Backscattering inverso para la ecuacion de

Schrodinger en 2d y 3d

Juan Manuel Reyes

Universidad Autonoma de Madrid

X Encuentros de Analisis Real y Complejo

Palma de Mallorca, Mayo de 2007

• EL PROBLEMA DIRECTO.

• EL PROBLEMA INVERSO.

La serie de Born de la amplitud de scattering.

Reconstruccion de las singularidades de q a partir de la aproxi-

macion de Born para los datos de backscattering.

2D.

3D.

Backscattering inverso para la ecuacion de Schrodinger en 2d y 3d

EL PROBLEMA DIRECTO

Consideramos el operador de Schrodinger H = −∆+q(x) , con x ∈ Rn .

El problema directo de scattering para la ecuacion de Schrodinger

consiste en encontrar la autofuncion generalizada u de este operador

tal que

(H − k2)u = 0 en Rn,

u = ui + us ,

∂us(x)

∂r− ikus(x) = o(r−

n−12 ) , (1)

cuando r = |x| → ∞ . La expresion (1) se denomina condicion de

radiacion de Sommerfeld saliente. Estas soluciones son la respuesta

a la accion de una onda plana incidente ui(x) = eikθ·x, x ∈ Rn, con

numero de onda k, direccion de incidencia θ y energıa k2.

Definimos la resolvente saliente del Laplaciano como el operador

R+(k2) := F−1(−| · |2 + k2 + i0)−1F ,

donde F denota la transformada de Fourier. Observese que la solucion

saliente us satisface la ecuacion

(∆ + k2)us = qui + qus. (2)

Aplicando el operador de la resolvente saliente a ambos lados de (2)

se obtiene la llamada ecuacion integral de Lippmann-Schwinger

u(k, θ, x) = ui(k, θ, x) + R+(k2)(q(·)u(k, θ, ·)) . (3)

La existencia y la unicidad de solucion de dicha ecuacion integral (y

del problema directo) ya se han estudiado y se han obtenido estima-

ciones a priori:

Proposicion 1. Sea q ∈ Lr de soporte compacto y r > n2, k > 0.

Supongamos que 0 ≤ t ≤ 1 − n2r y 1

p −1p′ = 1

r . Entonces existen una

unica solucion de scattering us y una constante β > 0 tales que para

todo k > k0

‖Dtus‖Lp′(〈x〉−βdx)≤ Ckt+ n

2r−1‖q‖Lp(〈x〉βdx),

para cierta constante C independiente de todas las variables que

aparecen.

Notacion: 〈x〉 :=(1 + |x|2

)12 .

EL PROBLEMA INVERSO

A partir del hecho de que la solucion de scattering us satisface la

C.R.S., q tiene soporte compacto y la ecuacion

(∆ + k2)us(k, θ, x) = q(x)u(k, θ, x) , x ∈ Rn ,

se demuestra que

us(k, θ, x) =

(k

|x|

)n−12

eik|x|u∞(k, θ,x

|x|) + o(|x|

1−n2 ) ,

cuando |x| → +∞ , y se obtiene la ecuacion integral

u∞(k, θ,x

|x|) = C

∫Rn

e−ik x

|x|·yq(y)u(k, θ, y)dy .

La funcion u∞ : R×Sn−1×Sn−1 → C se conoce como el campo lejano

o amplitud de scattering. ω = x|x| es la direccion del receptor. El pro-

blema inverso de scattering consiste en la recuperacion del potencial

q a partir de las mediciones del campo lejano.

En el backscattering inverso se supone conocido u∞(k, θ,−θ), es decir,la direccion del receptor se considera la opuesta a la incidente (el eco).El problema esta formalmente bien determinado.

La serie de Born de la amplitud de scattering

Substituyendo la ecuacion de Lippmann-Schwinger (3) en la ecuacionintegral

u∞(k, θ,x

|x|) = C

∫Rn

e−ik x

|x|·yq(y)u(k, θ, y)dy ,

obtenemos el llamado desarrollo en serie de Born de u∞:

u∞(k, θ, ω) = q(ξ) +m∑

j=1

Qθj+1(q)(ξ) + Rm(ξ), (4)

donde ξ := k(ω − θ), el termino j-esimo viene dado por

Qθj(q)(ξ) :=

∫Rn

e−ikω·y(qR+(k2))j−1(q(·)eikθ·(· ))(y)dy,

y el resto por

Rm(ξ) :=∫Rn

e−ikω·y(qR+(k2))m(q(·)us(k, θ, · ))(y)dy.

Haciendo ω = −θ en (4) se deduce el desarrollo en serie de Born para

los datos de backscattering, que sin considerar el resto se escribe:

qB − q(ξ) =∞∑

j=1

Qj+1(q)(ξ) , ξ := −2kθ , (5)

donde qB definida por qB(ξ) = u∞(k, θ,−θ) es la aproximacion de Born

para los datos de backscattering y el termino j-esimo viene dado por

Qj(q)(ξ) =∫Rn

eikθ· y(qR+(k2))j−1(q(·)eikθ·(·))(y)dy .

Notese que expresamos ξ en un tipo de coordenadas polares. La tecni-

ca de reconstruccion de qB a partir de los datos de backscattering se

denomina Tomografıa de Difraccion.

Reconstruccion de las singularidades de q a partir de qB para

los datos de backscattering

Sea la dimension n ∈ 2,3 .

Teorema 1. Sean 0 ≤ α < n/2 y q ∈ Wα,2(Rn) de soporte compacto.

Entonces se cumple que q − qB ∈ Wβ,2(Rn) + C∞(Rn) , para todo

β < α + 12 .

Proposicion 2. * Sea q ∈ Wα,2(Rn) de soporte compacto, 0 ≤ α ≤ n/2

y j ∈ 2,3, .... Entonces Qj(q) ∈ Wβ,2(Rn) + C∞(Rn) , para todo

β < βj, donde

βj :=

34(j − 2) + α

4(j − 1) , si α ≤ 12 y n = 2 ,

(j − 3)(34 + α

4) + 1 , si 12 ≤ α ≤ 1 y n = 2 ,

j−22 + (j − 1)α

3 −12 , si 0 ≤ α ≤ 3

4 y n = 3 ,

(j − 3)(12 + α

3

)+ 1

2 , si 34 ≤ α ≤ 3

2 y n = 3 .

*Ruiz, A.; Vargas, A. Partial recovery of a potential from backscattering data.

2D

Proposicion 3. [R.V.] Sean 0 ≤ α < 1 y q ∈ Wα,2(R2) de soporte

compacto. Entonces Q2(q) ∈ Wβ,2(R2)+C∞(R2), para todo β < α+12.

Para q como en el teorema 1, de las proposiciones 2 y 3 se deduce

q − qB ∈ Wβ,2(R2) + C∞(R2), para todo β ∈ R tal que

β <

α + 1

2 , si α ≤ 12 ,

1 , si 12 ≤ α < 1 ,

mejorando el teorema 1 este hecho para 12 ≤ α < 1 . La proposicion 2

no suministra una estimacion suficiente de Q3(q) para probar el teo-

rema 1 en 2d. Se necesita el

Teorema 2. [Re.] Sea q ∈ Wα ,2(R2) una funcion de soporte com-

pacto, con 0 ≤ α < 1 . Entonces Q3(q) ∈ Wβ ,2(R2) + C∞(R2) , para

cualquier β ∈ R tal que 0 ≤ β < α + 1 .

3D

Proposicion 4. [R.V.] Sea q ∈ Wα ,2(R3) una funcion de soporte com-pacto, con 0 ≤ α < 3

2 . Entonces Q2(q) ∈ Wβ ,2(R3) + C∞(R3) , paracualquier β ∈ R tal que 0 ≤ β < α + 1

2 .

Proposicion 5. [R.V.] Sea q ∈ Wα ,2(R3) una funcion de soportecompacto, con 0 ≤ α < 3

2 . Entonces Q3(q) ∈ Wβ ,2(R3) + C∞(R3) ,para cualquier β ∈ R tal que 0 ≤ β < α + 1

2 .

Para q como en el teorema 1, de las proposiciones 2, 4 y 5, se deduceq − qB ∈ Wβ,2(R3) + C∞(R3), para todo β ∈ R tal que

β <

α + 1

2 , si α ≤ 3/4 ,1 + α/3 , si 3/4 ≤ α < 3/2 ,

mejorando el teorema 1 este hecho para 3/4 ≤ α < 3/2 . La estimacionpara Q4(q) de la proposicion 2 en 3d puede reemplazarse por

Teorema 3. [Re.] Para q como en el teorema 1 en 3d, se cumple paratodo β < α + 1

2 : Q4(q) ∈ Wβ ,2(R3) + C∞(R3) .

Algunas ideas sobre el teorema 2 (2d)

Como consecuencia de la formula

R+(k2)(f)(x) = v.p.∫Rn

eix· ξ f(ξ)

−|ξ|2 + k2dξ +

iπ

2kdσk ∗ f(x) ,

donde dσk es la medida inducida por la medida de Lebesgue n-dimensional

sobre la esfera centrada en el origen y de radio k ∈ Z+ , se deduce

Q3(q)(η) = v.p.∫R2

∫R2

q(ξ)q(η − ξ)q(τ − ξ)

[ξ · (η − ξ)] [τ · (η − τ)]dξdτ

+ 2iπ

|η|v.p.

∫R2

∫Γ(η)

q(ξ)q(η − τ)q(τ − ξ)

τ · (η − τ)dσ(ξ)dτ

−π2

|η|2∫Γ(η)

∫Γ(η)

q(ξ)q(η − τ)q(τ − ξ) dσ(τ)dσ(ξ) ,

donde Γ(η) denota la circunferencia de centro η2 y radio |η|

2 .

Para estimar el termino esferico resulta esencial probar lo siguiente

∫Ωk(τ)

|η|2α−3+2ε∫ ∫

Dk(η)|q(η − τ ′ − ξ′)|2dσ(τ ′)dσ(ξ′)dσ(η)

≤ C∫R2|λ|2α−2+2ε|q(λ)|2dλ ,

donde

Ωk(τ) :=η ∈ Rn : τ · (η − τ) = 0 , |η − τ | ≥ C′ 2−k|η|

,

Dk(η) :=

(ξ, τ) ∈ Γ(η)× Γ(η) : |ξ − τ | ∼ 2−k|η|, |ξ − (η − τ)| ≥

|η|100

.

REFERENCIAS

-Ruiz, A.; Vargas, A. Partial recovery of a potential from backscattering data. Com-munications in Partial Differential Equations. Vol. 30, no. 1-3, pp. 67-96 (2005).

-Ruiz, A. Recovery of the singularities of a potential from fixed angle scatteringdata. Communications in Partial Differential Equations. Vol. 26, no. 9-10, pp. 1721-1738 (2001).

-Ruiz, A. Harmonic Analysis and Inverse Problems. Notes of the 4th Summer Schoolin Inverse Problems. Oulu. Finland (2002).