BBMP1103 Pengurusan Matematik

BBPM1103Pengurusan Matematik

OUM Business School

Copyright © Open University Malaysia (OUM)

BBMP1103 PENGURUSAN MATEMATIK Prof Madya Dr Zurni Omar Noraziah Haji Man Hawa Ibrahim Fatinah Zainon Azizan Saaban


Edisi Pertama, Disember 2013

Hak Cipta © Open University Malaysia (OUM), Disember 2013, BBMP1103 Hak cipta terpelihara. Tiada bahagian daripada bahan ini boleh disalin semula dalam mana-mana cara tanpa kebenaran secara bertulis daripada Presiden Open University Malaysia (OUM).

Pengarah Projek: Prof Dr Mansor Fadzil Prof Dr Zakaria Ismail Open University Malaysia Penulis Modul: Prof Madya Dr Zurni Omar Noraziah Haji Man Hawa Ibrahim

Fatinah Zainon Azizan Saaban

Universiti Utara Malaysia Penyederhana: Fatinah Zainon

Noraziah Haji Man Prof Madya Dr Zurni Omar Hawa Ibrahim

Universiti Utara Malaysia Penterjemah: Pavethira Ramasamy Dibangunkan oleh: Pusat Reka Bentuk Pengajaran dan Teknologi Open University Malaysia


Panduan Kursus ix-xv Topik 1 Matriks 1 1.1 Klasifikasi/Jenis Matriks 3 1.1.1 Matriks Baris (Vektor Baris) 4 1.1.2 Matriks Lajur (Vektor Lajur) 4 1.1.3 Matriks Segi Empat Sama 1.1.4 Matriks Pepenjuru 4 1.1.5 Matriks Khas 5 1.2 Operasi Matriks 6 1.2.1 Kesamaan Matriks 7 1.2.2 Transpose 8 1.2.3 Penambahan Matriks 8 1.2.4 Penolakan Matriks 9 1.2.5 Pendaraban Skalar 9 1.2.6 Pendaraban Matriks 10 1.3 Determinan 13 1.3.1 Elemen Minor ija 15

1.3.2 Elemen Kofaktor ija 16

1.4 Matriks Songsang 18 1.5 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear menggunakan Matriks 20 1.5.1 Persamaan Matriks 20 1.5.2 Kaedah Matriks Songsang 21 1.5.3 Kaedah Cramer 24 Rumusan 30 Kata Kunci 30 Topik 2 Persamaan Linear dan Kuadratik 31 2.1 Persamaan Linear dan Melukis Graf 32 2.1.1 Persamaan Linear 32 2.1.2 Kecerunan 33 2.1.3 Jenis Garis Lurus 34 2.1.4 Melukis Graf 35 2.2 Garis Linear dan Serenjang 37 2.3 Persamaan Kuadratik dan Melukis Graf 41 2.4 Titik Persilangan 48

Isi Kandungan


TABLE OF CONTENTS

iv

Rumusan 53 Kata Kunci 53 Topik 3 Aplikasi Fungsi Linear dan Kuadratik 54 3.1 Fungsi Tuntutan dan Bekalan 55 3.1.1 Titik Keseimbangan Pasaran 56 3.2 Fungsi Kos dan Hasil 59 3.2.1 Analisis Pulang Modal 61 3.3 Maksimum dan Minimum 62 Rumusan 67 Kata Kunci 67 � Topik 4 Fungsi Eksponen dan Logaritma 68 4.1 Ciri-ciri Eksponen 68 4.2 Persamaan dan Graf 71 4.3 Fungsi Logaritma 74 4.4 Ciri-ciri Logaritma 75 4.5 Persamaan dan Graf 78 4.5.1 Aplikasi dalam Proses Pertumbuhan dan Pelupusan 80 4.5.2 Pelaburan dengan Faedah Kompaun 82 Rumusan 85 Kata Kunci 86 Topik 5� Pembezaan 87 5.1 Kaedah Pemalar 88 5.2 Kaedah Penguasaan 88 5.3 Kaedah Pemalar Mendarab Fungsi 89 5.4 Kaedah Penjumlahan dan Perbezaan Fungsi 90 5.5 Kaedah Produk 93 5.6 Kaedah Hasil Bahagi 95 5.7 Petua Rantai 97 5.8 Kaedah Penguasaan (Kes Khas Petua Rantai) 99 Rumusan 103 Kata Kunci 103 Topik 6� Aplikasi Pembezaan 104 6.1 Pembezaan Darjah Kedua dan Ketiga 105 6.2 Fungsi Jumlah Kos (C ) 106

6.2.1 Fungsi Purata Jumlah Kos (C ) 107 6.2.2 Fungsi Jumlah Kos Marginal atau Muktamad (CÊ ) 108 6.2.3 Meminimumkan Jumlah Kos 109


ISI KANDUNGAN

v

6.3 Fungsi Jumlah Jasil (R ) 112 6.3.1 Fungsi Purata Jumlah Hasil ( R ) 113 6.3.2 Fungsi Jumlah Hasil Marginal atau Muktamad(RÊ ) 113 6.3.3 Memaksimumkan Fungsi Hasil 114 6.4 Fungsi Jumlah Keuntungan (Π) 117 6.4.1 Fungsi Purata Jumlah Keuntungan (∏ ) 118 6.4.2 Fungsi Jumlah Keuntungan Muktamad (ΠÊ) 119 6.4.3 Memaksimakan Jumlah Keuntungan 120 Rumusan 124 Kata Kunci 124 Topik 7� Pengamiran 125 7.1 Anti-Terbitan 125 7.2 Kamiran Tentu 130 7.3 Pengamiran dengan Penggantian 133 Rumusan 138 Kata Kunci 138 Topik 8� Aplikasi Pengamiran 139 8.1 Mencari Luas Kawasan Bawah Graf 140 8.2 Aplikasi Pengamiran dalam Bidang Ekonomi dan Perniagaan 144 8.2.1 Lebihan Pengguna dan Pengeluar 144 8.2.2 Mencari Fungsi daripada Fungsi Marginal 149 Rumusan 154 Kata Kunci 154 Topik 9 Pembezaan Separa 155 9.1 Fungsi dengan Pelbagai Pembolehubah 156 9.2 Terbitan Separa 160 9.3 Terbitan Separa Tertib Tinggi 163 Rumusan 167 Kata Kunci 167 Topic 10 Aplikasi Pembezaan Separa 168 10.1 Maksimum dan Minimum bagi Fungsi 169 dengan Dua Pembolehubah 10.2 Pengganda Lagrange 176 Rumusan 182 Kata Kunci 182 Jawapan 183


TABLE OF CONTENTS

vi


PANDUAN KURSUS



PANDUAN KURSUS

xi

DESKRIPSI PANDUAN KURSUS

Anda perlu membaca Panduan Kursus dengan berhati-hati daripada awal sehingga akhir. Ia menyatakan kandungan kursus dengan ringkas dan bertujuan membantu anda memahami kandungan kursus. Ia juga mencadangkan jumlah tempoh masa untuk anda habiskan bagi melengkapkan kursus ini dengan sepenuhnya. Sentiasalah rujuk Panduan Kursus secara berterusan semasa anda membaca kandungan kursus kerana ia dapat membantu dalam menjelaskan komponen-komponen pembelajaran penting yang mungkin anda terlepas pandang.

PENGENALAN

BBMP1103 Pengurusan Matematik adalah salah satu kursus yang ditawarkan oleh Fakulti Perniagaan dan Pengurusan di Open University Malaysia (OUM). Kursus ini melibatkan 3 jam kredit dan harus dijalankan dalam tempoh masa 15 minggu.

KEPADA SIAPA KURSUS INI DITAWARKAN? Kursus ini adalah kursus utama bagi pelajar yang mengambil program Sarjana Muda Pengurusan Perniagaan dan Sarjana Muda Perakaunan Perniagaan. Sebagai pelajar jarak jauh, anda seharusnya fasih dengan keperluan pembelajaran kendiri dan mampu mengoptimakan kaedah pembelajaran dan persekitaran yang sedia ada. Sebelum anda memulakan kursus ini, sila pastikan anda maklum dengan bahan kursus, kelayakan kursus dan bagaimana kursus tersebut dikendalikan.

PERUNTUKAN MASA PEMBELAJARAN

Berdasarkan piawaian OUM, seseorang pelajar itu perlu memperuntukkan 40 jam pembelajaran bagi setiap jam kredit. Selaras dengan piawaian ini, kursus yang bernilai tiga jam kredit memerlukan masa selama 120 jam pembelajaran. Anggaran masa pembelajaran ialah seperti yang ditunjukkan di dalam Jadual 1.


PANDUAN KURSUS

xii

Jadual 1: Anggaran Masa Pembelajaran

Aktiviti Pembelajaran Jam

Pembelajaran

Mengambil bahagian dalam perbincangan awal dan memahami secara ringkas kandungan kursus

3

Memahami modul 60

Menghadiri 3 hingga 5 kelas toturial 10

Penyertaan dalam talian 12

Ulang kaji 15

Tugasan, ujian dan peperiksaan 20

JUMLAH MASA PEMBELAJARAN 120

OBJEKTIF KURSUS

Setelah mengikuti kursus ini, pelajar akan dapat:

1. Mengaplikasikan konsep matematik asas;

2. Menghasilkan formula matematik;

3. Membuat penilaian konsep matematik dalam kursus masing-masing; dan

4. Mengaplikasikan matematik dalam kehidupan harian.

SINOPSIS KURSUS

Kursus ini terbahagi kepada 10 topik. Sinopsis bagi setiap topik dinyatakan seperti berikut: Topik 1 membincangkan klasifikasi matriks, operasi matrik dan determinan. Seterusnya topik ini turut membincangkan penyelesaian untuk persamaan linear menggunakan kaedah matriks songsang dan kaedah Cramer. Topik 2 membincangkan fungsi linear dan kuadratik, menyelesaikan persamaan dan melukis graf. Topik 3 membincangkan aplikasi fungsi linear dan kuadratik terutamanya dalam bidang ekonomi.


PANDUAN KURSUS

xiii

Topik 4 membincangkan fungsi eksponen dan logaritma dan bagaimana kedua-dua fungsi ini saling berkaitan antara satu sama lain. Topik 5 membincangkan peraturan pembezaan yang membantu proses mendapatkan terbitan untuk pelbagai fungsi yang lebih mudah. Topik 6 membincangkan proses mendapatkan peringkat pembezaan yang lebih tinggi dan fungsi jumlah kos, jumlah hasil dan jumlah keuntungan bagi mencapai kos minimum tetapi pada masa yang sama hasil dan keuntungan yang maksimum. Topik 7 memperkenalkan pengamiran sebagai proses pembalikan. Topik ini juga akan membincangkan pengamiran tak tentu dan pengamiran tentu dan diikuti oleh pengamiran algebra dan fungsi eksponen dan logaritma. Kaedah ini akan diperkenalkan sebagai pengamiran secara penggantian. Topik 8 membincangkan aplikasi pengamiran iaitu mencari luas antara lengkung dan aplikasinya dalam bidang ekonomi dan perniagaan. Fungsi marginal, pembekal surplus dan pengguna surplus juga akan dibincangkan dengan lebih teliti. Topik 9 membincangkan fungsi pelbagai pemboleh ubah dengan terbitan yang dikenali sebagai terbitan separa. Topik ini juga menerangkan darjah pertama dan kedua terbitan separa. Topik 10 membincangkan aplikasi pembezaan separa, contohnya, bagaimana menentukan tahap maksimum dan minimum fungsi bagi dua pemboleh ubah dan juga aplikasi dalam perniagaan yang boleh mengoptimumkan fungsi dengan kekangan.

PANDUAN SUSUN ATUR TEKS

Sebelum anda membaca modul ini, adalah penting sekiranya anda ambil tahu akan susun atur teks modul. Memahami susun atur teks akan membantu anda untuk merencana pembelajaran kursus supaya lebih objektif dan berkesan. Amnya, susun atur teks bagi setiap topik adalah seperti berikut: Hasil Pembelajaran: Ia merupakan apa yang anda harus dapat lakukan atau capai setelah selesai membaca sesuatu topik. Setelah selesai membaca setiap topik anda digalakkan merujuk kepada senarai hasil pembelajaran berkenaan untuk memastikan sama ada anda dapat atau tidak mencapainya. Amalan seperti ini akan dapat mengukur dan mempertingkatkan penguasaan kandungan sesuatu topik.


PANDUAN KURSUS

xiv

Semak Kendiri : Soalan-soalan diselitkan pada bahagian-bahagian tertentu dalam sesuatu topik. Soalan-soalan ini menguji kefahaman tentang maklumat yang anda telah baca. Jawapan untuk soalan-soalan ini biasanya terdapat dalam perenggan-perenggan yang sebelumnya. Anda digalakkan menjawab soalan-soalan semak kendiri ini untuk menguji dan memastikan sama ada anda telah memahami kandungan sesuatu topik dan seterusnya menyediakan anda menghadapi ujian dan peperiksaan kelak. Kebanyakan jawapan kepada soalan-soalan yang ditanya terdapat di dalam modul itu sendiri. Aktiviti: Aktiviti-aktiviti juga diselitkan pada bahagian-bahagian tertentu dalam sesuatu topik menggalakkan anda mengaplikasi konsep dan prinsip yang anda telah pelajari kepada situasi sebenar. Aktiviti-aktiviti ini juga memperluaskan kefahaman kandungan yang dipelajari dengan menggalakkan anda melakukan sesuatu seperti berfikir secara mendalam, memberi pendapat, berbincang bersama rakan dalam kelas, merujuk kepada laman web, membaca artikel jurnal dan seumpamanya. Rumusan: Di akhir sesuatu topik, isi-isi penting topik tersebut disenaraikan. Komponen ini membantu anda untuk mengingat dan mengimbas semula keseluruhan topik. Anda haruslah memastikan bahawa anda memahami setiap pernyataan yang disenaraikan. Jika tidak, sila kembali membaca topik berkenaan. Kata Kunci: Di akhir topik disenaraikan beberapa perkataan dan frasa penting yang digunakan di dalam topik berkenaan. Anda mesti dapat menjelaskan setiap perkataan dan frasa ini. Jika tidak, sila kembali membaca topik berkenaan. Rujukan: Rujukan adalah bahagian di mana senarai buku teks, jurnal, artikel, kandungan elektronik atau sumber-sumber yang boleh ditemui yang berkaitan dan berguna dalam melalui modul atau kursus. Senarai ini boleh dilihat di dalam beberapa bahagian seperti di dalam panduan kursus (di bahagian rujukan), di ahkir setiap topik atau di akhir modul. Anda digalakan membaca bahagian-bahagian yang berkaitan dalam senarai rujukan tersebut untuk mendapatkan maklumat lanjut dan memperkukuhkan kefahaman anda.

PENGETAHUAN ASAS

Anda tidak perlu mempunyai pengetahuan asas tertentu sebelum memulakan kursus ini.

KAEDAH PENILAIAN

Sila rujuk myINSPIRE.


PANDUAN KURSUS

xv

RUJUKAN

Abdul Razak Yaakub. (2002). Pengenalan kepada matematik untuk pengurusan. (Edisi Kedua). Sintok: Universiti Utara Malaysia.

Bittinger, M. L., & Ellenbogen, D. J. (2007). Calculus and its applications (9th ed).

Boston: Pearson International Edition Haeussler, E. F., Richards, S. P., & Wood, R. J. (2004). Introductory mathematical

analysis for business, economics, and the life and social sciences (11th ed.). New Jersey: Prentice Hall.

Kamran Sa'yan, & Ku Ruhana Ku Muhamud. (2002). Matematik untuk

pengurusan, ekonomi & sains sosial. Sintok: Universiti Utara Malaysia. Lial/Miller (1980). Essential calculus with application (2nd ed.). England: Scott,

Foresman and Company. Malim, M. Rozi, Maidinshah, H., Ishak, F., & Jamal, M. (1999). Business calculus.

Shah Alam: ITM. Margaret, L. L., Charles, D. M., & Raymond, N. G. (1992). Finite mathematics and

calculus with applications (4th ed.). Harper Collins College Publishers. Rahela, R., Fatinah, Z., & Hawa, I. (2005). Penyelesaian soalan-soalan dalam

matematik untuk pengurusan. Sintok: Universiti Utara Malaysia.

PERPUSTAKAAN DIGITAL TAN SRI DR ABDULLAH SANUSI (TSDAS)

Perpustakaan Digital TSDAS mempunyai pelbagai sumber bercetak dan atas talian untuk kegunaan pelajar. Perpustakaan digital komprehensif ini, yang boleh dicapai melalui portal OUM, menyediakan akses kepada lebih daripada 30 pangkalan data yang meliputi jurnal, tesis dan buku dalam format elektronik serta banyak lagi. Contoh pangkalan data yang ada ialah EBSCOhost, ProQuest, SpringerLink, Books24x7, InfoSci Books, Emerald Management Plus dan Ebrary Electronic Books. Sebagai pelajar OUM, anda digalakkan untuk menggunakan sepenuhnya sumber-sumber yang terdapat di perpustakaan ini.


COURSE ASSIGNMENT GUIDE xxvi


PENGENALAN

Data adalah sumber maklumat yang penting. Oleh itu, data perlu disusun dalam bentuk yang mudah difahami dan jelas. Matriks ialah satu kaedah yang seringkali digunakan. Dalam bidang ekonomi, matriks digunakan dalam memformulakan masalah dan memaparkan data. Sebagai contohnya, seorang pengilang yang menghasilkan produk D, E dan F mewakilkan unit buruh dan bahan mentah yang terlibat dalam pengeluaran selama seminggu oleh bahan-bahan yang ditunjukkan dalam Jadual 1.1:

Jadual 1.1

Produk

D E F

Buruh 10 12 16

Bahan Mentah 5 9 7

TTooppiikk

11

Matriks

HASIL PEMBELAJARAN Pada akhir topik ini, anda seharusnya dapat:

1. Menerangkan konsep matriks dan klasifikasi matriks;

2. Menerangkan penambahan matriks, pendaraban skalar danpendaraban matriks dan ciri-ciri berkaitan dengan operasi ini;

3. Mengira determinan untuk matriks kubik menggunakan kaedahpendaraban silang dan kaedah pengembangan kofaktor;

4. Menentukan songsangan sebuah matriks disongsangkan danmenggunakan songsangan untuk menyelesaikan sistem persamaanlinear; dan

5. Mengaplikasikan kaedah Cramer untuk mencari penyelesaian untuksistem persamaan dua linear.


TOPIK 1 MATRIKS

2

Data boleh diwakilkan dengan mudah oleh matriks

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

795161210

A

Matriks boleh dikategorikan dalam beberapa kelas atau jenis. Topik ini akan membincangkan operasi matriks yang setiap satunya mempunyai ciri-ciri tersendiri yang berbeza daripada operasi yang melibatkan nombor. Aplikasi matriks digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan serentak. Dua kaedah akan digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan serentak iaitu, matriks songsang dan kaedah Cramer. Matriks ialah tatasusunan nombor dalam bentuk segi empat tepat yang terdiri daripada baris mengufuk, m dan baris menegak, n.

11 12 1

21 22 2

1 2

......

. . ... .

. . ... .

. . ... ....

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

n

n

m m mn

a a aa a a

a a a

Matriks ini dipanggil sebagai m x n (dibaca sebagai „m kepada n‰) matriks atau matriks dalam bentuk m x n. Bagi apa jua matriks, data perlulah disusun dalam bentuk segi empat tepat seperti yang berikut:

2 0 10 1 3⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

Matriks di atas terdiri daripada dua baris dan tiga lajur. Oleh yang demikian, dimensi, tertib, saiz atau darjah bagi matriks di atas adalah 2 x 3. Dimensi matriks adalah bilangan nombor di baris pertama diikuti oleh bilangan nombor di lajur. Elemen atau entri bagi matriks di atas di baris pertama ialah 2, 0 dan 1. Manakala, elemen untuk baris kedua ialah 0, -1 dan 3.


TOPIK 1 MATRIKS

3

Biasanya, matriks ditandakan dengan huruf besar. Manakala setiap elemen dalam matriks akan ditandakan dengan huruf kecil dengan nombor seperti berikut:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

a a aA a a a

a a a

Berdasarkan matriks A di atas, kita boleh menyimpulkan bahawa A ialah sebuah matriks dengan dimensi 3 x 3, di mana elemennya:

(a) 11a terletak di baris pertama dan lajur pertama;

(b) 21a terletak di baris kedua dan lajur pertama; dan

(c) 32a terletak di baris keitga dan lajur kedua.

Dimensi matriks A boleh ditulis pada bahagian bawah kanan huruf berkenaan dalam bentuk subskrip, contohnya A3x3. Secara amnya, sebuah matriks A dengan dimensi m x n (matriks A dengan baris m dan lajur n) biasanya ditulis sebagai Amxn. Elemen matriks ditanda dengan

ija , di mana i = 1,2,...,m dan j = 1,2,..., n.

KLASIFIKASI / JENIS MATRIKS

Matriks boleh dikategorikan kepada beberapa jenis berdasarkan kepada dimensi dan elemen.

1.1

Jika nombor tidak disusun dalam bentuk segi empat tepat, adakah nombor berkenaan masih boleh dikenali sebagai matriks?

SEMAK KENDIRI 1.1


TOPIK 1 MATRIKS

4

1.1.1 Matriks Baris (Vektor Baris)

Matriks baris atau vektor baris ialah sebuah matriks yang mempunyai satu baris sahaja. Matriks ini ditulis seperti berikut:

(a) [ ]1 3 1 0 1× =B (b) [ ]1 4 1 3 2 1× = −B

1.1.2 Matriks Lajur (Vektor Lajur)

Sebuah matriks yang mempunyai satu lajur sahaja dipanggil matriks lajur atau vektor lajur. Berikut merupakan contoh bagi matriks lajur.

(a) 3 1

103

×

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L (b) 4 1

3210

×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L

1.1.3 Matriks Segi Empat Sama

Sebuah matriks dengan jumlah baris dan lajur yang sama dikenali sebagai matriks segi empat sama. Matriks m xn hanya akan dikenali sebagai matriks segi empat sama jika dan hanya jika m = n. Contoh bagi matriks ini adalah seperti yang berikut:

(a) 2 2

1 24 0×

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

S (b) 3 3

3 2 13 1 02 1 4

×

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

S

Elemen pada pepenjuru utama bagi sebarang matriks kubik adalah semua elemen yang terdiri daripada sudut kiri atas hingga sudut kanan bawah. Elemen pepenjuru utama bagi matriks S2×2 dan ke atas adalah −1 dan 0. Manakala, pepenjuru utama bagi matriks S3×3 adalah 3, 1 dan 4 .

1.1.4 Matriks Pepenjuru

Jika sebuah matriks kubik mempunyai sekurang-kurangnya satu elemen bukan kosong pada pepenjuru utama, dan semua elemen lain adalah kosong, maka, matriks berkenaan dikenali sebagai matriks pepenjuru atau aij = 0 untuk i ≠ j.


TOPIK 1 MATRIKS

5

Berikut adalah contoh bagi matriks berkenaan:

(a) 2 2

1 00 1×

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

P (b) 3 3

1 0 00 0 00 0 3

×

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

P

1.1.5 Matriks Khas

Identiti matriks, yang ditanda dengan I, adalah matriks pepenjuru yang mana entri pepenjuru utamanya ialah 1. Lihat pada contoh yang berikut.

(a) 2 2

1 00 1×

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

I (b) 3 3

1 0 00 1 00 0 1

×

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

I

Matriks kosong atau matriks nol, ditanda dengan 0 apabila semua elemen dalam matriks tersebut adalah kosong. Contoh bagi matriks tersebut adalah seperti yang berikut:

(a) 3 2

0 00 0 0

0 0×

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(b) 2 3

0 0 00

0 0 0×

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Bolehkah sebuah matriks dikenali sebagai matriks kubik jika matriks berkenaan hanya mempunyai satu elemen? Jelaskan.

SEMAK KENDIRI 1.2


TOPIK 1 MATRIKS

6

OPERASI MATRIKS

Dalam subtopik ini, anda akan mempelajari mengenai operasi matriks berikut: (a) Kesamaan matriks (equality of matrix);

(b) Transpose;

(c) Penambahan matriks;

(d) Penolakan matriks;

(e) Pendaraban skalar; dan

(f) Pendaraban matriks.

1.2

1. Diberi:

(a) 3 16 21 0

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

B (b) [ ]1 5 8= −C (c) 694

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

D

Nyatakan tertib bagi setiap matriks.

2. Cari nilai a, yang boleh menjadikan

0 00 0 00 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

a

sebuah matriks

pepenjuru.

3. Adakah matriks 1 0 00 1 0⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

sebuah matriks identiti? Jelaskan

jawapan anda.

4. Tentukan jenis kelas bagi setiap matriks berikut:

(a)

0 0 00 0 00 0 00 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(b)

002

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(c) [ ]1 2 1 0−

LATIHAN 1.1


TOPIK 1 MATRIKS

7

1.2.1 Kesamaan Matriks

Matriks A = [aij] dan B = [bij] adalah sama jika dan hanya jika kedua-dua matriks ini mempunyai tertib yang sama dan aij = bij untuk setiap i dan j. Maka,

1 5 0.552

31 00 1 22

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

tetapi [ ] [ ]1 2 1 2 0≠ Sebuah persamaan matriks boleh dijelaskan sebagai sebuah sistem persamaan. Contohnya, katakan

3 1 3 51 2 1 2 4

q q qq r p r r q

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Dengan menyamakan entri yang sepadan, kita akan mempunyai 13 131, 5= + =a q b . Maka, 13 13a b= , dan

1 55 14

+ == −=

qqq

21 211,a q b r= − = . Maka, 21 21b a= , dan

14 13

= −= −=

r qrr

23 231, 4= + = −a p b q . Maka, 23 23=a b , dan

1 44 15

4 5 1

+ = −= − −= −= − = −

p qp qp qp


TOPIK 1 MATRIKS

8

1.2.2 Transpose

Diberi sebuah matriks Am×n, dengan elemen aij, di mana i = 1, 2, ⁄, m dan j = 1, 2, ⁄, n. Transpose bagi matriks Am×n, yang ditandakan dengan AT n×m, adalah sebuah matriks dengan elemen aij, di mana i = 1, 2, ⁄, n dan j = 1, 2, ⁄, m. Dalam erti kata lain, kita akan menyongsangkan tertib baris dan lajur elemen matriks Am×n supaya baris menjadi lajur dan lajur menjadi baris. Contoh:

(a) Jika A =

2 3 1 2 1 01 2 0 , then 3 2 10 1 3 1 0 3

TA⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(b) Jika B =

1 31 0 1

, then 0 23 2 0

1 0

TB⎡ ⎤

−⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

Persamaan transpose mempunyai ciri-ciriTTA A⎡ ⎤ =⎣ ⎦ .

1.2.3 Penambahan Matriks

Menambahkan dua atau lebih matriks hanya boleh dilaksanakan jika semua matriks berada pada dimensi yang sama. Jumlah diperoleh dengan menambah elemen yang sepadan (i.e., elemen berdiri pada posisi yang sama). Operasi penambahan tidak boleh dilaksanakan jika matriks mempunyai dimensi yang berbeza. Contoh:

(a) 1 0 2 4 1 42 2 1 3 1 5

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(b) 2 2 0 1 2 0 3 4 0

4 1 3 3 2 0 7 1 3− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

+ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(c) 2 3 7 1 31 5 3 1 3⎡ ⎤ ⎡ ⎤

+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

, tidak boleh dilaksanakan kerana kedua-dua matriks

mempunyai dimensi yang berbeza.


TOPIK 1 MATRIKS

9

1.2.4 Penolakan Matriks

Dua atau lebih matriks boleh ditolak daripada satu sama lain selagi kesemua matriks berkenaan mempunyai dimensi yang sama. Operasi penolakan hanya boleh dijalankan jika elemen yang sepadan berada pada posisi yang sama dengan matriks yang ditolak dengan. Operasi ini juga tidak boleh dilaksanakan jika dimensi kedua-dua matriks adalah berbeza. Contoh:

(a) 3 0 1 0 2 5 3 2 42 1 3 1 3 2 1 4 11 4 1 2 1 2 1 3 3

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(b) 2 3 7 1 31 5 3 1 3⎡ ⎤ ⎡ ⎤

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

, penolakan tidak boleh dilaksanakan kerana kedua-dua

mariks mempunyai dimensi yang berbeza.

Ciri-ciri penambahan matriks dan penolakan matriks adalah:

( ) ( )( ) ( )

A B B AA B B AA B C A B CA B C A B C

A O O A AA O O A

+ = +− ≠ −

+ + = + +

− − ≠ − −+ = + =− ≠ −

1.2.5 Pendaraban Skalar

Pendaraban skalar diperolehi dengan mendarab setiap entri matriks secara skalar. Contoh:

(a) Jika A = 1 02 3⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

5A = 1 0 5(1) 5(0) 5 0

52 3 5(2) 5(3) 10 15⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦


TOPIK 1 MATRIKS

10

(b) Jika 3 0 12 1 31 4 1

B⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

3 0 1 1(3) 1(0) 1(1) 3 0 1( 1) 2 1 5 1(2) 1(1) 1(5) 2 1 5

6 4 7 1(6) 1(4) 1( 7) 6 4 7

− − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = − − = − − − = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

B

1.2.6 Pendaraban Matriks

Pendaraban dua matriks hanya boleh dilaksanaan jika jumlah lajur matriks pertama adalah sama dengan jumlah baris matriks kedua. Katakan matriks pertama ditanda dengan Am×n dan matriks kedua dengan Bs×t. Pendaraban Am×n × s tB × hanya boleh dilaksanakan jika dan hanya jika n = s. Produk pendaraban ini adalah sebuah matriks baru (contohnya C) dengan baris m dan lajur t. Jika AB wujud, maka,

× × ×= × = m n s t m tAB A B C

Secara amnya,

11 12 1311 12 13

21 22 2321 22 23

31 32 33

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

b b ba a a

AB b b ba a a

b b b

11 12 13

21 22 23

c c cc c c⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Di mana;

11 11 11 12 21 13 31

12 11 12 12 22 13 32

13 11 13 12 23 13 33

21 21 11 22 21 23 31

22 21 12 22 22 23 32

12 21 13 22 23 23 33

= + +

= + += + += + +

= + += + +

c a b a b a bc a b a b a bc a b a b a bc a b a b a bc a b a b a bc a b a b a b


TOPIK 1 MATRIKS

11

Contoh:

Diberi 3 2 2 2 2 3

1 11 1 1 0 2

0 2 , , and1 0 0 1 1

1 0A B C× × ×

−⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

(a) AB = A3×2 × B2×2 = (1)(1) ( 1)( 1) (1)(1) ( 1)(0)(0)(1) (2)( 1) (0)(1) (2)(0)(1)(1) (0)( 1) (1)(1) (0)(0)

+ − − + −⎡ ⎤⎢ ⎥+ − +⎢ ⎥⎢ ⎥+ − +⎣ ⎦

=

3 2

2 12 0

1 1×

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(b) Pendaraban BA= B2×2 × A3×2 tidak boleh dilaksanakan kerana bilangan lajur

matriks B2×2 tidak sama dengan bilangan baris matriks A3×2.

(c) AC3×3 = A3×2 × C2×3 = (1)(1) ( 1)(0) (1)(0) ( 1)(1) (1)( 2) ( 1)( 1)(0)(1) (2)(0) (0)(0) (2)(1) (0)( 2) (2)( 1)(1)(1) (0)(0) (1)(0) (0)(1) (1)( 2) (0)( 1)

+ − + − − + − −⎡ ⎤⎢ ⎥+ + − + −⎢ ⎥⎢ ⎥+ + − + −⎣ ⎦

= 1 1 10 2 21 0 2

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Ciri-ciri pendaraban matriks adalah:

( ) ( )A BC AB C=

( ) ACABCBA +=+ dan ( ) BCACCBA +=+

BAAB ≠ AI IA A= = Terdapat juga beberapa kes di mana pendaraban dua matriks dilakukan dengan sebuah matriks itu sendiri contohnya: A × A = A. Matriks A ini dikenali sebagai matriks idempoten.


TOPIK 1 MATRIKS

12

Contoh:

Diberi A =

1 0 01 1

02 21 1

02 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, dan AA =

1 0 0 1 0 0 1 0 01 1 1 1 1 1

0 0 02 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1

0 0 02 2 2 2 2 2

A

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Oleh itu, A adalah sebuah matriks idempoten.

Senaraikan beberapa contoh matriks idempoten.

SEMAK KENDIRI 1.3

1. Katakan:

A = 2 1

2 1 3 4 1 2, , 0 6

4 0 1 5 1 33 2

−⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

B C

and 4 2

3 51 3

D−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

Cari:

(a) 3A (b) A + B (c) C − D (d) AB (e) (2A)(5C) (f) (2A − B)D (g) (AT)A

2. Tentukan matriks A yang serasi dengan persamaan yang berikut:

A 1 0 1 31 3 3 6

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

LATIHAN 1.2


TOPIK 1 MATRIKS

13

DETERMINAN

Determinan dijelaskan hanya untuk matriks kubik. Determinan matriks ditandakan dengan A dan mempunyai nilai skalar. Bahagian ini hanya digunakan untuk mendapatkan determinan untuk matriks kubik dengan dimensi sehingga 3 x 3. Determinan digunakan untuk mencari matriks boleh songsang yang digunakan secara terang untuk menjelaskan penyelesaian kepada sistem persamaan linear. Jika A = [ ]11a ialah sebuah matriks kubik dengan tertib 1, maka 11A a=

Diberi matriks A2×2 = 11 12

21 22

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

a aa a

. Determinan matriks boleh diperolehi dengan

mengambil perbezaan elemen antara pendaraban pepenjuru utama (a11 and a22) dengan pepenjuru bertentangan ( 12 21and a a ). Determinan matriks A2×2 adalah seperti berikut:

( )( ) ( )( )2 2 11 22 12 21A a a a a× = − Contoh:

Jika A = 0 12 4

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

dan B = 1 20 1⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

, tentukan

(a) |A| (b) |B| (c) |AB|

(d) |BA| (e) |A||B| (f) |B||A|

Penyelesaian: (a) |A| = 0(4) ( 1)(2) = 2 (b) |B| = 1(1) 2(0) = 1

(c) AB =0 12 8

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

. Maka , ⎜AB ⎜ = (0)(8) ( 1)(2) = 2

1.3


TOPIK 1 MATRIKS

14

(d) BA =4 72 4⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

. Maka , ⎜BA⎜ = (4)(4) (7)(2)

= 16 14 = 2

(e) | A|| B| = (2)(1) = 2 (f) | B|| A| = (1) (2) = 2

Determinan bagi matriks 11 12 13

3 3 21 22 23

31 32 33

×

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

a a aA a a a

a a a, diperoleh dengan:

Untuk entri 11a , kita akan memadamkan entri-entri di baris 1 dan lajur 1 seperti berikut:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

a a aa a aa a a

Hal ini menjadikan matriks 22 23

32 33

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

a aa a

dalam tertib 1. Determinan matriks ini

dikenali sebagai minor kepada 11a .

Apabila minor kepada 12a adalah 21 23

31 33

a aa a

, maka, 13a adalah 21 22

31 32

a aa a

.

Oleh yang demikian bagi mencari determinan untuk sebarang matriks kubik A dengan 3 tertib diberikan dengan:

22 23 21 23 21 2211 12 13

32 33 31 33 31 32

= − +a a a a a a

A a a aa a a a a a

( ) ( )11 22 33 23 32 12 21 33 23 31= − − −a a a a a a a a a a ( )13 21 32 22 31+ −a a a a a


TOPIK 1 MATRIKS

15

1.3.1 Elemen Minor ija

Minor kepada elemen ija adalah determinan kepada sub-matriks yang tertinggal

selepas mengeluarkan baris ke i dan lajur ke j. Contohnya, katakan,

A =

1 4 10 2 02 3 3

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Maka, elemen kepada minor adalah:

m11 (i.e. 1) =

1 4 12 0

0 2 03 3

2 3 3=−

−= (2)(3) (0)( 3) = 6

m12 (i.e. 4) =

1 4 10 0

0 2 02 3

2 3 3=

−= (0)(3) (0)(2) = 0

m13 (i.e. 1) =

1 4 10 2

0 2 02 3

2 3 3=

−−

= (0)(3) (2)(2) = 4

m21 (i.e. 0) =

1 4 14 1

0 2 03 3

2 3 3=−

− = (4)(3) (1)( 3) = 15

m22 (i.e. 2) =

1 4 10 2 02 3 3−

1 12 3

= = (1)(3) (1)(2) = 1

m23 (i.e. 0) =

1 4 10 2 02 3 3−

1 42 3

=−

= (1)( 3) (4)(2) = 11


TOPIK 1 MATRIKS

16

m31 (i.e. 2) =

1 4 14 1

0 2 02 0

2 3 3= = (4)(0) (1)(2) = 2

m32 (i.e. -3) =

1 4 11 1

0 2 00 0

2 3 3=

−= (1)(0) (1)(0) = 0

m33 (i.e. ) =

1 4 11 4

0 2 00 2

2 3 3=

−= (1)(2) (4)(0) = 2

Minor matrix A adalah Minor A = 6 0 415 1 112 0 2

−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

1.3.2 Elemen Kofaktor ija

Elemen kepada kofaktor cij adalah minor kepada elemen mij didarab dengan (-1)i+j. Maka, elemen kepada kofaktor: c11 = ( 1)1+1 × m11 = 1 × 6 = 6

c12 = ( 1)1+2 × m12 = 1 × 0 = 0

c13 = ( 1)1+3 × m13 = 1 × ( 4) = 4

c21 = ( 1)2+1 × m21 = 1 × 15 = 15

c22 = ( 1)2+2 × m22 = 1 × 1 = 1

c23 = ( 1)2+3 × m23 = 1 × ( 11) = 11

c31 = ( 1)3+1 × m31 = 1 × ( 2) = 2

c32 = ( 1)3+2 × m32 = 1 × 0 = 0

c33 = ( 1)3+3 × m33 = 1 × 2 = 2

Matriks kofaktor adalah Kofaktor A =6 0 415 1 112 0 2

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦


TOPIK 1 MATRIKS

17

Langkah-langkah berikut diperlukan untuk mencari determinan matriks menggunakan kaedah pengembangan kofaktor: Langkah 1: Pilih sebuah baris atau lajur untuk menjalankan pengembangan

kofaktor. Biasanya kita akan memilih baris atau lajur yang memepunyai banyak kosong. Dalam matriks A, baris kedua mempunyai banyak kosong. Maka, pilih baris kedua matriks A untuk melaksanakan pengembangan kofaktor.

Langkah 2: Lakukan pengembangan kofaktor dengan mendarab setiap

elemen antara baris atau lajur terpilih dengan kofaktor yang sepadan. Maka, determinan kepada matriks A adalah,

Determinan A = |A| = a21c21 + a22 c22 + a23c23 = 0(15) + 2(1) + 0(11) = 0 + 2(1) + 0 = 2 Nota: Nilai determinan yang sama akan diperolehi walaupun pengembangan

kofaktor dilakukan pada baris dan lajur yang berlainan. Transpose matriks kofaktor adalah sebuah matriks adjoin. Adjoin A = [Kofaktor A]T

6 0 415 1 112 0 2

6 15 20 1 04 11 2

T−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦


TOPIK 1 MATRIKS

18

MATRIKS SONGSANG

Matriks songsang digunakan untuk matriks kubik sahaja. Walau bagaimanapun, bukan semua matriks kubik mempunyai songsangan. Jika determinan sebuah matriks kubik adalah bersamaan dengan kosong, maka, matriks tersebut tidak mempunyai songsangan. Sebuah matriks tanpa songsangan dikenali sebagai matriks tunggal. Songsangan kepada A ditanda dengan 1−A .

Katakan 11 12

21 22

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

a aA

a a dan 11 22 12 21= −A a a a a . Maka, 22 121

21 11

1− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

a aA

a aA

Jika A adalah sebuah matriks kubik dengan tiga tertib, maka 1 1 Adjoint− = ×A A

A

Dalam contoh di atas:

1.4

1. Cari determinan bagi matriks yang berikut:

(a) 2 51 3

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(b) a bb a

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

(c)

1 2 32 3 03 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(d)

3 2 10 3 20 0 3

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2. (a) Cari nilai bagi a, diberikan determinan untuk 12 4

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

a adalah 6.

(b) Cari determinan bagi 1 02 4

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

a b.

LATIHAN 1.3


TOPIK 1 MATRIKS

19

1

153 126 15 2

1 10 1 0 0 02 2

4 11 2 112 12

A−

−⎡ ⎤−⎢ ⎥− −⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥= × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

Apabila sebuah matriks A didarab dengan songsangannya A-1, ciri-ciri yang berikut adalah benar:

(a) A × A−1 = I (b) A−1 × A = I

1. Cari songsangan (jika ada) untuk matriks berikut. Kemudian buktikan jawapan anda.

(a) 3 42 2

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

(b)

2 3 40 0 11 2 1

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

(c)

4 2 21 3 4

3 1 6

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

(d)

1 4 12 3 21 2 3

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

2. Diberi:

2 34 5

⎡ ⎤= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦

A . Cari A−1 dan tunjukkan bahawa (A−1) −1 = A.

3. Katakan:

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

a bB

c d

(a) Tentukan 1B− .

(b) Nyatakan ciri-ciri yang diperlukan untuk kewujudan 1B− .

(c) Tentukan kesahihan 1BB− = 1B− B = I.

LATIHAN 1.4


TOPIK 1 MATRIKS

20

MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR MENGGUNAKAN MATRIKS

Dalam bahagian ini, kita akan mengilustrasikan kaedah di mana matriks boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Dua kaedah yang digunakan ialah Kaedah Songsangan Matriks dan Kaedah Cramer.

1.5.1 Persamaan Matriks

Sistem persamaan linear boleh diwakilkan dengan menggunakan pendaraban matriks. Contohnya, bayangkan persamaan matriks berikut.

1 4 2 42 3 1 3

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

xyz

4 2 42 3 3+ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x y zx y z

Dengan kesamaan matriks, entri yang sepadan mestilah sama untuk memperoleh sistem tersebut:

4 2 42 3 3x y z

x y z+ − =− + = −

Maka, sistem persamaan linear ini boleh dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan matriks AX = B. Dalam persamaan ini A ialah sebuah matriks yang diperoleh daripada pekali pembolehubah yang, X ialah sebuah matriks lajur yang diperoleh daripada pembolehubah dan B ialah sebuah matriks lajur yang diperolehi daripada pemalar. Contoh: Diberi sebuah sistem persamaan dua linear

x + 2y = 0 2x − y = 5

Ia boleh dinyatakan seperti yang berikut: 1 2 02 1 5⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

xy

1.5


TOPIK 1 MATRIKS

21

di mana: 1 2 0

,2 1 5⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦and

xA X B

y sebagai sistem persamaan matriks

Contoh: Diberi sebuah sistem persamaan tiga linear. 2x y + 3z = 3 x + 2y z = 4 2x 2z = 0

Bentuk matriks tersebut ialah:

2 1 3 31 2 1 42 0 2 0

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

xyz

,di mana

2 1 3 31 2 1 , and 42 0 2 0

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

xA X y B

z.

1.5.2 Kaedah Matriks Songsang

Sebuah sistem persamaan linear boleh ditulis dalam bentuk matriks, AX=B, di mana, A ialah sebuah matriks pekali. Jika kita menentukan nilai entri dalam matriks yang tidak diketahui X, kita akan mempunyai penyelesaian kepada sistem. Sebuah songsangan matriks A, A−1 digunakan untuk menyelesaikan persamaan AX = B. Darabkan kedua-dua bahagian persamaan AX=B dengan

1−A ,

1 1( )− −=A AX A B 1 1( )− −=A A X A B

1−=IX A B di mana I ialah sebuah matriks identiti. Oleh itu, 1X A B−= , dikenali sebagai kaedah songsangan untuk menyelesaikan masalah

sistem persamaan linear. Contoh: Selesaikan x + 2y = 3 2x − y = 5 menggunakan kaedah matriks songsangan. Penyelesaian:


TOPIK 1 MATRIKS

22

Langkah 1: Tukarkan persamaan kepada persamaan matriks yang mana

1 2 02 1 5⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

xy

di mana1 2 0

,2 1 5

and ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

xA X B

y

Langkah 2: Tentukan songsangan matriks A, contohnya . A−1 . ( )( ) ( )( )1 1 2 2 5= − − = −A

1

1 21 21 5 52 1 2 15

5 5

−

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎡ ⎤

= × = ⎢ ⎥⎢ ⎥−− ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

A

Langkah 3: Gunakan formula X = A−1B untuk mendapatkan penyelesaian:

1 205 5

2 1 55 5

21

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦−⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

xy

Maka, penyelesaian kepada persamaan linear serentak ialah x = 2, y =

−1. Contoh: Selesaikan 2x y + 3z = 3 x + 2y z = 4 2x 2z = 0 Menggunakan kaedah matriks songsangan.


TOPIK 1 MATRIKS

23

Penyelesaian: Langkah 1: Mula-mula, kita perlu menukarkan persamaan kepada bentuk

persamaan matriks yang mana,

2 1 3 31 2 1 42 0 2 0

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

xyz

, di mana

2 1 3 31 2 1 , 42 0 2 0

and −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

xA X y B

z

Langkah 2: Tentukan songsangan matriks A, i.e. A−1. Untuk melakukannya,

kita perlu mengira determinannya dahulu, i.e.

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

1 2 2 2 3 21 1 2 3 2 31 1 2 1 0 1

2 2 2 2 1 1

1 1 2 1 2 2 2 2 3 2 0

1 0 2 10

20

+ + +−= − − + − + −

− − −

= ⎡ − − − ⎤ + ⎡ − − ⎤ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + −

= −

A

Elemen minor ialah:

11 23– 4, – 212 13 21 22 = 0, = 4, = 2 and = 10, n n n n nn = =

31 32 33 = –5, = –5, = 5.n nn

Oleh itu,

Minor A =

4 0 42 10 25 5 5

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

, Kofaktor A =

4 0 42 10 25 5 5

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Adjoin A =

4 2 50 10 54 2 5

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦


TOPIK 1 MATRIKS

24

Menggunakan formula: 1 1 Adjoint

4 2 51 0 10 520

4 2 5

− = ×

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥= × −⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎣ ⎦

A AA

=

1 1 15 10 4

1 102 4

1 1 15 10 4

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

Langkah 3: Menggunakan formula X = A−1B untuk mendapatkan penyelesaian untuk:

1 1 15 10 4 3 1

1 10 4 22 4

0 11 1 15 10 4

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

xyz

Oleh itu , penyelesaian yang diberikan untuk persamaan serentak ialah x = 1, y = 2 and z = 1.

1.5.3 Kaedah Cramer

Kaedah lain yang boleh digunakan untuk menyelesaikan persamaan serentak AX = B ialah Kaedah Cramer. Langkah berikut perlu diambil untuk menyelesaikan masalah sistem persamaan linear n dalam n yang tidak diketahui. Langkah 1: Tentukan determinan bagi matriks pekali A, iaitu ⏐A⏐. Jika⏐A⏐=

0, kaedah Cramer tidak lagi boleh digunakan. Langkah 2: Cari ⏐Ai⏐di mana Ai ialah sebuah matriks yang terbentuk apabila

lajur ke i dalam matriks A digantikan dengan matriks B seperti yang ditunjukkan di bawah.


TOPIK 1 MATRIKS

25

11 1 1

21 2 2

1 2

th column

⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥

⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦↑

n

n

i

n n n

a b aa b a

A

a b a

i

Langkah 3: Untuk mendapatkan xi, gunakan formula berikut:

= ii

Ax

A

Contoh: Selesaikan x + 2y=0 2x − y=5 Menggunakan kaedah Cramer. Penyelesaian:

Langkah 1: Tentukan ⏐A⏐ untuk 1 2 02 1 5⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

xy

⏐A⏐ = (1)(−1) (2)(2) = −5 Langkah 2: Cari ⏐A1⏐dan ⏐A2⏐.

1

0 25 1⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦A . Maka, ⏐A1⏐= (0)( −1) (2)(5) = −10

2

1 02 5⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

A . Oleh itu, ⏐A2⏐= (1)(5) (0)(2) = 5


TOPIK 1 MATRIKS

26

Langkah 3: Perolehi nilai bagi x dan y.

1

2

10 25

5 15

−= = =−

= = = −−

Ax A

Ay A

Contoh: Selesaikan 2x y + 3z = 3 x + 2y z = 4 2x 2z = 0 Menggunakan kaedah Cramer. Penyelesaian:

Langkah 1: Tentukan ⏐A⏐ bagi

2 1 3 31 2 1 42 0 2 0

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

xyz

Menggunakan pengembangan kofaktor dalam baris ketiga:

( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

3 1 3 31 3 2 12 1 2 1

2 1 1 2

2 1 1 2 3 2 2 2 1 1

2 5 2 5

20

+ +− −= − + − −

−

= ⎡ − − − ⎤ − ⎡ − − ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − −

= −

A


TOPIK 1 MATRIKS

27

Langkah 2: Cari ⏐A1⏐,⏐A2⏐ dan ⏐A3⏐.

1 2 3

3 1 3 2 3 3 2 1 34 2 1 , 1 4 1 , 1 2 40 0 2 2 0 2 2 0 0

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A A A

( ) ( )( ) ( )( )3 31

3 12 1 2 3 2 1 4 20

4 2+ −

= − = − ⎡ − − ⎤ = −⎣ ⎦A

( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

3 1 3 12

3 3 2 32 1 2 1

4 1 1 4

2 3 1 3 4 2 2 4 3 1

2 15 2 5 40

+ += − + − −−

= ⎡ − − ⎤ + − ⎡ − ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= − −

= −

A

( ) ( )( ) ( )( )3 13

1 32 1 2 1 4 3 2 20

2 4+ −

= − = ⎡ − − ⎤ = −⎣ ⎦A

Langkah 3: Perolehi nilai bagi x, y dan z.

1

2

3

20 120

40 220

20 120

−= = =

−

−= = =

−

−= = =

−

Ax

A

Ay

A

Az

A

Apakah kelebihan menggunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear serentak berbanding dengan teknik algebra (penolakan/penghapusan)? Kumpulkan jawapan anda dan bincangkan dengan rakan anda semasa tutorial.

AKTIVITI 1.1


TOPIK 1 MATRIKS

28

1. Nyatakan sistem persamaan linear berikut dalam bentuk persamaan matriks. Seterusnya selesaikan persamaan linear menggunakan kaedah songsangan matriks.

(a) x + 2y = 14

2x y = 5

(b) x + 2y + z = 7

x + y + z = 4

3x + y + z = 2

2. Selesaikan (1) menggunakan keadah Cramer.

3. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah yang sesuai.

1

2

3

3 23 2

x y z bx y z b

x y z b

+ − =− + =− − =

di mana :

(a) 1 2 32, 2, 4.b b b= = − =

(b) 1 2 38, 3, 6.b b b= = − =

LATIHAN 1.5


TOPIK 1 MATRIKS

29

SOALAN ANEKA PILIHAN

1. Diberi 1 23 2.5

A−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

dan 4 73 1

B⎡ ⎤

= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦. Cari:

(a) 2A B+ .

A. 8 96 2

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎣ ⎦

B. 9 73 0.5

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

C. 6 33 4⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

D. 9 119 4.5⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(b) B .

A. 4 37 1

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

B. 25 C. 17 D. 17

2.

3 1 2 422 0 4

T⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−− ⎣ ⎦⎣ ⎦

=

A.

840

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

B. Tidak wujud C.[ ]16 4 0 D.

1640

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3. Diberi 6A = − dan kofaktornya ialah

3 1 13 1 16 4 2

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

. Cari songsangan.

A.

3 3 61 1 41 1 2

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

B. 16

−

3 1 13 1 16 4 2

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

C. 16

−

3 3 61 1 41 1 2

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

D.

3 1 16 3 1 1

6 4 2

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦


TOPIK 1 MATRIKS

30

• Anda harus sedar kepentingan penggunaan matriks untuk memahami data dengan lebih baik.

• Anda harus mampu melaksanakan operasi matriks dengan baik bagi mendapatkan determinan dan juga songsangan matriks.

• Akhirnya, anda juga perlu tahu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear serentak menggunakan kaedah matriks.

Determinan

Jenis/klasifikasi matriks

Kaedah Cramer

Kesamaan matriks

Matriks

Matriks songsang

Penambahan matriks

Pendaraban matriks

Pendaraban skalar

Penolakan matriks

Transpose

4. Diberi 1 1 13 2 12 5 3

A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, 1

, 2 , 11

xX y B A

z

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

and

Kira nilai z.

A. 18 B. 10 C. 7 D. 18


PENGENALAN

Pada awal kurun ke-17, Gottfried Wilhelm Leibniz memperkenalkan istilah „fungsi‰ dalam konteks matematik. Konsep ini menjadi satu konsep matematik yang penting. Secara amnya, sebuah fungsi ialah sebuah hubungan khas input-output yang menjelaskan kuantiti (output) bergantung kepada kuantiti satu lagi (input). Sebuah fungsi ialah satu kaedah yang memberikan setiap nilai (input) kepada hanya satu nilai y (output) yang mana ditanda dengan simbol f (simbol-simbol lain seperti g dan h juga digunakan). Biasanya, simbol x digunakan untuk mewakili pemboleh ubah tak bersandar kerana ia boleh mengambil apa jua nilai, manakala simbol y digunakan untuk menandakan pemboleh ubah bersandar kerana ia hanya akan mengambil nilai yang diambil oleh x.

( )

( )

y f xy x

y g x

= ⎫⎪⎬⎪= ⎭

atau disebut sebagai " ialah sebuah fungsi bagi "

TTooppiikk

22

Fungsi Linear dan Kuadratik

HASIL PEMBELAJARAN

Pada akhir topik ini, anda seharusnya dapat:

1. Mengenal pasti fungsi linear dan kuadratik;

2. Mencari kecerunan sebuah garis;

3. Menentukan sama ada dua garisan adalah garis selari atau garis serenjang;

4. Melukis graf fungsi linear dan kuadratik; dan

5. Mencari titik persilangan.


TOPIK 2 FUNGSI LINEAR DAN KUADRATIK

32

PERSAMAAN LINEAR DAN MELUKIS GRAF

Graf bagi sebuah fungsi linear ialah garis lurus.

2.1.1 Persamaan Linear

Persamaan linear ialah sebuah persamaan di mana nilai tertinggi x adalah bersamaan dengan 1.

Contoh: Dapatkan kecerunan dan pintasan-y bagi setiap persamaan linear berikut:

(a) y = 6 3x (b) 2y + 6x = 9 Penyelesaian: Nyatakan persamaan berikut dalam bentuk am: y = mx + c. Kemudian, dapatkan nilai bagi m (skalar untuk x) dan nilai c. (a) y = 6 3x

y = 3x + 6 (Bentuk am)

Oleh itu, m = 3 dan c = 6. (b) 2y + 6x = 9

2y = 6x + 9

932

y x= − + (Bentuk am)

Oleh itu, m = 3 dan 92

c = .

Bentuk am: y = mx + c, di mana m adalah kecerunannya dan c adalah pintasan-y

2.1

Adakah persamaan linear sebuah fungsi? Jelaskan.

SEMAK KENDIRI 2.1



33

2.1.2 Kecerunan

Jika dua titik A(x1, y1) dan B (x2, y2) diberi, sebuah kecerunan boleh diperolehi dengan menggunakan formula berikut:

Contoh: Cari kecerunan bagi setiap garis yang menghubungkan dua titik yang diberikan:

(a) A (1, 4) dan B ( 2, 5)

(b) C (0, 3) dan D (7, 1)

(c) E ( 6, 6) dan F (1, 6) Penyelesaian:

5 42 1

13

m −=− −

=−

(a)

( )1 3

7 01 37

27

m− − −

=−

− +=

=

(b)

( )6 6

1 6070

m −=

− −

=

=

(c)

2 1

2 1

−=

−y ymx x



34

2.1.3 Jenis Garis Lurus

Terdapat pelbagai jenis garis lurus. Mari kita lihat setiap jenis garis lurus.

(a)

Graf 2.1

Garis Mengufuk • y = a • Selari dengan paksi- x • Kecerunannya kosong

(b)

Graf 2.2

Garis Mencancang • x= b • Selari dengan paksi- y • Kecerunannya tidak dinyatakan

(c)

Graf 2.3

Garis Sendeng Menaik• y = mx + c • Garis menaik dari kiri ke kanan • Kecerunannya adalah positif

Mengapakah ia penting untuk membincangkan kecerunan sebuah garis? Apakah kepentingan sebuah kecerunan? Bincangkan pada waktu tutorial.

AKTIVITI 2.1



35

(d)

Graf 2.4

Garis Sendeng Menurun • y = mx + c • Garis menurun dari kiri ke kanan • Kecerunannya adalah negatif

2.1.4 Melukis Graf

Langkah berkenaan boleh digunakan untuk melukis sebuah graf fungsi linear: (a) Cari dua titik yang berada pada sebuah garis dan plotkan titik tersebut. (Secara amnya, titik-titik ini adalah titik persilangan x dan y) Titik persilangan y boleh diperolehi dengan menggantikan x = 0 dalam

persamaan dan mengira nilai y. Titik persilangan x pula boleh diperolehi dengan menggantikan y = 0 ke dalam persamaan dan mengira nilai x.

(b) Hubungkan dua titik berkenaan dengan satu garis lurus. Contoh: Lukis sebuah graf bagi fungsi linear berikut:

(a) y = 2x −1

(b) y = − 4x Penyelesaian: (a) y = 2x − 1 (i) Titik persilangan pertama: Cari titik persilangan y Katakan x = 0, y = 2(0) − 1 y = −1 ∴ Maka, titik pertama ialah (0, −1).



36

(ii) Titik persilangan kedua: Cari titik persilangan x

Katakan y = 0, 2x 1 = 0 2x = 1

x = 12

∴ Maka, titik kedua ialah (12

, 0).

Graf 2.5

(b) y = − 4x (i) Titik persilangan pertama: Cari titik persilangan y Katakan x = 0, y = − 4(0) y = 0 ∴ Maka, titik pertama ialah (0,0).

(ii) Titik persilangan kedua: Cari titik persilangan lain selain persilangan x (kerana ia adalah bersamaan dengan persilangan y)

Katakan x = 2, y = − 4(2) y = −8

∴ Maka, titik kedua ialah (2, −8).



37

Graf 2.6

GARIS SELARI DAN SERENJANG

Garis selari adalah garisan berbeza yang berada pada aras yang sama tetapi tidak bersilang dengan satu sama lain. Garis selari mempunyai kecerunan yang sama. Garis serenjang pula merupakan garis yang bersilang dengan satu sama lain pada sudut tepat.

. Graf 2.7

Contoh:

Adakah garis 2y 3x + 6 = 0 selari dengan 4y = 6x + 3 ?

Dua garisan hanya selari jika dan hanya jika ia mempunyai kecerunan yang sama.

2.2



38

Penyelesaian:

Dapatkan kecerunan setiap garis:

1

2 3 6 02 3 6

3 32

32

− + == −

= −

∴ =

y xy x

xy

m

2

4 6 36 34 43 32 4

32

= +

= +

= +

∴ =

y x

y x

y x

m

Oleh kerana kedua-dua garis ini mempunyai kecerunan yang sama, maka, kedua-dua garis ini adalah selari. Contoh: Dapatkan persamaan garis lurus yang melalui titik ( 2, 10) dan selari dengan garis lurus 5x y = 0. Penyelesaian:

Tentukan kecerunan garis 5x y = 0.

5 05

55

x yy xy xm

− =− = −

=∴ =

Persamaan bagi garis lurus ialah y = mx + c. (Kecerunan bagi persamaan ini adalah 5 kerana kedua-dua garis tersebut adalah selari) Gantikan m = 5 ke dalam persamaan y = mx + c, i.e. y = 5x + c. Garis ini melalui titik ( 2, 10). Gantikan x = 2 dan y = 10 ke dalam y = 5x + c.

10 = 10 + c

10 + 10 = c

c = 20 ∴ Persamaan garis lurus yang dicari ialah y = 5x + 20.



39

Bagaimana pula dengan garis serenjang?

Graf 2.8 Contoh:

Tentukan sama ada sebuah garis lurus, y 2x = 1 serenjang dengan 2y + x = 2 atau tidak. Penyelesaian:

Dapatkan kecerunan bagi setiap garis dan darabkannya.

1

2 12 12

− == +

∴ =

y xy x

m

2

2 22 2

121

2

+ == − +−

= +

−∴ =

y xy x

xy

m

Oleh kerana hasil pendaraban kedua-dua kecerunan adalah bersamaan dengan -1, maka, kedua-dua garisan ini adalah garis serenjang. Contoh:

Dapatkan persamaan bagi garis lurus yang melalui titik (1, 2) dan serenjang dengan garis lurus x + 5y = 2.

Dua garis adalah serenjang jika dan hanya jika produk kedua kecerunaan adalah 1.



40

Penyelesaian:

Tentukan kecerunan bagi garis x + 5y = 2.

1

5 25 2

25 51

5

+ == − +−

= +

−∴ =

x yy x

xy

m

Dapatkan kecerunan garisan yang mana ialah 2m .

( )2

2

1 15

5

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

m

m (Hasil pendaraban kedua-dua kecerunan ialah -1 kerana

kedua-dua garisan ini adalah serenjang)

Gantikan m = 5 ke dalam persamaan y = mx + c, i.e. y = 5x + c. Garisan ini melalui titik (1, 2). Oleh itu, gantikan x = 1 dan y = 2 ke dalam y = 5x + c. 2 = 5(1) + c 2 = 5 + c 2 5 = c 3 = c ∴ Persamaan bagi garis lurus yang dicari ialah y = 5x 3.

Jika produk bagi dua kecerunan adalah 1, adakah garis tersebut garis serenjang? Jelaskan.

AKTIVITI 2.2



41

PERSAMAAN KUADRATIK DAN MELUKIS GRAF

Bentuk am persamaan kuadratik ialah y = 2 + + ax bx c , di mana a, b dan c adalah nombor nyata dan a ≠ 0. Tahap tertinggi bagi x dalam persamaan kuadratik adalah 2.

2.3

1. Bagi setiap persamaan berikut, tentukan kecerunan dan pintasan-y:

(a) 12

= −xy (b) y = 5 5x

(c) y = 3x (d) 3y = 5 2x 2. Dapatkan persamaan garis lurus dengan kecerunan -1 yang melalui

titik (3, 2). 3. Diberi dua titik A (2, 4) dan B (5, 12). Tentukan persamaan garis

lurus yang melaluinya. 4. Dapatkan persamaan garis lurus yang melalui titik (2, 1) dan

serenjang kepada garis 2y + x = 5.

5. Dapatkan persamaan garis lurus yang melalui titik (3, 2) dan serenjang dengan garis 3x y + 3 = 0.

LATIHAN 2.1

Lukis graf bagi setiap fungsi linear berikut:

(a) y = 3x + 2 (b) 2xy −

=

(c) 3y + 2x = 2

LATIHAN 2.2



42

Graf bagi persamaan kuadratik ialah graf parabola. Arah ke mana parabola tersebut melengkung bergantung kepada nilai a. Jika a bernilai positif maka, parabola melengkung ke bawah dan fungsinya mempunyai nilai minimun.

Graf 2.9

Manakala, jika a bernilai negatif, maka, parabola melengkung ke atas dan fungsinya mempunyai nilai maximum.

Graf 2.10

Berikut adalah langkah bagi melukis graf fungsi kuadratik 2( ) = + + f x ax bx c .

(a) Tentukan arah lengkungan parabola dengan menentukan nilai a.

(b) Cari titik pusingan (x, y) menggunakan formula berikut:

2bxa−

= , 24

4ac by

a−

=



43

(c) Cari pintasan-y bila x = 0.

Gantikan x = 0 ke dalam fungsi kuadratik.

2( ) = + + f x ax bx c

2( ) = (0) + (0) + f 0 a b c

= c

Maka, (0, c) adalah persilangan y. (d) Cari persilangan x (jika ia wujud) Jika graf menyilang paksi-x bila y = 0, iaitu apabila ax2 + bx + c = 0. Persamaan ini boleh diselesaikan dengan pemfaktoran atau menggunakan formula kuadratik.

Sama ada graf melalui paksi x atau tidak bergantung kepada nilai 2b − 4ac.

(i) Apabila 2b − 4ac > 0, graf menyilang paksi x pada dua titik. (ii) Apabila 2b − 4ac = 0, graf menyilang paksi x pada satu titik sahaja. (iii) Apabila 2b − 4ac < 0, graf tidak menyilang paksi x.

(e) Plotkan semua titik yang telah ditentukan sebelum ini dari langkah (a) hingga (d). Lukiskan sebuah lengkung yang melalui titik tersebut.

Contoh:

Lukis graf bagi setiap fungsi kuadratik berikut:

(i) 2 ( ) = 4f x x x

(ii) 2( ) = 3 2 f x x x

(iii) 2( ) = 2 + 2 + 1f x x x Penyelesaian:

(i) Tentukan nilai a, b dan c daripada fungsi. 2( ) = 4f x x x , di mana a = 1, b = −4, c = 0.

Formula kuadratik: 2 4

2b b acx

a− ± −

=



44

• Jika nilai a ialah positif maka, parabola melengkung ke bawah.

• Titik pusingan adalah (x, y)

( )( )

( )( ) ( )( )

2

2

4, 2 4

4 4 1 0 4,

2 1 4 14 0 16, 2 42 , 4

− −= =

− − − −= =

−= =

= = −

b ac bx ya a

Oleh itu, titik pusingan adalah (2, −4).

• Persilangan y adalah nilai c.

c = 0

Maka, titik persilangan y adalah (0, 0). • x bersilang apabila f (x) = 0.

x (x 4) = 0

Hasil kaedah pemfaktoran adalah:

x (x 4) = 0

x = 0, x = 4

atau

Formula kuadratik:

( ) ( )( )( )22 4 4 4 1 016 016

b ac− = − −

= −=

( )( )

4 162 1

4 42

4 4 4 4,0 2

4, 0

− − ±=

±=

+ −= =

= =

x

x

x x

x x



45

• Maka wujud dua persilangan x iaitu (0, 0) and (4, 0). Maka, grafnya ialah:

Graf 2.11

(ii) 2( ) = 3 2 f x x x , di mana a = 1, b = 2, c = 3.

• Nilai bagi a adalah negatif, maka parabola melengkung ke atas.

• Titik pusingan adalah (x, y)

( )( )

( )( ) ( )( )

2

2

4, 2 4

2 4 1 3 2,

2 1 4 12 12 4, 2 4

161 , 4

4

− −= =

− − − − −= =

− −

− −= =− −

−= − =

−=

b ac bx ya a

x y

x y

x y

y

Maka, titik pusingan adalah ( 1, 4).

• Pintasan-y adalah nilai bagi c. c = 3

• x bersilang apabila f (x) = 0.

3 2x x 2 = 0



46

Kaedah pemfaktoran memberikan:

(3 + x)(1 x) = 0

3 + x = 0, 1 x = 4

x = 3, x = 1

• Maka, graf tersebut adalah:

Graf 2.12

' (iii) f (x) = 2x 2 + 2x + 1, di mana a = 2, b = 2, c = 1.

• Nilai bagi a adalah positif, maka parabola melengkung ke bawah.

• Bucunya (x, y)

( )

2

,2 2

2 1,2 2 2

2 14 2

1 1 1, 2 2 12 2 2

Substitute into the function

− −⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

−= = −

− ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b bx y fa a

x x

x y f

x y

12 1 14

12

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

=

y

y



47

• Maka, titik pusingan adalah 1 1,2 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Pintasan-y adalah nilai bagi c. c = 1

• Maka, titik persilangan y ialah (0, 1). x bersilang apabila f (x) = 0.

22 + 2 + 1 = 0x x

Gunakan kaedah formula kuadratik.

( )( )

2

2 2

42

4 2 4 2 14 8

4

b b acxa

b ac

− ± −=

− = −= −= −

2b 4ac < 0, maka graf ini tidak mempunyai persilangan x.

• Maka, graf ini adalah:

Graf 2.13



48

TITIK PERSILANGAN

Titik persilangan antara dua graf boleh diperolehi dengan menyelesaikan persamaan secara serentak. Contoh:

Dapatkan titik persilangan bagi garis 2x + y = 4 dan x y = 2. Penyelesaian:

Selesaikan dua persamaan secara serentak. Tambahkan persamaan ini bersama bagi mengeluarkan y. 2x + y = 4 (+) x y = 2 3x = 6 x = 2 Gantikan x = 2 ke dalam persamaan x y = 2.

2 y = 2 y = 0

2.4

Lukis graf bagi setiap fungsi kuadratik berikut:

(a) f(x) = x2 6x + 5

(b) f(x) = x2 + 4

(c) f(x) = x2 2x 3

(d) f(x) = x2 16

(e) f(x) = (x 1)(3 x)

LATIHAN 2.3

Pada pendapat anda, mengapakah persamaan kuadratik mempunyai bentuk parabola? Bincangkan jawapan anda dalam tutorial.

AKTIVITI 2.3



49

Maka, titik persilangan adalah (2, 0). Contoh:

Dapatkan titik persilangan bagi garis 2x + 4y = 6 dan 6x + 3y = 18.

Penyelesaian:

Samakan skalar x dalam kedua-dua persamaan dengan mendarabkan setiap sebutan dalam persamaan. 2x + 4y = 6 (didarabkan dengan 3) Oleh itu, kita mendapatkan 6x + 12y = 18. Kemudian, tolakkan persamaan ini daripada yang lain bagi menghapuskan pembolehubah x.

6x + 12y = 18 (-) 6x + 3y = 18 9y = 0 y = 0 Gantikan y = 0 ke dalam persamaan 2x + 4y = 6.

2x + 4(0) = 6 2x = 6 x = 3 Maka, titik persilangan adalah (3, 0). Contoh:

Cari titik persilangan bagi lengkung 2 2= 4 and = 6.y x x y x Penyelesaian:

Selesaikan persamaan 2 2 = 4 and = 6.y x x y x

2 2 4 = 6x x x 2 24 + 6 = 0x x x

24 2 + 6 = 0x x (Bahagikan setiap sebutan dengan 2) 22 + 3 = 0x x



50

a = 1, b = 2, c = 3 (Gunakan formula kuadratik)

( )( )( )

2 4 4 1 32 1

2 162

2 42

2 4 2 4 ,2 2

2 6 ,2 21 , 3

− ± − −=

−

− ±=

−− ±

=−

− + − −= =

− −−

= =− −

= − =

x

x

x

x x

x x

x x

Maka, titik persilangan adalah ( 1, 5) dan (3, 3). Contoh:

Cari titik persilangan bagi lengkung 2x + y 3 = 0 dan 2x + y = 0. Penyelesaian:

Selesaikan persamaan 2x + y 3 = 0 dan 2x + y = 0.

Gantikan 2x + y = 0, yang mana y = 2x ke dalam 2x + y 3 = 0 2x + y 3 = 0 2x 2x 3 = 0 (Faktorkan persamaan) (x 3)(x + 1) = 0 x = 3, x = 1

Masukkan x = 3 dan x = 1 ke dalam y = 2x.

Apabila x = 3, y = 2(3) y = 6

Apabila x = 1, y = 2( 1)

y = 2

Maka, titik persilangan adalah (3, 6) dan ( 1, 2). Maklumat lebih lanjut mengenai fungsi boleh diperolehi di laman sesawang berikut:

http://mathworld.wolfram.com/Function.html



51

Dapatkan titik persilangan bagi setiap persamaan berikut:

(a) 2x + y = 10 dan 6x + y = 14

(b) 3x + y 2 = 0 dan 3x 4y + 8 = 0

(c) 2x 3y = 7 dan 3x + 2y = 4

(d) y = 8 x2 dan 4x y + 11 = 0

(e) y = 2x2 3x dan y = x2 2

(f) y = x2 + 6x + 2 dan y = 2x2 + 2x + 5

LATIHAN 2.4


1. Bentukkan persamaan linear bagi garis yang melalui titik (3, - 1) dan mempunyai kecerunan 7.

A. 217 +−= xy B. 227 −= xy

C. 207 +−= xy D. 73 += xy

2. Garis manakah merupakan garis selari?

A. 1 : 2 3 13= − +L y x , 2 :3 2 3= −L y x

B. 122:1 =+ yxL , 9:2 =+ xyL

C. 73:1 −−= xyL , 73:2 −= xyL

D. 073:1 =+− yxL , 01:2 =++ yxL

Apabila dua graf menyilang antara satu sama lain, bagaimanakah kita boleh terangkan nilai x dan y pada titik persilangan?

AKTIVITI 2.4



52

3. Tentukan graf yang mewakili garis yang mempunyai kecerunan 3.

4. Katakan y = f(x) ialah sebuah fungsi kuadratik. Yang manakah antara berikut adalah salah?

A. Parabola melengkung ke atas apabila skalar x adalah negatif.

B. Pintasan-y diperolehi dengan menentukan f(0).

C. Titik pusingan adalah maksimum apabila parabola melengkung ke atas.

D. Kuasa tertinggi bagi sebuah pembolehubah tak bersandar adalah dua.

5. Graf manakah yang mewakili f(x) = 6 + 5x + x2?

A.

B.



53

• Jika y ialah sebuah fungsi bagi x dan ditulis sebagai y = f(x), maka wujudlah

sebuah nilai unik bagi y untuk setiap nilai x.

• Sebuah fungsi linear adalah salah satu daripada fungsi polinomial tahap pertama, maka, sekaligus, ia juga dikenali sebagai linear polinomial.

• Sebuah fungsi kuadratik adalah salah satu daripada fungsi polinomial tahap kedua.

Fungsi

Fungsi kuadratik

Parabola

Titik persilangan

C.

D.


\

PENGENALAN

Terdapat banyak aplikasi fungsi linear dan kuadratik dalam kehidupan seharian. Walau bagaimanapun, topik ini akan membincangkan aplikasi dalam bidang ekonomi. Perbincangan mengenai titik keseimbangan melibatkan fungsi tuntutan dan bekalan dan titik persilangan. Sama juga, perbincangan mengenai analisis pulangan modal melibatkan fungsi kos, hasil dan keuntungan. Bentuk graf kuadratik adalah parabola. Oleh itu, nilai maksimum dan minimum sebuah fungsi kuadratik boleh diperolehi daripada titik pusingan.

TTooppiikk

33

Aplikasi Fungsi Linear dan Kuadratik


1. Mengenal pasti tuntutan dan bekalan fungsi;

2. Mengira titik keseimbangan pasaran;

3. Mengenal pasti fungsi kos, hasil dan keuntungan;

4. Menganalisis titik pulang modal; dan

5. Mendapatkan nilai maksimum dan minimum fungsi.


TOPIK 3 APLIKASI FUNGSI LINEAR DAN KUADRATIK

55

FUNGSI TUNTUTAN DAN BEKALAN

Bagi setiap peringkat harga produk, terdapat kuantiti yang dipadankan dengan produk yang dituntut oleh pengguna dalam tempoh masa tertentu. Secara amnya, semakin tinggi harga, semakin rendah kuantiti yang dikehendaki dan apabila harga menurun, kuantiti tuntutan akan meningkat semula. Katakan harga bagi sebuah produk unit ialah p dan tuntutan kuantiti yang sepadan ialah q, maka, persamaan yang menghubungkan p dan q dikenali sebagai persamaan tuntutan. Fungsi tuntutan ini mempunyai kecerunan negatif.

Graf 3.1

Amnya, semakin tinggi harga seunit sesuatu produk, semakin banyak kuantiti yang dikeluarkan oleh pengeluar. Apabila harga menurun, kuantiti yang dibekalkan akan menurun. Jika harga bagi seunit produk adalah p dan kuantiti dibekalkan yang sepadan adalah q, maka persamaan yang menghubungkan p dan q dikenali sebagai (persamaan bekalan). Fungsi bekalan ini mempunyai kecerunan positif.

Graf 3.2

3.1



56

3.1.1 Titik Keseimbangan Pasaran

Pasaran mencapai tahap keseimbangan apabila bekalan dan tuntutan adalah sama. Titik keseimbangan boleh diperolehi daripada mendapatkan titik persilangan antara persamaan tuntutan dan bekalan.

Graf 3.3

Contoh: Tentukan persamaan yang mana adalah persamaan tuntutan dan bekalan. Kemudian, dapatkan titik keseimbangan pasaran.

(a) p + 2q = 100

(b) 3p = q + 125 Penyelesaian: Tentukan kecerunan bagi setiap persamaan. (a) p + 2q = 100 p = 2q + 100 Kecerunan adalah 2 (negatif). Maka, persamaan p + 2q = 100 adalah persamaan tuntutan. (b)

3 125

1253 3

p qq

p

= +

= +

Kecerunan adalah 13

(positif).

Maka, persamaan 3p = q + 125 adalah persamaan bekalan.



57

Selesaikan kedua-dua persamaan bagi mendapatkan titik keseimbangan pasaran. p + 2q = 100 (darabkan setiap peringkat dengan 3) 3p + 6q = 300 ( ) 3p q = 125 (tolakkan persamaan ini daripada yang lain untuk mengeluarkan p) 7q = 175 q = 25 Masukkan q = 25 ke dalam persamaan p + 2q = 100

p + 2(25) = 100 p + 50 = 100 p = 50

∴ Titk keseimbangan pasaran adalah (25, 50). Contoh:

Berikan sebuah fungsi tuntutan –p pd2q = 100 + 2500 dan sebuah fungsi bekalan qs =

0.5 2p 50.

(a) Tentukan harga pada titik keseimbangan pasaran jika harga domain adalah 5 ≤ p ≤ 50.

(b) Dapatkan kuantiti bagi harga tersebut. Penyelesaian:

(a) Samakan fungsi tuntutan dan bekalan bagi mendapatkan nilai bagi p.

2– 100 + 2500 = 0.5 – 50p p p2 2 – 0.5 – 100 + 2500 + 50 = 0p p p2

0.5 – 100 + 2550 = 0p p2

= 0.5, = –100, = 2550a b c

2 42

b b acpa

− ± −=

2 2 – 4 = (–100) – 4(0.5)(2550)b ac

= 10000 – 5100

= 4900



58

( )( )

100 49002 0.5

100 701

100 70 , 100 70170 , 30

p

p

p pp p

− − ±=

±=

= + = −= =

p = 170 tidak terdapat di bawah harga domain, maka ia bukan jawapan. Maka, harga pada titik keseimbangan pasaran ialah RM30.

(b) Gantikan p = 30 ke dalam fungsi bekalan.

q = 0.5 – 50p2

= 20.5(30) –50 = 0.5(900) – 50 = 450 – 50 = 400

Kuantiti bekalan yang sepadan adalah 400.

Jika anda adalah seorang usahawan, adakah anda akan berpuas hati jika titik keseimbangan dapat dicapai? Jelaskan jawapan anda.

AKTIVITI 3.1

1. Dapatkan titik keseimbangan jika fungsi bekalan dan fungsi sebuah

produk masing-masing adalah 83001

+= qp dan 12180

1+−= qp .

2. Katakan fungsi tuntutan adalah 2p 400 dan fungsi bekalan yang

diberikan ialah 2p 40p + 2600. Tentukan harga dan kuantiti apabila pasaran mencapai titik keseimbangan.

LATIHAN 3.1



59

FUNGSI KOS DAN HASIL

Kos tetap adalah kos yang bebas daripada peringkat pengeluaran seperti kos insurans.

Jumlah hasil adalah wang yang diterima daripada jualan produk.

Keuntungan adalah perbezaan antara jumlah hasil dan jumlah kos.

Contoh: Sebuah kilang menghasilkan sebuah jenis produk yang bernilai RM200. Kos bagi bahan mentah dan buruh masing-masing adalah RM30 dan RM15 per unit. Kos tetap adalah RM 100,000.

(a) Dapatkan fungsi untuk keuntungan.

(b) Cari keuntungan jika 10,000 unit terjual. Penyelesaian: (a) Katakan q adalah kuantiti produk yang terjual. Jumlah Hasil = (Unit Harga) x (Jumlah Kuantiti Terjual) = 200q Jumlah Kos = Kos Berubah + Kos Tetap = 30q +15q + 100,000 Maka, Keuntungan = Jumlah Hasil Jumlah Kos = 200q (30q +15q + 100,000) = 200q 30q 15q 100,000 = 155q 100,000

Keuntungan = Jumlah Hasil Jumlah Kos

Jumlah Hasil = Harga Unit x Jumlah Kuantiti Terjual

Jumlah Kos = Kos Tetap + Kos Berubah

3.2



60

(b) Gantikan q = 10,000 ke dalam 155q 100,000 Keuntungan = 155(10,000) 100,000 = 1,550,000 100,000 = 1,450,000 Contoh:

Katakan kos bagi menghasilkan 10 unit sebuah produk adalah RM 40, manakala 20 unit adalah RM 70. Jika kos C adalah berkaitan secara linear kepada kuantiti pengeluaran, dapatkan:

(a) Persamaan linear yang menghubungkan C kepada q.

(b) Kos bagi menghasilkan 35 unit produk berkenaan. Penyelesaian: Persamaan linear: C = mq + k ⁄(1) Gantikan q = 10, C = 40 dan q = 20, C = 70 ke dalam persamaan (1) bagi membentuk dua persamaan. 40 = 10m + k dan 70 = 20m + k. Tolakkan satu persamaan daripada yang lain bagi menghapuskan k dan bagi memperolehi nilai untuk m.

70 = 20m + k ( ) 40 = 10m + k 30 = 10m 3 = m (a) Gantikan m = 3 ke dalam 40 = 10m + k bagi mendapatkan nilai k.

40 = 10(3) + k 40 = 30 + k 10 = k Maka, persamaan linear akan menjadi C = 3q + 10 (b) Gantikan q = 35 ke dalam C = 3q + 10. C = 3q + 10 = 105 + 10 = 115



61

3.2.1 Analisis Pulang Modal

Titik pulang modal sebuah produk adalah peringkat dalam pengeluaran yang mana tiada keuntungan atau kerugian yang diperolehi. Ia adalah satu tempoh di mana jumlah hasil adalah bersamaan dengan jumlah kos.

Graf 3.4

TR = TC : Titik pulang modal TR < TC : Perniagaan mengalami kerugian TR > TC : Perniagaan memperolehi keuntungan

Contoh: Sebuah syarikat menjual sebuah produk pada harga RM 45 seunit. Kos berubah seunit adalah RM 33 manakala kos tetap adalah RM 450,000. Berapakah unit yang perlu dijual bagi mencapai titik pulang modal? Penyelesaian: Titik pulang modal: Jumlah Hasil = Jumlah Kos Jumlah Hasil = (Harga Unit) x (Jumlah Kuantiti Terjual) = 45q Jumlah Kos = Kos Berubah + Kos Tetap = 33q + 450,000 Maka, 45q = 33q + 450,000 45q − 33q = 450,000 12q = 450,000 q = 37,500 Maka, 37,500 unit harus dijual bagi mencapai titik pulang modal.



62

MAKSIMUM DAN MINIMUM

Nilai maksimum boleh diperolehi daripada titik pusingan pada parabola yang melengkung ke bawah dan nilai minimum boleh diperolehi daripada titik pusingan pada parabola yang melengkung ke atas.

3.3

Bahagian manakah dalam Graf 3.4 yang harus dielakkan oleh usahawan? Jelaskan.

SEMAK KENDIRI 3.1

1. Kenalpasti setiap persamaan yang berikut sebagai persamaan tuntutan dan bekalan. Kemudian, cari harga sepadan dan kuantiti pada mana titik pulang modal dapat dicapai.

(a) 2p = 100q − 600

(b) p = −50q + 600

2. Sebuah syarikat menghasilkan sejenis produk dengan harga jual RM50 seunit. Bagi menghasilkan salah satu unit produk berkenaan, syarikat tersebut terpaksa menggunakan bahan mentah yang bernilai RM40. Kos tetap adalah RM5,000. Jika q mewakilkan kuantiti produk terjual, dapatkan;

(a) Fungsi hasil;

(b) Fungsi kos;

(c) Fungsi keuntungan; dan

(d) Kuantiti yang perlu dijual bagi mencapai titik pulang modal.

LATIHAN 3.2



63

Contoh:

Sebuah syarikat mendapat tahu bahawa fungsi tuntutan bagi produknya adalah p = 48 3q, di mana p mewakili harga unit dan q adalah kuantiti tuntutan bagi produk berkenaan.

(a) Dapatkan fungsi hasil.

(b) Tentukan kuantiti apabila hasil adalah maksimum.

(c) Apakah nilai maksimum bagi hasil yang dijana?

Penyelesaian:

(a) Jumlah Hasil = (Harga Unit) x (Jumlah Kuantiti Terjual)

R = pq

R = (48 3q) q

R = 248 3q q (b) Fungsi hasil adalah fungsi kuadratik, maka, titik pusingan ( x,y ) akan

digunakan bagi mendapatkan titik maksimum. Kordinat bagi x adalah apabila hasil adalah maksimum.

R = 248 3q q

Di mana a = 3, b = 48, c = 0

Maka:

( )

248

2 3486

8

bqa−

=

−=

=

=

Kuantiti yang akan memaksimumkan hasil adalah 8.



64

(c) Gantikan q = 8 ke dalam fungsi hasil.

R = 248 3q q

= 48(8) 3(64) = 384 192 = 192

Maka, hasil maksimum adalah RM192. Contoh:

Diberi fungsi kos adalah, C = 2q 6q + 16.

(a) Tentukan kuantiti apabila kos dapat dikurangkan. (b) Apakah nilai minimum kos tersebut? Penyelesaian:

(a) Fungsi kos adalah fungsi kuadratik, maka, titik pusingan ( x,y ) akan digunakan bagi mendapatkan titik minimum. Koordinat x adalah kuantiti apabila kos dapat dikurangkan.

( )

( )( )

2 6 16 where 1, 6, 16

26

2 13

C q q q a b cbqa

q

q

= − + = = − =

−=

− −=

=

Kuantiti apabila kos dapat dikurangkan adalah 3. (b) Gantikan q = 3 ke dalam fungsi kos.

C (q) = 2q 6q + 16

= 23 6(3) + 16 = 9 18 + 16 = 7

Maka, kos minimum adalah RM7.



65

Adakah mungkin bagi fungsi kuadratik mempunyai kedua-dua nilai maksimum dan minimum? Jelaskan jawapan anda.

AKTIVITI 3.2

Syarikat BC mendapat tahu bahawa fungsi tuntutan bagi produknya adalah q = 1850 5p, di mana p mewakili harga unit dan q adalah kuantiti tuntutan bagi produk berkenaan.

(a) Dapatkan fungsi hasil.

(b) Cari hasil jika harga unit adalah RM5.

(c) Tentukan harga apabila hasil dimaksimakan.

(d) Apakah nilai maksimum bagi hasil?

LATIHAN 3.3



66


1. Seorang pengeluar menjual produk pada harga RM200 seunit. Kos buruh adalah RM15 seunit dan kos bahan adalah RM50 seunit. Sewa bangunan adalah RM10,800 sebulan. Dapatkan kuantiti pulang modal.

A. 5 B. 8 C. 46 D. 80

2. Diberi fungsi tuntutan adalah 2 – 200 p dan fungsi bekalan adalah p2 20p + 1,400. Apakah harga seimbang?

A. RM80 B. RM100 C. RM800 D. RM6,200 Bagi soalan 3,4 dan 5 rujuk pada maklumat berikut:

Fungsi tuntutan bagi sesebuah jenis produk adalah p = 2,750 5q. 3. Dapatkan jumlah fungsi hasil.

A. 2,750q 5 B. 2,750p 5pq

C. 2,750q 5q2 D. 2,750p 5p2

4. Tentukan kuantiti yang akan memaksimakan jumlah hasil.

A. 0 B. 25 C. 50 D. 275 5. Apakah jumlah hasil maksimum?

A. 0 B. RM2,750 C. RM378,125 D. RM753,500



67

• Aplikasi bagi titik persilangan yang dibincangkan adalah bagi menentukan titik keseimbangan pasaran dan titik pulang modal.

• Titik keseimbangan pasaran diperolehi dengan menyelesaikan persamaan tuntutan dan bekalan secara serentak.

• Titik pulang modal diperolehi dengan menyelesaikan persamaan hasil dan kos secara serentak.

• Dalam topik ini, kita telah mempelajari nilai maksimum bagi fungsi hasil dan juga nilai minimum bagi fungsi kos dengan menggunakan kaedah titik pusingan.

• Hal ini boleh dilaksanakan kerana kedua-dua fungsi adalah kuadratik dan kaedah ini hanya boleh digunakan untuk fungsi kuadratik manakala kaedah pembezaan boleh digunakan bagi menentukan nilai maksimum atau minimum bagi apa jua fungsi.

Fungsi bekalan

Fungsi hasil

Fungsi keuntungan

Fungsi kos

Nilai maksimum

Nilai minimum

Titik keseimbangan

Titik pulang modal


PENGENALAN

Fungsi logaritma adalah berkaitan dengan fungsi eksponen. Setiap fungsi logaritma adalah songsangan kepada fungsi eksponen yang sepadan dan fungsi eksponen tersebut merupakan songsangan kepada fungsi logaritma yang sepadan. Topik ini akan membincangkan hubungan antara kedua-dua fungsi ini dan aplikasinya.

CIRI-CIRI EKSPONEN

Sebuah fungsi hanya dikenali sebagai fungsi eksponen jika ia mempunyai bentuk f (x) = ax di mana asas a adalah positif dengan a ≠ 0 dan eksponen x adalah sebarang nombor nyata.

4.1

TTooppiikk

44 Fungsi Eksponen dan Logaritma

HASIL PEMBELAJARAN


1. Mengenal pasti fungsi eksponen dan logaritma;

2. Mengenal pasti graf fungsi eksponen dan logaritma;

3. Menyelesaikan persamaan menggunakan ciri-ciri eksponen;

4. Menyelesaikan persamaan menggunakan ciri-ciri logaritma; dan

5. Menyelesaikan masalah aplikasi.


TOPIK 4 FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA

69

Contoh: Dapatkan nilai

(a) 3−2 × 33 (b) (22

)3 (c) 324

(d) 3−2 (e) 31

2

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(f) 23

2

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Penyelesaian:

(a) 2 3

2 3

1

3 3333

−

− +

×

=

==

(b) ( )32 2 3

6

2 2

264

×=

==

(c) ( )3 32

3

4 4

28

=

==

(d) 22

13319

− =

=

(e) ( )3

31

3

1 22

28

−−−⎛ ⎞ =⎜ ⎟

⎝ ⎠==

(f) 2 2

2

3 32 2

1 19 449

− −

−

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

= ÷

=

(1) = +x y x ya a a a

(2) ( )=x x xa b ab

(3) x

x yy

a aa

−=

(4) xx

x

a ab b

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(5) ( ) =x y x ya a

(6) 1xxa

a− =

(7) 0 1=a

(8) 1 =a a

(9) ( )x

xyya a=



70

Contoh: Selesaikan

(a) 28 = 2 x (b) 2 1 1xee

+ =

(c) 1 12 28

x x− = (d) 2x3 4-9 = 0x

Penyelesaian:

(a)

( )

2

23

6 1

8 2

2 2

2 26 1

16

x

x

x

x

x

=

=

=

=

=

(Equate the base)

(Compare the exponent)

(b)

2 1

2 1 1

1

2 1 12 2

1

x

x

ee

e ex

xx

+

+ −

=

=+ = −

= −= −

(c) 1

1 3

12 28

2 22 1 3

2 21

x x

x x

xxx

−

+ − −

=

=− = −

= −= −

(d)

( )

( )( )

2

2

4

42

2

2

3 9 0

3 3

8 22 8 0

2 4 02, 4

x x

xx

x xx x

x xx x

−

−

− =

=

= −

+ − =

− + =

= = −

Antara fungsi linear dan eksponen, yang manakah mempunyai perubahan pesat dalam nilainya? Jelaskan.

AKTIVITI 4.1



71

PERSAMAAN DAN GRAF

Terdapat dua bentuk am dalam graf eksponen. Bentuk ini bergantung kepada nilai asas fungsi eksponen. (a) xy a= di mana a > 1

Graf 4.1

4.2

Dapatkan nilai:

(a) 3 × 3 4 (b) 2 3 × 8 (c)

1327

(d)

231

8⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(e) 31

5

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(f) 42 × 2 1

LATIHAN 4.1

Selesaikan:

(a) 1 164

x⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(b) 3 1xe + = (c) 4x 2x+1 = 0

(d) 2x8x = 2 (e) 2515 =−x (f) ( )( )2 2 1x xe e

e=

LATIHAN 4.2

xy a=



72

(b) xy a= di mana 0 < a < 1

Graf 4.2

Berikut merupakan ciri-ciri graf fungsi eksponen ( ) .xf x a=

(i) Persilangan y pada graf eksponen adalah (0,1).

(ii) Tiada persilangan x.

(iii) Jika a > 1, graf menaik dari kiri ke kanan.

(iv) Jika 0 < a < 1, graf menurun dari kiri ke kanan.

Contoh:

Lukis graf y = 2x. Penyelesaian:

(i) Bina sebuah jadual yang terdiri daripada beberapa nilai x dan y.

(ii) Plotkan titik pada sebuah satah.

(iii) Lukis sebuah lengkung titik yang telah diplotkan.

(i)

x −2 −1 0 1 2 3

y 14

12

1 2 4 8

xy a=



73

(ii)

Graf 4.3

Contoh:

Lukis sebuah graf 12

x

y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Penyelesaian:

(i)

x −3 −2 −1 0 1 2

y 8 4 2 1 12

14

(ii)

Graf 4.4



74

FUNGSI LOGARITMA

Sebuah fungsi logaritma dengan asas a, ditulis sebagai loga di mana a > 0, a ≠ 1. y adalah logaritma bagi x dengan asas a, ditandakan dengan y = log a x.

Contoh:

Tukarkan persamaan berikut daripada bentuk logaritma kepada bentuk eksponen:

(a) log 3 9 = 2

(b) log 10 y = 4

(c) log 2 8 = 3 Penyelesaian:

(a) 32 = 9

(b) 104 = y

(c) 23 = 8 Contoh:

Tukarkan persamaan berikut daripada bentuk eksponen kepada bentuk logaritma:

(a) 25 = 32

(b) 100 = 1

(c) 53 = y Penyelesaian:

(a) log 2 32 = 5

(b) log 10 1 = 0

(c) log 5 y = 3 Logaritma dengan asas 10 juga dikenali sebagai logaritma biasa dan ditulis sebagai, log 10 x = log x = lg x.

ay = x Bentuk Eksponen

⇔ y = log a x

Bentuk Logaritma

4.3



75

Manakala, logaritma dengan asas e dikenali sebagai logaritma asli dan ditanda dengan

log e x = ln x.

CIRI-CIRI LOGARITMA

Contoh:

Gunakan ciri-ciri berikut untuk mencari nilai bagi:

(a) 3log 81 (b) 1

lne

(c) log 1a

(d) 4log 2 (e) 4 4log 2 log 8+ (f) 6 6log 54 log 9−

1. log a a = 1 2. log a mx = xlog a m

3. log a m = loglog

b

b

ma

(Formula saling tukar asas logaritma )

4. log a M + log a N = log a MN

5. log log loga a aMM NN

− =

6. Jika log a M = log a N maka M = N

4.4

Adakah fungsi logaritma sebuah operasi salingan bagi fungsi eksponen? Mengapa? Jelaskan.

AKTIVITI 4.2



76

Penyelesaian:

(a)

( )

43 3

3

log 81 log 34log 34 14

=

=

=

=

(b)

( )

1

1 1ln log

log1log1 11

e

e

e

e ee

e

−

=

=

= −

= −

= −

(c)

( )

0log 1 log0 log0

a a

a

aa

=

=

=

(d) 4 412

4

4

log 2 log 4

log 41 log 4212

=

=

=

=

(e)

( )

4 4 42

4

4

log 2 log 8 log 16

log 42log 42 12

+ =

==

=

=

(f) 6 6 6

6

54log 54 log 9 log9

log 61

− =

=

=

Contoh:

Dapatkan nilai bagi x.

(a) log (2x + 1) = log (x + 6) (b) logx (6 x) = 2

(c) log3 x = 2 (d) log x = 1

(e) log2 4x + log 2 4x = 12 (f) log x log (x 1) = log 4 Penyelesaian:

Dapatkan nilai bagi x.

(a) ( ) ( )log 2 1 log 62 1 62 6 1

5

x xx xx x

x

+ = +

+ = +− = −

=

(b) ( )

( )( )

2

2

log 6 2

66 0

3 2 03, 23 0

2

x x

x xx x

x xx xx xx

− =

= −

+ − =

+ − =

= − == − >=

akan diabaikan kerana asasMaka,

(c) 3

2

log 2

39

x

xx

=

==

(d)

10

1

log 1log 1

10

xx

x −

= −= −

=



77

(e)

( )

( )

42 2

42

52

5 12

125

2

5 10

110 5

2

log log 4 12

log 4 12

log 4 12

4 2222

2

24

x x

x x

x

x

x

x

x

xx

+ =

=

=

=

=

=

=

==

(f) ( )log log 1 log 4

log log 41

41

4 43 4

43

43

x x

xx

xx

x xx

x

x

− − =

⎛ ⎞ =⎜ ⎟−⎝ ⎠

=−

= −− = −

−=−

=

1. Tukarkan persamaan berikut daripada bentuk logaritma kepada bentuk eksponen.

(a) log5 25 = 2 (b) log2 y = x (c) log10 0.1 = −1 2. Tukarkan persamaan berikut daripada bentuk eksponen kepada

bentuk logaritma.

(a) 102 = 100 (b) a0 = 1 (c) 2−3 = 18

3. Gunakan ciri-ciri logaritma dan dapatkan nilai yang berikut:

(a) log2 16 (b) log8 2 (c) ln e

(d) log4 14

(e) ln 1 +1g 100 (f) log214− log2 4

4. Dapatkan nilai x.

(a) log2 x = 0 (b) logx 1 13= − (c) log8 64 = x − 1

(d) logx (2x + 8) = 2 (e) logx + log (x 15) = 2

(f) log3 (x + 1) = log3 (x 1) + 1

LATIHAN 4.3



78

PERSAMAAN DAN GRAF

Terdapat dua bentuk am dalam graf logaritma. Bentuk graf ini bergantung kepada nilai asas fungsi logaritma. (a) y = log a x, di mana a > 1

Graf 4.5

(b) y = log a x, di mana 0 < a < 1

Graf 4.6

4.5

1. Apakah nilai bagi e? Apakah kepentingan e?

2. Bagaimanakah sebuah fungsi logaritma mempermudahkan pengiraan yang melibatkan fungsi eksponen?

AKTIVITI 4.3



79

Berikut merupakan ciri-ciri graf fungsi logaritma f (x) = log a x.

(a) Tiada persilangan y.

(b) Persilangan x pada graf logaritma ialah (1,0).

(c) Jika a > 1, graf meningkat dari kiri ke kanan.

(d) Jika 0 < a < 1, graf menurun dari kiri ke kanan.

Contoh:

Lukis sebuah graf y = log 2 x. Penyelesaian:

• Tukarkan persamaan daripada bentuk logaritma kepada bentuk eksponen.

• Bina sebuah jadual yang terdiri daripada beberapa nilai x dan y.

• Lukis sebuah lengkung yang licin melalui semua. (a) y = log2 x

2y = x

(b)

y −2 −1 0 1 2 3

x 14

12

1 2 4 8

(c)

Graf 4.7



80

Contoh:

Lukis sebuah graf y = log 1/2 x Penyelesaian:

(a) 12

y

x⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(b)

y −3 −2 −1 0 1 2

x 8 4 2 1 12

14

(c)

Graf 4.8

4.5.1 Aplikasi dalam Proses Pertumbuhan dan Pelupusan

Fungsi eksponen boleh diaplikasikan dalam proses pertumbuhan dan pelupusan. Formula bagi jumlah perkembangan adalah:

di mana

P = Bilangan penduduk selepas t tahun. P0 = Bilangan penduduk asal.

P = P0 ert



81

r = Peratusan (kadar) pertumbuhan. t = Tempoh masa Contoh: Katakan jumlah bilangan penduduk dalam sebuah bandar yang diberi ialah 20,000 dan kadar pertumbuhan penduduk ialah 5% setahun.

(a) Tentukan jumlah bilangan dalam bandar ini 6 tahun dari sekarang.

(b) Berapa tahun yang diperlukan bagi jumlah ini meningkat dua kali ganda?

Penyelesaian:

(a) Gantikan semua nilai yang diberikan ke dalam formula bagi mencari nilai P.

P = P0 e rt , di mana P0 = 20,000, r = 5% dan t = 6. = 5/100 = 0.05 P = 20,000e 0.05(6) = 20,000e 0.3 = 26,997

Maka, bilangan penduduk dalam bandar selepas enam tahun ialah 26,997. (b) Penggandaan bilangan penduduk membayangkan P = 2Po.

Gantikan P dengan 2Po dan r = 0.05 ke dalam formula bagi mencari nilai bagi t.

o

0.05o o

0.05o

o

0.05

22

2log 2 0.05

ln 2 0.05ln 20.0513.863

rt

t

t

t

e

P P e

P P eP e

P

ett

t

t

=

=

=

==

=

=

=

Bilangan penduduk akan meningkat dua kali ganda dalam masa 14 tahun.



82

Formula bagi proses pelupusan ialah:

Contoh:

Katakan sebuah elemen radioaktif menjalani pelupusan kuasa berdasarkan fungsi eksponen P = 100 e − 0.075t selepas t hari. Berapakah kuantiti yang tersisa selepas 20 hari? Penyelesaian:

Gantikan t = 20 ke dalam formula bagi mencari nilai P.

P = 100 e −0.075(20) = 100 e −1.5 = 100 (0.22313) = 22.313

4.5.2 Pelaburan dengan Faedah Kompaun

Jumlah wang yang ditandakan dengan S adalah jumlah kompaun bagi jumlah wang P yang merupakan pengkompaunan selepas tahun ke n di mana faedah boleh dibayar k kali pada pada kadar r % setahun diberi oleh formula yang berikut:

1nkrS P

k⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

di mana: S = Jumlah kompaun atau nilai prospektif P = Pelaburan awal atau nilai utama r = Kadar faedah setahun k = Bilangan faedah yang telah dibayar (kompaun) dalam setahun n = Bilangan tahun contoh:

Jika RM 1,000 dilaburkan pada kadar 6% setahun, dengan pengkompaundan (boleh dibayar) setiap suku tahun, apakah jumlah amaun dalam akaun selepas 10 tahun?

P = P0 e -rt



83

Penyelesaian:

S = ?, P = 1000, r = 6% = 0.06, k = Setiap suku tahun = 4 × setahun, n = 10 Maka,

( )( )

( )( )

10 4

40

1

0.061000 14

1000 1.015

1000 1.814021814.02

nkrS Pk

S

S

SS

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

=

=

=

Contoh:

Tentukan jumlah prinsipal sebuah pinjaman, diberi nilai prospektif boleh bayar selepas 10 tahun adalah RM 21,589.20 dengan kadar kompaun sebanyak 8% setahun, pengkompaundan (boleh bayar) secara tahunan. Penyelesaian:

S = 21,589.20, P = ?, r = 8% = 0.08, k = Setiap tahun = 1 × a year, n = 10 Maka,

1nkrS P

k⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )

( )( )

10 1

10

0.0821589.20 11

21589.20 1.08

21589.20 2.1589221589.202.15892

10000

P

P

P

P

P

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

=

=

=

=

Layari laman sesawang berikut:

http://webmath.amherst.edu/qcenter/logarithms/index.html bagi mendapatkan latihan mengenai logaritma.



84

1. (a) Diberi bahawa harga satu ekar semakin meningkat pada kadar 2% setahun. Berapa tempoh waktu yang diperlukan untuk harga tersebut meningkat kepada RM 30,000, jika nilai semasa adalah RM 10,000?

(b) Oleh kerana kemelesetan ekonomi, jumlah penduduk dalam sesebuah bandar jatuh pada kadar 1 % setahun. Jumlah populasi awal adalah 100,000 orang. Apakah populasi selepas 3 tahun?

2. Tentukan jumlah kompaun, apabila diberi nilai prinsipal, kadar

faedah kompaun dan tempoh masa yang berikut:

(a) RM5,500; 6% setahun, pengkompaundan secara bulanan; 18 bulan.

(b) RM10,000; 8% setahun, pengkompaundan secara tahunan; 5 tahun.

(c) RM7,600; 7.26% setahun, pengkompaundan secara suku tahun; 5 tahun dan 8 bulan.

(d) RM2,300; 5.75% setahun, pengkompaundan setiap hari; 159 hari. (jangkaan 1 tahun = 365 hari).

3. Tentukan jumlah prinsipal apabila diberi nilai kompaun, kadar

faedah kompaun dan tempoh masa yang berikut:

(a) RM16,084.82; 6% setahun pengkompaundan secara bulanan; 14 bulan.

(b) RM10,197.02; 5.3% setahun pengkompaundan secara harian; 135 hari. (asumsi: 1 tahun = 365 hari).

(c) RM6,657.02; 12.6% setahun pengkompaundan setiap 2 bulan; 10 bulan.

(d) RM36,361.63; 7.2% setahun pengkompaundan setiap 3 bulan; 5 tahun and 3 bulan.

LATIHAN 4.4



85

• Fungsi eksponen dan salingannya iaitu fungsi logaritma membentuk graf

refleksi pada garis y = x.

• Ciri-ciri eksponen dan logaritma perlu difahami apabila menyelesaikan masalah.

• Tambahan pula, kebolehan menukarkan persamaan dari bentuk eksponen ke bentuk logaritma dan sebaliknya adalah kedua-duanya sama penting.


1. Adakah 2

21 1

xx =−

?

A. Ya B. Tidak 2. Diberi 2x 8x = 4. Selesaikan x.

A. 1

2−

B. 0 C. 14

D. 21

3. Kira 1

1 lg10

+ .

A. −10 B. −1 C. 1 D. 10 4. Katakan RM 5,000 dilaburkan selama 10 tahun pada kadar 6%

setahun dengan pengkompaundan setiap empat bulan. Dapatkan amaun kompaun tersebut.

A. 5000(1.02)30 B. 5000(1.02)40

C. 5000(1.015)30 D. 5000(1.015)40

5. Populasi P sebuah bandar selepas 2 tahun dari tahun 1990 diberikan oleh P = 100 000e0.06 . Apakah kadar pertumbuhan?

A. 1% B. 2% C. 3% D. 6%



86

Faedah kompaun

Fungsi eksponen

Fungsi logaritma

Pertumbuhan

Pelupusan


PENGENALAN

Dalam topik ini, anda akan didedahkan kepada proses mendapatkan terbitan untuk fungsi yang boleh dibezakan. Proses mendapatkan terbitan ini dikenali sebagai pembezaan. Pembezaan sebuah fungsi dengan menggunakan takrif terbitan secara langsung adalah agak menyukarkan, iaitu dengan mengaplikasikan takrifan terhad. Oleh itu, satu set syarat pembezaan telah diterbitkan daripada kaedah terhad ini untuk memudahkan proses ini. Syarat-syarat tersebut merupakan satu prosedur yang agak mekanikal dan berkesan bagi pembezaan. Walau bagaimanapun, bagi yang berminat dalam membuktikan syarat ini bolehlah merujuk kepada buku Calculus.

TTooppiikk

55

Pembezaan

HASIL PEMBELAJARAN


1. Memperkembangkan syarat pembezaan am, iaitu formula bagiterbitan sebuah xn; sebuah fungsi pemalar masa dan jumlah; danperbezaan fungsi;

2. Mendapatkan terbitan dengan mengaplikasikan produk dan kaedahhasil bahagi;

3. Mengaplikasikan petua rantai; dan

4. Menerbitkan kaedah penguasaan sebagai kes khas dalam petuarantai.


TOPIK 5 PEMBEZAAN

88

Tatatanda yang biasa digunakan untuk menandakan pembezaan sebuah fungsi

berkaitan dengan pemalar x ialah ( )f x′ dan disebut sebagai f prime x dan dydx

(disebut sebagai „dee y, dee x‰).

Jika ( )f x′ boleh dicari, f dikatakan boleh dibezakan dan ( )f x′ dikenali sebagai terbitan fungsi f yang berkaitan dengan pemalar x atau pembezaan f ke atas x.

KAEDAH PEMALAR

Syarat I: Kaedah Pemalar

Contoh:

(a) Jika f (x) = 15, maka f ′(x) = 0.

(b) Jika g (x) = −1.4, maka g ′ (x) = 0.

(c) Jika y = 03x , maka 0dyydx

′ = = , kerana 0x = 1.

(d) Jika y = 5e , maka y ′ = 0, apabila 5e adalah pemalar .

(e) Jika y = log 7, maka y ′ = 0.

KAEDAH PENGUASAAN

Syarat II: Kaedah Penguasaan

Contoh:

(a) Jika f (x) = 6x , maka

dydx

= 6 16x

= 56 x

Jika f (x) = nx , di mana n adalah pemalar, maka f ′(x) = n 1nx

5.2

Jika f (x) = c, di mana c adalah malar, maka f ′(x) = 0.

5.1


TOPIK 5 PEMBEZAAN 89

(b) Jika ( ) ( )35

35

1 , then−

= =h w h w ww

Maka, ( )3 153

5h w w

− −′ = −

853

5w

−= −

(c) Jika 3 4y x= , then 43dy x

d x⎛ ⎞′ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

4 13

13

4343

x

x

−=

=

KAEDAH PEMALAR MENDARAB FUNGSI

Syarat III: Kaedah Pemalar Mendarab Fungsi

Contoh:

Katakan y = 49x maka ( )49d y d xd x d x

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )

4 1

3

3

9 4

9 4

36

x

x

x

−=

=

=

Jika f (x) = ( ( ))c g x , di mana c adalah sebuah pemalar dan g ′(x) wujud,

maka f ′(x) = c(g ′ (x))

5.3


TOPIK 5 PEMBEZAAN

90

Contoh:

Diberi ( ) 34f x x= . Cari f ′(x). Penyelesaian: Tukarkan f (x) ke dalam bentuk eksponen atau penguasaan

( ) ( )1

3 2

32

4

4

f x x

x

=

=

Maka

( )3 12

12

32

12

4

342

342

6 or 6

df x xdx

x

x

x x

−

⎛ ⎞′ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

KAEDAH PENJUMLAHAN DAN PERBEZAAN FUNGSI

Syarat IV: Kaedah Penjumlahan dan Perbezaan Fungsi

(a) Jika f (x) = g(x) + h(x), di mana g ′(x) dan h ′(x) wujud, maka f ′(x) = g ′(x) + h ′(x)

(b) Jika f (x) = g(x) )(xh− , di mana g ′(x) dan h ′(x) wujud, maka f ′(x) = g ′(x) - h ′(x)

5.4



Contoh: (a) Katakan f (x) = 3x 2 + 5. Mengikut Syarat IV f (x) = g(x) + h(x), di mana g(x)

= 23x dan h(x) = 5.

f ′(x) = 2 13 (2 ) + 0x = 6x (b) Katakan f (x) = 510 6x x . Mengikut Syarat IV, f (x) = g(x) h(x), di mana

g(x) = 510x dan h(x) = 6x. Maka;

5 1 1 1

4 0

4

' ( ) = 1 0 (5 x ) 6 (1 x )

= 1 0 (5 x ) 6 ( )

= 5 0 6

f x

x

x

(c) Katakan f (x) = 4 3 25 8 + 3 + 12x x x x .

Pembezaan dilakukan pada setiap pernyataan f (x).

4–1 3–1 2–1

3 2

'( ) = 5(4 ) – 8(3 ) + 3(2 ) – 1 + 0= 20 – 24 + 6 – 1

f x x x xx x x

Contoh:

Diberikan ( )( )45 3

2x

f x−

= . Cari f ′(x).

Penyelesaian: Permudahkan f (x):

( )4

4

4

5 152

5 152 2

5 152 2

xf x

x

x

−=

= −

= −


TOPIK 5 PEMBEZAAN

92

Maka, ( )45 15

2 2d x df xdx dx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( )4 1

3

3

5 4 0220

210

x

x

x

−= −

=

=

Contoh:

Diberi ( )37

2x xf x

x+

= . Cari f ′(x).

Penyelesaian:

Tukarkan f (x) dengan menulisnya dalam bentuk eksponen atau penguasaan.

( )3

12

3

1 12 2

1 13 12 2

5 12 2

7

27

2 27 12 27 12 2

x xf xx

x x

x x

x x

x x

− −

+=

= +

= +

= +

Maka, ( )5 11 12 27 5 1 1

2 2 2 2f x x x

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 12 235 1

4 4x x

−= +

Contoh:

Katakan ( ) ( )3

25 7 1f x x x x= + + . Cari f ′(x).



Penyelesaian: Kembangkan f (x) dengan mengaplikasikan syarat eksponen.

( )

( )

13 8 35 5 5

13 8 31 1 15 5 5

8 3 25 5 5

8 3 25 5 5

7

13 8 375 5 5

13 56 35 5 5

13 56 35

f x x x x

f x x x x

x x x

x x x

− − −

−

−

= + +

⎛ ⎞′ = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + +

+ +=

KAEDAH PRODUK

Syarat V: Kaedah Produk

Contoh: Jika f (x) = 22 (3 2).x x Tentukan terbitan bagi f (x). Penyelesaian: Katakan g(x) = 2x dan h(x) = 2 (3 – 2)x .

Maka g′(x) = 2 dan h′(x) = 6x

Maka f ′(x) 2

= (3 – 2)(2) + 2 (6 )x x x

2 2

= 6 – 4 + 12 x x

2

= 18 – 4x

Jika ( ) ( ) ( ),f x g x h x= di mana ( )g' x dan ( )h' x wujud,

maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x h x g x g x h x′ ′ ′= +

5.5


TOPIK 5 PEMBEZAAN

94

Contoh: Jika f (x) = (x + 3)( 24x + 2x). Tentukan terbitan bagi f (x). Penyelesaian: Katakan g(x) = x + 3 dan h (x) = 24x + 2x, maka

g Ê (x) = 1 dan hÊ (x) = 8x + 2

Maka fÊ(x) = (2

4x + 2x)(1) + (x + 3)(8x + 2)

= 2

4x + 2x + 28x + 24x + 2x + 6

= 2

12x + 28x + 6 Contoh:

Diberi 2s ( ) = (8 7 )( - 2)t t t . Tentukan s'( )t . Penyelesaian:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

2 2

2

2 2

2

8 7 2 2 8 7

8 7 2 2 7

16 14 7 1421 16 14

d ds t t t t tdx dx

t t t

t t tt t

′ = − − + − −

= − + − −

= − − +

= − + +

Contoh:

Diberi y = ( 2x + 3x 2)( 22x x 3) Penyelesaian:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2

3 2 2 3 2 2

3 2 3 2

3 2

3 2 2 3 2 3 3 2

3 2 4 1 2 3 2 3

4 12 3 8 2 4 6 2 3 6 9

4 11 11 2 4 4 9 9

8 15 20 7

dy d dx x x x x x x xdx dx dx

x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x

x x x

= + − − − + − − + −

= + − − + − − +

= − + − − + + + − − − −

= + − + + + − −

= + − −



KAEDAH HASIL BAHAGI

Syarat VI: Kaedah Hasil Bahagi

Contoh:

Diberi ( )1

xf xx

=−

Penyelesaian:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( )

( )( )( )

( )

2

2

2

2

1 1

1

1 1 1

1

1

111

d dx x x xdx dxf x

x

x x

x

x x

x

x

− − −′ =

−

− −=

−

− −=

−

−=

−

Contoh:

2 34 1

xyx−

=+

Jika ( ) ( )( )

g xy f x

h x= = , di mana g′(x) dan h′(x) wujud, maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2

h x g x g x h xf x

h x

′ ′−′ =⎡ ⎤⎣ ⎦

5.6


TOPIK 5 PEMBEZAAN

96

Penyelesaian:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

4 1 2 3 2 3 4 1

4 1

4 1 2 2 3 4

4 18 2 8 12

4 114

4 1

d dx x x xdy dx dxdx x

x x

xx x

x

x

+ − − − +=

+

+ − −=

+

+ − +=

+

=+

Contoh:

2

2

8 2 15

x xyx x− +

=−

Penyelesaian:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

( )

( )

2

2

2 2 2 2

22

2 2

22

3 2 2 3 2 2

22

3 2 3 2

22

2

22

8 2 15

5 8 2 1 8 2 1 5

5

5 16 2 8 2 1 2 5

5

16 2 80 10 16 40 4 10 2 5

5

16 82 10 16 44 12 5

5

38 2 5

5

dy x xdx x x

d dx x x x x x x xdx dx

x x

x x x x x x

x x

x x x x x x x x x

x x

x x x x x x

x x

x x

x x

− +=

−

− − + − − + −=

−

− − − − + −=

−

− − + − − − + + −=

−

− + − + − +=

−

− − +=

−



PETUA RANTAI

Syarat VII: Petua Rantai

Contoh:

Diberi y = 4(1 + )x . Tentukan dydx

.

Penyelesaian:

Langkah 1: Perkenalkan satu pemboleh ubah baru, u, supaya dydu

dan

dudx

adalah senang untuk dikira.

Katakan u = 1 + x, maka y = 4u

Langkah 2: Kira dydu

dan dudx

.

Apabila u = 1 + x, dan y = 4u ,

Maka dudx

= 1 dan dydu

= 34u

Langkah 3: Gunakan petua rantai untuk mengira dydx

.

( )

( )3

3

4 1

4

dy dy duy xdx du dx

u

u

⎛ ⎞⎛ ⎞′ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠=

=

Langkah 4: Kira dydx

ke dalam pernyataan x.

Gantikan u = 1 + x ke dalam dydx

, berikan

dydx

= 4(1 + x) 3.

Jika y = f(u), di mana u = g(x), maka ( ) dy dy duy xdx du dx

⎛ ⎞⎛ ⎞′ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

5.7


TOPIK 5 PEMBEZAAN

98

Contoh:

Tentukan dydx

, diberi y = (3 + 3x )4.

Penyelesaian:

(a) Katakan u = (3 + 3 ),x maka y = 4u

(b) Kemudian dudx

= 23x dan dydu

= 34u

(c) Dengan menggunakan petua rantai: dy dy dudx du dx

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 4u3 ( 23x )

(d) Gantikan u = (3 + 3x ) ke dalam dydx

.

( ) ( )

( )

33 2

32 3

4 3 3

12 3

dy x xdx

x x

= +

= +

Contoh:

Diberi ( )3

2 22 1y x= + , tentukan yÊ (x).

Penyelesaian:

(a) Katakan u = ( 22x + 1), maka ( )32y u=

(b) Kemudian dudx

= 4x dan 123

2dy udu

=

(c) Dengan menggunakan petua rantai: dy dy dudx du dx

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( )123 4

2u x=



(d) Gantikan u = ( 22x + 1) ke dalam dydx

.

( ) ( )

( )

12 2

12 2

3 2 1 42

6 2 1

dy x xdx

x x

= +

= +

KAEDAH PENGUASAAN (KES KHAS PETUA RANTAI)

Syarat VIII: Kaedah Penguasaan (Kes Khas Petua Rantai)

Contoh:

Diberi y = (3x + 4)7. Cari y′(x). Penyelesaian: Katakan g(x) = 3x + 4, maka g′(x) = 3 dan n = 7.

Maka y′(x) = 7(3x + 4)7 1(3)

= 21(3x + 4)6

Contoh: Diberi 4 5 = (13 – )xy . Cari ' ( )y x .

Penyelesaiaan: Katakan g(x) = (13 4x ), maka g′(x) = 34x dan n = 5.

Maka y′(x) = 5(13 4 5 1)x ( 34 )x

= 20 3x (13 4 4)x

Jika ( ) ny g x= ⎡ ⎤⎣ ⎦ , maka ( ) ( )1n

y n g x g x−′ ′= ⎡ ⎤⎣ ⎦ .

5.8


TOPIK 5 PEMBEZAAN

100

Contoh: Bezakan fungsi 2 1/23 = ( 2 + 1) . xy x Penyelesaian:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 12 22

12 2

12 2

1 3 2 1 3 2 121 3 2 1 6 22

3 2 1 3 1

dy dx x x xdx dx

x x x

x x x

−

−

−

= − + − +

= − + −

= − + −

Contoh:

Bezakan fungsi ( )32 23

3xf xx+⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

Penyelesaian:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

3 1

2

2

2 2 2 233 3

3 2 2 2 2 32 233 3

x d xf xx dx x

d dx x x xx dx dxx x

−+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞+ + − + +⎜ ⎟+⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( ) ( )( )( )

2

2

3 2 2 2 12 233 3

x xxx x

⎛ ⎞+ − ++⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ +⎝ ⎠

( )

( )

2

2

2

2

2 2 2 6 2 233 3

2 2 433 3

x x xx x

xx x

⎛ ⎞+ + − −⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ +⎝ ⎠⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ +⎝ ⎠



LATIHAN 5.1

Dapatkan pembezaan darjah pertama bagi fungsi yang berikut: (a) f (x) = 15 (b) 0( ) = 5f x x

(c) y = 36e (d) y = −81n 2

(e) y = 3 4 ( )x x (f) 5( ) = h s x

(g) 23( )p r r

−= (h) 3

5

1( )s tt

=

(i) 54y x= (j) 5y x=

(k) 8 24y x= (l) 435)( 2 −+=x

xxf

(m) f (x) = 3x + 7 (n) ( ) 24xf x = −

(o) y = 2x + 4x + 8 (p) 45( 3)( )2

xf x −=

(q) 34 7 4( ) x xf x

x+ −

= (r) 4= (1 + ) (1 2 )y x x

(s) y = (2x 1) (x + 1)4 (t) 2

12

xyx+

=+

(u) 3

2

4 11

xyx

+=

+ (v) 2= (2 1)y x

(w) y = ( 2x + 4)5 (x) 123 2 +−= xxy

(y) 2( ) 5f x x x= − (z) 32 2( )

3xf xx+⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠


TOPIK 5 PEMBEZAAN

102


1. Jika 4( ) 5 ,f x x x= + maka (1)′f ialah A. 0 B. 4 C. 5 D. 9

2. Jika 4 2( ) 3 ,g x xx

= + maka ( )′ =g x

A. 3 + x B. 3

3 23x x−

−

C. 12x − x D. 3

3 212x x−

−

3. Jika 58(9 3 )

5xy −

= , maka ′y =

A. 424(9 3 )x− − B. 58(9 3 )

25x−

−

C. 58(9 3 )

25x−

D. 424(9 3 )x−

4. Jika2

2

3 2xyx−

= , maka ′y =

A. 2

3 2x

− B. 3

6x

− C. 3

4x

− D. 4

3 4xx−

5. Diberi 35 8,y x x= − + maka (2) (1)y y′′ ′− .

A. 14 B. 34 C. 46 D. 60



Anda harus memahami dan menguasai syarat-syarat pembezaan berikut:

• Jika f (x) = c, di mana c adalah sebuah pemalar, maka f ′(x) = 0.

• Jika f (x) = nx , di mana n adalah sebuah pemalar, maka f ′(x) = 1 nnx

• Jika f (x) = ( ( ))c g x , di mana c adalah sebuah pemalar dan g′(x) wujud, maka

f ′(x) = c(g′(x))

• Jika f (x) = g(x) ± h(x), di mana g′(x) dan h′(x) wujud, maka f ′(x) = g′(x) ± h′(x)

• Jika f (x) = g(x) h(x), di mana g′(x) dan h′(x) wujud, maka f ′(x) = h(x) g′(x) + g(x) h′(x)

• Jika ( ) ( )( )

g xy f x

h x= = , di mana g′(x) dan h′(x) wujud,

maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2

h x g x g x h xf x

h x

′ ′−′ =⎡ ⎤⎣ ⎦

• Jika y = f (u), di mana u = g(x), maka ( ) dy dy duy xdx du dx

⎛ ⎞⎛ ⎞′ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

• Jika ( ) ny g x= ⎡ ⎤⎣ ⎦ , maka ( ) ( )1n

y n g x g x−′ ′= ⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Kaedah hasil bahagi

Kaedah pemalar

Kaedah pemalar mendarab fungsi

Kaedah penguasaan

Kaedah penjumlahan

Kaedah produk

Pembezaan fungsi

Petua rantai


PENGENALAN

Terbitan atau pembezaan sebuah fungsi ditandakan dengan y = ( )f x :

yÊ = )(' xf = dydx

adalah fungsi pembezaan x darjah pertama

Apabila pembezaan dijalankan ke atas y', maka:

( )( )

( )

2

2

d yy f xdx

′′ ′′= = adalah terbitan kedua fungsi x yang dibaca sebagai „f prime

kedua x‰.

TTooppiikk

66

Aplikasi Pembezaan

HASIL PEMBELAJARAN


1. Mengaplikasikan syarat pembezaan apabila mendapatkan terbitandarjah tinggi daripada pelbagai fungsi;

2. Menyelesaikan fungsi jumlah kos, jumlah hasil dan jumlahkeuntungan dalam bidang ekonomi dan perniagaan;

3. Mengira fungsi purata jumlah kos, jumlah hasil dan jumlahkeuntungan dalam bidang ekonomi dan perniagaan;

4. Mendapatkan fungsi marginal atau muktamad jumlah kos, jumlahhasil, jumlah keuntungan dalam dunia ekonomi dan perniagaan; dan

5. Meminimumkan jumlah kos fungsi apabila memaksimumkan jumlahhasil dan jumlah keuntungan dengan menggunakan pembezaan.


TOPIK 6 APLIKASI PEMBEZAAN 105

Hal yang sama bila pembezaan dijalankan ke atas y‰, terbitan ketiga adalah

( )( )

( )

3

3

d yy f xdx

′′′ ′′′= = yang merupakan pembezaan darjah ketiga x.

Dan seterusnya, bagi mendapatkan terbitan tahap tinggi ialah pembezaan x darjah ke n;

( )( )

( )

nn n

n

d yy f xdx

= =

Pemahaman menyeluruh dan kebolehan dalam mengaplikasikan syarat pembezaan bersama dengan pengetahuan mengenai fungsi tuntutan dan bekalan akan membantu pelajar memahami aplikasi pembezaan. Anda diharapkan dapat menghargai aplikasi pembezaan dalam bidang ekonomi dan perniagaan yang melibatkan pengiraan fungsi jumlah kos, jumlah hasil dan jumlah keuntungan. Kaedah pembezaan akan menentukan bagaimana untuk meminimumkan fungsi jumlah kos manakala fungsi jumlah hasil dan fungsi jumlah keuntungan dimaksimumkan.

PEMBEZAAN DARJAH KEDUA DAN KETIGA

Topik ini meliputi pembezaan darjah ketiga sahaja. Aplikasi syarat pembezaan berulang kali akan menyokong proses mendapatkan tahap atau darjah pembezaan yang dikehendaki. Contoh:

Diberi y = 34x − 212 x + 6x + 2. Terbitkan y′′ . Penyelesaian:

( ) ( )

( ) ( )

24 3 12 2 6

212 24 612 2 24 124 24

′ = − +

= − +′′ = −

= −

y x x

x xy x

x

6.1


TOPIK 6 APLIKASI PEMBEZAAN

106

Contoh:

Tentukan ( )

( )

31 2

3 diberi 2 1d y y x xdx

−= + +

Penyelesaian:

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2

2

23

2

3

34

3

4

2 1 2

2 2

2 2 2

4 2

4 3

12

dy x xdx

x x

d y xdx

x

d y xdx

x

−

−

−

−

−

−

= − +

= − +

= − − +

= +

= −

= −

FUNGSI JUMLAH KOS (C)

Fungsi jumlah kos diperlukan bagi menghasilkan x unit produk. Kesimpulannnya, kos merupakan perkara yang penting diperlukan dalam menjalankan sebuah perniagaan.

6.2

1. Dapatkan pembezaan darjah kedua bagi fungsi yang diberi:

(a) 3 24 12 6 2y x x x= − + + (b) 2

2yx

=

2. Dapatkan pembezaan darjah ketiga bagi fungsi yang berikut:

(a) 24y x= (b) 3 24 12 6 24y x x x= − + +

(c) 1 22 1y x x−= + +

LATIHAN 6.1



Terdapat dua jenis kos: (a) Kos Tetap: Kos yang tidak berubah, iaitu rata walaupun

bilangan unit produk yang dihasilkan berubah. Contohnya, sewa bulanan bangunan.

(b) Kos Boleh Ubah : Kos yang bergantung kepada bilangan unit produk

yang dihasilkan. Contohnya, bahan mentah dan pekerja sementara.

Secara amnya, fungsi bagi kos boleh ditulis sebagai:

Contoh:

Jika kos pengeluaran bagi satu unit alat mainan kanak-kanak adalah RM 5, manakala kos tetap adalah RM 7,000,

(a) Tentukan fungsi kos.

(b) Apakah jumlah kos bagi menghasilkan lebih daripada 100 unit alat mainan berkenaan?

Penyelesaian:

(a) Fungsi kos, C (x) = Kos Tetap + x (Kos Seunit) = 7000 + 5x

(b) Apabila x = 100, C (x) = 7000 + 5(100)

= 7000 + 500 = 7500

Maka, jumlah kos bagi menghasilkan 100 ialah RM 7,500.

6.2.1 Fungsi Purata Jumlah Kos (C )

Fungsi purata jumlah kos, ( )C x adalah jumlah kos bagi menghasilkan satu unit produk.

C (x) = Kos Tetap + Kos Boleh Ubah = Kos Tetap + (Bilangan Unit) x (Kos Seunit)



108

Contoh:

Diberi fungsi jumlah kos, C (q) = 2q + 40. Apakah fungsi purata jumlah kos?

Penyelesaian:

Fungsi purata jumlah kos, ( ) ( )C qC q

q=

2 40

402

qq

q

+=

= +

6.2.2 Fungsi Jumlah Kos Marginal atau Muktamad (C')

Dalam perniagaan, kadar pertukaran sebuah fungsi dikenali sebagai fungsi marginal. Fungsi jumlah kos marginal atau muktamad, ditandakan dengan C ′(x), adalah kadar pertukaran bagi fungsi jumlah kos melebihi kuantiti. Contoh:

Diberikan fungsi purata kos, ( ) 1 310

C x xx

= +

(a) Apakah fungsi jumlah kos?

(b) Apakah fungsi jumlah kos muktamad?

(c) Dapatkan kadar perubahan bagi kos (menganggarkan kos dalam RM) apabila 4 unit produk dihasilkan.

( ) ( )C xC x

x=



Penyelesaian:

(a) Fungsi jumlah kos, ( ) ( )( )C x C x x=

( )

2

1 3101 3

10

x xx

x

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

= +

(b) Kos muktamad, ( ) ( )1 2 010

C x x′ = +

15

x=

(c) Kadar perubahan kos bagi kos muktamad, C '(x).

Jika empat unit dihasilkan iaiatu x = 4, maka 1'(4) (4)545

=

=

C

Maka, kadar perubahan kos apabila 4 unit produk dihasilkan adalah RM 0.80 seunit.

6.2.3 Meminimumkan Jumlah Kos

Dalam bidang perniagaan dan ekonomi, kos biasanya dikurangkan (diminimumkan) bagi mendapatkan hasil pengeluaran dan jumlah keuntungan ditingkatkan (dimaksimakan)

Langkah bagi meminimumkan fungsi kos, C (x):

1. Dapatkan C '(x) dan ( )C x′′

2. Katakan C '(x) = 0 dan selesaikan bagi x. Katakan x = a dan a haruslah positif.

3. Jika ( ) 0C a′′ > , maka x = a adalah kuantiti atau tahap pengeluaran yang meminimumkan kos.



110

Contoh:

Jika 2 ( ) = 0.01 + 5 + 100C q q q adalah fungsi kos.

(a) Dapatkan fungsi purata kos.

(b) Tentukan tahap pengeluaran, q yang meminimumkan purata kos.

(c) Apakah nilai minimum bagi purata kos? Penyelesaian:

(a) Fungsi purata kos, ( ) ( )C qC q

q=

20.01 5 100

1000.01 5

q qq

qq

+ +=

= + +

(b) (i) Cari ( )C q′ dan ( )C q′′ .

( ) 20.01 100dCC q qdq

−′ = = −

( )

23

2

3

200

200

d CC q qdq

q

−′′ = =

=

and

(ii) Apabila 0dCdq

=

2

2

2

1000.01 0

100 0.01

10000100

q

qqq

− =

=

==

(iii) Bolehkah q = 100 meminimumkan kos?

2

2 3

200d Cdq q

= , apabila q = 100, 2

2 3

200 0100

d Cdq

= >



Maka 2

2 0d Cdq

> , oleh itu, ( )C x akan mempunyai nilai minimum apabila q

= 100.

(c) Apabila q = 100, ( ) 1000.01 5C q qq

= + +

( ) ( ) 100100 0.01 100 5100

7

C = + +

=

LATIHAN 6.2

1. Jika kos pengeluaran bagi seunit produk adalah RM 10, manakala kos tetap RM5,000.

(a) Cari fungsi kos.

(b) Apakah jumlah kos bagi menghasilkan lebih daripada 200 unit produk.

(c) Terbitkan fungsi purata kos.

(d) Tentukan fungsi muktamad jumlah kos.

2. Katakan fungsi purata jumlah kos adalah ( ) 100000 1500 0.2= + +C q qq

(a) Dapatkan fungsi jumlah kos.

(b) Terbitkan fungsi marginal jumlah kos.

(c) Tentukan kadar perubahan kos bagi menghasilkan 10 unit produk.



112

FUNGSI JUMLAH HASIL (R )

Fungsi jumlah hasil, R(x) adalah hasil yang diterima daripada pengeluaran dan penjualan x unit produk tersebut. Jika p adalah harga unit dan x adalah kuantiti produk, maka

Fungsi Jumlah Hasil, R(x) = Harga x Kuantiti = px

6.3

3. Diberi fungsi jumlah kos ialah ( )2

3 4004qC q q= + +

(a) Cari fungsi purata kos. (b) Terbitkan fungsi muktamad jumlah kos.

(c) Apakah kuantiti yang perlu dihasilkan supaya purata jumlah kos dikurangkan?

4. Elyna Trading membekalkan pakaian sukan kepada pasaraya di utara

Semenanjung. Kos tahunan syarikat ini dihasilkan melalui fungsi 15 0.15 200C qq

= + + , di mana q adalah kuantiti (dalam dozen) dan C

adalah jumlah kos setahun (dalam ringgit Malaysia).

(a) Apakah kuantiti yang akan mengkurangkan jumlah kos?

(b) Apakah jumlah kos minimum?

5. Jumlah kos pengeluaran sebuah produk kosmetik adalah 22500 75 0.25C q q= + +

(a) Cari fungsi purata jumlah kos. (b) Apakah kuantiti yang perlu dihasilkan supaya purata jumlah

kos dikurangkan? (c) Apakah jumlah kos pada tahap pengeluran yang

mengurangkan purata jumlah kos?



6.3.1 Fungsi Purata Jumlah Hasil (R )

Fungsi purata jumlah hasil, ( )R x adalah hasil yang diterima daripada jualan satu

unit produk iaitu R xR x

x .

6.3.2 Fungsi Jumlah Hasil Marginal atau Muktamad (R' )

Fungsi jumlah hasil muktamad adalah kadar perubahan jumlah hasil melebihi kuantiti sebuah produk:

Contoh:

Fungsi tuntutan sebah produk yang diberi oleh p = 200q + 500.

(a) Apakah fungsi jumlah hasil?

(b) Tentukan fungsi jumlah kos muktamad.

Penyelesaian:

(a) Fungsi jumlah hasil, R(x) = Kuantiti Harga = qp = q (200q + 500) = 200q2 + 500q (b) Fungsi jumlah hasil muktamad, R(x) = 200q2 + 500q R Ê(x) = 400q + 500

Fungsi Jumlah Hasil Muktamad = R’(x)

Apakah definisi bagi „muktamad‰ dan „marginal‰? Apakah kepentingan dua istilah ini?

SEMAK KENDIRI 6.1



114

6.3.3 Memaksimumkan Fungsi Hasil

Dalam bidang ekonomi dan perniagaan, jumlah hasil biasanya dimaksimakan bagi mencapai keuntungan maksimum.

Contoh:

Fungsi tuntutan produk yang diberi ialah ( ) 804

qp q −= .

(a) Tentukan kuantiti yang memaksimakan jumlah hasil.

(b) Dapatkan harga yang memaksimakan jumlah hasil.

Penyelesaian:

(a) Fungsi jumlah hasil, R(q) = Kuantiti × Harga

( )

2

804

204

q p

qq

qq

=

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

Bagi memaksimakan jumlah hasil, fungsi jumlah hasil muktamad perlulah

kosong dan ( ) 0R q′′ < .

Fungsi jumlah hasil muktamad, ( ) 202qR q′ = − and ( ) 1

2R q′′ = −

Apabila RÊ(q) = 0, maka 20 02q

− =

20

240

q

q

− = −

=

Langkah bagi memaksimakan fungsi hasil, R(x):

1. Cari RÊ(x) dan RÊÊ(x)

2. Katakan RÊ(x) = 0 dan selesaikan bagi x. Katakan x = b dan b haruslah positif.

3. Jika ( ) 0R b′′ < , maka x = b adalah kuantiti atau tahap pengeluaran yang memaksimakan hasil.



Bolehkah nilai q = 40 memaksimumkan hasil? Gantikan q = 40 ke dalam ( )R q′′ .

Jikalau ( ) 12

R q′′ = − , maka ( ) 140 02

R′′ = − < .

Oleh itu, q = 40 adalah kuantiti yang memaksimumkan jumlah hasil.

(b) Diberi ( ) 804

qp q −= . Apabila kuantiti ialah q = 40,

( ) 80 40404

10

p −=

=

Maka, harga perlu ditetapkan pada RM 10 bagi memaksimakan hasil. Contoh: Sebuah kajian telah dijalankan bagi menentukan cukai import bagi sebuah unit barang elektronik buatan luar negara. Tuntutan bagi item berkenaan diberi dengan fungsi D(t) = 8000 20t, di mana D menandakan kuantiti tuntutan (dalam ratusan unit) dan t mewakili cukai import (dalam unit RM)

(a) Tentukan fungsi hasil bagi cukai, R(t).

(b) Kirakan cukai import yang perlu dikenakan bagi memaksimakan hasil cukai.

(c) Apakah hasil cukai maksimum?

(d) Dapatkan kuantiti item barang elektronik yang diperlukan pada tahap cukai untuk memaksimakan hasilnya.

Penyelesaian:

(a) ( ) ( )( )R t D t= (8000 20t)t= − 2 8000 – 20t t=

(b) 2( ) = 8000 – 20R t t t

8000 40dR tdt

= −

Apabila 0dRdt

= , maka 8000 40t = 0

40t = 8000 t = 200

( )R t′′ = 40



116

Apabila t = 200, (200) 0R′′ < maka jumlah cukai import yang perlu dikenakan untuk memaksimakan cukai hasil.

(c) ( )R a = 28000 – 20t t

= 28000(200) – 20(200)

= 1600000 – 800000

= 800000

Maka, cukai hasil maksimum adalah RM800,000. (d) ( ) = 8000 – 20D t t = 8000 – 20(200) = 4,000

Bagi mencapai tahap cukai yang memaksimakan hasil, 4,000 unit elektronik perlu diimport.

1. Fungsi tuntutan sebuah produk kesihatan diberikan oleh fungsi 2 = 0.001 + 840.p q

(a) Dapatkan fungsi jumlah hasil.

(b) Terbitkan fungsi purata jumlah hasil.

(c) Tentukan fungsi jumlah hasil marginal. 2. Diberi jumlah fungsi tuntutan, p (x) = 2 0.01 p, di mana p adalah

harga unit dalam beribu ringgit dan x adalah kuantiti item tersebut.

(a) Cari fungsi jumlah hasil.

(b) Tentukan harga yang memaksimakan jumlah hasil. 3. Diberi fungsi jumlah hasil, p (x) = 2 0.01 p, di mana p adalah harga

unit dalam RM.

(a) Tentukan harga yang akan memaksimakan jumlah hasil. (b) Kirakan jumlah hasil maksimum.

LATIHAN 6.3



FUNGSI JUMLAH KEUNTUNGAN (Π)

Fungsi jumlah keuntungan atau kerugian, Π(x), diperolehi daripada pengeluaran sebuah unit produk. Secara amnya:

Contoh: Fungsi tuntutan bagi item alat ganti kenderaan untuk ATSAS Enterpris diberikan oleh p = 400 2q dan purata jumlah kos seunit bagi mengeluarkan item

berkenaan diberikan oleh fungsi ( ) 2000160C q qq

= + + . Tentukan fungsi jumlah

keuntungan bagi ATSAS Enterprise. Penyelesaian:

Diberi p = 400 2q dan ( ) 2000160C q qq

= + +

Fungsi jumlah kos, ( ) ( )C q C q q⎡ ⎤= ⎣ ⎦

2

2000160

160 2000

q qq

q q

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + +

Jumlah Keuntungan = Jumlah Hasil Jumlah Kos

= ( ) – ( )R q C q = – ( )pq C q

= 2(400– 2 ) – ( 160 2000)q q q q+ +

= 2–3 + 240 – 2000q q

Π = Fungsi Jumlah Hasil Fungsi Jumlah Kos = R(x) C (x)

6.4



118

6.4.1 Fungsi Purata Jumlah Keuntungan (∏ )

Purata jumlah keuntungan adalah keuntungan yang diperolehi daripada pengeluaran sebuah seunit produk.

Contoh: Diberi fungsi tuntutan bagi produk adalah ( ) 8 – 0.025p x x= dan jumlah kos dan fungsi jumlah kos adalah ( ) 500 7 .C x x= + Cari

(a) Fungsi jumlah hasil;

(b) Fungsi jumlah keuntungan; dan

(c) Fungsi bagi purata jumlah kos, purata jumlah hasil dan purata jumlah keuntungan.

Penyelesaian: (a) Fungsi jumlah hasil, ( ) = ( )R x xp x = (8 – 0.025 )x x

2= 8 – 0.025x x

(b) Fungsi jumlah keuntungan, ( ) ( ) ( )x R x C x∏ = −

( ) ( )2

2

8 0.025 500 7

0.025 500

x x x

x x

= − − +

= − + −

(c) Fungsi purata jumlah kos, ( ) ( )C xC x

x=

500 7

500 7

xx

x

+=

= +

Purata jumlah hasil, ( ) ( )R xR x

x=

( ) ( )xx

x∏

∏ =



28 0.025

8 0.025

x xx

x

−=

= −

Fungsi tuntutan juga adalah fungsi purata jumlah hasil.

Purata jumlah keuntungan, ( ) ( )xx

x∏

∏ =

20.025 500

5000.025 1

x xx

xx

− + −=

= − + −

6.4.2 Fungsi Jumlah Keuntungan Muktamad (Π’)

Fungsi jumlah keuntungan muktamad adalah kadar perubahan jumlah keuntungan melebihi kuantiti sebuah produk.

Contoh: Katakan fungsi jumlah kos adalah, 2( ) = 0.05 – 3 + 500C x x x dan fungsi bagi

jumlah hasil adalah 2( ) = 3 0.01R x x x . Dapatkan:

(a) Fungsi jumlah keuntungan; dan

(b) Fungsi bagi purata jumlah kos, purata jumlah hasil dan purata jumlah keuntungan.

Penyelesaian: (a) Fungsi jumlah keuntungan, Π(x) = ( ) – ( )R x C x

= 2 2(3 – 0.01 ) – (0.05 – 3 + 500)x x x x

= 2– 0.06 + 6 – 500x x (b) Fungsi jumlah kos muktamad, C ' (x) = 0.05(2x) 3 = 0.10x 3

Fungsi jumlah hasil muktamad, R '(x) = 3 0.01(2x) = 3 0.02x

( ) ( ) ( )x R x C x′ ′ ′∏ = −



120

Fungsi jumlah keuntungan muktamad, Π '(x)

= 0.06(2x) + 6 = 0.12x + 6

Atau

Π '(x) = R '(x) C '(x) = (3 0.02x) (0.10x 3) = 0.12x + 6

6.4.3 Memaksimakan Jumlah Keuntungan

Seperti yang kita ketahui, tujuan utama menjalankan sebuah perniagaan atau apa jua aktiviti ekonomi adalah untuk mendapatkan keuntungan maksimum.

Contoh: Persamaan tuntutan bagi sebuah agensi pelancongan adalah p = 40 2q dan

fungsinya bagi purata kos yang diberikan ialah ( ) 1004C qq

= + .

(a) Tentukan fungsi jumlah hasil, R(q).

(b) Tentukan fungsi jumlah kos, C (q).

(c) Tentukan fungsi jumlah keuntungan, Π(q).

(d) Kirakan harga yang akan memaksimakan keuntungan. Tunjukkan keuntungan itu dimaksimumkan.

Langkah bagi memaksimakan keuntungan:

1. Cari ( )x′∏ dan ( )x′′∏ .

2. Katakan ( )x′∏ = 0 dan selesaikan bagi x. Katakan x = c dan c haruslah positif.

3. Jika ( ) 0c′′∏ < , maka x = c adalah kuantiti atau tahap pengeluaran yang akan memaksimakan keuntungan.



Penyelesaian:

(a) R(q) = pq = (40 – 2 ) q q

= 240 – 2q q

(b) ( ) ( )C qC q

q= => ( ) ( )[ ]C q q C q=

1004

4 100

qq

q

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠= +

(c) Π(q) = ( ) – ( )R q C q

= 240 – 2 – (4 + 100)q q q

= 2– 2 + 36 – 100q q

(d) 4 36d qdq∏ = − +

Apabila 0ddq∏ =

4q + 36 = 0 4q = 36 q = 9

Apabila q = 9, 2

2 4 0.ddq∏

= − <

Gantikan q = 9 ke dalam p, (9) = 40 – 2(9)p

= 22 Maka, p = RM22 akan memaksimakan keuntungan.



122

1. Sebuah syarikat yang mempunyai fungsi purata jumlah kos 14 100K q−= + . Persamaan tuntutan bagi sebuah syarikat diberikan

oleh fungsi p = 54 q, di mana p adalah harga unit (dalam RM) dan q adalah kuantiti.

(a) Terbitkan fungsi hasil.

(b) Tentukan fungsi kos.

(c) Dapatkan fungsi keuntungan.

(d) Cari harga yang akan memaksimakan keuntungan syarikat

tersebut dengan menggunakan kaedah pembezaan.

2. Fungsi tuntutan sebuah produk tempatan adalah p = 300 x dan

fungsi kos adalah 2( ) = 0.1 + 14 + 100C x x x .


(b) Terbitkan fungsi jumlah keuntungan.

(c) Tentukan kuantiti yang akan memaksimakan keuntungan.

(d) Kirakan harga bila keuntungan akan dimaksimakan.

(e) Cari nilai keuntungan maksimum. 3. Fungsi tuntutan bagi sebuah produk yang berasaskan bahan kitar

semula adalah 2 2 5 163

= − +p x x dan fungsi purata jumlah kos ialah

( ) 21 523

C x x xx

= − +


(b) Terbitkan fungsi jumlah hasil.

(c) Tentukan fungsi jumlah keuntungan

(d) Kirakan kuantiti yang memaksimakan keuntungan.

(e) Cari nilai bagi memaksimakan keuntungan.

LATIHAN 6.4




1. Diberi 2( ) 3 12 9f x x x= − + − .

(a) Cari titik kritikal.

A. (-6, -189) B. (-6,-24) C. (2,0) D. (2, 3)

(b) Tentukan sifat titik kritikal.

A. Titik minima B. Titik maksima

C. Titik infleksi D. Tiada penyelesaian 2. Diberi 2( ) 0.05 3 500C x x x= − + dan 2( ) 3 0.01R x x x= − . Cari :

(a) Fungsi jumlah keuntungan.

A. 20.06 6 500x x− + − B. 23 0.01x x−

C. 20.05 3 500x x− + D. 20.06 500x +

(b) Fungsi keuntungan marginal.

A. 0.10 3x − B. 3 0.02x−

C. 0.12 6x− + D. 20.06 6 500x x− + − 3. Kuantiti yang akan memaksimakan keuntungan.

A. 0.5 B. 6 C. 12 D. 50

Bolehkah kos tetap menjadi pemboleh ubah? Mengapa?

AKTIVITI 6.1



124

Pembezaan boleh diaplikasikan untuk mengurangkan atau meningkatkan sesuatu kuantiti. Kita boleh mengurangkan kos dan meningkatkan hasil dan keuntungan. Beberapa formula pembezaan yang seringkali digunakan dalam bidang ekonomi dan perniagaan adalah:

• Jumlah KosKos Purata =

Kuantiti=

CCq

• Kos Marginal/Muktamad = Kadar Perubahan bagi Kos, dCCdq

′ = .

• Jumlah HasilPurata Hasil =

Kuantiti=

RRq

• Hasil Marginal/Muktamad = Kadar perubahan, dRRdq

′ = .

• Jumlah KeuntunganPurata Keuntungan =

Kuantiti∏

∏ =q

.

• Keuntungan Marginal/Muktamad = Kadar perubahan bagi keuntungan, ddq∏′∏ = .

Fungsi jumlah hasil

Fungsi jumlah keuntungan

Fungsi jumlah kos

Fungsi purata jumlah hasil

Fungsi purata jumlah keuntungan

Fungsi purata jumlah kos

Marginal/muktamad

Ujian pembezaan darjah kedua dan ketiga


PENGENALAN

Kalkulus terbahagi kepada dua bidang yang luas, iaitu kalkulus pembezaan, yang telah dibincangkan dalam topik sebelum ini, dan kalkulus kamiran, yang akan dibincangkan dalam topik ini. Terbitan merupakan kadar perubahan sebuah fungsi merujuk kepada pemboleh ubah tak bersandar. Maka, jika terbitan sebuah fungsi diberi, fungsi itu sendiri boleh ditentukan. Proses bagi mendapatkan fungsi asal adalah proses songsangan pembezaan yang juga dikenali sebagai pengamiran. Jika dibincang secara geometri, sebuah kamiran tentu merujuk kepada kawasan di bawah lengkung.

ANTI-TERBITAN

Jika ( ) ( )d F x f xdx

= , maka pengamiran sebuah fungsi f(x) adalah F(x), kerana

perhubungan songsangan mereka.

7.1

TTooppiikk

77

Pengamiran

HASIL PEMBELAJARAN


1. Menggunakan syarat pengamiran untuk menyelesaikan masalahpengamiran;

2. Mengira kamiran tentu; dan

3. Menggunakan kaedah penggantian bagi masalah yang kompleks.


TOPIK 7 PENGAMIRAN

126

Pertimbangkan terbitan yang berikut:

(a) ( )2 2d x xdx

= (b) ( )2 4 2d x xdx

+ = (c) ( )2 100 2d x xdx

− =

Maka, 2x bukan sahaja satu-satunya terbitan 2x , tetapi ia juga adalah terbitan bagi 2 4x + and 2 100x − . Oleh itu, mempunyai nombor sebarangan c mewakili semua nombor lain 2x c+ adalah anti-terbitan 2x dan ia ditulis sebagai 22 .x dx x c= +∫ Pengamiran sebuah fungsif(x) adalah F(x) + c dan proses

mencari ( )F x dipanggil sebagai pengamiran. Syarat berikut diterbitkan daripada menyongsangkan proses ini dan boleh diaplikasikan untuk menyelesaikan masalah pengamiran. Syarat Pengamiran

1. ,k dx kx c= +∫ k adalah pemalar.

2. 1

1

nn xx dx c

n

+

= ++∫ , n 1≠ − .

Kes khas (apabila n = −1 ) 1 1 lnx dx dx x c

x− = = +∫ ∫

3. ( ) ( )k f x dx k f x dx=∫ ∫ , k adalah pemalar.

Catatan untuk pengamiran:

( ) ( )f x dx F x c= +∫

di mana

∫ : tanda pengamiran c : Pemalar pengamiran

f(x) : Integrand F'(x) : Anti-terbitan

dx : Merujuk kepada pembolehubah x F'(x) = f(x)


TOPIK 7 PENGAMIRAN

127

Contoh: Mengaplikasikan Syarat 1

(a) 1dx∫ = x c+

(b) 5dx∫ = 5 x c+

(c) 100dx∫ = 100 x c+

(d) dx x cπ π= +∫

(e) e dx ex c= +∫

Contoh: Mengaplikasikan Syarat 2

(a) 2

1

2xx dx x dx c= = +∫ ∫

(b) 3 1 4

3

3 1 4x xx dx c c

+

= + = ++∫

(c)

31 322 22

3 32

xx dx x dx x c= = = +∫ ∫

(d) 2

33 2

1 12 2

xdx x dx c cx x

−−= = + = +

− −∫ ∫

(e) 1 lndx x cx

= +∫

4. ( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫

5. ( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx− = −∫ ∫ ∫

6. x xe dx e c= +∫

7. ∫ += ck

edxexk

xk

,k adalah pemalar.


TOPIK 7 PENGAMIRAN

128

Contoh: Mengaplikasikan Syarat 3,4 dan 5

(a) 3 33 3x dx x dx (Keluarkan pemalar seperti yang ternyata dalam Syarat 3)

3 1 4

3 33 1 4x xc c

(b) 1 1 1 1 ln

5 5 5dx dx x c

x x (Keluarkan pemalar seperti yang ternyata dalam

Syarat 3) (c) 3 33 1 3 1x dx x dx dx (Mengaplikasikan Syarat 4)

434

x x c

(d) 5 2 5 22 2x x dx x dx x dx (Mengaplikasikan Syarat 5)

6 3 6 32 1 1 16 3 3 3

x x c x x c

(e) 2 1x x x dx

22 1x x dx (Kembangkan yang pertama kerana tiada syarat bagi

produk pengamiran)

2= 2 1x dx x dx dx (Kembangkan menggunakan Syarat 3 dan 4)

3 2

23 2x x x c (Kamirkan satu per satu)

(f) 2 1x x dx

1 5 1

22 2 21 =x x dx x x

dx (Kembangkan dahulu)

5 12 2x dx x dx

5 11 12 2

5 11 12 2

x x c

(Kamirkan satu persatu)


TOPIK 7 PENGAMIRAN

129

7 3 7 32 2 2 22 2

7 3 7 32 2

x x x xc c

(g) 4 2

4

x x dxx

2

11 dxx

(Permudahkan persamaan kerana tiada syarat bagi pengamiran

bahagian)

2= 1dx x dx (Perlu dinyatakan dalam bentuk n )

2 1

12 1

11

xx c

xx c x cx

Contoh: Mengaplikasikan Syarat 6 dan 7

(a) x xe dx e c

(b) 22

2

xx ee dx c

(c) 100100

100

xx ee dx c

(d) 22

2212

xx

xee dx c e c

(e) 2 42 4 2 4444

xx xee dx c e c

Satu songsangan pembezaan adalah pengamiran. Adakah proses matematik yang tidak mempunyai songsangan?

AKTIVITI 7.1


TOPIK 7 PENGAMIRAN

130

KAMIRAN TENTU

Contoh:

3 31 x dx∫

Katakan f (x) adalah sebuah fungsi yang ditakrifkan antara selang [a, b] dan F (x) adalah anti-pembezaan bagi f (x). Kamiran tentu bagi f (x) antara selang [a, b] diberi oleh:

( ) ( ) ( ) ( )b b

aaf x dx F x F b F a= ⎡ ⎤ = −⎣ ⎦∫

di mana a adalah had yang lebih rendah dan b adalah had lebih tinggi pengamiran.

7.2

Kamirkan setiap yang berikut: 1. dxπ∫ 2. edx∫

3. 38 p dx∫ 4. 2ex dx∫

5. ( )3 23u u du−+∫ 6. 1

3 243x x x x dx−⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

7. ( )31x x dx+∫ 8. 5 2

4

2 1x x dxx

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

9. 0.07te dt−∫ 10. 3 4se ds+∫

11. ( )( )2

3

1 2x xdx

x+ −

∫ 12. 4

4xx e dx

x⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

LATIHAN 7.1


TOPIK 7 PENGAMIRAN

131

Penyelesaian:

34 4 43 3

11

3 14 4 4

81 1 80 204 4 4

xx dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − = =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

Contoh:

1 2

0

xe dx∫

Penyelesaian:

( ) ( )1 2 1 2 021 2

00

2 0 2

2 2 2

12 2 2 2

xx e e ee dx

e e e

⎡ ⎤= = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

= − = −

∫

Contoh:

1

1edx

x∫

Penyelesaian:

[ ]1ln ln ln1 1 0 1ex e= = − = − =

Syarat Kamiran Tentu

Katakan f dx∫ dan g dx∫ ditakrifkan antara selang (a, b), di mana a, b

dan c adalah pemalar. Maka,

1. ( ) ( )b b

a acf x dx c f x dx=∫ ∫ ;

2. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ;+ = +∫ ∫ ∫b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx dan

3. ( ) ( )( ) ( ) ( )− = −∫ ∫ ∫b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx


TOPIK 7 PENGAMIRAN

132

Contoh:

3 3

13x dx∫

Penyelesaian:

( )

34 43 3

11

3 1 81 13 3 3 34 4 4 4 4

803 3 20 604

xx dx⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

Contoh:

1

1 2e

x dxx

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∫

Penyelesaian:

[ ][ ][ ]

1 1 1

21 1

2

2

2

1 12 2

ln

ln ln1 1

1 0 1

2

e e e

ee

x dx dx x dxx x

x x

e e

e

e

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤= − ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦

= −

∫ ∫ ∫

Apakah istilah yang diberikan kepada nilai a dan b bagi selang [a, b]?

AKTIVITI 7.2


TOPIK 7 PENGAMIRAN

133

PENGAMIRAN DENGAN PENGGANTIAN

Pengamiran dengan penggantian adalah satu kaedah yang digunakan untuk mengamirkan fungsi yang lebih kompleks. Pengamiran ini akan menukarkan pembolehubah asas (biasanya x) kepada pembolehubah lain (biasanya u). Hubungan antara dua pembolehubah ini mestilah ditetapkan. Apabila ada perubahan pada pembolehubah, pengamiran akan lebih senang untuk dikendalikan. Contoh:

22 1x x dx+∫

Penyelesaian:

Langkah 1: Kenalpasti u dan du, u = g(x), u diandaikan tanpa kuasa. Oleh itu,u = x2 + 1. Maka,du = 2xdx. Langkah 2: Gantikan pengamiran dari x kepada u.

( ) ( )11 1

2 2 22 22 1 1 2x x dx x x dx u du+ = + =∫ ∫ ∫

Langkah 3: Pengamiran dengan merujuk kepada u.

1 32 22

3u du u c= +∫

7.3

Cari nilai bagi pengamiran berikut:

1. 3 3

2x dx∫ 2. ( )2 3

11x x dx

−+∫

3. 2 2

1( 2 8)t t dt− +∫ 4.

2 43 21

1 2 x dxx x

−⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦∫

5. 9

42y y dy⎡ ⎤

⎣ ⎦∫ 6. 4 5

1e dx∫

8

1

47. dyy

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ 8. 4

1

1x dxx

+⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫

LATIHAN 7.2


TOPIK 7 PENGAMIRAN

134

Langkah 4: Gantikan semula u kepadax.

( )3

2 22 13

x c= + +

Contoh:

2 3x dx

x +∫

Penyelesaian:

Langkah 1: Kenalpasti u dan du, 2 13 2

2u x du xdx xdx du= + = ∴ =

Langkah 2: Gantikan pengamiran dari x kepada u.

1

2122

11223

dux dx u dux u

−= =+

∫ ∫ ∫

Langkah 3: Kamirkan 121

2u du

−

∫ merujuk kepada u.

11221

122

u c u c

⎛ ⎞⎜ ⎟

= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Langkah 4: Gantikan semula u kepada x.

( )1

3 23x c+ +

Contoh:

ln x dxx∫


TOPIK 7 PENGAMIRAN

135

Penyelesaian:

Langkah 1: Kenalpasti u dan du, ln , dxu x dux

= =


ln dxx u dux

=∫ ∫

Langkah 3: Kamirkan merujuk kepada u.

2

2u c+

Langkah 4: Gantikan semula u kepadax.

( )2ln

2x

c+

Contoh:

2 1x dx

x +∫

Penyelesaian:

Langkah 1: Kenalpasti u dan du.

2 1 22

duu x du x dx xdx= + = ∴ =


2 2

121 1 2

dux x dx dudx

x x u u= = =

+ +∫ ∫ ∫ ∫


TOPIK 7 PENGAMIRAN

136

Langkah 3: Kamirkan merujuk kepada u.

1 ln2

u c+

Langkah 4: Gantikan semula u kepada x.

( )21 ln 12

x c+ +

1. Apakah yang anda perlu lakukan bagi mengenal pasti u dan du dengan baik?

2. Layari laman sesawang http://www.sosmath.com/calculus/calculus.html bagi mendapatkan lebih banyak contoh pengamiran dengan penggantian.

AKTIVITI 7.3

Kamirkan yang berikut:

1. ( )( )3 42 8 2t t t dx− − +∫ 2. 2

34 5

x dxx +

∫

3. ( )2x xe e dx+∫ 4. ( )

2

42 34 3 2

x x dxx x

+

− −∫

5. 3 21 2

s dss−

∫ 6. 2

12 1

x dxx x

++ +∫

LATIHAN 7.3


TOPIK 7 PENGAMIRAN

137


1. x dxx∫

A.2

32

x cx

+

B. cx +23

32

C. 122

3x c+ D.

323

2x c+

2. 5

3x dx

e∫

A. 553

xe c−− + B. 5 135 1

xe cx

− +− ++

C. 535

xe c−− + D. 545

xe c−− +

3. 2

3 2

3( 8)

x dxx−

− +∫

A. 3

18

cx

− +−

B.3

3 3(8 )x cx

− +−

C. 3

18

cx

+−

D.3

3 33(8 )x c

x− +

−

4. 2 3 203 ( 5)x x dx−∫

A. cx

+−21

)5( 213

B. 3 3 21( 5)

21x x c−

+

C. 3 21( 5)63

x c−+ D.

3 4 21( 5)21

x x c−+

5. 3

1

16 3

dxx −∫

A.1

15 B. In 6 C.

1 115 2

−−

D. 1 ln 66


TOPIK 7 PENGAMIRAN

138

• Pengamiran boleh diaplikasikan untuk menentukan sebuah fungsi diberikan oleh kadar perubahannya.

• Syarat pengamiran asas adalah seperti yang berikut:

,k dx kx c= +∫ k adalah pemalar.

1

1

nn xx dx c

n

+

= ++∫ , n 1≠ − .

Sebuah kes khas apabila n = −1 adalah seperti yang

berikut:∫∫ +==− cxdx

xdxx ln11

( ) ( )k f x dx k f x dx=∫ ∫ , k adalah

pemalar ( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫

( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx− = −∫ ∫ ∫

x xe dx e c= +∫

k x

k x ee dx ck

= +∫ , k adalah pemalar.

• Pengamiran dengan penggantian adalah salah satu kaedah yang digunakan untuk mengamirkan fungsi yang lebih kompleks.

Kamiran tak tentu Pengamiran dengan penggantian


PENGENALAN

Salah satu aplikasi pengamiran adalah untuk mencari luas kawasan. Topik ini secara khususnya akan memberikan tumpuan terhadap mencari luas antara graf dan paksi-x dan luas antara dua graf. Kemudian, pengamiran akan digunakan untuk menentukan lebihan pengeluar dan pengguna. Pengamiran digunakan dalam bidang ekonomi dan perniagaan untuk mencari fungsi kos, hasil dan keuntungan dari fungsi marginal masing-masing.

TTooppiikk

88

Aplikasi Pengamiran


1. Mengira luas kawasan antara graf dan paksi-x;

2. Mengira luas antara dua graf;

3. Mengaplikasikan pengamiran untuk menentukan lebihan pengeluardan lebihan pengguna; dan

4. Mengaplikasikan pengamiran untuk menentukan fungsi kos, hasildan keuntungan daripada fungsi marginal masing-masing.


TOPIK 8 APLIKASI PENGAMIRAN

140

MENCARI LUAS KAWASAN BAWAH GRAF

Contoh:

Cari luas kawasan bawah y = 2x dari x = 0 ke x = 2. Penyelesaian:

Graf 8.2

Lakaran menunjukkan bahawa graf y = 2x sentiasa berada di atas paksi-x apabila x adalah positif. Maka luas A ialah:

2 22 2

002 4 0 4unitx dx x⎡ ⎤= = − =⎣ ⎦∫ .

Katakan f(x) adalah berterusan dan f(x) ≥ 0 dalam selang [a, b]. Maka, kawasan bawah graf f(x) dan atas paksi-x, dari x = a ke x= b,

adalah ( )b

aA f x dx= ∫ .

Graf 8.1

8.1



141

Contoh:

Cari kawasan antara graf y = 2x dan = .y x Penyelesaian:

Langkah 1: Lukis graf untuk menentukan yang mana berada di atas dan mana di bawah.

Graf 8.4 Langkah 2: Dapatkan titik persilangan antara graf y = x2 dany = x.

( )

2

2 01 0 0 1

x xx x

x x x and

=

− =

− = ⇒ =

∴ (0,0) dan (1,1) adalah titik persilangan.

Katakan f(x) dan g(x) adalah berterusan dalam selang [a, b] di manaf(x) ≥g(x), iaitu f(x) sentiasa berada di atas g(x). Maka, luas kawasan antara graf f(x) dan g(x) dalam selang [a, b] diberi oleh:

( ) ( )b

aA f x g x dx= ⎡ − ⎤⎣ ⎦∫

Graf 8.3



142

Langkah 3: Tentukan fungsi atas dan fungsi bawah

af = Fungsi atas

bf =Fungsi bawah

Fungsi atas tolak fungsi bawah: 2x x−

Langkah 4: Tentukan pengamiran dan dapatkan nilai

( )12 31 2 2

00

1 1 1 unit2 3 2 3 6x xx x dx

⎡ ⎤− = − = − =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

Contoh: Cari luas kawasan antara graf y = 2 2 x dan y = 2x 1. Penyelesaian: Langkah 1: Lukis dua graf.

Graf 8.5

Langkah 2: Dapatkan titik persilangan antara graf y = 22 – x dan y = 2x 1.

( )( )

2

2

2 2 12 3 0

3 1 0 3, 1

x xx x

x x x

− = − −

− − =

− + = ⇒ = −

∴ ( 1, 1) dan (3, 7) adalah titik persilangan.

Langkah 3: Graf atas tolak graf bawah⇒ 2 2(2 – ) – (– 2 – 1) = 3 + 2 – x x x x .



143

Langkah 4: Tentukan pengamiran dan dapatkan nilainya.

( )

[ ]

333 2 2

11

3 2 33

1 29 9 9 3 1 103 3

xx x dx x x−

−

⎡ ⎤+ + = + −⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + − − + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

1. Cari luas kawasan atas atau bawah bagi graf berikut:

(a) y = 2x 1; x = 1 to x = 1 (b) y = 3 2x + 1; x = 1 to x = 2

(c) y = 9 2x ; antara [ 2, 1] (d) y = 2x + 2x ; antara [0, 3] 2. Cari luas kawasan antara dua lengkung berikut:

(a) y = 2x + 4 dan y = 2x + 2x + 3.

(b) y = 2x 5 dan y = 2x + 6x 5.

(c) y + x = 6 dan y = 2x + 4.

(d) y = x dan y = x.

LATIHAN 8.1

1. Apakah tujuan mencari luas kawasan bawah graf? Terangkan.

2. Apakah yang akan anda dapat jika anda kamirkan selang [-3,3] dan fungsinya ialah y= 1? Terangkan.

AKTIVITI 8.1



144

APLIKASI PENGAMIRAN DALAM BIDANG EKONOMI DAN PERNIAGAAN

Dalam bidang ekonomi dan perniagaan, pengamiran boleh digunakan dalam aspek berikut:

(a) Lebihan pengguna dan pengeluar

(b) Mencari fungsi daripada fungsi marginal Mari kita bincangkan setiap daripada kawasan tersebut dengan lebih teliti.

8.2.1 Lebihan Pengguna dan Pengeluar

Ingat semula fungsi tuntutan, p = D (q) dan fungsi bekalan, p = S (q). Titik persilangan kedua-dua persamaan dikenali sebagai keseimbangan pasaran (qe, pe) yang wujud dalam persaingan ideal pasaran.

(a) Lebihan Pengguna

Terdapat pengguna yang sanggup membayar lebih daripada harga yang seimbang supaya mereka mendapat faedah daripada harga keseimbangan yang lebih rendah. Hal ini adalah jumlah keuntungan yang diperolehi daripada kesanggupan pengguna untuk membayar lebih daripada harga keseimbangan pasaran.

8.2

Apakah yang dimaksudkan dengan persaingan ideal? Wujudkah sebuah persaingan yang tidak ideal?

AKTIVITI 8.2



145

Graf 8.6

Daripada subtopik 8.1, kita dapati kawasan ini boleh dkira dengan mencari luas kawasan antara dua graf. Lebihan pengguna, [ ]

0 The graph below The above graph

( )↑↑

= −∫eq

eA D q P dq

atau, lebih mudah,

0

Area of Area under the rectanglecurve ( )

( )↑

↑

= −∫eq

e e

D q

A D q dq P q

(b) Lebihan Pengeluar Sebaliknya, sesetengah pengeluar mungkin akan menawarkan produk pada harga bawah harga seimbang, supaya mereka juga boleh mendapat keuntungan daripada harga seimbang. Jumlah keuntungan pengeluar dikenali sebagai lebihan pengeluar dan diwakili olehB.

Lebihan Pengeluar [ ]0

graph belowgraph abovestraigh tline

( )eq

eB p S q dq↑↑

= −∫

atau, lebih mudah, 0

Area under the below graphArea of the rectangle

( )eq

e eB p q S q dq↑↑

= − ∫

Kawasan atas graf

Graf bawah

Luas bawah lengkungD(q)

Luas segiempat tepat

Graf di atas garis lurus

Graf bawah

Luas bawah graf Luas segiempat tepat



146

Contoh: Diberi fungsi tuntutan dan fungsi bekalan bagi sebuah syarikat masing-masing adalah 2 = 200 p q danp = 6q + 160. Tentukan lebihan pengguna dan pengeluar bagi syarikat tersebut. Penyelesaian: Lukis graf dalam suku pertama sahaja. Dapatkan titik keseimbangan pasaran.

Graf 8.7

( )( )

2

2

6 160 2006 40 0

10 4 010 and 4

q qq q

q qq q

+ = −

+ − =

+ − =

= − =

2200200 16184

p q= += −=

Maka, (4, 184) adalah titik keseimbangan pasaran.

Lebihan pengguna: ( ) ( )( )4 2

0200 4 184CS q dq= − −∫

( )

43

043

0

200 7363

4200 736

3

1283

qq

q

⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

=



147

Lebihan pengeluar: ( )( ) ( )4

04 184 6 600PS q dq= − −∫

( )[ ]

42

0736 3 160

736 48 64048

q q⎡ ⎤= − +⎣ ⎦= − +

=

Contoh:

Fungsi tuntutan dan bekalan bagi sebuah syarikat masing-masing adalah ps = 1 + q dan 49 6dp q= − . Tentukan lebihan pengguna dan pengeluar bagi syarikat tersebut. Penyelesaian:

Dapatkan titik keseimbangan pasaran.

( )

( )

( )( )

2

2

2

2

49 6 1

49 6 1

49 6 1 20 2 1 49 6

0 8 480 4 12

d sp p

q q

q q

q q qq q q

q qq q

=

− = +

− = +

− = + +

= + + − −

= + −

= − +

Kita akan mempertimbangkan titik q = 4. Bila q = 4, P = 1 + q= 1 + 4 = 5. Maka (4,5) adalah titik keseimbangan pasaran. Nota: Nilai q = 4 adalah had pengamiran.

Pada pendapat anda, mengapakah seorang pengguna sanggup membayar harga lebih tinggi daripada keseimbangan pasaran?

AKTIVITI 8.3



148

Lebihan pengguna: ( ) ( )( )4

04 5D q dq −∫

Graf 8.8

4

049 6 20q dq− −∫

49 6 49 6(4) 25

6 49 0 49

6

u q udu dq udu dq

= − = − == − = − =

=−

( ) ( )

493

1 1 249 492 2

25 25

25

3 33 3

1 120 20 2036 6 62

1 3 149 25 20 7 5 206 2 9218 38209 9

du uu u du

⎡ ⎤⎢ ⎥

− = − − = −⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − = − −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

= − =

∫ ∫

Lebihan pengeluar: ( )e ep q S q dq− ∫

( )( ) ( )4

0

42

0

4 5 1

1620 20 4 20 12 82 2

q dq

qq

= − +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = − + = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

∫

Yang manakah lebih baik: sebuah situasi di mana terdapat lebihan pengguna atau lebihan pengeluar?

AKTIVITI 8.4



149

8.2.2 Mencari Fungsi daripada Fungsi Marginal

Sebelum ini, jika diberi fungsi kos, hasil dan keuntungan, kita akan diminta mencari fungsi marginal terutamanya kos marginal, hasil marginal dan keuntungan marginal. Sekarang, dalam topik ini pula diberi fungsi marginal dan diminta mencari fungsi kos, hasil dan keuntungan. Ini boleh dilaksanakan dengan mengamirkan fungsi marginal sepadan. Contoh:

Katakan fungsi kos marginal bagi sebuah syarikat yang menghasilkan x ribu unit

buku diberikan oleh ( ) 50C xx

′ = , manakala kos tetap ialah RM25,000.


(b) Tentukan kenaikan dalam jumlah kos bagi peningkatan dalam pengeluaran dari 100 ke 121 unit.

Penyelesaian:

(a) Diberi fungsi kos marginal, kita boleh mengamirkan fungsi kos marginal bagi mendapatkan fungsi kos.

( ) ( )

( )1

1 1 122 2 250 50 50 50 2 1001

2

C x C x dx

xdx x dx c x c x cx

−

′=

= = = + = + = +

∫

∫ ∫

Diberi kos tetap adalah RM25,000. Kos apabila 0x =

Selesaikan C(0) = 25000.

Maka, 12100x + c = 25000

100(0) + c = 25000 c = 25000

Oleh itu, C(x) = 12100x + 25000



150

(b) ( )121

100C x dx′∫

( ) ( )

( ) ( )

121 100

100 121 25000 100 100 25000

100 11 25000 100 10 25000

100

C C= −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⎡ + ⎤ − ⎡ + ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

Oleh itu, kenaikan kos yang diperlukan ialah RM100. Contoh:

Katakan bahawa fungsi kos marginal sebuah syarikat ialah C′(x) = 32 + 6 5x x , dan kos tetap ialah RM8,000. Cari fungsi kos syarikat.

Penyelesaian:

Diberi fungsi kos marginal C ′(x) = 32 + 6 5x x , kita lakukan pengamiran untuk mendapatkan fungsi kos.

( ) ( )3

4 2

'

2 6 5

2 6 54 2

C x C x dx

x x dx

x x x c

=

= + −

= + − +

∫∫

( )

( )

423 5 since C(0)=8000

20 0 0 0

8000

xC x x x c

C cc

= + − +

= + − +

=

Maka, fungsi kos adalah ( )4

23 5 80002xC x x x= + − +



151

Contoh:

Sebuah kilang perabot mempunyai fungsi kos marginal, 153)(' −= xxC dan fungsi hasil marginal xxR 3150)(' −= dengan x sebagai kuantiti yang dihasilkan. Kos tetap bagi kilang tersebut adalah RM8,000. Tentukan.

(a) Fungsi tuntutan

(b) Fungsi jumlah kos

(c) Fungsi keuntungan Penyelesaian:

( ) ( ) (150 3 )R x R x dx x dx′= = −∫ ∫ 2

2

3150 –2

3x =150x – (0) 02

xx C

R

= +

→ =

(a) Fungsi tuntutan ialah ( ) p f x= dan boleh diperolehi daripada fungsi

hasil .R p x=

Maka,Rpx

= 23150 32 150

2

xxR xpx x

−= = = −

Fungsi tuntutan ialah p= 31502x

−

(b) ( ) ( ) 3 15C x C x dx x dx′= = −∫ ∫

2

2

3 152

3x= 15 8000 (0) 80002

x x C

x C

= − +

− + → =



152

(c) ( ) ( ) ( ) P x R x C x= − 2 2

2

3 3150 ( 15 8000)2 2

165 – 3 8000

x xx x

x x

⎛ ⎞= − − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

LATIHAN 8.2

1. Fungsi kos marginal bagi sebuah syarikat yang menghasilkan beg sekolah ialah 2' ( ) = 0.003 – 0.03C q q q , di mana q adalah bilangan beg sekolah yang dihasilkan. Kos tetap syarikat ialah RM176.


(b) Tentukan kenaikan dalam jumlah kos apabila pengeluaran meningkat dari 260 ke 400 unit.

2. Fungsi hasil marginal sebuah kilang ialah R ′ = 1000100q

. Jika R adalah

hasil dalam RM, tentukan perubahan atau kenaikan apabila jualan meningkat dari 400 ke 900 unit.

3. Sebuah kilang perabot mempunyai fungsi kos

marginal 153)(' −= xxC dan fungsi hasil marginal xxR 3150)(' −= dengan x adalah kuantiti yang dihasilkan. Kos tetap bagi kilang itu ialah RM8,000.

Tentukan:

(a) Fungsi jumlah kos

(b) Fungsi keuntungan. 4. Fungsi tuntutan dan bekalan masing-masing bagi sebuah syarikat

ialah p = 400 −q dan p = q + 100. Tentukan lebihan pengguna dan pengeluar bagi syarikat.

5. Fungsi kos marginal bagi sebuah syarikat diberi oleh c′(q) =

0.001 2q − 0.02q, di mana q adalah dalam unit. Kos tetap ialah RM1,000. Tentukan fungsi kos.



153


1. Cari luas kawasan yang merangkumi 24xy = , paksi-x, x = 4 dan x = 6.

A. 13733

B. 370 C. 333 D. 333.3

2. Jika fungsi hasil marginal adalah 2'( ) 10 9R x x x= − + , cari fungsi jumlah hasil.

A. TR = 9 + 2x B. TR = 9+2x+c

C. TR=32

9103

2 xxx +− D. TR = 32

9103

2 xxx +− +C

Maklumat berikut adalah bagi soalan 3, 4 dan 5.

Diberi fungsi tuntutan 2( ) 200D x x= − , dan fungsi bekalan ( ) 6 160S x x= + .

3. Tentukan titik keseimbangan.

A. x = 4, y = 184 B. x = 184, y = 4

C. x = 4, y = 184 D. x =184, y = -4

6. Fungsi tuntutan dan bekalan bagi sebuah produk masing-masing adalah p = 100 0.05q dan p = 10 + 0.1q. Tentukan lebihan pengguna dan pengeluar produk berkenaan.

7. Fungsi tuntutan dan bekalan masing-masing bagi sebuah syarikat

adalah p = 0. 01 � 1.1q + 30 danp = 0.01 + 8. Tentukan lebihan pengguna dan pengeluar.



154

Anda harus memahami bahawa pengamiran adalah songsangan kepada

pembezaan.

Aplikasi pengamiran tidak hanya terhad kepada mencari luas sebuah kawasan tetapi juga boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam bidang ekonomi dan perniagaan.

Lebihan pengeluar Lebihan pengguna

4. Tentukan lebihan pengguna.

A. 872 B. 48 C. 128/3 D. 248

5. Tentukan lebihan pengeluar.

A. 48 B. 248 C. 148 D. 872


PENGENALAN

Setakat ini, kita telah membincangkan fungsi kepada satu pembolehubah tak bersandar ( )y f x= . Kita juga telah membincangkan fungsi kos yang bergantung kepada kuantiti iaitu ( )C C q= dan fungsi populasi yang bergantung kepada masa iaitu = ( )P P t . Walaubagaimanapun, banyak model matematik bergantung kepada lebih daripada satu pembolehubah. Fungsi kos sebuah syarikat yang bergantung kepada buruh dan kos bahan mentah boleh diumpamakan dengan rantai makanan bagaikan populasi harimau kepada populasi haiwan yang lebih kecil seperti arnab, rusa dan haiwan lain. Dalam topik ini, kita akan membincangkan fungsi matematik dengan pelbagai pembolehubah. Kita akan melihat bagaimana idea yang diaplikasikan ke dalam fungsi pembolehubah tunggal juga boleh digunapakai untuk fungsi dengan pelbagai pembolehubah contohnya konsep pembezaan.

TTooppiikk

99

Pembezaan Separa

HASIL PEMBELAJARAN


1. Mengenal pasti fungsi dengan satu, dua, tiga atau lebihpembolehubah;

2. Mengira nilai bagi fungsi dengan lebih daripada satu pembolehubah;

3. Melakukan pembezaan separa tertib pertama = ( , )z f x y ; dan

4. Melakukan pembezaan separa tertib kedua.


TOPIK 9 PEMBEZAAN SEPARA

156

Sebelum ini, kita telah melihat fungsi dengan satu pembolehubah di mana y bergantung kepada x dan ditulis sebagai ( )y f x= . Dalam topik ini, kita akan melihat bagaimana fungsi dengan dua pembolehubah bergantung kepada dua pemboleh dua x dan y dan ia ditulis sebagai z = f(x, y). Kita juga akan menyelesaikan masalah fungsi dengan tiga pembolehubah di mana w bergantung kepada x, y dan z dan persamaan tersebut ditulis sebagai

( , , )w f x y z= .

FUNGSI DENGAN PELBAGAI PEMBOLEHUBAH

Katakan z bergantung kepada nilai x dan y, berdasarkan kepada hubungan:

= 3 + 3 + 3 z x xy y Oleh kerana fungsi z bergantung kepada dua pembolehubah, ia ditulis sebagai

= ( , )z f x y Untuk setiap pasangan x dan y yang terpilih, terdapat hanya satu nilai bagi z. Contohnya, jika x = 1 dan y = 4, maka

z = 3 + 3 + 3= 3(1) + 3(1)(– 4) + 3(– 4)= 3 – 12 – 12= –21

x xy y

Oleh itu, jika x = 1 dan y = 4, maka z = 21, yang boleh ditulis sebagai (1, – 4) = –21f .

Bagi mendapatkan (3, 2)f , kita anggap x = 3 dan y = 2, maka

( , ) = 3 + 3 + 3(3,–2) = 3(3) + 3(3)(–2) + 3(–2)

= 9 – 18 – 6 = –15

f x y x xy yf

Secara amnya, = ( , )z f x y adalah sebuah fungsi dengan dua pembolehubah dan setiap pasangan x dan y menghasilkan hanya satu nilai z. Oleh itu, x dan y dikenali sebagai pembolehubah tak bersandar manakala z dikenali sebagai pembolehubah bersandar.

9.1



157

Sama juga jika w = ( , , )f x y z adalah sebuah fungsi dengan tiga pembolehubah dan setiap daripada ketiga-tiga pembolehubah ini menghasilkan hanya satu nilai bagi w . Oleh itu, x , y dan z dikenali sebagai pembolehubah tak bersandar manakala w dikenali sebagai pembolehubah bersandar.

Contoh:

Katakan ( )2 2

4, xg x yx y−

=+

. Cari nilai bagi:

(a) g(3,0)

(b) g( 4, 3) Penyelesaian:

(a) g(3,0)

x = 3 dany = 0

( ) ( )2 2

4 3 12 123,0 4393 0

− − −= = = = −

+g

(b) g( 4, 3)

( ) ( )( ) ( )2 2

4 4 16 16 164, 3516 9 254 3

− −− − = = = =

+− + −g

Contoh:

Katakan ( ) 2 2, 2h x y x y= + . Cari nilai:

(a) h(5, 3) (b) h(2, 4) (c) h( 1, 3)

Penyelesaian:

(a) (5, 3)h

x = 5 dan y = 3

( ) ( )225,3 5 2 3 25 2(9) 43h = + = + =



158

(b) h(2, 4)

x = 2 dan y = 4

( ) ( ) ( )222,4 2 2 4 4 2 16 36 6h = + = + = =

(c) h( 1, 3)

x = 1 dan y = 3

( ) ( ) ( ) ( )2 21, 3 1 2 3 1 2 9 19h − − = − + − = + =

Contoh:

Fungsi dengan tiga pembolehubah

Katakan 22( , , ) = 4 – 3 + 2y 1f x y z x zxz − . Cari

(a) (3, 0, 1)f

(b) (–2, 1, 0)f Penyelesaian:

(a) ( )22(3,0,1) = 4(3) – 3(3)(1) + 2(0) 1 1f −

36 9 0 1 26= − + − =

(b) ( )22(–2,1,0) = 4(–2) – 3(–2)(0) + 2(1) 0 1f −

16 6 0 1 21= + + − = Contoh:

Upah buruh untuk memasang sejenis kereta ialah ( , ) 12 6 2 40L x y x y xy= + + + , di mana x adalah jumlah waktu yang diperlukan oleh seorang pekerja mahir dan y adalah jumlah waktu yang diperlukan oleh seorang pekerja separuh mahir. Cari

(a) L (3, 5)

(b) L (5, 2)

(c) Jika seorang pekerja mahir memerlukan 7 jam untuk memasang sebuah kereta dan seorang pekerja separuh mahir memerlukan 9 jam, cari jumlah kos buruh.



159

Penyelesaian:

(a) ( , ) 12 6 2 40L x y x y xy= + + +

(3,5) 12(3) 6(5) 2(3)(5) 40 136L = + + + =

(b) (5,2) 12(5) 6(2) 2(5)(2) 40 132L = + + + =

(c) (7,9) 12(7) 6(9) 2(7)(9) 40 1304L = + + + =

Diberi 2 3( , , ) = + 4 + f x y z x y y , di mana pembolehubah z tiada dalam fungsi.

Bolehkah fungsi ini dinyatakan sebagai 2 3( , ) = + 4 + f x y x y y ? Jelaskan.

AKTIVITI 9.1

1. Diberi ( , ) = 4 + 5 + 3f x y x y . Cari nilai

(a) (2, 1)f

(b) ( 2, 3)f

2. Diberi 2 3( , ) = – – 4 + g x y x xy y . Cari nilai

(a) g( 2, 4)

(b) g( 2, 3) 3. Diberi 2 3( , , ) = – – 4 + g x y z x xy y . Cari nilai

(a) g(3, 0, 1)

(b) g( 2, 1, 4)

LATIHAN 9.1



160

TERBITAN SEPARA

Dalam Topik 6, kita telah membincangkan terbitan dydx

, di mana ia mengukur kadar

pada bila fungsi y= f(x)berubah dengan merujuk kepada perubahan dalam pembolehubah x. Mari kita lihat pada kadar perubahan fungsi f(x,y) dengan merujuk kepada salah satu pembolehubah. Katakan f(x,y) sebuah fungsi dengan dua pembolehubah x dan y. Oleh kerana kita ingin tahu bagaimana f(x,y) kedua-dua berubah dengan merujuk kepada x dan merujuk kepada y, kita akan sekarang mentakrifkan terbitan separa dengan merujuk kepada kedua-dua pembolehubah.

Definisi

1. Terbitan separa f dengan merujuk kepada x adalah terbitan f yang diperolehi dengan menganggap x sebagai pembolehubah dan y sebagai pemalar.

Tatatanda:fx or δf/δx. 2. Terbitan separa f dengan merujuk kepada y adalah terbitan f yang

diperolehi dengan menganggap y sebagai pembolehubah dan x sebagai pemalar.

Tatatanda: fy or δf/δy

9.2

4. Populasi kucing di sebuah kawasan dinyatakan dengan model matematik, 2( , ) = + 200 1200C x y x y , di mana x adalah populasi tikus diukur dalam ratus dan y adalah populasi tikus mondok yang dikira dalam puluh.

(a) Tentukan C (50, 0)

(b) Tentukan C (30, 4)

(c) Cari jumlah kucing jika terdapat 1,400 tikus dan 150 tikus mondok.



161

Imbas kembali pembezaan:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

( ) 0 (3) 0

2 2

( ) ( ) 2 2(2 ) 4

( ) ( ) 2 6 2(2 ) 0 4

d dkdx dxd dkx k xdx dxd dkf x kf x x x xdx dxd dkf x C kf x x x xdx dx

= → =

= → =

′= → = =

′+ = → + = + =

Contoh:

(a) 2 3 ( , ) 4 6f x y x y= + 8xf x= anggap y sebagai pemalar

218yf y= anggap x sebagai pemalar

(b) 2 ( , ) 2f x y xy x= + 2 2 xf y x= + anggap y sebagai pemalar

2yf x= anggap x sebagai pemalar

Contoh:

Katakan 2 3( , ) = 4 – 9 + 6f x y x xy y . Cari fx danfy . Penyelesaian:

2 3( , ) = 4 – 9 + 6f x y x xy y

(a) (Ingat: Untuk mencari fx ,anggap y sebagai pemalar)

( ) ( ) ( )2 34 8 , 9 9 , 6 0f f fx x xy y yx x x

δ δ δδ δ δ

= = =

Maka, fx = 8x 9y.

(b) (Ingat: Untuk mencari fy ,anggap x sebagai pemalar)

( ) ( ) ( )2 3 24 0, 9 9 , 6 18f f fx xy x y yy y y

δ δ δδ δ δ

= = =



162

Contoh:

Katakan 2 3( , ) = 2 + 3 + 2 + 5f x y x xy y . Cari

(a) fx (−1, 2)

(b) fy (−4, −3) Penyelesaian:

(a) 2 3( , ) = 2 + 3 + 2 + 5f x y x xy y

Membezakan dengan merujuk kepada x bermakna y adalah sebuah pemalar.

( ) ( ) ( ) ( )3 322 4 , 3 3 , 2 0 5 0f f f fx x xy y yx x x x

δ δ δ δδ δ δ δ

= = = =

3 = 4 + 3xf x y

( ) 31,2 4( 1) 3(2) 4 3(8) 20xf − = − + = − + =

(b) 2 3( , ) = 2 + 3 + 2 + 5f x y x xy y

Membezakan dengan merujuk kepada x bermakna y adalah sebuah pemalar.

( ) ( ) ( ) ( )3 222 0, 3 9 , 2 2 5 0f f f fx xy xy yy y y y

δ δ δ δδ δ δ δ

= = = =

fx = 29 + 2xy

fx (−4,−3) = 29( 4)( 3) + 2 = 29(– 4)(9) + 2 = −324 + 2= −322



163

TERBITAN SEPARA TERTIB TINGGI

Idea pembezaan tertib kedua bagi fungsi dengan satu pembolehubah y=f(x) boleh diaplikasikan kepada fungsi dengan pelbagai pembolehubah di mana pembezaan separa darjah pertama akan dibezakan sekali lagi dengan merujuk kepada x dan y. Jika = ( , )z f x y

x yz zf and fx y∂ ∂

=∂ ∂

= pembezaan tertib pertama

9.3

1. Diberi 4 3 3 2( , ) = 2 + 6 + 5 – 8f x y x x y y . Cari fx dan fy . 2. Diberi 2 2( , ) = 8 + 5 – 9 + 4f x y x xy y . Dapatkan

(a) fx (0, 4) (b) fx (−1, 2)

(c) fy (−2, 5) (d) fy (0, 0)

3. Suhu air sungai apabila sebuah loji kuasa nuklear melepaskan air

panasnya dianggarkan dengan fungsi T(x, y) = 2x + 5y + xy 40, di mana x mewakili suhu air sungai yang disukat dalam°C sebelum ia sampai pada loji tersebut dan y adalah bilangan megawatt (dalam ratus) elektrik yang dihasilkan secara tahunan dalam loji itu.

(a) Cari suhu air sekitar kilang tersebut jika suhu air sebelum sampai pada kilang adalah 10°C dan arus elektrik yang dihasilkan setahun adalah 400 megawatt.

(b) Cari dan tafsir Tx (5, 4).

(c) Cari dan tafsir Ty (8, 3).

LATIHAN 9.2



164

( )

( )

( )

( )

x xx

y yy

y yx

x xy

z f fx x x

z f fy y y

z f fx x x

z f fy x y

δ δ δδ δ δ

δ δ δδ δ δ

δ δ δδ δ δδ δ δδ δ δ

⎫⎛ ⎞ = =⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪⎪⎛ ⎞

= = ⎪⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎬

⎛ ⎞ ⎪= =⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪⎛ ⎞ ⎪= =⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭

pembezaan separa tertib kedua

Contoh:

Cari semua terbitan separa darjah kedua bagi fungsi 3 2 3 2( , )= 4 3 + 2f x y x x y y . Penyelesaian:

Mula-mula, kita mesti mencari pembezaan separa tertib pertama, fx dan fy .

Diberi 3 2 3 2( , ) = 4 3 + 2f x y x x y y .

Kemudian,

2 3( , ) = 12 6 xf x y x xy

2 2 ( , ) = 9 + 4yf x y x y y

Bagi mendapatkan fxx , laksanakan pembezaan separa dengan merujuk kepada x

ke atas fx

( ) ( )2 3

3

12 6

24 6

xf x xyx x

x y

δ δδ δ

= − −

= − −

Bagi mendapatkan fyy, laksanakan pembezaan separa dengan merujuk kepada y ke atas fy

( ) ( )2 2

2

9 4

18 4

δ δδ δ

= − +

= − +

yf x y yy y

x y



165

Bagi mendapatkan fyx , laksanakan pembezaan separa dengan merujuk kepada x ke atas fy

( ) ( )2 2

2

9 4

18

yf x y yx y

xy

δ δδ δ

= − +

= −

Bagi mendapatkan fxy , laksanakan pembezaan separa dengan merujuk kepada y ke atas fx

( ) ( )2 3

2

12 6

18

δ δδ δ

= − −

= −

xf x xy ay y

xy

1. Dapatkan semua terbitan separa tertib kedua bagi2 2 2 4( , ) = 4 – 9 + 8 – 3f x y x y xy x y

2. Dapatkan semua terbitan separa tertib kedua bagi fungsi yang berikut:

(a) 3 2( , ) = 6 – 9 + 2f x y x y y x

(b) 2 2 2( , ) = 4 – 5 + 12 R x y x xy y x

(c) ( ) 4, xr x yx y

=+

LATIHAN 9.3

Bagi mendapatkan contoh dan aplikasi pembezaan separa, layari:

http://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/partialdifferentiation/

AKTIVITI 9.2



166


1. Cari terbitan separa and x yf f kepada 2( , ) 2 3f x y x xy= + .

A. 4 3 ; 3x yf x y f xy= + =

B. 4 3 ; 3x yf x xy f x= + =

C. 4 3 ; 3x yf x y f x= + =

D. 4 3 ; 3x yf x xy f xy= + =

2. Cari terbitan separa 3 2 2( , )g w z w z= + .

A. ( ) ( )2/3 2 /32 2 2 2

2 2; 3 3

w zw zg g

w z w z= =

+ +

B. 2 22 ; 2w zg w z g w w= + = +

C. ( ) ( )2 /3 2 /32 2

2 2; 3 2 3 2

w zw zg g

w z w z= =

+ +

D. ( ) ( )2/3 2 /32 2 2 2

1 1; 3 3

w zg gw z w z

= =+ +

3. Cari fx(2, 1) jika 3 2( , ) 3f x y x y=

A. 36 B. 1152 C. 2 29x y D. 36x y 4. Cari semua terbitan separa tertib kedua

bagi 3 2( , ) 6 9 2f x y x y y x= − +

A. 2 218 ; 18; 18xx yy xy yxf x y f f f x= = − = =

B. 236 ; 18 ; 18xx yy xy yxf xy f y f f x= = − = = −

C. 236 ; 18; 18xx yy xy yxf xy f f f x= = − = =

D. 218 ; 18 ; 18xx yy xy yxf xy f y f f x= = − = = −



167

• Perbincangan dalam topik ini hanya terhad kepada fungsi dengan dua

pembolehubah.

• Pembezaan separa darjah pertama = ( , )z f x y dengan merujuk kepada x

ialah fx atau .fx

δδ

Di sini, x adalah pembolehubah manakala y dianggap

sebagai pemalar.

• Pembezaan separa bagi darjah pertama = ( , )z f x y dengan merujuk kepada y

adalah fy atau .fy

δδ

Di sini, y adalah pembolehubah manakala x dianggap

sebagai pemalar.

• Pembezaan separa darjah kedua bagi = ( , )z f x y ialah:

fxx atau ( fx ) x

fyy atau ( fy ) y

fxy atau ( fx ) y

fyx atau ( fy ) x • Perhatikan bahawa fxy =fyx .

Fungsi pelbagai pembolehubah

Pembezaan separa

Pembolehubah bersandar

Pembolehubah tak bersandar

5. Diberi 3 2 2( , ) 7 8f x y x y x y= + + , Cari fyy.

A. 14xy B. 214x C. 214 y D. 214x y


PENGENALAN

Salah satu aplikasi pembezaan separa yang akan dibincangkan dalam topik ini adalah bagaimana mendapatkan titik maksimum dan minimum bagi sebuah fungsi dengan pelbagai pembolehubah.

Rajah 10.1

Rajah 10.1 menunjukkan bahawa titik A, B dan C adalah titik maksimum manakala titik D dan E adalah titik minimum.

TTooppiikk

1100

Aplikasi Pembezaan Separa


1. Mencari titik kritikal bagi fungsi dengan dua pembolehubah;

2. Menentukan ciri-ciri titik kritikal, sama ada titik-titik tersebut adalahmaksimum, minimum atau titik pelana menggunakan Ujian M; dan

3. Menggunakan kaedah pengganda Lagrange bagi menyelesaikanmasalah maksimum dan minimum yang melibatkan kekangan.


TOPIK 10 APLIKASI PEMBEZAAN SEPARA

169

Topik ini akan membincangkan aplikasi pembezaan separa. Dalam dunia perniagaan, kita ingin memaksimakan keuntungan tetapi banyak masanya terdapat beberapa kekangan. Hal ini boleh diselesaikan menggunakan kaedah pengganda Lagrange.

MAKSIMUM DAN MINIMUM BAGI FUNGSI DENGAN DUA PEMBOLEHUBAH

Sama seperti fungsi dengan satu pembolehubah yang telah dibincangkan sebelum ini, jika a ialah titik kritikal (titik maksimum atau minimum), maka fÊ(a) = 0. Bagi fungsi dengan dua pembolehubah, jika (a, b) ialah titik kritikal (titik maksimum atau minimum), maka fx (a, b) = 0 dan fy (a, b) = 0. Selain titik maksimum dan minimum, (a,b) juga boleh menjadi titik pelana di mana titik pelana adalah bukan titik maksimum atau minimum. Rajah 10.2 menunjukkan titik kritikal sebagai titik pelana. Melukis satu titik dari satu arah (pada paksi-x) menunjukkan satu titik maksimum manakala melukis satu titik dari arah satu lagi (pada paksi-y) menunjukkan titik minimum.

Rajah 10.2

10.1



170

Contoh:

Diberi 2 2( , ) = 6 + 6 + 6 + 36 – 5f x y x y xy y

(a) Cari titik kritikal bagi ( , )f x y .

(b) Tentukan sama ada titik tersebut adalah titik maksimum, minimum atau pelana.

(c) Kirakan nilai minimum atau maksimum.

Penyelesaian:

(a) Bagi mendapatkan titik kritikal, bezakan dengan merujuk kepada x dan y:

2 2( , ) = 6 + 6 + 6 + 36 – 5f x y x y xy x

fx = 12x + 6y + 36 fy = 12y + 6x

fx = 0 dan fy = 0 bagi titik kritikal

12x +6y + 36 = 0 ⇒ (1)

6x + 12y = 0 ⇒ (2) Selesaikan persamaan secara serentak.

Dari (2), 6x = 12y

x = 2y ⇒ (3)

Ujian M dijalankan untuk menentukan sama ada titik tersebut adalah titik maksimum, minimum atau titik pelana. Diberi z = f (x, y), jika satu titik (a, b) wujud, di mana

fx (a, b) = 0 dan fy (a, b) = 0 Takrifkan M = [fxx (a, b) ×fyy (a, b)] − [fxy (a, b)] 2,maka:

( , )f a b adalah titik maksimum jika M> 0 dan fxx (a, b) < 0.

( , )f a b adalah titik minimum jika M> 0 dan fxx (a, b) > 0.

( , )f a b adalah titik pelana jika M< 0. Jika M = 0, maka ujian ini tidak mendapat sebarang keputusan.



171

Gantikan (3) ke dalam persamaan (1).

12( 2y) + 6y + 36 = 0

24y + 6y + 36= 0

18y = 36

y = 2

Gantikan y = 2 ke dalam persamaan (3).

x = 2(2) = 4. Maka,( 4, 2) adalah titik kritikal.

(b) Bagi menentukan sama ada ia adalah maksimum atau minimum, kita perlu mendapatkan semua pembezaan separa darjah kedua.

fx = 12x + 6y + 36 fy = 12y + 6x

fxx = 12fxy= 6 fyy = 12fyx = 6

M = fxxfyy (fxy) 2

= (12)(12) (6) 2

= 144 36

= 108

Jika M = 108 (> 0), fxx = 12 (> 0), maka titik ( 4,2) adalah titik minimum. (c) Bagi mendapatkan nilai minimum, kita perlu menggantikan nilai x dan y

ke dalam fungsi 2 2( , ) = 6 + 6 + 6 + 36 – 5f x y x y xy x 2 2( , ) = 6 + 6 + 6 + 36 – 5f x y x y xy x

(–4,2) f 2 2= 6(–4) + 6(2) + 6(–4)(2) + 36(–4) – 5 = 77 Maka, nilai minimum adalah 77. Contoh:

Cari titik kritikal bagi ( , )f x y 2 2= 50 + 4 - 5 + + + xyx y x y dan tentukan sama ada ia adalah titik maksimum atau minimum.



172

Penyelesaian:

2 2( , ) = 50 + 4 – 5 + + + f x y x y x y xy Bezakan masing-masing dengan merujuk kepada x dan y.

fx = 4+ 2x + y

fy = 5 + 2y + x

Bagi mendapatkan titik kritikal,

fx = 0 dan fy = 0 Maka,

4+ 2x + y = 0 dan 5 + 2y + x = 0 Penyusunan semula memberikan:

2x + y = 4(1)

x + 2y = 5 (2) Selesaikan menggunakan kaedah pembezaan. Hapuskan x seperti yang berikut: 2x + y = 4 (1) (2) × 2 2x + 4y = 10 (3)

(1) (3) 3y = 14

y = 143

Gantikan 143

y = ke dalam persamaan (1).

142 43

142 43

12 14 2623 3

133

x

x

x

x

⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

= − −

− − −= =

= −



173

Maka,13 14,3 3

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

adalah titik kritikal.

Bagi menentukan sama ada ia adalah titik maksimum atau minimum, kita perlu mendapatkan semua pembezaan separa darjah kedua.

4 2 25 2 2

1

= + + =

= − + + =

= =

x xx

y yy

xy yx

f x y ff y x f

f f

( )( )( )

2

22 2 13

xx yy xyM f f f= −

= −

=

M = 3 (> 0), fxx = 2 (> 0), maka titik13 14,3 3

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

adalah titik minimum.

Contoh:

Fungsi kos bagi sebuah syarikat pengeluar minuman berkarbonat dianggarkan oleh:

3 2( , ) = 2200 + 27 – 72 + 8 C x y x xy y di mana x adalah jumlah gula dalam kilogram dan y adalah jumlah perasa dalam gram. Dapatkan:

(a) Jumlah gula dan perasa yang akan mengurangkan kos; dan

(b) Kos minimum. Penyelesaian:

( ) 3 2

2

, 2200 27 72 8

81 7272 16

x

y

C x y x xy y

C x yC x y

= + − +

= −= − +

(a) Bagi mendapatkan titik kritikal, Cx = 0 dan Cy = 0.

281 72 = 0x y (1) 72x + 16y = 0 (2) Selesaikan bagi y dan samakan persamaan.



174

Dari (1), 281 = 72x y

28172

x y= ⇒ 298

y x= (3)

Dari (2), 72x = 16y

7216

x y= ⇒ 92

y x= (4)

(3) = (4), 29 98 2

x x=

( )

2

2

8 24

4 00 or 4

x x

x xx x

x x

=

=

− =

= =

Apabila x = 0, 92

y x= ( )9 0 02

= =

⇒ (0,0) adalah titik kritikal

Apabila x = 4, 92

y x= ( )9 4 182

= =

⇒ (4, 18) adalah titik kritikal kedua

Walaubagaimanapun, keputusan (0, 0) adalah tidak logik kerana kita sedang mencari jumlah gula dan perasa. Maka, kita hanya akan menggunakan titik (4, 18). Kita perlu menentukan sama ada titik itu adalah titik minimum dengan menggunakan Ujian M.

2 = 81 72 xC x y Cxx = 162x

yC = 72x + 16y yyC = 16

= = 72xy yxC C



175

M = CxxCyy (Cxy) 2(x masih wujud, maka kita gantikan x = 4 kerana

= (162x)(16) ( 72) 2 titik kritikal wujud apabila x = 4)

= (162)(4)(16) ( 72) 2

= 5184

Cxx = 648 > 0, M> 0, maka kos telah dikurangkan. (b) Kos dikurangkan apabila x = 4 dan y = 18,

( , )C x y = 3 22200 + 27 72 + 8x xy y

(4,18)C = 3 22200 + 27(4) 72(4)(18) + 8(18)

= 1336

Maka, kos minimum adalah RM1,336.

Selepas memerhati Rajah 10.1 dan 10.2, dan mempelajari kaedah pembezaan dengan dua pembolehubah, pada pendapat anda, apakah aplikasi topik ini dalam bidang kejuruteraan?

AKTIVITI 10.1



176

PENGGANDA LAGRANGE

Dalam subtopik 10.1, kita telah melihat bagaimana relatif maksimum dan relatif minimum bagi fungsi dengan dua pembolehubah boleh dicari. Bila mengamalkan fungsi, ia biasanya hadir dengan kekangan. Masalah yang melibatkan kekangan boleh diselesaikan dengan menggunakan kaedah pengganda Lagrange.

10.2

1. Cari titik kritikal dan tentukan sama ada titik tersebut adalah titik maksimum, titik minimum atau titik pelana.

2 2

2 2

2 2

2 2

(a) ( , ) = + –

(b) ( , ) = – 2 + 2 + – 5

(c) ( , ) = – + + 2 +2y+ 6

(d) ( , ) = + 3 + 3 – 6 + 3y

(e) ( , ) 4 – 10 – 4 8 8 9

(f ) ( , )

= + + +

=

f x y xy x y

f x y x xy y x

f x y x xy y x

f x y x xy y x

f x y xy x y x y

f x y x2 – 2 – 2 2+ +xy x y

2 2

3 2

2 3

(g) ( , ) = – – 2 + 4 – 7

(h) ( , ) = 2 – 3 – 12 + 4

(i) ( , ) = + 4 6 1– –

f x y x y x y

f x y x y xy

f x y x y xy

2. Fungsi keuntungan bagi syarikat diberi oleh:

2 2( , ) = 1000 + 24 + 80 – –P x y x x y y

di mana x adalah kos buruh dan y adalah kos bahan mentah. Cari bilangan x dan y yang akan memaksimakan keuntungan. Apakah keuntungan maksimum?

LATIHAN 10.1



177

Contoh:

Cari nilai minimum bagi 2 2 ( , ) = 5 + 6 f x y x y xy dengan kekangan x + 2y = 24 menggunakan langkah yang berikut.

(a) Nyatakan kekangan dari segi persamaan yang bersamaan dengan sifar dan dalam bentuk g(x, y) = 0. Kekangan x + 2y = 24 menjadi x + 2y 24 = 0.

(b) Bentukkan fungsi Lagrange, ( , , )f x y λ di mana

( ) ( ) ( )( )2 2

2 2

, , , ,

5 6 2 24

5 6 2 24

f x y f x y g x y

x y xy x y

x y xy x xy

λ λ

λ

λ λ λ

= +

= + − + + −

= + − + + −

(c) Cari Fx , Fy dan Fλ dan samakan dengan sifar.

( )( )( )

10 0 1

12 2 0 2

2 24 0 3λ

λ

λ

= − + = ⇒

= − + = ⇒

= + − = ⇒

x

y

F x y

F y x

F x y

(d) Selesaikan tiga persamaan serentak.

( )( )( )

10 0 1

12 2 0 2

2 24 0 3

x y

y x

x y

λ

λ

− + = ⇒

− + = ⇒

+ − = ⇒

Gunakan (1) dan (2), dan samakan λ bagi mendapatkan hubungan antara x dan y.

Teorem: Kaedah Pengganda Lagrange Nilai maksimum atau minimum bagi fungsi z = f (x,y) dengan kekangan g (x, y) = 0 boleh ditentukan antara titik (x, y),

di mana wujudnya λ, Fx (x, y,λ) = 0 Fy (x, y,λ) = 0 Fλ (x, y,λ) = 0 diberi F (x, y, λ) = f (x, y) + λ g(x, y)



178

( )4 (5) 2 2

2 20 1214 21

2 3

y x x yy xy x

λ λ= =

− = −==

because

Gantikan hubungan ini ke dalam (3). Masukkan 3x = 2y ke dalam (3)

( )2 24 0 33 24 0

4 246

x yx x

xx

+ − = ⇒

+ − ===

Gantikan x = 6 ke dalam persamaan 3x = 2y

( )3 2

3 6 218 2

9

x yyy

y

=

=

==

Maka, x = 6 dan y = 9 akan mengurangkan fungsi f (x, y) = 2 25 + 6 x y xy .

Nilai minimum adalah: f (x, y) = 2 25 + 6 x y xy .

2 2(6, 9) 5(6) 6(9) – (6)(9) 612f = +

=

Terdapat empat langkah bagi menyelesaikan masalah yang melibatkan kekangan dengan menggunakan kaedah pengganda Lagrange.

1. Nyatakan kekangan dalam persamaan yang bersamaan dengan sifar,

g(x, y) = 0.

2. Bentukkan sebuah fungsi F(x, y,λ) = f (x, y) + λ g(x, y)

3. Dapatkan terbitan separa dan samakannya kepada sifar.

Fx = Fy = Fλ = 0

4. Selesaikan persamaan secara serentak.

kerana



179

Contoh:

Cari dua nombor yang jumlahnya adalah 50 dan produknya adalah maksimum. Penyelesaian:

Katakan dua nombor adalah x dan y. Kita perlu memaksimakan pendaraban (produk) dua nombor berkenaan, iaitu f (x, y) = xy dengan kekangan x + y = 50 1. x + y = 50; maka g(x, y) = x + y 50 2. F(x, y,λ) = f(x, y) + λ g(x,y)

= xy + λ(x + y 50)

= xy + λx + λy 50λ 3. Fx = y + λ y + λ = 0 ⇒ (1)

Fy = x + λ x + λ = 0 ⇒ (2)

Fλ = x + y 50 x + y 50 = 0 ⇒ (3) 4. Selesaikan ketiga-tiga persamaan secara serentak dengan menyamakan λ.

Dari (1),λ = -y Dari (2),λ = - x Bila λ disamakan, kita dapatkan hubungan y=x Gantikan hubungan y = x ke dalam (3):

50 02 50

25, 25

x xxx y

+ − === =

Oleh itu,y = 25. Maka, xy = 25 × 25 = 625

Maka, dua nombor yang akan memaksimakan produk mereka adalah 25 dan 25 dengan produk mereka bersamaan dengan 625.



180

1. Apakah yang menyebabkan kekangan? Jelaskan.

2. Bagi perbincangan lebih lanjut mengenai pengganda Lagrange, layari laman sesawang: http://www.mathworld. wolfram.com/ LagrangeMultiplier.html

AKTIVITI 10.2

1. Maksimakan f (x, y) = 2xy dengan kekangan x + y = 12.

2. Maksimakan f (x, y) = 2x y dengan kekangan 2x + y = 4.

3. Maksimakan f (x, y) = 2 2 + – x y xy dengan kekangan x + y = 8.

4. Maksimakan f (x, y) = 2 2 10–x y dengan kekangan x y = 18.

5. Cari dua nombor (contohnya, x dan y) yang apabila dijumlahkan hasilnya ialah 12 dan hasil 2x y dapat dimaksimakan.

6. Cari dua nombor yang apabila dijumlahkan hasilnya adalah 20 dan produk kepada kedua-dua nombor dimaksimakan.

7. Cari dua nombor, x dan y, yang mana memberikan x + y = 20 and 2xy dimaksimakan.

8. Seorang peladang mempunyai 200 meter kawasan untuk dipagari. Cari dimensi ladang berbentuk segi empat tepat itu yang secara maksimum boleh ditutup dengan pagar tersebut.

LATIHAN 10.2



181


1. Cari titik kritikal bagi 2 2( , ) 2 2 5f x y x xy y x= − + + − .

A. ( 1, 1/2) B. ( 1, 1/2) C. ( 1, 1/2) D. (1, 1/2)

2. Bagi fungsi yang diberikan dalam Soalan 1 di atas, titik kritikal

adalah A. maksimum B. minimum C. saddle D. infimum

3. Dengan menggunakan pengganda Lagrange, titik kritikal

bagi ( , ) 2 ,f x y xy= tertakluk kepada 12x y+ =

A. (6, 6) B. ( 6, 6) C. (4, 4) D. (3, 3)

Maklumat seterusnya adalah bagi soalan 4 dan 5. Tentukan dimensi bidang segi empat tepat yang terbesar yang

boleh diliputi dengan 600 meter pagar. Anggap bahawa salah satu bahagian dalam ladang tersebut tidak memerlukan pagar.

4. Apakah kekangan bagi masalah ini?

A. 2 2 - 600 0x y+ = B. 2 - 600 0x y+ =

C. - 600 0 xy = D. 600 0x − = 5. Apakah dimensi bagi ladang tersebut?

A. (150, 150) B. (300, 300)

C. (150, 300) D. (150, 200)



182

• Ujian M diaplikasikan untuk menentukan sama ada satu titik kritikal adalah

titik maksimum atau minimum, atau titik pelana.

• Kaedah pengganda Lagrange adalah keadah bagi mendapatkan nilai maksimum dan minimum daripada sebuah fungsi z = f (x, y) dengan kekangan g (x, y) = 0.

• Titik maksimum dan minimum (x, y) boleh ditentukan apabila ( , , )F x y λ = f (x, y) + λg(x, y) di mana wujudnya λ, iaituFx (x, y,λ) = 0, Fy (x, y,λ) = 0 dan Fλ (x, y,λ) = 0.

Kaedah pengganda Lagrange

Titik maksimum

Titik minimum

Titik pelana

Ujian M dijalankan untuk menentukan titik maksimum dan minimum Katakan z = ( , )f x y , dan jika titik (a, b) wujud, di mana fx(a, b) = 0 dan fy(a, b) = 0.

Kemudian Ujian M = ( ) ( ) ( ) 2, , ,xx yy xyM f a b f b f a b⎡ ⎤ ⎡ ⎤= × −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Maka, ( , )f a b adalah titik maksimum jika M> 0 dan fxx(a, b) < 0. ( , )f a b adalah titik minimum jika M> 0 dan fxx(a, b) > 0. ( , )f a b adalah titik pelana jika M< 0.

Jika M = 0, ujian ini tidak mendapat sebarang keputusan.


JAWAPAN

183

Jawapan

TOPIK 1: MATRIKS

Latihan 1.1 1. (a) 3 x 2 (b) 1x 3 (c) 3 x 1

2. a ≠ 0

3. Matriks identiti hanya wujud bagi matriks kubik.

4. (a) Matriks sifar

(b) Matriks lajur

(c) Matriks baris

Latihan 1.2

1. (a) 6 3 9

12 0 3−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(b) 2 2 19 1 4

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

(c) 6 33 12 5

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

(d) Tidak mungkin

(e) 130 140

110 60−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

(f) 27 35

4 26−⎡ ⎤

⎢ ⎥−⎣ ⎦


JAWAPAN

184

(g) 20 2 2

2 1 32 3 10

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

2. 2 1

5 2A

− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Latihan 1.3

1. (a) 11

(b) 2 2 + a b

(c) −27

(d) 27

2. (a) 1

(b) determinan tidak wujud

Latihan 1.4

1. (a)

1 27 71 37 14

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(b) 2 11 31 6 20 1 0

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

(c) tidak wujud

(d)

13 7 110 5 22 1 05 57 3 1

10 5 2

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦


JAWAPAN

185

2. 15 32 2

2 1A−

⎡ ⎤− −⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦

3. (a) 1 1 d bB

c aad bc− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−− ⎣ ⎦

(b) ad bc ≠ 0

Latihan 1.5

1. dan 2. (a) 24 23,5 5

x y= =

(b) 1, 3, 2x y z= − = =

(3) (a) 2 10 60, ,

17 17 17x y z= − = − = −

(b) 1, 0, 5x y z= = = − Soalan Aneka Pilihan 1. (a) B (b) D 2. D 3. C 4. D

TOPIK 2: FUNGSI LINEAR DAN KUADRATIK

Latihan 2.1

1. (a) 1 , 12

m c= = − (b) m = −5, c = −5

(c) m = −3, c = 0 (d) 2 5,

3 3m c−= =

2. y = −x + 5 3. 3y = 8x − 4 4. 2y + x = 4 5. 3y + x + 3 = 0


JAWAPAN

186

Latihan 2.2

(a)

(b)

(c)

Latihan 2.3

(a) Parabola melengkung ke atas Titik pusingan adalah (3, 4). Persilangan y adalah (0, 5). Persilangan x adalah (1, 0) dan (5, 0). (b) Parabola melengkung ke atas Titik pusingan adalah ( 2, 4). Persilangan y adalah (0, 0). Persilangan x adalah (0, 0) dan ( 4, 0). (c) Parabola melengkung ke bawah Titik pusingan adalah ( 1, 2). Persilangan y adalah (0, 3). Tiada persilangan- x


JAWAPAN

187

(d) Parabola melengkung ke atas Titik pusingan adalah (0, 16). Persilangan y adalah (0, 16). Persilangan x adalah (4, 0) dan ( 4, 0). (e) Parabola melengkung ke bawah Titik pusingan adalah (2, 1). Persilangan y adalah (0, 3). Persilangan x adalah (1, 0) dan (3, 0).

Latihan 2.4

(a) (1, 8) (b) (0, 2) (c) (2, 1) (d) ( 3, 1) dan ( 1, 7) (e) (1, 1) dan (2, 2) (f) (1, 9) dan (3, 29) Soalan Aneka Pilihan 1. C 2. B 3. C 4. A 5. A

TOPIK 3: APLIKASI FUNGSI LINEAR DAN KUADRATIK

Latihan 3.1

1. (450, 9.50) 2. p = RM75, q = 5225

Latihan 3.2

1. 2p = 100q 600 adalah persamaan bekalan p = -50q + 600 adalah persamaan tuntutan p = RM150, q = 9


JAWAPAN

188

2. (a) 50q (b) 40q + 5000 (c) 10q 5000 (d) 500

Latihan 3.3

(a) 21850 5p p

(b) RM9,125

(c) RM185

(d) RM171,125 Soalan Aneka Pilihan 1. D 2. A 3. C 4. D 5. C

TOPIK 4: FUNGSI EKSPONEN DAN LAGARITMA

Latihan 4.1

(a) 127

(b) 1 (c) 3

(d) 14

(e) 125 (f) 8

Latihan 4.2

(a) −2 (b) −3 (c) 1

(d) 14

(e) 2 (f) −1

Latihan 4.3

1. (a) 52 = 25 (b) 2x = y (c) 10−1 = 0.1


JAWAPAN

189

2. (a) log10 100 = 2 (b) 10ga 1 = 0 (c) log218

= −3

3. (a) 4 (b) 13

(c) 1

(d) −1 (e) 2 (f) −4

4. (a) 12

(b) 3 (c) 3

(d) 4 (e) 20 (f) 20

Latihan 4.4

1. (a) 55 tahun (b) 97,045 orang

2. (a) RM6,016.61

(b) RM14,693.28 (c) RM11,373.99 (d) RM2,354.99

3. (a) RM15,000

(b) RM10,000 (c) RM6,000 (d) RM25,000

Soalan Aneka Pilihan 1. B 2. D 3. B 4. A 5. C

TOPIK 5: PEMBEZAAN

Latihan 5.1

(a) 0 (b) 0

(c) 0 (d) 0

(e) 67x (f) 45x


JAWAPAN

190

(g) 532

3r−

− (h) 853

5t−

−

(i) 145

4x (j)

325

2x

(k) 34x (l) 2

3 10xx−

+

(m) 3 (n) 14

−

(o) 2x + 4 (p) 10x3

(q) 2

48xx

+ (r) ( ) ( )31 2 10 7x x− − −

(s) ( ) ( )31 10 2x x+ − (t) ( )

2

22

2 2

2

x x

x

− − +

+

(u) ( )( )

3

22

2 2 6 1

1

x x x

x

+ −

+ (v) 4(2x 1)

(w) 2 410 ( + 4)x x (x) ( ) ( )1

2 23 2 1 3 1x x x−

− + −

(y) 2

2 52 5

xx x−

− (z)

( )

2

2

2 2 433 3

xx x

⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ +⎝ ⎠

Soalan Aneka Pilihan 1. D 2. D 3. A 4. B 5. C

TOPIK 6: APLIKASI PEMBEZAAN

Latihan 6.1

1. (a) 24 24x − (b) 4

12x

2. (a) 0 (b) 24 (c) 412x−−


JAWAPAN

191

Latihan 6.2

1. (a) 10x + 5000 (b) RM7,000

(c) 500010

x+ (d) 10

2. (a) 2100 000 + 1500 + 0.2q q (b) 1500 + 0.4q

(c) 1504

3. (a) 4003

4q

q+ + (b) 2

1 4004 q−

(c) 40 unit 4. (a) 10 dozen (b) RM203,000

5. (a) 2500 75 0.25q

q+ (b) 100

(c) RM12,500

Latihan 6.3

1. (a) 30.01 + 840 q (b) 20.001 + 840q

(c) 20.003 + 840q 2. (a) 22 0.1x x (b) RM1,000 3. (a) RM200 (b) RM400

Latihan 6.4

1. (a) 2( ) = 54 R q q q (b) K(q) = 4q + 100

(c) ( ) 2 50 100q q q∏ = − + − (d) RM29 2. (a) 2300 x x (b) 21.1 + 286 100x x


JAWAPAN

192

(c) 130 (d) RM170

(e) RM18,490

3. (a) 3 21 2 53

x x− + (b) 3 22 5 163

x x x− +

(c) 3 21 3 16 53

x x x− + − (d) 8

(e) RM101.67 Soalan Aneka Pilihan 1. (a) D (b) C 2.(a) A (b) C 3. D

TOPIK 7: PENGAMIRAN

Latihan 7.1

1. x cπ + 2. ex c+

3. 8p3x + c 4. 3

3ex c+

5. 4 3

4u c

u− + 6.

3 5 32 4

2

1 2 122 3 5 3

xx x cx

− − + +−

7. 2 5

2 5x x c+ + 8.

2

3

2 12 3x c

x x− + +

9. 0.07

0.07

te c−

+−

10. 3 4

3

se c+

+

11. 2

1 12ln x x cx x

− + + − + 12. 2

4ln8

xxx e c+ + +


JAWAPAN

193

Latihan 7.2

1. 654

2. 8710

3. 223

4. 13

−

5. 2115

6. 53e

7. 4 ln 8 8. 203

Latihan 7.3

1. ( )241 8 28

t t c− + + 2. ( )1

2 23 4 24

x c+ +

3. ( )

322 2

3

xec

++ 4.

( )32 3

1

18 4 3 2c

x x+

− −

5. ( )2

2 33 1 28

s c− − + 6. ( )21 ln 2 12

x x c+ + +

Soalan Aneka Pilihan 1.B 2.C 3.A 4.A 5.D

TOPIK 8: APLIKASI PENGAMIRAN

Latihan 8.1

1.

(a) 43

(b) 12 (c) 4 (d) 18

2.

(a) 43

(b) 323

(c) 92

(d) 16


JAWAPAN

194

Latihan 8.2

1. (a) 3 20.001 0.015 + 176q q

(b) RM45,038

2. RM2,000

3. (a) 23 15 8000

2x x

(b) 2165 3 8000x x

4. Lebihan pengguna: 11,250

Lebihan pengeluar: 11,250

5. 3 20.001 0.01 10003

q q

6. CS = 9,000, PS = 18,000

7. CS = 166.66, PS = 53.33

Soalan Aneka Pilihan 1. A 2. C 3. A 4. C 5. A TOPIK 9: PEMBEZAAN SEPARA

Latihan 9.1

1. (a) 6 2. (a) 92 3. (a) -8 (b) 20 (b) 47 (b) 68 4. (a) 1300 (b) 500 (c) 1996


JAWAPAN

195

Latihan 9.2

1. xf 3 2 3= 8 + 18x x y

yf 3 2= 18 + 10x y y

2. (a) 80 (b) 4 (c) −109 (d) −9 3. (a) 40°C

(b) 6. Suhu air di sekitar kilang akan meningkat sebanyak 6°C jika suhu air yang mendekati kilang tersebut meningkat dari 5°C hingga 6°C, manakala kilang tersebut menjanakan 400 megawatt.

(c) 13. Suhu air di sekitar kilang akan meningkat sebanyak 13°C jika arus elektrik yang dijana oleh kilang tersebut meningkat dari 300 megawatt hingga 400 megawatt, manakala suhu air yang mendekati kilang adalah 8°C.

Latihan 9.3

1. 28 16xxf y= +

2 2

3

8 36

16 9 36yy

xy yx

f x y

f xy y f

= −

= − − =

2. (a) 236 18 18xx yy xy yxf xy f f f x= = − = =

(b) 2 28 24 24 5 28xx yy xy yxR y R x R R xy= + = = = − +

(c ) ( ) ( ) ( )3 3 3

8 8 4 4xx yy xy yx

y x x yr r r rx y x y x y− −

= = = =+ + +

Soalan Aneka Pilihan 1. B 2. A 3. A 4. C 5. B


JAWAPAN

196

TOPIK 10: APLIKASI PEMBEZAAN SEPARA

Latihan 10.1

1.

(a) (1, −1) titik pelana

(b) 11,2

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

titik minimum

(c) (−2, −2) titik minimum

(d) (15, −8) titik minimum

(e) 2 4,3 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

titik maksimum

(f) (2, −2) titik pelana

(g) (1, 2) titik pelana

(h) (0, 0) titik pelana dan (4,8) titik minimum

(i) (0, 0) titik pelana dan (9/2, 3/2) titik minimum

2. P (12, 40) = 2744

Latihan 10.2

1. f (6, 6) = 72

2. 4 4 64,3 3 27

f ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

3. f (5, 3) = 28

4. f (20, 2) = 360

5. x = 8 y = 4

6. (10, 10)


JAWAPAN

197

7. x = 20/3 y = 40/3

8. (50, 50)

Soalan Aneka Pilihan 1. B 2. B 3. A 4. B 5. C


MODULE FEEDBACK MAKLUM BALAS MODUL

If you have any comment or feedback, you are welcome to:

1. E-mail your comment or feedback to [email protected]

OR

2. Fill in the Print Module online evaluation form available on myINSPIRE. Thank you. Centre for Instructional Design and Technology (Pusat Reka Bentuk Pengajaran dan Teknologi )

Tel No.: 03-27732578

Fax No.: 03-26978702



Documents

BBMP1103 Pengurusan Matematik