Paul van derder Werf

Leiden Observatory

Sayılar Ve MüzikSayılar Ve Müzik

Dr. Vural Yiğit Dr. Vural Yiğit

SassoneSassone

EVREN VE SAYILAREVREN VE SAYILAREvrendeki «Güzel» olanın temelinde Evrendeki «Güzel» olanın temelinde acaba matematiksel «Sayılar ve acaba matematiksel «Sayılar ve oranlar» mı vardır?oranlar» mı vardır?

Ünlü matematikçi Pisagor, (M. Ö. Ünlü matematikçi Pisagor, (M. Ö. 570-490) Evrenin, armonik sayılarla 570-490) Evrenin, armonik sayılarla düzenlendiğini düşünmüştür.düzenlendiğini düşünmüştür.

«Musica Universalis-Kürelerin «Musica Universalis-Kürelerin müziği», Pisagor’un, Evrendeki müziği», Pisagor’un, Evrendeki uyumunu açıklamak için kullandığı uyumunu açıklamak için kullandığı bir kavramdır. bir kavramdır. 2

3

Sisam’lı PisagorSisam’lı Pisagor (569 – (569 – 475 BC)475 BC)

Pisagor’un, matemetik ve geometride pek çok buluşu vardır.

Frekanslar ve müzikal aralıklar arasındaki ilişkiyi deneylerle kanıtlamıştır.

Gezegenler arasındaki uzaklıklar, müzikteki seslere karşılık gelir demektedir.

Müzikteki Ses Müzikteki Ses AralıklarıAralıkları

Müzik kuramında aralık; Sesler Müzik kuramında aralık; Sesler arasındaki çeşitli sayısal oranlardır. arasındaki çeşitli sayısal oranlardır. Küçük üçlü, büyük altılı, sekizli vb. Küçük üçlü, büyük altılı, sekizli vb. gibi.gibi.

Eğer iki ses aynı anda duyuluyorsa buna Eğer iki ses aynı anda duyuluyorsa buna «Armonik aralıklar», peş peşe «Armonik aralıklar», peş peşe duyuluyorsa «Melodik aralıklar» deriz.duyuluyorsa «Melodik aralıklar» deriz.

Pisagor'un en büyük başarısı müziğin Pisagor'un en büyük başarısı müziğin temelde, sayılarının orantılı temelde, sayılarının orantılı aralıklarına dayandığını keşfetmesidir. aralıklarına dayandığını keşfetmesidir.

4

RAFAEL’İN ATİNA OKULU TOBLOSURAFAEL’İN ATİNA OKULU TOBLOSU1508-1511 tarihleri arasında Rafael tarafından yapılan 1508-1511 tarihleri arasında Rafael tarafından yapılan bu muhteşem freskte tüm zamanların ünlü düşünürleri bu muhteşem freskte tüm zamanların ünlü düşünürleri birarada görülmektedir. birarada görülmektedir. Sol alt köşede pisagor öğrencilerine müzik öğretiyor.Sol alt köşede pisagor öğrencilerine müzik öğretiyor.

MÜZİK DERSİMÜZİK DERSİ• Dikkatle Dikkatle bakınca, Uzun bakınca, Uzun saçlı öğrencinin saçlı öğrencinin elindekielindeki

«Armonik «Armonik sakalayı» sakalayı» gösteren tableti gösteren tableti görüyoruz.görüyoruz.

MÜZİKTEKİ ORANLARMÜZİKTEKİ ORANLARArmonik skalaArmonik skala

Yunancada, müzikal oranlar; Yunancada, müzikal oranlar; Diatessaron, diapente, Diatessaron, diapente, diapason olarak ifade diapason olarak ifade ediliyordu.ediliyordu.

Romen rakamları ile; 6, 8, Romen rakamları ile; 6, 8, 9, 12, müzikteki 9, 12, müzikteki oranlarıdır.oranlarıdır.

En üstte,Ton anlamındaki, En üstte,Ton anlamındaki, EPOGLOWN, kelimesi EPOGLOWN, kelimesi görünüyor. görünüyor.

Altta, üçgen şeklinde Romen Altta, üçgen şeklinde Romen rakamları ile 10, gizli rakamları ile 10, gizli üçgeni gösteriyor.üçgeni gösteriyor.

Notaların Notaların OranlarıOranları

Pisagor bir telin, uzyıp kısalmasıyla çıkan Pisagor bir telin, uzyıp kısalmasıyla çıkan seslerin değiştiğini fark etmişti. Bu amaçla seslerin değiştiğini fark etmişti. Bu amaçla gitarın tek telli haline(Lir) benzeyen bir gitarın tek telli haline(Lir) benzeyen bir aleti kullanmıştır. aleti kullanmıştır.

Pisagor, bu alet yardımıyla (2:1), (3:2), Pisagor, bu alet yardımıyla (2:1), (3:2), (4:3), (9:8) oranlarını müzikte temel aralık (4:3), (9:8) oranlarını müzikte temel aralık olarak kabul etmiştir.olarak kabul etmiştir.

Buna göre; Do sesini veren bir telin, 15/16’ Buna göre; Do sesini veren bir telin, 15/16’ sı «si» sesini, 5/6’sı «la» sesini, 3/4'ü sı «si» sesini, 5/6’sı «la» sesini, 3/4'ü «sol» sesini, 2/3’ü «fa» sesini, 5/8 i «mi» «sol» sesini, 2/3’ü «fa» sesini, 5/8 i «mi» sesini, 9/16 sı ise «re» sesini vermektedir. sesini, 9/16 sı ise «re» sesini vermektedir.

8

Pisagor’a Göre Temel Pisagor’a Göre Temel AralıklarAralıklar

2:1→ oktav 2:1→ oktav (sekizli)(sekizli)

3:2→ Tam 3:2→ Tam beşlibeşli

4:3→Tam 4:3→Tam dörtlüdörtlü

9:8→ Tam ses 9:8→ Tam ses (büyük ikili)(büyük ikili)

9

10

PPisagor’un Akortlarıisagor’un AkortlarıNota Adı Nota Adı AralıkAralıkC C 1/11/1 BirinciBirinciD D 9/89/8 İkinciİkinci E E 81/6481/64 ÜçüncüÜçüncüF F 4/34/3 DördüncüDördüncü

NNotaAdıotaAdı Aralık AralıkG G 3/23/2 Beşinci BeşinciA A 27/1627/16 AltıncıAltıncıB B 243/128243/128 Yedinci YedinciC C 2/12/1 OOktavktav

Tam aralıklar 9/8 ‘e eşittirYarım aralıklar 256/243’e eşittir

Üçüncü aralık oldukça geniştir 81/64 5/4!

11

Bunları Klavyede Bunları Klavyede GörelimGörelim

C D E F G A B C

Geometrici ÖklidGeometrici ÖklidGeometri derslerinden bildiğimiz Öklid Geometri derslerinden bildiğimiz Öklid de müzikteki sayılarla uğraşmıştır.de müzikteki sayılarla uğraşmıştır.

Öclid (M.Ö. 300)'in müzik çalışmaları Öclid (M.Ö. 300)'in müzik çalışmaları temel olarak Pisagor'a dayanır, ancak temel olarak Pisagor'a dayanır, ancak iki önemli konuda birbirlerinden iki önemli konuda birbirlerinden ayrılırlar; ayrılırlar;

Kurulan majör dizideki Majör 3 'lü ve Kurulan majör dizideki Majör 3 'lü ve Maj. 6'lı aralıklarda, Örneğin Do Maj. 6'lı aralıklarda, Örneğin Do dizisinde Euclid 'in Maj. 3'lüsü dizisinde Euclid 'in Maj. 3'lüsü 4/5=64/80 iken, Pisagor için bu oran 4/5=64/80 iken, Pisagor için bu oran 64/81=8/9 dur. 64/81=8/9 dur.

12

Çok SeslilikÇok SeslilikAntik devirde dört sesin bir arada Antik devirde dört sesin bir arada duyulması prensibi «Tetrakord" olarak duyulması prensibi «Tetrakord" olarak adlandırılmakta ve müzik teorisinin adlandırılmakta ve müzik teorisinin temel kuralı olarak sayılmaktadır.temel kuralı olarak sayılmaktadır.

Böylelikle tetrakord, 6,8,9 ve 12 Böylelikle tetrakord, 6,8,9 ve 12 sayıları ile elde edilmiştir.sayıları ile elde edilmiştir.

İleride değineceğimiz gibi bu sayılar İleride değineceğimiz gibi bu sayılar bize "altın oran" konusunda da bize "altın oran" konusunda da oldukça ilginç örtüşmeler oldukça ilginç örtüşmeler sunmaktadır. sunmaktadır.

13

Leonardo Fibonacci Leonardo Fibonacci (1175-1240) (1175-1240)

Müzik ve sayı ilişkisinde önemli yere Müzik ve sayı ilişkisinde önemli yere sahip İtalyan matematikçidir. sahip İtalyan matematikçidir.

Ünlü “tavşan çiftliği” problemine göre: Ünlü “tavşan çiftliği” problemine göre: çiftlikte bir çift tavşan vardır ve bir ay çiftlikte bir çift tavşan vardır ve bir ay geçtikten sonra bu çift bir tavşan geçtikten sonra bu çift bir tavşan doğurur. doğurur.

Bu deneyin sonunda şu seri bulunur: 1, 1, Bu deneyin sonunda şu seri bulunur: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…377, 610…

Biz bu seriyi «Fibonacci dizisi» olarak Biz bu seriyi «Fibonacci dizisi» olarak biliyoruz.biliyoruz.

14

Altın OranAltın OranDizideki; iki ardışık sayının toplamı, bize Dizideki; iki ardışık sayının toplamı, bize bir sonraki sayıyı, (3+5=8)bir sonraki sayıyı, (3+5=8)

İki ardışık sayının birbirine oranı, hep İki ardışık sayının birbirine oranı, hep aynı sayıyı verir. (8/5=1.6)aynı sayıyı verir. (8/5=1.6)

Buna «Altın Oran» DiyoruzBuna «Altın Oran» DiyoruzAltın Oran, Fi (Altın Oran, Fi (фф) ) irrasyonel bir sayıdır ve irrasyonel bir sayıdır ve ondalık sistemde değeri; ondalık sistemde değeri; «1,61803» ve«1,61803» veyaya tersi olan 1/1,61803 = «0, 61803398..» dır.tersi olan 1/1,61803 = «0, 61803398..» dır.

Mimaride ve müzikte çeşitli dönemlerde «en Mimaride ve müzikte çeşitli dönemlerde «en güzel oran" olarak kullanılmıştır. güzel oran" olarak kullanılmıştır.

15

Doğadaki Altın OranDoğadaki Altın OranGözümüzde canlanması açısından «A4» Gözümüzde canlanması açısından «A4» kağıdının büyük kenarının, küçük kağıdının büyük kenarının, küçük kenarına oranı örnek olarak verilebilir. kenarına oranı örnek olarak verilebilir.

Doğada, biyolojik bir gerçek olarak var Doğada, biyolojik bir gerçek olarak var olan altın oran, özellikle sarmallarda olan altın oran, özellikle sarmallarda kendini gösterir.kendini gösterir.

Salyangoz ve deniz kabukları, kulak ve Salyangoz ve deniz kabukları, kulak ve kemik yapımız, papatya ve ayçiçeği gibi kemik yapımız, papatya ve ayçiçeği gibi çiçek tohumlarında görülen sarmal çiçek tohumlarında görülen sarmal yapılar buna örnektir.yapılar buna örnektir.

16

17

Pisagor Ve Altın Pisagor Ve Altın OranOranAltın oran, matematik ve sanatta, bir Altın oran, matematik ve sanatta, bir bütünün parçaları arasında, güzel olarak bütünün parçaları arasında, güzel olarak gözlemlenen, sayısal bir oran gözlemlenen, sayısal bir oran bağıntısıdır.bağıntısıdır.

İkiye bölünmüş bir doğru parçasında, İkiye bölünmüş bir doğru parçasında, «Bütünün büyük parçaya oranının, büyük «Bütünün büyük parçaya oranının, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşitliği» parçanın küçük parçaya oranına eşitliği» altın orandır.altın orandır.

Pisagor’un tellerini hatırlayacak Pisagor’un tellerini hatırlayacak olursak, 12/9=8/6 eşitliği de bize altın olursak, 12/9=8/6 eşitliği de bize altın oranı vermektedir. oranı vermektedir.

18

Piyanoda Altın Piyanoda Altın OranOran Piyano tuşları, Fibonacci Piyano tuşları, Fibonacci

sayıları ve müzik sayıları ve müzik arasındaki bağlantının arasındaki bağlantının büyüleyici görsel büyüleyici görsel açıklamasına olanak sağlar. açıklamasına olanak sağlar.

Klavyede bir oktav, 5 Klavyede bir oktav, 5 siyah ve 8 beyaz tuş olacak siyah ve 8 beyaz tuş olacak şekilde bölünür, toplamda şekilde bölünür, toplamda 13 tuş vardır. 13 tuş vardır.

Beş siyah tuş biri ikili, Beş siyah tuş biri ikili, biri üçlü olmak üzere iki biri üçlü olmak üzere iki gruba ayrılır. 2, 3, 5, 8 gruba ayrılır. 2, 3, 5, 8 ve 13 birer Fibonacci ve 13 birer Fibonacci Sayısıdır.Sayısıdır.

19

Kemandaki Altın Kemandaki Altın OranOran Antonio Stradivarius (1644-Antonio Stradivarius (1644-

1737) en ünlü keman 1737) en ünlü keman yapımcısıdır.yapımcısıdır.

Yaptığı kemanların ölçüleri, Yaptığı kemanların ölçüleri, altın oranla uyumludur.altın oranla uyumludur.

AB / BC ve AC / CD = AB / BC ve AC / CD = φϕφϕ* * AD / AC = AD / AC = φφ AC / AB =AC / AB =φφ CD / BC =CD / BC =φφ Günümüzde yapılan kemanlar Günümüzde yapılan kemanlar hala bu oranlara sahiptir.hala bu oranlara sahiptir.

**ффϕ ϕ Fi sayısı Fi sayısı20

Müzikte Altın Müzikte Altın OranOranWolfgang Amadeus Mozart (1756-1791)’ın Wolfgang Amadeus Mozart (1756-1791)’ın altın oranı bildiğine inanılır.altın oranı bildiğine inanılır.

Mozart’ın «C Major Sonat No.1» adlı Mozart’ın «C Major Sonat No.1» adlı eserindeki, 38/62=0,613 değerleri eserindeki, 38/62=0,613 değerleri yaklaşık olarak Altın Oranı yaklaşık olarak Altın Oranı vermektedir. vermektedir.

Beethoven’in «5 senfonisi» Beethoven’in «5 senfonisi» matematikteki altın oranla matematikteki altın oranla oluşturulmuş şaheserlerdir.oluşturulmuş şaheserlerdir.

21

22

Altın Oran pek çok Altın Oran pek çok müzik müzik kompozisyonda kompozisyonda bulunur, bulunur, çünkü zamanın çünkü zamanın bölünmesiyle bölünmesiyle ilgili bir “doğal” ilgili bir “doğal” yoldur.yoldur.

Müzikte Altın Müzikte Altın OranOranHendel’in(1685-1759) “Hallelujah”adlı Hendel’in(1685-1759) “Hallelujah”adlı eserinde altın oran vardır. Solo eserinde altın oran vardır. Solo trompetlerin girişi "Kings of kings", trompetlerin girişi "Kings of kings",

57. ve 58. ölçülerde 57. ve 58. ölçülerde başlamaktadır. başlamaktadır.

Claude Debussy (1862-1918) de Claude Debussy (1862-1918) de yapıtlarında, altın oranı bilinçli yapıtlarında, altın oranı bilinçli olarak uygulamıştı. olarak uygulamıştı.

«La Mer-Deniz» adlı bestesi buna tam «La Mer-Deniz» adlı bestesi buna tam bir örnek oluşturur. bir örnek oluşturur.

23

Diğer BestecilerDiğer BestecilerBéla Bartók (1881-1945), Fibonnacci Béla Bartók (1881-1945), Fibonnacci sayılarını kullanarak, besteleri için sayılarını kullanarak, besteleri için dizeler oluşturmuştur. dizeler oluşturmuştur.

Alman klasik müzik bestecisi Bach’ın Alman klasik müzik bestecisi Bach’ın (1685-1750) da eserlerinde altın oran (1685-1750) da eserlerinde altın oran kullanmıştır.kullanmıştır.

Fransız besteci ve piyanist Erik SatieFransız besteci ve piyanist Erik Satie (1866-1925) “Sonneries de la Rose Croix” (1866-1925) “Sonneries de la Rose Croix” da dahil olmak üzere parçalarının da dahil olmak üzere parçalarının çoğunda altın oran vardır.çoğunda altın oran vardır.

24

Müziğin Müziğin MatematiğiMatematiğiJ. S. Sebastian Bach’ın J. S. Sebastian Bach’ın eserlerindeki ölçü ve eserlerindeki ölçü ve formlarındaki orantılı yapıların formlarındaki orantılı yapıların uyumu dolayısıyla, bestecinin uyumu dolayısıyla, bestecinin büyük olasılıkla Altın Oranla büyük olasılıkla Altın Oranla tasarladığı anlaşılmıştır..tasarladığı anlaşılmıştır..

Kısacası;Kısacası;““Müzik, gizli bir aritmetik Müzik, gizli bir aritmetik alıştırmasıdır. ” Leibnizalıştırmasıdır. ” Leibniz

25

Müzik Ve Pi Müzik Ve Pi SayısıSayısı Sayılar ve sayı dizilerinin matematiksel Sayılar ve sayı dizilerinin matematiksel ilişkileri gizemli melodilere dönüşebilir. ilişkileri gizemli melodilere dönüşebilir. Bunun bir örneği de «Pi» sayısıdır.Bunun bir örneği de «Pi» sayısıdır.

Pi sayısı, bir dairenin çevresinin, çapına Pi sayısı, bir dairenin çevresinin, çapına bölünmesiyle elde edilir ve bölünmesiyle elde edilir ve ((ππ)) simgesiyle gösterilir. simgesiyle gösterilir.

Yaklaşık değeri; 3,14159265358979….Yaklaşık değeri; 3,14159265358979…. İsveçli besteci Daniel Cummerow, «Pi» İsveçli besteci Daniel Cummerow, «Pi» sayısından yola çıkarak, «Pi Melodisi» sayısından yola çıkarak, «Pi Melodisi» adlı bir müzik oluşturmuştur. adlı bir müzik oluşturmuştur.

26

ππ MelodisiMelodisiCummerow notaları; 1 = do, 2 = re, 3 = mi, Cummerow notaları; 1 = do, 2 = re, 3 = mi, 4 = fa, 5 = sol, 6 = la, 7 = si, 8 = do* 4 = fa, 5 = sol, 6 = la, 7 = si, 8 = do* la minör dizilişine göre yerleştirerek, la minör dizilişine göre yerleştirerek, bir melodiye dönüştürmüştür.bir melodiye dönüştürmüştür.

Müzik, Pi sayısındaki notaların karşılığı Müzik, Pi sayısındaki notaların karşılığı olarak, 3,14159265358979…. Şeklinde devam olarak, 3,14159265358979…. Şeklinde devam eder.eder.

Herhangi bir müzik aletinde (Örn.Piyano) Herhangi bir müzik aletinde (Örn.Piyano) ππ serisindeki sayılarla çalındığında serisindeki sayılarla çalındığında güzel bir beste oluşur.güzel bir beste oluşur.

27

Dinlemek İçin Dinlemek İçin TıklayınTıklayınPi melodisiPi melodisihttps://www.youtube.com/watch?https://www.youtube.com/watch?v=u1fcXROw8U0v=u1fcXROw8U0

Hallelujah-HendelHallelujah-Hendelhttps://www.youtube.com/watch?https://www.youtube.com/watch?v=KnQGs24U1e8v=KnQGs24U1e8

LaMer-DebussyLaMer-Debussyhttps://www.youtube.com/watch?https://www.youtube.com/watch?v=5XVHLO9k3HIv=5XVHLO9k3HI

28

Doğadaki Pi Doğadaki Pi SayısıSayısı Akarsular ovalarda kıvrıla kıvrıla Akarsular ovalarda kıvrıla kıvrıla akar. Bundan dolayı nehirlerin akar. Bundan dolayı nehirlerin uzunlukları iki türlü ölçülür. uzunlukları iki türlü ölçülür.

Bunlardan biri kuş uçuşu uzaklık, Bunlardan biri kuş uçuşu uzaklık, diğeri ise suyun gerçekten aktığı eğri, diğeri ise suyun gerçekten aktığı eğri, mendreslerdir. mendreslerdir.

Alman Hans Henrick Stolum, bu eğriyi Alman Hans Henrick Stolum, bu eğriyi kuş uçuşu uzaklığa oranlamıştır. kuş uçuşu uzaklığa oranlamıştır.

Sonuçta, Amazon’dan Thames’e kadar pek Sonuçta, Amazon’dan Thames’e kadar pek çok akarsu için bulduğu sonuç; 3,14 çok akarsu için bulduğu sonuç; 3,14 olmuştur.olmuştur.

29

Bir gülün güzelliğindeki sır, Bir gülün güzelliğindeki sır, onun içinde sakladığı matematik onun içinde sakladığı matematik sanatının ta kendisidir.sanatının ta kendisidir.

FİBONACCİFİBONACCİ

SAYILAR, MÜZİĞİN DİLİDİR.SAYILAR, MÜZİĞİN DİLİDİR.NOTALAR İSE SİMGELERİNOTALAR İSE SİMGELERİ

30