BREVIAR TEORETIC Limite de functii

Recapitulare(rapida) Bacalaureat-2012.-Analiza matematica( Subiect III)Prof. IOAN HUMA1.BREVIAR TEORETIC

Limite de functiiTeoremă:O funcţie are limită într-un punct finit de acumulare dacă şi numai dacă are limite laterale egale în acel punct.

f are limită în x 0⇔ls(x0 )=ld(x0 ) ⇔ f(x0−0)=f(x0+0) ⇔

lim¿x→x0 ¿x¿¿

¿

Obs.:Funcţia f :D →R nu are limită în punctul de acumulare x 0 în una din situaţiile :

a)există un şir x n∈D−{x0} cu limita x 0 astfel încât şirul (f(xn))

nu are limită

b)există şirurile (xn ),(yn ),xn,yn∈D−{x0}, astfel încât şirurile

(f(xn )),(f(yn ))au limite diferite.

Teoremă:Fie f :D →R ,o funcţie elementară şi x 0∈D un punct de acumulare al lui D⇒lim

x→x0f(x )=f(x0 )

Teoremă(Criteriul majorării,cazul limitelor finite)

Fie f,g:D →R şi x 0 un punct de acumulare al lui D.Dacă limx→x0

g(x)=0 şi există l∈R a.î.

|f(x)−l|≤g(x),∀x∈D∩V,x≠x0, V vecinătate a lui x 0 şi dacă limx→x0

g(x)=0⇒limx→x0

f(x)=l

Teoremă(Criteriul majorării,cazul limitelor infinite)

Fie f,g:D →R , x 0 un punct de acumulare al lui D şi f(x)≤g(x),∀x∈D∩V,x≠x0 ,V vecinătate a lui x 0 .

a)Dacă limx→x0

f(x)=∞⇒limx→x0

g(x )=∞

b)Dacă limx→x0

g(x)=−∞⇒limx→x0

f(x)=−∞

Teoremă(Criteriul cleştelui)

Fie f,g,h:D →R , x 0 un punct de acumulare al lui D şi f(x)≤g(x)≤h(x),∀x∈D∩V,x≠x0 , V vecinătate a lui x 0 .

Dacă limx→x0

f(x)=limx→x0

h(x)=l⇒limx→x0

g(x)=l

Limite uzuale.Limite remarcabile.limx→±∞

(anxn+an−1x

n−1+¿⋅¿+a1x+a0)=limx→±∞

anxn

limx→±∞

akxk+ak−1x

k−1+¿⋅¿+a1x+a0bmx

m+bm−1xm−1+¿⋅¿+b1x+b0

=¿ {akbm ,k=m ¿ {0,m¿k ¿¿¿¿

¿

¿

limx→∞

1x

=0

limx→−∞

1x

=0

lim¿ x→0 ¿x<0 ¿

¿1x

=−∞¿

lim¿x→0 ¿x>0 ¿

¿1x=+∞¿

limx→∞

√x=∞

limx→∞

3√x=∞

limx→−∞

3√x=−∞

limx→∞

ax=¿ {∞ , daca a>1 ¿¿¿¿

limx→−∞

ax=¿ {0 , daca a>1 ¿¿¿¿

limx→∞

logax=¿ {∞ , daca a>1 ¿ ¿¿¿

lim¿ x→0 ¿x>0 ¿

¿logax=¿ {−∞ , daca a>1 ¿ ¿¿

limx→∞

arctgx=π2

limx→−∞

arctgx=−π2

limx→∞

arcctgx=0

limx→−∞

arcctgx=π

limx→∞

(1+1x )

x=e

limx→−∞

(1+1x)

x=e

limx→0

(1+x )1x=e

1

Recapitulare(rapida) Bacalaureat-2012.-Analiza matematica( Subiect III)Prof. IOAN HUMAlimx→0

sin xx

=1

limx→0

tgxx

=1

limx→0

arcsin xx

=1

limx→0

arctg xx

=1

limx→0

ln (1+x)x =1

limx→0

ax−1x =ln a , a>0,a≠1

limx→0

sin u(x)u(x)

=1

limx→0

tg u(x)u(x)

=1

limx→0

arcsin u(x)u(x)

=1

limx→0

arctg u (x )u(x)

=1

limx→0

ln (1+u(x))u(x)

=1

limx→0

au(x)−1u(x)

=ln a , a>0,a≠1unde

limx→x0

u(x)=0

Operaţii fără sens:

∞∞ ,0

0,∞−∞,0⋅∞,1∞,00,∞0

Funcţii continueDefiniţie Fie f:D→R şi

x0∈D punct de acumulare pentru D

f este continuă în x0∈D dacă

limx→x0

f(x)=f(x0)

Dacă f nu este continuă în x0∈D ,ea se numeşte discontinuă în

x0 ,iar x0 se numeşte punct de discontinuitate.Definiţii:Un punct de discontinuitate

x0∈D este punct de discontinuitate de prima speţă pentru f ,dacă limitele

laterale ale funcţiei f în punctul x0 există şi sunt finite.

Un punct de discontinuitate x0∈D este punct de discontinuitate de speţa a doua dacă nu este de prima speţă.(cel puţin

una din limitele laterale ale funcţiei f în punctul x0 nu este finită sau nu există)

Teoremă: Fie f:D→R şi x0∈D punct de acumulare pentru D ⇒ f continuă în

x0 ⇔ ls (x0)=ld(x0 )= f(

x0)Teoremă:Funcţiile elementare sunt continue pe domeniile maxime de definiţie.Operaţii cu funcţii continue

Teoremă:Fie f,g:D →R continue pe D ⇒ f+g,f⋅g, f

g(g≠0),|f|,max(f,g),min(f,g)

sunt funcţii continue pe D.Compunerea a două funcţii continue este o funcţie continuă.

Teoremă: Fie f:[a,b] → R o funcţie continuă a.î. f(a)f(b)<0 ⇒∃ c∈(a,b) pentru care f(c)=0.

Asimptote1.Asimptote verticaleDefiniţie:Fie f :E →R,a∈R punct de acumulare pentru E.Se spune că dreapta x = a este asimptotă verticală la stanga

pentru f,dacă lim¿ x→a ¿

x<a ¿

¿f(x)=∞¿ sau

lim¿x→a ¿x<a ¿

¿f(x)=−∞¿.

Definiţie:Fie f :E →R,a∈R punct de acumulare pentru E.Se spune că dreapta x = a este asimptotă verticală la dreapta

pentru f,dacă lim¿ x→a ¿

x>a ¿

¿f(x)=∞¿ sau

lim¿x→a ¿x>a ¿

¿f(x)=−∞¿.

Definiţie : Fie f :E →R,a∈R punct de acumulare pentru E.Se spune că dreapta x = a este asimptotă verticală pentru f dacă ea este asimptotă verticală atât la stânga cât şi la dreapta sau numai lateral.2.Asimptote obliceTeorema : Fie f :E →R, unde E conţine un interval de forma(a, ∞)

2

Recapitulare(rapida) Bacalaureat-2012.-Analiza matematica( Subiect III)Prof. IOAN HUMADreapta y=mx+n,m ¿0 este asimptotă oblică spre + ∞ la graficul lui f dacă şi numai dacă m,n sunt numere reale

finite,unde m=limx→∞

f(x)x

,n=limx→∞

[f(x)−mx ].Analog la - ∞ .

3.Asimptote orizontale

Dacă limx→∞

f(x)=l,l număr finit atunci y = l este asimptotă orizontală spre + ∞ la graficul lui f.

Analog la - ∞

Obs :O funcţie nu poate admite atât asimptotă orizontala cât şi oblică spre + ∞ (- ∞ )

Funcţii derivabile

Definiţie: Fie f:D →R ,x 0∈D punct de acumulare pentru D. Derivata într-un punct: f'(x0 )

=limx→x0

f(x)−f(x0)

x−x0 .

f este derivabilă în x 0 dacă limita precedentă există şi este finită.

▪Dacă f este derivabilă înx0 , graficul funcţiei are în punctul M0 (x0,f(x0 ))

tangentă a cărei pantă estef'(x0 )

.

Ecuaţia tangentei este: y−f(x0)=f

'(x0)(x−x0).

Teoremă:Fie f:DR , x 0 ∈D punct de acumulare pentru D ⇒ f este derivabilă în punctul de acumulare x00 ⇔

fs'(x0 )=fd

'(x0 )∈R(finite) ⇔

lim¿ x→x0 ¿x¿¿

¿= .

lim¿x→x0 ¿x¿

x0 ¿¿¿f(x)−f(x0)

x−x0∈R¿

. Teoremă . Orice funcţie derivabilă într-un punct este continuă în acel punct.

Derivatele funcţiilor elementare Operaţii cu funcţii derivabileReguli de derivare

1 c'=0 11 (logax)'= 1

xlnaTeoremă:Fie f,g:D →R derivabile pe D

⇒ f+g ,fg,

fg (g ¿0 )sunt funcţii

derivabile pe D.Compunerea a două funcţii derivabile este o funcţie derivabilă.

2 x'=1 12 (arctgx)'= 1

x2+1(f±g)'=f'±g'

3 (xn)'=nxn−1 13 (arcctgx )'=−

1x2+1

(f⋅g)'=f'⋅g+f⋅g'

4(√x )'= 1

2√x14 (arcsinx )'= 1

√1−x2(λ⋅f )'=λ⋅f'

5

(1x )'=−

1x2

15 (arccosx )'=−

1√1−x2 (fg )

'=f'⋅g−f⋅g'

g26 (ex)'=ex 1

6 (sinx )'=cosx (f∘u)'=f'(u)⋅u'7 (ax)'=axlna 1

7 (cosx )'=−sinx

3

Recapitulare(rapida) Bacalaureat-2012.-Analiza matematica( Subiect III)Prof. IOAN HUMA8

(lnx )'=1x

18 (tgx )'= 1

cos2x9

(ctgx )'=− 1sin2x

19 (√x2−a2 )'= x

√x2−a210 (√x2+a2)'= x

√x2+a220 (√a2−x2 )'=−

x√a2−x2

Proprietăţile funcţiilor derivabileDefiniţie:Fie f:DR.Un punct x 0 ∈D se numeşte punct de maxim local(respectiv de minim local)al lui f dacă există o

vecinătate U a punctului x 0 astfel încât f(x) ¿ f(x 0 )(respectiv f(x) ¿ f(x 0 ) ) pentru orice x ∈D∩U .

Dacă f(x) ¿ f(x 0 )(respectiv f(x) ¿ f(x 0 ) ) pentru orice x ∈D atunci x 0 se numeşte punct de maxim absolut(respectiv minim absolut)

Teoremă . ( Fermat) Fie I un interval deschis şi x 0 ∈ I un punct de extrem al unei funcţii ƒ: IR. Dacă ƒ este

derivabilă în punctul x 0 atunci ƒ’(x 0 )=0.Definiţie:O funcţie ƒ: [a, b] R (a< b) se numeşte funcţie Rolle dacă este continuă pe intervalul compact [a, b] şiderivabilă pe intervalul deschis (a, b). Teorema lui RolleFie ƒ: [a, b] R, a< b o funcţie Rolle astfel încât ƒ(a)= ƒ(b), atunci există cel puţin un punct c ∈ (a, b) astfel încât ƒ’(c)=0.Teorema(teorema lui J. Lagrange). Fie ƒ o funcţie Rolle pe un interval compact [a, b]. Atunci ∃ c ∈ (a, b) astfel încât ƒ(b)- ƒ(a)= (b- a)ƒ’(c)Consecinţe:1.Dacă o funcţie derivabilă are derivata nulă pe un interval atunci ea este constantă pe acel interval.2.Dacă două funcţii derivabile au derivatele egale pe un interval atunci ele diferă printr-o constantă pe acel interval.

Rolul primei derivate3. Fie f o funcţie derivabilă pe un interval I.

Dacă f'(x)>0(f'(x)≥0),∀x∈I , atunci f este strict crescătoare( crescătoare) pe I.

Dacă f'(x)<0(f'(x)≤0),∀x∈I , atunci f este strict descrescătoare(descrescătoare) pe I.

4.Fie f:D →R ,D interval şi x 0 ∈D .Dacă :

1)f este continuă în x0 2)f este derivabilă pe D- {x0}

3)există limx→x0

f'(x)=l∈Ratunci f are derivată în

x0 şif'(x0)=l

.Dacă l∈R atunci f este derivabilă în x0 .

Observaţie: Cu ajutorul primei derivate se stabilesc intervalele de monotonie ale unei funcţii derivabile şi se determină punctele de extrem local.Rolul derivatei a douaTeoremă: Fie f o funcţie de două ori derivabilă pe I.

Dacă f} } \( x \) >= 0, forall x func ∈ I} {¿¿ ¿, atunci f este convexă pe I.

Dacă f} } \( x \) <= 0, forall x func ∈ I} {¿¿ ¿, atunci f este concavă pe I.

Definiţie: Fie f o funcţie continuă pe I si x0∈I punct interior intervalului. Spunem că

x0 este punct de inflexiune al graficului funcţiei dacă f este convexă pe o vecinătate stânga a lui

x0 şi concavă pe o vecinătate dreapta a lui x0 sauinvers.Observaţie:Cu ajutorul derivatei a doua se stabilesc intervalele de convexitate şi concavitate şi se determină punctelede inflexiune.

Noţiunea de primitivă

4

Recapitulare(rapida) Bacalaureat-2012.-Analiza matematica( Subiect III)Prof. IOAN HUMADefiniţie: Fie I R interval, f : I R. Se numeşte primitivă a funcţiei f pe I, orice funcţie F : I R derivabilăpe I cu proprietatea F '(x) = f (x), x I.Teoremă.Orice funcţie continuă f : I R posedă primitive pe I.Teoremă:Fie f : I R,I interval ,o funcţie care admite primitive pe I.Atunci f are proprietatea lui Darboux.Consecinţe:1.Dacă g : I R nu are proprietatea lui Darboux pe intervalul I,atunci g nu admite primitive pe I.

2.Fie g : I R.Dacă g(I)= {g(x)/x∈I} nu este interval atunci g nu admite primitive pe I.3.Dacă g : I R are discontinuităţi de prima speţă atunci g nu admite primitive pe I.Tabel de integrale nedefinite

∫xndx=xn+1

n+1+C

,n ∈N ,x ∈R ∫xa=xa+1

a+1+C

,a ∈R,a≠−1 ,x ∈(0,∞)

∫ 1xdx=ln|x|+C,x∈(0,∞)

sau x ∈(−∞,0) ∫axdx=

axlna +C,a¿0,a≠1,x∈R¿

∫ 1x2−a2

=12a

ln|x−ax+a

|+C,a≠0,x∈(−∞,−a)sau x ∈(−a,a) sau x ∈(a,∞)

∫ 1x2+a2

dx=1aarctg x

a+C,a≠0,x∈R

∫ 1

√a2−x2dx=arcsinx

a+C,a≠0,x∈(−a,a)

∫ 1√x2+a2

dx=ln(x+√x2+a2)+C,a≠0,x∈R

∫ 1√x2−a2

dx=ln|x+√x2−a2|+C,a≠0,x∈(−∞,−a)sau x ∈(a,∞)

∫sinxdx=−cosx+C,x∈R ∫cosxdx=sinx+C,x∈R

∫ 1cos2x

dx=tgx+C,cosx≠0

∫ 1sin2x

dx=−ctgx+C,sinx≠0

Integrala definităTeoremă.Funcţiile continue pe un interval [a,b ] sunt integrabile pe [a,b ] .Teoremă.Funcţiile monotone pe un interval [a,b ] sunt integrabile pe [a,b ] .Proprietăţile funcţiilor integrabile.a)(Proprietatea de linearitate)

Dacă f,g : [a.b ]→R sunt integrabile şi λ∈R⇒

1)∫a

b(f(x)+g(x))dx=∫

a

bf(x)dx+∫

a

bg(x)dx

2)∫a

bλf (x)dx=λ∫

a

bf(x)dx

b)Dacă f(x)≥0, x∈ [a,b ] şi este integrabilă pe [a,b ] , atunci ∫abf(x )dx≥0

.

c)Dacă f(x)≥g(x) pentru orice x∈ [a,b ] şi dacă f şi g sunt integrabile pe [a,b ] , atunci ∫abf(x )dx≥∫a

b g(x)dxd)(Proprietatea de aditivitate în raport cu intervalul)Funcţia f : [a, b] R este integrabilă pe [a, b] dacă şi numai dacă, c (a, b) funcţiile

sunt integrabile şi are loc formula:

∫acf(x )dx+∫c

b f(x )dx=∫ab f(x)dx.

e)Dacă funcţia f este integrabilă pe [a,b ] , atunci şi |f| este integrabilă pe [a,b ] şi

5

Recapitulare(rapida) Bacalaureat-2012.-Analiza matematica( Subiect III)Prof. IOAN HUMA|∫a

bf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx

.Teoremă (Formula Leibniz - Newton)Dacă f : [a, b] R este o funcţie integrabilă şi f admite primitive pe [a, b] atunci pentru orice primitivă F a lui f

pe [a, b] are loc formula Leibniz-Newton: .Teorema de medie Dacă f : [a, b] R este o funcţie continuă, atunci există c[a, b] a.i.

∫abf(x )dx=(b−a)f(c)

.Teorema de existenţă a primitivelor unei funcţii continueDacă g : [a, b] R este o funcţie continuă,atunci funcţia G: [a, b]R,

G(x )=∫a

xg(t)dt,x∈ [a,b]

are proprietăţile:1)G este continuă pe [a, b] şi G(a) = 0

2)G este derivabilă pe [a, b] şi G' (x)=g(x),∀x∈[a,b ]

Reţinem:(∫axg(t)dt)

'

=g(x)

Teoremă (Formula de integrare prin părţi)Fie f , g : [a, b] R cu f , g derivabile cu derivatele continue, atunci are loc formula de integrare prin părţi:

.

Teoremă:Fie f:[-a,a] R, a¿0¿ o funcţie continuă.Atunci

1)∫−a

af(x)dx=2∫

0

af(x)dx,

dacă f este funcţie pară. 2) ∫−a

af(x)dx=0

,dacă f este funcţie impară.

Teoremă:Fie f:R R o funcţie continuă de perioadă T¿0⇒ ∫

a

a+Tf(x)dx=∫

0

Tf(x)dx,∀a∈R¿

Aria unui domeniu din plan1. Aria mulţimii din plan D R2 mărginită de dreptele x = a, x = b, y = 0 şi graficul funcţiei f : [a, b] R pozitivă şi

continuă se calculează prin formula: .

2. În cazul f : [a, b] R continuă şi de semn oarecare, avem: .3. Aria mulţimii din plan mărginită de dreptele x = a, x = b şi graficele funcţiilor

f , g : [a, b] R continue este calculată prin formula: .

Volumul unui corp de rotaţie Fie f : [a, b] R o funcţie continuă, atunci corpul C f din spaţiu obţinut prin rotirea

graficului lui f , Gf, în jurul axei Ox, are volumul calculat prin formula: .V(C f )=π∫

a

bf2(x)dx

2.Exerciţii tipice pentru bacalaureat:Derivate. Studiul functiilor cu ajutorul derivatelor.

1. Se consideră funcţia

6

Recapitulare(rapida) Bacalaureat-2012.-Analiza matematica( Subiect III)Prof. IOAN HUMA

a) Să se determine valoarea parametrului real a astfel încât funcţia f să fiecontinuă în punctul

b) Să se determine ecuaţia asimptotei către −∞ la graficul funcţiei f.

c) Să se calculeze

2. Se consideră funcţia f:R→R de forma f(x)=¿ {1e⋅ex−1,x≤1 ¿¿¿¿

.a) Să se studieze continuitatea funcţie f în punctul x0=1.

b) Să se determine ecuaţia asimptotei oblice către −∞ la graficul funcţiei f.c) Să se arate că funcţia f este concavă pe (1;+∞) .

3. Se consideră funcţia f:R→R de forma f(x)=¿ {ex−1,x<0 ¿ ¿¿¿ unde a∈R .a) Să se determine a∈R astfel încât funcţia f să fie continuă în punctul

x0=0 .b) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei în punctul de abscisă –

1.

c) Să se calculeze limx→−∞

f(x)+1x2+x .

4. Se consideră funcţia f:R→R , f(x)=¿ {x2−x,x≥1 ¿ ¿¿¿a) Să se studieze continuitatea funcţie f în punctul x0=1.

b) Să se calculeze f'(0)+f'(2).

c) Să se studieze derivabilitatea funcţie f în punctul x0=1.

5. Se consideră funcţia f:R ¿{−1¿}→R, f(x)=

x2x+1 .

a) Să se calculeze derivata funcţiei f.b) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei f.c) Să se demonstreze că f(x)≤−4 pentru ∀x<−1 .

6. Se consideră funcţia f:R→R, f(x)=ex−e−x .

a) Să se calculeze limx→0

f(x)−f(0)x .

b) Să se arate că funcţia f este crescătoare pe R.

7


c) Să se calculeze S=g(0)+g(1)+...+g(2012), unde g:R→R, g(x)=f'(x)−f \( x \) } {¿şi f} { ¿

reprezintă derivata a doua a funcţiei f.7. Se consideră funcţia f:R→R , f(x)=x+e−x.

a) Să se calculeze f'(x),x∈R .b) Să se arate că f este descrescătoare pe (−∞;0 ] şi crescătoare pe [0;+∞) .c) Să se determine ecuaţia asimptotei oblice către +∞ la graficul funcţiei f.

8. Se consideră funcţia f:R→R , f(x)=x2012−2012(x−1)−1 .a) Să se calculeze f(0)+f'(0).b) Să scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă

x0=1 .c) Să se arate că f este convexă pe R.

9. Se consideră funcţia f:R→R , f(x)=ex+x2.


f(x)−f(1)x−1

.

b) Să se demonstreze că funcţia f nu are asimptotă către +∞ .c) Să se demonstreze că funcţia f este convexă pe R.

10. Se consideră funcţia f: (0;+∞ )→R definită prin f(x)=x−2lnx.

a) Să se calculeze f'(x),x∈ (0;+∞ )

b) Să se demonstreze că funcţia f este convexă pe intervalul (0;+∞ ) .

c) Să se demonstreze căf(x)≥lne

2

4, ∀x∈ (0;+∞ )

11. Se consideră funcţia f:R ¿ {−1¿}→R definită prin f(x)=

exx+1

.

a) Să se verifice că f'(x)=

xex

(x+1)2,∀x∈R¿{−1¿}

.b) Să se determine ecuaţia asimptotei către −∞ la graficul funcţiei f.c) Să se demonstreze că f(x)≥1, pentru ∀x>−1.

12. Se consideră funcţia f: (0;+∞ )→R definită prin f(x)=

lnxx

.

a) Să se calculeze f'(e).b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale spre +∞ a graficului f.c) Să se demonstreze că xe≤ex pentru ∀x>0 .

13. Se consideră funcţiile fn:R→R date prin f0(x)=e−x−1 şi fn+1(x)=fn'(x ) pentru

∀n∈N .a) Să se calculeze f1(x), x∈R .b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către +∞ a graficului funcţiei

f0.

8


c) Să se calculeze limx→0

f2(x)+x−1x2

.

14. Se consideră funcţia f:R¿→R definită prin f(x)=

ex

x2 .a) Să se calculeze f'(x),x∈R.b) Să se demonstreze că funcţia f este descrescătoare pe (0;2 ] .c) Să se arate că 2e√3≤3e√2.

15. Se consideră funcţia f:R ¿{1¿}→R definită prin f(x)=

x2+x+2x−1

a) Să se calculeze f'(x),x∈R ¿{1¿} .b) Să se demonstreze că funcţia f admite două puncte de extrem.c) Să se determine ecuaţia asimptotei oblice către +∞ la graficul funcţiei f.

16. Se consideră funcţia f:R→R , f(x)=(x2−2x+1)ex .a) Să se calculeze f'(x),x∈R.b) Să se determine numărul punctelor de extrem ale funcţiei f.

c) Să se calculeze limx→+∞

x(f'(x)

f(x)−1) .

17. Se consideră funcţia f:R→R , f(x)=ex−x .a) Să se calculeze f'(x),x∈R.b) Să se demonstreze că f(x)≥1 pentru∀x∈R.c) Să se scrie ecuaţia asimptotei oblice către −∞ la graficul funcţiei f.

18. Se consideră funcţia f:R→R , f(x)=x2+ex .


f(x)−f(0)x .

b) Să se arate că funcţia f este convexă pe R.c) Să se rezolve în R ecuaţia f'(x)−f \( x \) +f \( x \) =e rSup { size 8{x} } - 3} {¿.

19. Se consideră funcţia f: (0;+∞ )→R f(x)=x2lnx .a) Să se arate că f'(x)=x (2lnx+1) , ∀x∈ (0;+∞ ) .

b) Să se calculezelimx→∞

f'(x)xlnx .

c) Să se demonstreze că f(x)≥−

12e , pentru ∀x>0 .

20. Se consideră funcţia f:R→R , f(x)=x−

1ex .

a) Să se calculeze f(0)+f'(0).b) Să se arate că funcţia f este concavă pe R.c) Să se demonstreze că panta tangentei în orice punct graficul funcţiei f

este mai mare decât 1.9

Recapitulare(rapida) Bacalaureat-2012.-Analiza matematica( Subiect III)Prof. IOAN HUMA21. Se consideră funcţia f:R→R f(x)=(x2+2x+3)ex .

a) Să se calculeze f'(x),x∈R.

b) Să se determine limx→0

f(x)−f(0)x .

c) Să se demonstreze că funcţia f' este crescătoare pe R.

22. Se consideră funcţia f:R→R , f(x)=

x2−1x2+1 .

a) Să se calculeze f'(x),x∈R.b) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei f.

c) Ştiind că g:R¿→R este funcţia definită prin g(x)=f(x)+f(1x ), să se

determine limx→0

g(x)+g (x2)+g (x3)+...+g (x2011 )+x2012

x2011 .

23. Se consideră funcţia f: (1;+∞ )→R , f(x)=

2x−1x−1 .

a) Să se calculeze f'(x),x∈ (1;+∞ ) .

b) Să se verifice că limx→2

f(x)−f(2)x−2

=−1.

c) Să se arate că funcţia f este descrescătoare pe intervalul (1;+∞) .24. Se consideră funcţia f:R→R , f(x)=x2+ex.

a) Să se verifice că f'(0)=1 .b) Să se arate că funcţia f este convexă pe R.

c) Să se calculeze limx→∞

f'(x)

ex .25. Se consideră funcţiile f,g:R→R , f(x)=(x−1)ex şi g(x)=xex.

a) Să se verifice că f'(x)=g(x) pentru ∀x∈R.b) Să se determine ecuaţia asimptotei către −∞ la graficul funcţiei g.c) Dacă I⊂R este un interval, să se demonstreze că funcţia g este

crescătoare pe I dacă şi numai dacă funcţia f este convexă pe I.26. Se consideră funcţia

a) Să se calculeze .

b) Să se determine c) Să se arate că este crescătoare pe .


10


a) Să se studieze continuitatea funcţiei f în punctul b) Să se determine ecuaţia asimptotei către −∞ la graficul funcţiei f.c) Să se demonstreze că funcţia f este concavă pe intervalul .

28. Se consideră funcţia unde a este parametru real.a) Să se determine valoarea reală a lui a, astfel încât funcţia f să fie

continuă în punctul b) Să se calculeze c) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul

29. a) Să se calculeze b) Să se determine intervalele de convexitate şi de concavitate ale funcţiei

.

c) Să se determine semnul funcţiei a)


a) Să se verifice că pentru b) Să se determine asimptota verticală la graficul funcţiei f.c) Să se demonstreze că pentru

Primitive. Integrala definita

31. Se consideră funcţia f:R→R , f(x)=3x+3−x .

a) Să se calculeze ∫−1

1f(x)dx

.b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia, în jurul axei Ox, a

graficului funcţiei g: [0;1 ]→R , g(x)=3−x .c) Să se arate că orice primitivă F a funcţiei f este concavă pe (−∞;0 ] şi

convexă pe [0;+∞) .

32. Se consideră funcţiile f,F:[1;+∞)→R , date prin f(x)=lnx+

1x şi

F(x)=(x+1)lnx−x+1 .a) Să se arate că funcţia F este o primitivă a funcţiei f, care se anulează în

x=1 .11


b) Să se calculeze∫1

2f (ex)dx

.

c) Să se arate că lim¿x→1 ¿

x>1 ¿

¿1

x−1∫1

xf(t)dt=f(1).¿

33. Se consideră integralele In=∫

1

2xnexdx,

n∈N .a) Să se calculeze I0.

b) Să se determine I1.

c) Să se arate că (n+1)In+In+1=e (2n+1e−1) pentru ∀n∈N .34. Se consideră funcţia f:R→R definită prin f(x)=xex .

a) Să se determine ∫0

1f(x)e−xdx.

b) Să se arate că ∫0

1f \( x \) ital dx=2e - 1,} } {¿¿

unde f} { ¿ este derivata a doua a funcţiei f.

c) Să se calculeze ∫1

2 f (x2 )x

dx.

35. Se consideră funcţia f:R→R , f(x)=

x2+2x+1x2+1 .

a) Să se calculeze ∫0

1(x2+1)f(x)dx

b) Să se verifice că∫0

1f(x)dx=ln (2e )

.

c) Să se arate că∫0

1f'(x)⋅ef(x)dx=e (e−1 )

.

36. Se consideră integralele I=∫

0

1 exx+1

dx şi

J=∫0

1 xexx+1

dx.

a) Să se verifice că I+J=e−1 .

b) Utilizând inegalitatea ex≥x+1, adevărată pentru ∀x∈R , să se arate căJ≥

12 .

c) Folosind eventual, metoda integrării prin părţi să se demnostreze că

I=e−22

+∫0

1 ex

(x+1 )2dx

.

12

Recapitulare(rapida) Bacalaureat-2012.-Analiza matematica( Subiect III)Prof. IOAN HUMA37. Se consideră funcţiile fn:[0;1 ]→R definite prin f1(x)=1−x ,

fn+1 (x)=fn (x )+(−1)n+1xn+1, unde n∈N¿ .


1f1(x )dx

.b) Să se determine volumul corpului obţinut prin rotaţia, în jurul axei Ox, a

graficului funcţiei f1 .

c) Să se arate că ∫0

1(x+1 )f2008(x)dx=

20112010 .

38. Pentru orice număr natural nenul n se consideră integralele In=∫

0

1 xnx+1

dx.

a) Să se calculeze I1.

b) Să se arate că In+1+In=

1n+1 , ∀n∈N¿ .

c) Utilizând eventual inegalitatea xn2

≤xnx+1

≤xn, adevărată pentru ∀x∈ [0;1 ] şi

n∈N¿ , să se demonstreze că 12

≤2011⋅I2010≤1 .39. Se consideră funcţiile f,g: (0;+∞ )→R defintie prin f(x)=x2+xlnx şi

g(x)=2x+lnx+1 .a) Să se arate că f este o primitivă a funcţiei g.

b) Să se calculeze ∫1

ef(x)⋅g(x)dx

.c) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei g,

axa Ox şi dreptele de ecuaţii x=1 şi x=e .

40. Se consideră funcţia f:R→R definită prin f(x)=¿ {x+2,x<0 ¿ ¿¿¿a) Să se arate că funcţia f admite primitive.

b) Să se calculeze ∫−1

1f(x)dx

.

c) Să se demonstreze că ∫0

1xf (x2)dx=

e2 .

41. Se consideră funcţiile f,g:R→R defintie prin f(x)=ln (x2+1 ) şi g(x)= 2x

x2+1 .

a) Să se arate că ∫0

1f'(x)dx=ln2

.

13


b) Să se demonstreze că ∫g(x)dx=f(x)+C.

c) Să se calculeze ∫1

2 g(x)

f2(x)dx

.

42. Se consideră funcţia f:R→R definită prin f(x)=¿ {x−1,x≥1 ¿ ¿¿¿


2f(x)dx

.

b) Să se determine a∈ (0;1 ) astfel încât ∫−a

af(x)dx=1

.

c) Utilizând faptul că ex≥1 pentru ∀x≥0 să se calculeze ∫0

1xf (ex )dx

.

43. Se consideră funcţiile f,F: (0;+∞)→R , f(x)=1−

1x şi F(x)=x−lnx.

a) Să se arate că funcţia F este o primitivă a funcţiei f.


2F(x)⋅f(x)dx

.c) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinsă între graficul funcţiei F,

axa Ox şi dreptele de ecuaţii x=1 şi x=e .44. Se consideră funcţia f:R→R , f(x)=ex−x.

a) Să se verifice că ∫0

1f(x)dx=e−

32 .

b) Să se calculeze∫0

1xf (x)dx

.c) Să se arate că dacă F:R→R este o primitivă a funcţiei f, atunci

∫e

e2 f (lnx)x dx=F(2)−F(1).

45. Se consideră funcţiile f,g:[1;+∞)→R , f(x)=

lnxx şi

g(x)=1−lnxx2 .

a) Să se arate că f este o primitivă a funcţiei g.


ef(x)g(x)dx

.

c) Să se rezolve în [1;+∞) ecuaţia ∫1

af(x)dx=2

.

46. Pentru fiecare se consideră integralele

14


a) Să se arate că .b) Să se calculeze

c) Să se demonstreze că

47. Se consideră integralele unde .

a) Să se verifice că

b) Utilizând identitatea adevărată pentru , să sedetermine .

c) Să se arate că

48. Se consideră funcţiile şi a) Să se arate că funcţia f este o primitivă a funcţiei g.

b) Să se calculeze

c) Să se demonstreze că unde este derivata a doua a funcţieif.

49. Se consideră funcţiile şi

a) Să se verifice că

b) Să se calculeze


50. Se consideră funcţiile şi a) Să se arate că funcţia F este o primitivă a funcţiei f.

b) Să se calculeze

15


c) Să se calculeze aria suprafeţei plane mărginită de graficul funcţiei

axa Ox şi dreptele de ecuaţii şi

51. Se consideră funcţia a) Să se demonstreze că funcţia f admite primitive pe .

b) Să se calculezec) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinsă între graficul funcţiei

axa Ox şi dreptele de ecuaţii şi 52. Se consideră funcţiile unde .

a) Să se demonstreze că primitivele funcţiilor sunt funcţii cerescătore,pentru .

b) Să se calculezec) Să se determine pentru care aria suprafeţei plane determinată de

graficul funcţiei , axa Ox şi dreptele de ecuaţii , are valoareminimă.

53. Se consideră funcţiaa) Să se arate că funcţia f adimte primitive pe

b) Să se calculeze

c) Să se demonstreze că dacă unde a, b, c sunt numere reale şifuncţia este o primitivă a funcţiei f, atunci numerele sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

54. Pentru orice număr natural nenul n se consideră funcţiile

şi integralele

a) Să se verifice că b) Să se calculeze

16



55. Se consideră funcţiile unde

a) Să se calculezeb) Pentru să se calculeze aria suparfeţei plane determinate de graficul

funcţiei axa Ox şi dreptele de ecuaţiic) Ştiind că F este o primitivă a funcţiei să se arate că funcţia

definită prin este crescătoare.


a) Să se demonstreze că pentru

b) Să se calculezec) Să se determine numărul real pozitiv k astfel încât ariei suprafeţei plane

determinate de graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaţii şi să fie egală cu

57. a) Să se calculeze

a) Să se demonstreze că

b) Se consideră funcţia şi numerele reale pozitive a, b şi

c. Să se demonstreze că, dacă numerele sunt termeniiconsecutivi ai unei progresii aritmetice, atunci numerele a, b, c sunttermeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

58. Se consideră funcţiaa) Să se demonstreze că funcţia f adminte primitive .

b) Să se calculeze

17


c) Să se calculeze


a) Să se demonstreze că

b) Să se calculezec) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia, în jurul axei Ox, a

graficului funcţiei

60. Se consideră funcţia a) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia, în jurul axei Ox, a

graficului funcţiei f.

b) Să se calculeze

c) Să se calculeze

61. Se consideră funcţiile şi a) Să se verifice că funcţia F este o primitivă a funcţiei f.b) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei F,

axa şi dreptele şi .

c) Să se calculeze 62. Se consideră funcţiile şi

a) Să se calculeze unde b) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei g,

axa şi dreptele şi .

c) Să se calculeze


a) Să se determine unde

18


b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, agraficului funcţiei

c) Să se calculeze64. Se consideră funcţiile definite prin şi .

a) Să se determine undeb) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei

definită prin , axa şi dreptele de ecuaţii şi.

c) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia, în jurul axei Ox, agraficului funcţiei g.

65. Se consideră funcţiile şi a) Să se verifice că funcţia F este o primitivă a funcţiei f.b) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f,

axa şi dreptele de ecuaţii şi .

c) Să se calculeze .66. Se consideră funcţiile şi .

a) Să se calculeze undeb) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei

, , axa şi dreptele de ecuaţii şi .

c) Să se arate că .

67. Pentru se consideră funcţiile

a) Să se calculeze undeb) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei

definită axa şi dreptele de ecuaţii şi .c) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia, în jurul axei Ox, a

graficului funcţiei .

68. Fie funcţia .

a) Să se determine unde

19


b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia, în jurul axei Ox, agraficului funcţiei f.

c) Să se calculeze ..69. Se consideră funcţiile şi .

a) Să se determine undeb) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei g,

axa şi dreptele de ecuaţii şi .

c) Să se calculeze .70. Se consideră funcţia definită prin .

a) Să se determine undeb) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei

defintiă prin , axa şi dreptele de ecuaţii şi.

c) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia, în jurul axei Ox, a

graficului funcţiei unde 71. Se consideră funcţia definită prin .

a) Să se determine undeb) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f, axa

şi dreptele de ecuaţii şi .

c) Să se arate că .

72. Se consideră funcţia definită prin .

a) Să se calculeze unde .b) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f, axa

şi dreptele de ecuaţii şi .

c) Folosind faptul că pentru , să se arate că volumulcorpului obţinut prin rotaţia, în jurul axei Ox, a graficului funcţiei f,

este un număr din intervalul .

20


21

Documents

BREVIAR TEORETIC Limite de functii