Embed Size (px)
Citation preview
ДО ПИТАННЯ ПРО КЛАСИФІКАЦІЮ ПРЯМИХ ПРОСТОРУ
В КУРСІ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ
ОА Кадубовський
канд фіз-мат наук доцент
АВ Алдошина
студентка
ДВНЗ laquoДонбаський державний педагогічний університетraquo
м Словrsquoянськ УКРАЇНА
kadubovsukrnet anastasiyaaldosmailru
Висвітлюється авторський досвід формування у студентів-
математиків педагогічних ВНЗ навичок узагальнення та конкретизації на
прикладі вивчення теми laquoрозташування прямої у просторіraquo шляхом
змістового її наповнення питанням про класифікацію прямих простору за
ознакою взаємного розташування відносно координатних осей і площин
декартової системи координат
Ключові слова узагальнення та конкретизація класифікація прямих
простору координатна вісь координатна площина критерії
Постановка проблеми Традиційно вивчення та виклад теми
laquoПряма у просторіraquo супроводжується розглядом частинних випадків
розташування прямої відносно фіксованої декартової системи координат
(надалі ndash ДСК) Якісний та кількісний аналіз теоретичного і дидактичного
матеріалу який міститься в більшості розповсюджених та рекомендованих
підручниках і збірниках задач дозволяє констатувати наступне
1) Задачі які відносяться до суттєво різних положень прямої у просторі
(за ознакою взаємного розташування відносно координатних осей і
площин ДСК) здебільшого вичерпуються розглядом лише тих випадків
коли пряма є паралельною (співпадає) до певної координатної осі або ж є
паралельною (належить) до певної координатної площини [2 4 7 8]
2) Прямим загального положення майже не приділяється увага
Винятком частково позбавленим зазначеної вади є наприклад збірники [2
4 7] в яких у загальному вигляді пропонуються й задачі на дослідження
критеріїв взаємного розташування прямих і площин простору
3) Загалом в тому чи іншому вигляді зустрічаються щонайбільше 85 із
133 суттєво різних (у зазначеному вище контексті) типів прямих Проте
сам факт типізації прямих як правило затушовується Класифікація
прямих простору за вказаною ознакою в явному вигляді до сьогодні
залишалась не висвітленим питанням навіть в теоретичному аспекті
Аналіз актуальних досліджень З дидактичною суттю загальних
прийомів узагальнення і конкретизації та методикою формування їх в
учнів на уроках стереометрії можна ознайомитися наприклад в [9]
Розумові прийоми необхідні для активного засвоєння теми laquoВзаємне
розміщення прямої і площиниraquo докладно висвітлені в [4] Крім того в [4]
наведено й основні способи (види) узагальнень які характерні для процесу
навчання аналітичної геометрії Зокрема узагальнення за допомогою
обrsquoєднання двох чи декількох закономірностей в одну більш загальну
закономірність
Узагальнення що відповідають емпіричному і теоретичному рівням
мислення розглядались в дослідженнях СЛ Рубінштейна і ВВ Давидова
Як зазначається в [4] традиційна методика навчання студентів
розвrsquoязувати задачі базується на використанні емпіричного узагальнення
недоліком якого є те що при такому процесі обмежуються вивченням
окремих явищ Не розкриваються глибокі звrsquoязки між ними зменшується
роль логічного аналізу все це стримує розвиток теоретичного мислення
Метою статті є висвітлення авторського досвіду формування
навичок узагальнення що відповідають як емпіричному так і
теоретичному рівням мислення на прикладі класифікації прямих простору
за вказаною вище ознакою
Виклад основного матеріалу Пропонована класифікація прямих
простору за вказаною вище ознакою представлена за допомогою наочної
схеми 1 з подальшою деталізацією відносно введених позначень
A B C D
1A 2A 3A 1B 2B 3B 1C 2C 3C 1D 2D 3D
P 9 9 9 4 4 4 8 8 8 6 6 6
Q 4 8 8 8 6 6 6 6
1F 2F 3F 1G 2G 3G 4G
E F G
Схема 1 До класифікації прямих простору за ознакою взаємного розташування відносно координатних осей і площин афінної системи координат
І P ndash множина прямих паралельних до координатних площин
11) A ndash клас прямих паралельних до координатних осей 1A 2A 3A ndash
підкласи прямих що є паралельними до координатних осей і
відповідно
OX OY
OZ
12) B ndash клас прямих що перетинають дві піввісі різних координатних
осей 1B 2B 3B ndash підкласи прямих що перетинають піввісі осей і
піввісі осей і OX та піввісі осей OX і OY відповідно
OY
OZ OZ
13) ndash клас прямих що паралельні одній з координатних площин не є
паралельними до відповідних координатних осей та не перетинають третю
вісь ndash підкласи прямих що є паралельними до площин YO
C
1C 2C 3C Z
ZOX та відповідно XOY
14) ndash клас прямих що перетинають координатну піввісь (початок
координат) є паралельними (належать) відповідній площині та не є
паралельними до жодної з двох інших координатних осей
D
1D 2D 3D ndash
підкласи прямих що перетинають осі і OZ відповідно OX OY
ІІ ndash множина прямих що не є паралельними до жодної з координатних площин
Q
21) E ndash клас прямих що проходять через початок координат не
співпадають з жодною із координатних осей та не належать жодній з
координатних площин
22) ndash клас прямих що перетинають координатну піввісь та є
мимобіжними до двох інших координатних осей ndash підкласи
прямих що перетинають піввісь осей OX і відповідно
F
1F 2F 3F
OY OZ
23) ndash клас прямих що не є паралельними до жодної з координатних
площин та не проходять через початок координат ndash
підкласи прямих що перетинають чверть площини
і відповідно
G
Y
1G 2G
X O
3G 4G
Y OX Y
X O Y OX
В подальшому без додаткових пояснень для існуючих типів прямих
будуть наведені графічні ілюстрації та аналітичні умови що визначають
відповідне положення прямої відносно ДСК
a b c
Рис 1 Прямі з класу A
1ia ndash представники 9 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до осі O ndash рис 1 a i ndash редставники 9 можливих типів
прямих підкласу 2A (щ є паралельними до осі OY рис 1 b a ndash
представники 9 можливих типів прямих підкласу (що є паралельними до осі OZ ) ndash рис 1 c
1A
X )
о
п
ndash2a
)
3A3i
Нижче для кожного 19i наведено умови за яких пряма
0 0
1 2
0
3
x x y y z zl
l l l
laquoє представникомraquo відповідного типу прямих 1ia
X
Y
Z
O
31a
33a34a
38a
35a
36a
32a
Z
X
Y
O
21a28a
29a22a
23a
24a
25a26a
27a
Z
X
Y
O
11a 12a
13a14a
17a 18a
37a
39a
15a
16a
19a
1) 2) 1 2 311
0 0
0 0
0
l l ll a
y z
1 2 312
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
3) 1 2 313
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
4) 5) 1 2 314
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
1 2 315
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
6) 1 2 316
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
7) 8) 1 2 317
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
1 2 318
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
9) 1 2 319
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
Встановлення аналітичних умов для відповідних типів прямих з
підкласів і можна запропонувати студентам в якості неважкої
вправи яка з очевидними змінами повторює міркування для типів прямих
з підкласу
2A
1A
3A
a b c
Рис 2 Прямі з класу B
1ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 1B (що
перетинають піввісі осей OY і OZ ) ndash рис 2 a
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
3) 1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
4) 1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
2ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 2B (що
перетинають піввісі осей OZ і OX ) ndash рис 2 b
1) 2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
3) 2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
2) 2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
4) 2 3 1
240 0 1 3
0 0
00
l l l
y x l l z
b
X
Y
Z
O
31b
32b
34b
33b
X
Y
Z
O1
2b
22b
23b
24b
Z
12b11b
X
YO
13b
14b
3ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 3B (що
перетинають піввісі осей OX і ) ndash рис 2 OY c
1) 3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
3) 3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
2) 3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
4) 3 1 2
340 0 2 1
0 0
00
l l l
z y l l x
b
a b c
Рис 3 Прямі з класу C
1ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини YO ) ndash рис 3 a
1C
Z
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
3)
1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
4)
1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
5) 1 2 3
150 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
6) 1 2 3
160 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
7)
1 2 3
170 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
8)
1 2 3
180 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
2ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
2C
ZOX ) ndash рис 3 b
1)
2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
2)
2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
3)
2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
4)
2 3 1
240 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
5)
2 3 1
250 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
6)
2 3 1
260 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
7)
2 3 1
270 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
8)
2 3 1
280 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
X
Y
Z
O
31c
32c
35c
36c
33c
34c
37c
38c
X
Y
Z
O
21c
22c
25c
23c
24c
28c
26c
27c
Z
X
Y
O 11c
13c
16c 15c
18c17c
12c
14c
3ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
3C
XOY ) ndash рис 3 c
1)
3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
2)
3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c 3)
3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
4)
3 1 2
340 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
5)
3 1 2
350 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
6)
3 1 2
360 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
7)
3 1 2
370 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
8)
3 1 2
380 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
0
c
a b c
Рис 4 Прямі з класу D
1id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OX ) ndash рис 4 a 1D
1) 1 2 311
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
x l z l y
2) d 1 2 312
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
3) d 1 2 313
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
4) 1 2 314
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
0x l z l y
5) d 1 2 315
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
6) d 1 2 316
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
2id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OY ) ndash рис 4 b 2D
1) 2) d 3) d 2 3 121
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
1 0z 1 0z 1 0z
1 0z 1 0z 1 0z
0x 0x 0x
2 3 122
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 123
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
4) 5) d 6) d 2 3 124
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
2 3 125
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 126
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
3id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OZ ) ndash рис 4 c 3D
1) 2) d 3) d 3 1 231
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
3 1 232
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 233
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
O
X
Z
Y
32d
34d
31d
33d
35d
36d
O
X
Z
Y15d
11d 12d
14d
13d
16d
Z
21d23d25d
O
X
Y
22d24d26d
4) 5) d 6) 3 1 234
0 1 0
0 0
0
l l ld
z l y l
2 0x 0x 0x
3 1 235
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 236
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
1) 1 2 31
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
2) 1 2 32
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
3) 1 2 33
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 11 1
l l le
x l y l z l
4) 1 2 34
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 1 11
l l le
x l y l z l
Рис 5 Прямі з класу E
a b c
Рис 6 Прямі з класу F
1if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 1F
OX a
1)
1 2 3
110 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
5)
1 2 3
150 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2)
1 2 3
120 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
6)
1 2 3
160 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
3)
1 2 3
130 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
7)
1 2 3
170 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
4)
1 2 3
140 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
8)
1 2 3
180 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 2F
OY b
1)
1 2 3
210 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
5)
1 2 3
250 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
O
X
Z
Y31f
32f 33f
34f
35f
36f 37f
38f O
X
Z
Y
11f 12f
13f 14f
15f
16f
17f
18f
O
X
Z
Y21f
24f
22f
23f 25f
26f
27f
28f
Z2e3e
O
X
Y4e
1e
2)
1 2 3
220 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
6)
1 2 3
260 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3)
1 2 3
230 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
7)
1 2 3
270 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
4)
1 2 3
240 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
8)
1 2 3
280 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 3F
OZ c
1)
1 2 3
310 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
5)
1 2 3
350 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
2)
1 2 3
320 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
6)
1 2 3
360 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
3)
1 2 3
330 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
7)
1 2 3
370 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
4)
1 2 3
340 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
8)
1 2 3
380 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
11g 12g 13g
14g 15g 16g
Рис 8 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 1ig 1G
(що перетинають чверть площину X OY )
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
X
Y
1) 1 2 3
110 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
2) 1 2 3
120 3 1 0 0 2 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l x y l l x
3) 1 2 3
130 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
140 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
5) 1 2 3
150 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
160 3 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l y x l l y
21g 22g 23g
24g 25g 26g
Рис 9 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 2ig 2G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
210 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
y l l x z l l x
2) 1 2 3
220 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
3) 1 2 3
230 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
240 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
5) 1 2 3
250 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
6) 1 2 3
260 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
2) Прямим загального положення майже не приділяється увага
Винятком частково позбавленим зазначеної вади є наприклад збірники [2
4 7] в яких у загальному вигляді пропонуються й задачі на дослідження
критеріїв взаємного розташування прямих і площин простору
3) Загалом в тому чи іншому вигляді зустрічаються щонайбільше 85 із
133 суттєво різних (у зазначеному вище контексті) типів прямих Проте
сам факт типізації прямих як правило затушовується Класифікація
прямих простору за вказаною ознакою в явному вигляді до сьогодні
залишалась не висвітленим питанням навіть в теоретичному аспекті
Аналіз актуальних досліджень З дидактичною суттю загальних
прийомів узагальнення і конкретизації та методикою формування їх в
учнів на уроках стереометрії можна ознайомитися наприклад в [9]
Розумові прийоми необхідні для активного засвоєння теми laquoВзаємне
розміщення прямої і площиниraquo докладно висвітлені в [4] Крім того в [4]
наведено й основні способи (види) узагальнень які характерні для процесу
навчання аналітичної геометрії Зокрема узагальнення за допомогою
обrsquoєднання двох чи декількох закономірностей в одну більш загальну
закономірність
Узагальнення що відповідають емпіричному і теоретичному рівням
мислення розглядались в дослідженнях СЛ Рубінштейна і ВВ Давидова
Як зазначається в [4] традиційна методика навчання студентів
розвrsquoязувати задачі базується на використанні емпіричного узагальнення
недоліком якого є те що при такому процесі обмежуються вивченням
окремих явищ Не розкриваються глибокі звrsquoязки між ними зменшується
роль логічного аналізу все це стримує розвиток теоретичного мислення
Метою статті є висвітлення авторського досвіду формування
навичок узагальнення що відповідають як емпіричному так і
теоретичному рівням мислення на прикладі класифікації прямих простору
за вказаною вище ознакою
Виклад основного матеріалу Пропонована класифікація прямих
простору за вказаною вище ознакою представлена за допомогою наочної
схеми 1 з подальшою деталізацією відносно введених позначень
A B C D
1A 2A 3A 1B 2B 3B 1C 2C 3C 1D 2D 3D
P 9 9 9 4 4 4 8 8 8 6 6 6
Q 4 8 8 8 6 6 6 6
1F 2F 3F 1G 2G 3G 4G
E F G
Схема 1 До класифікації прямих простору за ознакою взаємного розташування відносно координатних осей і площин афінної системи координат
І P ndash множина прямих паралельних до координатних площин
11) A ndash клас прямих паралельних до координатних осей 1A 2A 3A ndash
підкласи прямих що є паралельними до координатних осей і
відповідно
OX OY
OZ
12) B ndash клас прямих що перетинають дві піввісі різних координатних
осей 1B 2B 3B ndash підкласи прямих що перетинають піввісі осей і
піввісі осей і OX та піввісі осей OX і OY відповідно
OY
OZ OZ
13) ndash клас прямих що паралельні одній з координатних площин не є
паралельними до відповідних координатних осей та не перетинають третю
вісь ndash підкласи прямих що є паралельними до площин YO
C
1C 2C 3C Z
ZOX та відповідно XOY
14) ndash клас прямих що перетинають координатну піввісь (початок
координат) є паралельними (належать) відповідній площині та не є
паралельними до жодної з двох інших координатних осей
D
1D 2D 3D ndash
підкласи прямих що перетинають осі і OZ відповідно OX OY
ІІ ndash множина прямих що не є паралельними до жодної з координатних площин
Q
21) E ndash клас прямих що проходять через початок координат не
співпадають з жодною із координатних осей та не належать жодній з
координатних площин
22) ndash клас прямих що перетинають координатну піввісь та є
мимобіжними до двох інших координатних осей ndash підкласи
прямих що перетинають піввісь осей OX і відповідно
F
1F 2F 3F
OY OZ
23) ndash клас прямих що не є паралельними до жодної з координатних
площин та не проходять через початок координат ndash
підкласи прямих що перетинають чверть площини
і відповідно
G
Y
1G 2G
X O
3G 4G
Y OX Y
X O Y OX
В подальшому без додаткових пояснень для існуючих типів прямих
будуть наведені графічні ілюстрації та аналітичні умови що визначають
відповідне положення прямої відносно ДСК
a b c
Рис 1 Прямі з класу A
1ia ndash представники 9 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до осі O ndash рис 1 a i ndash редставники 9 можливих типів
прямих підкласу 2A (щ є паралельними до осі OY рис 1 b a ndash
представники 9 можливих типів прямих підкласу (що є паралельними до осі OZ ) ndash рис 1 c
1A
X )
о
п
ndash2a
)
3A3i
Нижче для кожного 19i наведено умови за яких пряма
0 0
1 2
0
3
x x y y z zl
l l l
laquoє представникомraquo відповідного типу прямих 1ia
X
Y
Z
O
31a
33a34a
38a
35a
36a
32a
Z
X
Y
O
21a28a
29a22a
23a
24a
25a26a
27a
Z
X
Y
O
11a 12a
13a14a
17a 18a
37a
39a
15a
16a
19a
1) 2) 1 2 311
0 0
0 0
0
l l ll a
y z
1 2 312
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
3) 1 2 313
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
4) 5) 1 2 314
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
1 2 315
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
6) 1 2 316
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
7) 8) 1 2 317
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
1 2 318
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
9) 1 2 319
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
Встановлення аналітичних умов для відповідних типів прямих з
підкласів і можна запропонувати студентам в якості неважкої
вправи яка з очевидними змінами повторює міркування для типів прямих
з підкласу
2A
1A
3A
a b c
Рис 2 Прямі з класу B
1ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 1B (що
перетинають піввісі осей OY і OZ ) ndash рис 2 a
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
3) 1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
4) 1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
2ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 2B (що
перетинають піввісі осей OZ і OX ) ndash рис 2 b
1) 2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
3) 2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
2) 2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
4) 2 3 1
240 0 1 3
0 0
00
l l l
y x l l z
b
X
Y
Z
O
31b
32b
34b
33b
X
Y
Z
O1
2b
22b
23b
24b
Z
12b11b
X
YO
13b
14b
3ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 3B (що
перетинають піввісі осей OX і ) ndash рис 2 OY c
1) 3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
3) 3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
2) 3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
4) 3 1 2
340 0 2 1
0 0
00
l l l
z y l l x
b
a b c
Рис 3 Прямі з класу C
1ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини YO ) ndash рис 3 a
1C
Z
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
3)
1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
4)
1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
5) 1 2 3
150 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
6) 1 2 3
160 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
7)
1 2 3
170 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
8)
1 2 3
180 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
2ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
2C
ZOX ) ndash рис 3 b
1)
2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
2)
2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
3)
2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
4)
2 3 1
240 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
5)
2 3 1
250 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
6)
2 3 1
260 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
7)
2 3 1
270 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
8)
2 3 1
280 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
X
Y
Z
O
31c
32c
35c
36c
33c
34c
37c
38c
X
Y
Z
O
21c
22c
25c
23c
24c
28c
26c
27c
Z
X
Y
O 11c
13c
16c 15c
18c17c
12c
14c
3ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
3C
XOY ) ndash рис 3 c
1)
3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
2)
3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c 3)
3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
4)
3 1 2
340 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
5)
3 1 2
350 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
6)
3 1 2
360 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
7)
3 1 2
370 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
8)
3 1 2
380 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
0
c
a b c
Рис 4 Прямі з класу D
1id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OX ) ndash рис 4 a 1D
1) 1 2 311
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
x l z l y
2) d 1 2 312
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
3) d 1 2 313
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
4) 1 2 314
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
0x l z l y
5) d 1 2 315
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
6) d 1 2 316
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
2id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OY ) ndash рис 4 b 2D
1) 2) d 3) d 2 3 121
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
1 0z 1 0z 1 0z
1 0z 1 0z 1 0z
0x 0x 0x
2 3 122
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 123
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
4) 5) d 6) d 2 3 124
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
2 3 125
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 126
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
3id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OZ ) ndash рис 4 c 3D
1) 2) d 3) d 3 1 231
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
3 1 232
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 233
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
O
X
Z
Y
32d
34d
31d
33d
35d
36d
O
X
Z
Y15d
11d 12d
14d
13d
16d
Z
21d23d25d
O
X
Y
22d24d26d
4) 5) d 6) 3 1 234
0 1 0
0 0
0
l l ld
z l y l
2 0x 0x 0x
3 1 235
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 236
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
1) 1 2 31
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
2) 1 2 32
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
3) 1 2 33
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 11 1
l l le
x l y l z l
4) 1 2 34
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 1 11
l l le
x l y l z l
Рис 5 Прямі з класу E
a b c
Рис 6 Прямі з класу F
1if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 1F
OX a
1)
1 2 3
110 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
5)
1 2 3
150 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2)
1 2 3
120 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
6)
1 2 3
160 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
3)
1 2 3
130 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
7)
1 2 3
170 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
4)
1 2 3
140 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
8)
1 2 3
180 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 2F
OY b
1)
1 2 3
210 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
5)
1 2 3
250 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
O
X
Z
Y31f
32f 33f
34f
35f
36f 37f
38f O
X
Z
Y
11f 12f
13f 14f
15f
16f
17f
18f
O
X
Z
Y21f
24f
22f
23f 25f
26f
27f
28f
Z2e3e
O
X
Y4e
1e
2)
1 2 3
220 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
6)
1 2 3
260 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3)
1 2 3
230 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
7)
1 2 3
270 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
4)
1 2 3
240 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
8)
1 2 3
280 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 3F
OZ c
1)
1 2 3
310 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
5)
1 2 3
350 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
2)
1 2 3
320 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
6)
1 2 3
360 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
3)
1 2 3
330 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
7)
1 2 3
370 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
4)
1 2 3
340 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
8)
1 2 3
380 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
11g 12g 13g
14g 15g 16g
Рис 8 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 1ig 1G
(що перетинають чверть площину X OY )
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
X
Y
1) 1 2 3
110 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
2) 1 2 3
120 3 1 0 0 2 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l x y l l x
3) 1 2 3
130 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
140 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
5) 1 2 3
150 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
160 3 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l y x l l y
21g 22g 23g
24g 25g 26g
Рис 9 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 2ig 2G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
210 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
y l l x z l l x
2) 1 2 3
220 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
3) 1 2 3
230 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
240 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
5) 1 2 3
250 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
6) 1 2 3
260 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
Виклад основного матеріалу Пропонована класифікація прямих
простору за вказаною вище ознакою представлена за допомогою наочної
схеми 1 з подальшою деталізацією відносно введених позначень
A B C D
1A 2A 3A 1B 2B 3B 1C 2C 3C 1D 2D 3D
P 9 9 9 4 4 4 8 8 8 6 6 6
Q 4 8 8 8 6 6 6 6
1F 2F 3F 1G 2G 3G 4G
E F G
Схема 1 До класифікації прямих простору за ознакою взаємного розташування відносно координатних осей і площин афінної системи координат
І P ndash множина прямих паралельних до координатних площин
11) A ndash клас прямих паралельних до координатних осей 1A 2A 3A ndash
підкласи прямих що є паралельними до координатних осей і
відповідно
OX OY
OZ
12) B ndash клас прямих що перетинають дві піввісі різних координатних
осей 1B 2B 3B ndash підкласи прямих що перетинають піввісі осей і
піввісі осей і OX та піввісі осей OX і OY відповідно
OY
OZ OZ
13) ndash клас прямих що паралельні одній з координатних площин не є
паралельними до відповідних координатних осей та не перетинають третю
вісь ndash підкласи прямих що є паралельними до площин YO
C
1C 2C 3C Z
ZOX та відповідно XOY
14) ndash клас прямих що перетинають координатну піввісь (початок
координат) є паралельними (належать) відповідній площині та не є
паралельними до жодної з двох інших координатних осей
D
1D 2D 3D ndash
підкласи прямих що перетинають осі і OZ відповідно OX OY
ІІ ndash множина прямих що не є паралельними до жодної з координатних площин
Q
21) E ndash клас прямих що проходять через початок координат не
співпадають з жодною із координатних осей та не належать жодній з
координатних площин
22) ndash клас прямих що перетинають координатну піввісь та є
мимобіжними до двох інших координатних осей ndash підкласи
прямих що перетинають піввісь осей OX і відповідно
F
1F 2F 3F
OY OZ
23) ndash клас прямих що не є паралельними до жодної з координатних
площин та не проходять через початок координат ndash
підкласи прямих що перетинають чверть площини
і відповідно
G
Y
1G 2G
X O
3G 4G
Y OX Y
X O Y OX
В подальшому без додаткових пояснень для існуючих типів прямих
будуть наведені графічні ілюстрації та аналітичні умови що визначають
відповідне положення прямої відносно ДСК
a b c
Рис 1 Прямі з класу A
1ia ndash представники 9 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до осі O ndash рис 1 a i ndash редставники 9 можливих типів
прямих підкласу 2A (щ є паралельними до осі OY рис 1 b a ndash
представники 9 можливих типів прямих підкласу (що є паралельними до осі OZ ) ndash рис 1 c
1A
X )
о
п
ndash2a
)
3A3i
Нижче для кожного 19i наведено умови за яких пряма
0 0
1 2
0
3
x x y y z zl
l l l
laquoє представникомraquo відповідного типу прямих 1ia
X
Y
Z
O
31a
33a34a
38a
35a
36a
32a
Z
X
Y
O
21a28a
29a22a
23a
24a
25a26a
27a
Z
X
Y
O
11a 12a
13a14a
17a 18a
37a
39a
15a
16a
19a
1) 2) 1 2 311
0 0
0 0
0
l l ll a
y z
1 2 312
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
3) 1 2 313
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
4) 5) 1 2 314
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
1 2 315
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
6) 1 2 316
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
7) 8) 1 2 317
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
1 2 318
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
9) 1 2 319
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
Встановлення аналітичних умов для відповідних типів прямих з
підкласів і можна запропонувати студентам в якості неважкої
вправи яка з очевидними змінами повторює міркування для типів прямих
з підкласу
2A
1A
3A
a b c
Рис 2 Прямі з класу B
1ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 1B (що
перетинають піввісі осей OY і OZ ) ndash рис 2 a
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
3) 1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
4) 1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
2ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 2B (що
перетинають піввісі осей OZ і OX ) ndash рис 2 b
1) 2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
3) 2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
2) 2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
4) 2 3 1
240 0 1 3
0 0
00
l l l
y x l l z
b
X
Y
Z
O
31b
32b
34b
33b
X
Y
Z
O1
2b
22b
23b
24b
Z
12b11b
X
YO
13b
14b
3ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 3B (що
перетинають піввісі осей OX і ) ndash рис 2 OY c
1) 3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
3) 3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
2) 3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
4) 3 1 2
340 0 2 1
0 0
00
l l l
z y l l x
b
a b c
Рис 3 Прямі з класу C
1ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини YO ) ndash рис 3 a
1C
Z
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
3)
1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
4)
1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
5) 1 2 3
150 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
6) 1 2 3
160 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
7)
1 2 3
170 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
8)
1 2 3
180 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
2ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
2C
ZOX ) ndash рис 3 b
1)
2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
2)
2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
3)
2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
4)
2 3 1
240 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
5)
2 3 1
250 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
6)
2 3 1
260 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
7)
2 3 1
270 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
8)
2 3 1
280 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
X
Y
Z
O
31c
32c
35c
36c
33c
34c
37c
38c
X
Y
Z
O
21c
22c
25c
23c
24c
28c
26c
27c
Z
X
Y
O 11c
13c
16c 15c
18c17c
12c
14c
3ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
3C
XOY ) ndash рис 3 c
1)
3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
2)
3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c 3)
3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
4)
3 1 2
340 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
5)
3 1 2
350 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
6)
3 1 2
360 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
7)
3 1 2
370 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
8)
3 1 2
380 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
0
c
a b c
Рис 4 Прямі з класу D
1id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OX ) ndash рис 4 a 1D
1) 1 2 311
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
x l z l y
2) d 1 2 312
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
3) d 1 2 313
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
4) 1 2 314
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
0x l z l y
5) d 1 2 315
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
6) d 1 2 316
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
2id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OY ) ndash рис 4 b 2D
1) 2) d 3) d 2 3 121
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
1 0z 1 0z 1 0z
1 0z 1 0z 1 0z
0x 0x 0x
2 3 122
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 123
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
4) 5) d 6) d 2 3 124
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
2 3 125
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 126
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
3id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OZ ) ndash рис 4 c 3D
1) 2) d 3) d 3 1 231
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
3 1 232
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 233
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
O
X
Z
Y
32d
34d
31d
33d
35d
36d
O
X
Z
Y15d
11d 12d
14d
13d
16d
Z
21d23d25d
O
X
Y
22d24d26d
4) 5) d 6) 3 1 234
0 1 0
0 0
0
l l ld
z l y l
2 0x 0x 0x
3 1 235
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 236
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
1) 1 2 31
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
2) 1 2 32
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
3) 1 2 33
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 11 1
l l le
x l y l z l
4) 1 2 34
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 1 11
l l le
x l y l z l
Рис 5 Прямі з класу E
a b c
Рис 6 Прямі з класу F
1if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 1F
OX a
1)
1 2 3
110 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
5)
1 2 3
150 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2)
1 2 3
120 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
6)
1 2 3
160 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
3)
1 2 3
130 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
7)
1 2 3
170 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
4)
1 2 3
140 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
8)
1 2 3
180 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 2F
OY b
1)
1 2 3
210 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
5)
1 2 3
250 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
O
X
Z
Y31f
32f 33f
34f
35f
36f 37f
38f O
X
Z
Y
11f 12f
13f 14f
15f
16f
17f
18f
O
X
Z
Y21f
24f
22f
23f 25f
26f
27f
28f
Z2e3e
O
X
Y4e
1e
2)
1 2 3
220 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
6)
1 2 3
260 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3)
1 2 3
230 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
7)
1 2 3
270 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
4)
1 2 3
240 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
8)
1 2 3
280 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 3F
OZ c
1)
1 2 3
310 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
5)
1 2 3
350 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
2)
1 2 3
320 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
6)
1 2 3
360 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
3)
1 2 3
330 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
7)
1 2 3
370 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
4)
1 2 3
340 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
8)
1 2 3
380 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
11g 12g 13g
14g 15g 16g
Рис 8 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 1ig 1G
(що перетинають чверть площину X OY )
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
X
Y
1) 1 2 3
110 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
2) 1 2 3
120 3 1 0 0 2 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l x y l l x
3) 1 2 3
130 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
140 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
5) 1 2 3
150 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
160 3 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l y x l l y
21g 22g 23g
24g 25g 26g
Рис 9 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 2ig 2G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
210 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
y l l x z l l x
2) 1 2 3
220 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
3) 1 2 3
230 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
240 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
5) 1 2 3
250 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
6) 1 2 3
260 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
21) E ndash клас прямих що проходять через початок координат не
співпадають з жодною із координатних осей та не належать жодній з
координатних площин
22) ndash клас прямих що перетинають координатну піввісь та є
мимобіжними до двох інших координатних осей ndash підкласи
прямих що перетинають піввісь осей OX і відповідно
F
1F 2F 3F
OY OZ
23) ndash клас прямих що не є паралельними до жодної з координатних
площин та не проходять через початок координат ndash
підкласи прямих що перетинають чверть площини
і відповідно
G
Y
1G 2G
X O
3G 4G
Y OX Y
X O Y OX
В подальшому без додаткових пояснень для існуючих типів прямих
будуть наведені графічні ілюстрації та аналітичні умови що визначають
відповідне положення прямої відносно ДСК
a b c
Рис 1 Прямі з класу A
1ia ndash представники 9 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до осі O ndash рис 1 a i ndash редставники 9 можливих типів
прямих підкласу 2A (щ є паралельними до осі OY рис 1 b a ndash
представники 9 можливих типів прямих підкласу (що є паралельними до осі OZ ) ndash рис 1 c
1A
X )
о
п
ndash2a
)
3A3i
Нижче для кожного 19i наведено умови за яких пряма
0 0
1 2
0
3
x x y y z zl
l l l
laquoє представникомraquo відповідного типу прямих 1ia
X
Y
Z
O
31a
33a34a
38a
35a
36a
32a
Z
X
Y
O
21a28a
29a22a
23a
24a
25a26a
27a
Z
X
Y
O
11a 12a
13a14a
17a 18a
37a
39a
15a
16a
19a
1) 2) 1 2 311
0 0
0 0
0
l l ll a
y z
1 2 312
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
3) 1 2 313
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
4) 5) 1 2 314
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
1 2 315
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
6) 1 2 316
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
7) 8) 1 2 317
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
1 2 318
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
9) 1 2 319
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
Встановлення аналітичних умов для відповідних типів прямих з
підкласів і можна запропонувати студентам в якості неважкої
вправи яка з очевидними змінами повторює міркування для типів прямих
з підкласу
2A
1A
3A
a b c
Рис 2 Прямі з класу B
1ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 1B (що
перетинають піввісі осей OY і OZ ) ndash рис 2 a
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
3) 1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
4) 1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
2ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 2B (що
перетинають піввісі осей OZ і OX ) ndash рис 2 b
1) 2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
3) 2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
2) 2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
4) 2 3 1
240 0 1 3
0 0
00
l l l
y x l l z
b
X
Y
Z
O
31b
32b
34b
33b
X
Y
Z
O1
2b
22b
23b
24b
Z
12b11b
X
YO
13b
14b
3ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 3B (що
перетинають піввісі осей OX і ) ndash рис 2 OY c
1) 3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
3) 3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
2) 3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
4) 3 1 2
340 0 2 1
0 0
00
l l l
z y l l x
b
a b c
Рис 3 Прямі з класу C
1ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини YO ) ndash рис 3 a
1C
Z
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
3)
1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
4)
1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
5) 1 2 3
150 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
6) 1 2 3
160 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
7)
1 2 3
170 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
8)
1 2 3
180 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
2ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
2C
ZOX ) ndash рис 3 b
1)
2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
2)
2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
3)
2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
4)
2 3 1
240 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
5)
2 3 1
250 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
6)
2 3 1
260 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
7)
2 3 1
270 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
8)
2 3 1
280 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
X
Y
Z
O
31c
32c
35c
36c
33c
34c
37c
38c
X
Y
Z
O
21c
22c
25c
23c
24c
28c
26c
27c
Z
X
Y
O 11c
13c
16c 15c
18c17c
12c
14c
3ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
3C
XOY ) ndash рис 3 c
1)
3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
2)
3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c 3)
3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
4)
3 1 2
340 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
5)
3 1 2
350 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
6)
3 1 2
360 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
7)
3 1 2
370 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
8)
3 1 2
380 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
0
c
a b c
Рис 4 Прямі з класу D
1id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OX ) ndash рис 4 a 1D
1) 1 2 311
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
x l z l y
2) d 1 2 312
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
3) d 1 2 313
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
4) 1 2 314
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
0x l z l y
5) d 1 2 315
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
6) d 1 2 316
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
2id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OY ) ndash рис 4 b 2D
1) 2) d 3) d 2 3 121
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
1 0z 1 0z 1 0z
1 0z 1 0z 1 0z
0x 0x 0x
2 3 122
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 123
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
4) 5) d 6) d 2 3 124
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
2 3 125
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 126
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
3id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OZ ) ndash рис 4 c 3D
1) 2) d 3) d 3 1 231
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
3 1 232
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 233
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
O
X
Z
Y
32d
34d
31d
33d
35d
36d
O
X
Z
Y15d
11d 12d
14d
13d
16d
Z
21d23d25d
O
X
Y
22d24d26d
4) 5) d 6) 3 1 234
0 1 0
0 0
0
l l ld
z l y l
2 0x 0x 0x
3 1 235
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 236
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
1) 1 2 31
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
2) 1 2 32
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
3) 1 2 33
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 11 1
l l le
x l y l z l
4) 1 2 34
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 1 11
l l le
x l y l z l
Рис 5 Прямі з класу E
a b c
Рис 6 Прямі з класу F
1if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 1F
OX a
1)
1 2 3
110 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
5)
1 2 3
150 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2)
1 2 3
120 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
6)
1 2 3
160 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
3)
1 2 3
130 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
7)
1 2 3
170 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
4)
1 2 3
140 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
8)
1 2 3
180 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 2F
OY b
1)
1 2 3
210 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
5)
1 2 3
250 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
O
X
Z
Y31f
32f 33f
34f
35f
36f 37f
38f O
X
Z
Y
11f 12f
13f 14f
15f
16f
17f
18f
O
X
Z
Y21f
24f
22f
23f 25f
26f
27f
28f
Z2e3e
O
X
Y4e
1e
2)
1 2 3
220 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
6)
1 2 3
260 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3)
1 2 3
230 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
7)
1 2 3
270 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
4)
1 2 3
240 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
8)
1 2 3
280 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 3F
OZ c
1)
1 2 3
310 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
5)
1 2 3
350 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
2)
1 2 3
320 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
6)
1 2 3
360 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
3)
1 2 3
330 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
7)
1 2 3
370 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
4)
1 2 3
340 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
8)
1 2 3
380 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
11g 12g 13g
14g 15g 16g
Рис 8 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 1ig 1G
(що перетинають чверть площину X OY )
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
X
Y
1) 1 2 3
110 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
2) 1 2 3
120 3 1 0 0 2 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l x y l l x
3) 1 2 3
130 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
140 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
5) 1 2 3
150 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
160 3 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l y x l l y
21g 22g 23g
24g 25g 26g
Рис 9 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 2ig 2G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
210 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
y l l x z l l x
2) 1 2 3
220 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
3) 1 2 3
230 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
240 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
5) 1 2 3
250 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
6) 1 2 3
260 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
1) 2) 1 2 311
0 0
0 0
0
l l ll a
y z
1 2 312
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
3) 1 2 313
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
4) 5) 1 2 314
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
1 2 315
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
6) 1 2 316
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
7) 8) 1 2 317
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
1 2 318
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
9) 1 2 319
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
Встановлення аналітичних умов для відповідних типів прямих з
підкласів і можна запропонувати студентам в якості неважкої
вправи яка з очевидними змінами повторює міркування для типів прямих
з підкласу
2A
1A
3A
a b c
Рис 2 Прямі з класу B
1ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 1B (що
перетинають піввісі осей OY і OZ ) ndash рис 2 a
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
3) 1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
4) 1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
2ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 2B (що
перетинають піввісі осей OZ і OX ) ndash рис 2 b
1) 2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
3) 2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
2) 2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
4) 2 3 1
240 0 1 3
0 0
00
l l l
y x l l z
b
X
Y
Z
O
31b
32b
34b
33b
X
Y
Z
O1
2b
22b
23b
24b
Z
12b11b
X
YO
13b
14b
3ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 3B (що
перетинають піввісі осей OX і ) ndash рис 2 OY c
1) 3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
3) 3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
2) 3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
4) 3 1 2
340 0 2 1
0 0
00
l l l
z y l l x
b
a b c
Рис 3 Прямі з класу C
1ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини YO ) ndash рис 3 a
1C
Z
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
3)
1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
4)
1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
5) 1 2 3
150 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
6) 1 2 3
160 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
7)
1 2 3
170 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
8)
1 2 3
180 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
2ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
2C
ZOX ) ndash рис 3 b
1)
2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
2)
2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
3)
2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
4)
2 3 1
240 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
5)
2 3 1
250 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
6)
2 3 1
260 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
7)
2 3 1
270 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
8)
2 3 1
280 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
X
Y
Z
O
31c
32c
35c
36c
33c
34c
37c
38c
X
Y
Z
O
21c
22c
25c
23c
24c
28c
26c
27c
Z
X
Y
O 11c
13c
16c 15c
18c17c
12c
14c
3ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
3C
XOY ) ndash рис 3 c
1)
3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
2)
3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c 3)
3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
4)
3 1 2
340 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
5)
3 1 2
350 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
6)
3 1 2
360 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
7)
3 1 2
370 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
8)
3 1 2
380 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
0
c
a b c
Рис 4 Прямі з класу D
1id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OX ) ndash рис 4 a 1D
1) 1 2 311
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
x l z l y
2) d 1 2 312
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
3) d 1 2 313
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
4) 1 2 314
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
0x l z l y
5) d 1 2 315
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
6) d 1 2 316
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
2id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OY ) ndash рис 4 b 2D
1) 2) d 3) d 2 3 121
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
1 0z 1 0z 1 0z
1 0z 1 0z 1 0z
0x 0x 0x
2 3 122
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 123
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
4) 5) d 6) d 2 3 124
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
2 3 125
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 126
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
3id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OZ ) ndash рис 4 c 3D
1) 2) d 3) d 3 1 231
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
3 1 232
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 233
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
O
X
Z
Y
32d
34d
31d
33d
35d
36d
O
X
Z
Y15d
11d 12d
14d
13d
16d
Z
21d23d25d
O
X
Y
22d24d26d
4) 5) d 6) 3 1 234
0 1 0
0 0
0
l l ld
z l y l
2 0x 0x 0x
3 1 235
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 236
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
1) 1 2 31
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
2) 1 2 32
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
3) 1 2 33
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 11 1
l l le
x l y l z l
4) 1 2 34
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 1 11
l l le
x l y l z l
Рис 5 Прямі з класу E
a b c
Рис 6 Прямі з класу F
1if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 1F
OX a
1)
1 2 3
110 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
5)
1 2 3
150 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2)
1 2 3
120 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
6)
1 2 3
160 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
3)
1 2 3
130 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
7)
1 2 3
170 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
4)
1 2 3
140 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
8)
1 2 3
180 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 2F
OY b
1)
1 2 3
210 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
5)
1 2 3
250 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
O
X
Z
Y31f
32f 33f
34f
35f
36f 37f
38f O
X
Z
Y
11f 12f
13f 14f
15f
16f
17f
18f
O
X
Z
Y21f
24f
22f
23f 25f
26f
27f
28f
Z2e3e
O
X
Y4e
1e
2)
1 2 3
220 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
6)
1 2 3
260 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3)
1 2 3
230 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
7)
1 2 3
270 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
4)
1 2 3
240 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
8)
1 2 3
280 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 3F
OZ c
1)
1 2 3
310 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
5)
1 2 3
350 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
2)
1 2 3
320 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
6)
1 2 3
360 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
3)
1 2 3
330 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
7)
1 2 3
370 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
4)
1 2 3
340 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
8)
1 2 3
380 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
11g 12g 13g
14g 15g 16g
Рис 8 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 1ig 1G
(що перетинають чверть площину X OY )
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
X
Y
1) 1 2 3
110 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
2) 1 2 3
120 3 1 0 0 2 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l x y l l x
3) 1 2 3
130 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
140 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
5) 1 2 3
150 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
160 3 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l y x l l y
21g 22g 23g
24g 25g 26g
Рис 9 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 2ig 2G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
210 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
y l l x z l l x
2) 1 2 3
220 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
3) 1 2 3
230 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
240 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
5) 1 2 3
250 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
6) 1 2 3
260 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
3ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 3B (що
перетинають піввісі осей OX і ) ndash рис 2 OY c
1) 3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
3) 3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
2) 3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
4) 3 1 2
340 0 2 1
0 0
00
l l l
z y l l x
b
a b c
Рис 3 Прямі з класу C
1ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини YO ) ndash рис 3 a
1C
Z
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
3)
1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
4)
1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
5) 1 2 3
150 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
6) 1 2 3
160 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
7)
1 2 3
170 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
8)
1 2 3
180 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
2ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
2C
ZOX ) ndash рис 3 b
1)
2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
2)
2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
3)
2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
4)
2 3 1
240 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
5)
2 3 1
250 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
6)
2 3 1
260 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
7)
2 3 1
270 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
8)
2 3 1
280 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
X
Y
Z
O
31c
32c
35c
36c
33c
34c
37c
38c
X
Y
Z
O
21c
22c
25c
23c
24c
28c
26c
27c
Z
X
Y
O 11c
13c
16c 15c
18c17c
12c
14c
3ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
3C
XOY ) ndash рис 3 c
1)
3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
2)
3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c 3)
3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
4)
3 1 2
340 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
5)
3 1 2
350 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
6)
3 1 2
360 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
7)
3 1 2
370 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
8)
3 1 2
380 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
0
c
a b c
Рис 4 Прямі з класу D
1id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OX ) ndash рис 4 a 1D
1) 1 2 311
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
x l z l y
2) d 1 2 312
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
3) d 1 2 313
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
4) 1 2 314
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
0x l z l y
5) d 1 2 315
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
6) d 1 2 316
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
2id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OY ) ndash рис 4 b 2D
1) 2) d 3) d 2 3 121
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
1 0z 1 0z 1 0z
1 0z 1 0z 1 0z
0x 0x 0x
2 3 122
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 123
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
4) 5) d 6) d 2 3 124
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
2 3 125
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 126
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
3id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OZ ) ndash рис 4 c 3D
1) 2) d 3) d 3 1 231
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
3 1 232
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 233
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
O
X
Z
Y
32d
34d
31d
33d
35d
36d
O
X
Z
Y15d
11d 12d
14d
13d
16d
Z
21d23d25d
O
X
Y
22d24d26d
4) 5) d 6) 3 1 234
0 1 0
0 0
0
l l ld
z l y l
2 0x 0x 0x
3 1 235
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 236
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
1) 1 2 31
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
2) 1 2 32
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
3) 1 2 33
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 11 1
l l le
x l y l z l
4) 1 2 34
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 1 11
l l le
x l y l z l
Рис 5 Прямі з класу E
a b c
Рис 6 Прямі з класу F
1if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 1F
OX a
1)
1 2 3
110 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
5)
1 2 3
150 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2)
1 2 3
120 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
6)
1 2 3
160 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
3)
1 2 3
130 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
7)
1 2 3
170 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
4)
1 2 3
140 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
8)
1 2 3
180 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 2F
OY b
1)
1 2 3
210 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
5)
1 2 3
250 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
O
X
Z
Y31f
32f 33f
34f
35f
36f 37f
38f O
X
Z
Y
11f 12f
13f 14f
15f
16f
17f
18f
O
X
Z
Y21f
24f
22f
23f 25f
26f
27f
28f
Z2e3e
O
X
Y4e
1e
2)
1 2 3
220 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
6)
1 2 3
260 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3)
1 2 3
230 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
7)
1 2 3
270 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
4)
1 2 3
240 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
8)
1 2 3
280 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 3F
OZ c
1)
1 2 3
310 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
5)
1 2 3
350 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
2)
1 2 3
320 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
6)
1 2 3
360 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
3)
1 2 3
330 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
7)
1 2 3
370 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
4)
1 2 3
340 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
8)
1 2 3
380 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
11g 12g 13g
14g 15g 16g
Рис 8 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 1ig 1G
(що перетинають чверть площину X OY )
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
X
Y
1) 1 2 3
110 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
2) 1 2 3
120 3 1 0 0 2 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l x y l l x
3) 1 2 3
130 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
140 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
5) 1 2 3
150 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
160 3 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l y x l l y
21g 22g 23g
24g 25g 26g
Рис 9 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 2ig 2G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
210 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
y l l x z l l x
2) 1 2 3
220 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
3) 1 2 3
230 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
240 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
5) 1 2 3
250 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
6) 1 2 3
260 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
3ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
3C
XOY ) ndash рис 3 c
1)
3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
2)
3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c 3)
3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
4)
3 1 2
340 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
5)
3 1 2
350 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
6)
3 1 2
360 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
7)
3 1 2
370 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
8)
3 1 2
380 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
0
c
a b c
Рис 4 Прямі з класу D
1id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OX ) ndash рис 4 a 1D
1) 1 2 311
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
x l z l y
2) d 1 2 312
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
3) d 1 2 313
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
4) 1 2 314
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
0x l z l y
5) d 1 2 315
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
6) d 1 2 316
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
2id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OY ) ndash рис 4 b 2D
1) 2) d 3) d 2 3 121
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
1 0z 1 0z 1 0z
1 0z 1 0z 1 0z
0x 0x 0x
2 3 122
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 123
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
4) 5) d 6) d 2 3 124
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
2 3 125
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 126
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
3id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OZ ) ndash рис 4 c 3D
1) 2) d 3) d 3 1 231
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
3 1 232
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 233
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
O
X
Z
Y
32d
34d
31d
33d
35d
36d
O
X
Z
Y15d
11d 12d
14d
13d
16d
Z
21d23d25d
O
X
Y
22d24d26d
4) 5) d 6) 3 1 234
0 1 0
0 0
0
l l ld
z l y l
2 0x 0x 0x
3 1 235
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 236
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
1) 1 2 31
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
2) 1 2 32
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
3) 1 2 33
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 11 1
l l le
x l y l z l
4) 1 2 34
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 1 11
l l le
x l y l z l
Рис 5 Прямі з класу E
a b c
Рис 6 Прямі з класу F
1if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 1F
OX a
1)
1 2 3
110 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
5)
1 2 3
150 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2)
1 2 3
120 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
6)
1 2 3
160 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
3)
1 2 3
130 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
7)
1 2 3
170 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
4)
1 2 3
140 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
8)
1 2 3
180 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 2F
OY b
1)
1 2 3
210 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
5)
1 2 3
250 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
O
X
Z
Y31f
32f 33f
34f
35f
36f 37f
38f O
X
Z
Y
11f 12f
13f 14f
15f
16f
17f
18f
O
X
Z
Y21f
24f
22f
23f 25f
26f
27f
28f
Z2e3e
O
X
Y4e
1e
2)
1 2 3
220 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
6)
1 2 3
260 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3)
1 2 3
230 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
7)
1 2 3
270 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
4)
1 2 3
240 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
8)
1 2 3
280 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 3F
OZ c
1)
1 2 3
310 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
5)
1 2 3
350 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
2)
1 2 3
320 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
6)
1 2 3
360 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
3)
1 2 3
330 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
7)
1 2 3
370 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
4)
1 2 3
340 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
8)
1 2 3
380 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
11g 12g 13g
14g 15g 16g
Рис 8 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 1ig 1G
(що перетинають чверть площину X OY )
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
X
Y
1) 1 2 3
110 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
2) 1 2 3
120 3 1 0 0 2 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l x y l l x
3) 1 2 3
130 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
140 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
5) 1 2 3
150 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
160 3 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l y x l l y
21g 22g 23g
24g 25g 26g
Рис 9 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 2ig 2G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
210 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
y l l x z l l x
2) 1 2 3
220 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
3) 1 2 3
230 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
240 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
5) 1 2 3
250 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
6) 1 2 3
260 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
4) 5) d 6) 3 1 234
0 1 0
0 0
0
l l ld
z l y l
2 0x 0x 0x
3 1 235
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 236
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
1) 1 2 31
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
2) 1 2 32
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
3) 1 2 33
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 11 1
l l le
x l y l z l
4) 1 2 34
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 1 11
l l le
x l y l z l
Рис 5 Прямі з класу E
a b c
Рис 6 Прямі з класу F
1if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 1F
OX a
1)
1 2 3
110 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
5)
1 2 3
150 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2)
1 2 3
120 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
6)
1 2 3
160 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
3)
1 2 3
130 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
7)
1 2 3
170 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
4)
1 2 3
140 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
8)
1 2 3
180 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 2F
OY b
1)
1 2 3
210 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
5)
1 2 3
250 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
O
X
Z
Y31f
32f 33f
34f
35f
36f 37f
38f O
X
Z
Y
11f 12f
13f 14f
15f
16f
17f
18f
O
X
Z
Y21f
24f
22f
23f 25f
26f
27f
28f
Z2e3e
O
X
Y4e
1e
2)
1 2 3
220 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
6)
1 2 3
260 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3)
1 2 3
230 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
7)
1 2 3
270 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
4)
1 2 3
240 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
8)
1 2 3
280 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 3F
OZ c
1)
1 2 3
310 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
5)
1 2 3
350 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
2)
1 2 3
320 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
6)
1 2 3
360 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
3)
1 2 3
330 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
7)
1 2 3
370 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
4)
1 2 3
340 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
8)
1 2 3
380 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
11g 12g 13g
14g 15g 16g
Рис 8 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 1ig 1G
(що перетинають чверть площину X OY )
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
X
Y
1) 1 2 3
110 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
2) 1 2 3
120 3 1 0 0 2 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l x y l l x
3) 1 2 3
130 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
140 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
5) 1 2 3
150 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
160 3 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l y x l l y
21g 22g 23g
24g 25g 26g
Рис 9 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 2ig 2G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
210 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
y l l x z l l x
2) 1 2 3
220 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
3) 1 2 3
230 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
240 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
5) 1 2 3
250 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
6) 1 2 3
260 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
2)
1 2 3
220 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
6)
1 2 3
260 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3)
1 2 3
230 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
7)
1 2 3
270 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
4)
1 2 3
240 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
8)
1 2 3
280 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 3F
OZ c
1)
1 2 3
310 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
5)
1 2 3
350 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
2)
1 2 3
320 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
6)
1 2 3
360 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
3)
1 2 3
330 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
7)
1 2 3
370 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
4)
1 2 3
340 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
8)
1 2 3
380 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
11g 12g 13g
14g 15g 16g
Рис 8 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 1ig 1G
(що перетинають чверть площину X OY )
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
X
Y
1) 1 2 3
110 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
2) 1 2 3
120 3 1 0 0 2 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l x y l l x
3) 1 2 3
130 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
140 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
5) 1 2 3
150 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
160 3 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l y x l l y
21g 22g 23g
24g 25g 26g
Рис 9 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 2ig 2G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
210 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
y l l x z l l x
2) 1 2 3
220 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
3) 1 2 3
230 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
240 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
5) 1 2 3
250 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
6) 1 2 3
260 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
1) 1 2 3
110 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
2) 1 2 3
120 3 1 0 0 2 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l x y l l x
3) 1 2 3
130 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
140 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
5) 1 2 3
150 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
160 3 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l y x l l y
21g 22g 23g
24g 25g 26g
Рис 9 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 2ig 2G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
210 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
y l l x z l l x
2) 1 2 3
220 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
3) 1 2 3
230 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
240 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
5) 1 2 3
250 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
6) 1 2 3
260 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
