บทท 4 การออกแบบวงจรกรองแบบแอกทฟ

(Active Filter Design) 4.1 บทนา ปจจบน มการใชคลนความถแตละชองสญญาณและใกลกนเป!นจานวนมาก ดงนน ขณะใชงานอาจจะเกดการแทรกสอดของสญญาณไมพงประสงค+เขามาในเครองรบสญญาณได วงจรกรองความถจงมความสาคญอยางมากในระบบสอสาร เนองจากวงจรกรองจะทาหนาทกรองสญญาณทตองการผานไปได แตจะกาจดสญญาณทไมตองการใหมอตราขยายลดลง บทนจะกลาวถงพนฐานวงจรกรองแบบอนาลอก การจาแนกชนดและลกษณะวงจรกรอง การออกแบบวงจรกรองแบบสเลนและคย+ (Sallen and Key) และการออกแบบวงจรกรองแบบบตเตอร+เวร+ธทอาศยพนฐานของวงจรกรองแบบสเลนและคย+ เนอหาสดทายจะกลาวถงการออกแบบวงจรกรองทมอนดบมากกวาอนสอง 4.2 การพจารณาวงจรกรองแบบทวไป รปท 4.1 แสดง สมมตใหสญญาณโทรศพท+ทรบไดมความถกลางทใชเทากบ 900 MHz และมแบนวดธ+เทากบ 200 kHz

รปท 4.1 (ก) ยานความถทตองการรบ (ข) ความถขางเคยงทมขนาดใหญ (ค) การใชตวกรองเพอกาจดความถขางเคยง

4.2.1 คณลกษณะของวงจรกรอง

คณลกษณะทสาคญของวงจรกรองมดงน 1. วงจรกรองตองไมสงผลกระทบกบสญญาณ เชน วงจรกรองทตองการอตราขยายของวงจรมคาคงทมผลการตอบสนองความถ 2. วงจรกรองตองทาหนาทลดสญญาณแทรกสอด เราแบงผลการตอบสนองความถออกเป!น 3 ยาน ดงน 1. ยานแถบความถผาน 2. ยานเปลยนแปลง และ 3. ยานแถบหยด รปท 4.2 (ก) แสดงผลการตอบสนองทางความถของวงจรกรองมอตราขยายทคงท และมชวงแถบสงผาน

4-2

(ก) (ข)

รปท 4.2 (ก) ลกษณะทวไป (ข) คณลกษณะการกรองแบบอดมคต

ตวอย-างท 4.1 ในงานการสอสารแบบไรสาย จะมสญญาณทไมตองการแทรกสอดเขาไปมากกวาสญญาณทใชงานประมาณ 25 dB จงหาวงจรกรองทสามารถลดทอนสญญาณทแทรกสอดเขามาใหนอยกวาสญญาณทตองการประมาณ 15 dB

รปท 4.3

วธทา รปท 4.3 แสดงคณสมบตของวงจรกรองทสามารถลดทอนขนาดของสญญาณแทรกสอดลงไปได 40 dB จานวนของการลดทอนในยานแถบหยด

แบบฝ1กหดท 4.1 เพอใหปNองกนสญญาณแทรกสอด 2 ชองสญญาณ ดานหนงของสญญาณมคาสงกวาสญญาณทออกแบบไว 25 dB จงหาคาการลดทอนในยานแถบหยด ถากาลงของสญญาณแทรกสอดจะปรากฏเทากบ 18 dB คณลกษณะของวงจรกรองทสาคญอน ๆ คอ มความเป!นเชงเสน สญญาณรบกวน กาลงสญเสย และความซบซอนจาเป!นจะตองพจารณาเป!นพเศษ

4.2.2 การจาแนกวงจรกรอง ในการจาแนกวงจรกรองแบบตาง ๆ สามารถแยกไดจากคณลกษณะการตอบสนองทางความถของฟงก+ชนถายโอน ซงวงจรกรองจะสมพนธ+กบการทาใหความถของสญญาณผานได หรอกาจดออกไป รปท 4.4 เราจะเรยกวงจรกรอความถตาผานเนองจากสญญาณทมความถตาสามารถผานวงจรไป แตสญญาณทมองค+ประกอบความถสงไมสามารถผานไปได ในทางกลบกน เราเรยกวงจรความถสงผานเมอสญญาณทมองค+ประกอบความถตาไมสามารถผานวงจรไปได แตองค+ประกอบความถสงสามารถผานไปได

4-3

รปท 4.4 ผลการตอบสนองวงจรกรองความถสงผาน

ตวอย-างท 4.2 ถาตองการขยายสญญาณบรเวณใกลเคยง 1 kHz ซงวงจรไมตองการใหขนาดของสญญาณไฟฟNาทมากกวาสญญาณทตองการอย 40 dB ทความถ 60 Hz ผานออกไป จงออกแบบวงจรกรองเพอลดทอนสญญาณไฟฟNาทไมตองการดงกลาวใหเหลอ 20 dB วธทา รปท 4.5 แสดงวงจรกรองความถสงผานซงถกออกแบบไวใหทความถ 60 Hz มการลดทอน 60 dB

รปท 4.5

แบบฝ1กหดท 4.2 ถายานของสญญาณวทยมการแทรกสอดของสญญาณรบกวนทความถ 100 kHz ขนาด 30 dB ซงมากกวาระดบสญญาณทตองการเทากบ 30 dB จงออกแบบวงจรกรองแถบหยดเพอลดทอนสญญาณใหนอยกวาสญญาณทตองการเทากบ 20 dB

วงจรกรองแถบความถผานคอ วงจรกรองความถทใหชวงความถทตองการผานไปได หรอกลาวไดวาเป!นวงจรทกาจดความถตาและสงทงไป ตวอยางของการกรองชวงความถแสดงในรปท 4.6

รปท 4.6 ชวงความถแถบผานของวงจรกรองแถบผาน (Band pass- filter)

ตวอย-างท 4.3 ออกแบบวงจรภาครบสญญาณ Global Positioning System (GPS) ซงทางานทความถโดยประมาณ 1.5 GHz เพอระงบสญญาณทแทรกสอดเขามา วธทา ในกรณของโทรศพท+ทใชความถยาน 900 MHz และ 1.9 GHz จะมสญญาณแทรกสอดเขามา เพราะฉะนน เครองรบโทรศพท+ตองมวงจรกรองแบบแถบความถผานเพอตดสญญาณแทรกสอดทงไป ซงแสดงในรปท 4.7

4-4

รปท 4.7

แบบฝ1กหดท 4.3 วงจรภาครบสญญาณบลทธทางานทความถ 2.4 GHz วงจรกรองชนดอะไรทสามารถกรองสญญาณ PCS ได

(ก) (ข) (ค) (ง) รปท 4.8 ผลการตอบสนองความถของตวกรอง

รปท 4.8 แสดงผลการตอบสนองความถของตวกรองซงแบงตามชนดของวงจร ประกอบดวยผลการตอบสนองความถตาผานได (ข) ผลการตอบสนองความถสงผานได (ค) ผลการตอบสนองแถบความถผานได และ (ง) ผลการตอบสนองแถบความถไมสามารถผานได

4.2.3 วงจรกรองแบบแอกทฟ วงจรกรองหมายถงวงจรททาหนาทกรองขนาดของสญญาณในความถทไมตองการออก ในบทนจะ

กลาวถงวงจรกรองแบบแอกทฟ ซงวงจรกรองแบบแอกทฟคอ วงจรทนาออปแอมปeมาการประยกต+ใชงานเพอทาหนาทเป!นวงจรกรอง มชนดและการจาแนกวงจรกรองออกหลายแบบ แตในบทน เราจะกลาวถงการออกแบบวงจรกรองแบบบตเตอร+เวร+ธ ซงใชออปแอมปeเป!นอปกรณ+หลกในการออกแบบวงจรกรองและทดลองการทดงานของวงจร และชนดของวงจรกรองแบบอน ๆ

ขอดของวงจรกรองแบบแอกทฟทเหนอกวาวงจรกรองแบบพาสซฟคอ 1. อตราขยายสงสดหรอคาสงสดของฟงก+ชนถายโอนมากกวาหนง 2. ผลกระทบจากการตอโหลดนอยเนองจากการทางานของวงจรกรองไมขนอยกบการจายแรงดน

ใหกบโหลด 4.2.4 ฟงก+ชนถายโอนของวงจรกรอง

การออกแบบวงจรกรองแตละแบบจะขนอยกบคณลกษณะของระบบสอสารทจะนาวงจรกรองไปใชงานดงน 1 ความถแทรกสอดเขามาใกลกบสญญาณทออกแบบไวมากหรอนอย และ/หรอ 2 ระดบของสญญาณทแทรกสอดเขามามากกวาสญญาณทออกแบบไวหรอไม หากอยใกลและขนาดของสญญาณสงกวาสญญาณทออกแบบ เราตองออกแบบใหวงจรมความชนของอตราขยายมากเพอกาจดสญญาณแทรกสอด ตวอยาง

4-5

เราสามารถออกแบบคารปเปgล ชนดของวงจรกรอง ความถคทออฟ และคาอน ๆ ทสาคญของวงจรกรองไดจากการออกแบบสมการฟงก+ชนถายโอน ซงฟงก+ชนถายโอนทวไปมคาเทากบ

(ก) (ข)

รปท 4.9 วงจรกรองแบบ RC (ก) อนดบท 1 และ (ข) อนดบท 2

( )( ) ( )( )( ) ( )

1 2

1 2( ) m

n

s z s z s zH s a

s p s p s p

− − −=

− − −

⋯

⋯ (4.1)

เมอ zk และ pk คอ ความถซโรและความถโพล เราสามารถพรอตคา zk และ pk ไดบนคอมเพลกเพลน ซงคา zk และ pk ไดมาจาก σ + jω เมอ σ คอ

คาจรง และ ω คอคาจนตภาพ

4.3 วงจรกรองอนดบทหนง เนองจากขนตอนแรกในการวเคราะห+วงจรกรองคอเราตองพจารณาและสรางจากวงจรกรองอนดบหนงกอน ซงฟงก+ชนถายโอนของวงจรกรองคอ

( ) 1

1

s zH s a

s p

+=

+ (4.2)

จากตวอยางวงจรกรองในรปท 4.9 (ก) และฟงก+ชนถายโอนในสมการท 4.2 คณลกษณะทจะบงบอกถงวาเป!นวงจรกรองความถตา หรอวงจรกรองความถสงจะขนอยกบคา z1 และ p1 ซงรปท 4.10 แสดงกราฟผลการตอบสนองทางความถของวงจรกรอง คาองค+ประกอบของยานทถกลดทอนจนถงแถบความถหยดมคาเทากบ z1/p1

(ก) (ข)

รปท 4.10 (ก) วงจรกรองความถสงผานอนดบทหนง (ข) วงจรกรองความถตาผานอนดบทหนง

เมอพจารณาวงจรพาสซฟในรปท 4.10 (ก) ซงถกนามาสรางตามฟงก+ชนถายโอน ดวยการแทนคาโพลและซโรมคาดงน z1 = -1/(R1C1) และ p1 = -1/[R1(C1 + C2)] เมอคาซโรมากกวาคาโพล ผลการตอบสนองความถแสดงในรปท 4.10 (ข)

ตวอย-างท 4.4 จงหาผลการตอบสนองความถของวงจรในรปท 4.10 (ก)

4-6

วธทา เราม

( )( ) ( )

2 2

2 2 1 1

1 /( )

1 / 1 /out

in

R sCVs

V R sC R sC=

+

(4.3)

( )

( )2 1 2

1 2 1 2 1 2

1R R C s

R R C C s R R

+=

+ + + (4.4)

วงจรมความถซโรเทากบ -1/R1C2 และความถโพลมคาเทากบ -[(C1+C2) R1// R2]-1 ซงคาซไรและโพล

จะขนอยกบคาของอปกรณ+ คาซโรอาจจะนอยกวาคาโพลกได ถาคาความถซโรนอยกวาคาความถโพลจะเป!นไปตามเงอนไขสมการ

( )1 2

1 1 1 2 1 2

1 R R

R C R R C C

+<

+ (4.5)

(ก)

(ข) (ค)

รปท 4.11

และเมอ

2 2

1 11 1

C R

C R+ < + (4.6)

ดงนน

R2C2 < R1C1 (4.7)

4-7

ภาพท 4.11 (ข) แสดงกราฟผลการตอบสนองทางความถในกรณท R2C2<R1C1 และภาพท 4.11 (ค) แสดงกราฟผลการตอบสนองทางความถในกรณท R2C2>R1C1 เนองจาก ณ. ท s = 0 คา Vout/Vin = R2/(R1 + R2) เพราะวา ตวเกบประจทางานลกษณะเปgดวงจร และท s = ∞ คา Vout/Vin = C1/(C1 + C2) เพราะวา ตวเกบประจมคาความตานทานนอยกวา R1 และ R2 และเป!นการกาหนดคาปจจย แบบฝ1กหดท 4.4 จากตวอยางท 4.4 จงออกแบบวงจรกรองความถสงผาน ซงกาหนดใหความถซโรเทากบ 50 MHz และความถโพลเทากบ 100 MHz และใชตวเกบประจเทากบ 10 pF สมมตใหคาอตราขยายของออปแอมปeมคาสงมาก

ตวอย-างท 4.5 รปท 4.12(ก) แสดงวงจรกรองสญญาณแถบความถผานในรปท 4.11 (ก) จงคานวณหาผลการตอบสนองทางความถของวงจร สมมตใหออปแอมปeมอตราขยายสงมาก

รปท 4.12

วธทา ฟงก+ชนถายโอนเทากบ

( )( )( )

( )2 2

1 1

1

1out

in

R C sVs

V R C s

−= (4.8)

2 1 1

1 2 2

1

1

R R C s

R R C s

+= − ×

+ (4.9)

เนองจากท s = 0 คา Vout/Vin = -R2/R1 และท s = ∞ คา Vout/Vin = -C1/C2 ภาพท 4.12 (ข) แสดงกราฟผลการตอบสนองทางความถในกรณท R1C1<R2C2 และภาพท 4.12 (ค) แสดงกราฟผลการตอบสนองทางความถในกรณท R1C1>R2C2

แบบฝ1กหดท 4.8 ถาความถโพลมากกวาความถซโรอย 5 เทา อตราขยายของแถบผานจะมากกวาอตราขยายยานแถบหยดเทากบ 10 เทา

4.3 การออกแบบวงจรกรองแบบแอกทฟเครอขาย จากการวเคราะห+ผลตอบสนองทางความถ เราทราบถงการทางานของวงจร RC ในลกษณะวงจรกรอง

แบบพาสซฟ รปท 4.13 แสดงตวอยางอยางงายของวงจรคลปปgงตวเกบประจ ฟงก+ชนถายโอนของวงจรมคาเทากบ

4-8

= = =

+ +( ) ( )

(1 / ) 1o

i

V R sRCT s s

V R sC sRC (4.10)

รปท 4.13 แสดงกราฟโบเดของอตราขยายแรงดน ( )T s เราเรยกลกษณะของผลการตอบสนองความถของวงจรนเรยกวาวงจรกรองความถสงผาน รปท 4.14(d) แสดงตวอยางหนงของวงจรกรองความถตาผาน ฟงก+ชนถายโอนคอ

= = =

+ +( ) 1 / 1

( )( ) (1 / ) 1

o

i

V s sCT s

V s R sC sRC (4.11)

รปท 4.13 (ก) วงจรกรองความถสงผานแบบพาสซฟ (ข) กราฟโบเดของฟงก+ชนถายโอน

รปท 4.14 (ก) วงจรกรองความถตาผานแบบพาสซฟ (ข) กราฟโบเดของฟงก+ชนถายโอน

จากการศกษาวงจรกรองความถอนดบหนงพบวา ผลการตอบสนองของสญญาณเชงความถในชวงแถบผานจะมความชน -20 dB/dec สวนมากเราจะเหนวงจรกรองททมอนดบสง

(ก) (ข)

รปท 4.15 วงจรกรองแบบแอกทฟ (ก) วงจรกรองความถสงผาน (ข) วงจรกรองความถตาผาน

รปท 4.15 (ก) แสดงวงจรกรองความถตาผานแบบพาสซฟ รปท 4.15 (ข) แสดงวงจรกรองความถตาผานแบบแอกทฟ

vOUT

C1

R1vIN

4-9

(ก) (ข)

รปท 4.16 วงจรกรองความถตาผาน (ก) แบบพาสซฟ (ข) แบบแอกทฟ

รปท 4.16 (ข) แสดงวงจรอนทเกรเตอร+ วงจรกรองแบบแอกทฟตองจะยดหยนตอการออกแบบ และถกไปใชไดหลากหลายในระบบอเลกทรอนกส+ ตารางท 1 แสดงการจาแนกวงจรกรอง

4.4 วงจรกรองอนดบสอง (Second-Order Filters)

ฟงก+ชนถายโอนของวงจรกรองอนดบสองสามารถเขยนในรปแบบสมการไบคอลเดตรกไดดงสมการท 4.12

( )

2

2 2( )n n

s sH s

s Q s

α β γω ω

+ +=

+ + (4.12)

1,2 21

12 4

nnp j

Q Q

ωω= − ± − (4.13)

คาตวประกอบคณภาพ (Quality factor: Q) มคาเพมขน คาจานวนจรงลดลง และคาจานวนจนตภาพจะเทากบ ± ωn เทากบ รปท 4.17 แสดงการเปลยนของโพลเป!นฟงก+ชนของ Q

รปท 4.17 การเปลยนของโพลเป!นฟงก+ชนของ Q

เราสามารถศกษาวงจรกรอง RLC โดยใชวธการของวงจรแบงแรงดนซงแสดงในรปท 4.17 เมอ Z1 คออมพแดนซ+ทตออนกรม และ Z2 คออมพแดนซ+ทตอขนาน

4-10

รปท 4.18 วงจรแบงแรงดน

ZP หาไดจาก

( ) pout

in s p

zVs

V Z Z=

+ (4.14)

รปท 4.19 ผลตอบสนองทางความถของวงจรในรปท 4.18 (ก) ความถตาผาน (ข) ความถสงผาน (ค) แถบความถผาน

4.4.1 วงจรกรองแอกทฟทมความถโพล 2 โพล รปท 4.20 แสดงวงจรกรองแอกทฟทมความถโพล 2 โพล ซงแทนคาอปกรณ+ดวยคาแอดมตแตนซ+ Y1 ถง Y4 และมออปแอมปeตอในลกษณะวงจรตามแรงดน เราสามารถเขยนฟงก+ชนถายโอน และสามารถออกแบบวงจรกรองไดจากการออกแบบคาแอดมตแตนซ+ Y1 ถง Y4 ฟงก+ชนถายโอนมคาตามคณลกษณะของฟงก+ชนถายโอนวงจรแบตาง ๆ ได

รปท 4.20 วงจรกรองแอกทฟอนดบ 2 แบบทวไป

4-11

เขยนสมการทโหนด Vb ดวยวธการ KCL

(Va – Vb)Y2 = VbY4 (4.15)

จากคณลกษณะของวงจรตามแรงดน Va = Vo ดงนน สมการท 4.xx เราสามารถเขยนไดวา

2 4 2 4

2 2a b o

Y Y Y YV V V

Y Y

+ += =

(4.16)

แทนสมการท 4.16 ในสมการท 4.15 และคา Vb = Vo เราจะได

ViY1 + Vo(Y2 + Y3) = Va(Y1 + Y2 + Y3) (4.17)

( )2 41 2 3

2o

Y YV Y Y Y

Y

+= + +

(4.18)

2 4 2 4

2 2a b o

Y Y Y YV V V

Y Y

+ += =

(4.19)

คณ Y2 กบสมการ 4.19 และจดสมการใหม เราจะไดฟงก+ชนถายโอนใหมดงน

1 2

1 2 4 1 2 3( ) ( )

( )OUT

IN

v Y YT s s

v Y Y Y Y Y Y= =

+ + + (4.20)

ถาออกแบบใหวงจรเป!นวงจรกรองความถตาผาน คา Y1 และ Y2 จะตองเทากบคาความนา ทความถตาสญญาณจะผานไปยงวงจรตามแรงดนได ถา Y4 คอตวเกบประจ ทความถสง สญญาณทเอาต+พตจะมแรงดนลดลง ถาออกแบบใหวงจรเป!นวงจรกรองความถสงผานอนดบ 2 Y3 จะตองเป!นตวเกบประจ ในทางกลบกน ถา Y1 และ Y2 คอตวเกบประจ สญญาณทมความถตาจะไมสามารถผานไปได แตถาสญญาณมความถสงจะผานไปยงเอาต+พตจองวงจรตามแรงดนได เพราะฉะนน คา Y3 และ Y4 จะตองเทากบคาความนา เพอวงจรมฟงก+ชนถายโอนลกษณะความถสงผาน

4.4.2 วงจรกรองพนฐานของ Sallen และ Key รปท 4.21 แสดงวงจรกรองแบบพนฐานของ Sallen และ Key ซงมฟงก+ชนถายโอนอนดบสองทใชออปแอมปeหนงตว ออปแอมปeทใชถกตอลกษณะวงจรบฟเฟอร+

รปท 4.21 วงจรกรองพนฐานของ Sallen และ Key

4-12

VY = R2C2svOUT + vOUT (4.21)

= (1 + R2C2s) (4.22)

( ) ( )2 22 2 2 1

1

11 0out in

out out outR C s V V

C sV R C s V V C sR

+ −+ + + − = (4.23)

ดงนน

21 2 1 2 1 2 2

1( )

( ) 1OUT

IN

vs

v R R C C s R R C s=

+ + + (4.24)

1

1 21 2 2

1 CQ R R

R R C=

+ (4.25)

1 2 1 2

1n

R R C Cω = (4.26)

ตวอย-างท 4.6 รปท 4.22 แสดงวงจรกรองความถตาผาน Sallen และ Key ซงมอตราขยายแถบความถผานมากกวาหนง สมมตใหออปแอมปeมคณลกษณะแบบอดมคต จงหาฟงก+ชนถายโอนของวงจร

รปท 4.22 วงจรกรองความถตาผาน Sallen and Key ทมอตราขยายอยในแถบความถ

วธทา แรงดนเอาต+พตมคาเทากบ Vout = (1+R4/R3)VX และกระแสทไหลผาน R2 หาไดจาก VXC2s = Vout C2s/(1+R4/R3) ดงนน แรงดนทโหนด Y มคาเทากบ

( )+

=+

2 2

4 31out out

YV R C sV

VR R

(4.27)

( )+

=+

2 2

4 3

1

1 outR C s

VR R

(4.28)

KCL ทโหนด Y ดงนน สมการกระแสทไดดงน

4-13

( ) ( ) ( )

+ +− + − + =

+ + +

2 2 2 2 2 21

1 4 3 4 3 4 3

1 1 10

1 1 1out

out in out outR C s R C s R C sV

V V V V C sR R R R R R R

(4.29)

และเมอ

( )( )

( )+

=+ − +

4 32

1 2 1 2 1 2 2 2 1 4 3 1

1

1out

in

R RVs

V R R C C s R C R C R R R C s (4.30)

จากสมการฟงก+ชนถายโอนจะเหนวาคา ωn ไมมการเปลยนแปลง

แบบฝ1กหดท 4.6 จากตวอยางท 4.6 จงวเคราะห+วงจรกรองในรปท 4.22 อกครงถา R0 ตออยระหวางโหนด Y กบกราว+ด ตวอย-างท 4.7 กาหนดใหวงจร Sallen และ Key ในรปท 4.22 มคา R1 = R2 และ C1 = C2 วงจรมคาคอมเพลกซ+โพลหรอไม

วธทา จากสมการท 4.30 เราทราบวา

1 2 2 2 1 1 3

2 1 1 1 2 2 4

1 R C R C R C R

Q R C R C R C R= + − (4.31)

เมอกาหนดให R1 = R2 และ C1 = C2 ทาให

3

4

12

R

Q R= − (4.32)

นนคอ

3 4

1

2 ( / )Q

R R=

− (4.33)

ถา R3/R4 = 0 คา Q จะเรมจาก 1/2 และ เพมขนเนองจาก R3/R4 เพมมากขน 2. เมอ R3/R4 = 0 ความถโพลเรมจากคาจานวนจรง และเมอ R3/R4 > 0 ความถโพลจะเป!นจานวนเชงซอน

รปท 4.23

4-14

แบบฝ1กหด 4.15 จงคานวณหาโพล ถา R3 = R4 ทความถเทากบศนย+ s = jω = 0 และฟงก+ชนถายโอนเทากบ

1 2

1 2( 0) 1

G GT s

G G= = = (4.34)

ทความถสงมาก s = jω = ∞ และฟงก+ชนถายโอนประมาณเทากบศนย+ ดงนน วงจรจะทาการกรองใหความถตาผานได

4.4.3 วงจรกรองอนดบสองแบบบตเตอร+เวร+ธ เราสามารถออกแบบวงจรกรองอนดบสอง ซงแสดงในรปท 4.20 ดวยการกาหนดให Y1 = G1 = 1/R1, Y2 = G2 = 1/R2, Y3 = sC3, และ Y4 = sC4 ฟงก+ชนถายโอนของวงจรมคาเทากบ

1 2

1 2 1 2 3 4( ) ( )

( )OUT

IN

v G GT s s

v G G G G sC C s= =

+ + + (4.35)

รปท 4.24 วงจรกรองความถตาผาน Sallen และ Key

วงจรกรองแบบบตเตอร+เวร+ธ คอวงจรกรองทมขนาดของสญญาณในชวงแบนวดธ+คงทมาก ฟงก+ชนถายโอนถกออกแบบใหขนาดของฟงก+ชนถายโอนชวงแถบผานของวงจรกรองมคาคงทมากทสด เราสามารถออกแบบไดโดยหาอตราเปลยนแปลงของฟงก+ชนถายโอนเทยบกบความถ แลวกาหนดใหความถแถบผานมคาเทากบศนย+ ซงวงจรกรองความถตาผานจะมความถเทากบศนย+ กาหนดให G1 = G2 = G = 1/R ฟงก+ชนถายโอนมคาเทากบ

( )

( )2

4 32

1

1 2RT s

C sC sRR

=+ +

( )4 3

1

1 2RC sRC s=

+ + (4.36)

เราหาคาเวลาคงทไดคอ τ3 = RC3 และ τ4 = RC4 ถาเราเทาคา s = jω เราจะได

( )( )4 3

1

1 2T j

j jω

ωτ ωτ=

+ + ( ) ( )23 4 4

1

1 2jω τ τ ωτ=

− + (4.38)

ขนาดของฟงก+ชนถายโอนมคาเทากบ

4-15

( )( )1/222

3 4 4( ) 1 2T jω ω τ τ ωτ−

= − (4.39)

คาขนาดของฟงก+ชนถายโอนทเรยบสงสดของยานกรองความถ ซงแสดงถงคณสมบตของวงจรกรองแบบบตเตอร+เวร+ธ เรากาหนดให

00

d T

d ωω == (4.40)

หาคาอตราการเปลยนแปลงของฟงก+ชนถายโอนเทยบกบอตราการเปลยนแปลงความถเชงมม จะไดวา

( ) ( ) ( )[ ]

3/22 211 2 4 1 8

2

d T

dω ω ω ω ω

ω−

= − − + − − + (4.41)

กาหนดใหอตราการเปลยนแปลงของขนาดฟงก+ชนถายโอนเทากบศนย+ท ω = 0 ดงนน

( )2 2

3 4 3 4 40

4 1 8d T

d ωωτ τ ω τ τ ωτ

ω =

= − − + (4.42)

= 4ωτ4[-τ3(1- ω2τ3τ4) + 8ωτ24

สมการท 4.42 จะเป!นไปไดกตอเมอ 2τ4 = τ3 หรอ

C3 = 2C4 (4.43)

ขนาดของฟงก+ชนถายโอนในสมการท 4.43 จะเป!นไปตามเงอนไขเมอ

( )

1/244

1

1 4T

ωτ=

+

(4.44)

ท 3 dB หรอความถคทออฟจะแสดงใหเหนดวยการหาขนาดของฟงก+ชนถายโอนเทากบ 1/2 หรอเมอ 4(ω3dBτ4)

4 = 1 เราสามารถหาไดเทากบ

3 34 4

1 12

2 2dB dBfRC

ω πτ

= = = (4.45)

โดยทวไปเราสามารถเขยนความถคทออฟในสมการ

31

dBRC

ω = (4.46)

จากสมการ 4.44, 4.45 และ 4.46 เราสามารถเขยนสมการใหมไดวา

C4 = 0.707C (4.47)

และ

C3 = 1.414C (4.48)

4-16

รปท 4.25 วงจรกรองความถตาผานอนดบสองแบบบตเตอร+เวร+ธ รปท 4.26 แสดงกราฟโบเดของฟงก+ชนถายโอน จากสมการท 4.xx วงจรกรองความถตาผานอนดบทสองมขนาดของฟงก+ชนถายโอนดงน

4

3

1

1dB

T

f

f

=

+

(4.67)

สมการท 4.xx แสดงคาอตราการเปลยนแปลงของฟงก+ชนถายโอนเทยบกบความถเชงมม เมอ w = 0 มคาเทากบศนย+ปราศจากการกาหนดคา 2τ4 = τ3 อยางไรกตาม เมอเพมเงอนไข 2τ4 = τ3 คณกบคาอตราขยายสงสดของวงจรกรองแบบบตเตอร+เวร+ธ

รปท 4.23 วงจรกรองมคาความถอนดบทสอง (ก) วงจรกรองความถตาผานแบบบตเตอร+เวร+ธ (ก) วงจรกรองความถสงผานแบบบตเตอร+เวร+ธ

ตวอย-างท 4.8 จงออกแบบวงจรกรองความถตาผานอนดบสองแบบบตเตอร+เวร+ธสาหรบวงจรขยายคลนวทยกาหนดใหใชวงจรในรปท xxx และออกแบบใหมแบนวดธ+เทากบ 20 kHz

วธทา จากสมการ 4.xx เราจะได

31

2dBfRCπ

= (4.67)

คา RC มคาเทากบ

3

1

2 dB

RCfπ

= (4.67)

ถากาหนดให R = 100 kΩ ดงนน C = 79.6 pF คาความจของตวเกบประจทใช C3 = 1.414C = 113 pF และ C4 = 0.707C = 56.3 pF เนองจากการใชคาของอปกรณ+ตามมาตรฐานคอ R = 100 kΩ, C3 = 120 pF และ C4 = 56 pF ซงผลทไดจะทาใหแบนด+วดธ+มคาเทากบ 20.1 kHz ตวอย-างท 4.9 จงออกแบบวงจรกรองความถตาผานอนดบสองแบบบตเตอร+เวร+ธทความถ 25 kHz กาหนดใหวงจรใชตวเกบประจมคาเทากบ 50 pF (ตอบ C3 = 50 pF, C4 = 25 pF, R = 180 kΩ)

4.6 วงจรกรองอนดบสองความถสงผ-านแบบบตเตอรFเวรFธ

4-17

เราสามารถออกแบบวงจรกรองความถสงผานไดดวยวธการนาวงจรกรองความถตาผานมาสลบตวตานทานกบตวเกบประจ รปท 4.24 แสดงวงจรกรองความถสงผานอนดบสองแบบบตเตอร+เวร+ธ เมอทาการวเคราะห+ดวยกระบวนการทผานมา ทาการหาอตราการเปลยนแปลงเมอ s = jω =∞ ซงเทากบศนย+ ดงนน เราสามารถเขยนสมการความถท -3 dB หรอ ความถคทออฟใหมไดวา

3 31

2dB dBfRC

ω π= = (4.67)

รปท 4.24 วงจรกรองมคาความถโพล 3 โพล (ก) วงจรกรองความถตาผานแบบบตเตอร+เวร+ธ (ก) วงจรกรองความถสงผานแบบบตเตอร+เวร+ธ เราหาคา R3 = 0.707R และ R4 = 1.414R คาขนาดของฟงก+ชนถายโอนของวงจรกรองอนดบสองความถสงผานแบบบตเตอร+เวร+ดคอ

43

1

1 dB

Tf

f

=

+

(4.67)

รปท 4.24 (ข) แสดงกราฟโบเดพรอตขนาดของวงจรกรองอนดบสองความถสงผานแบบบตเตอร+เวร+ด 4.7 วงจรกรองแบบบตเตอรFเวรFดทมอนดบสง (Higher-Order Butterworth Filters) อนดบฟงก+ชนถายโอนของวงจรฟgลเตอร+คอจานวนโพล และถกออกแบบดวยความตองการของการนาไปใชงานแตละเงอนไขของวงจร จานวน N อนดบของวงจรกรองความถตาผาน ณ. ทความถสง ขนาดของฟงก+ชนถายโอนจะลดลงดวยอตรา N x -20 dB/decade ขณะทวงจรกรองความถสงผาน ขนาดของฟงก+ชนถายโอนจะเพมขนดวยอตรา N x 20 dB/decade จนถงความถคทออฟ ซงความถคทออฟมคาเทากบ

31

2dBfRCπ

= (4.67)

ขนาดของฟงก+ชนถายโอนของวงจรกรองความถตาผานอนดบท N แบบบตเตอร+เวร+ธคอ

2

3

1

1N

dB

T

f

f

=

+

(4.67)

4-18

สาหรบวงจรกรองความถสงผานอนดบท N แบบบตเตอร+เวร+ธ มฟงก+ชนถายโอนคอ

23

1

1N

dB

Tf

f

= +

(4.67)

รปท 4.25(ก) แสดงวงจรกรองความถตาผานอนดบสามแบบบตเตอร+เวร+ธ ซงวงจรจะใชตวตานทานะจ 3 ตวทมคาเทากน และความสมพนธ+ระหวางตวเกบประจทพบโดยการใชอนพนธ+ตวแรกและตวทสองของแรงดนไฟฟNาทไดขนาดและความถและการอนพนธ+นนเทากบศนย+ท s = jω = 0 รปท 4.25(ข) แสดงวงจรกรองความถสงผานอนดบสามแบบบตเตอร+เวร+ธ ในกรณน วงจรจะใชตวเกบประจ 3 ตวทมคาเทากน และมความสมพนธ+ระหวางตวตานทานเพอใหสญญาความถสงผานไปได เราสามารถสรางวงจรกรองทมอนดบสงดวยการเพมวงจร RC อยางไรกตาม เมอเพมวงจร RC จะทาใหเกดผลกระทบของโหลด ประโยชน+ของตวกรองทใชงานอยวา ถาสองคนหรอมากกวา ออปแอมปeวงจรกรองประสทธภาพการผลตขนาดใหญใชงานตวกรองขนสง เนองจากออปแอมปeมคาอมพแดนซ+ดานเอาต+พตตามาก ดงนน วงจรจงไมปญหาเรองผลกระทบของโหลดเมอตอคาสแคสหลายภาค รปท 4.26(ก) แสดงวงจรกรองความถตาผานอนดบท 4 แบบบตเตอร+เวร+ธ ผลการตอบสนองวงจรททาใหคาอตราขยายสงสดเรยบมากนไมไดมาจากวงจรกรองอนดบ 2 สองวงจรมาตอคาสแคสกน ความสมพนธ+ระหวางตวเกบประจเป!นพบผานอนพนธ+ 3 แรกของฟงก+ชนการถายโอน รปท 4.26(ข) แสดงวงจรกรองความถสงผานอนดบท 4 แบบบตเตอร+เวร+ธ วงจรกรองอนดบสงสามารถออกแบบไดโดยไมตองพจารณาเงอนไขน วงจรกรองแบบแถบความถผาน และวงจรกาจดแถบความถจะใชคณลกษณะของวงจรทเหมอนกน

(ก)

(ข)

รปท 4.25 วงจรกรองมคาความถอนดบสาม (ก) วงจรกรองความถตาผานแบบบตเตอร+เวร+ธ (ก) วงจรกรองความถสงผานแบบบตเตอร+เวร+ธ

4-19

รปท 4.26 วงจรกรองมคาความถโพล 4 โพล (ก) วงจรกรองความถตาผานแบบบตเตอร+เวร+ธ (ก) วงจรกรองความถสงผานแบบบตเตอร+เวร+ธ

แบบฝ1กหดท 4.xx จงออกแบบวงจรกรองความถสงผานอนดบสามแบบบตเตอร+เวร+ธมความถตดเทากบ 200 Hz และทความถสงผานมอตราขยายเทากบหนง (ตอบ (ก) ถากาหนดให C = 0.01 µF, ดงนน R1 = 22.44 kΩ, R2 = 57.17 kΩ และ R3 = 393.2 kΩ (ข) (i) T = 0.124 หรอ -18.1 dB (ii) T = 0.959 หรอ -0.365 dB) แบบฝ1กหดท 4.xx (ก) จงออกแบบวงจรกรองความถตาผานอนดบสแบบบตเตอร+เวร+ธมความถตดเทากบ 30 kHz (ข) จงหาความถ ณ. ท ขนาดของฟงก+ชนถายโอนเทากบ 99% ของคาสงสด (ตอบ (ก) ถากาหนดให R = 100 kΩ ดงนน C1 = 57.4 pF, C2 = 49.02 pF, C3 = 138.6 pF และ C4 = 20.29 pF (ข) f = 18.43 kHz) แบบฝ1กหดท 4.xx จงออกแบบวงจรกรองความถตาผานอนดบหนง สอง สาม และสแบบบตเตอร+เวร+ธทมความถตดเทากบ 10 kHz และทความถตาผานมอตราขยายเทากบหนง จงหาขนาดของฟงก+ชนถายโอนทมหนวยเป!น dB เมอความถเทากบ 12 kHz (ตอบ -3.87 dB, -4.88 dB, -6 dB และ -7.24 dB)

แบบฝ1กหดทMายบท 1. จงหาผลตอบสนองความถของวงจรในรปท p4.1

4-20

รปท p4.1

2.

3. 1

( )( )( )

OUT

IN

vs

v s a s b=

+ +

เมอ a และ b คอคาจรงบวก จงหา xxxx ฟงก+ชนถายโอนในรปท xxxx

4.

(ก) (ข)

รปท p4.2 5. รปท 4.56 แสดงวงจรกรองความถสงผาน จงหาคาความไวของโพลและซโรเพอหาคา R1 และ C1 6. จงพจารณาวงจรกรองในรปท 4.57 เพอคานวณหาคาความไวของโพล และซโรเพอหาคา C1, C2 และ R1

4-21

(ก) (ข)

(ค) (ง)

รปท p4.3 8. รปท p4.4 แสดงวงจรกรองแบบความถตาผานถกออกแบบใหม 2 โพล (ก) จงพสจน+หาฟงก+ชนถายโอน (ข) จงคานวณหาโพลและเงอนไขเพอยนยนเถยรภาพ (ค) จงคานวณหาโพลทออนไหวมาก ซงสมพนธ+กบ R1, C1 และ L1

18.

รปท p4.4

19. วงจรกรอง SK ซงแสดงในรปท 4.34 ถกออกแบบใหมคา K = 4 และ C1 = C2 จงหาคา R1/R2 เพอใหได Q = 4 what is the resulting Q sensitivity to R1 20. วงจรกรอง SK ถกออกแบบใหมคา K = 1 ถาตองการใหผลการตอบสนองความถมพคขน 1 dB ตลอด จงหาคาของอปกรณ+ตางๆ 21. วงจรกรอง SK ซงแสดงในรปท 4.33 ม

1

QRS = 2 ถา C1 = C2 จงพรอตกราฟ Q ซงเป!นฟงก+ชนของ

2 1R R และจงหายานของคา Q และ 2 1R R 22. รปท 4.61 แสดงวงจรกรองความถสงผานโดยใชรปแบบวงจรกรอง SK จงพสจน+หาฟงก+ชนถายโอนและหาคา Q และ

nω

4-22

รปท p 4.5

เอกสารอMางอง 1. Behzad Razavi “Fundamental of Microelectronics” 2. Donald A. Neamen “Microelectronic Circuits Analysis and Design”