Armaduras em vigas-parede. Comparação do cálculo tradicional com a metodologia preconizada pelo EC2

BE2010 – Encontro Nacional Betão Estrutural Lisboa – 10, 11 e 12 de Novembro de 2010

Armaduras em vigas-parede. Comparação do cálculo tradicional com a metodologia preconizada pelo EC2.

Rui Cardoso1 Fernando C. T. Gomes1

RESUMO No presente artigo pretende-se determinar e comparar as quantidades e disposições das armaduras necessárias em vigas-parede resistentes que são impostas pela aplicação das metodologias descritas no Eurocódigo 2, ou seja, por aplicação do método dos elementos finitos e do modelo de escoras e tirante, com aquelas que são preconizadas na regulamentação nacional Francesa e Portuguesa. O método dos elementos finitos é aplicado em termos de deslocamentos a um problema de estado plano de tensão, onde se considera que o material da viga-parede tem comportamento elástico linear isotrópico. São obtidos os rácios de armadura em vigas-parede para cada uma das normas aplicadas e representados desenhos de pormenor das respectivas armaduras. PALAVRAS-CHAVE Viga-parede, Eurocódigo 2, REBAP, règles BAEL91 révisées 99, método dos elementos finitos, método das escoras e tirantes. 1 Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Oliveira do Hospital, Instituto Politécnico de Coimbra, Rua General Santos Costa, 3400-124 Oliveira do Hospital, Portugal. [email protected]; [email protected].

Armaduras em vigas-parede, cálculo tradicional e metodologia preconizada pelo EC2

1 INTRODUÇÃO As estruturas de edifícios em Portugal tendem cada vez mais a utilizar as paredes ou vigas-parede de betão como elementos resistentes, à semelhança daquilo que sucede há já muitos anos em vários países da Europa como a França ou a Alemanha. Tendo presente que os Eurocódigos estão já em vigor na Europa, importa analisar as repercussões económicas que estas normas têm nos projectos de estruturas do espaço Europeu. Neste artigo comparam-se as quantidades de armaduras obtidas pelos métodos de cálculo preconizados pelo regulamento de estruturas de betão armado e pré-esforçado português (adiante REBAP), [2], e o regulamento francês (adiante BAEL91), [1], com as metodologias e regras de cálculo adoptadas pelo Eurocódigo 2 (adiante EC2), [3], de forma a obter um indicador (rácio de armadura por metro cúbico de betão) que permita aferir a variação de custo deste elemento estrutural. 2 DEFINIÇÃO DO EXEMPLO ESTUDADO Com vista à aplicação das várias metodologias de cálculo das armaduras em vigas-parede e à análise e comparação dos resultados obtidos, define-se um exemplo padrão de estudo, representativo de uma viga-parede de dois vãos submetida à acção de uma carga uniformemente distribuída. A viga-parede tem uma altura constante (h ) de 2.50 metros, é constituída por dois vãos (l ) iguais de 5 metros de comprimento e tem espessura (e) constante e igual a 20 cm, Fig. 1. Os materiais utilizados são o betão C25/30 e o aço S500. A acção é constituída por uma carga uniformemente distribuída de 240 kN/m, aplicada na parte superior, a qual corresponde à combinação fundamental do estado limite último de resistência definida em [3] e [4].

Figura 1. Viga-parede estudada.

3 REGULAMENTOS NACIONAIS FRANCÊS E PORTUGUÊS

3.1 Cálculo de esforços e armaduras principais De acordo com a regulamentação Francesa e Portuguesa, [1], [2], o cálculo dos esforços em vigas-parede pode ser efectuado com recurso às teorias da resistência dos materiais (anexo E.5.4 do BAEL 91 e art.º 130 do REBAP), admitindo que a peça é linear e o material tem comportamento elástico linear. Os esforços assim obtidos são tratados como esforços de referência para o dimensionamento da viga-parede. Para o exemplo em estudo, Fig. 1, determinam-se os esforços elásticos com recurso ao programa de cálculo FTOOL, [8], e obtêm-se os diagramas de momento flector e esforço transverso ilustrados na Fig. 2. A deformação por esforço transverso não é considerada.

Figura 2. Diagrama de esforço transverso e momento flector de referência.

Os esforços de referência são utilizados na Eq. (1), [1], [2], validada experimentalmente em [5], a qual permite determinar a quantidade de armadura resistente necessária nas zonas traccionadas da viga-parede, Fig. 3.


sydfzsdM

sA⋅

= . (1)

Onde sdM é o valor de cálculo do momento flector actuante, z é o braço do binário das forças

interiores, ydf é o valor de cálculo da tensão resistente do aço S500, sA é a área de armadura de

cálculo necessária.

AsFsyd AsFsyd

AsFsyd

Figura 3. Diagrama de tensões normais a meio vão e sobre o apoio.

3.1.1 Caso português A armadura principal resistente, para vigas-parede contínuas, é determinada considerando que o valor do braço dos binários nos vãos extremos e apoios adjacentes são dados pelo art.º 130 do REBAP, Eq. (2) e Fig. 3. As armaduras dos vãos devem de ser constantes ao longo destes.

l) 2h (2.5 0.10z += se 521 .l/h << . (2)

Para as armadura sobre os apoios intermédios, metade dessa armadura deve ser estendida a toda a extensão dos vão adjacentes, a outra metade pode ser interrompida a uma certa distância dos apoios igual à menor de duas dimensões 0.4 l ou 0.4 h contado a partir da face interior do apoio, [7] e Fig. 4. Por outro lado esta armadura deve de ser repartida segundo a altura da viga-parede em duas bandas horizontais, Eqs (3) e (4) e Fig. 4, sendo

s) Ah

l (.sA 1501 −= , (3)

e 12 sAsAsA −= , (4)

As

As1

2

As1As2

Figura 4. Armaduras sobre os apoios.

Aplicando as Eqs (1), (2), (3) e (4), obtèm-se as quantidades de armadura principal necessárias a meio vão e sobre o apoio central que se indicam no quadro 1.

Quadro 1. Quantidade de armadura resistente.

sdM (kN.m) z (m) sA cálculo (cm2) sA adoptado (cm2)

421.9 1.625 5.97 6.32 - 10 8φ

-750 1.625 10.61 =1sA 5.50 - 8 11φ

=2sA 5.50 - 8 11φ


Finalmente de acordo com o art.º 133 do REBAP, deve ser disposta uma malha de armadura mínima ortogonal entre si, tal que, cshsv AAA 0005.0min,min, == (cm2/m2) = 1 cm2/face => # 25.0//6φ .

Como resultado da aplicação do REBAP, representam-se na Fig. 5, as armaduras obtidas em cada face da viga-parede e respectiva disposição.

#Ø6//0.25

4Ø10

2Ø8

3Ø8

3Ø8

3Ø8

A

A

A-AØ8//0.25

L=0.55m

Figura 5. Disposição das armaduras por face.

3.1.2 Caso francês A determinação da armadura principal resistente, segundo o regulamento francês (BAEL91) é idêntica a referida §3.1.1. O braçozdas forças vem dado pela Eq. (5) de acordo com o anexo E5.4.12 do BAEL:

l) h. (.z += 51200 se 021 .l/h << . (5)

De acordo com o anexo E5.4.12 do BAEL91, a armaduras sobre os apoios podem ser interrompidas da mesma forma que em §3.1.1 e são totalmente colocadas numa banda de largura dada por: min{0.10 h; 0.10 l} de altura, medida a partir da face superior da viga, Fig. 6,

Figura 6. Armaduras principais.

Recorrendo às Eqs (1) e (5) determinam-se as quantidades de armadura principal a meio vão e sobre o apoio central, quadro 2.

Quadro 2. Quantidades de armadura resistente.

sdM (kN.m) z (m) sA cálculo (cm2) sA adoptado (cm2)

421.9 1.75 5.54 5.74 - 8 210 6 φφ +

- 750 1.75 9.85 10.04 - 16 4φ + 8 4φ

Por fim o BAEL91 estipula a obrigatoriedade de dispor uma armadura em malha ortogonal. A quantidade desta armadura a dispor na direcção vertical é dada pelo anexo E5.4.21, Eq. (6).

=syd

ou

ykv f

f

τρ

4

3;

8.0max ,

vsobvA

vρ = , hb

V

o

ouou =τ para l>h, (6)

A armadura horizontal da malha é definida no anexo E.5.4.22 do BAEL91. Definem-se duas redes (E5.4.221 e E5.4.222) distintas. Uma rede inferior constituída de armaduras horizontais colocada entre 0.10h e 0.55h, Fig. 7, com uma percentagem de armadura na horizontal, hρ , dada pela Eq. (7),


+=

yksyd

ou

syd

ou

c

ouh f

f

f

f

8.0

;50.0;1560.050.0max28

τττρ , com ho

hh sb

A=ρ . (7)

Onde 28cf é o valor característico da resistência do betão em ensaios sobre provetes cilíndricos e hs

representa o espaçamento horizontal entre armaduras. Uma rede superior, Fig. 7, é constituída de

armaduras horizontais distribuídas entre o nível 0,55h e 0,90h, com uma percentagem de armadura'hρ

dada pela Eq. (8). As armaduras das duas redes devem de ser estendidas ao longo dos vãos.

+=

yksyd

ou

syd

ou

c

ouh f

f

f

f

8.0

;30.0;1560.030.0max28

' τττρ . (8)

ρh

ρh

´

ρh

ρh́

Figura 7. Redes de armadura horizontal

No quadro 3 indicam-se as quantidades de armadura a colocar em cada uma das redes.

Quadro 3. Armadura vertical e horizontal da malha.

ouV (kN) ouτ (kPa) vρ hρ '

hρ

450 900 8 φ //0.15 8 φ //0.15 8 φ //0.15

Da aplicação do BAEL91, representam-se na Fig. 8 as armaduras obtidas e a disposição destas em cada face da viga-parede.

3Ø10+1Ø8

Ø8//0.15

1Ø8+1Ø161Ø8+1Ø16

A

A

Ø8//0.25

L=0.55m

ρh

ρh

´Ø8//0.15

A - A

Figura 8. Disposição das armaduras por face

4 EUROCÓDIGO 2 4.1 Metodologias do EC2 O Eurocódigo 2 e o CEB [7] também, preconizam a adopção de duas metodologias de cálculo distintas no cálculo de vigas parede. A primeira consiste numa análise linear pelo método dos elementos finitos, enquanto a segunda consiste na aplicação do método das escoras e tirantes, [6].


4.1.1 Análise pelo método dos elementos finitos Com o objectivo de aplicar o anexo F do Eurocódigo 2, recorreu-se ao programa de elementos finitos SAP2000, [9], para determinar o campo de tensões na parede do exemplo em análise. A parede foi discretizada em 100 elementos quadrangulares de 4 nós com quatro pontos de integração por elemento. Os elementos são quadrados com 50 cm de lado ( yx aa = ) e espessura de 20 cm (e). O

módulo de elasticidade longitudinal vale 30 GPa e o coeficiente de Poisson é admitido nulo ( )0=ν , [7]. Nas Figuras 9, 10 e 11 representam-se os diagramas de tensões elásticas.

Figura 9. Tensões horizontais, ´x

σ

Figura 10. Tensões verticais, ́

yσ

Figura 11. Tensões tangenciais, ́xy

τ

No fluxograma seguinte, Fig. 12, indicam-se de acordo com o EC2, os passos necessários à obtenção de armaduras no referencial global a partir das tensões no referencial local. A reistência ao esmagamento das escoras de betão é controlado através do cálculo de cdσ , Eq. (9),

cdf cd νσ < , (9)

com

−=

25016.0 ckf

ν .

O quadro 4 representa a folha de cálculo para o elemento 6, resultante da aplicação do método de análise linear do EC2, Anexo F, que permite obter as percentagens de armaduras de aço por face e por elemento nas direcções vertical e horizontal. A aplicação dos cálculos do quadro 5, para todos os elementos, conduz às quantidades de armadura a colocar em cada face e em cada elemento. Considera-se que a armadura em cada elemento corresponde à média das armaduras em cada ponto de Gauss (optou-se por calcular o valor médio das armadura só depois de impor os valores mínimos nos pontos de Gauss).


Figura 12. Fluxograma de cálculo

Quadro 4. Percentagem de armadura nos pontos de Gauss do elemento 6.

Elemento 6

Sistema de eixos global Sistema de eixos local

com yx σσ <

Sistema de eixos global Percentagem de aço

para duas faces cdcd f νσ <

Ponto de Gauss

'xσ

(MPa)

'yσ

(MPa)

xyτ

(MPa) xσ

(MPa) yσ

(MPa) tdxf

(MPa) tdyf

(MPa)

'

xρ

'yρ cσ

(MPa) 1 -1,307 -0,186 0,541 -0,186 -1,307 0.727 1.848 0,0042 0,0017 1,082 2 -1,307 0,115 -0,811 0,115 -1,307 0.696 2.118 0,0049 0,0016 1,621 3 1,396 0,115 -0,961 1,396 0,115 0 0.547 0,0000 0,0013 2,057 4 1,396 -0,186 0,391 1,396 -0,186 0 0.296 0,0000 0,0007 1,506

Quadro 5. Quantidade de armadura por face nos elementos 6 e 21.

Percentagem de armadura para as duas faces

Área de aço (cm2) por face e por elemento Percentagem de cálculo de aço

Percentagem mínima de aço

Elemento P.G. '

xρ

'yρ

'min,xρ

'min,yρ xA médioxA , yA médioyA ,

6

1 0,0042 0,0017 0.002 0.002 2.12

1.64

1.00

1.00 2 0,0049 0,0016 0.002 0.002 2.43 1.00 3 0,0000 0,0013 0.002 0.002 1.00 1.00 4 0,0000 0,0007 0.002 0.002 1.00 1.00

21

1 0,0037 0,0006 0.002 0.002 1.85

1.42

1.00

1.00 2 0,0036 0,0005 0.002 0.002 1.82 1.00

3 0,0013 0,0005 0.002 0.002 1.00 1.00

4 0,0013 0,0005 0.002 0.002 1.00 1.00

No que diz respeito ao valor da maior tensão de compressão nos pontos de Gauss (verificação da Eq. (9)), esta ocorre nos elementos 46 e 51 (apoio intermédio) e vale 17,64 MPa. Finalmente no tocante à armadura mínima a colocar na viga-parede, o EC2, e o CEB, [7], prescrevem que se deve dispor de

xyx τσ ≤

>⋅>∧>2

00

xyyx

yx

τσσσσ

0=tdxF

yx

xytdyF σ

στ

−=2

)1(2

+=

x

xyxcd σ

τσσ

xsxtdxF στ −=

yxytdyF στ −=

xycd τσ 2=

eaf

fA x

syd

tdxsx ⋅=

eaf

fA y

syd

tdysy ⋅=

0' =sx

A

0' =sy

A

SIM

SIM

'' yxσσ >

sxsxAA ='

sysyAA ='

sysxAA ='

sxsyAA ='

syd

tdxx f

f=ρ

syd

tdyy f

f=ρ

NÃO

NÃO ÃÃ


uma percentagem de armadura '

min,xρ , 'min,yρ = 0,001 por face, com um mínimo de 1,50 cm2/m/face e

spaçamento máximo de 30 cm. Sendo a área de betão 2c m A 10.0= , vem =miny,x A A ,min, 2cm2/m/face,

o que corresponde a uma malha #φ 8//0,25. Na Figura 13, representam-se as quantidades de armadura a colocar em cada elemento, na direcção vertical e horizontal e para cada face da viga parede.

Figura 13. Representação das quantidades de aço na direcção horizontal, vertical e por face.

Na Fig. 14 representam-se as quantidades e disposição de armadura na viga-parede.

#Ø8//0.25

1Ø10

A

A

A-AØ8//0.25

L=0.55m

3Ø8

6Ø8

3Ø8

1Ø6

Figura 14. Disposição das armaduras por face.

4.1.2 Modelo de escoras e tirantes O EC2, assim como outros autores [5], [6] e [7], referem a possibilidade da utilização do método das escoras e tirantes (Strut and Tie Model, STM) na análise de vigas-parede. De acordo com este método determinam-se as quantidades de armadura a colocar na viga-parede em função dos esforços nos tirantes. Na Figura 15, representa-se um modelo de escoras e tirantes aplicado a problema. No quadro 6, indicam-se as forças obtidas nos tirantes T1 e T2 para o exemplo em estudo, assim como as quantidades de armadura principal a colocar.

Figura 15. Modelo de escoras e tirantes adoptado.

Quadro 6. Quantidades de armadura resistente.

Tirante Ft (kN) As (cm2) As adoptado T1 192 4.41 8 610 2 φφ +

T2 240 5.52 8 12φ

A armadura mínima para a malha ortogonal obedece às regras do EC2 e já foi descrita em § 4.1.1. Na Figura 16, representa-se a pormenorização das armaduras da viga-parede.


#Ø8//0.25

1Ø10+3Ø8

1Ø8

2Ø8

1Ø8

2Ø8

A

A

A-AØ8//0.25

L=0.55m Figura 16. Disposição das armaduras por face.

5 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS 5.1 Rácios de armadura Nos quadros 7, 8, 9 e 10 indicam-se os ratios de armaduras (kg de aço por m3 de betão) obtidos para a viga-parede utilizando os diversos regulamentos.

Quadro 7. Cálculo de acordo com o REBAP.

Posição Armadura Comprimento

(m) Peso (kg.)

Peso total (kg.)

Ratio (kg/m3)

Principal 10 8φ 10 49.36 49.36

42.61 Apoio

8 12φ 10 47.40 56.09 8 10φ 2.2 8.69

Malha 6 22 φ 10 48.84

94.35 6 28 φ 2.5 45.51 Ganchos 8 16 φ 0.55 13.25 13.25

Quadro 8. Cálculo de acordo com o BAEL91.

Posição Quantidade Comprimento

(m) Peso (kg.)

Peso total (kg.)

Ratio (kg/m3)

Principal

10 6φ 10 37.02 44.22

56.47

8 2φ 10 7.90

Apoio

16 2φ 10 31.56

56.04

8 2φ 10 7.90 16 2φ 4.2 13.26

8 2φ 4.2 3.32

Malha 8 26φ 10 102.70

168.86 8 76 φ 2.5 66.16 Ganchos 8 61φ 0.55 13.25 13.25

Quadro 9. Cálculo pelo método dos elementos finitos do EC2.


(m) Peso (kg.)

Peso total (kg.)

Ratio (kg/m3)

Principal 10 2φ 10 12.34 12.34

22.79 Apoio 62 φ 10 4.44 4.44

Malha 8 22φ 10 86.90

83.94 8 100φ 2.5 98.75 Ganchos 8 16 φ 0.55 13.25 13.25


Quadro 10. Cálculo pelo modelo de escoras e tirantes do EC2.


(m) Peso (kg.)

Peso total (kg.)

Ratio (kg/m3)

Principal 10 2φ 10 12.34

36.04

50.16

8 6φ 10 23.70

Apoio 8 6φ 10 23.70

33.65 8 6φ 4.2 9.95

Malha 8 22φ 10 86.90

167.88 8 82φ 2.5 80.98 Ganchos 8 16 φ 0.55 13.25 13.25

6 CONCLUSÕES Na aplicação do Eurocódigo 2 através da metodologia dos elementos finitos constata-se que as quantidades de armadura são notoriamente inferiores àquelas preconizadas pelos regulamentos nacionais. Já a aplicação do modelo de bielas e tirantes fornece quantidades de armaduras semelhantes as que são obtidas através da regulamentação nacional francesa e portuguesa. Observa-se uma redução superior a 50% nas quantidades de armaduras totais quando se utiliza o método dos elementos finitos em vez do modelo de escoras e tirantes ou das regulamentações nacionais. O método dos elementos finitos para além de mais rigoroso estruturalmente é também aquele que parece ser o mais competitivo financeiramente. Do ponto vista da definição do modelo de cálculo, os regulamentos francês e português são semelhantes, a diferença principal reside numa maior quantidade de armaduras nas malhas no caso francês. REFERÊNCIAS [1] Règles BAEL 91 révisées 99, DTU P 18-702 édité par le CSTB. [2] REBAP (2000), Regulamento de betão armado pré-esforçado, Porto Editora. [3] EN 1992-1-1, EUROCODE 2: Design of Concrete Structures, Part 1-1: General rules and rules for buildings, European Committee for Standardization, December 2004. [4] EN 1991-1-1, EUROCODE 1: Actions on structures, Part 1-1: General actions - Densities, self-weight, imposed loads for buildings, European Committee for Standardization, April 2002. [5] LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. “Construções de Concreto”, Vols.1 a 6, Editora Interciência, 1977 a 1979. [6] SCHLAICH, J., SCHÄFER, K., JENNEWEIN, M. “Toward a Consistent Design of Structural Concrete” - Journal of the Prestressed Concrete Institute, Vol. 32, No. 3, pp. 75-150, May/June 1987. [7] CEB-FIP Model Code 1990, Design Code, Comité Euro-international du Béton, Thomas Telford Services Ltd., 1993. [8] FTOOL, (2002), Two-Dimensional Frame Analysis Tool, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool. [9] SAP2000 (2009), Structural Analysis Program, Computers & Structures, Inc. Berkeley, California, USA.

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