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LUIZ FRANCISCO BATISTA SAMPAIO
INSTRUMENTOS ANTIGOS COMO APOIO NO ENSINO APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA
Assis 2.010
LUIZ FRANCISCO BATISTA SAMPAIO
INSTRUMENTOS ANTIGOS COMO APOIO NO ENSINO APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA
Projeto de pesquisa apresentado ao Curso de
Licenciatura Plena em Matemática do Instituto
Municipal de Ensino Superior de Assis – IMESA e
Fundação Educacional do Município de Assis –
FEMA, como requisito parcial à obtenção do
Certificado de Conclusão.
Orientador: Cleiton Joni Benetti Lattari.
Área de Concentração: Ensino da Matemática
Assis 2.010
FICHA CATALOGRÁFICA
SAMPAIO, Luiz Francisco Batista Instrumentos Antigos como apoio no ensino-aprendizagem da Geometria / Luiz
Francisco Batista Sampaio. Fundação Educacional do Município de Assis – FEMA - - Assis, 2010.
197p. Orientador: Cleiton Joni Benetti Lattari. Trabalho de Conclusão de Curso – Instituto Municipal de Ensino superior de Assis –
IMESA 1.Geometria. 2. Instrumentos Antigos. 3.Educação.
CDD: 510 Biblioteca da FEMA
INSTRUMENTOS ANTIGOS COMO APOIO NO ENSINO APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA
LUIZ FRANCISCO BATISTA SAMPAIO
Projeto de pesquisa apresentado ao Curso de
Licenciatura Plena em Matemática do Instituto
Municipal de Ensino Superior de Assis – IMESA e
Fundação Educacional do Município de Assis –
FEMA, como requisito parcial à obtenção do
Certificado de Conclusão.
Orientador: Cleiton Joni Benetti Lattari.
Analisador: José Carlos Cavassini
Assis 2.010
DEDICATÓRIA
Dedito este trabalho a Deus por me permitir
compreender o alfabeto com o qual escreveu o
universo.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente à minha querida mãe Fátima, ao meu pai Jesus, a minha irmã Lívia, a minha tia Sandra, ao meu tio Carlos e aos demais familiares pelo apoio irrestrito em todos os momentos de minha vida. Ao professor, Cleiton J. B. Lattari pela pelas orientações precisas em todos os momentos solicitados e pelo constante estímulo transmitido durante o trabalho. Aos professores, Leonor Farcic Fic Menk; José Carlos Cavassini; Fernando Graciliano de Brito; Sarah Rabelo de Souza; Laudo Claumir Santos; Ebano Bortotti de Oliveira; Maria Beatriz Alonso do Nascimento; lton Roberto Manfio; Rafael Falco Pereira; Luiz Carlos Begosso; Sandra Regina Gregório Oliveira; Gilcelene Bruzon; Márcia Valéria Seródio Carbone e Rita de Cássia Cassiano Lopes por colaborarem em minha formação acadêmica.
Aos meus amigos, Aline de Lima Trettel; Ana Maria Mossini Alcides, Claudenir Whillye da Silva de Genova; Daniele Aparecida Costa Cunha; Danilo Rebelo Keki; Emanueli Vallini da Luz; Jessica Ferreira Correa; Kyara Terezan Melotti; Kelen Pereira Lima Da Silva; Luciano Dias Payão; Marcio Hernani Barbosa da Silva; Marcio Aurelio Gomes Ferreira; Lidia Ortoncelli Camilo; Maria Clara Lima da Silva; Paula Stella Loureiro; Priscila Maria de Andrade Camargo; Tharcio De Lima Domingues; Vivian Daiane Do Nascimento; Willen Ribeiro do Prado e a todos que colaboraram direta e indiretamente na execução deste trabalho.
Ao meu amigo e chefe escoteiro Gumercindo Nogueira (1.926 + 83 = 2.009) um grande exemplo de vida e que agora participa do grande acampamento no céu.
Que ninguém que ignore a Geometria entre aqui.
Platão (428-347 a.C.)
RESUMO
Segundo Lorenzato (1.993), D’Ambrósio (1.993) e Fiorentini (1.992) o ensino da
Geometria vem sofrendo uma séria negligência por parte de alguns professores,
principalmente após o Movimento da Matemática Moderna. Neste trabalho utilizando
como instrumentos de pesquisa a Teoria do Arco de Maguerez, para observamos a
realidade do ensino da Geometria, consultado professores e alunos, para obtermos
dados que possibilitassem determinar uma alternativa de apoio para amenizar o
problema. Destas consultas notamos que um dos problemas do ensino desta área
da Matemática está na metodologia de ensino utilizada pelos professores e pela falta
de motivação dos alunos. Nos trabalhos sobre os problemas relacionados ao ensino
da matemática notamos que a utilização de material didático manipulável (MDM) e
de experimentos nas aulas de matemática vem obtendo resultados positivos, pois
auxilia a maioria dos alunos a realizarem a conexão do teórico para o prático.
Partindo deste fato consideramos a hipótese de se utilizar experimentos com MDM
na forma de Instrumentos Antigos (Gnômon, Quadrante, Astrolábio e Telêmetro)
como apoio no ensino-aprendizagem da Geometria. Para comprovar nossa hipótese
realizamos um mini-curso envolvendo dezenove alunos dos três anos do Ensino
Médio. Dos resultados coletados notamos que o uso desta abordagem de ensino da
necessita de uma grande dedicação por parte do professor e nem sempre o
resultado é positivo, contudo do verificado até o momento implicam em um futuro
promissor, já que o uso de instrumentos antigos como elemento de aprendizagem
despertou a curiosidade do aluno e o estimulou ao querer fazer, assim consideramos
o experimento um valioso reforço da teoria exporta nos livros didáticos.
Palavras-chave: Ensino; Geometria; Instrumentos Antigos; Teoria do Arco;
ABSTRACT
According Lorenzato (1993), D'Ambrosio (1993) and Fiorentini (1992) the teaching of
geometry has suffered a serious neglect on the part of some teachers, especially
after the Modern Mathematics Movement. This work using research tools such as the
Theory of Arch Maguerez to observe the reality of the teaching of geometry,
consulted teachers and students, to obtain data that allowed us to determine an
alternative support to alleviate the problem. These consultations we note that one of
the problems of this area of mathematics education is in teaching methodology used
by teachers and lack of student motivation. In studies on issues related to teaching
mathematics we note that the use of didactic material manipulated (MDM) and
experiments in mathematics lessons has done well because it helps many students
realize the connection of the theoretical to the practical. From this fact we consider
the possibility of using experiments with MDM in the form of Ancient Instruments
(Gnomon, Quadrant, Astrolabe and rangefinder) to help in teaching and learning of
geometry. To prove our hypothesis we conducted a mini-course involving nineteen
students from three years of high school. We note that the results collected using this
approach to teaching requires a great dedication by the teacher and the result is not
always positive, but the observed to date imply a promising future, since the use of
old instruments as part learning has attracted the interest of the student and
encouraged him to want to do, so we consider the experiment a valuable
reinforcement of theory in textbooks exports.
Keywords: Teaching; Geometry; Ancient Instruments, Theory of Arc;
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – “Vesica Piscis”: Construção Geométrica ................................................... 12
Figura 2 – “Vesica Piscis”: Cristo no interior de uma “Vesica Piscis” ...................... 14
Figura 3 – Visualização do Teorema do Arco .............................................................. 23
Figura 4 - Gnômon: Foto ................................................................................................ 25
Figura 5 – Como Erastóstenes estimou o raio da Terra .............................................. 26
Figura 6 - Gnômon: Foto ................................................................................................ 29
Figura 7 - Gnômon: Foto ................................................................................................ 29
Figura 8 - Gnômon: Visualização para Montagem ..................................................... 30
Figura 9 - Gnômon: Princípio de Utilização ................................................................ 31
Figura 10 – Astrolábio .................................................................................................... 33
Figura 11 – Quadrante ................................................................................................... 33
Figura 12 – Astrolábio: Foto .......................................................................................... 34
Figura 13 – Astrolábio: Fixado no gnômon .................................................................. 35
Figura 14 – Astrolábio: Fixado no gnômon .................................................................. 35
Figura 15 - Astrolábio: Visualização para Montagem ................................................ 36
Figura 16 - Quadrante: Foto .......................................................................................... 37
Figura 17 - Quadrante: Visualização para Montagem ................................................ 37
Figura 18 - Quadrante: Utilização ................................................................................ 38
Figura 19 – Astrolábio: Princípio de Utilização ........................................................... 39
Figura 20 – Astrolábio: Aferindo Altura ...................................................................... 40
Figura 21 – Telêmetro: Modelo Caniato ....................................................................... 41
Figura 22 – Telêmetro: Modelo Lattari ........................................................................ 41
Figura 23 – Telêmetro: Princípio de Utilização ........................................................... 43
Figura 24 – Telêmetro: Princípio de Utilização ........................................................... 44
Figura 25 – Telêmetro: Princípio de Utilização (modelo Lattari) .............................. 44
Figura 26 – Telêmetro: Princípio de Utilização (modelo Caniato) ............................ 45
Figura 27 – Telêmetro: Esquema de Utilização ........................................................... 46
Figura 28: Cartaz: Utilização e Teoria do Astrolábio, Quadrante e Gnômon .......... 50
Figura 29: Cartaz: Utilização e Teoria sobre o Telêmetro ......................................... 50
Figura 30: Cartaz: Explicação de como utilizar os instrumentos .............................. 51
Figura 31: Cartaz: Participante manipulando o Astrolábio ....................................... 51
Figura 32: Experimento 1: Aferindo o Altura do Pé-Direito ...................................... 53
Figura 33: Experimento 1: Aferindo Altura com o Quadrante .................................. 54
Figura 34: Experimento 1: Aferindo Altura com o Quadrante .................................. 54
Figura 35: Astrolábio: Utilização ................................................................................. 55
Figura 36: Astrolábio: Utilização .................................................................................. 56
Figura 37: Experimento 2: Aferindo o ângulo de inclinação do Sol com o Astrolábio ........................................................................................................................
56
Figura 38: Experimento 2: Aferindo o ângulo de inclinação do Sol com o Astrolábio ........................................................................................................................
57
Figura 39: Experimento 2: Aferindo o ângulo de inclinação do Sol com o Gnõmon 57
Figura 40: Experimento 2: Aferindo o ângulo de inclinação do Sol com o Gnõmon 58
Figura 41: Experimento 2: Aferindo uma curta distância com o Telêmetro ............ 59
Figura 42: Experimento 2: Aferindo uma longa distância com o Telêmetro ............ 59
Figura 43: Teoria do Arco obtido nesta pesquisa ,,,,,,.................................................. 92
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO .................................................................................... 03
1.1. OBJETIVOS ........................................................................................ 06
1.1.1. Objetivo Geral .................................................................................. 06
1.1.2. Objetivo Específico .......................................................................... 08
1.2. JUSTIFICATIVAS E MOTIVAÇÕES ............................................... 08
1.3. ESTRUTURA DO TRABALHO ........................................................ 10
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................ 11
3. METODOLOGIA DE PESQUISA ..................................................... 23
3.1. TEORIA DO ARCO ........................................................................... 23
3.2. INSTRUMENTOS .............................................................................. 24
3.2.1. O Gnômon ........................................................................................ 24
3.2.1.1. Montagem ..................................................................................... 27
3.2.1.2. Princípio de Utilização ................................................................. 30
3.2.2. O Astrolábio e o Quadrante .............................................................. 32
3.2.2.1. Montagem ..................................................................................... 33
3.2.2.2. Princípio de Utilização .................................................................. 37
3.2.3. Telêmetro .......................................................................................... 40
3.2.2.1. Montagem ..................................................................................... 41
3.2.1.2. Princípio de Utilização ................................................................. 42
4. COLETA DE DADOS .......................................................................... 46
4.1. COLETA DE DADOS: PROFESSORES ........................................... 47
4.2. COLETA DE DADOS: ALUNOS ...................................................... 47
4.2.1. Relato Mini-curso: Aprendendo Geometria Utilizando Instrumentos Antigos .................................................................................
48
4.2.1.1. Experimento 1: Aferindo a alturas ................................................. 51
4.2.1.2. Experimento 2: Aferindo o ângulo de incidência dos raios solares 54
4.2.1.3. Experimento 3: Aferindo longas distâncias ................................... 57
5. ANÁLISE DOS DADOS ...................................................................... 59
5.1. DADOS OBTIDOS DOS PROFESSORES ........................................ 59
5.2. QUESTIONÁRIOS RESPONDIDOS PELOS ALUNOS .................. 61
5.3. ANÁLISE DOS DADOS OBTIDOS DOS PROFESSORES ............. 81
5.4. ANÁLISE DOS DADOS OBTIDOS DOS ALUNOS ........................ 82
5.4.1. Análise do Questionário 1 ................................................................. 82
5.4.2. Análise do Questionário 2 ................................................................. 84
5.5. DISCUSSÃO DOS DADOS ............................................................... 85
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................. 92
REFERÊNCIAS ........................................................................................ 96
APÊNDICE A – MODELO DO QUESTIONÁRIO 1 ........................... 102
APÊNDICE B – MODELO DO QUESTIONÁRIO 2 ........................... 105
APÊNDICE C – QUESTIONÁRIOS RESPONDIDOS ........................ 108
APÊNDICE D – QUADRANTE ............................................................. 185
ANEXO A – EMAILS DOS PROFESSORES ........................................ 187
ANEXO B – TABELA TRIGONOMÉTRICAS .................................... 194
3
1. INTRODUÇÃO
A Geometria esta em toda parte, estando intimamente relacionada em nossas atividades do
cotidiano, percebemos isto até mesmo nas estruturas das moléculas de que é composta toda a
matéria.
Segundo o geômetra francês Michael Chasles (apud Malba Tahan, p.4):
Mostra-nos a História que os imperadores que encorajaram a cultura da Matemática
– fonte comum de tôdas as ciências exatas – são também aquêles cujos reinados
foram os mais brilhantes e cuja glória foi a mais duradoura”.
Segundo o bispo de Lincoin e dignitário da Univesidade de Oxford, Robert Grosseteste (apud
Malba Tahan, p.5):
A utilidade do estudo das linhas, dos ângulos, das figuras é máxima. Sem êste
conhecimento não é possível estudar Filosofia Natural. O seu valor é absoluto e
diflui por todo Universo e a cada uma de suas partes ... os fenômenos naturais
devem explicar-se por meio de linhas, ângulos e figuras..
A Geometria permite realizações que, com o conhecimento matemático atual, são impossíveis
em outras áreas da matemática. Na álgebra, por exemplo, não temos meios de localizar de
maneira exata, na reta real o valor da raiz quadra de todos os números inteiros que não são
quadrados perfeitos. Estes números, que pertencem ao conjunto dos números irracionais,
possuem infinitas casas decimais o que impossibilita representá-los em forma de fração ou na
4
forma de um decimal exato, assim para localizá-los de maneira precisa na reta real é
necessário o auxilio de uma construção geométrica (utilizado régua e compasso) e o Teorema
de Pitágoras.
Conceitos geométricos estão envolvidos em diversas áreas da Física. A Óptica, mais
precisamente a Óptica Geométrica estuda os fenômenos físicos que envolvem a trajetória da
luz e suas interações com as lentes e os espelhos. Este estudo permite o desenvolvimento de
lentes que permitem a correção de problemas de visão entre outras aplicações, como por
exemplo, nas apresentações de ilusionista, que utilizam espelhos para realizarem seus truques
e ilusões. Alguns dos instrumentos antigos contido nesta pesquisa só existem devido ao fato
de que podemos considerar que na maioria das vezes a luz segue uma trajetória retilínea.
O entendimento (e posterior utilização na prática) dos conceitos geométrico foi importante
para o desenvolvimento da sociedade humana e possibilitou ao homem fabricar instrumentos
que foram utilizados na construção de estruturas arquitetônicas, nas guerras, na medição do
tempo, no desenvolvimento de mapas, no estudo das órbitas dos planetas e demais corpos
celestes, na orientação durante as viagens exploratórias (como as realizadas por Vasco da
Gama, Cristovão Colombo, Marco Pólo, entre outros exploradores), e muitos destes
instrumentos, atualmente, são construídos e utilizados da mesma maneira que a séculos, como
no caso da bússola. Segundo o matemático brasileiro, Amoroso Costa (apud Malba Tahan,
p.1): “Sem a Matemática, não poderia existir a Astronomia; sem os recursos prodigiosos da
Astronomia, seria impossível a navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da
humanidade”.
Os mesmos princípios da Geometria utilizados nestes instrumentos antigos estão contidos nos
modernos aparelhos utilizados pelos cientistas, técnicos e engenheiro nos estudos e
desenvolvimento de projetos das mais diversas áreas, com nas construções de grandes
edifícios, na determinação de áreas de reserva florestais, no sistema de posicionamento global
(GPS), e nos estudos e projetos na exploração espacial.
O cientista Albert Einstein, que segundo Lorenzato (1.995, p.6), “tinha o hábito de
geometrizar suas ideias”, pois “dizia que para facilitava a comunicação delas e a evolução de
seu pensamento”, e em 1.921, em uma Conferência na Academia Prussiana de Ciência
(Belim, Alemanha), escreveu o artigo “Geometria e Experiência” e afirmou o seguinte:
“Atribuo especial importância à visão que tenho da Geometria, porque sem ela eu não teria
5
sido capaz de formular a Teoria da Relatividade”. Neste mesmo artigo Einstein escreve: “a
geometria é, evidentemente, uma ciência natural; podemos, na verdade, considerá-la como o
ramo mais antigo da física”.
No Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN, 1.997, p.55) mostra a importância do estudo da
Geometria:
Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática
no ensino fundamental, porque, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial
de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma
organizada, o mundo em que vive.
A Geometria é um campo fértil para se trabalhar com situações -problema e é um
tema pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente. O trabalho com
noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois
estimula a criança a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar
regularidades e vice-versa.
No PCN do Ensino Médio (2.000, p.123) temos:
A Geometria, ostensivamente presente nas formas naturais e construídas, é essencial
à descrição, à representação, à medida e ao dimensionamento de uma infinidade de
objetos e espaços na vida diária e nos sistemas produtivos e de serviços. No ensino
médio, trata das formas planas e tridimensionais e suas representações em desenhos,
planificações, modelos e objetos do mundo concreto.
Lluis (1.982) considera a Geometria, pedagogicamente, uma das disciplinas mais adequadas
para desenvolver o raciocínio do aluno e despertar seu interesse pelas demais áreas da
Matemática.
No PCN (1.997, p.51), reforça a afirmação de Lluis:
6
O estudo da Geometria é um campo fértil para trabalhar com situações -problema e é
um tema pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente. O trabalho com
noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois
estimula o aluno a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar
regularidades etc.
O problema pesquisado se refere ao processo de ensino da Geometria. Para orientar esta
pesquisa estamos utilizando a Teoria do Arco para o estudo e desenvolvimento do problema.
A hipótese pesquisa para o problema propõem a utilização de experimentos e materiais
didáticos manipuláveis no ensino da Geometria. Este método já vem sendo alvo de estudo de
diversos pesquisadores e sendo utilizado com êxito em outras áreas da Matemática. Neste
estudo utilizaremos este método com a realização de experimentos com o uso de instrumentos
antigos (como o gnômon, o astrolábio, o quadrante e o telêmetro) que tiveram uma grande
importância histórica. Queremos verificar se este processo auxilia (ou não) o ensino-
aprendizado dos conceitos geométricos e se as aulas de Matemática tornam-se mais atrativas e
prazerosas tanto para o professor quanto aos alunos.
Para comprovar esta hipótese realizamos experimentos através de mini-curso com grupo de
alunos englobando todos os anos do Ensino Médio da rede pública. Os dados foram obtidos
aplicando-se um questionário no inicio e outro no término.
1.1. OBJETIVOS
1.1.1. Objetivo Geral
Procurou-se através desta pesquisa, partido dos resultados obtidos por educadores brasileiros
como Sergio Lorenzato e pelo proposto pelo PCN, a verificação da viabilidade do uso de
experimentos e materiais didáticos manipuláveis como apoio no ensino-aprendizagem da
7
Geometria, além do fornecimento de material com possibilidade de uso imediato em sala de
aula.
Para isto, utilizaremos como instrumentos o gnômon, o astrolábio e o telêmetro. Os alunos
poderão verificar como os conceitos geométricos contidos em três simples instrumentos foram
importantes para a humanidade e que permitiram feitos memoráveis. Permitir, ao aluno,
utilizar suas habilidades e tenha a satisfação de construir seus próprios instrumentos. Segundo
Lorenzato (2.009, p.24):
Talvez a melhor das potencialidades do material didático seja revelada no momento
de construção do material didático pelos próprios alunos, pois é durante esta que
surgem imprevistos e desafios, os quais conduzem os alunos a fazer conjecturas e a
descobrir caminhos e soluções.
Lorenzato (2.009, p.33) alerta que nem sempre o uso de instrumentos gera os resultados
positivos, que o professor esperava, “para que se dê uma significativa aprendizagem, faz-se
necessário que haja uma atividade mental, e não somente a manipulativa, por parte do aluno”.
O mesmo educador alerta sobre a importância do correto uso dos instrumentos no processo de
ensino-aprendizagem:
Ao professor cabe acreditar no material didático como um auxiliar do processo de
ensino-aprendizagem, pois, como muitas coisas na vida, ele só produz bons
resultados para quem nele acredita. E mais: o material didático necessita ser
corretamente empregado, isto é, é preciso conhecer o porquê, o como e o quando
colocá-lo em cena. Caso contrário, o material didático pode ser ineficaz ou até
prejudicial à aprendizagem.
8
1.1.2. Objetivo Específico
Os experimentos desta pesquisa permitem em muito a interdisciplinaridade, que é uma das
propostas do PCN, entre a Matemática e outras Ciências, principalmente entre a História e a
Geografia. Estes instrumentos antigos permitiram o desenvolvimento de diversas sociedades
antigas sendo que muitas delas fazem parte do conteúdo estudado no Ensino Fundamental e
no Ensino Médio, o astrolábio, por exemplo, foi um dos instrumentos que permitiu aos
navegantes portugueses orientar-se pelo Sol e pelas constelações nas primeiras viagens
marítimas durante o período das Grandes Navegações.
Os experimentos possibilitam aos alunos trabalharem em grupo, além de servir de motivação
para os alunos com vista a estudos de assuntos correlatos.
1.2. JUSTIFICATIVAS E MOTIVAÇÕES
A meta de todo educador, seja qual for a sua área de ensino, é transmitir o seu conhecimento
para seus alunos e que estes possam aplicar o conhecimento aprendido em suas atividades
cotidianas.
As metodologias puramente dedutivas, aplicadas no ensino da Geometria nem sempre são
adequadas, cabe ao professor refinar seus métodos de ensino para que o aluno adquira o
conhecimento da melhor maneira possível, recorrendo para este propósito, as mais diversas
metodologias, sendo necessário que o professor sempre se atualize e busque novos métodos
de ensino. Para Lorenzato (2.009, p.23), “a atuação do professor é determinante para o
sucesso ou fracasso escolar”. A utilização de materiais didáticos manipuláveis e de
experimentos é uma destas metodologias.
9
Os conceitos da Matemática são muitas vezes ensinados somente de uma forma abstrata, onde
o aluno tem dificuldades em observar o uso prático daquilo que está estudando. Atividades
práticas são sempre atraentes, ainda mais quando permitem fabricar e utilizar replica de
instrumentos, como os quais os homens, por exemplo, mediam o tempo e permitiam a
exploração dos mares. Estes instrumentos, por sua simplicidade, não demonstram a
importância que tiveram e o enorme conteúdo matemático envolvido.
O uso de instrumentos e experimentos permite o aluno observar a utilização prática dos
conceitos matemáticos, além de poder despertar sua curiosidade, para verificar em que outras
ocasiões isto ocorre. A motivação gerada neste método de ensino é um forte aliado para o
professor, pois mostra ao aluno, uma maneira diferente de ver a Matemática, e pode mudar
seus conceitos, quanto à Matemática que muitas vezes é vista como uma disciplina
complicada e pouco atraente.
A utilização de materiais didáticos manipuláveis e de experimentos é uma metodologia que
permite aos alunos conhecerem uma abordagem muito utilizada por cientista e pesquisadores
de diversas áreas que investigam (partido de uma imagem ou mesmo relato de historiados e
escritores antigos como Heródoto, Josephus, Titus Livius, Políbio, Suetónio, Tacitus,
Tucídides, Sima Qian, Plínio, entre vários outros) a maneira pelo qual determinada realização
humana foi concebida.
Para entender, por exemplo, como os engenheiros medievais construíam determinada
estrutura, os cientistas constroem (ou restauram) uma estrutura similar utilizando apenas
materiais, técnicas e equipamentos disponíveis na época. Esta abordagem de estudo permite
aos cientistas entenderem todo o processo de construção da perspectiva dos construtores da
época, assim podem verificar como era utilizados os estranhos e intrincados equipamentos
vistos nas figuras de livros antigos, além de recuperarem métodos de construção há muito
tempo perdidos. Este mesmo método é utilizado para realizarem restaurações em pinturas,
cujas tintas utilizadas são fabricadas utilizando as mesmas técnicas e receitas utilizadas pelo
pintor.
Em muitos outros casos, não existe evidências físicas (construções, restos arqueológicos,
modelos, peças, entre outras evidências) tem-se apenas o relato escrito (ou na forma de
pinturas ou afrescos), assim por meios de experimentos, os cientistas verificam a veracidade
10
destes fatos, comprovando, se com as técnicas e os materiais da época era possível a
realização do fato relatado.
1.3. ESTRUTURA DO TRABALHO
1. Introdução: introdução, objetivos e justificativas para esta pesquisa;
2. Revisão Bibliográfica: contém referência e citações de educadores que pesquisam o mesmo
assunto;
3. Metodologia de Pesquisa: descrição da metodologia de pesquisa utilizada, que segue os
passos da Teoria do Arco de Maguerez. O conhecimento matemático necessário para a
utilização dos instrumentos e a descrição destes instrumentos;
4. Coleta de Dados: descrição do processo pelo qual se realizou a coleta de dados para
verificar a realidade do ensino da Geometria nas escolas, o relato do mini-curso onde
aplicação de nossa hipótese e realizamos a coleta de dados para verificar a mudança na
realidade inicial;
5. Análise dos Dados: análise dos dados coletados;
6. Considerações Finais: conclusão final;
7. Referências;
8. Apêndices e Anexos.
.
11
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Segundo Boyer (1.974), Eves (1.995) e Aaboe (2.002) a origem da Geometria se confunde
com a origem da própria Matemática, sendo ainda cheia de dúvidas e incertezas, seus
conceitos datam de antes do desenvolvimento da escrita, e este fato só aumenta as
especulações sobre o assunto. Os estudiosos dizem que mesmo os animais possuem noções de
geometria principalmente noções de distâncias que possibilitam a obtenção de alimentos, no
caso dos predadores, ou na fuga, no caso das presas.
Segundo os estudiosos o homem primitivo desenvolveu primeiramente as noções geométricas
de perpendicularidade, de simetria, de paralelismo, estes conceitos geométricos iniciais
permitiram ao homem construir suas primeiras habitações, que assim, deixou de depender
somente de abrigos naturais (como cavernas) para se abrigar do clima e se proteger de
animais, além das construções, o homem primitivo decorava seus tecidos e suas cerâmicas
com intricados padrões geométricos, que sem a noção de simetria não seriam possíveis.
Sabemos desses fatos, pois atualmente, ainda vemos muitas das obras arquitetônicas deixadas
pelas civilizações antigas, entre as quais podemos citar os Zigurate (Oriente Médio),
Stonehenge (Inglaterra), as grandes Pirâmides Egípcias (Egito), as Pirâmides Maias (México),
a cidade de Petra (Jordânia), a cidade de Angkor Thom (Camboja), os Aquedutos Romanos
(Europa) entre outras construções, além dos diversos achados arqueológicos na forma de
restos de tecidos e de cerâmicas.
Grande parte do conhecimento geométrico destes povos se perdeu com o passar dos séculos e
os poucos documentos antigos (egípcios, babilônicos, chineses e indianos) sobre a Geometria
que chegaram até nós, como o Papiro de Rhind e o Pairo de Moscou, são apenas manuais para
se resolver determinados problemas do cotidiano, e não permitem ao estudiosos determinarem
qual o raciono matemático utilizado por estes povos para resolverem estes problemas.
A Geometria não está presente somente no ornamento de tecidos e de cerâmicas, podemos
encontrar elementos geométricos na religião e na arte. Os antigos gregos, em sua incansável
busca pela perfeição divina, utilizavam a Razão Áurea (chamada também de Proporção
Divina) em sua arte e arquitetura. Divida um determinado segmento em dois outros
12
segmentos, a Proporção Divina (representado pela letra grega , ”phi”) ocorre quando a
proporção entre a razão do segmento menor e do segmento maior é igual à razão do segmento
maior e do segmento original, a maioria das vezes este fato ocorre quando dividimos o
segmente em dois terços de sua medida. A Proporção divina pode ser encontrada em diversas
estruturas da natureza inclusive em muitas proporções dos membros do corpo humano.
Segundo historiados o primeiro símbolo utilizado pelos cristãos para identificar seus locais de
culto, o Ichtus (peixe), é uma importante construção geométrica a "Vesica Piscis"
(literalmente, uma bexiga que ao encher-se de ar adquire a forma de peixe, vide Figura 1) que
se origina desenhando dois círculos que têm o centro respectivamente num ponto da
circunferência do outro.
Figura 1 – “Vesica Piscis”: Construção Geométrica
Na Bíblia, o livro sagrado do cristianismo. Em I Reis 7:23 temos dados que possibilitam
determinar o valor da parte inteira de : “Fez mais o mar de fundição, redondo, de dez
côvados de uma borda até à outra, cinco de altura e trinta de circunferência.”. Em II Crônicas
4:2 temos: “Fez o mar de fundição, de dez côvados de uma borda até a outra, redondo, e de
cinco côvados de altura. Um fio de trinta côvados era a medida da sua circunferência”.
13
Segundo Kaschel (1.999, p.200), o “mar de fundição” era um grande tanque de água colocado
na entrada do Templo de Salomão, onde os sacerdotes lavavam as mãos e os pés em
preparação para o seu serviço no templo. Ao realizarmos a razão entre a circunferência de 30
côvados pelo diâmetro de 10 côvados, obtemos a constante 3 que é o valor da parte inteira de
. Para muitos estudiosos consideram este trecho bíblico um grande erro, contudo se
considerarmos o contexto histórico e o sistema de medida utilizado pelos judeus da época
(baseado em medidas corporais), o valor de encontrado é bem razoável. Temos também
várias referências sobre elemento da Geometria em outras partes da Bíblia, em Apocalipse
21:15-17, por exemplo:
E aquele que falava comigo tinha uma cana de ouro, para medir a cidade, e as suas
portas, e o seu muro.
A cidade era quadrangular, o seu comprimento era igual à sua largura. Mediu a
cidade com a cana e tinha doze mil estádios de comprimento e a largura e a altura
eram iguais.
Ele mediu o seu muro, e era de cento e quarenta e quatro côvados, segundo a medida
de homem, que o anjo estava usando.
Encontramos no cristianismo a Proporção Divina e a "Vesica Piscis" (vide Figura 2) em
pinturas sacras da Idade Média e na arquitetura dos templos e catedrais temos vitrais
multicoloridos, arcos romanos, arcos ogivais, arcobotantes, colunas, cúpulas romanas, cúpulas
nervuradas que proporcionam um misto de beleza e estabilidade estrutural. Durante a Idade
Média, os engenheiros e construtores se organizavam em grupo para troca e proteção de seu
conhecimento, alguns destes grupos acabaram se tornando verdadeiras sociedades secretas,
como por exemplo, a Maçonaria. Esta sociedade utiliza como símbolo dois instrumentos
geométricos: o esquadro e o compasso.
Os antigos gregos iniciaram um estudo mais aprofundado e dedutivo da Geometria, desta
civilização originaram os maiores geômetras da antiguidade: Thales de Mileto, Pitágoras de
Samos, entre outros, cujo legado é utilizado pela humanidade até nos dias atuais. Por volta de
300 a.C., Euclides de Alexandria escreveu o que viria a ser considerada a maior obra sobre
geometria da história: “Os Elementos”. Euclides organizou nesta obra todo o conhecimento
14
geométrico existente na época. Conforme Eves (1.994, p.8) “Euclides produziu uma obra
memorável, „Os Elementos’, uma cadeia dedutiva única de 465 proposições compreendendo
de maneira clara e harmoniosa Geometria Plana e Espacial, Teoria dos Números e Álgebra
Geométrica Grega”. Segundo Boyer (1.993, p.79), Euclides foi convidado para lecionar
Matemática em Alexandria e o fato de ser professor influenciou sua obra, pois tinha uma
visível intenção pedagógica.
Figura 2 – “Vesica Piscis”: Cristo no interior de uma “Vesica Piscis”. Arte Medieval da
Catedral de Chartres, França. In: O Enigma das Catedrais Góticas, National
Geographic Channel, 2.010.
Podemos considerar “Os Elementos” como sendo o primeiro livro didático voltado para o
ensino da Geometria. Durante muito tempo esta obra foi base onde se apoiou o
desenvolvimento da Geometria, até mesmo para seu ensino, pois segundo Sautoy (2.007, vide
The Story of Maths) graças ao sistema dedutivo grego, os axiomas, postulados e teoremas
contidos em “Os Elementos" são tão verdadeiros hoje como na época em que foram escritos.
15
O grande cientista Galileu Galilei se dedicou ao estudo da Geometria e entre os muitos textos
deixados por ele, temos um eloqüente tributo ao poder que possui a Matemática e dos
elementos da Geometria de iluminar o mundo (vide Galileu: Batalha para o Paraíso):
Este livro grandioso, o universo só poderia ser compreendido se entendêssemos a
linguagem e o alfabeto com os quais ele é escrito, ou seja, a linguagem da
Matemática. Triângulos e círculos, figuras geométricas, sem os quais era impossível
humanamente impossível compreender uma só palavra. Sem ela, era como andar em
um labirinto escuro.
Na época em que Galileu viveu a Igreja possuía uma grande influência nos estudos
científicos, para os cientistas da época, o mundo era um local extremamente complexo e
confuso. Existia um tipo de consenso entre a maioria destes cientistas de que na Matemática
se encontrava a verdade e somente quando desenvolviam o raciocínio matemático, poderiam
pensar como Deus.
Para estes homens da ciência ao aliar a observação da natureza e aplicar o raciocínio
matemático obtinham uma base segura para estudar os fenômenos que ocorriam ao seu redor,
pois assim observa-se da perspectiva do Deus criador. Com o passar do tempo a influência
religiosa sobre os cientistas acabou sendo substituída pelo método dedutivo grego.
Albert Einstein (2.005, p. 666), que para muitos historiadores possuía uma grande dificuldade
em Matemática, escreveu:
Consideremos, por um momento, sob este ponto de vista um axioma qualquer da
geometria, por exemplo, o seguinte: por dois pontos no espaço sempre passa uma e
apenas uma linha reta. Como se deve interpretar este axioma no sentido antigo e no
sentido mais moderno?
A interpretação antiga: todos sabem o que é uma linha reta e o que é um ponto. Não
cabe ao matemático decidir se esse conhecimento provém de uma capacidade da
mente humana, ou da experiência, ou de alguma cooperação entre as duas, ou ainda
de alguma outra fonte. O matemático deixa essa questão para o filósofo. Estando
baseado nesse conhecimento, que precede toda a matemática, o axioma acima é
auto-evidente, como todos os outros axiomas, ou seja, é a expressão de uma parte
desse conhecimento a priori.
16
A interpretação mais moderna: a geometria trata de objetos que são denotados pelas
palavras “linha reta”, “ponto” etc. Não se pressupõe nenhum conhecimento ou
intuição desses objetos, mas tão-somente a validade dos axiomas, tais como o
enunciado acima, os quais devem ser tomados num sentido puramente formal, i.e.
como despidos de todo conteúdo de intuição ou de experiência. Esses axiomas são
livres criações da mente humana. Todas as outras proposições da geometria são
inferências lógicas a partir dos axiomas (que devem ser tomados apenas no sentido
nominalista). Os axiomas definem os objetos dos quais trata a geometria. Assim
Schlick, em seu livro de epistemologia, caracterizou muito apropriadamente os
axiomas como “definições implícitas”.
Essa maneira de ver os axiomas, defendida pela axiomática moderna, purifica a
matemática de todos os elementos estranhos a ela, dispersando assim a obscuridade
mística que antes envolvia as bases da matemática. Porém uma exposição assim
expurgada da matemática também torna evidente que a matemática, enquanto tal,
não pode predicar nada acerca dos objetos da nossa intuição ou dos objetos reais. Na
geometria axiomática as palavras “ponto”, “linha reta” etc., figuram apenas como
esquemas conceituais vazios. Aquilo que lhes dá conteúdo não é relevante para a
matemática. Por outro lado, no entanto, é certo que a matemática em geral, e a
geometria em particular, devem a sua existência à necessidade que se sentiu de
aprender algo acerca do comportamento dos objetos reais. A própria palavra
“geometria”, que, como se sabe, significa “medida da terra”, prova isso. Pois a
medida da terra tem a ver com as possibilidades de dispor certos objetos naturais uns
com relação aos outros, a saber, com as partes da terra, trenas, réguas etc. É claro
que o sistema de conceitos da geometria axiomática, por si só, não pode fazer
quaisquer afirmações a respeito do comportamento de objetos reais desse tipo, os
quais denominaram “corpos praticamente rígidos”. Para ser capaz de fazer tais
afirmações, a geometria precisa ser despida de seu caráter meramente lógico -formal,
ao coordenar os objetos reais da experiência como esquemas conceituais vazios da
geometria axiomática. Para fazer isso, temos apenas que acrescentar a seguinte
proposição: os corpos sólidos estão relacionados, no que diz respeito a sua possível
disposição, do mesmo modo que os corpos da geometria euclidiana em três
dimensões. Então as proposições de Euclides contêm afirmações acerca do
comportamento dos corpos praticamente rígidos.
Nas escolas o ensino da Geometria se baseava no livro de Euclides seguindo a mesma
metodologia dedutiva. Em meados de 1.952, começou, nos Estados Unidos, um movimento
para a melhoria do ensino-aprendizagem da Matemática, devido ao baixo rendimento escolar
de seus alunos e, principalmente, pela a corrida espacial entre americanos e russos. Este
movimento desencadeou, no inicio da década 60, uma reforma no ensino da Matemática,
chamada por muitos de “Movimento da Matemática Moderna”. Segundo Silvia (2.006) as
mudanças “se propunha a aproximar o ensino realizado na educação básica àquele
desenvolvido na Universidade, o que corresponde à linguagem e à estrutura empregada pelos
matemáticos da época”.
Os educadores do Movimento da Matemática Moderna apontaram na Geometria uma falta de
rigor no processo dedutivo. Segundo Kline (1.976, p.72), “a geometria euclidiana – como a
17
maioria dos adultos a aprendeu na escola superior que é essencialmente a própria
apresentação de Euclides em seus Elementos cerca de 300 A.C., é dedutiva. Contudo, não
rigorosa”. Para tornar o raciocínio dedutivo dos alunos, dos teoremas e axiomas da
Geometria, foram criados novos axiomas e teoremas, que em sua maioria são intuitivamente
lógicos e totalmente desnecessários.
A reforma proposta pelo movimento gerou muitos problemas, afetando ainda mais o processo
de ensino-aprendizagem da Geometria. Para Klines (1.976, p.75):
Pedir ao estudante que reconheça a necessidade desses axiomas e teoremas que
faltam é pedir uma atitude crítica e maturidade de espírito que está inteiramente
longe da capacidade dos jovens. Se os melhores matemáticos não reconheceram a
necessidade desses axiomas e teoremas durante mais de dois mil anos como
podemos esperar que os jovens vejam a necessidade deles?
Silvia (2.006) obteve o relado do professor Sylvio Nepomuceno que trabalhou na época do
Movimento da Matemática Moderna e em relação ao ensino da Geometria Nepomuceno
relata:
Antes era muito axiomática, ele começava na 7ª série, com ponto, reta, plano,
axiomas e teorema, e, depois do Movimento da Matemática Moderna (MMM), ele
percebeu que os alunos não entendiam a axiomatização desenvolvida na Geometria e
que o MMM pregava que só era para ensinar o que os alunos tinham condições de
entender, o MMM era uma nova maneira de ensinar, não novos assuntos. Ele ainda
ressalta que o Grupo de Estudos do Ensino da Matemática ministrava cursos sobre
conteúdos matemáticos, de Matemática pura, mas não dizia o que deveria ser
ensinado, depois, era papel do professor fazer a triagem.
Lorenzato (1.995, p.4) confirma os problemas causados pelo Movimento da Matemática
Moderna no ensino da Geometria:
18
O Movimento da Matemática Moderna também tem sua parcela de contribuição no
atual caos do ensino da Geometria: antes de sua chegada ao Brasil, nosso ensino
geométrico era marcantemente lógico-dedutivo, com demonstrações, e nos sos
alunos o detestavam. A proposta da Matemática Moderna de algebrizar a Geometria
não vingou no Brasil, mas conseguiu eliminar o modelo anterior, criando assim uma
lacuna nas nossas práticas pedagógicas, que perdura até hoje.
Segundo Fiorentini (1992, p52):
A introdução do espírito da Álgebra moderna nos diversos campos da Matemática
contribuiria para que o ensino da Geometria sofresse um processo de
descaracterização, levando-o ao seu abandono na sala de aula. Podemos dizer,
portanto, que nesse momento histórico, o “pêndulo” deslocou-se para o campo da
Álgebra.
Percebemos que este movimento gerou varias interpretações diferentes por parte dos
professores. O método de ensino proposta pelo Movimento da Matemática Moderna perdurou
até meados de 1.980, quando o National Council of Teacher of Mathematics (Conselho
Nacional de Professores de Matemática), nos Estados Unidos, propôs que o ensino da
Matemática fosse voltado para a resolução de problemas, sendo que esta proposta influenciou
as reformas mundiais no ensino da Matemática.
O educador Lorenzato (1.993, p.1) realizou, entre os anos 1.978 e 1.991, uma pesquisa
envolvendo 1.700 professores de Matemática da América Latina, que possuíam, em média, 10
anos de experiência de magistério. O objetivo desta pesquisa era a de verificar como os
professores respondiam os “por quês” (dúvidas) se seus alunos e qual a importância destes
“porquês” no processo de ensino-aprendizagem na Matemática. Para isto, Lorenzato fez com
que os professores resolvessem questões elaboradas por alunos (ente 07 e 17 anos), como se
estivessem na sala de aula, respondendo ao aluno. Dentre as várias observações obtidas por
Lorenzato, sobre a Geometria temos que, os professores responderam de forma incorreta
todos os “porquês” referentes a Geometria Euclidiana Plana (8 questões sobre os conceitos de
ângulo, paralelismo, perpendicularismo, círculo, perímetro, área.e volume) e que somente 8%
19
admitiram que ensinavam e que tinham dificuldades didáticas em ensinar este conteúdo aos
alunos.
As novas propostas de ensino não atenderam as necessidades de todas as áreas da Matemática
e o ensino Geometria continua em segundo plano. Segundo Lobo (2.004), na Venezuela, os
educadores deixam o estudo da Geometria em segundo plano, já que uma parcela dos
professores considera os conceitos geométricos menos importantes que as demais áreas da
Matemática. Para Lluis (1.983), no México, as mudanças no ensino da Geometria foram
caóticas e causou um descontentamento nos professores, que acabaram deixando seu ensino
em segundo plano. No Brasil, Lorenzato (1.995, p.3), alerta que “a Geometria está ausente ou
quase ausente da sala de aula”.
No PCN do Ensino Médio (1.997, p.119), temos:
A abordagem tradicional, que se restringe à métrica do cálculo de áreas e volumes de
alguns sólidos, não é suficiente para explicar a estrutura de moléculas e cristais em forma de cubos e outros sólidos, nem tampouco justifica a predominância de paralelepípedos e
retângulos nas construções arquitetônicas ou a predileção dos artistas pelas linhas paralelas e perpendiculares nas pinturas e esculturas. Ensinar Geometria no ensino médio
deve possibilitar que essas questões aflorem e possam ser discutidas e analisadas pelos
alunos.
Dentre os vários motivos investigados para esta omissão no ensino da Geometria, Lorenzato
(1.995, p.4), aponta dois como sendo mais relevantes, uma é a falta de conhecimentos
geométricos dos professores, que é necessário para as práticas pedagógicas. A outra causa é a
dependência do professor do livro didático, onde “a Geometria é apresentada apenas como um
conjunto de definições, propriedades, nomes e fórmulas, desligado de quaisquer aplicações ou
explicações de natureza histórica ou lógica”. Lorenzato alerta, que em muitos livros didáticos,
o conteúdo geométrico se localiza no final do livro, logo é o ultimo conteúdo a ser visto no
ano, o que aumenta a possibilidade de não ser estudado durante o ano letivo. Segundo Lobo
(2.004), os professores consideram o conteúdo geométrico muito extenso, assim não
desenvolvem todo o conteúdo.
20
Atualmente, verificamos o surgimento de várias propostas de ensino. Esta pesquisa se apóia
no proposto por Lorenzato (2.009) e seus colaboradores, que verificaram, em suas pesquisas,
que a utilização de instrumentos manipuláveis (material didático) e de experimentos, podem
ser muito úteis durante o processo de ensino-aprendizagem.
Segundo Lorenzato (2.009, p.30), “a experiência mostra que o uso de material didático
manipuláveis facilita a aprendizagem, qualquer que seja o assunto, curso e idade”.
No PCN do Ensino Médio (2.000, p.125), temos:
O ensino de Geometria no ensino fundamental está estruturado para propiciar uma primeira reflexão dos alunos através da experimentação e de deduções informais sobre as
propriedades relativas a lados, ângulos e diagonais de polígonos, bem como o estudo de congruência e semelhança de figuras planas.
A importância do uso de experimentos e material didático manipulável (instrumentos) como
apoio ao ensino é uma das propostas do PCN do ensino Fundamental (1.997, p.128), onde
temos:
Uma das possibilidades mais fascinantes do ensino de Geometria consiste em levar o
aluno a perceber e valorizar sua presença em elementos da natureza e em criações do
homem. Isso pode ocorrer por meio de atividades em que ele possa explorar formas
como as de flores, elementos marinhos, casa de abelha, teia de aranha, ou formas em
obras de arte, esculturas, pinturas, arquitetura, ou ainda em desenhos feitos em
tecidos, vasos, papéis decorativos, mosaicos, pisos, etc.
As atividades geométricas podem contribuir também para o desenvolvimento de
procedimentos de estimativa visual, seja de comprimentos, ângulos ou outras
propriedades métricas das figuras, sem usar instrumentos de desenho ou de medida.
Isso pode ser feito, por exemplo, por meio de trabalhos com dobraduras, recortes,
espelhos, empilhamentos, ou pela modelagem de formas em argila ou massa.
Construir maquetes e descrever o que nelas está sendo representado é também uma
atividade muito importante, especialmente no sentido de dar ao professor uma visão
do domínio geométrico de seus alunos.
21
No PCN (1.997, p.126), temos que:
As atividades de Geometria são muito propícias para que o professor construa junto
com seus alunos um caminho que a partir de experiências concretas leve-os a
compreender a importância e a necessidade da prova para legitimar as hipóteses
levantadas.
Segundo o PCN se o ensino for feito a partir da exploração do mundo físico, permitirá ao
aluno fazer a conexão ente a Matemática e as outras áreas do conhecimento, contudo mesmo
o PCN propondo o uso de experimentos e materiais didáticos manipuláveis como apoio ao
estudo da Geometria, este tipo de atividade é pouco explorado por parte dos educadores.
Para Iglesias (1.983) a maioria dos alunos não consegue formar verdadeiros conceitos sem
uma experiência prévia, seja ela mental ou material. O aluno pode chegar a dominar as regras
que envolvam o cálculo e seja até capaz de aplicá-los em problemas de teóricos, mas se não
lhe proporcionar uso destes conceitos no cotidiano, não saberá utilizar o conhecimento em
situações imprevistas, ou seja, não será criativo.
O proposto por Lorenzato (2.009, p34) sobre materiais didáticos manipuláveis e experimentos
mostra-se uma solução em potencial para o processo de ensino-aprendizagem:
..., com o auxilio de material didático, o professor pode, ... , conseguir uma
aprendizagem com compreensão, que tenha significado para o aluno, diminuindo,
assim, o risco de serem criadas ou reforçadas falsas crenças referentes à Matemática,
... . Outra conseqüência provável se refere ao ambiente predominante durante as
aulas de Matemática, onde o temor, a ansiedade ou a indiferença serão substituídos
pela satisfação, pela alegria ou pelo prazer. Mas, talvez, o mais importante efeito
será o aumento da autoconfiança e a melhoria da autoimagem do aluno.
O uso de materiais didáticos manipuláveis, na forma de instrumentos antigos, aproveita o
apoio educacional obtido pelo uso da história da Matemática, que permite ao professor
22
ambientar sua aula e ao aluno verificar os contexto histórico do período e perceber os
problemas e motivações que levaram os estudiosos do período desenvolver teorias e
equipamentos. Segundo Domingues (1.992 apud Eves 1.994) este fato gera uma motivação
útil em sala de aula, e assim escreve:
A Matemática, desde os seus primórdios, entrelaça-se tão intimamente com a
História da civilização, sendo mesmo uma das alavancas principais do processo
humano, que sua História é não só altamente motivadora em termos de ensino co mo
também muito rica em aspectos culturais.
Para orientar o uso deste tipo de metodologia de ensino cabe ressaltar o que foi orientado por
Rêgo (apud Lorenzato 2.009, p.54) na utilização de instrumentos em sala de aula:
É importante frisar que a utilização de todo e qualquer recurso didático exige
cuidados básicos por parte do professor, entre os quais destacamos:
i) dar tempo para que os alunos conheçam o material (inicialmente é importante que
os alunos explorem livremente);
ii) incentivar a comunicação e troca de idéias, além de discutir com a turma os
diferentes processos, resultados e estratégias envolvidos;
iii) mediar, sempre que necessário, o desenvolvimento das atividades por meio de
perguntas ou da indicação de materiais de apoio, solicitando o registro individual ou
coletivo das ações realizadas, conclusões e dúvidas;
iv) realizar uma escolha responsável e criteriosa do material;
v) planejar com antecedência as atividades, procurando conhecer bem os recursos a
serem utilizados, para que possam ser explorados de forma eficiente, usando o bom
senso para adequá-los às necessidades da turma, estando aberto a sugestões e
modificações ao longo do processo, e;
vi) sempre que possível, estimular a participação do aluno e de outros professores na
confecção do material.
23
3. METODOLOGIA DE PESQUISA
3.1. TEORIA DO ARCO
Em nosso trabalho iremos utilizar a Teoria do Arco para pesquisar o problema do ensino da
Geometria no Ensino, e analisar a possibilidade da utilização de materiais didáticos
manipuláveis e experimentos utilizando instrumentos antigos (como o gnômon, o astrolábio e
o telêmetro) no processo de ensino-aprendizado dos conteúdos referentes à Geometria
propostos no PCN e livros didáticos.
No processo de pesquisa da Teoria do Arco, podemos observar a realidade e após uma análise
criteriosa determinamos ações que possibilitam uma modificação desta realidade. O processo
da Teoria do Arco é mostrado na Figura 3.
Figura 3 – Visualização do Teorema do Arco
24
Na Teoria do Arco temos:
1. Observação da Realidade: nesta fase é observada uma situação real e realizado a
verificação de um problema;
2. Pontos-Chaves: nesta fase são verificados as variáveis ou pontos chaves do problema;
3. Teorização: verificados os pontos-chaves, é realizado uma pesquisa tendo em vista um
entendimento maior sobre os aspectos do problema;
4. Hipótese de Solução: através da teorização é formulado uma hipótese para solucionar o
problema;
5. Aplicação na Realidade: a hipótese é aplicada na realidade e é verificado se houve (ou não)
modificação na realidade.
Em síntese, nesta teoria é realizada uma observação de determinado problema na realidade, da
análise desta observação pode-se identificar o(s) ponto(s)-chave(s) deste problema, de uma
nova análise deste(s) ponto(s)-chave(s) temos uma hipótese(s) para solucionar este problema,
e desta hipótese(s) pode-se determinar planos para ações que possibilitem a modificação da
realidade.
Os instrumentos escolhidos para esta pesquisa utilizam a Semelhança entre Triângulos e as
Relações Trigonométricas (seno, cosseno e tangente), ambos os conteúdos serão relacionados
ao Triângulo Retângulo.
Bordenave e Pereira em seu livro Estratégias de Ensino-Aprendizagem (1.995) mostram os
resultados positivos obtidos ao utiliza este instrumento de pesquisa na forma de metodologia
de ensino envolvendo alunos do curso de agronomia. Contudo Godino (2.004, p.136) escreve:
Gran parte de la actividad matemática puede ser descrita como procesos de
modelización, en el que interpretamos de forma abstracta, simplificada e idealizada
un objeto, un sistema de relaciones o un proceso evolutivo que surge de la
descripción de la realidad. La construcción de modelos matemáticos, su
comparación con la realidad, y su perfeccionamiento progresivo intervienen en cada
fase de la resolución de problemas matemáticos, no sólo relacionados con
situaciones prácticas, sino también en el trabajo de desarrollo teórico. Este proceso
seguiría las cinco fases siguientes:
1. Observación de la realidad;
2. Descripción simplificada de la realidad;
3. Construcción de un modelo;
25
4. Trabajo matemático con el modelo;
5. Interpretación de resultados en la realidad;
El propósito de construir un modelo es obtener una mejor comprensión de una parte
de nuestro universo y, así, poder predecirla y si es posible controlarla. Un modelo no
es "real", ni tampoco "verdadero"; en el mejor de los casos es consistente y
concordante con las observaciones. Esto se olvida con facilidad y se suele confundir
"modelo" y "realidad".
Por otro lado, todos los pasos 1 a 5 son igualmente importantes en la actividad de
modelización. Sin embargo, en la clase de matemáticas, con frecuencia nos
apressuramos a correr a los pasos 3 y 4 (las “verdaderas” matemáticas) con lo que se
impide al alumno apreciar la relación entre matemáticas y realidad así como la
aplicabilidad y limitaciones de las matemáticas.
Os passos citados por Godino são semelhantes aos passos que utilizados pela Teoria do Arco,
podemos então considerar a possibilidade deste instrumento de pesquisa em sala de aula.
3.2. INSTRUMENTOS
3.2.1. O Gnômon
O gnômon (Figura 4) é o instrumento mais simples e o mais antigo dos instrumentos
utilizados nesta pesquisa. Trata-se de uma simples estaca posicionada verticalmente sobre
uma superfície lisa, que exposto ao Sol produz uma sombra, que varia seu comprimento
conforme o sol percorre seu trajeto pelo céu, entre o nascente e o poente.
26
Figura 4 - Gnômon: Foto
O gnômon, segundo Boyer (1.993, p.34), era conhecido e utilizado pelos babilônicos como
relógio de Sol. Historiadores como Boyer (1.993, p.35), e Eves (1.995, p.115), partindo de
relatos deixados por Diôgenes, Plínio e Plutarco, descrevem que Thales de Mileto observou
que, em determinada hora do dia, sua sombra possuía um comprimento igual a sua altura. Ao
verificar que o mesmo ocorria em um gnômon, utilizou esta informação e a semelhança de
triângulos para solucionar um desafio proposto pelos sacerdotes egípcios, que consistia em
determinar a altura de uma pirâmide.
A utilização mais importante do gnômon foi feita por Eratóstenes de Cirene para determinar a
medida da circunferência Terra que permitiu a determinação do raio do nosso planeta. Eves
(1.995, p.214), descreve o processo realizado por Eratóstenes:
Ele observou que em Siena, ao meio dia do solstício de verão, uma vara na vertical
não projetava nenhuma sombra, ao passo que em Alexandria (que ele acreditava
estar no mesmo meridiano que Siena) os raios do Sol inclinavam-se de 1/50 de um
circulo completo em relação a vertical. Com a distância conhecida de 5.000 estádios
entre Alexandria e Siena, ele então pode calcular a circunferência da Terra
27
Boyer (1.993, p.117) diz que Eratóstenes, ao invés de uma vara na vertical (gnômon), fez suas
observações utilizando um poço.
Eratóstenes observou que ao meio dia no dia do solstício de verão o Sol brilhava
diretamente para dentro de um poço profundo em Siene. Ao mesmo tempo em
Alexandria, tomada como estando no mesmo meridiano e 5.000 estádios ao norte de
Siene verificou-se que o Sol lançava uma sombra indicando que a distancia angular
do sol ao zênite era de um cinqüentavos de um círculo.
Observe, no entanto, que o poço funciona como o mesmo principio de um gnômon. O valor
da circunferência obtido por Erastóstenes é considerado um dos maiores feitos da época
devido a sua precisão. Nussenzveig (2.002, p.9), interpretou estes dois processos da seguinte
forma:
A idéia de que a terra tem a forma esférica já era corrente nessa época: Aristóteles
havia citado como argumento a sombra circular projetada pela Terra sobre a Lua
sempre que se interpõe entre o Sol e a Lua (eclipse).
O método de Eratóstenes está ilustrado na Figura 5. No dia do solstício de verão (o
dia mais longo do ano). Na cidade de Siene (atual Aswan), ao meio dia, os raios
solares eram exatamente verticais, o que se verificava pela ausência de sombra de
uma estaca vertical (direção de um fio de prumo).
No mesmo dia, e na hora em que a sombra de uma estaca vertical era mais curta, em
Alexandria, que fica ao norte de Siene sobre o mesmo meridiano, os raios solares
faziam um ângulo θ 7,2º com a vertical. Conhecendo a distância S entre Alexandria
e Siene, Erastóstenes determinou a circunferência C=2πR da Terra pela eq. 1
(1)
o que dá C=2πR=50S. O valor de S usado por Erastóstenes foi de 5.000 “stadia”,
levando a C=250.000 “stadia”
Uma estimativa moderna do “stadium” (unidade de comprimento grega) é que
equivalia a 157 metros, o que daria C=39.250 km.
28
Figura 5 – Como Erastóstenes estimou o raio da Terra.
Hoje por meio de modernos equipamentos de medição sabemos que a circunferência da Terra
mede 40.000 km, ou seja, o erro de Erastóstenes, utilizando um simples gnômon, foi menor
que 2%.
3.2.1.1. Montagem
Para se fabricar um gnômon basta termos uma haste, cujo comprimento seja conhecido, e
fixá-la verticalmente em uma superfície plana. Para facilitar o manuseio foi proposta a
utilização de uma base de madeira com dimensões de 80 x 110 mm com espessura de 20 mm
no qual foi feito um furo no centro com Ø20 mm onde foi encaixado um cabo de vassoura
como haste, com 600 mm de comprimento. A haste não foi fixada com cola na base para
permitir sua desmontagem, facilitando assim o transporte. Na Figura 6 e Figura 7 temos a foto
do instrumento e na Figura 8 as suas dimensões.
29
Figura 6 - Gnômon: Foto
Figura 7 - Gnômon: Foto
30
Figura 8 - Gnômon: Visualização para Montagem
3.2.1.2. Princípio de Utilização
Quando o gnômon está sob o Sol ele projeta no solo sua sombra. Na Figura 9 podemos
observar que os pontos A, B e C formam um triângulo retângulo em o ângulo reto localiza-se
no encontro do gnômon com sua sombra. Temos então três distâncias que podemos medir:
1 – AB é a medida da altura do gnômon;
2 – BC é a medida do comprimento da sua sombra;
3 – AC é a medida da distância entre o topo do gnômon e a extremidade, oposta a base, de sua
sombra.
31
Figura 9 - Gnômon: Princípio de Utilização
Observe que as distâncias AB e BC são os catetos e a distância AC é a hipotenusa deste
triângulo, alem disso a hipotenusa é formada pelos raios solares. Ao realizarmos a razão entre
medida da altura do gnômon e do comprimento de sua sombra determina-se o valor da
tangente deste ângulo e consultando uma tabela (ou realizando o calculo através de uma
calculadora científica) podemos determinar a medida deste ângulo, assim temos o ângulo com
o qual os raios solares incidem na Terra naquele instante. Se realizarmos este mesmo
processo, simultaneamente, utilizando gnômon de alturas diferentes obtém-se o mesmo valor,
este fato foi constatado por Thales de Mileto no Egito ao perceber que em determinada hora
do dia sua altura tinha a mesma medida que o comprimento da sua sombra e o mesmo ocorria
com a medida da altura de um gnômon e o comprimento de sua sombra, este fato permitiu que
ele determina-se a altura de uma da pirâmide.
Podemos considerar de que todos os raios solares que incidem sobre a Terra, o fazem de
forma paralela entre si, isto permite que todos os ângulos internos dos triângulos formados
por objetos e suas sombras sejam congruentes entre si, quando são expostos ao Sol, no mesmo
momento, em uma superfície plana e próximo um do outro.
32
Oque ocorre na realidade, é que os raios solares não incidem sobre a Terra de forma paralela
entre si, entre um raio solar e outro existe um ângulo. Perelman (2.003, p.3) confirma este
fato, mas admite que para experimentos práticos utilizando os instrumentos desta pesquisa,
podemos considerar que os raios solares atingem nosso planeta de forma paralela entre si, pois
o devido ao fato diâmetro do Sol ser muito maior do que diâmetro da Terra, além do fato do
planeta estar muito distante da estrela.
Perelman (2.003, p.3) descreve uma simples maneira de se verificar este fato. Considere dois
raios solares com o arco de circunferência medindo 1 km. Traçando-se uma circunferência
cujo raio tenha a mesma medida da distância entre Sol e a Terra (cerca de 150.000.000 km).
Teremos uma circunferência que mede cerca de 940.000.000 km. Cada grau desta
circunferência mede cerca de 2.600.000 km, um minuto mede 43.000 km e um segundo mede
cerca de 720 km. Sendo que o arco considerado mede 1 km, este valor corresponde a um
ângulo de 1/720 segundo, logo não é perceptível pelos instrumentos comuns de medição,
apenas com o uso de instrumentos astronômicos modernos de alta precisão estes ângulos
podem ser determinados, de forma que não precisamos levá-los em conta em nossos
experimentos.
3.2.2. O Astrolábio e o Quadrante
O astrolábio é um antigo instrumento astronômico utilizado pelos árabes para a guiarem suas
caravanas e, que mais tarde, permitiu as explorações e descobrimentos realizados durante a
época das grandes navegações. Este instrumento permite a localização dos astros no céu
noturno, além de medir o ângulo da altura do Sol e das estrelas que era essencial no processo
de navegação, durante as explorações de novas terras ou para indicar o caminho das caravanas
ou navios durante grandes viagens comerciais. O astrolábio (vide a Figura 10) é um disco de
metal (geralmente bronze), em sua borda estão graduados os ângulos como em um
transferidor de 360° e no centro do disco é colocado ponteiro por onde é feita a aferição das
medidas, o corpo possui diversos orifícios para diminuir a resistência ao vento, aumentando
assim o a precisão do instrumento.
33
Figura 10 – Astrolábio (In: http://www.educ.fc.ul.pt/, 2.010)
O quadrante é uma forma simplificada do astrolábio e seu nome é devido ao fato de utilizar
somente um quarto de circunferência e sendo graduado de 0 a 90º. Na Figura 11 temos um
exemplo de um quadrante.
Figura 11 – Quadrante (In: http://www.cristobalcolondeibiza.com/2eng/2eng15.htm)
34
3.2.2.1. Montagem
Para se fabricar um astrolábio é necessário um transferidor plástico escolar de 180°, um
canudinho de refrigerante, cerca de 300 mm de linha, uma pequena chumbada de pesca, uma
tampa de garrafa pet e cola (ou fita adesiva). Para montar basta prender a chumbada em uma
das extremidades da linha formando assim um “fio de prumo”, a outra extremidade da linha é
fixada ao centro do transferidor de modo que o “fio de prumo” possa girar livremente. Prenda
o canudinho na borda reta do transferidor e a tampa de garrafa no dentro da face oposta ao do
“fio de prumo”. Para melhorar a precisão pode-se realizar a fixação do astrolábio no topo do
gnômon por meio de um parafuso, mais detalhes consulte a Figura 12 a Figura 15.
Figura 12 – Astrolábio: Foto
35
Figura 13 – Astrolábio: Fixado no gnômon
Figura 14 – Astrolábio: Fixado no gnômon
36
Figura 15 - Astrolábio: Visualização para Montagem
Para se fabricar um quadrante é necessário a impressão do modelo de um quadrante (vide
Apêndice D), um canudinho de refrigerante, cerca de 300 mm de linha, uma pequena
chumbada de pesca, uma tampa de garrafa pet, cinco palitos de sorvete e cola (ou fita
adesiva). Monte um “fio de prumo” com a linha e a chumbada de forma análoga ao astrolábio.
Cole os cinco palitos para obter um quadrado (vide a Figura 16 e a Figura 17), recorte e cole a
impressão nesta estrutura e fixe o canudinho conforme as figuras. Faça um orifício no local
indicado por um ponto na impressão, este local será utilizado para fixar o “fio de prumo”,
sendo que este deve ficar do mesmo lado da impressão. Prenda a tampa de garrafa no centro
do palito, localizado na face oposta ao da impressão.
37
Figura 16 - Quadrante: Foto
Figura 17 - Quadrante: Visualização para Montagem
38
3.2.2.2. Princípio de Utilização
Tanto o astrolábio quanto o quadrante seguem o mesmo principio de utilização. A Figura 18
mostra como segurar o quadrante, o astrolábio segue o mesmo método.
O “fio de prumo” fica sempre perpendicular ao solo, assim pode-se medir o ângulo de aclives
ou de declives. Quando observamos através do orifício do canudinho para onde queremos
determinar a altura temos que movimentar a graduação do transferidor e o “fio de prumo” age
como se fosse um ponteiro indicando em que ângulo esta sendo realizando a observação.
Figura 18 - Quadrante: Utilização
Este fato é possível, pois como podemos observar na Figura 19, o ângulo indicado pelo “fio
de prumo” em relação ao solo é o mesmo que o indicado pelo no olho do observador, ou seja,
podemos considerar duas retas r e s paralelas ao solo a reta t intercepta estas duas retas em um
determinado ângulo. Os ângulos α e β são iguais, pois são r e s são restas paralelas.
39
Figura 19 – Astrolábio: Princípio de Utilização
Para se aferir alturas, é necessário, que se obtenha a medida da distância entre o solo e os
olhos de quem utiliza o instrumento, pois conforme a Figura 20, a medida calculada com o
uso do instrumento desconsidera esta distância. Neste processo pelo instrumento
determinamos o ângulo de inclinação ( ) da altura que estamos aferindo faz com a distância
(d), ao determinarmos este ângulo podemos determinar a tangente de , obtendo assim uma
medida que somada com a altura dos olhos (h’), obtemos a altura desconhecida (h) e obtemos
a equação 2:
. 'h tg d h (2)
40
Figura 20 – Astrolábio: Aferindo altura
3.2.3. Telêmetro
O telêmetro é um instrumento descrito por Caniato (1.990, p.128) em um dos experimentos
do seu livro “O Céu” e é utilizado para medir distância através do processo de Semelhança de
Triângulos ou pelo uso das Relações Trigonométricas. Através deste aparelho podem-se
medir distâncias de algumas dezenas de metros até alguns quilômetros com um bom grau de
precisão. Nesta pesquisa foi utilizado dois modelos de telêmetro: um proposto por Caniato
(Figura 21) e o outro proposto pelo professor Cleiton Lattari (Orientador, Figura 22).
41
Figura 21 – Telêmetro: Modelo Caniato
Figura 22 – Telêmetro: Modelo Lattari
42
3.2.2.1. Montagem
Para se fabricar um telêmetro modelo Lattari são necessários três réguas de 60 cm, quatro
olhais como rosca soberba de 3/16”, três parafusos de cabeça sextavada de W3/16” x 1.1/4”,
seis arruelas lisa de 3/16” e três porcas tipo borboleta W3/16”. Para montar pegue duas réguas
e une-as por uma de suas extremidades formando um ângulo retos, fixe-as com dois
parafusos. Na outra extremidade de uma das réguas fixa-se a outra régua com apenas um
parafuso para que possa girar. Faça uma linha guia no centro da face de todas as réguas, na
régua móvel a cerca de cinco centímetros de cada extremidade fixe um olhal sobre esta linha
guia para que os orifícios fiquem bem alinhados. Faça o mesmo na régua da outra
extremidade. Para mais detalhes observe as Figuras 22.
Para se fabricar um telêmetro modelo Caniato são necessários duas réguas de 25 cm, uma
régua de 60 cm, um parafusos de cabeça sextavada de W3/16” x 1”, um parafuso de cabeça
sextavada de W3/16” x 1.1/4”, quatro arruelas lisa de 3/16”, uma porcas sextavada de W3/16”
e uma porcas tipo borboleta W3/16”. Para montar pegue uma das réguas de 25 cm e une-a
pelo centro a uma das extremidades da régua de 60cm com o parafuso de 1” e pela porca
sextavada, de forma que a régua menor fique perpendicular a régua maior (no formato de um
“T”), esta união deve ser bem firme para que não haja movimentação. A outra régua de 25 cm
é presa da mesma forma na outra extremidade da régua maior por meio de um parafuso de
1.1/4” e com uma porca, tipo borboleta, esta régua será a parte móvel do instrumento. Faça
uma linha guia no centro da face das réguas de 25 cm, a cerca de cinco centímetros de cada
extremidade fixe um pedaço de palito de pipa sobre esta linha guia para que fiquem bem
alinhados. Faça o mesmo na régua da outra extremidade. Para mais detalhes observe as
Figuras 21.
43
3.2.2.2. Princípio de Utilização
Para utilizar o instrumento alinhamos os dois olhais da parte fixa com um ponto no qual
queremos determinar a distância. Feito esta alinhamento, sem mover o instrumento alinhamos
agora a parte móvel do instrumento com o mesmo ponto que alinhamos a parte fixa. Assim
formamos um triângulo retângulo, no qual um dos catetos é a régua no qual estão fixadas as
parte fixa do instrumento e a parte móvel. Observe as Figura 23 a Figura 26.
Figura 23 – Telêmetro: Princípio de Utilização (Modelo Lattari)
44
Figura 24 – Telêmetro: Princípio de Utilização (Modelo Lattari)
Figura 25 – Telêmetro: Princípio de Utilização (modelo Lattari)
45
Figura 26 – Telêmetro: Princípio de Utilização (modelo Caniato)
Na Figura 27, temos um desenho que mostra a vista superior de uma medição utilizando o
telêmetro modelo Lattari, o modelo Caniato segue o mesmo esquema. Para se calcular a
distância (d) do objeto devemos realizar o produto da base (constante do aparelho, (c)) pela
relação de divisão da parte móvel (b) por sua projeção sobre a base (a), assim temos a
seguinte relação:
(3)
Como a relação entre os dois comprimentos não dependem de unidade em que são medidos,
podemos utilizar qualquer unidade, porém a mesma para ambos (a) e (b).
46
Figura 27 – Telêmetro: Esquema de Utilização
47
4. COLETA DE DADOS
Para verificar a realidade do ensino da Geometria nas escolas, a coleta de dados envolveu a
participação de professores e de alunos e na consulta de livros e artigos sobre o tema
(BRITO,A. de Jesus & MOREY, Bernadete. Geometria e Trigonometria: dificuldades dos
professores de matemática do Ensino Fundamental; D' AMBRÓSIO, Beatriz. Formação de
professores de matemática para o século XXI: o grande desafio; D‟AMBRÓSIO, Ubiratan.
Educação Matemática: uma visão do estado da arte; EINSTEN, Albert. Geometria e
Experiências; FIORENTINI, D. & MIGUEL, A. & MIORIM, M. A. Álgebra ou Geometria:
para onde pende o pêndulo?; IGLESIAS, Castor M. La Matemática y la Experiência: la
aduision de conceptos; KLINE, Morris. O Fracasso da Matemática Moderna; LLUIS, Emilio.
La Geometría em la Enseñanza: notas de una Conferencia; LOBO, Netsy. Aplicación del
modelo propuesto en la Teoría de Van Hiele para la enseñanza de la Geometría;
LORENZATO, Sérgio (org). O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de
Professores; LORENZATO, Sérgio. Os “por quês” matemáticos dos alunos e as respostas dos
professores; LORENZATO, Sérgio. Por quê não ensinar Geometria?; MACHADO, Nílson J.
Interdisciplinaridade em Matemática; PROENÇA, Marcelo C.; PIROLA, Nelson Antonio.
Um Estudo sobre a Formação Conceitual em Geometria de Alunos do Ensino Médio;
SILVIA, Maria Célia Leme. O Ensino de Geometria durante o Movimento da Matemática
Moderna (MMM) no Brasil: Análise do arquivo pessoal de Sylvio Nepomuceno; TAHAN,
Malba. Didática da Matemática, para mais detalhes vide Referências). A coleta em livros e em
artigos se concentrou em trabalhos realizados por pesquisadores e educadores brasileiros, para
assim temos uma melhor visão da realidade de nossa educação e seus problemas, sem deixar
de lado os trabalhos desenvolvidos sobre o tema.
48
4.1. COLETA DE DADOS: PROFESSORES
Para verificar se a realidade atual do ensino da Geometria é a mesma observada pelo educador
Lorenzato entre os anos 1.978 e 1.991 (vide LORENZATO, Sérgio. Os “por quês”
matemáticos dos alunos e as respostas dos professores e LORENZATO, Sérgio. Por quê não
ensinar Geometria?), consultamos alguns professores da rede de ensino publico por meio
comunicação pessoal com envio de e-mails (vide Anexo A) para Grupos de Discussão de
Professores na internet, solicitando uma troca informações e de relatos, com o objetivo de
conhecer quais as dificuldades que o professores enfrentam no processo de ensino-
aprendizagem da Geometria e do uso de experimentos e materiais didáticos manipuláveis na
sala de aula.
Por meio deste processo, recebemos informações de professores do Brasil e da Argentina, que
nos ajudaram a montar um quadro geral da realidade do ensino da Geometria nas escolas.
4.2. COLETA DE DADOS: ALUNOS
Para obter a realidade na perspectiva do aluno foi ministrado um mini-curso com o título de
“Aprendendo Geometria Utilizando Instrumentos Antigos”, realizado nas dependências do
Instituto Municipal de Educação Superior de Assis (IMESA), que contou com a participação
de dezenove alunos dos três anos do Ensino Médio da Escola Técnica Pedro D‟Arcádia Neto
(Centro Paula Souza).
No inicio do mini-curso foi aplicado o Questionário 1 (vide Apêndice A), para se verificar a
realidade desses alunos em relação ao aprendizado da Geometria. No final do mini-curso foi
aplicado o Questionário 2 (vide Apêndice B) para verificar se houve alteração (positiva ou
negativa) nesta realidade inicial. Nestes questionários muitas das questões aplicadas no
Questionário 1 (antes do mini-curso) são novamente aplicadas no Questionário 2 (após o
mini-curso). Adotamos esta abordagem para confirmar a realidade do ensino da Geometria na
49
perspectiva do aluno, pois os alunos podem inicialmente não entender a questão e responder
de uma forma que não reflete a sua realidade.
4.2.1. Relato Mini-curso: Aprendendo Geometria Utilizando Instrumentos Antigos.
O mini-curso conteve duas fases, sendo uma delas expositiva, onde, por meio de cartazes, foi
apresentado cada instrumento, mostrando um pouco de sua história e sua importância para o
homem, os matemáticos que os utilizaram, modo de utilizar cada um deles, além da teoria
matemática necessária para sua correta utilização (vide as Figura 28 a Figura 31). Antes de
iniciar esta fase cada aluno recebeu o Questionário 1 para responderem e entregarem logo em
seguida. Durante a exposição os alunos mostraram um bom interesse no assunto, mostrando o
livro didático que utilizavam na aula e que continha a história de como Thales de Mileto
utilizou o gnômon (vide Figura 4, que nos livros didáticos em geral não recebe este nome, ou
seja, chamam somente de “vara” ou “estaca”) para medir a altura da pirâmide egípcia, e
alguns alunos mais participativos realizavam anotações em seus cadernos e levantavam
questões a respeito do assunto.
50
Figura 28: Cartaz: Utilização e Teoria – Astrolábio, Quadrante e Gnômon.
Figura 29: Cartaz: Utilização e Teoria – Telêmetro.
51
Figura 30: Cartaz: Explicação de como utilizar os instrumentos.
Figura 31: Cartaz: Participante manipulando o Astrolábio.
52
Na outra fase do mini-curso, voltada para os experimentos práticos, os alunos foram divididos
em grupos para possibilitar uma melhor organização. Os alunos tiveram que escolher entre os
integrantes do grupo, um elemento que seria o aferidor, ou seja, aquele que utilizaria o
astrolábio ou o quadrante, para que lhe fosse medido a altura do chão até o nível dos olhos,
este processo de medição ficou sobre a responsabilidade do ministrante. Depois de realizado
esta etapa iniciou-se os experimentos. Todos os alunos participaram ativamente para o êxito
do grupo durante o experimento, não se dispersando pela área, não ocorrendo nenhum ato de
indisciplina.
4.2.1.1. Experimento 1: Aferindo a alturas
Iniciamos a fase de experimentos utilizando o quadrante (vide Figura 15 e 16) para aferir a
altura do pé-direito do Laboratório de Ensino de Matemática. Cada equipe recebeu um
quadrante, uma folha de papel sulfite em branco e uma tabela de valores para seno, cosseno e
tangente (vide Anexo B). Os aferidores posicionados a mesma distância do pé-direito (esta
distância (d) foi medida e passada aos grupos pelo ministrante), realizaram a aferição do
ângulo ( ) com a ajuda de um dos integrantes do grupo. Consultado o valor da tangente do
ângulo na tabela e de posse da equação 2 (vide p.39), calcularam a altura desconhecida. Na
Figura 32 temos um desenhos que mostra os detalhes do experimento.
Assim que os grupos realizaram seus cálculos, o ministrante de posse de uma fita métrica
realizou, na presença dos grupos, a aferição da medida real do pé-direito. Com os quatro
valores obtidos pelos grupos determinou-se a média aritmética entre estes valores. Como os
alunos não estavam familiarizados com o instrumento e o processo de aferição os valores
aferidos foram muito diferentes entre um grupo e outro (e muito diferente da medida real),
assim a média obtida teve uma diferença significativa ao ser comparada com o valor real.
53
Figura 32: Experimento 1: Aferindo o Altura do Pé-Direito.
Em um segundo momento realizou-se, pelo mesmo processo, a aferição da medida de uma
tabela de basquete (vide a Figuras 33 e a Figura 34). Devido o fato da tabela não facilitar uma
medição por meio do uso de fita métrica, o ministrante realizou a aferição com o uso do
astrolábio (vide Figura 11), para determinar a altura da tabela. Desta vez, com os valores
aferidos foram bem aproximados entre um grupo e outro (e próximos ao valor real), a média
obtida foi bem mais próximo do aferido pelo ministrante, mostrando que os alunos adquiriram
uma maior prática na utilização do quadrante.
54
Figura 33: Experimento 1: Aferindo Altura com o Quadrante.
Figura 34: Experimento 1: Aferindo Altura com o Quadrante.
55
4.2.1.2. Experimento 2: Aferindo o ângulo de incidência dos raios solares
Para este experimento utilizamos o quadrante e o astrolábio (vide a Figura 12 e a Figura 16)
para aferir qual o ângulo de incidência dos raios solares, para isto, além dos instrumentos,
cada grupo recebeu uma folha de papel sulfite em branco. O experimento consiste em
posicionar o instrumento na direção do Sol de forma que a luz solar atravesse todo o
comprimento do tubo do instrumento e forme um ponto luminoso sobre a folha de papel. Para
obter uma maior precisão o astrolábio está fixado ao gnômon. Observe a Figura 35 e a Figura
36 para mais detalhes.
Para verificar se o ângulo está correto, utilizamos o gnômon dividindo a altura do instrumento
(60cm) pelo comprimento da sombra obtemos a tangente do ângulo e verificando na tabela,
obtemos o ângulo de inclinação dos raios solares que formam a sombra. Observe a Figura 37
à Figura 40.
Figura 35: Astrolábio: Utilização.
56
Figura 36: Astrolábio: Utilização.
Figura 37: Experimento 2: Aferindo o ângulo de inclinação do Sol com o Astrolábio.
57
Figura 38: Experimento 2: Aferindo o ângulo de inclinação do Sol com o Astrolábio.
Figura 39: Experimento 2: Aferindo o ângulo de inclinação do Sol com o Gnõmon.
58
Figura 40: Experimento 2: Aferindo o ângulo de inclinação do Sol com o Gnõmon.
4.2.1.3. Experimento 3: Aferindo longas distâncias.
Para este experimento utilizamos o telêmetro (vide a Figura 21 e a Figura 22) para calcular a
distância de uma árvore. Antes de iniciar o processo de aferição, o ministrante posicionou
cada grupo a mesma distancia da árvore, porém em diferentes ângulos, assim um grupo não
poderia colar os dados de outros grupos. Com os quatro valores obtidos pelos grupos
determinou-se a média aritmética entre estes valores. De todos os experimentos este foi o que
causou a maior dificuldade para os alunos, devido ao fato da precisão necessária para alinhar
no mesmo ponto e da falta de familiaridade com o instrumento, os valores medido pelos
alunos ficou muito distante da medida real, assim a média obtida teve uma grande diferença
ao ser comparada com o valor real. A Figura 41 e a Figura 42 ilustram o procedimento, a
primeira figura indica uma aferição de uma curta distância e a outra uma aferição de uma
longa distância.
59
Figura 41: Experimento 2: Aferindo uma curta distância com o Telêmetro.
Figura 42: Experimento 2: Aferindo uma longa distância com o Telêmetro.
60
5. ANÁLISE DOS DADOS
5.1. DADOS OBTIDOS DOS PROFESSORES
Das conversas e trocas de e-mails entre os professores percebemos diversas dificuldades em
se ensinar Geometria nas escolas, muitos dos problemas são os mesmos citados por
Lorenzato, D‟Ambrósio e outros educadores pesquisados, porém algo que foi relatado por
meu orientador, e confirmado por alguns professores, são as restrições que a própria
administração da escola aplica quando o professor deseja realizar uma atividade prática fora
da sala de aula. Alguns professores relataram a discriminação que sofreram por parte dos
outros professores, ao quererem introduzir uma nova metodologia de ensino diferente da
expositiva com o uso da lousa e giz. A seguir estão transcritos algum destes depoimentos
(vide Anexo A para ver outros e-mails).
Segundo a professora A.M.P.A.:
Acho que o maior problema é que os alunos, muitas vezes chegam às minhas mãos
sem saber nada de geometria, porque (apesar de ter melhorado um pouco) muitos
professores não querem, ou não gostam, ou não sabem, ou não acham importante.
Normalmente os alunos gostam de geometria, gostam de "por a mão na massa",
apesar das dificuldades.
Segundo a professora M.N.:
Eu já dei aula de matemática, as dificuldades encontradas que eu achei
no geral são de como o aluno consegue apreender o que está sendo
ensinado, alguns conseguem a maioria não, porque está abstrato para
61
eles, precisa comparar a situações cotidianas e dizer para que ele vai
usar aquilo. Depois eu usava o método de repetição trocava os valores
sempre os mesmos exercícios, quando dominavam o mais simples aí a
gente parte para o mais difícil. Foi só assim que consegui ensinar.
Segundo a professora da Argentina M.M.:
Le agrego a ud. que en este momento no tengo muchas horas en la escuela, pero
todos los años trato de insertar temas de geometría. Lo que noto es que la mayoría
de los alumnos no han visto geometría en el nivel primario que al momento de tocar
temas en los cuales la graficación es importante y necesita de exactitud no pueden
lograrlo con éxito , se remiten a realizar lo que el profesor le dice , pero no realizan
inferencias, ni nuevas conclusiones. Cuando los temas son aplicados a casos reales ,
se logra más comprensión, y se denota mayor efectividad en la enseñanza. Parece
que no hubieran pasado al nivel de abstracción necesaria. Igualmente es importante
la falta de estudio.
Segundo a professora H.L.:
Quando comecei a trabalhar com as TCIs em uma escola de periferia tive algumas
barreiras. ... Alguns professores diziam que eu estava dando pérolas para porcos, o
coordenador dizia que era exagero, a direção achava que meu nível de aula era
demais para os coitadinhos.... Já superei esses traumas e pra eu poder viver mais
feliz e sem perseguições, pedi remoção. Esse quadro, infelizmente, é a realidade da
maioria das nossas escolas brasileiras. Não sei em outros estados, mas em Ribeirão
Preto, estado de São Paulo, a aula de giz e lousa ainda impera.
62
5.2. QUESTIONÁRIOS RESPONDIDOS PELOS ALUNOS
Passaremos a analisar os questionários respondidos pelos alunos, antes e depois, do mini-
curso, sendo que esses questionários estão organizados nesta seção para uma análise mais
detalhada, sendo que uma cópia dos originais se encontra no Apêndice C.
A seguir da Tabela 1 à Tabela 19, temos agrupadas as perguntas e respostas do Questionário 1
(Q1) e o Questionário (Q2), de cada aluno que participou do mini-curso. O Questionário 1 foi
respondido logo no inicio do mini-curso e o Questionário 2 logo após o término dos
experimentos.
63
Questionários – Aluno 1
Perguntas Respostas
Questionário 1 (Antes) Questionário 2 (Depois)
(1) Você conhece algum
instrumento utilizado para medir
ângulos?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(2) Você já realizou uma atividade
prática, usando a geometria? ( ) Sim (x) Não (x) Sim ( ) Não
(3) Você já realizou alguma
atividade prática nas aulas de
matemática?
( ) Sim (x) Não (x) Sim ( ) Não
(4) Você conhece algum teorema
(ou fórmula) da geometria ou
trigonometria? Quais?
Sim, Pitágoras, Tales, Euler. Sim, Pitágoras, Tales, Euler.
(5) Você sabe quais são as
aplicações da geometria no seu
dia-a-dia? Cite algumas.
Não. Não.
(6) Quando você aprendeu algum
conteúdo da geometria o professor
propôs alguma atividade prática?
Quais?
Não. Não na escola.
(7) O professor fez alguma
referência histórica sobre a
geometria quando ensinou esse
conteúdo?(Q1)
(x) Sim ( ) Não
(7) Você se lembra de quais
conceitos da trigonometria
podemos estudar utilizando o Sol e
uma estaca fincada no solo?(Q2)
Sim, Teorema de Tales.
(8) O que você acha de aprender
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q1)
Bom para o aprendizado.
(8) O que você achou de estudar
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q2)
Acredito que contribuiu muito
para melhorar meu entendimento
em Geometria.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitará a
aprendizagem da geometria?(Q1)
Sim
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitou a
aprendizagem da geometria?(Q2)
Sim, com certeza.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q1)
Régua, transferidor, compasso.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q2)
Gnômon, Quadrante, Telêmetro.
Tabela 1: Questionários respondidos antes e depois pelo Aluno 1.
64
Questionários – Aluno 2
Perguntas Respostas
Questionário 1 (Antes) Questionário 2 (Depois)
(1) Você conhece algum
instrumento utilizado para medir
ângulos?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(2) Você já realizou uma atividade
prática, usando a geometria? (x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(3) Você já realizou alguma
atividade prática nas aulas de
matemática?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(4) Você conhece algum teorema
(ou fórmula) da geometria ou
trigonometria? Quais?
Sim, o Teorema de Pitágoras,
Teorema de Tales.
Sim, Teorema de Pitágoras, de
Tales..
(5) Você sabe quais são as
aplicações da geometria no seu
dia-a-dia? Cite algumas.
Sim, na construção civil, também
na própria matemática, na
construção de automóveis, etc...
Na construção de casas, na
medição de espaços, alturas.
(6) Quando você aprendeu algum
conteúdo da geometria o professor
propôs alguma atividade prática?
Quais?
Sim, o uso de instrumentos como
régua e transferidor.
Sim, medimos distâncias e alturas
com vários instrumentos antigos.
(7) O professor fez alguma
referência histórica sobre a
geometria quando ensinou esse
conteúdo?(Q1)
( ) Sim (x) Não
(7) Você se lembra de quais
conceitos da trigonometria
podemos estudar utilizando o Sol e
uma estaca fincada no solo?(Q2)
Usando a sombra e o gnômon
podemos descobrir o tamanho de
objetos.
(8) O que você acha de aprender
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q1)
Legal e bem interessante, um novo
jeito de aprender Geometria.
(8) O que você achou de estudar
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q2)
Legal e bem mais interessante do
que só vê-los..
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitará a
aprendizagem da geometria?(Q1)
Sim, pois com a prática fica mais
fácil.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitou a
aprendizagem da geometria?(Q2)
Sim, foi mais descontraído,
divertido e facilitou a fixação do
modo de usar e de utilizar as
fórmulas.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q1)
Transferidor, régua, esquadro e
compasso.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q2)
Quadrante, gnômon, telêmetro,
régua, etc.
Tabela 2: Questionários respondidos antes e depois pelo Aluno 2.
65
Questionários – Aluno 3
Perguntas Respostas
Questionário 1 (Antes) Questionário 2 (Depois)
(1) Você conhece algum
instrumento utilizado para medir
ângulos?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(2) Você já realizou uma atividade
prática, usando a geometria? (x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(3) Você já realizou alguma
atividade prática nas aulas de
matemática?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(4) Você conhece algum teorema
(ou fórmula) da geometria ou
trigonometria? Quais?
Sim, Pitágoras e Tales. Sim, Teorema de Thales e
Pitágoras.
(5) Você sabe quais são as
aplicações da geometria no seu
dia-a-dia? Cite algumas.
Não
Sim, para calcular alturas de
objetos muito altos e a distância de
objetos que estão muito longe.
(6) Quando você aprendeu algum
conteúdo da geometria o professor
propôs alguma atividade prática?
Quais?
Sim, aprendemos através de um
projeto de mosaicos, ao final, do
projeto os alunos montaram seu
próprio mosaico, utilizando seus
conhecimentos adquiridos sobre
geometria.
Sim, utilizamos o quadrante e o
telêmetro.
(7) O professor fez alguma
referência histórica sobre a
geometria quando ensinou esse
conteúdo?(Q1)
( ) Sim (x) Não
(7) Você se lembra de quais
conceitos da trigonometria
podemos estudar utilizando o Sol e
uma estaca fincada no solo?(Q2)
Gnômon.
(8) O que você acha de aprender
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q1)
Muito interessante.
(8) O que você achou de estudar
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q2)
Muito interessante.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitará a
aprendizagem da geometria?(Q1)
Sim, pois compreenderemos de
forma lúdica.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitou a
aprendizagem da geometria?(Q2)
Sim, pois entendemos melhor a
teoria.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q1)
O transferidor, réguas, esquadro e
compasso.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q2)
Quadrante, telêmetro, esquadros,
transferidor.
Tabela 3: Questionários respondidos antes e depois pelo Aluno 3.
66
Questionários – Aluno 4
Perguntas Respostas
Questionário 1 (Antes) Questionário 2 (Depois)
(1) Você conhece algum
instrumento utilizado para medir
ângulos?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(2) Você já realizou uma atividade
prática, usando a geometria? (x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(3) Você já realizou alguma
atividade prática nas aulas de
matemática?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(4) Você conhece algum teorema
(ou fórmula) da geometria ou
trigonometria? Quais?
Sim, o teorema de Pitágoras e de
Tales.
Sim, Teorema de Thales, de
Pitágoras.
(5) Você sabe quais são as
aplicações da geometria no seu
dia-a-dia? Cite algumas.
Sim, em construções civis,
fabricação de automóveis, em
próprios problemas e fórmulas
matemáticas.
Construções de casas, medições de
espaços e alturas.
(6) Quando você aprendeu algum
conteúdo da geometria o professor
propôs alguma atividade prática?
Quais?
Sim, o manuseio de objetos
auxiliadores como régua,
compasso, esquadro e outros.
Sim, medições de altura utilizando
o quadrante e de distancia usando
o telêmetro.
(7) O professor fez alguma
referência histórica sobre a
geometria quando ensinou esse
conteúdo?(Q1)
(x) Sim ( ) Não
(7) Você se lembra de quais
conceitos da trigonometria
podemos estudar utilizando o Sol e
uma estaca fincada no solo?(Q2)
Através da sombra utilizando o
gnômon determinamos a altura do
objeto.
(8) O que você acha de aprender
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q1)
Acho interessante e diferente,
além do mais quando se pratica é
mais instigante e legal do que ficar
somente na teoria
(8) O que você achou de estudar
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q2)
Bem mais interessante, além de
quando realizados estudos através
das práticas ele se torna mais
fixativo.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitará a
aprendizagem da geometria?(Q1)
Sim, pois manuseando,
trabalhando com seu estudo em
mãos facilita a aprendizagem.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitou a
aprendizagem da geometria?(Q2)
Com certeza, agora já não a vejo
como um “bicho de sete cabeça” e
complicações que não existem. É
algo simples porém necessita de
muita atenção.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q1)
Transferidor, réguas, esquadro e
compasso.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q2)
Quadrante, gnômon, telêmetro,
régua, trena, entre outros.
Tabela 4: Questionários respondidos antes e depois pelo Aluno 4.
67
Questionários – Aluno 5
Perguntas Respostas
Questionário 1 (Antes) Questionário 2 (Depois)
(1) Você conhece algum
instrumento utilizado para medir
ângulos?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(2) Você já realizou uma atividade
prática, usando a geometria? (x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(3) Você já realizou alguma
atividade prática nas aulas de
matemática?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(4) Você conhece algum teorema
(ou fórmula) da geometria ou
trigonometria? Quais?
Sim, o teorema de Pitágoras
a²=b²+c² Sim, teorema de Pitágoras.
(5) Você sabe quais são as
aplicações da geometria no seu
dia-a-dia? Cite algumas.
Sim, não construção civil, na
fabricação de automóveis, etc.
Na construção de casas,
automóveis, etc..
(6) Quando você aprendeu algum
conteúdo da geometria o professor
propôs alguma atividade prática?
Quais?
Sim, a utilização dos instrumentos.
Sim, medições de altura utilizando
o astrolábio, cálculo de distância
usando o quadrante.
(7) O professor fez alguma
referência histórica sobre a
geometria quando ensinou esse
conteúdo?(Q1)
( ) Sim (x) Não
(7) Você se lembra de quais
conceitos da trigonometria
podemos estudar utilizando o Sol e
uma estaca fincada no solo?(Q2)
Usando o gnômon para medir a
sombra.
(8) O que você acha de aprender
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q1)
Acho interessante por ser uma
forma diferente de se aprender
geometria.
(8) O que você achou de estudar
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q2)
É mais fácil, pois é possível
realizar de forma mais objetiva,
não utilizando somente a teoria.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitará a
aprendizagem da geometria?(Q1)
Sim, pois assim facilitará.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitou a
aprendizagem da geometria?(Q2)
Sim, pois a aula fica mais
descontraída e isso facilita a
aprendizagem.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q1)
Réguas, esquadro, compasso e
transferidor.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q2)
Quadrante, gnômon, telêmetro,
régua.
Tabela 5: Questionários respondidos antes e depois pelo Aluno 5.
68
Questionários – Aluno 6
Perguntas Respostas
Questionário 1 (Antes) Questionário 2 (Depois)
(1) Você conhece algum
instrumento utilizado para medir
ângulos?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(2) Você já realizou uma atividade
prática, usando a geometria? (x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(3) Você já realizou alguma
atividade prática nas aulas de
matemática?
( ) Sim (x ) Não (x) Sim ( ) Não
(4) Você conhece algum teorema
(ou fórmula) da geometria ou
trigonometria? Quais?
Teorema de Pitágoras a²=b²+c²
Baskara
2 4
2
b ac
bx
a
Seno triângulo
2 2 2 2 sina b c bc a
Telêmetro cd
da
Função:
. .cat opsen
hip
. .cos
cat adj
hip
(5) Você sabe quais são as
aplicações da geometria no seu
dia-a-dia? Cite algumas.
Sim, nos jogos como sinuca,
futebol. Na fotografia, pois se não
houver um ângulo correto no foco,
a foto não tem uma boa qualidade.
Na construção de casas,
automóveis, etc..
(6) Quando você aprendeu algum
conteúdo da geometria o professor
propôs alguma atividade prática?
Quais?
Não. Sim, medições do pé direito
(7) O professor fez alguma
referência histórica sobre a
geometria quando ensinou esse
conteúdo?(Q1)
(x) Sim ( ) Não
(7) Você se lembra de quais
conceitos da trigonometria
podemos estudar utilizando o Sol e
uma estaca fincada no solo?(Q2)
A teoria de Talles deMileto
utilizando o gnômon.
(8) O que você acha de aprender
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q1)
Bom.
(8) O que você achou de estudar
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q2)
Muito bom.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitará a
aprendizagem da geometria?(Q1)
Sim.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitou a
aprendizagem da geometria?(Q2)
Sim.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q1)
Transferidor, régua, esquadro, fita
métrica, etc...
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q2)
Quadrante e telêmetro.
Tabela 6: Questionários respondidos antes e depois pelo Aluno 6.
69
Questionários – Aluno 7
Perguntas Respostas
Questionário 1 (Antes) Questionário 2 (Depois)
(1) Você conhece algum
instrumento utilizado para medir
ângulos?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(2) Você já realizou uma atividade
prática, usando a geometria? (x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(3) Você já realizou alguma
atividade prática nas aulas de
matemática?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(4) Você conhece algum teorema
(ou fórmula) da geometria ou
trigonometria? Quais?
Sim, o Teorema de Pitágoras,
Teorema de Tales
Teorema de Pitágoras, Teorema de
Tales, Trigonometria no Triângulo
Retângulo.
(5) Você sabe quais são as
aplicações da geometria no seu
dia-a-dia? Cite algumas.
Encaixes de moldes, faço
desenhos onde aplico a geometria
diretamente, dobraduras.
Medição de terrenos e alturas..
(6) Quando você aprendeu algum
conteúdo da geometria o professor
propôs alguma atividade prática?
Quais?
Sim, problemas com retas que
necessitavam das fórmulas.
Sim, medições de distâncias e
altura em relação à uma árvore e a
um poste, respectivamente.
(7) O professor fez alguma
referência histórica sobre a
geometria quando ensinou esse
conteúdo?(Q1)
( ) Sim (x) Não
(7) Você se lembra de quais
conceitos da trigonometria
podemos estudar utilizando o Sol e
uma estaca fincada no solo?(Q2)
Gnômon, onde podemos
relacionar seno, coseno e tangente.
(8) O que você acha de aprender
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q1)
É realmente uma forma de se
anexar o aprendizado, ajudando
posteriormente em problemas do
cotidiano.
(8) O que você achou de estudar
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q2)
Foi algo muito construtivo, onde
pude aprender mais sobre os
instrumentos e anexar fórmulas e
conhecimento.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitará a
aprendizagem da geometria?(Q1)
Sim.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitou a
aprendizagem da geometria?(Q2)
Com certeza. É algo melhor
trabalhado e melhor relacionado,
fácil de ser lembrado
posteriormente.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q1)
Régua, transferidor 180° e 360°,
esquadro 60° e 45º, compasso,
cronometro.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q2)
Gnômon, telêmetro, quadrante,
transferidor, compasso, esquadro,
régua.
Tabela 7: Questionários respondidos antes e depois pelo Aluno 7.
70
Questionários – Aluno 8
Perguntas Respostas
Questionário 1 (Antes) Questionário 2 (Depois)
(1) Você conhece algum
instrumento utilizado para medir
ângulos?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(2) Você já realizou uma atividade
prática, usando a geometria? (x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(3) Você já realizou alguma
atividade prática nas aulas de
matemática?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(4) Você conhece algum teorema
(ou fórmula) da geometria ou
trigonometria? Quais?
Sim, o Teorema de Pitágoras,
Tales
Sim, Pitágoras, Tales, gnômon,
telêmetro, quadrante.
(5) Você sabe quais são as
aplicações da geometria no seu
dia-a-dia? Cite algumas.
Não. Sim, indicar distâncias e altura em
relação a algum objeto.
(6) Quando você aprendeu algum
conteúdo da geometria o professor
propôs alguma atividade prática?
Quais?
Sim, trabalhos em grupo.
Sim, propôs atividades como
calcular a distancia usando o
telêmetro, calcular a altura usando
o quadrante.
(7) O professor fez alguma
referência histórica sobre a
geometria quando ensinou esse
conteúdo?(Q1)
( ) Sim ( ) Não
(7) Você se lembra de quais
conceitos da trigonometria
podemos estudar utilizando o Sol e
uma estaca fincada no solo?(Q2)
Gnômon.
(8) O que você acha de aprender
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q1)
Acho interessante, pois nunca é
demais adquirir conhecimento.
(8) O que você achou de estudar
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q2)
Achei mais fácil para aprender e
entender.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitará a
aprendizagem da geometria?(Q1)
Tenho certeza que sim.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitou a
aprendizagem da geometria?(Q2)
Sim, idem 8.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q1)
Esquadro, transferidor, régua,
compasso.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q2)
Telêmetro, quadrante, estaca no
solo.
Tabela 8: Questionários respondidos antes e depois pelo Aluno 8.
71
Questionários – Aluno 9
Perguntas Respostas
Questionário 1 (Antes) Questionário 2 (Depois)
(1) Você conhece algum
instrumento utilizado para medir
ângulos?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(2) Você já realizou uma atividade
prática, usando a geometria? (x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(3) Você já realizou alguma
atividade prática nas aulas de
matemática?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(4) Você conhece algum teorema
(ou fórmula) da geometria ou
trigonometria? Quais?
Sim, Pitágoras. Sim, Pitágoras, Tales.
(5) Você sabe quais são as
aplicações da geometria no seu
dia-a-dia? Cite algumas.
Não. Sim, calcular altura de objetos
muito altos e distâncias grandes.
(6) Quando você aprendeu algum
conteúdo da geometria o professor
propôs alguma atividade prática?
Quais?
Sim, fizemos um mosaico. Sim, utilizar o telêmetro e o
quadrante.
(7) O professor fez alguma
referência histórica sobre a
geometria quando ensinou esse
conteúdo?(Q1)
( ) Sim (x) Não
(7) Você se lembra de quais
conceitos da trigonometria
podemos estudar utilizando o Sol e
uma estaca fincada no solo?(Q2)
Sim, o gnômon.
(8) O que você acha de aprender
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q1)
Muito bom.
(8) O que você achou de estudar
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q2)
Muito interessante.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitará a
aprendizagem da geometria?(Q1)
Sim.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitou a
aprendizagem da geometria?(Q2)
Sim, pois é mais fácil.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q1)
Esquadro, compasso, transferidor.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q2)
Gnômon, esquadro, quadrante e
telêmetro.
Tabela 9: Questionários respondidos antes e depois pelo Aluno 9.
72
Questionários – Aluno 10
Perguntas Respostas
Questionário 1 (Antes) Questionário 2 (Depois)
(1) Você conhece algum
instrumento utilizado para medir
ângulos?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(2) Você já realizou uma atividade
prática, usando a geometria? ( ) Sim (x) Não (x) Sim ( ) Não
(3) Você já realizou alguma
atividade prática nas aulas de
matemática?
( ) Sim (x) Não (x) Sim ( ) Não
(4) Você conhece algum teorema
(ou fórmula) da geometria ou
trigonometria? Quais?
Teorema de Pitágoras. Pitágoras e Tales.
(5) Você sabe quais são as
aplicações da geometria no seu
dia-a-dia? Cite algumas.
Não. Sim, calcular altura de objetos
altos e a distâncias.
(6) Quando você aprendeu algum
conteúdo da geometria o professor
propôs alguma atividade prática?
Quais?
Não. Sim, utilizando o quadrante e o
telêmetro.
(7) O professor fez alguma
referência histórica sobre a
geometria quando ensinou esse
conteúdo?(Q1)
( ) Sim (x) Não
(7) Você se lembra de quais
conceitos da trigonometria
podemos estudar utilizando o Sol e
uma estaca fincada no solo?(Q2)
Gnômon.
(8) O que você acha de aprender
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q1)
Interessante, pois pode ser um
método de aprendizagem na qual
torna mais fácil o
compreendimento.
(8) O que você achou de estudar
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q2)
Interessante.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitará a
aprendizagem da geometria?(Q1)
Sim, podemos compreender com
mais facilidade.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitou a
aprendizagem da geometria?(Q2)
Sim, pois entendemos melhor a
teorias.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q1)
Transferidor, réguas com forma de
triângulos e compasso.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q2)
Quadrante, telêmetro, transferidor,
esquadro.
Tabela 10: Questionários respondidos antes e depois pelo Aluno 10.
73
Questionários – Aluno 11
Perguntas Respostas
Questionário 1 (Antes) Questionário 2 (Depois)
(1) Você conhece algum
instrumento utilizado para medir
ângulos?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(2) Você já realizou uma atividade
prática, usando a geometria? (x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(3) Você já realizou alguma
atividade prática nas aulas de
matemática?
( ) Sim (x) Não (x) Sim ( ) Não
(4) Você conhece algum teorema
(ou fórmula) da geometria ou
trigonometria? Quais?
Teorema de Pitágoras a²=b²+c²
Baskara
2 4
2
b ac
bx
a
, sentan=
cos,
cacos=
hip
, cosen=
hip
, 1cossec=
sen,
1sec=
cos, cos
cotag=sen
.
Sim, Pitágoras e Baskara.
(5) Você sabe quais são as
aplicações da geometria no seu
dia-a-dia? Cite algumas.
Sim, sinuca, futebol, fotografia. Fotografia, arquitetura, futebol e
sinuca.
(6) Quando você aprendeu algum
conteúdo da geometria o professor
propôs alguma atividade prática?
Quais?
Não. Não.
(7) O professor fez alguma
referência histórica sobre a
geometria quando ensinou esse
conteúdo?(Q1)
(x) Sim ( ) Não
(7) Você se lembra de quais
conceitos da trigonometria
podemos estudar utilizando o Sol e
uma estaca fincada no solo?(Q2)
Gnômon.
(8) O que você acha de aprender
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q1)
Acho legal.
(8) O que você achou de estudar
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q2)
Bem legal.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitará a
aprendizagem da geometria?(Q1)
Sim.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitou a
aprendizagem da geometria?(Q2)
Sim, pois entendemos melhor a
teorias.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q1)
Transferidor, régua, esquadro, fita
métrica, trena, gps, entre outros.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q2)
Gps, transferidor, esquadro, trena,
fita métrica e outros.
Tabela 11: Questionários respondidos antes e depois pelo Aluno 11.
74
Questionários – Aluno 12
Perguntas Respostas
Questionário 1 (Antes) Questionário 2 (Depois)
(1) Você conhece algum
instrumento utilizado para medir
ângulos?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(2) Você já realizou uma atividade
prática, usando a geometria? ( ) Sim (x) Não (x) Sim ( ) Não
(3) Você já realizou alguma
atividade prática nas aulas de
matemática?
( ) Sim (x) Não ( ) Sim (x) Não
(4) Você conhece algum teorema
(ou fórmula) da geometria ou
trigonometria? Quais?
Pitágoras, Teorema de Tales,
Euler.
Sim, teorema de Tales,
semelhança de triângulos,
formulas de sen , cos , tag .
(5) Você sabe quais são as
aplicações da geometria no seu
dia-a-dia? Cite algumas.
Não. Não.
(6) Quando você aprendeu algum
conteúdo da geometria o professor
propôs alguma atividade prática?
Quais?
Não. Não.
(7) O professor fez alguma
referência histórica sobre a
geometria quando ensinou esse
conteúdo?(Q1)
(x) Sim ( ) Não
(7) Você se lembra de quais
conceitos da trigonometria
podemos estudar utilizando o Sol e
uma estaca fincada no solo?(Q2)
Sim, o Teorema de Tales.
(8) O que você acha de aprender
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q1)
É uma forma muito boa de realizar
de forma prática os conceitos
dados em sala de aula.
(8) O que você achou de estudar
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q2)
Muito legal e interessante, pois
desse modo ajuda o entendimento
das aulas práticas.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitará a
aprendizagem da geometria?(Q1)
Sim, pois na prática ajuda o
entendimento dos conceitos.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitou a
aprendizagem da geometria?(Q2)
Sim, pois foram aplicados os
conceitos.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q1)
Régua, compasso, transferidor.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q2)
Telêmetro, quadrante, gnômon.
Tabela 12: Questionários respondidos antes e depois pelo Aluno 12.
75
Questionários – Aluno 13
Perguntas Respostas
Questionário 1 (Antes) Questionário 2 (Depois)
(1) Você conhece algum
instrumento utilizado para medir
ângulos?
( ) Sim (x) Não (x) Sim ( ) Não
(2) Você já realizou uma atividade
prática, usando a geometria? ( ) Sim (x) Não (x) Sim ( ) Não
(3) Você já realizou alguma
atividade prática nas aulas de
matemática?
( ) Sim (x) Não ( ) Sim (x) Não
(4) Você conhece algum teorema
(ou fórmula) da geometria ou
trigonometria? Quais?
Sim, Pitágoras (a²=b²+c²), lei dos
senos, lei dos cossenos , relação
fundamental.
Sim, funções trigonométricas,
Pitágoras, relação fundamental, ...
(5) Você sabe quais são as
aplicações da geometria no seu
dia-a-dia? Cite algumas.
Medida de um terreno, geometria
molecular, alturas de sombras de
edifícios.
Sim, medidas de alturas e
distâncias.
(6) Quando você aprendeu algum
conteúdo da geometria o professor
propôs alguma atividade prática?
Quais?
Não. Não.
(7) O professor fez alguma
referência histórica sobre a
geometria quando ensinou esse
conteúdo?(Q1)
(x) Sim ( ) Não
(7) Você se lembra de quais
conceitos da trigonometria
podemos estudar utilizando o Sol e
uma estaca fincada no solo?(Q2)
cat optan =
cat ad, cad
cos =hip
,
copostsen =
hip
,
(8) O que você acha de aprender
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q1)
Acredito que a prática seja o
complemento da teoria.
(8) O que você achou de estudar
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q2)
Muito legal aprendendo a calcular,
achar um ângulo podemos
construir nossos próprios
problemas.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitará a
aprendizagem da geometria?(Q1)
Sim.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitou a
aprendizagem da geometria?(Q2)
Sim, deixou mais fácil a
aprendizagem, facilitou guardar os
conceitos e é divertido.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q1)
Sextante, astrolábio.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q2)
Telêmetro, quadrante, gnômon,
sextante.
Tabela 13: Questionários respondidos antes e depois pelo Aluno 13.
76
Questionários – Aluno 14
Perguntas Respostas
Questionário 1 (Antes) Questionário 2 (Depois)
(1) Você conhece algum
instrumento utilizado para medir
ângulos?
( ) Sim (x) Não (x) Sim ( ) Não
(2) Você já realizou uma atividade
prática, usando a geometria? ( ) Sim (x) Não (x) Sim ( ) Não
(3) Você já realizou alguma
atividade prática nas aulas de
matemática?
( ) Sim (x) Não ( ) Sim (x) Não
(4) Você conhece algum teorema
(ou fórmula) da geometria ou
trigonometria? Quais?
Sim, funções trigonométricas , leis
do cosseno e seno, relação
fundamental do seno e cosseno,
trigonometria na circunferência,
entre outros.
Funções trigonométricas, teorema
de Tales, semelhança de triângulo,
teorema de Pitágoras.
(5) Você sabe quais são as
aplicações da geometria no seu
dia-a-dia? Cite algumas.
Na engenharia civil, geometria
molecular.
Engenharia civil, geometria
molecular, construção civil,
mensurações de distâncias,
(6) Quando você aprendeu algum
conteúdo da geometria o professor
propôs alguma atividade prática?
Quais?
Não. Sim, cálculo de altura e distância
de objetos.
(7) O professor fez alguma
referência histórica sobre a
geometria quando ensinou esse
conteúdo?(Q1)
(x) Sim ( ) Não
(7) Você se lembra de quais
conceitos da trigonometria
podemos estudar utilizando o Sol e
uma estaca fincada no solo?(Q2)
Semelhança de triângulo e
Teorema de Tales.
(8) O que você acha de aprender
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q1)
Penso que é uma forma de pensar
sobre as dificuldades dos
primórdios da matemática e
também das dificuldades
contemporâneas.
(8) O que você achou de estudar
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q2)
Uma forma de reviver o passado
dos grandes matemáticos. Aprendi
muito e usarei mais lógica no dia-
a-dia.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitará a
aprendizagem da geometria?(Q1)
Com certeza!
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitou a
aprendizagem da geometria?(Q2)
Sim, observamos como são feitas
as mensurações de modo mais
rudimentar..
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q1)
Astrolábio, sextante.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q2)
Astrolábio, quadrante, sextante,
gnômon, telêmetro.
Tabela 14: Questionários respondidos antes e depois pelo Aluno 14.
77
Questionários – Aluno 15
Perguntas Respostas
Questionário 1 (Antes) Questionário 2 (Depois)
(1) Você conhece algum
instrumento utilizado para medir
ângulos?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(2) Você já realizou uma atividade
prática, usando a geometria? ( ) Sim (x) Não (x) Sim ( ) Não
(3) Você já realizou alguma
atividade prática nas aulas de
matemática?
( ) Sim (x) Não ( ) Sim (x) Não
(4) Você conhece algum teorema
(ou fórmula) da geometria ou
trigonometria? Quais?
Teorema de Pitágoras (a²=b²+c²),
secante, cotangente, cossecante,
relação fundamental
(sen² +cos² =1), arcos duplos,
área do triângulo, trigonometria na
circunferência.
Teorema de Pitágoras, relação de
seno, cosseno e tangente, funções
trigonométricas, semelhança de
triângulos.
(5) Você sabe quais são as
aplicações da geometria no seu
dia-a-dia? Cite algumas.
Geometria molecular. Geometria molecular.
(6) Quando você aprendeu algum
conteúdo da geometria o professor
propôs alguma atividade prática?
Quais?
Não.
Sim, gnômon, telêmetro,
quadrante para medir ângulo e
distância.
(7) O professor fez alguma
referência histórica sobre a
geometria quando ensinou esse
conteúdo?(Q1)
(x) Sim ( ) Não
(7) Você se lembra de quais
conceitos da trigonometria
podemos estudar utilizando o Sol e
uma estaca fincada no solo?(Q2)
Com o gnômon. cat.opostotan =
cat.adjacente
,
cat.adjacentecos =
hip.
, cat.opostosen =
hip.
,
(8) O que você acha de aprender
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q1)
Acho bom para fixar o conteúdo
explicado.
(8) O que você achou de estudar
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q2)
Muito bom, pois pude fixar meus
conhecimentos.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitará a
aprendizagem da geometria?(Q1)
Sim e muito.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitou a
aprendizagem da geometria?(Q2)
Sim, pois pude ver com o
experimento a geometria fica mais
fácil de ser compreendida.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q1)
Astrolábio.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q2)
Gnômon, telêmetro, quadrante.
Tabela 15: Questionários respondidos antes e depois pelo Aluno 15.
78
Questionários – Aluno 16
Perguntas Respostas
Questionário 1 (Antes) Questionário 2 (Depois)
(1) Você conhece algum
instrumento utilizado para medir
ângulos?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(2) Você já realizou uma atividade
prática, usando a geometria? (x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(3) Você já realizou alguma
atividade prática nas aulas de
matemática?
( ) Sim (x) Não (x) Sim ( ) Não
(4) Você conhece algum teorema
(ou fórmula) da geometria ou
trigonometria? Quais?
Sim, Pitágoras (a²=b²+c²), Baskara 2 4
2
b ac
bx
a
sentan=
cos, 1cossec=
sen,
1sec=
cos, cos
cotag=sen
.
Sim, cat adjcos=
hip
, cat opsen=
hip
, ,
H'=tgα . d , d b c.b= d=
c a a.
Pitágoras, Baskara.
(5) Você sabe quais são as
aplicações da geometria no seu
dia-a-dia? Cite algumas.
Sim, em vários jogos como o
futebol, a sinuca, fotografia, na
arquitetura (janelas, portas, etc)
Sim, para descobrir a altura e o
ângulo de qualquer coisa, em
jogos e arquitetura.
(6) Quando você aprendeu algum
conteúdo da geometria o professor
propôs alguma atividade prática?
Quais?
Não.
Sim, nos dividimos em grupos e
medimos o ângulo e metro de
árvores, paredes e postes.
(7) O professor fez alguma
referência histórica sobre a
geometria quando ensinou esse
conteúdo?(Q1)
(x) Sim ( ) Não
(7) Você se lembra de quais
conceitos da trigonometria
podemos estudar utilizando o Sol e
uma estaca fincada no solo?(Q2)
Triângulo retângulo, Thales de
Mileto, medir a altura de uma
pirâmide com a ajuda de uma
madeira (gnômon) e sua sombra.
(8) O que você acha de aprender
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q1)
Ótimo.
(8) O que você achou de estudar
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q2)
Muito melhor.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitará a
aprendizagem da geometria?(Q1)
Sim, pois será uma maneira de
percebemos que a geometria exis te
na nossa vida.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitou a
aprendizagem da geometria?(Q2)
Sim, afinal sabemos que ela
realmente tem intervenção com
nosso dia-a-dia.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q1)
Transferidor, régua, esquadro, fita
métrica, etc.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q2)
Gnômon, telêmetro, quadrante,
transferidor.
Tabela 16: Questionários respondidos antes e depois pelo Aluno 16.
79
Questionários – Aluno 17
Perguntas Respostas
Questionário 1 (Antes) Questionário 2 (Depois)
(1) Você conhece algum
instrumento utilizado para medir
ângulos?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(2) Você já realizou uma atividade
prática, usando a geometria? (x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(3) Você já realizou alguma
atividade prática nas aulas de
matemática?
( ) Sim (x) Não (x) Sim ( ) Não
(4) Você conhece algum teorema
(ou fórmula) da geometria ou
trigonometria? Quais?
Pitágoras, Tales, Euler, Euclides,
seno e cossenos.
Tales, Pitágoras, Euler. Euclides,
lei dos senos.
(5) Você sabe quais são as
aplicações da geometria no seu
dia-a-dia? Cite algumas.
Não me lembro. Nunca reparei.
(6) Quando você aprendeu algum
conteúdo da geometria o professor
propôs alguma atividade prática?
Quais?
Não. Não na escola.
(7) O professor fez alguma
referência histórica sobre a
geometria quando ensinou esse
conteúdo?(Q1)
(x) Sim ( ) Não
(7) Você se lembra de quais
conceitos da trigonometria
podemos estudar utilizando o Sol e
uma estaca fincada no solo?(Q2)
Sim, teorema de Tales.
(8) O que você acha de aprender
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q1)
Muito bom!
(8) O que você achou de estudar
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q2)
Muito mais interessante e fácil de
aprender!
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitará a
aprendizagem da geometria?(Q1)
Sim!
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitou a
aprendizagem da geometria?(Q2)
Sim, com certeza!
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q1)
Régua, transferidor, compasso.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q2)
Régua, compasso, transferidor,
telêmetro, gnômon, quadrante.
Tabela 17: Questionários respondidos antes e depois pelo Aluno 17.
80
Questionários – Aluno 18
Perguntas Respostas
Questionário 1 (Antes) Questionário 2 (Depois)
(1) Você conhece algum
instrumento utilizado para medir
ângulos?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(2) Você já realizou uma atividade
prática, usando a geometria? (x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(3) Você já realizou alguma
atividade prática nas aulas de
matemática?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(4) Você conhece algum teorema
(ou fórmula) da geometria ou
trigonometria? Quais?
Sim, teorema de Pitágoras, de
Tales.
Sim, teorema de Pitágoras, de
Tales, cacos=
h, cosen=
h, cotg=
ca.
(5) Você sabe quais são as
aplicações da geometria no seu
dia-a-dia? Cite algumas.
Encaixe de moldes, construção de
casas e móveis.
Medir distâncias, construção de
casas.
(6) Quando você aprendeu algum
conteúdo da geometria o professor
propôs alguma atividade prática?
Quais?
Sim, trabalhos e exercícios em
grupo.
Sim, trabalhos e exercícios em
grupo.
(7) O professor fez alguma
referência histórica sobre a
geometria quando ensinou esse
conteúdo?(Q1)
(x) Sim ( ) Não
(7) Você se lembra de quais
conceitos da trigonometria
podemos estudar utilizando o Sol e
uma estaca fincada no solo?(Q2)
Teorema de Tales, usando a
sombra, o ângulo.
(8) O que você acha de aprender
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q1)
Interessante, pois você aprende de
um jeito diferente.
(8) O que você achou de estudar
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q2)
Legal. É uma nova forma de
aprender.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitará a
aprendizagem da geometria?(Q1)
Sim, pois será um método
diferente de aprendizagem.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitou a
aprendizagem da geometria?(Q2)
Sim. A aprendizagem ficou
divertida e melhor.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q1)
Régua, esquadro, transferidor,
compasso.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q2)
Gnômon, quadrante, transferidor,
telêmetro, régua.
Tabela 18: Questionários respondidos antes e depois pelo Aluno 18.
81
Questionários – Aluno 19
Perguntas Respostas
Questionário 1 (Antes) Questionário 2 (Depois)
(1) Você conhece algum
instrumento utilizado para medir
ângulos?
(x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(2) Você já realizou uma atividade
prática, usando a geometria? (x) Sim ( ) Não (x) Sim ( ) Não
(3) Você já realizou alguma
atividade prática nas aulas de
matemática?
( ) Sim (x) Não (x) Sim ( ) Não
(4) Você conhece algum teorema
(ou fórmula) da geometria ou
trigonometria? Quais?
Sim, teorema de Pitágoras, o de
báscara, do arco duplo.
Sim, seno, cosseno, tangente,
telêmetro.
(5) Você sabe quais são as
aplicações da geometria no seu
dia-a-dia? Cite algumas.
Sim, a sinuca, o futebol, a
fotografia e a arquitetura. Sim, quase as mesmas do outro.
(6) Quando você aprendeu algum
conteúdo da geometria o professor
propôs alguma atividade prática?
Quais?
Não. Sim, medimos a altura da parede e
a distância até um ponto.
(7) O professor fez alguma
referência histórica sobre a
geometria quando ensinou esse
conteúdo?(Q1)
(x) Sim ( ) Não
(7) Você se lembra de quais
conceitos da trigonometria
podemos estudar utilizando o Sol e
uma estaca fincada no solo?(Q2)
Os de seno, cosseno e tangente.
(8) O que você acha de aprender
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q1)
Eu acho bem interessante, pois
isso atrairia a atenção dos alunos.
(8) O que você achou de estudar
geometria de forma prática,
realizando experimentos?(Q2)
Ótimo.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitará a
aprendizagem da geometria?(Q1)
Sim.
(9) Fazendo experimentos práticos
você acha que facilitou a
aprendizagem da geometria?(Q2)
Sim, fez com que entendêssemos
melhor.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q1)
Régua, transferidor, esquadro,
trena, fita métrica, entre outros.
(10) Quais instrumentos que você
lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?(Q2)
Telêmetro, gnômon, quadrante,
entre outros.
Tabela 19: Questionários respondidos antes e depois pelo Aluno 19.
82
5.3. ANÁLISE DOS DADOS OBTIDOS DOS PROFESSORES
Consultando os livro e artigos (citados na Coleta de Dados, sendo muitos deles da década de
90), e comparando com os depoimentos dos professores, a realidade observada é a mesma, ou
seja, temos os mesmos problemas de 20 anos atrás, e segundo os educadores estes problemas
são já vem de longa data. Observamos que os problemas no ensino da Geometria não é
privilégio só do Brasil, isto ocorre em outros países, como no caso citado da professora M.M.
da Argentina, onde os problemas enfrentados são semelhantes aos nossos. Desta realidade
obtemos os seguintes pontos-chaves:
Falta de pré-requisitos dos alunos sobre conceitos básicos da geometria;
Aulas com exposição de conceitos abstratos, e o professor não explica ao aluno a
utilização pratica destes conceitos no cotidiano do aluno;
Falta de interesse pelos estudos por parte dos alunos;
Problemas na formação do professor;
Na questão sobre os problemas na formação do professor refere-se mais sobre a metodologia
aplicada no ensino geometria do que no seu conhecimento sobre os conceitos geométrico.
Consultando o Caderno de Questões do Processo Seletivo Simplificado para Docentes
(Professor de Educação Básica II - Matemática), realizado no final de 2.009 no Estado de São
Paulo, do total de 80 questões (60 questões são de Habilidades Especificas); 28 questões
envolviam diretamente conceitos de Geometria, ou seja, 35% da nota máxima deste concurso
dependia da Geometria. No Caderno de Questões do Concurso Público para provimento de
cargos para Professor de Educação Básica II (Matemática), realizado no inicio de 2.010 no
Estado de São Paulo, do total de 80 questões (50 questões são de Habilidades Especificas); 19
questões envolviam diretamente conceitos de Geometria, ou seja, 23,75% da nota máxima
deste concurso relacionam-se diretamente com o conhecimento geométrico do candidato.
83
Destes dados, excluindo o fator “chute” sempre presente neste tipo de avaliação, observamos
a necessidade do professor adquira um bom conhecimento sobre os conceitos da Geometria
para conseguir êxito nos concurso, isto prova que o problema no ensino está na parte didática
e não no conhecimento do professor, ou seja, o professor tem conhecimento do conteúdo,
entretanto não sabe como transmiti- lo.
5.4. ANÁLISE DOS DADOS OBTIDOS DOS ALUNOS
5.4.1. Análise do Questionário 1
Analisando, de forma geral, as respostas obtidas no Questionário 1 (aplicado antes do mini-
curso), obtemos a Tabela 20, onde os valores das porcentagens estão aproximados para a
segunda casa decimal. Observando esta tabela, obtemos algumas informações relevantes
sobre o conhecimento dos alunos antes da realização do mini-curso:
Comparando as respostas para as questões (1), (4) e (10), observa-se que alguns alunos
(cerca de 16,00%) possuem dúvidas na utilidade de determinados instrumentos e sua
relação com a Geometria;
A questão (4) mostra que alguns alunos não distinguem de qual área da Matemática
pertence um determinado teorema ou fórmula;
Os alunos se lembram mais de fórmulas do que de conceitos;
Professores utilizam a História da Matemática em suas aulas;
Uma quantidade significativa não sabe a utilidade da Geometria em seu cotidiano;
84
As respostas da questão (2) e a da questão (6) mostram que os alunos têm dúvidas do
que seja uma atividade prática, entretanto, comparando-se as respostas da questão (3)
e (6) mostra que os professores costumam utilizar atividades práticas em suas aulas;
A expectativa dos alunos, tanto na realização, quanto aos resultados de uma atividade
prática é positiva;
Perguntas Respostas
(1) Você conhece algum instrumento utilizado para medir
ângulos?
Sim Não
89,47% 10,53%
(2) Você já realizou uma atividade prática, usando a geometria? Sim Não
68,42% 31,58%
(3) Você já realizou alguma atividade prática nas aulas de
matemática?
Sim Não
42,11% 57,89%
(4) Você conhece algum teorema (ou fórmula) da geometria ou
trigonometria? Quais?
Teorema de Pitágoras: 94,74%
Teorema de Thales: 47,37%
Trigonometria: 36,84%
Outros: 15,79%
Não relacionados: 26,32%
(5) Você sabe quais são as aplicações da geometria no seu dia-a-
dia? Cite algumas.
Afirmativas Negativas
63,16% 36,84%
(6) Quando você aprendeu algum conteúdo da geometria o
professor propôs alguma atividade prática? Quais?
Afirmativas Negativas
42,11% 57,89%
(7) O professor fez alguma referência histórica sobre a geometria
quando ensinou esse conteúdo?
Afirmativas Negativas Nulo
63,16% 31,58% 5,26%
(8) O que você acha de aprender geometria de forma prática,
realizando experimentos?
Expectativa ( + ) Expectativa ( - )
100,00% 0,00%
(9) Fazendo experimentos práticos você acha que facilitará a
aprendizagem da geometria?
Afirmativas Negativas
100,00% 0,00%
(10) Quais instrumentos que você lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias, posição no espaço e tempo?
Ângulos: 84,21%
Distâncias: 84,21%
Posição: 5,26%
Tempo: 5,26%
Instrumentos Antigos: 15,79%
Tabela 20: Análise do Questionário 1.
85
5.4.2. Análise do Questionário 2
Analisando, de forma geral, as respostas obtidas no Questionário 2 (aplicado depois do mini-
curso), obtemos a Tabela 21, onde os valores das porcentagens estão aproximados para a
segunda casa decimal.
Perguntas Respostas
(1) Você conhece algum instrumento utilizado para medir ângulos? Sim Não
100,00% 0,00%
(2) Você já realizou uma atividade prática, usando a geometria? Sim Não
100,00% 0,00%
(3) Você já realizou alguma atividade prática nas aulas de
matemática?
Sim Não
84,21% 15,79%
(4) Você conhece algum teorema (ou fórmula) da geometria ou
trigonometria? Quais?
Teorema de Pitágoras: 84,21%
Teorema de Thales: 63,15%
Trigonometria: 47,37%
Semelhança de Triângulos: 15,79%
Outros: 21,05%
Não relacionados: 26,32%
(5) Você sabe quais são as aplicações da geometria no seu dia-a-
dia? Cite algumas.
Afirmativas Negativas
84,21% 15,78%
(6) Quando você aprendeu algum conteúdo da geometria o
professor propôs alguma atividade prática? Quais?
Afirmativas Negativas
73,68% 26,32%
(7) Você se lembra de quais conceitos da trigonometria podemos
estudar utilizando o Sol e uma estaca fincada no solo?
Afirmativas: 21,05%
Afirmativas (outros): 56,25%
Negativas: 31,58%
(8) O que você achou de estudar geometria de forma prática,
realizando experimentos?
Afirmativas Negativas
100,00% 0,00%
(9) Fazendo experimentos práticos você acha que facilitou a
aprendizagem da geometria?
Afirmativas Negativas
100,00% 0,00%
(10) Quais instrumentos que você lembra que pode ajudar nas
medidas de ângulos, distâncias, posição no espaço e tempo?
Instrumento Antigo: 94,73%
Nenhum Instrumento Antigo: 5,26%
Outros: 57,89%
Tabela 21: Análise do Questionário 2.
Observamos, por meio desta tabela, uma mudança significativa no conhecimento dos alunos
no final das atividades do mini-curso, sendo as mais relevantes:
86
Comparando as respostas para as questões (1), (4) e (10), observa-se uma melhora
positiva quanto conexão que o aluno faz de determinado o instrumento e o sua relação
com a Geometria;
A questão (4) mostra que alguns continuam com dificuldades em distinguir de qual
área da Matemática, pertence determinado teorema ou fórmula, entretanto houve uma
melhora significativa na quantidade de conceitos geométricos citados, sendo que
alguns deles não referentes ao conteúdo ministrado no mini-curso.
Os alunos continuam a se lembrar mais de fórmulas do que de conceitos;
A questão (7) mostra que apesar do índice de respostas afirmativas ser inferior ao das
respostas negativas, quando ao conteúdo da trigonometria, muitos dos alunos citaram
em suas respostas outros conceitos relacionados com o instrumento (citaram, por
exemplo, o Teorema de Thales), sua utilização e seu nome, este fato aparece na tabela
sobre a forma de Afirmativas (outros);
Houve um aumento no índice de alunos que se lembram de aplicações práticas da
geometria em seu cotidiano;
As respostas da questão (2) e a da questão (6) mostram que a dúvida existente dos
alunos do que seja uma atividade prática, foi solucionada. Este fato refletiu
significativamente nas respostas da questão (6), que confirma que os professores
costumam utilizar atividades práticas em suas aulas;
As opiniões dos alunos quanto a estudar Geometria de forma prática foi positiva
confirmando suas expectativas;
5.5. DISCUSSÃO DOS DADOS
Analisando os dados obtidos das Tabelas 1 à 19 e das Tabelas 20 e 21, de uma forma geral, o
uso de materiais didáticos manipuláveis e experimentos como apoio ao ensino da Geometria
obtiveram resultados satisfatórios, observando-se uma mudança positiva na realidade. Na
87
formulação utilizamos como instrumento de pesquisa a Teoria do Arco, assim por meio destas
questões do Questionário 1 verificamos a realidade do ensino da Geometria na perspectiva
dos alunos, e estas questões também possibilitaram conhecer o nível de conhecimento sobre
conceitos da Geometria dos alunos participante e se estes alunos sabem utilizar a Geometria
no seu cotidiano. As questões do Questionário 2 permitiu verificar se a utilização de material
didático manipulável e de experimentos modificou a realidade verificada no Questionário 1,
muitas das questões são iguais para permitir verificar estas mudanças.
Da questão (1) obtemos que alguns alunos (10,53% do total) não realizaram construções
geométricas, utilizando instrumentos de desenhos (régua, compasso, esquadros e transferidor)
nas aulas ou o professor não utiliza estes instrumentos durante suas aulas expositivas e mesmo
nas aulas de Artes (antiga Educação Artística) o professor não faz uso destes instrumentos.
Segundo o que foi escrito por Passos (apud Lorenzato, 2.009, p.80) :
Mesmo quando um professor usa materiais manipuláveis, os alunos, muitas vezes,
não relacionam essas experiências concretas com a matemática formal. Certos
materiais são relacionados para as atividades de sala de aula porque têm implícitas
relações que os adultos (professores) acreditam ser especialmente importantes.
Entretanto, não há nenhuma garantia de que os alunos vejam essas mesmas relações.
Os resultados negativos com materiais concretos podem estar ligados à distância
existente entre o material concreto e as relações matemáticas que temos a intenção
que eles representem, e também à seleção dos materiais na sala de aula.
A afirmação dada por Passos confirma a analise realizada na questão (2), onde observamos
que os alunos não sabem realmente a utilidade prática da geometria, pois o simples fato de
utilizar uma régua para realizar traçar uma linha para um desenho ou mesmo utilizar uma fita
métrica para medir uma determinada distância, realiza-se uma atividade prática envolvendo a
geometria. Esta questão confirma que a o uso de elementos da Geometria é muito freqüente
em nossas atividades cotidianas que muitas delas passam despercebidas, este fato refletiu nas
respostas do Questionário 2 onde todos os alunos indicaram que já realizaram alguma
atividade prática utilizando a Geometria.
88
A questão (3) mostra que existem professores que não indicam a utilidade prática dos
conceitos da Geometria e não utilizam instrumentos de desenhos nas aulas expositivas, ou
quando o fazem realizam-na de maneira ineficiente. O aumento considerável na porcentagem
de “sim” visto no Questionário 2 confirma os dados das questões (1) e (2), mostrando que
alunos têm dificuldades em relação a uso de instrumentos de desenho geométrico e de
identificar o uso prático da Geometria.
Da questão (4) do Questionário 1 obtemos o nível de conhecimento sobre Geometria dos
alunos antes do mini-curso. Observe que os alunos lembram-se com maior facilidade do
Teorema de Pitágoras e o fato de alguns alunos (31,58% do total) colocarem a expressão
algébrica desse teorema indica que não mencionaram este teorema apenas por levar o nome
de um matemático famoso. O mesmo não pode ser dito sobre o segundo teorema mais citado,
o Teorema de Thales (47,37% dos alunos) onde as respostas dos alunos não permitem
concluir se sabem mesmo o teorema ou citaram apenas por possuir o nome de um matemático
famoso. Considerando sua importância para outras disciplinas (como no estudo da Física), os
elementos da trigonometria são pouco citados pelos alunos (apenas 36,84% do total).
Esta mesma questão (4) quando aplicada no Questionário 2 após o mini-curso indicou uma
melhora significativa no nível de conhecimento dos alunos. A porcentagem do Teorema de
Pitágoras passou de 94,74% para 84,21%, o fato de não utilizarmos este teorema no mini-
curso pode ter influenciado nesta queda. O Teorema de Thales teve um considerável aumento
na sua porcentagem passou de 47,37% para 63,15% e ao contrário do Questionário 1 podemos
considerar que os alunos não citaram este teorema simplesmente por causa do nome, pois
utilizaram este teorema quando realizaram o experimento com o telêmetro (vide subseção
4.2.1.3 Experimento 3: Aferindo longas distâncias, p), alem disso 15,79% dos alunos citaram
a semelhança de triângulos nesta questão e este conceito de semelhança esta envolvido com o
Teorema de Thales.
A questão (4) mostra também, que os alunos não sabem de qual área da matemática
determinado teorema ou fórmula pertence onde 26,32% dos alunos indicaram conceitos da
Álgebra (Fórmula de Baskára) como sendo fórmulas da Geometria. Observe que na grande
maioria dos conceitos citados nesta questão relaciona-se a elementos algébricos, isto mostra
que os professores ensinam mais conceitos geométricos que envolvem fórmulas algébricas do
que conceitos puramente geométricos, este método de ensino é influência do Movimento da
89
Matemática Moderna conforme escreveu Fiorentini (1992, p.52) onde a “introdução do
espirito da Álgebra moderna nos diversos campos da Matemática contribuiria para que o
ensino da Geometria sofresse um processo de descaracterização”, mostrando que o “pêndulo”
no ensino da Matemática permanece deslocado para o campo da Álgebra.
Estas quatro questões iniciais mostram que a maioria dos professores utiliza apenas o quadro
negro em suas aulas expositivas, onde o professor concebe a Matemática como um conjunto
de preposições dedutíveis que geram regras e fórmulas, que permitem aos alunos resolverem
questões em exames e em provas de concurso. Entretanto, segundo Lorenzato (2.009, p.23),
ao utilizar esta abordagem de ensino o professor priva o aluno de ver a beleza da Matemática
e suas aplicações no cotidiano, o educador assim escreve que “para muitos de nós, a
Matemática foi ensinada assim e, por isso, não conseguimos admirar a beleza e a harmonia
dela, nem ver nela um essencial instrumento para cotidianamente ser colocado a nosso
serviço”.
A questão (5) confirma a dificuldade apresenta pelos alunos em perceber o uso prático dos
elementos geométricos em seu cotidiano. A questão (2) e a questão (5) são praticamente a
mesma questão, a diferença é que na questão (5) pede-se que os alunos citem exemplos onde a
Geometria é utilizada, portanto a porcentagem das respostas deveria ser a mesma da questão
(2), este fato não ocorreu na prática, tanto no Questionário 1 aplicado antes de mini-curso,
quanto no Questionário 2 aplicado após o mini-curso.
Deste fato observamos que apenas realizar uma atividade prática (ou experimento) com os
alunos não permite ao professor concluir que todos os alunos façam a ligação entre o
conteúdo teórico e sua utilização prática no cotidiano, novamente o fato de conceitos
geométricos estarem intimamente ligada nas atividades cotidianas acaba passando
despercebidas por alguns alunos, o professor quando realiza uma atividade prática tem que
deixar claro a utilidade no cotidiano que este experimento acarreta, pois muitas vezes o aluno
faz uso destas utilidades sem mesmo notar.
Na questão (6) no Questionário 1 mostra que os alunos realizam atividades práticas
utilizando a geometria que a maioria das vezes resume-se no uso de instrumentos de desenho
(régua, esquadro e compasso), mas como observado na questão (1) nem sempre o aluno sabe
realmente para qual uso se destina determinado instrumento. A porcentagem da questão (6)
aplicada no Questionário 2 mostra uma diferença quando comparamos com a porcentagem da
90
questão (3) deste mesmo questionário, indicando que as atividades práticas realizadas nas
aulas de Matemática não envolvem somente conceitos geométricos, ao mesmo tempo isto
indica que o conceito inicial dos alunos sobre atividade prática sofreu uma alteração durante o
mini-curso, pois no Questionário 1 a porcentagem da questão (6) é a mesma da questão (3)
indicando que, inicialmente, todas as atividades práticas realizadas por estes alunos envolviam
conceitos geométricos. Esta questão confirma que os professores estão seguindo os
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN´S, 1.997, p.128) onde uma de suas propostas é a
utilização de materiais didáticos manipuláveis e a realização de experimentos.
A questão (7) do Questionário 1 indica que os professores costumam utilizar elementos da
História da Matemática, isto pode ser influência dos livros didáticos que, segundo os
professores consultados, estão utilizando esta abordagem para ambientar os estudos dos
alunos. No Questionário 2 a questão (7) sofreu uma alteração para que possibilitasse verificar
o nível de conhecimento geométrico retido pelos alunos após o mini-curso, escolhemos o
gnômon (vide Figura 4) por ser o instrumento com o maior número de conceitos geométricos
e escolhemos o conceito da trigonometria por se tratar de um assunto muito importante e que
aparece frequentemente no estudo da Física. As respostas obtidas são significativas, poucos
alunos responderam a questão de forma afirmativa em relação a trigonometria, contudo pouco
mais da metade alunos (56,25% do total) citaram outros conceitos geométricos envolvendo o
uso do instrumento e uma pequena porcentagem dos alunos não se lembraram de nenhum
conceito, vale observar que não consideramos uma resposta afirmativa o fato do aluno citar o
nome do instrumento.
A questão (8), do Questionário 1, visava conhecer qual a expectativa geral do aluno quanto a
realização de uma atividade que envolvesse experimentos, sendo que as respostas indicavam
uma expectativa positiva. As respostas da questão (8) do Questionário 2 confirmaram as
expectativas iniciais desses alunos em relação aos experimentos realizados.
A questão (9), do Questionário1, difere da questão anterior por envolver a expectativa do
aluno quanto ao aprendizado que a atividade prática poderia proporcionar e as respostas
indicavam uma expectativa positiva. As respostas da questão (9) do Questionário 2
confirmaram as expectativas iniciais desses alunos, além disso as demais respostas deste
questionário confirmam esta expectativa inicial.
91
A questão (8) e a questão (9) confirmam o que Lorenzato (2.009, p.25) fala sobre a alegria da
descoberta no ensino:
Para o aluno, mais importante que conhecer essas verdades (conteúdo teórico), é
obter a alegria da descoberta, a percepção da sua competência, a melhoria da
autoimagem, a certeza de que vale a pena procurar soluções e fazer constatações, a
satisfação do sucesso, e compreender que a Matemática, longe de ser um bicho -
papão, é um campo de saber onde ele, aluno, pode navegar.
Na questão (10), do Questionário 1, relaciona com a questão (6) no que se refere ao
conhecimento prévio do aluno quanto sobre a utilidade de conceitos geométricos, porém esta
questão envolve apenas instrumentos. Os instrumentos utilizados em desenho geométrico
(régua, compasso, transferidor e esquadro) são os mais citados pelos alunos. Esta mesma
questão (10) aplicada no Questionário 2 obteve a maioria dos instrumentos citados os
utilizados nas experiências durante o mini curso (gnômon (vide Figura 4), quadrante (vide
Figura 15), astrolábio (vide Figura 11) e telêmetro (vide Figura 21 e Figura 22)).
Observamos que o conhecimento que os alunos possuíam antes dos experimentos, em sua
maioria, constituía apenas em fórmulas e conceitos abstratos, além de muito terem
dificuldades em realizar a conexão desta parte abstrata com o uso prático. Podemos citar o
caso em que alguns alunos que na questão (1) do primeiro questionário responderam que não
conheciam um instrumento que medisse ângulos, citaram na questão (10), do mesmo
questionário, o Astrolábio e o Sextante, que são instrumentos de orientação que realizam a
aferição de ângulos.
A ambientação proporcionada pela História da Matemática motivou visivelmente os alunos e
permitiu coloca-los nas mesmas condições encontradas pelos antigos matemáticos e tiveram a
oportunidade de repetir alguns experimentos realizados séculos atrás, percebendo, assim as
implicações históricas que os instrumentos desenvolvidos nestes experimentos
proporcionaram para a humanidade.
92
Ao utilizarmos o Teorema do Arco podemos observar, da análise dos dados que houve uma
alteração positiva na realidade inicial dos alunos. A Figura 43 mostra o Teorema do Arco
obtido nesta pesquisa.
Figura 43: Teoria do Arco obtido nesta pesquisa.
93
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os resultados obtidos por estudos realizados na década de 90 por educadores (como
Lorenzato (1.993), D‟Ambrósio (1.993) e Fiorentini (1.992)) afirmam que um dos problemas
do ensino da Geometria envolve a formação dos professores, contudo estes educadores não
indicam se este problema está relacionado ao conteúdo de geometria que o professor possui
ou se está relacionado na forma como o se transmite este conteúdo aos alunos, ou seja, na
metodologia de ensino aplicada pelo professor. Segundo Lorenzato (1.995, p.3) em um
estudo realizado concluiu que o problema está no conteúdo de geometria conhecido pelo
professor considerando se o professor que não conhece Geometria “também não conhece o
poder, a beleza e a importância que ela possui para a formação do futuro cidadão, então, tudo
indica que, para esses professores, o dilema é tentar ensinar Geometria sem conhecê-la ou
então não ensiná-la”.
Observamos que a realidade verificada por Lorenzato não é mesma realidade vista
atualmente. Ao analisarmos a quantidade de questões que envolvem a Geometria em
concursos públicos para o cargo de professor verificamos que é necessário um razoável
conhecimento de geometria por parte do professor para que possa passar em um concurso
deste tipo. Assim verificamos que na atual realidade o problema está mais relacionado à
metodologia aplicada no processo de ensino, do que o conteúdo possuído pelos professores.
Partindo deste problema envolvendo a metodologia de ensino da Geometria buscamos um
processo de ensino que auxiliasse o professor e ao mesmo tempo motivasse e despertasse o
interesse dos alunos. Pesquisando entre algumas alternativas, verificamos que em alguns
estudos (vide LORENZATO, Sérgio (org). O Laboratório de Ensino de Matemática na
Formação de Professores), o uso de material didático manipulável e experimentos obtinham
um relativo êxito neste aspecto e assim adotamos este método como hipótese para solução de
nosso problema.
Utilizamos como instrumento de pesquisa o Teorema do Arco que nos forneceu dados
importantes sobre a realidade dos alunos e dos professores e nos levou a adotar como hipótese
de solução para o problema com a utilização de instrumentos antigos (gnômon, quadrante,
astrolábio e o telêmetro) em experimentos que envolvia elementos da geometria como
94
conceitos do teorema de Pitágoras, do teorema de Thales e das relações trigonométricas no
triangulo retângulo. Na escolha destes instrumentos e experimentos levaram-se em
consideração as recomendações dadas por Passos (apud Lorenzato. 2009, p.77-92), e de
Godino (2.004, p.137) e Lorenzato (2009, p.3-37) que ressalta a importância de escolher e
utilizar corretamente o material didático para que o aluno faça a conexão do teórico para o
prático.
Durante a aplicação desta hipótese podemos notar os mesmos prós e contras citados pelos
educadores. Seguimos as recomendações e precauções de Rêgo (apud Lorenzato. 2009, p.54)
em relação a aplicação de um experimento utilizando material didático manipulável onde é
necessário que o professor dedique uma significativa parcela de seu tempo para planejar todos
os detalhares e se for o caso aplicar este experimento com alguns alunos fora do período de
aula antes de aplicar para toda a sala, assim, o professor estará mais preparado e seguro para
resolver os problemas que por ventura possa ocorrer.
Os alunos devem se familiarizar com os instrumentos que serão utilizados antes de se iniciar a
prática, sendo necessário que o professor faça demonstrações de como utilizá-los
corretamente, desta forma minimiza-se o surgimento de dúvidas durante a prática que acarreta
em perda de tempo. Uma boa ideia para auxiliar neste processo é de que os alunos auxiliem
na construção dos instrumentos ou realizem pesquisas (com a supervisão do professor) sobre a
origem, a utilização e as implicações históricas relacionadas ao uso do instrumento.
Observamos, de uma forma geral, que o uso dos instrumentos antigos e dos experimentos
aplicados acarretou uma mudança positiva na realidade inicial dos alunos que participaram
desta pesquisa, como mostrado na análise do Questionário 2, no entanto, devemos ressaltar
que esta metodologia de ensino não resolve todos os problemas.
A aplicação de nossa hipótese foi realizada em um ambiente controlado e não em um
ambiente de sala de aula. As atividades foram realizadas em um local amplo sem a
intervenção de alunos de outras salas, os alunos participaram de forma voluntária e conforme
verificado nos questionários aplicados, a maioria desses alunos já realizam atividades prática,
além disso, a quantidade de alunos é bem menor do que encontramos em uma típica sala de
ensino publico. Observamos que pelo modo como os alunos realizavam as atividades notou-se
que estavam acostumados a trabalharem em grupo.
95
Ao realizar estas mesmas atividades em outras condições os resultados obtidos podem
divergir dos resultados exposto nesta pesquisa. O uso desta abordagem de ensino da
Geometria ainda necessita de muitos estudos e aplicações em sala de aula, contudo os
resultados obtidos até o momento implicam em um futuro promissor, já que o uso de
instrumentos antigos como elemento de aprendizagem despertou a curiosidade do aluno e o
estimulou ao querer fazer, assim podemos considerar esta metodologia de ensino como sendo
um valioso instrumento de auxilio e reforço da teoria contida nos livros didáticos.
96
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1.961.
THOMPSON, Frank Charles. Bíblia de Referência Thompson. 14 ed. São Paulo: Editora Vida, 2.002.
102
APÊNDICE A – MODELO DO QUESTIONÁRIO 1
FEMA - FUNDAÇÃO EDUCACIONAL DO MUNICÍPIO DE ASSIS IMESA - INSTITUTO MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE ASSIS
MINI-CURSO “APRENDENDO GEOMENTRIA COM INSTRUMENTOS ANTIGOS"
QUESTIONÁRIO 1. Você conhece algum instrumento utilizado para medir ângulos?
( ) Sim ( ) Não
2. Você já realizou uma atividade prática, usando a geometria?
( ) Sim ( ) Não
3. Você já realizou alguma atividade prática nas aulas de matemática?
( ) Sim ( ) Não
4. Você conhece algum teorema (ou fórmula) da geometria ou da trigonometria? Quais?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
5. Você sabe quais são as aplicações da geometria no seu dia-a-dia? Cite algumas.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
6. Quando você aprendeu algum conteúdo da geometria o professor propôs alguma atividade
prática? Quais?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
7. O professor fez alguma referência histórica sobre a geometria quando ensinou esse
conteúdo?
( ) Sim ( ) Não
8. O que você acha de aprender geometria de forma prática, realizando experimentos?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
9. Fazendo experimentos práticos você acha que facilitará a aprendizagem da geometria?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
10. Quais instrumentos que você lembra que pode ajudar nas medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
105
APÊNDICE B – MODELO DO QUESTIONÁRIO 2
FEMA - FUNDAÇÃO EDUCACIONAL DO MUNICÍPIO DE ASSIS IMESA - INSTITUTO MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE ASSIS
MINI-CURSO “APRENDENDO GEOMENTRIA COM INSTRUMENTOS ANTIGOS"
QUESTIONÁRIO 1. Você conhece algum instrumento utilizado para medir ângulos?
( ) Sim ( ) Não
2. Você já realizou uma atividade prática, usando a geometria?
( ) Sim ( ) Não
3. Você já realizou alguma atividade prática nas aulas de matemática?
( ) Sim ( ) Não
4. Você conhece algum teorema (ou fórmula) da geometria ou da trigonometria? Quais?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
5. Você sabe quais são as aplicações da geometria no seu dia-a-dia? Cite algumas.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
6. Quando você aprendeu algum conteúdo da geometria o professor propôs alguma atividade
prática? Quais?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
7. Você se lembra de quais conceitos da trigonometria podemos estudar utilizando o Sol e
uma estaca fincada no solo?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
8. O que você achou de estudar geometria de forma prática, realizando experimentos?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
9. Fazendo experimentos práticos você acha que facilitou a aprendizagem da geometria?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
10. Quais instrumentos que você lembra que pode ajudar nas medidas de ângulos, distâncias,
posição no espaço e tempo?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
108
APÊNDICE C – QUESTIONÁRIOS RESPONDIDOS
185
APÊNDICE D – QUADRANTE
Fundação Educacional do Município de Assis - Instituto de Ensino Superior de AssisAv. Getúlio Vargas, 1200 - Vila Nova Santana - CEP:19807-634 - Assis - SP - Brasil
Fone: (0xx)18 3302-1055 - Site: www.fema.edu.br - Email: [email protected]
L. P. em Matemática Cleiton Joni Benetti Lattari
Luiz Francisco Batista Sampaio 2.010
187
ANEXO A – EMAILS DOS PROFESSORES
A.1. Referente às dificuldades em realizarem experimentos práticos nas escolas
de Vanessa Dinalo de Marchi <[email protected]>
responder a [email protected]
para [email protected]
data 29 de setembro de 2010 15:21
assunto Re: [Profs Mat:1896] Experimento Prático na Escola
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Minha pior barreira é o acesso a internet com alunos e professores, mais não pela direção e sim pela sala que não tem extrutura de rede suficiente para atender a 30 alunos de uma única vez...
de Maria Eunice Souza Madriz <[email protected]>
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data 29 de setembro de 2010 21:36
assunto Re: [Profs Mat:1904] Experimento Prático na Escola
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Olá sou Eunice e o maior empecilho que tenho enfrentado em minha sala de aula é quando resolvo fazer minhas aulas no laboratório de informática que só comporta no máximo 1/3 da turma, entaõ tenho que me desdobrar em duas, elaboro minha aula com varios videos, slides e deixo uma parte dos alunos na sala de aula e uma pequena parte é levada para o laboratório e depois refazemos esse rodizio, mas é muito trabalhoso e as vezes as pessoas não reconhecem o esforço que faço, mas o importante para mim são os resultados são gratificantes.
de Helen Liberatori <[email protected]>
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para Professor de matemática <[email protected]>
data 30 de setembro de 2010 23:58
assunto RE: [Profs Mat:1916] Experimento Prático na Escola
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Luiz Francisco, bom dia!
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Faremos desse espaço um local de catarse. Assim, dividiremos nossas angústias enquanto professores. Quando comecei a trabalhar com as TCIs em uma escola de periferia tive algumas barreiras. A nossa cultura da "inveja" e da "vaidade" exacerbada acaba nos impedindo de crescermos o tanto quanto somos capazes e criativos. Não que seja um empecilho pra quem quer trabalhar, mas ter que ficar justificando o porquê de estarmos fazendo para todos a todo o momento acaba estressando mesmo. Quatro anos atrás...quando nenhuma escola tinha ainda data-show e notebook, adquiri esses equipamentos em prestações a perder de vista. E lá ia, pelos corredores da escola, toda contente, com uma mala pesando aproximadamente uns 20 quilos. É claro com rodinhas. Acrescentei também uma caixa de som. Imagine no que deu... BOICOTE TOTAL. Os alunos iam a loucura. Pois eu preparava uns PPS bem interessantes, tinha tb internet móvel e acessava sites matemáticos bem interessantes. Concluindo: alguns professores diziam que eu estava dando pérolas para porcos, o coordenador dizia que era exagero, a direção achava que meu nível de aula era demais para os coitadinhos....Já superei esses traumas e pra eu poder viver mais feliz e sem perseguições, pedi remoção. Esse quadro, infelizmente, é a realidade da maioria das nossas escolas brasileiras. Não sei em outros estados, mas em Ribeirão Preto, estado de São Paulo, a aula de giz e lousa ainda impera. Não desista de suas metas, pois só nós sabemos o que enfrentamos em uma sala de aula e qdo um professor "Surta" como apareceu no noticiario essa manhã, ele está doido. DOIDEIRA é ficar a vida toda sem mudar a metodologia em sala de aula. Ninguém aguenta....pira mesmo. Espero ter contribuído! Boa Sorte!
Abçs Helen Liberatori
de djalma h. giovelli <[email protected]>
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data 2 de outubro de 2010 12:55
assunto RE: [Profs Mat:1919] Experimento Prático na Escola
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A idéia de fazer experimento prático no pátio é excelene. melhor ainda será, se você engajar o professor de educação física, pois você usará a quadra e ai você pode trabalhar também o teorema de tales, a função do 1º e do 2º grau, integrada com a cinemática e a dinâmica, e, por ai afora. O espaço da quadra é o melhor laboratório de matemática que a escola possui a gente não usa. Vê se consegue convencer o profesor de Educação Física a te ajudar que o resto os alunos se encarregam de fazer, e, não haverá coordenador que consega impedir este trabalho, principalmente se você trabalhar integrado com a TV escola e o laboratório de informática. Aqui no Tocantins, tivemos um professor de nome Ramés que desenvolveu um projeto chamado Matemática em quadra , que teve muito destaque e ganhou o apoio de todos os alunos por envolver o labin. Este projeto foi exoosto num encntro Internacional do Proinfo e foi muito comentado na época. Vá em frente, acredite em seu sonho e não desista, pois a arma dos incompetentes é o descaso e a inveja por não ter o mérito de fazer. Acredite, vá em frente, venda o seu peixe aos alunos primeiro e depois a um professor que tenha acesso mais fácil a seu oordenador. O resto os alunos se encarregarão de fazer. Tente e depois nos conte os resultzdos. Ps. Se for preciso peça ajuda a um amigo seu para vir ajudar no labin durante a realização do projeto, e, realizar oficina para os coordenadores, professores interessados e principalmente os alunos. Tente fazer com que o NTE compre sua idéia. Boa sorte, aguardamos resposta. Se precisar de ajuda estamos prontos para ajudar, no que for possível. professor Djalma Gurupi – To
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de jose carlos caetano <[email protected]>
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data 2 de outubro de 2010 14:23
assunto Re: [Profs Mat:1920] Experiemento Prático na Escola
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Caros colegas, caros pesquisadores desta rede. Em 2004, iniciei minha carreira como professor pesquisador em Educação Matemática na Faculdade de Educação da Usp - Feusp - ,ingressando como membro no Grupo de Estudos e Pequisas em Etnomatemática - Gepem. Me tornar professor pesquisador em Educação Matemática e continuar minha trajetória de formação continuada, custou, custa e acredito que sabe,..., custará, muitas sensações, muitos anceisos, muitos erros, muitos acertos, muitos confinamentos, muitas opressões, muitas tristezas, muito choro, muita mágoa, muita leitura, muita saudade e claro, MUITA ALEGRIA. Já fui demitido de 3 escolas particulares, pelo problema já citado - cultura da "inveja" e da "vaidade" exacerbada acaba. Hoje levou em minha trajetória de vida profissional, as marcas do problemas de saúde que acabei adquirindo - bruxismo agudo. Bom não quero falar mais sobre isso... Sou docente superior em uma universidade privada da cidade de São Paulo - SP, atuo na disciplinas " Práticas Pedagógica", no curso de Licenciatura PLena em Matemática. Estarei no III Fórum Paulista de Licenciaturas de Matemática, estarei novamente na busca da formação continuada
RE: [matematica-oma] Experiemento Prático na Escola
Domingo, 3 de Outubro de 2010 14:28 De: "Laura Dovo" <[email protected]> Para: [email protected] Traduje el texto y entendí perfectamente. Yo soy docente en una escuela privada de la provincia de Córdoba, Argentina. Nunca, los directivos, me han puesto obstáculos para trabajar fuera del aula o fuera de la escuela, con los alumnos. Por supuesto que se cuenta con toda la protección (seguros de accidentes) para los alumnos cuando no están en su ámbito del aula. En el patio realizo experiencias con mis alumnos como por ejemplo el Teorema de Thales. Salimos a la plaza o al campo y calculamos altura de árboles o edificios, utilizando teorema de Thales, teorema de Pitágoras y razones trigonométricas. Espero te sirva. Suerte. Laura.
RE: [matematica-oma] Experiemento Prático na Escola
Domingo, 3 de Outubro de 2010 12:21 De: "bibiana papini" <[email protected]> Para: [email protected] Hola: Soy estudiante del profesorado de matemáticas, y trabajo como maestra de escuela primaria hace varios años, con niños de 7 a 12 años.
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Mi escuela tiene un gran patio, y trabajamos a menudo con los niños en matemática. No entiendo una palabra: ¿qué son impecilhos? Cariños, estamos en contacto
A.2. Referente às dificuldades no ensino da Geometria
de jose carlos caetano <[email protected]>
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data 28 de julho de 2010 12:52
assunto Re: [Profs Mat:1509] Ensino de Geometria
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ocultar detalhes 28 jul
Caro Luiz, bom dia. Lá vai uma dica para leitura... FILOSOFIA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA FENOMENOLOGIA, CONCEPÇÕES, POSSIBILIDADES DIDÁTICO-PEDAGÓGICAS AUTOR(ES): BICUDO, MARIA APARECIDA VIGGIANI (Org.)
SINOPSE: Este livro preenche uma lacuna no campo dos estudos fenomenológicos porque não é apenas uma reflexão sobre o significado da Matemática - primeiro nível da pesquisa-, mas uma operação mais complexa, que constitui o segundo nível da pesquisa e alcança uma das intenções profundas da Escola Fenomenológica, a de possibilitar uma fundamentação teórica para os especialistas das diferentes disciplinas. ISBN: 9788571399990 Assunto: Filosofia, Matemática Idioma: Português Formato: 16 x 23cm Páginas: 242 Edição: 1ª Ano: 2010 Acabamento: Brochura com orelhas Peso: 366g Bom, no capítulo 8, você poderá encontrar alguns caminhos para esta encruzilhada. Abraço e bom trabalho. José Carlos – UFABC
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de Marcelo Costa <[email protected]>
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data 28 de julho de 2010 13:04
assunto Re: [Profs Mat:1511] Ensino de Geometria
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AQUI EM CONTAGEM, GDE BH, TESMO O SISTEMA DE CICLOS DE "DESINFORMAÇÃO" HUMANA, COMO CADA ESCOLA TEM A AUTONOMIA PARA MONTAR A SUA GRADE DE ACORDO COM SUA NECESSIDADE (AÍ O PEDAGÓGICO MORRE), TIPO, PARA MANTER UM PROFESSOR DE INGLÊS ANTIGO NO COLÉGIO, AUMENTA-SE SUA CARGA HORÁRIA E DIMINUI EM DISCIPLINAS QUE TENHAM MAIS PARA O PROFESSOR NÃO TER QUE COMPLETAR CARGA EM OUTRA UNIDADE. NA ESCOLA QUE TRABALHO, COM MUITA DIFICULDADE CONSEGUIMOS COLOCAR PAR ALUNOS DA SEXTA À OITAVA SÉRIE OU TERCEIRO CICLO DOIS PROFESSORES DE MATEMÁTICA PARA CADA TURMA, UM COM ÁLGEBRA E OUTRO GEOMETRIA. APARENTEMENTE TEM DADO RESULTADO, POIS ANTES, VC FICAVA PREOCUPADO SE VAI DAR TEMPO DE REVISAR A ARTIMÉTICA (ALUNOS DE HOJE NÃO SABEM AS OPERAÇÕES BÁSICAS) E ENSINAR O BÁSICO DA ÁLGEBRA E A GEOMETRIA FICA A DEUS DARÁ. A VERDADE TAMBÉM É QUE OS JOGOS ELETRÔNICOS QUE SUBSTITUIRAM OS BRINQUEDOS DE CONSTRUÇÃO MANUAL, COMO O POLLY, TIRARAM DA CRIANÇA O DESENVOLVIMENTO DA PERSPECTIVA GEOMETRICA. ESPERO TER AJUDADO, PERDÃO PELOS ERROS DE PORTUGUÊS MAS ESTOU RECÉM OPERADO E FICAR SENTADO PARA REVISAR NÃO ME ENCHE OS OLHOS, RSSS ABRAÇOS
de Angela Maria Pinto de Aguiar <[email protected]>
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data 28 de julho de 2010 17:25
assunto Re: [Profs Mat:1514] Ensino de Geometria
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ocultar detalhes 28 jul
Olá Luiz Acho que o maior problema é que os alunos, muitas vezes chegam às minhas mãos sem saber nada de geometria, porque (apesar de ter melhorado um pouco) muitos professores não querem, ou não gostam, ou não sabem, ou não acham importante. Normalmente os alunos gostam de geometria, gostam de "por a mão na massa", apesar das dificuldades. Espero ter ajudado. Bjs Ângela
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de Micheline <[email protected]>
para Luiz Francisco Batista Sampaio <[email protected]>
data 31 de julho de 2010 15:42
assunto Re: Ensino de Geometria
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ocultar detalhes 31 jul
Olá de uma olhada nestes links: http://www.fae.ufmg.br/ebrapem/completos/05-11.pdf http://www.scielo.br/pdf/rbedu/n27/n27a06.pdf http://www.webartigos.com/articles/5488/1/As-Dificuldades-No-Ensino-De-Matematica/pagina1.html Eu já dei aula de matemática, as dificuldades encontradas que eu achei no geral são de como o aluno consegue apreender o que está sendo ensinado, alguns conseguem a maioria não, porque está abstrato para eles, precisa comprar a situações cotidianas e dizer para que ele vai usar aquilo. Depois eu usava o método de repetição trocava os valores sempre os mesmos exercícios, quando dominavam o mais simples aí a gente parte para o mais difícil. Foi só assim que consegui ensinar. Se vc for estagiário você pode distribuir uma ficha pequena os alunos preenchem num instantinho pra vc e vc terá vários dados pra colocar em sua pesquisa faça cerca de 30 fichas para cada faixa etária e pesquise. Ou faça uma pesquisa das pesquisas nos lins que deixei pra vc, as dificuldades são sempre as mesmas. Espero ter ajudado. Abraços Micheline [email protected]
RE: Ensino da Geometria 29 de Julho de 2010 12:21 De: Mónica Lean <[email protected]> Para: [email protected] bueno ya ahora se que eres LUIS, YO SOY MÓNICA, te cuento que soy profe de matematica y que el tema que sugieres es picante, potente pues la geometría tiene que ver con la forma, la medida, y eso implica trazar, construir, dibujar, copiar, calcar, superponer, comparar,.......IMAGINAR Y....... los jovencitos alumnos que tenemos poco o nada han desarrollado de todo esto pero que podemos y debemos hacer nosotros ...... empezar a .....hacer todo lo que te mencioné al comienzo, reflotar de a uno los axiomas de MI QUERIDO EUCLIDES DE CNIDO y darle al lápiz por ejemplo por un punto pasan infitas rectas y hacer trazar esas infinitas rectas (USA PAPEL LISO ES MEJOR PARA VER) dos puntos distintos determinan una y solo una recta y hacerla ....... tres puntos distintos determinan un plano y ahi usar los dedos pulgar, indice, y mayor y mostrar que efectivamnete los ponga donde los ponga sea una superficie plana o rugosa siempre arman un plano, ajustar el ejemplo con los trípodes que usan los camarógrafos para sus filmaciones,o para los teodolitos o telescopios. bueno en otro seguimos comentando espero no haberte aburrido Luis,atentamente Mónica.
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RE: Ensino da Geometria 29 de Julho de 2010 12:21 De: < [email protected]> Para: [email protected] Buenos días! Sr. Luis le contesto a su pregunta , si la entendí : aquí la mayoría de los libros que de 2do año de secundaria intercalan unidades separadas de geometría con los otros temas , por ejemplo, podría ser : 1)Números enteros 2)triángulos, congruencia, puntos notables: ortocentro, incentro, baricentro, circuncentro, Polígonos 3)Números racionales 4)Expresiones algebráicas 5)pérímetros, superficies y volúmenes 6)Funciones Muchos saludos a ud
RE: Ensino da Geometria 28 de Julho de 2010 12:21 De: < [email protected]> Para: [email protected] Buenas tardes, le agrego a ud. que en este momento no tebgo muchas horas en la escuela, pero todos los años trato de insertar temas de geometría. Lo que noto es que la mayoría de los alumnos no han visto qeometría en el nivel primario que al momento de tocar temas en los cuales la graficación es importante y necesita de exactitud no pueden lograrlo con éxito , se remiten a realizar lo que el profesor le dice , pero no realizan inferencias, ni nuevas conclusiones. Cuando los temas son aplicados a casos reales , se logra más comprensión, y se denota mayor efectividad en la enseñanza. Parece que no hubieran pasado al nivel de abstracción necesaria. Igualmente es importante la falta de estudio. Cualquier pregunta u opinión por favor , si ud pudiera , me gustaría conocerla, muchas gracias. Saludos desde Argentina
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ANEXO B – TABELA TRIGONOMÉTRICAS
