Influencia del tipo de número en la estimación en cálculo: Memoria de Tercer Ciclo

DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

UNIVERSIDAD DE GRANADA

INFLUENCIA DEL TIPO DE NÚMERO EN LA ESTIMACIÓN

EN CÁLCULO

MEMORIA DE TERCER CICLO

CARLOS DE CASTRO HERNÁNDEZ

ESCUELA UNIVERSITARIA LA SALLE. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA

DE MADRID

GRANADA 2001

Depósito Legal: GR-411-2002 I.S.B.N.: 84-699-7271-5 Imprime: Repro Digital Facultad de Ciencias

DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA UNIVERSIDAD DE GRANADA

INFLUENCIA DEL TIPO DE NÚMERO EN LA ESTIMACIÓN EN CÁLCULO

Memoria de Tercer Ciclo presentada por D. Carlos de Castro Hernández para su aprobación por el Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada.

Fdo.: D. Carlos de Castro Hernández

Vº. Bº. El Director Vº. Bº. El Director

Fdo.: Dr. D. Enrique Castro Martínez

Fdo.: Dr. D. Isidoro Segovia Alex

GRANADA 2001

AGRADECIMIENTOS

Quiero expresar mi especial gratitud a los profesores Dr.

D. Enrique Castro Martínez y Dr. D. Isidoro Segovia Alex,

directores de esta investigación, por su paciencia conmigo en

mis titubeantes inicios, su apoyo, sus orientaciones y

críticas y por la disponibilidad que siempre han mostrado a

ayudarme en la elaboración de este trabajo.

Mi agradecimiento a los profesores del Departamento de

Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada que

han colaborado, durante los cursos de doctorado, a mi

formación inicial como investigador en el área de Didáctica de

la Matemática.

A los componentes del Seminario de Investigación de los

Cursos de Doctorado del Departamento de Didáctica de la

Matemática por el interés mostrado, sus comentarios, críticas

y aportaciones en las exposiciones que he realizado del

trabajo en el Seminario.

A los miembros del grupo de Pensamiento Numérico

Algebraico, que me han aportado sus conocimientos, críticas y

orientaciones en la presentación del trabajo en la V Reunión

Científica Nacional de PNA (Palencia, 2001) y en el V Simposio

del SEIEM (Almería, 2001). En especial, al profesor Dr. D.

Bernardo Gómez Alfonso del Departamento de Didáctica de la

Matemática de la Universidad de Valencia.

Índices e introducción

Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada

i

ÍNDICE GENERAL

ÍNDICE GENERAL i

ÍNDICE DE APÉNDICES v

ÍNDICE DE FIGURAS vi

ÍNDICE DE TABLAS ix

INTRODUCCIÓN xi

CAPÍTULO 1: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1

El problema a investigar 2

Justificación del problema 3

La estimación en cálculo: cuestiones fundamentales 6

Estimación y cálculo mental 6

Estrategias de estimación 10

Procesos de estimación: el modelo RTC 15

La razonabilidad en la estimación 18

Respuestas razonables y contexto 18

Intervalos de respuestas razonables 20

La razonabilidad y los porcentajes de error 21

Estrategias adecuadas para un cálculo 23

Error absoluto y relativo 26

Estimación y aproximación 27

Objetivos de la investigación 28

CAPÍTULO 2: REVISIÓN DE LA LITERATURA 31

Revisión general de investigaciones sobre estimación en

cálculo 31

La habilidad de estimar y los factores relacionados

con el rendimiento en estimación 33

Influencia del tipo de número en la estimación en cálculo

Carlos de Castro Hernández

ii

Estrategias y procesos de estimación 38

Enseñanza de la estimación en cálculo 45

Evaluación de la estimación 58

Desarrollo de conceptos y destrezas de la estimación 63

Antecedentes del problema de investigación 67

La habilidad de estimar de los maestros en formación 68

Dificultades en la enseñanza y el aprendizaje de los

números decimales 70

Los números decimales en la resolución de problemas 72

Ideas equivocadas sobre la multiplicación y la

división con decimales en estudiantes de magisterio 73

Dificultad de los ítems en pruebas de estimación en

función del tipo de número 79

Estimación en cálculo de multiplicaciones y

divisiones con números decimales menores que uno 82

El sentido numérico, el efecto de la alteración de

los datos en el resultado y la estimación en cálculo 85

Relaciones entre el conocimiento conceptual y

procedimental en tareas de estimación en cálculo 89

Enfoque metodológico de las investigaciones sobre

estrategias y procesos de estimación. El uso de

informes verbales 93

Resumen de la revisión de antecedentes del problema de

investigación 101

CAPÍTULO 3: DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN E INSTRUMENTOS 105

Caracterización de la investigación 105

Hipótesis de la investigación 105

Diseño empleado en la investigación 106

Variables de la investigación 107

Variables independientes 107

Variables dependientes 108

Variables controladas 110

Los sujetos 112



iii

Instrumentos 113

La prueba de estimación 113

Procedimiento de aplicación 114

Fiabilidad y validez 114

Las entrevistas 117

Materiales utilizados en la entrevista 119

Selección de sujetos para la entrevista 120

Forma de conducir la entrevista 124

CAPÍTULO 4: ANÁLISIS DE DATOS CUANTITATIVOS 125

Técnicas estadísticas empleadas 126

Hipótesis estadísticas 126

Resultados del análisis de varianza 127

Estudio de la influencia de la interacción Operación-

Decimal 128

Efectos principales del análisis de varianza 133

Estudio de la influencia del factor Operación 133

Estudio de la influencia del factor Decimal 135

Relación entre la puntuación media de los ítems y el

tiempo medio de respuesta a los mismos 138

Relación entre la puntuación media de los sujetos y su

tiempo medio de respuesta 139

Clasificación de los sujetos atendiendo a su habilidad de

estimar 142

Clasificación de los sujetos atendiendo a sus

puntuaciones en los ítems clasificados por tipo de número 146

CAPÍTULO 5: ANÁLISIS DE DATOS CUALITATIVOS 155

Identificación y caracterización de estrategias y

procesos de estimación 155

Procesos de reformulación 155

Procesos de traducción 161

Ausencia de reformulación y traducción 163

Procesos de compensación 164



iv

Estrategias de estimación 167

Conocimiento del efecto que tiene la alteración de los

datos en el resultado de la operación 177

Influencia del conocimiento del efecto de la alteración

de los datos en el resultado en las estrategias y

procesos de estimación 182

CAPÍTULO 6: CONCLUSIONES E IMPLICACIONES 189

Conclusiones del estudio cuantitativo 189

Influencia del factor “tipo de operación” 189

Influencia del factor “tipo de número” 191

Conclusiones sobre la variable “tiempo de respuesta” 192

Clasificación de los sujetos participantes 193

Conclusiones del estudio cualitativo 194

Uso de estrategias y procesos de estimación 194

Conocimiento del efecto de la alteración de los datos

en el resultado 197

Influencia del conocimiento del efecto de la

alteración de los datos en el resultado en las

estrategias y procesos de estimación 198

Limitaciones de la investigación 200

Los sujetos 201

Instrumentos 201

Implicaciones para la enseñanza 204

Implicaciones para la investigación y sugerencias para

investigaciones futuras 206

REFERENCIAS 209



v

ÍNDICE DE APÉNDICES Apéndice A: Resultados de la prueba de estimación:

Descripción del archivo de datos 227

Apéndice B: Materiales estadísticos complementarios 237

Apéndice C: Transcripciones de las entrevistas 249

Apéndice D: Materiales utilizados en el periodo de

instrucción sobre estimación 269

Apéndice E: Descripción de los programas de ordenador

utilizados durante el periodo de instrucción

y en la prueba de estimación 307

Apéndice F: Equivalencias entre el sistema educativo de

los EE.UU. y el sistema educativo español 311



vi

ÍNDICE DE FIGURAS Figura Página

1.1 Decisiones sobre procedimientos operativos en

problemas numéricos 5

1.2 Modelo para los procesos de estimación en cálculo

propuesto por Segovia y otros (1989) 17

1.3 Modelo para los procesos de estimación en cálculo

propuesto por Lefevre y otros (1993) 18

4.1 Gráficos de perfil correspondientes al tipo de

operación y al tipo de número (OPERACIÓ/DECIMAL) 131

4.2 Gráficos de perfil correspondientes al tipo de

operación y al tipo de número (DECIMAL/OPERACIÓ) 133

4.3 Medias de puntos por operación 134

4.4 Medias de puntos por tipo de número 136

4.5 Gráfico de nube de puntos correspondiente a las

variables “puntuación media del ítem” y “tiempo

medio de respuesta al ítem” 138

4.6 Gráfico de nube de puntos correspondiente a las

variables “puntuación media del sujeto” y “tiempo

medio de respuesta del sujeto” 140

4.7 Tiempo medio de respuesta para cada puntuación 141

4.8 Dendrograma correspondiente al análisis cluster.

Clasificación de los sujetos atendiendo a la

habilidad de estimar 144

4.9 Dendrograma correspondiente al análisis cluster.


puntuaciones en los ítems clasificados por tipo de

número 147

4.10 Puntuación media por tipo de número para el

cluster 1 149


cluster 2 150



vii


cluster 3 150


cluster 4 151


cluster 5 151


cluster 6 152


cluster 7 153

B.1 Gráficos de perfil correspondientes al tipo de

operación (TOPERACI) y al tipo de número

(TDECIMAL) 247

B.2 Gráficos de perfil correspondientes al tipo de

operación (TOPERACI) y al tipo de número

(TDECIMAL) 247

D.1 Uso de números compatibles con fracciones y

porcentajes 285

D.2 Actividad 1: El uso de la estimación 286

D.3 Actividad 2: Operación frontal. Truncamiento 287

D.4 Actividad 3: Ajustamos nuestra primera estimación 288

D.5 Actividad 4: ¿Tengo suficiente con 10€? 289

D.6 Actividad 5: A ojo o afinando 290

D.7 Actividad 6: ¿Es razonable la respuesta? 291

D.8 Actividad 7: El uso del redondeo en

multiplicaciones 292

D.9 Actividad 8: La estimación del producto de dos

números 293

D.10 Actividad 9: El uso de 10, 100 o 1000 294

D.11 Actividad 10: Evaluamos nuestra estimación 295

D.12 Actividad 11: Tiro al blanco 296

D.13 Actividad 12: Uso de números compatibles 297

D.14 Actividad 13: Más sobre números compatibles 298



viii

D.15 Actividad 14: ¿De cuánto será cada pago

aproximadamente? 299

D.16 Actividades de cálculo mental 303

D.17 Actividades de estimación con porcentajes 304

D.18 Actividades de paso de euros a pesetas 305

E.1 Pantalla de presentación del programa de

estimación utilizado durante el periodo de

instrucción 308

E.2 Ítem correspondiente al programa de estimación

utilizado durante el periodo de instrucción 309

E.3 Pantalla de evaluación correspondiente al programa

de estimación utilizado en el periodo de

instrucción 309

E.4 Imagen del programa de ordenador utilizado en la

prueba de estimación 310

F.1 Mapa del sistema educativo de los EE.UU. 312



ix

ÍNDICE DE TABLAS 3.1 Ítems del test de Levine (1982) 114

3.2 Clasificación de los ítems del test de Levine

atendiendo a las variables “operación” y “tipo de

número” 115

3.3 Resultados del cálculo del coeficiente α de

Cronbach 116

3.4 Datos utilizados en la selección de sujetos para

la entrevista 123

4.1 Análisis de varianza. Pruebas de efectos

intrasujetos 128

4.2 Medias de puntos por tipo de operación y tipo de

número 129

4.3 Análisis de varianza. Pruebas de contrastes intra-

sujetos. Contrastes con el nivel 1 (del factor

“tipo de número”) como referencia 129

4.4 Análisis de varianza. Pruebas de contrastes intra-


“tipo de número”) como referencia 130

4.5 Medias de puntos por operación 134

4.6 Medias de puntos por tipo de número 135

4.7 Contrastes multivariados para la variable “tipo de

número” 137

4.8 Comparaciones por pares para la variable “tipo de

número 137

4.9 Coeficiente de correlación entre las variables

“puntuación media del ítem” y “tiempo medio de

respuesta al ítem” 138

4.10 Coeficiente de correlación entre las variables

“puntuación media del sujeto” y “tiempo medio de

respuesta del sujeto” 139

4.11 Estadísticos descriptivos para la variable “tiempo

de respuesta” con las estimaciones agrupadas 141



x

atendiendo a la puntuación

4.12 Estadísticos descriptivos y prueba de normalidad

para la variable “tiempo de respuesta” 142

4.13 Estadísticos descriptivos correspondientes a los

conglomerados de la clasificación de los sujetos

atendiendo a la habilidad de estimar –dada por la

variable “puntuación media del sujeto”- 145

4.14 Medias correspondientes a distintas variables para

los sujetos pertenecientes a cada conglomerado 148

A.1 Datos del archivo 231

B.1 Resultados del Test Z de Kolmogorov-Smirnov 240

B.2 Resultados de la Prueba de Lilliefors 240

B.3 Estadísticos descriptivos 241

B.4 Resultados de la prueba de esfericidad de Mauchy 242

B.5 Conglomerados de pertenencia 244

B.6 Análisis de varianza. Pruebas de efectos intra-

sujetos. Variable dependiente “tiempo medio de

respuesta del sujeto” 245

B.7 Medias de tiempos por tipo de operación (TOPERACIÓ)

y tipo de número (TDECIMAL) 246

B.8 Análisis de varianza. Pruebas de contrastes intra-


TDECIMAL) de referencia 248

B.9 Análisis de varianza. Pruebas de contrastes intra-


TDECIMAL) de referencia 248

F.1 Equivalencias entre el sistema educativo español y

el de los EE.UU. de América 313



xi

INTRODUCCIÓN

El trabajo que aquí se presenta es una memoria de tercer ciclo

realizada en el Departamento de Didáctica de la Matemática de

la Universidad de Granada, bajo la dirección de los doctores

D. Enrique Castro Martínez y D. Isidoro Segovia Alex.

Se plantea el problema de analizar la dificultad relativa

de las tareas de estimación en cálculo –con operaciones de

multiplicación y división desprovistas de contexto- en función

del tipo de número que aparece en ellas –natural, decimal

mayor que uno y decimal menor que uno-. La hipótesis principal

del trabajo es que este tipo de tareas resultan más difíciles

cuando en ellas aparecen números decimales menores que uno y

que en esto influye que algunos sujetos no tienen un

conocimiento adecuado sobre el efecto de multiplicar o dividir

un número por un decimal menor que uno, o no aplican este

conocimiento al producir sus estimaciones.

Participan 53 alumnos de primer curso de magisterio que,

dentro de la asignatura “Matemáticas y su Didáctica”, reciben

un periodo de instrucción sobre estimación. Se les administra

el test de Levine (1982) con el fin de comparar la dificultad

de los ítems en función del tipo de número y de seleccionar

sujetos para una entrevista para conocer qué procedimientos

utilizan para producir sus estimaciones y qué conocimiento

tienen sobre el efecto de multiplicar o dividir un número por

un decimal menor que uno.

Se llega a los siguientes resultados: estimar con

decimales menores que uno es más difícil que con naturales o

decimales mayores que uno; con decimales mayores que uno, las

multiplicaciones son más fáciles que las divisiones, pero, con

decimales menores que uno, las multiplicaciones son más

difíciles que las divisiones; hay sujetos que no tienen un

conocimiento adecuado sobre el efecto de multiplicar o dividir



xii

por un decimal menor que uno y esto hace que modifiquen sus

procedimientos de cálculo, para que los resultados satisfagan

los requisitos impuestos por sus ideas equivocadas sobre las

operaciones; otros, sí tienen un conocimiento adecuado, pero

no lo utilizan en la producción de sus estimaciones.

El contenido del trabajo, que acaba de presentarse

resumido, está organizado por capítulos según se indica a

continuación:

En el capítulo 1 se plantea y justifica el problema de

investigación. Para situar el problema dentro del área de la

estimación en cálculo, se expone el marco teórico adoptado.

Para ello, se ha procedido a explicar la relación que hay

entre estimación y cálculo mental, proponer un modelo para

procesos y estrategias de estimación, y realizar un análisis

de un término clave: la razonabilidad de una estimación. El

capítulo finaliza con la propuesta de objetivos para la

investigación.

El capítulo 2 contiene una revisión de la literatura

sobre estimación que se presenta dividida en dos secciones:

una parte general, que ofrece una visión panorámica de las

investigaciones que se han realizado sobre estimación en

cálculo, y otra parte centrada más específicamente en los

antecedentes del problema.

En el capítulo 3 se describe el diseño de la

investigación, dentro del cual se especifican las variables,

los participantes y los instrumentos utilizados en el estudio.

En el apartado dedicado a los instrumentos, se discute la

validez y la fiabilidad de la prueba de estimación, se explica

el procedimiento de aplicación de la misma y se exponen todos

los detalles concernientes a la realización de las entrevistas

individuales –materiales utilizados, selección de sujetos y

forma de conducir la misma-.

El capítulo 4 constituye la parte cuantitativa del

estudio. En él se realizan varios contrastes de hipótesis con



xiii

el fin de esclarecer la posible influencia de las variables

dependientes (tipo de operación y tipo de número) en la

puntuación que obtienen los sujetos en la prueba de

estimación. El capítulo se completa con dos análisis de

correlación y dos clasificaciones de los sujetos: una

atendiendo a su habilidad de estimar y otra tomando en cuenta

las puntuaciones que obtienen los participantes en los ítems

de la prueba de estimación clasificados por tipo de número.

El capítulo 5 está dedicado al análisis de los datos

cualitativos. Comienza con una descripción de los procesos y

estrategias de estimación que se han encontrado al analizar

las transcripciones de las entrevistas individuales. A esta

descripción le sigue una exposición de los resultados

obtenidos al cuestionar cuál es el conocimiento de los sujetos

sobre el efecto que tiene la alteración de los datos en el

resultado de una operación y qué influencia tiene este

conocimiento en los procesos y estrategias de estimación.

Para finalizar, en el capítulo 6 se establecen las

conclusiones y las implicaciones de la investigación. También

se discuten las limitaciones y se sugieren posibles vías para

la realización de futuras investigaciones.


Capítulo 1

Planteamiento del problema

En este capítulo se plantea el problema a investigar y se

ofrecen razones que justifican la necesidad de abordar

investigaciones dentro del área de la estimación en cálculo.

A continuación se discuten varias cuestiones

fundamentales sobre la estimación en cálculo que afectan al

planteamiento del problema. En primer lugar, se propone el

modelo para la estimación dentro del cual se desarrolla el

presente trabajo. Este modelo debe considerar al menos tres

aspectos: 1. Qué relación existe entre la estimación y el

cálculo mental; 2. Qué son –y cuáles son- los procesos y las

estrategias de estimación; y 3. Cómo se articulan estrategias

y procesos para describir, analizar y clasificar los

procedimientos que utilizan los sujetos para producir sus

estimaciones.

En segundo lugar, se presenta un análisis conceptual de

un término clave que afecta al corazón mismo de la definición

de estimación: la “razonabilidad” de una estimación.

En tercer lugar, se explica la diferencia entre “error

absoluto” y “error relativo”, por un lado, y entre

“estimación” y “aproximación”, por otro.

El capítulo finaliza con la presentación de los objetivos

de la investigación, con los que se trata de dotar al problema

planteado de un mayor detalle.

No se ha pretendido en este capítulo hacer una revisión

completa de lo que es la estimación en cálculo. Para ello,

pueden consultarse trabajos como el de Segovia, Castro, Castro

y Rico (1989).



2

El problema a investigar

Este trabajo tiene dos propósitos principales. En primer

lugar, analizar la dificultad de las tareas de estimación en

cálculo (con operaciones de multiplicación y división

desprovistas de contexto) en función del tipo de número que

aparece en ellas. Dentro del tipo de número se consideran los

números naturales, decimales mayores que uno y decimales

menores que uno.

Una de las hipótesis1 principales de la investigación es

que las tareas de estimación en las que aparecen números

decimales menores que uno resultan más difíciles que aquellas

en las que aparecen números naturales o decimales mayores que

uno.

El segundo propósito principal de la investigación es

analizar cómo es el conocimiento que tienen los sujetos del

efecto que produce la alteración de los datos de una operación

en el resultado de la misma y cómo influye este conocimiento

en la producción de estimaciones para cálculos en los que

aparecen números decimales menores que uno.

Este propósito responde a un intento de justificar,

aunque sea sólo parcialmente, la mayor dificultad de las

tareas de estimación en las que aparecen números decimales

menores que uno. Así, se espera encontrar que la ausencia de

un conocimiento adecuado del efecto de la alteración de los

datos en el resultado2 permite explicar algunas de las

dificultades que se producen en el paso de los números

naturales y los números decimales mayores que uno a los

números decimales menores que uno.

1 Aunque las hipótesis de la investigación se presentan en el capítulo 2, se anticipa una presentación informal de una de las hipótesis principales del estudio. La razón para hacer esto estriba en que esta hipótesis es la que permite relacionar los dos propósitos principales del presente estudio. Esto hace posible una comprensión más completa del planteamiento del problema. 2 O la ausencia de aplicación de un conocimiento adecuado de este efecto.



3

Justificación del problema

Para comenzar se ofrecen algunas definiciones de la estimación

en cálculo y se enumeran características de la misma para

situar el estudio dentro de un área problemática.

Se toma como punto de partida la definición de Sowder

(1988): “La estimación en cálculo es el proceso de transformar

números exactos en aproximaciones y calcular mentalmente con

estos números para obtener una respuesta razonablemente

próxima al resultado de un cálculo exacto” (p. 182).

La estimación en cálculo no es una destreza matemática

aislada. Está íntimamente relacionada con otras como el

cálculo mental y la comparación de números. Veremos a

continuación cómo la estimación en cálculo tiene

características que la vinculan con áreas fundamentales dentro

de la educación matemática y cómo podemos considerar a esta

destreza dentro del campo de estudio más amplio del “sentido

numérico”.

R. E. Reys (1985) considera características que tiene en

común la estimación en cálculo con el pensamiento matemático y

con la resolución de problemas. Una persona envuelta en una de

estas situaciones:

1. Decide qué tipo de respuesta será necesario al final del

problema;

2. Es flexible trabajando con formas diferentes de los números;

3. Selecciona estrategias apropiadas;

4. Reconoce que hay muchas soluciones y no teme dejar una

estrategia en favor de otra; y

5. Examina si la solución alcanzada es razonable (p. 37).

La estimación en cálculo también está estrechamente

relacionada con el sentido numérico. Para Greeno (1991) “el

término sentido numérico se refiere a varias capacidades que



4

son importantes pero difíciles de aprender entre las cuales se

incluyen el cálculo mental flexible, la estimación de

cantidades y el razonamiento cuantitativo” (p. 170).

Sowder (1988) considera que algunas destrezas básicas

como el cálculo mental, la comparación de números y la

estimación en cálculo están relacionadas entre sí, debido a la

dependencia que tienen de otras destrezas más básicas como los

conceptos relacionados con el valor posicional, la habilidad

de operar con potencias de 10, el uso de las propiedades de

las operaciones y la comprensión de los sistemas de símbolos

que utilizamos para representar números. Todas estas

habilidades están conectadas a una estructura cognitiva que

podemos llamar sentido numérico.

Segovia (1997), tras hacer una revisión sobre las

definiciones de sentido numérico, aprecia que todas ellas

incluyen la estimación como destreza relacionada con el mismo.

Aunque la relación de la estimación con el sentido

numérico, la resolución de problemas y el pensamiento

matemático ya parecen razones suficientes para justificar el

interés de realizar una investigación sobre estimación en

cálculo, queremos situar la estimación en cálculo en el marco

de las tendencias actuales en la didáctica del cálculo.

En la actualidad diversos autores como B. J. Reys y R. E.

Reys (1998) o Gómez (1999), recogiendo las orientaciones de

distintos documentos curriculares (Ministerio de Educación y

Ciencia [MEC], 1992; National Council of Teachers of

Mathematics [NCTM], 1989), están señalando la necesidad de que

se produzcan cambios en la enseñanza del cálculo.

Así, en 1989 el NCTM advertía:

Es importante que exista cierto dominio del cálculo de algoritmos

con lápiz y papel, pero dicho conocimiento debe surgir de las

situaciones problemáticas que han dado lugar a que se necesiten

dichos algoritmos. Lo que es más, cuando hace falta hacer cuentas

para dar con la solución de un problema, se debería ser



5

consciente de las distintas posibilidades y métodos [véase Figura

1.1]. Cuando es oportuno obtener una respuesta aproximada, se

debe hacer un cálculo aproximado. Si se necesita una respuesta

exacta, entonces debe elegirse el procedimiento más adecuado.

Muchos problemas se deberían resolver haciendo un cálculo mental

(multiplicando por diez, quitándole la mitad). Algunos cálculos,

si no son muy complejos, deberían resolverse por medio de los

algoritmos normales de lápiz y papel. Para cálculos más complejos

debe usarse la calculadora (suma de columnas, divisiones largas).

Y, por último, si se necesita hacer muchos cálculos repetitivos,

debiera escribirse o usarse un programa de ordenador para

encontrar la respuesta (hallar una suma de cuadrados). Nótese en

la figura que los cálculos aproximados pueden, y deben, usarse en

combinación con procedimientos que ofrezcan respuestas exactas

para anticiparse a cualquier resultado y poder juzgar su validez.

(pp. 8-9)

Figura 1.1 Decisiones sobre procedimientos operativos en

problemas numéricos (NCTM, 1989/1991, p. 9)

También en España el currículo para el área de Matemáticas

(MEC, 1992) intenta promover este cambio cuando dice: “Sin

necesidad de conocer sus fundamentos matemáticos, es

importante que los alumnos tengan dominio funcional de

estrategias básicas de cómputo, de cálculo mental, de

Se necesita una respuesta exacta

Se necesita una respuesta aproximada

Hacer cálculos mentales

Hacer cálculos con papel y lápiz

Usar una calculadora

Usar un ordenador

Hacer una estimación

Situación de Problema

Se necesita hacer cálculos

Se necesita una respuesta exactaSe necesita una respuesta exacta





Hacer cálculos con papel y lápizHacer cálculos

con papel y lápizUsar una

calculadoraUsar una

calculadoraUsar un

ordenadorUsar un

ordenador

Hacer una estimaciónHacer una estimación









6

estimaciones de resultados y de medidas, así como también de

utilización de la calculadora” (p. 17). En este mismo sentido,

B. J. Reys y R. E. Reys (1998) proponen que “una importante

meta educativa debería ser ayudar a los alumnos a comprender

que existe una gran variedad de herramientas de cálculo y que

para ciertas tareas algunas herramientas son más eficientes

que otras” (p. 238). Más tarde añaden:

El papel y el valor de cada herramienta de cálculo deben ser

objeto de profundas discusiones. Ciertamente, el cálculo es

esencial como herramienta en la resolución de problemas. Sin

embargo, el tipo de cálculo (exacto o aproximado) y los métodos

utilizados para calcular (mentales, escritos, o con calculadora)

son variados, y la enseñanza en la escuela y el currículum

deberían reflejar una aproximación equilibrada a esta

multiplicidad de herramientas. (pp. 238-239)

Gómez (1999) escribe sobre los cambios que deben producirse en

el futuro en la enseñanza del cálculo:

En la actualidad, la mayor parte del tiempo escolar de primaria

continúa dedicándose a la enseñanza-aprendizaje de los algoritmos

de cálculo. Sin embargo la mayor parte de los cálculos en la vida

diaria se hacen de cabeza o con calculadora. Los educadores

deberían preguntarse: ¿Debemos seguir enseñando los algoritmos.

Si es así, por qué y cómo? Sobre esto no hay una respuesta

consensuada, aunque sí la hay sobre la necesidad de disminuir el

énfasis sobre “las cuatro reglas” en favor del cálculo variado:

una integración del cálculo escrito, estimado, mental y con

calculadora según convenga. (p. 25)

La estimación en cálculo: cuestiones fundamentales

Estimación y cálculo mental

Para Sowder (1988), la diferencia fundamental que existe entre

el cálculo mental y la estimación estriba en que, mientras que

en el cálculo mental “el objetivo es la obtención de una



7

respuesta exacta” (p. 182), en la estimación no buscamos un

resultado exacto sino que basta que el resultado “sea

razonablemente próximo al resultado exacto del cálculo”

(p. 182).

Al considerar el cálculo mental, Sowder (1988) plantea

que una persona involucrada en una tarea de este tipo:

Debe al menos plantearse y responder, para obtener un resultado,

(aunque no lo haga conscientemente) las dos siguientes preguntas:

1. ¿Cómo puedo expresar los números que intervienen en el cálculo

de modo que reduzca los cálculos que debo realizar a “hechos

básicos”?.

2. ¿Cómo debo llevar a cabo la secuencia de operaciones

necesarias para realizar el cálculo como resultado del modo en

que he expresado los números? (p. 184)

La posición tomada en este trabajo es que este esquema

propuesto por Sowder (1988) para el cálculo mental, puede

también aplicarse a la estimación. Sólo debe tenerse en cuenta

que, en la estimación, la primera parte del procedimiento es

distinta. En efecto, dado que el objetivo del calculo mental

es obtener una respuesta exacta, los números se expresarán de

forma que se favorezca el cálculo, pero siempre buscando una

forma equivalente del número que garantice que el resultado

final sea exacto. En la estimación, dado que solamente

buscamos un resultado razonablemente próximo, esta primera

parte del proceso consistirá, más que en sustituir los números

que aparecen en el cálculo por formas equivalentes de los

mismos, en encontrar aproximaciones de los números que nos

permitan reducir la complejidad de los cálculos manteniendo la

proximidad necesaria al resultado exacto.

Wyatt (1985), al estudiar los procesos de estimación

utilizados por alumnos de noveno grado, encontró dos etapas

que aparecían reflejadas en todos los procesos mentales

llevados a cabo por los alumnos: En la primera etapa, los

sujetos elegían números aproximados o extraían dígitos de los



8

números que aparecían en el problema; en la segunda etapa, se

realizaba un cálculo mental en el que se utilizaban los

números elegidos en la primera etapa del proceso.

Este planteamiento, el de la estimación como destreza

compuesta que consta de una fase de aproximación y otra de

cálculo mental, es el que predomina en toda la literatura

sobre el tema. No obstante, existen algunas excepciones a esta

forma de ver la estimación. Entre ellas pueden citarse las que

aparecen en los trabajos de Levin (1981) y Morgan (1989) y

Morgan (1990).

Levin (1981) describe varias técnicas de estimación en

cálculo que están basadas en los conceptos de medida y en la

representación de los números reales más que en el conteo y en

la aritmética de los números enteros. En la ejecución de estas

técnicas no se llevan a cabo cálculos (mentales) sino que

solamente se utilizan dos destrezas básicas: la conversión de

un número en una posición en la recta real y el paso de una

posición en la recta a un número.

Morgan (1989 y 1990) describe también situaciones en que

algunas personas realizan tareas de estimación en cálculo sin

realizar ningún cálculo. Propone el ejemplo (Morgan, 1989) de

una niña que realiza una estimación para la siguiente tarea:

En un mercado, el precio del queso es de 88.2 peniques el kilo.

¿Cuál será el precio de un paquete que contenga 0.68 kilos de

queso?. (La respuesta exacta es 59.976 peniques)

“Eso es cerca de una libra3, señorita. Para un kilo es casi una

libra. Entonces, diré sesenta y ocho... peniques para

aproximadamente... 0.68 kilogramos y es menos que eso (menos de

68 peniques) porque es menos que una libra [el precio del kilo de

queso)]”. (p. 17)

Parece que este tipo de razonamientos y “adivinaciones” se dan

sólo en situaciones en las que el cálculo que se debe realizar

3 Una libra equivale a 100 peniques



9

está inmerso en un contexto práctico. Este tipo de

“adivinaciones” requiere cierta comprensión acerca del sistema

de numeración -así como sobre el contexto- pero no requiere

realizar ningún tipo de cálculo.

Estas estrategias de “adivinación” se parecen más a

algunas técnicas de estimación en medida que a las estrategias

que se utilizan habitualmente en estimación en cálculo, en las

que se realizan cálculos mentales para obtener la estimación.

De acuerdo con las consideraciones que se han hecho sobre

la relación que hay entre la estimación en cálculo y el

cálculo mental, pueden encontrarse, en la literatura sobre

estimación, dos tipos de definiciones sobre esta destreza. Hay

definiciones en las que se “exige” el uso del cálculo mental

para considerar que se produce un proceso de estimación. Por

ejemplo, Rubenstein (1982) dice que la estimación en cálculo

consiste en:

Encontrar una respuesta aproximada para un problema aritmético

verbal de una etapa o para un cálculo aritmético en el que

aparezcan números enteros o decimales, sin el uso de utensilios

de cálculo ni ayudas externas para la memoria, utilizando el

cálculo mental, de forma rápida, y produciendo una respuesta

adecuada para la toma de las decisiones que sean oportunas.

(p. 8)

Por otro lado, hay otro tipo de definiciones, que podrían

considerarse más generales, sobre estimación en las que no se

considera necesaria la realización de un cálculo mental4. Por

ejemplo, en Segovia y otros (1989) se define la estimación

como “juicio de valor sobre el resultado de una operación

numérica o de la medida de una cantidad, en función de

circunstancias individuales del que lo emite” (p. 18).

4 Hall (1984) utiliza la definición de estimación como “adivinación educada” (p. 516). Clayton (1996), en la misma dirección que Hall, define la estimación como “la destreza de realizar una adivinación educada para el valor de una distancia, precio, tamaño, etc., o para un cálculo aritmético” (p. 87).



10

Procesos y estrategias de estimación

Al analizar las estrategias utilizadas por los individuos

cuando realizan tareas de estimación, R. E. Reys, Bestgen,

Rybolt y Wyatt (1982) identifican tres procesos generales que

se ponen de manifiesto en las mismas: reformulación,

traducción y compensación. Los autores consideran estos

procesos generales como “tres procesos clave que parecen estar

estrechamente relacionados con las buenas habilidades de

estimación. Cada uno de ellos es un proceso cognitivo de alto

nivel difícil de definir operacionalmente” (p. 187).

Estos autores definen la reformulación como: “el proceso

de cambiar los datos numéricos para producir una forma [del

problema] más manejable mentalmente. Este proceso deja la

estructura del problema intacta” (p. 187). Por otra parte, “la

traducción es el proceso de cambiar la estructura matemática

del problema por otra más manejable mentalmente. Esta forma

será después utilizada en el cálculo para procesar los datos

numéricos” (p. 188). Por último, la compensación se manifiesta

en los “ajustes hechos para reflejar variaciones en los

números debidas a la reformulación y a la traducción”

(p. 189).

En el presente trabajo se interpreta la estructura del

problema como “la descripción de los algoritmos o ecuaciones

algebraicas que hacen posible la obtención de una solución del

problema” (Castro, 1991, p. 56). De este modo, se considera

que hay un cambio en la estructura matemática del problema (y,

por tanto, un proceso de traducción) cuando se sustituyen los

datos iniciales por otros, de modo que esta sustitución

produce un cambio en el algoritmo de cálculo empleado para

hallar el resultado. Un ejemplo de reformulación sería la

sustitución en el cálculo 400 × 0,5 de 0,5 por ½, en el caso

de que esta sustitución suponga un cambio en el algoritmo de

cálculo al pasar de “multiplicar por 5 y dividir por 10” a

“dividir por dos”.



11

En el enfoque adoptado en este trabajo, producir una

estimación consiste básicamente en5: sustituir los datos del

problema por aproximaciones que permitan reducir la

complejidad de los cálculos manteniendo la proximidad

necesaria al resultado exacto, aplicar un algoritmo de cálculo

(mental) a estas aproximaciones, realizar una compensación

(previa o posterior al algoritmo de cálculo) y hacer una

valoración del resultado obtenido. Como se ha expuesto,

dependiendo del tipo de sustitución que se haga con los datos

iniciales y si ésta implica (o no) un cambio en el algoritmo

de cálculo, se estará ante un proceso de reformulación o uno

de traducción.

Las estrategias pueden definirse como “procedimientos que

guían la elección de la destreza que debe emplearse o de los

conocimientos a que se debe recurrir en cada etapa de la

resolución de un problema” (Cockcroft, 1985, p. 87). Dentro

del modelo adoptado para la estimación, expuesto en el párrafo

anterior, deben hacerse las siguientes precisiones: En primer

lugar, al analizar una estrategia de estimación se atenderá al

tipo de sustitución que se realice con los datos iniciales del

problema; en segundo lugar, se estudiará el modo en que se

opera con las aproximaciones, indicando si éste supone un

proceso de traducción o de reformulación; y, finalmente, se

señalará si se ha producido un proceso de compensación y de

qué tipo ha sido la misma (intermedia o final). Así, en este

trabajo, se toma el término “estrategia” en un sentido

general, que no sólo tiene en cuenta lo que en los trabajos

sobre estimación se ha considerado como estrategias

específicas de estimación6, sino que también toma en cuenta los

procesos de estimación utilizados, los algoritmos de cálculo

mental y la valoración del resultado. Al adoptar este

5 En una estrategia de estimación podrán darse alguno, varios o todos estos pasos. 6 Y que en este trabajo se denomina “destrezas de aproximación” o “técnicas de aproximación”.



12

planteamiento, se da cabida también -dentro de las estrategias

de estimación- a procesos metacognitivos como los descritos

por Sowder (1994). Esta autora afirma que los individuos

considerados como buenos estimadores “suelen ser

caracterizados como flexibles, tienen confianza en sí mismos,

toleran el error en las estimaciones y [...] examinan la

razonabilidad de los resultados” (p. 142). De este modo, el

sujeto que realiza una estimación debe ser capaz de elegir de

forma flexible una estrategia adecuada para el problema de

estimación (para lo cual conviene que conozca varias). Del

mismo modo, debe ser también capaz de evaluar tanto el proceso

(modificándolo si fuera oportuno) como el resultado

(examinando la razonabilidad del mismo). Sowder (1994)

considera la elección flexible de estrategias y la valoración

del proceso y del resultado como ejemplos de “auto-regulación”

y “auto-monitorización” que constituyen procesos

metacognitivos. Según esta autora, son “estos metaprocesos,

quizá más que otros, los que distinguen a aquellos que tienen

éxito en cálculo mental y en la estimación en cálculo de los

que no lo tienen” (p. 143).

Dentro de los procesos generales de reformulación y

traducción, pueden encontrarse distintas destrezas de

aproximación. Diversos autores han dedicado sus

investigaciones a la identificación de estrategias utilizadas

para producir estimaciones.

A continuación, se presenta un resumen de los tipos de

estrategias específicas -que se han descrito en estudios

precedentes- que se emplean al producir estimaciones para

operaciones aritméticas descontextualizadas, cuando el tipo de

operación es la multiplicación o la división y los números que

aparecen en la misma son enteros o decimales. Este es el tipo

de procedimientos que se espera que aparezcan en este trabajo

(de acuerdo con la revisión de la literatura realizada). Se

toma como referencia fundamental el trabajo de Segovia y otros



13

(1989). También se han valorado las aportaciones de los

trabajos de Dowker (1992), Dowker, Flood, Griffiths, Harris y

Hook (1996), Hanson y Hogan (2000), Levine (1980), Levine

(1982) y R. E. Reys y otros (1982).

En investigaciones previas y referente a los procesos de

reformulación se ha detectado el uso de las siguientes

destrezas de aproximación:

1. Primeros dígitos7. Se caracteriza por el uso de los dígitos

más significativos de los datos del problema. Esta destreza se

puede llevar a cabo mediante el redondeo o el truncamiento y

admite múltiples variantes. Así, al utilizar el redondeo,

puede redondearse uno de los números que aparecen en la

operación o los dos, puede hacerse el redondeo a distintos

órdenes (redondeo a las unidades, decenas, etc.), realizarse

la operación con todos los ceros (que provienen del redondeo)

o con los dígitos significativos (para recuperar al final el

valor posicional de los mismos), redondear uno o ambos números

a potencias de diez para facilitar al máximo los cálculos,

etc. Así, algunos autores como Levine (1980) realizan la

siguiente subdivisión:

1.1 Redondeo de ambos números. Supone redondear los dos

números, hacia arriba o hacia abajo, a un múltiplo de una

potencia de 10 utilizando menos dígitos significativos que

en los números de partida.

Ejemplo: Estimar 824×26 como 800×30.

1.2 Redondeo de uno de los dos números (pero no los dos).

Igual que en el caso anterior salvo que en este caso, uno

de los dos números no sufre ningún cambio significativo.

Ejemplo: Estimar 93 × 18 como 93 × 20

1.3 Redondeo a potencias de 10. Ambos números son sustituidos

por potencias de 10. Sólo se clasifica una estimación en

7 Al uso de los primeros dígitos para producir una estimación también se le suele llamar estimación frontal o estrategia frontal (front-end strategy).



14

esta categoría cuando no encaja en ninguna de las

anteriores.

Ejemplo: Estimar 76 × 89 como 100 × 100.

1.4 Truncamiento. Se considerada independientemente en el

trabajo de Hanson y Hogan (2000), pero no en el estudio de

Levine (1982). Consiste en tomar los primeros dígitos de

cada número, operar con ellos y ajustar después el valor

posicional del resultado.

Ejemplo: Estimar 424 × 0,76 como 400 × 0,7 = 280.

2. Uso de números compatibles. Los números son sustituidos por

otros cuyo producto o cociente exacto ya se conoce. Se utiliza

sobre todo en la división, sustituyendo el dividendo y el

divisor por dos números próximos a los mismos entre los cuales

exista una relación de múltiplo y divisor. Algunos autores

consideran este enfoque como un tipo especial de redondeo en

el que no se siguen las reglas estándar del mismo.

Ejemplo: Estimar 1292.8 ÷ 71.2 como 1300 ÷ 65 que sabemos que

son 20.

Dentro de los procesos de traducción, la estrategia más

utilizada en el tipo de tareas de estimación que aparecen en

este trabajo es la de:

3. Uso de exponentes. Cada número se rescribe mentalmente como

el producto de un número por una potencia de 10.

Ejemplo: Estimar 0.47 × 0.26 como 5×10-1 × 3×10-1 para obtener

15×10−2 o 0.15.

Una estrategia que en algunas ocasiones se da asociada a

procesos de reformulación y en otras a procesos de traducción

es la siguiente:

4. Sustitución de un número decimal por una fracción. Como,

por ejemplo, la que se produce al estimar 424 × 0,76 como ¾ de

424. Esta sustitución del decimal 0,76 por la fracción ¾

supone un cambio en la estructura matemática del problema,

pues el sujeto suele pasar (con esta sustitución) de



15

multiplicar por 76 y dividir por 100 a dividir por 4 y

multiplicar por 3. Si conservara el orden inicial de las

operaciones (multiplicando por 3 y dividiendo por cuatro, el

proceso sería de reformulación.

Por último, hay que señalar que muchos sujetos, que no

han recibido enseñanza sobre técnicas específicas de

estimación o les cuesta aceptar el valor que tienen los

números aproximados para estimar, se enfrentan a tareas de

estimación intentando trasladar a las mismas las técnicas

propias del cálculo escrito. Así, algunos sujetos utilizan la

“estrategia” que recibirá el nombre de:

5. Imitación del algoritmo escrito. Por ejemplo, al estimar

64.6 × 0.16 se calcula 646 × 6, luego 646 × 10, se suman los

resultados y se ajusta la coma decimal para obtener la

estimación final de 9.

Debe advertirse que esta “estrategia” no es específica de

las tareas de estimación, no se enseña ni se considera

apropiada para resolver las mismas y solamente indica una

ausencia de un conocimiento adecuado de los procesos y

estrategias de estimación. No obstante, se cita aquí por ser

el procedimiento utilizado por muchos sujetos para estimar,

pero no aparece en el organigrama de estrategias y procesos de

estimación que resume el modelo de Segovia y otros (1989) que

se expone en el siguiente apartado.

El modelo RTC

Las estrategias y los procesos de estimación pueden integrarse

dentro del modelo propuesto por R. E. Reys y otros (1982) para

los mismos. El modelo consiste básicamente en suponer que en

cualquier estrategia -utilizada en la producción de una

estimación para un cálculo- se pone de manifiesto alguno (o

varios) de los tres procesos antes descritos. El modelo recibe

el nombre de “modelo RTC” por las iniciales de estos tres

procesos. Este modelo ha sido utilizado en distintas



16

investigaciones: Berry (1999), Brame (1986), Case y Sowder

(1990), Chien (1990), Floyd (1994), Gossard (1986), Heinrich

(1999), Mottram (1996), Reehm (1994), B. J. Reys y otros

(1991), R. E. Reys y otros (1991), Shimizu (1994), Sliva

(1988), Smith (1993), Sowder y Wheeler (1989) y Wyatt (1985).

Shumway (1994) afirma que “todas las estrategias de

estimación en cálculo, que se han identificado en anteriores

investigaciones, encajan sin problemas dentro del modelo RTC”

(p. 188). Además, los resultados obtenidos en Estados Unidos,

Méjico y Japón parecen indicar que este modelo es válido para

distintas culturas. Este autor propone como objetivo

fundamental para futuras investigaciones confirmar o refutar

la siguiente sugerencia: “El modelo RTC debe ser adoptado como

el modelo elegido para elaborar los informes de investigación

sobre estimación en cálculo hasta que sea necesario un

refinamiento del modelo o un cambio del mismo” (p. 188).

Algunos autores, asumiendo las características esenciales

del modelo RTC, han intentado dar una descripción más

detallada del mismo que trate de explicar cómo producen los

sujetos las estimaciones. Entre éstos, pueden citarse los

modelos de Lefevre, Greenham, & Waheed (1993) y Segovia y

otros (1989).

A continuación se muestran los organigramas

correspondientes a estos modelos sobre los procesos de

estimación.



17

Figura 1.2 Modelo para los procesos de estimación en cálculo

propuesto por Segovia, Castro, Castro y Rico (1989, p. 152)

FASE

DE

RE

FOR

MU

LA

CIÓ

NFA

SE D

E T

RA

DU

CC

IÓN

FASE

DE

CO

MPE

NSA

CIÓ

N

Problema de cálculo estimativo

Procedimiento con los primeros dígitos Procedimiento de sustitución

Redondeo Truncamiento Compatible Equivalencia

D

D

D

D

D D

D

¿Cambio de datos?

¿Buena estimación?

Fin

¿Cambio de operaciones?

¿Compensación?

Inicio

Compensación final Compensación intermedia

Aplicar algoritmo de cálculo

Resultado

Valoración del resultado

Orden de las operaciones Tipo de operación

Sí

No

Sí

Sí

Sí

No

No

No

FASE

DE

RE

FOR

MU

LA

CIÓ

NFA

SE D

E T

RA

DU

CC

IÓN

FASE

DE

CO

MPE

NSA

CIÓ

N



Redondeo Truncamiento Compatible Equivalencia

D

D

D

D

D D

D

¿Cambio de datos?

¿Buena estimación?

Fin

¿Cambio de operaciones?

¿Compensación?

Inicio



Resultado


Orden de las operaciones Tipo de operación



Redondeo Truncamiento Compatible EquivalenciaRedondeo Truncamiento Compatible Equivalencia

DD

DD

DD

DD

DD DD

DD

¿Cambio de datos?¿Cambio de datos?

¿Buena estimación?¿Buena estimación?

FinFin

¿Cambio de operaciones?¿Cambio de operaciones?

¿Compensación?¿Compensación?

InicioInicio



Resultado


Orden de las operaciones Tipo de operaciónOrden de las operaciones Tipo de operación

Sí

No

Sí

Sí

Sí

No

No

No



18

Figura 1.3 Modelo para los procesos de estimación en cálculo

propuesto por LeFevre y otros (1993, p. 123)

La razonabilidad en la estimación

Respuestas razonables y contexto. Cuando se hace

estimación en cálculo se suele establecer una diferencia entre

ejercicios de operación directa, que son aquellos en los que

se plantea una operación con dos o más números quedando claro

qué operación debe realizarse, y problemas de aplicación, que

son los que contienen datos numéricos inmersos en un contexto

de la vida real. El contexto es fundamental en la estimación

cuando se habla de sentido numérico o de qué es una estimación

razonable. Hope (1989) dice que:

Compensaciónfinal

Estimación

Algoritmo de cálculo mental

Ajuste del valor posicional

Intento de recuperación del resultado exacto

Evaluación del éxito en la obtención de la

respuesta exacta

Reformulación

Problema de estimación en cálculo

Solución intermedia

Compensaciónfinal

EstimaciónEstimación

Algoritmo de cálculo mental

Ajuste del valor posicional

Intento de recuperación del resultado exacto

Evaluación del éxito en la obtención de la

respuesta exacta

Reformulación



Solución intermedia



19

Fuera del colegio los cálculos nunca se realizan simplemente por

el gusto de hacerlos. Siempre se hacen en el contexto de resolver

problemas prácticos o de llevar a cabo tareas prácticas. En el

mundo escolar, sin embargo, los alumnos trabajan con números

normalmente aislados del contexto diario. El cálculo normalmente

se realiza por sí mismo, y los resultados de los cálculos

raramente se aplican a problemas prácticos... Cuando los alumnos

calculan sin otro propósito que dar una respuesta considerada

correcta por el profesor, a menudo adquieren una forma mecánica

de comportamiento antitética con el desarrollo de aquello que

entendemos por sentido numérico. (pp. 12-13)

El contexto puede ayudar en la evaluación de la razonabilidad de

una respuesta calculada. El contexto práctico puede proporcionar

pistas importantes para juzgar si una respuesta es o no

razonable. Proporcionando un contexto para un cálculo, los

profesores pueden ayudar a los alumnos a identificar las

circunstancias implícitas y explícitas de la situación que pueden

ser usadas para evaluar la razonabilidad de las respuestas que se

producen en la escuela. Sin un contexto, una respuesta parece tan

razonable a los alumnos como cualquier otra. (p. 14)

También habla el autor del grado de precisión que debe tener

una estimación diciendo que “la precisión que debemos dar a

una estimación depende del uso” (p. 15) [que se vaya a hacer

de la estimación]. Por otra parte, afirma que “los profesores

deberían tener cuidado con no pedir un grado de precisión que

no sea realista” (p. 16); y acaba diciendo que “la adecuación

de una estimación depende completamente de las circunstancias

prácticas”. (p. 16)

Morgan (1989), al comentar los resultados de una

investigación, dice que:

Tuvieron más éxito los alumnos al dar estimaciones para el

problema contextualizado que para el cálculo... La ventaja

proporcionada por el contexto fue más marcada para los tipos de

operaciones que los niños encuentran difícil de conceptualizar:



20

multiplicación o división por un número menor que uno y división

de un número por otro mayor. (p. 16)

Plantear problemas con contexto ayuda a los alumnos a utilizar

estrategias más flexibles de estimación. Morgan (1989) afirma

que:

El hecho de que muchos chicos fueran capaces de dar estimaciones

razonables en contexto mientras que fallaban en estimar cálculos

parecidos fuera de contexto muestra que no estaban simplemente

traduciendo el problema verbal en forma de cálculo. Las

entrevistas revelan que algunos de ellos estaban usando muy

diferentes (y por lo general más exitosas) estrategias para hacer

estimaciones dentro de un contexto. (p. 16)

La autora sigue comentando que “el contexto no sólo hace

posible examinar si una estimación tiene sentido sino que

también parece poder hacer más fácil para algunos niños el uso

de la (estrategia de) operación frontal” (p. 17).

Por otra parte, R. E. Reys (1985) continúa en esta

dirección al añadir que “una respuesta puede ser muy cercana y

aún así no ser razonable” (p. 39). Pone el ejemplo de una vez

que compró 15 botes de pelotas de tenis, estando el precio de

cada bote en $1.99 y quisieron cobrarle $31.94. En esta

situación, cualquier resultado por encima de $30 no es

razonable.

Intervalos de respuestas razonables. En la

evaluación de estimaciones parece haber acuerdo en que debe

darse un intervalo de respuestas razonables. Reys (1988)

afirma que: “una cosa está clara; ‘una respuesta correcta’ o

una sola ‘mejor estimación’ debe ser reemplazada por un

intervalo de estimaciones aceptables” (p. 29). En una

investigación Flores, B. J. Reys y R. E. Reys (1990) indican

que “se construyeron intervalos de respuesta aceptables,

discutiendo cada pregunta. Los intervalos variaban en tamaño y



21

fueron adecuados para cada pregunta. En todos los casos los

intervalos contienen la respuesta exacta” (p. 33). Los

intervalos suelen hacerse de modo que los resultados de

aplicar las estrategias habituales de estimación caigan dentro

del intervalo. En la investigación de Rubenstein (1985a) “una

respuesta era correcta si caía dentro del intervalo limitado

por la más baja y la mayor de las estimaciones aceptables

determinadas por un grupo de educadores matemáticos que

utilizaban procedimientos comúnmente aceptados” (p. 107). En

este sentido, Reys (1988) dice que “hay que establecer

cuidadosamente los intervalos de respuestas aceptables

teniendo cuidado con no penalizar a los alumnos cuando

estiman” (p. 30). Quiere decir con esto que algunos métodos de

evaluación de la estimación, como algunos tests de respuesta

cerrada, penalizan a los alumnos al no reconocer como

razonable una estimación realizada utilizando una estrategia

comúnmente aceptada.

La razonabilidad y los porcentajes de error. En

algunas investigaciones se ha considerado razonable aquella

estimación cuyo porcentaje de error fuese menor que una

cantidad dada. Clayton (1988) examina los criterios para

determinar el éxito en tareas de estimación utilizados por

diferentes investigadores y encuentra que, mientras que un

investigador consideraba las respuestas "precisas" cuando el

error era menor del 50%, en otro trabajo de investigación se

permitía un error máximo del 15%.

El problema se complica si tenemos en cuenta que la

"razonabilidad" puede variar con el tamaño de los números de

modo que un criterio basado simplemente en un porcentaje de

error puede no parecer válido.

En un trabajo sobre estimación de cantidades discretas,

Clayton (1988) propone como ejemplo que si la cantidad a

estimar es un grupo de diez objetos y damos una estimación de



22

5 el error nos parecerá mucho más grave que cuando al estimar

una multitud de 100.000 personas demos una estimación de

50.000. El autor propone un criterio de razonabilidad (COR)

para valorar la razonabilidad de estimaciones de cantidades

mayores que cuatro. El COR es de naturaleza logarítmica de

modo que se requiere mayor exactitud para números pequeños que

para números grandes. Este modelo, pensado para estimación de

cantidades discretas, no puede extenderse a otros tipos de

estimación pero nos sugiere que pueden desarrollarse otros

modelos basados en el porcentaje de error para valorar la

razonabilidad de una respuesta.

Levine (1982) utiliza en su test de habilidad en

estimación un sistema de puntuación mediante intervalos. Si el

porcentaje de error en la estimación es menor del 10% al

alumno se le dan tres puntos. Si el porcentaje de error está

entre el 10% y el 20%, dos puntos. Si el porcentaje de error

está entre el 20% y el 30%, un punto. Si el porcentaje de

error es mayor que un 30% cero puntos. Hay que advertir que,

aunque en esta prueba se utiliza una misma evaluación para

todos los ítems, muchos de los ítems de la prueba son de un

tipo parecido.

Edwards (1984) critica el uso del porcentaje de error

para determinar si una respuesta es o no razonable.

Un “porcentaje de error admisible"... no es la manera apropiada

de determinar el valor que debemos dar a una estimación que puede

haber sido obtenida de muchas formas distintas, algunas

ingeniosas, algunas adecuadas a destrezas particulares de algunos

alumnos, algunas solamente "afortunadas" o "desafortunadas".

Supongamos que un alumno está usando el método de trabajar

redondeando a una cifra significativa y lo aplica a 749 por 849.

Obtendrá 560.000, un error del 12% con respecto a la respuesta

correcta. Una buena estimación. Cualquiera la calificaría como

correcta. Pero supongamos que aplica exactamente la misma regla a

149 por 249 dándole 20000 con un error del 46%. Seguramente esto

será inaceptable. De un estimador, de nivel bajo, no se puede



23

esperar que sepa de qué depende la precisión de su estimación. De

aquí se sigue, según pienso, que será simplemente una cuestión de

suerte el que un método perfectamente respetable produzca o no

una estimación dentro de un rango determinado arbitrariamente.

(p. 62)

Estrategias apropiadas para un cálculo. Dowker y

otros (1996), que utilizan en su investigación el test de

Levine (1982), dan la siguiente definición de estrategia

apropiada (para dar una estimación para un cálculo): “una

estrategia apropiada se define aquí como aquella que (1) es

consistente con los principios matemáticos y (2) si se lleva a

la práctica sin errores de cálculo producirá una estimación

con un error menor del 20%” (p. 122). La razón para definir

lo que se considera una estrategia apropiada estriba en la

necesidad de distinguir entre el uso versátil de estrategias

apropiadas y el uso indiscriminado de estrategias. En esta

situación tendríamos, por ejemplo, que al aplicar la

estrategia de operación frontal (truncamiento) al cálculo 824

× 26 obtendríamos: 824 × 26 ≈ 800 × 20 = 16000 con un error del

25,3%. Por lo tanto, con esta definición, la estrategia de

truncamiento no sería apropiada para dar una estimación para

este cálculo.

Dowker (1997) en otra investigación, llevada a cabo con

niños, cuyas edades oscilaban entre los cuatro y nueve años,

utiliza un criterio parecido para valorar la razonabilidad de

una estimación. En su trabajo se pide a los niños que den

estimaciones para el resultado de sumas de dos números. Se

consideraron razonables aquellas estimaciones cuyo porcentaje

de error era menor del 30% y además eran mayores que el mayor

de los dos sumandos que intervenían en la suma.

Para Schoen, Blume y Hart (1987) debería “haber una

conexión muy estrecha entre la estimación en un dominio

numérico y la comprensión de conceptos matemáticos en ese

dominio tales como, el tamaño de los números, el orden, las



24

propiedades numéricas y el significado de las operaciones” (p.

2). De esta conexión entre la estimación y la comprensión de

conceptos “debería seguirse que un importante subproducto del

aprendizaje de la estimación fuera la comprensión conceptual”

(p. 2).

Sin embargo, estos autores advierten8 que:

La estimación suele verse como equivalente a los siguientes

pasos:

1. Redondeo de los números con los que debemos calcular

utilizando las reglas estándar del redondeo.

2. Cálculo mental con los números redondeados.

3. Llamar al resultado “la estimación”.

Desde este punto de vista la estimación es un procedimiento

práctico que puede llevarnos a obtener estimaciones razonables,

pero seguramente podrá ser enseñando y aprendido la mayor parte

de las veces como un procedimiento memorístico sin ninguna

conexión con la comprensión de conceptos. (pp. 3-4)

La investigación de Schoen y otros (1987) está centrada en la

evaluación de la estimación en cálculo. Para él, sí un alumno

es capaz de obtener una buena puntuación en un test de

estimación usando los tres pasos antes descritos, el test no

promoverá el aprendizaje significativo de la estimación. En

este trabajo se observó que en los ítems de respuesta abierta

el 70% de los alumnos utilizaban la estrategia de redondeo

para dar una estimación. El autor concluye que este tipo de

ítems es solamente adecuado para valorar la habilidad de los

alumnos para utilizar el redondeo pero no será adecuado para

evaluar el uso de estrategias distintas de ésta.

Para Schoen, Blume y Hoover (1990) la mejor forma de

evaluar la elección de estrategia apropiada para realizar una

estimación es el uso de ítems de elección múltiple.

8 Como resultado de un trabajo anterior (Schoen, Friesen, Jarret y Urbatsch, 1981).



25

Por ejemplo para evaluar si los alumnos utilizan

correctamente la compensación se propone el siguiente ítem con

el formato de "intervalos en las opciones".

Un ferry traslada seis coches. Cada coche pesa 1826 kg. El peso

total de los coches está

entre ______ kg.

a) 6000 y 9000.

b) 12000 y 15000.

*c) 9000 y 12000.

d) 15000 y 18000.

[aparece marcada con un asterisco la respuesta correcta] (p.

64).

Para evaluar si un alumno utiliza correctamente la estrategia

de operación frontal, se propone el siguiente ítem (p. 64):

La estimación más cercana para 29,61 – 3,42 es ______.

a) 24 *c) 26

b) 25 d) 27

En este contexto, la estrategia más adecuada para realizar una

estimación es simplemente la que tiene un grado mayor de

precisión. Este último ítem exige un grado de precisión muy

alto y además puede penalizar el uso de una estrategia (como

el redondeo) cuya aplicación debería ser considerada razonable

en esta situación. La exigencia de un grado de precisión muy

alta ha sido criticada por R. E. Reys (1986) porque puede

“favorecer la producción de cálculos exactos en lugar de la de

estimaciones” (p. 229). También ha sido criticado el hecho de

que en ocasiones se utiliza una forma de evaluación9 que

penaliza a estimadores que dan respuestas razonables a un

cálculo (R. E. Reys, 1988 y Trafton y Zawojeswski, 1987).

9 Para examinar las dificultades de la evaluación de la estimación –y posibles caminos para abordar la misma- puede consultarse Schoen (1994). Este autor propone un cambio en la forma en que se ha venido evaluando la estimación hasta ahora, que consistiría fundamentalmente en evaluar la estimación dentro de un contexto de resolución de problemas.



26

Error absoluto y relativo

Cuando realizamos una estimación para un cálculo, llamamos

error absoluto a la diferencia entre nuestra estimación y el

valor exacto del cálculo. El error relativo es la razón entre

el error absoluto y el valor exacto del cálculo. Solemos

llamar porcentaje de error al error relativo expresado como

porcentaje. Algunas veces utilizamos el valor absoluto para

calcular los errores. En estos casos, sólo recibimos

información sobre el “tamaño del error” pero no sabemos si el

error ha sido por defecto o por exceso (esto es, si la

estimación que hemos dado es menor o mayor que el valor exacto

del cálculo).

Sowder y Markovits (1990) examinan los efectos que tiene,

en la instrucción de alumnos de séptimo grado, la enseñanza de

los conceptos de error absoluto y relativo. Los alumnos

reciben siete lecciones sobre estimación (impartidas en nueve

sesiones de clase). Después de estas lecciones, se evalúa a

los alumnos mediante entrevistas. En ellas se utilizan ítems

del siguiente tipo:

Ítem 1: La estimación que está más cerca del resultado exacto

para el cálculo 22 × 84 es, (a) 20 × 80, (b) 20 × 84,(c) 22 × 80.

(p. 325)

Ítem 2: Si utilizamos 30×86 para estimar 34×86, tenemos que la

respuesta exacta es 2924 y nuestra estimación es de 2580. La

diferencia entre estos dos números es 344. Si utilizamos 500×86

para estimar 496×86, la solución exacta será 42656 y nuestra

estimación 43000 y la diferencia es nuevamente 344. ¿Cuál de

estas sería tu elección? (a) la primera estimación es mejor; (b)

ambas estimaciones son igual de buenas; (c) la segunda estimación

es mejor. (p. 326)

Ítem 3: “Estima 42 × 34” (p. 327)

Como puede verse en estos ítems elegidos para la entrevista,

los alumnos deben distinguir entre error absoluto y relativo



27

(en el ítem 2), utilizar algún tipo de compensación (en el

ítem 3) y ser capaces de utilizar la propiedad distributiva

para poder valorar el tamaño de un error (en el ítem 1).

Las autoras llegaron a la conclusión de que este tipo de

destrezas pueden enseñarse con éxito pero que no se

desarrollan espontáneamente sino que necesitan una enseñanza

explícita.

Estimación y aproximación

Hall (1984) explica la diferencia entre estimación y

aproximación. Para él, la estimación es “la habilidad mental

de producir adivinaciones educadas” (p. 516) mientras que la

aproximación es “la búsqueda de un dato numérico

suficientemente preciso para un determinado propósito”

(p. 517). Según este autor, “las principales cuestiones que

tenemos que aprender con respecto a la aproximación son:

Cuándo es un número una estimación, cómo de precisa es una

estimación (cuál es el error cometido) y cómo debe ser de

precisa una estimación”. (p. 516)

Segovia y otros (1989) añaden que “las aproximaciones y

sus grados de proximidad (errores) permiten elaborar una

aritmética particular que se conoce por Cálculo Aproximado”

(p. 22). Para conocer algunas reglas y ejemplos de cálculo

aproximado pueden consultarse: Anderson (1992), Hilton y

Pedersen (1986) y Jollife (1999).

Una diferencia fundamental entre la estimación y la

aproximación consiste en que en la aproximación “los valores

asignados y los resultados obtenidos tienen un grado de

proximidad controlada con respecto al dato exacto” (Segovia y

otros, 1989, p. 22). Sin embargo, cuando hacemos una

estimación, es muy difícil que podamos controlar el tamaño del

error cometido. Esto hace que la evaluación de la estimación

mediante un porcentaje de error determinado sea una opción muy



28

discutida. Ilustramos esta situación mediante el siguiente

ejemplo:

Supongamos que debemos dar una estimación para el cálculo

164 × 378 y que el criterio de evaluación es el de considerar

“estimaciones razonables” aquellas cuyo porcentaje de error no

exceda el 30%. Si se utiliza la estrategia de redondeo

(utilizando un dígito significativo de cada número) se

obtendrá: 164 × 378 ≈ 200 × 400 = 80000 y el porcentaje de

error será de un 29,05%, con lo que la estimación será

considerada como “razonable”. Si ahora pedimos que se realice

otra estimación para el cálculo 164 × 374 y utilizamos la

misma estrategia obtendremos: 164 × 374 ≈ 200 × 400 = 80000 y

el porcentaje de error será de un 30,43% con lo que la

estimación será considerada como “no razonable”.

Objetivos de la investigación

El objetivo principal de esta investigación consiste en

estudiar la dificultad relativa de las tareas de estimación en

cálculo, en función del tipo de número que aparece en ellas,

con alumnos de magisterio. Las tareas que vamos a utilizar son

"cálculos directos", es decir, cálculos desprovistos de

contexto. Asimismo pretendemos analizar las ideas equivocadas

que tienen los alumnos de magisterio sobre las operaciones de

multiplicación y división cuando en éstas aparecen números

decimales menores que uno. Se quiere determinar qué influencia

tienen estas ideas equivocadas en la dificultad de dar una

estimación para una multiplicación o una división en las que


Para ello, se va a realizar un estudio dividido en dos

fases. En primer lugar, se llevará a cabo un periodo de

instrucción en el cual los sujetos aprenderán conceptos y

procedimientos propios de la estimación en cálculo. Tras este

período, en el que se dará enseñanza explícita sobre



29

estrategias de estimación, se administrará a los participantes

una prueba de estimación. Esta prueba será elegida entre las

que se han utilizado en investigaciones precedentes y deberá

ser adecuada a los objetivos de nuestro estudio. Esto es, será

una prueba en la que aparezcan multiplicaciones y divisiones

con números enteros, decimales mayores que uno y decimales

menores que uno.

En la segunda parte del estudio se tendrán en cuenta los

resultados obtenidos en la prueba de estimación para

seleccionar alumnos a los que se realizará una entrevista.

Dado que se quiere analizar las ideas equivocadas que tienen

los sujetos sobre la multiplicación y la división, elegiremos

para las entrevistas a sujetos que hayan dado en la prueba de

estimación resultados incompatibles con una correcta

conceptualización de estas operaciones. También elegiremos

alumnos cuyas respuestas sean todas compatibles con una

adecuada conceptualización de las operaciones. En las

entrevistas se pedirá a los alumnos que realicen estimaciones

y posteriormente que expliquen qué estrategia han utilizado

para producir su estimación. También habrá una parte de la

entrevista que estará orientada a "sacar a la luz" las ideas

que tienen los alumnos sobre las operaciones con decimales

menores que uno.

Para terminar, en nuestro trabajo se ha planteado un

objetivo secundario. En la prueba de estimación, se ha

administrado el tiempo de respuesta a los ítems de un modo

especial, distinto del que se ha utilizado en investigaciones

precedentes. Se intentará probar que los resultados obtenidos

no dependen de esta forma de administrar el tiempo en la

prueba.


Capítulo 2

Revisión de la literatura

Este capítulo está dividido en dos partes. En la primera se ha

realizado una revisión general de investigaciones sobre

estimación en cálculo mientras que la segunda se centra, de

forma más específica, en los antecedentes concretos del

problema de investigación que se ha planteado en el capítulo

uno.

Revisión general de investigaciones sobre estimación

en cálculo

A continuación se presenta una amplia revisión de las

investigaciones que se han realizado sobre estimación en

cálculo hasta la fecha. Se han incluido también,

excepcionalmente, algunas investigaciones sobre sentido

numérico, cálculo mental, estimación en medida o estimación de

cantidades discretas cuando la metodología de la investigación

contenía algún aspecto interesante, extrapolable a las

investigaciones en estimación en cálculo pero que no aparece

en éstas, o cuando los resultados están en consonancia con los

hallados en investigaciones sobre estimación en cálculo y

facilitan la configuración de un marco teórico general para

estas destrezas. En el resumen de cada investigación aparecen

los objetivos, participantes, instrumentos y conclusiones de

las mismas.

Existen en la literatura varias revisiones de

investigaciones sobre estimación en cálculo. Cada una de ellas

utiliza una clasificación distinta de estas investigaciones. A

continuación se exponen las clasificaciones hechas por



32

distintos autores. En este trabajo se ha tomado una opción

que, aprovechando todos los esfuerzos de organizar este campo

de investigación, sirva también para incorporar los resultados

de los estudios más recientes.

Benton (1986) divide las investigaciones en tres áreas:

rendimiento en estimación de alumnos y maestros, estrategias y

características de los estimadores y estudios experimentales

sobre estimación. Sowder y Wheeler (1989) organizan los

estudios en tres clases: Relación de la estimación con otras

destrezas, comparación de métodos de enseñanza e

identificación de estrategias. Segovia (1997) utiliza la

clasificación de Sowder y Wheeler (1989), añadiendo las

investigaciones sobre instrucción y evaluación de la

estimación. Sowder (1992) considera los estudios sobre la

habilidad de estimar, el desarrollo de los conceptos y

estrategias propios de la estimación, la enseñanza de la

estimación, la influencia de los factores afectivos en la

habilidad de estimar y la evaluación. R. E. Reys (1993) agrupa

los resultados encontrados en las investigaciones según versen

sobre el rendimiento de los alumnos, el currículo, la

enseñanza de la estimación o la evaluación.

Resumiendo estos trabajos se ha optado por clasificar los

trabajos de investigación sobre estimación en cálculo en cinco

campos:

a) La habilidad de estimar y los factores relacionados con el

rendimiento en estimación

b) Estrategias y procesos de estimación

c) Enseñanza de la estimación en cálculo

d) Evaluación de la estimación

e) Desarrollo de conceptos y destrezas de la estimación

En la realización de esta revisión se han utilizado los

resúmenes anuales de la revista “Journal for Research in

Mathematics Education” de investigaciones sobre Educación

Matemática en general: Suydam (1985, 1986, 1987, 1988, 1989),



33

Suydam y Brosnan (1992, 1993, 1994) Suydam y Cocker (1990,

1991) y Wagner (1995). También se han consultado distintas

bases de datos: ERIC1, Mathdi2, PsycINFO3 y Dissertation

Abstracts4.

La mayor parte de los trabajos de investigación a los que

se hace referencia corresponden a estudios realizados en los

Estados Unidos de América. Para facilitar la lectura de los

resultados de estas investigaciones a personas familiarizadas

con el sistema educativo español, se incluye en el apéndice H

una breve descripción del sistema educativo americano y una

pequeña tabla de equivalencias entre los distintos niveles

educativos del sistema educativo americano y el español.

La habilidad de estimar y los factores relacionados

con el rendimiento en estimación

Rubenstein (1985a) estudia la dificultad de los ítems de

estimación en cálculo en función de varias variables: El

formato de respuesta (abierta, razonable o no-razonable,

número de referencia y orden de magnitud), el formato de la

pregunta (cálculos aplicados o cálculos directos), el tipo de

operación (suma, resta, multiplicación o división) y el tipo

de número (entero o decimal). También analiza la diferencia de

rendimiento entre sexos. Participan en su investigación 309

alumnos de octavo grado (114 chicas y 165 chicos). Diseña un

test con 64 ítems (16 con cada formato de pregunta). Los ítems

de respuesta abierta fueron los más difíciles, los cálculos

directos más difíciles que los aplicados, los ítems con

1Acceso a la base ERIC a través de la dirección http://ericir.syr.edu/Eric/ (el acceso es libre). 2Acceso a la base MATHDI a través de la dirección http://www.emis.de/MATH/DI.html. Versión de búsqueda limitada a tres entradas para cada búsqueda (de acceso libre). 3Acceso a la base PsycINFO a través de la dirección del servidor WebSPIRS http://150.244.6.14:8590/ (Acceso a la base completa a través de la red de la Universidad Autónoma de Madrid). 4Acceso a la base Dissertations Abstracts a través de la dirección http://wwwlib.umi.com/dissertations/search (Acceso a la base completa a través de la UAM).



34

números decimales más difíciles que aquellos en los que

solamente había números enteros, las divisiones fueron más

difíciles que las multiplicaciones, y las multiplicaciones y

las divisiones más difíciles que las sumas y las restas. Los

niños obtuvieron mejores resultados que las niñas,

especialmente en el formato de respuesta abierta.

Lynchard (1989) estudia la relación entre la habilidad en

estimación y el sentido numérico en una muestra formada por 86

alumnos de sexto grado que habían recibido instrucción en

estimación en cálculo. Para ello, identifica los posibles

componentes del sentido numérico y evalúa la relación de cada

uno de estos componentes con la habilidad de estimar. Otro

objetivo era el de determinar la relación existente entre el

ranking (del maestro) de los alumnos con respecto a la

habilidad de estimar y el rendimiento de los mismos en una

prueba de estimación. Los alumnos realizan una prueba de

estimación y una entrevista. El autor llega a las siguientes

conclusiones: (1) el rendimiento en matemáticas de los alumnos

puede ser un indicador fuerte del sentido numérico, (2) si

utilizamos solamente el rendimiento de los alumnos en cada uno

de los componentes, obtendremos un indicador débil para el

sentido numérico, (3) tanto las relaciones espaciales como la

actitud hacia las matemáticas no parecen ser buenos

indicadores del sentido numérico, (4) la habilidad de cálculo

no es un indicador preciso para la habilidad en estimación en

cálculo, y (5) los buenos estimadores dominan mucho mejor las

destrezas que constituyen prerrequisitos para la estimación

que los malos estimadores, pero ni los buenos ni los malos

estimadores demostraron una comprensión adecuada sobre la

estimación.

Kinkade (1991) examina el rendimiento de alumnos de

octavo grado en los ítems de estimación y aproximación del

SIMS (Segundo Estudio Internacional de las Matemáticas). El

estudio describe la relación que hay entre las actitudes de



35

los profesores y las de los alumnos sobre las matemáticas en

general y sobre la estimación y las relaciones entre estas

actitudes y el rendimiento de cada clase en los trece ítems de

estimación o aproximación del SIMS. Los alumnos estaban

agrupados en clases según su rendimiento en matemáticas. Había

clases de "recuperación", clases con un nivel medio, y clases

con alumnos "avanzados". En las clases de recuperación hubo

diferencias significativas en las puntuaciones dependiendo de

la concepción que tenían los maestros de las matemáticas como

procedimiento. En las clases con nivel medio hubo diferencias

significativas atendiendo a la percepción de los maestros

sobre la dificultad de los ítems (esto es, a la estimación que

hacían los maestros sobre el porcentaje de alumnos de su clase

que responderían correctamente al ítem). Las clases avanzadas

fueron las únicas en las que se encontraron diferencias

significativas en las puntuaciones atendiendo a las variables

independientes y al nivel de dificultad de los ítems del test.

Los resultados sugieren que los maestros deben recibir una

formación más profunda sobre estimación y sobre procesos

cognitivos en general y que debe revisarse la formación de

grupos de alumnos atendiendo al rendimiento de los mismos.

Gliner (1991) analiza distintas variables que pueden

influir en el rendimiento en estimación en cálculo. Participan

141 maestros en formación que realizan un test con veinticinco

problemas de estimación. Las variables más importantes

resultaron ser la nota media de los alumnos en la escuela, los

años de estudio de matemáticas y manifestar que disfrutaban

con las matemáticas. El mejor predictor de éxito en la prueba

de estimación fue la respuesta a la pregunta: ¿Se te dan bien

las matemáticas?. Los alumnos obtuvieron mejores resultados en

cálculos aplicados que en cálculos directos. Este resultado

parece entrar en contradicción con otros hallados en el campo

de la resolución de problemas.



36

Mottram (1996) se plantea el problema de la influencia

del contexto en la habilidad de estimar y en la elección y uso

de estrategias de estimación. Para ello elabora pruebas de

estimación con tres formatos de pregunta distintos: cálculos

directos-descontextualizados-, cálculos en los que se da un

contexto y problemas verbales. Participan en la investigación

236 alumnos de séptimo grado. Se eligió una muestra

estratificada de 60 alumnos que fueron entrevistados para ver

qué estrategias habían utilizado para hacer las estimaciones.

Los alumnos obtuvieron mejores resultados en los cálculos con

contexto que en el formato numérico y en el de problemas

verbales. El redondeo a números enteros y la imitación de

algoritmos escritos fueron las estrategias más utilizadas en

el formato numérico y en el de problemas verbales

respectivamente. El redondeo a decenas, a números enteros y el

uso de números compatibles fueron utilizados con la misma

frecuencia en los cálculos con contexto. El redondeo a mitades

y "otras estrategias" fueron más utilizados en los cálculos

con contexto que en el formato numérico y en el de problemas

verbales. Los alumnos con mayor habilidad de estimar

utilizaron mayor número de estrategias distintas y utilizaron

éstas en mayor número de ocasiones.

Albertson (1996) compara el rendimiento en estimación de

un grupo de alumnos de educación secundaria con problemas de

aprendizaje en matemáticas con otros dos grupos de control.

Pasa a todos los alumnos una prueba de estimación y realiza

entrevistas para analizar las estrategias utilizadas en la

producción de las estimaciones. Observa diferencias en la

precisión de las estimaciones, en los niveles de dificultad de

los problemas planteados y en el uso de estrategias. En el

grupo de alumnos con problemas de aprendizaje las estimaciones

estaban mucho más alejadas de la respuesta exacta y tuvo una

gran influencia el tamaño de los números en la dificultad de

las tareas de estimación. Al analizar las estrategias



37

utilizadas por los alumnos de este grupo se encontraron

discrepancias entre la de elección de estrategias y las

respuestas numéricas. Los alumnos con problemas de aprendizaje

en matemáticas describían estrategias de estimación sencillas

pero sus respuestas numéricas no coincidían con las que se

obtendrían al aplicar correctamente las estrategias descritas

debido a errores de cálculo.

R. E. Reys y Yang (1998) estudian la relación entre la

habilidad de hacer cálculos escritos y el sentido numérico en

alumnos de Taiwán (115 de sexto grado y 119 de octavo grado).

Para ello utilizan dos pruebas: una de cálculo escrito y otra

para medir el sentido numérico de los alumnos. Dentro de la

prueba, de 40 ítems, utilizada para medir el sentido numérico

se utilizaron algunos ítems sacados de pruebas de estimación

en cálculo. Se observa un gran rendimiento en los alumnos de

Taiwán en las pruebas de cálculo escrito, pero estos alumnos

tienen grandes dificultades para afrontar problemas parecidos

a los que se presentan en las pruebas de cálculo escrito

cuando se les pide que utilicen algún procedimiento

alternativo (como la estimación) en el que se manifieste su

sentido numérico. Se encontraron muy pocas evidencias de la

utilización de componentes identificables del sentido

numérico, como el uso de puntos de referencia (que también es

una estrategia de estimación).

Hanson y Hogan (2000) estudian la habilidad en estimación

de un grupo de 77 alumnos universitarios (con edades

comprendidas entre 18 y 21 años). Estos alumnos realizan un

test de estimación con sumas, restas, multiplicaciones y

divisiones. En estas operaciones aparecen números enteros,

decimales, porcentajes y fracciones. Los alumnos obtienen

buenos resultados en las estimaciones de sumas y restas con

números enteros y tienen los peores resultados en la

multiplicación y división de números decimales y en la resta

de fracciones. En una segunda fase de la investigación se



38

selecciona una muestra de 45 alumnos con niveles alto, medio y

bajo en habilidad de estimar. Se categorizan las estrategias

de estimación utilizadas por estos alumnos al analizar los

protocolos de "pensar en voz alta" encontrando 23 estrategias

distintas de estimación, trece de las cuales no aparecían en

anteriores investigaciones.

Estrategias y procesos de estimación

R. E. Reys y otros (1980, 19825) desarrollaron un test para

medir la habilidad de estimar. Utilizaron este test para

seleccionar a los mejores estimadores de entre 1200 sujetos

que tomaron parte en la investigación. Participaron alumnos

desde séptimo a 12º grado y un grupo de adultos. Se entrevistó

a 59 de los mejores estimadores para identificar los procesos

mentales que utilizaban cuando hacían estimación en cálculo.

Las entrevistas revelaron el uso de muchas estrategias

diferentes de estimación. Se describieron las características

de los buenos estimadores y se propuso un modelo para los

procesos de estimación. Este modelo postula la existencia de

tres procesos cognitivos de alto nivel (reformulación,

traducción y compensación) que se manifiestan en las

estrategias de estimación.

Sowder J. T. (1984) entrevista a 26 alumnos de sexto,

séptimo, octavo y noveno grado (con edades comprendidas entre

once y quince años). Utiliza en su entrevista doce problemas

representativos de los ítems del NAEP6. En ellos aparecen ítems

de respuesta abierta y de elección múltiple; cálculos directos

y aplicados; ítems de suma, multiplicación y división; y

números enteros, decimales y fracciones. Se pide a los alumnos

que expliquen la estrategia que han utilizado para dar sus

estimaciones. Se clasifican las explicaciones como aceptables

5 Este artículo es el informe de investigación correspondiente al estudio realizado en 1980. 6 National Assessment of Educational Progress (Evaluación Nacional del Progreso Educativo)



39

o inaceptables. El número de explicaciones inaceptables es muy

alto incluso en los ítems de elección múltiple en los que se

da una respuesta correcta. Los alumnos tienden a utilizar

estrategias como el redondeo de forma mecánica. Se concluye

que la habilidad de estimar está estrechamente relacionada con

el sentido numérico (ausente en gran parte de las

explicaciones dadas por los alumnos durante la entrevista).

Wyatt (1986) se plantea en su trabajo los tres objetivos

siguientes: (1) identificar los procesos utilizados para

formular estimaciones, (2) investigar el concepto de

estimación razonable, e (3) identificar criterios utilizados

para determinar la razonabilidad de una estimación. Participan

130 alumnos de noveno grado. A estos alumnos se les administra

un test con 50 ítems utilizando un ordenador. Se selecciona

una muestra estratificada de 18 alumnos para las entrevistas.

Se analizan los protocolos de "pensar en voz alta" de los

alumnos mientras realizan las entrevistas. Se detectaron dos

etapas en la producción de las estimaciones: en la primera

etapa los alumnos seleccionaban números aproximados o

simplemente tomaban los números del problema. En la segunda

etapa, calculaban mentalmente con los números elegidos en la

primera etapa. Los estimadores de mayor nivel tendían a

utilizar en la primera etapa los números redondeados mientras

que los estimadores de bajo nivel utilizaban los números

exactos (tal como aparecían en el problema). La mayoría de los

sujetos no tenían una buena comprensión del concepto de

razonabilidad y no fueron consistentes en la aplicación del

criterio de razonabilidad para determinar estimaciones

razonables. La noción de intervalo de respuesta razonable no

fue comprendida por la mayor parte de los alumnos.

Flores y otros (1990) y B. J. Reys y otros (1991)

utilizan la misma metodología de investigación que se aplicó

en R. E. Reys y otros (1982) con alumnos de Estados Unidos a

una muestra de 177 alumnos mejicanos de 8º grado, encontrando



40

los mismos procesos generales descritos en R. E. Reys y otros

(1982). El rendimiento medio de los alumnos mejicanos fue muy

bajo. Destacó la utilización de la estrategia de “uso de

puntos de referencia” con la que los sujetos demostraban la

comprensión que tenían de los cálculos con porcentajes.

R. E. Reys y otros (1991) seleccionan 21 alumnos de una

muestra de 466 estudiantes japoneses utilizando un test de

estimación. Estos alumnos seleccionados pertenecen al 5% con

mejores calificaciones en la prueba. Tras realizar entrevistas

a estos alumnos se encuentran los mismos procesos generales de

estimación hallados anteriormente en estudiantes de Estados

Unidos y México. Además, los alumnos japoneses demuestran un

mayor nivel en cálculo mental que los americanos y una mayor

resistencia a aceptar el error. Los alumnos japoneses tienden

a aplicar mentalmente procedimientos de cálculo con papel y

lápiz que interfieren en sus habilidades como estimadores.

Levine (1980, y 1982) investiga el número y los tipos de

estrategias de estimación utilizados por alumnos de primer

ciclo universitario y su relación con la habilidad

cuantitativa y la habilidad en estimación en cálculo.

Participan en el estudio 89 estudiantes. Se utilizó un test

para medir la habilidad cuantitativa y otro para medir la

destreza en estimación en cálculo (compuesto por 20 ítems de

multiplicación y división). Además, se analizaron los

protocolos de "pensar en voz alta" de todos los alumnos

participantes para determinar qué estrategias habían utilizado

en la producción de sus estimaciones. Se encontró que: (1)

hubo diferencias significativas en la frecuencia del uso de

las distintas estrategias, (2) se dio una correlación positiva

significativa entre la habilidad cuantitativa y el número de

estrategias utilizadas, (3) no hubo diferencias significativas

en la precisión de las estimaciones según el tipo de

estrategia utilizada con independencia de la habilidad

cuantitativa, y (4) la correlación entre la habilidad en



41

estimación en cálculo y el número de estrategias utilizadas

con independencia de la habilidad cuantitativa no fue

significativa. Aparecieron en el análisis 8 tipos de

estrategias distintas. El redondeo de ambos números y la

imitación del algoritmo escrito son las estrategias más

utilizadas. Los mejores estimadores utilizan mayor número de

estrategias mientras que los peores utilizan casi

exclusivamente la imitación del algoritmo escrito. Se

identificaron nueve tipos de errores en la producción de las

estimaciones: realización de procedimientos incompletos,

olvido de pasos intermedios, estrategia incompleta, error en

el significado de la operación, en la compensación, en el

redondeo y en el orden de magnitud.

Brame (1986) investiga las estrategias utilizadas en

estimación en cálculo por alumnos de últimos cursos de

educación secundaria calificados como "malos estimadores".

Participaron 460 alumnos a los que se les administró el test

de evaluación de estimación en cálculo de Reys (1980). De

estos alumnos, 40 fueron seleccionados para las entrevistas

posteriores. Fueron utilizadas un gran número de estrategias;

sin embargo, en algunas ocasiones los alumnos que no disponían

de ninguna estrategia para dar una estimación intentaban

realizar un cálculo exacto. Todos los alumnos menos uno

utilizaron en alguna ocasión las estrategias del redondeo y

truncamiento utilizando los primeros dígitos. Los alumnos con

bajo rendimiento en la prueba de estimación utilizaban sobre

todo la estrategia de redondeo. Estos alumnos tuvieron

especiales dificultades cuando en las tareas aparecían números

grandes. En conexión con este problema se encontró la

dificultad de los alumnos con bajo rendimiento para trabajar

con potencias de 10.

Hope y Skerrill (1987) eligen 15 alumnos que destacan en

cálculo mental y otros quince con bajo rendimiento utilizando

un test de cálculo mental. Analizan las estrategias que



42

utilizan estos alumnos y llegan a la conclusión de que los

alumnos que tienen bajo rendimiento en cálculo mental suelen

utilizar estrategias propias del cálculo escrito mientras que

los alumnos que destacan en cálculo mental utilizan

estrategias basadas en el uso de propiedades numéricas

sugeridas por los factores (en el test aparecían solamente

multiplicaciones). Este resultado concuerda con las

investigaciones hechas sobre identificación de estrategias en

buenos y malos estimadores.

Dowker (1992) aplica el test de Levine (1982) a una

muestra de 44 matemáticos profesionales. Los matemáticos

hicieron estimaciones muy precisas y utilizaron un gran número

de estrategias distintas. Las estrategias más utilizadas

fueron la sustitución de números decimales por fracciones, el

uso de números compatibles y la descomposición de números en

factores. Los matemáticos, al contrario que los sujetos que

participaron en el estudio de Levine, tendían a utilizar

estrategias que demostraban comprensión de propiedades

aritméticas y relaciones antes que estrategias basadas en el

uso de técnicas enseñadas en clase. Estos resultados

concuerdan con los hallados en otras investigaciones en

personas que tenían un gran rendimiento en estimación y en

cálculo mental.

Reehm (1994) examina los procesos de estimación

observados en alumnos de octavo grado con distintos niveles de

habilidad en estimación, al realizar problemas de estimación

presentados en formato numérico y contextual. Participan 238

alumnos de octavo grado a los que se les pasa una prueba de

estimación para determinar su nivel de habilidad al estimar.

Se eligen aleatoriamente 14 alumnos de cada nivel (alto, medio

o bajo). Cada alumno fue entrevistado dos veces utilizando en

las dos entrevistas los mismos problemas presentados en cada

una de ellas en un formato distinto (numérico o contextual).

Los resultados encontrados fueron los siguientes: (1) Los



43

alumnos de nivel medio y bajo dieron más respuestas aceptables

en el formato numérico que en el contextual, mientras que los

alumnos de nivel alto dieron más respuestas aceptables en el

formato contextual, (2) El uso de números compatibles y el

cambio de orden en los operandos fueron más utilizados por

todos los grupos en los problemas con contexto mientras que el

redondeo estándar fue más utilizado en los problemas

numéricos, (3) el truncamiento fue más utilizado por los

grupos bajo y medio en los problemas con contexto y por el

grupo de nivel alto en los problemas numéricos, (4) la

estrategia de traducción de "cambio de operación" fue más

utilizada para problemas con contexto por los grupos de nivel

alto y bajo, y (5) la compensación fue más utilizada en el

grupo de nivel bajo en problemas numéricos en contraste con

los grupos de niveles alto y medio, que la utilizaron con más

frecuencia en problemas contextuales.

Dowker y otros (1996) continúan el trabajo comenzado en

Dowker (1992) comparando las estrategias que utilizan los

matemáticos profesionales al realizar el test de Levine (1982)

con las que utilizan otros tres grupos formados por 44

contables, 44 estudiantes de psicología y 44 estudiantes de

inglés. Los matemáticos y los contables utilizaron un número

mucho mayor de estrategias apropiadas distintas que los dos

grupos de estudiantes. Los matemáticos fueron los que

realizaron las estimaciones más precisas. Todos los grupos a

excepción de los matemáticos utilizaron un gran número de

estrategias inadecuadas.

Siegel, Goldsmith y Madson (1982) analizan las

estrategias utilizadas por 20 niños (con edades comprendidas

entre los 7 y los 15 años) y 10 adultos (con edades

comprendidas entre 20 y 40 años) al resolver 24 tareas de

estimación en medida y estimación de cantidades discretas.

Intentan validar un modelo propuesto para estos procesos de

estimación y sugieren modificaciones para este modelo. Para



44

analizar las estrategias piden a los participantes que piensen

“en voz alta” mientras realizan sus estimaciones. También se

pide a los alumnos que expliquen cómo han realizado sus

estimaciones (después de dar cada estimación). Se hace una

distinción entre la precisión y la razonabilidad de las

respuestas. Se describen 9 tipos distintos de estrategias para

estas tareas de estimación. Se encuentra un proceso principal

en la producción de las estimaciones que es el uso de puntos

de referencia (benchmarks) y otros dos procesos

–descomposición y recomposición- que complementan al primero.

Las estrategias y procesos encontrados encajan bastante bien

dentro del modelo revisado propuesto.

Lefevre y otros (1993) diseñan su investigación para

obtener datos sobre el desarrollo de los procedimientos de

estimación en alumnos de Educación Primaria y en adultos. Para

ello proponen una prueba, en la que hay que estimar el

resultado de 24 multiplicaciones y la solución de 16 problemas

de multiplicación, a una muestra formada por 56 alumnos (de

cuarto, sexto y octavo grado) y 20 adultos. Se pide a los

participantes que den una estimación y expliquen

posteriormente el procedimiento que han utilizado para darla.

Se obtienen los siguientes resultados: La precisión de las

estimaciones aumenta con la edad y la precisión decrece cuando

el tamaño de los números aumenta. Los adultos tuvieron la

misma precisión en los ítems aplicados que en los cálculos

directos. Los alumnos de 8º grado fueron más precisos en los

cálculos aplicados y los alumnos de 6º grado tuvieron más

precisión en los cálculos directos. La habilidad de estimar

mejora con la edad. A partir de sexto grado, los alumnos

parecen entender el concepto de estimación y reducen la

complejidad de los problemas mediante redondeo y compensación

intermedia. Los adultos tienden a dar respuestas exactas en

problemas sencillos y a utilizar la compensación final. Los

autores proponen un modelo para los procesos de estimación



45

basado en el modelo de Siegler de elección de estrategias en

aritmética.

Berry (1999) analiza las estrategias de estimación en

cálculo utilizadas por alumnos de octavo grado empleando las

entrevistas diseñadas en la investigación de Reys y otros

(1980). Se observó el uso de 7 estrategias distintas al

analizar los protocolos de "pensar en voz alta" de los alumnos

en los ítems de cálculos directos y cálculos aplicados. Los

alumnos tienden a identificar la estimación con el redondeo.

El autor hizo también una revisión de libros de texto

utilizados en colegios públicos para analizar la presencia de

la estimación y el modo en que se enseña esta destreza en

ellos. Suele recomendarse en los libros de texto el uso de 4

estrategias distintas aunque es la de redondeo la

principalmente utilizada.

Enseñanza de la estimación en cálculo

Bestgen, R. E. Reys, Rybolt y Wyatt (1980) estudian las

actitudes de 187 maestros en formación hacia la estimación, su

rendimiento en tareas de estimación y la efectividad de la

enseñanza sistemática de la estimación durante un periodo de

instrucción de 12 semanas. Los alumnos fueron distribuidos en

tres grupos: en el primero, la estimación se practicaba una

vez a la semana realizando una serie de tareas para las que

después se daban los resultados, en el segundo se enseñaron

técnicas de estimación además de practicar la estimación, y en

el tercero (grupo de control) no hubo enseñanza ni práctica de

la estimación. Se administró a los participantes un pretest y

un postest compuestos por 60 ítems en los que se pedía que se

estimaran los resultados de sumas, restas, multiplicaciones y

divisiones con números enteros y decimales. Los alumnos

mejoraron considerablemente su rendimiento y su actitud hacia

la estimación. Los ítems de suma y resta resultaron más

fáciles que los de multiplicación y división. Los ítems con



46

números decimales fueron más difíciles que aquellos en los que

sólo había números enteros.

Jarret (1980) realiza su investigación con 42 alumnos de

quinto grado y 54 alumnos de sexto grado. En cada grado se

formaron tres grupos mediante un muestreo aleatorio. En cada

grupo se siguió un período de instrucción de cinco días

utilizando tres metodologías distintas: en un grupo se

instruyó a los niños en cálculo exacto de sumas y

multiplicaciones con una metodología basada en la repetición

de ejercicios utilizando un programa de ordenador, en otro

grupo se enseñó a los niños a realizar estimaciones de sumas y

productos mediante la repetición de ejercicios utilizando otro

programa de ordenador, y en el último se produjo una enseñanza

significativa de la estimación con ayuda de calculadoras. La

única estrategia enseñada en los grupos que recibieron

instrucción sobre estimación fue la de redondeo. Los alumnos

dedicaron entre 10 y 15 minutos diarios a realizar las tareas

correspondientes al período de instrucción.

Acabado el período de instrucción se pasó a los alumnos

una batería de ocho tests: uno sobre estimación -con cálculos

directos-, otro sobre estimación en resolución de problemas,

otro sobre cálculo escrito y otro sobre resolución de

problemas. Estos tests se repitieron tres semanas después de

haber concluido el período de instrucción para medir la

retención de los aprendizajes. Los grupos que habían recibido

instrucción sobre estimación obtuvieron mejores resultados en

las pruebas de estimación y utilizaron mejor y con más

frecuencia la estrategia de redondeo. No se observaron

diferencias significativas entre los grupos en los tests de

cálculo ni en los de resolución de problemas. En las pruebas

que se realizaron inmediatamente después del periodo de

instrucción sobre estimación en resolución de problemas, los

alumnos que habían recibido una enseñanza significativa de la

estimación obtuvieron mejores resultados.



47

Schoen y otros (1981) llevan a cabo dos estudios con

alumnos de Educación Primaria para ver si la enseñanza de la

estimación mejora el rendimiento de los alumnos en estimación,

en cálculo escrito y en resolución de problemas. En el primer

estudio, 42 alumnos de cuarto grado aprenden durante dos

semanas (en cinco sesiones de 45 minutos de duración) a

estimar los resultados de sumas y multiplicaciones de números

enteros. Se enseñan las estrategias de redondeo y operación

frontal. Se administra a estos alumnos cuatro tests: uno de

cálculo exacto, otro de resolución de problemas, otro de

estimación y otro para conocer los procesos de estimación

utilizados por los alumnos. En el segundo estudio participan

100 alumnos de quinto y sexto grado a los que se divide en

cuatro grupos. Hay un periodo de instrucción sobre estimación

en cada uno de estos grupos, en cinco sesiones de 15 minutos

cada una. Se administra, al finalizar el periodo de

instrucción, una batería de ocho tests.

Todos estos métodos resultan efectivos al ser medidos

inmediatamente utilizando postests. Los alumnos de cuarto,

quinto y sexto grado llegaron a ser mejores estimadores en un

corto periodo de tiempo y además utilizaron estrategias

válidas de estimación. Los alumnos siguieron manteniendo

buenos resultados después de haber pasado tres semanas desde

el final del período de instrucción. Además, se llega a la

conclusión de que, cuando la enseñanza de la estimación es

significativa, y no sólo memorística, la habilidad de estimar

puede transferirse a la estimación en resolución de problemas.

Por el contrario, no hay evidencia de que una enseñanza basada

en la práctica y la repetición (que no sea significativa)

conduzca a obtener mejores resultados en cálculo escrito o en

resolución de problemas.

Levin (1981) elabora una serie de técnicas para la

enseñanza de la estimación de los resultados de sumas, restas,

multiplicaciones y divisiones. Estas técnicas están basadas en



48

la medida de cantidades más que en el conteo de unidades.

Utilizan la posición de los números en la recta real y suponen

una aproximación alternativa al uso de los algoritmos

habituales de cálculo y a las técnicas que se suelen utilizar

en estimación. Al usar estas técnicas de estimación, los

alumnos realizan continuamente conversiones entre números y

posiciones de la recta real consiguiendo mejorar sus

intuiciones acerca de los números y las operaciones. Se

realizaron varias experiencias con niños de 10 años en las que

se utilizaron juegos de ordenador para practicar este tipo de

conversiones (entre número y posición).

Edwards (1983) desarrolla e implementa un programa para

la enseñanza de la estimación en cálculo para adultos en Papúa

Nueva Guinea. Enseña distintas técnicas de estimación para el

cálculo de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y para

el cálculo de la media de dos números. Utiliza un programa de

ordenador para evaluar las técnicas enseñadas. Por ejemplo,

enseña la siguiente técnica para multiplicar dos números de

cuatro cifras:

Si el primer número está cerca7 de 1000 o de 10.000, multiplicamos

el segundo por esta cantidad. Por ejemplo, 1295 por 4638 nos

conducirá a una estimación de 4638000. Lo mismo haremos cuando

el número cercano a 1000 o 10.000 sea el segundo factor. (p. 20)

Para evaluar esta técnica, el ordenador genera aleatoriamente

5000 productos de dos números de cuatro cifras. En este caso

el resultado de la evaluación fue que “el 95% de las 5000

estimaciones realizadas utilizando esta técnica produjeron

errores entre el −16% y el +7,5%” (p. 20).

R. E. Reys, Bestgen, Trafton y Zawojewski (1984a)

realizan una investigación con el objetivo de desarrollar una

serie de lecciones, cuidadosamente secuenciadas, sobre 7 En este contexto, “cerca de una potencia de diez” quiere decir que o bien el primer dígito significativo es 1 y el segundo es 0, 1 o 2, o bien el primer dígito significativo es 7, 8 o 9.



49

estimación en cálculo, implementar el programa en sexto,

séptimo y octavo grado, y evaluar los resultados del programa

valorando la destreza en estimación lograda por los alumnos y

los tipos de procesos utilizados por los mismos. Para ello

desarrollaron materiales (Reys y otros, 1984b, 1984c y 1984d)

para la enseñanza de la estimación en cálculo para sexto,

séptimo y octavo grado. Estos materiales se utilizaron en un

programa para la enseñanza de la estimación llevado a cabo en

48 clases de 14 colegios durante un período de un año. Se

utilizaron tres instrumentos con todos los participantes en el

proyecto: un test de actitudes, un test de cálculo mental y

otro de estimación en cálculo. Estos instrumentos se

utilizaron al principio y al final del periodo de instrucción.

También se realizaron entrevistas a unos pocos alumnos de cada

grupo para analizar los procesos de estimación utilizados.

Acabado el período de instrucción, los grupos que habían

tomado parte en la experiencia tuvieron un rendimiento mucho

mayor en el test de estimación que los grupos de control

correspondientes. Sin embargo, no hubo diferencias

significativas en el postest de cálculo mental. Se observó que

los alumnos que habían participado en la experiencia se habían

acostumbrado a realizar estimaciones y persistían haciéndolas

incluso cuando la ocasión requería un cálculo mental exacto.

Se produjo una gran mejora en la actitud y la valoración de

los alumnos sobre la estimación. Las entrevistas revelaron

además que los alumnos habían alcanzado una comprensión mucho

mayor sobre la estimación y que había aumentado

considerablemente el número de estrategias utilizadas por los

alumnos para realizar una estimación y la tolerancia del

error.

Abed (1985) compara la efectividad de tres métodos para

la enseñanza de la estimación del cociente de divisiones con

números decimales. El período de instrucción duró tres días y

se llevó a cabo con alumnos de séptimo grado. El primer grupo



50

siguió una instrucción basada en los procesos de estimación

utilizados en el algoritmo de la división larga, en el segundo

se enseñaron técnicas de estimación de uso más general y en el

tercero no se produjo enseñanza explícita de la estimación. El

análisis de los resultados obtenidos en el pretest y en el

postest reveló que el método basado en el algoritmo de la

división larga fue el más efectivo de los tres.

Gossard (1986) intenta comparar la enseñanza que han

recibido alumnos de sexto, séptimo y octavo grado sobre

estimación en cálculo con lo que realmente han aprendido y con

el uso que hacen de esta habilidad en la resolución de

problemas en la vida real. Se consideraron tres tipos de

estimación: reformulación, traducción y compensación. Se

seleccionaron 12 alumnos de octavo grado de habilidad media en

estimación. Se utilizó un cuestionario y se analizaron los

libros de texto que habían utilizado los alumnos para ver qué

enseñanza sobre estimación habían recibido. Se utilizó un test

para medir la habilidad de los alumnos en estimación en

cálculo. Finalmente, para determinar qué conocimientos sobre

estimación eran utilizados en la resolución de problemas

matemáticos en la vida real se plantearon tres problemas a

cada alumno. Se obtuvieron las siguientes conclusiones: (1)

todos los alumnos habían aprendido el proceso de reformulación

redondeando números enteros y decimales demostrando una

comprensión bastante profunda del redondeo, (2) el proceso de

traducción no fue nunca enseñado y la compensación sólo se

enseñó en la división con números enteros, (3) el redondeo fue

muy poco utilizado en las sesiones de resolución de problemas

y la traducción y la compensación no fueron nunca utilizadas

en esta situación. El autor concluye que los sujetos

participantes en este estudio no habían recibido instrucción

adecuada para los tipos de estimación que se requieren en la

vida real y que el redondeo de enteros y decimales es la única



51

estrategia enseñada, aprendida y de vez en cuando utilizada

por los alumnos de octavo grado de habilidad media estudiados.

Segovia (1986) intenta determinar si la enseñanza

sistemática de técnicas específicas de redondeo y cálculo

mental mejoran el rendimiento en la estimación de resultados

de operaciones aritméticas. Participan 179 alumnos de sexto de

EGB pertenecientes a 5 grupos de dos colegios. Los alumnos del

grupo de control reciben, durante un curso, instrucción sobre

estimación en cálculo con lecciones sobre redondeo de números,

cálculo exacto (en las que se aprenden estrategias de cálculo

mental) y cálculo aproximado. El test y el postest realizados,

antes y después del periodo de instrucción, indican que la

enseñanza de técnicas de redondeo y estimación mejoran el

rendimiento de los alumnos en estimación. Además se observó

durante el periodo de instrucción que los alumnos de sexto

tenían dificultades con la descomposición de números en suma,

resta, multiplicación y división de otros y con la estimación

con números decimales. La investigación sirvió también para

poner a punto un instrumento para la evaluación de la

estimación de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con

números naturales compuesto por 21 ítems de elección múltiple.

Whiteman (1989) analiza la influencia de un período de

instrucción sobre estimación, en el que se utilizó un programa

de ordenador, en el aprendizaje de varios tipos de estrategias

y en la mejora de la habilidad de estimar. En la investigación

participaron 149 alumnos de octavo grado. El período de

instrucción se desarrolló durante seis sesiones, de media hora

cada una, distribuidas a lo largo de tres semanas. El programa

de ordenador generaba de forma aleatoria productos de dos

números. Al dar su estimación, los alumnos recibían del

ordenador información sobre el tamaño y el sentido del error

cometido. Se utilizaron dos tests: uno para medir la habilidad

de estimar y otro para evaluar el uso de distintas estrategias

(en especial la compensación). Se realizaron formas paralelas



52

de ambos tests que fueron utilizados como pretest y postest.

Se encontró, en concordancia con otras investigaciones, que la

habilidad de estimar de los alumnos antes de recibir

instrucción sobre estimación es bastante pobre. El periodo de

instrucción supuso una mejora significativa en la habilidad de

estimar de los alumnos. También mejoró el uso de las

estrategias enseñadas.

Whalen (1989) compara dos métodos de instrucción en

estimación en cálculo. Se dividió un total de 88 alumnos de

séptimo grado en dos grupos. Uno de los grupos siguió una

enseñanza tradicional en la que el maestro enseñó distintas

estrategias de estimación en cálculo. El otro grupo recibió

enseñanza de estrategias de estimación con ayuda de varios

programas de ordenador. Se utilizó un mismo test como pretest

y postest para medir la habilidad de estimar de los alumnos.

Tres semanas después del postest se administró una prueba para

medir el grado en que la habilidad de estimar se transfería a

otras tareas matemáticas que no requerían la producción de

estimaciones. Los resultados encontrados fueron los

siguientes: (1) los alumnos que utilizaron programas de

ordenador no mejoraron significativamente en su habilidad de

estimar, (2) los alumnos que siguieron enseñanza tradicional

empeoraron del pretest al postest, (3) los chicos tuvieron

mejor rendimiento que las chicas, y (4) los alumnos no

transfirieron su habilidad de estimar a otras tareas en las

que no se les pedía directamente que realizaran una

estimación.

Murphy (1992) estudia el efecto de la instrucción

sistemática en estimación en cálculo en: (1) la habilidad de

los alumnos para estimar, (2) el rendimiento de los alumnos en

tests escolares, y (3) el rendimiento de los alumnos en los

tests estandarizados. Para ello, 245 alumnos de octavo grado

participaron en esta investigación. Los alumnos que habían

recibido instrucción sistemática sobre estimación obtuvieron



53

mejores resultados, en la prueba de estimación, que aquellos

que no habían recibido instrucción sobre estimación. La

instrucción y la práctica de la estimación en cálculo no

supusieron una mejora significativa en aquellos ítems de los

tests que no estaban relacionados directamente con la

estimación.

Sanfiorenzo (1990) realiza un estudio experimental en el

que compara la efectividad de tres métodos de enseñanza de la

estimación con números decimales. Participaron 133 alumnos de

séptimo grado. Durante el período de instrucción se

impartieron seis lecciones sobre estimación en cálculo. En el

primer grupo la estimación se practicaba diariamente, en el

segundo se enseñó dentro de un tema del curso y en el tercero

no se produjo enseñanza de la estimación. Se administraron a

los alumnos un pretest y un postest paralelos en los que se

utilizaron ítems de respuesta abierta e ítems de elección

múltiple. Los ítems de respuesta abierta fueron evaluados

utilizando una escala de respuesta razonable o no razonable.

No se encontraron diferencias significativas entre los tres

tratamientos. Tampoco se encontraron diferencias

significativas debidas al sexo o al tiempo de respuesta. La

escala utilizada en la puntuación de los ítems de respuesta

abierta resultó tener una fiabilidad baja, lo cual puede poner

en duda los resultados obtenidos.

Chien (1990) intenta demostrar que las destrezas de

estimación en cálculo de maestros en formación pueden mejorar

si éstos utilizan materiales adecuados de auto-aprendizaje.

Para ello participaron en la investigación 65 estudiantes

universitarios, la mayor parte de los cuales eran maestros en

formación. Las estrategias sobre las cuales se daba enseñanza

a través de los materiales eran: estimación frontal, redondeo,

uso de números compatibles y uso de promedios. En este trabajo

se utilizaron cuatro instrumentos: un test para medir la

habilidad de estimar, otro para evaluar el conocimiento de los



54

estudiantes sobre la estimación, un cuestionario para conocer

las actitudes de los alumnos hacia la estimación antes de la

instrucción y otro cuestionario para conocer la opinión de los

alumnos sobre los materiales de auto-aprendizaje y el cambio

de actitud hacia la estimación después del período de auto-

aprendizaje. Se observó que la habilidad en estimación de los

estudiantes mejoraba con el uso de estos materiales. Tanto

antes como después del período de auto-instrucción de dos

semanas, los estudiantes tuvieron dificultades para estimar la

suma de una lista de números y para determinar el primer

dígito del cociente de dos números. La estrategia de redondeo

fue la preferida por los alumnos antes y después de la

instrucción. Después de la instrucción muchos alumnos fueron

capaces además de identificar otras estrategias y de

diagnosticar errores (cuando se les presentaban estimaciones

dadas por otras personas). La mayor parte de las estrategias

enseñadas fueron calificadas como sencillas y claras por los

estudiantes. Los dos métodos con los que hubo mayor dificultad

fueron el uso de números compatibles y el uso de promedios.

Bobis (1991) investiga el efecto de la enseñanza de la

estimación en la habilidad de estimar y en el desarrollo de

estrategias de estimación. También analiza los tipos de

errores cometidos en las estimaciones después de la

instrucción. Participaron en el estudio cuatro grupos (dos

grupos experimentales y otros dos de control) de chicos de

cuarto grado. El periodo de instrucción duró 15 semanas y en

el se enseñaron estrategias de estimación para sumas, restas,

multiplicaciones y divisiones de números enteros y sumas y

restas de fracciones y decimales. Se desarrolló un test de

estimación en cálculo, compuesto por 30 ítems de elección

múltiple, que fue utilizado como pretest y postest. También se

utilizó un test para medir la destreza de los alumnos en

ciertos prerrequisitos de la estimación (como el redondeo y el

dominio del valor posicional y los hechos básicos). Después



55

del postest se eligió una muestra aleatoria de 24 alumnos

pertenecientes al grupo experimental que fueron entrevistados

para conocer las estrategias que habían utilizado para

producir sus estimaciones. Los resultados obtenidos fueron los

siguientes: Todos los grupos mejoraron en el dominio de los

prerrequisitos de la estimación pero sólo los grupos

experimentales mejoraron en su rendimiento en estimación. El

dominio de las destrezas necesarias para estimar no es

suficiente, por si solo, para garantizar la destreza en

estimación. Las entrevistas revelaron que los alumnos habían

utilizado las estrategias enseñadas durante el periodo de

instrucción. Después de la instrucción se produjo una mejora

muy leve en la estimación de sumas con enteros, una mejora

moderada en la resta con enteros y en la multiplicación y

división con decimales y una mejora muy grande en las

operaciones con fracciones.

Markovits y Sowder (1994) analizan los efectos de una

intervención, en la instrucción de un grupo de alumnos de

séptimo grado, que tenía el propósito de desarrollar el

sentido numérico de estos alumnos. Los alumnos recibieron

enseñanza sobre calculo mental (5 a 10 minutos al día durante

3 meses), conceptos relacionados con el tamaño de los números

(siete sesiones de clase), fracciones (siete sesiones) y

estimación en cálculo (nueve sesiones). Se utilizaron

entrevistas para evaluar a los alumnos en cálculo mental y en

estimación y pruebas escritas para evaluar el aprendizaje de

conceptos relacionados con el tamaño de los números. Los

resultados obtenidos por los alumnos en las tareas de

estimación en cálculo utilizadas mostraron que los alumnos

pueden mejorar su comprensión en aspectos conceptuales

difíciles de la estimación: redondear sumandos a cero cuando

es apropiado, comprender el efecto que tiene en el producto de

dos números el redondeo en los factores, los conceptos de

error absoluto y relativo, saber cuándo y cómo deben utilizar



56

la compensación, utilizar números compatibles para estimar

cocientes y estimar el resultado de productos y cocientes con

factores y divisores menores que uno.

Chandler y Brosnan (1994) realizan un análisis

comparativo de libros de texto editados antes y después de

1989 (fecha de la publicación de los estándares del NCTM). El

objetivo de su trabajo es ver si hay cambios en los libros de

texto y si estos cambios reflejan las recomendaciones del

NCTM. Para ello eligen siete series de libros de matemáticas

de Educación Primaria. Estos libros son los más usados en 16

colegios seleccionados previamente. Se analizan los libros

atendiendo al contenido (aritmética y dentro de esta sentido

numérico, numeración, operaciones, fracciones y decimales;

geometría; análisis de datos, etc), al tipo de actividades

(ejercicios, problemas), a cómo se presenta la teoría

(definiciones, explicaciones, desarrollo de fórmulas,

problemas resueltos, etc), etc.). El análisis de datos revela

que las actividades de estimación y las que proponen el uso de

las calculadoras aumentan considerablemente. En particular, el

número de páginas en las que hay actividades en las que se

anima a realizar una estimación aumenta un 61%. Se concluye

que los cambios en los libros de texto reflejan bastante bien

las recomendaciones del NCTM, salvo quizá en el área de

"medida". Se observa también un aumento en el tamaño (número

de páginas) de los libros de texto y se advierte del potencial

efecto psicológico negativo que puede tener éste sobre los

niños.

Floyd (1994) realiza un estudio experimental para evaluar

el efecto de dos secuencias de instrucción sobre estimación en

cálculo con fracciones en el rendimiento de los alumnos en

estimación y en cálculo escrito. Participaron nueve clases de

alumnos de quinto grado que fueron asignadas a tres grupos: en

el primer grupo se dio instrucción sobre estimación en cálculo

con fracciones y posteriormente instrucción sobre cálculo



57

escrito con fracciones, en el segundo, fue primero la

enseñanza del cálculo escrito y después la de la estimación y,

en el tercero, se produjo solamente instrucción sobre cálculo

escrito con fracciones. Se realizaron tests y se seleccionaron

4 alumnos de cada grupo que fueron entrevistados antes,

inmediatamente después y seis semanas después del período de

instrucción. Los resultados indican que los grupos que

recibieron enseñanza sobre estimación obtuvieron mejores

resultados en estimación que el grupo en el que no se había

dado enseñanza de la estimación, sin embargo, las diferencias

fueron significativas en el postest pero dejaron de ser

significativas al aplicar el test seis semanas después. Los

alumnos en los grupos primero y segundo obtuvieron

puntuaciones significativamente mayores que los alumnos del

tercer grupo en operaciones escritas con fracciones. Esta

situación se dio tanto en el postest como en el test realizado

seis semanas después. El rendimiento de los tres grupos en las

pruebas de cálculo escrito con fracciones resultó muy bajo

indicando que el enfoque dado a la instrucción no fue el más

adecuado para favorecer el aprendizaje de las destrezas de

cálculo escrito con fracciones para la mayoría de los alumnos.

Las entrevistas revelaron que los alumnos que habían recibido

instrucción sobre técnicas de estimación utilizaron estas

técnicas mientras que en el grupo de control los alumnos no

utilizaron métodos matemáticamente válidos para estimar.

Forrester y Pike (1998) utilizan técnicas de análisis de

la conversación para estudiar los modelos implícitos y las

metáforas utilizados por dos maestros durante un periodo de

instrucción dedicado a la enseñanza de la estimación en

medida. El estudio concluye que la estimación está íntimamente

relacionada con la medida y tiene sentido dentro de

situaciones prácticas. Los alumnos la asocian con vaguedad,

ambigüedad y adivinación. El profesor era quien decidía, sin

ninguna discusión acerca del grado de aproximación o del



58

propósito de la estimación, si una respuesta era o no

razonable. Los alumnos presuponían que la medida debía seguir

siempre a la estimación dado que siempre, después de hacer una

estimación, se procedía a realizar una medición exacta

utilizando una regla.

Heinrich (1999) estudia la destreza en la aplicación de

estrategias de estimación de 66 alumnos de sexto, séptimo y

octavo grado, antes y después de un período breve de

instrucción en el que, en ocho sesiones de clase, se enseñaron

a los alumnos las estrategias de: redondeo con un dígito

significativo y distintos procesos de traducción,

reformulación y compensación. Se utilizó como pretest y

postest la prueba diseñada por Reys (1980). Se observaron

diferencias significativas en todos los grupos entre el

pretest y el postest en reformulación, traducción y

compensación. No hubo diferencias significativas en la

aplicación del redondeo. La estrategia que los alumnos

tuvieron más problemas en aplicar de forma efectiva fue la de

compensación. El autor concluye que la compensación debe ser

analizada con más profundidad con el fin de elaborar métodos

nuevos que permitan una enseñanza más efectiva de este tópico.

Evaluación de la estimación

Schoen, Blume y Hart (1987) examinan los procedimientos

utilizados por alumnos de quinto, sexto, séptimo y octavo

grado al responder a los ítems de un test de estimación en

cálculo. En los ítems se utilizan cinco formatos de respuesta

distintos: elección múltiple estándar, operación en las

opciones, puntos de referencia, orden de magnitud y operación

en el tronco del ítem. Los ítems están diseñados para evaluar

el uso apropiado de cinco estrategias de estimación distintas:

redondeo estándar, operación frontal, otros redondeos (como

por ejemplo redondeo con compensación intermedia), el uso de

números compatibles y compensación final. Los alumnos muestran



59

una fuerte tendencia a utilizar el redondeo a potencias de 10

incluso en situaciones en las que resulta más apropiado

utilizar una estrategia distinta. Los autores consideran más

apropiados los ítems de elección múltiple, en sus distintas

variantes, que los ítems de respuesta abierta. Según ellos,

los ítems de respuesta abierta sólo sirven para medir la

habilidad de los alumnos en el redondeo, pero no sirven para

evaluar otros aspectos fundamentales de la estimación como por

ejemplo la elección de estrategias adecuadas para realizar una

estimación.

Sliva (1988) intenta elaborar un test con ítems de

respuesta abierta para evaluar la habilidad en estimación en

cálculo. El segundo objetivo planteado consistía en examinar

la equivalencia de varios tipos de escalas que se pueden

utilizar para puntuar los tests de estimación en cálculo. La

investigación se realiza con alumnos de primer ciclo

universitario. Las conclusiones del estudio se basaron en los

datos recogidos en las entrevistas a los sujetos, en

informaciones suministradas por un panel de educadores

matemáticos y en la aplicación del test a los alumnos. Los

ítems utilizados en el test fueron tomados de investigaciones

anteriores o generados utilizando modelos de investigaciones

previas. Para puntuar los tests se utilizaron dos

procedimientos generales: uno basado en la variación del

porcentaje de error con respecto a la respuesta correcta

utilizando uno o varios niveles de variación, y otro en el que

se utilizaban intervalos de respuesta aceptable utilizando la

menor y la mayor de las estimaciones determinadas por el panel

de educadores matemáticos. Teniendo en cuenta estos dos

procedimientos se elaboraron varias escalas para dar

puntuaciones a la prueba de estimación. Se observó una

correlación bastante alta entre las puntuaciones obtenidas

utilizando las distintas escalas. El autor concluye que el

proceso de puntuación podría posiblemente simplificarse



60

utilizando una escala basada en los porcentajes de error con

respecto a la respuesta correcta. El intento de elaborar una

prueba de estimación no fue considerado del todo "un éxito"

debido, en parte, al rigor de los criterios utilizados en el

análisis de los ítems.

Schoen y otros (1990) se plantean en su investigación el

objetivo de ver si puede diseñarse un test de estimación que

permita medir la habilidad de los alumnos para utilizar

distintos procesos de estimación. También se proponen, en

relación con el objetivo anterior, describir las respuestas

que dan los alumnos a ítems de estimación con distintos

formatos. Para ello, participan en el estudio alumnos de

quinto, sexto, séptimo y octavo grado (con un total de 1376

alumnos). Los autores diseñaron una prueba de estimación con

ítems en diferentes formatos para ver si los alumnos

utilizaban los procesos de estimación identificados por Reys y

otros (1982). Veinte alumnos fueron entrevistados para conocer

las estrategias que habían utilizado para dar sus

estimaciones. Los alumnos mostraron preferencia, entre todas

las estrategias de estimación, por el redondeo a la potencia

más cercana de 10 aun cuando era más apropiado utilizar otro

tipo de estrategias. Los ítems, en los que el redondeo no era

la opción adecuada, fueron los más difíciles. Se encontraron

diferencias de dificultad entre formatos. Los más fáciles

fueron los ítems cuyas opciones presentaban distinto orden de

magnitud y los que tenían operaciones en las opciones. Los más

difíciles fueron los que tenían intervalos en las opciones.

Entre estos dos extremos se situaron los ítems de elección

múltiple estándar y los de "puntos de referencia". Los autores

proponen los ítems de elección múltiple estándar y los de

intervalos en las opciones como los más apropiados para

construir un test que evalúe la destreza de los alumnos para

elegir la estrategia de estimación más apropiada en cada

situación.



61

Goodman (1991) se plantea, como objetivo principal,

desarrollar un test de estimación que pueda utilizarse para

evaluar la habilidad de estimar de maestros en formación.

También se propone replicar otras investigaciones en las que

se estudiaba la dificultad de los ítems en pruebas de

estimación en función de distintas variables de tarea y

comparar el rendimiento de alumnos, con bajo y alto

rendimiento en Matemáticas, en tareas de estimación. Para ello

participan en la investigación 46 maestros en formación a los

que se administra un test de 72 ítems desarrollado por el

autor. En los ítems se utilizan varios formatos de respuesta

(abierta, número de referencia y orden de magnitud), varios

tipos de número (enteros, fracciones, decimales y porcentajes)

y varios formatos de respuesta (problemas aplicados y cálculos

sin contexto). Se encuentra que son más difíciles los ítems

con fracciones, los que presentan cálculos descontextualizados

y los de respuesta abierta y orden de magnitud. Los alumnos

con bajo rendimiento en Matemáticas tuvieron especiales

dificultades con los ítems en los que aparecían fracciones y

porcentajes y con el formato de respuesta abierta. El

resultado hallado con respecto al formato de la pregunta (los

ítems aplicados son más fáciles que los cálculos directos)

coincide con el encontrado por Reys y otros (1980) pero

contradice el alcanzado por Rubenstein (1985). Parece que para

los niños pequeños es más sencillo realizar estimaciones en

cálculos directos mientras que para los alumnos de Magisterio

resultan más fáciles los ítems aplicados.

Smith (1993) evalúa la comprensión de las estrategias de

estimación, en cálculos de sumas y restas, de 60 maestros en

formación. Las estrategias cuya comprensión fue evaluada en la

investigación fueron: la operación frontal, el redondeo y dos

tipos distintos de compensación. Se utilizó un test para medir

la habilidad matemática cuantitativa de los alumnos.

Participaron alumnos de primer y último curso del programa de



62

formación de maestros. En cada curso se eligieron quince

alumnos de alta habilidad cuantitativa y otros quince de baja

habilidad cuantitativa. Se pasó a los alumnos un cuestionario

compuesto por dieciséis situaciones-problema para los que se

debía dar una estimación (ocho se resolvían mediante sumas y

ocho mediante restas). Se pidió a los alumnos que explicaran

las estrategias que habían utilizado mientras respondían al

cuestionario. No se observaron diferencias significativas

entre los alumnos de primer y último curso. Tampoco se

encontraron diferencias en la comprensión de las estrategias

para las sumas entre los alumnos de alta y baja habilidad

cuantitativa. Sin embargo, sí hubo diferencias significativas

en la comprensión de estrategias para la resta entre los

alumnos de último curso de alta habilidad cuantitativa y los

alumnos de primer curso de baja habilidad cuantitativa. Tanto

para la suma como para la resta, la estrategia peor

comprendida fue la de compensación.

Clayton (1996) hace un trabajo de revisión bibliográfica

en el cual estudia cómo han sido utilizados los porcentajes de

error en la evaluación de tareas de estimación de cantidades

discretas. Realiza además un estudio piloto en el que analiza

los porcentajes de error de estimaciones de cantidades

discretas realizadas por 455 alumnos de Educación Primaria y

764 alumnos de Educación Secundaria. Encuentra que utilizar

como criterio un porcentaje de error dado no parece adecuado,

pues este criterio se vuelve "más exigente" a medida que la

cantidad a estimar aumenta. Por ejemplo, no es lo mismo

aceptar un porcentaje de error del 50% cuando la cantidad a

estimar es diez que cuando es 10.000. El autor propone un

nuevo criterio para evaluar la razonabilidad de las

estimaciones de cantidades discretas. Este criterio de

razonabilidad (COR), que también está basado en los

porcentajes de error, es de naturaleza logarítmica. El autor

realiza una segunda experiencia en la cual compara las dos



63

formas de evaluación (el uso de un porcentaje de error directo

y el COR). Se llega a la conclusión de que, a falta de más

investigaciones al respecto, el uso del COR parece una opción

más adecuada. Asimismo, se propone la posibilidad de adaptar

este nuevo criterio de evaluación a tareas de estimación en

cálculo.

Desarrollo de conceptos y destrezas de la estimación

Sowder y Wheeler (1989) parten de un análisis de los

componentes de la estimación en cálculo. Clasifican estos

componentes en: conceptos sobre estimación, procesos,

conceptos y destrezas relacionados con la estimación y

componentes afectivos. El objetivo del trabajo es analizar

cómo se desarrolla la comprensión de estos conceptos y

destrezas componentes en alumnos de tercer a noveno grado.

Participan en el estudio alumnos de tercer, quinto, séptimo y

noveno grado. Se diseñan distintas tareas en las que se

describen situaciones en las cuales es necesario dar una

estimación, acompañadas de respuestas dadas por alumnos

hipotéticos, y seguidas de explicaciones dadas por estos

alumnos a su estimación. Los alumnos debían juzgar si las

estimaciones presentadas eran apropiadas y si las

explicaciones sobre los procesos seguidos para darlas eran

aceptables. Estas tareas fueron complementadas con otros

problemas de estimación de respuesta abierta.

Los niños más pequeños tendían a realizar cálculos

exactos para después redondear sus respuestas (y a juzgar más

adecuado este tipo de respuesta). Los mayores aceptaron mejor

el uso de valores aproximados para el cálculo pero mostraron

gran rigidez en el uso de estas aproximaciones, resistiéndose

a aceptar aquellas que no coincidían con las enseñadas en

clase. Muy pocos alumnos aceptaron que las tareas de

estimación pudieran tener más de un resultado válido. Los

procesos de compensación fueron comprendidos mejor por los



64

alumnos mayores aunque supusieron una gran dificultad para

todos. El estudio concluye que la estimación en cálculo es muy

compleja para niños de Educación Primaria. Debería empezar a

estudiarse a partir de tercer ciclo de Educación Primaria y

dedicarse hasta entonces a aprender requisitos previos tales

como la aproximación de números y el cálculo mental (y demás

conceptos y destrezas componentes).

Dowker (1997) analiza la relación entre la competencia

aritmética, la habilidad de estimar y el nivel dificultad de

las tareas de estimación. Doscientos quince niños de edades

comprendidas entre cinco y nueve años son divididos en cinco

grupos de acuerdo con su nivel de competencia en la

realización de sumas. Dentro de cada grupo se propone a los

niños tareas de estimación cuya dificultad está en

correspondencia con su nivel de competencia aritmética.

Algunos niños tuvieron que realizar problemas de estimación

cuya dificultad era muy elevada para su nivel de competencia

aritmética. Se observó que los niños con mayor nivel tendían a

producir mayor número de estimaciones razonables que los de

menor nivel. Cuando la dificultad de las tareas de estimación

crecía, el número de respuestas razonables descendía. La

autora propone que en estas edades existe una zona en que el

conocimiento y la comprensión de las tareas de estimación son

solamente parciales.

Baroody (1989) realiza un estudio con 17 alumnos de

Educación Infantil. Se propone a estos niños la realización de

varias tareas de cálculo mental. Los niños deben calcular el

resultado de varias sumas de números de un dígito. El objetivo

de esta investigación es comparar qué modelo teórico explica

mejor la elección de estrategias que hacen los niños para dar

sus respuestas: el modelo asociativo de Siegler8 o el modelo

8 Siegler, R. S., & Robinson, M. (1982). The development of numerical understandings. In H. W. Reese & L. P. Lipsitt (Eds.), Advances in child development and behavior (Vol I, pp. 241-312). New York: Academic.



65

basado en esquemas de Baroody y Ginsburg9. El estudio concluye

que el modelo de Siegler (que da una importancia fundamental a

la práctica) resulta insuficiente para explicar el dominio,

por parte de los niños, de sumas que no habían sido realizadas

durante el período de prácticas de ocho semanas (como la

realización de sumas en las que uno de los dos sumandos es

cero). El autor propone que las tareas de cálculo mental

suponen un ejercicio de estimación para niños pequeños. Esto

es, ellos utilizan el conocimiento que tienen del número y de

la aritmética para desarrollar estrategias para hacer

adivinaciones educadas de los resultados.

Case y Sowder (1990) tratan de contrastar el modelo de

desarrollo evolutivo de Case, intentando comprobar si sirve

para explicar adecuadamente la competencia de niños de

distintas edades en tareas de estimación en cálculo. Para

ello, participan varios grupos de niños de educación infantil,

segundo, cuarto, séptimo, noveno, undécimo y duodécimo grado.

Se pide a los alumnos que estimen el resultado de grupos de

sumas con distinto grado de dificultad. Estimar sumas requiere

la coordinación de dos tipos de tareas cualitativamente

distintas: utilizar valoraciones acerca de la proximidad de

dos números para seleccionar sustitutos adecuados para los

sumandos y calcular mentalmente la suma con los sustitutos de

los sumandos. De acuerdo con la teoría de Case los niños no

deberían dominar este tipo de tareas hasta alcanzar la etapa

del pensamiento vectorial (en torno a los once o doce años).

Los resultados hallados en esta investigación confirman las

hipótesis de los autores. Se obtienen valiosas implicaciones

para el diseño curricular, proponiendo tipos de actividades

Siegler, R. S., & Shrager, J. (1984). Strategy choices in addition: How do children know what to do? In C. Sophian (Ed.), Origins of cognitive skills (pp. 229-293). Hillsdale, NJ: Erlbaum. 9 Baroody, A. J., & Ginsburg, H. P. (1986). The relationship between initial meaningful and mechanical knowledge of arithmetic. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics (pp. 75-112). Hillsdale, NJ: Erlbaum.



66

apropiadas para niños que no hayan alcanzado la etapa del

pensamiento vectorial. Estos niños, que todavía no son capaces

de dominar las áreas de estimación, pueden realizar tareas

"componentes de la estimación" como la aproximación de números

o el cálculo mental.

Segovia (1997) intenta describir y caracterizar la

resolución, por parte de niños de 6 a 14 años, de tareas de

estimación de cantidades discretas. También trata de poner de

manifiesto el carácter evolutivo de estas estrategias de

acuerdo con el modelo de desarrollo evolutivo de Case.

Participaron alumnos de primer a octavo curso de EGB. De cada

curso se seleccionaron 12 alumnos. A estos alumnos se les

administró una prueba de estimación de cantidades discretas

compuesta por 16 ítems, en los que las cantidades que se

debían estimar variaban en tamaño y estructura. Se pidió a los

alumnos que explicaran el procedimiento que habían utilizado

para producir sus estimaciones en los 4 últimos ítems de la

prueba. Se encuentra que los alumnos utilizan doce estrategias

distintas que se pueden clasificar, desde el punto de vista

evolutivo, en seis clases. Se establece que la estimación de

cantidades discretas es una competencia cognitiva de carácter

evolutivo en la que es posible diferenciar cinco subestadios

correspondientes a los definidos por Case. Se observa la

relación de la estimación de cantidades discretas con otros

conceptos y destrezas matemáticos como son: contar, utilizar

la regla de cardinalidad, usar números aproximados, calcular

mentalmente y descomponer y recomponer una cantidad. También

se valora la construcción del instrumento utilizado, que

permite obtener mucha información acerca del desarrollo

evolutivo de los alumnos así como la aplicación de esta prueba

utilizando un ordenador.



67

Antecedentes del problema de investigación

Como se dijo en el capítulo anterior, en este trabajo se

estudia la dificultad de las tareas de estimación en función

del tipo de número que aparece en ellas (entero, decimal mayor

que uno o decimal menor que uno). Han participado en el

estudio alumnos de primer curso de magisterio. Interesa saber

si estos alumnos tienen ideas equivocadas10 sobre la

multiplicación y la división con números decimales menores que

uno11. También se quiere saber si estas ideas equivocadas

influyen en la producción de estimaciones por parte de los

alumnos y cómo se produce esta influencia.

Para ello, dentro de la revisión de antecedentes, se

comienza haciendo una breve revisión de los trabajos en los

que se ha estudiado la habilidad de estimar de maestros en

formación. Se analizan a continuación las dificultades que se

producen en el aprendizaje de los números decimales y las

ideas equivocadas sobre la multiplicación y la división en

niños y en estudiantes de magisterio en el ámbito de la

resolución de problemas de estructura multiplicativa. Después,

se pasa a realizar una revisión de las investigaciones sobre

estimación en cálculo que han tratado de estudiar la

dificultad de las tareas de estimación en función del tipo de

número que aparece en ellas. Se dará especial atención a

aquellos estudios en los que se ha observado la influencia de

las ideas equivocadas que tienen los alumnos sobre la

10 Por “ideas equivocadas” se entiende, en este trabajo, lo que en inglés se denomina “misconceptions”. En la edición del año 1995 del Cambridge International Dictionary of English, publicada por Cambridge University Press, se define misconception como “an idea wich is wrong that has been based on a failure to understand a situation” que podemos traducir como: una idea equivocada, basada en un fallo en la comprensión de una situación. 11 El tipo de idea equivocada que se espera encontrar es la de las personas que piensan que “la multiplicación siempre aumenta”, “la división disminuye” y “siempre se divide un número por otro menor”. Las dos primeras ideas sabemos que se convierten en obstáculos, en el sentido que dan a este término Bachelard (1999) y Brousseau (1997), cuando pasamos de operar números naturales y decimales mayores que uno a decimales menores que uno.



68

multiplicación y la división con decimales menores que uno en

tareas de estimación.

Estas ideas equivocadas sobre las operaciones están

íntimamente vinculadas a un conocimiento inadecuado del efecto

que tiene la alteración de los datos en el resultado de una

operación. Este conocimiento es fundamental, tanto para tener

un buen sentido numérico, como para poder realizar tareas de

estimación en cálculo, comprendiendo procesos complejos como

el de compensación. Parece pertinente, por tanto, realizar un

breve análisis sobre las relaciones que hay entre sentido

numérico, efecto de la alteración de los datos en el resultado

y estimación.

Por otra parte, al plantear la posible influencia de un

conocimiento inadecuado sobre el efecto de la alteración de

los datos en el resultado, se quiere ofrecer una perspectiva

más general, situando esta cuestión dentro del estudio de las

relaciones (de influencia, desconexión, etc.) que se dan entre

el conocimiento conceptual y procedimental en Matemáticas.

Para finalizar, dado que el trabajo se enmarca dentro de

las investigaciones dedicadas a identificar factores

relacionados con el rendimiento en estimación en cálculo,

interesa también exponer brevemente la metodología que se ha

seguido hasta ahora en este tipo de estudios. En especial,

conviene tratar la cuestión del uso de los informes verbales,

obtenidos en entrevistas, como instrumento de investigación

para el estudio de los procesos de estimación. Todo esto

configurará el marco teórico y permitirá exponer con detalle

cuáles son los objetivos y las hipótesis del presente trabajo

de investigación.

La habilidad de estimar de los maestros en formación

Bestgen y otros (1980) llegan a la conclusión de que un breve

periodo de instrucción puede mejorar las actitudes hacia la

estimación y el rendimiento en tareas de estimación de



69

maestros en formación. Se considera positivo que en la

instrucción, además de ejercitarse los alumnos en la práctica

de la estimación, se dé enseñanza explícita de estrategias. La

enseñanza de estrategias produce una mejora en la comprensión,

por parte de los alumnos, de los procesos de estimación y una

actitud más favorable hacia la misma.

Sowder (1989) estudia factores afectivos relacionados con

el rendimiento en estimación de maestros en formación.

Encuentra que los buenos estimadores tienen muy buen

autoconcepto como matemáticos y valoran positivamente tanto la

estimación como el cálculo mental. Los malos estimadores

tienen un bajo concepto sobre si mismos en Matemáticas,

atribuyen su bajo rendimiento en tareas de estimación a la

dificultad de las mismas y a la falta de tiempo para

realizarlas correctamente y dan poco valor a la estimación y

al cálculo mental.

Chien (1990) utiliza con éxito, con alumnos de

Magisterio, materiales de auto-estudio para el aprendizaje de

la estimación. Los alumnos mejoraron su rendimiento y sus

actitudes hacia la estimación. También mejoró la comprensión

de distintas estrategias de estimación como la operación

frontal, el uso de promedios y el uso de números compatibles,

aunque la estrategia preferida siguió siendo el redondeo.

Goodman (1991), en su trabajo con maestros en formación,

afirma que las estrategias de estimación deben enseñarse

explícitamente a los alumnos, pues no es probable que ellos

puedan desarrollarlas adecuadamente por si mismos. Las

estrategias que se enseñan deben ser variadas (operación

frontal, uso de promedios, compensación, uso de números

compatibles...) para posibilitar que los alumnos las utilicen

con flexibilidad. Por último, recomienda que se ponga un

énfasis especial en la enseñanza de conceptos y propiedades

relacionados con la estimación en cálculo como la comparación



70

de números, la propiedad distributiva, las operaciones con

potencias de 10, etc..

Gliner (1991) encuentra factores relacionados con el buen

rendimiento en tareas de estimación en estudiantes de

Magisterio. Los alumnos que se ven a si mismos como “buenos en

Matemáticas” tuvieron buen rendimiento en estimación. Otras

variables que influyeron positivamente fueron el número de

años cursados en Matemáticas, la media de sus calificaciones y

la actitud positiva de los que afirmaban “disfrutar con las

Matemáticas”. Alumnos que habían tenido hasta entonces un

rendimiento bajo en Matemáticas tuvieron éxito en tareas de

estimación, lo cual aumenta sus expectativas de tener éxito en

Matemáticas y mejora su actitud hacia las mismas.

Smith (1993) estudia la comprensión que tienen los

maestros en formación sobre distintas estrategias de

estimación. Llega a la conclusión de que las estrategias de

redondeo y operación frontal son las que se comprenden más

fácilmente mientras que la compensación es la que tiene una

mayor dificultad. La estrategia de redondeo es la única a la

que los alumnos se refieren por su nombre.

Dificultades en la enseñanza y el aprendizaje de los

números decimales

Algunas de las aportaciones más valiosas sobre las

dificultades que se producen en la enseñanza-aprendizaje de

los números decimales pueden encontrarse en los trabajos de

Brousseau. Este autor (Brousseau, 1997)12 afirma que un

12 Las fechas de las citas corresponden a las publicaciones originales en francés. En este trabajo se ha utilizado la traducción al inglés editada por Balacheff y otros en la editorial Kluwer (Brousseau, 1997). Las referencias originales son las siguientes: Brousseau, G. (1983). Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. Recherches en didactique des mathématiques, 4 (2), 165-198. Brousseau, G. (1980). Problèmes de l’enseignement des décimaux. Recherches en didactique des mathématiques, 1 (2), 33-115. Brousseau, G. (1981). Problèmes de didactique des dècimaux. Recherches en didactique des mathématiques, 2 (1), 37-127.



71

obstáculo que se produce en el aprendizaje de los decimales es

la identificación de éstos con medidas. Esto hace que “los

niños consideren a los mismos como tripletas (n, p, u)

formadas por un número natural, una potencia de diez (por la

que se divide el número natural) y una unidad de medida”

(p. 91). Dado que una de las prácticas más habituales en el

campo de la medida es el cambio de unidades, p y u jugarán un

papel destacado en las operaciones con decimales. Asociar los

decimales con medidas hará que “el número de decimales

utilizados se limite implícitamente al utilizado en las

medidas de uso común” (p. 92) (por ejemplo, los precios

expresados en francos, dólares o euros vienen con dos

decimales). Números como 3,25 se consideran como “325 con las

centenas como unidad”. Esto conducirá durante mucho tiempo a

considerar, por ejemplo, que no hay ningún número decimal

entre 3,25 y 3,26. Esta definición implícita de los decimales

como “números naturales con coma decimal” hace que se

produzcan errores también al realizar cálculos mentales.

Al realizar mentalmente el producto de dos números decimales,

algunos alumnos calculan el producto de la parte entera, luego el

de la parte decimal y al final ponen las partes juntas. Por

ejemplo: (0,4)2 = 0,16 pero (0,3)2 = 0,9 y algunas veces

(3,4)2 = 9,16. (Brousseau, 1997, p. 92)

En otro trabajo Brousseau (1981/1997), basándose en resultados

obtenidos en su análisis de la enseñanza de los decimales

(Brousseau, 1980/1997), toma la opción de presentar “los

números decimales como números racionales, simplemente como

una forma alternativa de escribir fracciones decimales” (p.

163). Por otra parte presentará “las fracciones decimales como

medio para aproximar números racionales debido a las

facilidades de cálculo que ofrecen las mismas” (p. 163). Se

espera que esta forma alternativa de presentar los números



72

decimales ayude a eliminar las dificultades que produce la

consideración de los mismos como “números naturales con coma”.

Después de explorar algunas de las dificultades con las

que nos podemos encontrar en los procesos de enseñanza-

aprendizaje de los números decimales, vamos a centrarnos en

problemas específicos que se producen al trabajar con números

decimales menores que uno, que comenzaron estudiándose en el

ámbito de la resolución de problemas.

Los números decimales en la resolución de problemas

Parte importante del conocimiento del que se dispone sobre las

ideas equivocadas de niños y adultos sobre las operaciones con

números decimales proviene de la investigación sobre

resolución de problemas aritméticos.

Uno de los aspectos que ha recibido más atención en las

investigaciones sobre resolución de problemas de estructura

multiplicativa ha sido la influencia de los tipos de número

(entero o decimal menor que uno) en la elección de estrategias

para la resolución de problemas. Castro (1995, pp. 63-68) hace

una revisión de estas investigaciones en la que expone los

resultados encontrados en los trabajos de Bell, Swan y Taylor

(1981), Ekenstam y Greger (1983), Bell, Fischbein y Greer

(1984), Fischbein, Deri, Nello y Marino (1985), Greer (1987),

Nesher (1988), Luke (1988), De Corte, Verschaffel y Van

Coillie (1988) y Bell, Greer, Grimison y Mangan (1989). Salvo

en el estudio de Bell y otros (1989), en el que, además de

niños, participaron maestros en formación, todas las demás

investigaciones se realizaron con niños de edades comprendidas

entre 11 y 16 años.

Los resultados hallados en estas investigaciones pueden

resumirse en los siguientes puntos:

a) Los niños tienen dificultades para elegir la operación

adecuada en problemas verbales que estructura multiplicativa

que contienen números decimales.



73

b) Estas dificultades se deben a que los niños tienen ideas

equivocadas sobre el efecto de multiplicar y dividir por

números decimales menores que uno. Muchos niños piensan que

"la multiplicación siempre aumenta", "la división disminuye" y

que "siempre debemos dividir un número grande por otro más

pequeño". Estas ideas, válidas con ciertos tipos de número

(como los naturales), dejan de serlo cuando se extrapolan a

números decimales menores que la unidad.

c) Las ideas equivocadas sobre la multiplicación y la división

están originadas por el predominio en la enseñanza del modelo

de adición repetida para la multiplicación y el modelo de

reparto para la división. En efecto, en la interpretación de

la multiplicación como adición repetida el multiplicador debe

ser un número natural y el producto mayor que el

multiplicando. Por otra parte, si se interpreta la división

como un reparto, el divisor debe ser un número natural y el

divisor y el cociente deben ser menores que el dividendo.

Ideas equivocadas sobre la multiplicación y la

división con decimales en estudiantes de magisterio

A continuación se presenta una breve revisión de las

investigaciones que se han realizado con maestros en

formación, en las que se han estudiado las ideas equivocadas

de éstos sobre la multiplicación y la división cuando en ellas


Tirosh y Graeber (1989) intentan evaluar si las creencias

de que "la multiplicación siempre aumenta" y "la división

siempre disminuye" son mantenidas explícitamente por maestros

en formación. Para ello se pide a los maestros que respondan

"verdadero o falso" a los siguientes enunciados:

A. En un problema de multiplicación, el producto es mayor que

cada uno de los factores.

B. El producto 0.45 × 90 es menor que 90.



74

C. en un problema de división, el cociente debe ser menor que el

dividendo.

D. en un problema de división, el divisor debe ser un número

entero.

E. El cociente en la división 60 ÷ 0.65 es mayor que 60.

F. El cociente en la división 70 ÷ 1/2 es menor que 70. (p. 81)

También se pidió a los alumnos que resolvieran cálculos como:

0.38 × 5.14 y 3.75 ÷ 0.75 que proporcionaban contraejemplos

para las creencias sometidas a discusión. Además, los alumnos

resolvieron problemas por escrito en los que debían elegir la

operación adecuada para hallar la solución.

Las autoras encuentran que un 10% de los alumnos

sostienen de manera explícita que "la multiplicación aumenta",

mientras que prácticamente la mayoría (más del 50%) de los

alumnos sostienen explícitamente que en un problema de

división, el cociente debe ser menor que el dividendo.

En el caso de la multiplicación, la creencia de que la

"multiplicación aumenta" es implícita para una mayoría. Se

manifiesta en las respuestas que dan los alumnos a los

problemas pero no es mantenida explícitamente. Los alumnos

muestran una dependencia muy fuerte de las operaciones con

números enteros y del conocimiento procedimental que tienen

sobre las operaciones. Siempre utilizan números enteros en los

ejemplos que usan para justificar sus concepciones sobre las

operaciones. Manifiestan también una fuerte dependencia del

modelo de suma reiterada para la multiplicación y del modelo

de reparto para la división. Tienen ideas equivocadas sobre la

multiplicación y la división cuando en éstas aparecen números

decimales menores que uno. Mantienen estas ideas equivocadas

aún cuando entran en contradicción con los resultados

correctos que obtienen en las operaciones aritméticas que se

les proponen.

Tirosh y Graeber (1990a) estudian la idea equivocada que

tienen muchos maestros en formación de que, en la división, el



75

cociente debe ser menor que el dividendo. Para ello, se

entrevista a 21 estudiantes de magisterio. A estos alumnos se

les pide que digan si están o no de acuerdo con las siguientes

afirmaciones:

A. En un problema de división, el cociente debe ser menor que el

dividendo.

B. El cociente en la división 10 ÷ 0.65 es mayor que diez.

C. El cociente en la división 70 ÷ 1/2 es menor que 70. (p. 100)

También se pide a los alumnos que escriban una expresión que

conduzca a la solución en varios problemas. Solamente deben

elegir cuál de las cuatro operaciones es apropiada para

resolver el problema y qué operación debemos realizar. Entre

estos problemas hay algunos en los que debe dividirse un

número por otro número decimal menor que 1. Así, las ideas

equivocadas acerca de la división, mantenidas por los alumnos

explícitamente en la primera parte de la entrevista, deberán

también ponerse de manifiesto al elegir la operación adecuada

para resolver estos problemas.

Las entrevistas mostraron que los maestros en formación

tienen una gran dependencia del conocimiento sobre los

conceptos y operaciones con números enteros. Estos alumnos,

además, suelen carecer de la interpretación de la división

como "medida" y tienden a cambiar algunos de sus

procedimientos de cálculo para satisfacer las condiciones

impuestas por estas ideas equivocadas.

Los alumnos que pensaban que "la división disminuye" pero

realizaban correctamente el algoritmo de la división por un

decimal menor que 1, no tardaron en darse cuenta de que su

concepción de la división (válida en el ámbito de los números

enteros) no funcionaba bien con números decimales. Sin

embargo, para algunos sujetos (8 en este estudio), en los que

la comprensión del algoritmo de la división no era la

adecuada, fue posible “resolver” la contradicción, entre los



76

resultados obtenidos en la operación y sus ideas equivocadas

sobre la división, de una forma inapropiada.

Graeber y Tirosh (1990) utilizan dos entrevistas para

explorar las ideas que tienen alumnos de cuarto y quinto grado

sobre la multiplicación y la división con números enteros. El

objetivo del estudio es analizar si estas ideas facilitan o

dificultan el trabajo posterior que realizan los niños con

números decimales. En la entrevista sobre multiplicación

aparecen los siguientes ítems:

Tarea 6: (se muestra a los alumnos los números 0.1 y 0.5).

Hay dos números en esta tarjeta. ¿Cómo se llama el que está

arriba?

¿Sabes qué significa 0.1? ¿Es mayor o menor que 0? ¿Es mayor o

menor que 1?

¿Sabes que significa 0.5? ¿Es mayor o menor que 0? ¿Es mayor o

menor que 1? ¿Es mayor o menor que 0.1?

Tarea 7A: (Si el alumno ha respondido satisfactoriamente a la

tarea seis, utiliza las tareas 7A y 7B. En caso contrario, pasa a

la tarea 7C).

15 × 0.6 = ?

¿Puedes decirme qué número falta? ¿Puedes decirme algo sobre él?

¿Por qué piensas eso?

Tarea 7B: (muestra al alumno la tarjeta con la siguiente

sentencia numérica).

0.1 × 10 = ?

¿Puedes decirme qué número falta? ¿Puedes decirme algo sobre él?

¿Por qué piensas eso?

Tarea 7C: (muestra al alumno la tarjeta con la siguiente

sentencia numérica).

15 × 0.6 = 9

Algunas personas mayores piensan que esta expresión es rara, si

es que es correcta. ¿Podrías adivinar por qué piensan que es

rara? ¿A ti te parece rara? (p. 569)

La mayoría de los alumnos se sorprendieron al ver sentencias

como la 7C. Catorce de ellos (cerca del 25%) detectaron algún

problema relacionado con el tamaño del producto diciendo "la



77

respuesta debería ser mayor que nueve", "la respuesta debería

ser alrededor de quince" o "la respuesta debe ser mayor".

Este estudio proporciona evidencias de que las ideas de que

"la división disminuye" y "la multiplicación aumenta" ya

aparecen en alumnos de cuarto y quinto grado.

Los modelos de multiplicación como "suma reiterada" y de

división como "reparto" pueden obstaculizar la comprensión

correcta de las operaciones con números decimales. Sin

embargo, los modelos de multiplicación "de área" y de división

"medida" pueden facilitar el paso de las operaciones con

números enteros a las operaciones con decimales. Los autores

proponen que los alumnos deben ser capaces de utilizar la

estimación para anticipar una solución razonable cuando

resuelven problemas. Este proceso de estimación debe ayudarnos

a dilucidar si esperamos una respuesta mayor, menor o igual

que uno.

En esta investigación, la estimación tiene más el

carácter de "juicio de valor" dado en la definición de Segovia

y otros (1989)13, que el de procedimiento de cálculo mental que

busca una respuesta aproximada. Además, este trabajo tiene el

interés (de cara a la presente investigación) de que en él se

plantea el problema de las ideas equivocadas sobre

multiplicación y división con números decimales, en tareas

(como la tarea 7) en las que la operación que se ha de

realizar aparece indicada explícitamente.

Tirosh y Graeber (1991) analizan la influencia que tienen

el tipo de problema de división (de reparto o medida) y las

ideas equivocadas de los alumnos acerca de la división (la

división "disminuye") en la realización de distintas tareas

sobre problemas de división. En la investigación participan 80

alumnas de magisterio. Se pide a estas alumnas que realicen

dos tipos de tareas distintas: en la primera tarea, deben 13 Estimación: Juicio sobre el valor del resultado de una operación numérica o de la medida de una cantidad, en función de circunstancias individuales del que lo emite. (p. 18)



78

escribir expresiones que conduzcan a la solución de varios

problemas dados; en la segunda tarea, deben escribir

enunciados de problemas que se resuelvan utilizando

expresiones dadas. Por ejemplo, deben escribirse problemas que

se resuelvan mediante las expresiones: 6 ÷ 3, 2 ÷ 6, 4 ÷ 0.5 y

0.5 ÷ 4. Fueron entrevistadas 33 de las alumnas para

determinar qué procedimiento habían utilizado para resolver

las tareas.

Se encontró que las alumnas tuvieron más facilidad para

escribir expresiones que resolvieran los problemas en los que

no se producía contradicción entre la operación que debía

realizarse y las ideas equivocadas de las alumnas sobre la

división. Resultó también ser más sencillo, para estas

alumnas, escribir expresiones que resolvieran problemas de

división "reparto" que problemas de división "medida". Cuando

se pedía a las alumnas que escribieran enunciados de problemas

que se resolvieran mediante una expresión dada, éstas solían

casi siempre escribir problemas de división-reparto. En este

tipo de tareas, pareció tener mayor influencia la

compatibilidad de la expresión con la interpretación partitiva

de la división que las restricciones impuestas por las

concepciones erróneas de las alumnas acerca de la división.

Thipkong y Davis (1991) investigan las ideas equivocadas

de un grupo de 65 maestros en formación sobre las operaciones

con números decimales. Para ello elaboran una prueba escrita

compuesta por 45 ítems. En algunos de ellos se pide a los

alumnos que escriban una expresión que permita resolver el

problema y que utilicen la calculadora para obtener la

respuesta. Por ejemplo, el ítem nº 27 es el siguiente:

Carla dedica 0.25 horas diarias a regar las plantas. ¿Cuánto

tiempo es en minutos?

Expresión: _____________________________________

Respuesta: _____________________________________ (p. 95)



79

Los autores encontraron que “el 31% de los maestros en

formación tuvieron dificultades con los números decimales

menores que uno. Utilizaban la división en vez de la

multiplicación cuando el multiplicador era menor que uno (como

ocurre en el ítem nº 27)” (p. 97). En las entrevistas,

realizadas para conocer los procedimientos que habían

utilizado los sujetos para dar sus respuestas, “los maestros

en formación explicaban esta respuesta diciendo que ‘la

división disminuye’” (p. 97).

Graeber (1993) piensa que la causa principal de la

existencia de ideas equivocadas sobre la multiplicación y la

división se encuentra en el dominio del modelo de suma

repetida para la multiplicación y el de reparto para la

división. Recomienda la utilización del modelo de área para la

multiplicación y el modelo de medida para la división.

Asimismo, propone la realización de otros tipos de actividades

para superar estas ideas equivocadas. Estas actividades pueden

consistir en la exploración y búsqueda de patrones con

calculadoras que operan fracciones y números mixtos o la

introducción sistemática de problemas que conduzcan a cálculos

como 4 × ½, ½ × ½, 2 ÷ ¼, o ½ ÷ ¼ que pueden ser resueltos de

forma sencilla mediante el uso de materiales manipulativos o

representaciones gráficas.

Dificultad de los ítems en pruebas de estimación en

función del tipo de número

En algunos trabajos se ha estudiado la influencia del tipo de

número que aparece en las tareas de estimación en la

dificultad de las mismas.

Bestgen, Reys, Rybolt y Wyatt (1980) analizan la

efectividad de la enseñanza sistemática de la estimación en

una muestra formada por 187 maestros en formación. Durante el

período de instrucción se dio enseñanza teórica (diez

lecciones) y práctica (un "concurso de estimación" en el que



80

los alumnos practicaban respondiendo a 16 tareas de

estimación) sobre estimación con números enteros y decimales.

Entre los números decimales aparecen números mayores y menores

que uno (tanto en la parte teórica de la instrucción como en

la práctica). En el test de estimación, compuesto por 60

ítems, que se utilizó para medir la destreza en estimación de

los alumnos (antes y después del período de instrucción) se

encontró que los ítems en los que aparecían números decimales

eran más difíciles que aquellos en los que solamente aparecían

números enteros. En esta investigación no se hace ninguna

distinción sobre si los decimales que aparecen son mayores o

menores que uno.

En R. E. Reys, Bestgen, Rybolt y Wyatt (1980) se utiliza

un test, compuesto por 55 ítems, diseñado a partir del test

utilizado en Bestgen y otros (1980). En él aparecen ítems con

números enteros, con números decimales mayores que uno y con

números decimales menores que uno. Este estudio está orientado

al análisis de las estrategias utilizadas en los procesos de

estimación y en él no se realiza comparación alguna entre la

dificultad de los ítems en función del tipo de número14.

Rubenstein (1985a) utiliza en su estudio un test,

compuesto por 64 ítems, con ítems tomados del trabajo de Reys

y otros (1980) o diseñados para ser paralelos a los ítems del

estudio citado. Al igual que en Bestgen y otros (1980) se

llega a la conclusión de que los ítems en los que aparecen

números decimales son más difíciles que los ítems que sólo

tienen números enteros.

Goodman (1991) también estudia la dificultad de los ítems

en pruebas de estimación en función del tipo de número que

14 Se cita este estudio por ser el “puente” entre los trabajos de Bestgen y otros (1980) y Rubenstein (1985a). En este trabajo, se ha contado con las pruebas de estimación utilizadas en los trabajo de R. E. Reys y otros (1980) y de Rubenstein (1985a). En ellas aparecen decimales mayores y menores que uno. En el trabajo de Bestgen y otros (1980), no hay seguridad de que aparecieran decimales mayores y menores que uno pero hay varios indicios de que así fue.



81

aparece en los mismos. Utiliza en su prueba ítems con números

naturales, decimales, fracciones y porcentajes. En esta prueba

todos los decimales que aparecen son mayores que uno. El autor

no encuentra diferencia significativa de dificultad entre los

ítems en que aparecen números decimales y aquellos en los que

sólo hay números enteros. Este resultado parece entrar en

contradicción con los hallados en las investigaciones de

Bestgen y otros (1980) y de Rubenstein (1985a), en los que la

diferencia de dificultad entre estos dos tipos de ítems sí se

pone de manifiesto.

La hipótesis que se plantea en este trabajo es que la

verdadera diferencia de dificultad se da entre los ítems que

tienen números enteros y aquellos en los que aparecen números

decimales menores que uno. En caso de confirmarse esta

hipótesis, se obtendría un resultado análogo al que se da en

el campo de la resolución de problemas de estructura

multiplicativa que se ha descrito antes. Tanto la dificultad

de las tareas de estimación como la dificultad en la elección

de operación apropiada para la resolución de un problema

serían manifestaciones distintas de las ideas equivocadas que

tienen los alumnos sobre la multiplicación y la división

cuando en ellas aparecen números decimales menores que uno.

Además, la confirmación de esta hipótesis podría también

explicar la aparente contradicción que se produce al

confrontar los resultados encontrados en las investigaciones

de Bestgen y otros (1980) y Rubenstein (1985a) con los

hallados en el trabajo de Goodman (1991). En efecto, el hecho

de que en el test utilizado por Goodman no aparezcan decimales

menores que uno (al contrario que en los otros trabajos),

puede ser el causante de que en este estudio no se hallan

encontrado diferencias significativas entre estos dos tipos de

ítems.



82

Estimación de multiplicaciones y divisiones con

números decimales menores que uno

En varios trabajos de investigación se han tratado, directa o

indirectamente, los problemas que se producen en la estimación

en cálculo con números decimales menores que uno.

Morgan (1990) intenta determinar factores que afectan en

el rendimiento de alumnos de educación secundaria en tareas de

estimación en cálculo. Uno de los factores, cuya influencia

trata de demostrar, es la presencia de números decimales

menores que uno en estas tareas. Toma como referencia el

trabajo de Levine (1982), en el que se advierte que alumnos

universitarios tenían dificultades en la conceptualización de

la multiplicación y de la división. Plantea una prueba

compuesta por ítems aplicados e ítems de cálculo directo. Las

respuestas dadas por los alumnos indican la existencia de

ideas equivocadas sobre las operaciones. Aparece la idea de

que "la multiplicación siempre aumenta", "la división

disminuye" y otras en las que se invierten los papeles del

dividendo y el divisor para poder obtener un resultado

"coherente" con estas ideas equivocadas. Por ejemplo, en el

ítem en el que se pedía dar una estimación para 93.4 × 0.68 un

23% de los alumnos dieron respuestas entre 93.4 y 105. Se

observaron también las siguientes respuestas:

Para 88.2 × 0.68 un 22% dieron estimaciones entre 88.2 y 91.

Para 6.23 ÷ 8.85 un 17% dieron estimaciones entre 1 y 2.

Para 4.86 ÷ 6.44 un 25% dieron estimaciones entre 1 y 2.

Para 3 ÷ 0.06 un 35% dieron la respuesta 0.02.

Para 2 ÷ 0.04 un 35% dieron la respuesta 0.02.

Estas ideas equivocadas dejaron de aparecer en gran medida cuando

se plantearon problemas equivalentes presentados dentro de un

contexto. (pp. 268, 269)

Se observó, en concordancia con los resultados obtenidos en

otras investigaciones, que los alumnos obtenían mejores



83

resultados dando estimaciones en problemas aplicados que en

ítems de cálculos directos. Esta diferencia fue mucho más

acusada en los ítems en los que aparecían números decimales

menores que uno. Las entrevistas, realizadas a los alumnos,

mostraron que éstos utilizaban (cuando respondían a este tipo

de ítems) estrategias en las que no realizaban ningún cálculo

sino que usaban el conocimiento que tenían del contexto para

producir su estimación.

Morgan (1989) compara el rendimiento de alumnos en tareas

de estimación en formato numérico y en formato aplicado.

Observa que para alumnos de Educación Secundaria es mucho más

sencillo estimar si los cálculos se presentan dentro de un

contexto. La mayoría de estos alumnos no han recibido

enseñanza de técnicas de estimación. Sin embargo, muchos de

ellos son capaces de desarrollar métodos informales de

estimación cuando se les proporciona un contexto

significativo. La autora dice que:

El hecho de que muchos niños fueran capaces de realizar

estimaciones razonables en contexto mientras que fallaban en

estimar cálculos parecidos fuera de contexto indica que estos

alumnos no estaban convirtiendo el problema en un cálculo. Las

entrevistas revelaron que ellos utilizaban estrategias muy

diferentes para hacer estimaciones dentro de un contexto. (p. 16)

También añade que “estas ventajas proporcionadas por el

contexto fueron más acusadas en aquellas operaciones difíciles

de conceptualizar: la multiplicación o división de un número

por otro menor que uno y la división de un número por otro

mayor” (p. 16).

En el trabajo de Markovits y Sowder (1994), en el que se

trata de mejorar el sentido numérico de los alumnos mediante

una intervención en su proceso de instrucción, también se

plantea el problema de las ideas equivocadas sobre la

multiplicación y la división con números decimales menores que



84

uno. Así, en la prueba realizada a los alumnos aparecen ítems

del siguiente tipo:

217 ÷ 0.35 es mayor, menor que o igual que 217

a) Mayor, porque 0.35 < 1

b) Mayor, por que el punto decimal está movido (en 0.35)

c) Menor, por que estamos dividiendo (p. 21)

Los alumnos dieron respuestas que confirmaban la existencia de

estas ideas equivocadas:

Alumno: es menos que 217. Porque dividir es más que restar.

Cuando divides estás quitando el número que hay ahí [señalando al

0,35].

Entrevistadora: ¿Puedes calcular la respuesta exacta con la

calculadora?

Alumno: [lo intenta varias veces seguidas] sigue saliendo mayor y

no debería ser así. [continua intentándolo]

Entrevistadora: ¿Sigue siendo mayor?

Alumno: [confundido] Sí. Aunque divida 0,35 por 217.

Entrevistadora: pero es 217 dividido por 0,35.

Alumno: Sí. Pero debería ser menor, porque estamos dividiendo.

(pp. 21, 22)

Esta porción de entrevista indica claramente la presencia de

una idea equivocada sobre la división y de cómo puede influir

esta idea en el cambio de los papeles que juegan el dividendo

y el divisor en una división cuando el resultado no cumple las

expectativas que tienen los niños (de acuerdo con esta idea

equivocada).

Las autoras comprobaron que, tras un período de

instrucción, podía mejorarse la comprensión de las operaciones

de modo que se redujera, de forma significativa, el número de

errores producidos por los niños en este tipo de tareas.



85

El sentido numérico, el efecto de la alteración de

los datos en el resultado de una operación y la

estimación en cálculo

En este trabajo se utiliza el marco teórico propuesto por

McIntosh, B. J. Reys y R. E. Reys (1992) para el sentido

numérico. Estos autores dan la siguiente definición de sentido

numérico:

Con el término ‘sentido numérico’ nos referimos a la comprensión

general que tiene una persona sobre los números y las operaciones

junto con la habilidad y la inclinación a utilizar con

flexibilidad este conocimiento para emitir juicios matemáticos y

para desarrollar estrategias prácticas que le permitan manejar

números y operaciones. Refleja una inclinación y una destreza en

el uso de números y métodos cuantitativos como medios para

comunicar, procesar e interpretar informaciones. (p. 3)

Las definiciones que podemos encontrar sobre sentido numérico

son demasiado generales. Los autores que han intentado

describir o evaluar el sentido numérico de un grupo de sujetos

han optado por desglosar el sentido numérico en componentes.

En el modelo teórico utilizado como referencia, se consideran

los componentes del sentido numérico agrupados en tres áreas:

el conocimiento de los números, conocimiento de las

operaciones y el conocimiento sobre cómo utilizar los números

y las operaciones en distintas situaciones.

Dentro del conocimiento de las operaciones hay tres

componentes: el conocimiento de las propiedades de las

operaciones (asociativa, conmutativa, distributiva, etc.), el

conocimiento de la relación entre distintas operaciones (entre

la suma y la multiplicación, la resta y la división, la

multiplicación y la división, etc.) y el conocimiento del

efecto relativo de las operaciones.

En este trabajo se examina únicamente el conocimiento del

efecto relativo de las operaciones por estar estrechamente



86

relacionado con las tareas de estimación con números decimales

menores que uno.

McIntosh y otros (1992) consideran que:

La correcta conceptualización de una operación supone la

comprensión del efecto que tiene realizar la misma con distintos

tipos de números, incluyendo números enteros y racionales. A

menudo utilizamos modelos para ayudar a los alumnos a comprender

las acciones que realizan las operaciones. Por ejemplo, la

modelización de la multiplicación como suma repetida proporciona

un modo concreto de pensar acerca de la multiplicación y de

realizarla. Es importante que sean explorados varios modelos de

multiplicación de modo que los alumnos puedan ver, a la vez, las

posibilidades del modelo y sus limitaciones. Por ejemplo, pensar

en la multiplicación como suma reiterada puede conducir a

generalizaciones incorrectas (por ejemplo, a pensar que la

multiplicación siempre aumenta) (p. 7).

Más adelante añaden:

Investigar cómo cambia el resultado de una operación a medida que

varía el tamaño de los operandos puede contribuir al desarrollo

del sentido numérico. Por ejemplo, ¿qué ocurre cuando

multiplicamos dos números menores que uno?... La reflexión sobre

las interacciones entre los números y las operaciones estimula el

pensamiento y favorece el desarrollo del sentido numérico. (p. 7)

Al referirse al componente del conocimiento del efecto

relativo de las operaciones citan al NCTM (1989, p. 43) “el

sentido de las operaciones implica también la adquisición de

ideas e intuiciones sobre el efecto que tienen las operaciones

sobre dos números”. Este sentido de las operaciones es

necesario en tareas de estimación. El uso de procesos de

reformulación, traducción o compensación depende del

conocimiento que tengamos sobre cómo afecta al resultado de un

cálculo el cambio de los números que aparecen en el problema.

Al considerar el efecto relativo de las operaciones,

Behr (1989) plantea como cuestión básica, relacionada tanto



87

con el sentido numérico como con la estimación, saber “cuándo

el resultado de una operación permanece constante bajo la

transformación de uno o varios de los operandos, y cómo

compensar este cambio cuando ocurre” (p. 85).

Según este autor:

Cuando el objetivo es encontrar el resultado de una operación

indicada, si realizamos una operación con una expresión

transformada, necesitamos conocer con antelación cuál será el

efecto de la transformación y cuál debe ser la compensación que

debemos realizar a continuación. Dado que en una operación

intervienen dos operandos y un resultado, podemos utilizar dos

estrategias distintas para realizar esta compensación,

dependiendo de qué cantidades queramos modificar y en qué momento

realicemos la compensación. Una estrategia requiere realizar una

transformación en uno de los operandos y otra transformación que

compense la anterior en el resultado; la otra estrategia supone

realizar transformaciones en los dos operandos, cada una de las

cuales debe compensar a la otra. (p. 85)

Teniendo en cuenta el enfoque de Behr, puede deducirse que el

conocimiento del efecto de las operaciones15 es esencial para

la realización de tareas de estimación. En efecto, R. E. Reys

y otros (1982), al describir los procesos cognitivos que se

dan en las tareas de estimación, definen la compensación

diciendo que consiste en “los ajustes hechos para reflejar el

cambio que se produce como resultado de la reformulación o la

traducción del problema” (p. 189).

Cuando se utiliza la estrategia de redondeo −ejemplo de

reformulación− para realizar una estimación, debemos saber de

antemano cuál será el efecto que producirá cambiar los datos

originales por los datos redondeados. Por ejemplo, si se

sustituye el cálculo 87 × 55 por 90 × 60, redondeando los dos 15 Se conserva aquí la traducción literal de la expresión “relative effect of operations”, aunque en este trabajo se utiliza la expresión “efecto de la alteración de los datos en el resultado”, que resulta más clara que “el efecto relativo de las operaciones” y coincide también, como se ha señalado, con lo que Behr (1989) llama “variabilidad”.



88

factores, debe saberse que el resultado exacto del cálculo

propuesto será menor que el resultado obtenido (5400) dado que

se han sustituido ambos números por otros mayores. Esto puede

servir como orientación para realizar una compensación,

dejando la estimación en 5000 (más cercana al resultado exacto

que es 4785). También se podría realizar una compensación

previa al cálculo. Si se sustituye 87 por 90, el resultado

obtenido es mayor y puede compensarse este aumento

sustituyendo 55 por 50. En este caso se hace una compensación

previa a la realización del cálculo que conduce a una

estimación de 4500.

En estas estrategias de estimación se ve un claro ejemplo

de lo que entiende Behr (1989) por “efecto relativo de las

operaciones”. Así, se puede considerar el conocimiento del

efecto que tiene la alteración de los datos en el resultado de

una operación como un componente básico, tanto del sentido

numérico como de las tareas de estimación. Esta coincidencia

es la responsable de que se utilicen ítems del mismo tipo en

instrumentos (tests y entrevistas) pertenecientes a estudios

sobre sentido numérico e investigaciones sobre estimación en

cálculo. Por ejemplo, Yang (1995), R. E. Reys y Yang (1998) y

Shull (1998) han utilizado, en las pruebas diseñadas para

caracterizar el sentido numérico de los participantes en sus

estudios, ítems en los que se evalúa el conocimiento que

tienen los sujetos del efecto relativo de las operaciones. Un

ejemplo de este tipo de ítems es el siguiente16:

Sin realizar un cálculo exacto, señala la mejor estimación para

72 ÷ 0,025

a) mucho menor que 72

b) un poco menor que 72

c) un poco mayor que 72

d) mucho mayor que 72

16 Tomado de Yang (1995, p. 57)



89

Schoen, Blume y Hart (1987) y Schoen, Blume y Hoover (1990)

utilizan en sus tests de estimación ítems planteados con

distintos formatos. Uno de los formatos utilizados es el de

“número de referencia”. En este tipo de ítems no se pide al

sujeto que realice una estimación sino que, como en el ejemplo

anterior, solamente se debe valorar si el resultado de una

operación es mayor o menor que una cantidad dada. Por ejemplo,

uno de los ítems es el siguiente17:

¿Es 521 × 29 mayor o menor que 18000?

a) Mayor, porque 521 × 29 es mayor que 500 × 20

b) Mayor, porque 521 × 29 es mayor que 500 × 30

c) Menor, porque 521 × 29 es menor que 600 × 30

d) Menor, porque 521 × 29 es menor que 500 × 40

En ambos casos, se debe responder a los ítems utilizando el

conocimiento que tenemos sobre el efecto que tiene la

alteración de los datos en el resultado. En el primer ejemplo,

la respuesta será utilizada para evaluar el sentido numérico

de los sujetos y en el segundo para valorar su habilidad de

estimar.

Relaciones entre el conocimiento conceptual y

procedimental en tareas de estimación en cálculo

En la realización de tareas de estimación aparecen

involucrados gran cantidad de conocimientos que funcionan como

requisitos previos. Sowder y Wheeler (1989) han realizado un

análisis pormenorizado de estos “componentes de la

estimación”18. Entre los componentes conceptuales, estas

autoras citan el conocimiento de que una estimación es un

valor aproximado, la aceptación del uso de varias estrategias

17 Tomado de Schoen, Blume y Hart (1987, p. 40) 18 Pueden consultarse los componentes involucrados en las tareas de estimación en cálculo en Sowder y Wheeler (1989, p. 132). También aparecen en Segovia (1997, pp. 20, 21), en una cita de otro trabajo de Sowder.



90

y distintos resultados cuando damos una estimación, el

conocimiento de las propiedades de las operaciones y de que

modificar los números puede cambiar el resultado de un

cálculo. Entre los componentes procedimentales podemos citar

las estrategias de cálculo mental −que incluyen las

operaciones con potencias de diez− y las estrategias de

estimación (como el redondeo, el truncamiento, el uso de

números compatibles, etc.).

Estos conocimientos no se utilizan de manera

independiente en la realización de las tareas de estimación

sino que aparecen interconectados. Una conexión adecuada entre

el conocimiento conceptual y procedimental debería favorecer,

por ejemplo, que el conocimiento conceptual ejerza sobre los

procedimientos una función de “control ejecutivo”, descrita

por Hiebert y Lefevre (1986):

El conocimiento conceptual, si aparece ligado con un

procedimiento, puede dirigir su selección y uso y puede evaluar

la razonabilidad del resultado alcanzado mediante el

procedimiento. Con vistas a la selección, el conocimiento

conceptual sirve a) como una ayuda en la elección de los

procedimientos apropiados... y b) como una fuerza que desanima

la selección de procedimientos inaceptables. (p. 12)

Una segunda función del conocimiento conceptual relacionada con

el control ejecutivo consiste en dirigir los fines del

procedimiento. El conocimiento conceptual satisface esta

función desempeñando el papel de una validación crítica...

Juzga la razonabilidad de la respuesta; controla si la

respuesta “tiene sentido”. (p. 13)

Schoen y otros (1987) advierten del peligro que supone la

falta de una conexión adecuada entre la estimación y el

conocimiento conceptual. Para ellos, la mayor parte de los

alumnos ven la estimación como un proceso equivalente a

redondear los números, según las reglas estándar del redondeo,



91

y realizar un cálculo mental con los números redondeados. Los

autores piensan que esta manera de entender la estimación

puede conducirnos a un aprendizaje memorístico de la misma,

que no favorezca el desarrollo de la comprensión de conceptos.

En la revisión realizada de antecedentes del problema,

hay ejemplos muy claros de esta ausencia de conexión entre el

conocimiento conceptual y el procedimental en la realización

de tareas de estimación. Por ejemplo, Levine (1980) analiza

los tipos de errores cometidos por alumnos universitarios en

tareas de estimación en cálculo. En algunos de estos errores

se pusieron de manifiesto dificultades en la conceptualización

de la multiplicación y de la división. En el análisis de las

respuestas dadas por los alumnos encontramos los siguientes

resultados:

Para el ítem 64.6 × 0.16 un 37% de las estimaciones dadas fueron

mayores que 64.6. Para 424 × 0.76 un 24% de las respuestas fueron

mayores que 424. En el ítem 187.5 × 0.06 un 25% de las

estimaciones fueron mayores que 187.5. Un 49% de las estimaciones

dadas para 0.47 × 0.27 fueron mayores que 0.26 ó 0.47. (p. 96)

Levine (1980) atribuye este tipo de errores a que los alumnos

están tan concentrados en el proceso de producir una

estimación que no son capaces de utilizar el conocimiento que

tienen (en caso de que lo tengan) sobre el efecto de

multiplicar un número por una cantidad menor que uno para

evaluar la razonabilidad de sus estimaciones. Encontramos aquí

una falta conocimiento conceptual, o de “control ejecutivo”

del mismo sobre los procedimientos, que posibilita que se

produzcan estos resultados carentes de sentido.

En algunos casos, los alumnos realizaban una operación

con números decimales "quitando" las comas decimales y a

continuación olvidaban restablecer el orden apropiado del

resultado colocando la coma en el lugar apropiado. En otras

ocasiones:



92

Más que olvidarse de poner la coma al final, los alumnos pensaban

equivocadamente que habían realizado una transformación en los

números que ya había tenido en cuenta las comas decimales. Por

ejemplo, un alumno utilizó la siguiente de estrategia: “0.47 ×

0.26. Quitamos ambos decimales y queda 47 × 26... 50 por 25...

125 y un 0. Luego son 1250”. (p. 89)

Este tipo de procedimiento incorrecto puede estar relacionado

con el algoritmo habitual de división de números decimales, en

el que las comas decimales se quitan tanto del dividendo como

del divisor para dar lugar a una división equivalente. Se

produciría aquí una falta de comprensión de cómo influye la

modificación de los datos en el resultado de un cálculo. Esto

reflejaría un conocimiento inadecuado del efecto relativo de

las operaciones, siguiendo el planteamiento de Behr (1989), y

también una ausencia de sentido numérico.

Levine (1980) encontró también otros tipos de errores

asociados con las operaciones en las que aparecían números

menores que uno. Por ejemplo, al utilizar la estrategia de

sustituir un número decimal por una fracción un alumno realizó

la siguiente estimación: “943 ÷ 0.48. Es la mitad de 900. 450.

Bien, 470” (p. 92). En varios alumnos se encontró la idea

equivocada de que se “debe dividir siempre un número por otro

menor”. Levine propone el ejemplo de “uno de los participantes

[que] invirtió los papeles del dividendo y del divisor al dar

su estimación para 0.76 ÷ 0.89 pero realizó la división

correctamente cuando estimaba 943 ÷ 0.48” (p. 95). Todas estas

descripciones de estimaciones son una muestra de la existencia

de ideas equivocadas y de la influencia de las mismas en la

producción de estimaciones incompatibles con una comprensión

adecuada de las operaciones. A veces también ejemplifican cómo

los alumnos, en caso de tener un conocimiento adecuado, no lo

utilizan en la realización de sus estimaciones.



93

Por otra parte, y en el extremo opuesto, nos encontramos

con un ejemplo propuesto por Dowker (1992). Esta autora −que

utiliza el test de Levine (1982)− encontró en su

investigación, sobre identificación de estrategias de

estimación utilizadas por matemáticos profesionales, un sujeto

que utilizó, como estrategia para estimar 0.76 ÷ 0.89, “el

conocimiento de que dividir un número por un número racional

un poco menor que uno, produce un resultado un poco mayor que

el número de partida. Así, 0.76 ÷ 0.89 será un poco mayor que

0.76” (p. 47). Este es un ejemplo de cómo puede utilizarse un

conocimiento adecuado del efecto que tiene la alteración de

los datos en el resultado de una operación para producir una

estimación sin necesidad de realizar un cálculo.

Enfoque metodológico de las investigaciones sobre

procesos de estimación. El uso de informes verbales

Dentro del campo de investigación de la estimación en cálculo

hay un aspecto metodológico que resalta por encima de los

demás: el uso de entrevistas como método para conocer las

estrategias que han utilizado los alumnos para producir sus

estimaciones y el tipo de conocimiento que han puesto en juego

al estimar.

La importancia de estos métodos puede justificarse

recurriendo a la valoración que hacen Carpenter, Coburn, R. E.

Reys y Wilson (1976) sobre la dificultad de medir la habilidad

de estimar:

La estimación es un proceso. Por lo cual, no parece creíble que

la habilidad de estimar pueda ser evaluada si solamente tomamos

en cuenta el resultado final del cálculo. Para obtener una medida

válida de la habilidad de un alumno para estimar, posiblemente

sea necesario observar al alumno estimando. (p. 299)



94

Dado que se van a utilizar entrevistas para poner de

manifiesto el tipo de conocimientos utilizados por los alumnos

para dar sus estimaciones, parece importante plantear ciertas

cuestiones acerca de la validez de este tipo de métodos antes

de pasar a describir el diseño de la investigación.

En este trabajo se ha utilizado como referencia teórica

sobre este tipo de aspectos metodológicos el trabajo de tesis

de MacLeod (1999) sobre la validez de los informes verbales

como instrumento metodológico para analizar los procedimientos

utilizados por niños pequeños en la realización de cálculos

(restas).

Se consideran dos tipos diferentes de informes verbales:

los informes verbales concurrentes y los retrospectivos. Los

informes verbales concurrentes son aquellos en los que el

alumno "piensa en voz alta" o explica el procedimiento que

utiliza para la resolución de la tarea mientras realiza la

misma. Los informes verbales retrospectivos son aquellos en

los que el alumno explica el procedimiento que ha utilizado

para llevar a cabo la tarea después de haber terminado la

misma.

Hay dos amenazas principales para la validez de los

informes verbales: la reactividad y la veracidad. La

reactividad se produce cuando el hecho de dar un informe

verbal afecta o cambia la actuación en la tarea. Por ejemplo,

se sabe que los informes concurrentes ralentizan la

realización de las tareas. Los informes verbales son verídicos

cuando reflejan con precisión los contenidos de la memoria a

corto plazo. Hay dos tipos de errores asociados a la falta de

veracidad en los informes verbales: errores de comisión y de

omisión.

MacLeod (1999) explica en qué consisten estos dos tipos

de errores:

Los errores de comisión se producen cuando los sujetos informan

de pensamientos que realmente no han tenido. Por ejemplo, en la



95

realización de una tarea aritmética, un sujeto puede decir que ha

recuperado un "hecho básico" de la memoria cuando realmente lo

que ha hecho es utilizar un procedimiento de conteo, quizás

porque siente que debería haber utilizado la recuperación e

informa de acuerdo con este "sentimiento". En este caso los

sujetos están informando sobre eventos ficticios y cualquier

conclusión o teoría basada en estos informes podrá ser errónea.

El segundo tipo de error es el de omisión. Este tipo de error

sucede cuando los sujetos no dan un informe completo de los

pensamientos, acciones, o sentimientos que experimentan. Por

ejemplo, un alumno puede decir que ha resuelto un problema

mediante conteo pero no informar de que ha utilizado una

estrategia especial de conteo (como contar de 2 en 2). En este

caso, los informes pueden no ser erróneos pero son incompletos y

las conclusiones obtenidas a partir de ellos pueden no ser

capaces de explicar de forma completa el fenómeno bajo

investigación. (p. 8)

Los informes verbales retrospectivos se consideran apropiados

cuando utilizamos tareas del mismo tipo que se resuelven con

rapidez. Tienen dos tipos de limitaciones: si la tarea es muy

difícil o se realiza con mucha lentitud, gran parte de la

información se perderá; por otra parte, si la tarea está

automatizada, como ocurre con la recuperación de hechos

básicos, los sujetos no serán capaces de informar sobre cómo

resolvieron el problema dado que el proceso de solución fue

demasiado rápido y nunca llegó a entrar en la memoria a corto

plazo.

MacLeod estudia la validez de los informes verbales dados

por niños de primero, tercero y quinto grado a los que se pide

que expliquen el procedimiento que utilizan para resolver un

conjunto de problemas de resta. Los alumnos se distribuyen en

tres grupos: en el primero los niños resuelven los problemas

sin dar ningún informe verbal, en el segundo los alumnos

explican el procedimiento que han utilizado para resolver cada

problema inmediatamente después de terminar cada uno de ellos,

y en el tercero se pide a los alumnos que piensen "en voz



96

alta" mientras resuelven los problemas. Después de analizar

los resultados obtenidos en las entrevistas, la autora llega a

la conclusión de que los niños son capaces de proporcionar

informes verídicos de sus estrategias de resolución de

problemas en todos los grados. En general, se recomiendan los

informes retrospectivos aunque los alumnos de primer grado

también tuvieron buenos resultados con los informes

concurrentes. En esta investigación se utilizaron los informes

verbales, cuya validez había sido investigada, para analizar

las estrategias que utilizaban los niños para resolver los

problemas de resta. Se observó que los alumnos de primer grado

utilizaban como estrategia preferente el conteo, los alumnos

de quinto grado recurrían a la recuperación de "hechos

básicos", y los alumnos de tercer grado utilizaban "trucos

especiales" que consistían en obtener "hechos derivados" a

partir de los "hechos básicos" mediante estrategias inventadas

por ellos mismos. Los alumnos de tercer grado utilizaron mayor

diversidad de estrategias. Se considera que estos alumnos

están en un período de transición.

Dentro de las investigaciones que se han realizado dentro

del campo de la estimación, hay algunos estudios en los que se

ha pedido a los alumnos pensar “en voz alta” para determinar

qué procedimientos habían utilizado para producir sus

estimaciones. Entre ellos están los siguientes: Levine (1982),

Siegel y otros (1982), Schoen y otros (1990), Dowker (1992),

Dowker y otros (1996) y Hanson y Hogan (2000).

El informe retrospectivo ha sido utilizado en

investigaciones como: Schoen y otros (1981), Reys y otros

(1982), Threadgill-Sowder (1984), Case y Sowder (1990), Flores

y otros (1990), R. E. Reys y otros (1991), Bobis (1991) y

LeFevre y otros (1993).

MacLeod (1999), después de hacer una revisión sobre las

investigaciones en las que se han utilizado los informes

verbales, afirma que los autores de las mismas no suelen



97

plantearse el problema de la validez de los informes verbales

como datos en sus investigaciones. En la revisión que se ha

hecho en este trabajo sobre investigaciones en estimación en

cálculo sólo hay dos en las que se haga alguna mención sobre

si los informes verbales son apropiados y sobre qué tipo de

informe se debe utilizar (verbal concurrente, verbal

retrospectivo o escrito).

R. E. Reys y otros (1982) indican que:

Para determinar la estrategia que un individuo ha utilizado para

producir una estimación, los investigadores han usado tanto

explicaciones escritas como entrevistas, con esta última como

práctica más ampliamente utilizada. Cuando utilizamos

entrevistas, pedimos a los alumnos que describan verbalmente sus

procedimientos mentales, en algunas ocasiones mientras están

dando sus respuestas y en otras inmediatamente después. Cada

investigador, cuando entrevista sujetos, desarrolla un conjunto

de pruebas que le sirven para ayudar al alumno a revelar la

estrategia que ha utilizado. (p. 185)

Así, descarta las explicaciones escritas (que parece que

no han dado buenos resultados en investigaciones precedentes

sobre estimación en cálculo) y elige las entrevistas. Dentro

de éstas usa las descripciones posteriores a la estimación en

vez de pedir a los alumnos que expliquen en voz alta el

procedimiento utilizado.

Sowder y Wheeler (1989) citan un trabajo suyo anterior19

en el que “las descripciones dadas por los alumnos sobre sus

procedimientos, en tareas de estimación de respuesta abierta,

no tuvieron el grado de precisión necesario” (p. 132) y hubo

que desarrollar entrevistas más estructuradas con ítems que

permitieran obtener información relevante para los objetivos

de la investigación. Así, en su trabajo, Sowder y Wheeler

19 Sowder, J. T., & Wheeler, M. M. (1987). The development of computational estimation and number sense: Two exploratory studies. (Research Rep.). San Diego: San Diego State University Center for Research in Mathematics and Science Education.



98

utilizan respuestas dadas por “alumnos hipotéticos” sobre las

cuales debe emitirse algún juicio. Por ejemplo, para evaluar

si los alumnos saben cuál es el valor que tienen los números

aproximados en el proceso de estimación, plantean el siguiente

ítem:

Aquí tenéis un problema que puse a dos alumnos de quinto grado

hace unos pocos días.

Tenéis nueve cajas de dulces. Cada una de ellas contiene 52

dulces. La pregunta dice: ¿Cuántos dulces hay aproximadamente?

El primer alumno de quinto grado, al que llamaré Samuel, resolvió

así el problema. Dijo: "9 es casi diez y 52 es cerca de 50. Diez

veces 50 son 500. Luego hay aproximadamente 500 dulces. [la

entrevistadora señala el 9 y el 52 y escribe 10×50=500 mientras

lee esto].

¿Piensas que está bien que Samuel utilizara estos números

[señalando al diez y al 50] en vez de estos [señalando al 9 y al

52]?

¿Es ésta [señalando a 500] una buena respuesta a esta pregunta

[señalando a "aproximadamente"]?

¿Por qué no? (o) algunos alumnos de quinto grado piensan que esta

respuesta no es correcta. ¿Podrías explicarles por qué piensas tú

que está bien?

Ahora déjame que te enseñe cómo hizo el problema Vanessa. Ella

escribió [escribe 9×52=468 de la forma en que se realiza

habitualmente el algoritmo de la multiplicación] y dijo:

"alrededor de 500 dulces". ¿Qué forma crees que es mejor para

resolver el problema, la que utilizó Samuel o la que utilizó

Vanessa?. ¿Por qué elegiste esta forma?. (p. 134)

En resumen, para saber qué procedimiento ha utilizado un

sujeto para producir una estimación, se debe utilizar alguna

(o varias) de las siguientes técnicas: descripción escrita del

procedimiento utilizado, descripción oral (concurrente o

retrospectiva) o algún otro tipo de entrevista más

estructurada (como la utilizada por Sowder y Wheeler).

Por otra parte, en el área de la Didáctica de las

Matemáticas hay alguna referencia explícita a los informes



99

verbales de los alumnos que es necesario tener en cuenta. En

efecto, en el Currículo para la Educación Primaria, en el área

de Matemáticas (MEC, 1992), se propone como contenido

procedimental la “Explicación oral del proceso seguido en la

realización de cálculos y en la resolución de problemas

numéricos” (p. 20). Es importante señalar que en una

investigación en Didáctica de las Matemáticas los informes

verbales pueden tener un interés distinto al propio de una

investigación en Psicología. Así, cuando se utilizan los

informes verbales en Psicología, se espera de ellos que sean

“informes sobre los contenidos de la memoria a corto plazo”

(Ericsson y Simon, 1993). Es decir, que sean un fiel reflejo

de estos contenidos de la memoria. Sin embargo, en el campo de

la Didáctica de las Matemáticas, pueden interesar además otras

cuestiones como: el uso que hacen los alumnos de las

descripciones de los procedimientos que utilizan para

comunicarlos a sus compañeros o justificarlos ante ellos o

para ver cómo aprenden, unos alumnos de otros, estrategias de

estimación gracias al debate en clase sobre las mismas.

En este sentido, en el informe Cockcroft (1985) se

valoran muy positivamente las discusiones matemáticas en el

aula:

Profesores y alumnos podrán aprender de las estrategias y métodos

que otros miembros de la clase hayan desarrollado y explicado al

responder a las preguntas. Precisamente esta explicación del

método empleado constituye una experiencia muy valiosa para los

alumnos, aun cuando éstos no la encuentren fácil en un principio;

más aún, un planteamiento o una respuesta erróneos pueden

resultar, si el profesor adopta las debidas precauciones, muy

esclarecedores cuando se comentan en clase. La diversidad de

puntos de vista brinda excelentes oportunidades de explorar y

profundizar la comprensión de todos los miembros de la clase.

(p. 115)



100

También Carpenter y Lehrer (1999) resaltan la importancia

que tiene el intento, por parte de los alumnos, de comunicar

sus ideas en el aula y explican la función que tiene este

intento de comunicación en la mejora de la comprensión:

La capacidad para comunicar o articular las propias ideas es una

importante meta educativa y también es un hito fundamental en la

comprensión. La articulación supone la comunicación del propio

conocimiento, tanto verbalmente, como por escrito o mediante

algún otro medio como dibujos, diagramas, o modelos. La

articulación requiere que, mediante la reflexión, se esclarezcan

las ideas críticas de una actividad a fin de que la esencia de la

actividad pueda ser comunicada. En este proceso, la actividad se

convierte en objeto del pensamiento. En otras palabras, a fin de

articular nuestras ideas, debemos reflexionar sobre ellas con el

fin de identificar y describir sus elementos críticos. La

articulación requiere de la reflexión, y, de hecho, la

articulación puede ser considerada como una forma pública de

reflexión. (p. 22)

En este trabajo se han utilizado los informes verbales

retrospectivos. Se considera que este tipo de informes es más

adecuado a los intereses de las personas que trabajan en el

campo de la Didáctica de las Matemáticas por su inclusión

explícita en el currículo y por sus utilidades didácticas

anteriormente comentadas. Además, los sujetos que han

participado en esta investigación han utilizado, durante su

periodo de instrucción sobre estimación en cálculo, este tipo

de informes dentro del trabajo que se realizaba en el aula.

Por lo tanto, están más familiarizados con este tipo de tareas

y no es necesario darles instrucciones detalladas para que

entiendan qué se espera de ellos cuando se les pide estas

explicaciones. Por otro lado, según se ha visto en el estudio

de McLeod (1999), los informes verbales retrospectivos han

demostrado ser tan buenos (o mejores) que los informes

verbales concurrentes para determinar el tipo de estrategia

utilizada para resolver otras tareas de cálculo (con restas).



101

Por último, el tipo de tareas que se ha propuesto a los

sujetos en las entrevistas tiene características, como la

brevedad y ser tareas del mismo tipo, que recomiendan (como se

dijo antes) la utilización de este tipo de informe.

Se ha decidido no utilizar informes escritos dado que no

es un método habitual en este tipo de investigaciones (sólo

existen noticias de su utilización y del abandono de su uso a

través del trabajo de Reys antes citado).

Sí se utilizará un tipo de entrevista, un poco más

elaborada que la simple petición de descripciones verbales,

para tratar de sacar a la luz los conocimientos de los alumnos

sobre el efecto de la alteración de los datos en el resultado

de las operaciones, que son de interés de acuerdo con los

objetivos del presente trabajo.

Resumen de la revisión de antecedentes del problema

de investigación

Algunos maestros en formación tienen la idea equivocada de que

“la multiplicación siempre aumenta” y “la división disminuye”

y de que “siempre se divide un número por otro menor”. En

algunas ocasiones, estas ideas son mantenidas explícitamente;

en otras, se ponen de manifiesto en los errores que cometen

los maestros al elegir la operación adecuada para resolver un

problema. Estas ideas equivocadas parecen tener su origen en

el dominio del modelo de suma reiterada para la multiplicación

y del modelo de reparto para la división y se convierten en un

obstáculo cuando se pasa de los números naturales a los

decimales y, en especial, a los números decimales menores que

uno -Tirosh y Graeber (1989, 1990a, 1990b), Graeber y Tirosh

(1991) y Thipkong y Davis (1991)-.

Las ideas equivocadas sobre las operaciones y las

dificultades encontradas con los números decimales menores que

uno también han sido detectadas en investigaciones sobre



102

estimación en cálculo y sobre sentido numérico. En trabajos

como los de Levine (1980), Morgan (1989, 1990) y Markovits y

Sowder (1994), los sujetos producen estimaciones incompatibles

con un conocimiento adecuado del efecto que tiene multiplicar

-o dividir- un número por un decimal menor que uno.

Por otra parte, en los trabajos en los que se ha

examinado la dificultad de las tareas de estimación en función

del tipo de número (natural o decimal) que aparece en las

mismas –Bestgen y otros (1980), Rubenstein (1985a) y Goodman

(1991)- se ha llegado a resultados que parecen entrar en

contradicción. Así, en las dos primeras investigaciones,

estimar con números decimales resultaba más difícil que

hacerlo con números naturales, mientras que en el trabajo de

Goodman (1991) no se encontraba diferencia significativa de

dificultad entre ambos tipos de tareas.

Los resultados obtenidos por Levine (1980) y Morgan

(1989, 1990) en investigaciones sobre estimación concuerdan

con los hallazgos de otros trabajos citados en los que las

dificultades se producen cuando aparecen los números decimales

menores que uno. En ambos casos parecen darse manifestaciones

distintas de las mismas ideas equivocadas sobre las

operaciones. Así, parece razonable pensar que la verdadera

diferencia de dificultad no se da entre las tareas de

estimación con números naturales y aquellas que tienen números

decimales sino entre las que tienen números naturales y

aquellas en las que aparecen números decimales menores que

uno.

Para abordar este problema es importante analizar el

conocimiento que tienen los sujetos sobre el efecto que

produce la alteración de los datos en el resultado de una

operación. Este conocimiento es fundamental en las tareas de

estimación, en especial para los procesos de compensación que

se dan en las mismas –R. E. Reys y otros (1982) y Behr (1989)-

y es considerado como un componente básico del sentido



103

numérico –McIntosh y otros (1992), Yang (1995), Reys y Yang

(1998) y Shull (1998)-.

También se debe analizar la influencia de este

conocimiento (del efecto de la alteración de los datos en el

resultado de una operación) en las estrategias y procesos de

estimación utilizadas por los sujetos. En este sentido se

desea determinar si este conocimiento realiza la función de

“control ejecutivo” sobre los procedimientos descrita por

Hiebert y Lefevre (1986) o si, por el contrario, no interviene

en el proceso de producir las estimaciones.


Capítulo 3

Diseño de la investigación e

instrumentos

Este capítulo está dedicado a la caracterización de la

investigación, dentro de la cual se procederá a enunciar las

hipótesis de la investigación, explicar el diseño, describir

las variables que aparecen en el trabajo, y los instrumentos

que se han utilizado para recoger los datos pertinentes para

alcanzar los objetivos propuestos en la investigación.

Caracterización de la investigación

Hipótesis de la investigación

En el resumen de la revisión de antecedentes del problema de

investigación, que se ha realizado al final del capítulo 2, se

han presentado las bases para la formulación de las hipótesis

de la investigación. Éstas hacen referencia a la dificultad

que tienen las tareas de estimación en función del tipo de

número que aparece en ellas y a algunas de las posibles causas

de que un tipo de tareas tenga mayor dificultad que otras. A

continuación, se procede a enunciar las hipótesis principales

del trabajo:

1. Las tareas de estimación de productos y divisiones en las

que aparecen números decimales menores que uno son más

difíciles que aquéllas en las que aparecen números naturales o

números decimales mayores que uno.

2. Una de las causas de la mayor dificultad de las tareas de

estimación en las que aparecen números decimales menores que



106

uno es que hay individuos que tienen un conocimiento

inadecuado sobre el efecto que tiene multiplicar o dividir un

número por un número decimal menor que uno. Tienen ideas

equivocadas según las cuales piensan que “la multiplicación

siempre aumenta” y “la división disminuye”.

Este conocimiento inadecuado del efecto de multiplicar o

dividir por un decimal menor que uno, conduce a los sujetos a

cometer errores en la compensación y a alterar sus

procedimientos de cálculo para producir estimaciones que estén

en consonancia con sus ideas equivocadas sobre la

multiplicación y la división.

3. Otra de las causas de la mayor dificultad de las tareas de

estimación con decimales menores que uno es que, aunque

algunos sujetos tienen un conocimiento adecuado del efecto que

tiene multiplicar o dividir un número por otro número menor

que uno, no utilizan este conocimiento en la producción de sus

estimaciones (por ejemplo, para evaluar la razonabilidad de

las mismas).

Diseño empleado en la investigación

En este trabajo se ha utilizado un diseño de medidas

repetidas. Éste es un tipo de diseño experimental en el que “a

todos los sujetos se les aplican todas las condiciones

experimentales” (León y Montero, 1999, p. 159). Esta parte del

estudio es de tipo explicativo1 y corresponde a la hipótesis

principal primera que se acaba de enunciar. Este diseño ha

sido completado con la administración de una encuesta (en este

caso, los datos han sido recogidos entrevistando a los

sujetos). La entrevista está dividida en dos fases (según se

explica en el apartado dedicado a los instrumentos). La

1 Según Hernández, Fernández y Baptista (1998) los experimentos son estudios explicativos “debido a que analizan las relaciones entre una o varias variables independientes y una o varias dependientes y los efectos causales de las primeras sobre las segundas” (p. 168).

Diseño de la investigación


107

primera fase tiene una finalidad descriptiva2 y está orientada

a la caracterización, análisis y clasificación de las

estrategias de estimación utilizadas por los sujetos que han

participado en el estudio. La segunda fase tiene un carácter

explicativo-exploratorio y está vinculada a las hipótesis

segunda y tercera expuestas en el apartado anterior. Se

atribuye este doble carácter a esta parte de la investigación

dado que, por un lado, está dirigida a determinar las causas

de la mayor dificultad de un tipo de tareas que realizan los

sujetos (de ahí su carácter explicativo) pero, por otro lado,

la indagación ha estado orientada a adquirir una mayor

familiaridad con el fenómeno bajo estudio (la dificultad de

las tareas y sus causas), que permitan en el futuro una

investigación más completa sobre el mismo.

Variables de la investigación

Van a considerarse tres tipos de variables: independientes,

dependientes y controladas. En la descripción de las variables

se incluyen los nombres que han recibido las mismas y cómo han

sido codificadas para el análisis de datos.

Variables independientes. A los sujetos se les ha

propuesto realizar estimaciones para los resultados de veinte

operaciones. Se han considerado dos variables independientes:

el tipo de operación y el tipo de número. La variable “tipo de

operación” (OPERACIÓ) se refiere a la operación que aparece

explícitamente indicada en los ítems de la prueba. En la

prueba hay multiplicaciones y divisiones. Las multiplicaciones

están codificadas con un 1 y las divisiones con un 2. La

variable “tipo de número” (DECIMAL) se refiere al tipo de

números que aparecen en la operación para la que hay que

realizar la estimación. En cada operación aparecen dos

2 Para Dankhe (1986) “los estudios descriptivos buscan especificar las propiedades importantes de personas, grupos o comunidades o cualquier otro fenómeno que sea sometido a análisis”. Citado en Hernández, Fernández y Baptista (1998, p. 66).



108

números. Los números pueden ser enteros, decimales mayores que

uno y decimales menores que uno. Se distinguen tres

situaciones:

a) En el ítem aparecen dos números enteros. Estos ítems serán

codificados con un 1.

b) En el ítem aparecen un número entero y un número decimal

mayor que uno o dos números decimales mayores que uno. Estos

ítems serán codificados con un 2.

c) En el ítem aparecen dos números decimales menores que uno,

un número decimal menor que uno y un número decimal mayor que

uno o un número decimal menor que uno y un número entero.

Estos ítems serán codificados con un 3.

Variables dependientes. En este trabajo se han

considerado las siguientes variables dependientes:

La puntuación (PUNTOS) que obtiene un sujeto al realizar

una estimación. Dada una estimación, se calcula el porcentaje

de error correspondiente a esta estimación. Si éste es mayor

que el 30%, se da a la estimación cero puntos; si es mayor que

el 20%, pero menor o igual que el 30%, se da a la estimación

un punto; si es mayor que el 10% pero menor o igual que el

20%, se da a la estimación dos puntos y si es menor o igual

que el 10%, se da a la estimación tres puntos.

La puntuación media del ítem (MPUNTI) es la media

aritmética de los puntos obtenidos por los 53 sujetos

participantes para cada ítem de la prueba.

La puntuación media del sujeto (MPUNTS) es la media

aritmética de los puntos obtenidos en los veinte ítems de la

prueba para cada sujeto participante.

El tiempo de respuesta (TIEMPO) es el tiempo que tarda un

sujeto en realizar una estimación, expresado en segundos.

El tiempo medio de respuesta a un ítem (MTIEMPOI) se

obtiene realizando la media aritmética de los tiempos de

respuesta de todos los sujetos a un mismo ítem.



109

El tiempo medio de respuesta de un sujeto (MTIEMPOS) se

obtiene realizando, para cada sujeto, la media aritmética de

los tiempos de respuesta para los 20 ítems del test.

Hay cuatro variables dependientes (calificación en

rapidez para el ítem, calificación en rapidez, calificación en

aproximación y calificación final) que no se han utilizado

directamente en la investigación -y que no figuran en los

análisis de datos del capítulo 4- pero que han podido influir

en los resultados de la investigación y por esta razón se

describen a continuación.

Según se explica más adelante, en el apartado dedicado a

los “instrumentos”, los sujetos realizaron una prueba de

estimación cuyos resultados (además de utilizarse con fines de

investigación) fueron tenidos en cuenta en la evaluación de la

asignatura que cursaban. Para ello, se comunicó a los

participantes que al final de la prueba obtendrían dos

calificaciones3: una correspondiente a aproximación y otra a

rapidez de cálculo. La calificación final que obtendría cada

alumno en la prueba de estimación sería la media aritmética de

las dos calificaciones citadas anteriormente4.

La calificación en rapidez (CR) se obtiene como se indica

a continuación. En la administración de la prueba no se ha

impuesto un límite de tiempo para cada ítem ni para el total

de la prueba. A los sujetos se les advirtió de que en cada

respuesta debían emplear entre 15 y 35 segundos. Quince

segundos o menos supondría una calificación en rapidez (CRI)

-para el ítem- de 10 puntos, 35 segundos o más les daría cero

puntos, y a partir de 15 segundos se pierde un punto en la

3 Como se acaba de decir, las calificaciones en estimación que se citan a continuación son las que se daban a los alumnos dentro del desarrollo de la asignatura que cursaban y no deben confundirse con las puntuaciones que se han tomado como variables dependientes en la investigación. 4 Cuando un alumno obtenía una calificación en aproximación inferior a un 3 (sobre 10), no se le hacía la media aritmética con la calificación en rapidez. Se evita de este modo que un alumno produzca “estimaciones” rápidamente -sin pensar- con el fin de obtener un 5 en la calificación final de la prueba como resultado de hacer la media aritmética de un 0 en aproximación con un 10 en rapidez.



110

calificación en rapidez por cada 2 segundos transcurridos. La

calificación en rapidez de la prueba (CR) se obtenía haciendo

la media aritmética de las calificaciones en rapidez de todos

los ítems de la prueba. Con esta forma de “limitar”

indirectamente el tiempo de respuesta, mediante la

calificación en rapidez, se pretendía que fuera el propio

sujeto el que tratase de buscar un equilibrio entre la rapidez

y la precisión a la hora de producir una estimación. También

se lograba que no hubiese ninguna pregunta sin respuesta.

La calificación en aproximación (CA) obtenida por un

sujeto en la prueba de estimación se calcula haciendo la media

aritmética de los puntos obtenidos por el sujeto en cada uno

de los veinte ítems de la prueba de estimación y multiplicando

a continuación el resultado obtenido por 10/3, con el fin de

que la calificación fuera sobre5 10.

En este trabajo se han planteado algunas cuestiones sobre

el tiempo de respuesta con el propósito de poder valorar si

esta forma de administrar el tiempo al aplicar la prueba de

estimación, utilizando la calificación en rapidez, ha tenido

influencia en los resultados obtenidos en la investigación.

Variables controladas. En esta investigación se han

querido controlar algunas variables de tarea, para facilitar

que los ítems de estimación sirvieran para obtener una

información adecuada a los objetivos de nuestro estudio.

Dado que se quería analizar cómo influyen las ideas

equivocadas de los sujetos sobre la multiplicación y división

cuando en éstas aparecen números decimales menores que uno, al

considerar la variable "tipo de operación" se ha evitado

utilizar ítems de suma y resta. Asimismo, al considerar la

5 Esto se hace así por dos razones: En primer lugar, los alumnos están acostumbrados a recibir calificaciones sobre 10 y esto les ayuda a interpretar con más facilidad las mismas. En segundo lugar, esta calificación hacía media aritmética con la calificación en rapidez (que también era sobre 10) y se deseaba que ambas tuvieran el mismo “peso” en la calificación final de la prueba de estimación.



111

variable "tipo de número" se han dejado fuera las fracciones y

los porcentajes.

En cuanto al formato de las preguntas, se han utilizado

solamente ítems de estimación en los que aparecían cálculos

directos -desprovistos de contexto-, en los que la operación

que hay que realizar aparece indicada explícitamente, y se ha

evitado usar problemas en los que se presenta una situación en

la cual hay que realizar una estimación dentro de un contexto

aplicado. Se sabe que, en el campo de la resolución de

problemas, las ideas equivocadas de los alumnos sobre la

multiplicación y división con decimales menores que uno dan

lugar a errores en la selección de operaciones para resolver

los problemas. Esto podría ocurrir igualmente al realizar

tareas de estimación con cálculos aplicados. Sin embargo, en

este trabajo interesa analizar otro tipo de manifestaciones de

estas ideas equivocadas.

Asimismo, hay que advertir, en lo concerniente al formato

de los ítems, que todos los cálculos se han presentado en

formato horizontal.

También se ha querido controlar la variable "formato de

respuesta". Para ello se han utilizado solamente ítems de

respuesta abierta. En ellos, los alumnos deben producir una

estimación. Dado que se desea saber cómo influye el

conocimiento que tienen los alumnos del efecto que tiene la

alteración de los datos en los resultados de las operaciones

en la producción de estimaciones, este formato de respuesta

parece el más apropiado. Así, han sido excluidos los ítems de

elección múltiple en los que a menudo los alumnos utilizan una

estrategia, distinta a la de producir una estimación,

consistente en ir revisando una por una las opciones e ir

decidiendo si las aceptan o las rechazan.

Dentro de los ítems de elección múltiple, hay formatos de

respuesta como los de: "intervalos en las opciones", en los

que se debe elegir cuál es el intervalo dentro del que debe



112

estar la respuesta exacta; "orden de magnitud", en los que

debe realizarse una elección entre estimaciones que tienen

distinto orden de magnitud o "número de referencia", en los

que se debe decidir si la respuesta exacta será mayor o menor

que un número dado. Algunos de estos formatos de respuesta

−como el de número de referencia− se utilizan en ítems

pertenecientes a tests que evalúan el sentido numérico de los

alumnos y podrían utilizarse también para estudiar el

conocimiento de los alumnos sobre el efecto que tiene

multiplicar o dividir por un número decimal menor que uno.

Los sujetos

Han participado en la investigación 53 alumnos (39 chicas y 14

chicos) de primer curso de magisterio de la Escuela

Universitaria La Salle. Ésta es una escuela universitaria

privada, en la que se imparten enseñanzas de magisterio,

educación social y terapia ocupacional, que está adscrita a la

Universidad Autónoma de Madrid. De los alumnos, 42 pertenecían

a la especialidad de Educación Primaria y 11 a la de Educación

Musical. Las edades de los mismos estaban comprendidas entre

los 18 y los 24 años. Los sujetos que han tomado parte en esta

investigación no han sido elegidos aleatoriamente de ninguna

población, sino que constituyen una muestra de conveniencia,

pues han sido seleccionados sobre la base de su disponibilidad

para el estudio. Todos ellos cursaban la asignatura

“Matemáticas y su Didáctica” y el profesor que impartía la

asignatura es el autor de la presente investigación. Dentro de

la citada asignatura han tenido un periodo de instrucción

sobre estimación en cálculo de ocho sesiones de clase (de hora

y media de duración cada una). Al finalizar el periodo de

instrucción, han realizado la prueba de estimación descrita al

presentar los “instrumentos”. Los resultados obtenidos por los

alumnos en esta prueba fueron tenidos en cuenta en la

evaluación de la asignatura. En el apéndice B hay una



113

descripción del periodo de instrucción así como varias

muestras de los materiales utilizados en las sesiones de

clase. Los alumnos dispusieron antes de pasar la prueba,

durante tres semanas, de un programa de ordenador con el mismo

formato que la prueba que se les iba a administrar para

acostumbrarse a las características de la misma y poder además

practicar la estimación dentro de su periodo de instrucción.

En el apéndice E hay una descripción del programa de ordenador

utilizado durante el periodo de instrucción.

Instrumentos

En este estudio se han utilizado dos instrumentos: a) una

prueba de estimación que ha servido para estudiar la

dificultad de los ítems en función de las variables

independientes (operación y tipo de número), para medir la

habilidad de estimar de los participantes en la investigación

y para seleccionar sujetos para las entrevistas y, b) una

entrevista –dividida en dos partes- que servirá para detectar

las ideas equivocadas de los sujetos sobre la multiplicación y

división por números menores que uno y para analizar cómo

influyen estas ideas equivocadas en la producción de

estimaciones.

La prueba de estimación. A los alumnos se les ha

pasado el test de estimación de Levine (1982). El test

consiste en estimar mentalmente los resultados de diez

multiplicaciones y diez divisiones. Los ítems son de tres

tipos: (a) operaciones con números enteros, (b) operaciones en

las que interviene un número decimal mayor que uno, y (c)

operaciones en las que interviene un número decimal menor que

uno. Los números que aparecen en la prueba tienen cero, uno, o

dos dígitos decimales. Además, ningún número tiene más de 5

dígitos en total. Los ítems del test de Levine aparecen en la

tabla 3.1.



114

Tabla 3.1

Ítems del test de Levine (1982)

1. 76 × 89 11. 9208 ÷ 32 2. 93 × 18 12. 4645 ÷ 18 3. 145 × 37 13. 7858 ÷ 51 4. 824 × 26 14. 25410 ÷ 65 5. 187,5 × 0,06 15. 648,9 ÷ 22,4 6. 482 × 51,2 16. 546 ÷ 33,5 7. 64,6 × 0,16 17. 1292,8 ÷ 71,2 8. 424 × 0,76 18. 66 ÷ 0,86 9. 12,6 × 11,4 19. 943 ÷ 0,48 10. 0,47 × 0,26 20. 0,76 ÷ 0,89

En la tabla 3.2 aparecen los ítems del test de Levine

clasificados atendiendo al tipo de operación (multiplicación y

división) y al tipo de números que intervienen (enteros,

decimales mayores que uno y decimales menores que uno).

Procedimiento de aplicación. Para realizar la prueba

de estimación se llevó a los alumnos al aula de informática.

Los alumnos pasaron la prueba durante una sesión de clase de

hora y media de duración. El aula está dotada con veinte

ordenadores. Dado que la prueba constaba de veinte ítems y que

los alumnos sabían que debían emplear menos de 35 segundos en

responder a cada uno de ellos6, se estimaba que cada alumno

debía tardar menos de 15 minutos en completar el total de la

prueba. Los sujetos pasaban al aula de informática sin llevar

nada consigo. Se evitaba, tomando esta medida, que los alumnos

pudieran utilizar algún procedimiento de cálculo que no fuese

mental. En primer lugar entraron los veinte primeros alumnos

de la lista por orden alfabético. Antes de comenzar la prueba

recibieron instrucciones por parte del investigador para que

guardasen el archivo con su nombre y apellidos. Al final de la

prueba, al salir del programa éste se guardaba automáticamente

con todos los datos correspondientes al alumno y con sus

respuestas a los veinte ítems de la prueba.

6 Los detalles sobre la administración del tiempo de respuesta pueden consultarse en la página 107.



115

Tabla 3.2

Clasificación de los ítems del test de Levine atendiendo a las

variables “operación” y “tipo de número”

Ítems Multiplicación División

Sin números decimales

Ítem 1 76 × 89 Ítem 2 93 × 18 Ítem 3 145 × 37 Ítem 4 824 × 26

Ítem 11 9208 ÷ 32 Ítem 12 4645 ÷ 18 Ítem 13 7858 ÷ 51 Ítem 14 25410 ÷ 65

Con números decimales

mayores que uno

Ítem 6 482 × 51,2 Ítem 9 12,6 × 11,4

Ítem 15 648,9 ÷ 22,4 Ítem 16 546 ÷ 33,5 Ítem 17 1292,8 ÷ 71,2

Con números decimales

menores que uno

Ítem 5 187,5 × 0,06 Ítem 7 64,6 × 0,16 Ítem 8 424 × 0,76 Ítem 10 0,47 × 0,26

Ítem 18 66 ÷ 0,86 Ítem 19 943 ÷ 0,48 Ítem 20 0,76 ÷ 0,89

Fiabilidad y validez. Se ha utilizado el coeficiente α

de Cronbach7 para medir la fiabilidad de la prueba. A los

alumnos se les administró una sola prueba al terminar su

periodo de instrucción sobre estimación. Ninguno de los

alumnos había recibido antes instrucción sobre estimación. Los

alumnos que no conocen el valor de la estimación, suelen

intentar dar respuestas exactas cuando se les pide que hagan

estimaciones. Se consideró que no tenía mucho sentido

administrar una prueba antes del periodo de instrucción puesto

que seguramente esta prueba no nos proporcionaría medidas

7 α refleja el grado en que covarían los ítems que constituyen el test. Es, por tanto, un indicador de la consistencia interna del test.



116

válidas de la habilidad de estimar. Por todo esto, desechamos

la posibilidad de hacer formas paralelas del test (como

pretest y postest). Dividir el test en dos mitades

equivalentes resulta muy difícil por las características del

mismo. Por ejemplo, en la prueba no hay ningún ítem con

características parecidas al ítem número 20 (0,76 ÷ 0,89).

Así, se ha optado por calcular la fiabilidad como consistencia

interna de test y para ello hemos utilizado el coeficiente α

de Cronbach (ya que no se utiliza una variable dependiente

dicotómica). El valor obtenido para el coeficiente α aparece

en la tabla 3.3.

Tabla 3.3

Resultados del cálculo del coeficiente αα de Cronbach

***Method 1 (space saver) will be used for this analysis ***

RELIABILITY ANALYSIS - SCALE (ALPHA)

Reliability Coefficients

N of Cases = 53 N of Items = 20

Alpha = 0.7978

La cuestión de la validez de esta prueba se ha planteado

desde dos puntos de vista. En primer lugar, una amenaza que

sufren habitualmente las pruebas de estimación es que los

alumnos utilizan otros procedimientos de cálculo distintos de

la estimación cuando las realizan. Las pruebas en las que se

pide a los alumnos que den las estimaciones por escrito –en

una hoja de papel- suelen tener este inconveniente. Muchos

alumnos realizan un cálculo exacto y, a continuación,

redondean el resultado para dar su “estimación”. En estos

casos el test no nos dará una medida válida de la habilidad de

estimar de los alumnos. Para evitar este problema se

administró la prueba de estimación utilizando un ordenador y

sin que los alumnos dispusieran de ningún instrumento para

realizar cálculos escritos. De las 1060 estimaciones que se



117

dieron en total, solamente hubo cuatro resultados exactos,

todos ellos correspondientes al primer ítem de la prueba

76×89. En segundo lugar, hay que destacar que este test ha

sido utilizado en varias investigaciones -Levine (1982),

Dowker (1992) y Dowker y otros (1996)- con resultados

positivos, tanto para la identificación de estrategias

utilizadas para dar las estimaciones, como para medir la

habilidad de estimar de los alumnos. La forma de puntuar los

ítems utilizada en estas tres investigaciones es la que se ha

descrito para la variable dependiente “PUNTOS”. Esta forma de

puntuar los ítems de estimación se ha utilizado además en los

trabajos de Sliva (1987), LeFevre y otros (1993) y Hanson y

Hogan (2000).

Por último, las variables independientes que aparecen en

el test –que hemos analizado antes- se ajustan perfectamente a

los objetivos de nuestro estudio.

Las entrevistas. En esta investigación se utilizan las

entrevistas para tratar de dar una explicación a la diferencia

de dificultad que se espera encontrar entre los ítems en los

que aparecen solamente números naturales y aquellos en los que

aparecen números decimales menores que uno. Según se expuso,

al plantear las hipótesis de la investigación, esta diferencia

de dificultad puede estar causada por las ideas equivocadas

que tienen los alumnos sobre la multiplicación y la división

cuando en ellas intervienen números decimales menores que uno.

A continuación ponemos dos ejemplos de cómo estas ideas

equivocadas podrían influir en la producción, por parte de los

alumnos, de estimaciones no razonables.

En la prueba de estimación que se aplicó, se proponía a

los alumnos que dieran una estimación para 187,5 × 0,06. Las

estimaciones dadas por dos participantes fueron 1123 y 60000.

La respuesta exacta para el cálculo es 11,25. Si se analizan

las respuestas, parece que en el primer caso el alumno ha

intentado realizar un cálculo exacto. El error que ha cometido



118

se debe a que, después de haber operado los números, ha

olvidado poner la coma decimal. Este "olvido" puede haberse

visto favorecido por el hecho de que el alumno esperara un

resultado mayor que 187,5, de acuerdo a la idea equivocada

sobre la multiplicación de que "multiplicar siempre aumenta".

En el segundo caso, parece que el alumno ha utilizado la

estrategia de "primeros dígitos". Ha tomado los dos primeros

dígitos significativos de los números que tenía que

multiplicar (1 y 6), los ha multiplicado y a continuación ha

ajustado el orden de magnitud del número añadiendo los ceros

correspondientes. También en este caso el error podría deberse

a que la alumna espere obtener un resultado mayor que 187,5.

Estas dos estimaciones pueden ser consideradas

incompatibles con un conocimiento adecuado del efecto que


operación. En efecto, siempre que se multiplica un número real

positivo por otro número real positivo menor que uno, se

obtiene un número menor que el de partida. Así, las

estimaciones realizadas deberían haber sido menores que 187,5.

También se espera que la estimación sea mayor que 0,06 pues

siempre que se multiplica un número real positivo por otro

número real positivo mayor que uno, se obtiene un resultado

mayor que el número inicial. Por lo tanto, cualquier

estimación que se realice para el cálculo propuesto debería

caer dentro del intervalo (0,06, 187,5).

Se considera que si un sujeto realiza una estimación que

no está dentro de este intervalo puede deberse a dos razones

distintas:

1. El sujeto no tiene un conocimiento adecuado del efecto que


operación. En esta situación estarían las personas que

tienen ideas equivocadas sobre la multiplicación y la

división que se ponen de manifiesto cuando en estas

operaciones intervienen números decimales menores que uno.



119

2. El sujeto conoce el efecto que produce la alteración de los

datos en el resultado de una operación, pero no lo utiliza

en el proceso de producción de las estimaciones. Este

conocimiento puede utilizarse –al menos- de dos formas

distintas: al realizar una compensación, y al evaluar la

razonabilidad de una estimación.

De acuerdo con este planteamiento, se han planificado las

entrevistas con el fin de analizar: 1. Las estrategias que

utilizan los sujetos para realizar sus estimaciones; 2. El

conocimiento que tienen estos alumnos acerca del efecto que

tiene multiplicar o dividir un número por un decimal menor que

uno; y, 3. Si los sujetos utilizan este conocimiento en el

proceso de producción de sus estimaciones y de qué modo lo

utilizan.

Materiales utilizados en la entrevista. De acuerdo

a los objetivos planteados para las entrevistas, éstas están

divididas en dos fases: en la primera, se pide a los sujetos

que estimen los resultados de siete operaciones. Después de

realizar las estimaciones, los sujetos deberán explicar la

estrategia que han utilizado para producir su estimación. En

la segunda fase, se pedirá a los sujetos que respondan

preguntas a través de las cuales trataremos de sacar a la luz

su conocimiento acerca del efecto que tiene multiplicar o

dividir un número por un decimal menor que uno.

Dado que el interés estriba en conocer las estrategias y

el conocimiento que utilizan los sujetos para producir sus

estimaciones en operaciones en las que aparecen números

decimales menores que uno, se han seleccionado para la

entrevista los ítems del test de Levine (que se habían usado

en la primera parte de la investigación) en los que aparecen

este tipo de números. Por lo tanto, los ítems utilizados son

los siguientes:

ITEM 1. 187.5 × 0,06 ITEM 2. 64.6 × 0,16



120

ITEM 3. 424 × 0,76 ITEM 4. 0.47 × 0,26 ITEM 5. 66 ÷ 0,86 ITEM 6. 943 ÷ 0,48 ITEM 7. 0.76 ÷ 0,89

Las preguntas utilizadas en esta parte de la entrevista

siguen el modelo de los ítems usados en los trabajos de Yang

(1995), Reys y Yang (1998) y Shull (1998) sobre sentido

numérico. Así, las preguntas son del siguiente tipo:

Sin necesidad de hacer ningún cálculo, sabemos que el resultado

de la operación 187.5 × 0.06 es:

A mucho menor que 187.5

B un poco menor que 187.5

C un poco mayor que 187.5

D mucho mayor que 187.5

porque _______________________________

Con este tipo de preguntas se espera que los sujetos

muestren explícitamente el conocimiento que tienen sobre el

efecto que tiene multiplicar o dividir un número por un

decimal menor que uno. Después, en el análisis de las

entrevistas, se contrastará la información obtenida en esta

fase de la entrevista con la que arroje el análisis de las

estrategias utilizadas al realizar las estimaciones, en la

primera fase de la entrevista.

Selección de sujetos para la entrevista. La

selección de alumnos que participarán en las entrevistas se ha

realizado de la siguiente manera:

1. Se han considerado solamente las respuestas que dieron los

sujetos al realizar la prueba de estimación a los ítems en

los que aparecen números decimales menores que uno.

2. Se han clasificado las estimaciones de los sujetos como

compatibles o incompatibles con el conocimiento adecuado



121

del efecto que tiene multiplicar o dividir un número por

otro número decimal menor que uno.

De este modo, sin necesidad de hacer ningún cálculo,

aplicando el conocimiento del efecto que tiene la alteración

de los datos en el resultado de una operación se puede llegar

a las siguientes conclusiones:

1. El resultado de la operación 187,5 × 0,06 está dentro del

intervalo (0,06, 187,5).


intervalo (0,16, 64,6).

3. El resultado de la operación 424 × 0,76 está dentro del

intervalo (0,76, 424).


intervalo (0, 0,26).

5. El resultado de la operación 66 ÷ 0,86 es mayor que 66.

6. El resultado de la operación 943 ÷ 0,48 es mayor que 943.

7. El resultado de la operación 0,76 ÷ 0,89 está dentro del

intervalo (0.76, 1).

Cuando la estimación realizada por un alumno no está

dentro del intervalo correspondiente, se considera la

estimación como incompatible con el conocimiento adecuado del


la operación.

A continuación, se presentan los datos utilizados para la

selección de los sujetos para las entrevistas en la tabla 3.4.

En la misma aparecen, en la primera columna, los números de

lista de los alumnos; en la segunda, las calificaciones

−siguiendo el criterio de Levine− de los alumnos; y, de la

tercera columna a la octava, las estimaciones realizadas por

los alumnos al responder en la prueba de estimación a los

siete ítems seleccionados. Desde la columna décima a la

decimosexta, aparecen las codificaciones de las estimaciones



122

dadas por los alumnos -un cero cuando la estimación sea

incompatible con el conocimiento adecuado del efecto de la

alteración de los datos en los resultados y un uno cuando sea

compatible-. Para terminar, en la columna decimoséptima

figuran las sumas de las siete columnas anteriores.

Se han resaltado en la tabla –en la parte superior– los

alumnos que tienen como mucho una respuesta compatible con las

propiedades de las operaciones y, en el otro extremo, los

alumnos que han dado todas las respuestas compatibles con las

propiedades que las operaciones. Dentro de los alumnos que han

dado respuestas "compatibles" se han seleccionado a los que

son mejores estimadores fijándonos en las calificaciones que

figuran en la columna segunda. Los alumnos elegidos son: A13,

A42 y A53. Dentro de los alumnos que han dado respuestas

"incompatibles" se ha eliminado a los alumnos A1 y A20 que no

están disponibles para realizar la entrevista. Los elegidos

son los alumnos: A21, A25, A41, A43, A45 y A48.



123

Tabla 3.4

Datos utilizados en la selección de alumnos para la entrevista Alumno Levine ITEM 1 ITEM 2 ITEM 3 ITEM 4 ITEM 5 ITEM 6 ITEM 7 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 T

A21 5 1256 70.5 500 1.5 60 42 0.2 0 0 0 0 0 0 0 0 A1 9 1123 0.36 0.675 0.5431 0.5432 0 0.543 0 1 0 0 0 0 0 1 A20 24 187.7 65.13 500 1 54 93 0.8 0 0 0 0 0 0 1 1 A25 19 120.02 130.25 320000 1500 1 1.8 0.72 1 0 0 0 0 0 0 1 A41 18 0.03 0.019 0.28 0.125 10 450 1.2 0 0 0 1 0 0 0 1 A43 20 6.489 90 2800 0.85 0.84 0.25 0.25 1 0 0 0 0 0 0 1 A45 14 17.5 130.6 650 1.32 9.5 135 12 1 0 0 0 0 0 0 1 A48 21 33333 0 2800 0.13 1 460 0.6 0 0 0 1 0 0 0 1

A2 25 60000 3100 323 0.12 55 460 0.64 0 0 1 1 0 0 0 2 A28 24 10000 70 300 0.5 33 450 1 0 0 1 0 0 0 1 2 A30 27 75.1 128.45 300.65 1500 0.74 45 0.06 1 0 1 0 0 0 0 2 A4 25 15 0.12 36 0.1425 0.56 0.32 0.7 1 0 1 1 0 0 0 3 A5 18 15.25 32.15 325 1.21 33.2 425 0.72 1 1 1 0 0 0 0 3 A8 22 0.124 0.125 0.321 0.541 675 1845 0.62 1 0 0 0 1 1 0 3 A10 14 1 0.65 0.67 0.2 48 75 49.5 1 1 0 1 0 0 0 3 A12 27 58 12 424 0.8 60 450 0.09 1 1 1 0 0 0 0 3 A27 14 30000 130000 336000 1500 75.5 19000 0.8 0 0 0 0 1 1 1 3 A29 17 6 128.2 450 0.104 63 32100 0.7 1 0 0 1 0 1 0 3 A36 9 33333 30 50 0.15 6 460 0.54 0 1 1 1 0 0 0 3 A38 8 121.85 458.2 545.3 0.789 1230.1 5412 0.21 1 0 0 0 1 1 0 3 A40 14 165 45 750 0.8 80 500 0.16 1 1 0 0 1 0 0 3 A50 26 18.75 6.5 300 0.8 0.84 190 0.57 1 1 1 0 0 0 0 3 A3 33 3 12 200 0.8 300 536 0.72 1 1 1 0 1 0 0 4 A6 29 19 13 336 0.15 6.4 475 0.6 1 1 1 1 0 0 0 4 A9 19 0.12 1.2 3.5 0.15 0.08 0.22 0.1 1 1 1 1 0 0 0 4 A14 32 19 14 320 0.15 40 480 0.15 1 1 1 1 0 0 0 4 A16 30 12 12 32 0.15 36 200 0.72 1 1 1 1 0 0 0 4 A17 15 4.2 0.64 125 0.8 66 500 0.54 1 1 1 0 1 0 0 4 A24 14 9.2 50 300 0.12 0.45 0.3 0.01 1 1 1 1 0 0 0 4 A26 4 0.3 0.25 0.33 0.19 550 2.5 0.54 1 1 0 1 1 0 0 4 A31 6 2.5 2.5 2.5 0.36 224 2.5 2.5 1 1 1 0 1 0 0 4 A33 34 12 36 280 0.15 48 200 0.64 1 1 1 1 0 0 0 4 A35 32 10 8 290 8 50 500 0.8 1 1 1 0 0 0 1 4 A37 26 12 10 106 1 60 470 1 1 1 1 0 0 0 1 4 A52 36 33333 0 200 0.13 66 500 0.76 0 0 1 1 1 0 1 4 A15 41 0 6.8 320 0.15 72 1880 85 0 1 1 1 1 1 0 5 A23 13 18.1 3.2 2.5 0.8 68.5 1826 0.18 1 1 1 0 1 1 0 5 A32 27 45 125 60 0.15 80 2000 9 1 0 1 1 1 1 0 5 A34 6 1.9 13.5 29 0.8 86 3600 560 1 1 1 0 1 1 0 5 A47 17 330 64.6 424 0.08 66 500 1 0 1 1 1 1 0 1 5 A49 39 10.452 8.2145 305.24 0.984 75 235 0.92 1 1 1 0 1 0 1 5 A51 39 18 12 300 8 80 1900 1.5 1 1 1 0 1 1 0 5 A18 12 90 18 270 0.17 130 1800 0.588 1 1 1 1 1 1 0 6 A19 28 12 6 400 0.5 66 2000 1 1 1 1 0 1 1 1 6 A22 45 12 12.8 300 0.15 70 1900 8 1 1 1 1 1 1 0 6 A39 22 3300 15.5 400 0.13 800 4500 0.8 0 1 1 1 1 1 1 6 A44 40 0.3 8 321 0.12 72.5 193 0.9 1 1 1 1 1 0 1 6 A46 22 0.2 53 350 0.8 110 1800 0.9 1 1 1 0 1 1 1 6 A7 14 180 63 420 0.2 67 2500 1 1 1 1 1 1 1 1 7 A11 15 50 20 300 0.15 68 1500 1 1 1 1 1 1 1 1 7 A13 45 12 13 320 0.125 70000 2000 0.8 1 1 1 1 1 1 1 7 A42 41 1.8 6.4 324 0.1 90 1890 1 1 1 1 1 1 1 1 7 A53 44 10 12 320 0.1 70 1900 0.9 1 1 1 1 1 1 1 7

40 36 38 27 27 19 17



124

Para el caso de que alguno de los alumnos elegidos no

pudiera realizar las entrevistas tenemos previstos como

"suplentes" a los alumnos A44 para el primer grupo y A2 para

el segundo.

Forma de conducir la entrevista. Las entrevistas se

han realizado individualmente y en una habitación aislada. El

entrevistador y el sujeto se sientan, uno enfrente del otro,

separados por una mesa. Las entrevistas son registradas

utilizando una grabadora y después se transcriben a papel para

su posterior análisis.

La explicación, por parte del entrevistador, a los

alumnos de las instrucciones para responder a la entrevista se

ha limitado a la lectura de un guión. No obstante, cuando el

alumno ha solicitado explicaciones adicionales, el criterio

seguido ha sido el de dar todas las explicaciones que sean

necesarias para que el alumno pueda entender las instrucciones

correctamente y responder a la entrevista.


Capítulo 4

Análisis de datos cuantitativos

El presente capítulo está dedicado al análisis de datos

cuantitativos. Como se planteó en el capítulo 1, uno de los

objetivos principales de la investigación es el de estudiar la

dificultad de las tareas de estimación en cálculo (con

operaciones de multiplicación y división) en función del tipo

de número que aparece en ellas (natural, decimal mayor que uno

y decimal menor que uno). Para abordar este objetivo, en el

capítulo 3 –en el que se describe el diseño de la

investigación- se justifica la elección de la prueba de Levine

(1980) como instrumento adecuado para recabar información cuyo

análisis permita contrastar las hipótesis de la investigación.

Por otra parte, en la administración de la prueba de

estimación, el control del tiempo de respuesta de los sujetos

se ha realizado de un modo distinto al de otras

investigaciones precedentes. Un objetivo secundario del

estudio es probar que los resultados obtenidos no dependen de

esta forma de administrar el tiempo de la prueba.

Finalmente, la realización de la prueba de estimación

posibilita la clasificación de los participantes de acuerdo a

su habilidad de estimar con los distintos tipos de números que

aparecen en la prueba. Esto permite, por ejemplo, detectar

sujetos que tengan dificultades al realizar estimaciones en

cálculos con decimales menores que uno.

Así, el capítulo comienza indicando las técnicas

estadísticas que se han empleado y su relación con los

objetivos que se acaban de citar. Después se presentan las

hipótesis estadísticas. Para terminar, la mayor parte del

capítulo está dedicada a la exposición de los resultados

obtenidos en los diferentes análisis estadísticos realizados.



126

En el apéndice A figura la tabla de datos que se ha utilizado

para los análisis estadísticos. En el apéndice B del trabajo

se adjuntan materiales estadísticos complementarios (como los

correspondientes a la comprobación de los supuestos

estadísticos).

Técnicas estadísticas empleadas

En este estudio se han utilizado tres técnicas estadísticas.

En primer lugar, se ha realizado un análisis de varianza de

dos factores con medidas repetidas en los dos factores, para

estudiar el efecto de las variables independientes “operación”

y “tipo de número” en la variable dependiente “puntuación”. A

continuación, se ha utilizado el análisis de correlación para

valorar la posible influencia de la variable “tiempo de

respuesta” en las “puntuaciones medias” de los sujetos

participantes y de los ítems del test administrado.

Finalmente, se ha utilizado el análisis de conglomerados

(análisis cluster) para realizar dos clasificaciones de los

sujetos que han participado en el estudio: una, atendiendo a

la habilidad de estimar, y la otra, teniendo en cuenta las

puntuaciones que han obtenido en los ítems de la prueba de

estimación clasificados por el tipo de número que aparece en

ellos. Los distintos análisis estadísticos se han realizado

con el paquete estadístico SPSS para Windows (versión 9.0.1).

Hipótesis estadísticas

En el capítulo 3, se expusieron las hipótesis de la

investigación. Estas hipótesis se establecen aquí en forma de

hipótesis estadísticas para su posterior contraste. Vamos a

contrastar las siguientes hipótesis nulas:

H01: No hay efecto significativo del factor A (tipo de

operación) sobre la variable “puntuación” (PUNTOS).

H02: No hay efecto significativo del factor B (tipo de

número) sobre la variable “puntuación” (PUNTOS).



127

H03: No hay efecto significativo de interacción entre los

factores “tipo de operación” y “tipo de número” con respecto a

la variable dependiente “puntuación” (PUNTOS).

H04: No hay relación lineal significativa entre las

variables “Tiempo medio de respuesta al ítem” (MTIEMPOI) y

“Puntuación media para el ítem” (MPUNTI).

H05: No hay relación lineal significativa entre las

variables “Tiempo medio de respuesta del sujeto” (MTIEMPOS) y

“Puntuación media del sujeto” (MPUNTS).

Con respecto a la última técnica estadística empleada (el

análisis de conglomerados), no es pertinente plantear

hipótesis estadísticas relativas al mismo1.

Resultados del análisis de la varianza

Para estudiar el posible efecto de las variables

independientes “operación” y “tipo de número” en la variable

dependiente “puntuación”, se ha realizado un diseño factorial

de dos factores, de efectos fijos, con medidas repetidas en

ambos factores. Para ello se han definido dos factores intra-

sujetos: OPERACIÓ (con dos niveles: multiplicación y división)

y DECIMAL (con tres niveles: números naturales, decimales

mayores que uno, y decimales menores que uno), que

corresponden a las dos variables independientes del diseño

antes citadas.

Por otra parte, antes de comenzar a presentar los

resultados que se han producido, se debe advertir que se ha

determinado un nivel α = 0.05 para todas las pruebas

estadísticas. Además, se ha utilizado el estadístico η2 (“eta

1 Según Martínez (1999), “el AC no es una técnica de inferencia estadística, sino un método objetivo de cuantificar las características estructurales de un conjunto de observaciones y como tal, tiene propiedades matemáticas, pero no estadísticas” (p. 121).



128

cuadrado” en las tablas) para estimar el tamaño del efecto2.

También aparece en todas las pruebas estadísticas la potencia

de la prueba3.

Estudio de la influencia de la interacción Operación-

Decimal

Antes de proceder al estudio de los efectos principales del

análisis de varianza, se ha considerado la posible existencia

de interacción entre el tipo de operación y el tipo de número4.

Tabla 4.1 Análisis de varianza. Pruebas de efectos intra-

sujetos

2 El tamaño del efecto es “el grado en que la hipótesis nula (de nulidad de efectos) es falsa” (Cohen y Manion, 1988, pp. 9-10). Citado por Pascual, Frías y García (1996, p. 53). Estos autores añaden: “la magnitud del efecto adopta un valor específico, que bajo el supuesto de hipótesis nula es igual a 0, y bajo el supuesto de hipótesis alternativa es distinto de 0.” (p. 53) 3 En cuanto a la interpretación que se hace de la potencia, en este trabajo se ha tomado la determinación de dejar en suspenso las decisiones sobre el mantenimiento o rechazo de hipótesis en las que α sea mayor que 0,05 y la potencia de la prueba sea menor que 0,5. Esta interpretación está de acuerdo con la de Pascual, Frías y García (1996) cuando afirman que “La interpretación de los resultados nulos debería estar condicionada a la potencia del test. Si la potencia es baja, apenas se dispone de margen de probabilidad de rechazo de la hipótesis nula, y la ausencia de rechazo no se debe considerar en contra de la hipótesis alternativa”. (p. 50) 4 Se sigue en esto la indicación de León y Montero (1999, p. 217) cuando afirman que “conocer la presencia de interacción determina por completo el estudio de los efectos principales”. Según estos autores, cuando se ha comprobado que no hay interacción “Debemos proceder al estudio de los efectos principales. El hecho de que una variable se comporte de forma similar en presencia de los niveles de la otra es lo que hace que tenga sentido estudiar su influencia de forma conjunta”. (p. 217). A continuación, añaden: “Cuando hemos comprobado que existe interacción es más seguro detenernos en su estudio y no sacar conclusiones sobre los efectos principales. Corremos un alto riesgo de llegar a inferencias absolutamente erróneas” (p. 219).

Medida: MEASURE_1

1,057 1 1,057 2,439 ,124 ,045 2,439 ,33522,538 52 ,43321,637 2 10,819 20,1 ,000 ,278 40,112 1,00056,101 104 ,539

9,100 2 4,550 8,895 ,000 ,146 17,791 ,96953,194 104 ,511

FuenteOPERACIÓError(OPERACIÓ)DECIMALError(DECIMAL)OPERACIÓ * DECIMALError(OPERACIÓ*DECIMAL)

Suma decuadrados

tipo III glMedia

cuadrática F Sig.Eta

cuadrado

Parámetrode no

centralidadPotenciaobserv.a

Calculado con alfa = ,05a.



129

En la tabla 4.1 pueden consultarse los resultados

correspondientes al estudio de la interacción entre el tipo de

operación y el tipo de número.

Como puede verse, se debe rechazar la hipótesis inicial

para la interacción OPERACIÓ*DECIMAL (F = 8,895 y p = 0,000).

Esto quiere decir que la interacción entre el tipo de número y

el tipo de operación (OPERACIÓ*DECIMAL) tiene un efecto

significativo en la puntuación. En la tabla 4.2 aparecen las

medias correspondientes a todas las combinaciones de niveles

de los dos factores del diseño.

Tabla 4.2 Medias de puntos por tipo de operación (OPERACIÓ) y

tipo de número (DECIMAL)

Tabla 4.3 Análisis de varianza. Pruebas de contrastes intra-

sujetos. Contrastes con el nivel 1 (del factor DECIMAL) de

referencia

Queda por determinar entre qué combinaciones de niveles

se han producido estas diferencias significativas. Para ello,

se han realizado las pruebas de contrastes intrasujetos. Las

Medida: MEASURE_1

,705 1 ,705 2,439 ,124 ,045 2,439 ,33515,025 52 ,2891,855 1 1,855 3,208 ,079 ,058 3,208 ,420

20,547 1 20,55 50,3 ,000 ,492 50,269 1,00030,079 52 ,57821,255 52 ,40916,793 1 16,79 9,463 ,003 ,154 9,463 ,8553,189 1 3,189 1,389 ,244 ,026 1,389 ,212

92,276 52 1,775119,353 52 2,295

DECIMAL

Nivel 2 - Nivel 1Nivel 3 - Nivel 1Nivel 2 - Nivel 1Nivel 3 - Nivel 1Nivel 2 - Nivel 1Nivel 3 - Nivel 1Nivel 2 - Nivel 1Nivel 3 - Nivel 1

OPERACIÓNivel 2 - Nivel 1Nivel 2 - Nivel 1

Nivel 2 - Nivel 1

Nivel 2 - Nivel 1

FuenteOPERACIÓError(OPERACIÓ)DECIMAL

Error(DECIMAL)

OPERACIÓ *DECIMAL

Error(OPERACIÓ*DECIMAL)

Suma decuadr.tipo III gl

Mediacuadr. F Sig.

Etacuadr.

Parámetrode no



Medida: MEASURE_1

1,453 ,107 1,237 1,6681,547 ,152 1,242 1,852

,708 ,095 ,516 ,8991,443 ,107 1,228 1,659

,975 ,134 ,705 1,244,943 ,113 ,716 1,171

DECIMAL123123

OPERACIÓ1

2

Media Error típico Límite inferior Límite superiorIntervalo de confianza al 95%.



130

pruebas se han hecho dos veces, tomando en primer lugar el

nivel 1 (tabla 4.3) como referencia para el contraste y en

segundo lugar, el nivel 3 (tabla 4.4), para que aparezcan

todas las combinaciones posibles.

En la tabla 4.3 puede verse que hay una interacción

significativa para los niveles 1 y 2 del factor 1 con los

niveles 1 y 2 del factor 2 (F = 9.463 y p = 0.003).

Tabla 4.4 Análisis de varianza. Pruebas de contrastes intra-

sujetos. Contrastes con el nivel 3 (del factor DECIMAL)de

referencia

La otra interacción significativa aparece en la tabla 4.4

y se da entre los niveles 1 y 2 del factor 1 con los niveles 2

y 3 del factor 2 (F = 16.739 y p = 0.000). La única

combinación en la que parece no haber interacción

significativa es la que se da entre los niveles 1 y 2 del

factor 1 con los niveles 1 y 3 del factor 2 (ver en cualquiera

de las dos tablas, F = 1.389 y p = 0.244). En esta ocasión, la

baja potencia de la prueba (0,212) hace que no se tome

decisión alguna sobre esta interacción.

Para ilustrar estas interacciones se adjuntan (en la

figura 4.1) los gráficos de perfil correspondientes al tipo de

operación (OPERACIÓ) y al tipo de número (DECIMAL). En los

gráficos de perfil se detecta la presencia de interacciones a

través de la localización de rectas no paralelas, mientras que

Medida: MEASURE_1

,705 1 ,705 2,439 ,124 ,045 2,439 ,33515,025 52 ,28920,547 1 20,55 50,27 ,000 ,492 50,269 1,00010,054 1 10,05 15,93 ,000 ,235 15,930 ,97521,255 52 ,40932,818 52 ,6313,189 1 3,189 1,389 ,244 ,026 1,389 ,212

34,617 1 34,62 16,74 ,000 ,244 16,739 ,980119,353 52 2,295107,536 52 2,068

DECIMAL


OPERACIÓNivel 1 - Nivel 2Nivel 1 - Nivel 2

Nivel 1 - Nivel 2

Nivel 1 - Nivel 2

FuenteOPERACIÓError(OPERACIÓ)DECIMAL

Error(DECIMAL)

OPERACIÓ *DECIMAL

Error(OPERACIÓ*DECIMAL)

Suma decuadrados

tipo III glMediacuadr. F Sig.

Etacuadrado

Parámetrode no





131

la ausencia de interacción se pone de manifiesto cuando las

rectas tienden a ser paralelas5.

Figura 4.1 Gráficos de perfil correspondientes al tipo de

operación (OPERACIÓ) y al tipo de número (DECIMAL).

OPERACIÓ/DECIMAL

Así, en la figura 4.1 están representadas las dos

interacciones que han resultado ser significativas al realizar

las pruebas de contrastes intrasujetos. En la parte izquierda

de dicha figura puede verse que, para los números naturales

(nivel 1 del factor “DECIMAL”), prácticamente coinciden los

valores6 de las medias para la multiplicación y la división

(niveles 1 y 2 del factor “OPERACIÓ”). Sin embargo, para el

nivel 2 del factor “DECIMAL” se observa una fuerte divergencia

en las medias (la media para la multiplicación aumenta y para

la división disminuye. Dicho de otra forma, el comportamiento

5 León y Montero (1999, p. 207) afirman que “Siempre que la representación gráfica de los resultados de un diseño complejo sea un conjunto de líneas paralelas podemos asegurar que no existe interacción entre las variables”. Por el contrario, estos autores añaden que “cuando las líneas no son paralelas quiere decir que existe interacción (p. 208) y cuando son ‘casi’ paralelas “no podemos concluir visualmente si es nula o no [la interacción]” (p. 208). 6 Estos valores pueden consultarse en la tabla 4.2.

DECIMAL

321

Med

ias

mar

gina

les

estim

adas

1,6

1,4

1,2

1,0

,8

,6

OPERACIÓ

1

2



132

del factor “OPERACIÓ” no es el mismo a través de los niveles 1

y 2 del factor “DECIMAL”. Esta es la interacción que se había

detectado en la tabla 4.8 (con F = 9.463 y p = 0.003). Este

tipo de interacción es ordinal7.

En la parte derecha de la figura 4.1 aparece la segunda

interacción significativa. Claramente, el comportamiento del

factor “OPERACIÓ” varía a través de los niveles 2 y 3 del

factor “DECIMAL”. La media para la división prácticamente se

mantiene (pasa de 0.975 a 0.943) mientras que para la

multiplicación baja sensiblemente (pasa de 1.547 a 0.708)8.

Esta interacción, al contrario que la anterior, es no ordinal9.

Si se desea ver representado gráficamente el caso en el

que no se ha tomado decisión alguna sobre la posible

existencia de interacción (entre los niveles 1 y 2 del factor

“OPERACIÓ” y los niveles 1 y 3 del factor “DECIMAL”) debe

recurrirse al otro gráfico de perfil (en que los niveles del

factor “OPERACIÓ” aparecen en el eje X) en la figura 4.2. En

él puede observarse cómo las dos líneas de trazo discontinuo

(que representan a los niveles 1 y 3 del factor “DECIMAL”) son

‘casi’ paralelas. En este caso deberíamos asegurarnos

recurriendo a los cálculos estadísticos pero éstos, como ya se

ha visto, no permiten tampoco tomar una decisión. Todo lo

contrario ocurre al examinar la relación entre cada una de

estas líneas y la correspondiente al nivel 2 del factor

“DECIMAL” (representada con trazo continuo). Aquí pueden verse

también representadas las dos interacciones que han resultado

significativas en el análisis.

7 La interacción ordinal es la que se produce cuando “las líneas están unas por encima de las otras, sin juntarse” (León y Montero, 1999, p. 219). En este caso, los valores medios para la multiplicación están por encima de las medias para la división tanto para los números naturales como para los decimales mayores que uno. 8 Estos resultados también figuran en la tabla 4.2 9 Según León y Montero (1999, p. 232) “Tipo de interacción en la cual la ordenación de los resultados respecto a los niveles de una variable independiente no se mantiene cuando varían los niveles de la otra variable independiente”. Este tipo de interacción se detecta gráficamente cuando las líneas de juntan.



133

Figura 4.2 Gráficos de perfil correspondientes al tipo de

operación (OPERACIÓ) y al tipo de número (DECIMAL).

DECIMAL/OPERACIÓ

Efectos principales del análisis de varianza

Los efectos principales de los dos factores intra-sujetos

-tipo de operación (OPERACIÓ) y tipo de número (DECIMAL)-

aparecen resumidos en la tabla 4.1.

Estudio de la influencia del factor Operación. Como puede

verse en la presentación general de los resultados del

análisis de varianza, para el factor “tipo de operación”

F = 2,439, p = 0,124 y la potencia es de 0,335. Al ser la

potencia tan baja, no se puede tomar en principio una decisión

sobre el posible efecto del factor. En la tabla 4.5 se

presentan las puntuaciones medias correspondientes a los ítems

de multiplicación y a los de división. Los ítems de

multiplicación han obtenido una puntuación media superior (de

1.236 por 1.121 para los ítems de división), pero la

diferencia es muy pequeña y no resulta significativa

(p = 0,124). En la figura 4.3 puede verse el gráfico de barras

correspondiente a estas puntuaciones medias para cada tipo de

operación.

OPERACIÓ

21

Med

ias

mar

gina

les

estim

adas

1,6

1,4

1,2

1,0

,8

,6

DECIMAL

1

2

3



134

Tabla 4.5 Medias de puntos por operación

A pesar de que, en promedio, las puntuaciones para los

ítems de multiplicación y de división son muy parecidas, el

estudio previo que se ha realizado sobre la interacción

permite matizar que esta igualdad no se da a través de todos

los niveles del factor “tipo de número”. Si se retrocede a la

figura 4.1 (o a los datos correspondientes a la misma, en la

tabla 4.2) puede verse que la puntuación media para la

multiplicación es mucho mayor que para la división, cuando se

operan números decimales mayores que uno, y menor cuando

aparecen decimales menores que uno.

Figura 4.3 Medias de puntos por operación

Por lo tanto, si se consideran sólo los efectos

principales, se podría llegar a la conclusión errónea de

Estimaciones

Medida: MEASURE_1

1,236 ,097 1,042 1,4301,121 ,079 ,963 1,278

OPERACIÓ12


DIVISIÓNMULTIPLI

Med

ia

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

0,0



135

ausencia de efecto del factor “tipo de operación”. Sin

embargo, el estudio de la interacción conduce a la conclusión

de que el comportamiento del factor “tipo de operación” es

distinto a través de los distintos niveles del factor “tipo de

número”, lo cual indica que se debe rechazar la ausencia de

efecto del factor “tipo de número”.

Estudio de la influencia del factor DECIMAL. En la tabla 4.6

aparecen los estadísticos descriptivos correspondientes a los

tres niveles del segundo factor –tipo de número (DECIMAL)- del

análisis de varianza.

Tabla 4.6 Medias de puntos por tipo de número

Como puede verse, la puntuación media mayor (1.448)

corresponde a los ítems con números naturales (nivel 1 del

factor), después le sigue la correspondiente a los ítems con

números decimales mayores que uno (1.261) y por último, con la

puntuación media menor (0.825), aparecen los ítems con números

decimales menores que uno (el nivel 3 del factor).

En la figura 4.4 aparece el diagrama de barras en el que

puede verse claramente que los ítems con números decimales

menores que uno tienen una media sensiblemente inferior a los

demás.

En los resultados generales del análisis de varianza se

ha rechazado la hipótesis de no existencia de diferencias

significativas entre los tres niveles del factor DECIMAL. El

tipo de número (natural, decimal mayor que uno y decimal menor

que uno) ha demostrado tener un efecto significativo sobre la

puntuación. Este efecto aparece confirmado en los contrastes

Estimaciones

Medida: MEASURE_1

1,448 ,083 1,282 1,6151,261 ,122 1,016 1,506

,825 ,087 ,650 1,001

DECIMAL123




136

multivariados10. Cabe llamar la atención sobre los resultados

obtenidos (que se exponen en la tabla 4.7) en estos

contrastes. La significación del contraste (0.000) y la

potencia de la prueba (1) confirman plenamente el resultado

obtenido en el análisis de varianza.

Figura 4.4 Medias de puntos por tipo de número

Por otra parte, y una vez asumido el efecto significativo

del tipo de número, queda la cuestión de saber entre qué

niveles del factor se han producido las diferencias

significativas. Para saberlo, se han realizado las

comparaciones por pares11 para los niveles de la variable

intrasujetos “tipo de número”. Los resultados se muestran en

la tabla 4.8.

10 Los contrastes multivariados son una alternativa a la realización del análisis de varianza con medidas repetidas que se utiliza cuando no se cumple el supuesto de esfericidad. Tiene especial interés contrastar sus resultados con los obtenidos en el modelo de medidas repetidas cuando se alberga alguna duda sobre el incumplimiento del citado supuesto. En el presente trabajo, la prueba W de Mauchy ha permitido mantener el supuesto de esfericidad. No obstante, se incluyen los contrastes multivariados como corroboración del resultado anteriormente obtenido. 11 Utilizando la prueba T para dos medias relacionadas junto con la corrección de Dunn-Bonferroni.

DMENOR1DMAYOR1NATURAL

Med

ia

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

0,0



137

Tabla 4.7 Contrastes multivariados para la variable “Tipo de

número” (DECIMAL)

Tabla 4.8 Comparaciones por pares para la variable “Tipo de

número” (DECIMAL)

Las diferencias significativas se producen entre el nivel

3 y los demás niveles del factor. Esto quiere decir que la

media de las puntuaciones correspondientes a los ítems con

números decimales menores que uno es significativamente

inferior a la correspondiente a los ítems con números

decimales mayores que uno o con números naturales. Sin

embargo, no hay diferencia significativa entre los niveles 1 y

2 del factor. Esto es, los ítems con números naturales y

aquellos que tienen números decimales mayores que uno no

tienen una puntuación media significativamente distinta.

Comparaciones por pares

Medida: MEASURE_1

,187 ,104 ,079 -2,253E-02 ,397,623* ,088 ,000 ,446 ,799

-,187 ,104 ,079 -,397 2,253E-02,436* ,109 ,000 ,217 ,655

-,623* ,088 ,000 -,799 -,446-,436* ,109 ,000 -,655 -,217

(J) DECIMAL231312

(I) DECIMAL1

2

3

Diferenciaentre

medias (I-J) Error típ. Sig.a Límite inferiorLímite

superior

Intervalo de confianza al 95% para diferenciaa

Basadas en las medias marginales estimadas.La diferencia de las medias es significativa al nivel ,05.*.

Ajuste para comparaciones múltiples: Diferencia menos significativa (equivalente a laausencia de ajuste).

a.

,495 25,018b 2,000 51,000 ,000 ,495 50,036 1,000,505 25,018b 2,000 51,000 ,000 ,495 50,036 1,000,981 25,018b 2,000 51,000 ,000 ,495 50,036 1,000,981 25,018b 2,000 51,000 ,000 ,495 50,036 1,000

Traza de PillaiLambda de WilksTraza de HotellingRaíz mayor de Roy

Valor FGl de la

hipótesisGl delerror gl Sig.

Etacuadrado

Parámetro deno centralidad

Potenciaobservadaa

Cada prueba F contrasta el efecto multivariado de DECIMAL. Estos contrastes se basan en las comparacionespor pares, l inealmente independientes, entre las medias marginales estimadas.


Estadístico exactob.



138

Relación entre la puntuación media de los ítems y el

tiempo medio de respuesta a los mismos

En la tabla 4.9 aparecen los resultados del contraste de

hipótesis sobre el coeficiente de correlación entre las

variables “Puntuación media del ítem” (MPUNTI) y “Tiempo medio

de respuesta al ítem” (MTIEMPOI)

Tabla 4.9 Coeficiente de correlación entre las “Puntuación

media del ítem” y el “Tiempo medio de respuesta al ítem”

Dado que la significación de la prueba es de 0.140, se

mantiene la hipótesis inicial de que no hay relación lineal

entre las dos variables.

Figura 4.5 Gráfico de nube de puntos correspondiente a las

variables “Puntuación media del ítem” (MPUNTI) y “Tiempo medio

de respuesta al ítem” (MTIEMPOI)

Correlaciones

,342,140

20

Correlación de PearsonSig. (bilateral)NCorrelación de PearsonSig. (bilateral)N

MPUNTI

MTIEMPOI

MPUNTI MTIEMPOI

MPUNTI

3,02,52,01,51,0,5

MT

IEM

PO

I

35

30

25

20

15

2019

18

17

16

15

1413

12

11

10

9

8

76

5

43

2

1



139

En la figura 4.5 (gráfico de nube de puntos) pueden verse

representados los 20 ítems del test. A pesar de que hay una

cierta relación positiva (ñ = 0.342), ésta no es significativa

y el gráfico muestra claramente que, en efecto, no hay

correlación lineal entre las variables. En él vemos cómo hay

ítems que tienen una puntuación media alta (como el 5 o el 7)

con un tiempo medio de respuesta alto, pero también otros

(como el 19) con tiempo de respuesta bajo. Lo mismo ocurre con

los ítems de puntuación media baja.

Tabla 4.10 Coeficiente de correlación entre la “Puntuación

media del sujeto” y el “Tiempo medio de respuesta del sujeto”

Relación entre la puntuación media de los sujetos y

su tiempo medio de respuesta

En la tabla 4.10 figuran los resultados del contraste de

hipótesis sobre el coeficiente de correlación entre las

variables “Puntuación media del sujeto” (MPUNTS) y “Tiempo

medio de respuesta del sujeto” (MTIEMPOS).

También en este caso se mantiene la hipótesis inicial

dado que la significación de la prueba es de 0,335. No existe,

por tanto, relación lineal significativa entre ambas

Correlaciones

-,135,335

53

Correlación de PearsonSig. (bilateral)NCorrelación de PearsonSig. (bilateral)N

MTIEMPOS

MPUNTS

MTIEMPOS MPUNTS



140

variables. Tanto en este caso como en el anterior estudio de

correlación se ha elegido hacer contrastes bilaterales12.

En la figura 4.6 puede verse el gráfico de nube de puntos

que confirma esta ausencia de relación lineal entre las

variables.

Figura 4.6 Gráfico de nube de puntos13 correspondiente a las

variables “Puntuación media del sujeto” (MPUNTS) y “Tiempo

medio de respuesta del sujeto (MTIEMPOS)

A continuación se añaden algunos resultados que pueden

ayudar a comprender y visualizar mejor la relación existente

entre la puntuación y el tiempo de respuesta a un ítem. Para

cada estimación tenemos una puntuación (de 0 a 3 puntos) y un

tiempo de respuesta. Las estimaciones han sido agrupadas

atendiendo a su puntuación y se han calculado los estadísticos

12 Se ha seguido en esta elección el criterio de Pardo y San Martín (1999) que indican que esta opción es la más adecuada cuando: “El investigador o bien no posee una idea previa sobre la dirección en la que se pueden producir resultados muestrales incompatibles con H0, o bien considera relevante que los resultados muestrales se muestren incompatibles con H0 tanto en una dirección como en la otra” (p. 159). 13 Se ha excluido del gráfico a los sujetos 1 y 20 con una tiempo de respuesta medio para el ítem superior a 70 segundos para ver la gráfica con mayor claridad.

MPUNTS

2,52,01,51,0,50,0

MTI

EMPO

S

55

50

45

40

35

30

25

20

15

10

53

52

51

50

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29 28

27

26

2524

23

2221

19

18

17

16 15

14

13

12

1110

9

8

7

6

5

4

32



141

descriptivos correspondientes a estos cuatro grupos. En la

tabla 4.11 se muestran estos resultados.

Tabla 4.11 Estadísticos descriptivos para la variable “Tiempo

de respuesta” (TIEMPO) con las estimaciones agrupadas

atendiendo a la puntuación

En la figura 4.7 aparece el diagrama de barras

correspondiente a esta distribución de datos. Este diagrama

contribuye a corroborar los resultados sobre la falta de

relación lineal entre las puntuaciones y el tiempo de

respuesta que hemos obtenido en el estudio de correlación

previo sobre estas variables.

Figura 4.7 Tiempo medio de respuesta para cada puntuación

En efecto, como se puede ver en el gráfico, el tiempo

medio mayor de respuesta corresponde a los ítems con menor

Descriptivos

TIEMPO

533 26.8813 22.7499 .9854 24.9455 28.8170 4.46 291.6598 23.5560 20.2967 2.0503 19.4868 27.6253 7.87 185.56

152 23.6639 14.8268 1.2026 21.2878 26.0400 3.83 74.96277 24.9187 19.0099 1.1422 22.6702 27.1673 5.79 129.77

1060 25.5996 20.6188 .6333 24.3570 26.8423 3.83 291.65

0123Total

N MediaDesviación

típica Error típico Límite inferiorLímite

superior

Intervalo de confianza parala media al 95%

Mínimo Máximo

Puntuación de la estimación

3210

Med

ia T

IEM

PO

30

29

28

27

26

25

24

23

22

21

20



142

puntuación, seguido de los ítems con mayor puntuación. La

presencia de una relación lineal entre variables produciría un

aspecto “creciente” (o decreciente) para las barras de la

gráfica que en el presente caso no se produce.

En la tabla 4.12 pueden verse otros resultados de interés

relativos a la variable “tiempo de respuesta”. Con esta

variable se ha realizado la prueba de Kolmogorov-Smirnov para

contrastar si tiene una distribución normal. El valor que toma

el estadístico Z (5.740) junto con la significación de la

prueba (0.000) indican que debe rechazarse la hipótesis de que

la variable “tiempo de respuesta” tenga una distribución

normal. La media (25.5996) obtenida indica que los sujetos

participantes se han ajustado bastante bien a la indicación,

dada al administrar el test, de que las estimaciones deberían

realizarse en un tiempo máximo de 30 segundos.

Tabla 4.12 Estadísticos descriptivos y prueba de normalidad

para la variable “tiempo de respuesta” (TIEMPO)

Clasificación de los sujetos atendiendo a su

habilidad de estimar

En algunos estudios –R. E. Reys y otros (1982), B. J. Reys y

otros (1991)- que trataban de identificar los procesos

utilizados por buenos estimadores en tareas de estimación en

Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra

106025,5996

20,6188

,168,165

-,1685,470,000

NMediaDesviación típica

Parámetros normalesa,b

AbsolutaPositivaNegativa

Diferencias másextremas

Z de Kolmogorov-SmirnovSig. asintót. (bilateral)

TIEMPO

La distribución de contraste es la Normal.a.

Se han calculado a partir de los datos.b.



143

cálculo se ha seguía el siguiente procedimiento para elegir a

los “buenos estimadores”:

i) Se realizaba una prueba de estimación que permitía

asociar a cada sujeto una puntuación en la misma.

ii) Se ordenaba a los sujetos de forma decreciente teniendo

en cuenta las puntuaciones obtenidas en la prueba.

iii) Se tomaba el 10% o el 5% (según el número de

participantes y el número de sujetos que se deseara

entrevistar) de los primeros de la lista ordenada.

Por el contrario, en este trabajo se ha optado por

utilizar una técnica distinta para clasificar a los sujetos

atendiendo a la habilidad de estimar. La clasificación se ha

realizado mediante un análisis de conglomerados en el que se

ha utilizado la variable “puntuación media del sujeto”

(MPUNTS). En la figura 4.8 aparece el dendrograma

correspondiente a este análisis de conglomerados14.

En la parte superior del dendrograma puede verse un

cluster (el número15 3) formado por 8 sujetos. Éste está unido

a otro (que a su vez está formado por dos clusters) a una

distancia máxima (25 en la escala). Si sólo se consideraran

dos clusters, deberíamos tomar estos dos, con lo que (al tener

un cluster formado por 45 sujetos) se perdería mucha

información.

14 Visauta (1998) explica que para interpretarlo hay que “Leerlo de izquierda a derecha y las líneas verticales representan la unión de dos clusters. En la cabecera de la figura aparece una escala de distancias entre los diversos clusters (coeficientes) que está reconvertida a unos valores 0-25. La posición de la línea vertical sobre esta escala indica por tanto a qué distancia (0-25) los clusters se han unido” (p. 190). 15 Para numerar los clusters el SPSS procede de la siguiente forma: da el número 1 al cluster en el que figura el sujeto nº1, da el número 2 al cluster en el que aparece el sujeto con el numero más bajo (que no haya aparecido en el cluster nº1) y así sucesivamente. De este modo, si en el dendrograma analizado queremos considerar 3 clusters, estos estarán numerados de arriba abajo con los números 3, 2 y 1 respectivamente.



144

Figura 4.8 Dendrograma correspondiente al análisis cluster

* * * * * * * H I E R A R C H I C A L C L U S T E R A N A L Y S I S * * * * * * * Dendrogram using Average Linkage (Between Groups) Rescaled Distance Cluster Combine

C A S E 0 5 10 15 20 25 Label Num +---------+---------+---------+---------+---------+ 49 òø 51 òú 15 òú 42 òôòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòø 13 òú ó 22 òú ó 44 òú ó 53 ò÷ ó 14 òø ó 35 òú ó 3 òôòòòòòø ó 33 òú ó ó 52 ò÷ ó ó 30 òø ó ó 32 òú ùòòòòòòòòòòòòòø ó 12 òú ó ó ó 6 òú ó ó ó 19 òú ó ó ó 16 òú ó ó ó 39 òôòòòòò÷ ó ó 46 òú ó ó 8 òú ó ó 48 òú ó ó 24 òú ó ó 28 òú ó ó 20 òú ó ó 37 òú ùòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòò÷ 50 òú ó 2 òú ó 4 ò÷ ó 1 òø ó 36 òú ó 38 òú ó 31 òôòòòòòòòø ó 34 òú ó ó 21 òú ó ó 26 ò÷ ó ó 18 òø ó ó 23 òú ùòòòòòòòòòòò÷ 11 òú ó 17 òú ó 40 òú ó 45 òú ó 7 òôòòòòòòò÷ 10 òú 27 òú 9 òú 25 òú 43 òú 29 òú 47 òú 5 òú

41 ò÷



145

La opción tomada ha sido la de considerar tres clusters

que corresponden a sujetos con habilidad alta, media y baja en

estimación. En la tabla 4.13 aparecen la media, valor mínimo,

máximo y la desviación típica de las medias de las

puntuaciones de los sujetos pertenecientes a cada cluster, así

como el número de sujetos que hay en cada cluster.

Tabla 4.13 Estadísticos descriptivos correspondientes a los

conglomerados de la clasificación de los sujetos atendiendo a

la habilidad de estimar -dada por la variable “puntuación

media del sujeto” (MPUNT)-

El cluster 3 está formado por 8 estimadores. La media es

de 2,1063 puntos (se recuerda que la escala de puntuación va

de 0 a 3 puntos). El valor mínimo es 1.95. De acuerdo con

estos resultados, se consideran buenos estimadores aquellos

cuya puntuación media sea mayor o igual que 1.95.

Análogamente, los estimadores de habilidad media son los que

tienen puntuaciones pertenecientes al intervalo [1.05,1.80]

(se toman los valores mínimo y máximo del cluster 2, cuya

23,6522

,201,00

,242422

1,35451,051,80

,21218

2,10631,952,25

,123753

1,1632,20

2,25,5594

NMediaMínimoMáximoDesv. típ.

Total1


Total2


Total3


Total

AverageLinkage(BetweenGroups)

MPUNT



146

media de puntuación es de 1.3545). Por último, son malos

estimadores aquéllos cuya puntuación sea menor que 1 (valor

máximo correspondiente al cluster 1, cuya media de puntuación

es de 0.6522).

En resumen, como resultado de este análisis, se han

formado tres grupos de sujetos: un grupo de 8 estimadores de

habilidad alta, un grupo de 22 estimadores de habilidad media

y otro grupo de 23 estimadores de habilidad baja. Los

intervalos determinados en los párrafos anteriores se han

utilizado en la descripción de los conglomerados

correspondientes a la clasificación de los sujetos que se

expone a continuación.


puntuaciones en los ítems clasificados por tipo de

número

Los ítems de la prueba de estimación utilizada en este trabajo

están clasificados atendiendo al tipo de número. Hay ítems con

números naturales, otros con números decimales mayores que uno

y otros con números decimales menores que uno. Como se ha

podido ver en el análisis de varianza, el tipo de número tiene

una influencia muy grande en las puntuaciones. Los ítems con

números decimales menores que uno son más difíciles que

aquellos que tienen decimales mayores que uno o números

naturales (ver tabla 4.14).

Una de las decisiones importantes que se deben tomar en

el análisis de conglomerados es qué hacer con las

observaciones aisladas16. En la figura 4.9 puede verse que s11

y s53 son dos observaciones aisladas.

16 Según Martínez (1999) “el AC es muy sensible a la presencia de observaciones aisladas, que pueden distorsionar la estructura y hacer conglomerados poco representativos de la población” (p. 118).



147

Figura 4.9 Dendrograma correspondiente al análisis cluster

* * * * * * * H I E R A R C H I C A L C L U S T E R A N A L Y S I S * * * * * * * Dendrogram using Average Linkage (Between Groups) Rescaled Distance Cluster Combine C A S E 0 5 10 15 20 25 Label Num +---------+---------+---------+---------+---------+ 1 òø 38 òú 36 òôòø 31 ò÷ ùòòòòòø 21 òø ó ó 34 òôò÷ ó 26 ò÷ ó 18 òø ó 23 òôòòòòòòòú 27 ò÷ ùòòòòòø 10 òø ó ó 45 òôòòòòòø ó ó 17 ò÷ ó ó ó 5 òø ùò÷ ó 47 òôòø ó ùòòòø 41 ò÷ ùòòò÷ ó ó 7 òø ó ó ó 29 òôò÷ ó ó 40 ò÷ ó ó 11 òòòòòòòòòòòòòòò÷ ó 6 òø ó 16 òôòòòòòòòø ùòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòø 35 ò÷ ó ó ó 2 òø ó ó ó 37 òú ùòòòø ó ó 24 òú ó ó ó ó 39 òôòòòø ó ó ó ó 46 ò÷ ùòòò÷ ó ó ó 19 òòòòò÷ ó ó ó 8 òø ùòòòòò÷ ó 28 òôòòòø ó ó 32 ò÷ ùòòòòòø ó ó 25 òòòòò÷ ó ó ó 20 òûòø ó ó ó 48 ò÷ ó ùò÷ ó 9 òòòôòø ó ó 4 òòò÷ ùòø ó ó 12 òòòòò÷ ùòòò÷ ó 43 òòòòòòò÷ ó 15 òòòûòòòø ó 22 òòò÷ ó ó 42 òø ùòòòòòòòòòòòòòø ó 51 òôòòòø ó ó ó 44 òú ùò÷ ó ó 49 ò÷ ó ó ó 13 òòòòò÷ ùòòòòòòòø ó 3 òø ó ó ó 14 òôòòòø ó ó ó 33 òú ùòø ó ùòòòòòòòòòòòòòòòòòòò÷ 52 ò÷ ó ùòòòòòòòòòòòòò÷ ó 30 òòòòò÷ ó ó 50 òòòòòòò÷ ó

53 òòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòò÷



148

También se debe decidir el número de conglomerados que

vamos a formar. Para elegir el número de conglomerados se han

tenido en cuenta las siguientes circunstancias:

i) El tamaño de la muestra (de 53 sujetos).

ii) Los sujetos aislados deben formar conglomerados de un

solo sujeto (el sujeto 53 forma el solo un conglomerado al

tomar 4 o más conglomerados y el sujeto 11 al tomar 6 o más

conglomerados).

iii) Se ha seguido el criterio de intentar que no

aparecieran conglomerados demasiado pequeños (formados por

dos o tres sujetos) ni demasiado grandes, dentro de los

cuales hubiera grupos bien diferenciados, para no perder

información.

La opción tomada ha sido la de considerar 7 conglomerados

(5 grupos de sujetos y dos conglomerados especiales formados

por un sujeto cada uno). Se cuenta, por lo tanto, con 5

conglomerados “reales” y dos sujetos aislados.

Tabla 4.14 Medias correspondientes a distintas variables para

los sujetos pertenecientes a cada conglomerado

Cluster

1 Cluster

2 Cluster

3 Cluster

4 Cluster

5 Cluster

6 Cluster

7 NATURAL 0,86 1,51 1,71 1,91 0,25 2,27 1,38

DMAYOR1 0,52 1,22 2,60 0,82 0,80 2,20 3,00

DMENOR1 0,36 1,17 0,67 0,49 1,29 1,82 2,57

MDECIMAL 0,43 1,19 1,47 0,63 1,08 1,98 2,75

MEDIA 0,60 1,32 1,57 1,14 0,75 2,09 2,20



149

A continuación se describen cada uno de los

conglomerados, mencionando las características más

sobresalientes de cada uno de ellos. En la tabla 4.14 figuran

las puntuaciones medias, de los sujetos pertenecientes a cada

conglomerado, en cada una de las variables utilizadas en la

clasificación -y en otras dos variables auxiliares17- que se

han utilizado como referencia para esta descripción.

Cluster 1

Está formado por 19

sujetos pertenecientes al

grupo de estimadores de

baja habilidad descrito en

la anterior clasificación.

Esta es su característica

más sobresaliente. También

se observa que la

puntuación que obtienen en

ítems en los que aparecen

números naturales (0.86)

es el doble de la que alcanzan en ítems con números decimales

(0.43). En la figura 4.10 puede verse el gráfico de barras

correspondiente a las medias de las puntuaciones según el tipo

de número para los individuos de este grupo.

Cluster 2

Formado por 9 estimadores de habilidad media a los que no les

influye de forma significativa el tipo de número que aparece

en las tareas de estimación. Tienen una media de 1.51 en ítems

con números naturales, 1.22 en ítems con decimales mayores que

uno y 1.17 en ítems con decimales menores que uno.

17 Las otras dos variables consideradas han sido la media de las puntuaciones medias conseguidas en el test por los sujetos pertenecientes al conglomerado (MEDIA) y las medias de las puntuaciones medias obtenidas en los ítems con números decimales del test por los sujetos pertenecientes al conglomerado (MDECIMAL).

321

Val

or C

LUS

TER

1

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

0,0

Figura 4.10 Puntuación media por

tipo de número para el cluster 1



150

En la figura 4.11 se puede

ver el gráfico de barras

correspondiente a las

medias de las puntuaciones

según el tipo de número

que ilustra la situación

antes descrita.

Cluster 3

Está formado por 6 sujetos

que tienen una habilidad

de estimar media (con una

media de puntuaciones

situada en 1.57). Su característica más llamativa (como puede

verse en la figura 4.12) consiste en el comportamiento de los

sujetos pertenecientes a este grupo con respecto a los números

decimales.

En efecto, estos sujetos

tienen una puntuación muy

alta en ítems con números

decimales mayores que uno

pero, sin embargo, les

afecta mucho en su

rendimiento en tareas de

estimación la presencia de

números decimales menores

que uno.

Cluster 4

Formado por 10 sujetos. Su

característica más representativa es la dificultad que tienen

para realizar estimaciones con números decimales (con una

puntuación media para este tipo de ítems de 0.63).

321

Val

or C

LUS

TER

2

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

0,0


tipo de número para el cluster2

321

Val

or C

LUS

TER

3

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

0,0





151

Sin embargo, en los ítems

con números naturales el

rendimiento es bastante

bueno (con una puntuación

media de 1.91).

En la figura 4.13 puede

observarse esta diferencia

tan marcada para los dos

tipos de ítems (con y sin

números decimales). Este

cluster, junto con el que

se acaba de describir (el

número 3), son los que aportan información más valiosa para

detectar sujetos que tienen problemas con los números

decimales (menores que uno en el cluster 3 y con los decimales

en general en el cluster 4).

Cluster 5

Está formado por un solo

individuo (el sujeto 11)

con habilidad baja en

estimación (con una media

de 0.75).

En la figura 4.14 se puede

ver el perfil del sujeto

que hace que se deba

considerar a éste como un

caso aislado. Al contrario

de lo que ocurre en la

mayoría de los casos, la puntuación en ítems con números

decimales menores que uno es mayor que la obtenida en ítems

con números decimales mayores que uno y ésta, a su vez, mayor

que la puntuación en ítems con números naturales. Si hubiera

que integrar a este sujeto en algún cluster, deberíamos

hacerlo en el número uno (sujetos con baja habilidad en

321

Val

or C

LUS

TER

4

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

0,0



321

Val

or C

LUS

TER

5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

0,0





152

estimación), según puede verse en el dendrograma (figura 4.9)

o en la tabla 4.20 (en la que se muestran los conglomerados de

pertenencia de cada sujeto). Sin embargo, el comportamiento de

este sujeto con respecto a la variable “tipo de número” es

totalmente opuesto al de los individuos pertenecientes al

cluster 1 (como puede verse al comparar las figuras 4.8 y

4.12), lo cual hace que se haya considerado la necesidad de

considerar a este individuo como un caso aislado, formando un

cluster individual.

Cluster 6

Formado por seis sujetos

cuya característica más

notable es la de ser muy

buenos estimadores (con

una puntuación media de

2.09). Aunque parece que

la puntuación en los ítems

con números decimales

(1,82) es un poco menor

que las demás (2.27 y

2.20), esta diferencia no

es significativa. De hecho, este grupo coincide con el cluster

3 de la clasificación anterior (atendiendo a la habilidad de

estimar) de estimadores de habilidad alta, con la excepción de

que en la actual clasificación el sujeto 53 está excluido de

este grupo como se verá a continuación.

Cluster 7

Formado, al igual que el cluster 5, por un solo sujeto (el

número 53). Con una habilidad de estimar muy alta (su

puntuación media es de 2,20), llama la atención su rendimiento

en los ítems con números decimales (con puntuaciones de 3 y

2.57 con decimales mayores y menores que uno respectivamente).

321

Val

or C

LUS

TER

6

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

0,0





153

En la figura 4.16 se observa el perfil del sujeto, sólo

comparable con el del sujeto 11, con la diferencia de que en

este caso la habilidad de estimar es muy alta.

La característica que hace

que este individuo deba

formar un cluster

individual, en vez de

integrarse con los

estimadores de habilidad

alta, es que tiene una

puntuación media mucho más

alta en los ítems con

números decimales (2.75)

que en los ítems con

números naturales (1.38).

321

Val

or C

LUS

TER

7

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

0,0




Capítulo 5

Análisis de datos cualitativos

Este capítulo corresponde a la parte cualitativa de la

investigación. Para abordar esta parte del trabajo, se han

analizado las entrevistas (divididas en dos fases) realizadas

con nueve sujetos seleccionados previamente de acuerdo con los

resultados de la prueba de estimación. El procedimiento de

selección se ha explicado en el capítulo 3.

En primer lugar, se describen los procesos y las

estrategias que han utilizado los sujetos para producir sus

estimaciones en la primera fase de la entrevista. A

continuación, se analiza el conocimiento que tienen estos

sujetos sobre el efecto que tiene la alteración de los datos

en el resultado de una operación (de multiplicación o

división). Para finalizar, se estudia la relación existente

entre las estrategias utilizadas y las estimaciones dadas y el

conocimiento del efecto de la alteración de los datos sobre el

resultado.

La transcripción completa de las entrevistas, que se ha

analizado para alcanzar los resultados que se exponen en este

capítulo, puede consultarse en el apéndice C.

Identificación y caracterización de procesos y

estrategias de estimación

En este apartado se describen los procesos generales y las

estrategias de estimación en el sentido que se les da en

Segovia y otros (1989), según se expuso en el capítulo 1, que

se han encontrado al analizar las transcripciones de las

respuestas de los sujetos a la primera fase de la entrevista.



156

Cada proceso de estimación suele asociarse a distintas

destrezas que se utilizan al sustituir los datos de partida

por aproximaciones. Así, para cada proceso y técnica de

aproximación se añaden varios ejemplos, representativos de las

mismas, tomados de las respuestas de los sujetos. Cada

fragmento de la transcripción viene acompañado (al inicio) por

el cálculo para el que se debía dar la estimación y (al final)

por el individuo que ha realizado la estimación. Dado que los

procesos de compensación se dan siempre en combinación con

alguno de los procesos de reformulación o traducción, y a

pesar de que se dedica a los mismos un apartado al final, se

ha optado por señalar la presencia de procesos de compensación

al describir los procesos de reformulación y traducción. En

los párrafos tomados de la transcripción, se señalan con

cursivas las expresiones con las que los sujetos ponen de

manifiesto estar realizando una compensación.

Procesos de reformulación

Ligadas a los procesos de reformulación, se han identificado

varias técnicas de aproximación específicas. Todas ellas

pueden tomarse como variantes de la sustitución de los datos

originales por los “primeros dígitos”. En particular, todas

constituyen distintos tipos de redondeo.

1. Redondeo de ambos números (R2). Consiste en el

redondeo de los dos números (hacia arriba o hacia abajo). Los

números redondeados deben tener menos dígitos significativos

que los de partida. Además, para clasificar la estimación

dentro de esta categoría, sólo se permitirá el redondeo a una

unidad presente en el número redondeado. Por ejemplo, 563

podrá redondearse a las decenas (560) o a las centenas (600)

pero no a la unidad de mil más próxima (1000). Se considera el

truncamiento como un caso particular de redondeo.



157

64,6 × 0,16

Uno coma tres. He redondeado a 65, esto [señalando el 16] a 20,

he multiplicado y he puesto los tres decimales. (sujeto 13)

0,47 × 0,26

Pues 0,3... He multiplicado 50 × 30. Cero con ciento cincuenta.

Como si hiciera 50 × 30. (sujeto 41)

64,6 × 0,16

Pues aquí hago, esto como es 64,6 pongo 65 y 0,16 pongo 2 y

entonces son 170. Entonces pongo 168... ¿la coma?... No, porque

no es lo mismo 65 por 2 que son, ¿no? Porque esto le sumas 65 y

esto... 0,170. (sujeto 45)

424 × 0,76

Esto lo subo a... el 0,76 a 0,8 y entonces al multiplicarlo, 8

por 4... pues... 32,50. [¿Y cómo lo has hecho?.] Pues he puesto

el 0,76 0,8 y lo he multiplicado por cuatro y más o menos...

(sujeto 45)

0,47 × 0,26

Eh, 0,47 pongo 0,5 y 0,26 0,3... 0,14. (sujeto 45)

En este último caso parece claro que se da un proceso de

compensación. El resultado que se obtiene es 0,15 y el sujeto

lo baja a 0,14 para compensar el hecho de haber sustituido

ambos datos por números mayores.

2. Redondeo de uno de los dos números (R1).

Consiste en el redondeo de uno de los dos números (hacia

arriba o hacia abajo). El número redondeado debe tener menos

dígitos significativos que el de partida. Además, para

clasificar la estimación dentro de esta categoría (al igual

que en el caso anterior), sólo se permitirá el redondeo a una

unidad presente en el número redondeado. También aquí se

considera el truncamiento como un caso particular de redondeo.



158

187,5 × 0,06

Uno coma dos. He redondeado el primero a doscientos, multiplicado

por seis y luego he puesto los tres decimales. (sujeto 13)

66 ÷ 0,86

0,8. He dividido 66 entre 8 y más o menos me ha dado 64. (sujeto

43)

En este caso se ha utilizado el “truncamiento”. Se ha seguido

el criterio de Levine (1980, p. 52) de considerar el

truncamiento como un caso particular de redondeo (hacia

abajo). Según esta autora, en su investigación “No hubo

ninguna evidencia que sugiriera que los participantes

concibieran el truncamiento como un enfoque distinto al del

redondeo”. En efecto, si se pide a un sujeto que dé una

estimación para el cálculo 83 × 44 y éste sustituye el cálculo

por 80 × 40, resulta que la aplicación del redondeo y el

truncamiento coinciden y, en la práctica, puede ser muy

difícil determinar cuál de estos dos enfoques se ha utilizado.

Se debe señalar que la opción contraria es perfectamente

lícita. Así, Hanson y Hogan (2000, p. 498) consideran en su

trabajo (en el que utilizan un test con ítems diseñados de

forma paralela a los del test de Levine) el redondeo y el

truncamiento como enfoques distintos. Quizá la mejor solución

esté en considerar ambos (redondeo y truncamiento) como

variantes de una técnica de aproximación más general (uso de

los “primeros dígitos”), como se hace en Segovia, Castro,

Castro y Rico (1989, p. 130), y utilizar ítems con los que no

se produzca ambigüedad al clasificar (como 66 ÷ 0,86) cuando

se desee distinguir entre redondeo y truncamiento.

66 ÷ 0,86. El 66 lo dejaría igual entre 0,86 que lo redondearía a

0,90. Correría la coma y sería 66 entre 90. Bueno, a ver...

Añadiría dos ceros... pues siete coma algo. (sujeto 25)



159

3. Potencias de 10 (P10). Consiste en sustituir

alguno de los números dados (o los dos) por una potencia de

10, siempre que este cambio no encaje dentro de alguna de las

categorías de redondeo antes descritas. Por ejemplo, si para

estimar 21 × 86 se sustituye por 21 × 90 o 21 × 80 estaremos

utilizando el “redondeo de un número” (R1), pero si se

sustituye por 21 × 100 nos encontraremos en el caso estar

utilizando “potencias de 10”. Sin embargo, si para estimar

21 × 96 se reemplaza dicho producto por 21 × 100 la volvemos a

estar en una situación en la que se produce el “redondeo de un

número” (R1).

0,76 ÷ 0,89

Uno. He redondeado los dos hacia arriba y he puesto un uno.

(sujeto 13)

66 ÷ 0,86

Sesenta y seis. Sesenta y seis lo he dejado igual y este

[señalando a 0,86] lo he redondeado a uno. (sujeto 13)

424 × 0,76

Eso [señalando el 0,76]... a 1. Pues igual, lo dejaríamos un poco

menos de 424, 420. (sujeto 21)

Aquí se produce una compensación final. Al sustituir 0,76

por 1, se compensa reduciendo el resultado (424) a 420.

66 ÷ 0,86

Unos 58. Porque si 63 entre uno, 66 entre uno más o menos, son

66, por un número menor... (sujeto 41)

Aquí ocurre lo mismo que en el caso anterior. Se intenta

compensar el aumento del divisor con una disminución en el

resultado. Hay un proceso de compensación que pone de

manifiesto un conocimiento inadecuado de cómo afecta la

alteración de los datos en el resultado de una operación, pues



160

lo correcto en este caso hubiera sido compensar el aumento del

divisor con un aumento en el resultado.

66 ÷ 0,86

A ver. Cuando estamos dividiendo, el número aumenta... Este

número, si lo dividimos entre uno se queda igual. Al ser más

pequeño, este número aumenta. Luego sería 0,86... sería...

casi... esto... 75. (sujeto 42)

En este caso se produce la compensación en el sentido

correcto. Un aumento del divisor (de 0,86 a 1) se compensa con

un aumento en el resultado (de 66 a 75).

0,76 ÷ 0,89

0,76 dividido... No cambiaría. Si lo multiplicamos por... uno, o

sea, dividimos entre uno, esto [señalando el 0,76] no cambiaría

pero es un poquito menos luego esto [sigue señalando el 0,76] va

a aumentar. 0,9. (sujeto 42)

Aquí también se produce un proceso de compensación en el que

un aumento del divisor (de 0,89 a 1) se compensa con un

aumento en el resultado (de 0,76 a 0,9).

4. Fracciones (F). Consiste en sustituir un número

decimal por una fracción y utilizar a continuación las reglas

de cálculo propias de las fracciones.

943 ÷ 0,48

470. He redondeado esto [señalando el 0,48] a 0,5 que sería un

medio, en fracción, entonces cojo 943, multiplico por uno y

divido entre 2 o sea que sería más o menos la mitad. (sujeto 43)

En este caso, el sujeto ha cometido el error de multiplicar

por uno y dividir por dos en vez de dividir por uno y

multiplicar por dos. Este error no puede considerarse como un

caso aislado. Parece estar relacionado con la expectativa que

tiene el sujeto del tamaño que debe tener el resultado de una



161

división (en relación al dividendo). Este tipo de situaciones

se analizará con detalle al final de este capítulo.

64,6 × 0,16

Esto es un 16% de 64, que viene a ser la sexta parte, un poco

más, pues... 12 sería mi estimación. (sujeto 42)

424 × 0,76

Si lo multiplicásemos por uno, no cambiaría. Entonces son tres

cuartas partes de esto [señalando el 424]. Sería trescientos...

diez. Un poquito menos. Trescientos seis. (sujeto 42)

64,6 × 0,16

13. Eso. Porque 16 es más o menos un quinto, más o menos un

quinto de 64 y un quinto de 64 es 13. (sujeto 44)

424 × 0,76

Unos 380. Más o menos le quitas un tercio al número 424. (sujeto

44)

Procesos de traducción

Solamente ha aparecido una técnica específica de aproximación

que denota la presencia de un proceso de traducción. Es la

siguiente:

5. Exponentes (Exp). En esta estrategia, los números

dados son “reescritos” mentalmente como producto de un número

por una potencia de diez, para utilizar después las reglas de

cálculo con exponentes para obtener la estimación.

187,5 × 0,06

Pues más o menos 7,6. He multiplicado, o sea, he descompuesto el

0,06 en 6 por 10-2. He multiplicado este 187,5 por 10-2 que queda

aproximadamente 1,8 y multiplico por 6. Seis por ocho,

cuarentaiocho... Pues, sí, lo que te he dicho antes. ¿no?.

(sujeto 53)



162

66 ÷ 0,86

66 entre 0,86 es multiplicar por 85 cienavos. Entonces divido

entre cien y me queda... Bueno, esta me cuesta. Esta multiplico

por... más o menos lo voy a aproximar a 0,9. Entonces 9 por 10-1,

es dividir, entonces esto me quedaría aproximadamente 660 entre 9

y me daría... por 7, 63 pues aproximadamente 70. (sujeto 53)

0,76 ÷ 0,89

Y esto es dividir entre 0,9 o sea 9 por 10-1. Multiplico por...

7,6 entre 9 pues 0,85 más o menos. (sujeto 53)

Este tipo de sustitución fue utilizado únicamente por el

sujeto 53 en las tres ocasiones citadas. En este caso nos

hallamos ante un proceso de traducción. En efecto, cuando

sustituimos 600 × 9000 por 6×102 × 9×103 y hacemos 6×9 × 102+3,

estamos realizando una suma (de exponentes) en lugar de una

multiplicación (de 100 × 1000) y por ello consideramos que se

cambia la estructura matemática del problema.

Por otra parte se debe señalar que, aunque determinadas

técnicas de aproximación hayan sido vinculadas -en la

literatura precedente sobre estimación- a procesos de

traducción o de reformulación, debe evitarse hacer este tipo

de asociaciones de forma muy rígida, pues el tipo de

sustitución que se haga de los datos iniciales no obliga a

decidir si en la estrategia (considerada globalmente) se ha

utilizado, o no, un determinado proceso de estimación1. Por

ejemplo, en los casos siguientes -en los que se sustituye un

1 Por esta razón en este trabajo se ha optado por denominar “destrezas o técnicas de aproximación” al redondeo, truncamiento,... que en otros trabajos (R. E. Reys y otros, 1982) reciben la consideración de “estrategias específicas de estimación”. Así, se ha reservado el término “estrategia” para el “plan general de actuación [que engloba] los procesos, junto con [las técnicas de aproximación,] los algoritmos de cálculo y la valoración del resultado” (Segovia y otros, 1989, p. 148). Se ha considerado, al elegir esta opción, que este enfoque permite realizar análisis mas “finos” de los procedimientos utilizados por los sujetos al estimar, evitando además establecer vínculos rígidos entre las técnicas de aproximación y los procesos de estimación. En el apartado dedicado al análisis de estrategias se ponen ejemplos del tipo de análisis que la adopción de esta opción teórica posibilita.



163

número decimal por una fracción- puede detectarse claramente

la presencia de procesos de traducción2:

64,6 × 0,16

Este es... Aproximo 0,16 a 0,15 y entonces divido 64,6 por 6

aproximadamente. O sea, 0,15 es aproximadamente un sexto, divido

entre seis y me da aproximadamente 10,...dos o tres. (sujeto 53)

424 × 0,76

Multiplicar por 0,76 es aproximadamente multiplicar por tres

cuartos. Entonces, pues esto me da aproximadamente, divido

primero entre cuatro ya que es 424, entonces es 106 por 3, 318.

(sujeto 53)

0,47 × 0,26

Multiplicar por 0,25 es, aproximadamente, multiplicar por un

cuarto. Entonces divido 0,47 entre cuatro, pues 0,12. (sujeto 53)

En estos dos últimos ejemplos vemos claramente que la

estructura matemática del problema cambia. En el primer caso,

en vez de multiplicar por 76 (o por 7 u 8 en el caso de

utilizar la estrategia de “primeros dígitos”) y luego dividir

por 100 (o por 10), se divide primero entre cuatro y luego se

multiplica por tres. Con ello, además de cambiar los números

con los que se opera, hay un cambio en el orden de las

operaciones (se utiliza primero el denominador de la fracción

y después el numerador). En el segundo caso, se cambia la

multiplicación por 0,25 por la división por 4. Hay un cambio

en la operación con lo cual también se produce una traducción.

Ausencia de reformulación y traducción

Como ya se advirtió en el capítulo 1, muchos individuos, al

enfrentarse a la realización de una tarea de estimación, no

2 A pesar de que, como se ha advertido en el apartado anterior y puede consultarse en Segovia y otros (1989, p. 140) o en R. E. Reys y otros (1982, p. 188), la sustitución de un decimal por una fracción suele asociarse con los procesos de reformulación.



164

utilizan los procesos característicos de la misma. Bien sea

por desconocimiento de estrategias específicas de estimación o

del valor que tienen los números aproximados para calcular o

por falta de tolerancia del error, intentan utilizar

procedimientos propios del cálculo escrito para producir su

“estimación”. Así, añadimos la siguiente estrategia:

6. Imitación del algoritmo escrito (Alg). Este

procedimiento consiste en realizar la estimación imitando

(mentalmente) el algoritmo escrito correspondiente a la

operación que se debe realizar. El cálculo puede ser realizado

completamente o abandonarse en algún punto. Los cálculos

intermedios pueden ser exactos o aproximados.

187,5 × 0,06

Novecientos treinta y cinco. [¿Cómo lo has hecho?] No lo sé. Más

o menos como si lo tuviera colocado y lo hubiera multiplicado por

6. (sujeto 41)

64,6 × 0,16

Mil doscientos. [¿Cómo lo has hecho?] Pues como si colocara el 16

debajo... aquí [señalando debajo del 64,6] igual como si hiciera

la multiplicación, como si multiplicara 64 por 16. (sujeto 41)

424 × 0,76

40,5. He multiplicado, he intentado multiplicar el 76 por el 424.

[Explícalo un poco mejor.] Pues... seis por cuatro veinticuatro,

seis por dos doce... así. Bueno, redondeando también un poquillo

y luego más o menos... ¿? la multiplicación. La suma así un

poquito redondeando también, y luego ya cojo los decimales y los

quito. (sujeto 43)

Procesos de compensación

Como se ha dicho en la introducción de este apartado, los

procesos de compensación se dan siempre en combinación con los

de reformulación o los de traducción. Segovia y otros (1989,

p. 145) distinguen dos tipos de compensación: “La compensación



165

en los datos [que se produce] cuando se realiza durante el

proceso de estimación” (p. 145) y recibe también el nombre de

“compensación intermedia” y la compensación en el resultado (o

compensación final) así llamada “cuando el ajuste se realiza

al finalizar el cálculo” (p. 145). Al analizar las entrevistas

se han podido encontrar estos dos tipos de compensaciones:

0,47 × 0,26

Este redondeando a la alta y este a la baja. O sea 0,5 por 0,2.

(Sujeto 2)

66 ÷ 0,86




casi... esto... 75. (Sujeto 42)

En el primer caso se redondea el 0,47 a 0,5 y, para compensar

el aumento de uno de los factores, se redondea (hacia abajo)

el otro factor. Tenemos pues una compensación intermedia

(previa al cálculo). En el segundo caso la compensación es

posterior a la realización del cálculo y se produce al final

del proceso.

Sin embargo, también ha habido sujetos que se han

abstenido de realizar cualquier tipo de compensación. Quizá

por ser este proceso bastante complejo, algunos sujetos

prefieren no utilizarlo antes que arriesgarse a cometer un

error, incluso en situaciones tan claras como las siguientes:

0,47 × 0,26

Cero coma trece. He puesto (¿?) cero con cinco y cero con cinco

es la mitad. (Sujeto 13)

0,47 × 0,26

A ver. 0,47 × 0,26. Redondearía, lo mismo. Redondearía 0,47 a

0,50 [dicho cero coma cincuenta] por 0,30... y me saldría pues



166

unos 0,150 o 0,1500 [dicho cero coma ciento cincuenta o cero coma

mil quinientos]. (Sujeto 25)

En ambas situaciones se está haciendo claramente una

sobreestimación como consecuencia del redondeo “hacia arriba”

de uno o ambos factores. En otras situaciones parece más

justificado no realizar la compensación por ser la situación

algo más compleja que las que se acaban de exponer. Por

ejemplo, el sujeto 13 que -como se ha visto- no aplica la

compensación en casos muy sencillos, tampoco lo hace en casos

como el siguiente:

66 ÷ 0,86


[señalando a 0,86] lo he redondeado a uno. (P10)

Por otra parte, en los procesos de compensación suelen darse

dos tipos de errores característicos: error en el sentido de

aplicación de la compensación y error en el “tamaño” o la

“magnitud” de la compensación. Así, Segovia y otros (1989)

dicen que la compensación “consiste en reducir el error

producido en un sentido, al aproximar uno o varios datos,

equilibrándolo con un error en sentido contrario” (p. 145). Es

pues fundamental determinar el sentido en que debe realizarse

la compensación y algunos sujetos no aciertan en la elección

del mismo. Otros realizan una compensación de tamaño excesivo

dando lugar a estimaciones no razonables. Podemos observar

estos tipos de errores en los siguientes procedimientos:

66 ÷ 0,86

Esto lo dividiría entre uno. Bueno, pero luego le restaría un

poquito. O sea, lo dejaría en 60. (Sujeto 21)

66 ÷ 0,86

Unos 58. Porque si 63 entre uno, 66 entre uno más o menos son 66,

por un número menor... (Sujeto 41)



167

66 ÷ 0,86

650. Este lo he redondeado a 1. He dividido 66 entre 1 66 y

luego se supone que cuando divides aumentas ¿no? Es que no...

cuando es más el cero coma... cuando es menor que uno, siempre

aumenta la cantidad. (Sujeto 2)

Aquí, para un mismo cálculo (66 ÷ 0,86), se observa como la

compensación del resultado debe hacerse “hacia arriba” dado

que hemos sustituido el divisor por un numero mayor (0,86 por

1), se está produciendo una disminución en el resultado. Los

dos primeros sujetos cometen el error de realizar la

compensación en el sentido equivocado. En este error –típico

en estas situaciones- se pone de manifiesto un pobre

conocimiento del efecto que produce la alteración de los datos

en el resultado de un cálculo. En el tercer ejemplo propuesto,

el sujeto acierta al elegir el sentido en que debe realizarse

la compensación, pero da a la misma un tamaño excesivo (al

aumentar el resultado de 66 a 650 cuando el resultado es

76,74).

Estrategias de estimación

Una vez analizados los procesos de estimación y las destrezas

de aproximación que habitualmente suelen vincularse a los

mismos, puede procederse a analizar cómo se integran los

procesos y las destrezas de estimación junto con los

algoritmos de cálculo mental y la valoración del resultado

dentro de las estrategias, consideradas como “plan general de

actuación” (Segovia y otros, 1989, p. 148).

Las estrategias que figuran en el análisis se han

clasificado teniendo en cuenta los procesos de estimación que

aparecen en ellas. Así, hay estrategias en las que solamente

se da un proceso de reformulación; en otras, la reformulación

se produce junto con un proceso de compensación (que puede ser

intermedia o final); un tercer grupo de estrategias es el



168

formado por aquellas en las que se detectan procesos de

reformulación y traducción; y, finalmente, en algunas

estrategias se ponen de manifiesto todos los procesos de

estimación (reformulación, traducción y compensación)

considerados en el modelo de R. E. Reys y otros (1982).

A continuación, se presentan ejemplos de análisis de

estrategias pertenecientes a cada uno de los grupos citados.

El análisis que se ha hecho de las mismas es del tipo del

realizado por Segovia y otros (1989, pp. 148-151). Además, se

comentan los errores3 que se han producido en los procesos de

estimación y cómo han influido estos errores en el porcentaje

de error de las estimaciones y en la puntuación (variable

dependiente “PUNTOS”). El análisis de cada estrategia se

inicia con un fragmento de la transcripción -de las

entrevistas realizadas a los participantes del estudio- que

viene acompañado por un esquema de la estrategia.

1. Reformulación. En algunas estrategias solamente se

ha identificado un proceso de reformulación. Entre ellas se

encuentran los tres siguientes ejemplos:

187,5 × 0,06

Uno coma dos. He redondeado el primero a doscientos, multiplicado

por seis y luego he puesto los tres decimales. (Sujeto 13)

3 Aquí se utiliza el término “error” en un sentido general de “conocimiento deficiente e incompleto” (Rico, 1995, p. 69). Así, debe advertirse que algunos de los conocimientos clasificados como errores deben más esta consideración al carácter de “incompletitud” antes citado que a una posible incompatibilidad con los conceptos y procedimientos propios de las matemáticas. Tienen, por tanto, a pesar de su consideración como errores, cierto valor positivo como conocimientos “parcialmente adecuados pero incompletos”. Esto ocurre, por ejemplo, con los errores que han cometido los participantes en el tamaño de la compensación (sin equivocarse en el sentido de la misma).



169


→ Reformulación → Cálculo

187,5 × 0,06 → 200 × 6 1000 → 1,2

En este caso el sujeto ha reformulado el problema inicial

redondeando uno de los dos números. En esta reformulación ha

cometido un error. En efecto, el sujeto opera los números

decimales como si fueran números naturales –ignorando las

comas decimales- para, a continuación, poner tantos decimales

en el resultado como hay en total en los dos números

multiplicados. Sin embargo, al redondear 187,5 (sustituyéndolo

en el cálculo por 200) se pierde una cifra decimal, de modo

que en la reformulación debería sustituirse 187,5 × 0,06 por

(200 × 6) ÷ 100 = 12. El mismo error puede observarse en la

siguiente estrategia. En ella, se ha utilizado también el

redondeo (en este caso, de los dos números). Estos errores en

la reformulación, producidos seguramente por una combinación

inadecuada de las reglas para operar números decimales y las

de redondeo han conducido a unos errores del 89,3% y del

87,4%, con lo que ambas estimaciones han recibido 0 puntos.

64,6 × 0,16

Uno coma tres. He redondeado a 65, esto [señalando el 16] a 20,

he multiplicado y he puesto los tres decimales. (Sujeto 13)



64,6 × 0,16 → 65 × 20 1000 → 1,3

En el caso siguiente, también se ha utilizado el redondeo de

ambos números. Quizá la característica más llamativa de esta

estrategia es la ausencia de compensación, pues los dos



170

redondeos se han realizado en esta ocasión –según indican las

reglas estándar- “hacia arriba”.

0,47 × 0,26

Pues 0,3. He multiplicado 50 × 30, Cero con ciento cincuenta.

Como si hiciera 50 × 30. (Sujeto 41)



0,47 × 0,26 → 50 × 30 10000 → 0,150

Esta ausencia de compensación es la responsable de haber

producido una sobrestimación, con un error del 22,7% (lo que

supone una puntuación de 1 para la estimación).

2. Reformulación y compensación. En los ejemplos

siguientes, además de un proceso de reformulación pueden

encontrarse compensaciones (tanto intermedias como finales)

realizadas para tratar de “corregir” el error producido al

sustituir los datos iniciales en la reformulación.

424 × 0,76

Cuatrocientos. He redondeado hacia abajo, cuatrocientos, esto

hacia arriba, por uno. (Sujeto 13)


→ Reformulación + Compensación intermedia

→ Cálculo

424 × 0,76 → 400 × 1 → 400

Aquí se emplea la destreza de aproximación “potencias de diez”

(P10) al sustituir 0,76 por 1 y, a continuación, previamente

al cálculo, se ha intentado compensar esa primera sustitución

cambiando el 424 por 400. Esta compensación intermedia ha

tenido un sentido adecuado pero una “intensidad insuficiente”,



171

conduciendo a una estimación con un error del 24,1% (1 punto).

Lo mismo ha ocurrido en el ejemplo siguiente. La única

diferencia es que ahora la compensación se realiza al final

(después del cálculo) produciendo un error del 30,3% (0

puntos).

424 × 0,76

Eso [señalando el 0,76]... a 1. Pues igual, lo dejaríamos un poco

menos de 424, 420. (Sujeto 21)


→ Reformulación → Cálculo → Compensación final

424 × 0,76 → 424 × 1 → 424 → 420

Al igual que en el caso anterior, el tamaño de la compensación

es demasiado pequeño4.

El sujeto 21 realiza en la siguiente estimación una

compensación final, equivocando el sentido de la misma. El

procedimiento de aproximación utilizado ha sido el de

sustitución por una potencia de 10 (P10). El porcentaje de

error es de un 21,8% (1 punto).

66 ÷ 0,86


poquito. O sea, lo dejaría en 60. (Sujeto 21)



66 ÷ 0,86 → 66 ÷ 1 → 66 → 60

4 Se ha observado que en algunas ocasiones, a falta de un procedimiento mejor –como podría ser en este caso el uso de la propiedad distributiva-, se realiza una compensación intuitiva, que muchas veces consiste simplemente en un redondeo en el sentido adecuado (como 424 redondeado a 420).



172

En la siguiente estimación, vuelve a darse la situación de

producirse una compensación en el sentido adecuado, pero de

una intensidad insuficiente, dado que sólo se ha disminuido el

resultado de 0,15 a 0,14.

0,47 × 0,26

Eh, 0,47 pongo 0,5 y 0,26 0,3... 0,14. (Sujeto 45)



0,47 × 0,26 → 0,5 × 0,3 → ¿0,15? → 0,14

El error es de un 14,6% (2 puntos) y el sujeto ha escogido

(para hacer la reformulación) el enfoque basado en el redondeo

de ambos números.

3. Reformulación y traducción. En otras estrategias

se combinan los procesos de reformulación y traducción. En

ellas suele haber una mayor riqueza conceptual que se

manifiesta en la abundancia de relaciones que se establecen

(entre las que cabe destacar aquellas que conectan los

decimales con las fracciones). También en estas estrategias

aparecen errores como consecuencia de la aplicación de ideas

equivocadas que tienen los sujetos sobre las operaciones con

decimales y, en particular, sobre el efecto que tiene

multiplicar o dividir un número por un decimal menor que uno.

Un ejemplo de esta situación es el siguiente:

943 ÷ 0,48

Y eso entre la mitad. O sea por la mitad vamos. Novecientos

treinta y cuatro, la mitad, pues... cuatrocientos cincuenta y

algo. (Sujeto 21)



173


→ Reformula-ción

→ Traduc-ción

→ Traduc-ción

→ Reformula-ción

→ Cálculo

943 ÷ 0,48 → 943 ÷ 1/2 → 943 × 1

2 → 943 ÷ 2 → 900 ÷ 2 → 450

El sujeto decide sustituir 0,48 por 1/2 (F). Esta sustitución

le conduce a un proceso de traducción (en el que cambia la

operación de división por la de multiplicación). En esta

primera traducción se encuentra el error. Este error

posiblemente está producido por la mezcla de la idea

equivocada que tienen muchos sujetos de que “la división

siempre disminuye” con la sustitución de 0,48 por ½ (y la

interpretación de ½ como “hacer la mitad”). Así, el proceso

conduce a un error del 77,1% (0 puntos).

En el ejemplo siguiente, el proceso de traducción se da

al realizar una división (65 ÷ 5) en lugar de la

multiplicación inicial (64,6 × 0,16).

64,6 × 0,16


quinto de 64 y un quinto de 64 es 13. (Sujeto 44)


→ Reformulación → Traducción → Reformulación → Cálculo

64,6 × 0,16 → 1

5 de 64 → 64 5 → 65

5 → 13

Dado que 65 es mayor que 64,6 y 1/5 es mayor que 0,16 se

produce una sobrestimación que, en ausencia de un proceso de

compensación, conduce a un error del 25,8% (1 punto). Otra

vez, la destreza de aproximación utilizada ha sido la

sustitución de un decimal por una fracción (F) y después de la

traducción se ha realizado otra reformulación para simplificar



174

el cálculo (sustituyendo el dividendo por un múltiplo del

divisor).

La misma estrategia es utilizada por el sujeto 53 para

producir una estimación para el siguiente cálculo:

0,47 × 0,26

Multiplicar por 0,25, es aproximadamente multiplicar por un

cuarto. Entonces divido 0,47 entre cuatro, pues 0,12. (Sujeto 53)


→ Reformulación → Traducción → Reformulación → Cálculo

0,47 × 0,26 → 0,47 × 1 4 → 0,47

4 → 0,48 4 → 0,12

Como puede verse, se vuelve a repetir el esquema anterior. En

este caso, la primera reformulación lleva implícita una

“compensación intermedia” que no ha sido señalada en el

esquema por no parecer intencionada. Esto hace que el error

haya sido menor (1,8%, 3 puntos). También vuelve a darse tras

la sustitución por una fracción (F) la reformulación con el

uso de “números compatibles”.

También ha habido procesos de estimación, dentro de los

cuales el sujeto hacía una valoración conducente a un cambio

en la estrategia.

66 ÷ 0,86


entre cien y me queda... Bueno, esta me cuesta. Esta multiplico

por... más o menos lo voy a aproximar a 0,9. Entonces 9 por 10-1,

es dividir, entonces esto me quedaría aproximadamente 660 entre 9

y me daría... por 7... 63 pues aproximadamente 70. (Sujeto 53)


→ Traducción → Valoración →

66 ÷ 0,86 → 66 × 85

100 → Difícil →



175

→ Problema de estimación en cálculo

→ Reformulación → Traducción → Reformu-lación

→ Cálculo

→→ 66 ÷ 0,86 → 66 ÷ (9 × 10-1) → 660 9 → 630

9 → 70

En el segundo intento, el sujeto utiliza la sustitución

mediante el uso de exponentes (Exp), lo que supone un proceso

de traducción. Esta sustitución se complementa -como en los

dos casos anteriores- con el uso de números compatibles,

reemplazando 660 por 630 (que es múltiplo de 9). El error es

de un 8,8% (3 puntos).

Otro ejemplo claro de traducción es el siguiente:

943 ÷ 0,48

Y esto es entre aproximadamente, lo aproximo a 0,5, entonces es,

claramente es multiplicar por dos, o sea que... por nueve

dieciocho... 1900. (Sujeto 53)


→ Reformulación → Traducción → Cálculo

943 ÷ 0,48 → 943 ÷ 0,5 → 950 × 2 → 1900

En él se cambia una división por una multiplicación (cambiando

así la estructura matemática del problema). El uso de

fracciones (sustitución de 0,5 por ½) no es explícito pero

parece haber sido el enfoque empleado. La estimación es casi

exacta (error del 3,3%, 3 puntos).

4. Reformulación, traducción y compensación. Sólo

en unos pocos casos se han combinado los tres procesos de

estimación descritos en R. E. Reys y otros (1982) en una misma

estrategia de estimación. En los siguientes ejemplos, tomados

del sujeto 42, se produce una sustitución de un decimal por

una fracción (F) que posteriormente conduce a una traducción

-pues en ambos casos se produce un cambio de operación-.



176

64,6 × 0,16


más, pues... 12 sería mi estimación. (Sujeto 42)


→ Reformula-ción

→ Reformu-lación

→ Traduc-ción

→ Cálculo → Compen-sación

64,6 × 0,16 → 16% de 64 → 1

6 de 64 → 64 6 → ¿10? → 12

943 ÷ 0,48

943 dividido entre... 1750. [Explícalo]. Esto si lo multiplicamos por 0,5 esto dobla, es como si lo multiplicamos por dos. Y esto por dos son... 1900 casi, luego sería un poquito menos 1800 o 1750. (Sujeto 42)


→ Reformulación → Traducción → Cálculo → Compensación

943 ÷ 0,48 → 943 ÷ 0,5 → 950 × 2 → 1900 → 1750

En cuanto a las dos compensaciones finales, hay en ambas un

error en el sentido de las mismas. En el primer caso el error

es de un 16,1% (2 puntos) y en el segundo del 10,9% (2

puntos). En ambos casos, el sujeto hubiera obtenido una

puntuación mejor si se hubiera abstenido de realizar

compensación alguna. De hecho, los procesos de compensación

resultan ser –según indica la revisión de la literatura- los

más complejos y esto hace que muchos individuos eviten

utilizarlos, especialmente cuando tienen poca confianza en su

habilidad de estimar.



177

Conocimiento del efecto que tiene la alteración de

los datos en el resultado de la operación

El objetivo que tenía la segunda fase de la entrevista era que

los sujetos participantes pusieran de manifiesto

explícitamente el conocimiento que tenían sobre el efecto que


operación de multiplicación o división. Tras analizar las

respuestas dadas en esta fase de la entrevista, se han podido

encontrar tres tipos de sujetos, teniendo en cuenta el

conocimiento de los mismos sobre el efecto de la alteración de

los datos en los resultados. A continuación se describen los

resultados encontrados adjuntando ejemplos representativos

tomados de la transcripción de la entrevista (apéndice C).

Cada fragmento de la transcripción comienza con el cálculo que

figuraba en el encabezamiento de la pregunta y termina citando

al sujeto que responde a la misma. Se recuerda que, según se

explica en el capítulo 3, los participantes debían responder

al siguiente tipo de preguntas:

Sin realizar un cálculo exacto, señala la mejor estimación para

72 ÷ 0,025

a) mucho menor que 72

b) un poco menor que 72

c) un poco mayor que 72

d) mucho mayor que 72

Resultado 1.1

Algunos sujetos tienen un conocimiento erróneo sobre el efecto

que produce la alteración de los datos en el resultado de

multiplicaciones y divisiones cuando en éstas intervienen

números decimales menores que uno. Piensan que “la

multiplicación siempre aumenta” y “la división disminuye”.



178

187,5 × 0,06

Un poco mayor. La C. Un poco mayor que 187,5. Por que al

multiplicarlo por... o... no, no mucho... a ver... lo vas a

multiplicar casi por... Ah, no, claro, por que lo multiplicas por

0,06 que no es la mitad, es menos. Entonces yo creo que va a ser

un poco mayor, no mucho mayor.(sujeto 21)

66 ÷ 0,86

Esto va a ser mucho menor que 66 porque lo estás dividiendo por

un número que es más de la mitad, es más que 0,5. Entonces ya le

estás quitando la mitad de 66, con lo cual, y le estás quitando

más de la mitad, con lo cual, va a ser bastante menor.(sujeto 21)

943 ÷ 0,48

Y este va a ser poco menor porque le estás quitando menos de la

mitad. Aunque también es 48 que está muy cerca del 0,5 pero

bueno.(sujeto 21)

Resultado 1.2

Algunos individuos aplican reglas -relativas al efecto que

produce la alteración de los datos en el resultado- de forma

inconsistente, incurriendo en múltiples contradicciones. En

ocasiones, estas contradicciones se producen dentro de una

misma respuesta. A continuación se proponen como ejemplo

varias respuestas del sujeto 41.

187,5 × 0,06

La A. Mucho menor que 187,5. Porque, si divido un número por...

por un número que tiene más decimales, un poco menor. [¿Por

qué?]. Es multiplicar, multiplicar. Pues entonces un poco mayor.

[¿Por qué?]. Porque lo estoy multiplicando por un decimal. No

puede ser mucho más grande. Es un poco mayor. Porque lo

multiplico por cero con uno, más o menos...(sujeto 41)

Aquí elige la opción C. Parece mantener que multiplicar

siempre aumenta, pero si es por un decimal pequeño (cero con

uno, más o menos), el aumento no es muy grande. Sin embargo en

la siguiente respuesta comienza manteniendo lo mismo para



179

posteriormente cambiar a la opción B. Razona su respuesta

argumentando que al multiplicar por un decimal menor que uno

el resultado debe disminuir.

64,6 × 0,16

Y aquí lo mismo. Un poco mayor. Porque es como si lo multiplico

por cero con ... No. Un poco menor porque lo estoy multiplicando

por un número menor que uno. Entonces será un poco menor.(sujeto

41)

En la división, comienza mostrando un conocimiento básicamente

correcto (dividir por un número menor que uno da un resultado

mayor), a pesar de que al inicio parece que va a tomar una

opción equivocada (la A).

66 ÷ 0,86

Es mucho menor. Porque 66 entre 0,8 más o menos. Es un poco mayor

porque si 66 entre uno es a 66, si lo divido entre un número un

poco menor, pues me da un resultado un poco mayor, ¿No?. (sujeto

41)

943 ÷ 0,48

Pues dará aproximadamente... un poco mayor. Porque 943 entre 1

sería 943, entre la mitad, pues sería más. (sujeto 41)

Sin embargo, cuando se trata de dividir un número por otro

mayor (aunque el divisor sea menor que uno) la respuesta

varía. (Obsérvese el cambio de respuesta de la opción D a la

A).

0,76 ÷ 0,89

Mucho mayor que 0,76. Siete entre ocho me da menos que... . Son

0,7 dividido entre 0,8 me da menos que uno. [Entonces, ¿cuál

eliges?] Mucho menor que 0,76. [¿Por qué?]. Por eso, por que si

divides 0,7 entre 0,8 me da menos que... me da menor que uno,

menor que 0,1. (sujeto 41)



180

Este fenómeno consistente en mantener que “la división

aumenta” cuando el divisor es menor que uno, pero disminuye si

el divisor es menor que uno pero mayor que el dividendo, puede

también ser observado en las respuestas del sujeto 2.

66 ÷ 0,86

Mucho mayor que 66. Porque como se divide por un número pequeño,

cuando se divide sale... el resultado es mayor siempre.(sujeto 2)

943 ÷ 0,48

Mucho menor que 943. Ay no, espera. Es una división. No, mucho

mayor que 943. Por lo mismo de antes. Porque cuando se divide por

un pequeño...(sujeto 2)

0,76 ÷ 0,89

Un poco menor que 0,76. Es que si quieres que te diga por qué

propiedad de la Matemática... no te lo puedo decir. Porque este

lo he redondeado a 0,8 para arriba y este para abajo y me da 0,8

entre 0,8 pues a uno. Pues un poco menor.(sujeto 2)

Parece que en estos casos los sujetos no ven la compatibilidad

entre el hecho de que el resultado de la división debe ser

mayor que el dividendo (por ser el divisor menor que uno) y

además debe ser menor que uno (por ser el divisor mayor que el

dividendo).

Resultado 1.3

Hay sujetos que demuestran conocer perfectamente el efecto de

la alteración de los datos en el resultado. Sus respuestas

pusieron de manifiesto que conocían bien el efecto relativo de

las operaciones y que eran capaces de cambiar, con gran

flexibilidad, entre distintos tipos de números (decimal,

fracción, porcentaje, exponentes) para facilitar los cálculos,

destreza con la que muestran tener un buen sentido numérico.



181

187,5 × 0,06

Mucho menor que 187,5. Porque multiplicar por un número que es

menor que uno, siempre saldrá el resultado menor.(sujeto 44)

0,76 ÷ 0,89

Un poco menor que 0,76... Un poco mayor que 0,76 porque divide

entre un número menor que uno.(sujeto 44)

187,5 × 0,06

187,5 × 0,06 pues va a ser un número realmente pequeño. Es mucho

menor que 187,5. Porque esto es el 6% de 187,5. Se quedaría en...

no sé cuánto te he dicho antes. Diez o algo así. (sujeto 42)

64,6 × 0,16

Sería el 16% de 64 que se quedaría en... Mucho menor, mucho

menor. La A también cogería. (sujeto 42)

424 × 0,76

Si multiplico por uno... Un poco menor que 424. Sería la B.

Porque esto es el 76% de 424. Entonces va a ser una cuarta parte

menos.(sujeto 42)

64,6 × 0,16

La primera también. Porque aproximadamente es dividir entre

cinco. Es multiplicar por un quinto y a medida en que el cinco se

empieza a ... va a ser mucho menor. (sujeto 53)

424 × 0,76

Aquí un poco menor. La B. Porque estás multiplicando por tres

cuartos. Entonces va a ser un poco menor pero tampoco... (sujeto

53)

0,47 × 0,26

Pues, la A. Es que es aproximadamente la mitad. Entonces mucho

menor que 0,26. (sujeto 53)

943 ÷ 0,48

La D. Porque estás dividiendo entre 0,5 aproximadamente un medio

y es multiplicar casi por dos. (sujeto 53)



182

0,76 ÷ 0,89

La C. Un poquito mayor que 0,76 pero tampoco mucho. Porque

divides entre... aproximo 0,89 a 9 por 10-1, entonces 10-1 sube

arriba por 10. Te queda 7,6 entre 8, pues un poquito más grande

que... [inaudible]. (sujeto 53)


alteración de los datos en el resultado en las


En este apartado, el objetivo es tratar de contrastar las

informaciones obtenidas en los dos puntos precedentes. Así, ya

se conocen las estrategias utilizadas por los sujetos para

producir sus estimaciones. También se sabe cuál es el

conocimiento que tienen los mismos sobre el efecto que tiene

la alteración de los datos en el resultado de una operación.

Queda por saber qué relación existe entre el conocimiento que

tienen los sujetos sobre el efecto que tiene la alteración de

los datos en el resultado y las estrategias de estimación que

emplean. Para ello deben compararse las respuestas de los

sujetos en ambas fases de la entrevista.

Para ilustrar los resultados expuestos a continuación, se

utilizarán ejemplos tomados de la transcripción de la

entrevista. En los ejemplos aparece la estimación dada por el

sujeto, con la explicación dada por el mismo del procedimiento

utilizado para producir la estimación. A continuación se añade

la respuesta de los sujetos a la pregunta (correspondiente a

la estimación dada) que se hace para evaluar el conocimiento

del sujeto sobre el efecto que tiene la alteración de los

datos en el resultado.

Los resultados hallados han sido los siguientes:

Resultado 2.1. Algunos sujetos demostraron (en la segunda

parte de la entrevista) tener un conocimiento inadecuado sobre

el efecto que tiene la alteración de los datos en el resultado



183

de una operación. De ellos, varios dieron (en la primera parte

de la entrevista) estimaciones erróneas, en concordancia con

este conocimiento inadecuado. Sin embargo, en muy pocos casos

se ha podido establecer que fuera la falta de un conocimiento

adecuado sobre el efecto de la alteración de los datos en el

resultado la causante de los errores al producir las

estimaciones.

Resultado 2.2. Algunos sujetos utilizaron, para producir

sus estimaciones, el conocimiento que tenían sobre el efecto

que tiene la alteración de los datos en el resultado de la

operación. Este conocimiento se puso de manifiesto en los

informes verbales de los sujetos (al explicar la estrategia

que habían utilizado para dar la estimación).

Resultado 2.3. Algunos sujetos, que demostraron -en la

segunda fase de la entrevista- tener un buen conocimiento


resultado de una operación, no utilizaron este conocimiento en

la producción de sus estimaciones. Esto se puso de manifiesto

al dar –en la primera fase de la entrevista- estimaciones

incompatibles con el conocimiento que demostrarían después

tener sobre el efecto de la alteración de los datos en el

resultado.

Resultado 2.1

Conocimiento inadecuado sobre el efecto que tiene la

alteración de los datos en el resultado y producción de

estimaciones erróneas, en concordancia con este conocimiento

inadecuado.

187,5 × 0,06

Pues 187, o sea, sabemos que por cero sería cero. Entonces lo que

hacemos es aproximar esta cantidad, el 0,06, lo ponemos en 0,5 o

a 1, pero bueno, sería mucho. A 0,5 y entonces multiplicamos y no

sé, lo que nos dé. ¿Lo estimo?. Sí, sí. Tienes que dar una



184

estimación5. 300. He multiplicado por 0,5 entonces sería por la

mitad más o menos. 187, la mitad... el doble, perdón. El doble de

187 sería... pues de 100, 200 pero al ser 87, mucho más, 300.

187,5 × 0,06

Un poco mayor. La C. Un poco mayor que 187,5. Porque al


multiplicar casi por... Ah, no, claro, por que lo multiplicas por

0,06 que no es la mitad, es menos. Entonces yo creo que va a ser

un poco mayor, no mucho mayor.(sujeto 21)

64,6 × 0,16

Pues éste lo pondría 0,16 pues a 0,2 que es menos del doble.

Entonces pues sería 64, el doble de 64 sería 128, un poco menos,

110 o 100. Por ahí.(sujeto 21)

64,6 × 0,16

Este va a ser también... No, este va a ser mucho mayor porque ya

es 16, mucho mayor.(sujeto 21)

Este sujeto está utilizando la relación “0,5 = ½”. Utilizar de

forma apropiada esta relación para producir una estimación

supone, utilizando la estrategia “fracciones”, que:

a) Dividir un número por 0,5 es lo mismo que calcular el doble

de dicho número.

b) Multiplicar un número por 0,5 es lo mismo que calcular la

mitad de dicho número.

El sujeto, al dar estas estimaciones, aplica la regla al

revés. Para multiplicar un número por 0,5 calcula el doble del

número. Posiblemente este cambio se deba a que el sujeto

espera un resultado mayor que 187,5 y por esta razón opta por

hacer el doble en vez de la mitad.

En las preguntas que figuran después de las estimaciones el

sujeto sostiene explícitamente que al multiplicar por un

número decimal el resultado debe hacerse mayor. El sujeto

5 El texto que aparece en cursiva en la trascripción corresponde a aclaraciones hechas por el entrevistador durante la entrevista.



185

sigue tomando 0,5 = ½ como referencia. Si multiplicamos por

0,06 (menor que ½) el resultado se hace mayor, pero no mucho

mayor. En el segundo ítem, cambia de referencia. En vez de

tomar esta vez como referencia ½ (0,16 es menor que ½) toma

como referencia el 0,06 del apartado anterior: Si multiplicar

por 0,06 aumenta un poco, por 0,16 debe aumentar mucho.

66 ÷ 0,86


poquito. O sea, lo dejaría en 60.(sujeto 21)

66 ÷ 0,86

Esto va a ser mucho menor que 66 porque lo estás dividiendo por

un número que es más de la mitad, es más que 0,5. Entonces ya le

estás quitando la mitad de 66, con lo cual, y le estás quitando

más de la mitad, con lo cual, va a ser bastante menor.(sujeto 21)

943 ÷ 0,48

Y eso entre la mitad. O sea, por la mitad, vamos. Novecientos


algo.(sujeto 21)

943 ÷ 0,48

Y este va a ser poco menor porque le estás quitando menos de la

mitad. Aunque también es 48, que está muy cerca del 0,5, pero

bueno.(sujeto 21)

Este sujeto parece ver la división como equivalente a

“quitar”. Dividir por un número decimal menor que uno va a

consistir en quitar una parte de la cantidad de partida. Si

dividimos por un número mayor que 0,5 le quitamos al número

más de la mitad. Si dividimos por un número menor que 0,5 le

quitamos al número menos de la mitad. Aquí el sujeto está

mostrando tener un error de concepto sobre la división. En

efecto, la división puede considerarse como una resta sucesiva

y preguntarnos cuántas veces podemos quitar 0,48 de 943 pero

el sujeto está interpretando la operación como si fuera



186

943 − 0,48 × 943 (quitarle al número un poco menos de la mitad

del mismo). Esta forma de considerar la división podría tener

su origen en una mezcla de la interpretación de la división

como resta sucesiva y la expresión del decimal 0,5 como

fracción (1/2) que el sujeto interpreta como “la mitad”.

Al dar una estimación para el cálculo 66 ÷ 0,86,el sujeto

utiliza su interpretación particular de la división como resta

y el conocimiento de que 66 ÷ 1 = 66 para dar esta estimación

intuitiva de 60. El sujeto ha realizado una compensación en su

estimación, equivocándose en el sentido que debe dar a la

compensación, debido a un conocimiento inadecuado sobre el


una división. Lo mismo ocurre en el ejemplo siguiente:

66 ÷ 0,86

Unos 58. Porque si 63 entre uno, 66 entre uno más o menos son 66,

por un número menor...(sujeto 41)

El sujeto se equivoca en la compensación al disminuir el

resultado (de 66 a 58) en vez de aumentarlo, debido a un

conocimiento inadecuado del efecto que tiene la alteración de

los datos en el resultado.

Resultado 2.2

Sujetos que utilizan, para producir sus estimaciones, el

conocimiento que tienen sobre el efecto que tiene la

alteración de los datos en el resultado de la operación.

424 × 0,76

Es unos... 300. Porque si 424 lo multiplico por un número menor

que uno, o sea 0,7 aproximadamente, pues... me tiene que dar un

número menor. ¿No?.(sujeto 41)

66 ÷ 0,86





187


casi... esto... 75. (sujeto 42)

0,76 ÷ 0,89

0,76 dividido... No cambiaría. Si lo multiplicamos por... uno, o

sea, dividimos entre uno, esto [señalando el 0,76] no cambiaría

pero es un poquito menos luego esto [sigue señalando el 0,76] va

a aumentar. 0,9. (sujeto 42)

66 ÷ 0,86

Unos 74. Porque dividir entre 0,86 es como... en lugar de quitar

números, añades. Añades, porque divides entre una unidad menor

que uno. (sujeto 44)

En todos estos casos se ha sustituido un número cercano a uno

por uno para, a continuación, realizar una compensación de

tipo intuitivo (sin realizar un calculo) en la que se ha

utilizado un conocimiento adecuado sobre el efecto de la

alteración de los datos sobre el resultado. El uso de este

conocimiento se pone de manifiesto al hacer los sujetos

mención explícita del mismo en su informe verbal.

Resultado 2.3 Sujetos que tienen un buen conocimiento sobre el efecto que

tiene la alteración de los datos en el resultado de una

operación pero no utilizan este conocimiento en la producción

de sus estimaciones.

187,5 × 0,06

1870. He redondeado este [señalando el 0,06] a 0,1 y luego lo que

he hecho es multiplicar. (sujeto 2)

187,5 × 0,06

Es menor. Mucho menor que 187. Porque cuando haces una

multiplicación o sea cuando multiplicas con cero coma cero

siempre el resultado es menor. (sujeto 2)



188

64,6 × 0,16

1250. Lo mismo. Redondeando este [señalando el 0,16] a 0,2 y

multiplicando el 2 por el 64. (sujeto 2)

64,6 × 0,16

Este. Mucho menor que 64,6. No he hecho la operación pero vamos,

este es el 10%, mas o menos 0,2 el 20% entonces he hecho el 20%.

Se puede decir que es, mas o menos. (sujeto 2)

943 ÷ 0,48

470. Este lo redondeas a 0,50, la mitad y lo he dividido por un

medio. (sujeto 2)

943 ÷ 0,48

Mucho menor que 943. Ay no, espera. Es una división. No, mucho

mayor que 943. Por lo mismo de antes. Porque cuando se divide por

un pequeño... (sujeto 2)

En estos casos se produce una clara contradicción entre las

estimaciones producidas y el conocimiento sobre el efecto de

la alteración de los datos sobre una operación. Este

conocimiento es correcto pero no se aplica en la producción o

en la evaluación de la razonabilidad de las estimaciones.


Capítulo 6

Conclusiones e implicaciones

En este último capítulo se exponen las conclusiones e

implicaciones de la investigación. Las conclusiones están

divididas en dos partes: las correspondientes al estudio

cuantitativo y las que se han obtenido como resultado del

análisis de las entrevistas, de tipo cualitativo. A

continuación, se desarrolla el apartado dedicado a las

limitaciones del estudio, en el que se da una especial

atención a la prueba que se ha utilizado, haciendo una

valoración de la misma y de su forma de administración con

respecto a los objetivos del trabajo y proponiendo posibles

mejoras para la elaboración de pruebas futuras. Para

finalizar, se citan las implicaciones para la enseñanza y para

la investigación y se proponen varias sugerencias y una

posible vía para continuar la investigación en el futuro,

abordando otros aspectos de la problemática que se plantea

como resultado de este estudio, que no han sido tratados en el

mismo.

Conclusiones del estudio cuantitativo

Influencia del factor “tipo de operación”

Como pudo verse en el capítulo 4, al estudiar los efectos

principales en el análisis de varianza, los ítems de

multiplicación han obtenido una puntuación media superior (de

1.236 por 1.121 para los ítems de división), pero la

diferencia es muy pequeña y no resulta significativa

(p = 0,124). Sin embargo, debe recordarse que, a pesar de que

-en promedio- las puntuaciones para los ítems de



190

multiplicación y de división eran muy parecidas, el estudio

sobre la interacción permitía matizar que esta igualdad no se

daba a través de todos los niveles del factor “tipo de

número”. La puntuación media para la división era mucho mayor

que para la multiplicación cuando se operaban números

decimales mayores que uno, y menor cuando aparecían decimales

menores que uno.

De acuerdo a estos resultados, debe destacarse que en

este trabajo ha sido fundamental estudiar la interacción entre

las variables “tipo de operación” y “tipo de número” para

poder valorar cuál es la dificultad relativa de las tareas de

estimación en función del tipo de operación (de multiplicación

o de división) que aparece en ellas.

Si se comparan los resultados obtenidos en este trabajo

con los de otros precedentes, se observa que, en el de

Rubenstein (1985a), las tareas de estimación con divisiones

resultaron más difíciles que aquéllas en las que había

multiplicaciones mientras que, en el estudio de Bestgen y

otros (1980), no hubo diferencias significativas entre estos

dos tipos de tareas. Rubenstein interpreta que la diferencia

puede deberse a que en el primer trabajo participaron alumnos

de octavo grado y, en el segundo, maestros en formación. En

este estudio, los resultados se parecen más a los obtenidos

por Bestgen y otros (1980). Sin embargo, debe advertirse que

resulta difícil establecer comparaciones entre estos

resultados debido a que, en este trabajo, se ha hecho una

distinción fundamental –que no existe en los otros- entre

números decimales mayores y menores que uno y, además, se ha

otorgado un papel primordial al estudio de la interacción

entre las variables.

El hecho de que en esta investigación se haya mostrado

que el estudio de la interacción entre las variables “tipo de

operación” y “tipo de número” puede facilitar información de

interés para valorar la dificultad de las tareas de estimación



191

en función del tipo de operación que aparece en ellas, es de

vital importancia. En efecto, hace que la explicación de que

las diferencias encontradas en los trabajos de Bestgen y otros

(1980) y Rubenstein (1985a) se deben a la diferencia de edad

entre los sujetos participantes, deje de resultar

completamente satisfactoria. Este es uno de los puntos

conflictivos que queda pendiente de aclaración para futuras

investigaciones.

Influencia del factor “tipo de número”

Según se indicó en el capítulo 3, la hipótesis principal de la

investigación consistía en afirmar que las tareas de

estimación de productos y divisiones en las que aparecen

números decimales menores que uno son más difíciles que

aquéllas en las que aparecen números naturales o números

decimales mayores que uno.

Esta hipótesis ha sido claramente confirmada por los

resultados que se han presentado en el capítulo 4. Según los

mismos, la media de las puntuaciones correspondientes a los

ítems con números decimales menores que uno ha resultado ser

significativamente inferior a la correspondiente a los ítems

con números decimales mayores que uno y a la de los ítems con

números naturales. Sin embargo, no se han encontrado

diferencias significativas entre los ítems con números

naturales y aquellos que tienen números decimales mayores que

uno.

Esta que se acaba de exponer, ha supuesto quizá la

aportación más importante del estudio. En efecto, según se

exponía en el capítulo 2, al revisar los antecedentes del

problema, había una discordancia entre los resultados

obtenidos en los trabajos de Bestgen y otros (1980) y

Rubenstein (1985a), y el de Goodman (1991) con respecto a la

dificultad relativa de las tareas de estimación en función del

tipo de número (natural o decimal) que aparecía en ellas. En



192

los dos primeros trabajos se llegaba a la conclusión de que

resultaba más difícil estimar con decimales que con números

naturales mientras que, en el estudio de Goodman (1991), no se

encontraba diferencia significativa de dificultad entre estos

dos tipos de ítems. Esto condujo a elaborar la hipótesis

principal de la investigación, tras comprobar que en el

estudio de Goodman (1991) –al contrario que en los otros dos-

no aparecían en la prueba de estimación ítems con números

decimales menores que uno.

De este modo, ha resultado fundamental hacer la

distinción –dentro de los números decimales- entre los números

mayores y los menores que uno. Esto no se había hecho en las

investigaciones antes citadas y permite relacionar los

resultados que se han encontrado en este trabajo con los

procedentes con otras áreas de investigación en Didáctica de

las Matemáticas. Por ejemplo, con la resolución de problemas

de estructura multiplicativa, en la que también se han

encontrado ideas equivocadas sobre las operaciones de

multiplicación y división cuando aparecían en las mismas

números decimales menores que uno.

Conclusiones sobre la variable “tiempo de respuesta”

La forma de administrar el tiempo de respuesta en la prueba de

estimación ha sido distinta a la empleada en otros trabajos.

Se recuerda que en la prueba de estimación se “limitó”

indirectamente el tiempo de respuesta permitiendo a los

sujetos que emplearan el tiempo que quisieran para responder a

cada ítem pero advirtiéndoles de que su rapidez de cálculo

sería tenida en cuenta en la evaluación de la prueba1. Tanto en

los estudios de correlación presentados en el capítulo 4, como

en el análisis de varianza, con la variable “tiempo de

respuesta” como variable dependiente (que figura en el

1 Pueden consultarse detalles sobre las indicaciones concretas dadas a los participantes en las páginas 107-108.



193

apéndice B), se ha podido comprobar que esta forma de

administrar el tiempo de respuesta no ha influido en los

resultados obtenidos en la investigación.

Cabe reseñar, sin embargo, como aspecto muy positivo para

el análisis de los datos, que de un total de 1060 tareas de

estimación propuestas, no ha habido ni una sola tarea dejada

sin respuesta por los sujetos participantes. Garantizar que

esta situación no se dé, cuando se impone un límite en el

tiempo disponible para responder a cada ítem del test (o al

total de los ítems de la prueba), es casi imposible2. Por otra

parte, si no se impone ningún tipo de limitación al tiempo de

respuesta los alumnos tienden a realizar cálculos exactos mas

que a estimar, con lo que disminuye la validez de la prueba

como instrumento para medir la habilidad de estimar.

Clasificación de los sujetos participantes

Una de las aportaciones del presente trabajo a la metodología

empleada en las investigaciones sobre estimación en cálculo es

la utilización que se hace en el mismo del análisis de

conglomerados (análisis cluster), para clasificar a los

participantes en el estudio según su habilidad de estimación

con distintos tipos de números. Así, gracias al uso de esta

técnica, se ha podido localizar un grupo formado por 10

sujetos (de un total de 53) con una habilidad media-alta de

estimación con números naturales, pero que tenían serias

dificultades para realizar estimaciones con números decimales

(mayores o menores que uno). También se ha detectado un grupo3

(formado por 6 sujetos) con una habilidad alta para estimar

2 Cuando el sujeto no tiene tiempo para responder debido a una limitación del tiempo de respuesta se producen los valores “missing” que son “valores omitidos o puntuaciones de las que no dispone el investigador [cuya presencia constituye] una amenaza a la validez de conclusión estadística porque produce grupos no equilibrados (diferente número de sujetos en los grupos) e incrementa los efectos derivados de la violación de los supuestos del modelo estadístico” (Balluerka, 1999, p. 58). 3 Véase la descripción más detallada de estos dos grupos de sujetos (cluster 4 y cluster 3) en las páginas 148 y 149.



194

con números decimales mayores que uno pero con grandes

dificultades para realizar estimaciones con números decimales

menores que uno.

Hay que señalar que, en la amplia revisión realizada de

investigaciones sobre estimación, no se ha encontrado ninguna

en la que se haya utilizado este tipo de análisis para

clasificar a los sujetos participantes. El uso del análisis de

conglomerados ha demostrado ser una técnica de gran interés,

tanto con finalidades descriptivas, como para seleccionar

sujetos que cumplan determinadas condiciones para la

realización, en investigaciones futuras, de entrevistas o

estudios de casos.

Conclusiones del estudio cualitativo

Uso de procesos y estrategias de estimación

Los sujetos participantes en el estudio han utilizado los tres

procesos generales de estimación (reformulación, traducción y

compensación) descritos en el trabajo de R. E. Reys y otros

(1982).

Los procesos de reformulación se han dado asociados con

distintas técnicas de aproximación, las cuales pueden ser

consideradas como variantes del redondeo (como el redondeo de

ambos números, el redondeo de uno de los dos números, o el uso

de potencias de 10). Algunos alumnos han cometido errores en

los procesos de reformulación al no ser capaces de coordinar

adecuadamente las reglas de las operaciones con números

decimales con las del redondeo.

Los procesos de traducción se han puesto de manifiesto al

sustituir números por expresiones con exponentes, pero también

al sustituir decimales por fracciones. Este último tipo de

sustitución suele vincularse a los procesos de reformulación.

Una de las conclusiones a las que se ha llegado en este

trabajo es que el tipo de sustitución que se hace de los datos



195

no determina por completo el proceso de estimación empleado.

En efecto, una vez sustituido el número decimal (dato inicial)

por una fracción, debe examinarse si el modo en que se opera

con la fracción obtenida supone (o no) un cambio en la

estructura matemática del problema4. Sólo entonces se podrá

decidir si se está ante un proceso de reformulación o uno de

traducción. Para hacer este tipo de consideraciones, ha

resultado de vital importancia asumir un modelo para las

estrategias de estimación como el propuesto en Segovia y otros

(1989).

Dentro de los procesos de traducción se han producido

errores debidos a la presencia en los sujetos de ideas

equivocadas sobre las operaciones. Por ejemplo, un error

habitual ha sido la sustitución de la división de un número

por ½ por “hacer la mitad de dicho número”. En este caso,

parece que la idea equivocada de que “la división siempre

disminuye” conduce al error cometido en el cálculo.

Por otra parte, los participantes han utilizado tanto la

compensación intermedia como la compensación final. Cabe

destacar también la existencia de sujetos que han evitado

sistemáticamente realizar cualquier tipo de compensación,

posiblemente por la dificultad de este tipo de procesos o por

falta de confianza en su habilidad de estimar. Además, se han

detectado dos tipos de errores en los procesos de

compensación: errores en el sentido en el que se realiza la

compensación, y errores en la “intensidad” de la misma. En los

errores de sentido se pone de manifiesto que los sujetos

tienen un conocimiento inadecuado sobre el efecto que produce

la alteración de los datos en el resultado de una operación.

Estos resultados concuerdan con los de otras investigaciones

en las que se señala que los procesos de compensación resultan

ser los más complicados. Esto se debe a que son los que exigen 4 El que haya (o no) un cambio en la estructura matemática del problema dependerá de si se produce un cambio en el orden en que se realizan las operaciones o en el tipo de operación realizada.



196

mayor reflexión5 y tener un buen sentido numérico que se

manifieste en la aplicación correcta del conocimiento de las

propiedades de las operaciones.

El uso de estrategias6 de estimación ha sido muy variado.

En un extremo pueden situarse las estrategias más sencillas,

consistentes básicamente en un proceso de reformulación

mediante alguna variante del redondeo. En el otro extremo, se

encuentra el empleo de estrategias más sofisticadas, en las

que se han utilizado los tres procesos de estimación

(reformulación, traducción y compensación) junto con destrezas

de aproximación más complejas que el redondeo (como la

sustitución de un decimal por una fracción o el uso de

exponentes).

Algunos sujetos, en especial los de baja habilidad en

estimación, en lugar de emplear los procesos característicos

de la estimación, han utilizado procedimientos propios del

cálculo escrito para producir sus “estimaciones”. Así, se ha

considerado la imitación (mental) del algoritmo escrito como

un enfoque -para las tareas de estimación- en el que no se da

ninguno de los procesos de reformulación, traducción o

compensación. En este trabajo se ha considerado7 que tal manera

de proceder refleja una ausencia del conocimiento de los

procesos y estrategias propios de la estimación8.

5 Se recuerda que algunos autores como Schoen y otros (1987) sugieren que ciertos enfoques de la estimación –como la reformulación mediante el redondeo- pueden “ser enseñados y aprendidos la mayor parte de las veces como procedimientos memorísticos sin ninguna conexión con la comprensión de conceptos” (p. 4). 6 Como se ha dicho en capítulos anteriores, en este trabajo se consideran las estrategias como “plan general de actuación” (Segovia y otros, 1989, p. 148) que engloba destrezas de aproximación, procesos de estimación, algoritmos de cálculo mental y la valoración del resultado. 7 Siguiendo el enfoque sobre estrategias de estimación de Segovia y otros (1989). 8 Al contrario que otros autores como Levine (1982) que considera la “imitación del algoritmo escrito” como estrategia de estimación.



197

Conocimiento del efecto de la alteración de los datos

en el resultado de una operación

Al analizar las respuestas de los sujetos a la segunda fase de

la entrevista, se llegaba a los siguientes resultados:

1. Algunos sujetos tienen un conocimiento erróneo sobre el

efecto que produce la alteración de los datos en el resultado

de multiplicaciones y divisiones cuando en éstas intervienen

números decimales menores que uno. Piensan que “la

multiplicación siempre aumenta” y “la división disminuye”.

2. Algunos individuos aplican reglas relativas al efecto que

produce la alteración de los datos en el resultado de forma

inconsistente, incurriendo en múltiples contradicciones.

3. Hay sujetos que demuestran conocer perfectamente el efecto

de la alteración de los datos en el resultado.

El primer resultado coincide con los de otras

investigaciones -cuyos hallazgos han sido presentados en la

revisión de la literatura- como las de Tirosh y Graeber

(1989), Tirosh y Graeber (1990), Tirosh y Graeber (1991) y

Thipkong y Davis (1991). En todas ellas se ha encontrado que

algunos maestros en formación tienen ideas equivocadas sobre

la multiplicación y la división por números decimales menores

que uno. Estas ideas equivocadas suelen ponerse de manifiesto

en tareas relacionadas con la resolución de problemas, pero

también –como en los trabajos de Tirosh y Graeber (1989),

Tirosh y Graeber (1990) y en el presente estudio- se

manifiestan en afirmaciones explícitas hechas por los alumnos

sobre el efecto de multiplicar o dividir un número por un

decimal menor que uno.

Quizá lo más novedoso haya sido la constatación de la

existencia de sujetos que aplican reglas, relativas al efecto

que produce la alteración de los datos en el resultado, de

forma inconsistente. Las inconsistencias9 en el pensamiento de

9 Tirosh y Graeber, Behr y Harel, Vinner, y Tirosh, tratan el fenómeno de la presencia de inconsistencias en el pensamiento matemático en un número



198

los sujetos se detectan cuando “a partir de dos proposiciones

que una persona cree ciertas, se puede obtener una

contradicción” (Vinner, 1990, p. 85). Este autor cree que las

inconsistencias pueden ser causadas por la compartimentación

del conocimiento, con la cual se refiere a “situaciones en las

cuales dos piezas de conocimiento deberían estar conectadas en

los procesos de pensamiento de una persona y, sin embargo,

permanecen desconectadas” (p. 92).


alteración de los datos en el resultado y las


Al comparar las respuestas dadas por los participantes en las

dos fases de la entrevista, se llegaba –en el capítulo 5- a

los siguientes resultados:

Resultado 1. Algunos sujetos demostraron (en la segunda

parte de la entrevista) tener un conocimiento inadecuado sobre

el efecto que tiene la alteración de los datos en el resultado

de una operación. De ellos, varios dieron (en la primera parte

de la entrevista) estimaciones erróneas, en concordancia con

este conocimiento inadecuado.

Resultado 2. Algunos sujetos utilizaron, para producir

sus estimaciones, el conocimiento que tenían sobre el efecto

que tiene la alteración de los datos en el resultado de la

operación. Este conocimiento se puso de manifiesto en los

informes verbales de los sujetos (al explicar la estrategia

que habían utilizado para dar la estimación).

Resultado 3. Algunos sujetos, que demostraron -en la

segunda fase de la entrevista- tener un buen conocimiento


resultado de una operación, no utilizaron este conocimiento en especial de la revista “Focus on Learning Problems in Mathematics” (1990, vol. 12, números 3 y 4), dedicado a estudiar la naturaleza de las inconsistencias dentro del pensamiento matemático de los alumnos y el papel de las inconsistencias en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.



199

la producción de sus estimaciones. Esto se puso de manifiesto

al dar –en la primera fase de la entrevista- estimaciones

incompatibles con el conocimiento que demostrarían después

tener sobre el efecto de la alteración de los datos en el

resultado.

El resultado 1 admite una justificación que viene a

explicar las “soluciones” que dan los sujetos a situaciones en

las que perciben un conflicto. Behr y Harel (1990) parten del

trabajo de Brown y Van Lehn (1982)10 al afirmar que algunos

alumnos “inventan un nuevo procedimiento o subprocedimiento”

(p. 76) -cuya aplicación suele conducir a errores- con el fin

de que la solución sea compatible con la regla intuitiva que

conocen.

En esta situación parecen estar los sujetos que sostienen

explícitamente que la “división disminuye”, cuando producen

estimaciones no razonables compatibles con sus ideas

equivocadas sobre las operaciones. Por ejemplo, el sujeto 21,

cuando se le pide que dé una estimación para el cálculo

943 ÷ 0,48 dice: “entre la mitad. O sea, por la mitad, vamos.

Novecientos treinta y cuatro, la mitad, pues... cuatrocientos

cincuenta y algo”. Después, cuando se le pide que justifique

–sin realizar ninguna operación- si el resultado de la

operación 943 ÷ 0,48 debe ser mayor o menor que 943, dice: “va

a ser poco menor porque le estás quitando menos de la mitad”.

Así, vemos como el sujeto interpreta la división como el

resultado de “quitar” y de acuerdo con esto, debe ser cierto

que “la división siempre disminuye”. Esto le conduce a

reinterpretar la división por ½ como “hacer la mitad”, con el

fin de que el resultado obtenido sea compatible con su idea

equivocada sobre la división.

10 Brown y Van Lehn (1982) señalan que los errores cometidos por los alumnos al resolver problemas suelen estar producidos por un intento, por parte de los alumnos, de “adaptar” una regla o un procedimiento que conocen con el fin de resolver un conflicto resultante de la incompatibilidad entre el conocimiento que tienen y las restricciones impuestas por el problema.



200

El resultado 3 ha constituido un hallazgo novedoso que ha

venido a confirmar una de las hipótesis principales del

presente trabajo. Como se recordará, la hipótesis 3 del

estudio se planteaba en los siguientes términos:

3. Otra de las causas de la mayor dificultad de las tareas de

estimación con decimales menores que uno es que, aunque algunos

sujetos tienen un conocimiento adecuado del efecto que tiene

multiplicar o dividir un número por otro número menor que uno, no

utilizan este conocimiento en la producción de sus estimaciones

(por ejemplo, para evaluar la razonabilidad de las mismas).

En este caso, como ya se ha explicado, el conocimiento que

tienen los sujetos sobre el efecto que tiene multiplicar o

dividir un número por un decimal menor que uno no ejerce la

función de “control ejecutivo” descrita por Hiebert y Lefevre

(1986). Nos encontramos, como en el apartado anterior, ante

otra situación en la que se produce una inconsistencia debida

a la compartimentación del conocimiento del sujeto. Así, éste

tiene un conocimiento adecuado sobre el efecto de multiplicar

y dividir por un decimal menor que uno. Este conocimiento

debería intervenir en el proceso de producir una estimación

para un cálculo en el que aparece un decimal menor que uno,

pero esta intervención no se produce, lo que da lugar a la

inconsistencia.

Limitaciones de la investigación

Dentro del apartado dedicado a plantear cuáles han sido las

limitaciones del presente estudio, se ha optado por realizar

un repaso sobre aquéllas relacionadas con el diseño de la

investigación. Dentro del apartado de “sugerencias para

futuras investigaciones” se añaden algunas cuestiones que

pueden ser también consideradas como “limitaciones” como, por

ejemplo, haber dejado fuera del estudio el análisis de los



201

errores. Dentro de las limitaciones que atañen al diseño, se

pone un especial énfasis en las concernientes al instrumento

utilizado. Estas limitaciones pueden entenderse también como

sugerencias para la continuación del trabajo, según se

advierte más adelante.

Los sujetos

En este estudio se ha utilizado una muestra dirigida11 (no

probabilística).

Instrumentos

La prueba de estimación. En este trabajo se ha

utilizado el test de Levine (1980). Uno de los inconvenientes

que tiene esta prueba es la falta de un tipo de ítem que puede

influir de forma determinante en los resultados: las

divisiones de un número por otro mayor12. Este tipo de

situaciones de división podrían crear algún conflicto ya que,

junto con las multiplicaciones y divisiones por números

menores que uno, resultan las más difíciles de conceptualizar

(Morgan 1989, p. 16).

Otra cuestión que convendría valorar concierne al número

de cifras decimales. En el test de Levine (1980) las cifras

decimales se limitan a dos. Como ya se advirtió, en la

revisión de la literatura sobre números decimales, Brousseau

(1983) afirma que el número de decimales suele limitarse a dos

como resultado de la identificación que se realiza entre los

11 Este tipo de muestras presenta serias desventajas frente a las muestras probabilísticas. Como señalan Hernández, Fernández y Baptista (1998) al valorar las muestras dirigidas: “Las pruebas estadísticas en muestras no probabilísticas tienen un valor limitado y relativo a la muestra en sí, mas no a la población. Es decir, los datos no pueden generalizarse a una población que no se consideró ni en sus parámetros, ni en sus elementos para obtener la muestra”. (p. 226) 12 El único ítem que aparece en el test de Levine (1980) con estas características es 0,76 ÷ 0,86. Sin embargo, no hay ítems con el dividendo menor que el divisor con números naturales o decimales mayores que uno.



202

decimales y las medidas (como por ejemplo en los precios

expresados en dólares, francos o euros). Thipkong y Davis

(1991) afirman que los maestros en formación resuelven mejor

tareas en las que aparecen decimales familiares (como 0.25,

0.5, 0.75 o 1.25) que otras similares en las que aparecen

números decimales que no resultan familiares (como 1.05, 2.52

o 0.67). La aparición de un tercer decimal puede tener

influencia al convertir un decimal familiar en no-familiar.

Por ejemplo, podría haber sujetos que sustituyeran 0,25 por ¼

para realizar una estimación y, sin embargo, no hicieran lo

mismo con 0,257.

En cuanto a la administración de la prueba de estimación,

hay que advertir que todos los participantes respondieron a

los 20 ítems en el mismo orden (el orden en que aparecen en el

test de Levine (1980)). Tal como indican Pardo y San Martín

(1999, p. 352) “En estos diseños13, el orden de administración

de las JK14 combinaciones entre tratamientos es aleatorizado

independientemente para cada uno de los sujetos”. El hecho de

no haber aleatorizado el orden de administración de los ítems

del test ha podido tener efectos negativos en los resultados.

León y Montero (1999) citan varios de estos efectos15 que

constituyen “variables extrañas que amenazan la validez

interna de los diseños intra-sujeto” (p. 164) e “influyen en

la variable dependiente y distorsionan la atribución de

causalidad de la independiente sobre la dependiente” (p. 166).

Entre estos efectos, los autores citan el efecto de

aprendizaje, el de la fatiga, el de la motivación, el de la

práctica y el de persistencia.

Al analizar las estimaciones dadas por los sujetos al

realizar el test, pueden encontrarse situaciones en las que

evidentemente se ha producido alguno de estos efectos. Por 13 Refiriéndose al análisis de varianza de dos factores, de efectos fijos, con medidas repetidas. 14 J y K son los números de niveles de los dos factores del diseño. 15 Pascual, Frías y García (1996, p. 138) y Balluerka (1999, pp. 69, 70, 93 y 94) tratan también estos efectos y sus posibles remedios.



203

ejemplo, León y Montero (1999, p. 189) definen el efecto de

persistencia como el “Efecto de un nivel de la variable

independiente que no se ha extinguido por completo cuando se

aplica al siguiente nivel de la variable y se enmascara con

este”. Este efecto puede contemplarse en la situación descrita

a continuación. El sujeto 15 dio una estimación de 270000 para

el cálculo 9208 ÷ 32. Cuando hizo esto, acababa de dar

estimaciones para 10 operaciones de multiplicar y empezaba con

la primera división. El resultado dado como estimación indica

que el sujeto tomó la división por una multiplicación y aplicó

la estrategia de “truncamiento” sustituyendo 9208 × 32 por

9000 × 30. Este es un ejemplo claro del efecto de

persistencia, dado que al aplicar el segundo nivel de la

variable “tipo de operación” (correspondiente a la división),

el sujeto todavía se encuentra bajo el efecto del nivel

aplicado anteriormente (multiplicación).

En cuanto al efecto de la fatiga y al de motivación, debe

decirse que el tiempo medio empleado por los sujetos

participantes para completar la prueba de estimación ha sido

de 8,53 minutos y solamente 4 sujetos (de los 53) han pasado

de los 15 minutos. Este resultado puede valorarse teniendo en

cuenta las indicaciones de Reys (1986) sobre la duración

“ideal” de una prueba de estimación:

Probablemente el tiempo total del test no debería exceder los 10

o 15 minutos. La limitación del tiempo para cada ítem garantiza

un ritmo rápido que requiere altos niveles de atención y

concentración. Estos factores producen fatiga con mucha rapidez,

de modo que es esencial mantener corto el tiempo total del test.

(p. 232)

A pesar de que se pueda considerar apropiada la duración total

de la prueba a fin de que no se produzca fatiga o decaiga la



204

motivación, esto no hace que quede neutralizado el efecto de

la práctica16.

Para resolver el problema que puede producir la presencia

de este efecto indeseado de la práctica, se recomiendan varias

técnicas: el control mediante aleatorización de los órdenes,

el reequilibrado y el diseño de cuadrado latino. Para un

estudio como este, la estrategia más adecuada sería la

aleatorización por bloques17.

Implicaciones para la enseñanza

En cuanto a las implicaciones de este trabajo para la

formación inicial de los maestros, es importante que los

maestros reciban enseñanza sobre estimación en cálculo. Se

debe advertir, sin embargo, que los procesos de estimación −al

igual que otros muchos contenidos en Matemáticas− también

pueden ser aprendidos y enseñados de forma mecánica y

desconectada del conocimiento conceptual. Esto debe conducir a

diseñar cuidadosamente las experiencias de aprendizaje

adecuadas para que la enseñanza de la estimación produzca un

incremento en el conocimiento conceptual del alumno y en su

sentido numérico. De modo más general, debería procurarse en

la formación de los maestros que el tipo de enseñanza que 16 León y Montero (1999, p. 189) dicen del efecto de la práctica que “en los diseños intra-sujetos se da asociado al orden en que se presenta un nivel, independientemente de qué nivel se trate. Se controla con un orden adecuado en la presentación de los niveles de la variable independiente”. Estos mismos autores advierten: “Supongamos que hemos tomado todas las precauciones necesarias para que el sujeto no aprenda de una aplicación a otra, para que la longitud total del experimento no cause fatiga y para que se mantenga un adecuado nivel de motivación. Luego no existe ninguna amenaza a la validez interna de nuestro experimento. Incorrecto. Aunque hayamos tomado todas las precauciones citadas para controlar las mencionadas amenazas es imposible eliminar por completo los efectos debidos a la práctica inherente a la resolución de varias tareas”. (p. 166,167) 17 León y Montero (1999) explican cómo se lleva a cabo este procedimiento: “Este procedimiento conlleva la aplicación de tres pasos secuenciados: 1. Crear un bloque con tantas casillas como niveles de la variable independiente se hayan tomado; 2. Aleatorizar el orden de colocación de cada nivel dentro de las casillas del bloque; y 3. Generar, mediante este procedimiento, tantos bloques como repeticiones de las tareas experimentales vayamos a introducir en el experimento”. (p. 172)



205

reciben suponga un aumento en su comprensión18 de los distintos

contenidos matemáticos.

En lo que toca al problema de las dificultades que se

presentan en las operaciones en el paso de los números

naturales a los decimales, se suscribe la opinión de Graeber

(1993), cuando afirma que la causa principal se encuentra en

el dominio del modelo de suma repetida para la multiplicación

y el de reparto para la división. Esta autora recomienda la

utilización del modelo de área para la multiplicación y el

modelo de medida para la división. Asimismo, propone la

realización de otros tipos de actividades para superar estas

dificultades. Éstas podrían consistir en la exploración y

búsqueda de patrones con calculadoras que trabajan con

fracciones y números mixtos o la introducción sistemática de

problemas que conduzcan a cálculos sencillos con fracciones

que puedan ser resueltos mediante el uso de materiales

manipulativos o representaciones gráficas.

A estas orientaciones se debe añadir la necesidad de

estudiar de manera explícita el efecto que produce la

alteración de los datos en el resultado de una operación.

Para concluir, en la formación de maestros debe ponerse

un especial énfasis en que los alumnos conozcan las

dificultades y obstáculos que se producen en el aprendizaje de

las Matemáticas, los distintos modelos que conocemos para las

operaciones, las representaciones más adecuadas para cada

concepto y los materiales didácticos más adecuados para la

enseñanza de los diferentes contenidos. Este tipo de

conocimientos −de dificultades, representaciones, modelos,

recursos didácticos− que Rico (1997) llama “organizadores del

currículo de Matemáticas”, constituyen un componente

fundamental del conocimiento profesional del educador

matemático.

18 Puede examinarse qué se entiende en este trabajo por un enfoque de este tipo en Fennema y Romberg (1999) y en Hiebert et al. (1997).



206

Implicaciones para la investigación y sugerencias

para investigaciones futuras

Como aportación de la investigación para la teoría, se ha

encontrado que el análisis del conocimiento que tienen los

individuos del efecto que produce la alteración de los datos

en el resultado de las operaciones es clave para comprender

algunas de las dificultades que se producen al realizar tareas

de estimación en las que aparecen números decimales menores

que uno. Una ausencia del conocimiento (o del uso del mismo)

del efecto de la alteración de los datos en el resultado,

conduce a errores en los procesos de compensación y a la

producción de estimaciones no razonables.

Sin embargo, hay que destacar que el conocimiento del

efecto de la alteración de los datos en el resultado no es la

única causa de las dificultades y los errores que se producen

en las tareas de estimación con números decimales menores que

uno. En este sentido, la perspectiva adoptada en este estudio

debe ampliarse con las indicaciones hechas por Gómez (1995):

Muchos estudiantes construyen mal sus concepciones relacionadas

con el cálculo aritmético, de una manera que no se debe tanto a

conceptos mal desarrollados... como a fallos en el dominio,

significación, y comprensión de las reglas de los algoritmos

estándar, una comprensión pobre del efecto que las alteraciones

en los datos produce en los resultados, y un débil reconocimiento

de los conceptos, leyes, y principios que rigen la operatoria.(p.

243)

Otros factores también identificados por Gómez (1995, p. 243)

que pueden influir en los errores de los alumnos en las tareas

de estimación con números decimales serían:

- Dependencia y por tanto anclaje, en los algoritmos de columnas.



207

- Vinculación de las reglas para operar la coma decimal a los

algoritmos de columnas, en vez de al carácter de los propios

números decimales.

- No reconocimiento de la función de los órdenes de unidad de las

cifras en el cálculo.

- Falta de valoración de la razonabilidad de los resultados.

(p. 243)

Con todo esto, una continuación de este trabajo de

investigación que aspirara a dar una explicación más completa

de la mayor dificultad de las tareas de estimación con números

decimales menores que uno o que intente estudiar de forma

exhaustiva las causas de las dificultades y errores de los

maestros en formación en este tipo de tareas requeriría:

a) Replantear los aspectos metodológicos de este trabajo

tomando en cuenta las limitaciones de los mismos que se han

expuesto en este capítulo.

b) Analizar y clasificar los errores que cometen los sujetos

al realizar este tipo de tareas de estimación. Para ello

deberían revisarse previamente trabajos sobre errores en

Matemáticas como los de Rico (1995), Brousseau (1997), Ashlock

(1998) y Bachelard (1999).

c) Estudiar la comprensión que tienen los maestros sobre los

números decimales y las operaciones con los mismos.

Por otra parte, la consideración conjunta de los

resultados que se han obtenido en este trabajo, con las

aportaciones de otros –como el de Gómez (1995)- o los trabajos

sobre errores que se han citado, podrían conducir a

plantearnos problemas de investigación como el enunciado a

continuación:

¿Puede una intervención en la enseñanza, orientada al

desarrollo de la comprensión y del sentido numérico, producir

una disminución en el número de errores cometidos por los



208

alumnos en tareas de estimación en las que aparecen números

decimales menores que uno19?

El planteamiento de esta cuestión podría favorecer la

inclusión, dentro de la problemática tratada, del análisis de

errores y de la evaluación de la comprensión que tienen los

alumnos sobre los decimales y las operaciones con los mismos.

Éstos pueden ser factores que faciliten la clarificación de

las causas de las dificultades de los alumnos en la estimación

con números decimales menores que uno.

19 Un problema de similares características a éste es el planteado en el trabajo de Markovits y Sowder (1994). El objetivo del mismo fue evaluar la efectividad de un programa de enseñanza diseñado para favorecer el desarrollo del sentido numérico en alumnos de séptimo grado. Uno de los resultados que se obtuvo fue que se produjo una disminución en los errores en tareas de estimación de productos y divisiones con decimales menores que uno. Realizar un estudio de estas características con maestros en formación constituiría una réplica del trabajo de Markovits y Sowder que contribuiría a buscar una generalización de los resultados obtenidos por estas autoras.


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Apéndice A

Resultados de la prueba de

estimación: descripción del archivo

de datos

En este apéndice se incluye la descripción del archivo1 de

datos que se ha utilizado para realizar la parte cuantitativa

del estudio, cuyos resultados se exponen en el capítulo 4 y en

el apéndice B. En la tabla A.1 figuran los resultados

completos de la prueba de estimación administrada a los

participantes en la investigación. Dicha tabla tiene 54 filas

y 61 columnas y está dividida en 4 partes, cada una de las

cuales se presenta en una página distinta (de la página 213 a

la 216). La primera columna de la tabla ha sido repetida en

cada parte de la tabla con el fin de facilitar la lectura de

la misma. En la primera fila de la tabla aparecen los nombres

de las variables utilizadas para los análisis estadísticos.

Muchas de las variables del archivo tienen un carácter

auxiliar o han sido definidas para realizar los análisis

estadísticos complementarios –del apéndice b- y, por tanto, no

se ha hecho ninguna referencia a ellas en el capítulo 3 –en el

que se definían las variables, dentro del diseño de la

investigación-. En consecuencia, parece necesario que una

descripción de las variables preceda a la presentación de la

tabla.

1 Los distintos análisis estadísticos se han realizado con el paquete estadístico SPSS para Windows (versión 9.0.1).



228

Variables del archivo

sujeto. Contiene el número de lista de cada sujeto

participante en el estudio.

E1. Contiene las estimaciones realizadas, por los 53 sujetos

participantes, correspondientes al ítem 1 de la prueba. Dado

que la prueba de estimación consta de 20 ítems, hay otras 19

variables (E2, E3... E20) análogas a la variable E1.

ítem1. Contiene las puntuaciones obtenidas, por los 53

sujetos participantes, correspondientes al ítem 1 de la

prueba. Se recuerda que esta puntuación puede ser de cero a

tres puntos. Dado que la prueba de estimación consta de 20

ítems, hay otras 19 variables (ítem2, ítem3... ítem20)

análogas a la variable ítem1.

natural. Contiene la media aritmética de las puntuaciones

correspondientes a los ítems en los que aparecen solamente

números naturales.

dmayor1. Contiene la media aritmética de las puntuaciones

correspondientes a los ítems en los que aparecen números

decimales mayores que uno (pero no decimales menores que uno).

dmenor1. Contiene la media aritmética de las puntuaciones

correspondientes a los ítems en los que aparecen decimales

menores que uno.

dec. Contiene la media aritmética de las puntuaciones

correspondientes a los ítems en los que aparecen números

decimales.

mpunts(Puntuación media del sujeto). Contiene la media

aritmética de las puntuaciones correspondientes a todos los

ítems de la prueba.

xnatural. Contiene la media aritmética de las puntuaciones

correspondientes a los ítems de multiplicación en los que

aparecen solamente números naturales.

xdmayor1. Contiene la media aritmética de las puntuaciones


Apéndice A


229

aparecen números decimales mayores que uno (pero no decimales

menores que uno).

xdmenor1. Contiene la media aritmética de las puntuaciones



dnatural. Contiene la media aritmética de las puntuaciones

correspondientes a los ítems de división en los que aparecen

solamente números naturales.

ddmayor1. Contiene la media aritmética de las puntuaciones


números decimales mayores que uno (pero no decimales menores

que uno).

ddmenor1. Contiene la media aritmética de las puntuaciones


decimales menores que uno.

multipli. Contiene la media aritmética de las puntuaciones

correspondientes a los ítems de multiplicación.

división. Contiene la media aritmética de las puntuaciones

correspondientes a los ítems de división.

tiempi1. Contiene el tiempo de respuesta empleado, por cada

uno de los 53 sujetos participantes, en responder al ítem 1

de la prueba. El tiempo de respuesta está expresado en

segundos. Dado que la prueba de estimación consta de 20 ítems,

hay otras 19 variables (tiempi2, tiempi3... tiempi20) análogas

a la variable tiempi1.

txnat. Contiene la media aritmética de los tiempos de

respuesta correspondientes a los ítems de multiplicación en

los que aparecen solamente números naturales.

txdmay1. Contiene la media aritmética de los tiempos de


los que aparecen números decimales mayores que uno (pero no

decimales menores que uno).



230

txdmen1. Contiene la media aritmética de los tiempos de


los que aparecen decimales menores que uno.

tdnat. Contiene la media aritmética de los tiempos de

respuesta correspondientes a los ítems de división en los que

aparecen solamente números naturales.

tddmay1. Contiene la media aritmética de los tiempos de


aparecen números decimales mayores que uno (pero no decimales

menores que uno).

tddmen1. Contiene la media aritmética de los tiempos de



Apéndice A


231

Tabla A.1 Datos del archivo Sujeto E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 1 1110,0 1813 2350 6250 1123 345,1 0,36 0,675 132,24 0,5431 2 62200,0 17700 4000 23850 60000 20500,2 3100 323 120,2 0,12 3 7200,0 1700 42000 24600 3 24000 12 200 120 0,8 4 63000,0 18000 5620 17400 15 25200 0,12 36 1265 0,1425 5 735,0 1985 650 2465 15,25 2542,1 32,15 325 1,25 1,21 6 6500,0 1800 6000 24000 19 25000 13 336 140 0,15 7 5600,0 900 4500 1600 180 25000 63 420 23 0,2 8 6764,0 1754 60100 18700 0,124 25,24 0,125 0,321 0,12 0,541 9 6784,0 18000 40000 27000 0,12 25000 1,2 3,5 1300 0,15 10 6700,0 1800 12000 16000 1 20000 0,65 0,67 110 0,2 11 800,0 1900 450 2100 50 900 20 300 110 0,15 12 7200,0 1800 5600 24000 58 25000 12 424 110 0,8 13 6750,0 1800 6000 24000 12 25000 13 320 143 0,125 14 7200,0 186 600 24000 19 25000 14 320 143 0,15 15 7200,0 1800 6000 20000 0 25000 6,8 320 133 0,15 16 7200,0 1800 6000 24000 12 25000 12 32 130 0,15 17 690,0 1750 4500 17000 4,2 241 0,64 125 1,2 0,8 18 630,0 930 434 1680 90 220 18 270 0,55 0,17 19 7200,0 2000 6000 16000 12 2500 6 400 144 0,5 20 720,0 1800 5600 16480 187,7 25000 65,13 500 120,5 1 21 6764 18000 1400 16000 1256 2500 70,5 500 21,5 1,5 22 7200 1800 6000 24000 12 24100 12,8 300 143 0,15 23 5350 1860 5800 23720 18,1 48510 3,2 2,5 1225 0,8 24 72000 18000 4500 24000 9,2 80 50 300 48,6 0,12 25 7200 1800 60000 240000 120,02 250000 130,25 320000 450000 1500 26 56 180 600 2400 0,3 100 0,25 0,33 0,13 0,19 27 632 124 5600 24900 30000 250000 130000 336000 1350 1500 28 6764 1800 40000 16000 10000 40000 70 300 120 0,5 29 750 1860 4350 1600 6 51 128,2 450 124 0,104 30 6400 1800 45000 17000 75,1 25000 128,45 300,65 2100 1500 31 4600 1000 13000 17000 2,5 2000 2,5 2,5 130 0,36 32 7200 1800 6200 2400 45 8000 125 60 143 0,15 33 5600 1800 700 24000 12 25000 36 280 144 0,15 34 7600 10100 7800 25000 1,9 50 13,5 29 1,4 0,8 35 7800 1500 4500 19000 10 24000 8 290 130 8 36 670 190 430 1000 33333 2500 30 50 121 0,15 37 570 950 3300 16500 12 2500 10 106 144 1 38 720 181 680 1824 121,85 898,25 458,2 545,3 132,5 0,789 39 63000 1900 60000 24000 3300 9 15,5 400 126 0,13 40 7860 1800 1600 1850 165 25000 45 750 1450,12 0,8 41 4900 1800 15000 17000 0,03 25000,2 0,019 0,28 12024 0,125 42 6800 1800 5500 23000 1,8 24000 6,4 324 130 0,1 43 6900 19000 40000 17000 6,489 21,6 90 2800 1200 0,85 44 6821 1800 55861 20000 0,3 24211 8 321 126 0,12 45 1600 1800 650 2750 17,5 420,5 130,6 650 136,4 1,32 46 6764 1800 750 16500 0,2 2000 53 350 130 0,8 47 57000 1800 400 24000 330 25000 64,6 424 130 0,08 48 5400 1800 6000 24000 33333 2500 0 2800 111 0,13 49 5874 1025 4756 18724 10,452 257856,2 8,2145 305,24 135,26 0,984 50 5800 1300 4500 16500 18,75 25000 6,5 300 140 0,8 51 6300 1800 6000 16000 18 25000 12 300 121 8 52 6300 1620 4500 24000 33333 25000 0 200 132 0,13 53 7000 1800 64000 17000 10 25000 12 320 130 0,1



232

sujeto E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 1 315,0 4611 15513 4235,0 6548,2 116,53 1475896,16 0,5432 0,0 0,5432 2 212,0 303 142 372,0 21 1,2 1,5 55 460,0 0,64 3 300,0 20 150 450,0 34 16 17 300 536,0 0,72 4 301,0 281 162 4243,0 35,2 21,5 18,3 0,56 0,3 0,7 5 315,0 235 552 4500,0 34 125 17 33,2 425,0 0,72 6 3000,0 240 170 9000,0 33 190 500 6,4 475,0 0,6 7 750,0 200 200 2000,0 800 7000 700 67 2500,0 1 8 300,0 21 174 420,0 35,2 19,8 142 675 1845,0 0,62 9 300,0 200 175 400,0 300 18 215 0,08 0,2 0,1 10 300,0 200 250 3540,0 300 80 5 48 75,0 49,5 11 90,0 50 400 150,0 30 3 700 68 1500,0 1 12 300,0 220 150 2400,0 569 20 120 60 450,0 0,09 13 300,0 250 160 500,0 34 20 100 70000 2000,0 0,8 14 300,0 250 120 400,0 32 18 17 40 480,0 0,15 15 270000,0 250 160 3600,0 30 16 20 72 1880,0 85 16 300,0 200 40 1800,0 35 20 180 36 200,0 0,72 17 300,0 230 300 5000,0 32 200 700 66 500,0 0,54 18 333,0 229 159 4259,0 1200 1023 3000 130 1800,0 0,588 19 33,0 200 200 144,0 30 20 1500 66 2000,0 1 20 325,0 46 141 400,0 325 55 630 54 93,0 0,8 21 6500,0 45 3500 15000,0 231,25 125,5 12,5 60 42,0 0,2 22 300,0 300 1600 400,0 33 15 20 70 1900,0 8 23 3680,0 23220 1571 5485,0 45,2 4 54,254 68,5 1826,0 0,18 24 300,0 200 140 500,0 24,2 19,2 140,2 0,45 0,3 0,01 25 300,0 250 160 350,0 60 1 1800 1 1,8 0,72 26 300,0 500 1,56 45,0 35,5 3,5 10 550 2,5 0,54 27 300,0 2500 1600 5000,0 2000 182 17000 75,5 19000,0 0,8 28 300,0 200 160 400,0 320 160 170 33 450,0 1 29 365,0 200 3434 508,0 215 18 125 63 32100,0 0,7 30 100,0 240 165 5000,0 30 15 20 0,74 45,0 0,06 31 320,0 450 1080 50000,0 50 80 200 224 2,5 2,5 32 300,0 250 160 4230,0 3 10 200 80 2000,0 9 33 300,0 200 48 400,0 30 20 18 48 200,0 0,64 34 30,0 1200 1900 4500,0 230 150 75 86 3600,0 560 35 190,0 230 150 300,0 28 12 140 50 500,0 0,8 36 300,0 300 4000 14000,0 160 20 200 6 460,0 0,54 37 300,0 230 150 425,0 32,5 30 190 60 470,0 1 38 256,0 230 358 500,0 3,25 125,3 254,21 1230,1 5412,0 0,21 39 300,0 23 150 3000,0 30 60 200 800 4500,0 0,8 40 300,0 2520 1850 36500,0 356,2 150 235 80 500,0 0,16 41 300,0 200 589 2540,0 3 15 1292 10 450,0 1,2 42 300,0 230 400 500,0 32,4 20 20 90 1890,0 1 43 300,0 30 130 400,0 30 18 19 0,84 0,3 0,25 44 290,0 248 169 460,0 137 14 19 72,5 193,0 0,9 45 542,0 250 134 350,0 2,3 12,5 3,6 9,5 135,0 12 46 300,0 2175 3500 15000,0 150 200 700 110 1800,0 0,9 47 200,0 200 20 300,0 12 10 190 66 500,0 1 48 3000,0 230 1600 400,0 30 200 129 1 460,0 0,6 49 254,0 234 145 364,0 26 12 18 75 235,0 0,92 50 390,0 430 150 4800,0 30 16 15 0,84 190,0 0,57 51 300,0 200 160 500,0 30 20 20 80 1900,0 1,5 52 300,0 300 1600 5000,0 30 15 20 66 500,0 0,76 53 30,0 25 120 410,0 30 16 17 70 1900,0 0,9

Apéndice A


233

suje

to

ítem

1

ítem

2

ítem

3

ítem

4

ítem

5

ítem

6

ítem

7

ítem

8

ítem

9

ítem

10

ítem

11

ítem

12

ítem

13

ítem

14

ítem

15

ítem

16

ítem

17

ítem

18

ítem

19

ítem

20

1 0 3 0 0 0 0 0 0 3 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 2 0 2 0 3 2 3 1 2 3 3 1 0 0 1 0 1 3 3 3 0 2 0 3 2 0 2 0 3 0 3 2 2 3 3 0 0 2 4 0 0 3 2 0 3 0 0 0 2 3 3 3 0 1 0 3 0 0 2 5 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 3 3 0 0 2 0 3 0 0 2 6 3 3 2 2 0 3 1 3 3 1 0 3 2 0 2 0 0 0 0 1 7 2 0 2 0 0 3 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 1 2 8 3 3 0 2 0 0 0 0 0 0 3 0 2 3 1 1 0 0 3 1 9 3 0 0 1 0 3 0 0 0 1 3 1 2 3 0 2 0 0 0 0 10 3 3 0 1 0 2 0 0 1 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 2 0 0 0 0 0 3 1 1 0 0 0 0 3 0 0 2 1 2 12 3 3 3 2 0 3 2 0 1 0 3 2 3 0 0 1 0 1 0 0 13 3 3 2 2 3 3 1 3 3 3 3 3 3 1 2 1 0 0 3 3 14 3 0 0 2 0 3 0 3 3 1 3 3 1 3 2 2 3 0 0 0 15 3 3 2 3 0 3 0 3 3 1 0 3 3 0 3 3 2 3 3 0 16 3 3 2 2 3 3 2 0 3 1 3 1 0 0 1 1 0 0 0 2 17 0 3 2 1 0 0 0 0 0 0 3 2 0 0 2 0 0 2 0 0 18 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 3 0 0 0 0 0 3 0 19 3 2 2 1 3 0 0 1 3 0 0 1 1 0 3 1 0 2 3 2 20 0 3 3 1 0 3 0 0 2 0 2 0 3 3 0 0 0 1 0 3 21 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 22 3 3 2 2 3 3 1 3 3 1 3 2 0 3 2 3 2 3 3 0 23 1 2 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 0 24 0 0 2 2 2 0 0 3 0 3 3 1 3 1 2 2 0 0 0 0 25 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 2 0 0 0 0 0 2 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 27 0 0 3 2 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 3 0 3 28 3 3 0 1 0 0 0 3 2 0 3 1 3 3 0 0 0 0 0 2 29 0 2 2 0 0 0 0 0 2 2 1 1 0 1 0 2 0 2 0 2 30 3 3 0 1 0 3 0 3 0 0 0 3 3 0 3 3 2 0 0 0 31 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 32 3 3 2 0 0 0 0 0 3 1 3 3 3 0 0 0 0 3 3 0 33 2 3 0 2 3 3 0 2 3 1 3 1 0 3 3 1 3 0 0 1 34 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 35 2 2 2 2 2 3 1 2 3 0 0 2 3 1 3 1 0 0 0 3 36 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 3 2 0 0 0 1 0 0 0 0 37 0 0 0 1 3 0 3 0 3 0 3 2 3 3 2 0 0 1 0 2 38 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 2 2 0 1 0 0 0 0 0 0 39 0 2 0 2 0 0 0 1 2 3 3 0 3 0 3 0 0 0 0 3 40 2 3 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 3 0 0 41 1 3 0 1 0 3 0 0 0 3 3 1 0 0 0 3 0 0 0 0 42 3 3 3 3 0 3 0 3 3 2 3 2 0 1 2 1 2 2 3 2 43 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 2 3 3 2 3 0 0 0 44 3 3 0 3 0 3 1 3 2 3 3 3 3 2 0 2 3 3 0 3 45 0 3 0 0 0 0 0 0 3 0 0 3 2 2 0 1 0 0 0 0 46 3 3 0 1 0 0 0 3 3 0 3 0 0 0 0 0 0 0 3 3 47 0 3 0 2 0 3 0 0 3 0 0 1 0 1 0 0 0 2 0 2 48 1 3 2 2 0 0 0 0 1 3 0 2 0 3 3 0 0 0 0 1 49 2 0 2 2 3 0 1 3 3 0 2 3 3 3 2 1 3 3 0 3 50 2 1 2 1 0 3 0 3 3 0 0 0 3 0 3 3 2 0 0 0 51 3 3 2 1 0 3 2 3 2 0 3 1 3 1 3 1 2 3 3 0 52 3 3 2 2 0 3 0 0 3 3 3 2 0 0 3 3 2 2 0 2 53 3 3 0 1 2 3 2 3 3 2 0 0 1 3 3 3 3 3 3 3



234

Suje

to

natu

ral

dmay

or1

dmen

or1

dec

mpun

ts

xnat

ural

xdma

yor1

xdme

nor1

dnat

ural

ddma

yor1

ddme

nor1

mult

ipli

divi

sión

Tiem

pi1

Tiem

pi2

Tiem

pi3

1 ,75 ,75 ,00 ,25 ,45 ,75 1,50 ,00 ,75 ,00 ,00 ,75 ,25 50,73 29,73 56,16 2 1,50 1,17 1,08 1,08 1,25 ,75 2,00 1,50 2,25 ,33 ,67 1,42 1,08 23,44 19,44 32,76 3 2,00 2,58 ,58 1,42 1,65 2,00 2,50 ,50 2,00 2,67 ,67 1,67 1,78 32,26 17,94 25,90 4 1,75 1,42 ,58 ,92 1,25 1,25 1,50 ,50 2,25 1,33 ,67 1,08 1,42 38,90 10,77 44,63 5 1,00 ,83 ,71 ,83 ,90 ,50 ,00 ,75 1,50 1,67 ,67 ,42 1,28 11,40 18,57 15,48 6 1,88 1,83 ,79 1,17 1,45 2,50 3,00 1,25 1,25 ,67 ,33 2,25 ,75 13,97 9,49 23,48 7 ,75 ,75 ,83 ,67 ,70 1,00 1,50 ,00 ,50 ,00 1,67 ,83 ,72 11,24 8,34 15,11 8 2,00 ,33 ,67 ,50 1,10 2,00 ,00 ,00 2,00 ,67 1,33 ,67 1,33 8,13 22,92 21,84 9 1,63 1,08 ,13 ,50 ,95 1,00 1,50 ,25 2,25 ,67 ,00 ,92 ,97 7,40 7,62 11,11 10 1,38 ,75 ,00 ,25 ,70 1,75 1,50 ,00 1,00 ,00 ,00 1,08 ,33 11,02 17,92 31,42 11 ,25 ,75 1,33 1,08 ,75 ,50 ,50 1,00 ,00 1,00 1,67 ,67 ,89 14,87 12,93 13,50 12 2,38 1,17 ,42 ,67 1,35 2,75 2,00 ,50 2,00 ,33 ,33 1,75 ,89 6,29 20,43 20,31 13 2,50 2,00 2,25 2,08 2,25 2,50 3,00 2,50 2,50 1,00 2,00 2,67 1,83 54,58 10,91 14,43 14 1,88 2,67 ,50 1,42 1,60 1,25 3,00 1,00 2,50 2,33 ,00 1,75 1,61 7,91 8,48 15,06 15 2,13 2,83 1,50 2,00 2,05 2,75 3,00 1,00 1,50 2,67 2,00 2,25 2,06 9,49 10,82 15,38 16 1,75 1,83 1,08 1,33 1,50 2,50 3,00 1,50 1,00 ,67 ,67 2,33 ,78 9,11 7,89 17,84 17 1,38 ,33 ,33 ,33 ,75 1,50 ,00 ,00 1,25 ,67 ,67 ,50 ,86 27,29 22,09 20,18 18 ,88 ,00 ,75 ,42 ,60 ,00 ,00 ,50 1,75 ,00 1,00 ,17 ,92 71,85 11,82 19,54 19 1,25 1,42 1,67 1,50 1,40 2,00 1,50 1,00 ,50 1,33 2,33 1,50 1,39 11,97 6,07 31,59 20 1,88 1,25 ,67 ,75 1,20 1,75 2,50 ,00 2,00 ,00 1,33 1,42 1,11 31,80 37,55 38,86 21 ,50 ,00 ,17 ,08 ,25 1,00 ,00 ,00 ,00 ,00 ,33 ,33 ,11 33,63 10,31 16,06 22 2,25 2,67 2,00 2,25 2,25 2,50 3,00 2,00 2,00 2,33 2,00 2,50 2,11 8,66 9,17 17,62 23 1,00 ,00 ,83 ,42 ,65 2,00 ,00 ,00 ,00 ,00 1,67 ,67 ,56 32,94 15,77 22,89 24 1,50 ,67 1,00 1,00 1,20 1,00 ,00 2,00 2,00 1,33 ,00 1,00 1,11 14,98 10,98 47,85 25 2,13 ,00 ,33 ,17 ,95 1,50 ,00 ,00 2,75 ,00 ,67 ,50 1,14 12,20 11,86 18,63 26 ,38 ,17 ,00 ,08 ,20 ,00 ,00 ,00 ,75 ,33 ,00 ,00 ,36 14,46 12,94 27,50 27 1,00 ,00 1,00 ,50 ,70 1,25 ,00 ,00 ,75 ,00 2,00 ,42 ,92 33,85 14,80 23,40 28 2,13 ,50 ,71 ,58 1,20 1,75 1,00 ,75 2,50 ,00 ,67 1,17 1,06 22,82 16,28 20,49 29 ,88 ,83 ,92 ,83 ,85 1,00 1,00 ,50 ,75 ,67 1,33 ,83 ,92 5,39 19,52 21,36 30 1,63 2,08 ,38 1,17 1,35 1,75 1,50 ,75 1,50 2,67 ,00 1,33 1,39 55,16 18,64 33,11 31 ,38 ,75 ,00 ,25 ,30 ,25 1,50 ,00 ,50 ,00 ,00 ,58 ,17 10,58 9,26 10,19 32 2,13 ,75 1,13 ,83 1,35 2,00 1,50 ,25 2,25 ,00 2,00 1,25 1,42 8,39 7,66 12,50 33 1,75 2,67 ,92 1,67 1,70 1,75 3,00 1,50 1,75 2,33 ,33 2,08 1,47 7,83 13,49 15,55 34 ,50 ,00 ,33 ,17 ,30 1,00 ,00 ,00 ,00 ,00 ,67 ,33 ,22 26,88 47,39 24,07 35 1,75 2,17 1,13 1,50 1,60 2,00 3,00 1,25 1,50 1,33 1,00 2,08 1,28 30,48 19,39 20,77 36 ,63 ,67 ,13 ,33 ,45 ,00 1,00 ,25 1,25 ,33 ,00 ,42 ,53 11,65 12,47 31,54 37 1,50 1,08 1,25 1,17 1,30 ,25 1,50 1,50 2,75 ,67 1,00 1,08 1,47 28,67 23,43 42,16 38 ,63 ,75 ,00 ,25 ,40 ,00 1,50 ,00 1,25 ,00 ,00 ,50 ,42 17,83 17,00 32,74 39 1,25 1,00 1,00 1,00 1,10 1,00 1,00 1,00 1,50 1,00 1,00 1,00 1,17 14,75 11,52 14,64 40 1,00 ,75 ,50 ,50 ,70 1,25 1,50 ,00 ,75 ,00 1,00 ,92 ,58 28,57 21,31 37,42 41 1,13 1,25 ,38 ,75 ,90 1,25 1,50 ,75 1,00 1,00 ,00 1,17 ,67 11,12 9,61 17,88 42 2,25 2,33 1,79 1,92 2,05 3,00 3,00 1,25 1,50 1,67 2,33 2,42 1,83 49,09 10,45 14,24 43 1,50 1,33 ,00 ,67 1,00 1,00 ,00 ,00 2,00 2,67 ,00 ,33 1,56 35,08 35,48 33,47 44 2,50 2,08 1,88 1,92 2,15 2,25 2,50 1,75 2,75 1,67 2,00 2,17 2,14 19,12 12,75 22,16 45 1,25 ,92 ,00 ,33 ,70 ,75 1,50 ,00 1,75 ,33 ,00 ,75 ,69 10,85 15,12 13,19 46 1,25 ,75 1,38 1,00 1,10 1,75 1,50 ,75 ,75 ,00 2,00 1,33 ,92 8,02 25,15 33,00 47 ,88 1,50 ,67 ,83 ,85 1,25 3,00 ,00 ,50 ,00 1,33 1,42 ,61 34,57 9,83 22,73 48 1,63 ,75 ,54 ,67 1,05 2,00 ,50 ,75 1,25 1,00 ,33 1,08 ,86 17,94 15,85 23,76 49 2,13 1,75 1,88 1,83 1,95 1,50 1,50 1,75 2,75 2,00 2,00 1,58 2,25 10,76 9,68 11,24 50 1,13 2,83 ,38 1,42 1,30 1,50 3,00 ,75 ,75 2,67 ,00 1,75 1,14 20,39 64,00 47,53 51 2,13 2,25 1,63 1,83 1,95 2,25 2,50 1,25 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 23,67 7,65 12,37 52 1,88 2,83 1,04 1,75 1,80 2,50 3,00 ,75 1,25 2,67 1,33 2,08 1,75 12,76 42,44 27,03 53 1,38 3,00 2,63 2,75 2,20 1,75 3,00 2,25 1,00 3,00 3,00 2,33 2,33 18,36 14,46 25,57

Apéndice A


235

Suje

to

Tiem

pi4

Tiem

pi5

Tiem

pi6

Tiem

pi7

Tiem

pi8

Tiem

pi9

Tiem

pi10

Tiem

pi11

Tiem

pi12

Tiem

pi13

Tiem

pi14

Tiem

pi15

1 41,05 218,85 291,65 119,23 67,94 74,58 128,74 111,51 40,26 89,65 48,01 24,03 2 20,54 23,95 23,90 18,88 28,01 20,40 17,62 32,33 34,14 18,17 44,36 16,06 3 23,73 16,93 23,86 18,85 17,04 10,05 6,47 14,53 15,32 24,31 43,46 26,47 4 45,49 13,75 28,19 33,27 27,35 20,47 32,16 31,75 31,22 18,85 42,06 24,77 5 16,11 20,93 24,87 21,71 23,10 16,70 16,19 18,33 18,76 25,58 46,41 29,41 6 22,95 30,66 28,02 14,16 45,49 19,26 17,51 8,83 40,85 37,29 20,43 19,91 7 14,83 15,32 11,07 12,78 28,13 8,43 9,07 13,25 14,15 17,65 20,73 9,55 8 16,01 20,18 19,36 29,16 28,68 11,03 13,24 12,44 16,25 25,79 20,22 19,78 9 9,41 11,36 10,26 17,83 20,94 14,16 8,87 6,71 7,87 20,33 11,36 9,85 10 12,53 24,91 25,19 29,03 34,73 11,93 11,43 18,54 21,66 26,01 27,26 31,73 11 13,36 19,56 44,39 11,06 10,78 48,15 14,97 17,89 66,66 16,20 28,50 37,92 12 15,28 24,14 14,84 25,79 13,00 31,22 6,87 12,86 39,92 31,96 26,81 4,75 13 19,33 76,70 18,08 47,87 32,48 35,53 43,87 21,34 14,43 34,29 30,21 44,40 14 24,07 21,56 19,58 26,38 25,47 18,73 13,85 16,35 14,84 28,07 33,49 15,66 15 14,62 23,09 15,95 14,69 18,21 9,35 11,04 14,93 16,81 10,81 23,10 21,32 16 10,46 15,05 10,00 14,14 14,53 16,81 19,91 9,40 10,55 9,84 23,10 13,10 17 21,83 42,20 33,39 19,88 15,03 20,58 21,13 8,83 11,85 26,86 16,34 18,57 18 13,11 13,69 10,54 14,35 15,42 10,36 16,59 30,45 31,46 35,93 27,18 65,56 19 9,48 16,65 18,51 7,35 9,78 12,93 21,10 21,91 19,34 22,19 10,71 17,02 20 185,56 89,74 114,00 98,08 64,94 59,17 31,04 66,53 70,14 76,68 108,96 128,89 21 18,38 24,39 14,09 26,40 10,47 10,85 20,76 13,23 9,82 13,22 22,50 23,23 22 13,42 16,03 17,94 17,52 13,20 18,99 19,36 9,09 17,74 31,37 47,35 20,73 23 54,80 38,47 33,65 13,92 6,54 27,48 12,91 47,88 20,11 42,65 43,26 25,68 24 12,84 23,13 22,58 55,21 15,37 21,98 20,21 32,44 14,18 37,50 22,24 34,37 25 30,63 27,41 22,72 29,43 38,23 41,76 17,80 17,87 13,49 15,85 30,21 21,77 26 20,57 10,88 10,62 24,27 45,38 25,80 9,89 23,49 15,90 22,45 7,75 19,95 27 70,18 19,81 35,48 48,47 35,55 57,38 36,48 27,50 24,93 19,98 20,40 45,89 28 17,52 41,86 35,61 24,98 15,78 13,26 18,01 17,18 17,01 29,15 28,52 21,43 29 16,77 33,03 12,20 18,00 15,65 22,87 23,90 28,46 43,51 11,43 19,02 34,85 30 36,08 55,38 35,63 117,90 72,98 95,55 51,10 14,66 82,63 33,52 57,62 26,90 31 9,42 8,56 15,40 5,62 5,89 11,22 8,55 25,10 11,26 13,61 16,46 10,46 32 12,49 21,93 15,61 19,27 15,40 30,69 10,36 13,12 29,33 24,27 20,05 13,13 33 8,06 6,79 13,38 21,98 11,89 5,79 13,36 7,20 10,57 9,42 14,06 12,39 34 18,85 25,46 18,48 44,93 12,55 38,80 20,20 21,63 45,65 105,32 31,59 55,12 35 21,28 33,77 36,24 25,26 33,27 18,22 18,84 18,51 30,07 26,55 29,32 24,30 36 15,22 21,29 45,44 25,20 51,09 15,16 17,52 20,12 21,57 9,14 20,66 13,18 37 31,62 109,68 41,82 81,07 45,74 54,93 37,47 24,32 63,93 129,77 46,49 71,64 38 19,39 39,62 58,07 54,83 87,58 82,72 57,54 67,92 32,48 21,57 31,57 35,55 39 9,97 10,72 13,61 15,88 30,17 11,26 9,98 15,85 18,74 18,65 15,48 10,43 40 23,44 23,80 16,75 24,17 19,26 24,81 20,50 31,04 25,35 13,33 15,85 38,49 41 16,37 27,69 19,85 30,99 23,14 13,15 19,96 15,25 11,37 14,28 16,62 11,82 42 16,79 21,86 15,55 11,18 12,60 9,35 9,01 14,21 6,41 4,46 11,48 15,26 43 23,58 39,07 33,12 35,96 23,19 16,82 19,11 37,53 20,36 31,13 14,67 16,98 44 34,67 16,62 26,85 25,05 19,62 24,43 12,87 14,37 32,29 31,87 26,64 9,69 45 10,64 32,82 20,00 13,17 31,33 18,84 15,67 25,90 30,34 13,49 26,73 22,45 46 83,66 31,72 21,32 33,42 30,51 20,95 8,99 25,08 22,35 19,59 93,69 27,70 47 10,89 25,77 31,84 11,20 7,21 9,38 21,81 26,56 16,97 43,41 27,31 19,07 48 31,17 37,64 19,97 21,27 33,62 24,52 19,07 29,78 61,31 34,45 43,82 43,13 49 15,38 39,85 30,54 30,88 22,75 21,66 26,10 11,33 23,95 10,65 16,58 13,77 50 27,23 43,27 55,85 15,40 24,60 27,93 26,27 58,80 64,65 96,49 42,13 40,55 51 15,27 19,12 13,76 18,71 13,89 14,33 49,88 19,22 34,11 24,89 28,79 23,06 52 11,53 31,87 22,38 62,35 38,71 25,69 18,97 19,58 32,30 26,40 50,03 31,57 53 24,48 16,74 20,13 15,62 13,94 25,02 24,39 17,72 18,39 26,97 18,95 33,96



236

suje

to

Tiem

pi15

Tiem

pi16

Tiem

pi17

Tiem

pi18

Tiem

pi19

Tiem

pi20

txna

t

Txdm

ay1

Txdm

en1

tdna

t

Tddm

ay1

Tddm

en1

1 45,37 20,85 31,05 8,40 12,19 75,50 44,42 183,12 133,69 72,36 30,08 17,21 2 11,67 17,84 11,26 38,89 14,45 23,41 24,04 22,15 22,12 32,25 15,19 21,53 3 14,67 22,60 29,72 25,38 14,70 21,21 24,96 16,96 14,82 24,41 21,25 23,27 4 12,43 23,23 24,25 25,89 32,05 28,07 34,95 24,33 26,63 30,97 20,14 27,40 5 17,95 16,54 34,07 23,09 10,57 21,29 15,39 20,78 20,48 27,27 21,30 22,58 6 25,34 36,55 32,29 15,64 23,71 24,29 17,47 23,64 26,96 26,85 27,27 23,88 7 13,87 18,22 18,03 21,59 5,42 14,34 12,38 9,75 16,33 16,45 13,88 15,01 8 17,09 10,10 37,79 16,89 20,63 19,38 17,23 15,20 22,82 18,67 15,66 25,10 9 13,26 12,05 20,40 13,81 11,42 12,30 8,88 12,21 14,75 11,57 11,72 15,21 10 24,96 15,51 30,36 25,49 21,20 22,64 18,22 18,56 25,03 23,37 24,07 25,68 11 7,94 24,37 15,35 13,04 12,98 22,22 13,67 46,27 14,09 32,31 23,41 13,79 12 23,54 16,29 8,72 14,64 18,67 18,82 15,58 23,03 17,45 27,89 14,86 14,01 13 35,04 12,97 45,04 28,78 13,03 31,67 24,81 26,81 50,23 25,07 30,80 28,95 14 15,46 30,24 21,94 15,59 30,56 20,16 13,88 19,15 21,82 23,19 20,45 22,70 15 31,81 11,23 9,42 10,65 9,94 15,13 12,58 12,65 16,76 16,41 21,45 10,00 16 11,86 12,14 12,97 29,69 29,42 14,89 11,33 13,40 15,91 13,22 12,37 24,03 17 11,19 18,45 30,88 8,00 13,88 20,42 22,85 26,98 24,56 15,97 16,07 17,59 18 13,87 10,88 14,71 8,34 34,69 23,52 29,08 10,45 15,01 31,25 30,10 19,25 19 28,80 10,55 6,80 9,69 6,09 14,93 14,78 15,72 13,72 18,54 18,79 7,53 20 65,86 66,89 36,67 30,17 30,66 71,61 73,44 86,59 70,95 80,58 87,21 32,50 21 15,33 13,09 18,12 11,75 14,72 17,02 19,60 12,47 20,50 14,69 17,22 14,86 22 15,34 16,03 18,65 19,96 19,43 18,38 12,22 18,47 16,53 26,39 17,37 19,35 23 20,56 43,91 25,74 28,80 16,72 28,73 31,60 30,56 17,96 38,48 30,05 23,75 24 16,13 44,58 22,84 13,18 14,56 24,86 21,66 22,28 28,48 26,59 31,69 16,86 25 16,30 47,60 8,90 22,83 15,99 23,07 18,33 32,24 28,22 19,36 28,56 15,91 26 22,21 17,29 19,45 22,13 16,42 19,47 18,87 18,21 22,61 17,40 19,82 19,33 27 40,97 47,71 27,55 34,45 47,13 35,60 35,56 46,43 35,08 23,20 44,86 36,38 28 26,20 35,31 12,16 8,46 8,86 21,54 19,28 24,43 25,16 22,97 27,65 9,83 29 18,22 26,60 9,78 26,70 18,87 21,31 15,76 17,54 22,64 25,60 26,56 18,45 30 35,49 74,96 22,71 46,01 57,92 51,20 35,75 65,59 74,34 47,11 45,78 42,21 31 10,09 13,36 11,36 12,16 11,15 11,49 9,86 13,31 7,16 16,61 11,30 11,56 32 44,50 19,10 17,55 20,00 13,92 18,46 10,26 23,15 16,74 21,69 25,58 17,16 33 8,25 11,95 8,14 13,32 22,20 11,78 11,23 9,59 13,50 10,31 10,86 14,55 34 28,98 59,44 33,18 34,52 11,75 35,24 29,30 28,64 25,79 51,05 47,85 26,48 35 27,39 29,38 23,74 16,50 27,70 25,55 22,98 27,23 27,78 26,11 27,02 22,65 36 18,09 32,33 32,57 9,29 20,31 22,19 17,72 30,30 28,78 17,87 21,20 20,72 37 67,40 69,96 11,39 28,46 56,92 53,34 31,47 48,38 68,49 66,13 69,67 32,26 38 50,18 39,71 26,18 34,03 15,49 41,10 21,74 70,39 59,89 38,38 41,81 25,23 39 16,35 14,22 18,19 21,47 31,20 16,15 12,72 12,43 16,69 17,18 13,67 23,62 40 20,69 15,01 17,87 27,66 12,97 22,91 27,68 20,78 21,93 21,39 24,73 19,50 41 29,82 21,92 24,35 16,14 8,02 17,97 13,75 16,50 25,45 14,38 21,19 16,17 42 24,97 12,27 9,20 9,79 15,70 14,69 22,64 12,45 13,66 9,14 17,50 11,56 43 41,55 13,46 30,62 28,03 16,68 27,29 31,90 24,97 29,33 25,92 24,00 25,11 44 21,92 18,80 15,81 20,33 7,16 20,65 22,18 25,64 18,54 26,29 16,80 14,43 45 31,95 18,39 56,95 47,32 25,21 24,02 12,45 19,42 23,25 24,12 24,26 43,16 46 24,95 46,95 32,24 20,86 12,21 31,12 37,46 21,13 26,16 40,18 33,20 21,77 47 24,26 31,02 3,83 7,37 5,27 19,52 19,50 20,61 16,50 28,56 24,78 5,49 48 43,46 19,80 16,52 19,06 9,58 28,29 22,18 22,25 27,90 42,34 35,46 15,05 49 10,20 19,26 27,51 22,66 19,11 19,69 11,77 26,10 29,89 15,63 14,41 23,09 50 18,68 28,04 65,12 34,28 32,44 41,68 39,79 41,89 27,39 65,52 29,09 43,95 51 24,95 46,84 53,07 20,08 35,07 24,94 14,74 14,04 25,40 26,75 31,62 36,07 52 57,31 60,62 12,55 7,81 19,43 30,57 23,44 24,04 37,97 32,08 49,83 13,26 53 24,06 22,67 25,32 15,50 21,13 21,17 20,72 22,57 17,67 20,51 26,90 20,65


Apéndice B

Materiales estadísticos

complementarios

En este apéndice se incluyen algunos materiales estadísticos

complementarios. Dichos materiales guardan relación con las

distintas opciones tomadas en la aplicación de las técnicas

estadísticas utilizadas en el capítulo 4 (dedicado al análisis

de datos cuantitativos).

En primer lugar, figuran los análisis correspondientes a

la comprobación de los supuestos del diseño factorial empleado

en la investigación. A continuación, se procede a justificar

el uso del análisis de conglomerados jerárquicos –para

clasificar a los participantes en el estudio- y las diferentes

opciones tomadas en la aplicación de esta técnica. Para

finalizar, se incluye un análisis de varianza1 en el que se ha

tomado como variable dependiente el “tiempo de respuesta”. La

inclusión de este análisis merece una explicación:

En el presente trabajo, se ha registrado el tiempo que

han empleado los participantes en producir cada una de sus

estimaciones. Disponer de la variable dependiente “tiempo de

respuesta” permite contar con dos variantes posibles en el

diseño elegido: realizar un ANOVA en el que la variable

dependiente es la “puntuación”, o tomar la opción del ANCOVA

en el que se añada el “tiempo medio de respuesta del sujeto”

(MTIEMPOS) como covariable en el diseño. La ventaja que

proporciona utilizar la técnica del análisis de la covarianza

es que permite “controlar el efecto de los sesgos sistemáticos

provenientes de la influencia de la covariante y... reducir la

1 En el que las variables independientes son el “tipo de operación” y el “tipo de número”.



238

varianza del término de error, aumentando la precisión del

diseño” (Pascual, García y Frías, 1996, p. 207). Los supuestos

básicos que deben cumplirse para aplicar el análisis de la

covarianza son dos: la existencia de relación lineal entre la

covariante y la variable dependiente y la independencia entre

la covariante y la variable independiente. Para estudiar la

posible existencia de relación lineal entre la variable

covariante y la dependiente, se ha realizado un análisis de

correlación -en el capítulo 4- cuyos resultados se pueden

consultar en el epígrafe “Relación entre la puntuación media

de los sujetos y su tiempo medio de respuesta” del citado

capítulo. Por otra parte, el supuesto de independencia entre

la variable covariante y las independientes “equivale a asumir

que el tratamiento no afecta a la covariante. Por tanto, si

comprobamos mediante un simple ANOVA que la covariante

presenta los mismos promedios en los distintos grupos de

tratamientos habremos demostrado la independencia entre ambas”

(Pascual, Frías y García, 1996, pp. 220–221). Este análisis de

varianza (con el “tiempo de respuesta” como variable

dependiente) se presenta al final del presente Apéndice.

Dado que en ambos casos puede verse que se incumplen los

supuestos del modelo (del ANCOVA), se ha tomado la opción de

no incluir la variable “tiempo medio de respuesta del sujeto”

(MTIEMPOS) como covariable en el diseño.

Comprobación de los supuestos del diseño factorial

empleado en la investigación

Para contrastar la hipótesis del análisis de varianza es

necesario comprobar tres supuestos: independencia, normalidad

y esfericidad. Con respecto al supuesto de independencia

Balluerka (1999) explica su relación con el otro supuesto

fundamental en los diseños de medidas repetidas: el de

esfericidad.

Apéndice B


239

En los diseños de medidas repetidas o intrasujeto, donde cada

sujeto es observado en todas y cada una de las condiciones

experimentales, la independencia de las observaciones se

convierte en un problema central difícil de subsanar. En este

caso, a pesar de que exista una covarianza entre las

observaciones, el cociente de medias cuadráticas sigue

exactamente la distribución F si las varianzas de las diferencias

entre cada par de medias de medidas repetidas son constantes, es

decir, si la matriz de varianzas-covarianzas de las variables

ortonormalizadas presenta un patrón de esfericidad. (p. 45)

Para comprobar el supuesto de normalidad, Ximénez y San Martín

(2000, p. 37) recomiendan utilizar el estadístico Z de

Kolmogorov-Smirnov. Sin embargo, otros autores proponen para

contrastar la hipótesis de normalidad de los datos la prueba

de Kolmogorov-Smirnov (con la corrección de Lilliefors). En

los casos en que la muestra es menor o igual que 50, suele

emplearse el Test de Shapiro-Wilk. En el presente caso, no es

pertinente la realización de este Test, dado que las muestras

son de tamaño 53 para todas las variables.

Al utilizar estas dos pruebas (Z de Kolmogorov-Smirnov y

Lilliefors) pueden obtenerse resultados distintos. Visauta

(1999) afirma que las diferencias que se dan entre los

resultados de las pruebas de normalidad, al utilizar el

estadístico Z de Kolmogorov-Smirnov y la corrección de

Lilliefors a la prueba de Kolmogorov-Smirnov, estriban en que:

Así como el estadístico [Z de Kolmogorov-Smirnov] se calcula a

través de la diferencia máxima entre la función de distribución

observada y la teórica, en el caso de Lilliefors el mismo se

obtiene a partir de las diferencias acumuladas entre las

funciones a lo largo de toda la curva, resultando por ello más

fiable. (p. 250)

La opción tomada en este estudio ha sido la de realizar las

dos pruebas y valorar, a continuación, las posibles



240

consecuencias del incumplimiento de la hipótesis de

normalidad.

Tabla B.1 Resultados del Test Z de Kolmogorov-Smirnov

En la tabla B.1 figuran los resultados de la aplicación

del Test Z de Kolmogorov-Smirnov. Según estos resultados, no

cabe, en ninguno de los seis casos, rechazar la hipótesis de

normalidad. La significación más baja se da para las

puntuaciones correspondientes a la multiplicación con números

decimales menores que uno (variable XMENOR1), tomando el valor

de 0.052 (mayor que 0.05).

Tabla B.2 Resultados de la Prueba de Lilliefors

Por otra parte, en la tabla B.2 aparecen los resultados

correspondientes a las pruebas de normalidad de Kolmogorov-

Smirnov (con la corrección de Lilliefors). En ella puede

observarse como para las variables dependientes: XDMAYOR1,

XDMENOR1, DDMAYOR1 y DDMENOR1 (correspondientes a cuatro de

Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra

53 53 53 53 53 531,4528 1,5472 ,7075 1,4434 ,9748 ,9434

,7815 1,1062 ,6946 ,7824 ,9781 ,8262

,101 ,159 ,185 ,120 ,171 ,159,077 ,159 ,185 ,095 ,171 ,159

-,101 -,151 -,154 -,120 -,159 -,127,735 1,154 1,350 ,874 1,244 1,161,653 ,139 ,052 ,429 ,091 ,135

NMediaDesviación típica

Parámetros normalesa,b

AbsolutaPositivaNegativa

Diferencias másextremas

Z de Kolmogorov-SmirnovSig. asintót. (bilateral)

XNATURAL XDMAYOR1 XDMENOR1 DNATURAL DDMAYOR1 DDMENOR1

La distribución de contraste es la Normal.a. Se han calculado a partir de los datos.b.

Pruebas de normalidad

,101 53 ,200*,159 53 ,002,185 53 ,000,120 53 ,054,171 53 ,001,159 53 ,002

XNATURALXDMAYOR1XDMENOR1DNATURALDDMAYOR1DDMENOR1

Estadístico gl Sig.Kolmogorov-Smirnova

Este es un límite inferior de la significación verdadera.*.

Corrección de la significación de Lillieforsa.

Apéndice B


241

las celdas del análisis de varianza) se rechaza la hipótesis

de normalidad.

Dado que en cuatro de las celdas del análisis se tienen

dudas sobre si mantener la hipótesis de normalidad en los

datos, cabe ahora preguntarse cuáles pueden ser las

consecuencias del incumplimiento del supuesto de normalidad.

La falta de normalidad puede afectar, tanto al

estadístico F utilizado para contrastar las hipótesis del

análisis de varianza como al estadístico W utilizado en la

prueba de esfericidad de Mauchy. No obstante, Ximénez y San

Martín (2000, p. 37) advierten que “el estadístico de

contraste F utilizado para contrastar H0 es robusto a la

violación del supuesto de normalidad”.

Tabla B.3 Estadísticos descriptivos

Con respecto a la posible influencia de la falta de

normalidad en los resultados de la prueba W de Mauchy para

contrastar la esfericidad, (el otro supuesto importante en

este tipo de análisis) los mismos autores afirman que, aunque

la prueba de esfericidad de Mauchy es muy sensible a la

Descriptivos

1,4528 ,1073,611

-,132 ,327-,656 ,644

1,5472 ,15191,224-,057 ,327

-1,267 ,644,7075 9,542E-02

,483,719 ,327

-,350 ,6441,4434 ,1075

,612-,087 ,327-,866 ,644

,9748 ,1343,957,661 ,327

-,931 ,644,9434 ,1135

,683,462 ,327

-,896 ,644

MediaVarianzaAsimetríaCurtosisMediaVarianzaAsimetríaCurtosisMediaVarianzaAsimetríaCurtosisMediaVarianzaAsimetríaCurtosisMediaVarianzaAsimetríaCurtosisMediaVarianzaAsimetríaCurtosis

XNATURAL

XDMAYOR1

XDMENOR1

DNATURAL

DDMAYOR1

DDMENOR1

Estadístico Error típ.



242

violación del supuesto de normalidad, “la prueba W es adecuada

cuando la distribución de los datos es platicúrtica” (p. 41).

Para comprobar si las distribuciones son platicúrticas, para

lo cual deben tener una curtosis negativa (Escobar, 1999, p.

31), se han calculado los estadísticos descriptivos

correspondientes a las seis casillas del diseño. En la tabla

B.3 pueden verse los resultados. Todos los coeficientes de

apuntamiento (curtosis) son negativos lo cual indica que una

presunta falta de normalidad en los datos no afectaría, en

este caso, a los resultados de la prueba de esfericidad de

Mauchy.

Con respecto al supuesto de esfericidad, en la tabla B.4

figuran los resultados de la prueba de Mauchy.

Tabla B.4 Resultados de la prueba de esfericidad de Mauchy

En ella puede verse como para el tipo de número (variable

intrasujeto DECIMAL) el estadístico W = 0.938 no es

significativo (p = 0.196). Otro tanto ocurre con la

interacción OPERACIÓ*DECIMAL (con W = 0,978 y p = 0.571).

Estos resultados permiten que en ambos casos mantengamos la

hipótesis de esfericidad de los datos. En el caso de la

variable “tipo de operación” (OPERACIÓ), debe recordarse que

no tiene sentido plantear si se cumple el supuesto de

esfericidad cuando el factor tiene solamente dos niveles y por

Prueba de esfericidad de Mauchlyb

Medida: MEASURE_1

1,000 ,000 0 , 1,000 1,000 1,000,938 3,257 2 ,196 ,942 ,976 ,500,978 1,119 2 ,571 ,979 1,000 ,500

Efecto intra-sujetosOPERACIÓDECIMALOPERACIÓ * DECIMAL

W de MauchlyChi-cuadrado

aprox. gl Sig.Greenhouse-Geisser Huynh-Feldt Límite-inferior

Epsilona

Contrasta la hipótesis nula de que la matriz de covarianza de error de las variables dependientes transformadas es proporcional auna matriz identidad.

May be used to adjust the degrees of freedom for the averaged tests of significance. Corrected tests are displayed in theTests of Within-Subjects Effects table.

a.

Diseño: Intercept Diseño intra sujetos: OPERACIÓ+DECIMAL+OPERACIÓ*DECIMAL

b.

Apéndice B


243

ello aparece en la tabla el valor W = 1 (situación ideal para

el supuesto de esfericidad).

También en la tabla B.4 (en la parte derecha) aparecen

varias estimaciones para el parámetro épsilon. Éste se utiliza

para corregir los grados de libertad en la prueba F para

evitar el sesgo que produce en la misma cuando no se cumple el

supuesto de esfericidad. Épsilon oscila entre 0 y 1 y según

Ximénez y San Martín (2000, p. 62) cuando “las estimaciones

del parámetro å están más próximas a 1 [que al límite

inferior],... puede concluirse que el supuesto de esfericidad

se cumple”.

Por todo lo expuesto hasta ahora, se concluye que se

cumplen todos los supuestos necesarios para aplicar a los

datos el análisis de varianza.

Uso del análisis de conglomerados jerárquicos.

Justificación de la elección de esta técnica y de las

opciones tomadas en la misma

En este trabajo la técnica estadística utilizada para realizar

la clasificación ha sido el análisis de conglomerados

(cluster) jerárquicos. Existe otra técnica de clasificación,

el análisis discriminante, que se usa en situaciones en las

que se tienen grupos definidos de antemano y se desea asignar

nuevos casos a alguno de estos grupos. En este trabajo se

trata de agrupar objetos en grupos, basándose en su semejanza

en determinadas características. No se dispone de grupos

preconstituidos, lo que hace que la opción del análisis de

conglomerados sea la más adecuada. Dentro del análisis de

conglomerados se dispone de dos tipos de procedimientos: el

análisis de conglomerados jerárquicos y el análisis de

conglomerados de k-medias.



244

Tabla B.5 Conglomerados de pertenencia

Caso 8 clusters 7 clusters 6 clusters 5 clusters 4 clusters 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 3 3 3 3 3 2 4 4 4 2 2 1 5 1 1 1 1 1 6 2 2 2 2 1 7 1 1 1 1 1 8 5 4 2 2 1 9 4 4 2 2 1 10 1 1 1 1 1 11 6 5 4 1 1 12 4 4 2 2 1 13 7 6 5 4 3 14 3 3 3 3 2 15 7 6 5 4 3 16 2 2 2 2 1 17 1 1 1 1 1 18 1 1 1 1 1 19 2 2 2 2 1 20 4 4 2 2 1 21 1 1 1 1 1 22 7 6 5 4 3 23 1 1 1 1 1 24 2 2 2 2 1 25 5 4 2 2 1 26 1 1 1 1 1 27 1 1 1 1 1 28 5 4 2 2 1 29 1 1 1 1 1 30 3 3 3 3 2 31 1 1 1 1 1 32 5 4 2 2 1 33 3 3 3 3 2 34 1 1 1 1 1 35 2 2 2 2 1 36 1 1 1 1 1 37 2 2 2 2 1 38 1 1 1 1 1 39 2 2 2 2 1 40 1 1 1 1 1 41 1 1 1 1 1 42 7 6 5 4 3 43 4 4 2 2 1 44 7 6 5 4 3 45 1 1 1 1 1 46 2 2 2 2 1 47 1 1 1 1 1 48 4 4 2 2 1 49 7 6 5 4 3 50 3 3 3 3 2 51 7 6 5 4 3 52 3 3 3 3 2 53 8 7 6 5 4

Se ha optado por los procedimientos jerárquicos por dos

razones: en primer lugar, los procedimientos jerárquicos

permiten un tipo de representación característica (el

dendrograma) que facilita tanto la interpretación de los

resultados del análisis como la elección del número de

conglomerados2 final de acuerdo con conocimientos sobre la

teoría. Por otra parte, los procedimientos no jerárquicos

2 Para elegir el número de conglomerados sirve de ayuda consultar la tabla B.5 en la que se asigna cada participante a su correspondiente conglomerado en caso de que se consideren 4, 5, 6, 7 u 8 conglomerados.

Apéndice B


245

(conglomerados de k-medias) obligan a elegir previamente el

número de conglomerados que se desean obtener en el análisis,

siendo esta una decisión difícil de tomar en un estudio de

tipo exploratorio en el que se desconoce la estructura que

tiene el grupo de datos analizado. Pueden examinarse las

distinciones entre todas estas técnicas estadísticas de

clasificación en Martínez (1999) y en L. Hernández (2001) y

encontrarse descripciones sobre los procedimientos de cálculo

con SPSS en Visauta (1998).

Análisis de varianza con el “tiempo de respuesta”

como variable dependiente

En la tabla B.6 pueden consultarse los resultados del análisis

de varianza en el que se ha utilizado como variable

dependiente el “tiempo de respuesta”.

Tabla B.6 Análisis de varianza. Pruebas de efectos intra-

sujetos. Variable dependiente “tiempo de respuesta”

Como puede verse, se debe rechazar la hipótesis inicial para

la interacción TOPERACI*TDECIMAL (F = 8,067 y p = 0,001). Así,

la interacción entre el tipo de operación y el tipo de número

tiene un efecto significativo en el tiempo de respuesta.

En la tabla 4.2 aparecen las medias correspondientes a

todas las combinaciones de niveles de los dos factores del

diseño.

Medida: MTIEMPO

41,421 1 41,421 ,174 ,679 ,003 ,06912413,187 52 238,715

462,470 1,975 234,200 2,713 ,072 ,050 ,5238862,639 102,7 86,3102186,477 2 1093,239 8,067 ,001 ,134 ,953

14094,513 104 135,52414094,513 80,73 174,596

Esfericidad asumidaEsfericidad asumidaGreenhouse-GeisserGreenhouse-GeisserEsfericidad asumidaEsfericidad asumidaGreenhouse-Geisser

FuenteTOPERACIError(TOPERACI)TDECIMALError(TDECIMAL)TOPERACI *TDECIMALError(TOPERACI*TDECIMAL)

Suma decuadrados

tipo III glMedia


cuad.Potenciaobser.a




246

Tabla B.7 Medias de tiempos por tipo de operación (TOPERACIÓ)

y tipo de número (TDECIMAL)

Para determinar entre qué combinaciones de niveles se dan

las diferencias significativas, se recurre a las pruebas de

contrastes intrasujetos. Las pruebas se han hecho dos veces,

tomando en primer lugar el nivel 1 (del factor TDECIMAL) como

referencia (Tabla B.8) y, a continuación, con el nivel 3 como

referencia (Tabla B.9).

Si se observa la figura B.1 puede verse que para los

números naturales los alumnos emplean más tiempo en estimar

divisiones que multiplicaciones (28 segundos de media para las

divisiones por 22 segundos de media para las

multiplicaciones)3. Sin embargo, con números decimales mayores

que uno esta situación se invierte (26,6 por 28,1). Esto da

lugar a una interacción significativa (F = 4,078 y p = 0,049)

que puede también observarse en la figura4 B.2.

En la parte derecha de la figura B.1 se observa la

segunda interacción significativa. Los sujetos emplean

prácticamente el mismo tiempo para realizar estimaciones en

multiplicaciones con decimales mayores o menores que 1 (28,1

segundos de media por 27,9). Sin embargo, en el caso de las

divisiones, el tiempo de respuesta disminuye bruscamente (de

26,5 segundos de media a 21,2). Esta interacción también

aparece reflejada en la figura B.2 (observando la línea

3 Los datos pueden consultarse en la tabla B.7. 4 Mirando las dos líneas gruesas (la continua y la discontinua).

1. TOPERACI * TDECIMAL

Medida: MTIEMPO

22,000 1,534 18,922 25,07828,147 3,634 20,854 35,43927,953 2,822 22,289 33,61628,085 2,106 23,859 32,31126,573 1,932 22,695 30,45021,276 1,175 18,919 23,634

TDECIMAL123123

TOPERACI1

2

Media Error típ. Límite inferior Límite superiorIntervalo de confianza al 95%.

Apéndice B


247

delgada y la gruesa discontinua) y es significativa (F = 5,2 y

p = 0.027).

Figura B.1 Gráficos de perfil correspondientes al tipo de

operación (TOPERACI) y al tipo de número (TDECIMAL)

Figura B.2 Gráficos de perfil correspondientes al tipo de

operación (TOPERACI) y al tipo de número (TDECIMAL)

La última interacción significativa (F = 14,5 y

p = 0,000) se puede ver en la figura B.2 (fijándonos en las

dos líneas continuas). Cuando los participantes estiman el

resultado de multiplicaciones emplean mucho tiempo con números

decimales menores que uno (27,8 segundos de media) y muy poco

con números naturales (22 segundos de media). Sin embargo,

Medias marginales estimadas de MTIEMPO

TDECIMAL

321

Med

ias

mar

gina

les

estim

adas

30

28

26

24

22

20

TOPERACI

1

2

Medias marginales estimadas de MTIEMPO

TOPERACI

21

Med

ias

mar

gina

les

estim

adas

30

28

26

24

22

20

TDECIMAL

1

2

3



248

cuando realizan estimaciones en divisiones tardan 21,1

segundos (de media) cuando aparece en el cálculo algún decimal

menor que uno y 28 segundos cuando los dos números son

naturales.

Tabla B.8 Análisis de varianza. Pruebas de contrastes intra-

sujetos. Contrastes con el nivel 1 (del factor TDECIMAL) de

referencia

Tabla B.9 Análisis de varianza. Pruebas de contrastes intra-

sujetos. Contrastes con el nivel 3 (del factor TDECIMAL) de

referencia

Como ya se advertía en la introducción de este apéndice,

los resultados obtenidos en este análisis de varianza

desaconsejan, por los motivos anteriormente expuestos, la

inclusión del tiempo medio de respuesta del sujeto como

covariable en el diseño de la presente investigación.

Medida: MTIEMPO

27,614 1 27,614 ,174 ,679 ,003 ,0698275,458 52 159,143

284,545 1 284,545 2,999 ,089 ,055 ,3989,719 1 9,719 ,121 ,729 ,002 ,063

4933,055 52 94,8664177,124 52 80,3293108,837 1 3108,837 4,078 ,049 ,073 ,5098630,417 1 8630,417 14,5 ,000 ,218 ,962

39645,241 52 762,40831027,506 52 596,683

TDECIMAL


TOPERACINivel 2 - Nivel 1Nivel 2 - Nivel 1

Nivel 2 - Nivel 1

Nivel 2 - Nivel 1

FuenteTOPERACIError(TOPERACI)TDECIMAL

Error(TDECIMAL)

TOPERACI *TDECIMAL

Error(TOPERACI*TDECIMAL)

Suma decuadrados

tipo III glMedia


cuad.Potencia

obser.a


Medida: MTIEMPO

27,614 1 27,614 ,174 ,679 ,003 ,0698275,458 52 159,143

9,719 1 9,719 ,121 ,729 ,002 ,063399,441 1 399,441 5,0 ,030 ,087 ,590

4177,124 52 80,3294183,779 52 80,4578630,417 1 8630,417 14 ,000 ,218 ,9621379,610 1 1379,610 5,2 ,027 ,090 ,607

31027,506 52 596,68313894,330 52 267,199

TDECIMAL


TOPERACINivel 1 - Nivel 2Nivel 1 - Nivel 2

Nivel 1 - Nivel 2

Nivel 1 - Nivel 2

FuenteTOPERACIError(TOPERACI)TDECIMAL

Error(TDECIMAL)

TOPERACI *TDECIMAL

Error(TOPERACI*TDECIMAL)

Suma decuadrados

tipo III glMedia


cuad.Potencia

obser.a



Apéndice C

Transcripciones de las entrevistas

En este apéndice se presentan las transcripciones completas de

las entrevistas realizadas en la investigación. Se recuerda

que las entrevistas estaban divididas en dos fases. En la

primera, se pedía a los participantes que realizaran una

estimación para el cálculo que se les proponía y, a

continuación, explicaran la estrategia que habían utilizado

para dar su estimación. Así, en la transcripción, cada

estimación comienza con el cálculo propuesto, presenta a

continuación la estimación y la explicación dadas por el

sujeto y finaliza con la abreviatura -que se propuso en el

capítulo 5- correspondiente a la destreza de aproximación

utilizada al producir la estimación.

En la segunda fase de la entrevista se planteaban

preguntas del siguiente tipo:

Sin realizar un cálculo exacto, señala la mejor

estimación para 187,5 × 0,06

a) mucho menor que 187,5

b) un poco menor que 187,5

c) un poco mayor que 187,5

d) mucho mayor que 187,5

A continuación se pedía al sujeto que justificara su

elección. Dado que todas las preguntas son iguales (salvo en

el cálculo), en la transcripción sólo se presentan los

cálculos, seguidos de la elección y la explicación de la misma

hechas por el sujeto.



250

Primera fase de la entrevista

Sujeto 2

187,5 × 0,06

1870. He redondeado este [señalando el 0,06] a 0,1 y luego lo

que he hecho es multiplicar.(P10)

64,6 × 0,16

1250. Lo mismo. Redondeando este [señalando el 0,16] a 0,2 y

multiplicando el 2 por el 64. (R2)

424 × 0,76

350. Redondeando este [señalando el 0,76] a 0,8 y luego

multiplicando... (R1)

0,47 × 0,26

0,12. Este redondeando a la alta y este a la baja. O sea 0,5

por 0,2. (R2)

66 ÷ 0,86

650. Este lo he redondeado a 1. He dividido 66 entre 1 66 y

luego se supone que cuando divides aumentas ¿no? Es que no...

cuando es más el cero coma... cuando es menor que uno, siempre

aumenta la cantidad. (P10)

943 ÷ 0,48

470. Este lo redondeas a 0,50, la mitad y lo he dividido por

un medio. (F)

0,76 ÷ 0,89

0,01. Este a... Por intuición. (sc)

Sujeto 13

187,5 × 0,06

Uno coma dos. He redondeado el primero a doscientos,

multiplicado por seis y luego he puesto los tres decimales.

(R1)

Apéndice C


251

64,6 × 0,16

Uno coma tres. He redondeado a 65, esto [señalando el 16] a

20, he multiplicado y he puesto los tres decimales. (R2)

424 × 0,76

Cuatrocientos. He redondeado hacia abajo, cuatrocientos, esto

hacia arriba, por uno. (P10)

0,47 × 0,26

Cero coma trece. He puesto (¿?) cero con cinco y cero con

cinco es la mitad. (F)

66 ÷ 0,86


[señalando a 0,86] lo he redondeado a uno. (P10)

943 ÷ 0,48

Dos mil. Este lo he redondeado a mil y este hasta cero cinco y

como es dividir es como multiplicaras por dos. (F)

0,76 ÷ 0,89

Uno. He redondeado los dos hacia arriba y he puesto un uno.

(P10)

Sujeto 21

187,5 × 0,06

Pues 187 o sea, sabemos que por cero sería cero. Entonces lo

que hacemos es aproximar esta cantidad, el 0,06, lo ponemos en

0,5 o a 1, pero bueno, sería mucho. A 0,5 y entonces

multiplicamos y no sé, lo que nos dé. ¿Lo estimo?. Sí, sí.

Tienes que dar una estimación. 300. He multiplicado por 0,5

entonces sería por la mitad más o menos. 187, la mitad... el

doble, perdón. El doble de 187 sería... pues de 100, 200 pero

al ser 87, mucho más, 300. (F)

64,6 × 0,16

Pues éste lo pondría 0,16 pues a 0,2 que es menos del doble.

Entonces pues sería 64, el doble de 64 sería 128, un poco

menos, 110 o 100. Por ahí. (F)



252

424 × 0,76

Eso [señalando el 0,76]... a 1. Pues igual, lo dejaríamos un

poco menos de 424, 420. (P10)

0,47 × 0,26

Eso [señalando el 0,26] lo dejaría en 0,2 o 0,3 y lo

multiplicaría y entonces me daría... cero... no, dos con algo.

(R1)

66 ÷ 0,86


poquito. O sea, lo dejaría en 60. (P10)

943 ÷ 0,48

Y eso entre la mitad. O sea por la mitad vamos. Novecientos


algo. (F)

0,76 ÷ 0,89

Y esto [señalando al 0,89]... Esto lo dejaría en uno.

Entonces, lo dejaría igual, un poquito menos. 0,76. El 0,76 lo

dividiría entre 0,1 y entonces... sí, lo dividiría entre 0,1

pero vamos, no sé cuánto me iba a dar. Cero coma uno algo o

por ahí. (P10)

Sujeto 25

187,5 × 0,06

187,5 × 0,06. Pues sería... multipli, corro la coma del 187,5

se me queda en 1875 y también corro la coma y se me queda en

0,6 y empiezo a multiplicar ya y me saldría pues... se me

queda en 10000, bueno, mejor lo redondeo a 200 por 6. Se me

quedaría en 1200. (R1)

64,6 × 0,16

Aquí igual. Aquí 64,6 pues o bien lo redondeo a 65 o bien a

60. Mejor a 65 y por 0,16. 0,16 se me quedaría en ... unas

cuatrocientas y algo. ¿De donde sale el cuatrocientas y algo?.

Apéndice C


253

De redondear el 64,6 lo redondeo a 65 por 0,16 y lo multiplico

y haciendo más o menos el cálculo pues... (R1)

424 × 0,76

A ver. 424 lo redondearía a 420 por 0,76. Pues, a ver.

Cuatrocientos... , lo redondeo. 424 o 420 por 0,76 que lo

redondearía a 0,80 [dicho cero coma ochenta] y me saldría

pues... pues unas tres mil trescientas y algo, al redondearlo.

(R2)

0,47 × 0,26

A ver. 0,47 × 0,26. Redondearía, lo mismo. Redondearía 0,47 a

0,50 [dicho cero coma cincuenta] por 0,30... y me saldría pues

unos 0,150 o 0,1500 [dicho cero coma ciento cincuenta o cero

coma mil quinientos]. (R2)

66 ÷ 0,86

66 ÷ 0,86. El 66 lo dejaría igual entre 0,86 que lo

redondearía a 0,90. Correría la coma y sería 66 entre 90.

Bueno, a ver... Añadiría dos ceros... pues siete coma algo.

(R1)

943 ÷ 0,48

A ver. 943 ÷ 0,48. Redondearía 9 con 43 a 940 entre 0,48 que

sería, lo redondearía a 0,50 y me saldría, añadiría, correría

la coma dos lugares y me saldría 9400 entre 50. Pues... 1600.

(R2)

0,76 ÷ 0,89

A ver. 0,76 ÷ 0,89. Pues haría lo mismo. Redondearía el 0,76 a

0,80 entre 0,89 que lo redondearía también a 0,90 y me saldría

0,80 entre 0,90. [parece dar por terminada la tarea] ¿Cuánto

da tu estimación?. ¿Cómo que cuánto da?. Sí, que tienes que

dar la estimación. Me saldría pues, bueno, correría la coma

mejor y me saldría cero coma ciento y algo. (R2)



254

Sujeto 41

187,5 × 0,06

Novecientos treinta y cinco. ¿Cómo lo has hecho?. No lo sé.

Más o menos como si lo tuviera colocado y lo hubiera

multiplicado por 6. (Alg)

64,6 × 0,16

Mil doscientos. ¿Cómo lo has hecho?. Pues como si colocara el

16 debajo... aquí [señalando debajo del 64,6] igual como si

hiciera la multiplicación, como si multiplicara 64 por 16.

(Alg)

424 × 0,76

Es unos... 300. Porque si 424 lo multiplico por un número

menor que uno, o sea 0,7 aproximadamente, pues... me tiene que

dar un número menor. ¿No?. (P10)

0,47 × 0,26

Pues 0,3. He multiplicado 50 × 30, Cero con ciento cincuenta.

Como si hiciera 50 × 30. (R2)

66 ÷ 0,86

Unos 58. Porque si 63 entre uno, 66 entre uno más o menos son

66, por un número menor... (P10)

943 ÷ 0,48

Unos 425. Porque he hecho como si dividiera por 0,5. O sea, la

mitad es 400 de 943. (F)

0,76 ÷ 0,89

Pues 0,49. Pues 0,70... Ah, que es dividir, no... Había hecho

una multiplicación. Pues 0,1. 0,7 entre 0,8... 0,35. No sé...

0,1. (R2)

Sujeto 42

187,5 × 0,06

Esto es un 6% de este número [señalando al 187,5]. Yo creo que

este es un 8. Ocho mas o menos. (F)

Apéndice C


255

64,6 × 0,16


más, pues... 12 sería mi estimación. (F)

424 × 0,76

Si lo multiplicásemos por uno, no cambiaría. Entonces son tres

cuartas partes de esto [señalando el 424]. Sería

trescientos... diez. Un poquito menos. Trescientos seis. (F)

0,47 × 0,26

Este ya es más difícil. Bueno, 0,47... esto [señalando el

0,26] es la cuarta parte. Cero coma doce. ¿Cómo lo has hecho?.

Esto, si lo multiplicásemos por uno se quedaría igual, lo que

pasa es que no sé si aumentaría..., no, sería la cuarta parte

de esto [señalando el 0,26] . Yo creo que sería 0,12 o 0,15.

No, 0,11 o 0,115. (F)

66 ÷ 0,86




casi... esto... 75. (P10)

943 ÷ 0,48

943 dividido entre... 1750. Explícalo. Esto si lo

multiplicamos por 0,5 esto dobla, es como si lo multiplicamos

por dos. Y esto por dos son... 1900 casi, luego sería un

poquito menos 1800 o 1750. (F)

0,76 ÷ 0,89

0,76 dividido... No cambiaría. Si lo multiplicamos por...

uno, o sea, dividimos entre uno, esto [señalando el 0,76] no

cambiaría pero es un poquito menos luego esto [sigue señalando

el 0,76] va a aumentar. 0,9. (P10)



256

Sujeto 43

187,5 × 0,06

Setecientos. He multiplicado el 6 con el 187 pero vamos... se

me ha ido porque... si quieres dar otra lo dices. Mil. Por lo

mismo. He multiplicado el 6 por el 187 pero vamos, no he

tenido en cuenta los decimales, o sea... (Alg)

64,6 × 0,16

Noventa. He multiplicado el 16 por el 64 y luego le he puesto

los dos decimales. (Alg)

424 × 0,76

40,5. He multiplicado, he intentado multiplicar el 76 por el

424. Explícalo un poco mejor. Pues... seis por cuatro

veinticuatro, seis por dos doce... así. Bueno, redondeando

también un poquillo y luego más o menos... ¿? la

multiplicación. La suma así un poquito redondeando también, y

luego ya cojo los decimales y los quito. (Alg)

0,47 × 0,26

0,3. He multiplicado el 26 por el 47 y luego me he imaginado

que al haber ¿? sitios pues sería cero con algo (Alg)

66 ÷ 0,86

0,8. He dividido 66 entre 8 y más o menos me ha dado 64. (R1)

943 ÷ 0,48

470. He redondeado esto [señalando el 0,48] a 0,5 que sería un

medio, en fracción, entonces cojo 943, multiplico por uno y

divido entre 2 o sea que sería más o menos la mitad. (F)

0,76 ÷ 0,89

¿? He dividido más o menos 76 entre 8, bueno entre nueve,

porque he redondeado esto como si fuera 0,9 [señalando el

0,89]. (R1)

Sujeto 44

187,5 × 0,06

Apéndice C


257

Pues aquí esto lo redondeo a 200 y aquí esto lo redondeo a 5

para que se aproxime más. Dos por cinco diez y aquí le coloco

la coma, pongo uno más o menos. (R2)

64,6 × 0,16


quinto de 64 y un quinto de 64 es 13. (F)

424 × 0,76

Unos 380. Más o menos le quitas un tercio al número 424. (F)

0,47 × 0,26

Unos 0,13. Porque multiplicar por 0,47 es como dividir por

dos. (F)

66 ÷ 0,86

Unos 74. Porque dividir entre 0,86 es como... en lugar de

quitar números, añades. Añades, por que divides entre una

unidad menor que uno. (P10)

943 ÷ 0,48

Unos 1870. Porque dividir por 0,48 es como multiplicar por

dos. (F)

0,76 ÷ 0,89

Unos 0,67. Porque dividir 0,89 en lugar de añadir tienes que

quitar. (P10)

Sujeto 45

187,5 × 0,06

8950,0. Porque... no, 890,0 porque... como tiene dos comas

pues entonces sé que tiene que tener tres delante, no, a ver,

espera... 8,950 porque como tiene detrás de las comas pues

pongo tres y luego más o menos porque seis por uno es seis.

Bueno, más o menos. (Alg)

64,6 × 0,16

Pues aquí hago, esto como es 64,6 pongo 65 y 0,16 pongo 2 y

entonces son 170. Entonces pongo 168... ¿la coma?... No,



258

porque no es lo mismo 65 por 2 que son, ¿no? Porque esto le

sumas 65 y esto... 0,170. (R2)

424 × 0,76

Esto lo subo a... el 0,76 a 0,8 y entonces al multiplicarlo, 8

por 4... pues... 32,50. ¿Y cómo lo has hecho?. Pues he puesto

el 0,76 0,8 y lo he multiplicado por cuatro y más o menos...

(R2)

0,47 × 0,26

Eh, 0,47 pongo 0,5 y 0,26 0,3 ... 0,14. (R2)

66 ÷ 0,86

0,2. El 0,86 quito la coma, ¿no? y pongo un cero en el otro

lado. Y luego el 86 pues... no sé, no sé... no sé. Este me lo

he inventado. (sc)

943 ÷ 0,48

No me acuerdo si se ponían dos ceros, un cero... o qué. A ver.

Cero coma... Bueno, quito la coma, pongo aquí dos ceros y cero

coma... ciento algo, ciento diez o algo así. Porque uno por

cuatro son... ah, no no no no. Sí sí porque dos por cuatro

son ocho y entonces... ¿Entonces la estimación era?. Pues 0,1

o sea 0,10 o algo así. (Alg)

0,76 ÷ 0,89

0,0... Si lo subo a 1 los dos sé que es uno, ¿no?. Entonces,

tiene que ser por debajo del cero. Entonces será 0,... No sé

si es cero coma cero algo o 0,... cero coma ciento algo. (P10)

Sujeto 53

187,5 × 0,06

Pues más o menos 7,6. He multiplicado, o sea, he descompuesto

el 0,06 en 6 por 10-2. He multiplicado este 187,5 por 10-2 que

queda aproximadamente 1,8 y multiplico por 6. Seis por ocho,

cuarentaiocho... Pues, sí, lo que te he dicho antes. ¿no?.

(Exp)

Apéndice C


259

64,6 × 0,16

Este es... Aproximo 0,16 a 0,15 y entonces divido 64,6 por 6

aproximadamente. O sea, 0,15 es aproximadamente un sexto,

divido entre seis y me da aproximadamente 10,...dos o tres.

(F)

424 × 0,76

Multiplicar por 0,76 es aproximadamente multiplicar por tres

cuartos. Entonces, pues esto me da aproximadamente, divido

primero entre cuatro ya que es 424, entonces es 106 por 3,

318. (F)

0,47 × 0,26

Multiplicar por 0,25, es aproximadamente multiplicar por un

cuarto. Entonces divido 0,47 entre cuatro, pues 0,12. (F)

66 ÷ 0,86


entre cien y me queda... Bueno, esta me cuesta. Esta

multiplico por... más o menos lo voy a aproximar a 0,9.

Entonces 9 por 10-1, es dividir, entonces esto me quedaría

aproximadamente 660 entre 9 y me daría... por 7 63 pues

aproximadamente 70. (Exp)

943 ÷ 0,48

Y esto es entre aproximadamente, lo aproximo a 0,5, entonces

es, claramente es multiplicar por dos, o sea que... por nueve

dieciocho... 1900. (F)

0,76 ÷ 0,89

Y esto es dividir entre 0,9 o sea 9 por 10-1. Multiplico por

... 7,6 entre 9 pues 0,85 más o menos. (Exp)



260

Segunda fase de la entrevista

Sujeto 2

187,5 × 0,06

Es menor. Mucho menor que 187. Porque cuando haces una

multiplicación o sea cuando multiplicas con cero coma cero

siempre el resultado es menor.

64,6 × 0,16

Este. Mucho menor que 64,6. No he hecho la operación pero

vamos, este es el 10%, mas o menos 0,2 el 20% entonces he

hecho es 20%. Se puede decir que es, mas o menos.

424 × 0,76

También. Mucho menor que 424. Por lo mismo.

0,47 × 0,26

Bueno. Este depende un poco de cómo lo mires, menor que 0,26.

Porque, es multiplicar, o sea ... he redondeado este a la alta

y este a la baja. La B.

66 ÷ 0,86

Mucho mayor que 66. Porque como se divide por un número

pequeño, cuando se divide sale... el resultado es mayor

siempre.

943 ÷ 0,48

Mucho menor que 943. Hay no espera. Es una división. No, mucho

mayor que 943. Por lo mismo de antes. Porque cuando se divide

por un pequeño...

0,76 ÷ 0,89

Un poco menor que 0,76. Es que si quieres que te diga por qué

propiedad de la Matemática... no te lo puedo decir. Porque

este lo he redondeado a 0,8 para arriba y este para abajo y

me da 0,8 entre 0,8 pues a uno. Pues un poco menor.

Apéndice C


261

Sujeto 13

187,5 × 0,06

Es la A porque al multiplicar un número que tiene decimales,

o sea por cero coma algo, baja para.. o sea, se hace menor.

64,6 × 0,16

También pienso que es la A por lo mismo.

424 × 0,76

Es la B porque 0’76 es casi uno

0,47 × 0,26

La B porque es un poco menor. Es un poco menor porque al

multiplicar por 0’47 es la mitad; tampoco es mucho menor.

66 ÷ 0,86

La B porque al dividir por 0’86 es como si dividieras casi

por uno.

943 ÷ 0,48

La D (mucho mayor) porque al dividir por 0’48 es como si

multiplicáramos por dos.

0,76 ÷ 0,89

La C. Es un poco mayor, porque al dividir por 0’89, al no

llegar a uno, es como si multiplicaras por un poquito.

Sujeto 21

187,5 × 0,06

Un poco mayor. La C. Un poco mayor que 187,5. Por que al


multiplicar casi por... Ah, no, claro, por que lo multiplicas

por 0,06 que no es la mitad, es menos. Entonces yo creo que va

a ser un poco mayor, no mucho mayor.

64,6 × 0,16

Este va a ser también... No, este va a ser mucho mayor porque

ya es 16, mucho mayor.

424 × 0,76

Este va a ser la D también.



262

0,47 × 0,26

Esta es la D también.

66 ÷ 0,86

Esto va a ser mucho menor que 66 porque lo estás dividiendo

por un número que es más de la mitad, es más que 0,5. Entonces

ya le estás quitando la mitad de 66, con lo cual, y le estás

quitando más de la mitad, con lo cual, va a ser bastante

menor.

943 ÷ 0,48

Y este va a ser poco menor porque le estás quitando menos de

la mitad. Aunque también es 48 que está muy cerca del 0,5 pero

bueno.

0,76 ÷ 0,89

Este va a ser mucho mayor porque lo estás multiplicando eso

por uno, con lo cual es un poco mayor que 0,76.

Sujeto 25

187,5 × 0,06

Sería un poco menor que 187,5. Porque al redondear 187,5 lo

redondeo a 190 o bien lo dejo así, el 187,5 lo dejo así por

0,06. Si corro la coma me queda 1875 por 0,6 por lo tanto me

tiene que dar cero coma algo.

64,6 × 0,16

A ver. 64,6 por 0,16. Pues correría la ... a ver 64,6 lo

igualaría a... lo redondearía a 65 por 0,16 que correría la

coma y me quedaría 1,6 que lo redondearía 2. Por lo tanto, me

quedaría mucho mayor que 64,6.

424 × 0,76

Sería un poco, bueno... un poco menor que 424, ya que estaría

siempre la coma entre medias. Sería cero con algo, uno con

algo...

Apéndice C


263

0,47 × 0,26

Aquí redondearía 0,47 a 0,50 por 0,26 que lo redondearía a

0,30 y me saldría pues cero coma ciento y algo. Sería por lo

tanto, pues... mucho, bueno, un poco menor.

66 ÷ 0,86

Pues sería mucho menor que 66. A ver. 66 entre 0,86 correría

la coma dos lugares, me quedaría 66 entre 86 y quedaría cero

con algo.

943 ÷ 0,48

943 entre 0,48. Pues redondearía 943 a 940 entre 0,50.

Correría la coma y se quedaría 950, 40 entre 50 y me quedaría

mucho menor que 943.

0,76 ÷ 0,89

Pues aquí lo mismo. Aquí 0,76 entre 0,89 lo redondeo todo y

me quedo con 0,80 entre 0,90 y me quedaría pues... un poco más

de 0,76.

Sujeto 41

187,5 × 0,06

La A. Mucho menor que 187,5. Porque, si divido un número

por... por un número que tiene más decimales, un poco menor.

¿Por qué?. Es multiplicar, multiplicar. Pues entonces un poco

mayor. ¿Por qué?. Porque lo estoy multiplicando por un

decimal. No puede ser mucho más grande. Es un poco mayor.

Porque lo multiplico por cero con uno, más o menos...

64,6 × 0,16

Y aquí lo mismo. Un poco mayor. Porque es como si lo

multiplico por cero con ... No. Un poco menor porque lo estoy

multiplicando por un número menor que uno. Entonces será un

poco menor.

424 × 0,76

No es mucho menor que uno [señalando el 0,76]. Más que el

doble será. ¿Qué opción escoges?. Pues mucho mayor. La D.



264

0,47 × 0,26

[Falta la respuesta para esta pregunta]

66 ÷ 0,86

Es mucho menor. Porque 66 entre 0,8 más o menos. Es un poco

mayor porque si 66 entre uno es a 66, si lo divido entre un

número un poco menor, pues me da un resultado un poco mayor,

¿No?.

943 ÷ 0,48

Pues dará aproximadamente... un poco mayor. Porque 943 entre 1

sería 943, entre la mitad, pues sería más.

0,76 ÷ 0,89

Mucho mayor que 0,76. Siete entre ocho me da menos que... .

Son 0,7 dividido entre 0,8 me da menos que uno. Entonces,

¿cuál eliges? Mucho menor que 0,76. ¿Por qué?. Por eso, por

que si divides 0,7 entre 0,8 me da menos que... me da menor

que uno, menor que 0,1.

Sujeto 42

187,5 × 0,06

187,5 × 0,06 pues va a ser un número realmente pequeño. Es

mucho menor que 187,5. Porque esto es el 6% de 187,5. Se

quedaría en... no sé cuánto te he dicho antes. Diez o algo

así.

64,6 × 0,16

Sería el 16% de 64 que se quedaría en... Mucho menor, mucho

menor. La A también cogería.

424 × 0,76

Si multiplico por uno... Un poco menor que 424. Sería la B.

Porque esto es el 76% de 424. Entonces va a ser una cuarta

parte menos.

0,47 × 0,26

A ver. Va a ser la cuarta parte de 0,47 sería ... mucho menor

que ... Ah, que 0,26. Sería, respecto a 0,26, sería la mitad.

Apéndice C


265

Sería... mucho menor que 0,26 aunque el valor, como es muy

pequeño... tampoco...

66 ÷ 0,86

Sería el 86%... no. Sesenta y seis entre uno... Es que esto ya

es más difícil. Sesenta y seis, sería entre 0,86. Va a

aumentar un poquito. Un poco mayor que 66. ¿Por?. Porque el

66, al dividirlo por un número que es casi uno, va a aumentar

un poco, bastante. Sería 75 o 80 pero no mucho más.

943 ÷ 0,48

943 ÷ 0,48 es como dividir entre 2. Es mucho menor que 943. La

A. ¿Me estoy equivocando con las divisiones, ¿no?.

0,76 ÷ 0,89

0,76 ÷ 0,89 sería... aumentaría. Aumentaría a 1. Un poco mayor

que 0,76. C.

Sujeto 43

187,5 × 0,06

Mucho más de 187,5. Porque he redondeado el 187,5 a 190 y lo

he dividido entre 6 y daba, me parece, ochocientos y pico.

64,6 × 0,16

Da mucho menor que 64,6 por los decimales.

424 × 0,76

Un poco mayor que 424. También por los decimales y bueno... lo

he intentado redondear un poquillo.

0,47 × 0,26

La D. Mucho mayor que 0,26. Por que he multiplicado el 2 por

el 4 y esto sería 0,8 o por ahí.

66 ÷ 0,86

La B. Mucho menor que 66. He dividido el 66 entre el 8 y como

es cero coma he supuesto que sería 0,8 o por ahí.

943 ÷ 0,48

Mucho mayor que 943. He redondeado el 0,48 a un medio.

Entonces he supuesto que al ser una división, el 943 tendría



266

que ser, al multiplicarse por el 2, sería el doble y luego

sería dividirlo entre 1 que se quedaría igual.

0,76 ÷ 0,89

La B. Un poco menor que 0,76. Porque si dividimos un número

pequeño entre un numerador más grande supongo que tiene que

dar un número más pequeño pero al ser un número que no se

lleva mucho pues supongo que tendrá que ser un poco menor,

tampoco mucho.

Sujeto 44

187,5 × 0,06

Mucho menor que 187,5. Porque multiplicar por un número que es

menor que uno, siempre saldrá el resultado menor.

64,6 × 0,16

Este igual. Mucho menor que 64,6. Porque multiplicar por un

número menor que uno, siempre será...

424 × 0,76

Pues aquí es un poco menor que 424 por que multiplicar por un

número menor que uno pero es mayor que 0,5 el número.

0,47 × 0,26

Un poco menor que 0,26 porque multiplica por 0,47 que es más o

menos la mitad.

66 ÷ 0,86

Un poco mayor que 66 porque dividir por un número menor que

uno tiene que dar menor que el número.

943 ÷ 0,48

Es un número mucho mayor que 943 porque dividir un número por

0,48 es como multiplicar por dos.

0,76 ÷ 0,89

Un poco menor que 0,76... Un poco mayor que 0,76 porque divide

entre un número menor que uno.

Apéndice C


267

Sujeto 45

187,5 × 0,06

Menor que 187,5. ¿Es la opción...?. La A. Porque luego al

multiplicarlo, la coma pasa tres números y entonces sé que

seis por una es seis y va a quedar la coma después del ocho

64,6 × 0,16

Menor también. La A. Por lo mismo, ¿no?.

424 × 0,76

Un poco menor. La B. Porque al multiplicarlo 4 por 7 son 28 me

paso sólo dos números. O sea, me va a dar un resultado que no

se va a alejar mucho.

0,47 × 0,26

Un poco mayor, yo creo. Porque... no, un poco menor. No, un

poco mayor, espera... no lo sé.

66 ÷ 0,86

La B. Porque si 0,86 pongo que es uno, pues sé que va a dar

66. Entonces, como tampoco es mucha diferencia pues un poco

menor.

943 ÷ 0,48

La A. Porque si pongo 0,5, quito la coma, pongo dos ceros, y

al multiplicar... a dos no va a caber, pues a uno.

0,76 ÷ 0,89

La B. Porque si 0,89 pongo que es uno, me da igual. Como

tampoco es tan...

Sujeto 53

187,5 × 0,06

La primera. Mucho menor que 187,5. Porque estás multiplicando

por 6 por 10-2. Entonces ya directamente la coma la vas a

correr a la izquierda dos lugares.



268

64,6 × 0,16

La primera también. Porque aproximadamente es dividir entre

cinco. Es multiplicar por un quinto y a medida en que el cinco

se empieza a ... va a ser mucho menor.

424 × 0,76

Aquí un poco menor. La B. Porque estás multiplicando por tres

cuartos. Entonces va a ser un poco menor pero tampoco...

0,47 × 0,26

Pues, la A. Es que es aproximadamente la mitad. Entonces mucho

menor que 0,26.

66 ÷ 0,86

La C. Porque estás dividiendo aproximadamente entre 0,9 y va a

ser un poco mayor que el valor que tiene, no tanto como si

fuera entre uno.

943 ÷ 0,48

La D. Porque estás dividiendo entre 0,5 aproximadamente un

medio y es multiplicar casi por dos.

0,76 ÷ 0,89

La C. Un poquito mayor que 0,76 pero tampoco mucho. Porque

divides entre... aproximo 0,89 a 9 por 10-1, entonces 10-1 sube

arriba por 10. Te queda 7,6 entre 8, pues un poquito más

grande que... [inaudible].


Apéndice D

Materiales utilizados en el periodo

de instrucción sobre estimación

A continuación se presentan los materiales utilizados en el

aula durante el periodo de instrucción sobre estimación en

cálculo. El periodo de instrucción fue de 6 clases (de hora y

media de duración cada una). Con esta presentación de

materiales se pretende que el lector interesado pueda tener

una idea de cómo transcurrió el periodo de instrucción.

En primer lugar, figuran tres artículos breves sobre

estrategias de estimación -operación frontal, redondeo y uso

de números compatibles- (pp. 271-284). Se incluyen después una

hoja de actividades sobre el uso de números compatibles

(Figura D.1, p. 285) y las transparencias utilizadas durante

las sesiones de clase1 (pp. 286-299). Finalmente, figuran las

hojas de problemas y actividades sobre estimación (pp. 300-

302), algunos ejemplos de actividades para practicar el

cálculo mental (Figura D.16, p. 303) y un par de ejemplos de

las transparencias utilizadas para realizar actividades de

estimación en clase utilizando el “uso de puntos de

referencia”2 (Figuras D.17 y D.18, pp. 304-305). En cada clase

hay un encargado que recibe una copia de cada una de las

transparencias para hacer fotocopias a todos aquellos

compañeros que lo soliciten. Los artículos y las hojas de

problemas fueron distribuidos por el profesor durante las

sesiones de clase.

1 Estas transparencias están tomadas de R. E. Reys y otros (1987). Cada una de ellas constituye una mini-lección sobre estimación pensada para niños de 6º grado (6º de Educación Primaria). 2 Estrategia de estimación descrita en el trabajo de Flores y otros (1990).



270

Las actividades planteadas en clase para practicar el uso

de puntos de referencia fueron del siguiente tipo:

El frasco de mermeladas Bebé3 contiene 340 g. de mermelada y

cuesta 149 pesetas. ¿A cuánto sale el kilo de mermelada

aproximadamente?

El pan de molde Bimbo4 costaba 385 pesetas y ahora cuesta

265. ¿Qué rebaja me han hecho en porcentaje aproximadamente?

La carpeta clasificadora5 cuesta 4,15€. ¿Cu ánto costará

aproximadamente en pesetas?

El profesor mostraba las figuras D.17 o D.18 en el

retroproyector de transparencias y formulaba preguntas como

las que se acaban de presentar. Los alumnos realizaban sus

estimaciones y el profesor las iba apuntando en la pizarra.

Después, se pedía a los alumnos que explicaran verbalmente el

procedimiento que habían utilizado para producir sus

estimaciones y se discutía la razonabilidad de las mismas.

La única referencia bibliográfica dada para la parte de

estimación de la asignatura fue el libro de Segovia y otros

(1989).

3 Figura D.17. Es la primera figura de la izquierda (p. 304). 4 Esquina inferior derecha de la figura D.17 (p. 304). 5 La imagen correspondiente a esta actividad puede verse en la esquina inferior derecha de la figura D.18 (p. 305).

Apéndice D


271

Estimación frontal6

Por Harold L. Schoen

Una de las razones del interés actual por la

estimación es el uso generalizado de la

calculadora. Es fácil presionar la tecla

equivocada en una calculadora y obtener un

resultado no razonable.

A menudo, una estimación rápida puede identificar un error de

este tipo de modo que éste pueda ser corregido. Por ejemplo,

¿Es razonable la respuesta que aparece en la pantalla?

6918 + 5721 + 823

Una lectura atenta de los primeros dígitos en los dos primeros

números (6 y 5 unidades de mil) es todo lo necesario para ver

que la suma debe ser más de 11.000, por tanto la respuesta que

muestra la pantalla no puede ser correcta.

Este sencillo proceso de estimación frontal7 resulta práctico

cuando queremos hacer una primera estimación para un cálculo.

6 Traducción, realizada por Carlos de Castro, del artículo: Schoen, H. L. (1987). Front-End Estimation. Arithmetic Teacher. February, pp. 28-29. 7 La expresión “operación frontal” (o “estimación frontal”) suele usarse para referirnos a una estrategia de cálculo en la que nos centramos solamente en los primeros dígitos y en su valor posicional. Hay dos formas características de centrarse en los primeros dígitos: El redondeo y el truncamiento. En este artículo la estimación frontal se refiere al truncamiento. La razón de que a veces se utilice la expresión “operación frontal” en vez de la expresión más sencilla “operación con los primeros dígitos” es que con esta última expresión podemos caer en el error de pensar que el “primer dígito de un número” es aquel con el que empezamos habitualmente las operaciones, es decir, con las unidades. La expresión “operación frontal” señala que nos estamos refiriendo a los primeros dígitos que nos encontramos “de frente” según avanzamos en la dirección usual de lectura de izquierda a derecha, es decir, los dígitos con mayor valor posicional.

6 918 + 5 721 + 823

Es más de 6 + 5 miles, o 11 000.



272

Considera la siguiente situación:

Un cuaderno

cuesta 2,19 euros

Cuando se requiera una estimación más precisa puede enseñarse

a los alumnos a ajustar sus estimaciones frontales iniciales.

En este ejemplo, el niño no puede comprar 5 cuadernos con 10

euros pero ¿Podría comprar 4?

Este proceso refinado de estimación frontal tiene cuatro

pasos: (1) identificar los dígitos que tienen mayor valor

posicional, (2) hacer un cálculo mental con ellos utilizando

su valor posicional, (3) decidir cómo ajustar la estimación, y

(4) hacer un cálculo mental para obtener la estimación

ajustada. Estos pasos se muestran a continuación:

Además de darnos una razón para estimar, la calculadora puede

usarse como instrumento para enseñar estimación, como muestra

el siguiente ejemplo. Piensa un número para multiplicar por 8.

Si la respuesta está entre 610 y 630, el balón entra en la

7, 28 4, 18 2, 37+ 0, 83

1) Los primeros dígitos son 7, 4 y 2. 2) 7 + 4 + 2 = 13.

3) 0, 18 + 0,83 es aproximadamente 1 y 0, 28 + 0,37 es más o menos 0,50. Esto hace 1, 50. 4) Mi estimación es 13 + 1,50 más o menos 14,50 euros.

7, 28 4, 18 2, 37+ 0, 83

Tengo 10 euros. ¿Puedo comprar

5 cuadernos?

mm... No. 5 × 2 es 10, luego 5 × 2,19 es más de 10. ¿Podría

comprar 4?.

4 × 2 es igual a 8, y 4 × 0,19 es menos que 0,80. Esto hace 8,80 que es menos de diez.

Apéndice D


273

canasta. Estima el resultado, después compruébalo con tu

calculadora.

Consejos para maestros

Los cuatro pasos en el proceso refinado de estimación frontal

requieren la comprensión de las destrezas que constituyen los

prerrequisitos para el dominio del proceso. Estos incluyen la

identificación de los dígitos con mayor valor posicional, la

determinación de qué valor posicional es, el cálculo mental

con potencias de 10, y el ajuste de la estimación inicial.

La enseñanza y la evaluación deberían estar orientadas hacia

la comprensión de estas destrezas.

El primer paso en el algoritmo largo de la división requiere

una estimación frontal.

La división larga puede ser una forma de iniciarse con la

estimación frontal, y el aprendizaje de la estimación frontal

debería mejorar la destreza de nuestros alumnos en la división

larga.

Consejos para evaluar la estimación

Cuando evalúas la habilidad de tus alumnos para estimar o

cuando analizas tests diseñados para hacerlo, cuida que las

estimaciones frontales sean consideradas correctas. Mucha

8 × 80 es igual a 640, luego probaré con 78.

¿ 5 × __ = 42 ?Más o menos 8, luego 8

es el primer dígito.

42583 53

42583 538

¿ 5 × __ = 42 ?Más o menos 8, luego 8

es el primer dígito.

42583 53

42583 538

42583 53

42583 538

42583 5342583 53

42583 538

42583 538



274

gente, incluyendo algunos autores de tests, maestros, y

alumnos, identifican erróneamente la estimación con el

redondeo. Si deseas promover y evaluar correctamente los

procesos de estimación frontal, una respuesta como 6000 debe

ser considerada como estimación aceptable para 4705 más 2698.

Los ítems de elección múltiple no suelen presentar 6000 como

elección posible, o peor, suelen considerarlo como respuesta

incorrecta.

Informe de investigación

En un trabajo de investigación, llevado a cabo por Robert

Reys, Barbara Bestgen, James Rybolt y Wendell Wyatt

(Identificación y caracterización de procesos de estimación en

cálculo usados por alumnos escolarizados y adultos no

escolarizados [Washington, D.C.: National Institute of

Education, 1980]), se usó una calculadora que había sido

trucada8 para realizar cálculos erróneos. Se pidió a los

alumnos y a los adultos que eran buenos estimadores que usaran

su calculadora defectuosa para comprobar sus estimaciones.

La mayoría de estos buenos estimadores, enfrentados con la

respuesta de la calculadora, solían aceptarla como correcta

asumiendo que su estimación había sido errónea. Esta

investigación sugiere que a menudo los alumnos ponen demasiada

confianza en la respuesta de la calculadora. Los maestros

deberían animar a sus alumnos a preguntarse acerca de la

razonabilidad de todas las respuestas, incluyendo las

obtenidas con una calculadora o un ordenador.

Para profundizar

A pesar de que habitualmente enseñamos los algoritmos de la

suma y de la resta con papel y lápiz de derecha a izquierda,

ambos pueden hacerse mediante un algoritmo frontal, realizado

8 Sin que los participantes en la investigación lo supieran.

Apéndice D


275

de izquierda a derecha. Este enfoque frontal tiene al menos

dos ventajas sobre el algoritmo que se hace de derecha a

izquierda: el primer paso nos da inmediatamente una primera

estimación del resultado final, y además el proceso se realiza

de izquierda a derecha igual que la lectura.

El redondeo inteligente9

Por Paul R. Trafton y Judy Zawojewski

¿Piensan tus alumnos que el redondeo es

estimación?. ¿Es el redondeo un proceso laborioso

y mecánico para ellos?. ¿Aplican reglas

rígidamente sin pensar cuando están estimando?

Ofrecemos dos ideas sobre el redondeo y la

estimación para que pienses sobre ellas:

1. El redondeo es solamente una de varias estrategias de

estimación que los alumnos deben aprender. Es necesaria una

variedad de estrategias para que la estimación sea rápida,

fácil, manejable y práctica. Muchas veces el redondeo no es el

mejor enfoque. Sin embargo, es práctico, y algunas veces (por

ejemplo en la multiplicación) es la estrategia más sencilla.

2. Los alumnos deben ser flexibles cuando redondean para

estimar. Una parte clave del proceso de estimación es la

selección de una estrategia y de números con los que sea

sencillo trabajar en una situación. El pensamiento flexible es

necesario. Aquí se ofrecen algunos métodos de redondeo para

presentar a los alumnos.

A. Estima el total:

9 Traducción, realizada por Carlos de Castro del artículo: Trafton, P.R.; Zawojeswski, J. (1987). Rounding Wisely. Arithmetic Teacher. April, pp. 36-37.

16.28 euros euros 57.83euros

euros

5.57 euros euros



276

Redondeando al euro más cercano tenemos: 16 + 58 + 6 euros10.

Trabajar con estos números mentalmente puede ser demasiado

complicado y frustrar nuestra intención de realizar una

estimación. En su lugar redondeamos a la decena de euros más

próxima: 20 + 60 + 10 euros. 20 + 60 euros sólo ya produce una

sobrestimación. Añadir 10 euros más daría una estimación poco

realista por ser excesivamente alta. Alguien con pensamiento

flexible dejaría los 5 euros y tomaría 80

euros como una estimación razonable, o redondearía a los 5

euros más cercanos, obteniendo 15 + 60 + 5 euros, lo que da

una estimación de 80 euros.

B. Estima el ahorro:

Redondeando a la decena más próximas (1/4 de

40) da una estimación de 10 euros, mientras

que redondeando al múltiplo de cuatro

más cercano ( 1/4 de 36 ) da una estimación

más precisa de nueve euros, una diferencia que

en ocasiones puede ser importante.

C. Estima el precio de tres paquetes:

Si redondeamos al euro más cercano, la

estimación da solamente tres seguros, que

parece demasiado baja para ser práctica.

Redondeando a los décimos de euros obtenemos 3 × 1,40 euros,

que es difícil de hacer mentalmente para mucha gente. ¿Porqué

no redondear al medio euro más cercano?. Es sencillo hacerlo

mentalmente y además incluye el IVA en la cuenta.

El pensamiento flexible permite a los alumnos utilizar números

con los que es sencillo trabajar y produce mejores

estimaciones cuando se necesita que estas sean más precisas.

10 En el original, las cantidades vienen en dólares. Hemos cambiado los dólares por euros para que las actividades resulten más cercanas para un lector español. Elegimos euros, en vez de pesetas, por que al igual que ocurre con el dólar, las cantidades se expresan utilizando dos decimales y además, al ser el valor del dólar y su expresión más cercanos al euro que a la peseta, también las técnicas de estimación usuales con los dolares pasarán más fácilmente a técnicas equivalentes con euros.

SE VENDE

Antes: 35 euros. Ahora: 1/4 menos.

1,43 euros

Apéndice D


277

Pensamiento flexible significa ser capaz de hacer que el

redondeo trabaje para ti. Mira estos dos ejemplos en los

cuales no se sigue el enfoque dado por redondeo estándar.

25 × 36 ≈ 20 × 40 = 800

23 × 43 ≈ 20 × 43 = 860

Cada alumno hace funcionar el redondeo sabiendo cuando "romper

las reglas". Para 25 × 36, el redondeo estándar daría 30 × 40,

una estimación que resulta demasiado alta en la práctica. Para

23 × 43, el alumno ha visto que 20 × 43 era sencillo de

calcular mentalmente pero quería una estimación más precisa de

la que le hubiera dado 20 × 40.

Consejos para la enseñanza del redondeo

Muchos alumnos no comprenden las reglas del redondeo y en

ocasiones las olvidan o las aplican incorrectamente. Estas

ideas proporcionarán una mejor base.

a) desarrolla la regla cuidadosamente. Relaciona el redondeo

con la noción física de estar cerca de... Por ejemplo,

mirando a números entre 400 y 500, 409 está más cerca de 400 y

482 está más cerca de 500.

Los números que están a mitad de camino necesitan una atención

especial.450 está justo en la mitad; por tanto, podría ser

redondeado hacia arriba o hacia abajo. La regla más común es

redondear los números que están en medio hacia arriba.

b) Relaciona el modelo con la regla. Muestra como la regla

numerada encaja con nuestro modelo. 0, 1, 2, 3, o 4 decenas

significan que el número no ha llegado a la mitad del camino

hacia la siguiente centena; 5, 6, 7, 8, o 9 decenas significan

que el número está en la mitad del camino o más cercano ya a

la siguiente centena.

400 450 500409 482



278

¿Sabías que?

Los estadísticos a menudo usan otra regla para redondear los

números que quedan en la mitad. Para evitar sesgos

sistemáticos en los datos, los números que quedan en la mitad

a veces se redondean hacia arriba y otras veces hacia abajo.

Regla: redondeamos al número par de centenas más próximo.

350 se redondea a 400. 450 se redondea a 400.

550 se redondea a 600. 650 se redondea a 600.

Los alumnos de cursos superiores deberían estar advertidos de

esta y otras convenciones cuando se utilizan procedimientos

arbitrarios.

El ajuste de estimaciones

El ajuste debe enfatizarse en la estimación de un modo

informal. Algunas veces es fácil decir si estamos estimando

por exceso o por defecto.

6 × 48 ≈ 6 × 50 = 300− (El signo “−” indica que hemos

estimado por exceso).

32 × 61 ≈ 30 × 60 = 1800+ (El signo “+” indica que hemos

estimado por defecto).

¿Cómo redondeo?.

Cómo redondeas debe ser decisión tuya. ¿Qué grado de precisión

necesitas en tu estimación? ¿Se te da bien el cálculo mental?

¿Qué método te parece más rápido y sencillo?. Prueba cada uno

de los siguientes métodos.

400 500 490 480 470 460 450 440 430 420 410

Más de la mitad del camino Menos de la mitad del camino

Apéndice D


279

Redondea al

euro más próximo

Redondea al medio euro más próximo

2,63 3,00 2,50 3,84 4,00 4,00 0,59 1,00 0,50 3,28 3,00 3,50 Estimación:

11,00 Estimación: 10,50

La toma de decisiones

¿En qué situaciones se redondearía así?

El total será 7 + 4 + 6... Aproximadamente 17 euros. Puede

ser un poco menos.

Cuando vamos a la compra, debemos asegurarnos de que tenemos

dinero suficiente para pagar nuestras compras. Por tanto,

algunas veces tiene sentido redondear hacia arriba los

precios. Este método nos conducirá a una sobrestimación que

además nos ayudará a tomar en cuenta el IVA dentro de nuestra

estimación.

Precaución: El redondeo de ítems en tests.

¿Qué está mal en este ítem? Estima la suma: 324 + 348

Rodea con un círculo la mejor estimación: 400 500 600 700

Si un alumno redondea los sumandos a la centena más próxima,

la estimación sería 600. Sin embargo si el alumno es un

estimador más flexible se dará cuenta de que 600 es una cota

inferior y que la suma está realmente más cerca de 700.

Examina todos estos ítems de tests en libros o tests

estandarizados. Asegúrate de que un estimador flexible no

resulta penalizado al usar buenas estrategias de estimación.

5.98 euros euros

3.75 euros 6.39 euros euros



280

Números compatibles11

Por Rheta Rubenstein

El redondeo y la operación frontal son dos de

las estrategias de estimación enseñadas con

más frecuencia. Sin embargo, no siempre

nos conducen a cálculos mentales sencillos.

Considera la siguiente situación:

Ejemplo 1

María realiza un viaje de 338 km. y gasta 17, 6 litros de

gasolina. Estima el número de kilómetros que hace el coche de

María por cada litro de gasolina.

Mediante redondeo:

338 ÷ 17, 6 se convierte en 340 ÷ 18

Mediante una operación frontal:

338 ÷ 17, 6 se convierte en 330 ÷ 17

Ninguno de los dos métodos da lugar a una división sencilla.

Considera en su lugar cualquiera de las dos posibilidades

siguientes: 340 ÷ 17 o 360 ÷ 18. Cada una de estas divisiones

tiene un cociente fácil de calcular mentalmente, 20 km. por

litro. Esta estrategia de estimación, el uso de números con

los que es fácil calcular mentalmente, se llama uso de números

compatibles12.

A diferencia del redondeo y del uso de los primeros dígitos

(operación frontal), el uso de números compatibles permite

varias posibilidades, como muestra el siguiente ejemplo.

11 Traducción, realizada por Carlos de Castro, del artículo: Rubenstein, R. (1987). Compatible Numbers. Arithmetic Teacher. May, pp. 24-25. 12 La estrategia del uso de números compatibles se utiliza especialmente en las divisiones y consiste en sustituir el dividendo y el divisor en la división por dos números entre los que existe la relación de múltiplo y divisor. Por ejemplo: 13749 ÷ 671 ≈ 14000 ÷ 700 = 20.

Apéndice D


281

Ejemplo 2 Una bicicleta de carreras que tenía

un precio inicial de 152,98 euros,

tiene una rebaja del 30%. Estima la

cantidad que ahorramos al comprarla.

Mostramos tres posibilidades de

enfocar el problema mediante el uso de

números compatibles:

Estimación 1. 30% está cerca del 25%, que es ¼.

30% de 152, 98 euros es aproximadamente ¼ de 160 euros, esto

es 40 euros.

Estimación 2. 30% está cerca de 33,3%, que es 1/3.

30% de 152, 98 euros es aproximadamente 1/3 de 150 euros, esto

es 50 euros.

Estimación 3. 30% es igual a 3/10.

30% de 152, 98 euros es aproximadamente 3/10 de 150 euros,

esto es 3 × 15 = 45 euros.

Observa que el hecho de que dos números “sean compatibles”

depende de la operación que estemos haciendo tanto como de la

elección del estimador. Por ejemplo, en 60 ÷ 8, 64 y 8 son

compatibles. Sin embargo, en el 64 × 8, 60 y 8 son

compatibles. ¿Cómo podemos ayudar a los alumnos a que usen

números compatibles para estimar?. Primero debemos enseñar y

practicar las destrezas que constituyen los requisitos previos

para el uso de números compatibles:

• Conocimiento de los hechos básicos13 (7 × 8 = 56, 25% = ¼,

sumas de centenas)

• Significados de las operaciones ( para calcular los km. por

litro tengo que dividir).

13 Con hechos básicos, traducción de “basic facts”, nos referimos a lo que en España llamamos tablas de sumar, multiplicar, etc., que son los resultados (o, si se quiere, hechos) básicos, que deben ser memorizados como prerrequisito para acceder a formas más complejas de cálculo como los algoritmos escritos, los métodos de cálculo mental o los métodos de estimación.



282

• Aplicación de propiedades numéricas (5 × 1, 7 + 5 × 0, 3 =

5 × (1, 7 + 0, 3) por la propiedad distributiva).

• Cálculo mental (340 ÷ 17 = 20)

• Reconocer números cercanos a los que nos dan, con los que

resulta más sencillo calcular.

• Preparación para transformar cálculos en otros más

sencillos.

Después de esto, debemos dar a los alumnos oportunidades de

aplicar esta nueva estrategia con frecuencia.

Al introducir la estrategia de estimación del uso de números

compatibles a tus alumnos, estás aumentando su "caja de

herramientas" de métodos disponibles para usar en las

situaciones de estimación.

Consejos para maestros

Usa el retroproyector

El retroproyector es una ayuda para la práctica de la

estimación porque en él las preguntas pueden mostrarse por

poco tiempo. Para sacar el máximo provecho de las

transparencias, puedes escribir varias preguntas básicas.

Borra después los números y las palabras claves y sustitúyelos

por otros. Asegúrate de que para cada problema pueden

encontrarse pares diferentes de números compatibles. Aquí hay

algunos para empezar.

Kilómetros Litros de gasolina

Estimación del consumo

695 23, 2 700 ÷ 20 o 660 ÷ 22 o 750 ÷ 25 271 12, 9 260 ÷ 13 o 271 ÷ 10 En el ejemplo 2.

Objetos en venta Precio Descuento Ahorro

Radio cassette

8, 88 euros 10% 1/10 de 9 euros

= 0, 9

Calculadora 6, 58 euros

25% ¼ de 6, 40 euros = 1, 60

Apéndice D


283

Consejos para evaluación

Un mini-concurso es un pequeño conjunto de preguntas,

presentadas en trocitos de papel, que los alumnos deben

responder en un corto espacio de tiempo (menos de 2 minutos).

Los siguientes mini-concursos son temáticos. Cada uno se

dirige al dominio de un conjunto de conceptos o procesos

necesarios para el dominio de la estimación: el conocimiento y

uso de las potencias de diez; el uso de propiedades para

reordenar, reagrupar, o distribuir; y la identificación de

operaciones sencillas. Los mini- concursos funcionan bien al

final de la clase. En menos de 10 minutos puedes

distribuirlos, hacer que se realicen en forma de carrera, y

conseguir que los alumnos compartan algunas estrategias. Los

alumnos disfrutan descubriendo los "atajos". Los mini-

concursos son fáciles de preparar: divide una hoja normal en

ocho trozos con un concurso diferente en cada uno. Haz una

fotocopia para cada alumno y usa un cutter para hacer

actividades para ocho días.

Muestras de mini-concursos

Atención a las centenas

1) 50 × 17 × 2 2) 87 × 25 × 4 3) 5 × 193 × 20 4) 873 + 431 + 127 5) 1654 + 172 + 828 + 346 6) 1% de 6251 El uso de propiedades 1) 49 × 4 2) 6 × 98 3) (97 × 15) ÷ 15 4) 1/8 de 872 5) 357 + 249 - 357 6) 73 × 84 × 0 × 51 ¿Cuál es más sencilla? 1. a) 47 × 8 b) 47 × 9 c) 47 × 10 2. a) 40 × 73 b) 38 × 73 c) 40 × 70 3. a) 23% de 400 b) 25% de 400 c) 23% de 391

Intenta...

Un libro de texto tradicional14 puede usarse para proponer

actividades de estimación. Pide a los alumnos que abran el

14 Se refiere a algunos libros de texto antiguos que estaban llenos de operaciones dispuestas en filas y columnas.



284

libro por una página que contenga cálculos y usa las

soluciones (del libro del profesor) para hacer preguntas como

las siguientes:

1. En la segunda fila, una multiplicación da un resultado

cercano a 600. ¿Cuál es?

2. En la tercera columna, una división da un resultado cercano

a 500, encuéntrala.

3. Entre las preguntas de porcentajes, encuentra una cuya

respuesta esté cerca del 10%.

Acuérdate de animar a tus alumnos a explicar cómo han llegado

a sus respuestas. La verbalización es una ayuda muy importante

en el desarrollo de los procesos de estimación.

Apéndice D


285

Figura D.1 Uso de números compatibles con fracciones y

porcentajes15

15 Actividad tomada de Rubenstein (1985b).



286

Figura D.2 Actividad 1: El uso de la estimación

El uso de la estimación

Sólo llevo 10 €.¿Puedo comprar todo esto?

€

€

€

Para hacer esto entre 35 trabajadores harán falta unas 1000 horas

Vamos a ver... La media debe estar en

torno a 90

El uso de la estimación

Sólo llevo 10 €.¿Puedo comprar todo esto?

€

€

€

Para hacer esto entre 35 trabajadores harán falta unas 1000 horas

Vamos a ver... La media debe estar en

torno a 90

Apéndice D


287

Figura D.3 Actividad 2: Operación frontal. Truncamiento16

16 Todas las Actividades –desde la 2 a la 14- están tomadas de R. E. Reys y otros (1987).

€

Operación frontal (Truncamiento)

€ €€

Es rápido: Es una respuesta razonable:

Se hace mentalmente:

Da tu estimación

Suma los primeros dígitos

Por encima de 7 € o 7 € +

Es más rápido que hacerlo con papel y lápiz o tecleando los

números en una calculadora

Es una buena aproximación. ¿Por cuánto

puedes equivocarte

como mucho?

La operación 2 + 4 + 1 es muy fácil de

hacer mentalmente

€ € €

€€€€

Más o menos Más o menos Más o menos Más o menos

Intenta hacer éstos:

€

Operación frontal (Truncamiento)

€ €€

Es rápido: Es una respuesta razonable:

Se hace mentalmente:

Da tu estimación

Suma los primeros dígitos

Por encima de 7 € o 7 € +

Es más rápido que hacerlo con papel y lápiz o tecleando los

números en una calculadora

Es una buena aproximación. ¿Por cuánto

puedes equivocarte

como mucho?

La operación 2 + 4 + 1 es muy fácil de

hacer mentalmente

€ € €

€€€€

Más o menos Más o menos Más o menos Más o menos




288

Figura D.4 Actividad 3: Ajustamos nuestra primera estimación

Ajustamos nuestra primera estimación

Si el total de céntimos supera 1 €, la suma será mayor

que 10 €

€

€

€No

Si¿Menos de

¿Más de

€

Fíjate en lo que sobra

Estima el total fijándote en las primeras cifras

Damos una primera estimación utilizando una “operación frontal”

Ajustamos la estimación

¿Menos de

¿Más de

€

€

¿Cómo podríamos saberlo?

Estimación frontal:

¿Más de

¿Más de


€

Ajustamos nuestra primera estimación

Si el total de céntimos supera 1 €, la suma será mayor

que 10 €

€

€

€No

Si¿Menos de

¿Más de

€

Fíjate en lo que sobra

Estima el total fijándote en las primeras cifras

Damos una primera estimación utilizando una “operación frontal”


¿Menos de

¿Más de

€

€

¿Cómo podríamos saberlo?

Estimación frontal:

¿Más de

¿Más de


€

Apéndice D


289

Figura D.5 Actividad 4: ¿Tengo suficiente con 10 €?

¿Tengo suficiente con 10 €?

¿Puedo comprar con 10 euros ... ?

Mi estimación frontal es de

11.00 €.¡Imposible!


7.00 €. El resto no puede ser mayor de 2 €.

¡Tengo de sobra!

€

€ €

€

Vamos a ver... 3 + 6 = 9 € El resto no llega a 1 €. ¡Tengo de

sobra!

€

€

€

€

La estimación frontal es de 9 €

pero con los céntimos se pasa

de 10 €.No puedo

comprar las dos cosas

€

€

€

€€

€

€

€

Intenta hacer los siguientes:¿Tengo suficiente con 10 € para comprar cada par de cosas?Elige una respuesta

Seguro que sí No puede ser




¿Tengo suficiente con 10 €?

¿Puedo comprar con 10 euros ... ?


11.00 €.¡Imposible!


7.00 €. El resto no puede ser mayor de 2 €.

¡Tengo de sobra!

€

€ €

€

Vamos a ver... 3 + 6 = 9 € El resto no llega a 1 €. ¡Tengo de

sobra!

€

€

€

€

La estimación frontal es de 9 €

pero con los céntimos se pasa

de 10 €.No puedo

comprar las dos cosas

€

€

€

€€

€

€

€

Intenta hacer los siguientes:¿Tengo suficiente con 10 € para comprar cada par de cosas?Elige una respuesta

Seguro que sí No puede serSeguro que sí No puede ser






290

Figura D.6 Actividad 5: A ojo o afinando

A ojo o afinando

A veces es suficiente con echar un vistazo para hacer una estimación. Otras veces es

necesario afinar bastante más

Vas a la tienda con 10 €.A ojo ¿Puedes decir a primera vista si tienes suficiente o no?Afinar o ¿Necesitas ajustar bien tu estimación para decidirlo?

A ojo o afinando

A veces es suficiente con echar un vistazo para hacer una estimación. Otras veces es

necesario afinar bastante más

Vas a la tienda con 10 €.A ojo ¿Puedes decir a primera vista si tienes suficiente o no?Afinar o ¿Necesitas ajustar bien tu estimación para decidirlo?

Apéndice D


291

Figura D.7 Actividad 6: ¿Es razonable la respuesta?

¿Es razonable la respuesta?

¿Son razonables estas respuestas? Examina el problema y la solución. ¿Tiene sentido la respuesta?

¿Es razonable la respuesta?

¿Son razonables estas respuestas? Examina el problema y la solución. ¿Tiene sentido la respuesta?



292

Figura D.8 Actividad 7: El uso del redondeo en

multiplicaciones

El uso del redondeo en multiplicaciones

El grupo de teatro de la escuela representó una obra seis veces. Todos los días se agotaron las entradas. El teatro tiene 387 asientos. ¿cuántas entradas se vendieron en total aproximadamente?

Más o menos2400

Más o menos1800

Ambas (1800 y 2400) son estimaciones razonables, pero:

• 387 está más cerca de 400 y además• 6 ×× 400 es fácil de hacerAsí que 2400 es mejor estimación que 1800.

Intenta hacer los siguientes ejercicios:

Redondea para dar la estimación más cercana al resultado

El uso del redondeo en multiplicaciones

El grupo de teatro de la escuela representó una obra seis veces. Todos los días se agotaron las entradas. El teatro tiene 387 asientos. ¿cuántas entradas se vendieron en total aproximadamente?

Más o menos2400

Más o menos1800

Ambas (1800 y 2400) son estimaciones razonables, pero:

• 387 está más cerca de 400 y además• 6 ×× 400 es fácil de hacerAsí que 2400 es mejor estimación que 1800.

Intenta hacer los siguientes ejercicios:

Redondea para dar la estimación más cercana al resultado

Apéndice D


293

Figura D.9 Actividad 8: La estimación del producto de dos

números

La estimación del producto de dos números

Marcos ha encargado 24

cajas de plumas para su

papelería. ¿Cuántas

plumas son en total

aproximadamente?

Primer paso: Redondeamos ambos factores

Segundo paso: Multiplicamos los números redondeados


La estimación del producto de dos números

Marcos ha encargado 24

cajas de plumas para su

papelería. ¿Cuántas

plumas son en total

aproximadamente?

Primer paso: Redondeamos ambos factores

Segundo paso: Multiplicamos los números redondeados




294

Figura D.10 Actividad 9: El uso de 10, 100 o 1000

El uso de 10, 100, o 1000

Cuando alguno de los factores está cerca de 10, 100, o 1000, es muy fácil

cambiar el factor y después multiplicar

Estimación:

Como he redondeado 96 hacia arriba, tendré que

ajustar la estimación hacia abajo


€ € €

El uso de 10, 100, o 1000

Cuando alguno de los factores está cerca de 10, 100, o 1000, es muy fácil

cambiar el factor y después multiplicar

Estimación:

Como he redondeado 96 hacia arriba, tendré que

ajustar la estimación hacia abajo


€ € €

Apéndice D


295

Figura D.11 Actividad 10: Evaluamos nuestra estimación

Dado que he redondeado los dos hacia arriba, sé que el resultado

exacto será menor que 1800.

Ahora he redondeado los dos hacia abajo, así que el resultado

exacto será mayor que 1200.

Aquí es difícil saber si la estimación es mayor que el resultado exacto o no. La

estimación será 4800

Como ambos están cerca de la mitad,

redondeamos uno hacia arriba y el otro hacia

abajo y nuestra estimación será 2800


Redondeamos ambos hacia arriba

Redondeamos ambos hacia abajo

Redondeamos uno hacia abajo y el otro

hacia arriba

Redondeamos uno hacia arriba y el otro

hacia abajo

Evaluamos nuestra estimación

Dado que he redondeado los dos hacia arriba, sé que el resultado

exacto será menor que 1800.

Ahora he redondeado los dos hacia abajo, así que el resultado

exacto será mayor que 1200.

Aquí es difícil saber si la estimación es mayor que el resultado exacto o no. La

estimación será 4800

Como ambos están cerca de la mitad,

redondeamos uno hacia arriba y el otro hacia

abajo y nuestra estimación será 2800


Redondeamos ambos hacia arriba

Redondeamos ambos hacia abajo

Redondeamos uno hacia abajo y el otro

hacia arriba

Redondeamos uno hacia arriba y el otro

hacia abajo

Evaluamos nuestra estimación



296

Figura D.12 Actividad 11: Tiro al blanco

Tiro al blanco

Elige los dos números cuyo producto esté más cerca del número que aparece en la diana

Tiro al blanco

Elige los dos números cuyo producto esté más cerca del número que aparece en la diana

Apéndice D


297

Figura D.13 Actividad 12: Uso de números compatibles

4117 6

El uso de números compatibles

Máquina de escribir

344 €

Puedes pagar en 5 meses

¿Cuál es aproximadamente la cantidad que se debe pagar al mes?

Podemos hacer: Pero también podemos ajustar mejor la estimación así:

344 534 entre 5 cabe a 6, así que debe estar

en torno a 60 €

34 está cerca de 35 y 5 es divisor de 35 así que sustituimos 344 por

350 y la estimación es 70 €

35 y 5 son números compatibles porque 5 es divisor de 35. Explica porqué crees que 70 € es mejor estimación que 60 €.

Intenta hacer éstos:Utiliza números compatibles. Elige la opción que conduce a la estimación más próxima a la respuesta exacta.

340 7 310 5

350 5300 5350 7280 73600 6 4200 6

262 3 5820 8 524 9

540 9450 9240 3 270 3 5600 8 6400 8

4117 64117 6

El uso de números compatibles

Máquina de escribir

344 €

Puedes pagar en 5 meses

¿Cuál es aproximadamente la cantidad que se debe pagar al mes?

Podemos hacer: Pero también podemos ajustar mejor la estimación así:

344 534 entre 5 cabe a 6, así que debe estar

en torno a 60 €344 5344 5

34 entre 5 cabe a 6, así que debe estar

en torno a 60 €

34 está cerca de 35 y 5 es divisor de 35 así que sustituimos 344 por

350 y la estimación es 70 €

35 y 5 son números compatibles porque 5 es divisor de 35. Explica porqué crees que 70 € es mejor estimación que 60 €.

Intenta hacer éstos:Utiliza números compatibles. Elige la opción que conduce a la estimación más próxima a la respuesta exacta.

340 7340 7 310 5310 5

350 5350 5300 5300 5350 7350 7280 7280 73600 63600 6 4200 64200 6

262 3262 3 5820 85820 8 524 9524 9

540 9540 9450 9450 9240 3240 3 270 3270 3 5600 85600 8 6400 86400 8



298

Figura D.14 Actividad 13: Más sobre números compatibles

Más sobre números compatibles

4025 € en total6 pagos mensuales_______ € al mesaproximadamente

Haz una estimación.Encuentra el número que más se aproxima al cociente de...

Utiliza números compatibles:

700 € al mes aproximadamente

... en las centenas4025 6

42 centenas 67 centenas

40 está cerca de 42.6 y 42 son compatibles.

Intenta hacer los siguientes:¿Cuál está más cerca?

Haz una estimación utilizando números compatibles.

3568 84000 8

500

3200 8400

17972 4

234 8

4136 7 4398 5

128 726658 9

Más sobre números compatibles

4025 € en total6 pagos mensuales_______ € al mesaproximadamente

Haz una estimación.Encuentra el número que más se aproxima al cociente de...

Utiliza números compatibles:

700 € al mes aproximadamente

... en las centenas4025 64025 6



40 está cerca de 42.6 y 42 son compatibles.

Intenta hacer los siguientes:¿Cuál está más cerca?

Haz una estimación utilizando números compatibles.

3568 83568 84000 8

5004000 8

500

3200 8400

3200 8400

17972 417972 4

234 8234 8

4136 74136 7 4398 54398 5

128 7128 726658 926658 9

Apéndice D


299

Figura D.15 Actividad 14: ¿De cuánto será cada pago

aproximadamente?

¿De cuánto será cada pago aproximadamente?

€6 pagos

€2 pagos

€6 pagos

€9 pagos

€5 pagos

€5 pagos

¿De cuánto será cada pago aproximadamente?

€6 pagos

€2 pagos

€6 pagos

€9 pagos

€5 pagos

€5 pagos



300

ESTIMACIÓN EN CÁLCULO. CÁLCULOS DIRECTOS

Para las siguientes operaciones:

1) 1572 + 3270 + 8839 + 4622

2) 423 + 213 + 78 + 531 + 162

3) 89 × 8 × 22

4) 137 × 45

5) 1427 ÷ 17

6) 20309 ÷ 84

7) 15 % de 3140

8) 29 % de 45279

a) ¿Puedes dar varias estimaciones para el cálculo propuesto

utilizando estrategias distintas?.

b) Describe cada una de las estrategias explicando paso a paso

con detalle cómo las has realizado.

c) ¿Puedes valorar las estrategias que has utilizado?. ¿Sabes

si la estimación está cerca del resultado exacto?. ¿Has

estimado por exceso o por defecto?. ¿Permite el tipo de

estrategia que has utilizado mejorar tu primera estimación

de forma razonada?. ¿Es la estrategia que has utilizado

sencilla de aplicar?. ¿Requiere mantener muchos datos en la

memoria?. ¿Es de aplicación rápida?. ¿Requiere el uso

conocimientos matemáticos que consideras complicados?. ¿Cuál

de las estrategias te parece la más adecuada para este

cálculo?. Razona tus respuestas.

d) ¿Qué conocimientos previos son necesarios para realizar la

estimación en cada una de las estrategias?.

e) Di para qué edad te parecen apropiados estos ejercicios en

función de los conocimientos previos necesarios para

llevarlos a cabo.

f) Toma una calculadora y calcula el resultado exacto de la

operación. Calcula los porcentajes de error de cada una de

las estimaciones que has dado. ¿Cuál te parecería el

porcentaje de error admisible para los alumnos para los

Apéndice D


301

cuales has considerado adecuada esta actividad?. ¿Cual

parecería el porcentaje de error admisible para alumnos de

magisterio?.

g) ¿Qué intervalo de respuestas aceptables darías? (para la

edad elegida y para alumnos de magisterio). Si tuvieras que

plantear este ejercicio como un ítem de elección múltiple,

¿qué opciones propondrías?.

Anticipación de soluciones razonables en resolución

de problemas

A continuación figuran seis problemas tomados de un libro de

matemáticas de sexto de primaria. Los alumnos de este nivel

deben ser capaces de organizar un plan de resolución, dentro

del cual es importante comenzar por anticipar una solución

estimada que sea razonable. Para cada uno de estos problemas

debes:

a) Anticipar una respuesta razonable.

b) ¿Qué condiciones debe cumplir un número para ser solución

de este problema?.

c) Explicar con detalle el procedimiento que has seguido para

realizar la estimación.

d) Explicar qué entiendes, en el contexto del problema, por

respuesta razonable.

e) Dar un intervalo de respuestas que considerarías razonables

para tus alumnos.

f) Resuelve el problema. Explica que proceso has seguido

para resolverlo. Compara el proceso que has seguido para

dar la estimación inicial y el que has utilizado para

resolver el problema por escrito.

g) Evalúa la estimación inicial. ¿Está razonablemente cerca del

resultado exacto? ¿Crees que ayuda a valorar la solución

obtenida por escrito?.



302

Problemas

1) Los padres de Sara y Juan han comprado un frigorífico que

les ha costado 108.750 pesetas. Han llegado a un acuerdo con

la tienda de que lo pagarán a plazos en seis meses. ¿Cuánto

deberán pagar cada mes los padres de Juan y de Sara?.

2) Una tarjeta de metro sirve para diez viajes y cuesta 560

pesetas. La madre de Luis y de Carmen usa el metro cuatro

veces al día para ir y volver del trabajo. ¿Cuánto se gastará

en una semana? Ten en cuenta que los sábados y domingos no

trabaja.

3) Teresa, después de haberse gastado la mitad del dinero que

llevaba, regresa a casa con tres billetes de 1000 pesetas, dos

monedas de 200 pesetas, cinco monedas de 25 pesetas, dos

monedas de diez pesetas y cuatro duros sueltos. ¿Con cuánto

dinero salió de casa?

4) Celso Ferreiro camina cada día 32 kilómetros. Después de

caminar 21 días, aún le faltan quince kilómetros para llegar a

Santiago de Compostela. ¿Cuantos kilómetros habrá andado

cuando llegue a Santiago? ¿Cuántos días tardará en llegar?

5) Un litro de aceite pesa 0,786 kg.. ¿Cuánto pesan 3,5

litros?

6) El precio de la gasolina súper es de 110,5 pesetas. Cada

día Rosa gasta 4 litros. ¿Cuánto gasta en gasolina a la

semana?.

7) Diez litros de aceite cuestan 3.650 pesetas. ¿Cuánto

costarán 2,5 litros? ¿Y 4,5 litros?.

8) El pasillo de la escuela mide 34 metros de largo y esta

enlosado con piezas de cuarenta centímetros de lado. Calcula

el número de losas que tiene cada hilera del pasillo.

Apéndice D


303

Figura D.16 Actividades de cálculo mental



304

Figura D.17 Actividades de estimación con porcentajes

Apéndice D


305

Figura D.18 Actividades de paso de euros a pesetas


Apéndice E

Descripción de los programas de

ordenador utilizados durante el

periodo de instrucción y en la prueba

de estimación

En el capítulo 3 se indica que la prueba de estimación ha sido

administrada utilizando un programa de ordenador. Como ya se

comentó entonces, este hecho favorece la validez del

instrumento –prueba de estimación- para medir la habilidad de

estimar, pues los sujetos, mientras realizaban la prueba, no

disponían de ninguna ayuda –como el lápiz y el papel- que les

permitiera hacer cálculos exactos.

Por otra parte, durante el periodo de instrucción los

alumnos dispusieron de un programa de ordenador, con un

formato parecido al utilizado en la prueba final, para

practicar la estimación. Este programa constaba de tres

pantallas distintas. En primer lugar, al ejecutar el programa

los alumnos accedían a una pantalla como la que puede verse en

la figura E.1. En ella, el alumno podía elegir entre leer las

instrucciones o comenzar la prueba de estimación. A

continuación, los alumnos realizaban la prueba respondiendo,

una por una, las veinte preguntas que se les planteaban1. En la

figura E.2 puede verse una de las veinte pantallas. El tipo de

pregunta es siempre el mismo pero los números que aparecen en

la misma se generan aleatoriamente.

1 Es importante advertir que en el programa no se puede pasar a la siguiente pregunta sin haber respondido a la que se presenta en ese momento. Esto evita que queden preguntas sin responder.



308

Figura E.1 Pantalla de presentación del programa de estimación

utilizado durante el periodo de instrucción

Al finalizar las preguntas, se pasa a una pantalla de

evaluación, en la que el alumno puede: recordar las preguntas

que le han hecho y las estimaciones que ha dado, comprobar qué

porcentaje de error ha tenido y qué puntuación le corresponde

por ese porcentaje de error, ver qué tiempo ha empleado en

producir cada estimación, y, finalmente, observar cuál ha sido

su calificación en aproximación, en rapidez, y cuál su

calificación media. En la figura E.3 aparece una pantalla de

evaluación en la que pueden verse los tipos de cálculos que se

proponían en esta prueba. En ella había sumas, restas,

multiplicaciones y divisiones con números enteros, decimales

mayores que uno y decimales menores que uno. También había

ejercicios de paso de euros a pesetas y de pesetas a euros y

problemas verbales, para los que había que realizar una

estimación.

Apéndice E


309

Figura E.2 Ítem correspondiente al programa de estimación

utilizado durante el periodo de instrucción

Figura E.3 Pantalla de evaluación correspondiente al programa

de estimación utilizado en el periodo de instrucción



310

Por otra parte, la única diferencia que hay entre las

pruebas que hacían los sujetos durante el periodo de

estimación y la que pasaron al final del mismo estriba en que

en esta, en vez de generarse preguntas de forma aleatoria,

aparecían los veinte ítems del test de Levine (1982). Así, en

la figura E.4 podemos ver -en la primera pantalla del

programa- el primer ítem de esta prueba. Cuando los alumnos se

enfrentaban a la realización de esta prueba, ya habían

practicado la estimación con un programa parecido –con el

mismo formato-, lo que hizo que no se produjera ninguna

dificultad en la administración de la prueba y que no hubiera

que dar ningún tipo de instrucción especial para la misma. El

aspecto negativo de esta forma de proceder consiste en que, al

dar a los sujetos un programa de ordenador que deben utilizar

fuera del aula, se introduce una variable nueva –no

controlada- en el diseño: el número de veces que el sujeto

realiza el programa de prueba antes de pasar el test final.

Figura E.4 Imagen del programa de ordenador utilizado en la

prueba de estimación


Apéndice F

Equivalencias entre el sistema

educativo de los Estados Unidos de

América y el sistema educativo

español1

En la revisión de investigaciones sobre estimación en cálculo

realizada en el capítulo 2 del presente trabajo, se hace

continuamente referencia a distintos niveles del sistema

educativo de los EE.UU. de América. Dado que este trabajo está

dirigido a lectores de habla hispana, parece necesario

adjuntar alguna información que sirva como guía para la

lectura. Para ello, se ha elaborado una tabla de equivalencias

entre el sistema educativo español y el de los EE.UU. de

América. Antes de presentarla, se debe advertir que sólo vamos

a establecer esta equivalencia en función de la edad. Las

razones de hacerlo de esta forma son varias. En primer lugar,

en EE.UU. no hay un currículo oficial para toda la nación

establecido por ley. Cada estado establece su política

educativa y sus orientaciones propias, pero se otorga una

libertad muy grande a las autoridades locales y escolares. A

modo de ejemplo, en ocho estados la escolaridad es obligatoria

1 El mapa del sistema educativo de EE.UU. está tomado de: http://www.ed.gov/NLE/USNEI/us/map.html - La información sobre el inicio de la Educación Primaria en EE.UU. (en el primer grado) está tomada de: - http://www.ed.gov/NLE/USNEI/us/primseced.html#general - Nota: En la traducción española de los Estándares curriculares del NCTM, editada por la SAEM THALES, figura, en una nota de los traductores (p. vi) una tabla de equivalencias entre los dos sistemas educativos cuya información no coincidía con la que aparece en las páginas antes citadas. Por esta razón, se ha optado por elaborar otra tabla de equivalencias.



312

a partir de los cinco años, en 19 se requiere el inicio a los

6 años, en 22 a los 7 y en otros dos estados a los 8.

La Educación Primaria en EE.UU. (Elementary or Primary

Education) suele abarcar desde el primer grado a sexto grado.

En algunos estados a partir de quinto grado comienza un ciclo

superior, dentro de la enseñanza elemental, llamado “middle

school”. El primer grado corresponde aproximadamente con la

edad de seis años. Dado que los niños empiezan a ir al colegio

en otoño (igual que en España) esto significa que al principio

de primer grado, algunos niños tienen 5 años, otros 6 y otros

7, dependiendo de la fecha de nacimiento, las recomendaciones

del colegio y la elección de los padres.

Figura F.1. Mapa del sistema educativo de los EE.UU.

Apéndice F


313

En España, el curso comienza en septiembre y los niños que

empiezan primero de Educación Primaria deben cumplir seis años

antes de que acabe el año natural en el que ha comenzado el

curso2. Esto quiere decir que algunos niños empiezan con cinco

años y otros con seis.

Tabla F.1

Equivalencias entre el sistema educativo español y el de los

EE.UU. de América

Sistema educativo español Sistema educativo EE.UU.

Ciclos Cursos Cursos Ciclos

Educación Infantil

3er curso de segundo ciclo de Ed.Infantil

Kindergarten

1º de Primaria Primer grado Primer ciclo de Educación Primaria 2º de Primaria Segundo grado

3º de Primaria Tercer grado Segundo ciclo de Educación Primaria 4º de Primaria Cuarto grado

Preschool and Elementary (or Primary) Education (K-4 NCTM)

5º de Primaria Quinto grado Tercer ciclo de Educación Primaria 6º de Primaria Sexto grado

1º de ESO Séptimo grado Primer ciclo de ESO

2º de ESO Octavo grado

Middle School (5-8 NCTM)

3º de ESO Noveno grado Segundo ciclo de ESO 4º de ESO Décimo grado

1º de Bachillerato Undécimo grado

Bachillerato 2º de Bachillerato

Duodécimo grado

High School (9-12 NCTM)

2 El Real Decreto 1006/1991, de 14 de junio, por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Primaria, señala en la disposición adicional que “Los alumnos se incorporarán al primer curso de la Educación Primaria en el año natural en el que cumplan seis años (BOE núm. 152, de 26 de junio de 1991).



314

Con arreglo a estos datos, se puede considerar el curso de

primero de Educación Primaria como equivalente al primer grado

en el sistema educativo americano, haciendo la salvedad de que

(debido a la variabilidad que existe en EE.UU. en cuanto a la

edad de comienzo en primer grado) seguramente la media de edad

de los niños americanos que cursan primer grado sea superior a

la media de edad de los niños españoles que cursan primero de

Educación Primaria.

En la tabla de equivalencias propuesta, se ha optado por

utilizar la misma división en ciclos que aparece en los

Estándares curriculares y de evaluación para la Educación

Matemática del NCTM (1989). Si se compara esta división con la

que se puede observar en el mapa del sistema educativo

americano, veremos que corresponde con la división, que se

utiliza en algunos estados, de la enseñanza obligatoria en

tres periodos de cuatro años −elementary school, middle school

y high school− con el añadido de un año de preescolar3.

3 En Estados Unidos de América se utilizan varios términos que podrían considerarse equivalentes o que corresponden a nuestra Educación Infantil: preschool, kindergarten y nursery school. El término “Early Childhood Education” está muy extendido y se refiere a los dos primeros años de escolaridad. Dado que en Estados Unidos (como en España) la Educación Infantil no es obligatoria, con “Early Childhood Education” podríamos referirnos a dos cursos de preescolar, pero también en algunos casos al primer y segundo grado.

Documents

Influencia del tipo de número en la estimación en cálculo: Memoria de Tercer Ciclo