Embed Size (px)
Citation preview
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES IIng. Lily Villar Tiravantti
INDICE
1. Problema de Asignación (Método Húngaro)
2. Ejemplos
3. Ejercicios
2
INTRODUCCIÓN
“La mejor persona para el puesto” es una buena descripción para el
modelo de asignación. El caso se puede ilustrar con la asignación de
trabajadores de diversos niveles de capacitación a los puestos. Un puesto
que coincide con los conocimientos de un trabajador cuesta menos que
uno en que el trabajador no es tan hábil.
El objetivo del modelo es determinar la asignación óptima (costo
mínimo) de trabajadores a puestos.
El modelo de asignación es en realidad un caso especial del modelo de
transporte, en el cual los trabajadores representan las fuentes y los
puestos representan los destinos. La cantidad de cada oferta en cada
fuente, y la cantidad de demanda en cada destino son exactamente
iguales a 1.
El modelo general de asignación con n trabajadores y n puestos se
representa así:3
MODELO DE TRANSPORTE
El elemento cij representa el costo de asignar al trabajador i al puesto j (i,j =
1,2,…n). No se pierde generalidad al suponer que la cantidad de
trabajadores siempre es igual a la cantidad de puestos, porque siempre se
pueden agregar trabajadores o puestos ficticios para obtener esa condición.
El hecho de que todas las ofertas y las demandas son iguales a 1, condujo
al desarrollo de un algoritmo sencillo llamado Método Húngaro.
Puestos
1 2 … n
Trabajador
1
2
…
n
C11
C12
…
c1n
C12
C22
…
c2n
…
…
…
…
C1n
C2n
…
cnn
1
1
…
1
1 1 … 1
4
MÉTODO HÚNGARO
Paso 1: En la matriz original de costo, identificar el mínimo de cada renglón y
restarlo de todos los elementos del renglón.
Paso 2: En la matriz que resulte del paso 1, identificar el mínimo de cada
columna, y restarlo de todos los elementos de la columna.
Paso 2ª: Si no se puede asegurar una asignación factible (con todos los
elementos cero) con los pasos 1 y 2,
• Trazar la cantidad mínima de líneas horizontales y verticales en la
última matriz reducida que cubran todos los elementos cero.
• Seleccionar el elemento mínimo no cubierto, restarlo de todo elemento
no cubierto y a continuación sumarlo a todo elemento en la intersección
de las dos líneas.
• Si no se puede encontrar una asignación factible entre los elementos
cero que resulten, repetir el paso 2ª. En caso contrario, seguir en el
paso 3 para determinar la asignación óptima.
Paso 3: Identificar la solución óptima como la solución factible asociada con
los elementos cero de la matriz obtenida en el paso 2. 5
EJEMPLO 1
Los tres hijos del Sr. Valencia, Juan, Carla y Diego, quieren ganar algo
de dinero para sus gastos personales, durante un viaje de la escuela al
zoológico. El Sr. Valencia ha destinado tres tareas para sus hijos: podar
el pasto, pintar la cocina y lavar los autos de la familia. Para evitar
discusiones, les pide que presenten ofertas (secretas) de lo que crean
que es un pago justo para cada una de las tres tareas. Se sobre
entiende que después los tres obedecerán la decisión de su papá sobre
quién hace cuál tarea. La tabla resume las ofertas recibidas. Con base
en esta información ¿Cómo debe asignar las tareas el señor Valencia?
Podar Pintar Lavar
Juan
Carla
Diego
$ 15
$ 9
$ 10
$ 10
$ 15
$ 12
$ 9
$ 10
$ 86
EJEMPLO 1
Paso 1: En la matriz original de costo identificar el mínimo de cada renglón y restarlo de todos los elementos de renglón.
Podar Pintar Lavar Mínimo del renglón
Juan
Carla
Diego
15
9
10
10
15
12
9
10
8
9
9
8
Podar Pintar Lavar
Juan
Carla
Diego
6
0
2
1
6
4
0
1
0
Min columna 0 1 0 7
Paso 2: En la matriz que resulte del paso 1, identificar el mínimo de
cada columna, y restarlo de todos los elementos de la columna.
EJEMPLO 1
Paso 3: Identificar la solución óptima como la solución factible
asociada con los elementos cero de la matriz obtenida en el paso 2.
Podar Pintar Lavar
Juan
Carla
Diego
6
0
2
0
5
3
0
1
0
8
Las celas con elementos cero subrayados son la solución óptima. Eso
quiere decir que Juan va a pintar, Carla va a podar y Diego va a lavar
los autos. El costo total para el señor Valencia será de 9 + 10 + 8 = $ 27.
EJEMPLO 2
Suponga que en el ejemplo 1 se
amplia a cuatro hijos y 4 tareas, la
tabla resume los elementos de
costo en el problema.
1 2 3 4
Niño
1
2
3
4
1
9
4
8
4
7
5
7
6
10
11
8
3
9
7
5
1 2 3 4 Min
1
2
3
4
1
9
4
8
4
7
5
7
6
10
11
8
3
9
7
5
1
7
4
59
Paso 1:
1 2 3 4
1
2
3
4
0
2
0
3
3
0
1
2
5
3
6
3
2
2
3
0
EJEMPLO 2
Paso 2:1 2 3 4
1
2
3
4
0
2
0
3
3
0
1
2
2
0
3
0
2
2
3
0
1 2 3 4
1
2
3
4
0
2
0
3
3
0
1
2
2
0
3
0
2
2
3
0
10
Paso 2a:
• Trazar la cantidad mínima de
líneas horizontales y verticales que
cubran todos los elementos cero.
1 2 3 4
1
2
3
4
0
2
0
3
3
0
1
2
5
3
6
3
2
2
3
0
0 0 3 0
EJEMPLO 2
1 2 3 4
1
2
3
4
0
2
0
3
3
0
1
2
2
0
3
0
2
2
3
0
1 2 3 4
1
2
3
4
0
3
0
4
2
0
0
2
1
0
2
0
1
2
2
0
11
Paso 2a:
• Seleccionar el elemento mínimo no cubierto, restarlo de todo elemento no
cubierto y a continuación sumarlo a todo elemento en la intersección de dos
líneas.
• Si no se encuentra la solución factible, repita el paso 2ª.
La solución óptima, que se indica con los ceros en negritas, indica que se
asigna el niño 1 a la tarea 1, el niño 2 a la tarea 3, el niño 3 a la tarea 2 y el
niño 4 a la tarea 4. El costo óptimo asociado es 1+10+5+5= $21.
EJEMPLO
El profesor Michell ha terminado 4 capítulos de su libro y esta
pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4
secretarias que podrían tipearle cada uno de sus capítulos. El
costo asociado refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud
con la que realiza el trabajo. Además los capítulo difieren en la
cantidad de hojas y en la complejidad. ¿Qué puede hacer el
profesor si conoce la siguiente tabla:
Capítulos
Secretaría 13 14 15 16
Juana 96 99 105 108
María 116 109 107 96
Jackeline 120 102 113 111
Edith 114 105 118 115
Restricciones del Método
• Solo problemas de minimización.
• Número de personas a asignar n es igual al número de lugares
m.
• Todas las asignaciones son posibles
• Una asignación por persona y una persona por asignación
Matriz de CostosCapítulos
Secretaría 13 14 15 16
Juana 96 99 105 108
María 116 109 107 96
Jackeli 120 102 113 111
Edith 114 105 118 115
Restar el Menor valor de cada filaCapítulos
Secretaría 13 14 15 16
Juana 0 3 9 12
María 20 13 11 0
Jackelin 18 0 11 9
Edith 9 0 13 10
Restar el menor valor de cada columna en la matriz
anteriorCapítulos
Secretaría 13 14 15 16
Juana 0 3 0 12
María 20 13 2 0
Jackelin 18 0 2 9
Edith 9 0 4 10
Trazar el mínimo número de líneas que cubran los
ceros de la matriz obtenida en el punto anterior.Capítulos
Secretaría 13 14 15 16
Juana 0 3 0 12
María 20 13 2 0
Jackeline 18 0 2 9
Edith 9 0 4 10
Si el número de líneas es igual al número de filas se
está en la solución óptima, sino identificar el menor
valor no rayado restárselo a los demás números no
rayados y sumarlo en las intersecciones.
Para este caso corresponde al valor 2
Capítulos
Secretaría 13 14 15 16
Juana 0 5 0 14
María 18 13 0 0
Jackeline 16 0 0 9
Edith 7 0 2 10
Las asignaciones corresponde a los valores donde
existen 0
Juana Cap. 13
María Cap. 16
Jackeline Cap. 15
Edith Cap. 14
*Costo Asignación: 96 + 96 +113 +105 =410
EJERCICIOS
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
3
8
6
8
9
8
7
4
4
10
2
2
2
2
6
10
9
7
3
9
3
7
5
5
10
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
3
6
9
2
9
9
1
4
5
6
2
5
7
4
2
3
6
10
2
4
7
6
3
1
517
1. Resuelva los modelos de asignación usando el método Húngaro
y encuentre el costo óptimo.
EJERCICIOS
Trabajo
Máquina1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
100
120
80
50
100
89
42
120
70
120
78
56
33
43
123
88
80
88
49
105
100
38
91
67
96
18
2. Asignar a cada máquina un trabajo
EJERCICIOS
f g h i j
a 12 16 19 14 21
b 15 11 18 20 16
c 15 18 16 11 13
d 21 17 14 12 10
e 19 22 20 17 11
19
3. Existen 5 operarios a, b, c, d y e para llenar 5 cargos f, g, h, i, j.
La matriz de utilidades, que caracteriza el problema de
asignación es la siguiente:
Encuentre la solución óptima.
EJERCICIOS
20
4. Una empresa dispone de tres obreros de los cuales el primero y
el tercero pueden ser asignados a dos trabajos a la vez. La
empresa ofrece cuatro trabajos diferentes.
La empresa suministra la tabla de rendimiento de obreros &
trabajo.
¿Cómo se debe hacer la asignación y cuál es el valor del óptimo del
rendimiento?
T1 T2 T3 T4
O1 12 14 14 8
O2 9 10 10 5
O3 8 8 10 8
LABORATORIO
21
1. HTIC tiene disponible cuatro líderes de proyecto para asignación
a tres clientes. Encuentre la asignación de los líderes de proyecto
a clientes de manera que minimice el tiempo total de terminación
de todos los proyectos. Los tiempos estimados de terminación de
los proyectos en días, son como sigue:
Líder de Proyecto
Cliente
1 2 3
TerryCarlaOmarJesús
10968
15181416
9536
LABORATORIO
22
2. En una operación de taller por tarea, se pueden llevar a cabo
cuatro tareas en cualquiera de las cuatro máquinas. El número de
horas requerido para cada una de las máquinas se resume en la
tabla siguiente. ¿Cuál es la asignación tarea-máquina que
minimice el tiempo total?
Tarea Máquina
A B C D
1234
32222426
18243030
32122628
26162420
LABORATORIO
23
3. JPM está dividido en cuatro territorios de ventas, cada uno de los
cuales debe asignarse a un representante. Por experiencia, el
gerente de ventas de la empresa estimó el volumen anual de
ventas (en miles de dólares) para cada uno de los representantes
de ventas, en cada uno de los territorios. Encuentre las
asignaciones representante de ventas-territorio que maximicen
las ventas
Representante de ventas
Territorio de ventas
A B C D
SánchezUgazVilcaElera
44603652
80566076
52404836
60724840
LABORATORIO
24
4. El jefe de un departamento de métodos cuantitativos de una
importante universidad del medio oeste de estadounidense estará
programando profesores para impartir cursos durante el próximo
semestre. Necesitan cubrirse cuatro cursos básicos, los cuatro
cursos están a nivel de MBA, MS, Ph.D. Se asignarán cuatro
profesores a los cursos, cada uno de ellos a cargo de cada curso.
Hay disponibles evaluaciones de estudiantes respecto a profesores
de años anteriores. Como en un escala de evaluación de 4
(excelente), 3 (muy bueno), 2 (promedio) 1 (regular) y 0 (muy malo),
las evaluaciones promedio de los estudiantes para cada un de los
profesores aparecen a continuación. El profesor B no es Ph.D. y no
puede ser asignado para enseñar en curso a nivel Ph.D. El jefe del
departamento efectúa asignaciones de profesores en los cuatro
cursos con base en maximizar la evaluación de los estudiantes,
¿qué asignaciones de personal deberá hacer?
LABORATORIO
25
Profesor Curso
UG MBA MS Ph.D.
ABCD
2.83.23.33.2
2.23.03.22.8
3.33.63.52.5
3.03.63.5---
LABORATORIO
26
5. Una empresa de investigación de mercados tiene tres clientes,
cada uno de los cuales ha solicitado que la empresa lleve a cabo
una encuesta de muestreo. A estos proyectos se pueden asignar
cuatro especialistas en estadística disponibles. Sin embargo, los
cuatro están ocupados, y por lo tanto, cada uno de ellos puede
manejar sólo un clientes. Los datos que siguen muestran el
número de horas requeridas por cada profesional para terminar
cada una de las tareas; las diferencias en tiempo representan la
experiencia y capacidad de cada uno de los profesionales.
Profesional en estadística
Cliente
A B C
1234
150170180160
210230230240
270220225230
LABORATORIO
27
a. Formule y resuelva un modelo de programación lineal para este
problema.
b. Suponga que el tiempo que necesita el profesional de estadística
4, para terminar el trabajo del cliente A se incrementa de 160 a
165 horas. ¿Qué efecto tendrá esta modificación en la solución?
c. Suponga que el tiempo que necesita el profesional de estadística
4 para terminar el trabajo del cliente A se reduce hasta 140 horas.
¿Qué efecto tendrá esta modificación en la solución?
d. Suponga que se incrementa hasta 250 horas el tiempo que el
profesional de estadística 3 necesita para terminar e trabajo del
cliente B, ¿Qué efecto tendrá esta modificación en a solución?
