Il professor Apotema insegna... il linguaggio degli insiemi e dei predicati (Professor Apothem teaches... the language of sets and predicates)

Ciò che seminai nell'ira crebbe in una notte,

rigogliosamente, ma la pioggia lo distrusse.

Ciò che seminai con amore

germinò lentamente, maturò tardi,

ma in benedetta abbondanza.

Peter Rosegger

Il professor Apotema insegna ...

IL LINGUAGGIO

DEGLI INSIEMI

E DEI PREDICATI

Giorgio Goldoni

realizzazione e impaginazione a cura di Giorgio Goldoni

Modena, marzo 2015

Al ricordo di mia nonna Italina, classe 1890, che faceva a mente i conti della spesa senza essere mai stata un solo giorno della sua vita su un banco di scuola.

CONTENUTO DELLE LEZIONI LEZIONE I................. pag.1 Ancora gli insiemi - Il significato del definire - Diversi significati di "essere": appartenenza e inclusione - Differenze tra il linguaggio degli insiemi e il linguaggio comune - L'insieme universo - Definizione di un sottoinsieme dell'universo mediante elencazione dei suoi oggetti o come insieme di verità di un predicato - Insieme vuoto - Diagrammi di Eulero-Venn - Inclusione stretta - Convenzioni riguardo ai diagrammi di Eulero-Venn. LEZIONE II................ pag.17 Traduzione da formule a diagrammi di Eulero-Venn - Complemento, unione e intersezione - Atomi individuati da n insiemi nel caso generale - Un'espressione per gli atomi individuati da due insiemi - L'algebra degli insiemi: proprietà involutiva del complemento, proprietà commutativa di unione e intersezione, elementi neutri ed elementi assorbenti dell'unione e dell'intersezione, proprietà associativa e di idempotenza di unione e intersezione - Dimostrazione della proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione mediante un diagramma di Eulero-Venn usando la tecnica dei tratteggi. LEZIONE III............... pag.29 Un'espressione per gli otto atomi individuati da tre insiemi nel caso generale e relativo diagramma - Analogia tra atomi e numeri binari - I codici correttori di Hamming - La proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione - Un'espressione per indicare che due insiemi sono disgiunti - L'inclusione espressa mediante un'uguaglianza. LEZIONE IV...............pag.41 Proprietà del complemento - Leggi di assorbimento - Uguaglianza di insiemi come doppia inclusione - Esercizi di traduzione da formule a diagrammi e da diagrammi a formule - Le leggi di De Morgan - Riassunto delle proprietà delle operazioni con gli insiemi.

LEZIONE V................pag.55 Dimostrazione delle leggi di De Morgan coi diagrammi - Deduzione di una legge di De Morgan dall'altra usando la proprietà involutiva del complemento - Stessa cosa per le leggi di assorbimento - Operazioni con le proposizioni e i predicati: negazione, congiunzione e disgiunzione - Corrispondenza tra negazione e complemento e tra congiunzione e intersezione. LEZIONE VI... ............pag.67 Corrispondenza tra disgiunzione e unione - Predicati equivalenti - Equazioni e sistemi di disequazioni come predicati - Quantificatore universale e quantificatore esistenziale -Negazione della proposizione che si ottiene quantificando la variabile di un predicato - Proposizioni espresse nel linguaggio degli insiemi e nel linguaggio dei predicati - L'algebra delle proposizioni e l'algebra dei predicati. LEZIONE VII..............pag.79 Esercizi sulla negazione di una proposizione ottenuta quantificando la variabile di un predicato - Algebra delle proposizioni e algebra dei predicati dedotte da quella degli insiemi - Dimostrazione della proprietà distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione con una tavola di verità - Proposizioni vere e proposizioni logicamente vere - Esempi di applicazioni delle proprietà dell'algebra dei predicati alla risoluzione di un sistema di disequazioni - Esercizi sulla corrispondenza tra il linguaggio degli insiemi e quello dei predicati- LEZIONE VIII.............pag.89 Dimostrazione delle leggi di De Morgan per le proposizioni con una tavola di verità - I sillogismi - Il sillogismo Barbara e la sua rappresentazione mediante un diagramma di Eulero-Venn e la sua traduzione nel linguaggio degli insiemi - Regola mnemonica per i sillogismi - Il sillogismo Celarent - Un sillogismo errato e il sillogismo Ferion - Traduzione del sillogismo Barbara nel linguaggio dei predicati - Implicazione logica e implicazione materiale. LEZIONE IX...............pag.101 Implicazione materiale e suo legame con l'inclusione -

Traduzione del sillogismo Barbara nel linguaggio dei predicati mediante l'implicazione materiale e del sillogismo Ferion nel linguaggio degli insiemi e dei predicati - Il sillogismo Darii - Teoremi in forma condizionale e loro struttura nel linguaggio dei predicati - Teorema inverso - Doppia implicazione materiale - Un teorema di geometria elementare formulato mediante la doppia implicazione e la doppia inclusione. LEZIONE X................pag.111 Un problema di magliette - Implicazione, implicazione inversa e doppia implicazione espresse mediante negazione, congiunzione e disgiunzione - Differenza tra equivalenza e doppia implicazione - Contraddizione e struttura di una dimostrazione per assurdo - Teorema inverso, contronominale e contrario - Quantificatore di esistenza e unicità - Predicati in due variabili. LEZIONE XI...............pag.123 Quantificatore di esistenza e unicità espresso mediante gli altri quantificatori - Modi di trasformare in predicato in due variabili in una proposizione - Commutatività e non commutatività di alcune coppie di quantificatori - Costruzione di alcune proposizioni a partire da un predicato in due variabili - Traduzione di un enunciato geometrico nel linguaggio dei predicati - Regola per determinare se un'espressione dell'algebra dei predicati è una proposizione o un predicato e, nell'ultimo caso, in quante variabili. LEZIONE XII..............pag.133 Esercizi sui predicati - Semplificazione della struttura di un algoritmo mediante l'uso di un predicato complesso e semplificazione successiva del predicato mediante l'algebra. LEZIONE XIII.............pag.143 La disgiunzione esclusiva e alcune sue proprietà - Differenza simmetrica di insiemi e suo legame con la disgiunzione esclusiva - Proprietà della differenza simmetrica - Operazioni universali dell'algebra degli insiemi - Differenza di due insiemi e sue proprietà. LEZIONE XIV.............pag.153 Esercizi sulla disgiunzione esclusiva e la differenza simmetrica -

Notazioni compatte con l'uso degli indici - Sommatoria e produttoria - Grande unione e grande intersezione e grandi operazioni in generale quando vale la proprietà associativa LEZIONE XV..............pag.163 Esercizi di scrittura di proprietà algebriche mediante le grandi operazioni: le leggi di De Morgan per n insiemi e per n proposizioni - Algoritmi per il calcolo del risultato di una grande operazione in presenza dell'elemento neutro - Predicato sui naturali definitivamente veri e frequentemente veri - Negazione di definitivamente vero e di frequentemente vero - Un espressione per l'insieme degli oggetti che appartengono a infiniti insiemi di una successione. LEZIONE XVI.............pag.173 Un'espressione per l'insieme degli oggetti che appartengono definitivamente agli insiemi di una successione - Relazioni tra predicati sui naturali universali, definitivamente veri, frequentemente veri, verificati da qualche numero, mai verificati - Differenza tra implicazione logica e implicazione materiale - Ereditarietà di un predicato sui naturali - Il principio di induzione completa o matematica. LEZIONE XVII........... pag.185 Enunciato del principio di induzione completa - Alcune dimostrazioni per induzione - Dimostrazione per induzione "alla Procuste" della disuguaglianza tra la media aritmetica e quella geometrica. LEZIONE XVIII.......... pag.200 Dimostrazione per induzione della formula per il numero di diagonali di un poligono convesso - Dimostrazione per induzione di una proprietà dei grafi - Due dimostrazioni errate - Dimostrazione per induzione che la somma dei primi n cubi è uguale al quadrato della somma dei primi n numeri. LEZIONE XIX............ pag.211 Struttura comune dell'algebra degli insiemi e delle proposizioni - Il gioco degli scacchi e l'algebra astratta - L'algebra di Boole - Teoremi dell'algebra di Boole - Forme normali minterm e maxterm.

LEZIONE XX............. pag.223 Ancora sulle forme canoniche minterm e maxterm - Interpretazione di alcune espressioni dell'algebra di Boole nell'algebra degli insiemi, delle proposizioni e dei predicati - Le mappe di Karnaugh. LEZIONE XXI.............pag.235 Mappe di Karnaugh - Semplificazione di un predicato - Algebra degli interruttori LEZIONE XXII.............pag.247 Ancora sull'algebra degli interruttori - La dualità nell'algebra di Boole - Il significato della dualità nell'algebra degli insiemi e delle proposizioni - La dualità soggetto/sfondo- LEZIONE XXIII.............pag.259 Coppie ordinate di oggetti e prodotto cartesiano di insiemi - Dominio di un predicato in due variabili come prodotto cartesiano dei domini di ciascuna variabile - Rappresentazione grafica del prodotto cartesiano ed estensione dei diagrammi di Euler-Venn - Relazioni binarie come insiemi - Matrice booleiana associata a una relazione binaria. LEZIONE XXIV............pag.267 Esempi di relazioni binarie e relative matrici booleiane - Relazione inversa di una relazione binaria - Prodotto di relazioni binarie - Matrice associata al prodotto di due relazioni e prodotto di due matrici booleiane - Grafi orientati e matrice booleiana associata a un grafo. LEZIONE XXV.............pag.281 Potenze della matrice associata a un grafo orientato e loro significato - Diversi significati dell'uguaglianza - Relazioni binarie su un insieme - Relazioni riflessive, simmetriche, transitive - Relazioni di equivalenza - Classi di equivalenza e insieme quoziente. LEZIONE XXVI.............pag.295 Relazioni varie, di equivalenza e non. LEZIONE XXVII...........pag.307 Rappresentazione grafica delle relazioni e riconoscimento delle

proprietà di una relazione binaria su un insieme dalla sua rappresentazione grafica e dalla matrice booleiana associata. LEZIONE XXVIII...........pag.319 Operazioni sugli elementi 0 e 1 dell'algebra di Boole espresse mediante operazioni aritmetiche sui numeri 0 e 1 - Algoritmo per il prodotto di due matrici booleiane. LEZIONE XXIX............pag.327 Algoritmo per determinare se una relazione è transitiva a partire dalla sua matrice booleiana - Relazioni d'ordine in senso largo e in senso stretto, totali e parziali - Insieme delle parti e sua cardinalità. LEZIONE XXX.............pag.339 Studio di una relazione dalla sua matrice booleiana - Funzioni - Primi elementi - Prodotto o composizione di due funzioni. LEZIONE XXXI............pag.349 Motivi per cui la relazione inversa di una funzione non è in generale una funzione - Funzioni iniettive e suriettive - Funzioni invertibili LEZIONE XXXII...........pag.361 Inversa della composizione di due funzioni invertibili - Funzioni biunivoche da un insieme di tre elementi in se stesso come movimenti che trasformano un triangolo equilatero in se stesso. LEZIONE XXXIII.........pag.371 Funzioni biunivoche di un insieme di quattro oggetti in se stesso come movimenti di un tetraedro e come movimenti propri di un cubo. LEZIONE XXXIV........pag.387 Composizione di una funzione con la propria inversa - Gruppo delle funzioni biunivoche di un insieme in se stesso - Gruppo delle funzioni lineari invertibili - Prodotto cartesiano di due funzioni. LEZIONE XXXV.........pag.399 Funzioni di più variabili - Prodotto cartesiano di funzioni di più variabili come blocco con più ingressi e più uscite - Circuiti

combinatori - Circuiti combinatori con un ingresso e una uscita - Porta logica NOT. LEZIONE XXXVI........pag.409 Circuiti combinatori con due ingressi e una uscita - Porte logiche OR, AND, XOR, NOR, NAND - Circuito sommatore - Circuito sommatore completo - Formulazione del problema dei tre NOT. LEZIONE XXXVII.......pag.423 Soluzione del problema dei tre NOT - Cardinalità di un insieme finito - Cardinalità dell'unione e del complemento - Cardinalità del prodotto cartesiano di due o più insiemi. LEZIONE XXXVIII......pag.433 Il principio di inclusione/esclusione - Cardinalità dell'insieme delle funzioni tra due insiemi e disposizioni con ripetizione - Cardinalità dell'insieme delle parti - Cardinalità dell'insieme delle funzioni iniettive tra due insiemi e disposizioni semplici - Permutazioni e fattoriali. LEZIONE XXXIX.......pag.443 Cardinalità dell'insieme dei sottoinsiemi di data cardinalità e combinazioni semplici - Coefficienti binomiali e loro proprietà - Cardinalità dell'insieme delle funzioni suriettive tra due insiemi. LEZIONE XL.............pag.455 Una formula ricorsiva per la cardinalità dell'insieme delle funzioni suriettive tra due insiemi - Esperimenti casuali - Spazio di prova - Eventi casuali - Eventi congiunti e disgiunti - Evento contrario - Implicazione tra eventi - Evento certo ed evento impossibile - Eventi incompatibili - Eventi condizionati. LEZIONE XLI...........pag.465 Taglio di un segmento in tre parti - Un problema di carte - La funzione probabilità e sue proprietà. LEZIONE XLII.........pag.477 Probabilità e gioco del Lotto - Un esempio di probabilità nel continuo.

PREMESSA Durante la stesura di questo volume, interrotta e ripresa più e più volte, mi sono spesso chiesto se valesse davvero la pena di ostinarsi a completare la collana o se non fosse invece meglio spendere il mio poco tempo in altro modo. E se ora il libro è finito non è stato perché io sia arrivato a una decisione ragionata, ma semplicemente per il fatto che, scrivendo qualche pagina ogni tanto nelle ore più strane, sono arrivato alla fine.

I libri di questa collana non costituiscono in nessun modo un progetto didattico. Non tengono infatti conto dei programmi ministeriali (che continuo a chiamare in questo modo anche se adesso hanno un nome diverso) e ignorano completamente le moderne teorie pedagogiche (se non altro perché le ignora l'autore). Questi libri non costituiscono un progetto, anche perché non parlano di quello che si potrebbe fare, ma di ciò che è stato fatto. Come ho già avuto modo di dire nella prefazione di qualche altro volume, le lezioni di Apotema sono un collages di lezioni che ho tenuto in anni diversi e in classi diverse su uno stesso argomento e formano così un corso molto più vasto e approfondito di quelli che ho realmente svolto in una determinata classe in un determinato anno scolastico. In ogni caso, si tratta di argomenti realmente trattati in classe e ogni mio ex-alunno che per sbaglio leggesse qualche lezione di uno qualsiasi dei volumi di questa collana vi troverebbe qualcosa di molto familiare. Questi volumi sono quindi prima di tutto una testimonianza: la testimonianza di un terzo di secolo vissuto sul campo, in prima linea coi miei studenti. E ci tengo a dire "coi miei studenti". Non ho infatti mai considerato gli studenti in modo professionale, con l'occhio distaccato del pedagogo,

come fa il naturalista che osserva con la lente di ingrandimento una mosca infilzata con uno spillo, ma, piuttosto, li ho sempre considerati dei compagni di viaggio, certamente più giovani e inesperti, ma altrettanto certamente capaci di osservare dettagli del paesaggio sfuggiti persino alla loro molto più esperta guida. E così posso dire di avere imparato tantissimo insegnando e che senza il contributo quotidiano dei miei studenti non sarei mai stato costretto a un continuo ripensamento di ciò che insegno. Questi libri sono quindi una testimonianza per i giovani colleghi, che potranno trovarvi qualche spunto utile per le loro lezioni o qualche stimolo per approfondire un argomento particolare, e una lettura per gli studenti di scuola superiore o dei primi anni dei corsi universitari tecnico-scientifici. Gli interventi degli studenti di Apotema e le ripetute spiegazioni fanno poi sì che i libri di questa collana possano risultare utili per gli autodidatti appassionati di matematica. Ma lascio la parola al professor Apotema e alla sua vivace classe!

LEZIONE I Sekky:- Da che argomento iniziamo il corso, professore? Apotema:- Dal linguaggio degli insiemi e dei predicati. Bronty:- Ancora gli insiemi?! Prof, non se ne può più! Rozzy:- Vero! Li abbiamo fatti alle elementari, alle medie e anche al biennio! Adesso basta! Normy:- Vuol forse dire, prof, che dobbiamo ripassare ancora una volta l'unione e l'intersezione? Apotema:- Secondo voi, allora, non dovrei più nominare i numeri naturali perché ne avete già parlato con la maestra d'asilo? Non si tratta di rivedere ancora una volta quello che avete già visto, e di cui terrò certamente conto, ma, in alcuni casi, di approfondire e precisare meglio alcuni concetti di cui faremo uso in seguito e, in altri casi, di vedere persino cose nuove, che pure ci saranno utili più avanti. Bronty:- Ma io queste cose le so già... Apotema:- Vorrà dire che mi aiuterai a spiegarle ai tuoi compagni. Gioky:- Bronty che spiega! Non voglio perdermi nemmeno una lezione! Dubby:- Prima ha parlato anche di predicati, dico bene? Quelli non mi sembra che li abbiamo visti. Apotema:- Può darsi che non abbiate usato questo termine, ma in qualche modo li avete certamente visti. Sekky:- A noi, professore, avevano parlato di teoria degli insiemi, non di linguaggio degli insiemi. Apotema:- Preferisco usare il termine linguaggio sia per gli insiemi che per i predicati, perché l'uso che faremo di questi concetti è proprio quello tipico di un linguaggio, e cioè li useremo per parlare di qualcosa. In particolare, parleremo di matematica. Rozzy:- Non ci posso credere! Il prof di matematica che ci parla di matematica! Apotema:- Useremo il linguaggio degli insiemi e il linguaggio dei predicati come due linguaggi paralleli per dire le stesse cose in due modi diversi ma equivalenti. Il primo linguaggio parla di oggetti, mentre il secondo parla delle proprietà degli oggetti.

- 2 - Il professor Apotema insegna ... _______________________________________________

Normy:- Non credo di avere capito... Apotema:- Per esempio, se dico: Scetty, Scopry, Sekky, Sogny, Suggy e Svelty, ho usato il linguaggio degli insiemi, mentre se dico: gli alunni il cui nome inizia con la "S", ho usato il linguaggio dei predicati. Come vedete, si tratta di due modi diversi di dire la stessa cosa. Sogny:- Tutto qua? Apotema:- Quasi. Ma vediamo di richiamare quanto avete già visto al biennio o alla scuola media. Gioky:- Dai, Bronty, spiegaci cos'è un insieme! Bronty:- Un insieme è... un gruppo di cose... per esempio, la nostra classe è un insieme di studenti... Rozzy:- Che fantasia! Lo stesso esempio della maestra! Apotema:- Qualcuno di voi saprebbe forse dare una definizione migliore di insieme? Normy:- È una raccolta di oggetti! Apotema:- La definizione di Normy differisce da quella di Bronty solo per l'uso del termine raccolta invece di gruppo e del termine oggetto invece di cosa. Sekky:- Il termine corretto è oggetto e non cosa! Apotema:- Il fatto è che definire significa spiegare che cos'è qualcosa in termini di qualcos'altro che si presuppone noto. Si tratta però di un processo che non può continuare all'infinito e deve prima o poi arrestarsi nel momento in cui si arriva a qualcosa di immediatamente noto. Lenty:- Non ho capito niente! Apotema:- Vedo che avete il vocabolario di italiano... Asy:- Dopo abbiamo il tema... Apotema:- Bene, il vocabolario è un libro in cui è spiegato il significato di ogni parola. Ma dovrebbe essere chiaro che non si può imparare l'italiano esclusivamente dal vocabolario di italiano. Lenty:- Perché no? Apotema:- Perché il significato di ogni parola italiana è spiegato mediante altre parole della lingua italiana e se uno non sa nemmeno una parola di italiano non riuscirà mai a capire nessuna definizione! Tonty:- E allora a cosa serve il vocabolario? Gioky:- Per i temi! Apotema:- Il vocabolario è utile soltanto a chi sa già

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discretamente l'italiano e conosce quindi abbastanza parole da poter comprendere la maggior parte delle definizioni, ma è del tutto inutile per chi non sa una sola parola di italiano! Tonty:- E allora come si fa a imparare l'italiano? Apotema:- Non vorrai dirmi che l'hai imparato dal vocabolario! Ci sono parole di cui apprendiamo il significato mediante una definizione, ci sono invece parole il cui significato lo apprendiamo in modo immediato. Normy:- Che cosa intende dire quando dice "in modo immediato"? Apotema:- Quando al ristorante ordini un piatto che non conosci, ecco che, quando il cameriere te lo mette davanti al naso, in quel momento impari che cosa sta dietro alla parola che identifica quel piatto. Di solito ai bimbi piccoli si fa vedere un oggetto mentre se ne ripete loro il nome. In quel caso il bambino apprende in modo immediato il significato di una parola. Normy:- Quindi ci sono parole il cui significato ci è noto perché lo abbiamo appreso in modo immediato e altre il cui significato ci viene spiegato usando altre parole. Apotema:- Soltanto nel secondo caso si tratta di definizioni. Ma c'è da aggiungere un dettaglio: nella definizione di una parola nuova non possiamo utilizzare la parola stessa. Ovvy:- Sarebbe ridicolo! Apotema:- Eppure nel vocabolario succede. Dammi il tuo vocabolario, Sekky. Sekky:- Eccolo, professore. Apotema:- Per la voce insieme la definizione è la seguente: totalità di persone o cose. Se andiamo poi a leggere la definizione di totalità troviamo: l'insieme di tutte le persone o cose di cui si parla. Dunque la parola insieme è definita mediante la parola totalità e quest'ultima è a sua volta definita in termini della parola insieme. Gioky:- Un serpente che si morde la coda! Apotema:- Esattamente. Ma questo è inevitabile per il vocabolario, che vuole definire ogni parola della lingua italiana mediante altre parole della lingua italiana non per insegnare il significato delle parole a chi non ne conosce nessuna, ma a chi ne conosce già benissimo alcune migliaia. E la circolarità di alcune definizioni ci insegna una cosa molto importante: possiamo spiegare il significato della parola insieme a chi


conosce il significato della parola totalità, ma anche spiegare il significato della parola totalità a chi conosce il significato della parola insieme. Questo ci fa capire che le parole che occorre già conoscere per poter usare utilmente il vocabolario possono essere diverse per due individui diversi e, nonostante ciò, consentire a entrambi di imparare tutte le parole restanti. Per fare un esempio tratto dalla geometria, nei corsi del biennio, di solito, voi considerate il punto e la retta come termini immediatamente noti e definite invece i poligoni o la circonferenza. Tonty:- A me la maestra aveva definito anche il punto come una macchiolina piccolissima fatta con una matita appuntita e la retta come un filo bello teso e prolungato all'infinito in entrambe le direzioni. E sono le sole cose di geometria che ho veramente capito... Apotema:- Deve però essere chiaro a tutti che quelle che ci ha dato adesso Tonty non sono definizioni geometriche, ma definizioni fatte nel linguaggio comune allo scopo di evocare il significato intuitivo dei termini geometrici punto e retta. In geometria, come in ogni altro settore della matematica, si usano dei termini specifici come punto, angolo, poligono, ecc. e quando parlo di definizioni geometriche mi riferisco a definizioni di questi termini geometrici mediante altri termini geometrici. È in questo senso che occorre partire da alcuni termini considerati immediatamente noti coi quali definire tutti gli altri. Stavo appunto dicendo che in geometria di solito si prendono come termini immediatamente noti i termini punto, retta e piano, ma che non si tratta dell'unico modo possibile. Nel caso del linguaggio degli insiemi consideriamo immediatamente noti i significati di insieme e di oggetto così come quello di appartenenza. Diciamo allora che un insieme è composto da oggetti e che un dato oggetto appartiene oppure non appartiene a un dato insieme. Guasty:- La nostra prof parlava di elementi invece che di oggetti! Apotema:- Nessun problema. Anche noi useremo il termine elemento come sinonimo di oggetto. Come certamente avrete già visto, per indicare l'appartenenza si usa un simbolo particolare. Rozzy:- Quella specie di forcone!


Apotema:- Si tratta di una forma stilizzata della lettera greca epsilon minuscola: "∈". Per indicare che l'oggetto p appartiene all'insieme A, scriviamo allora

p A∈ ,

che leggiamo "p appartiene ad A". Per indicare invece che l'oggetto q non appartiene all'insieme A, scriviamo

q A∉ ,

cioè usiamo il simbolo di appartenenza sbarrato. Sogny:- E come mai si usa una lettera epsilon? Apotema:- Perché è la lettera greca che corrisponde alla nostra "e" e sta per "è". Infatti, per indicare che l'oggetto p appartiene all'insieme A, nel linguaggio parlato diciamo spesso che "p è un A". Per esempio, diciamo che 2 è un numero pari volendo con questo affermare che 2 appartiene all'insieme dei numeri pari. Ma occorre stare molto attenti perché non sempre essere sta per appartenere. Quando dico che un multiplo di 4 è pari intendo questa volta affermare che tutti i multipli di 4 sono pari e quindi che l'insieme dei multipli di 4 è una parte o, come si dice in gergo tecnico, un sottoinsieme dell'insieme dei numeri pari. Per indicare che A è un sottoinsieme di B scriviamo

A B⊆ .

Diciamo anche che A è incluso in B o semplicemente che è una parte di B. Dunque, quando dico che 2 è un numero pari, "è" ha il significato di appartenenza, ma quando dico che un multiplo di quattro è pari, ecco che "è" si riferisce questa volta all'inclusione. Sekky:- Cioè si afferma che l'insieme dei multipli di 4 è un sottoinsieme dei numeri pari, vero, professore? Apotema:- Proprio così. Vale la pena di osservare che, come la maggior parte dei linguaggi tecnici, il linguaggio degli insiemi fa uso di termini presi dal linguaggio comune, ma a cui attribuisce un significato sottilmente diverso. Normy:- In che senso? Apotema:- Per esempio, quando nel linguaggio comune parliamo di un insieme di persone ci riferiamo probabilmente ad almeno tre o quattro persone. Certamente non a una sola persona! Nel linguaggio degli insiemi consideriamo invece anche insiemi con un solo oggetto, detti singoletti.


Fuory:- Ma allora si tratta di un oggetto, non di un insieme! Apotema:- E invece si tratta di un insieme: un insieme composto da un solo oggetto. Fuory:- E che differenza c'è tra un insieme di un solo oggetto e l'oggetto? Apotema:- Se pensi a una famiglia come a un insieme di persone, ecco che ci sono famiglie di una sola persona. Ed è diverso parlare di una persona o di una famiglia di una persona. Per farti un esempio tratto dall'aritmetica, se consideri l'insieme dei divisori comuni di due numeri a e b, ecco che, nel caso di due numeri primi tra loro, l'insieme dei divisori comuni è composto dal solo numero 1. Fuory:- Mi ha quasi convinto... Apotema:- Anche il concetto di parte o sottoinsieme si discosta dall'uso che ne viene fatto nel linguaggio comune. Se diceste a un vostro compagno di prendere una parte delle vostre patatine fritte e lui ve le prendesse tutte, immagino che vi arrabbiereste e gli direste una frase del tipo: "Ehi! Ti avevo detto di prenderne solo una parte!". La nostra definizione di parte comprende invece anche questo caso. Diciamo infatti che A è una parte o un sottoinsieme di B quando ogni oggetto di A è anche un oggetto di B. La definizione, come vedete, non esclude il caso in cui A e B abbiano gli stessi oggetti e siano quindi lo stesso insieme, nel qual caso diremo ovviamente che A e B sono uguali. A volte, invece, è utile distinguere il caso in cui A è un sottoinsieme di B, ma è diverso da B. Scriviamo allora

A B⊂

e diciamo che A è strettamente incluso in B. Svelty:- Ho capito! I simboli di inclusione e di inclusione stretta somigliano a quelli di minore o uguale e minore! Dire che A è un sottoinsieme di B è un po' come dire che A è minore o uguale a B, mentre dire che A è strettamente incluso in B è un po' come dire che A è strettamente minore di B! Apotema:- Direi proprio che hai visto giusto... Come potete vedere, ho seguito la convenzione di indicare gli insiemi con lettere maiuscole e gli oggetti con lettere minuscole. Dubby:- E come facciamo a sapere se un qualcosa è un insieme o un oggetto? Apotema:- Dipende dal contesto. Per esempio, possiamo


considerare una retta come un insieme di punti oppure come un oggetto di un fascio. Per evitare situazioni di questo tipo, quando si usa il linguaggio degli insiemi si comincia col fissare un insieme, detto insieme ambiente o insieme universo, e si considerano poi soltanto gli insiemi che sono sottoinsiemi dell'universo fissato. Per esempio, possiamo fissare come universo l'insieme dei numeri naturali e considerare dei suoi sottoinsiemi come i quadrati, i pari, i dispari, i multipli di 3, i primi, ecc. In generale, indicheremo l'universo con U. Gioky:- E le galassie? Apotema:- Un giorno parleremo anche di galassie, Gioky. Ma ritorniamo agli insiemi. Una volta fissato un insieme universo U, possiamo individuare un suo sottoinsieme A elencandone gli oggetti in un ordine qualsiasi oppure specificando una proprietà che li caratterizza completamente. Se prendiamo come universo l'insieme dei numeri naturali, allora possiamo definire il sottoinsieme A composto dai numeri da 1 a 10 elencando semplicemente i suoi oggetti tra parentesi graffe, separati da una virgola:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A = .

Dovete pensare a un insieme come a un sacchetto con dentro gli oggetti e quindi, anche se per elencarli dobbiamo necessariamente seguire un certo ordine, l'ordine risulta comunque inessenziale. Nell'esempio di prima, avremmo potuto definire ugualmente A come l'insieme

1,3,4,7,2,10,8,5,9,6 ,

anche se in questo caso sarebbe stato lecito ipotizzare qualche turba mentale dello scrivente. Un altro modo di individuare lo stesso insieme è quello di indicare una proprietà che caratterizza completamente i suoi oggetti. Nel nostro caso, l'insieme A è l'insieme di tutti i numeri naturali x tali che 10x ≤ . Usiamo allora la scrittura

| 10A x x= ≤ .

Scetty:- E da cosa si capisce che stiamo parlando dei numeri naturali minori o uguali a dieci e non degli interi o dei reali? Apotema:- Dal fatto che abbiamo specificato all'inizio del discorso che l'insieme universo è quello dei naturali.


Sekky:- Quindi, professore, una volta fissato l'insieme universo, risulta sottinteso che la variabile x sta per un oggetto di quell'insieme, vero? Apotema:- Esattamente. Come avete visto, per specificare una proprietà caratteristica degli oggetti di un insieme siamo ricorsi all'uso di una variabile. In particolare, abbiamo utilizzato la disequazione 10x ≤ . Un numero naturale appartiene all'insieme A se e soltanto se soddisfa la disequazione. Normy:- E i predicati? Apotema:- La disequazione 10x ≤ è appunto un esempio di predicato. Più in generale, fissato un insieme universo U, chiamiamo predicato in una variabile su U un enunciato in cui compare una variabile e tale che sostituendo alla variabile un oggetto di U si ottiene un enunciato vero o falso. Dubby:- E i predicati sono sempre equazioni e disequazioni? Apotema:- Le equazioni e le disequazioni in una variabile sono predicati in una variabile su un opportuno insieme di numeri, ma, come ho appena detto, l'insieme universo U può essere un insieme qualsiasi e un predicato su U può essere un qualsiasi enunciato in cui compare una variabile, con la condizione però che se si sostituisce alla variabile un oggetto dell'universo si ottiene un enunciato vero o falso. Per esempio, possiamo considerare come universo U un insieme di persone e su U possiamo considerare il predicato: x parla inglese. Possiamo allora considerare il sottoinsieme

|A x x parla inglese= ,

cioè l'insieme delle persone di U che parlano inglese. Vi faccio notare che "x parla inglese", così come " 10x ≤ " sono enunciati che di per sé non sono né veri né falsi. Un predicato, state bene attenti, non è né vero né falso, ma è verificato o falsificato da un oggetto di U. Un predicato su U definisce allora un sottoinsieme di U, detto insieme di verità del predicato, formato appunto dagli oggetti di U che lo verificano. Sekky:- Quindi, se sostituisco alla variabile un oggetto di U, il predicato diventa una proposizione. Apotema:- Sekky vi ha ricordato che si chiamano proposizioni gli enunciati veri o falsi. Per esempio, 5 10≤ , 3 4 8+ = e Giovanni parla inglese, sono proposizioni.


Fuory:- Ma 3 4 8+ = è falso! Apotema:- Appunto, è un enunciato falso e quindi è una proposizione! Fuory:- Già... Una proposizione falsa... Apotema:- Proprio così: una proposizione falsa. Per indicare le proposizioni si usano di solito le lettere P, Q, R, ... , che useremo anche per i predicati, con l'aggiunta di una variabile tra parentesi: ( )P x , ( )Q x , ( )R x , ... Se, per esempio, indichiamo con ( )P x il predicato 10x ≤ , ecco che (5)P è la proposizione vera 5 10≤ , mentre (20)P è la proposizione falsa 20 10≤ . Normy:- Possiamo dire che sostituendo un oggetto dell'universo alla variabile di un predicato lo si trasforma in una proposizione. Apotema:- Certamente, anche se, come vedremo, non si tratta dell'unico modo per trasformare un predicato in una proposizione. Vediamo di riassumere quello che abbiamo detto. Quando usiamo il linguaggio degli insiemi cominciamo col fissare un insieme universo U. Individuiamo poi dei sottoinsiemi di U elencandone gli oggetti oppure ricorrendo a un predicato, e quindi mediante scritture del tipo

, , , ...A a b c= o | ( )A x P x= .

Quando definiamo un insieme mediante un predicato, può capitare che non esista nessun oggetto dell'universo che lo verifichi. Per esempio, se scelgo come universo la vostra classe e il predicato

"il nome dello studente x inizia con la lettera H",

ecco che non esiste nessuno studente che lo verifica. Svelty:- L'insieme vuoto! Apotema:- Onde evitare tediose eccezioni, come ci ha appena ricordato Svelty, conviene considerare un insieme senza alcun oggetto, che chiamiamo appunto insieme vuoto e che indichiamo con ∅ o con .

Gioky:- Un sacchetto vuoto! E i cerchietti, prof? Non si usano al triennio? Apotema:- Intendi dire i diagrammi di Eulero-Venn? Gioky:- Noi li chiamavamo solo diagrammi di Venn! Apotema:- Non ha importanza, ma puoi stare tranquillo, perché li useremo anche qui al triennio. Gioky si riferisce a quella


rappresentazione pittorica degli insiemi che avete incontrato fin dal primo anno di scuola. Conveniamo di rappresentare l'insieme universo U con un rettangolo e i suoi oggetti come punti interni al rettangolo, con scritto accanto il nome. Per esempio, l'universo , , , , , , ,a b c d e f g h=U si rappresenta così...

Apotema:- Se vogliamo visualizzare l'insieme , ,A a b c= ,

come avete imparato nella scuola dell'obbligo, racchiudiamo i punti che rappresentano gli oggetti a, b, c con un contorno chiuso. Normy:- Un cerchietto! Apotema:- Va bene un contorno qualsiasi. Nel nostro caso, volendo usare un cerchietto, dovremmo riorganizzare i punti e ci conviene usare un contorno come questo...

E non stiamo a perdere inutilmente tempo a tentare di dare una definizione rigorosa di contorno chiuso! Si tratta semplicemente di una tecnica grafica. Quest'altro contorno, altrettanto valido in linea di principio, ma inutilmente complicato, non aiuta certo a visualizzare con chiarezza la situazione e potrebbe interessare tutt'al più lo psicologo. Avete poi imparato a fare un ulteriore passo di astrazione nella rappresentazione grafica degli insiemi


e cioè a disegnare solo il contorno, senza i punti che rappresentano gli oggetti. Secondo questa convenzione si disegnano soltanto i punti che rappresentano gli oggetti di cui si sta parlando.

Anche il rettangolo che rappresenta l'insieme universo può essere omesso ogni volta che la sua rappresentazione risulta superflua. Per esempio, se vogliamo rappresentare con un diagramma di Eulero-Venn il fatto che l'oggetto p appartiene all'insieme A, possiamo evitare di disegnare il rettangolo dell'insieme universo...


In modo del tutto analogo rappresentiamo il fatto che l'oggetto q non appartiene all'insieme A...

E come si rappresenta il fatto che l'insieme A è un sottoinsieme dell'insieme B ? Bronty:- Si disegna il cerchietto di A dentro a quello di B ... Gioky:- Fenomenale, Bronty! Bronty:- Mi stai prendendo in giro? Gioky:- Noooo!

Apotema:- Lo so bene che vi sto riassumendo cose banali che avete già visto mille volte, ma prestate ugualmente attenzione. Se questa è la rappresentazione dell'inclusione, quale sarà la rappresentazione dell'inclusione stretta? Normy:- Secondo me quello che ha disegnato è proprio il diagramma dell'inclusione stretta, perché B è più grande di A! Apotema:- Il diagramma che ho appena disegnato deve essere interpretato in questo modo: comunque si disegni un punto dentro al contorno di A, esso si viene necessariamente a trovare anche dentro al contorno di B. Dunque, il diagramma


rappresenta correttamente il fatto che ogni oggetto di A è anche un oggetto di B e cioè che A è un sottoinsieme di B. Normy:- Ma ci sono punti che stanno dentro a B ma fuori di A! Apotema:- Non mi sembra di averne disegnati. Potrebbero essercene, ma potrebbero anche non essercene. Normy:- E allora? Come si fa a saperlo? Apotema:- Si tratta di adottare una convenzione chiara. Noi adotteremo la convenzione secondo la quale ogni regione in cui risulta diviso l'universo dai contorni che rappresentano i vari insiemi di cui stiamo parlando può essere anche vuota. Nel nostro caso, ad esempio, la regione compresa tra il contorno di A e quello di B potrebbe essere anche vuota. In questo modo non si esclude il fatto che possa essere A B= . Conveniamo inoltre che un asterisco disegnato in una certa regione significhi che quella regione contiene almeno un oggetto e che quindi non è vuota. Normy:- Allora, per indicare che A è strettamente incluso in B, disegniamo un asterisco tra i contorni di A e B, no? Apotema:- Proprio così.

Concludiamo con un'ultima osservazione, che riguarda i diagrammi di Eulero-Venn. Se consideriamo un solo insieme A, per un dato oggetto x dell'insieme universo ci sono solo due possibilità: l'oggetto x appartiene all'insieme A oppure no. Se consideriamo invece due insiemi A e B, per un generico oggetto x dell'universo si possono presentare quattro possibilità: x appartiene ad entrambi gli insiemi, x appartiene ad A ma non a B, x appartiene a B ma non ad A e, infine, x non appartiene a nessuno dei due insiemi A e B. Possiamo rappresentare la situazione ricorrendo a un diagramma ad albero...


Quando rappresentiamo due insiemi generici A e B in un diagramma di Eulero-Venn dobbiamo allora prevedere tutti e quattro i casi possibili per gli oggetti di U e quindi fare in modo che compaiano le quattro regioni che corrispondono ai quattro casi possibili. Dobbiamo allora fare un disegno come questo...

... dove ho numerato le quattro regioni in cui risulta diviso l'universo secondo il diagramma ad albero. Sarebbe stato del tutto errato disegnare gli insiemi in questo modo...


Avremmo infatti escluso la possibilità che esistano oggetti in comune tra i due insiemi, cosa in generale del tutto possibile. Quest'ultimo diagramma risulta corretto solo nel caso in cui i due insiemi non abbiano oggetti in comune o, come si dice in gergo tecnico, quando i due insiemi siano disgiunti. Rompy:- Prof, ormai suona! Apotema:- Per la prossima volta provate allora a tradurre in un diagramma di Eulero-Venn le condizioni seguenti, che riguardano quattro insiemi A, B, C e D, sottoinsiemi di un certo insieme universo U:

e disgiunti

e disgiunti

C B

A D

C D

⊆

E ricordate di non dimenticare nulla, ma nemmeno aggiungere!

Leonhard Euler (Eulero)

(1707 - 1783)

LEZIONE II Apotema:- Chi viene a mostrarci come andava fatto l'esercizio per casa sugli insiemi? Fuory:- Era ridicolmente facile! Apotema:- Allora facci vedere il tuo diagramma! Fuory:- Dovevamo fare un diagramma di Eulero-Venn che rappresenta quattro insiemi A, B, C e D, che soddisfano le condizioni

e disgiunti

e disgiunti

C B

A D

C D

⊆

In questo caso era inutile disegnare il rettangolo dell'universo e così ho disegnato solo i cerchietti...

Le condizioni sono tutte soddisfatte: C è incluso in B, A e D sono disgiunti e così pure lo sono C e D. Apotema:- Siete d'accordo con Fuory? Scetty:- Le condizioni sono tutte verificate, ma Fuory ne ha aggiunte altre! Per esempio ha imposto che A e C siano disgiunti, cosa che non era richiesta. Furby:- Addirittura ha imposto che A e B siano disgiunti! Normy:- E anche B e D! Fuory:- Questo significa che ho sbagliato? Apotema:- Dice il proverbio: "traduttore, traditore!". Per indicare che ogni traduzione, per quanto si sforzi di essere fedele


all'originale, finisce sempre col tralasciare qualche cosa e con l'aggiungere qualche cos'altro. Nel nostro caso, quando vi chiedo di tradurre dal linguaggio degli insiemi alla rappresentazione pittorica dei diagrammi di Eulero-Venn, dovete invece essere dei traduttori perfetti: non togliere nulla, ma nemmeno aggiungere nulla! Tu, Fuory, non hai tolto, ma hai aggiunto e ora devi rimediare. Rozzy:- Intanto, comincia col cancellare A, che deve essere disgiunto soltanto da D ! Fuory:- Quindi deve stare così, no?

Apotema:- Esatto: devono poter esserci oggetti comuni ad A e a C. Ma devi ancora aggiustare D, che deve essere disgiunto sia da A che da C, ma che potrebbe avere oggetti comuni con B.

Fuory:- Mi era sembrato facile... Apotema:- Ne faremo altri. Passiamo invece alle operazioni con gli insiemi, che avete in parte già nominato. Il fatto notevole, infatti, è che possiamo combinare degli insiemi per ottenerne altri. L'operazione più semplice, che agisce su un solo insieme,


è quella di complemento, cioè di completamento. Dato un insieme A, chiamiamo complemento di A, e lo indichiamo con

,A′ l'insieme degli oggetti dell'universo U che non appartengono ad A. In termini grafici l'insieme A′ è rappresentato dalla regione esterna ad A. Si noti bene che in questo caso occorre disegnare il rettangolo dell'universo...

Normy:- E poi ci sono l'unione e l'intersezione! Apotema:- Si tratta questa volta di operazioni binarie, cioè di operazioni che agiscono su due insiemi. L'intersezione di A e B è l'insieme degli elementi comuni ai due insiemi, che indichiamo con A B∩ . L'unione di A e B, che indichiamo con A B∪ , è poi l'insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi.

Le operazioni di complemento, unione e intersezione godono di proprietà che si traducono in vere e proprie regole di calcolo. Un calcolo algebrico del tutto analogo a quello che avete sviluppato al biennio, dove le lettere però si riferiscono a insiemi invece che


a numeri. Sogny:- Un calcolo con gli insiemi? Apotema:- Un'algebra degli insiemi. Prima di passare in rassegna le proprietà delle operazioni, vediamo come si rappresentano tre insiemi in un diagramma di Eulero-Venn nel caso più generale. Dati tre insiemi A, B e C, per un generico oggetto x di U si presentano questa volta otto casi possibili. Infatti x può appartenere oppure non appartenere a ciascuno dei tre insiemi. Descriviamo la situazione con un diagramma ad albero...

Dobbiamo allora disegnare tre contorni in modo da far risultare le otto regioni che corrispondono agli otto casi possibili e cioè l'insieme degli oggetti che appartengono 1) ad A, B e C; 2) ad A e B, ma non a C; 3) ad A e C, ma non a B; 4) ad A, ma non a B né a C; 5) a B e C, ma non ad A; 6) a B, ma non ad A né a C; 7) a C, ma non ad A né a B e, infine, 8) né ad A né a B né a C.


La rappresentazione più semplice è questa...

Sogny:- Topolino! Gioky:- I diagrammi di Disney! Apotema:- Dati tre insiemi A, B e C, usando solo la relazione di appartenenza, non è possibile suddividere ulteriormente in parti l'insieme universo. Per questo motivo, chiameremo questi sottoinsiemi atomi. Dunque, riguardo alla relazione di appartenenza, un insieme individua due atomi, due insiemi individuano quattro atomi e tre insiemi otto atomi. Svelty:- Più in generale, n insiemi individuano 2n atomi! Perché un generico oggetto può appartenere o non appartenere a ciascuno degli n insiemi e ci sono così due possibilità per ogni insieme considerato! Apotema:- Esattamente. Il fatto notevole è che possiamo trovare un'espressione algebrica per ciascuno di questi atomi usando le operazioni di intersezione e complemento. Cominciamo dal caso di un solo insieme A. I due atomi sono, ovviamente, A e A′ :


Nel caso di due insiemi A e B, come abbiamo visto, gli atomi sono quattro. Per individuarli mediante intersezione e complemento il trucco consiste nell'esprimere la non appartenenza mediante l'appartenenza al complementare. Normy:- Non capisco... Apotema:- Affermare che l'oggetto x non appartiene all'insieme M, equivale ad affermare che appartiene al suo complemento M ′ . Ecco allora, ad esempio, che l'insieme degli oggetti che appartengono ad A ma non a B diventa l'insieme degli oggetti che appartengono ad entrambi gli insiemi A e B′ e quindi la loro intersezione A B′∩ . Possiamo allora esprimere, nel caso generale, i quattro atomi generati da A e da B nel modo seguente:

Vi lascio come esercizio per casa di ricavare le espressioni per gli otto atomi generati da tre insiemi A, B e C nel caso generale. Cominciamo invece a vedere le proprietà delle operazioni. Alcune sono talmente ovvie da far pensare che non meritino nemmeno di essere scritte, ma il fatto che siano ovvie non significa che non siano importanti e persino utili! Nell'algebra dei numeri la proprietà 0a a+ = è del tutto ovvia, ma ciò non toglie che si tratti di una proprietà importante, che usate continuamente quando semplificate un'espressione o risolvete un'equazione. Che cosa si può dire, secondo voi, dell'insieme ( )A′ ′ , cioè del complemento del complemento di A? (Tutti, o quasi):- È di nuovo A!


Apotema:- Proprio così: l'insieme degli oggetti dell'universo che non appartengono al complemento di A sono esattamente gli oggetti di A. Dunque

( )A A′ ′ = .

Diciamo che l'operazione di complemento gode della proprietà involutiva. Svelty:- Come l'opposto e il reciproco! L'opposto dell'opposto è il numero di partenza, così come il reciproco del reciproco! Apotema:- Bravo Svelty. Altrettanto ovvia è la proprietà commutativa dell'unione e dell'intersezione:

A B B A∪ = ∪ , A B B A∩ = ∩ .

Del resto, le definizioni di unione e intersezione non fanno riferimento all'ordine con cui si considerano gli insiemi. Esiste poi un elemento neutro per l'unione, cioè un insieme speciale che unito a un qualsiasi insieme A dà come risultato l'insieme A stesso. Ovvy:- Il vuoto! Apotema:- Esatto. Abbiamo infatti che

A A∪ ∅ =

qualsiasi sia l'insieme A. Normy:- È un po' come coi numeri 0a a+ = ! Scopry:- L'unione è come la somma e l'intersezione forse è come il prodotto! Apotema:- Esiste un elemento neutro anche per l'intersezione? Sekky:- Dovrebbe essere un insieme che intersecato a qualsiasi insieme A dà come risultato ancora A... Svelty:- L'universo U! Infatti, qualsiasi sia l'insieme A, l'insieme degli oggetti comuni ad A e a U è semplicemente A, perché tutti gli oggetti di A stanno anche in U! Apotema:- Benissimo. Possiamo allora scrivere che

A A∩ =U

per tutti gli insiemi A. E quando dico per tutti gli insiemi A intendo per tutti i sottoinsiemi A di U. Scopry:- Allora avevo ragione! L'unione si comporta come l'addizione e l'intersezione come la moltiplicazione! Il vuoto è l'equivalente dello zero è l'universo e l'equivalente dell'uno! Apotema:- L'analogia trovata da Scopry vale solo fino a un


certo punto. Per esempio, continua a valere l'analogia con l'algebra dei numeri per quanto riguarda la proprietà 0 0a ⋅ = . Infatti abbiamo che

A ∩ ∅ = ∅ .

L'analogia viene a mancare però con la proprietà altrettanto ovvia

A ∪ =U U .

Queste due ultime proprietà si possono enunciare dicendo che il vuoto e l'universo sono rispettivamente gli elementi assorbenti dell'intersezione e dell'unione. Gioky:- Nel senso che risucchiano ogni altro insieme! Apotema:- Come per l'addizione e la moltiplicazione, sia per l'unione che per l'intersezione vale la proprietà associativa:

( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪ , ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩ .

La conseguenza di questa proprietà è che possiamo fare a meno delle parentesi e scrivere semplicemente

A B C∪ ∪ e A B C∩ ∩ ,

e questo per un numero qualsiasi di insiemi. L'unione di un numero arbitrario di insiemi è semplicemente l'insieme degli oggetti che appartengono ad almeno uno degli insiemi, mentre la loro intersezione è l'insieme degli oggetti comuni a tutti gli insiemi. Passiamo adesso a una proprietà che non ha equivalente nell'algebra classica. Se, infatti, partiamo da un numero a e iteriamo l'operazione di addizione, otteniamo i numeri

2a a a+ = , 3a a a a+ + = , 4a a a a a+ + + = , ... ,

mentre, iterando la moltiplicazione, otteniamo i numeri

2a a a⋅ = , 3a a a a⋅ ⋅ = , 4a a a a a⋅ ⋅ ⋅ = , ...

Con l'unione e l'intersezione le cose vanno del tutto diversamente e il risultato non cambia:

A A A∪ = , A A A A∪ ∪ = , A A A A A∪ ∪ ∪ = , ...

A A A∩ = , A A A A∩ ∩ = , A A A A A∩ ∩ ∩ = , ...

Tutto si riassume nelle proprietà dette di idempotenza:

A A A∪ = , A A A∩ = .

Rozzy:- Tutte così stupide le proprietà degli insiemi?


Apotema:- Tanto per cominciare, non si tratta di proprietà degli insiemi, ma delle operazioni con gli insiemi. In secondo luogo ce ne sono di meno ovvie. Per esempio, vale la proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione:

( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ .

Bronty:- Questa è già più impegnativa... Apotema:- Possiamo darne una dimostrazione usando i diagrammi di Eulero-Venn. La tecnica è la seguente. Si disegnano due diagrammi, uno per l'espressione di sinistra e uno per quella di destra. Per evidenziare poi l'insieme rappresentato da ciascuna espressione si ricorre alla tecnica dei tratteggi. A questo scopo conviene fare una semplice osservazione, che si traduce in una regola di disegno. Se disegniamo due insiemi A e B e li tratteggiamo con due tratteggi diversi, ecco che la loro unione è l'insieme rappresentato dalla regione in cui compare almeno uno dei due tratteggi, mentre la loro intersezione è l'insieme rappresentato dalla regione in cui vi sono entrambi i tratteggi...

Ritorniamo ora alla proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione e cominciamo col disegnare due diagrammi con i tre insiemi A, B e C nella situazione più generale. Gioky:- Topolino e Minnie! Apotema:- Passiamo poi a considerare l'espressione di sinistra

( )A B C∩ ∪ . Si tratta di una intersezione e, più precisamente, dell'intersezione di A con B C∪ . Tratteggiamo allora A e B C∪ nel primo diagramma con due tratteggi diversi. La regione che rappresenta ( )A B C∩ ∪ è quella in cui compaiono entrambi i tipi di tratteggio. Nel secondo diagramma tratteggiamo invece in modo diverso A B∩ e A C∩ . La regione


che rappresenta ( ) ( )A B A C∩ ∪ ∩ è allora quella in cui compare almeno uno dei due tratteggi.

Vediamo allora che le regioni che rappresentano le due espressioni coincidono. Per la generalità del diagramma, l'uguaglianza vale qualsiasi siano i tre insiemi A, B e C. Gioky:- Divertente fare questi disegnini! Apotema:- Per la prossima volta, con questa tecnica, provate a dimostrare che anche l'unione si distribuisce sull'intersezione e cioè che vale la proprietà distributiva

( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ .

Vi ricordo che dovete anche trovare un'espressione per ciascuno degli otto atomi individuati da tre insiemi nel caso


generale. Normy:- A domani, prof! Apotema:- Non ho finito! Provate ad esprimere nell'algebra degli insiemi il fatto che A e B sono disgiunti e, ancora, mostrate come sia possibile esprimere l'inclusione mediante un'uguaglianza. Normy:- In che senso, prof? Apotema:- Dovete scrivere un'uguaglianza che equivalga alla condizione A B⊆ . Normy:- Non credo di avere capito... Apotema:- Pensaci!

John Venn

(1834 - 1923)

LEZIONE III Sekky:- Posso venire io, professore, a correggere il compito per casa? Apotema:- Accomodati, Sekky. Sekky:- Per prima cosa dovevamo determinare un'espressione per ciascuno degli otto atomi individuati da tre insiemi nel caso generale.

L'insieme degli oggetti che stanno in tutti e tre gli insiemi è dato ovviamente da A B C∩ ∩ . Negli altri casi ho usato il fatto che la non appartenenza a un insieme equivale all'appartenenza al suo complemento. Per esempio, l'insieme degli oggetti che stanno in A, in B e non in C è l'insieme degli oggetti che stanno in tutti e tre gli insiemi A, B, C′ e quindi A B C′∩ ∩ . Ecco allora che gli 8 atomi sono: 1) A B C∩ ∩ , 2) A B C′∩ ∩ , 3) A B C′∩ ∩ , 4) A B C′ ′∩ ∩ , 5) A B C′ ∩ ∩ , 6) A B C′ ′∩ ∩ , 7) A B C′ ′∩ ∩ , 8) A B C′ ′ ′∩ ∩ . Apotema:- Benissimo. Passiamo al secondo esercizio. Scopry:- Scusi, prof, ma il fatto che con un insieme ci sono due atomi, con due insiemi ci sono quattro atomi e con tre insiemi ce


ne sono otto non è un po' la stessa cosa dei bit? Apotema:- Spiegati meglio. Scopry:- Con un bit ho due possibilità, con due bit ne ho quattro e con tre ne ho otto! Apotema:- Avete capito che cosa intendeva dire Scopry? Rozzy:- No, ma se ce lo traduce forse lo capiamo... Apotema:- Scopry voleva dire che se consideriamo un solo insieme A, allora abbiamo i due atomi A e A′ , così come con un solo bit abbiamo i numeri binari 0 e 1. Analogamente, i quattro atomi generati da due insiemi A e B, e cioè A B∩ , A B′∩ , A B′ ∩ e A B′ ′∩ , possono essere fatti corrispondere ai quattro numeri binari di due bit 00, 01, 10 e 11. Svelty:- Al posto del primo bit c'è A e al posto del secondo c'è B! Inoltre, dove c'è un uno l'insieme viene sostituito dal suo complemento! Scopry:- Proprio così! Per esempio, con tre insiemi, al numero 101 corrisponde l'atomo A B C′ ′∩ ∩ ! Apotema:- Tutto questo è esatto e vale per un numero arbitrario di insiemi. Ma voglio mostrarvi un'importante applicazione di tipo informatico. Supponete di voler trasmettere o memorizzare una sequenza di bit e che durante la trasmissione o sul supporto di memoria possa capitare un errore. Normy:- Vuol dire che un bit viene sbagliato, no? Apotema:- Più precisamente, supponiamo che un solo bit 1 venga erroneamente trasformato in un bit 0 o viceversa. Un modo per proteggere l'informazione da questo tipo di errore è quello di duplicare i bit. Per esempio, invece di trasmettere l'informazione 1011, trasmettiamo 11001111. In questo modo se un bit viene distorto ce ne accorgiamo. Se riceviamo l'informazione 11001011, ecco che dividendola a gruppi di due bit ci accorgiamo che il terzo gruppo ha i due bit diversi e quindi che uno dei due è il bit sbagliato. Scetty:- Ma non sappiamo quale. Apotema:- Questo è inevitabile, perché abbiamo aggiunto un bit di controllo per ogni bit di informazione e un bit ci consente di distinguere solo tra due situazioni, mentre nel nostro caso si possono verificare tre situazioni distinte. Normy:- Tre? Quali? Apotema:- Il bit sbagliato è il primo, il bit sbagliato è il secondo,


non ci sono errori. Fuory:- Ma è impossibile saper dire che c'è un errore e anche qual è il bit sbagliato! Apotema:- Tutt'altro! Se invece di un solo bit di controllo ne mettiamo due, ecco che i bit sono complessivamente diventati tre. In questo caso, però, i due bit di controllo consentono di distinguere tra quattro situazioni possibili e, in effetti, abbiamo esattamente quattro casi possibili: il bit sbagliato è il primo, il bit sbagliato è il secondo, il bit sbagliato è il terzo, non ci sono errori. Normy:- E come li scegliamo i due bit di controllo? Apotema:- Ci aiutiamo con un diagramma di Venn! Rozzy:- E Eulero dov'è sparito? Gioky:- Si è adeguato anche lei! Apotema:- In effetti "Eulero-Venn" è troppo lungo da pronunciare ogni volta... Ma ritorniamo al nostro problema. Supponiamo di voler trasmettere di nuovo la sequenza 1011. Questa volta triplichiamo i bit e trasmettiamo quindi la sequenza 111000111111. Ci accorgeremo subito se in un gruppo di tre bit si è verificato un errore: se i bit non sono tutti e tre uguali, quello sbagliato è quello diverso dagli altri due. Una volta individuato potremo correggerlo. Scetty:- Abbiamo però triplicato il segnale o l'occupazione di memoria! Apotema:- Vero, ma si può fare di meglio. Prima, però, vediamo di interpretare il metodo su un diagramma di Venn. Denomino con a, b, c questi tre atomi... Scrivo il primo bit, per esempio un uno, nell'atomo a... Poi scrivo i due bit di controllo negli atomi b e c. Che cosa ci scrivo? Ovvy:- Altri due uni! Apotema:- Certamente, Ovvy. Ma come posso interpretare questa regola? Ovvy:- Li prendo uguali al bit dell'atomo a! Apotema:- Ok, Ovvy, ma preferisco enunciare la regola in questo modo: scrivo i due bit di controllo in modo tale che in ogni cerchietto ci sia un numero pari di uni. Nel caso in cui in a ci sia un uno, allora dovrò scrivere un uno anche in b e in c e trasmetterò quindi la sequenza 111. Nel caso in cui in a ci sia uno zero, dovrò scrivere zero anche in b e in c e trasmetterò la sequenza 000.


Dubby:- Perché ci siamo complicati la vita in questo modo? Apotema:- Perché questo metodo si potrà generalizzare al caso di più bit. Supponiamo quindi che il bit di informazione fosse un uno e che sia quindi stata trasmessa o memorizzata la sequenza 111. Se può verificarsi un solo errore, ci sono quattro casi possibili e le sequenze ricevute possono essere soltanto 111, 011, 101, 110. Nel primo caso in A c'è un numero pari di uni e così pure in B. L'errore è fuori di A e fuori di B, cioè nell'atomo A B′ ′∩ , in cui non ci sono bit. La conclusione è che nessun bit è sbagliato.


Nel caso in cui si riceva la sequenza 011, c'è un numero dispari di uni sia in A che in B. C'è allora un errore sia dentro A che dentro B e quindi nell'atomo A B∩ . Il bit sbagliato è allora il bit a, che deve essere corretto da 0 a 1.

Nel caso in cui si riceva la sequenza 101, c'è un numero dispari di uni in A e un numero pari in B. C'è allora un errore dentro A e fuori di B e quindi nell'atomo A B′∩ . Il bit sbagliato è allora il bit b, che deve essere corretto da 0 a 1.

Dovrebbe essere del tutto chiaro il procedimento nel caso della sequenza 110. Dubby:- E come si passa a tre insiemi? Apotema:- Vediamo di fare una considerazione più generale. Con c bit di controllo posso distinguere tra 2c casi, siete d'accordo? Se ho i bit di informazione, allora ho in tutto c i+ bit e siccome il bit sbagliato può essere uno qualsiasi tra di essi


oppure può non esserci alcun errore, si presentano in tutto 1c i+ + casi. Se i casi che posso distinguere con c bit di

controllo sono 2 ,c allora deve essere 2 1c c i≥ + + e la situazione ottimale è quella in cui

2 1c c i= + + .

Possiamo facilmente esprimere i in termini di c, cioè il numero di bit di informazione in termini del numero di bit di controllo:

2 1ci c= − − .

Scopriamo allora che con 1c = si ha 12 1 1 0i = − − = , cioè che un bit di controllo, come ci eravamo già accorti, non consente di proteggere nemmeno un bit di informazione. Con 2c =

ricaviamo che 22 2 1 4 3 1i = − − = − = e che due bit di controllo proteggono un solo bit di informazione. Sogny:- Il metodo che abbiamo appena visto! Apotema:- Passando a tre bit di controllo, cioè al caso 3c = , il numero di bit di informazione per i quali possiamo rilevare e correggere un errore diventa 32 3 1 8 4 4i = − − = − = . In questo caso, dunque, si tratta di aggiungere 3 bit di controllo ogni 4 bit di informazione. Invece di triplicare la sequenza ci basta aumentarla del 75%. Svelty:- Mettiamo dei bit in modo che ci sia un numero pari di uni in ognuno dei tre cerchietti! Apotema:- Svelty ha già scoperto il codice correttore di Hamming 4-3. Normy:- Hamming? Apotema:- Sì, Richard Hamming: l'uomo che ha inventato questa tecnica per proteggere l'informazione e che ha sviluppato tecniche più raffinate ancora. Disegniamo questa volta un diagramma di Venn con tre insiemi... e denominiamo sette degli otto atomi con a, b, c, d, e, f, g in questo modo... Supponiamo che l'informazione da trasmettere o da memorizzare sia 1011. Nei primi quattro atomi scriviamo i primi quattro bit... Che bit scriveremo nei rimanenti atomi e, f, g ? Svelty:- Come ho detto prima! Li scriveremo in modo che in ogni cerchietto ci sia un numero pari di uni! Normy:- In e zero, in f zero e in g uno! Apotema:- Aggiudicato!


Trasmettiamo quindi la sequenza 1011001. Ci dica Dormy quale vuole che sia il bit sbagliato! Dormy (svegliato di soprassalto):- Cos'è che ho sbagliato?? Gioky:- Devi dire un numero da 1 a 7! Dormy:- Allora... Fammi pensare... Tre! Apotema:- Se il terzo bit viene distorto, verrà ricevuta o letta la sequenza 1001001. Abbiamo allora un numero pari di uni dentro


A e un numero dispari di uni in B e in C. L'errore è allora fuori di A, dentro B e dentro C e quindi nell'atomo A B C′ ∩ ∩ , cioè nell'atomo c. Possiamo allora correggere la sequenza 1001001 nella sequenza 1011001. Togliendo poi i tre bit di controllo abbiamo di nuovo la nostra informazione 1011. Sogny:- Geniale! Sekky:- Mi sembra di capire, professore, che all'aumentare del numero di bit di controllo si possa proteggere una percentuale sempre maggiore di bit di informazione, vero? Apotema:- Se poniamo 4c = nell'equazione 2 1c c i= + + ,

ricaviamo che 42 4 1 16 5 11i = − − = − = e scopriamo così che 4 bit di controllo possono proteggere ben 11 bit di informazione. State attenti però! Il codice correttore di Hamming 11-4 consente questa volta di individuare e correggere un errore nel caso in cui ci sia al massimo un errore ogni 15 bit! Con 5 bit di controllo otteniamo il codice 26-5, che non ammette però più di un errore ogni 31 bit, e così via. Esistono tecniche più raffinate che individuano e correggono più di un errore e non un solo errore come quella che vi ho appena mostrato, ma noi ci fermiamo qui e ritorniamo agli esercizi del compito. Sekky:- Dovevamo dimostrare la proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione

( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪

con i diagrammi di Eulero-Venn. Disegno due diagrammi con tre insiemi A, B e C nel caso generale... Gioky:- Due diagrammi di Disney! Sekky:- Poi rappresento l'espressione ( )A B C∪ ∩ nel diagramma di sinistra. Si tratta dell'unione di A con B C∩ . Tratteggio A in un modo... e B C∩ in un altro... La regione in cui compare almeno un tipo di tratteggio è ( )A B C∪ ∩ . Vado

poi a rappresentare l'espressione ( ) ( )A B A C∪ ∩ ∪ nel diagramma di destra. Si tratta questa volta di una intersezione. Tratteggio A B∪ in un modo... e A C∪ in un altro... L'insieme ( ) ( )A B A C∪ ∩ ∪ è allora rappresentato dalla regione in cui ci sono entrambi i tipi di tratteggio. Apotema:- In entrambi i casi risulta evidenziata la stessa regione, cioè l'insieme formato dall'unione degli stessi atomi, e


quindi vale l'uguaglianza. Molto bene.

Sekky:- Avevamo ancora due esercizi. Dovevamo esprimere mediante un'espressione algebrica il fatto che due insiemi sono disgiunti. Due insiemi A e B sono disgiunti quando non hanno elementi in comune e quindi quando la loro intersezione è l'insieme vuoto. Possiamo allora esprimere che A e B sono disgiunti con l'espressione A B∩ = ∅ . Apotema:- Proprio così. Sekky:- Per finire, dovevamo esprimere l'inclusione mediante un'uguaglianza. Ho disegnato il diagramma di A B⊆ e, tratteggiandoli, ho notato che A B B∪ = , mentre A B A∩ = . Apotema:- E cosa hai concluso? Sekky:- Che l'inclusione di A in B equivale alle due uguaglianze. Apotema:- Nel senso che devono valere entrambe?


Sekky:- Si, professore. Apotema:- Secondo te può forse valerne una senza che valga anche l'altra? Sekky:- Se l'unione fa B... Svelty:- Se vale una deve valere anche l'altra, perché ciascuna delle due uguaglianze equivale all'inclusione! Apotema:- In effetti ciascuna delle due equivale all'inclusione. Sekky ci ha mostrato che se vale l'inclusione allora valgono entrambe le uguaglianze. Per completare la dimostrazione dobbiamo far vedere che se vale una delle due uguaglianze, allora vale l'inclusione. Supponiamo che sia A B B∪ = e che un oggetto x appartenga ad A. Se x appartiene ad A, allora x appartiene anche ad A B∪ e, siccome A B B∪ = , ecco che x appartiene anche a B. Dunque se x appartiene ad A, allora x appartiene anche a B e quindi A B⊆ . Supponiamo invece che sia A B A∩ = . Anche in questo caso, se x appartiene ad A, allora, essendo A B A∩ = , x appartiene all'intersezione con B e quindi a B e ne deduciamo nuovamente che A B⊆ . Svelty:- A me sembra ovvio! Se agli oggetti di B aggiungo quelli di A e continuo ad avere gli stessi oggetti di B, significa che A non conteneva oggetti nuovi e quindi che i suoi oggetti erano già tutti oggetti di B! Se poi gli oggetti comuni ad A e a B sono esattamente gli oggetti di A, questo significa che tutti gli oggetti di A sono comuni anche a B! Apotema:- Benissimo, Svelty. Ho solo voluto abituarvi a sviluppare in dettaglio un ragionamento. Vi lascio per casa da trovare i risultati delle seguenti operazioni, dandone poi una dimostrazione con la tecnica dei diagrammi di Venn o con un ragionamento:

1) A A′∪ = ? 2) A A′∩ =? 3) ( )A B B∪ ∩ = ? 4) ( )A B B∩ ∪ = ?

5) ′∅ = ? 6) ′ =U ?

Provate poi a tradurre in un diagramma di Eulero-Venn il

seguente sistema di formule:

A B C

A D

p B D

C D

⊆ ⊆

∩ = ∅

∈ ∩ ′ ∩ ≠ ∅


Infine, provate a tradurre in un sistema di formule il seguente diagramma di Venn:

Bronty:- Nient'altro? Apotema:- Un ultimo esercizio. Provate a disegnare un diagramma di Venn per l'uguaglianza

A B C∩ ∩ = ∅ .

Richard Wesley Hamming

(1915 - 1998)

LEZIONE IV Apotema:- Cominciamo col correggere gli esercizi e i problemi per casa. Chi viene? Gioky:- Vengo io, prof! Apotema:- Vai col primo esercizio! Gioky:- Dovevamo trovare il risultato di alcune espressioni con gli insiemi. Apotema:- Trovare il risultato motivando la risposta, ovviamente. Gioky:- Ovviamente. La prima espressione era A A′∪ . Guasty:- L'universo! Apotema:- Ok, Guasty, dopo verrai tu alla lavagna. Gioky:- In effetti è l'universo. Infatti, ogni oggetto dell'universo che non sta in A sta nel suo complemento A′ e quindi ogni oggetto di U sta in almeno uno dei due. Ne segue che A A′∪ = U . Bronty:- Questo era troppo facile! Apotema:- Sono d'accordo con Bronty: il significato di questa uguaglianza è che ogni oggetto dell'universo o sta in A o non ci sta. Vi faccio però notare che Gioky non ha esplicitato del tutto il suo ragionamento. Gioky, infatti, ha dimostrato che ogni oggetto dell'universo U appartiene all'insieme A A′∪ , e quindi che

A A′⊆ ∪U e non che A A′= ∪U . Quando verificate che ogni oggetto di X è anche un oggetto di Y, avete soltanto dimostrato che X Y⊆ e non che X Y= . Nel nostro caso però vale effettivamente l'uguaglianza. Perché? Gioky:- Perché dovrebbe esserci almeno un oggetto di A A′∪ che non sta in U! Mentre tutti gli oggetti stanno in U! Apotema:- Esatto. In generale, per mostrare l'uguaglianza di due insiemi occorre far vedere che ogni oggetto del primo insieme sta anche nel secondo e viceversa. In altre parole, occorre mostrare che ciascuno dei due è sottoinsieme dell'altro. Nel nostro caso particolare, essendo uno dei due insiemi l'universo, una delle due inclusioni era scontata e bastava solo verificare l'altra. Passiamo alla seconda espressione. Gioky:- Dovevamo esprimere il risultato di A A′∩ .


Guasty:- Facile anche questo! Il vuoto! Apotema:- Vedo che Guasty ha una voglia matta di venire alla lavagna! Gioky:- È proprio l'insieme vuoto, perché nessun oggetto sta sia in A che fuori di A. Dunque A A′∩ = ∅ . Il risultato delle due espressioni successive è poi B per entrambe. La terza e la quarta espressione erano ( )A B B∪ ∩ e ( )A B B∩ ∪ e le ho visualizzate entrambe con un diagramma di Venn, anche se il risultato si poteva trovare con un semplice ragionamento. Apotema:- Sentiamo prima questo ragionamento. Gioky:- Se parto da A e lo unisco con B, ottengo un insieme che contiene tutti gli oggetti di B. Se poi lo interseco con B e prendo quindi solo gli oggetti in comune con B, ecco che ottengo esattamente l'insieme degli oggetti di B, e cioè B! Nell'altro caso, se parto da un insieme A e lo interseco con un insieme B, ecco che ottengo una parte di B. Se questa parte la unisco con B, allora il risultato è B! Apotema:- Bene. Non ho dubbi sul fatto che Gioky abbia colto in pieno il senso delle due uguaglianze, ma voglio ancora una volta mostrarvi una semplice tecnica di ragionamento che funziona anche in situazioni più complesse. Per dimostrare l'uguaglianza di due insiemi si dimostra che ciascuno è incluso nell'altro. Per far vedere che ( )A B B B∪ ∩ = dobbiamo allora dimostrare che ( )A B B B∪ ∩ ⊆ e che ( )B A B B⊆ ∪ ∩ . Cominciamo dalla prima inclusione. Se un oggetto appartiene all'intersezione di A B∪ con B, allora appartiene a entrambi e, in particolare, appartiene a B. Dunque, ( )A B B B∪ ∩ ⊆ . Passiamo alla seconda inclusione. Se un oggetto appartiene a B, allora appartiene anche ad A B∪ , qualsiasi sia A. Ne segue che quell'oggetto appartiene sia ad A B∪ che a B e quindi appartiene alla loro intersezione. Dunque, ( )B A B B⊆ ∪ ∩ . Dalla doppia inclusione segue che ( )A B B B∪ ∩ = . Possiamo riassumere il procedimento con questo schema: 1) ( )A B B B∪ ∩ ⊆

( )x A B

x A B B x Bx B

∈ ∪∈ ∪ ∩ ⇒ ⇒ ∈

∈


2) ( )B A B B⊆ ∪ ∩

( )x B

x B x A B Bx A B

∈∈ ⇒ ⇒ ∈ ∪ ∩

∈ ∪

Ma adesso mostraci pure i diagrammi di Venn. Gioky:- Uso un solo diagramma per ogni uguaglianza, essendo ovvio il diagramma di B ! Faccio quindi un diagramma con due insiemi nel caso generale...

Tratteggio in un modo A B∪ ... e in un altro B... La loro intersezione, che è la regione con entrambi i tratteggi, è proprio B...

Per quanto riguarda l'uguaglianza ( )A B B B∩ ∪ = ... Provo prima con la tecnica della doppia inclusione? Apotema:- Perché no?


Gioky:- Faccio lo schema... 1) ( )A B B B∩ ∪ ⊆

( ) ...x A B B∈ ∩ ∪ ⇒ Come lo indico che x deve appartenere ad almeno uno dei due insiemi A B∩ e B ? Ci sono due diverse strade possibili! Apotema:- Fai due frecce e sdoppia la riga in due righe parallele. Gioky:- Allora...

L'altra inclusione è immediata... 2) ( )B A B B⊆ ∩ ∪

( )x B x A B B∈ ⇒ ∈ ∩ ∪ Passando ai diagrammi di Venn...

... si vede che la regione con almeno un tipo di tratteggio è B. Apotema:- Le due uguaglianze appena dimostrate da Gioky sono chiamate leggi di assorbimento. Se un insieme lo unisco e poi lo interseco con un secondo insieme oppure prima lo interseco e poi lo unisco, ecco che l'insieme di partenza viene assorbito dal secondo insieme. Ma andiamo avanti.


Gioky:- Dovevamo poi determinare i complementi del vuoto e dell'universo. Mi sembra ovvio che sia ′∅ = U e ′ = ∅U ! Apotema:- E come convinceresti i tuoi compagni di questa affermazione? Gioky:- Beh... il complemento del vuoto è l'insieme degli oggetti dell'universo che non appartengono al vuoto! E siccome nessun oggetto dell'universo appartiene al vuoto, si tratta dell'insieme di tutti gli oggetti di U e quindi di U! Viceversa, il complemento dell'universo è fatto da tutti gli oggetti dell'universo che non appartengono all'universo: nessuno! Dunque il complemento dell'universo è il vuoto! Apotema:- Convincente. Gioky:- Restano ancora tre esercizi... Apotema:- Basta così. Quelli viene a spiegarceli Guasty! Guasty:- Chi? Io? Apotema:- Esatto. Guasty:- A me sono sembrati facilissimi... Apotema:- Può darsi che lo fossero. Guasty:- Dovevamo tradurre in un diagramma di Venn la situazione descritta dalle seguenti condizioni algebriche:

A B C

A D

p B D

C D

⊆ ⊆

∩ = ∅

∈ ∩ ′ ∩ ≠ ∅

.

Gli insiemi A, B e C li disegno uno dentro l'altro... Gioky:- Un'insiemoška! Guasty:- Mentre D lo faccio staccato da A...


Apotema:- Si dice disgiunto, non staccato. Guasty:- Non mi resta che mettere il punto che rappresenta p e l'asterisco per la regione non vuota che rappresenta C D′ ∩ . Ecco fatto!

Apotema:- Te la sei cavata proprio bene, Guasty. Passiamo all'esercizio successivo. Guasty:- Questa volta dovevamo tradurre un diagramma di Venn in una serie di condizioni algebriche. Il diagramma era questo...

Per prima cosa noto che sia A che B sono inclusi in C e quindi scrivo le condizioni ⊆A C e B C⊆ . Svelty:- Si poteva scrivere la sola condizione A B C∪ ⊆ ! Apotema:- Giusto. Guasty:- Poi devo dire che D interseca sia B che C, ma non A... ... Che c'è almeno un oggetto che sta in A, ma non in B... e che


l'oggetto q sta in D ma non in C... Apotema:- Vediamo quali condizioni scrivi. Guasty:- Allora... Ecco la mia soluzione:

A C

B C

D B

D C

D A

A B

q D C

⊆

⊆ ∩

∩ ∩ = ∅

′∩ ≠ ∅

′∈ ∩

Apotema:- Nessuna osservazione? Fuory:- Manca la condizione A B∩ ! Sekky:- Mi sa che D B∩ è un insieme, non una condizione. Semmai si doveva scrivere D B∩ ≠ ∅ . Dico bene, professore? Furby:- Anche D C∩ è sbagliato! Doveva scrivere D C∩ ≠ ∅ . Normy:- Non capisco... Apotema:- Immagina, Normy, di dover scrivere alcune condizioni che devono essere soddisfatte dai numeri x e y. Puoi scrivere, ad esempio, 0x y+ > o 2 0x y− = , ma non x y+ ! Le prime scritture esprimono effettivamente qualcosa che può essere verificato o falsificato, l'ultima no! Normy:- Allora sono dei predicati! Apotema:- Predicati in due variabili. In ogni caso è sbagliata anche la correzione indicata da Sekky. Sekky:- E perché mai, professore? Apotema:- Vediamo di chiarire bene la questione. Dovete tenere bene a mente che abbiamo adottato la convenzione secondo la quale una regione di un diagramma di Venn può essere eventualmente vuota, a meno che non vi sia un asterisco o sia indicato esplicitamente qualche oggetto. Dunque, quando non è dichiarata esplicitamente alcuna relazione tra due insiemi, dobbiamo disegnarli in modo che si formino tutti e quattro gli atomi. Questo non significa affatto che le quattro regioni non siano vuote, ma soltanto che possono non essere vuote! Viceversa, se due insiemi sono disegnati nella situazione più generale, non dobbiamo scrivere nessuna relazione riguardo ad essi. Nel nostro caso risulta dal diagramma che A e B sono


sottoinsiemi di C, condizione che si può esprimere in modo sintetico dicendo che la loro unione è inclusa in C, ma, essendo A e B posti tra loro nella condizione più generale, non dobbiamo affermare nulla riguardo ad essi. Per essere sicuri di non dimenticare nulla, possiamo procedere con metodo, per esempio in ordine alfabetico. Abbiamo allora che per A e B non vi è nessuna condizione da esplicitare. Riguardo ad A e C abbiamo che A è incluso in C e scriviamo quindi A C⊆ . A e D sono invece disgiunti, fatto che si traduce nella condizione A D∩ = ∅ . B è incluso in C e scriviamo quindi B C⊆ . B e D sono nella situazione più generale e non dobbiamo scrivere nulla. Infine, C e D sono pure disposti nel modo più generale e così abbiamo finito con le relazioni tra A, B, C e D. Resta da scrivere in formule che c'è almeno un oggetto che sta in A e non in B, e cioè che A B′∩ ≠ ∅ , e che l'oggetto q sta in D ma non in C e quindi che q D C′∈ ∩ . In definitiva, la traduzione fedele del diagramma è la seguente:

A B C

A D

A B

q C D

∪ ⊆

∩ = ∅

′∩ ≠ ∅ ′∈ ∩

Una verifica consiste nel disegnare il diagramma a partire dalle condizioni indicate. Dovete disegnare A e B in posizione generica e quindi C in modo da includere la loro unione. Resta poi da disegnare D, che deve essere disgiunto da A, ma non necessariamente da B e da C. Si metterà poi un asterisco nella regione interna ad A ed esterna a B e si disegnerà un punto di nome q internamente a D ed esternamente a C. Normy:- Adesso è chiaro! Apotema:- Mi sembrava di avervi assegnato un altro esercizio. Guasty:- Beh, l'ultimo era davvero troppo facile! Un diagramma per A B C∩ ∩ = ∅ . Apotema:- La lavagna è tua! Guasty:- Li ho disegnati tutti staccati! Apotema:- E dai pure col termine staccati! Si dice disgiunti! Guasty:- Volevo dire che li ho disegnati tutti disgiunti... Apotema:- Stiamo aspettando con ansia il diagramma di Venn!


Guasty:- Devo disegnarlo? Apotema:- Non era questo che vi avevo chiesto? Guasty:- Ecco fatto!

Svelty:- Traditore! Apotema:- Condivido. Guasty:- Perché? Non è forse vero che A B C∩ ∩ = ∅ ? Svelty:- Hai disegnato condizioni che non c'erano! Guasty:- Quali? Svelty:- Per esempio, nel tuo diagramma si legge che A e B sono disgiunti, ma questo il prof non lo aveva detto! Guasty:- Urca... hai ragione! Fuory:- Se A B C∩ ∩ = ∅ non è automatico che sia anche A B∩ = ∅ ? Apotema:- Pare proprio di no. Per esempio, in questo diagramma non è affatto detto che sia A B∩ = ∅ , anche se A B C∩ ∩ = ∅ !


Sekky:- Quindi si deve fare un disegno che consenta a ogni coppia di insiemi di avere oggetti comuni, ma non oggetti comuni a tutti e tre gli insiemi. Dico bene, professore? Gioky:- Bisogna togliere il cervello a Topolino! Guasty:- Faccio un disegno così...

Apotema:- Così va bene, ma non è necessario ostinarsi a usare dei cerchi. Possiamo usare dei contorni diversi ogni volta che ci fa più comodo. Per esempio, così...

Concludiamo lo studio delle principali proprietà delle operazioni di complemento, unione e intersezione con le cosiddette leggi di De Morgan. Si tratta di due uguaglianze che legano tra loro unione, intersezione e complemento:


( )A B A B′ ′ ′∪ = ∩ , ( )A B A B′ ′ ′∩ = ∪ .

A parole: il complemento dell'unione è l'intersezione dei complementi e il complemento dell'intersezione è l'unione dei complementi.

Se in un primo diagramma tratteggiamo A B∪ , allora ( )A B ′∪ è la regione in cui non compare il tratteggio. In un secondo diagramma tratteggiamo poi A′ in un modo e B′ in un altro. Avremo che A B′ ′∩ è la regione in cui compaiono entrambi i tratteggi.

Anche questa volta il significato è abbastanza ovvio: il complemento dell'unione, cioè l'insieme degli oggetti che non


stanno nell'unione, è l'insieme degli oggetti che stanno sia fuori del primo che del secondo insieme e quindi l'insieme degli oggetti che stanno sia nel complemento del primo che nel complemento del secondo, che è appunto l'intersezione dei complementi. L'altra legge di De Morgan ha un significato analogo: il complemento dell'intersezione, cioè l'insieme degli oggetti che non stanno in entrambi gli insiemi, è l'insieme degli oggetti che non stanno in almeno uno dei due e quindi che stanno in almeno uno dei due complementi, che è proprio l'unione dei complementi. Lascio a voi di visualizzare questa seconda legge di De Morgan con i diagrammi di Venn e concludo invece la lezione riassumendo le proprietà delle operazioni con gli insiemi.

1) ( )A A′′ = proprietà involutiva

2) A A A

A A A

∪ =

∩ = proprietà di idempotenza

3) A B B A

A B B A

∪ = ∪

∩ = ∩ proprietà commutativa

4) ( ) ( )

( ) ( )

A B C A B C

A B C A B C

∪ ∪ = ∪ ∪

∩ ∩ = ∩ ∩ proprietà associativa

5) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

A B C A B A C

A B C A B A C

∩ ∪ = ∩ ∪ ∩

∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ proprietà distributiva

6) ( )

( )

A B B B

A B B B

∩ ∪ =

∪ ∩ = leggi di assorbimento

7) A A

A A

∪ ∅ =

∩ = U elementi neutri

8) A

A

∪ =

∩ ∅ = ∅

U U elementi assorbenti

9) A A

A A

′∪ =

′∩ = ∅

U leggi del complemento


10) ( )

( )

A B A B

A B A B

′ ′ ′∪ = ∩

′ ′ ′∩ = ∪ leggi di De Morgan

Cercate di fissarle bene nella mente, magari rappresentandole di nuovo coi diagrammi di Venn. Provate poi a dimostrare che, comunque si prendano tre insiemi A, B e X, se A X B X∩ = ∩ e A X B X′ ′∩ = ∩ , allora A B= . Sogny:- E i predicati? Apotema:- La prossima volta! Scopry:- Scusi, prof, ma mi sembra di avere scoperto una cosa importante! Apotema:- Dicci pure, Scopry. Scopry:- Le formule che compaiono a coppie si trasformano una nell'altra scambiando tra loro l'unione con l'intersezione e l'universo col vuoto! Sogny:- Verissimo! Apotema:- Proprio così, Scopry. Ottima osservazione! Presto ne parleremo, perché si tratta di un fatto molto importante. Ma dovrai pazientare ancora qualche lezione.

Augustus De Morgan

(1806 - 1871)

LEZIONE V Normy:- Vorrei venire io a correggere il compito per casa, anche se il secondo esercizio forse non l'ho svolto come voleva lei... Apotema:- Vieni pure alla lavagna. Normy:- Come prima cosa dovevamo dimostrare la seconda legge di De Morgan, e cioè che il complemento dell'intersezione è l'unione dei complementi. In formule, dovevamo dimostrare che per due insiemi qualsiasi A e B di U si ha che

( )A B A B′ ′ ′∩ = ∪ .

Ho usato la tecnica dei diagrammi di Venn. Nel primo diagramma tratteggio A B∩ e quindi ( )A B ′∩ risulta rappresentato dalla regione in cui non c'è il tratteggio...

Faccio poi un altro diagramma di Venn, dove tratteggio in modo diverso il complemento di A e quello di B e considero la regione dove c'è almeno un tratteggio... Geny:- Io ho trovato il modo di dedurre la seconda legge di De Morgan dalla prima! Apotema:- Sicuro? Geny:- Sì, anche se in realtà ho usato anche altre proprietà... Apotema:- A te il gesso!


Geny:- Sono partito dall'insieme A B′ ′∪ e ne ho fatto il complemento. Ho poi usato la prima legge di De Morgan e cioè il fatto che il complemento dell'unione è l'intersezione dei complementi. Posso allora scrivere che

( ) ( ) ( )A B A B′ ′ ′ ′ ′ ′ ′∪ = ∩ .

A questo punto ho usato la proprietà involutiva del complemento e quindi che il complemento del complemento è l'insieme di partenza...

( ) ( ) ( )A B A B A B′ ′ ′ ′ ′ ′ ′∪ = ∩ = ∩ .

Ho così ricavato che

( )A B A B′ ′ ′∩ = ∪

e, prendendo il complemento di entrambi gli insiemi e usando di nuovo la proprietà involutiva del complemento, ho finalmente dedotto che

[ ]( ) ( )A B A B A B′′ ′ ′ ′ ′ ′∩ = ∪ = ∪ .

Apotema:- Complimenti, Geny! Bronty:- Con tutti questi complementi mi sono perso! Gioky:- Complementi, Bronty! Normy:- Mi è sembrato un gioco di prestigio... Apotema:- La dimostrazione di Geny è strettamente legata all'osservazione che ha fatto Scopry la lezione scorsa, e cioè che nell'algebra degli insiemi per ogni uguaglianza valida se ne ottiene un'altra scambiando tra loro le operazioni di unione e


intersezione e il vuoto con l'universo. Lo strumento chiave è l'operazione di complemento. Sekky:- Vuol dire, professore, che col complemento possiamo dimostrare una delle due uguaglianze a partire dall'altra anche per quanto riguarda le altre proprietà che abbiamo visto? Apotema:- Esattamente. Per ora è solo un miracolo algebrico, ma poi vedremo che tutto ciò ha un significato intuitivo molto suggestivo. Scetty:- Quindi si può fare quello che Geny ha fatto per le leggi di De Morgan anche per le leggi di assorbimento? Apotema:- Certamente. Supponiamo vera la legge di assorbimento ( )A B B B∩ ∪ = e consideriamo l'espressione

( )A B B∪ ∩ .

Se ne prendiamo il complemento e usiamo tutte e due le leggi di De Morgan, otteniamo che

[ ]( ) ( ) ( )A B B A B B A B B′ ′ ′ ′ ′ ′∪ ∩ = ∪ ∪ = ∩ ∪ .

Per la prima legge di assorbimento abbiamo allora che il risultato finale è B′ e quindi che

[ ]( )A B B B′ ′∪ ∩ = .

Passando ai complementi ricaviamo infine che

( )A B B B∪ ∩ = .

Scetty:- E quale sarebbe il significato intuitivo di questi passaggi al complemento? Apotema:- Abbi pazienza, Scetty. Ogni cosa a suo tempo. Passiamo invece al problema successivo. Normy:- Dovevamo dimostrare che, dati tre insiemi X, A e B, se valgono le uguaglianze A X B X∩ = ∩ e ,A X B X′ ′∩ = ∩ allora è A B= . Bronty:- Io questo non l'ho capito... Normy:- Dalla prima uguaglianza impariamo che la parte di A che sta dentro X coincide con la parte di B che sta dentro X. Dalla seconda uguaglianza impariamo poi che coincidono anche le parti di A e di B che stanno fuori di X, quindi... A e B, coincidendo sia dentro che fuori di X, coincidono dappertutto! Apotema:- Direi che hai proprio colto nel segno, Normy. Quello


che hai detto a parole lo si può tradurre in formule e l'uguaglianza di A e B la si può quindi ricavare usando le proprietà degli insiemi che abbiamo elencato la lezione scorsa. Come per i numeri, le proprietà degli insiemi diventano le regole di un calcolo algebrico e, come nel caso dell'algebra del biennio, saper calcolare coi simboli significa acquisire un potente strumento per risolvere diversi tipi di problemi. Noi non faremo un uso dell'algebra degli insiemi altrettanto intenso di quello che avete fatto al biennio con l'algebra dei numeri, ma useremo prevalentemente l'algebra degli insiemi come un linguaggio per descrivere in modo chiaro e sintetico alcune relazioni tra insiemi di oggetti matematici.


Quando Normy, con un linguaggio molto intuitivo, ha parlato della parte interna dell'insieme A rispetto a un insieme X e di quella esterna, non ha fatto altro che esprimere A nella forma

( ) ( )A A X A X ′= ∩ ∪ ∩ .

Si tratta di un'uguaglianza che si può dedurre dalle proprietà fondamentali già viste:

( ) ( ) ( )A A A X X A X A X′ ′= ∩ = ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩U .

In particolare, si è fatto uso dell'universo come elemento neutro dell'intersezione, di una proprietà del complemento e della proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione. A questo punto basta fare uso delle due uguaglianze che si supponevano vere e ripetere i passaggi a ritroso:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A A X A X B X B X B X X′ ′ ′= ∩ ∪ ∩ = ∩ ∪ ∩ = ∩ ∪ =

B B= ∩ =U .

Se ci pensate, il ragionamento di Normy seguiva proprio questa catena di uguaglianze: gli insiemi A e B visti come unione della rispettiva parte interna a X e di quella esterna a X. Normy:- Non ci sarei mai riuscito a scrivere quella catena di uguaglianze! Apotema:- Formalizzare è tutt'altro che facile ed è una abilità che, come tante altre, si acquisisce soltanto con l'esercizio. Oggi voglio però riprendere i predicati. Abbiamo dato la definizione di predicato in una variabile e sottolineato la differenza tra un predicato e una proposizione. Sapresti dircela tu, Fuory? Fuory:- Un predicato è una proposizione che è vera solo per alcuni oggetti... Apotema:- Prima di tutto un predicato non è una proposizione! Una proposizione è un enunciato di cui possiamo stabilire senza ambiguità la verità o la falsità, mentre un predicato è un enunciato contenente una variabile e che non è né vero né falso, ma che può essere verificato o falsificato dagli oggetti dell'universo che andiamo a sostituire alla variabile. Fuory:- Volevo dire quello! Apotema:- Già... Ecco allora che un predicato individua un sottoinsieme dell'universo: l'insieme degli oggetti che lo verificano. In termini intuitivi un predicato esprime una proprietà e l'insieme di verità del predicato è l'insieme degli oggetti


dell'universo che godono di quella proprietà. Il fatto notevole è che possiamo definire delle operazioni anche coi predicati, ma forse è meglio cominciare con un semplice esempio. Prendiamo come universo un insieme U di persone e consideriamo i due predicati ( )P x : x parla inglese,

( )Q x : x parla francese.

Indichiamo poi con A l'insieme delle persone che parlano inglese e con B l'insieme delle persone che parlano francese. In simboli

| ( )A x P x= e | ( )B x Q x= .

Sappiamo già che con gli insiemi possiamo fare delle operazioni ottenendo come risultato un nuovo insieme. Se questo nuovo insieme è ancora definito da un predicato, ecco che avremo definito un'operazione sui predicati. Normy:- Non sto capendo niente, prof... Apotema:- Cominciamo con l'operazione di complemento. Da quale proprietà sono caratterizzate le persone che appartengono al complemento di A? Normy:- Che non parlano inglese! Apotema:- Esatto. Quindi il complemento di A è l'insieme di verità del predicato

x non parla inglese.

Ovvy:- La negazione! Fuory:- La negazione del predicato è vera quando il predicato è falso! Apotema:- Allora proprio non lo vuoi capire che un predicato non è né vero né falso! Sono le proposizioni che sono vere o false. La tua definizione vale per le proposizioni. La negazione di una proposizione P è la proposizione che afferma la falsità di P e che risulta quindi vera se P è falsa e falsa se P è vera. Svelty:- Non P! Apotema:- Di solito, nella lingua italiana si afferma la falsità di una proposizione inserendo un non da qualche parte, ma qui non stiamo ad addentrarci in questioni grammaticali della nostra lingua o di una particolare altra lingua. La negazione di P è la proposizione che afferma che P è falsa, indipendentemente dalla forma grammaticale in cui lo si esprime. Come ci ha


appena ricordato Svelty, chiamiamo non P la negazione di P. Scriveremo anche not P, come si usa spesso nei linguaggi di programmazione. Più comodamente, indicheremo la negazione di P con P , che leggeremo appunto "non P". Fuory:- Ma allora che cos'è la negazione di un predicato, se non è né vero né falso? Apotema:- Un predicato non è né vero né falso, ma può essere verificato o falsificato dagli oggetti dell'universo. La negazione del predicato ( )P x , che indicheremo con ( )not P x o con ( )P x , è allora il predicato che è verificato esattamente dagli oggetti che falsificano ( )P x . Esiste quindi uno stretto legame tra l'operazione di complemento e quella di negazione: il complemento dell'insieme di verità di un predicato è l'insieme di verità della negazione del predicato. In simboli:

| ( ) | ( )x P x x P x′ = .

Nel nostro esempio, il complemento dell'insieme delle persone che parlano inglese è l'insieme delle persone che non parlano inglese. Fuory:- È la negazione dell'insieme delle persone... Apotema:- Il complemento! La negazione si fa di una proposizione o di un predicato, non di un insieme! Di un insieme si fa il complemento! Fuory:- Ok, prof! Apotema:- Se prendiamo come universo l'insieme dei naturali da 1 a 10 e consideriamo il predicato ( ) :P x 7x > , qual è la sua

negazione ( )P x ? Fuory:- È 7x < ! Svelty:- Sbagliato! Fuory:- Ma cosa dici? Apotema:- (7)P è vero o falso? Fuory:- Sarebbe come chiedere se è vero o falso che 7 7> , no? Apotema:- Appunto! E cosa mi rispondi? Fuory:- Che è falso, perché 7 non è maggiore di 7! Apotema:- Allora (7)P deve essere vero, mentre è falso che 7 7< !


Fuory:- Ok, prof! La negazione di 7x > è 7x ≤ ! Apotema:- Hai confuso la negazione col contrario. Il contrario di bello è brutto, ma la negazione di bello non è brutto: è non bello! Passiamo ora a un'altra operazione con gli insiemi e all'operazione equivalente coi predicati e le proposizioni. Ritorniamo al nostro esempio delle lingue. Quale proprietà caratterizza le persone che stanno nell'intersezione di A con B? Ovvy:- Sono le persone che parlano sia inglese che francese! Apotema:- Esattamente. Si tratta infatti delle persone x che verificano sia il predicato ( )P x che il predicato ( )Q x , cioè che parlano entrambe le lingue. Sekky:- La congiunzione! L'avevamo già vista al biennio per le proposizioni! Apotema:- Qualcuno che non sia Sekky sa dirmi che cosa si intende per congiunzione delle proposizioni P e Q? Normy:- È la proposizione "P e Q", cioè la proposizione che si ottiene collegando le due proposizioni mediante la particella "e" ! Apotema:- Si tratta di una definizione pericolosa. Nella lingua italiana, ad esempio, non sempre è necessario per ottenere la congiunzione che le due proposizioni siano collegate mediante la particella "e". Viceversa, il fatto che due proposizioni siano collegate mediante la particella "e" non garantisce affatto che si ottenga la congiunzione delle due proposizioni. Normy:- È la proposizione che è vera quando sono vere entrambe. Apotema:- Questa definizione è decisamente migliore. La congiunzione di due proposizioni P e Q è la proposizione che afferma la verità di entrambe, indipendentemente dalla forma grammaticale. La congiunzione di P e Q si indica con " P Q∧ " o con "P and Q" e, proprio perché di solito si usa il connettivo "e", si legge "P e Q". Possiamo definire senza ambiguità le operazioni con le proposizioni usando le cosiddette tavole di verità. Per la negazione indichiamo con P una generica proposizione. I casi sono due: o P è vera oppure P è falsa. Vero e falso sono i cosiddetti valori di verità che può assumere la variabile P che sta per una generica proposizione. Per comodità indichiamo vero con "T", dall'inglese true, e falso con "F", dall'inglese false. Bronty:- E perché mai non si indica vero semplicemente con


"V" ? Apotema:- Vedremo fra un attimo che è più comodo usare "T". Dicevo quindi che P può assumere i valori di verità F e T. La negazione di P risulta allora completamente definita dalla seguente tabella, che è la tavola di verità della negazione:

P P F T T F

Per quanto riguarda la congiunzione, siccome le proposizioni coinvolte sono due, dobbiamo usare due variabili, che possono assumere quattro combinazioni di valori di verità. La tavola di verità che definisce la congiunzione è quindi la seguente:

P Q P Q∧

F F F F T F

T F F T T T

Dubby:- Scusi, prof, ma non ho capito la storia della particella "e". Lei ha detto poco fa che non è detto che ci voglia per ottenere la congiunzione e che, viceversa, l'uso del connettivo "e" non garantisce che si tratti della congiunzione. Può farmi un esempio? Apotema:- Se dico

Giuseppe studia ma Mario lavora

ecco che ho collegato la proposizione "Giuseppe studia" con la proposizione "Mario lavora" mediante la particella "ma". Il significato logico è lo stesso della proposizione

Giuseppe studia e Mario lavora.

La differenza sta soltanto in una sfumatura linguistica e cioè nel voler accentuare la differenza tra le attività di Giuseppe e di Mario. Questo non cambia la sostanza: la proposizione è vera se e soltanto se è vero che Giuseppe studia ed è vero che Mario lavora. Si tratta dunque della congiunzione delle due proposizioni.


Dubby:- Ok, prof, ma non riesco a trovare un esempio in cui collego due proposizioni con una "e" senza per questo ottenere la loro congiunzione... Apotema:- Se un conoscente ti dice

Sono stato a teatro e ho visto Giovanni

quand'è che ritieni ti abbia detto la verità? Dubby:- Quando è vero che è stato a teatro ed è pure vero che ha visto Giovanni!

Apotema:- Ne sei sicuro? Supponiamo che il tuo conoscente in mattinata abbia incontrato Giovanni e poi la sera sia andato a teatro. Risultano allora vere entrambe le proposizioni "sono stato a teatro" e "ho visto Giovanni", eppure scommetto che avresti da ridire sulla verità della proposizione "sono stato a teatro e ho visto Giovanni". Dubby:- In effetti da quella frase uno capisce che Giovanni l'abbia visto a teatro... Apotema:- Direi proprio che sia così. La proposizione in questione non è allora la congiunzione delle due proposizioni più semplici, perché potrebbe non essere vera anche se sono vere entrambe.


Dubby:- Ho capito. Scetty:- E allora? Apotema:- Allora la definizione di congiunzione è quella data mediante la tavola di verità. Siamo autorizzati a chiamare congiunzione di due proposizioni ogni enunciato ottenuto a partire dalle due proposizioni date il cui valore di verità sia legato a quello delle due proposizioni come stabilito dalla tavola di verità della congiunzione. E adesso dovete dirmi che cos'è la congiunzione di due predicati. Anzi, me lo dice Fuory! Fuory:- Allora... Questa volta non mi sbaglio. La congiunzione di due predicati... intanto è un predicato! Apotema:- Andiamo già decisamente meglio. Fuory:- E un predicato non è né vero né falso, ma può solo essere verificato o falsificato... Apotema:- Mi devi dare la definizione di congiunzione di due predicati. Fuory:- Ci sono! La congiunzione di due predicati è il predicato che è verificato dagli oggetti che verificano entrambi i predicati! Apotema:- Bel colpo, Fuory! Ovviamente, la congiunzione di

( )P x e ( )Q x la indicheremo con ( ) ( )P x Q x∧ o con

( ) ( )P x and Q x . A questo punto ditemi qual è il sottile legame tra intersezione e congiunzione. Vi ricordo che l'intersezione è un'operazione tra insiemi, mentre la congiunzione è un'operazione tra predicati o proposizioni! Sekky:- L'intersezione degli insiemi di verità di due predicati è l'insieme di verità della congiunzione dei predicati. Giusto, professore? Apotema:- Giusto. In formule:

| ( ) | ( ) | ( ) ( )x P x x Q x x P x Q x∩ = ∧ .

Scopry:- In fondo è come se i tratteggi che si usano nei diagrammi di Venn rappresentassero i predicati che definiscono gli insiemi! Normy:- In che senso? Scopry:- Per esempio, nel caso di due insiemi, la regione in cui compaiono tutti e due i tratteggi rappresenta l'insieme degli oggetti che verificano entrambi i predicati; quella in cui compare il primo tratteggio, ma non il secondo, rappresenta l'insieme degli oggetti che verificano il primo predicato ma non il secondo.


E così via. Apotema:- Ottima osservazione, Scopry. Possiamo utilmente immaginare che il tratteggio sia una rappresentazione pittorica di una proprietà. Lascio a voi di scoprire a quale operazione tra predicati corrisponde l'unione di due insiemi definiti da un predicato. Si tratta di un'operazione che avete certamente visto per le proposizioni e che avete chiamato disgiunzione. Provate persino a indovinarne il simbolo! Non è difficile. Guasty:- Un unione appuntita! Svelty:- Ecco perché non conviene usare la "V" per il valore di verità "vero" ! Normy:- Non ho capito! Apotema:- Alla prossima!

LEZIONE VI Apotema:- Se non sbaglio, eravamo rimasti al problema di determinare l'operazione tra due predicati che corrisponde all'unione dei loro insiemi di verità. Nell'esempio, U era un insieme di persone, A era il sottoinsieme delle persone che parlano inglese e B quello delle persone che parlano francese. Più precisamente, avevamo che

| ( )A x P x= e | ( )B x Q x= ,

dove ( ) :P x x parla inglese e ( ) :Q x x parla francese.

Quali persone appartengono all'insieme A B∪ ? Sekky:- L'unione di A e B è l'insieme degli oggetti che appartengono ad almeno uno dei due insiemi e quindi, in questo caso, è l'insieme delle persone che parlano almeno una delle due lingue. Apotema:- Al biennio avete chiamato disgiunzione di due proposizioni P e Q la proposizione che afferma la verità di almeno una delle due proposizioni, indipendentemente dalla sua forma grammaticale. Indichiamo la disgiunzione di P con Q con P Q∨ . La tavola di verità che la definisce oltre ogni possibile ambiguità è la seguente:

P Q P Q∨ F F F F T T T F T T T T

Normy:- Sarebbe "P o Q", vero? Apotema:- Esattamente. La disgiunzione di P con Q si legge "P

o Q" e si indica anche con P or Q . E come si definirà la disgiunzione di due predicati? Svelty:- Come quel predicato che è verificato dagli oggetti dell'universo che verificano almeno uno dei due predicati! Questa volta possiamo dire che l'unione degli insiemi di verità di


due predicati è l'insieme di verità della disgiunzione dei due predicati! Apotema:- Proprio così. In formule:

| ( ) | ( ) | ( ) ( )x P x x Q x x P x Q x∪ = ∨ .

Scetty:- Lei ci ha definito la disgiunzione di due predicati come quel predicato che è verificato dagli oggetti che verificano almeno uno dei predicati, ma chi ci dice che ce ne sia uno solo? Anzi, secondo me ce ne possono essere tanti! Lo stesso vale per la definizione di negazione di un predicato o di congiunzione di due predicati! Apotema:- Spiegati meglio. Scetty:- La questione è che, secondo me, mentre a un predicato corrisponde un insieme, il suo insieme di verità, a uno stesso insieme possono corrispondere più predicati! Normy:- Non capisco! Perché non fai un esempio? Scetty:- Se prendiamo come universo l'insieme dei numeri naturali, i predicati "x è pari" e " 2x è pari", pur essendo predicati diversi, definiscono lo stesso insieme. Infatti, affermare che un numero è pari o che è pari il suo quadrato è la stessa cosa! Ecco allora che si tratta di due possibili negazioni del predicato "x è dispari"! La conclusione è che ci sono diversi predicati che sono la negazione di uno stesso predicato. Stessa cosa per la congiunzione e la disgiunzione! Normy:- Accidenti! Ha ragione! Bronty:- Ecco perché queste cose non le avevamo viste al biennio... Apotema:- Forse non le avevate esplicitate a questo livello di dettaglio, ma la avevate senza dubbio viste! Normy:- Non credo proprio, prof! Apotema:- Pensate a un'equazione. Si tratta di un predicato su un certo insieme di numeri. Risolvere l'equazione significa poi determinarne l'insieme di verità. E come fate, di solito, a risolvere un'equazione? Fate tanti passaggi! Scrivete l'equazione, poi ne scrivete un'altra, poi un'altra ancora, finché a un certo punto non ne scrivete una così semplice che si risolve in un attimo. Ma voi dovevate risolvere la prima, non l'ultima! Mi sapete spiegare in che cosa consiste questo procedimento? Sekky:- Scriviamo sì tante equazioni diverse tra loro, ma tutte equivalenti!


Apotema:- E che cosa significa che due equazioni sono equivalenti? Sekky:- Che hanno le stesse soluzioni! Apotema:- Dunque lo sapevate già che predicati diversi possono avere lo stesso insieme di verità! Come per le equazioni, diremo più in generale che due predicati sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di verità. All'obiezione sacrosanta di Scetty rispondo allora dicendo che le operazioni sui predicati sono definite a meno di predicati equivalenti. Per esempio, chiamiamo negazione del predicato ( )P x un qualsiasi predicato che risulta verificato esattamente dagli oggetti dell'universo che falsificano ( )P x . Scetty:- Ma allora il risultato delle operazioni coi predicati non è più un predicato, ma potrebbe essere addirittura un'infinità di predicati! Apotema:- Il fatto è che l'operazione risulta a sua volta definita non su uno o due predicati soltanto, ma su una infinità di predicati o su una infinità di coppie di predicati! Scopry:- Come per le frazioni! Apotema:- Bravo Scopry! Proprio come per le frazioni. Bronty:- Che cosa c'entrano adesso le frazioni?

Scopry:- Il risultato della somma 1 12 3

+ è 56

, ma è anche 1012

o

1518

! Inoltre potevo sostituire a 12

le frazioni 24

o 4080

e a 13

potevo sostituire 4

12 o

39

! Altrettanto per la congiunzione

( ) ( )P x Q x∧ . Se ( )R x è un qualsiasi predicato che risulta verificato esattamente dagli oggetti che verificano sia ( )P x che

( ),Q x possiamo scrivere che ( ) ( ) ( ),P x Q x R x∧ = ma l'uguaglianza resta vera se sostituiamo ciascuno dei tre predicati con un predicato equivalente! Proprio come per le frazioni! Normy:- Credo di avere capito. E della corrispondenza tra le operazioni con gli insiemi e quelle coi predicati, che cosa ce ne facciamo? Apotema:- Considerate ad esempio l'equazione

23 7 0x x− = .


Come abbiamo già osservato, un'equazione è un predicato su un certo universo di numeri, per esempio l'insieme dei numeri reali, e risolverla significa determinare il suo insieme di verità. Normy:- Facile! È un equazione di secondo grado spuria! Apotema:- E come la risolvi? Normy:- Raccolgo la x! Apotema:- Bene. L'equazione diventa

(3 7) 0x x − = .

E, a questo punto, come procedi?

Normy:- Le soluzioni sono 0x = e 73

x = !

Apotema:- Esatto, Normy. Ma vediamo di esplicitare in dettaglio il procedimento che porta a questo risultato. Sekky:- Si usa la legge di annullamento del prodotto! Apotema:- Molto bene. Come ha appena detto Sekky, si usa il fatto che il prodotto di due numeri si può annullare se e soltanto se si annulla almeno uno dei fattori. Esprimiamo allora l'equazione come disgiunzione di due predicati più semplici: il predicato 23 7 0x x− = è equivalente alla disgiunzione di predicati ( 0) (3 7 0)x x= ∨ − = . L'insieme di verità del predicato

0x = è ovviamente l'insieme 0A = , mentre l'insieme di

verità del predicato 3 7 0x − = è l'insieme 73

B

=

. L'insieme

di verità del predicato ( 0) (3 7 0)x x= ∨ − = è allora l'insieme

30,

7A B

∪ =

.

Normy:- Che complicazione! Non era più facile prima? Apotema:- Puoi e devi fare tutto come prima! Abbiamo solo fatto un'analisi dettagliata del procedimento risolutivo dell'equazione usando il linguaggio degli insiemi e dei predicati. Il fatto è che a volte ci troviamo davanti a situazioni molto più complesse e allora è bene fare molta attenzione. Vediamo un altro semplice esempio. Consideriamo il seguente sistema di

due disequazioni in una incognita: 2 2 3 0

2 0

x x

x

− − ≤

− >


Ogni disequazione è un predicato, per esempio sui numeri reali, e il sistema... A quale operazione tra predicati corrisponde la parentesi graffa? Svelty:- Alla congiunzione! Apotema:- Perché? Svelty:- Perché è verificato dai numeri che verificano entrambe le disequazioni! Apotema:- Dunque, la scrittura

2 2 3 0

2 0

x x

x

− − ≤

− >

sta per 2( 2 3 0) ( 2 0)x x x− − ≤ ∧ − > .

L'insieme delle soluzioni del sistema è allora l'insieme di verità della congiunzione di due predicati e quindi è l'intersezione degli insiemi di verità dei due predicati, ovvero l'intersezione degli insiemi delle soluzioni delle due disequazioni. Vi era allora stato insegnato di risolvere separatamente le disequazioni e di rappresentare graficamente su due copie della retta le loro soluzioni e di prendere quindi quelle comuni. Nel nostro caso la prima disequazione è di secondo grado e le soluzioni si trovano nel modo seguente. Si risolve l'equazione 2 2 3 0x x− − = , che ammette le soluzioni 1− e 3 e si prendono i valori interni, estremi compresi. L'insieme delle soluzioni della prima disequazione è allora l'intervallo chiuso [ 1, 3]− . La seconda disequazione risulta equivalente alla disequazione 2,x > che ammette come insieme delle soluzioni l'intervallo aperto a sinistra e illimitato a destra (2, )+ ∞ .


Rappresentiamo allora l'intervallo [ 1, 3]− come un segmento della retta numerica con entrambi gli estremi e l'intervallo (2, )+ ∞ su un'altra copia della retta numerica come una semiretta orientata verso destra e priva dell'origine. Su una terza copia della retta disegniamo facilmente l'intersezione dei due insiemi precedenti, che risulta essere rappresentata da un segmento privo dell'estremo sinistro e con gli estremi in 2 e in 3. L'insieme delle soluzioni del sistema è allora l'intervallo (2, 3] . Avremo modo di vedere situazioni assai più complesse nelle quali trarremo grande vantaggio dal poter seguire regole chiare. Ritorniamo ora al nostro problema generale, cioè quello di sviluppare i due linguaggi paralleli degli insiemi e dei predicati. Abbiamo definito sugli insiemi le operazioni di complemento, intersezione e unione e sui predicati le operazioni corrispondenti di negazione, congiunzione e disgiunzione. Vi faccio notare però che non abbiamo sviluppato i nostri linguaggi allo stesso livello: con gli insiemi siamo in grado di fare affermazioni che non siamo invece in grado di fare coi predicati. Consideriamo il solito esempio delle persone che parlano inglese e francese. Possiamo affermare che tutti parlano inglese scrivendo l'uguaglianza A = U . In termini del linguaggio dei predicati ciò equivale ad affermare che il predicato ( )P x è verificato da tutti gli oggetti dell'universo. Introduciamo allora il quantificatore universale ∀ , dovuto al logico Frege, che consiste in una "A" rovesciata, dal tedesco "Alles", cioè "tutti". Per indicare che tutti gli x verificano il predicato ( )P x scriviamo

( )x P x∀ ,

che leggiamo "per tutti gli x P di x" o "per ogni x P di x". Per esempio, se U è l'insieme dei numeri reali, la scrittura

2( 0)x x∀ ≥

significa che per tutti i numeri reali x si ha che 2 0x ≥ . A parole: il quadrato di ogni numero reale è maggiore o uguale a zero. Vi faccio notare che si tratta di una proposizione e non di un predicato e, in particolare, di una proposizione vera! Più in generale, se ( )P x è un predicato, ecco che ( )x P x∀ è invece una proposizione. Infatti, o è vero o è falso che ( )P x è verificato da tutti gli x dell'universo. Abbiamo dunque almeno due modi


per passare da un predicato a una proposizione: sostituire alla variabile un particolare oggetto dell'universo oppure usare il quantificatore universale. Se ( )P x è il predicato sui naturali "x è

dispari", ecco che (5)P diventa la proposizione vera "5 è

dispari", mentre ( )x P x∀ diventa la proposizione falsa "ogni

numero è dispari". Ritornando all'esempio delle lingue, vediamo un'altra proposizione che possiamo facilmente esprimere nel linguaggio degli insiemi, ma che non siamo ancora in grado di esprimere nel linguaggio dei predicati: qualche persona parla francese. Nel linguaggio degli insiemi scriviamo semplicemente che B ≠ ∅ . Per poter esprimere questa affermazione nel linguaggio dei predicati introduciamo allora un secondo quantificatore: il quantificatore esistenziale ∃ , che consiste in una lettera "E" rovesciata. Esprimiamo il fatto che esiste almeno un oggetto x che verifica il predicato ( )Q x con la scrittura

( )x Q x∃ ,

che leggiamo "esiste almeno un x tale che Q di x". Ancora una volta, quantificando la variabile trasformiamo un predicato in una proposizione. Geny:- In realtà bastava il quantificatore universale per affermare che c'è almeno una persona che parla francese! Fuory:- Impossibile! Geny:- Affermare che B ≠ ∅ equivale ad affermare che B′ ≠U ! Normy:- Perché mai? Geny:- Affermare che B contiene almeno un elemento equivale ad affermare che il suo complemento manca di almeno un elemento e che quindi differisce dall'universo. Normy:- Ok, ma allora non puoi usare il quantificatore universale! Geny:- Lo posso usare per esprimere la negazione! La negazione di B ≠ ∅ è B′ =U , che è come dire che il predicato che definisce il complemento di B, e cioè la negazione di ( )Q x ,

è universale. Dunque, la negazione di ( )x Q x∃ è ( )x Q x∀ , per

cui ( )x Q x∃ è equivalente a ( )x Q x∀ ! Apotema:- Affermare che qualche persona parla francese equivale a negare che tutte le persone non parlano francese! Bravo Geny!


Dubby:- Allora il quantificatore esistenziale è inutile? Apotema:- Il fatto che, come ci ha mostrato Geny, si possa usare il quantificatore universale per esprimere quello esistenziale non significa affatto che quest'ultimo sia inutile. Non ti sembra un po' scomodo dover esprimere il fatto che esiste almeno un oggetto che verifica una certa proprietà affermando ogni volta che non è vero che tutti gli oggetti dell'universo non godono di quella proprietà? Dubby:- In effetti... Apotema:- Provate invece, per casa, a esprimere in modo affermativo la negazione delle due proposizioni:

( )x P x∀ e ( )x P x∃ .

Provate poi a cercare di riassumere i risultati ottenuti mediante una regola generale. Lenty:- Possiamo fare qualche esercizio? Apotema:- Certamente. Riprendiamo l'esempio delle lingue straniere aggiungendo un terzo insieme C formato dalle persone che parlano tedesco. Dunque,

| ( )C x R x= , con ( ) :R x "x parla tedesco".

Proviamo ad esprimere sia nel linguaggio degli insiemi che in quello dei predicati le seguenti proposizioni:

1) c'è chi parla tutte e tre le lingue; 2) tutti parlano almeno una lingua; 3) qualcuno parla almeno due lingue; 4) Amilcare parla una sola lingua; 5) Nessuno parla soltanto due lingue.

Cominciamo dalla prima proposizione e proviamo ad esprimerla nel linguaggio degli insiemi. Qual è, secondo voi, l'insieme delle persone che parlano tutte e tre le lingue? Ovvy:- L'intersezione dei tre insiemi A, B e C! Apotema:- Giusto. E come si esprime allora il fatto che c'è chi parla tutte e tre le lingue? Normy:- È come dire che l'insieme A B C∩ ∩ non è vuoto! Apotema:- Esattamente, Normy. La prima proposizione, nel linguaggio degli insiemi, si esprime come

A B C∩ ∩ ≠ ∅ .

E nel linguaggio dei predicati?


Sekky:- Dobbiamo dire che esiste almeno una persona che verifica tutti e tre i predicati, e quindi la loro congiunzione:

( ) ( ) ( )x P x Q x R x∃ ∧ ∧ .

Apotema:- Perfetto, Sekky. Passiamo alla seconda proposizione. Comincia tu, Furby. Furby:- Beh, bisogna cominciare con l'individuare l'insieme delle persone che parlano almeno una lingua... che è l'insieme delle persone che appartengono ad almeno uno dei tre insiemi e quindi la loro unione. Bisogna allora esprimere il fatto che l'unione dei tre insiemi dà tutto l'universo e quindi che

A B C∪ ∪ =U .

Apotema:- Molto bene, Furby. E come la mettiamo col linguaggio dei predicati? Furby:- Parlare almeno una delle tre lingue significa verificare almeno uno dei tre predicati, e quindi la loro disgiunzione... Bisogna poi esprimere il fatto che si tratta di un predicato universale:

( ) ( ) ( )x P x Q x R x∀ ∨ ∨ .

Apotema:- Benissimo, Furby. Adesso Lenty ci traduce nel linguaggio degli insiemi la terza proposizione. Lenty:- Allora... qualcuno parla almeno due lingue... Apotema:- Comincia con l'individuare l'insieme delle persone che parlano almeno due lingue. Lenty:- Quali lingue devo considerare, prof? Apotema:- Almeno due lingue, non importa quali! Lenty:- Allora potrebbero essere due qualsiasi? Apotema:- Se ti do tre esercizi e ti dico che devi farne almeno due, che cosa intendo secondo te? Lenty:- Che posso farne due qualsiasi! Apotema:- Appunto. E, nel nostro caso, qual è l'insieme delle persone che parlano almeno due lingue? Vieni a fare un disegno alla lavagna. Lenty:- Devo disegnare Topolino, vero? Apotema:- Lascia perdere Topolino e disegna invece tre insiemi disposti nel modo più generale! Lenty:- Ecco fatto... Devo disegnare anche l'universo? Apotema:- Direi proprio che non sia necessario. Prova adesso a colorare la regione che indica l'insieme delle persone che


parlano almeno due lingue. Che cosa significa "almeno due" ? Lenty:- Due o più di due! Apotema:- E siccome le lingue in questione sono tre... Lenty:- Due o tre! Apotema:- Procedi e vediamo che cosa colori. (Lenty, ascoltando qualche suggerimento, colora finalmente la regione giusta)

Apotema:- Si tratta adesso di trovare l'espressione per questo insieme. Sekky:- È l'unione di quattro atomi! Apotema:- E quali sono questi atomi? Sekky:- Sono ,A B C′∩ ∩ ,A B C′∩ ∩ A B C′ ∩ ∩ e A B C∩ ∩ , vero, professore? Furby:- Inutilmente complicato! Se mi chiedono che cosa significa parlare almeno due lingue rispondo: almeno una delle coppie inglese e francese, francese e tedesco, inglese e tedesco! Il caso in cui uno le parla tutte e tre è automaticamente incluso nei precedenti! Apotema:- E quindi come esprimi l'insieme delle persone che parlano almeno due lingue? Furby:- Lo esprimo come

( ) ( ) ( ).A B B C A C∩ ∪ ∩ ∪ ∩

La proposizione si traduce allora nell'espressione

( ) ( ) ( )A B B C A C∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ≠ ∅ .

Apotema:- Bravo Furby. E nel linguaggio dei predicati? Furby:- Esiste almeno un oggetto dell'universo che verifica


almeno due predicati:

[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x P x Q x Q x R x P x R x∃ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ .

In fondo basta sostituire le operazioni sugli insiemi con le corrispondenti operazioni sui predicati. Basta poi tradurre la condizione diverso dal vuoto con esiste almeno un x e la condizione uguale all'universo con per tutti gli x! Apotema:- È proprio così, ma non è male, almeno all'inizio, esplicitare i dettagli della traduzione in entrambi i linguaggi. Scopry:- Ma allora esiste un'algebra dei predicati identica a quella degli insiemi! Apotema:- Bravo Scopry! Del resto, quando abbiamo scritto la congiunzione o la disgiunzione di tre predicati senza usare le parentesi abbiamo dato per scontata la proprietà associativa delle due operazioni. Come ha osservato Scopry, esiste un'algebra dei predicati, e ne esiste anche una delle proposizioni, del tutto analoghe a quella degli insiemi. Ma adesso è tardi e ne parleremo la prossima volta. Per casa, oltre all'esercizio che vi ho assegnato prima, terminate la traduzione delle rimanenti proposizioni. Alla prossima!

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848 - 1925)

LEZIONE VII Apotema:- Chi viene a correggere il compito? Vieni tu, Copy? Copy:- Io? Apotema:- Sì, tu! (Copy va alla lavagna col quaderno e comincia a scrivere) Copy:- Dunque...

( ) ( )x P x x P x∀ = ∃ , ( ) ( )x P x x P x∃ = ∀ .

Apotema:- Giusto. Ti dispiace leggere quello che hai scritto? Copy:- Leggere?! Apotema:- Leggere! Forse non si possono leggere le formule cha hai scritto? Copy:- "A" rovesciata x P di x con sopra una barra uguale a... Apotema:- Ma cosa stai dicendo?! (Risata generale) Apotema:- Leggi tu, Sekky! Sekky:- La negazione di "per tutti gli x P di x" è "esiste almeno un x tale che non P di x". Apotema:- E adesso, Copy, leggi l'altra. Copy:- La negazione di "esiste almeno un x tale che P di x" è "per tutti gli x non P di x". Posso andare al posto? Apotema:- Eh, no! Devi spiegarci come sei arrivato a questo risultato! Copy:- Allora... Apotema:- Supponi che l'universo U sia un gregge di pecore... Asy:- Beee! Apotema:- ... e che ( )P x stia per "la pecora x è nell'ovile". Cosa diventa, in questo caso, la proposizione ( )x P x∀ ? Copy:- Allora... tutte le pecore sono nell'ovile! Apotema:- Ok. E negare che tutte le pecore sono nell'ovile equivale ad affermare che cosa? Fuory:- Che sono tutte fuori dell'ovile! Apotema:- Davvero? Se mi chiedi se le pecore sono tutte nell'ovile e io ti rispondo di no, che cosa capisci? Fuory:- Che non sono tutte nell'ovile! Apotema:- Appunto! E se non sono tutte nell'ovile... Copy:- Qualche pecora è fuori!


Gioky:- Fuory è una pecora! Fuory:- E tu sei una capra! Copy:- Ho capito! C'è almeno una pecora che non è nell'ovile! Apotema:- Hai capito soltanto adesso quello che volevi farmi credere di aver già capito prima! Quando la smetterai di copiare i compiti? Esiste almeno una pecora x tale che la pecora x non è

nell'ovile: ( ).x P x∃ Proprio il risultato che hai scritto alla lavagna. E adesso spiegami la seconda formula. Copy:- La proposizione ( )x P x∃ diventa "c'è almeno una

pecora nell'ovile". Negare che c'è almeno una pecora nell'ovile significa affermare... che non ce n'è nemmeno una, che sono tutte fuori! Tutte le pecore sono fuori dall'ovile: ( )x P x∀ . Apotema:- Chi sa enunciarmi una regola per ricavare in modo automatico la negazione della proposizione che si ottiene da un predicato quantificando la variabile? Svelty:- Si scambia il quantificatore con quell'altro e il predicato con la sua negazione! Apotema:- Proprio così. Normy:- Vero! Apotema:- La lezione scorsa, Scopry ha intuito che deve esistere un'algebra delle proposizioni e dei predicati del tutto analoga a quella degli insiemi, dove al complemento, all'intersezione e all'unione corrispondono rispettivamente la negazione, la congiunzione e la disgiunzione. Vediamo di approfondire la questione. Cominciamo dalle proposizioni. Scopry:- Posso farlo io? Apotema:- Certamente. Vieni pure alla lavagna e, quaderno alla mano, trasforma ogni proprietà degli insiemi in una proprietà delle proposizioni. Scopry:- La proprietà involutiva del complemento diventa la proprietà involutiva della negazione! Apotema:- Scrivila e usa le lettere P, Q, R... per le proposizioni. Scopry:- Non non P fa ancora P:

P P= .

Svelty:- Negare un numero pari di volte è come affermare! Normy:- Quindi se dico "non non non non vado al cinema" è come se dicessi che ci vado, vero? Asy:- Per me uno che dice "non non non non vado al cinema" è


un balbuziente che non vuole andare al cinema! Apotema:- Non dovete esagerare col trasferire il linguaggio dei predicati al linguaggio comune! Il linguaggio dei predicati, proprio come quello degli insiemi, è un linguaggio artificiale, assai più limitato e infinitamente meno espressivo di quello naturale, ma che ci consente di esprimere in modo chiaro e univoco certe situazioni che incontriamo assai spesso nello studio della matematica. La negazione della negazione equivale all'affermazione, così come l'opposto dell'opposto è il numero di partenza. Nessuno si diverte a negare due volte una proposizione, così come nessuno sta a riferirsi a un numero facendone due volte l'opposto! Ma in un calcolo complesso, come avrete certo sperimentato al biennio, può capitare di ritrovarsi a fare per due volte l'opposto di un numero. Stessa cosa per quanto riguarda l'algebra delle proposizioni. La negazione della negazione di una proposizione è la proposizione che afferma la falsità della negazione della proposizione e quindi la verità della proposizione stessa. Sembra quasi un gioco di parole e la cosa più comoda è riferirsi alla tavola di verità della negazione e aggiungere una colonna per la negazione della negazione:

P P P F T F T F T

Le proprietà che seguono si possono dimostrare tutte nello stesso modo. Con le proposizioni, così come per gli insiemi, per dimostrare un'uguaglianza possiamo usare un metodo brutale: considerare tutti i casi possibili! Questo metodo non può essere usato per l'algebra dei numeri, dove ci sono infinite possibilità. Ogni proposizione può invece assumere soltanto due valori di verità e, rispetto a un fissato sottoinsieme dell'universo, ogni oggetto può solo appartenere o non appartenere a quell'insieme. Ma adesso andiamo avanti. Scopry:- Congiunzione e disgiunzione godono della proprietà di idempotenza:

P P P

P P P

∧ =

∨ =


Infatti, P P∧ è vera quando sono vere sia P che P, e quindi quando è vera P! Altrettanto, P P∨ è vera quando è vera almeno una delle due tra P e P, e quindi quando è vera P! Ovvy:- Dobbiamo stare a dire queste ovvietà? Dire "7 è dispari e 7 è dispari" non è aver detto di più o di meno rispetto a dire che "7 è dispari"! Apotema:- Aggiungo che nessuno direbbe mai una cosa del genere. Ma in un calcolo algebrico con delle proposizioni può capitare e allora potremo usare questa proprietà del tutto ovvia. Ovvio non significa inutile! Prosegui, Scopry. Scopry:- Vale poi la proprietà commutativa, sia per la congiunzione che per la disgiunzione:

P Q Q P

P Q Q P

∧ = ∧

∨ = ∨

Apotema:- Come nel caso degli insiemi, queste proprietà derivano immediatamente dal fatto che le definizioni di congiunzione e disgiunzione non tengono conto dell'ordine delle proposizioni. Scopry:- Ci sono poi le proprietà associative e quelle distributive:

( ) ( )

( ) ( )

P Q R P Q R

P Q R P Q R

∧ ∧ = ∧ ∧

∨ ∨ = ∨ ∨

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

P Q R P Q P R

P Q R P Q P R

∧ ∨ = ∧ ∨ ∧

∨ ∧ = ∨ ∧ ∨

Apotema:- Vediamo, come semplice esercizio, come si dimostra la proprietà distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione mediante una tavola di verità. Prima di tutto, le proposizioni coinvolte sono tre e ci sono quindi otto possibilità per i loro valori di verità. La tabella ha allora otto righe. Occorre poi aggiungere alle colonne di P, Q e R una colonna per ciascuna delle espressioni parziali che concorrono alle due espressioni finali di sinistra e di destra dell'uguaglianza. Dobbiamo quindi aggiungere tre colonne per le espressioni Q R∨ , P Q∧ , P R∧ e, infine, due colonne per i due membri dell'uguaglianza da dimostrare. A questo punto la dimostrazione, come per i diagrammi di Venn, si riduce a una


verifica del tutto automatica. Per esempio, nella colonna di Q R∨ si scriverà una T quando c'è una T in almeno una delle colonne di Q e di R e una F se ci sono due F. Nella colonna di P Q∧ si scriverà invece una T solo quando ci sono due T nelle colonne di P e di Q e si scriverà una F nei rimanenti casi. Insomma, si compilano tutte le colonne usando le regole che definiscono le operazioni con le proposizioni in termini dei loro valori di verità. (Apotema completa la tabella insieme ai ragazzi)

Apotema:- Come potete verificare, le ultime due colonne, che si riferiscono ai due membri dell'uguaglianza da dimostrare, sono uguali. Ne segue che le due espressioni hanno sempre lo stesso valore di verità, indipendentemente dai valori di verità di P, Q e R e quindi che esprimono la stessa affermazione. Continua pure, Scopry. Scopry:- Ci sono le leggi di assorbimento:

( )

( )

P Q Q Q

P Q Q Q

∧ ∨ =

∨ ∧ =

e poi... gli elementi neutri... Apotema:- Qual è l'elemento neutro della disgiunzione? Scopry:- L'elemento neutro... Dunque... Svelty:- Il valore di verità falso! Apotema:- Bel colpo, Svelty: P F P∨ = . Scopry:- Lo vedo, ma non sono sicuro di aver capito che cosa significa... Apotema:- Significa che se consideri una qualsiasi proposizione P e ne fai la disgiunzione con una proposizione falsa, il risultato


è una proposizione che ha lo stesso valore di verità di P e che quindi afferma quanto affermato da P. Scopry:- Allora l'elemento neutro della congiunzione è T! Gioky:- Casa... Apotema:- In effetti, abbiamo che P T P∧ = . Infatti la congiunzione di una proposizione qualsiasi con una proposizione vera ha lo stesso valore di verità di P e quindi afferma ciò che afferma P. Scopry:- Gli elementi assorbenti della disgiunzione e della congiunzione sono allora rispettivamente T e F:

P T T

P F F

∨ =

∧ =

Apotema:- Esatto. Scopry:- Restano le leggi del compl... ehm... della negazione:

P P T

P P F

∨ =

∧ =

Normy:- Mi sembra di avere capito e, allo stesso tempo, di non avere capito niente! Apotema:- Almeno una tra P e P è vera, perché esattamente una delle due è vera! Ne segue che è sempre vera la disgiunzione tra una proposizione e la sua negazione mentre la congiunzione è sempre falsa. Indipendentemente dal fatto che sia vero o no che 1234567 sia primo è senz'altro vero che "1234567 è primo o 1234567 non è primo". Viceversa, è sempre falso che "Giovanni è stato promosso e Giovanni è stato bocciato", anche se non siamo informati della vita di Giovanni. Asy:- Io l'anno scorso sono stato promosso e l'anno prima sono stato bocciato, per cui se mi chiamassi Giovanni sarebbe vero sia che "Giovanni è stato promosso" sia che "Giovanni è stato bocciato"! Apotema:- Ok, Asy, correggo l'esempio: "Lo scorso anno Giovanni è stato promosso e lo scorso anno Giovanni è stato bocciato"! Asy:- E se ci sono due Giovanni... Apotema:- E quest'anno Asy sarà bocciato! Asy:- Ok, prof! Chiarissimo! Svelty:- Prof, 1234567 è divisibile per 127, per cui non è primo!


Apotema:- E allora? La proposizione "1234567 è primo" è falsa ed è dunque vera la proposizione "1234567 non è primo", per cui è vera la proposizione "1234567 è primo o 1234567 non è primo"! Svelty:- Questo l'avevo capito, prof! Non sono mica scemo! Ero solo curioso di sapere se 1234567 era primo oppure no! Apotema:- Ok, se hai verificato che è divisibile per 127, allora non è primo. Vediamo di concludere la questione sollevata da Scopry. Esiste effettivamente un'algebra delle proposizioni e anche un'algebra dei predicati, che sono formalmente identiche all'algebra degli insiemi, almeno per quanto riguarda le operazioni considerate. Dubby:- Scusi prof, ma l'algebra dei predicati la otteniamo da quella delle proposizioni semplicemente aggiungendo le parentesi con la x? Apotema:- Lo trovi strano? Dubby:- Stavo pensando agli elementi neutri... Che cosa significano in questo caso le proprietà

( ) ( )

( ) ( )

P x F P x

P x T P x

∨ =

∧ = ?

Normy:- Già! Che cos'è il predicato F? Apotema:- Vi assicuro che si tratta di cose che avete già incontrato tante volte! La novità sta solo nel linguaggio. Nel linguaggio dei predicati F sta per un predicato che è falsificato per tutti gli oggetti dell'universo, mentre T sta per un qualsiasi predicato che è verificato da tutti gli oggetti dell'universo. Normy:- Come prima, prof: mi sembra di avere capito e, allo stesso tempo, di non avere capito niente! Apotema:- Supponiamo che dobbiate risolvere il sistema di disequazioni

2

2

1 0

3 2 0

x

x x

+ >

− + ≤

Che cosa mi dite della prima disequazione? Normy:- Che è verificata da tutti gli x! Apotema:- E quindi? Sekky:- Possiamo eliminarla e tenere solo la seconda disequazione!


Apotema:- Se riscrivete il sistema nella forma

2 2( 1 0) ( 3 2 0)x x x+ > ∧ − + ≤ ,

ecco che avete a che fare con la congiunzione di due predicati di cui uno è sempre verificato. Ricavate allora che

2 2( 1 0) ( 3 2 0)x x x+ > ∧ − + ≤ = 2 2( 3 2 0) ( 3 2 0)T x x x x= ∧ − + ≤ = − + ≤ .

Normy:- Comincio a capire... Se invece una disequazione fosse stata impossibile sarebbe stato impossibile anche il sistema, perché F è l'elemento assorbente della congiunzione! Rozzy:- Ehi, Normy, controllati! Stai diventando un po' troppo intelligente... Scopry:- Stavo dimenticando le leggi di De Morgan!

P Q P Q

P Q P Q

∧ = ∨

∨ = ∧

Apotema:- Avremo occasione di incontrarle assai spesso e ne parleremo più volte. Prima che finisca l'ora vediamo però di finire di correggere il compito. Svelty:- Posso venire io, prof? Apotema:- E vieni tu, Svelty! Svelty:- Avevamo i soliti insiemi A e B di persone che parlano inglese e francese, con in più l'insieme C di persone che parlano tedesco e dovevamo tradurre nel linguaggio degli insiemi e dei predicati queste proposizioni:

Amilcare parla una sola lingua; Nessuno parla soltanto due lingue.

Apotema:- Una alla volta. Partiamo da Amilcare. Svelty:- Ho cominciato col fare un diagramma di Venn... Ho disegnato il solito diagramma di Disney, poiché non era specificata nessuna particolare relazione tra i tre insiemi... Apotema:- E dai pure con questi diagrammi di Disney! Svelty:- Ho poi evidenziato la regione che corrisponde all'insieme delle persone che parlano una sola lingua... Normy:- Perché è proprio quello? Svelty:- Se immagini l'universo come un tagliere e gli insiemi come fette di salame, allora l'insieme delle persone che parlano


una sola lingua è la regione dove uno stuzzicadenti fora un solo strato di salame!

Apotema:- Esempio didatticamente efficace, ma... assai pericoloso, visto l'orario! Svelty:- Lo vedo come l'unione di tre atomi: l'insieme delle persone che parlano solo inglese e cioè inglese ma non francese e tedesco, che parlano solo francese ma non inglese e tedesco e le persone che parlano solo tedesco e non inglese e francese:

( ) ( ) ( )A B C A B C A B C′ ′ ′ ′ ′ ′∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ,

La proposizione afferma che

( ) ( ) ( )Amilcare A B C A B C A B C′ ′ ′ ′ ′ ′∈ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ .

Apotema:- Hai fatto centro! Fuory:- Com'è che adesso mi sembra persino facile? Svelty:- Nel linguaggio dei predicati... Posso abbreviare Amilcare con Amy? Apotema:- Se non si offende... Svelty:- Nel linguaggio dei predicati la proposizione diventa:

( ) ( ) ( )P Amy Q Amy R Amy ∧ ∧ ∨

( ) ( ) ( )P Amy Q Amy R Amy ∨ ∧ ∧ ∨

( ) ( ) ( )P Amy Q Amy R Amy ∨ ∧ ∧ .

Rozzy:- Che roba! Apotema:- E poi, Rozzy, vorresti diventare un informatico! Rozzy:- E cosa c'entra questa roba con l'informatica?


Apotema:- Non usi forse and, or e not nei controlli in un programma? Rozzy:- Sì, ma mica roba così complicata! Apotema:- Presto dovrai ricrederti... Vai con l'ultima proposizione, Svelty. Svelty:- "Nessuno parla soltanto due lingue"... Apotema:- Già. Che cosa significa, secondo te? Svelty:- Ci ho dovuto pensare non poco... Apotema:- Questo non è un male. Svelty:- Se la proposizione fosse stata "nessuno parla due lingue", allora l'avrei interpretata come l'affermazione che ogni persona o non ne parla neanche una o ne parla una sola o ne parla tre, ma... Apotema:- Ma? Svelty:- Ma quel "soltanto" mi ha fatto pensare che la proposizione stia a voler affermare che tutti ne parlano tre... Gioky:- Sono d'accordo! Se dico che nessuno ha soltanto un euro voglio dire che tutti hanno più di un euro! Apotema:- Aggiudicato. In questo caso la parte più difficile era chiarire che cosa si volesse dire nella lingua italiana! Svelty:- A questo punto la traduzione è immediata! Nel linguaggio degli insiemi abbiamo che la proposizione diventa

A B C∩ ∩ =U ,

mentre nel linguaggio dei predicati diventa

( ) ( ) ( )x P x Q x R x∀ ∧ ∧ .

Apotema:- Beh, come esercizio provate a scrivere le tavole di verità delle leggi di De Morgan... La prossima lezione faremo qualche esercizio sui sillogismi.

LEZIONE VIII Furby:- Oggi ci doveva parlare dei sillogismi! Apotema:- Ok, cominciamo subito. Sekky:- Avevamo un compito da correggere: la dimostrazione delle leggi di De Morgan per le proposizioni fatta con le tavole di verità! Apotema:- Sentiamo... Furby! Furby:- Ho dimenticato a casa il quaderno... Apotema:- Non ci crederai, ma me lo sentivo. Rozzy:- Roba facile! Vengo io! Apotema:- Allora vedi di fare presto. Rozzy:- Comincio col dimostrare che P Q P Q∧ = ∨ . Siccome ci sono due proposizioni P e Q, ci vogliono quattro righe... FF, FT,

TF, TT... Poi ci vogliono altre quattro colonne... per P , Q ,

P Q∧ ... anzi, cinque! ... P Q∧ e P Q∨ ...

P Q P Q P Q∧ P Q∧ P Q∨ F F T T F T T

F T T F F T T

T F F T F T T

T T F F T F F

Le colonne di P e di Q le ottengo da quelle di P e di Q

scambiando le F con le T... Poi nella colonna di "P e Q" c'è una T solo quando c'è la T sia nella colonna di P che in quella di Q... Dove nego scambio le F con le T... e dove c'è la " ∨ " metto una T dove c'è almeno una T... Siccome le due ultime colonne sono uguali, vale la legge di De Morgan! Apotema:- Diciamo che va bene. Rozzy:- Certo che va bene: è venuto il risultato giusto! Apotema:- Per l'altra legge di De Morgan compila direttamente la tavola, che passiamo ai sillogismi. Rozzy:- Ok, prof, passo alla legge P Q P Q∨ = ∧ . (Rozzy compila rapidamente la tavola di verità) Furby:- Avrei tranquillamente potuto improvvisare...


P Q P Q P Q∨ P Q∨ P Q∧ F F T T F T T

F T T F T F F

T F F T T F F

T T F F T F F

Apotema:- Ci sono domande da fare? (Silenzio) Apotema:- Vediamo allora di passare ai sillogismi. Normy:- Un argomento nuovo? Apotema:- No. Un'occasione per esercitarci con l'uso del linguaggio degli insiemi e dei predicati. Gioky:- Ma i sillogismi sono quelli dei tipo: "Tutti gli uomini sono mortali, Socrate è un uomo, Socrate è mortale"? Apotema:- Ci sei andato molto vicino. I sillogismi sono antiche forme di argomentazione formate da due premesse e una conclusione. Fu proprio per insegnare i sillogismi a una sua nobile allieva che Eulero escogitò la tecnica dei diagrammi che portano il suo nome. Bronty:- E quello di Venn! Apotema:- Sia le due premesse che la conclusione sono enunciati di uno di questi quattro tipi:

tutti gli X sono Y qualche X è un Y nessun X è un Y qualche X non è un Y.

Ma vediamo di iniziare col sillogismo più famoso: il sillogismo Barbara. Rozzy:- Barbara?! Era forse l'allieva di Eulero? Apotema:- No, è il nome del sillogismo. Rozzy:- Ma il sillogismo è maschile! Apotema:- Vorrà dire che poi vi dirò come mai si chiama Barbara. Ecco le premesse del sillogismo:

tutti gli M sono B tutti gli A sono M

Come vedete, nelle due premesse sono coinvolti tre insiemi. Nella prima gli insiemi M e B, nella seconda gli insiemi A e M. La conclusione riguarda invece gli insiemi A e B. Chi mi sa


indovinare la conclusione? Svelty:- Tutti gli A sono B! Lenty:- Alt! Non sto capendo niente! Apotema:- Seguendo Eulero, userò un diagramma. Che cosa significa che tutti gli M sono B? Lenty:- Tutti gli M sono B? Apotema:- Ad esempio, tutti i rettangoli sono parallelogrammi. Lenty:- Ok, prof! Significa che M è un sottoinsieme di B! Apotema:- E che cosa significa che tutti gli A sono M? Lenty:- Che A è un sottoinsieme di M! Apotema:- Ecco il diagramma che illustra la situazione...

Se cancelliamo il contorno di M... resta il diagramma di A B⊆ ...

e quindi tutti gli A sono B. Il sillogismo Barbara si scrive dunque così:

tutti gli M sono B tutti gli A sono M tutti gli A sono B

dove la linea separa le premesse dalla conclusione. La conclusione è una conseguenza delle premesse qualsiasi sia la natura degli insiemi A, B, M. Nel linguaggio degli insiemi il sillogismo Barbara diventa:

M B

A M

A B

⊆

⊆

⊆

Qualcuno saprebbe fare un esempio di sillogismo Barbara? Fuory:- Quello che ha detto Gioky prima! Lo conoscevo già anche io!


tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo Socrate è mortale

Apotema:- E quali sarebbero gli insiemi A, B, M? Fuory:- Dunque... M è l'insieme degli uomini... B è l'insieme degli esseri mortali... A è l'insieme... A è Socrate! Apotema:- Socrate non è un insieme! Vi ricordate che una delle prime cose che vi ho detto sugli insiemi è di stare attenti ai diversi significati del verbo essere? Quando dico che gli uomini sono mortali intendo dire che l'insieme degli uomini è un sottoinsieme dell'insieme degli esseri mortali, ma quando dico che Socrate è un uomo intendo invece dire che Socrate appartiene all'insieme degli uomini! La forma di argomentazione è dunque del tipo

M B

a M

a B

⊆

∈

∈

Si tratta senz'altro di una forma corretta di argomentazione, come ci si convince immediatamente con un diagramma, ma non del sillogismo Barbara!

Anzi, non si tratta nemmeno di un sillogismo! In un sillogismo sono sempre coinvolti tre insiemi: gli insiemi principali A e B che compaiono nella conclusione e un terzo insieme M che fa da intermediario tra i due. Sogny:- Non ci ha ancora detto perché si chiama Barbara! Apotema:- Come vi ho già detto, sia le premesse che la conclusione sono di uno dei quattro enunciati che vi ho elencato


prima. Due sono di tipo affermativo:

tutti gli X sono Y qualche X è un Y

mentre due sono di tipo negativo:

nessun X è un Y qualche X non è un Y.

Dei due enunciati di tipo affermativo, il primo è di tipo forte, mentre il secondo è di tipo debole. Normy:- In che senso? Apotema:- "Tutti gli studenti hanno fatto il compito" è un'affermazione più forte di "qualche studente ha fatto il compito". Altrettanto, il primo enunciato negativo è di tipo forte, mentre il secondo è di tipo debole. Sogny:- E il nome Barbara? Apotema:- Per mandare a memoria i sillogismi, anche senza averli capiti, fu inventata questa regola mnemonica: si associano rispettivamente le vocali "a" e "i" all'affermazione forte e a quella debole, dal latino affirmo, e le vocali "e" e "o" alla negazione forte e a quella debole, dal latino nego. Il sillogismo precedente è costituito da tre affermazioni forti e quindi dalle vocali a-a-a, che sono proprio le vocali della parola Barbara. Sogny:- Possiamo vederne un altro? Apotema:- Certamente. Anche questa volta vi scrivo le due premesse e voi dovete dirmi qual è la conclusione:

nessun M è un B tutti gli A sono M

Anzi, viene Sogny alla lavagna a fare il diagramma. Sogny:- Dire che nessun M è un B è come dire che M e B sono disgiunti. Il diagramma diventa allora questo... e cancellando M... La conclusione è che nessun A è un B!


Svelty:- Le vocali sono e-a-e! Gioky:- Il sillogismo Pensare! Apotema:- No, il sillogismo Celarent. Nel linguaggio degli insiemi il sillogismo Celarent diventa:

M B

A M

A B

∩ = ∅

⊆

∩ = ∅

Apotema:- Prima di andare al posto, Sogny, disegna il diagramma di ciascuno dei quattro tipi di enunciati. Sogny:- Abbiamo già visto che

tutti gli X sono Y

si traduce nel fatto che X è incluso in Y, e quindi con

L'affermazione

qualche X è un Y

significa che c'è almeno un X che è anche un Y, cioè che c'è almeno un oggetto comune ai due insiemi... L'intersezione non è vuota!

Svelty:- Prof, sbaglio o la negazione forte è la negazione dell'affermazione debole e la negazione debole è la negazione dell'affermazione forte?


Apotema:- Non sbagli. Ma lasciamo continuare Sogny. Sogny:- La negazione

nessun X è un Y

abbiamo già visto che equivale ad affermare che X e Y sono disgiunti:

Resta la negazione debole

qualche X non è un Y,

che equivale ad affermare che c'è almeno un oggetto che sta in X ma non in Y:

Scetty:- Ma allora X Y ′∩ ≠ ∅ , secondo Svelty, dovrebbe essere la negazione di X Y⊆ . Se così fosse, negando di nuovo, si otterrebbe che X Y⊆ equivarrebbe a X Y ′∩ = ∅ ! Apotema:- Oppure, prendendo il complemento di ambo i membri, che X Y′ ∪ = U . Scetty:- Non mi convince... Apotema:- Perché mai? Affermare che X è incluso in Y equivale ad affermare che ogni oggetto di X sta in Y e quindi che non c'è nessun oggetto di X che stia nel complemento di Y. E questo è proprio il significato della scrittura X Y ′∩ = ∅ . Scetty:- Ok, prof. Non so perché, ma mi sembrava strano... Svelty:- Lo si vede al volo da un diagramma! Se vuoi che X stia


dentro Y, bisogna che non debordi e quindi che non ci sia una parte di X che stia fuori di Y! Scetty:- Ok, ok! Basta così! Dubby:- Prof, ma uno può inventare un sillogismo partendo dalle vocali? Per esempio, esiste il sillogismo e-i-e? Gioky:- Il sillogismo Felice! Apotema:- Perché me lo chiedi se puoi verificarlo tu stesso in un minuto? Il sillogismo Felice, come lo ha chiamato Gioky, sarebbe il seguente:

nessun M è un B qualche A è un M nessun A è un B

Ti sembra una forma valida di argomentazione? Svelty:- Semmai la conclusione dovrebbe essere

qualche A non è un B!

Dubby:- Svelty, sei sempre troppo veloce! Devo pensarci... Apotema:- La situazione descritta dalle premesse è rappresentata dal seguente diagramma...

La conclusione, come ha detto giustamente Svelty, è che c'è almeno un oggetto di A che non sta in B e quindi che qualche A non è un B. Morale della favola, non tutte le combinazioni di enunciati portano a un sillogismo. Dubby:- Allora esiste il sillogismo e-i-o, vero? Apotema:- Esatto. Si tratta del sillogismo Ferion. Per casa provate a tradurre il sillogismo Ferion nel linguaggio degli insiemi. Trovate poi la conclusione del sillogismo a-i-? e traducetelo nel linguaggio degli insiemi.


Normy:- E il linguaggio dei predicati? Apotema:- Ci stavo arrivando proprio adesso. Se

| ( )A x P x= , | ( )B x Q x= e | ( )M x R x= ,

proviamo a tradurre i sillogismi Barbara e Celarent nel linguaggio dei predicati. Di fatto, nel caso del sillogismo Barbara, abbiamo tre affermazioni forti e quindi una volta tradotta l'affermazione forte nel linguaggio dei predicati il gioco è fatto. Vediamo di usare delle lettere neutre. Se | ( )X x T x= e

| ( )Y x S x= , come esprimiamo la condizione X Y⊆ ?

Normy:- Che non esiste un x che sta in X e non in Y e quindi che non esiste un x che verifica ( )T x e non verifica ( )S x ! Apotema:- Bene, Normy, ma non abbiamo ancora scritto la traduzione. Sekky:- Si tratta di negare l'affermazione secondo cui esiste un x che verifica il predicato ( ) ( )T x S x∧ . Apotema:- Abbiamo fatto un passo avanti. Dobbiamo allora calcolare la negazione del predicato ( ) ( ).xT x S x∃ ∧ Ricordando la regola algebrica per la negazione di un predicato con la variabile quantificata... Scopry:- Si scambia il quantificatore con l'altro e il predicato con la sua negazione! Apotema:- Benissimo. Otteniamo allora che

( ) ( ) ( ) ( )xT x S x xT x S x∃ ∧ = ∀ ∧ . E adesso? Svelty:- De Morgan! Apotema:- Immagino volessi dire "applico una legge di De Morgan", vero? Gioky:- No, no! Voleva proprio invocare l'ectoplasma di De Morgan! Apotema:- Ricaviamo allora che

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xT x S x xT x S x xT x S x∀ ∧ = ∀ ∨ = ∀ ∨ .

Rozzy:- La proprietà evolutiva! Gioky:- Involutiva! Sei tu che devi evolverti! Rozzy:- Ha parlato il pitecantropo! Apotema:- In conclusione, nel linguaggio dei predicati,


l'affermazione X Y⊆ diventa ( ) ( ).xT x S x∀ ∨ Il sillogismo Barbara diventa allora:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

x R x Q x

x P x R x

x P x Q x

∀ ∨

∀ ∨

∀ ∨

Rozzy:- Allucinante! Mille volte meglio il linguaggio degli insiemi! Se lo leggo nel linguaggio degli insiemi mi sembra ovvio, nel linguaggio dei predicati mi risulta del tutto incomprensibile! Ovvy:- Per tradurre l'inclusione X Y⊆ non era più semplice dire che ogni x che verifica ( )T x verifica anche ( )S x ? A quel punto la lettura del sillogismo sarebbe stata altrettanto ovvia di quella nel linguaggio degli insiemi! Apotema:- Ottimo intervento, Ovvy! Come avete sentito, di fatto Ovvy chiede di usare una nuova operazione, che consenta di rendere più immediata la comprensione del sillogismo. Vediamo prima di spendere due parole sulle operazioni tra insiemi, proposizioni e predicati che abbiamo introdotto fino ad ora. Abbiamo già avuto modo di vedere che alcune operazioni erano ridondanti. Per esempio, abbiamo visto che per gli insiemi bastano le operazioni di intersezione e complemento e che l'unione può essere espressa nella forma

( )A B′ ′ ′∩ .

Ciò non toglie che l'operazione di unione sia utilissima e che esprimerla ogni volta come complemento dell'intersezione dei complementi sarebbe, oltre che scomodissimo, del tutto incomprensibile. Ecco allora che conviene, per molti scopi, introdurre nuove operazioni le quali, benché superflue, si rivelano assai utili. L'operazione invocata da Ovvy è chiamata implicazione materiale. Vediamola dapprima come operazione tra due proposizioni. Un modo di combinare due proposizioni P e Q ottenendone una terza, usato di frequente nel linguaggio comune e ancor di più nel linguaggio matematico, è quello di ricorrere alla formula se P allora Q. Sekky:- Si chiama anche implicazione logica, vero, professore? Apotema:- No, Sekky. Questa si chiama implicazione materiale.


Come ho detto prima, si tratta soltanto di un modo di combinare due proposizioni per ottenerne un'altra. Poiché si applica alle proposizioni, la sua definizione è legata soltanto ai loro valori di verità e prescinde quindi del tutto dal contenuto di informazione di ciascuna proposizione. L'implicazione logica che hai citato tu riguarda invece il fatto che da certe premesse si possa in modo lecito dedurre una certa conclusione. Sekky:- Allora, come nei sillogismi! Apotema:- Per esempio, come nei sillogismi. Anche in quel caso si ha a che fare con proposizioni, ma la struttura delle proposizioni gioca un ruolo decisivo per la correttezza del sillogismo. Bronty:- Prof, ormai suona! Apotema:- Ok, ragazzi. Continuiamo la prossima volta!

Aristotele

(384 a.C. - 322 a.C.)

LEZIONE XXXIII Sekky:- Professore, non era possibile estendere al quadrato quanto visto col triangolo equilatero! Scetty:- La maggior parte delle funzioni deformavano il quadrato... Apotema:- Calma, ragazzi! Vuoi venire tu, Scetty, a spiegare tutto per bene? Scetty:- Dovevamo elencare tutte le funzioni biunivoche da B in B, dove B era l'insieme formato da a, b, c, d. Ragionando con un diagramma ad albero ho trovato che le funzioni sono 24. Infatti per il valore in a ci sono 4 possibilità, per ciascuna delle quali ce ne sono tre per il valore della funzione in b. Infine, per ciascuna di queste 4 3 12× = possibilità, ce ne sono 2 per il valore in c e quindi risulta fissato il valore in d. In tutto, dunque, 24 funzioni diverse. Devo scriverle? Apotema:- Per ora no. Sentiamo prima che cosa vi avevo chiesto di fare. Scetty:- Dovevamo provare a vedere se, analogamente a quanto fatto a lezione col triangolo equilatero, anche questa volta ogni funzione poteva essere interpretata geometricamente. Dovevamo poi considerare le funzioni

a b c d

b a d cϕ

e a b c d

b c d aψ

e dire se era possibile esprimere ogni altra funzione biunivoca a partire da queste. Apotema:- E qual è la tua risposta? Scetty:- Che questa volta solo alcune ammettono un'interpretazione geometrica. Apotema:- Spiegacelo. Scetty:- Come aveva suggerito Normy, ho interpretato le lettere a, b, c, d come i vertici di un quadrato. Anche questa volta ho immaginato di ritagliare un quadrato da un cartone e di scrivere i nomi dei vertici sia sul quadrato ritagliato che in prossimità dei vertici del foro quadrato. Anche questa volta ho immaginato che le pagine del cartone fossero di colore diverso in modo da distinguere quando il quadrato fosse stato ribaltato.


Apotema:- E quindi, come hai interpretato le funzioni? Scetty:- Come dei movimenti del quadrato dentro al foro, cioè movimenti che portano il quadrato su se stesso. Ho pensato che, come nel caso del triangolo equilatero, il quadrato può essere ruotato intorno al suo centro di simmetria o ribaltato rispetto a un suo asse di simmetria. Le rotazioni possono essere di 90°, 180°, 270° o 360°, che corrispondono alle funzioni

a b c d

b c d a

, a b c d

c d a b

, a b c d

d a b c

, a b c d

a b c d

.

La prima di queste funzioni è proprio ψ .

Il quadrato ha poi 4 assi di simmetria: gli assi dei lati e le rette delle diagonali... e le funzioni che corrispondono a queste simmetrie sono... quella che scambia a con b e c con d... che è quella che lei ha chiamato ϕ ...

a b c d

b a d c

... poi quella che scambia a con d e b con c ...

a b c d

d c b a

... quella che tiene fissi a e c e scambia b con d...

a b c d

a d c b


... e, infine, quella che tiene fissi b e d e scambia a con c...

a b c d

c b a d

.

Le rotazioni si ottengono tutte da quella di 90°, che è ψ , iterandola un numero opportuno di volte:

2 a b c d

c d a bψ

, 3 a b c d

d a b cψ

, 4 a b c d

a b c dψ

.

Ho poi provato a comporre un ribaltamento, per esempio la simmetria ϕ , con le rotazioni ψ , 2ψ , 3ψ , ottenendo i seguenti risultati:

a b c d

c b a dψ ϕ

, 2 a b c d

d c b aψ ϕ

,

3 a b c d

a d c bψ ϕ

.

Apotema:- Morale della favola? Scetty:- Con le funzioni che lei ci aveva dato è possibile ottenere un'espressione solo per le 8 funzioni che


rappresentano i movimenti del quadrato in se stesso. Le altre funzioni non hanno un significato geometrico e non possono essere ottenute da queste. Per esempio, la funzione

a b c d

a b d c

che scambia c con d e lascia fissi a e b corrisponderebbe a una deformazione del quadrato come questa...

Apotema:- Che dire? Hai dato la risposta giusta riguardo al numero di funzioni biunivoche da B in sé e hai anche mostrato che con le funzioni ϕ e ψ che vi avevo dato non è possibile generare tutte le 24 funzioni. Ma c'era almeno un'interpretazione geometrica che le comprendeva tutte... Geny:- Io ho trovato che le funzioni si potevano interpretare come i movimenti di un tetraedro. Asy:- Un tetra cosa? Rozzy:- Un tetraedro! Ignorante! Geny:- Per aiutarmi, come prima cosa ho costruito un tetraedro di carta e ho denominato i suoi vertici con a, b, c, d scrivendo le lettere negli angoli delle tre facce concorrenti in ogni vertice. Poi ho disegnato su un foglio un triangolo equilatero uguale a una delle sue facce, su cui ho scritto le lettere b, c, d in senso antiorario, convenendo che il vertice a fosse situato sopra al foglio e quindi ci ho appoggiato sopra il tetraedro in tutti i modi possibili. Rozzy:- Frena! Come hai fatto a fare quel tetraedro così bello!


Geny:- Per prima cosa ho disegnato lo sviluppo al Cabrì, e poi ho aggiunto delle linguette per incollare le facce. Ecco il foglio con lo sviluppo...



Se, come dicevo prima, appoggiamo il tetraedro su un triangolo equilatero disegnato su un foglio con le lettere b, c, d scritte in senso antiorario in modo che le lettere si corrispondano, allora il vertice a sarà in alto. L'ideale sarebbe stato fare un foglio con una cavità a forma di tetraedro, ma non è stato necessario. Basta immaginare di avere due tetraedri: uno mobile, cioè il modellino di carta, e uno fisso, col vertice a in alto e gli altri vertici come nella faccia disegnata sul foglio. E adesso dico quali sono i movimenti del tetraedro in se stesso. Si tratta delle rotazioni di un angolo opportuno intorno a sette assi. Quattro assi sono le perpendicolari dai quattro vertici alle facce opposte. Una rotazione di 120°, 240° e 360° intorno a uno di quegli assi trasforma il tetraedro in se stesso.


Gli altri tre assi di rotazione sono le rette che congiungono i punti medi delle tre coppie di spigoli opposti. Le rotazioni di 180° e 360° intorno a ciascuno di quegli assi trasformano il tetraedro in se stesso scambiando le due coppie di vertici di ciascuno dei due spigoli coinvolti.

Per ciascuno dei sette assi, le rotazioni di 360° non solo trasformano il tetraedro in se stesso, ma, ovviamente, lasciano fisso ogni vertice e sono quindi tutte e sette rappresentate dalla funzione

a b c d

a b c d

.


Le rotazioni di 120° e 240° intorno all'asse che passa per il vertice a sono rappresentate dalle funzioni che lasciano fisso a e fanno scorrere rispettivamente di uno e due posti le rimanenti lettere:

a b c d

a c d b

, a b c d

a d b c

.

Analogamente, le rotazioni di 120° e 240° intorno agli assi per b, c e d sono rappresentate dalle funzioni:

a b c d

c b d a

, a b c d

d b a c

,

a b c d

b d c a

, a b c d

d a c b

,

a b c d

b c a d

, a b c d

c a b d

.

La rotazione di 180° il cui asse passa per i punti medi degli spigoli ab e cd scambia a con b e c con d ed è quindi rappresentata dalla funzione:

a b c d

b a d c

.

Infine, le rotazioni di 180° intorno ai due rimanenti assi passanti rispettivamente per i punti medi di ac e bd e per quelli di ad e bc sono rappresentate rispettivamente dalle funzioni:

a b c d

c d a b

, a b c d

d c b a

.

Apotema:- Ottimo lavoro! Scetty:- Ma così hai usato solo 12 delle 24 funzioni! E le altre 12? Apotema:- Cosa gli rispondi, Geny? (Geny torna al posto e tira fuori da una scatola un secondo tetraedro, apparentemente identico al primo) Geny:- Il fatto è che ci sono due modi diversi di mettere i nomi ai vertici del tetraedro, così come ci sono due modi di mettere i nomi ai vertici di un triangolo equilatero. Nel caso del triangolo li


possiamo mettere in senso orario o antiorario. Nel caso del tetraedro li possiamo mettere in modo che dal vertice a si vedano i vertici b, c, d in senso orario o antiorario.

Scetty:- Nel caso del triangolo si può passare da una disposizione all'altra ribaltandolo intorno a un asse di simmetria, ma nel caso del tetraedro come si fa? Geny:- Credo che si potrebbe ribaltare nella quarta dimensione, ma io ho proceduto in questo modo. Ciascuno di questi due tetraedri si può ottenere dall'altro aprendo lo sviluppo e rivoltandolo, cioè scambiando l'interno con l'esterno. Se avessi usato un cartoncino con le pagine di colori differenti, rivoltando il tetraedro gli avrei cambiato colore. Possiamo pensarlo come il ribaltamento che tiene fermi a e b e scambia c con d e che è quindi rappresentato dalla funzione:

a b c d

a b d c

.

Se adesso applichiamo le 11 rotazioni precedenti al tetraedro rivoltato, vediamo che sono rappresentate esattamente dalle 11 funzioni ancora mancanti e che si ottengono dalle precedenti scambiando semplicemente i vertici di arrivo di c e d.

a b c d

a c b d

, a b c d

a d c b

,


a b c d

c b a d

, a b c d

d b c a

,

a b c d

b d a c

, a b c d

d a b c

,

a b c d

b c d a

, a b c d

c a d b

,

a b c d

b a c d

, a b c d

c d b a

, a b c d

d c a b

.

Ovviamente, invece di rivoltare il tetraedro, possiamo pensare alla sua immagine allo specchio...


Le ultime 12 funzioni rappresentano allora i movimenti speculari di quelli rappresentati dalle prime 12. Apotema:- Per concludere, secondo te, Geny, quante e quali funzioni avremmo dovuto scegliere per poter poi generare tutte le altre mediante opportune loro composizioni? Geny:- Direi tre... Una rotazione di 120° intorno all'asse per un vertice, per esempio

a b c d

a c d bα

... Una rotazione intorno a un asse passante per i punti medi di due lati opposti, per esempio

a b c d

b a d cβ

... E una riflessione allo specchio, per esempio

a b c d

a b d cγ

.

Apotema:- Proprio così. Adesso non stiamo certo a fare tutte le composizioni, ma prova a dirmi in poche parole come le useresti. Geny:- Partirei da α e 2α , cioè le rotazioni di 120° e 240° intorno al vertice in alto. Ovviamente, 3α sarebbe il movimento che lascia fermo il tetraedro. Poi userei β per cambiare il vertice intorno a cui ruotare. Mi viene da dire che otterrei di portare in alto tutti e 4 i vertici con le funzioni β , β α e 2β α e poi le ruoterei di 120° e 240° rispetto al vertice in alto. Apotema:- Per comodità puoi omettere il pallino e scrivere semplicemente il prodotto di funzioni come quello di numeri. Geny:- Mi sentirei di dire che i dodici movimenti senza lo specchio sono:

α , 2α , 3α , β , βα , 2βα ,

αβ , αβα , 2αβα , 2α β , 2α βα , 2 2α βα .

Per ottenere anche i movimenti allo specchio mi basta poi comporre tutte queste 12 funzioni con γ !


Apotema:- E hai fatto centro! C'era però un altro modo di interpretare geometricamente le 24 funzioni biunivoche di un insieme di 4 oggetti in se stesso. E questa volta si trattava di movimenti propri, senza bisogno di ricorrere a una quarta dimensione o allo specchio: i movimenti di un cubo in se stesso! Asy:- Ma il cubo ha sei vertici, non quattro! Rozzy:- Asino, ne ha otto! Geny:- Ah, forse le diagonali! Apotema:- Esatto. Le 24 funzioni descrivono tutti i possibili movimenti del cubo in se stesso in termini delle sue quattro diagonali. Il cubo ha infatti 9 assi di simmetria e i movimenti del cubo in sé sono esattamente opportune rotazioni intorno a questi nove assi più altri quattro, che sono le rette delle diagonali.


Se a, b, c, d sono le quattro diagonali del cubo, possiamo pensare di chiamare con lo stesso nome di ogni diagonale i due vertici del cubo che ne sono gli estremi. Questo per facilitare la scrittura delle funzioni che mandano il cubo in se stesso. Tre assi di simmetria sono le rette che passano per i centri di due facce opposte. Rispetto a questi assi possiamo portare il cubo a coincidere con se stesso con rotazioni di 90°, 180° e 270°. Ancora una volta, tutte le rotazioni di 360° rispetto a un qualsiasi asse hanno l'effetto di riportare il cubo nella posizione iniziale e le contiamo una sola volta. Dunque, tre rotazioni per ognuno dei tre assi, più una qualsiasi rotazione di 360° fanno già 10 movimenti.

Ci sono poi i quattro assi che congiungono le quattro coppie di vertici opposti. Rispetto a quegli assi il cubo si trasforma in se stesso con rotazioni di 120° e di 240°. Due rotazioni per ciascuno dei quattro assi fanno altre otto rotazioni. E siamo già


a 18 movimenti. Restano ancora sei assi di simmetria. Quali? Svelty:- Le rette che passano per i punti medi di due spigoli opposti! Apotema:- Il cubo ha dodici spigoli, che formano sei coppie di spigoli opposti, i quali individuano sei assi di simmetria. Rispetto a questi assi il cubo si trasforma in se stesso con rotazioni di 180°, che hanno l'effetto di scambiare i vertici di ciascuno degli spigoli della coppia coinvolta. Dunque, una rotazione per ogni asse, per un totale di sei rotazioni. Aggiungiamo così altri 6 movimenti ai 18 già trovati e arriviamo a 24 movimenti!

Normy:- Le 24 funzioni biunivoche! Apotema:- Esattamente. Per esempio, le rotazioni intorno all'asse delle facce abcd sono:


a b c d

b c d a

, a b c d

c d a b

, a b c d

d a b c

.

mentre quelle intorno all'asse delle facce acdb sono:

a b c d

c a d b

, a b c d

d c b a

, a b c d

b d a c

.

Quelle intorno all'asse delle facce acbd sono invece:

a b c d

c d b a

, a b c d

b a d c

, a b c d

d c a b

.

Se adesso consideriamo gli assi che congiungono le coppie di vertici opposti, allora le rotazioni di 120° e 240° intorno all'asse aa sono:

a b c d

a d b c

, a b c d

a c d b

.

Intorno all'asse bb sono invece...

Drrrrrrrrriiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiin Asy:- Ah! Se non ci fosse la campana! Apotema:- Potete terminare di scriverle voi per divertimento!

LEZIONE XXXIV Apotema:- Nelle ultime due lezioni abbiamo avuto a che fare con le funzioni biunivoche da un insieme in se stesso. Tra le varie funzioni ce n'era una particolare: quella che lasciava fermi tutti gli elementi dell'insieme. In un senso che preciseremo meglio fra poco, si tratta di una funzione che non ha alcun effetto sul prodotto con un'altra funzione e che si comporta quindi come il numero 1 nel prodotto tra numeri. Dunque, dato un insieme A, chiamiamo funzione identità di A la funzione 1 :A A A→ , con 1 ( )A x x= . Quando è chiaro dal contesto l'insieme di cui si parla, indichiamo la funzione identità semplicemente con 1. Possiamo pensare alla funzione identità come a una macchina costituita semplicemente da un tubo e che restituisce in uscita ciò che è stato messo in ingresso.

Come esempio importante in cui è coinvolta la funzione identità, vediamo il caso di una funzione :f A B→ invertibile. La sua inversa sarà la funzione 1 :f B A− → , dove 1( )a f b−= se e solo

se ( )b f a= . Possiamo allora comporre sia f con 1f − che 1f − con f. Che cosa si otterrà come risultato, secondo voi?


Ovvy:- La funzione identità! Se metto le scarpe e poi le tolgo, torno nella situazione iniziale! Apotema:- Risposta sostanzialmente giusta, ma c'è da fare una precisazione importante. Se compongo f con 1f − , parto da A, passo in B e quindi ritorno in A. Il risultato è allora la funzione identità sull'insieme A. Se invece compongo 1f − con f, parto da B, passo per A e ritorno in B e il risultato è la funzione identità di B.

1f fA B A

−

→ →

1f fB A B

−

→ → .

In formule:

1 1Af f− = , 1 1Bf f − = .

Se parto da scalzo e prima metto le scarpe e poi le tolgo, mi ritrovo di nuovo scalzo. Se invece parto con le scarpe e prima le tolgo e poi le rimetto, mi ritrovo di nuovo come all'inizio, ma questa volta con le scarpe! Come esempio, consideriamo ancora la funzione :f → , con ( ) 2 1f n n= − , che ad ogni numero naturale associa l'ennesimo numero dispari. Come abbiamo visto, si tratta di una funzione iniettiva, ma non suriettiva, e quindi non invertibile. Possiamo renderla invertibile se prendiamo come insieme di arrivo l'insieme D dei numeri dispari. È però importante osservare che in questo modo stiamo di fatto considerando una nuova funzione: la funzione

:g D→ , con ( ) 2 1g n n= − . Una funzione, infatti, non deve essere confusa con l'espressione che ci dice qual è l'immagine di un elemento del dominio. L'espressione è solo uno degli ingredienti che definiscono una funzione. Occorre anche specificare il dominio e il codominio. Ecco allora che 1 1g g− = ,

mentre 1 1Dg g − = . Vi faccio notare che è possibile anche fare il

prodotto di 1g − con f, ma non il viceversa! Normy:- Mi sono perso! Apotema:- Ok, vediamo un esempio più significativo. Qual è l'inversa della funzione quadrato? Normy:- La funzione radice quadrata! Apotema:- E quanto fa il quadrato della radice quadrata di un numero? Normy:- Il numero di partenza! Viene la funzione identità!


Apotema:- Dunque, ( )2

x x= . E quanto fa la radice del

quadrato di un numero? Normy:- Fa ancora l'identità! Il numero di partenza!

Apotema:- Secondo te, quindi, 2x x= , giusto? Sekky:- Ma non viene il valore assoluto di x?

Apotema:- Vi hanno insegnato al biennio che 2x x= . Come

la mettiamo? Normy:- Adesso sono certo di non avere capito niente! Apotema:- Ritorniamo daccapo e vediamo che il problema sta nella vaghezza delle affermazioni precedenti. Tanto per cominciare, ho chiesto qual è l'inversa della funzione quadrato, ma, come ben sapete, non tutte le funzioni sono invertibili e prima di parlare dell'inversa di una funzione bisogna accertarsi che la funzione sia invertibile! Normy:- Non è la radice quadrata l'inversa del quadrato? Apotema:- Abbiamo parlato di numeri, ma quali numeri? Se considero la funzione quadrato come funzione dai naturali nei naturali, la funzione non è invertibile, perché non è suriettiva: non tutti i numeri naturali sono dei quadrati. E se la considero come funzione dai razionali nei razionali? Svelty:- Non è né iniettiva né suriettiva! Non è iniettiva perché numeri opposti hanno lo stesso quadrato e non è suriettiva perché i negativi non sono il quadrato di nessun numero! Sekky:- Bisogna allora togliere dal dominio e dal codominio i razionali negativi, vero, professore? Apotema:- Indichiamo i razionali positivi con + e quelli positivi

con anche lo zero con 0+ . La funzione :f → con 2( )f x x=

non è invertibile. Sekky afferma che invece lo è la funzione

0 0:g + +→ con 2( )g x x= . Siete d'accordo? Scetty:- No. Per esempio non esiste nessun razionale il cui quadrato fa 2! Apotema:- Bravo Scetty. Al biennio avete introdotto i numeri reali proprio partendo dal problema della radice quadrata. Fuory:- Allora la funzione quadrato è invertibile come funzione dai reali nei reali! Svelty:- Solo se togliamo i negativi! Altrimenti, come nel caso


dei razionali, continua a non essere né iniettiva né suriettiva! Apotema:- Indichiamo l'insieme dei numeri reali positivi con + e, quando includiamo anche lo zero, con 0

+ . La funzione

0 0:f + +→ , con 2( )f x x= , è allora invertibile: ogni numero

reale non negativo è il quadrato di un unico numero reale non negativo, che è la sua radice quadrata. Dunque, la funzione inversa di f è la funzione 1

0 0:f − + +→ , con 1( )f x x− = . In

questo caso 0

1 1 1f f f f +

− −= =

. Attenti! Si tratta della funzione

identità non sui numeri reali, ma solo sui reali non negativi! Ecco allora che valgono sì le uguaglianze

( )2

x x= e 2x x= ,

ma solo per gli x non negativi, cioè per 0x ≥ ! Dubby:- E il valore assoluto? Apotema:- State ben attenti a questo fatto. La funzione quadrato definita su tutti i reali e a valore nei reali, cioè la funzione :g → con 2( )g x x= , assumendo solo valori non negativi, si può comporre con la funzione radice quadrata, cioè

1f − , ma non essendo una l'inversa dell'altra, il loro prodotto non dà l'identità su ! Se parto da un numero non negativo x, ecco allora che 1( ( ))f g x x− = , ma se parto da un numero negativo, x

questo non è più vero. Per esempio, 1 1( ( 2)) (4) 2f g f− −− = = . Più in generale, il quadrato di un numero negativo è lo stesso del suo opposto positivo, ma la radice restituisce l'opposto positivo. In formule, se x è negativo, allora 1( ( ))f g x x− = − . Ecco quindi che la radice del quadrato si può fare di un numero reale qualsiasi, ma vale allora l'uguaglianza

2x x= .

Dubby:- Adesso tutto è chiaro! Apotema:- Nel descrivere i movimenti del tetraedro, abbiamo usato la composizione per più di due funzioni senza usare le parentesi. Dovrebbe essere infatti ovvio che, più in generale, se la funzione f è componibile con g e g lo è con h, allora le composizioni ( )h g f e ( )h g f coincidono e possiamo


quindi fare a meno delle parentesi e scrivere h g f . Abbiamo infatti che

[ ]( ) ( ) (( )( )) ( ( ( ))h g f x h g f x h g f x= =

e [ ]( ) ) ( ) ( )( ( )) ( ( ( ))h g f x h g f x h g f x= = .

Il significato intuitivo è quello di aver collegato in serie le macchine che rappresentano le tre funzioni, in modo che l'uscita della prima macchina sia collegata all'ingresso della seconda e l'uscita di questa all'ingresso della terza.

Ritorniamo adesso alle funzioni biunivoche di un insieme A in sé. Scriviamo poi il prodotto di due funzioni senza il pallino. Valgono le seguenti proprietà:


• ( ) ( )hg f h gf= (proprietà associativa)

• 1 1f f f= = (l'identità è l'elemento neutro) • 1 1 1ff f f− −= = (esiste l'inversa di ogni funzione) • 1 1 1( )gf f g− − −= (l'inversa di un prodotto è il

prodotto delle inverse nell'ordine inverso)

Queste proprietà consentono di dedurre algebricamente altre proprietà o di semplificare certe espressioni. Per esempio, si può dimostrare che l'inversa di f è completamente caratterizzata dal fatto che composta con f dà l'identità. Infatti, se 1gf = , allora deve essere

1 1 1 11 ( ) ( ) 1g g g ff gf f f f− − − −= = = = = .

Ancora, si può vedere che l'ultima delle proprietà elencate discende in realtà dalle precedenti. Per mostrare che l'inversa di gf è 1 1f g− − , basta infatti dimostrare che 1 1( )( ) 1f g gf− − = . Del resto,

1 1 1 1 1 1( )( ) ( ( )) ( 1) 1f g gf f g g f f f f f− − − − − −= = = = .

Un insieme di oggetti per i quali sia definita un'operazione che goda della proprietà associativa e per la quale esista un elemento neutro e tale, inoltre, che ogni elemento abbia il suo inverso, cioè un elemento col quale il risultato dell'operazione è l'elemento neutro, si chiama gruppo. Le funzioni biunivoche di un insieme in sé, con l'operazione di composizione, formano quindi un gruppo che, nel caso di un insieme di n elementi, viene chiamato gruppo simmetrico di ordine n. Come esercizio per casa, provate a dimostrare che le funzioni dai reali nei reali del tipo ( )f x ax b= + , dove a e b sono numeri reali con 0a ≠ , formano un gruppo con l'operazione di composizione. Si tratta di dimostrare prima di tutto che la composizione di due funzioni di questo tipo è ancora una funzione dello stesso tipo, e poi, sapendo già che la composizione di funzioni è associativa, si tratta solo di dimostrare che la funzione identità è pure di questo tipo e che si tratta di funzioni invertibili con l'inversa ancora della stessa forma. Bronty:- Una cosa complicata... Apotema:- Ho capito. Vieni fuori tu, Bronty, a fare questo esercizio in classe.


Bronty:- Non ho capito cosa bisogna fare! Apotema:- Stiamo considerando l'insieme di tutte le funzioni

:f → con ( )f x ax b= + e 0a ≠ . Per esempio, ( ) 5 3f x x= − . Bronty:- Mi viene da dire che sono delle rette... Apotema:- Sono funzioni il cui grafico è una retta. E sai dirmi a cosa corrisponde la condizione 0a ≠ ? Guasty:- Non si ammettono le rette orizzontali! Bronty:- Sì... a sarebbe la pendenza... Apotema:- Come prima cosa dobbiamo dimostrare che la composizione è effettivamente un'operazione su questo insieme di funzioni e cioè che la composizione è ancora una funzione dello stesso insieme. Prova prima a comporre le funzioni ( ) 2 1f x x= − e ( ) 3 5g x x= + . Calcola l'espressione di g f .

Bronty:- Dunque...

( )( ) ( ( )) 3 ( ) 5 3(2 1) 5 6 2g f x g f x f x x x= = + = − + = + .

Apotema:- E cosa mi dici? Bronty:- È ancora una funzione del tipo y ax b= + ... Apotema:- Con appena un po' più di fatica puoi fare il caso generale, con ( )f x ax b= + e ( )g x cx d= + . Bronty:- Allora...

( )( ) ( ( )) ( ) ( )g f x g f x c f x d c ax b d acx bc d= = + = + + = + + .

Normy:- È ancora un numero per x più un altro numero! Apotema:- Bisogna anche verificare che il coefficiente di x non sia nullo... Bronty:- Non può certo esserlo visto che a e c non sono nulli! Apotema:- Bene. E adesso mi sai far vedere che l'identità fa parte di questo insieme di funzioni? Bronty:- L'identità? Svelty:- L'identità è la funzione con ( )f x x= , che corrisponde ad 1a = e 0b = ! Apotema:- Queste funzioni si chiamano lineari, proprio perché il loro grafico è una linea retta. Stiamo quindi considerando le funzioni lineari con coefficiente di x non nullo, cioè i cui grafici hanno pendenza non nulla. Ti resta solo da dimostrare che l'inversa di una di queste funzioni è ancora dello stesso tipo. Svelty:- Se scambio gli assi, una retta è sempre una retta!


Bronty:- L'inversa di ( )f x ax b= + ... Come faccio a trovarla? Apotema:- Devi dimostrare che per ogni numero reale y esiste un unico numero reale x tale che y ax b= + . Prova prima con

( ) 5 7f x x= + . Bronty:- Se 5 7y x= + ... Apotema:- Su, Bronty, devi ricavare x ! Bronty:- Allora... Beh, è un'equazione di primo grado! Apotema:- Risolvila! Bronty:- Ricavo che

75

yx

−= .

Apotema:- Tornando a chiamare x l'ingresso, hai trovato che l'inversa di ( ) 5 7f x x= + è

1 7 1 7( )

5 5 5x

f x x− −= = − ,

che è ancora una funzione lineare. Per inciso vi faccio notare che f può essere vista come la composizione di due funzioni: la funzione che moltiplica per 5 e quella che somma 7. Si tratta di funzioni ovviamente invertibili. L'inversa della funzione che moltiplica per 5, quale sarà? Bronty:- Quella che divide per 5! Apotema:- E l'inversa di quella che somma 7? Bronty:- Quella che sottrae 7! Apotema:- E quindi quale sarà l'inversa della funzione che moltiplica per 5 composta con la funzione che somma 7? Fuory:- La funzione che divide per 5 e sottrae 7! Apotema:- Sbagliato! E poi è anche scritta alla lavagna! Sekky:- L'inversa di una composizione è la composizione delle inverse nell'ordine inverso! Quindi, l'inversa della composizione della funzione che moltiplica per 5 con quella che somma 7 è la funzione che sottrae 7 composta con quella che divide per 5! Giusto, professore? Apotema:- Giusto. L'inverso di moltiplicare per 5 e sommare 7 è sottrarre 7 e dividere per 5. Tu, Fuory, hai messo le calze sopra le scarpe! Bronty:- Allora l'inversa di ( )f x ax b= + è


1 1( )

x b bf x x

a a a

− −= = − .

Apotema:- Prova a verificare che 1 1 1f f f f− −= = . Bronty:- Posso scrivere che

1 1 1( )( ) ( ( )) ( )

bf f x f f x f x

a a

− −= = − =

1( )

b b bax b x x

a a a a= + − = + − = .

Mentre

1 1 1( )( ) ( ( )) ( )f f x f f x a f x b− − −= = + =

1 ba x b x b b x

a a

= − + = − + =

.

Apotema:- Vai al posto. Concludiamo la lezione con un paio di esempi tratti dalla cinematica e con una nuova operazione tra le funzioni. Consideriamo un punto P che si muove lungo una retta r. La legge oraria del moto è la funzione che associa a ogni istante di tempo t dall'istante 1t all'istante 2t la posizione s di P su r. Gli istanti di tempo t sono allora i numeri reali dell'intervallo

1 2[ , ]t t e la posizione, supponendo di avere fissato sulla retta un sistema di coordinate, è individuata da un numero reale. La legge oraria è allora una funzione

1 2: [ , ]f t t → ,

che a ogni istante t, con 1 2t t t≤ ≤ , associa la posizione ( )s f t= . Diciamo che la posizione è funzione del tempo. E come fareste a descrivere la legge oraria di un punto che si muove nel piano? Svelty:- Devo specificare in ogni istante le sue coordinate x e y! Apotema:- Una volta fissato nel piano un sistema di coordinate cartesiane, come dice Svelty, dobbiamo specificare in ogni istante i valori di ascissa e di ordinata. Sekky:- Dobbiamo quindi avere due funzioni, vero, professore? Una funzione che a ogni istante t associa l'ascissa x del punto P e un'altra funzione che, allo stesso istante, associa l'ordinata y del punto P. Apotema:- Esattamente. Abbiamo due funzioni


1 2: [ , ]f t t → , 1 2: [ , ]g t t → ,

con ( )x f t= e ( )y g t= . Scriviamo allora

( )

( )

x f t

y g t

=

=

Scopry:- Per la legge oraria di un punto che si muove nello spazio occorreranno allora tre funzioni! Apotema:- Sì, anche se c'è qualcosa di artificioso. In fondo si tratta di una sola funzione: la funzione che a ogni istante associa un punto. Poiché il punto nel piano è individuato da una coppia ordinata di numeri, le sue coordinate, si tratta della funzione che a ogni istante t associa la coppia ordinata di numeri reali ( ( ), ( ))f t g t e quindi di una funzione che va da un intervallo di numeri reali all'insieme delle coppie ordinate di numeri reali, cioè di una funzione

21 2: [ , ]h t t → , con ( ) ( ( ), ( ))h t f t g t= .

La sua rappresentazione a blocchi è la seguente...


... Un blocco con un ingresso e due uscite... Più in generale, date due funzioni con lo stesso dominio :f A B→ e :g A C→ ,

possiamo considerare la funzione h con ( ) ( ( ), ( ))h t f t g t= . Quali saranno il dominio e il codominio di h? Normy:- Il dominio è A, ma il codominio non c'è... ce ne sono due! Apotema:- Per ogni t di A, a quale insieme appartiene la coppia ordinata ( ( ), ( ))f t g t ? Svelty:- Appartiene a B C× ! Normy:- Allora il codominio è B C× ... O no? Apotema:- Esattamente. Date le funzioni :f A B→ e

:g A C→ , risulta definita la funzione

:h A B C→ × ,

con ( ) ( ( ), ( ))h t f t g t= . La funzione che ho indicato con h si

chiama prodotto cartesiano di f per g e si indica con f g× . Drrrrrrrrrrrriiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiin Bronty:- La campana! Apotema:- Riprendiamo il discorso domani.

LEZIONE XXXV Apotema:- Vi ho detto che una funzione può essere pensata come una scatola con un ingresso e una uscita, ma la lezione scorsa, per descrivere il moto di un punto nel piano, abbiamo usato una scatola con un ingresso, l'istante di tempo, e due uscite, le coordinate del punto in quell'istante. Le uscite andavano considerate in un ben preciso ordine e, di fatto, si trattava di una coppia ordinata di numeri. Potevamo quindi considerare le due uscite come un'unica uscita: una coppia ordinata di numeri reali, e far rientrare anche questo caso nella definizione di funzione. Più in generale, una scatola con un ingresso e due uscite può essere pensata come la combinazione di due funzioni aventi lo stesso dominio e con codomini eventualmente diversi. La nuova funzione ha come dominio lo stesso dominio delle funzioni date e come codominio il prodotto cartesiano dei due codomini. Abbiamo chiamato questa funzione prodotto cartesiano delle funzioni date. Più precisamente, date le funzioni :f A B→ e :g A C→ , abbiamo chiamato prodotto cartesiano di f per g la funzione

:f g A B C× → × ,

con ( )( ) ( ( ), ( ))f g t f t g t× = . Vediamo invece adesso alcuni esempi di funzioni che possiamo rappresentare come scatole con più ingressi, le cosiddette funzioni di più variabili. E iniziamo dal caso in cui vi sia un'unica uscita. Scetty:- Ma una funzione non deve avere un unico insieme di partenza? Apotema:- Certo, Scetty. Dammi il tempo di fare qualche esempio e vedrai che, ricorrendo ancora una volta al prodotto cartesiano di insiemi, i diversi ingressi possono essere pensati come un unico ingresso, consentendo di far rientrare anche questi casi nel concetto di funzione. Come primo esempio consideriamo la distribuzione di temperature di una lastra rettangolare sottile in regime stazionario. Sottile significa che lo spessore è trascurabile e che può quindi essere modellizzata da un rettangolo. Normy:- E in regime stazionario che cosa significa?


Apotema:- Che la temperatura non cambia nel tempo e varia solo da punto a punto. Se la lastra ha larghezza L e altezza H, allora possiamo considerare un sistema di coordinate cartesiane con l'origine in un vertice...

... e individuare un punto della lastra con due coordinate x e y, con 0 x L≤ ≤ e 0 y H≤ ≤ . La distribuzione di temperature della lastra è descritta allora dalla funzione che associa a ogni coppia ordinata ( , )x y la temperatura θ in un certo intervallo di

temperature 1 2θ θ θ≤ ≤ . Possiamo allora schematizzare la funzione con una scatola con due ingressi e una uscita...

Chi mi sa dire a quale insieme appartiene la coppia ( , )x y ? Normy:- La x appartiene all'intervallo [0, ]L e la y all'intervallo [0, ]H ! Furby:- Al prodotto cartesiano dei due intervalli! Apotema:- Proprio così. La distribuzione di temperature della lastra è descritta dalla funzione

1 2: [0, ] [0, ] [ , ]f L H θ θ× → ,


che a ogni punto ( , )P x y della lastra associa la temperatura θ .

Scriveremo allora che ( , )f x yθ = . Scetty:- Ma non dovremmo usare due coppie di parentesi? Apotema:- Vero. Il valore della funzione f che corrisponde all'ingresso ( , )x y si dovrebbe scrivere (( , ))f x y , ma per non appesantire inutilmente la scrittura useremo una sola coppia di parentesi. Vediamo adesso un altro esempio: la distribuzione di temperatura di una barra sottile in un certo intervallo di tempo. Per barra sottile intendiamo una barra di cui si possano trascurare due dimensioni e che schematizziamo con un segmento. Se L è la lunghezza della barra, allora possiamo modellizzare la barra stessa con l'intervallo [0, ]L . In ogni punto e in ogni istante abbiamo una certa temperatura θ .

Si tratta ancora una volta di una funzione di due variabili, che possiamo rappresentare con una scatola con due ingressi e una uscita.

Nel linguaggio degli insiemi si tratta della funzione

1 2 1 2: [0, ] [ , ] [ , ]f L t t θ θ× →


che associa a ogni punto x della barra e a ogni istante t

compreso tra gli istanti 1t e 2t la temperatura θ in quel punto in quell'istante. Se invece consideriamo la distribuzione di temperatura nel tempo della lastra dell'esempio precedente, ecco che otteniamo una funzione di tre variabili.

Si tratta della funzione

1 2 1 2: [0, ] [0, ] [ , ] [ , ]f L H t t θ θ× × →

che associa a ogni punto ( , )x y della lastra e a ogni istante t

compreso tra gli istanti 1t e 2t la temperatura in quel punto in

quell'istante. Questa volta ( , , )f x y tθ = . Normy:- Ci sono anche funzioni con più ingressi e più uscite? Apotema:- Certamente. Per esempio, dal primo criterio di uguaglianza dei triangoli, sappiamo che due lati e l'angolo tra essi compreso determinano completamente un triangolo. Questo implica che le misure di due lati a e b e dell'angolo compreso γ determinano univocamente le misure del terzo lato


c e degli altri due angoli α e β . Voi non sapete ancora come determinare questi ultimi tre elementi col calcolo, ma sapreste ad esempio farlo in modo grafico. Adesso mi importa soltanto sottolineare che a, b e γ determinano univocamente c, α e β .

Risulta così definita la funzione ϕ che associa a ogni terna ( , , )a b γ la terna ( , , )c α β . Possiamo schematizzare la funzione con una scatola a tre ingressi e tre uscite...

Poiché a e b, fissata un'unità di misura, per esempio il metro, possono avere una lunghezza qualsiasi e l'angolo γ , misurato in gradi, può avere un valore qualsiasi tra 0° e 180°, estremi esclusi, la funzione ϕ è una funzione del tipo

: (0 ,180 ) (0 ,180 ) (0 ,180 )ϕ + + +× × ° ° → × ° ° × ° ° ,

con ( , , ) ( , , )a b cϕ γ α β= . Possiamo poi pensare che ϕ sia il


prodotto cartesiano di tre funzioni di tre variabili, cioè che dentro la scatola che rappresenta ϕ ci siano tre scatole con tre ingressi a una sola uscita...

La funzione

: (0 ,180 )f + + +× × ° ° → , con ( , , )f a b cγ = ,

che esprime c in termini di a, b e γ ... La funzione

: (0 ,180 ) (0 ,180 )g + +× × ° ° → ° ° , con ( , , )g a b γ α= ,

che esprime α in termini di a, b, γ ... E, infine, la funzione

: (0 ,180 ) (0 ,180 )h + +× × ° ° → ° ° , con ( , , )h a b γ β= ,

che esprime β in termini di a, b, γ . Dubby:- Ma qual è la formula di queste funzioni? Apotema:- Alludi all'espressione che esprime l'uscita di ogni funzione in termini degli ingressi, immagino. Dubby:- Esatto. Apotema:- Vi ho già detto che dovete attendere di imparare la trigonometria piana. Normy:- Ma non è detto che il numero di uscite debba per forza essere uguale al numero di ingressi, vero? Apotema:- Assolutamente no. In generale avremo una funzione f schematizzabile come una scatola con n ingressi 1x , 2x , ... ,

nx e con m uscite 1y , 2y , ... , my . Se 1 1x A∈ , 2 2x A∈ , ... ,


n nx A∈ , mentre 1 1y B∈ , 2 2y B∈ , ... , m my B∈ , allora il dominio

della funzione f è l'insieme 1 2 ... nA A A× × × , mentre il codominio

è l'insieme 1 2 ... mB B B× × × . La funzione f associa quindi a ogni

n-pla 1 2( , , ... , )nx x x di 1 2 ... nA A A× × × un'unica m-pla

1 2( , , ... , )my y y di 1 2 ... mB B B× × × . Svelty:- Allora la possiamo vedere come il prodotto cartesiano di m funzioni che hanno per dominio 1 2 ... nA A A× × × e ciascuna

con un codominio diverso: la prima con 1B , la seconda con 2B , e così via!

Apotema:- Esattamente. La funzione

1 2 1 2: ... ...n mf A A A B B B× × × → × × × ,

con 1 2 1 2( , , ... , ) ( , , ... , )n mf x x x y y y= , è il prodotto cartesiano delle funzioni

1 1 2 1: ... nf A A A B× × × → , con 1 1 2 1( , , ... , )nf x x x y= ,

2 1 2 2: ... nf A A A B× × × → , con 2 1 2 2( , , ... , )nf x x x y= , ...

1 2: ...m n mf A A A B× × × → , con 1 2( , , ... , )m n mf x x x y= .


Bronty:- Prof, può farci qualche altro esempio? Apotema:- Vi farò qualche esempio che vi riguarda molto da vicino come aspiranti periti informatici: i circuiti combinatori. Normy:- E cosa sono? Apotema:- Sono circuiti con un certo numero di ingressi e di uscite in cui ciascun ingresso e ciascuna uscita può assumere solo due stati differenti. Le uscite, inoltre, dipendono esclusivamente dalla combinazione di stati degli ingressi. Bronty:- E quali sarebbero questi due stati? Apotema:- In linea di principio qualsiasi cosa possa assumere due condizioni diverse ma, di fatto, si tratta di due diversi livelli di tensione elettrica. Si conviene poi di indicare uno dei due stati con 1 e l'altro con 0. L'insieme degli stati è allora l'insieme

0,1E = .

Dubby:- Credo di non avere capito che cosa si intende quando si dice che le uscite dipendono esclusivamente dalla combinazione degli ingressi... Apotema:- Consideriamo, ad esempio, un circuito combinatorio con tre ingressi 1x , 2x , 3x e due uscite 1y e 2y . Siccome ogni

ingresso può assumere solo i valori 0 e 1, i tre ingressi possono assumere complessivamente 8 combinazioni di valori, che sono esattamente tutte le possibili terne ordinate di zeri e uni, cioè gli elementi di 3E : (0,0,0) , (0,0,1) , (0,1,0) , (0,1,1) , (1,0,0) , (1,0,1) , (1,1,0), (1,1,1). Affermare che le uscite dipendono esclusivamente dalle combinazioni degli ingressi significa affermare che ogni combinazione degli ingressi determina sempre la stessa uscita.

1x 2x 3x 1y 2y

0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1

1 1


Il funzionamento del circuito è così descritto in modo completo da una tabella con 5 colonne in cui, in corrispondenza di ogni terna ordinata in ingresso, si ha la corrispondente coppia ordinata in uscita. Ciò equivale ad affermare che il circuito combinatorio è completamente descritto da una funzione

3 2:f E E→ .

Dubby:- Non ho capito come si determinano le uscite a partire dagli ingressi... Apotema:- Ti riferisci alla tabella che ho compilato? Dubby:- Si... Apotema:- Ci sono tanti circuiti combinatori possibili con tre ingressi e due uscite quanti sono i modi di associare una coppia ordinata di zeri e uni a ciascuna delle otto terne di zeri e uni. Io ho scelto otto uscite a caso. Dubby:- A caso? Apotema:- Beh, non proprio... Ma lo vedremo più avanti. Cominciamo dai circuiti combinatori con un solo ingresso e una sola uscita. Quanti ce ne sono di possibili? Fuory:- Due! Perché l'uscita può solo essere 0 o 1! Svelty:- Quattro! Perché l'ingresso può avere due stati e a ciascuno dei due stati in ingresso possono corrispondere due diversi stati in uscita! Apotema:- Esatto. Ecco le quattro tabelle che definiscono i quattro possibili circuiti combinatori con un ingresso e una uscita, cioè le quattro possibili funzioni da E in E:

x y x y x y x y 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0

1 1

1 0

1 1

La prima funzione vale sempre zero, la seconda è l'identità,


mentre la terza inverte l'ingresso... Scopry:- La negazione dell'Algebra di Boole! Apotema:- Esattamente. Possiamo infatti considerare in E l'Algebra di Boole più semplice di tutte: quella con solo lo zero e l'uno... Il terzo circuito combinatorio realizza allora la negazione e, nella teoria dei circuiti combinatori, si chiama NOT e si rappresenta così...

Bronty:- Prof, ormai suona... Apotema:- Ok. Allora per casa provate a calcolare quanti sono i possibili circuiti combinatori con due ingressi e una uscita e a scrivere le tabelle che li descrivono. Sekky:- Tra quei circuiti ci saranno anche quelli che realizzano le operazioni di somma e prodotto, vero, professore? Apotema:- Proprio così. Alla prossima!

LEZIONE XXXVI Scopry:- Prof, ho già scritto alla lavagna tutte le possibili funzioni da 2E in E, cioè le tabelle che descrivono tutti i possibili circuiti combinatori con due ingressi e una uscita...

1x 2x y 1x 2x y

1x 2x y 1x 2x y

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0

1 1 1

1 1 0

1 1 1

1x 2x y 1x 2x y 1x 2x y 1x 2x y

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0

1 1 1

1 1 0

1 1 1

1x 2x y 1x 2x y 1x 2x y 1x 2x y

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0

1 1 1

1 1 0

1 1 1

1x 2x y 1x 2x y 1x 2x y 1x 2x y

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0

1 1 1

1 1 0

1 1 1

Apotema:- Sì, sedici... Scopry:- I due ingressi possono assumere quattro combinazioni di valori, che sono le quattro coppie ordinate di zeri e uni di

2E ... Per ciascuna delle quattro coppie ci sono due valori


possibili dell'uscita, che fanno in tutto 42 16= circuiti diversi! Apotema:- Esattamente. E quali sono i circuiti che realizzano la somma e il prodotto dell'algebra di Boole? Scopry:- Il circuito che fa la somma è l'ultimo della seconda riga, mentre quello che fa il prodotto è il secondo della prima riga! Apotema:- Benissimo. La somma viene chiamata OR, come per l'algebra delle proposizioni, mentre il prodotto viene chiamato AND. I circuiti OR e AND vengono poi rappresentati graficamente in questo modo...

Le varie leggi dell'algebra di Boole possono allora essere rappresentate mediante opportune combinazioni di questi circuiti ovvero delle funzioni corrispondenti. Cominciamo dalla proprietà involutiva della negazione, che si traduce nel fatto che due NOT in serie equivalgono all'identità, cioè a un filo...

Le proprietà commutative equivalgono all'intercambiabilità degli ingressi, che viene resa dalla simmetria dei simboli. Vediamo invece il fatto che 0 e 1 sono gli elementi neutri della somma e del prodotto...


... mentre 1 e 0 sono gli elementi assorbenti...

Questo è il motivo per cui questi circuiti sono chiamati porte logiche. Uno dei due ingressi può far passare o meno il valore dell'altro ingresso. Nel caso dell'OR, ad esempio, se un ingresso vale 0, allora l'uscita eguaglia l'altro ingresso ed è come se lo si fosse lasciato passare. Se invece lo stesso ingresso vale 1, allora l'uscita vale 1 indipendentemente dal valore dell'altro ingresso, che non viene così lasciato passare. Un fatto analogo accade per l'AND, con 0 e 1 scambiati. E che cosa mi dite della proprietà associativa della somma e del prodotto? Svelty:- Che si possono fare degli OR e degli AND con più di due ingressi! Apotema:- Esatto. In particolare, la proprietà associativa della somma si traduce nell'equivalenza dei due circuiti seguenti...

... e giustifica l'uso di porte OR con tre o più ingressi...

In modo del tutto analogo si procede per la proprietà associativa del prodotto e quindi per le porte AND con più ingressi. Consideriamo ora la legge di assorbimento .xy y y+ = In termini di circuiti combinatori essa si esprime in questo modo...


Per l'altra legge di assorbimento basta scambiare tra loro le porte AND e OR. Sekky:- È il principio di dualità, vero, professore? Se in un circuito che realizza una formula scambio gli AND e gli OR e gli zeri con gli uni, ottengo il circuito che realizza la formula duale! Apotema:- Meglio dire che se due circuiti sono equivalenti, allora lo sono anche quelli che si ottengono scambiando gli AND e gli OR e gli zeri con gli uni. Vediamo ad esempio la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: ( )x y z xy xz+ = + . In termini di porte logiche essa si traduce nell'equivalenza tra i seguenti circuiti...

Anche questa volta la proprietà distributiva duale si ottiene scambiando gli OR con gli AND nei due circuiti precedenti. Normy:- E le leggi di De Morgan? Apotema:- Prima di passare alle leggi di De Morgan vi mostro una convenzione usata nella rappresentazione grafica dei circuiti logici. Quando un NOT è in serie con un AND o un OR, lo si sostituisce con un semplice pallino in corrispondenza dell'uscita dell'AND, in modo da ottenere un'unica porta logica.


Tale porta, che realizza il NOT dell'AND, viene chiamata NAND.

In modo analogo si definisce la porta NOR, che realizza il NOT dell'OR...

E veniamo alle leggi di De Morgan. Essendo una la duale dell'altra, ci basterà realizzare i circuiti relativi a una sola legge. Per esempio, quella che afferma che

xy x y= + .

I circuiti di cui si afferma l'equivalenza sono allora i seguenti...

Dubby:- Quindi i pallini si possono mettere anche negli ingressi? Apotema:- Sì, quando fa comodo. Qualcuno sa dirmi come si chiama la porta logica che si comporta secondo la terza tabella della seconda riga? Normy:- L'uscita è 1 se gli ingressi sono diversi... Sekky:- È l'equivalente della disgiunzione logica! L'OR esclusivo, che si abbrevia in XOR!


Apotema:- Vedo che Sekky se ne è ricordato. In effetti si tratta proprio della porta XOR, che si indica così...

Normy:- Può farci un esempio di circuito combinatorio che serva a qualcosa? Apotema:- Supponiamo di voler calcolare la somma di due numeri in notazione binaria di al massimo quattro cifre, cioè fino al numero binario 1111, che corrisponde al decimale 15. Possiamo convenire di portare a quattro cifre anche i numeri che ne hanno meno aggiungendo degli zeri iniziali. Per esempio, scriveremo 1011 0011+ invece di 1011 11+ . Per fare l'addizione incolonniamo i due numeri e cominciamo a sommare le cifre delle unità ottenendo la cifra delle unità della somma con un eventuale riporto. Possiamo poi decidere che il riporto ci sia sempre, ammettendo che esso possa valere 0. Se indichiamo con a e b le cifre delle unità dei due numeri, con s la cifra delle unità della somma e con r il riporto, allora si possono presentare quattro diversi casi:

se 0a = e 0b = , allora 0s = e 0r = ; se 0a = e 1b = , allora 1s = e 0r = ; se 1a = e 0b = , allora 1s = e 0r = ; se 1a = e 1b = , allora 0s = e 1r = .

Possiamo riassumerli in una tabella:

a b s r 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1

0 1 Adesso ci dimentichiamo che si tratta di cifre binarie e pensiamo 0 e 1 come gli elementi di un'algebra di Boole. La tabella diventa


allora la definizione di un circuito combinatorio con due ingressi e due uscite...

che realizza la funzione 2 2: ,f E E→ con (0,0) (0,0),f =

(0,1) (1,0)f = , (1,0) (1,0)f = , (1,1) (0,1)f = . Come ben sappiamo, la funzione f può essere vista come il prodotto cartesiano di due funzioni da 2E in E: la funzione g , con (0,0) 0g = , (0,1) 1g = ,

(1,0) 1g = e (1,1) 0g = , che dà la cifra delle unità della somma, e la funzione h , con (0,0) 0h = , (0,1) 0h = , (1,0) 0h = e (1,1) 1h = , che dà la cifra del riporto. Ricorrendo alle forme canoniche minterm, possiamo determinare per la somma e per il resto le seguenti espressioni:

( , )g a b ab ab= + , ( , )h a b ab= .

Svelty:- La somma è uno XOR! Normy:- Mentre il riporto è un AND! Apotema:- Esatto. Questo ci consente di scrivere che

( , )

( , )

s g a b a b

r h a b ab

= = ⊕

= =

Il circuito può allora essere realizzato da due porte logiche opportunamente collegate...


Fuory:- Allora per fare la somma di due numeri binari basta un circuito come questo per ogni coppia di cifre! Scetty:- Non sono d'accordo, dalla cifra delle coppie in poi contribuisce alla cifra della somma e a quella del riporto anche il riporto precedente! Apotema:- Bravo Scetty. Per le cifre successive occorrerà un circuito combinatorio con tre ingressi e due uscite...

... che, dati i valori delle cifre binarie corrispondenti dei due numeri e il riporto, dà la cifra della somma e il riporto successivo. Abbiamo quindi un riporto in ingresso, che ho indicato con

ir , e un riporto in uscita, che ho indicato con ur . In

ogni caso il circuito ha tre ingressi e due uscite e può essere ottenuto mediante due circuiti con tre ingressi e un'unica uscita, uno che calcola la somma e l'altro che calcola il riporto. A questo scopo scriviamo la tabella che lega le uscite s e ur agli

ingressi a, b e ir ...

a b ir s ur

0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1

1 1

0 0 0+ + fa 0 col riporto di 0, 0 0 1+ + fa 1 col riporto di 0, ecc. Scriviamo adesso l'espressione minterm per s. Abbiamo che


i i i is abr abr abr abr= + + + .

La mappa di Karnaugh non consente alcuna semplificazione e così sembra proprio che si debbano usare quattro porte AND a tre ingressi, una porta OR a quattro ingressi e alcuni NOT...

Geny:- La cifra s della somma vale 1 se e soltanto se tra a, b, e

ir c'è un numero dispari di 1! Si tratta dello XOR! Apotema:- Bel colpo, Geny! Una porta XOR a tre ingressi fornisce il valore di s. +


Dubby:- Ma come si faceva a vedere algebricamente? Apotema:- Bastava ricordare che x y xy xy⊕ = + e che

x y xy xy⊕ = + . Infatti:

( )( ) ( )( )x y xy xy xy xy x y x y x y x y⊕ = + = = + + = + + =

0 0xx xy xy yy xy xy xy xy= + + + = + + + = + .

Ora, ( ) ( )i i i i i is abr abr abr abr ab ab r ab ab r= + + + = + + + =

( ) ( ) ( )i i i ia b r a b r a b r a b r= ⊕ + ⊕ = ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ .

Dove ho prima raccolto ir dal secondo e dal terzo addendo e

ir dal primo e dal quarto e ho quindi usato l'espressione per la somma esclusiva e la sua negazione. Normy:- E per il riporto in uscita? Apotema:- Dalla tabella ricaviamo l'espressione in forma canonica disgiuntiva:

u i i i ir abr abr abr abr= + + + .

Possiamo provare a semplificarla con una mappa di Karnaugh, dove mettiamo semplicemente delle X al posto degli uni...

Possiamo usare tre ovali da due per ottenere

u i ir br ab ar= + + .

Scopry:- Corrisponde al fatto che almeno due ingressi devono essere a 1 affinché ci sia riporto!


Apotema:- Bravo, Scopry! Ecco il circuito combinatorio per u

r ...

Sekky:- Dunque il circuito complessivo ha come ingresso gli ingressi comuni ai due circuiti e come uscite le loro uscite, vero, professore? Apotema:- In realtà si può fare di meglio e cioè tenere conto del fatto che i due circuiti sono abbinati e cercare quindi di condividere qualche porta. Ecco allora che conviene manipolare diversamente l'espressione della funzione che esprime ur in

termini di a, b e ir nel modo seguente...

( ) ( )u i i i i i i ir abr abr abr abr ab ab r ab r r= + + + = + + + =

( ) ia b r ab= ⊕ + .

Otteniamo così il circuito...


Dubby:- E che porta condivide con l'altro circuito? Fuory:- Lo XOR! Scetty:- Ma questo è a due ingressi, l'altro a tre... Apotema:- Uno XOR a tre ingressi è equivalente a due XOR a due ingressi... Ecco il circuito, che prende il nome di sommatore completo, in contrapposizione al precedente, che è chiamato semi-sommatore...

Geny:- Lo si poteva indovinare rapidamente partendo dal semi-sommatore precedente!

Apotema:- E come? Geny:- Faccio la somma di a e b con

ir e l'OR tra il riporto di

a b+ con quello di ia b r+ + ! In fondo si vede subito che il

sommatore completo è formato da due semisommatori... Apotema:- In effetti... Non ci avevo pensato!


Normy:- Ma noi le faremo queste cose? Apotema:- Certo. In elettronica. Ma voglio finire questo cenno ai circuiti combinatori con un rompicapo. Immaginate di voler realizzare un circuito combinatorio con tre ingressi e tre uscite che sono la negazione degli ingressi...

Rozzy:- Che cretinata! Bastano tre NOT! Apotema:- Non mi hai lasciato finire! Avete a disposizione tutte le porte AND e OR che volete, con un numero arbitrario di ingressi, ma... solo due NOT! Normy:- Solo due NOT? Sekky:- È impossibile, professore! Apotema:- Non è affatto un problema semplice e dubito che si possa dare una risposta al volo! Bisogna pensarci molto! Bronty:- Allora mi ritiro... Sogny:- Io ci voglio provare! Apotema:- Alla prossima!

LEZIONE XXXVII Apotema:- Che cosa mi dite del circuito combinatorio che realizza le negazioni dei tre ingressi usando solo due NOT e un numero arbitrario di porte AND e OR? Normy:- Geny dice che è riuscito a farlo, ma Scetty dice che secondo lui è impossibile! Apotema:- Come mai, Scetty, secondo te è impossibile? Scetty:- Direi di essere riuscito a dimostrare che con solo degli AND e degli OR è impossibile ottenere un NOT. Apotema:- Sono d'accordo con te. Sekky:- Allora il problema era impossibile, vero? Apotema:- Evidentemente no, se Geny lo ha risolto! Scetty:- Secondo me è impossibile! E mi sembra che la pensi così anche lei... Apotema:- Niente affatto. É verissimo che è impossibile ottenere un NOT usando solo AND e OR, ma è invece possibile realizzare un circuito equivalente a tre NOT usando AND e OR a volontà e due NOT. Scopry:- Io posso solo dire che non ci sono riuscito, ma mi sono convinto che se è davvero possibile, come già ci aveva anticipato, deve trattarsi di una soluzione molto difficile da trovare! Apotema:- Non ci resta che ascoltare Geny. Vieni alla lavagna a mostrarci la tua soluzione! Geny:- Dopo numerosi tentativi ho spostato il problema a quello della realizzazione di un circuito combinatorio con gli stessi ingressi a, b, c e con tre uscite x, y, z così legate agli ingressi: x vale 1 se e solo se i tre ingressi sono tutti 0, y vale 1 se e solo se un solo ingresso è a 1, mentre z vale 1 se e solo se esattamente due ingressi sono a 1.


Il funzionamento del circuito, che ho chiamato circuito 012, è quindi descritto dalla seguente tabella...

a b c x y z

0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1

0 0 0

Per realizzare questo circuito ho dovuto usare tutte e due le porte NOT. Per il momento credetemi sulla parola e vediamo invece come, usando il circuito 012, diventi facile costruire il circuito che simula i tre NOT.



Quand'è che deve valere 1 l'uscita a ? Beh, quando a, b e c sono tutti 0, oppure quando un solo ingresso è 1 e si tratta di b o di c, oppure ancora, quando sono entrambi 1 b e c. Ecco allora che risulta facile realizzare un circuito per a . L'espressione booleiana è

a x yb yc zbc= + + + .

In modo analogo si ricava che

b x ya yc zac= + + + .

A parole: b vale 1 se nessun ingresso è a 1, oppure se è a 1 soltanto a, oppure ancora, soltanto c, o se sono a 1 solo a e c. Infine

c x ya yb zab= + + + .

Tutto questo senza usare nemmeno un NOT ! Scetty:- E adesso devi farci vedere come hai fatto a realizzare il circuito 012 con solo due NOT . Geny:- Preferisco prima fare il disegno, perché è il risultato di diversi tentativi... Rozzy:- Ma cos'hai capito? Non vedi che hai messo delle uscite 2 e 3?! Si possono usare solo 0 e 1! Geny:- I numeri che ho scritto si riferiscono al numero di ingressi a 1 tra a, b e c per i quali l'uscita è a 1. Il circuito inizia con un AND a tre ingressi, la cui uscita è abc , che vale 1 se e solo se tutti e tre gli ingressi valgono 1 e quindi se e solo se tutti e tre i valori di a, b, e c sono 1. Per questo motivo ho scritto 3 sull'uscita. C'è poi un OR in serie a tre AND, la cui uscita è ab bc ac+ + , che vale 1 se e solo se almeno due dei tre ingressi del circuito sono a 1. Dunque l'uscita vale 1 se e solo se due o tre degli ingressi sono a 1. Questo è il significato della scritta 23 sull'uscita. Sempre nel primo blocco di porte, c'è un OR con tre ingressi, la cui uscita è a 1 se almeno uno dei tre ingressi del circuito vale 1. In questo caso ho allora scritto 123, per indicare che l'uscita è a 1 se uno, due o tre degli ingressi del circuito sono a 1. Rozzy:- Ok, adesso ti seguo... Geny:- In serie all'OR con uscita 23 c'è un NOT, la cui uscita è quindi 01... Normy:- Questa non l'ho proprio capita!



Geny:- L'ingresso del NOT è a 1 se e solo se due o tre degli ingressi del circuito sono a 1. Ne segue che l'ingresso del NOT è a 0 se e solo se nessuno o uno solo dei tre ingressi del circuito è a 1. Ma questa è appunto la condizione affinché sia a 1 l'uscita del NOT. Normy:- Ho capito! E ho capito anche perché la porta AND tra l'uscita dell'OR indicata con 123 e quella del NOT è contrassegnata con 1! L'uscita dell'AND vale 1 se e solo se valgono 1 entrambi gli ingressi e l'unico caso in cui l'uscita dell'OR 123 e quella del NOT 01 sono entrambe a 1 è quello in cui esattamente uno degli ingressi è a 1! Geny:- Adesso dovrebbe essere chiaro come, usando tutte queste porte, ho realizzato il circuito 012 e quindi il circuito richiesto. In tutto ho usato solo due NOT, ma anche 16 porte AND e 6 porte OR. Apotema:- Chiarissimo! Una soluzione davvero elegantissima! Sekky:- E adesso, professore? Abbiamo terminato questa parte sul linguaggio degli insiemi e dei predicati? Apotema:- Ancora alcune cosette, strettamente legate tra loro: un po' di calcolo combinatorio, l'algebra degli eventi e la funzione probabilità. Sono argomenti che riprenderemo più in dettaglio in seguito. Normy:- Abbiamo già visto questi argomenti al biennio! Apotema:- Meglio! Ora li rivediamo usando il linguaggio degli insiemi e dei predicati. Un po' di ripasso non fa mai male. Cominciamo con un po' di calcolo combinatorio, visto come il calcolo della cardinalità di insiemi finiti che si ottengono a partire da certi altri di cardinalità nota. Normy:- E che cos'è la cardinalità? Apotema:- Nel caso di un insieme finito è il numero dei suoi oggetti. Indichiamo la cardinalità dell'insieme finito A con A# . In seguito considereremo solo insiemi finiti e non starò a ripeterlo ogni volta. Ditemi allora qual è la cardinalità del vuoto. Ovvy:- È zero! Apotema:- Esattamente. Scriveremo dunque che 0#∅ = . E che cosa mi dite della cardinalità dell'unione di due insiemi? Fuory:- Che è la somma delle cardinalità! Svelty:- Solo se sono disgiunti! Fuory:- In che senso? Apotema:- Consideriamo ancora una volta un universo U di


persone e i sottoinsiemi A e B formati rispettivamente dalle persone che palano inglese e da quelle che parlano francese. In questo caso A B# ∪ è il numero delle persone che parlano almeno una delle due lingue. Secondo te, Fuory, questo numero si ottiene sommando il numero A# delle persone che parlano inglese col numero B# delle persone che parlano francese? Fuory:- Perché no? Rozzy:- Bravo furbo! Così conti due volte quelli che parlano tutte e due le lingue! Fuory:- Già... Apotema:- Tra 20 persone ce ne sono 15 che parlano inglese e 10 che parlano francese. Quante sono quelle che parlano almeno una delle due lingue? Svelty:- Non possiamo saperlo! Ci serve sapere quante sono quelle che le parlano tutte e due! Apotema:- Capito? Niente di meglio di un disegno...

Apotema:- Se conto il numero di oggetti di A e aggiungo il numero di oggetti di B, allora conto due volte gli oggetti di A B∩ ! Svelty:- Se U è il tagliere e A e B le fette di salame, con lo stuzzicadente foro uno spessore doppio dove le fette si sovrappongono! Apotema:- Vale allora la formula

A B A B A B# ∪ = # + # − # ∩ .

A parole: la cardinalità dell'unione di due insiemi è la somma delle cardinalità dei due insiemi diminuita della cardinalità della loro intersezione. Nel caso poi in cui i due insiemi siano disgiunti e sia quindi A B∩ = ∅ , allora vale l'uguaglianza

A B A B# ∪ = # + # .


La maestra quando vi insegna a fare la somma di due numeri parte da due insiemi disgiunti di mele! Fuory:- E come fanno due insiemi di mele a intersecarsi? Apotema:- Fuory, stiamo parlando di insiemi da due mesi e fai di queste domande? In un cesto di mele posso averne di varietà diverse e considerare l'insieme A delle mele golden e l'insieme B delle mele mature e i due insiemi possono certamente avere intersezione non vuota! Fuory:- Ok, prof! Apotema:- Il fatto che la cardinalità dell'unione di due insiemi disgiunti sia la somma delle cardinalità dei due insiemi stabilisce la più elementare, ma importantissima, regola di conteggio. La chiameremo brevemente la regola della somma. Un caso speciale particolarmente importante è quello in cui i due insiemi in questione sono tra loro complementari. Poiché un insieme e il suo complemento sono disgiunti e la loro unione dà l'universo, avremo che

A A′# = # + #U , da cui

A A′# = # − #U .

A parole: la cardinalità del complemento di un insieme è la differenza tra la cardinalità dell'universo e quella dell'insieme. Ancora una volta una cosa del tutto ovvia! Per contare quanti sono i presenti posso fare il numero di studenti della classe meno il numero di assenti! Asy:- Che scoperta! Apotema:- La seconda regola fondamentale per la determinazione della cardinalità di un insieme è la stessa usata per determinare la cardinalità del prodotto cartesiano di due insiemi e la chiameremo la regola del prodotto. Ricordate qual è la cardinalità del prodotto cartesiano di due insiemi? Svelty:- Il prodotto delle cardinalità! Sekky:- Era proprio il motivo per cui l'operazione si chiama prodotto. Vero, professore? Apotema:- Proprio così. Vale la semplice formula

A B A B# × = # × # .

Dubby:- Non ci ha detto qual è la regola del prodotto! Apotema:- Il numero di tutte le possibili coppie ordinate di oggetti che si ottengono prendendo il primo oggetto in un


insieme e il secondo in un altro insieme è dato dal prodotto delle cardinalità dei due insiemi. Sia la regola della somma che quella del prodotto si possono poi estendere al caso di un numero arbitrario di insiemi. Se consideriamo n insiemi 1A , 2A , ... ,

nA , a due a due disgiunti, allora la cardinalità della loro unione è la somma delle cardinalità degli insiemi. Possiamo scrivere che

1 2 1 2... ...n nA A A A A A# ∪ ∪ ∪ = # + # + + # ,

o, in forma compatta,

11

n n

i iii

A A==

# = #∑∪ .

Deve essere chiaro a tutti che si tratta di una regola del tutto ovvia! Per contare i giorni dell'anno posso fare la somma dei giorni di ciascun mese. Ancora, per contare quanti alunni ci sono in questo istituto posso fare la somma degli alunni di ogni classe. Questo perché non ci sono giorni comuni a due mesi né studenti che frequentano simultaneamente due classi. Possiamo poi generalizzare la regola del prodotto affermando che la cardinalità del prodotto cartesiano di n insiemi 1A , 2A , ... , nA è data prodotto delle loro cardinalità. La formula è la seguente

1 2 1 2... ...n nA A A A A A# × × × = # × # × × ,

che in forma compatta diventa

1 1

n n

i i

i i

A A= =

# = #∏ ∏ .

Normy:- Può farci un esempio concreto di uso di queste regole? Apotema:- Guarda, Normy, che si tratta di regole che usate da sempre! Le abbiamo solo espresse in modo formale nel linguaggio degli insiemi! Ma ecco un esempio. Quanti sono i numeri di due cifre in cui compare al massimo una sola cifra dispari? Un modo di procedere è quello di dividere questo insieme di numeri in sue parti disgiunte: quelli che hanno la cifra delle decine pari e quelli che l'hanno dispari. Quanti sono i numeri di due cifre che hanno la cifra delle decine pari e in cui compare al massimo una cifra dispari? Ovvy:- Tutti quelli che iniziano con una cifra pari hanno al massimo una sola cifra dispari!


Apotema:- La prima cifra deve essere scelta nell'insieme formato dalle cifre 2, 4, 6, 8, mentre la seconda può essere una cifra qualsiasi. Questi numeri, per la regola del prodotto, sono allora 4 10 40× = . E quanti sono i numeri di due cifre con al più una cifra dispari e che iniziano con una cifra dispari? Svelty:- La prima cifra deve essere pescata tra le 5 cifre dispari, mentre la seconda deve essere pari e deve essere una delle 5 cifre pari, zero compreso. Si tratta quindi di 5 5 25× = numeri! Apotema:- Per la regola della somma, i numeri di due cifre con al più una cifra dispari sono allora 40 25 65+ = . Un altro modo di procedere era quello di sottrarre ai 90 numeri di due cifre i numeri con due cifre dispari. Quanti sono i numeri con due cifre dispari? Gioky:- Venticinque! Normy:- Per la regola del prodotto! Si tratta di tutte le possibili coppie ordinate di cifre in cui sia la prima che la seconda cifra devono appartenere all'insieme delle cifre dispari, che ha 5 elementi! Apotema:- Il numero cercato è allora 90 25 65− = , in accordo con quanto trovato prima. Per casa vi chiedo di trovare una formula per la cardinalità dell'unione di tre insiemi. Vi chiedo inoltre di dirmi quanti sono i numeri da 1 a 10000 che non sono multipli né di due né di tre né di 5. Per oggi basta così!

LEZIONE XXXVIII Apotema:- Siete riusciti a trovare una formula per la cardinalità dell'unione di tre insiemi? Sekky:- Posso venire io, professore, a mostrare come l'ho trovata? Apotema:- Sentiamo Sekky! Sekky:- Sono partito dal fatto che la cardinalità dell'unione di più insiemi a due a due disgiunti è la somma delle cardinalità dei singoli insiemi e così ho espresso A B C∪ ∪ come unione di sette atomi. Ne ho dedotto la formula

A B C A B C A B C A B C′ ′# ∪ ∪ = # ∩ ∩ + # ∩ ∩ + # ∩ ∩ + A B C A B C A B C A B C′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+# ∩ ∩ + # ∩ ∩ + # ∩ ∩ + # ∩ ∩ .

Apotema:- Niente da dire, ma non era questa la formula che mi aspettavo. Non si tratta dell'equivalente della formula che abbiamo scritto per due insiemi. Mi aspettavo che partiste dalla formula

A B C A B C# ∪ ∪ = # + # + # ,

che vale solo per insiemi a due a due disgiunti, effettuando opportune correzioni. Scopry:- Proprio come ho fatto io! Posso venire alla lavagna? Apotema:- Certo! Scopry:- Se considero la somma delle cardinalità dei tre insiemi, finisco col contare alcuni oggetti due volte e altri addirittura tre volte...


E devo ammettere che l'immagine di Svelty con le fette di salame è stata illuminante... Svelty:- Si tratta adesso di fare un intarsio suino! Scopry:- Bravo! Proprio così! Se tolgo il numero di oggetti comuni ad A e a B, e cioè A B# ∩ , ecco che restano ancora oggetti contati due volte...

Per simmetria, sottraggo anche il numero di oggetti di A C∩ ...

e di B C∩ ...


... e arrivo alla situazione in cui ho contato esattamente una volta tutti gli oggetti tranne quelli che stanno nell'intersezione dei tre insiemi, che non sono stati contati affatto.

Mi basta quindi aggiungere il numero di oggetti di A B C∩ ∩ e ottengo così la formula

A B C A B C A B A C B C# ∪ ∪ = # + # + # − # ∩ − # ∩ − # ∩ + A B C+# ∩ ∩ .

Apotema:- Benissimo, Scopry. Si tratta del cosiddetto Principio di inclusione/esclusione per tre insiemi, che già avevamo visto per due insiemi e che può essere esteso a un numero arbitrario di insiemi. Come esercizio di calcolo, vi mostro come questa formula poteva essere dedotta da quella per due insiemi. Svelty:- Bastava considerare un unico insieme l'unione di due dei tre insiemi! Apotema:- Proprio così. Sapevamo già che per due insiemi valeva la formula

X Y X Y X Y# ∪ = # + # − # ∩ .

Potevamo allora dedurne che

( ) ( )A B C A B C A B C A B C# ∪ ∪ = # ∪ ∪ = # + # ∪ − # ∩ ∪ . Ora

B C B C B C# ∪ = # + # − # ∩ , mentre

( ) ( ) ( )A B C A B A C# ∩ ∪ = # ∩ ∪ ∩ = ( ) ( )A B A C A B A C= # ∩ + # ∩ − # ∩ ∩ ∩ =

A B A C A B C= # ∩ + # ∩ − # ∩ ∩ .


Si ottiene allora che

( )A B C A B C B C# ∪ ∪ = # + # + # − # ∩ +

( )A B A C A B C− # ∩ + # ∩ − # ∩ ∩ ,

e quindi la formula trovata da Scopry. Scetty:- Abbiamo praticamente un procedimento ricorsivo. Apotema:- Esatto. Non sto a scrivere la formula generale con n insiemi, ma mi limito a scrivere quella per quattro insiemi. Si tratta di sommare le cardinalità dei quattro insiemi, sottrarre le cardinalità delle intersezioni delle coppie di insiemi, sommare quelle delle terne e, infine, sottrarre la cardinalità dell'intersezione dei quattro insiemi...

A B C D A B C D# ∪ ∪ ∪ = # + # + # + # + A B A C A D B C B D C D−# ∩ − # ∩ − # ∩ − # ∩ − # ∩ − # ∩ + A B C A B D A C D B C D+# ∩ ∩ + # ∩ ∩ + # ∩ ∩ + # ∩ ∩ +

A B C D−# ∩ ∩ ∩ . Hai anche risolto il problema di aritmetica? Scopry:- Sì, prof! Ho indicato con A l'insieme dei multipli di 2, con B l'insieme dei multipli di 3 e con C l'insieme dei multipli di 5 e come universo U ho preso l'insieme dei numeri da 1 a 10000. Mi veniva allora richiesto di determinare la cardinalità dell'insieme dei numeri da 1 a 10000 che non sono multipli né di 2 né di 3 né di 5 e quindi la cardinalità dell'insieme A B C′ ′ ′∩ ∩ . Usando una legge di De Morgan ho scritto che

( )A B C A B C A B C′ ′ ′ ′# ∩ ∩ = # ∪ ∪ = # − # ∪ ∪U .

Mi sono così ridotto a calcolare la cardinalità dell'unione dei tre insiemi. Per poter usare la formula trovata ho dovuto prima calcolare le cardinalità dei vari insiemi coinvolti.

• A è l'insieme dei multipli di 2 da 1 a 10000 e quindi 5000A# = ;

• B è l'insieme dei multipli di 3 e quindi 3333B# = , che è la parte intera di 10000/3;

• C è l'insieme dei multipli di 5, per cui 2000C# = ; • A B∩ è l'insieme dei multipli sia di 2 che di 3 e quindi

dei multipli di 6 e 1666A B# ∩ = ; • A C∩ è l'insieme dei multipli di 10 e 1000A C# ∩ = ; • B C∩ è l'insieme dei multipli di 15 e 666B C# ∩ = ;


• infine, A B C∩ ∩ è l'insieme dei multipli di 30 e 333A B C# ∩ ∩ = .

Ne segue che

A B C# ∪ ∪ = 5000 3333 2000 1666 1000 666 333 7334= + + − − − + = .

In conclusione 10000 7334 2666A B C′ ′ ′# ∩ ∩ = − = .

Apotema:- Bel colpo, Scopry! Passiamo ora al calcolo della cardinalità di altri insiemi notevoli. Cominciamo dall'insieme delle funzioni da A in B. Quante sono le funzioni da A in B? Immaginiamo di ordinare gli elementi di A: 1a , 2a , ... ,

ka , dove

k è la cardinalità di A. Se n è la cardinalità di B, allora per 1( )f a

ci sono n possibilità e così per 2( )f a fino a ( )kf a . Le funzioni da

A in B sono allora tante quanti gli elementi di kB e quindi kn . Dunque, la cardinalità dell'insieme delle funzioni da A in B è data da AB## . Per questo motivo, conviene indicare l'insieme delle funzioni da A in B con AB . In questo modo vale la formula suggestiva

A AB B## = # .

Nel calcolo combinatorio le funzioni da un insieme di k oggetti in uno di n oggetti sono chiamate disposizioni con ripetizione di n

oggetti di classe k e il loro numero si indica con ,n kD′ . Dunque

,k

n kD n′ = .

L'origine del nome è la seguente. Immaginiamo che A sia l'insieme dei primi k numeri naturali e che B sia un insieme qualsiasi di n oggetti. Allora ogni funzione :f A B→ può essere scritta nella forma

1 2 ...

(1) (2) ... ( )

k

f f f k

,

dove (1)f , (2)f , ... , ( )f k sono k oggetti di B non necessariamente distinti e corrisponde quindi a un diverso modo di disporre in ordine k oggetti di B eventualmente ripetuti. Due diverse funzioni corrispondono dunque a due raggruppamenti ordinati di k oggetti, eventualmente ripetuti, che differiscono per


almeno un oggetto o per l'ordine con cui gli oggetti si succedono. Sekky:- Mi sembra che l'anno scorso avessimo fatto le disposizioni semplici di n oggetti di classe k... Apotema:- Fra poco le rivedremo. Prima voglio riprendere un risultato che avevamo già ottenuto alcune lezioni fa. Se ricordate, avevamo ricavato che il numero di sottoinsiemi di un insieme di k oggetti è 2k e avevamo indicato l'insieme delle parti di A con 2A . Oggi possiamo riscrivere questo risultato nella forma

2 2A A## = .

Si tratta di un caso particolare del risultato precedente. Infatti, preso un qualsiasi insieme B di due elementi, per esempio 0,1 , possiamo associare a ogni sottoinsieme di A una

funzione da A in B e viceversa. Svelty:- La funzione che di ogni elemento di A ci dice se lo prendiamo o no! Apotema:- Esatto. Ogni funzione individua un unico sottoinsieme di A, e cioè, per esempio, l'insieme degli elementi di A in cui la funzione vale 1. Viceversa, un sottoinsieme di A individua l'unica funzione da A in B che vale 1 esattamente nei suoi elementi. Ecco allora che i sottoinsiemi di A sono tanti quante le funzioni da A in 0,1 e quindi il loro numero è dato

da

0,1 0,1 2A A A# ## = # = .

Vi chiedo ora quante sono le funzioni iniettive da A in B, sempre nell'ipotesi che sia A k# = e B n# = . Sekky:- Questa volta quello che cambia è il numero di possibilità per le immagini dei vari elementi di A! Apotema:- Se immaginiamo di nuovo di avere ordinato gli elementi di A, quante possibilità ci sono per 1( )f a ? Sekky:- Sono ancora n ma, questa volta, per 2( )f a abbiamo solo 1n − possibilità, perché oggetti distinti di A devono avere immagini distinte! Apotema:- Esattamente. Ricaviamo così che ci sono 2n − possibilità per 2( )f a ...


Scetty:- Un momento! Questa volta deve essere k n≤ , altrimenti non è possibile che la funzione sia iniettiva! Svelty:- Il numero di pulsanti non può superare il numero di lampadine! Apotema:- Giustissimo. Il numero di funzioni iniettive da A a B è dato allora da

( 1)( 2)...n n n− − Qual è l'ultimo fattore? Fuory:- È n k− ... direi... Rozzy:- Sbagliato! Per l'immagine del primo oggetto 0n n= − possibilità, per quella del secondo 1n − possibilità... Fuory:- Ok! ok! L'ultimo fattore è ( 1)n k− − , che fa poi

1n k− + ... Apotema:- Il numero di funzioni iniettive da A in B, con A k# = ,

B n# = e k n≤ , è dato allora da

( 1)( 2) ... ( 1)n n n n k− − − + .

Nel caso in cui sia A B n# = # = le funzioni sono necessariamente anche suriettive e quindi biunivoche e l'ultimo fattore è 1. Ne segue che il numero di funzioni biunivoche tra due insiemi di cardinalità n è dato dal prodotto dei primi n

numeri naturali... Sekky:- Il fattoriale! Apotema:- Esattamente. Si tratta, come ci ricorda Sekky, del fattoriale del numero n, che si indica con !n e dove il punto esclamativo viene dallo stupore per quanto cresce rapidamente il fattoriale al crescere del numero. Per esempio... (Apotema estrae la calcolatrice) ... abbiamo che 20! 2 432902008176 640000= ...che fa più di due miliardi di miliardi! Rozzy:- Che roba! Apotema:- Nel calcolo combinatorio le funzioni iniettive da un insieme di k elementi in uno di n elementi si chiamano disposizioni semplici di n oggetti di classe k. Questa volta, scegliendo ancora come insieme A l'insieme dei primi k numeri naturali, ogni funzione corrisponde a disporre k oggetti di B in successione, ma, a differenza di prima, gli oggetti di B non possono essere ripetuti. Due diverse funzioni iniettive corrispondono dunque a due modi di disporre k oggetti distinti di


B che differiscono per almeno un oggetto o per l'ordine con cui si succedono gli oggetti. Il numero di disposizioni semplici di n

oggetti di classe k si indica con ,n kD , per cui

, ( 1)( 2) ... ( 1)n kD n n n n k= − − − + .

Se moltiplichiamo e dividiamo per il prodotto dei numeri che mancano per arrivare a 1, e cioè per il prodotto

( ) ( 1) ...3 2 1 ( )!n k n k n k− − − ⋅ ⋅ = − ,

possiamo allora riscrivere la formula precedente nella forma

,

!( )!n k

nD

n k=

−.

Normy:- Forse non ho capito... Apotema:- Il prodotto 7 6 5⋅ ⋅ lo posso riscrivere come

7 6 5 4 3 2 1 7!7 6 5

4 3 2 1 4!⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ = =⋅ ⋅ ⋅

.

Quello che ho fatto è stato moltiplicare e dividere per 4!. Normy:- Adesso ho capito! Apotema:- Le funzioni biunivoche tra due insiemi di n elementi sono chiamate, nel calcolo combinatorio, permutazioni semplici

di n oggetti. Il loro numero si indica con nP e vale quindi

l'uguaglianza !nP n=

Le permutazioni di n oggetti rappresentano quindi i modi di riordinare n oggetti distinti. Per esempio i 5 di voi che sono in prima fila si possono scambiare di posto in 5! 120= modi diversi. Un calcolo per casa. In classe siete in 22, seduti ai vostri 22 posti. In quanti modi diversi potete scambiarvi di posto? Se effettuaste un cambio ogni secondo, quanto tempo impieghereste a fare tutti i cambi possibili? Ancora due

problemi. Indichiamo con A

k

l'insieme dei sottoinsiemi di A di

cardinalità k. Quanto vale A

k

#

? In altre parole: quanti sono i

sottoinsiemi di k oggetti di un insieme di n oggetti? Infine, quante sono le funzioni suriettive di un insieme A di n elementi


in un insieme B di 2 elementi? E in un insieme B di 3 elementi? Bronty:- Troppa roba! Apotema:- Ok, Bronty, cominciamo ad affrontare alcuni di questi problemi qui in classe. Cominciamo dal primo: in quanti modi diversi potete disporvi nei vostri 22 banchi? Sekky:- Possiamo pensare a ogni modo di disporci come a una funzione che associa a ogni banco un alunno. Svelty:- Io me l'immagino invece come una funzione che associa a ogni alunno un banco! Sekky:- Non è forse la stessa cosa? Si tratta semplicemente della funzione inversa! Svelty:- Solo perché i banchi sono 22 come noi studenti! Se i banchi fossero di più, la mia interpretazione continuerebbe a valere, mentre la tua no: ogni alunno si siede su un banco, ma non è detto che ogni banco sia occupato! Sekky:- Ok, ma in questo caso è la stessa cosa: si tratta delle permutazioni di n oggetti, che è proprio il numero di funzioni biunivoche tra due insiemi di n oggetti... Furby:- Sono 22 fattoriale! Svelty:- Che fa... 1124 000727777 607 680000 , cioè più di mille miliardi di miliardi! Apotema:- E quindi, se foste così svelti da cambiare disposizione ogni secondo, quanto tempo impieghereste per realizzare tutte le possibili permutazioni? Svelty:- Per determinare il numero di anni divido prima per 60 e ottengo i minuti... poi per 60 ancora e ottengo le ore... per 24 i giorni... per 365.25 gli anni... Più di 35 mila miliardi di anni! Oltre 2500 volte l'età dell'universo! Normy:- Incredibile! Apotema:- Capita spesso nei problemi combinatori di ottenere numeri del genere... Ma passiamo all'ultimo problema. Quante sono le funzioni suriettive da un insieme di n oggetti a uno di due oggetti? Scetty:- Deve essere 2n ≥ ... Apotema:- Certamente. Svelty:- Questa volta il numero di pulsanti non può essere inferiore al numero di lampadine! Apotema:- Allora? Nessuno sa rispondere? Fuory:- Se indico gli oggetti di A con 1a , 2a , ... , na , allora per


1( )f a ci sono due possibilità, mentre per 2( )f a ... Beh, anche per

2( )f a ci sono due possibilità! Scetty:- Dipende. Se 2n = , allora 2( )f a può solo essere l'oggetto di B diverso da 1( )f a !

Svelty:- Dico che sono 2 2n − ! Apotema:- Esatto! Come hai ragionato? Svelty:- Tutte le funzioni da A in B sono 2n e quelle non suriettive sono soltanto due! Se chiamo 1b e 2b gli oggetti di B, allora la sole funzioni da A in B non suriettive sono la funzione che vale sempre 1b e quella che vale sempre 2b ! Apotema:- Ottimo, Svelty. E qual è invece il numero di funzioni suriettive da un insieme di n elementi in uno di tre elementi? Scetty:- Con 3n ≥ ! Apotema:- Con 3n ≥ . Fuory:- Sono 3 3n − , perché tra tutte le 3n funzioni ce ne sono tre non suriettive! Svelty:- Molte di più! Sono 3 2n⋅ ! Fuory:- E perché mai? Svelty:- Quelle che non accendono la lampadina 1b sono tante

quante le funzioni da A in 2 3,b b e cioè 2n . E altrettante sono

quelle che non accendono 2b e quelle che non accendono 3b ! Fuory:- Accipicchia! Hai ragione! Geny:- Così però hai contato due volte le funzioni che accendono una sola lampadina, che sono tre! Per esempio, hai contato la funzione che vale sempre 1b sia tra le funzioni che non accendono 2b sia tra quelle che non accendono 3b e il

risultato giusto per il numero di funzioni non suriettive è allora 3 2 3n⋅ − . Svelty:- Allora ci sono in tutto 3 3 2 3n n− ⋅ + funzioni suriettive da un insieme A di n elementi a uno B di tre elementi! Geny:- Di fatto, abbiamo usato il principio di inclusione esclusione... Apotema:- Proprio così. Per casa vi consiglio però di affrontare i problemi nell'ordine in cui ve li ho proposti. Bronty:- Che argomento impestato!

LEZIONE XXXIX Normy:- Prof, erano davvero troppo difficili i problemi che ci ha dato per casa! Credo li abbia fatti solo Geny... Apotema:- Nessun altro? Sekky:- Il primo, quello del numero di sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi, sono riuscito a farlo anch'io, professore! Si trattava delle combinazioni semplici! Apotema:- Vero, Sekky, ma volevo una soluzione che facesse uso del linguaggio degli insiemi... Svelty:- Io ho risolto anche quello delle funzioni suriettive, ma solo con una formula ricorsiva... Apotema:- Credo ce ne sia abbastanza per una lezione intera! Vediamo allora come Geny ha impostato il problema del numero di sottoinsiemi di cardinalità k di un insieme di cardinalità n. Geny:- Se A è un insieme di n elementi, per un fissato k n≤ ho considerato le funzioni iniettive dall'insieme 1,2,3,...,k in A.

Ciascuna di tali funzioni individua un sottoinsieme di A di k elementi: la sua immagine. Non vale però il viceversa, perché ci sono diverse funzioni che hanno la stessa immagine. In particolare, fissato un sottoinsieme B di A di k elementi, allora le funzioni iniettive da 1,2,3,...,k in A aventi per immagine B

sono tante quante le funzioni biunivoche da 1,2,3,...,k in B, e

cioè !k . Poiché abbiamo visto che le funzioni iniettive da un

insieme di k elementi in uno di n elementi sono !

( )!n

n k−, ne

segue che i sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi sono

!!( )!

n

k n k−.

Apotema:- Esattamente. Nel calcolo combinatorio classico si indica questo numero con ,n kC e si parla di combinazioni

semplici di n oggetti di classe k, intendendo con ciò il numero di modi di scegliere k oggetti tra n oggetti senza tenere conto dell'ordine con cui gli oggetti vengono elencati. Proprio come


per l'elenco degli elementi di un insieme. Abbiamo indicato

l'insieme dei sottoinsiemi di A aventi k oggetti con A

k

e

conveniamo di indicare il numero !

!( )!n

k n k− con

n

k

. Vale

allora la relazione A A

k k

# # =

.

Scetty:- Stavo pensando che un insieme di n oggetti ha un solo sottoinsieme di 0 oggetti e un solo sottoinsieme di n oggetti, che sono rispettivamente il vuoto e l'insieme stesso. Dovrei perciò ottenere che

10

n n

n

= =

,

mentre dalla formula di Geny ottengo le due espressioni senza significato:

!0 0! !

n n

n

=

e

!!0!

n n

n n

=

.

Geny:- Vero... Ma basta convenire che il fattoriale di zero è uno! Come nel caso dell'elevamento a potenza... Apotema:- Proprio così! Mi era sfuggito. In questo modo le formule funzionano sempre. Vi faccio notare, infatti, che il problema si poneva anche nel caso della formula per il numero di funzioni iniettive! E, ormai che Geny è alla lavagna, gli chiedo qual è il risultato di queste espressioni, una che riguarda degli insiemi e una che riguarda dei numeri:

...0 1 2

A A A A

n

∪ ∪ ∪ ∪

,

...0 1 2

n n n n

n

+ + + +

,

dove n A= # . Geny:- Beh, se unisco i sottoinsiemi di A con un qualsiasi numero di oggetti da 0 a n, allora ottengo semplicemente tutti i


possibili sottoinsiemi di A! Apotema:- E come scriveresti questa uguaglianza, usando la grande unione? Geny:- Scrivo che

0

2n

A

k

A

k=

=

∪ .

Passando alle cardinalità, ottengo poi il risultato dell'espressione successiva. Infatti, trattandosi di insiemi a due a due disgiunti, posso scrivere che

0 00

n n n

k kk

A A A

k k k= ==

# # = # =

∑ ∑∪

e quindi che

0

2n

n

k

n

k=

=

∑ .

Il significato è molto semplice: i sottoinsiemi di un insieme di n

elementi sono in tutto 2n e questo numero è quindi la somma del numero di sottoinsiemi di 0, 1, 2, ... , n elementi! Apotema:- Vediamo ora una semplice ma importante relazione, che spero vi accorgerete di avere già visto al biennio. Anche se probabilmente avevate imparato ad usarla senza enunciarla esplicitamente. Vedete adesso di seguire questo semplice ragionamento. Dato il solito insieme A di n oggetti, possiamo immaginare di scegliere un suo oggetto, che chiameremo "il più bello". Fissato un valore di k strettamente compreso tra 0 e n, possiamo suddividere i sottoinsiemi di A di k elementi in due parti: quelli che contengono l'oggetto più bello e quelli che non lo contengono. Trattandosi di due parti disgiunte, potremo allora scrivere che il numero di sottoinsiemi di A di k elementi è dato dalla somma del numero di sottoinsiemi di k elementi che contengono l'oggetto più bello col numero di sottoinsiemi di k elementi di A che non contengono l'oggetto più bello. Se b è l'oggetto più bello di A, indichiamo con 1A l'insieme A diminuito

di b. Poniamo cioè 1A A b= − . Come scriveresti la relazione

che ho appena enunciato a parole? Geny:- Il numero di sottoinsiemi di A di k elementi che non contengono b è semplicemente l'insieme dei sottoinsiemi di 1A


di k elementi, e quindi l'insieme 1A

k

. L'insieme dei sottoinsiemi

di A di k elementi che contengono b... Certo! Ogni sottoinsieme di k elementi di A che contiene b diventa un sottoinsieme di

1k − elementi di 1A non appena gli togliamo b! Ma i sottoinsiemi di A di k elementi che contengono b sono tanti quanti i sottoinsiemi di 1k − elementi di 1A ! Posso allora scrivere che

1 1

1

A AA

k k k

# = # + #

− .

Apotema:- E quindi, in termini di n? Geny:- Poiché 1 1A n# = − , possiamo scrivere che

1 1

1

n n n

k k k

− − = +

− .

Apotema:- Si tratta della formula di Stiefel. Unitamente alle relazioni

10

n n

n

= =

,

ci consente di ricavare ricorsivamente il numero di sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi. A questo scopo conviene considerare il seguente triangolo di numeri...

0

0

1 1

0 1

2 2 2

0 1 2

3 3 3 3

0 1 2 3

...


I numeri iniziali e finali di ogni riga valgono 1, mentre per quelli intermedi la formula di Stiefel ci dice che ogni numero è la somma dei due adiacenti della riga precedente:

1 1... ...

1

... ...

n n

k k

n

k

− −

−

Possiamo così calcolare rapidamente i numeri del triangolo... 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1

...

Normy:- Il triangolo di Tartaglia!! Sekky:- Il triangolo che si usa per determinare i coefficienti dello sviluppo della potenza di un binomio!

Apotema:- Proprio così. Infatti, i numeri n

k

sono chiamati

coefficienti binomiali. Scopry:- E come mai a un certo punto si ripetono all'indietro? Apotema:- Se ci pensate è molto semplice... Geny:- Ogni sottoinsieme di k elementi ne determina uno di n k− elementi e viceversa: quello formato dagli elementi rimanenti! Normy:- Non capisco cosa c'entri con la simmetria del triangolo... Apotema:- Per esempio, riferendomi all'ultima riga scritta alla lavagna, abbiamo che per un insieme di 7 elementi... Gioky:- L'insieme dei nani! Apotema:- ... non solo vale l'uguaglianza


7 7

0 7

=

,

cioè c'è un solo sottoinsieme sia di zero elementi che di sette elementi, ma valgono anche le uguaglianze

7 7

1 6

=

,

7 7

2 5

=

,

7 7

3 4

=

.

Infatti, individuare un sottoinsieme equivale ad individuare il suo complementare. Ne segue che, per un insieme di 7 elementi, i sottoinsiemi di un solo elemento sono tanti quanti quelli di 6 elementi, quelli di 2 tanti quanti quelli di 5 e quelli di 3 tanti quanti quelli di 4. Più in generale, vale la formula

A A

k A k

# = #

# − o

n n

k n k

=

− .

Svelty:- C'era in ballo la formula per il numero di funzioni suriettive! Geny:- Dovevamo determinare la cardinalità dell'insieme delle funzioni suriettive da un insieme A di n elementi in un insieme B di k elementi, con k n≤ . Io ho usato il principio di inclusione-esclusione. Se chiamiamo pulsanti gli elementi di A e lampadine quelli di B, si tratta allora di contare il numero di funzioni da A in B per le quali ogni lampadina è accesa da almeno un pulsante. Ho cominciato col contare il numero di funzioni che non sono suriettive, cioè delle funzioni per le quali succede che almeno una lampadina non sia accesa da nessun pulsante. Numerando le lampadine da 1 a k, ho poi considerato gli insiemi 1L , 2L , ... ,

kL formati rispettivamente dalle funzioni da A in B per le quali nessun pulsante accende la lampadina 1, nessun pulsante accende la lampadina 2, ... , nessun pulsante accende la lampadina n. L'insieme delle funzioni non suriettive è allora l'unione degli insiemi 1L , 2L , ... , kL . Per calcolare la cardinalità

di 1 2 ... kL L L∪ ∪ ∪ il principio di inclusione/esclusione ci dice che dobbiamo fare la somma delle cardinalità di ciascun insieme, dalla quale sottrarre le cardinalità dell'intersezione di ciascuna coppia di insiemi, poi sommare la cardinalità dell'intersezione di ciascuna terna di insiemi, e così via.


Apotema:- Per chiarezza, comincia con i casi con 1,2,3,4k = , anche se alcuni li avevamo già visti. Geny:- Nel caso 1k = vi è un'unica funzione da A in B e si tratta di una funzione suriettiva. Per 2k = , l'insieme 1L delle funzioni che non accendono la prima lampadina è costituito da una sola funzione: quella in cui tutti i pulsanti accendono la seconda lampadina. Analogamente, c'è una sola funzione nell'insieme 2L delle funzioni che non accendono la seconda lampadina. L'insieme 1 2L L∩ è invece vuoto, perché almeno una lampadina deve venire accesa, e così abbiamo che per l'insieme delle funzioni che non accendono almeno una lampadina, e cioè per l'insieme 1 2L L∪ delle funzioni non suriettive, vale la relazione

1 2 1 2 1 1 2L L L L# ∪ = # + # = + = .

Poichè le funzioni da A in B sono in tutto 2n , avremo che il numero di funzioni suriettive è

2 2n − ,

come avevamo facilmente calcolato la volta scorsa. Nel caso in cui sia 3k = , il numero di funzioni non suriettive, usando il principio di inclusione/esclusione, è dato da

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3L L L L L L L L L L L L# ∪ ∪ = # + # + # − # ∩ − # ∩ − # ∩ ,

dove ho omesso il termine 1 2 3,L L L# ∩ ∩ che vale zero.

Abbiamo che l'insieme delle funzioni che non accendono la prima lampadina coincide con l'insieme delle funzioni che vanno da A all'insieme delle altre due lampadine, che contiene 2n funzioni. Stessa cosa per 2L e per 3L , per cui abbiamo che

1 2 3 2nL L L# = # = # = .

L'insieme 1 2L L∩ è quello delle funzioni che non accendono né la prima né la seconda lampadina e quindi è l'insieme formato dall'unica funzione che ha per immagine la terza lampadina. Dunque,

1 2 1L L# ∩ =

e, per simmetria, avremo che

1 2 1 3 2 3 1L L L L L L# ∩ = # ∩ = # ∩ = .


Per 3k = il numero di funzioni non suriettive è dunque dato da

1 2 3 3 2 3nL L L# ∪ ∪ = ⋅ − .

Poiché il numero di funzioni da A in B è 3n , ne segue che il numero di funzioni suriettive è

3 3 2 3n n− ⋅ + .

E adesso passo al caso 4k = , cioè al calcolo del numero di funzioni suriettive da un insieme di n elementi a uno di 4 elementi, con 4n ≥ . Le funzioni che non accendono la lampadina 1 sono le funzioni che hanno come immagine l'insieme delle rimanenti lampadine, e quindi le funzioni che vanno da un insieme di n elementi in uno di 3 elementi. Ne segue che

1 2 3 4 3nL L L L# = # = # = # = .

Le funzioni che non accendono né la lampadina 1 né la 2 sono le funzioni che hanno come immagine le 2 lampadine rimanenti. Questa volta avremo quindi che

1 2 2nL L# ∩ =

e lo stesso vale per la cardinalità dell'intersezione di ogni altra coppia di insiemi. Le coppie sono tante quanti i sottoinsiemi di 2 elementi di un insieme di 4 elementi, e quindi

4 4! 4 36

2 2!2! 2

×= = =

. A questo punto restano da contare gli

elementi dell'intersezione di ciascuna terna di insiemi. L'insieme

1 2 3L L L∩ ∩ è l'insieme delle funzioni che non accendono né la

prima né la seconda e nemmeno la terza delle quattro lampadine e quindi l'insieme delle funzioni che accendono la quarta lampadina. Possiamo allora scrivere che

1 2 3 1 1nL L L# ∩ ∩ = = .

Poiché gli insiemi di tre lampadine che si ottengono partendo

dalle 4 lampadine sono 4 4!

43 3!1!

= =

, applicando il principio di

inclusione/esclusione, possiamo scrivere che il numero di funzioni non suriettive è dato da


4 3 6 2 4n n⋅ − ⋅ + .

Se riscriviamo la formula coi coefficienti binomiali e osserviamo

che il coefficiente di 3n può essere riscritto come 4

1

, otteniamo

che il numero di funzioni non suriettive è dato da

4 4 43 2 1

1 2 3n n n

⋅ − ⋅ + ⋅

.

Poiché il numero di funzioni da A in B è 4n , per il numero di funzioni suriettive da un insieme di n elementi in uno di 4 elementi otteniamo la formula

4 4 44 3 2 1

1 2 3n n n n

− ⋅ + ⋅ − ⋅

,

che assume una forma ancora più semplice se la riscriviamo come

4 4 4 44 3 2 1

0 1 2 3n n n n

⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

.

Rozzy:- Che roba! Geny:- Adesso dovrebbe essere chiaro il caso generale... Apotema:- Mostra anche il caso 5k = . Geny:- Quante sono le funzioni non iniettive da A in B, se A ha n elementi e B ne ha 5, con 5n ≥ ? Un qualsiasi insieme

iL ha un numero di elementi pari al numero di funzioni da A nel sottoinsieme di B che si ottiene togliendo la i-ma lampadina. Si tratta quindi di 4n funzioni. Una qualsiasi intersezione i jL L∩ ha

3n elementi, mentre un'intersezione del tipo i j kL L L∩ ∩ ne ha

2n e del tipo i j k mL L L L∩ ∩ ∩ ne ha 1 1n = . Per applicare il

principio di inclusione/esclusione e trovare così la cardinalità dell'insieme 1 2 3 4 5L L L L L∪ ∪ ∪ ∪ delle funzioni non suriettive,

osserviamo poi che ci sono

5

1

insiemi, 5

2

coppie, 5

3

terne e 5

4

quaterne.

per un totale di


5 5 5 54 3 2 1

1 2 3 4n n n n

⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

funzioni non suriettive. Essendoci poi 5n funzioni da A in B, il numero di funzioni suriettive è dato infine da

5 5 5 55 4 3 2 1

1 2 3 4n n n n n

− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

,

che può essere riscritto come

5 5 5 5 55 4 3 2 1

0 1 2 3 4n n n n n

⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

.

Nel caso generale in cui B abbia k elementi, le funzioni che non accendono una lampadina sono esattamente le funzioni che vanno da A all'insieme delle rimanenti 1k − lampadine di B. Ne segue che

( 1)n

iL k# = − .

Per le intersezioni delle coppie di insiemi, abbiamo invece che

( 2)n

i jL L k# ∩ = − ,

per le terne ( 3)n

i j mL L L k# ∩ ∩ = − ,

e così via. Inoltre ci sono

1

k

insiemi, 2

k

coppie, 3

k

terne, ecc.

Per il numero di funzioni non suriettive vale dunque la formula

( 1) ( 2) ( 3) ... ( 1) 11 2 3 1

n n n k nk k k k

k k kk

⋅ − − ⋅ − + ⋅ − − + − ⋅

−

e per il numero di funzioni suriettive ricaviamo infine l'espressione

1( 1) ( 2) ... ( 1) 11 2 1

n n n k nk k k

k k kk

− − ⋅ − + ⋅ − + + − ⋅

− ,

che possiamo riscrivere come


1( 1) ( 2) ... ( 1) 10 1 2 1

n n n k nk k k kk k k

k

− ⋅ − ⋅ − + ⋅ − + + − ⋅

− .

Apotema:- Riscrivila in forma compatta come sommatoria. Geny:- Se faccio variare un indice i da 0 a 1n − , il numero di funzioni suriettive da un insieme di n elementi in uno di k elementi, con n k≥ , è dato da

1

0

( 1) ( )k

i n

i

kk i

i

−

=

− −

∑ .

Bronty:- Mi fido... Rozzy:- Chi l'avrebbe mai detto che le funzioni suriettive ci avrebbero fatto penare così tanto! Apotema:- Se pensate ai sottoinsiemi di A che hanno per immagine uno stesso elemento di B, capite subito come mai nel calcolo combinatorio classico questa espressione rappresenta i diversi modi di ripartire gli oggetti di un insieme di n elementi in k scatole numerate in modo che nessuna sia vuota. Normy:- Possiamo fare una prova? Apotema:- Proviamo il caso di 4 oggetti in 3 scatole, cioè il caso con 4n = e 3k = . Il numero di modi di riempire le 3 scatole coi 4 oggetti è

4 4 43 3 33 2 1 81 3 16 3 84 48 36

0 1 2

⋅ − ⋅ + ⋅ = − ⋅ + = − =

.

Per elencare sistematicamente tutti i modi di riempire le tre scatole osserviamo che una scatola deve contenere due oggetti e due scatole un solo oggetto. Procediamo allora cominciando dal caso il cui i due oggetti siano nella prima scatola, poi nella seconda e, infine, nella terza. Sekky:- Le scatole sarebbero le immagini della funzione suriettiva, vero, professore? Apotema:- Esattamente. Si tratta di compilare 36 righe di una tabella con tre colonne. Svelty:- Io avevo ricavato una formula ricorsiva! Apotema:- Credo che sia troppo tardi ormai e valga invece la pena di ascoltare per bene la tua soluzione la prossima volta. Intanto, Geny, compila pure la tabella. Geny:- Ok, prof! Indico gli oggetti coi numeri 1, 2, 3, 4, no?


Apotema:- Certamente! (Geny compila rapidamente la tabella)

S1 S2 S3 S1 S2 S3

1,2 3 4 3 1,2 4 1,2 4 3 3 1,4 2 1,3 2 4 3 2,4 1 1,3 4 2 4 1,2 3 1,4 2 3 4 1,3 2 1,4 3 2 4 2,3 1 2,3 1 4 1 2 3,4 2,3 4 1 1 3 2,4 2,4 1 3 1 4 2,3 2,4 3 1 2 1 3,4 3,4 1 2 2 3 1,4 3,4 2 1 2 4 1,3 1 2,3 4 3 1 2,4 1 2,4 3 3 2 1,4 1 3,4 2 3 4 1,2 2 1,3 4 4 1 2,3 2 1,4 3 4 2 1,3 2 3,4 1

4 3 1,2 Apotema:- E con questa tabella la lezione è terminata!

LEZIONE XL Svelty:- Dovevo venire io a mostrare la formula ricorsiva per il numero di funzioni suriettive! Apotema:- Non lo avevo dimenticato. Vieni pure, Svelty. Svelty:- Io ho ragionato così... Apotema:- Prima torna a formulare il problema! Svelty:- Dovevamo trovare il numero di funzioni suriettive da un insieme A di n elementi in un insieme B di k elementi, con n k≥ . Ho ragionato in modo ricorsivo. Mi sono chiesto: se avessi un amico che conosce il numero di funzioni suriettive tra due insiemi con un numero di oggetti minore, saprei determinare il numero di quelle da A in B? Ho allora considerato una funzione suriettiva :f A B→ e, supponendo di avere numerato gli elementi di A, ho preso in esame il primo elemento 1a e la

sua immagine 1( )b f a= . I casi che si possono presentare sono due: 1) 1a è l'unico elemento di A ad avere immagine b; 2) esistono altri oggetti di A con immagine b.

Il numero di funzioni suriettive del primo tipo più il numero di quelle del secondo tipo dà, ovviamente, il numero di tutte le funzioni suriettive.

Ho indicato con ( , )s n k il numero di funzioni suriettive da un insieme di n oggetti a uno di k oggetti. Per le funzioni del primo tipo, se tolgo 1a e la sua immagine b, resta una funzione


suriettiva da un insieme di 1n − elementi a uno di 1k − elementi. Il numero di tali funzioni è ( 1, 1)s n k− − e poiché

l'immagine di 1a può essere uno qualsiasi dei k oggetti di B, il numero complessivo delle funzioni suriettive per le quali nessuno degli altri elementi di A ha la stessa immagine di 1a è dato da

( 1, 1)k s n k− − .

Per le funzioni suriettive del secondo tipo, e cioè quelle per le quali esiste almeno un altro oggetto di A che ha la stessa immagine di 1a , se togliamo da A questo elemento, rimane una funzione suriettiva da un insieme di 1n − elementi in uno di k elementi. Ancora una volta, poiché l'immagine di 1a può essere uno qualsiasi dei k oggetti di B, il numero complessivo delle funzioni suriettive del secondo tipo è dato da

( 1, )k s n k− .

Ne segue che

( , ) ( 1, 1) ( 1, )s n k k s n k k s n k= − − + − .

Questa è la formula ricorsiva che ho trovato! Scetty:- E quale sarebbe la base? Svelty:- Calando ogni volta di una unità sia n che k oppure soltanto k, si arriva sempre prima o poi a una espressione del tipo ( , )s n n o ( ,1)s n . Basta allora osservare che

( , ) !s n n n= e ( ,1) 1s n = .

Dubby:- Capisco l'ultima uguaglianza, ma non la prima... Svelty:- Se ho una funzione suriettiva tra due insiemi con entrambi n oggetti, allora la funzione è biunivoca e, come ben sappiamo, le funzioni biunivoche tra due insiemi di n oggetti sono !n . Ma adesso ti faccio vedere come funziona... Supponiamo di voler calcolare (4,3)s , cioè il numero di funzioni suriettive da un insieme di 4 elementi in uno di 3 elementi. Avremo che

(4,3) 3 (3,2) 3 (3,3) 3 (3,2) 3 3! 3 (3,2) 18s s s s s= + = + ⋅ = + ;

(3,2) 2 (2,1) 2 (2,2) 2 1 2 2! 6s s s= + = ⋅ + ⋅ = ;

(4,3) 3 6 18 36s = ⋅ + = .


Normy:- Lo stesso risultato ottenuto con la formula di Geny! Apotema:- Consolante! Gioky:- Proviamo a calcolare (5,3)s con entrambi i metodi! Apotema:- Vieni fuori tu a farlo! Gioky:- Ok, prof! Allora... Comincio con la formula di Geny...

5 5 53 3 3(5,3) 3 2 1

0 1 2s

= ⋅ − ⋅ + ⋅ =

243 3 32 3 246 96 150= − ⋅ + = − = .

E adesso con la formula di Svelty...

(5,3) 3 (4,2) 3 (4,3) 3 (4,2) 3 36 3 (4,2) 108s s s s s= + = + ⋅ = + ,

dove ho usato il risultato trovato da Svelty per (4,3)s . Adesso calcolo

(4,2) 2 (3,1) 2 (3,2) 2 1 2 6 14s s s= + = ⋅ + ⋅ = ,

dove ancora una volta ho fatto uso di un risultato precedente di Svelty. A questo punto ricavo che

(5,3) 3 (4,2) 108 3 14 108 150s s= + = ⋅ + = .

Apotema:- Bene. Adesso andate al posto tutti e due. E dopo avervi mostrato come inquadrare nel linguaggio degli insiemi i primi elementi di calcolo combinatorio, vediamo un ultimo esempio di algebra di Boole: l'algebra degli eventi casuali o aleatori. E cominciamo col considerare il lancio di un dado. Del resto il termine "aleatorio" deriva proprio dal latino alea, cioè gioco dei dadi. Supponiamo quindi che un dado venga lanciato. Prima di averlo lanciato o anche dopo averlo lanciato, se ancora non siamo stati informati del risultato del lancio, possiamo prendere in considerazione diversi eventi il cui verificarsi dipende dal caso. Ovviamente, per risultato del lancio intendiamo il numero che compare sulla faccia rivolta verso l'alto dopo che il dado si è fermato, che è un numero da 1 a 6. Per esempio, possiamo considerare gli eventi: "il risultato è un numero pari" o "il risultato è maggiore di 4". Il primo evento risulta verificato se il risultato del lancio è 2, 4 o 6, mentre il secondo se è 5 o 6. Svelty:- Ho capito! Gli eventi sono dei predicati! Apotema:- Su quale universo? Svelty:- Sull'universo dei possibili risultati del lancio e quindi


sull'insieme dei numeri da 1 a 6. Il primo evento lo posso allora riformulare come "x è pari", e il secondo come " 4x > ". Apotema:- Molto bene. Come già sapete dal biennio, tra gli eventi c'è il cosiddetto evento certo. Sekky:- È un evento che si verifica qualsiasi sia il risultato del lancio, vero professore? Normy:- Per esempio " 6x ≤ ", giusto? Apotema:- Giusto. C'è poi l'evento impossibile... Svelty:- Un predicato che non è verificato da nessun elemento dell'universo! Per esempio, "x è multiplo di 7" ! Apotema:- Di ogni evento esiste l'evento contrario, che si verifica esattamente quando non si verifica l'evento considerato... Gioky:- La negazione del predicato che definisce l'evento iniziale... Ma... Non ci aveva insegnato a distinguere la negazione dal contrario? Apotema:- Qui il termine contrario deriva da un modo di dire preso dal linguaggio comune quando si prende in considerazione un'eventualità. Diciamo infatti che in quell'eventualità succederanno certe cose, mentre in caso contrario... Questo è comunque il termine utilizzato quando si parla di eventi casuali. Possiamo poi considerare l'evento congiunto di due eventi, cioè l'evento che consiste nel verificarsi di entrambi gli eventi. Per esempio, l'evento "x è pari e maggiore di 3" è l'evento congiunto degli eventi "x è pari" e "x è maggiore di 3". Normy:- La congiunzione dei due eventi, pensati come predicati! Svelty:- Stessa cosa per l'evento disgiunto: la disgiunzione dei predicati! Sekky:- Ci sono poi coppie di eventi incompatibili, cioè eventi che non possono verificarsi insieme... Apotema:- E che definizione ne dareste? Sekky:- Due eventi per i quali l'evento congiunto è l'evento impossibile! Svelty:- Due predicati la cui congiunzione è falsificata da tutti gli elementi dell'universo e cioè da tutti i risultati del lancio! Scetty:- Allora non esiste un solo evento certo, ma infiniti! Per esempio, sono eventi certi tutti gli eventi " 7x < ", " 8x < ", " 9x < ", e così via! Stessa cosa per l'evento impossibile o per


qualsiasi altro evento! Apotema:- La critica di Scetty è fondata. Abbiamo già visto che un predicato su un certo universo definisce in modo univoco un insieme: il suo insieme di verità. Esistono invece predicati diversi che definiscono lo stesso insieme, predicati che abbiamo chiamato equivalenti. Normy:- E allora? Cosa si può fare? Svelty:- Possiamo chiamare eventi non i predicati, ma i loro insiemi di verità! Apotema:- Questo è esattamente quello che si fa: si chiamano eventi i sottoinsiemi dell'insieme dei risultati possibili dell'esperimento. Questa scelta è dettata da due diversi motivi. Uno è quello espresso da Scetty, l'altro è che certi eventi sarebbe molto difficile descriverli mediante un predicato. Più in generale, la situazione è la seguente. Si ha a che fare con un esperimento che, in linea di principio, può essere ripetuto un numero indefinito di volte nelle stesse condizioni, come il lancio di un dado o l'estrazione di cinque numeri del lotto. A ogni prova l'esperimento dà un risultato tra un insieme di risultati possibili. L'insieme dei risultati possibili è detto spazio di prova e lo si indica di solito con Ω . Si chiamano quindi eventi i sottoinsiemi dello spazio di prova. L'evento certo è allora Ω stesso, mentre l'evento impossibile è il vuoto. Dati due eventi A e B, l'evento congiunto è A B∩ e l'evento disgiunto è A B∪ . L'evento contrario dell'evento A è poi l'evento A′ . Due eventi A e B si dicono quindi incompatibili se sono disgiunti, cioè se A B∩ = ∅ . Normy:- Allora non si usano i predicati per gli eventi? Apotema:- Certo! Gli eventi sono sottoinsiemi dello spazio di prova Ω e come tali possono essere definiti come l'insieme di verità di un predicato. Abbiamo semplicemente sostituito ai predicati i loro insiemi di verità, ma senza per questo bandire i predicati! Sekky:- Se ho ben capito, allora, l'insieme di tutti i possibili eventi è 2Ω , cioè l'insieme delle parti di Ω . Vero, professore? Apotema:- Nel caso in cui Ω sia finito è così. Se invece Ω è infinito, allora di solito non si considerano tutti i sottoinsiemi di

,Ω ma solo alcuni. Per ora ci limitiamo al caso in cui l'esperimento aleatorio abbia solo un numero finito di risultati possibili, cioè ci limitiamo al caso in cui lo spazio di prova Ω sia


finito. Se 1 2, , ... , nω ω ωΩ = e A ⊆ Ω è un evento, diremo che il

risultato ω ∈ Ω della prova verifica l'evento A se Aω ∈ . Vi faccio notare che se A è definito mediante un predicato, cioè se

| ( )A Pω ω= , allora dire che il risultato ω verifica l'evento A

equivale ad affermare che ω verifica il predicato. Ma ritorniamo al lancio di un dado. Avremo che lo spazio di prova è

1,2,3,4,5,6Ω = .

Consideriamo ora gli eventi:

2,4,6A = , 5,6B = , 4,5,6C = , 1,2,3D = .

Il risultato 4 di un lancio verifica gli eventi A e C, ma non verifica né B né D, poiché 4 A∈ e 4 C∈ , ma 4 B∉ e 4 D∉ . L'evento congiunto di A e C è l'evento 4,6A C∩ = , mentre l'evento

disgiunto di A e B è l'evento 2,4,5,6A B∪ = . Gli eventi B e D

sono incompatibili, perché B D∩ = ∅ . Anche gli eventi C e D sono incompatibili ma, in questo caso, C D∪ = Ω e si dice allora che formano un sistema di casi. In questo sistema i casi sono due: il risultato del lancio è da 1 a 3 oppure da 4 a 6. Più in generale, un insieme di eventi 1 2, , ... , mA A A forma un sistema di casi se si tratta di eventi non vuoti, a due a due disgiunti e la cui unione dà lo spazio di prova. Sekky:- Dunque, un sistema di casi è una partizione di Ω ! Vero, professore? Apotema:- Esatto. Ritornando all'esempio, vediamo poi che D è l'evento contrario di C, cioè che D C′= . Dovrebbe essere ovvio che un evento né certo né impossibile forma sempre un sistema di due casi col suo evento contrario. Vediamo anche che ogni risultato che verifica l'evento B, verifica anche l'evento C. Si dice che l'evento B implica l'evento C. Normy:- Un evento implica un altro evento quando è un suo sottoinsieme! Apotema:- Proprio così. Vediamo un ultimo concetto interessante: quello di evento condizionato. Supponiamo, pur non conoscendo il risultato del lancio, di essere informati del fatto che si tratta di un numero minore di 4. Nel nostro esempio ciò equivale a sapere che si è verificato l'evento D. Ecco allora


che tutti gli altri eventi vengono modificati da questa informazione. Per esempio, l'evento A, che consisteva nell'affermazione che il risultato è pari, si riduce al solo risultato 2, mentre l'evento C risulta ora addirittura impossibile. Scopry:- Di ogni evento dobbiamo conservare solo i risultati compatibili col verificarsi dell'evento D! Svelty:- Ogni evento va sostituito con la sua intersezione con D! Apotema:- Esattamente. In generale, indichiamo l'evento A condizionato dal verificarsi dell'evento B con la scrittura |A B , che leggiamo "A se B". Ma Scopry ha usato un termine molto azzeccato, che fa parte della terminologia specifica dell'algebra degli eventi aleatori. Ha infatti usato il termine compatibili. Due eventi si dicono compatibili se possono verificarsi insieme, cioè congiuntamente. Questo equivale ad affermare che la loro intersezione non è vuota. Sekky:- Non è forse la negazione di incompatibili? Apotema:- Direi proprio di sì! Scetty:- Ma allora l'algebra degli eventi non è altro che l'algebra degli insiemi con l'uso di un linguaggio diverso. Apotema:- Nel caso in cui lo spazio di prova sia finito si tratta effettivamente della stessa algebra. Come già vi avevo accennato prima, nel caso di spazi di prova infiniti di solito non si considerano come eventi tutti i suoi sottoinsiemi, ma soltanto una parte: quelli che risulta interessante studiare per una certa classe di problemi. Sogny:- Prof, può farci un esempio di uno spazio di prova infinito? Apotema:- Certamente. Consideriamo la suddivisione casuale di un segmento unitario in tre parti. Possiamo immaginare di identificare il segmento con l'intervallo numerico [0,1] e di generare due numeri casuali x e y tra 0 e 1 per ottenere i punti in cui effettuare i tagli. I numeri casuali possiamo a loro volta immaginare di ottenerli mediante una "ruota della fortuna", considerando la frazione di angolo formato dalla posizione in cui si è fermata la lancetta a partire da un punto di riferimento dopo che le è stata impressa una rapida rotazione. Ogni prova consiste nel taglio del segmento in tre parti e quindi consiste in una coppia ordinata di numeri: la coordinata del primo taglio e quella del secondo. Lo spazio di prova è dato quindi dalle


coppie ordinate di numeri ( , )x y tra 0 e 1 e quindi avremo che

[ ]2

0,1Ω = . Si tratta, evidentemente, di un insieme infinito, che

possiamo rappresentare nel piano cartesiano come l'insieme dei punti del quadrato Q di vertici (0,0) , (1,0) , (1,1) e (0,1) . Il risultato di ogni prova è un punto del quadrato.

Normy:- Non riesco a immaginare cosa possa essere un evento... Apotema:- Un evento sarà un sottoinsieme di Ω , che potremo quindi visualizzare come un insieme di punti del quadrato Q. Possiamo considerare eventi del tipo di quelli descritti dai predicati "il primo taglio cade a sinistra del secondo", "i due tagli cadono entrambi nella prima metà del segmento" o eventi più complessi come "le tre parti in cui risulta diviso il segmento sono i possibili lati di un triangolo". I primi due eventi si possono definire facilmente nel modo seguente, dove x è la coordinata del primo taglio e y quella del secondo taglio:

( , ) |A x y x y= < , 1 1

( , ) | 0 ,02 2

B x y x y

= ≤ ≤ ≤ ≤

.

Cosa mi sapete dire invece del terzo evento? Quali condizioni devono soddisfare i numeri x e y affinché i tre segmenti ottenuti coi due tagli siano i possibili lati di un triangolo? Sekky:- Il maggiore deve essere minore della somma degli altri due!


Apotema:- Benissimo. Si tratta di riuscire a scriverlo in termini di x e y. Ma preferisco che ci pensiate con calma a casa. Adesso invece visualizziamo gli eventi A e B come sottoinsiemi del quadrato Q. I punti per i quali è y x= sono quelli situati sulla bisettrice del I e III quadrante, e quindi i punti del quadrato che stanno sulla diagonale di estremi i vertici di coordinate (0,0) e (1,1) . I punti per i quali y x> sono quelli situati sopra la diagonale e quindi i punti del triangolo di vertici (0,0) , (1,1) e (0,1) , diagonale esclusa.

L'evento B è fatto invece dai punti di Q che stanno a sinistra

della retta 12

x = e sotto la retta 12

y = .

Scetty:- E quindi quali sono gli eventi che si considerano? Perché non si possono considerare tutti i possibili sottoinsiemi di Ω ? Non vedo il problema... Apotema:- Al biennio avete incontrato gli eventi casuali nel calcolo delle probabilità. Gli eventi interessanti sono allora quelli per i quali vogliamo calcolare la probabilità. Nelle prossime lezioni parleremo anche di questo e capiremo che, nel caso del taglio casuale di un segmento e in altri problemi analoghi, gli eventi interessanti sono quelli rappresentati da sottoinsiemi del quadrato per i quali è possibile calcolare l'area. Non tenteremo di caratterizzare questi insiemi né di specificare meglio cosa si intenda per area di un insieme di punti del piano, perché si tratta


di un problema molto difficile, ma vi basti sapere che non di tutti i sottoinsiemi del quadrato è possibile definire l'area e quindi che non conviene includere tra gli eventi tutti i possibili sottoinsiemi del quadrato. A questo punto vi assegno ancora un paio di esercizi. Considerate i lanci di tre dadi o, che è la stessa cosa, le sequenze di tre lanci di un dado e vedete di individuare lo spazio di prova e l'evento A che consiste nell'ottenere almeno un 6. Considerate poi le estrazioni di due carte da un mazzo di 40 carte e individuate l'evento cha consiste nell'ottenere almeno un re e quindi lo stesso evento, condizionato però dall'evento che consiste nell'ottenere due figure. Normy:- Ma si riferisce a un mazzo di carte coi bastoni, le spade, i denari e le coppe? Apotema:- Certo. E per figure intendo fanti, cavalli e re! Asy:- Se dico a casa che abbiamo parlato di carte da briscola mia madre non mi manda più a scuola... Rozzy:- Allora diglielo! Apotema:- Mi raccomando, pensateci!

LEZIONE XLI Apotema:- Chi ci viene a mostrare come si visualizzava l'evento che consiste nell'ottenere i lati di un triangolo con due tagli casuali di un segmento? Sekky:- Posso venire io, professore? Apotema:- Ecco il gesso. Ma prima ricordaci il problema. Sekky:- Una prova consisteva in due tagli casuali di un segmento unitario. Identificando il segmento con l'intervallo [0,1] , ogni taglio diventava un numero casuale tra 0 e 1 e la coppia di tagli una coppia ordinata ( , )x y di numeri tra 0 e 1. Lo

spazio di prova era allora l'insieme 2[0,1]Ω = , che potevamo identificare con il quadrato Q di vertici (0,0) , (1,0) , (1,1) e (0,1) . Dovevamo quindi rappresentare sul quadrato Q l'evento che consisteva nel fatto che le tre parti in cui il segmento veniva diviso dai due tagli erano i possibili lati di un triangolo. Apotema:- Benissimo. Mostraci il procedimento che hai seguito. Sekky:- Prima di tutto ho considerato separatamente il caso in cui sia 0 1x y< < < e quello in cui sia 0 1y x< < < . Dubby:- E il caso x y= ? Sekky:- Se x y= , non si ottiene di certo un triangolo, perché i segmenti sono solo due! Dubby:- Ok! Sekky:- Se ,x y< allora i tre segmenti ottenuti sono rappresentati dai tre intervalli [0, ]x , [ , ]x y e [ ,1]y e hanno rispettivamente lunghezza x, y x− e 1 .y− Poiché la condizione necessaria e sufficiente affinché i segmenti siano i possibili lati di un triangolo è che ciascuno sia minore della somma degli altri due, la coppia ( , )x y deve essere soluzione del seguente sistema:

0 1

( ) (1 )

(1 )

1 ( )

x y

x y x y

y x x y

y x y x

< < <

< − + −

− < + − − < + −


che diventa

0 1

1

2 2 1

1

x y

x x

y x

y y

< < <

< −

< + − <

0 1

12

12

12

x y

x

y x

y

< < < <

< +

>

.

A questo punto rappresento le regioni di Q individuate da ciascuna disequazione e ne faccio l'intersezione...



Le soluzioni del sistema sono rappresentate dai punti interni al

triangolo di vertici 1

0,2

, 1 1

,2 2

e 1

,12

. Adesso considero il

caso in cui sia 0 1y x< < < ... Apotema:- Ritieni necessario rifare tutto il procedimento di prima? Svelty:- Basta scambiare x con y e quindi si ottiene il triangolo

di vertici 1

,02

, 1 1

,2 2

e 1

1,2

!

Apotema:- Ben detto, Svelty! Sekky:- Infatti avevo ottenuto proprio quel triangolo... La rappresentazione finale dell'evento è quindi questa...

Asy:- Una farfalla! Apotema:- Avete capito tutti il significato di questa figura? Ci torneremo sopra molto presto. E adesso mostraci anche il problema sulle carte. Sekky:- Dovevamo considerare le estrazioni di due carte da un mazzo di 40 carte e individuare l'evento che consiste nell'ottenere almeno un re. Apotema:- Tanto per cominciare, qual è lo spazio di prova? Sekky:- Lo spazio di prova è l'insieme di tutte le possibili estrazioni di due carte... Apotema:- E ciascuna estrazione come la descrivi?


Sekky:- La descrivo...mediante una coppia ordinata di carte, per ciascuna delle quali userò un opportuno simbolo... Scetty:- E perché una coppia ordinata? Se ti chiedo quali sono le due carte che hai estratto, l'ordine non importa. Sekky:- Allora, professore, devo usare un insieme invece di una coppia ordinata? Apotema:- Vi faccio notare che considerare insiemi di due carte o coppie ordinate di carte equivale a considerare spazi di prova diversi. Per esempio, le coppie ordinate di carte sono 40 39 1560× = , mentre gli insiemi di due carte sono la metà. Normy:- E come si fa a sapere qual è la scelta giusta? Apotema:- Dipende da quali eventi ci interessano. Normy:- Che cosa vuol dire? Apotema:- Se, ad esempio, ci interessa considerare l'evento che consiste nell'estrarre prima un re e poi un asso, allora dobbiamo distinguere l'ordine con cui le carte vengono estratte e ricorrere quindi alle coppie ordinate. Se invece ci interessano solo degli eventi che non fanno riferimento all'ordine di estrazione, allora possiamo rappresentare l'estrazione di due carte con un insieme. Sekky:- Per gli eventi che ci ha detto di considerare l'ordine era inessenziale. Posso allora usare insiemi di due carte... Apotema:- Senz'altro. Sekky:- Lo spazio di prova Ω è allora l'insieme di tutti i sottoinsiemi di due carte dell'insieme di 40 carte e l'evento che consiste nel fatto che almeno una delle due carte estratte sia un re è allora l'insieme di tutti i sottoinsiemi di due carte almeno una delle quali è un re... Apotema:- Proviamo a contare gli elementi di Ω e quelli dell'evento considerato. Sekky:- Il numero di oggetti di Ω è il numero di sottoinsiemi di 2 elementi di un insieme di 40 elementi... che se non ricordo male è il coefficiente binomiale

40 40 3920 39 780

2 2 ×

= = × =

.

Gli insiemi di due carte con almeno un re... Posso usare la regola della somma e contare gli insiemi con un solo re e quelli con due re... Allora... Per i primi devo scegliere un re... e ho 4


possibilità... e un non re... e ho 36 possibilità... per un totale di 4 36 144× = insiemi. Adesso devo contare gli insiemi con 2 re... che sono i sottoinsiemi di 2 oggetti di un insieme di 4 oggetti, che è l'insieme dei re, e che sono in tutto

4 4 36

2 2

×= =

.

L'evento è quindi composto da 144 6 150+ = elementi! Svelty:- Io ho contato gli elementi dell'evento contrario, cioè che non venga estratto neanche un re, che è formato dai sottoinsiemi di 2 carte tra le 36 carte che non sono re e che ha dunque un numero di elementi pari a

36 36 3518 35 630

2 2 ×

= = × =

.

Gli insiemi di due carte con almeno un re sono allora 780 630 150− = ! Apotema:- Se non ricordo male vi avevo chiesto anche di considerare lo stesso evento condizionato però da un altro evento. Sekky:- Sì, condizionato dal verificarsi dell'evento che consiste nell'estrazione di due figure. Apotema:- Per chiarezza, indichiamo con A l'evento "viene estratto almeno un re", e con B l'evento "vengono estratte due figure". Da quali insiemi di due carte è formato l'evento A se B? Sekky:- Questa volta sappiamo che sono state estratte due figure e quindi abbiamo solo gli insiemi formati da un re e una figura diversa da un re, oppure da due re. Apotema:- Benissimo. Abbiamo appena visto che A ha cardinalità 150, cioè che 150A# = . Qual è la cardinalità di A se B? In simboli, quanto vale ( | )A B# ? Sekky:- Posso ragionare come Svelty e sottrarre da tutti gli insiemi di due figure quelle con neanche un re. Le figure sono 12, 3 per seme, e quindi gli insiemi di due figure sono

12 12 116 11 66

2 2 ×

= = × =

,

mentre gli insiemi di due figure che non sono re sono


8 8 74 7 28

2 2

×= = × =

.

Allora ( | ) 66 28 38A B# = − = . Apotema:- Era addirittura più facile aggiungere alle 6 estrazioni con due re le 4 8 32× = estrazioni con un re e una figura diversa da un re! Sekky:- C'era anche un altro problema per casa. Apotema:- Ah, sì? Sekky:- Sì, professore. Dovevamo considerare come esperimento aleatorio il lancio di tre dadi, quindi individuare lo spazio di prova Ω e poi l'evento A che consisteva nell'ottenere almeno un sei. Apotema:- E cosa hai pensato? Sekky:- Un lancio di tre dadi è descritto completamente da una terna ordinata di numeri naturali tra 1 e 6 e quindi come spazio di prova possiamo prendere l'insieme

3

1,2,3,4,5,6Ω = .

L'evento "esce almeno un 6" è dato allora da tutte le terne che contengono almeno un 6. E sono molte. Apotema:- Quante? Sekky:- Questa volta credo proprio che convenga considerare l'evento contrario! Gli elementi di Ω , cioè le terne di numeri tra 1 e 6, sono 36 216= , mentre le terne senza nemmeno un sei sono 35 125= . Ne segue che le terne con almeno un sei sono 216 125 91− = . Apotema:- Vai pure al posto, Sekky. E, dopo aver rivisitato l'algebra degli eventi col linguaggio degli insiemi e dei predicati, concludiamo questa prima parte del corso con la funzione probabilità, che pure avete già incontrato nel biennio. Normy:- La probabilità è una funzione? Apotema:- Abbiamo parlato di esperimenti aleatori, cioè di esperimenti che, in linea di principio, è possibile ripetere un numero arbitrario di volte sempre nelle stesse condizioni, e che, a ogni prova, danno un risultato all'interno di un certo insieme di risultati possibili, che abbiamo chiamato spazio di prova. Gli eventi casuali sono dei sottoinsiemi dello spazio di prova che, ad ogni prova, possono verificarsi o meno a seconda che il


risultato della prova rientri o no tra i risultati dell'evento. Nel calcolo delle probabilità si assegna a ogni evento un numero tra 0 e 1. Prenderemo in considerazione solo il caso in cui questo numero ha un significato oggettivo, indipendente dal particolare sperimentatore, ed escluderemo quindi la cosiddetta probabilità soggettiva, dove il numero assegnato fornisce una misura del grado di fiducia di un particolare individuo riguardo al verificarsi dell'evento. In altre parole, prenderemo in considerazione solo quegli esperimenti aleatori caratterizzati dalla stabilità delle frequenze. Normy:- Che cosa si intende per stabilità delle frequenze? Apotema:- Significa che i possibili risultati dell'esperimento, ripetuto un gran numero di volte, sempre nelle stesse condizioni, si presentano secondo percentuali determinate. Normy:- Credo di non avere ancora capito... Apotema:- Se ripetiamo il lancio di una puntina da disegno, sempre nelle stesse condizioni, troveremo che la percentuale di prove in cui la puntina si ferma con la punta verso l'alto tende ad assestarsi. Si tratta di un esperimento aleatorio, perché non è possibile prevedere il risultato di un lancio, ma l'assestarsi della percentuale di lanci con esito punta verso l'alto e di quelli con esito punta verso il basso ci porta a ritenere che esista un numero tra 0 e 1, che non conosciamo esattamente, che descrive qualcosa di oggettivo, che non dipende cioè dal particolare sperimentatore. Nel caso del lancio di un dado omogeneo e di forma cubica molto precisa, il fatto che dopo molti lanci ogni faccia tenda a presentarsi circa un sesto delle volte riflette la simmetria del dado e potevamo senz'altro aspettarcelo. Nel caso della puntina non abbiamo modo di prevedere la percentuale di lanci che terminano con la punta verso l'alto, ma possiamo pensare che il suo stabilizzarsi sia in relazione a una caratteristica oggettiva della puntina nelle condizioni in cui avvengono i lanci, anche se non siamo in grado di comprenderla in dettaglio. Contrariamente al caso del dado omogeneo e di forma cubica precisa, in cui possiamo senz'altro assegnare probabilità 1/ 6 a ciascuna delle sei facce, o al caso di una moneta omogenea, dove possiamo assegnare probabilità 1/ 2 a ciascuna delle due facce, nel caso della puntina non potremo fare altro che assumere come probabilità per punta verso l'alto e per punta verso il basso le percentuali ottenute con


un gran numero di lanci. L'assegnazione del valore di probabilità a ciascun risultato di una prova è un'operazione che precede la teoria matematica della probabilità, che inizia invece dalla conoscenza di questi numeri. Scetty:- E perché mai l'assegnazione dei numeri che esprimono la probabilità di ogni possibile risultato dell'esperimento aleatorio non dovrebbe rientrare nella teoria matematica della probabilità? Apotema:- Perché, se escludiamo quei casi in cui la simmetria dell'esperimento ci consente di attribuire a priori i valori di probabilità dei risultati possibili, solo lo stabilizzarsi delle frequenze in relazione a un gran numero di ripetizioni dell'esperimento può darci una stima dei valori di probabilità. Consideriamo quindi uno spazio di prova finito

1 2, , ... , nω ω ωΩ =

per il quale risulta associato a ogni risultato iω un numero

positivo ,ip che è la sua probabilità. Se pensiamo alla probabilità di ciascun risultato come alla percentuale di volte in cui si verifica dopo molte prove, poiché a ogni prova si verifica uno e uno solo degli n risultati, la somma delle percentuali sarà necessariamente il 100%. Richiederemo quindi che i numeri positivi ip verifichino la condizione

1 2 ... 1np p p+ + + = .

La teoria matematica della probabilità inizia allora da qui. A ogni evento, cioè a ogni sottoinsieme A di Ω , assegneremo il valore di probabilità ( )P A pari alla somma di tutti i valori di probabilità associati agli elementi di A. In formule:

( )i

iA

P A pω ∈

= ∑ .

La probabilità è dunque una funzione

: 2 [0, 1]P Ω → ,

che associa a ogni evento A il numero ( )P A compreso tra 0 e 1. Dubby:- Quindi i valori di probabilità non sono tutti uguali? Al biennio abbiamo definito la probabilità di un evento come il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili...


Apotema:- Se pensi al lancio di una puntina da disegno, ecco che i risultati possibili sono due: punta in su e punta in giù, che possiamo indicare rispettivamente con S e G. Lo spazio di prova è allora

,S GΩ =

e ai risultati S e G corrisponderanno due valori di probabilità diversi 1p e 2p . Per esempio, se dopo migliaia di lanci abbiamo ottenuto che la puntina cade con la punta in su nel 78% dei casi e quindi con la punta in giù nel rimanente 22% dei casi, potremo assumere 1 0.78p = e 2 0.22p = . Come altro esempio puoi pensare a un dado a sei facce di forma irregolare. Lo spazio di prova è ancora l'insieme

1,2,3,4,5,6Ω =

ma questa volta i valori di probabilità dei risultati di un lancio saranno diversi per ogni faccia. Per esempio, un gran numero di prove potrebbe portare a un risultato del tipo

1 0.12p = , 2 0.23p = , 3 0.18p = ,

4 0.31p = , 5 0.09p = , 6 0.07p = .

In questo caso, se A è l'evento "il risultato è pari", avremmo che

2 4 6( ) (2,4,6) 0.23 0.31 0.07 0.61P A P p p p= = + + = + + =

La definizione di probabilità che ci ha ricordato Dubby si riferisce al caso semplice di uno spazio di prova finito 1 2, , ... , nω ω ωΩ =

in cui, per ragioni di simmetria legate all'esperimento, tutti i risultati abbiano la stessa probabilità. In questo caso avremo allora che

1 2

1... np p p

n= = = = .

Come esempio clamoroso possiamo pensare al lancio della solita moneta omogenea di forma cilindrica. I risultati dell'esperimento casuale sono testa o croce, che rappresentiamo rispettivamente con le lettere T e C, e lo spazio di prova è quindi

,T CΩ = .


Avremo che ai due risultati possibili corrispondono probabilità uguali

1 2

12

p p= = .

Analogamente, nel caso di un dado omogeneo cubico i valori di probabilità di ogni faccia saranno uguali a 1/ 6 . Per un mazzo di 40 carte la probabilità di estrarre una data carta sarà 1/ 40 , e così via. Se un evento A consiste di m risultati, allora la sua probabilità sarà

( )m A

P An

#= =

#Ω.

Gli m risultati che verificano A sono detti anche casi favorevoli ad A, mentre gli n risultati possibili sono detti anche casi possibili. Ecco allora che la probabilità di un evento è data dal rapporto tra il numero di casi favorevoli e quello dei casi possibili. Si tratta però di una definizione speciale, che non si applica al caso della puntina o del dado irregolare. Concludiamo la lezione con alcune proprietà fondamentali della funzione probabilità deducendole dal caso particolare in cui i risultati possibili siano equiprobabili, cioè abbiano tutti la stessa probabilità.

1. ( ) 1P Ω = : l'evento certo ha probabilità 1; 2. ( ) 0P ∅ = : l'evento impossibile ha probabilità 0; 3. se A B∩ = ∅ , allora ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = + : se due eventi sono incompatibili, la probabilità dell'evento disgiunto è la somma delle probabilità dei due eventi; 4. ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ : in generale, la probabilità dell'evento disgiunto di due eventi è la somma delle probabilità dei due eventi diminuita della probabilità dell'evento congiunto. 5. ( ) 1 ( )P A P A′ = − : la probabilità dell'evento contrario di un evento dato si ottiene sottraendo da 1 la probabilità dell'evento.

La dimostrazione di queste proprietà è molto semplice, perché si ottiene immediatamente dalle proprietà della cardinalità degli insiemi finiti.


1. ( ) 1P#Ω

Ω = =#Ω

;

2. ( ) 0P#∅

∅ = =#Ω

;

3. se A B∩ = ∅ allora A B A B# ∪ = # + # e

( ) ( ) ( )A B A B A B

P A B P A P B# ∪ # + # # #

∪ = = = + = +#Ω #Ω #Ω #Ω

;

4. più in generale, A B A B A B# ∪ = # + # − # ∩ , da cui

( )A B A B A B A B A B

P A B# ∪ # + # − # ∩ # # # ∩

∪ = = = + − =#Ω #Ω #Ω #Ω #Ω

( ) ( ) ( )P A P B P A B= + − ∩ ;

5. ( ) 1 ( )A A A

P A P A′# #Ω − # #Ω #

′ = = = − = −#Ω #Ω #Ω #Ω

.

Non difficile, ma solo più tedioso, è poi verificare che queste proprietà continuano a valere nel caso più generale. Per esempio,

1

( ) 1i

n

i i

i

P p pω ∈Ω =

Ω = = =∑ ∑ .

Infatti, l'evento Ω contiene tutti i risultati possibili e la sua probabilità è la somma di tutti i

ip , che fa 1. Ancora, nel caso di eventi incompatibili, poiché un risultato può appartenere a uno solo dei due eventi, avremo che

( ) ( ) ( )i i i

i i iA B A B

P A B p p p P A P Bω ω ω∈ ∪ ∈ ∈

∪ = = + = +∑ ∑ ∑ .

Le altre proprietà si dimostrano in modo simile. Per la prossima volta come esperimento aleatorio considerate l'estrazione di una cinquina al lotto. Come sapete, si tratta di estrarre cinque numeri a caso tra i numeri da 1 a 90. Calcolate poi la probabilità di fare ambo, terno, quaterna o cinquina, cioè di indovinare rispettivamente due, tre, quattro o tutti e cinque i numeri estratti su una certa ruota giocando cinque numeri. Asy:- Se ne possono giocare fino a dieci! Apotema:- Vedo che te ne intendi! Asy:- Mia nonna gioca tre volte la settimana!

LEZIONE XLII Apotema:- Per il gioco del lotto non posso che chiamare Gioky alla lavagna! Gioky:- Non era poi così difficile calcolare le probabilità e, in ogni caso, mi sono confrontato con alcune soluzioni trovate su Internet. Apotema:- Allora sei più che pronto per mostrarci in dettaglio la soluzione. Gioky:- Prima di tutto ho individuato l'insieme Ω dei risultati possibili. Siccome l'esperimento aleatorio consiste nell'estrazione di una cinquina, lo spazio di prova è l'insieme di tutte le cinquine, cioè di tutti gli insiemi di 5 numeri da 1 a 90. Dubby:- E perché non delle quintuple ordinate? Gioky:- Non hai mai giocato al lotto? I numeri estratti su una ruota vengono scritti in ordine crescente e l'ordine con cui sono stati estratti è irrilevante. Dubby:- Io non ho mai giocato! E tu? Gioky:- Ci gioco un euro la settimana! Una cinquina secca sulla ruota di Firenze! Asy:- E quante volte hai vinto? Gioky:- Mai! Sekky:- Se hai calcolato giuste le probabilità ti sarai accorto che non ha senso giocare! Gioky:- Non sono affatto d'accordo! Apotema:- Adesso basta con queste discussioni e vediamo di calcolare le probabilità richieste. Gioky:- Le cinquine sono tutti i sottoinsiemi di 5 elementi dell'insieme dei numeri da 1 a 90 e quindi

90 90 89 88 87 865 5 4 3 2

× × × ×#Ω = = =

× × ×

3 89 22 87 86 43949 268= × × × × = ,

dove ho semplificato il prodotto 5 3 2 30× × = col 90 e il 4 con l'88... Dunque ci sono circa 44 milioni di cinquine possibili, che ho considerato tutte equiprobabili. Apotema:- Bene, cominciamo con la probabilità di fare ambo...


Gioky:- Per fare ambo due dei cinque numeri estratti devono essere i due numeri giocati, mentre gli altri tre possono essere presi in tutti i modi possibili dai rimanenti 88. Il numero di cinquine che contengono l'ambo giocato sono allora i modi di scegliere 3 oggetti da 88 e la probabilità di fare ambo è data da

88 88 87 863 3 2

90 89 88 87 86905 4 3 25

ambop

× × ×= = =

× × × × × × ×

5 4 2 20,00250

90 89 9 89 801×

= = = =× ×

.

Scetty:- Ma noi abbiamo giocato 5 numeri, non due! Gioky:- Già... Allora dobbiamo moltiplicare questo risultato per il numero di coppie che si possono fare coi cinque numeri giocati! Siccome da 5 numeri è possibile sceglierne due in

5 5 410

2 2

×= =

modi,

La probabilità di fare ambo giocando 5 numeri è data da

5 88

2 3 2 2010 0,025

90 801 801

5

ambop

= = × = =

.

Scetty:- Non sono d'accordo! Se ogni coppia di numeri giocati la completi a una cinquina aggiungendo in tutti i modi possibili tre numeri fra i rimanenti 88, ecco che includerai anche gli altri tre numeri giocati ottenendo così anche diversi terni, quaterne e la cinquina! Gioky:- Ok, Allora devo prendere i rimanenti tre numeri solo tra gli 85 non giocati. La probabilità è data allora da

5 85 5 4 85 84 832 3 2 3 2

90 89 88 87 86905 4 3 25

ambop

× × × ⋅ ×= = =

× × × × × × ×


5 85 7 83 2469250.0225

3 89 11 87 43 10987317× × ×

= = =× × × ×

.

Per la probabilità di fare terno secco, cioè giocando tre numeri, abbiamo allora che

87 87 862 2

90 89 88 87 86905 4 3 25

ternop

×

= = =× × × ×

× × ×

1 10.0000851

6 89 22 11748= = =

× ×.

Per quanto riguarda invece la probabilità di fare un terno giocando 5 numeri...

5 85 5 4 3 85 843 2 3 2 2

90 89 88 87 86905 4 3 25

ternop

× × × ⋅ ×= = =

× × × × × × ×

5 85 7 29750.000812

89 11 87 43 3 662 439× ×

= = =× × ×

.

Adesso passo alla quaterna secca...

86

1 8690 89 88 87 8690

5 4 3 25

quaternap

= = =× × × ×

× × ×

1 10.00000

3 89 22 87 511

86

109

3= = =

× × ×.

... e quindi alla quaterna giocando 5 numeri...

5 85 5 4 3 2854 1 4 3 2

90 89 88 87 86905 4 3 25

quaternap

× × × ⋅ × ×= = =

× × × × × × ×


5 85 4250.00000

3 89 22 87 86 43949 268967

×= = =

× × × ×.

Infine, la cinquina secca e quella giocando cinque numeri coincidono e si ricava che

1 10.0000000

90 43949268

5

228cinquinap = = =

.

Sekky:- E dopo aver calcolato queste probabilità non hai ancora capito che è da stupidi giocare? Gioky:- È forse da stupidi giocare molto! Io gioco un euro la settimana! Ma non gioco un ambo o un terno con 5 numeri... io gioco una cinquina secca su una sola ruota! Sekky:- Credimi, non vincerai mai! Soldi buttati! Gioky:- Ho smesso di prendere il caffè alla macchinetta e gioco un euro al lotto, mi diverte di più! Normy:- Anche se sai che non vincerai mai? Come fai a divertirti? Gioky:- Perché è molto difficile ma non impossibile vincere! Se non vincerò mai non avrò perso niente di importante, ma se vincerò... sarà almeno un milione di euro! Una cifra che ti cambia la vita! Apotema:- L'importante è non lasciarsi prendere la mano e giocare più di quell'euro. Sei così sicuro di non farti prendere dalla tentazione di aumentare la posta? Gioky:- Sicurissimo! Apotema:- Lo voglio sperare... Dubby:- Prof, ma come si fa a calcolare la probabilità di ottenere i lati di un triangolo con due tagli casuali? Sia i casi possibili che quelli favorevoli sono infiniti! Apotema:- Come vi ho anticipato, quando l'insieme dei risultati possibili è infinito le cose si fanno più difficili. Non è però difficile farci un'idea di come si può procedere. In questo caso un esperimento aleatorio consiste in due tagli e, come abbiamo già visto, equivale a una coppia ordinata di numeri casuali tra 0 e 1. Ricordando qual è il significato oggettivo di probabilità di un evento, cioè la percentuale di esperimenti in cui tipicamente esso tende a verificarsi dopo molte prove, possiamo fare un esperimento al computer. Ogni linguaggio di programmazione


consente di generare dei numeri casuali tra 0 e 1. In realtà non si tratta di numeri veramente casuali, perché vengono generati con un ben preciso algoritmo, e per questo motivo sono chiamati pseudo-casuali. Ma per chi questo algoritmo non lo conosce si comportano come numeri casuali e noi li considereremo tali. Svelty:- Di solito c'è la funzione random! Apotema:- Infatti random significa "casuale". Scriviamo dunque un programma in cui, per un certo numero di volte, vengono generati due numeri casuali tra 0 e 1 e verifichiamo ogni volta se le tre parti in cui l'intervallo [0,1] resta suddiviso dai due numeri sono i possibili lati di un triangolo. La percentuale di volte in cui questo accade ci darà una stima della probabilità cercata. Viene a scrivere il programma il nostro esperto Svelty! inizio leggi ( )n ; 0c ← ; per 1 ..i n← esegui

inizio a random← ; b random← ; se a b< allora x a← ; y b←

altrimenti x b← ; y a←

1p x← ; 2p y x← − ; 3 1p y= −

se 1 2 3 2 1 3( ) ( )p p p AND p p p AND< + < +

3 1 2( )p p p< + allora 1c c← +

fine;

c

pn

← ;

scrivi ( )p ; fine. Svelty:- Subito, prof! Allora... per prima cosa devo ricevere in ingresso il numero di esperimenti da eseguire... diciamo n... Poi faccio un ciclo in cui ogni volta genero i numeri casuali x e y... Come la indico la funzione random?


Apotema:- Chiamala random! Svelty:- Ok! Adesso mi chiedo se ciascuna delle tre parti 1p ,

2p , 3p ottenute è minore della somma delle altre due... Allora dovevo inizializzare a zero un contatore c prima del ciclo! Ecco... Alla fine del ciclo prendo come stima della probabilità p il rapporto /c n ... Apotema:- Adesso traducilo rapidamente in uno dei linguaggi che usate nel laboratorio di informatica e vediamo cosa salta fuori! (Svelty scrive in due minuti il programma) Svelty:- Con quante prove cominciamo? Apotema:- Prova prima con dieci, poi con cento e mille! Svelty:- Signorsì! Allora... con 10n = ... 0.2p = ... con 100n = ...

0.28p = ... con 1000n = ... 0.248.p = Provo anche con diecimila! Con 10000n = ... 0.2513.p = Sembra che la probabilità si assesti intorno a un quarto! Geny:- Sì, il valore esatto è 1/ 4 ! Sekky:- E come fai a dirlo? Geny:- Basta guardare la rappresentazione geometrica che avevamo fatto dell'evento! Apotema:- Credo sia meglio che tu venga alla lavagna.

Geny:- L'insieme Ω dei risultati possibili era il quadrato 2[0,1] , cioè l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali tra 0 e 1,


mentre l'evento "le tre parti in cui il segmento unitario risulta diviso dai due tagli casuali sono i possibili lati di un triangolo" era solo una parte del quadrato. In particolare era l'unione di due triangoli rettangoli isosceli... Asy:- Si, la farfalla! Geny:- Ripetere n esperimenti casuali equivale a scegliere n punti a caso del quadrato...

La percentuale di punti che cadono all'interno della regione che rappresenta l'evento in questione, se il numero di punti è elevato, dà una stima della probabilità dell'evento e, allo stesso tempo, una stima della percentuale dell'area della regione che rappresenta l'evento rispetto all'area della regione che rappresenta lo spazio di prova! Nel nostro caso l'area dello spazio di prova vale 1, mentre quella dell'evento vale 1/ 4 . Ne segue che la probabilità cercata è 1/ 4 ! Apotema:- Bravissimo! In effetti in questo caso la probabilità di un evento viene definita proprio così: come un rapporto di aree. Più in generale, a seconda dello spazio di prova, può trattarsi di un rapporto di lunghezze, aree o volumi o della loro estensione a più dimensioni, cioè di quella che si chiama misura di un insieme di punti. Il problema è allora quello di riuscire a dire cosa si intenda per misura di un qualsiasi insieme di punti. Nel nostro caso si trattava di aree di poligoni e tutto era facile ma, in generale, le cose diventano molto difficili. Il risultato è che non si riesce a misurare proprio tutto, ma quasi tutto. Ma non era mia


intenzione riprendere ora il calcolo delle probabilità che avete iniziato al biennio e tanto meno era mia intenzione entrare in questioni sottili come quella di misurare insiemi di punti qualsiasi. Volevo solo mostrarvi che gli insiemi, con le loro operazioni, consentono di descrivere gli eventi casuali e le operazioni tra di essi. La probabilità diventa allora una funzione, che ha come dominio una famiglia di eventi che, nel caso di uno spazio di prova finito, è la famiglia di tutti i suoi sottoinsiemi. Nel caso poi che i risultati possibili siano tutti equiprobabili, la probabilità si riduce a un conteggio e abbiamo visto come sia possibile ricondurre le formule principali del calcolo combinatorio classico alla determinazione della cardinalità di opportuni insiemi. Come sempre, gli insiemi in questione possono venire definiti mediante un predicato. E direi che questa prima parte del corso, dedicata al linguaggio degli insiemi e dei predicati, possa considerarsi conclusa. Sekky:- Ma continueremo a usarli questi linguaggi, vero? Apotema:- Certamente. E cominceremo proprio dagli insiemi di numeri. Bronty:- Finalmente un po' di matematica!

LA FILASTROCCA DEGLI INSIEMI E DEI PREDICATI (by Giorgio Goldoni)

Son due linguaggi precisi e fidati quel degli insiemi e dei predicati,

che noi usiamo, persone studiose, per dir poi di fatto le stesse cose.

Se di attenzione un poco tu metti

vedrai che il primo ha a che far con gli oggetti. Il secondo, invece, di che parlerà?

Non più di oggetti ma di lor proprietà!

Puoi aiutare di molto il pensiero con i diagrammi di Venn e di Eulero,

che rendono ovvie le situazioni quando entrano in ballo le operazioni.

Per render davvero equivalenti

i due linguaggi e poi esser contenti dovrai rassegnarti senza timori

a tirar fuori i quantificatori.

All'aumentare delle variabili occorrerà esser sempre più abili!

E qui gli insiemi ti danno una mano con il prodotto detto cartesiano.

Tu passerai poi alle relazioni

e in special modo alle funzioni, che in tutto il corso ti accompagneranno

e non soltanto in questo terz'anno!

E non esiste occasione più adatta per poi introdurre l'algebra astratta

che soffermarsi un po' sulle espressioni scritte tra insiemi e proposizioni.

Ti basterà solo una settimana

per masticar l'algebra booleiana e riusciranno persino le schiappe

a maneggiare di Karnaugh le mappe!

Come ultimo esempio, se ancor non tremi,

di uso dei predicati e degli insiemi puoi meditar sugli eventi casuali

senza bisogno che poi tu ti ammali!

È questo il percorso che ti condurrà verso la funzione probabilità

che nel dominio ha, non farti problemi, invece di numeri degli insiemi.

Or che gli insiemi ed i predicati

vi hanno impegnato e forse anche stancati mi complimento con voi pel coraggio

con cui ne avete affrontato il linguaggio!

COLLANA "Il professor Apotema insegna..."

VOLUMI PUBBLICATI

1. Le funzioni lineari, esponenziali, logaritmiche e potenze 2. I numeri iperreali 3. Il calcolo delle differenze e il calcolo differenziale 4. Il calcolo delle somme e il calcolo integrale 5. Le serie e gli integrali impropri 6. I numeri complessi del piano e dello spazio 7. Il linguaggio degli insiemi e dei predicati

VOLUMI DI PROSSIMA PUBBLICAZIONE

8. La geometria del piano col metodo delle coordinate 9. La geometria dello spazio col metodo delle coordinate 10. Il calcolo infinitesimale in più variabili 11. La trigonometria piana e sferica 12. Le equazioni alle differenze e le equazioni differenziali 13. L'analisi di Fourier 14. L'innovazione copernicana 15. L'astronomia nautica 16. La geometria proiettiva

ALTRI LIBRI DELL'AUTORE

Le lezioni del professor Apotema Persone che... contano! Le geometrie non euclidee

LE FUNZIONI LINEARI, ESPONENZIALI,

LOGARITMICHE E POTENZE

I NUMERI IPERREALI IL CALCOLO DELLE

DIFFERENZE E IL CALCOLO

DIFFERENZIALE

IL CALCOLO DELLE SOMME E IL

CALCOLO INTEGRALE LE SERIE E GLI INTEGRALI IMPROPRI

IL LINGUAGGIO DEGLI INSIEMI

E DEI PREDICATI

LA GEOMETRIA DEL PIANO COL METODO DELLE

COORDINATE

LA GEOMETRIA DELLO SPAZIO COL METODO DELLE COORDINATE

LA TRIGONOMETRIA PIANA E SFERICA

I NUMERI COMPLESSI DEL PIANO E

DELLO SPAZIO

IL CALCOLO INFINITESIMALE IN PIÙ VARIABILI L'ANALISI

DI FOURIER LE EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE E LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Documents

Il professor Apotema insegna... il linguaggio degli insiemi e dei predicati (Professor Apothem teaches... the language of sets and predicates)