖm cã ®−îc ë b−íc 2 vµo ®iÒu kiÖn võa biÕn ®æi; tõ ®ã gi¶i ph−¬ng tr×nh hoÆc bÊt ph−¬ng tr×nh víi biÕn lµ tham sè ®Ó t×m gi¸ trÞ cña tham sè. TiÕp theo kiÓm tra xem çc gi¸ trÞ tham sè t×m®−îc cã tháa mãn hÖ ®iÒu kiÖn ë b−íc 1 hay kh«ng ?HoÆc cã bµi to¸n ta kÕt hîp ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi víi mét hÖ thøc Vi - Ðt ®Ó t×m hai nghiÖm x1, x2 (gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh víi hai Èn lµ x1, x2); sau ®ã ta thay x1, x2 vµo hÖ thøc Vi – Ðt cßn l¹i ®Ó t×m tham sè.

D¹ng 11: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = x1. T×m nghiÖm cßn l¹i

➢ B−íc 1: Thay x = x1 vµo ph−¬ng tr×nh, ta cã:2

ax1 bx1 c 0 m ?➢ B−íc 2: §Ó t×m nghiÖm cßn l¹i x2 ta thùc hiÖn theo hai çch:C ̧ c h 1 : Thay gi¸ trÞ cña m vµo ph−¬ng tr×nh ban ®Çu. Tõ ®ã cã ph−¬ng

tr×nh bËc hai vµ gi¶i ph−¬ng tr×nh nµy ta t×m ®−îc x2

C ̧ c h 2 : TÝnh x2 nhê ®Þnh lÝ Vi - Ðt: x2 S x1

hoÆc x2 = P : x1

D¹ng 12: T×m ph−¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt tr−íc hai nghiÖm sè➢ Tr−êng hîp 1: Cho tõng nghiÖm x1, x2 . Ta cã ph−¬ng tr×nh víi Èn x lµ :

( x x ) x x 0 x2 ( x x ) x x x 01 2 1 2 1 2

➢ Tr−êng hîp 2: Kh«ng cã x1, x2 riªng✓ B−íc 1: T×m S = x1 x2 vµ P

=x1 x2

✓ B−íc 2: Ph−¬ng tr×nh víi Èn x lµ Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm <=> S2

x2 Sx P 0 . 4 P

D¹ng 13: LËp ph−¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt mèi liªn hÖ gi÷a

a

www.VNMATH.com



hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh cÇn lËp víi hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh cho tr−íc.

✓ B−íc 1: KiÓm tra §K cã nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh.✓ B−íc 2: TÝnh tæng vµ tÝch hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®ã cho

6

6

S

www.VNMATH.com



x x b

, x .x c

1 2 a 1 2 a✓ B−íc 3: TÝnh tæng vµ tÝch hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh cÇn lËp x3vµ x4 th«ng qua mèi liªn hÖ víi x1 , x2.

✓ B−íc 4: LËp ph−¬ng tr×nh.

D¹ng 14: T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè

➢ Çch 1:✓ B−íc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2.

a 0Gi¶i hÖ ®iÒu kiÖn

0

x

x

b

✓ B−íc 2: TÝnh hÖ thøc Vi - Ðt: 1 2 a

P x .x c

1 2 a✓ B−íc 3: Khö tham sè trong hÖ thøc Vi – Ðt, t×m hÖ thøc liªn hÖgi÷a S vµ P. §ã lµ hÖ thøc ®éc lËp víi tham sè gi÷a çc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh.

➢ Çch 2:✓ B−íc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2.

a 0Gi¶i hÖ ®iÒu kiÖn

0

✓ B−íc 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh t×m x1, x2.✓ B−íc 3: T×m hÖ thøc (khö tham sè).

D¹ng 15: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña tam thøc bËc hai

y ax2 bx c ( a 0)Çch 1:

BiÕn ®æi y = kA2(x) + m (m lµ h»ng sè).✓ k < 0 ⇒ kA2(x) 0 ⇒ kA2(x) + m m ⇒y m

Gi¸ trÞ lín nhÊt cña y b»ng m ®¹t ®−îc khi A(x) = 0.✓ k > 0 ⇒ kA2(x) 0 ⇒ kA2(x) + m m ⇒y m

Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y b»ng m ®¹t ®−îc khi A(x) = 0.Çch 2:

y = ax2 + bx + c ax2 + bx + c – y = 0+ B−íc 1: TÝnh hoÆc ' .+ B−íc 2: §Æt ®iÒu kiÖn 0 ( ' 0)

⇒ Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh chøa Èn y.

www.VNMATH.com



✓y m ⇒ Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y b»ng m ®¹t ®−îc khi

www.VNMATH.com



= ' = 0 x b =

2a b' .a

✓y m ⇒ Gi¸ trÞ lín nhÊt cña y b»ng m ®¹t ®−îc khi = ' = 0 x

b =2a

b' a

D¹ng 16: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm

✓ B−íc 1: KiÓm tra sù cã nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh✓ B−íc 2: TÝnh x x

b , x .x

c

1 2 a 1 2 a✓ B−íc 3: BiÕn ®æi biÓu thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm lµ A(x1; x2) vÒd¹ng cã chøa x1+ x2 vµ x1.x2

✓ B−íc 4: Thay x1 + x2 vµ x1.x2 vµo biÓu thøc A. Khi ®ã A trë thµnh tam thøc bËc hai Èn lµ tham sè.

✓ B−íc 5: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña A. Chän gi¸ trÞ tham sè thÝch hîp.

D¹ng 17: Chøng minh biÓu thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè

✓ B−íc 1: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖmx1 , x2

x x

b

✓ B−íc 2: TÝnh hÖ thøc Vi- Ðt: 1 2 ax .x

c

1 2 a✓ B−íc 3: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc theo x1+ x2 vµ x1.x2 ; thÊy kÕt qu¶lµ mét h»ng sè => BiÓu thøc liªn hÖ gi÷u hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè

✓D¹ng 18: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh tháa m·n bÊt ®¼ng thøc ®· cho.

D¹ng 19: T×m hai sè khi biÕt tæng vµ tÝch cña chóng

NÕu hai sè u vµ v tho¶ mãn u v Su.v P

(S2 4P). Th× u vµ v lµ nghiÖm

cña ph−¬ng tr×nh x2 - Sx + P = 0 (*)- NÕu ph−¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 . Do x, y cã vai trß

nh− nhau nªn cã hai cÆp sè tháa mãn lµu x1

v

x2

www.VNMATH.com



hoÆc u x2 v x1

www.VNMATH.com



- NÕu ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖp kÐp x1 x2 a

=> u = v = a

- NÕu ph−¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm => Kh«ng t×m ®−îc cÆp gi¸ trÞ (u, v) nµo tháa mãn yªu cÇu ®Ò bµi

D¹ng 20: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai ph−¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã nghiÖm chung

Cho hai ph−¬ng tr×nh ax2 bx c 0 ( a 0 ) vµ a ' x2 b ' x c ' 0 ( a ' 0 )

Trong ®ã a, b,c,a', b',c' chøa tham sè m*) Çch 1:

➢ Hai ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm chung khi vµ chØ khi hÖ ph−¬ng tr×nh:

ax2 bx c 0 ( a 0)

cã nghiÖm

a ' x2 b ' x c ' 0 ( a ' 0 )➢ Trõ vÕ víi vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh trong hÖ ta cã ph−¬ng tr×nh

d¹ng:A(m).x = B(m)

+) NÕu A(m) = 0, tõ ®¼ng thøc nµy ta rót ra mét vµi gi¸ trÞ cña m, sau ®ã thay trùc tiÕp vµo hai ph−¬ng tr×nh gi¶i hai ph−¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè vµ xÐt xem øng víi gi¸ trÞ m®ã hai ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm chung hay kh«ng ?

+) NÕu A( m) 0=> x = B( m)

A( m)(chøa tham sè). Thay vµo mét

trong hai ph−¬ng tr×nh ta rót ra mét vµi gi¸ trÞ cña m, sau ®ã thay tõng gi¸ trÞ cña m vµo hai ph−¬ng tr×nh gi¶i hai ph−¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè vµ xÐt xem øng víi gi¸ trÞ m ®ã hai ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm chung hay kh«ng ?

+) NÕu A( m) 0 => x = B( m)

A( m)(kh«ng chøa tham sè), kÕt luËn

ngay ®©y lµ nghiÖm chung cña hai ph−¬ng tr×nh. Thay nghiÖm chung ®ã vµo mét trong hai ph−¬ng tr×nh ta rót ra gi¸ trÞ cña m

➢ KÕt luËn: øng víi gi¸ trÞ m nµo th× hai ph−¬ng tr×nh cã nghiÖmchung, nghiÖm chung lµ g× ?

6

6

www.VNMATH.com



* ) C ̧ c h 2 : ChØ thùc hiÖn çch gi¶i nµy ë mét sè bµi to¸n ®¬n gi¶n Tõ hai ph−¬ng tr×nh

ax2 bx c 0

=> m = A(x)

a' x2 b' x c ' 0

=> m = B(x)

www.VNMATH.com



Ta cã: A(x) = B(x). Gi¶i ph−¬ng tr×nh nµy ta ®−îc nghiÖm chung cña hai ph−¬ng tr×nh, sau ®ã thay nghiÖm chung ®ã vµo mét trong hai ph−¬ng tr×nh ta t×m ®−îc gi¸ trÞ cña tham sè m, nÕu cÇn thiÕt thö l¹i ®Ó kiÓm traC ̧ c h 3 : ChØ thùc hiÖn çch gi¶i nµy ë mét sè bµi to¸n ®¬n gi¶n

Tõ mét trong hai ph−¬ng tr×nh ta rót m theo x vµ thÕ vµo ph−¬ng tr×nh kia, ®−îc ph−¬ng tr×nh Èn x; tõ ph−¬ng tr×nh nµy ta t×m ®−îc nghiÖm chung, sau ®ã t×m m = ?D¹ng 21: Chøng minh trong hai ph−¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã Ýt nhÊt mét ph−¬ng tr×nh cã nghiÖmCho hai ph−¬ng tr×nh ax2 bx c 0 ( a 0) vµ a ' x2 b ' x c ' 0 ( a ' 0)

Trong ®ã a, b, c,a', b', c ' chøa tham sèChøng minh Ýt nhÊt mét trong hai ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm

Ph−¬ng ph¸p:Çch 1: Gäi

chøng minh

1 , 2

lÇn l−ît lµ biÖt thøc cña hai ph−¬ng tr×nh. Ta cÇn

+) 1 2 0

=> 1 0 hoÆc 2

0 hoÆc

1 , 2 0

+) 1 .2 0 => 1 0 hoÆc 2 0

VËy Ýt nhÊt mét trong hai ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm Çch 2: Chøng minh b»ng ph¶n chøng

Gi¶ sö c¶ hai ph−¬ng tr×nh ®Òu v« nghiÖm. Khi ®ã 1 0, 2 0

Ta lËp luËn dÉn ®Õn ®iÒu v« lÝ => ph¶i cã Ýt nhÊt mét trong hai biÖt thøc kh«ng ©m. VËy cã Ýt nhÊt mét trong hai ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm

D¹ng 22: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai ph−¬ng tr×nh t−¬ng®−¬ng- LÝ thuyÕt chung: Hai ph−¬ng tr×nh ®−îc gäi lµ t−¬ng ®−¬ng nÕu chóng cã cïng mét tËp nghiÖm*) D ¹ n g 2 2 . 1 : Hai ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt

T×m nghiÖm cña hai ph−¬ng tr×nh theo tham sè vµ cho hai nghiÖm b»ng nhau, tõ ®ã t×m ®−îc gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai ph−¬ng tr×nh t−¬ng®−¬ng*) D ¹ n g 2 2 . 2 : Hai ph−¬ng tr×nh bËc hai mét Èn

XÐt hai tr−êng hîp➢ Tr−êng hîp1: Hai ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm chung

Tr−íc hÕt t×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai ph−¬ng tr×nh cã

www.VNMATH.com



nghiÖm chung sau ®ã thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo hai ph−¬ng

1

2

1 2

2

www.VNMATH.com



tr×nh vµ t×m tËp nghiÖm cña chóng. NÕu tËp nghiÖm b»ng nhau th× hai ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng => gi¸ trÞ cña tham sè

➢ Tr−êng hîp 2: Hai ph−¬ng tr×nh cïng v« nghiÖm <=>

=> Gi¸ trÞ cña tham sè

1 02 0

§Æc biÖt: NÕu nhËn thÊy mét trong hai ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm( 1 0 hoÆc 2 0 )

=> Hai ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng khi hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh nµy còng lµ hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh kia, do ®ã ta cã thÓ ¸p dông vi - Ðt cho c¶ hai ph−¬ng tr×nh vµ t×m tham sè.Cô thÓ ta cã: x1 x2 b b' ; x1x2

c c' m ?

a a' a a'D¹ng 23: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh23.1: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh.

Cho ph−¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (a 0) cã mét nghiÖm x = x .Çch gi¶i:

✓ B−íc1: Thay x = x1 vµo ph−¬ng tr×nh ax1 + bx1 + c = 0.✓ B−íc 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh cã Èn lµ tham sè.

23.2: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh.

Cho ph−¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (1) (a 0) cã hai nghiÖm x = x ; x = x . Çch 1:

✓ B−íc 1: Thay x = x1; x = x2 vµo ph−¬ng tr×nh (1) ta cã hÖ ph−¬ng

ax2 bx c 0tr×nh:

1 1

ax2 bx c 0

✓ B−íc 2: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh cã Èn lµ tham sè.Çch 2:

✓ B−íc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm.x x

b

✓ B−íc 2: Theo Vi - Ðt 1 2 ax .x

c

1 2 a✓ B−íc 3: Thay x = x1; x = x2 vµo hÖ vµ gi¶i ta ®−îc gi¸ trÞ cña tham sè.

D¹ng 24: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ tham sè ®Ó tam thøc bËc hai lu«n lu«n d−¬ng hoÆc lu«n lu«n ©m víi mäi x

Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax2 bx c ( a 0 )

6

6

b

www.VNMATH.com



2 b c b 2 2

4ac b 2

f(x) = a( x

x a a

) a x

2a 2 a x 2a 2

4a 4a

)

www.VNMATH.com



+) NÕu

0 => x b 2a

4a2

> 0. Khi ®ã f(x) cïng dÊu víi hÖ sè a,

ta cã çc tr−êng hîp sau

✓ f(x) > 0, x

✓ f(x) < 0, x

✓ f(x) ≥ 0, x

✓ f(x) ≤ 0, x

<=>

<=>

<=>

<=>

a 0 0

a 0 0

a 0 0

a 0 0

+) NÕu 0 f ( x) a( x b 2

2a

=> f(x) cïng dÊu víi hÖ sè a, trõ tr−êng hîp x =

b 2a

Khi x = b 2a

th× f(x) = 0

VII– Gi¶i bµi to¸n b»ng çch lËp ph−¬ng tr×nh, lËp hÖ pph−¬ng tr×nh.

LÝ thuyÕt chung

1. Çc b−íc gi¶i bµi to¸n b»ng çch lËp ph−¬ng tr×nhB − í c 1 : LËp ph−¬ng tr×nh.

- Chän Èn sè vµ x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn thÝch hîp cho Èn sè;

- BiÓu diÔn çc ®¹i l−îng ch−a biÕt theo Èn vµ çc ®¹i l−îng ®ã biÕt;

- LËp ph−¬ng tr×nh biÓu thÞ mèi quan hÖ gi÷a çc ®¹i l−îng.

B − í c 2 : Gi¶i ph−¬ng tr×nh.

B − í c 3 : Tr¶ lêi: KiÓm tra xem trong çc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh,

nghiÖm nµo tho¶ mãn ®iÒu kiÖn cña Èn, nghiÖm nµo kh«ng råi kÕt luËn.

2. Çc b−íc gi¶i bµi to¸n b»ng çch lËp hÖ ph−¬ng tr×nhB − í c 1 : LËp hÖ ph−¬ng tr×nh.

2

www.VNMATH.com



- Chän hai Èn sè vµ x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn thÝch hîp cho chóng;

- BiÓu diÔn çc ®¹i l−îng ch−a biÕt theo çc Èn vµ çc ®¹i l−îng ®ã biÕt;

7

7

www.VNMATH.com



- LËp hai ph−¬ng tr×nh biÓu thÞ mèi quan hÖ gi÷a çc ®¹i l−îng.

B − í c 2 : Gi¶i hÖ hai ph−¬ng tr×nh nãi trªn .

B − í c 3 : Tr¶ lêi: KiÓm tra xem trong çc nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh, nghiÖm nµo tho¶ mãn ®iÒu kiÖn cña Èn, nghiÖm nµo kh«ng råi kÕt luËn.


D¹ng 1: To¸n chuyÓn ®éng- Ba ®¹i l−îng: S, v, t- Quan hÖ: S = vt; t =

S ; v =

S (dïng c«ng thøc S = v.t tõ ®ã t×m mèi

v tquan hÖ gi÷a S , v vµ t)

- Chó ý bµi to¸n can« :Vxu«i dßng = Vthùc + Vn−íc ; Vng−îc dßng = Vthùc – Vn−íc

*) To¸n ®i gÆp nhau cÇn chó ý ®Õn tæng quãng ®−êng vµ thêi gian b¾t ®Çu khëi hµnh.

*) To¸n ®uæi kÞp nhau chó ý ®Õn vËn tèc h¬n kÐm vµ quãng ®−êng ®i ®−îc cho ®Õn khi ®uæi kÞp nhau

D¹ng 2: To¸n vÒ quan hÖ gi÷a çc sèab 10a babc 100a 10b c

§iÒu kiÖn: 0 < a 9; 0 b, c 9 (a, b, c Z )

D¹ng 3: To¸n lµm chung, lµm riªng, n¨ng suÊt*) Bµi to¸n lµm chung, lµm riªng:

+ Qui −íc: C¶ c«ng viÖc lµ 1 ®¬n vÞ.+ T×m trong 1 ®v thêi gian ®èi t−îng tham gia bµi to¸n thùc hiÖn ®−îc

bao nhiªu phÇn c«ng viÖc.+ C«ng thøc: PhÇn c«ng viÖc = 1

Thêi gian+ Sè l−îng c«ng viÖc = Thêi gian . N¨ng suÊt.

*) Bµi to¸n n¨ng suÊt:+ Gåm ba ®¹i l−îng: Tæng s¶n phÈm ; n¨ng suÊt; thêi gian+ Quan hÖ: Tæng s¶n phÈm = N¨ng suÊt . Thêi gian;

=> Thêi gian = Tæng s¶n phÈm ; N¨ng suÊt = Tæng s¶n phÈm .N¨ng suÊt Thêi gian

D¹ng 4: To¸n diÖn tÝch

a.b a b

www.VNMATH.com



a.b a b

b a b3 a ba3

a3 b3

b a3 b3 a b aba

b a3 b3 a b aba

D¹ng 5: To¸n cã quan hÖ h×nh häc

D¹ng 6: To¸n cã néi dung lÝ, hãa

D¹ng 7: To¸n d©n sè, to¸n phÇn tr¨m

VIII – Çc ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n töPh−¬ng ph¸p 1: §Æt nh©n tö chunga) Ph−¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung ®−îc dïng khi çc h¹ng tö cña ®a

thøc cã nh©n tö chung. Cô thÓ: AB + AC + AD = A(B + C + D)b) Çc b−íc tiÕn hµnh:B − í c 1 : Ph¸t hiÖn nh©n tö chung vµ ®Æt nh©n tö chung ra ngoµi dÊu ngoÆc.B − í c 2 : ViÕt çc h¹ng tö trong ngoÆc b»ng çch chia tõng h¹ng tö cña ®a thøc cho nh©n tö chung.Ph−¬ng ph¸p 2: Dïng h»ng ®¼ng thøca) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph−¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng

thøc ®−îc dïng khi çc h¹ng tö cña ®a thøc cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc.b) Çc h»ng ®¼ng thøc quan träng

1) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a 2 b (

)

2

(a,b 0)

2) a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

a 2 b (

)

2

(a,b 0)

3) a2 – b2 = (a + b).(a – b)4) a b ( a

b).( a b) (a,b 0)

5) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

3a 3b (

)

3

(a,b 0)

6) a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3

3a b 3b a ( a

b)3(a,b 0)

7) a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )a b

(

)(a b) (a,b 0)

an + bn =(a + b)(an-1 - an-2b + ... - abn-2 + bn-1) víi n lÎ8) a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )

a b

www.VNMATH.com



ab ac bc a b c

( )(a b) (a,b 0)

an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + ... + abn-2 + bn-1).9) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2

a b c 2

2 2

(

)2 (a,b 0)

a2 b2 c2 d2 2ab 2ac 2ad 2bc 2bd 2cd ( a b c d )2

10) Lòy thõa bËc n cña mét nhÞ thøc (nhÞ thøc Niu t¬n) – §èi t−îng HSG

7

7

www.VNMATH.com



( a b)0 1( a b)1 1a 1b( a b)2

1a2 2ab 1b2

( a b)3

( a b)4

( a b)5

1a3 3a2 b 3ab2

1b3

1a4 4a3 b 6a2 b2 4ab3 1b4

1a5 5a4 b 10a3 b2 10a2 b3 5ab4 1b5

…………………………………………………………ViÕt tam gi¸c Pa – xcan ®Ó khai triÓn ( a

b)n

11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1………………………………………..

Çch viÕt:

nh− sau:

+ Mçi dßng ®Òu b¾t ®Çu b»ng 1 vµ kÕt thóc b»ng 1+ Mçi sè trªn mét dßng kÓ tõ dßng thø hai ®Òu b»ng sè liÒn trªn

céngvíi sè bªn tr¸i cña sè liÒn trªn.

Ph−¬ng ph¸p 3: Nhãm çc h¹ng töPh−¬ng ph¸p nµy th−êng ®−îc dïng cho nh÷ng ®a thøc cÇn

ph©n tÝch thµnh nh©n tö ch−a cã nh©n tö chung hoÆc ch−a ¸p dông ngay ®−îc h»ng ®¼ng thøc mµ sau khi nhãm çc h¹ng tö ®ã hoÆc biÕn ®æi s¬ bé råi nhãm l¹i th× xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc hoÆc cã nh©n tö chung, cô thÓ:

B −í c 1 : Ph¸t hiÖn nh©n tö chung hoÆc h»ng ®¼ng thøc ë tõng nhãm. B −í c 2 : Nhãm ®Ó ¸p dông ph−¬ng ph¸p h»ng ®¼ng thøc hoÆc ®Æt nh©n tö chung.B −í c 3 : §Æt nh©n tö chung cho toµn ®a thøc.

Ph−¬ng ph¸p 4: T¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö; hoÆc thªm, bít cïng mét h¹ng tö*) L Ý t hu y Õ t c hun g : Ph−¬ng ph¸p nµy nh»m biÕn ®æi ®a thøc ®Ó t¹o ra nh÷ng h¹ng tö thÝch hîp ®Ó nhãm hoÆc sö dông h»ng ®¼ng thøc:*) C ̧ c t r − ê n g h î p :a, Tr−êng hîp ®a thøc d¹ng ax2 + bx + c ( a, b, c Z; a, b, c 0)

TÝnh : = b2 - 4ac:- NÕu = b2 - 4ac < 0: §a thøc kh«ng ph©n tÝch ®−îc.

www.VNMATH.com



- NÕu = b2 - 4ac = 0: §a thøc chuyÓn vÒ d¹ng b×nh ph−¬ng cña mét nhÞ thøc bËc nhÊt- NÕu = b2 - 4ac > 0

+) = b2 - 4ac = k2 ( k Q) ®a thøc ph©n tÝch ®−îc trong tr−êng Q.

1 2

www.VNMATH.com



+) = b2 - 4ac k2 ®a thøc ph©n tÝch ®−îc trong tr−êng sè thùc R. b, Tr−êng hîp ®a thøc tõ bËc 3 trë lªn:- NhÈm nghiÖm cña ®a thøc:

+) NÕu tæng çc hÖ sè cña çc h¹ng tö b»ng 0 ⇒ ®a thøc cã nghiÖmb»ng 1.

+) NÕu tæng çc hÖ sè cña çc h¹ng tö bËc ch½n b»ng tæng çc hÖ sè cña çc h¹ng tö bËc lÎ ⇒ ®a thøc cã nghiÖm b»ng - 1.- L−u ý ®Þnh lý: " NÕu ®a thøc cã nghiÖm nguyªn th× nghiÖm nguyªn ®ãph¶i lµ −íc cña h¹ng tö tù do. NÕu ®a thøc cã nghiÖm h÷u tØ d¹ng

p

q th×

p lµ −íc cña h¹ng tö tù do, q lµ −íc d−¬ng cña hÖ sè cña h¹ng tö cã bËc cao nhÊt".- Khi biÕt mét nghiÖm cña ®a thøc ta cã thÓ dïng phÐp chia ®a thøc, hoÆc dïng s¬ ®å Hooc – ne ®Ó h¹ bËc cña ®a thøc.

Ph−¬ng ph¸p 5: Dïng phÐp chia ®a thøc (nhÈm nghiÖm)- §a thøc f(x) chia hÕt cho ®a thøc g(x) khi vµ chØ khi: f(x)= g(x).q(x)

(q(x) lµ th−¬ng cña phÐp chia)*) §Æc biÖt : f(x) chia hÕt cho x - a <=> f(a) = 0

Ph−¬ng ph¸p 6: Ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô (®æi biÕn)- Dùa vµo ®Æc ®iÓm cña ®a thøc ®ã cho ta ®−a vµo 1 hoÆc nhiÒu biÕn

míi ®Ó ®a thøc trë thµnh ®¬n gi¶n .Ph−¬ng ph¸p nµy th−êng ®−îc sö dông®Ó ®−a mét ®a thøc bËc cao vÒ ®a thøc bËc 2 mµ ta cã thÓ ph©n tÝch ®−îc dùa vµo t×m nghiÖm cña ®a thøc bËc 2 .

- CÇn ph¸t hiÖn sù gièng nhau cña çc biÓu thøc trong ®a thøc ®Óchän vµ ®Æt Èn phô cho thÝch hîp

Ph−¬ng ph¸p 7: Ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh (®ång nhÊt hÖ sè)Trªn c¬ së bËc cña ®a thøc ph¶i ph©n tÝch, ta x¸c ®Þnh çc d¹ng kÕt

qu¶, ph¸ ngoÆc råi ®ång nhÊt hÖ sè vµ gi¶i.

Ph−¬ng ph¸p 8: Ph−¬ng ph¸p vËn dông ®Þnh lÝ vÒ nghiÖm cña tam thøc bËc hai- ¸p dông ®Þnh lý: NÕu ®a thøc P = ax2 + bx + c cã nghiÖm x , x th× :

P = a(x - x1)(x - x2)

çc bµi to¸n ¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc cao:

Data & Analytics

[Vnmath.com] he thong kien toan thcs dai so va hinh hoc