Embed Size (px)
Citation preview
1
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Diseño e implementaciónde una Actividad de
Estudio e Investigación a partir de la pregunta
¿Cómo se construye un fractal teórico?
Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología
NIECyT
Departamento de Formación Docente Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional de Centro de la Provincia de Buenos Aires
UNCPBA
2015
2
Diseño e implementación de una
Actividad de Estudio e Investigación a
partir de la pregunta
¿Cómo se construye un fractal teórico?
ProfesoraNadia Belén Martin
Tesis de Licenciatura
realizada bajo la dirección de
la Dra. Verónica Parra y la
Co-dirección de la Dra.
María de los Ángeles Fanaro,
presentada en la Facultad de
Ciencias Exactas de la
Universidad Nacional del
Centro de la Provincia de
Buenos Aires, como
requisito parcial para la
obtención del título de
Licenciado en Educación
Matemática Tandil –
Diciembre 2015.
3
La realización de esta tesis no hubiese sido posible sin:
Patricia Farías, mi compañera de tesis y amiga;
Sofía Sol Martin, hermana melliza y compañera de lucha.
Además quiero agradecer:
A la Universidad Nacional del Centro y a la Facultad de Ciencias Exactas por
apoyarme en mi formación profesional.
A mi directora Dra. Verónica Parra por su confianza y apoyo intelectual
recibido en cada etapa de la investigación y durante la carrera.
A mi codirectora Dra. María de los Ángeles Fanaro por sus aportes, aliento y
apoyo intelectual recibido en cada etapa de la investigación y redacción de la
tesis.
A la familia y seres queridos por su apoyo, confianza y aliento.
4
Índice: Página:
Resumen……………………………………………………………………………………..5
Organización de la investigación…………………………………………………………....6
Capítulo I: Delimitación y Justificación del Problema
Presentación del Problema…………………………………………………………………..8
Antecedentes……………………………………………………………………………….11
Objetivos…………………………………………………………………………………...17
Preguntas de investigación…………………………………………………………………17
Capítulo II: Marco Teórico………………………………………………………………19
Capítulo III: Metodología………………………………………………………………...30
Capítulo IV: Modelo Praxeológico de Referencia………………………………………34
Capítulo V: Diseño e implementación de la AEI. Descripción de las clases…………..61
Capítulo VI: Conclusiones………………………………………………………………107
Capítulo VII: Referencias……………………………………………………………….112
Anexos……………………………………………………………………………………119
5
Resumen
Esta tesis tiene por objetivo diseñar e implementar una posible Actividad de Estudio e
Investigación (AEI) para el estudio de fractales en el último año de la escuela secundaria, a
partir de la pregunta ¿Cómo se construye un fractal teórico? Se describe el proceso de
estudio llevado a cabo a partir de la implementación de la AEI. La implementación se
realizó en un curso de sexto año del nivel secundario con orientación Economía y Gestión,
durante seis sesiones de clase de Matemática del Ciclo Superior. El curso estaba compuesto
por 13 estudiantes cuyas edades oscilaban entre 17 y 19 años. En esta tesis además, se
construye y describe un Modelo Praxeológico de Referencia (MPR) cuya pregunta
generatriz es Q0: ¿Cómo se puede construir un fractal?
Se utiliza como referente teórico la Teoría Antropológica de lo Didáctico de Yves
Chevallard (1999, 2004, 2007, 2009, 2012, 2013). Los resultados permiten concluir que a
pesar de las diferentes restricciones institucionales, los estudiantes y el profesor se
involucraron en un nuevo tipo de trabajo que implicó modificaciones a nivel de la
mesogénesis, la topogénesis y cronogénesis permitiendo incorporar algunas acciones
propias de la Pedagogía de la Investigación y del Cuestionamiento del Mundo.
Palabras claves: fractales teóricos - Modelo Praxeológico de Referencia – Actividad de
Estudio e investigación – Funciones Didácticas- escuela secundaria –
6
Organización de la investigación
En el Capítulo I se delimita y justifica el problema de investigación. Se presenta cuáles son
los antecedentes y el estado actual del conocimiento sobre el tema, se justifica la
investigación, se definen los objetivos generales y particulares y se plantean las preguntas
de investigación.
En el Capítulo II se describe referente teórico: la Teoría Antropológica de lo Didáctico
(TAD) de Yves Chevallard (1999, 2004, 2007, 2009,2012, 2013). Se describen actitudes de
la Pedagogía de la Investigación y el Cuestionamiento del Mundo (PICM) y el concepto de
praxeología. Se caracterizan los dispositivos didácticos REI y AEI y las funciones
didácticascronogénesis, topogénesis y mesogénesis.
En el Capítulo III se caracteriza la metodología utilizada en esta investigación
describiendo brevemente cada una de las etapas, las cuáles son ampliadas en sus
correspondientes capítulos. .
En el Capítulo IV se describe el Modelo Praxeológico de Referencia (MPR) construido a
partir de la pregunta Q0: ¿Cómo se puede construir un fractal? Se analiza la relación de la
Organización Matemática (OM) Fractales con otras 15 OM involucradas en su estudio. El
esquema del MPR que muestra las relaciones que se puede establecer entre las cuestiones y
las diferentes OM.
En el Capítulo V se describe el diseño e implementación de la AEI. En cada clase se
presentanlas actividades y el recorrido delimitado por las nuevas preguntas derivadas y las
repuestas que aportan los estudiantes en términos OMP encontradas o construidas.Se
realiza una síntesis de las características de la clase en términos de las funciones didácticas
mesogénesis, topogénesis y cronogénesis.
El Capítulo VI corresponde a las conclusiones finales. Se reflexiona acerca de las OM
construidas o reencontradas durante el proceso de estudio, sobre las características de las
7
actividades propuestas en la AEI y sobre la implementación de la AEI y los cambios a nivel
de las de las funciones didácticas.
En Anexos se incluyen algunas resoluciones de los estudiantes y las transcripciones de los
audios generales de las clases.
8
Capítulo I
Delimitación y Justificación del Problema
9
Delimitación y Justificación del Problema
1. Presentación del problema
El proceso de enseñanza de la matemática en el nivel secundario presenta problemas
complejos e ineludibles, que comportan para docentes y estudiantes altos niveles de
frustración (Otero, Fanaro, Corica, Llanos, Sureda, Parra, 2013). La enseñanza de la
matemática se reduce a estudiar un conjunto de obras muertas, que carecen de sentido y de
razones de ser, fenómeno que Chevallard (2004), a la luz de la Teoría Antropológica de lo
Didáctico (TAD) (Chevallard, 1999, 2005) ha denominado monumentalización de saberes:
los saberes se presentan a los estudiantes como si fuesen un monumento, una obra acabada
y sin cuestionamiento, que sólo pueden admirar. Esta forma de estudiar Matemática se
gesta en la pedagogía de la monumentalización o de inventariar saberes, pedagogía
actualmente dominante en los sistemas escolares (Chevallard, 2004).
En la actualidad la TAD propone un programa de investigación didáctica que
agrupa a una comunidad de más de un centenar de investigadores en distintos países
(Serrano, 2013). El diseño e implementación de propuestas diseñadas en función de este
marco teórico, como por ejemplo los dispositivos didácticos Recorridos de Estudio e
Investigación (REI) y las Actividades de Estudio e Investigación (AEI), tienen un gran
potencial para recuperar un sentido y una razón de ser del estudio de la matemática, y de
otras disciplinas, en los distintos niveles de enseñanza. Otero et. al (2013) defiende que esta
nueva pedagogía conduce a la formación de ciudadanos críticos, que se problematizan y
ejecutan libremente el ejercicio de preguntar y de enfrentar cualquier pregunta.
Situados en este referencial teórico, el problema didáctico se centra en favorecer
cambios en la forma de hacer matemáticas, modificando de forma sustancial el modelo
pedagógico imperante. Se busca sustituir la pedagogía monumentalista que conlleva a la
eliminación sistemática de las preguntas, por la pedagogía de la investigación y el
cuestionamiento del mundo (Chevallard 2004, 2007, 2013).
10
En esta investigación se propone abordar el estudio de la organización matemática
(OM) Fractales, introducida en el año 2011 en el diseño curricular de sexto año de
Matemática, Ciclo Superior de la Provincia de Buenos Aires.
Actualmente, se reconocen numerosos los campos de aplicación de la geometría
fractal –por ejemplo, en física, medicina, geografía, economía, arte, hasta la generación de
imágenes cinematográficas-. Este nuevo conocimiento está permitiendo, entre otros usos,
interpretar estructuras de la naturaleza. Las formas que se encuentran en el mundo real
poseen una riqueza de detalles, complejidad e irregularidad que no pueden describirse con
la Geometría clásica, la Geometría de Euclides (Nápoles Valdes, 2003).
La incorporación del estudio de fractales en el diseño curricular del último año de
la educación secundaria, situándolos en contextos reales que muestren su necesidad y
justifiquen su uso, permitirían no sólo recuperar un sentido de su estudio, sino también
recuperar y relacionar otros saberes a estudiar propuestos en los programas curriculares del
nivel secundario, no sólo de la Matemática sino también de otras disciplinas. Además, la
enseñanza de los fractales posibilita mostrar la relación intrínseca entre los avances de la
tecnología y los del conocimiento científico: el conocimiento actual de fractales se hizo
posible gracias a la aparición de sistemas de procesamiento masivo de información.
Abordar una rama contemporánea de la matemática en pleno desarrollo permite contradecir
la visión de una ciencia matemática acabada y de una enseñanza de la misma
descontextualizada.
Buscando introducir gestos de la pedagogía de la investigación y del
cuestionamiento del mundo (PICM) en la escuela secundaria, en este trabajo de tesis se
construyó en principio un Modelo Praxeológico de R. Luego, se diseñó e implementó una
posible Actividad de Estudio e Investigación (AEI) para el estudio de fractales en un curso
del último año del nivel secundario y finalmente, se describió el proceso de estudio llevado
a cabo a partir de la implementación de esa AEI.
11
2. Antecedentes del problema de investigación.
2.1 Antecedentes relativos a introducir gestos de la PICM en los
sistemas educativos
En el nivel universitario, la tesis doctoral de Barquero (2009) consistió en la
implementación y análisis de una enseñanza por REI cuyas preguntas generatrices
corresponden a la dinámica de poblaciones. La implementación se realizó con estudiantes
de ingeniería técnica química industrial de la Universidad Autónoma de Barcelona, España.
La experimentación tuvo lugar dentro del curso denominado ―Taller de Modelización
Matemática‖, que se desarrolló durante todo el curso usual de matemática de forma más o
menos independiente a la evolución del mismo (Barquero, 2009: 196). Los resultados
mostraron que el desarrollo de tres REI permitió cubrir el programa de estudios del curso
de matemática.
Serrano, Bosch y Gascón (2007) diseñaron e implementaron un REI cuya pregunta
generatriz fue ¿Cómo hacer una previsión de ventas?. La experimentación se realizó en un
primer curso de matemáticas para la Administración y Dirección de Empresas de la
Universidad RamonLlull de Barcelona. Cabe destacar que las condiciones de impartición
de esta asignatura no corresponden a las de una enseñanza tradicional. En primer lugar, la
universidad organiza los grupos de alumnos entre 30 y 60 alumnos y además, los cursos se
desarrollan bajo el nombre de ―Taller de Modelización Matemática‖. En segundo lugar, el
profesor responsable de elaborar el programa de la asignatura es un investigador en
didáctica de la matemática que trabaja en el marco de la TAD, así como dos de los tres
profesores que trabajan en el curso. (Serrano, Bosch y Gascón, 2007: 3).
Respecto al nivel secundario García, Bosch, Gascón y Ruiz (2005) proponen estudiar
preguntas relativas a los planes de ahorro. Este diseño fue implementado en la Educación
Secundaria Obligatoria española. Las preguntas hacían referencia a la simulación de planes
de ahorro, a los diferentes tipos de variación, al número de cuotas y al valor de los
parámetros iniciales y al cálculo de las cantidades acumuladas en cada plazo hasta obtener
la cantidad final ahorrada. Ruiz, Bosch y Gascón (2005) proponen la realización de un
12
Taller de Matemática para alumnos de Secundaria, donde se planteó la pregunta ¿Cómo
conseguir un determinado beneficio en la producción y venta de camisetas?
Por su parte, Fonseca, Pereira y Casas (2011) desarrollaron un Taller de Matemática con el
objetivo de experimentar un modelo particular de REI. Realizaron la experimentación en un
primer curso de matemática de las Escuelas de Ingeniería Industrial y Forestal de la
Universidad de Vigo. La propuesta permitiría abordar las preguntas relativas a la
optimización de funciones, comenzando en la Secundaria y luego, continuando en la
Universidad donde retomarían las organizaciones matemáticas construidas previamente
(Fonseca et al, 2010: 247). El REI parte de la pregunta siguiente: Se quiere construir un
contenedor con volumen máximo para guardar material reciclable de base rectangular a
partir de una plancha de ancho de 14m y de largo 20m recortando cuadrados en las cuatro
esquinas. ¿Cuál es el volumen del contenedor si la altura toma diferentes valores? Una de
las conclusiones obtenidas en este trabajo fue que si bien el REI pudo ponerse en marcha,
una de las dificultades que surgieron fue que los estudiantes aún no estaban familiarizaos
con la forma de trabajo que requiere una enseñanza de este tipo.
Por último, cabe mencionar el trabajo de Ruiz-Higueras y García García (2011) quienes
describieron y analizaron, con base en la metodología de estudios de casos, las praxeologías
matemático-didácticas que surgen al realizar tareas de modelización matemática de un
sistema dinámico de variación en una enseñanza por REI. En la propuesta participaron una
maestra y un grupo de alumnos de la educación infantil (niños de 3 a 6 años). En el REI
diseñado, el sistema está configurado por una colección de gusanos de seda que va a sufrir
una serie de transformaciones (metamorfosis) a lo largo del tiempo. El REI enfrenta a los
niños a un sistema en el que no sólo trabajan sobre diferentes cantidades de magnitudes
discretas, sino que además surge la necesidad de medirlas y de formular esta medida. Entre
las conclusiones de este trabajo, podemos destacar la metodología utilizada para la
descripción de la praxeología a partir de las funciones didácticas topogénesis, mesogénesis
y cronogénesis, así como también la introducción de la modelización en una etapa
educativa tan temprana.
13
En la Argentina, en el nivel universitario, Costa, Arlego y Otero (2013) diseñaron e
implementaron una enseñanza a partir de un REI codisciplinar en un curso de ciclo básico
de matemática de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de La Plata. La pregunta
generatriz del REI es ¿Cómo construir edificaciones sustentables? Esta pregunta y sus
derivadas permiten recuperar el sentido y las razones de ser del Cálculo Vectorial
integrando campos como la Termodinámica, la Mecánica de los Fluidos, la Hidrodinámica,
la Electricidad y el Magnetismo. El análisis de datos se realizó a partir de la escala de
niveles de codeterminación didáctica y de las dialécticas. Una de las conclusiones de este
trabajo es que han surgido condicionamientos en las diferentes escalas que dificultan el
desarrollo del REI.
En la escuela secundaria, Gazzola, Llanos y Otero (2011); Llanos, Bilbao y Otero (2011);
Llanos y Otero (2011); Llanos, Otero y Bilbao (2011) y Otero y Llanos (2011) abordaron
una enseñanza a partir de REI dentro de cursos usuales de Matemática en la Escuela
Secundaria. La pregunta generatriz refiere al estudio de funciones asociadas a las posibles
operaciones y las diferentes curvas que se elijan. Donvito (2013), Donvito, Sureda, Otero
(2013) describen y analizan la viabilidad de un REI desarrollado en tres escuelas
secundarias, alrededor de los planes de ahorro.
Parra, Otero y Fanaro (2014, 2015) diseñaron, implementaron y analizaron un REI a partir
de preguntas relativas a ¿Cómo calcular el punto de equilibrio en un modelo de mercado?
Y ¿Cómo variará exactamente el equilibrio si se varían los parámetros del modelo? Se
realizó la implementación en un curso del último año del nivel secundario, en las clases
habituales de Matemática, no en clases tipo ―Taller‖ ni en clases paralelas. Se describió el
proceso de estudio a partir del funcionamiento de cada una de las dialécticas identificando
una serie de indicadores respecto de cada una de ellas.
Recientemente, el trabajo de Gazzola, Otero, Llanos y Arlego (2015) diseña, implementa y
evalúa un REI codisciplinar a la física y la matemática en cursos de los últimos años del
nivel secundario a partir de la pregunta generatriz ¿Por qué se cayó la Piedra Movediza de
Tandil? Los resultados muestran que las restricciones imperantes en la Escuela Secundaria
14
reducen fuertemente la amplitud del REI. Sin embargo, los resultados son alentadores
respecto de la receptividad de los estudiantes al estudiar Física durante las clases de
Matemática. También se muestra cómo los conceptos físicos ayudan a dar sentido a ciertos
conceptos matemáticos y viceversa.
2.2 Antecedentes relativos a la enseñanza de fractales en la escuela secundaria
La búsqueda bibliográfica relativa a la Investigación sobre la Enseñanza de los fractales
para estudiantes de la escuela secundaria, indica que los primeros trabajos datan del año
1990, como se describen brevemente a continuación. Barton (1990) presenta el ―juego del
caos‖ que produce imágenes fractales con el uso de un programa computacional, generando
un interés considerable entre los estudiantes. Bannon (1991) analiza diferentes
transformaciones lineales para la generación de fractales y propone tres programas
computacionales para trabajarlas en las escuelas, de manera similar a Cibes (1990) y Coes
(1993), que proponen el uso de materiales manipulables para construir modelos fractales.
Dewdney (1991) se enfoca en las formas fractales de la naturaleza para abordar su
enseñanza. Egnatoff (1991) introduce ejemplos de exploración computacional en líneas
costeras y crecimiento de poblaciones. Esbenshade Jr. (1991) calcula con los estudiantes la
dimensión fractal de objetos ordinarios como una rodaja de pan; Harrison (1992) se refiere
a la geometría fractal en el currículo y propone que esta es una maravillosa ―arena‖ para la
combinación de experimentación en la computadora y visión geométrica; Ko y Bean (1991)
en un programa para estudiantes jóvenes describen cómo es que el formar bolas de papel
arrugado exhibe el concepto de una dimensión topológica semejante a la de los fractales.
Lewis y Kaye (1991) muestran reportes de grupos de trabajo sobre fractales y caos para
estudiantes de secundario. Reinstein, Sally y Camp(1997) describen una actividad para el
salón de clases diseñada para que los estudiantes exploren la geometría fractal en un
ambiente cooperativo. Simmt y Davis (1998) proponen la utilización de tarjetas fractales
que llevan a la interpretación e investigación matemática.
15
Respecto a publicaciones más recientes sobre enseñanza de fractales en la escuela
secundaria, se identifican algunos trabajos que presentan diferentes formas de generar
fractales y algunas de sus aplicaciones, como se presentan a continuación:
Redondo y Haro (2004, 2005), desarrollan el concepto de fractal, su dimensión y la
generación de algunos tipos de fractales junto a un estudio exhaustivo del triángulo de
Sierpinski. Figueiras, Molero, Salvador y Zausti (2000) argumentan la utilidad de trabajar
con fractales ya que permiten volver a hablar de Geometría en el aula desde una perspectiva
moderna. No sólo favorece el abordaje e interrelación de otros contenidos de matemática
sino que los autores expresan que es un tema motivador para los estudiantes. Ofrecen una
secuencia de actividades y la utilización de programas computacionales como Cabri y
Fracting. Villarreal y Fernández (2005) proponen la construcción de dos fractales clásicos
–conjunto de Cantor y el Triángulo de Sierpinski- a través de una serie de instrucciones
dónde el estudiante va reconociendo las características del fractal a partir de la observación
y, a medida que avanza el proceso instructivo, se desarrolla el planteamiento de hipótesis.
Moreno (2002) resalta la incorporación de los fractales a la matemática escolar
como un recurso interesante que combina curiosidad, sencillez y belleza, y propone una
secuencia de actividades que comienza con el diseño de patrones, para luego pasar a una
segunda etapa que denomina ―taller de fractales‖, donde se utilizan materiales geométricos
para la construcción de modelos. En una tercera etapa se propone relacionar los modelos
geométricos y los numéricos, utilizando tablas donde se busca la generalización para
facilitar la interpretación sobre el proceso de construcción.
Moreno (2003a) plantea una propuesta de actividades para un trabajo de
investigación en la escuela secundaria, a través del estudio de familias de triángulos y
tetraedros fractales de algoritmo lineal común. Con materiales sencillos, como hojas de
malla triangular y pegatinas triangulares, se propone una serie de tareas que incluyen el
recuento y la tabulación de elementos, la observación espacial de formas, búsqueda de
regularidades e inferencias, cambios de escala, la representación gráfica de las relaciones
16
funcionales obtenidas, etc., que generan situaciones de aprendizaje en cualquiera de los
niveles de enseñanza secundaria.
Este mismo autor (Moreno, 2003b) presenta otra propuesta, una recreación sobre el
juego del caos, compuesta por la experimentación y estudio de diferentes transformaciones
geométricas lineales, con el uso de la calculadora gráfica. Se desarrolla el juego del caos
porque se pueden trabajar las transformaciones lineales en el plano, uno de los objetivos de
las Matemáticas en Secundaria. Se propone una dinámica de pequeñas investigaciones,
donde se realizan observaciones sistemáticas; se clasifican y expresan en diferentes
lenguajes; se resuelven problemas por el método analítico y el método gráfico y se
interpretan representaciones y deducen relaciones geométricas de las mismas. El autor
resalta que el aprendizaje de la geometría analítica se consigue en muchas ocasiones desde
la práctica de ejercicios de investigación como los presentados en su propuesta.
Comas Roqueta y Herrera Pons (2010) presentan la implementación de un trabajo
de investigación en 4º año de secundaria para el cálculo de la dimensión fractal del
contorno de una ciudad. Se analizan visualmente imágenes por satélite obtenidas del
programa Google Earth y se digitaliza el contorno con un programa de dibujo. Cada uno de
los contornos obtenidos es una curva a la que se puede calcular computacionalmente una
estimación de la dimensión fractal mediante el Método de Conteo de Cajas (Box-
Counting). Las autoras concluyen que la experiencia permitió a los estudiantes conocer el
comportamiento y utilidad de los fractales en nuestra sociedad.
Cañibano, Sastre Vazquez y Gandini (2011) también proponen medir el contorno de
un accidente fisiográfico, en este caso una laguna. El método de Box- Counting se basa en
correlacionar las observaciones a diferente escala de la misma escena. Remarcan la
necesidad de innovar en el aula para desmitificar la enseñanza de la matemática, sacarla de
ese papel riguroso que se impone en las aulas.
Gallardo, Martínez-Santaolalla, Molina, Peñas, Cañadas, Crisóstomo (2005)
muestran los resultados de una experiencia donde los alumnos de 2º construyen un mural de
17
cartulina sobre los fractales, como forma de extraer propiedades de los mismos y así
concluir con una aproximación del concepto. Remarcan que la principal dificultad de los
alumnos fue percibir que el concepto de fractal implica la recursividad de un patrón previo.
Si bien hace cerca de una quincena de años que la enseñanza de los fractales viene
preocupando a los investigadores, en general las publicaciones se enmarcan en propuestas
didácticas específicas para la construcción de fractales desde una pedagogía tradicional. En
conclusión, una revisión de los trabajos antes mencionados muestra que queda aún mucho
por explorar sobrela enseñanza de la Geometría Fractal en los distintos niveles educativos,
y más aún, en el marco de la Teoría Antropológica de lo Didáctico..
3. Objetivos de Investigación
Objetivos generales:
• Analizar los alcances y limitaciones de una enseñanza que incorpore gestos
de la PICM en el nivel secundario argentino.
• Diseñar dispositivos que promuevan relaciones funcionales con la
matemática, implementarlos y evaluarlos.
• Contribuir al desarrollo del área de investigación en Enseñanza de la
Matemática
Objetivos particulares:
1. Construir un Modelo Praxeológico de Referencia (MPR) relativo a fractales para
el ciclo superior de la escuela secundaria.
2. Diseñar una posible Actividad de Estudio e Investigación (AEI) para el estudio de
fractales teóricos en el 6° año de la escuela secundaria a partir de la cuestión generatriz
¿cómo se construye un fractal teórico?
3. Implementar la AEI en un curso de 6° año de la escuela secundaria, y describir su
desarrollo.
4. Preguntas de Investigación
1. ¿Qué organizaciones matemáticas es posible construir o reconstruir para dar
respuesta a la pregunta Q0: ¿Cómo se puede construir un fractal??
18
2. ¿Qué actividades podrían proponerse a los estudiantes de un curso de sexto año de
la escuela secundaria para dar respuesta a la pregunta¿Cómo se construye un fractal
teórico??
3. ¿Qué características tiene el proceso de estudio llevado a cabo a partir de la
implementación de la AEI?
19
Capítulo II
Marco teórico
20
1. La teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD)
Se adopta como referencial teórico la Teoría Antropológico de lo didáctico (TAD)
de Yves Chevallard (1999, 2004, 2007, 2009,2012, 2013) y en particular, las nociones
Modelo Praxeológico de Referencia (MPR), Actividades de Estudio e Investigación (AEI),
Recorridos de Estudio e Investigación (REI) y las funciones didácticasmesogénesis,
topogénesis y cronogénesis, (Chevallard, 2009).La TAD sitúa la actividad matemática, y en
consecuencia la actividad del estudio en matemáticas, en el conjunto de actividades
humanas y de instituciones sociales (Chevallard,1999).
En el marco de la TAD se propone una redefinición del modelo de enseñanza
tradicional y de la pedagogía dominante en los sistemas escolares según la cual, la
matemática – y otras disciplinas – sepresentan como un conjunto de obras ya hechas,
terminadas y cerradas, incuestionables, a las que a lo sumo se puede visitar. Este fenómeno
ha sido denominado monumentalización del saber (Chevallard, 2004) y una de sus secuelas
más trascendentesesel fenómeno de lapérdida de sentido de las cuestiones matemáticas que
se estudian o se proponen en una determinada institución. Se propone en términos de la
TAD suplantar esta pedagogía tradicional – que sólo sirve de hábitat para un estudio
mecánico incluso ficticio de la matemática – por una pedagogía funcional que permita
estudiar con sentido y razones de ser las obras propuestas a estudiar en los programas
escolares. Se propone ingresar en la Pedagogía de la Investigación y del Cuestionamiento
del Mundo (PICM). Dentro de esta pedagogía, el modelo tradicional de enseñanza no tiene
lugar pues se propone el estudio de la matemática a partir de preguntas. Se propone tomar
como punto de partida del saber – matemático o no –las cuestiones problemáticas
redefiniendo los programas de estudios como duplas Preguntas-Respuestas. Preguntas-
Respuestas en sentido fuerte. Es decir, una pregunta que no se responda con simple
búsqueda de información sino que sea necesario el estudio de una praxeología o de un
conjunto de praxeologías.Chevallard (2004, 2005) propone dos tipos de dispositivos
didácticos como posibles puertas de acceso al estudio funcional de la matemática: las
Actividades de Estudio e Investigación (AEI) y los Recorridos de Estudio e Investigación
(REI), permitiendo instalar elementos de la Pedagogía de la Investigación y del
21
Cuestionamiento del Mundo (PICM). Este nuevo paradigma de ―interrogar al mundo‖ es
clave para superar el paradigma clásico de ―visitar los saberes‖ (Chevallard 2013).
Un ciudadano formado en la pedagogía PICM será un ciudadano que potencia cinco
actitudes interrelacionadas:
La actitud de Problematización dondeuna pregunta deviene en un problema y para
responderla es preciso adquirir nuevos equipamientos praxelógicos o explorar nuevos
campos de conocimiento.
La actitudHerbartianaes receptiva hacia preguntas que aún no han sido respondidas,
especialmente las que involucran matemática.
La actitud Procognitiva se trata de conocer hacia adelante, de avanzar en lugar de
mirar atrás, pero también, de estudiar a toda edad y en cualquier momento.
La actitud Exotérica es la actitud de quien acepta que el conocimiento siempre es a
conquistar o controlar.
La actitud Enciclopedista ordinario es un ciudadano que posee una formación
relativamente universal, alguien que sabe ―poco‖ de muchos asuntos, pero que está en
condiciones de aprender y de buscar, lo contrario sería, saber ―mucho de poco‖, con lo cual
sería un especialista. (Chevallard, 2012).
La TAD asume que el saber matemático se construye como respuesta a situaciones
problemáticas y, que surge como el producto de un proceso de estudio. Aparecen aquí dos
aspectos inseparables del trabajo matemático: por un lado, el proceso de construcción
matemática, esto es el proceso de estudio y, por otro lado, el resultado mismo de esta
construcción, es decir la praxeología matemática. En efecto no hay organización
matemática sin un proceso de estudio que la engendre, pero tampoco hay proceso de
estudio sin una organización matemática en construcción.
Las organizaciones o praxeologías matemáticas (OM) están compuestas por tipos de
problemas o tareas problemáticas, tipos de técnicas que permitan resolver los tipos de
problemas; tecnologías o discursos que describen y explican las técnicas y una teoría que
fundamenta y organiza los discursos tecnológicos. Los tipos de problemas y los tipos de
22
técnicas constituyen el ―saber hacer‖, mientras que los discursos tecnológicos y teóricos
conformarían el ―saber‖ propiamente dicho.
Según Chevallard (1999), todo proceso de estudio está estructurado en diferentes
dimensiones o momentos, donde cada uno hace referencia a una dimensión o aspecto de la
actividad matemática, más que a un período cronológico preciso, por lo tanto, los
momentos están distribuidos de manera diferente a lo largo del proceso de estudio y no
pueden ser vividos todos a la vez.
El primer momento del estudio se describe como el del primer encuentro con la
organización praxeológica O que está en juego. La función principal de este momento es
encontrar O a través de al menos uno de los tipos de tareas T constitutivas de O.
El segundo momento es el de la exploración del tipo de tareas T, y de la elaboración
de una técnica matemática para resolver los problemas. El corazón de la actividad
matemática es más la elaboración de técnicas que la resolución de problemas aislados.
El tercer momento del estudio es el de la constitución del entorno tecnológico-
teórico relativo a la elaboración de una técnica. De una manera general, es el que hace
referencia a los niveles de justificación de la práctica matemática.
El cuarto momento es el del trabajo de la técnica, que debe a la vez mejorar la
técnica volviéndola más eficaz y más fiable, lo que exige generalmente retocar la
tecnología elaborada hasta entonces.
El quinto momento es el de la institucionalización, que tiene por objeto precisar lo
que es "exactamente" la organización matemática elaborada, diferenciando claramente, por
una parte, los elementos que no han sido integrados, y por otra parte, los elementos que
entrarán de manera definitiva en la organización matemática considerada.
Finalmente, el sexto momento es el de la evaluación, en el cual se evalúa la calidad
de los componentes de la praxeología construida: los tipos de tareas; las técnicas; y el
discurso tecnológico. Esto implica una reflexión sobre la actividad matemática desarrollada
en la construcción o reconstrucción de la OM considerada.
23
Cada momento puede ser vivido con distintas intensidades, en diferentes tiempos,
tantas veces como se necesite a lo largo del proceso de estudio y es habitual que algunos de
ellos aparezcan simultáneamente. Lo que sí es importante destacar es que cada uno de los
seis momentos del estudio desempeña una función específica necesaria para llevar a buen
término el proceso y que existe una dinámica interna global que se manifiesta en el carácter
invariante de ciertas relaciones entre dichos momentos. Todo proceso de estudio, en cuanto
que actividad humana, puede ser modelizado mediante una praxeología, que será
denominada praxeología didáctica. Como toda praxeología, estará compuesta por un
conjunto de tareas didácticas problemáticas, de técnicas didácticas para abordarlas y de
tecnologías y teorías didácticas que las expliquen y las justifiquen.
1.1.Praxeología matemática u organización matemática (OM)
Uno de los conceptos clave de la teoría antropológica de lo didáctico es el modelo
de ―praxeología―. Según indica Y. Chevallard (2006b):
Una praxeología es, de algún modo, la unidad básica en que uno puede analizar la
acción humana en general. [...] ¿Qué es exactamente una praxeología? Podemos
confiar en la etimología para guiarnos aquí. Uno puede analizar cualquier acto
humano en dos componentes principales interrelacionados: praxis, i.e. la parte
práctica, por un lado, y el logos, por el otro. «Logos» es una palabra griega que,
desde los tiempos presocráticos, ha sido utilizada constantemente para hacer
referencia al pensamiento y razonamiento humano —particularmente sobre el
cosmos. [...] [De acuerdo con] un principio fundamental de la TAD, no pueden
existir acciones humanas sin ser, al menos parcialmente, «explicadas», hechas
«inteligibles», «justificadas», «contabilizadas», en cualquier estilo de
«razonamiento» que pueda abrazar dicha explicación o justificación. La praxis, por
tanto, implica el logos que, a su vez, implica volver a la praxis(Chevallard, 2006b).
Como toda obra humana, una praxeología surge como una respuesta a un conjunto
de cuestiones y a la vez como un medio para realizar, en el seno de cierta institución,
determinadas tareas problemáticas. Se pueden distinguir en toda praxeología matemática
dos aspectos inseparables:
24
El nivel de la práctica matemática o «praxis» (saber-hacer), que consta de un
conjunto de tareas materializadas en diferentes tipos de problemas (T) y de un conjunto de
técnicas (τ) o «maneras de hacer», más o menos sistemáticas y compartidas en la
institución, que son útiles para llevar a cabo las tareas citadas.
El discurso razonado sobre la práctica o «logos» (saber), en el que se sitúan, en un
primer nivel, el discurso que describe, explica y justifica la técnica —que se
denominatecnología (θ)—, y en un segundo nivel, la fundamentación de la tecnología, que
se llama teoría (Θ) .
Se representa simbólicamente una praxeología mediante estos cuatro componentes P
= [T, τ, θ, Θ].
Dentro de este modelo, ―hacer matemática‖ consiste en activar una praxeología
matemática, es decir en resolver determinados tipos de problemas con determinados tipos
de técnicas (―el saber hacer‖) de manera inteligible, justificada y razonada (mediante el
correspondiente ―saber‖). Este trabajo puede conducir a la construcción de nuevas
organizaciones matemáticas o, simplemente a la reproducción de organizaciones
previamente construidas.
1.1.1 Tipos de tareas (T): en la mayoría de los casos el tipo de tareas T se expresa
por un verbo, por ejemplo, dividir un entero entre otros, integrar la función f(x)=lnx. La
noción de tarea o, tipo de tarea, supone un objeto relativamente preciso; ―subir una
escalera‖ es un tipo de tarea T, pero ―subir‖ simplemente corresponde a lo que Chevallard
(1999) denomina género de tareas.
1.1.2 Técnicas (τ): un determinado tipo de tareas T, requiere al menos en principio,
de una manera de realizar las tareas, una determinada manera de hacer. Esto es, requiere de
una técnica τ para resolverla. Es necesario considerar que una técnica no necesariamente es
de naturaleza algorítmica o casi algorítmica. Esto ocurre sólo en casos poco frecuentes.
Pero es verdad que, en algunas instituciones parece haber cierta tendencia a la
algoritmización a propósito de tal o cuál tipo de tareas.
25
1.1.3 Tecnologías (θ): Se entiende por tecnología θ, un discurso racional – el logos-
sobre la técnica τ cuyo primer objetivo es justificarla ―racionalmente‖ para asegurarse que
ésta permita realizar las tareas del tipo T, es decir, realizar lo que se pretende.
1.1.4 Teorías (Θ)Chevallard (1999) asegura que el discurso tecnológico contiene
afirmaciones de las que se puede pedir razón, se pasa entonces a un nivel superior de
justificación- explicación-producción, el de la teoría Θ, que análogamente tienen respecto a
las tecnologías, el mismo papel que éstas tienen respecto a las técnicas.
1.1.5 Niveles de praxeología u organización matemática
Con el fin de tener herramientas más precisas para analizar los procesos didácticos
institucionales, Chevallard (1999) introdujo la distinción de diferentes tipos de
praxeologías, según el grado de complejidad de sus componentes:
Praxeologías puntuales, están generadas por lo que se considera en la institución
como un único tipo de tareas T. Esta noción es relativa a la institución considerada y está
definida, en principio, a partir del bloque práctico-técnico [T /τ].
Praxeologías locales, resultado de la integración de diversas praxeologías
puntuales. Cada praxeología local está caracterizada por una tecnología θ, que sirve para
justificar, explicar, relacionar entre sí y producir las técnicas de todas las praxeologías
puntuales que la integran.
Praxeologías regionales, se obtienen mediante la coordinación, articulación y
posterior integración, alrededor de una teoría matemática común Θ, de diversas
praxeologías locales. La reconstrucción institucional de una teoría matemática requiere
elaborar un lenguaje común que permita describir, interpretar, relacionar, justificar y
producir las diferentes tecnologías (θ) de las praxeologías locales (PL) que integran la
praxeología regional.
Praxeologías globales, que surgen agregando varias praxeologías regionales a partir
de la integración de diferentes teorías.
1.2. Los Recorridos de Estudio e Investigación (REI) y las Actividades de
Estudio e Investigación (AEI)
26
La Pedagogía de la Investigación y del cuestionamiento del sirve de hábitat para la
introducción de las Actividades de Estudio e Investigación (AEI) y los Recorridos de
Estudio e Investigación (REI). Ambos sin dispositivos didácticos que tienen como principal
objetivo dar sentido y funcionalidad al estudio escolar de la matemática (Chevallard, 2009).
Los REI toman como punto de partida del saber una cuestión generatriz Q lo
suficientemente fecunda para dar lugar a muchas nuevas cuestiones derivadas . La
búsqueda de respuestas a estas cuestiones, debería conducir a la construcción de un gran
número de saberes, permitiendorecorrer el programa de estudio propuesto en un curso, o al
menos, una buena parte de él.
La búsqueda de respuestas a una cuestión generatriz Q realizada por un grupo de
estudiantes (X), bajo la dirección de un profesor (y) o de un conjunto de profesores (Y),
generaun sistema didáctico designado como S(X; Y; Q) cuya finalidad es la producción de
una repuesta R. Así, el sistema didáctico, necesita instrumentos, recursos, obras, en
definitiva, necesita un medio didáctico M que debe identificar, ordenar y aprender a utilizar
con el objetivo de producir R♥. El exponente ♥colocado en R indica que la repuesta R a la
cuestión Q fue producida bajo ciertas limitaciones y ―funciona‖ como repuesta a esa
cuestión bajo ciertas limitaciones (esto es lo que indica la ); así, el esquema herbartiano
semi-desarrollado resulta : [S(X; Y; Q) M] . Es decir, el sistema didáctico construye
y organiza el medio M el cual engendrará o producirá ( ) una respuesta .
El medio M contiene respuestas pre-construidas, aceptadas por la cultura escolar;
por ejemplo: un libro, la Web, el curso de un profesor, etc., representadas como R◊(―R
punzón‖) y por obras, por ejemplo: teorías, montajes experimentales, praxeologías,
denotadas por O, consideradas útiles para de construir las respuestas R◊, extraer qué de
necesario hay allí para construir la respuesta . Por consiguiente, el medio M se formula
de la siguiente manera:
27
Chevallard (2013) define el REI a partir del denominado esquema herbartiano
desarrollado:
Los REI permiten un estudio e investigación cuyas metas y fines se van
construyendo a lo largo del proceso de estudio. La comunidad de estudio (profesores y
estudiantes) construye y organiza el medio a lo largo del proceso y recorren las obras
(matemáticas y/o extra-matemáticas) que resultan necesarias para responder Q. Las AEI
dan lugar a procesos de estudio e investigación cuyo punto de partida también son las
preguntas, pero en el caso de las AEI, las metas y fines de este proceso están parcialmente,
y sólo parcialmente, determinados de antemano. Chevallard (2013b) propone que el
abordaje de una AEI debe conducir al grupo de estudio a encontrar los elementos del saber
deseado, o al menos, tener mayor probabilidad de encuentros con una obra esperada
estudiar. En sus formulaciones iniciales, Chevallard (2004, 2005, 2006) consideró los REI a
partir del paso por diferentes actividades de estudio e investigación (AEI), como una
sucesión de AEI, que provocan la integración de diferentes organizaciones matemáticas
locales (OML) en estructuras más complejas y completas. El dispositivo denominado AEI
introduce la razón de ser de la OML que se quiere construir a partir del estudio de una
cuestión a la que se tiene que dar repuesta.
El diseño de una AEI para una praxeología matemática local (PML) a enseñar, se
inicia buscando una «situación del mundo» en la que aparezca una cuestión problemática
cuya resolución permita o incluso requiera la reconstrucción de la PML en cuestión
(Chevallard, 2007).
La noción de AEI si bien se trata de una alternativa incompleta y limitada, es viable
en nuestra escuela secundaria y permite comenzar a enfrentar el problema de la
monumentalización e instalar algunos elementos de la pedagogía de cuestionamiento del
mundo.
1.2.1 Funciones didácticas: Topogénesis, cronogénesis y mesogénesis
28
Una enseñanza a partir de una AEI o de un REI requiere que la organización
didáctica posea un cierto número de condiciones relativas a las funciones didácticas,
llamadas mesogénesis, topogénesis y cronogénesis.
La mesogénesis es el proceso de fabricación del medio M. En una AEI y más aún,
en un REI, el medio M no está totalmente hecho o construido de antemano. El medio M es
construido por la clase a partir de las producciones diversas, tanto externas a la clase como
internas a ella. Estas últimas, incluyen particularmente las respuestas propuestas por los
alumnos a partir de su propia actividad. El ―trabajo‖ sobre el medio cambia
interactivamente en la medida en que cambia su naturaleza. M es un producto de la clase
[X, y], es decir, no solo de y. El medio M, conformado así por las distintas R◊ y las obras
disponibles O.
La condición mesogenética puesta en marcha en una enseñanza funcional ocurre
junto con una condición propia de la topogénesis antes mencionada: la construcción del
medio M es un producto de la clase, no solo del profesor. ―Topos‖ proviene del griego y
significa lugar: el topos de cada alumno es entonces el lugar de cada estudiante, su sitio, el
lugar donde experimenta la sensación de desempeñar, en la realización de una tarea
determinada, un papel a gusto para él. En el caso de una clase, no sólo se hablará del topos
del alumno, sino, también, del topos del profesor. En la PICM, el topos de x se amplía
considerablemente: no solo aportarán su respuesta personal Rx, también introducirán en M
toda obra que deseen. A esto corresponde un cambio en el topos del profesor como director
del proceso de estudio de Q y de la investigación sobre Q, y entonces podrá introducir en M
una respuesta R◊ que sea relevante, oportuna y útil para la construcción de R. Ningún media
tendrá el privilegio de ser ―creído bajo palabra‖ (Chevallard, 2009).
La cronogénesis corresponde a la gestión del tiempo. En una enseñanza a partir de
una AEI o más aún, de un REI, la fabricación del medio M genera una dilatación del
tiempo didáctico y una extensión del tiempo de reloj (Chevallard, 2009).Esto se debe a que
no solamente un alumno podrá aportar su respuesta personal, sino que también podrá
proponer introducir en M cualquier obra que desee, y que considere pertinente para la
29
elaboración de . A este cambio en el topos de los estudiantes corresponde un cambio
importante en el topos del profesor, pues es el profesor quien decidirá, en última instancia,
explicitando las razones, si la clase incorporará o no en su medio de estudio a cierta obra.
La respuesta que puede aportar el profesor será considerada como una de las respuestas R◊.
Las AEI presentan limitaciones en el nivel de la topogénesis, puesto que las
cuestiones son regularmente formuladas por el profesor, mientras que en los REI los
alumnos deberían tener un papel destacado en la propuesta de las cuestiones a estudiar. En
el nivel de la mesogénesis, en las AEI el alumno encuentra el medio, que es en mayor
medida controlado y alimentado por el profesor -él formula las cuestiones- y por las
retroacciones de los alumnos. La AEI tendrían la estructura S(X, Y; Q; M), mientras en los
REI la estructura sería S(X, Y; Q) M, el medio está fuera de la situación y se conforma a
través de la dialéctica medio-media, con la intervención de elementos externos. Finalmente,
las AEI permiten un control del tiempo didáctico parcialmente compatible con las
características de un curso habitual de la escolaridad. En un REI, la cronogénesis es
funcional a la evolución de los recorridos y a la incidencia de la dialéctica de entrar y salir
del tema y a la dialéctica de las cajas negras y las cajas claras características del proceso de
gestión de un REI (Chevallard, 2007).
30
Capítulo III
Metodología de la Investigación
31
Metodología de la Investigación
La investigación es cualitativa, de corte etnográfico y exploratorio. Se inscribe,
dentro de lo que se conoce en didáctica de las matemáticas, como la ingeniería didáctica
(Artigue, 1990; Brousseau, 1998, Margolinas et al., 2011), y en particular, en el análisis y
descripción de los procesos de estudios generados a partir de la búsqueda de respuestas a
preguntas. El marco teórico adoptado, la TAD, orientó las etapas de este trabajo, no sólo
porque ofreció un marco de referencia para describir e interpretar el proceso de estudio en
términos de las funciones didácticas cronogénesis, mesogénesis y topogénesis, sino
también, previamente orientó la construcción del Modelo Praxeológico de Referencia
(MPR) y el diseño de la Actividad de Estudio e Investigación (AEI).
Buscando construir la noción de fractal con sentido para los estudiantes, se
construyó un modelo praxeológico de referencia (MPR) en base al cual se diseñó una AEI
que fue implementada en un curso de sexto año del nivel secundario.
´
Características del contexto de implementación de las AEI
Esta investigación se realizó en un curso de 6º año del nivel secundario con
orientación Economía y Gestión durante las clases de Matemática Ciclo Superior, en el
turno mañana.
La institución en la que se realizó la investigación es la Escuela de Educación
Secundaria Nº 65 del barrio La Gloria de la Peregrina, una establecimiento que se encuentra
en una zona rural a 22 Km de la ciudad de Mar del Plata, en uno de los mayores cordones
de producción frutihortícola de la provincia de Buenos Aires. La comunidad tiene un alto
índice de analfabetismo, y tanto padres como estudiantes trabajan en las plantaciones. Esta
institución si bien se encuentra en una zona rural, tiene una dinámica de enseñanza
tradicional y fue seleccionada debido a que una de las investigadoras estaba a cargo de la
materia Matemática Ciclo Superior de 6º año y al presentar el proyecto hubo un gran interés
y predisposición por parte de la institución para que se implemente este tipo de prácticas.
32
El curso se compone de trece estudiantes cuyas edades oscilan entre 17 y 19 años.
Los intereses del grupo son diversos, algunos de ellos tienen aspiraciones de continuar los
estudios en carreras como magisterio, profesorado de matemática, enfermería, abogacía o
policía.
A continuación se describen brevemente las etapas de la investigación. Cada una de
ellas será ampliada en sus correspondientes capítulos.
(a) Diseño de un Modelo Praxeológico de Referencia (MPR) relativo a la pregunta
¿Cómo se puede construir un fractal?
Se construyó un esquema de posibles preguntas derivadas a partir de la generatriz y
las 15 organizaciones matemáticas puntuales (OMP) que son necesarias para construir la
respuesta a la pregunta generatriz Q0: ¿Cómo se puede construir un fractal? y a sus
preguntas derivadas.
Dado que esta pregunta generatriz no se puede contestar directa ni inmediatamente,
se requiere el planteo de otras cuestiones derivadas que necesitan ser estudiadas a través de
la construcción o reconstrucción de deferentes organizaciones matemáticas. Q0 puede
derivar varias preguntas, por ejemplo:¿Cómo se puede medir un fractal? o ¿Cómo se genera
un fractal teórico?, dando lugar al diseño de distintas AEI, en particular en este trabajo se
diseña e implementa la AEI generada a partir de ¿Cómo se genera un fractal teórico?
(b) Diseño de la AEI.
Se diseñaron las actividades considerando la institución y el curso seleccionado para
llevar a cabo la implementación.
Para explorar fractales matemáticos durante la implementación de esta AEI, se
propuso el uso del software de descarga gratuita EXPLORADOR FF 5.1, en español. Este
software resulta de un manejo intuitivo para quien explora fractales por primera vez. Esta
exploración se realiza directamente con el mouse sobre la imagen, y a pesar de ser un
graficador con cierta lentitud en la respuesta, cuenta con diversas herramientas que
permiten un completo estudio del fractal. Por ejemplo, un visor de fórmulas que indica la
33
expresión matemática de la función que se está representando permitiendo modificar sus
parámetros; un formulario que contiene información como las coordenadas del centro, el
área, o el diámetro aproximado del fractal. En la imagen es posible realizar acercamientos,
modificar la orientación, el número de iteraciones o sus colores para poder observar las
diferentes órbitas, entre otras opciones.
(c) Implementación de la AEI y recolección de datos.
Durante la implementación de la AEI en el aula participaron dos investigadoras.
Una de las investigadoras fue la profesora que implementó la AEI en carácter de
observador participante, mientras que la otra investigadora tomó el rol de observador no
participante, realizando registros de clase.
Se registró en audio general las seis sesiones de clase que duró la AEI. La
investigadora participante tomó notas de clase antes y luego de cada sesión. La
investigadora no participante elaboró un registro detallado en forma de narrativa de los
acontecimientos ocurridos en cada clase. Las producciones escritas de los estudiantes se
retiraron clase a clase, se escanearon y fueron devueltos en la clase inmediata siguiente,
para garantizar a los estudiantes la continuidad de sus registros.
(d) Descripción del proceso de estudio.
Cada uno de los audios generales fueron transcriptos y se consideraron todas las
producciones realizadas por los estudiantes en base a las actividades propuestas, así como
las notas de campo de la profesora investigadora y los registros realizados por la
observadora no participante. A partir de estos registros se realizó una descripción de cada
una de las seis clases y se abordaron algunos aspectos en términos de organizaciones
matemáticas movilizadas, el lugar del profesor y los estudiantes (topogénesis), los media
disponibles determinando la información que ingresaría al medio (mesogénesis) y la
gestión temporal del proceso (cronogénesis).
34
Capítulo IV
Modelo Praxeológico de Referencia
35
Modelo Praxeológico de Referencia
Para abordar el estudio de una praxeología o de un conjunto de praxeologías es
necesario, en términos de la TAD (Chevallard, 2012), construir un modelo praxeológico de
referencia (MPR). Este modelo consiste en el análisis y descripción de las obras
matemáticas o extra-matemáticas relacionadas con el estudio de tal praxeología. La
construcción y análisis de un MPR se encuadra en el nuevo paradigma de la pedagogía de
la investigación y del cuestionamiento del mundo cuyo objetivo primordial es establecer
una relación más funcional con el saber (Chevalard, 2012, 2013). Particularmente, en este
caso, describimos la organización matemática local (OML) Fractal, y su relación con 15
organizaciones matemáticas puntuales (OMP) que son necesarias para construir la respuesta
a la pregunta generatriz Q0: ¿Cómo se puede construir un fractal? y a sus preguntas
derivadas.
Esta pregunta no se puede contestar directa ni inmediatamente, sino que requiere el
planteo de otras cuestiones derivadas que necesitan ser estudiadas a través de la
construcción o reconstrucción de las OMP. Cuando se intenta responder Q0, surge la
necesidad de conocer a qué tipo de objeto se hace referencia, y por ello podría surgir la
pregunta ¿Qué es un fractal? Al investigar para dar respuesta a dicha pregunta, resulta que
los fractales tienen características de ser objetos autosimilares y de dimensión fraccionaria,
de este modo podrían generarse nuevas preguntas, por ejemplo ¿Qué es la autosimilitud? y
¿Qué es la dimensión fractal?
También al estudiar los objetos fractales, se encuentran diferentes clasificaciones,
teóricos o naturales, lineales o no lineales, que pueden dar lugar al surgimiento de
preguntas como ¿Qué es un fractal natural?, ¿Cómo se genera un fractal teórico?, ¿Cómo
se genera un fractal lineal?, ¿Cómo se genera un fractal no lineal? Y ¿Para qué se utilizan
los fractales?
El estudio de los tipos de fractales podría llevar a la pregunta ¿Qué tipo de fractales
se pueden construir? Al hablar de la construcción surge el estudio de la medida y podrían
36
generase las preguntas ¿Cómo se puede medir un fractal? ¿Cómo se calcula el perímetro y
el área de un fractal? y ¿Cómo se calcula la dimensión? En el proceso de estudio las
cuestiones antes mencionadas no necesariamente tienen el orden expuesto, pudiendo surgir
en cualquier momento, o no, dependiendo del recorrido de estudio realizado por los
estudiantes.
Algunas cuestiones que puede generar Q0 son:
Q1,1: ¿Qué es un fractal?
Q1,2: ¿Cómo se puede medir un fractal?
Q 1,3: ¿Qué tipo de fractales se pueden construir?
Q1,4:¿Para qué se utilizan los fractales?
Q2,1: ¿Qué es la autosimilitud?
Q2,2: ¿Qué es la dimensión fractal?
Q2,3: ¿Qué es un fractal natural?
Q2,4: ¿Cómo se genera un fractal teórico?
Q3,1: ¿Cómo se calcula la dimensión?
Q3,2: ¿Cómo se calcula el perímetro y el área de un fractal?
Q3,3: ¿Cómo se genera un fractal lineal?
Q3,4: ¿Cómo se genera un fractal no lineal?
La búsqueda de respuestas a estas preguntas podría conducir a la construcción o
reconstrucción de las siguientes OMP (ver esquema 1):
OMP1: Autosimilitud, OMP2: Dimensión fractal, OMP3: Área de superficies planas,
OMP4: Perímetro de superficies planas, OMP5: Procesos iterativos, OMP6: Semejanza,
OMP7: Números complejos, OMP8: Límite, OMP9: Sucesiones, OMP10: Series, OMP11:
Cálculo y representaciones computacionales, OMP12: Ecuaciones exponenciales, OMP13:
Logaritmos, OMP14: Transformaciones y OMP15: Matrices.
37
Medida
Lineales No lineales
Esquema 1: OM vinculadas a Q0
38
El esquema 2 muestra las cuestiones derivadas a partir de la cuestión generatrizQ0 y las posibles OMP a construir o reconstruir.
Esquema 2: Pregunta generatriz Q0y sus cuestiones derivadas
39
Esquema 3: Modelo Praxeológico de Referencia
40
Al comenzar a responder la pregunta generatriz, una de las preguntas derivadas
que surgen es Q1, 1: ¿Qué es un fractal? El estudio de la definición de fractales conduce
de forma general a que los fractales se pueden caracterizar mediante las siguientes
propiedades:
Son autosimilares e independientes de la escala, es decir, que a cualquier
escala se puede observar la misma estructura.
Tienen una dimensión fraccionaria también llamada dimensión fractal,
que indica el grado de rugosidad de un objeto, que puede interpretarse como en qué
grado, una línea llena una porción del plano o un plano llena una porción del espacio.
A partir de la introducción del concepto de fractal por Benoît Mandelbrot se
inicia el desarrollo de la geometría fractal.
En el año 1958 Benoit Mandelbrot, matemático de Polonia, ingresa a trabajar a
los laboratorios de IBM y comienza a estudiar el ruido y las perturbaciones eléctricas
detectando un patrón en su comportamiento, jerarquías de fluctuaciones que no podían
ser descriptas por la matemática estadística que existía. En el año 1967 publica en la
prestigiosa revista Science, el artículo titulado: ―¿Cuánto mide la costa Británica?‖ en el
cual Mandelbrot examina la paradoja de que la longitud de una línea costera depende de
la escala de medida, basándose en los trabajos de Gaston Julia (1918), Felix Hausdorff
(1917), y Lewis Richardson (1961) quien ya había observado que la longitud de las
líneas fronterizas aumenta en función de la unidad de medida que se utiliza.
Las dificultades para determinar de forma precisa la longitud, área o
volumen de los fractales, podría conducir a la pregunta Q1, 2: ¿Cómo se puede medir
un fractal?
Para dar respuesta a esta cuestión se requiere el estudio de algunos objetos
fractales. Teniendo en cuenta el desarrollo histórico de la noción de fractal, se comienza
el estudio con un fractal natural, la costa de Gran Bretaña.
El estudio de la medida de la costa británica exige abordar la praxeología
matemática relacionada con el cálculo de perímetros, OMP4. Como con cualquier curva,
el procedimiento de medida de la frontera consiste en aproximar la curva por medio de
un camino poligonal con lados de longitud , como se muestra en la Figura 1.
41
Figura 1: Procedimiento de medida de la costa británica
Al evaluar la longitud de la curva poligonal, haciendo que , se espera que
la estimación de la longitud se aproxime a un límite. De hecho, a medida que
aumentamos la resolución, surgen más entrantes y salientes, como bahías y cabos, por lo
que la longitud a aproximar aumenta, y la longitud total a estimar parece aumentar sin
límites Así a partir de un acercamiento geométrico puede construirse la idea
de infinito. El estudio de dicho límite requiere la utilización de técnicas que se
fundamentan en la OMP8 Límite.
La geometría euclídea constituyó una primera aproximación a la
descripción de estructuras de objetos físicos naturales. Y si los mismos son más o
menos regulares la geometría diferencial ofrece una excelente aproximación. Pero éstas
no resultan tan eficaces para modelar las complicadas e irregulares estructuras que
aparecen en la naturaleza. Es con el desarrollo de la geometría fractal que estas podrán
ser descriptas de forma más precisa (Mandelbrot, 1982). Hasta ese momento, la
geometría clásica se mostraba incapaz de describir objetos naturales rugosos o
fragmentados, como el contorno accidentado del litoral. Este hecho constituye una
primera respuesta a la pregunta Q1, 4: ¿Para qué se utilizan los fractales?, y además
podría llevar a plantear la pregunta Q2, 3: ¿Qué es un fractal natural?
Una nube, una cordillera, una hoja de helecho, como así también
algunos procesos como el movimiento browniano, la distribución de las estrellas en la
galaxia y el relieve terrestre, son ejemplos de fractales naturales. Otros sistemas
naturales con estructura fractal son los conocidos como caóticos, por ejemplo, las
turbulencias, ya sea en el aire o en el agua; las ramificaciones, como ser redes
neuronales y ríos, y el crecimiento de poblaciones y enfermedades.
42
Figura 2: Ejemplos de fractales naturales
En la estructura de los fractales naturales puede reconocerse la misma forma a
diferentes escalas, lo que involucra comparar medidas, técnica que se justifica en la
tecnología semejanza, OMP6. Es decir, al observar cualquier detalle del objeto,
variando la escala, podemos reconocer una estructura semejante a la forma global. Esta
característica llamada autosimilitud constituye una de las propiedades que definen a los
fractales, su análisis conduce a la construcción de la obra matemática autosimilitud,
OMP1 y permite responder a la cuestión Q2, 1: ¿Qué es la autosimilitud?
La respuesta a esta pregunta conduce a la identificación de diferentes tipos de
fractales, pudiendo diferenciarlos en dos amplias categorías según el grado de
autosimilitud. Los que presentan autosimilitud exacta son idénticos en todas sus escalas
hasta el infinito. Ejemplos de este tipo son el triángulo de Sierpinski, el copo de nieve
de Koch y la alfombra de Sierpinski (ver figura 3).
Figura 3: Ejemplos de fractales con autosimilitud exacta
Árbol
Hoja de Helecho
Delta de rio
Triángulo de Sierpinski
Copo de nieve de Koch
cerrada
Alfombra de Sierpinski
Esponja de Menger
43
Los que presentanautosimilitud estadística son aproximadamente idénticos a
diferentes escalas. Estos contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos, como
el conjunto de Mandelbrot y conjuntos de Julia. Los fractales naturales también son
ejemplos de este tipo (Ver figura 4).
Figura 4: Ejemplos de fractales con autosimilitud estadística
La característica de autosimilitud en los fractales naturales es finita, ya que sólo
presentan un número finito de niveles autosimilares, debido a las limitaciones físicas
propias de dichos objetos. Por ejemplo, si se observa un árbol en su totalidad, y luego
una de sus ramas, ésta última tendrá características muy similares al árbol en su
totalidad. En la misma rama se pueden encontrar otras más pequeñas y en ellas a su vez
otras más chicas aún. Esas características hace que pueda interpretarse a un árbol como
un objeto fractal. Pero llega un momento en que ya no se puede seguir descomponiendo
la rama de un árbol. Por lo tanto no sería un fractal perfecto, éstos solo existen en el
campo teórico.
Otro ejemplo de estudio de la medida de los fractales es el análisis de uno
de los primeros en ser descripto por el matemático sueco Helge Von Koch en el año
1904, la Curva de Koch. (Figura 5)
Conjunto de Mandelbrot
Conjuntos de Julia
44
Figura 5: Curva de Koch
La construcción de la curva de Koch (Figura 6) se lleva a cabo mediante
adiciones progresivas a un simple segmento de línea. Las adiciones se realizan
dividiendo dicho segmento en nuevos segmentos de un tercio de longitud, y luego
sustituyendo el segmento central por dos segmentos que, junto con el suprimido,
formarán un triángulo equilátero. Hasta ahí los dos pasos de generación que conforman
la primera iteración. En cada iteración se realiza exactamente lo mismo. La curva de
Koch es el resultado de repetir este procedimiento sobre los segmentos resultantes
infinitas veces. Se desarrolla así una técnica que permite construir la OMP5, Procesos
iterativos.
Segmento generatriz1º iteración 2º iteración 3º iteración
Figura 6: Generación de la Curva de Koch
Como lo que se busca es determinar su perímetro y área, surge la
cuestión ¿cómo se calcula el perímetro y el área de la curva de Koch?, lo que podría
conducir a la pregunta Q3,2: ¿Cómo se calcula el perímetro y el área de un fractal?
Para estudiar dichas medidas es necesario conocer el proceso iterativo
que genera la curva de Koch. En cada iteración del proceso de generación, el número de
segmentos aumenta exponencialmente. Esto se puede evidenciar ya que el segmento
central es remplazado por dos nuevos segmentos de la misma longitud, resultando
cuatro nuevos segmentos de longitud un tercio del segmento original. El número de
45
segmentos en la iteración es , cuyo desarrollo resulta la sucesión:
Los procedimientos involucrados en la determinación del número de
segmentos y la longitud de la curva en cada iteración conducen a la construcción o
reconstrucción de la OMP9 Sucesiones.
El estudio de la longitud de la curva requiere determinar su medida, técnica que
se fundamenta en la praxeología matemática OMP4, relacionada con el cálculo de
perímetros. Para estudiar la longitud de la curva de Koch, se llama a la longitud
inicial del segmento, después de la primera iteración tendremos una curva de longitud
formada por segmentos (cada uno de longitud ). En la segunda iteración,
se tendrá segmentos, cada uno con una longitud . Una nueva iteración dará
como resultado segmentos de . En la iteración la longitud de
la curva será:
La longitud de la curva en cada iteración permite construir la sucesión:
Generalizando para cualquier , el perímetro tiende a infinito a medida que el
número de iteraciones se aproxima al infinito.
El estudio de este límite requiere el cálculo del límite infinito, técnica que se
fundamentan en la OMP8 Límite.
La técnica para hallar el área bajo la curva de Koch consiste en considerar que
el área de un triángulo equilátero viene dado por , y calcularla utilizando
como información la longitud de los lados ( , lo cual exige el encuentro con
46
tecnologías que involucra el concepto de área (OMP3). Así, en la primera
iteracióntendremos un triángulo equilátero cuya área es . En la segunda
iteración, se añade a este triángulo otros triángulos de área . Por lo tanto:
Puesto que en la iteración existen segmentos, en la iteración
se añade el mismo número de triángulos. Por otro lado, el tamaño de los
segmentos se divide por en cada iteración, por lo tanto:
, donde k es el número de iteración.
La resolución de esta expresión implica la suma de los n términos,
correspondientes al área en cada iteración, técnica se fundamenta en la tecnología
Series (OMP10) y Límite (OM8), pues implica el cálculo de una serie infinita donde
cada término se obtiene multiplicando el anterior por la razón
Dichas técnicas permiten hallar la suma infinita cuando el número de iteraciones
se aproxima a infinito, obteniéndose el área:
La expresión que queda determinada es una serie geométrica de razón , por
lo que es convergente, y por lo tanto la curva encierra un área finita.
El área encerrada por la curva es una quinta parte del área que encerraría un
triángulo equilátero de lado , su área es finita mientras su longitud es infinita.
En general como los objetos fractales están compuestos por elementos cada vez
más pequeños semejantes a sí mismo (autosimilitud), su descripción por medio de
medidas de largo, ancho y alto es insuficiente, lo que ha motivado la búsqueda de
nuevas formas de analizar y describir fractales. Por esta razón se ha desarrollado el
47
concepto de dimensión de similitud o dimensión fractal, basada en la propiedad de auto-
similitud de los fractales.
Cuando se habla de dimensión en el marco de la geometría euclídea, refiere al
grado de libertad de movimiento en el espacio, es decir el número de direcciones
ortogonales diferentes que se puede tomar, y se la denomina, dimensión topológica De
acuerdo a esto se considera que las dimensiones topológicas son cinco.
Dimensión -1: un Conjunto Vacío
Dimensión 0: un punto
Dimensión 1: una línea recta
Dimensión 2: un plano
Dimensión 3: el espacio
A partir del análisis de las transformaciones de los siguientes objetos
geométricos es posible establecer una relación con la dimensión del objeto considerado.
Si se parte de un segmento de longitud y lo partimos en segmentos iguales de
longitud , se obtienen partes, de manera que cualquiera que sea .
Si n=2 entonces ; Si n=3 entonces
Si el objeto inicial es un cuadrado de superficie , y lo comparamos con
unidades cuadradas, cuyo lado tenga de longitud , el número de unidades que es
necesario para recubrirlo , cumple cualquiera que sea .
Si n=4 entonces ; Si n=9 entonces
Si por último, el objeto que tomamos es tridimensional, como por ejemplo, un
cubo de volumen , y lo medimos en relación con unidades que sean cubos de arista ,
entonces se cumple que cualquiera que sea .
48
Si n=8 entonces ; Si n=27 entonces
De este modo se puede generalizar que la dimensión de un objeto fractal
geométrico es si donde es el número de objetos elementales o de
unidades de tamaño , que recubren o que completan el objeto. La resolución de esta
ecuación involucra el cálculo de ecuaciones exponenciales y logarítmicas, técnicas que
se fundamentan en las praxeologías de Ecuaciones exponenciales (OMP12) y
Logaritmos (OMP13).
Entonces, aplicando logaritmos
Despejando resulta:
Esta ecuación relaciona los conceptos de medida y dimensión, en donde D es la
dimensión de un objeto fractal, también conocida como dimensión de Hausdorff-
Besicovitch, una generalización de la dimensión Euclidea que permite describir la
dimensión de objetos autosimilares ya que exige la descomposición del objeto en partes
más pequeñas semejantes a sí mismo. En la expresión hallada si se hace tender n a
infinito, se puede obtener la dimensión de un objeto fractal.
Por ejemplo, retomando la Curva de Koch, para calcular la dimensión fractal,
debe tenerse en cuenta que el número de segmentos en cada iteración es , y la
longitud de cada segmento se reduce en un factor de un tercio cada vez, esto es
. La dimensión fractal será entonces:
49
Para calcular la dimensión de un fractal, utilizando la expresión hallada, es
necesario conocer el número de objetos elementales que conforman al fractal antes y
después de la transformación, lo cual podría conducir al estudio de la OMP14
Transformaciones y al estudio del proceso iterativo que lo genera, lo que permitiría la
construcción de la OM5, Procesos iterativos.
Un proceso iterativo consiste en introducir valores en una o varias fórmulas, que
transforman estos valores iniciales, en otro u otros valores. Este resultado pasa a ser
considerado como parte de un nuevo valor inicial para el proceso iterativo. Un valor
inicial puede ser numérico o un ente geométrico, por ejemplo un punto, un conjunto de
puntos o una figura. La transformación que se aplica puede venir expresada por
fórmulas o por una serie de pasos a ejecutar en cada etapa de la iteración.
El estudio de estos procesos conduce a construir la respuesta a la cuestión Q2,4:
¿Cómo se genera un fractal teórico?, la cual requiere el análisis de los tipos de fractales.
Algunos de los fractales teóricos más conocidos son los lineales, como el copo
de nieve de Koch, la alfombra de Sierpinski, entre otros; y los no lineales, como los
conjuntos de Mandelbrot y los de Julia. Esta distinción entre fractales lineales y no
lineales podría conducir al planteo de las preguntas Q3,3: ¿Cómo se genera un fractal
lineal? Y Q3,4: ¿Cómo se genera un fractal no lineal?
La generación de fractales lineales se caracteriza por describir un sistema
dinámico lineal. Es decir, considerando un determinado algoritmo generador, el fractal
lineal resultante se obtiene mediante la sucesión infinita de transformaciones sobre el
ente inicial.
Los fractales lineales pueden representarse mediante un sistema de funciones
iteradas (SFI), el cual describe las transformaciones que los generan. Un SFI es la
representación matricial de un conjunto fractal. Si se considera la siguiente
transformación afín: , ésta actúa sobre el plano
euclídeo realizando cambios de escala, giros y traslaciones tanto sobre como de
cualquier conjunto situado en el plano. Se puede expresar la transformación en forma
matricial:
50
Las transformaciones lineales que se realizan sobre cada punto son
multiplicaciones por una matriz. Por ser transformaciones lineales, la figura que se
obtiene conserva su forma exacta y sólo cambia el tamaño.
Por ejemplo, para construir el triángulo de Sierpinski, se comienza con un punto
y mediante transformaciones lineales sobre él, se obtienen los vértices de un triángulo,
si sobre cada uno de los vértices se vuelve a aplicar la transformación lineal, resultan
otros tres triángulos y así sucesivamente, como se puede observar en la figura 7.
Figura 7: Construcción del triángulo de Sierpinski
Las transformaciones lineales que se realizan sobre cada punto son
multiplicaciones por una matriz. Por ser transformaciones lineales, la figura que se
obtiene conserva su forma exacta y sólo cambia el tamaño.
Los fractales no lineales son conjuntos que se generan iterando infinitas veces
una función no lineal de variable compleja, es decir que se obtienen mediante una
sucesión infinita de transformaciones no lineales.
La iteración de funciones simples como la o las cuadráticas del tipo
constituyen sistemas dinámicos. Dicha iteración consiste en realizar la misma
operación matemática, con auxilio de la calculadora o computadora, utilizando la salida
de una operación como entrada de la próxima. En muchos casos los resultados
obtenidos con algunas funciones, para ciertos valores de entrada, son completamente
predecibles si se trata de sucesiones convergentes, divergentes u oscilantes, en cambio
para otros valores los resultados no se pueden predecir y aparece el caos.
El conjunto de puntos que se obtiene al iterar una función cualquiera:
se lo define como orbita de .
Ejemplos:
La iteración de la función genera la sucesión
. Si consideramos un determinado valor inicial la
sucesión generada es la siguiente . Se
51
observa que a medida que el número de iteraciones aumenta el valor obtenido es cada
vez más grande y la sucesión generada es divergente.
En cambio la iteración de la función para genera la
sucesión: . Se observa que, en este caso, los términos de
la sucesión oscilan entre dos valores.
Si iteramos la función para se obtiene la siguiente sucesión:
La sucesión obtenida converge a 1.
En cambio en la iteración de la función cuadrática, denominada logística
se obtienen resultados de valores no previsibles, lo que se ha dado a
llamar el comportamiento caótico. En la figura 8 se presentan algunos valores de las
primeras 80 iteraciones.
Figura 8: Primeras 80 iteraciones de l(x)
En la gráfica que muestra las primeras 80 iteraciones se observa que no existe un
comportamiento predecible ya que no oscila, ni diverge, ni converge, esto permite
introducirse en la noción de comportamiento caótico.
El estudio de estos procesos iterativos permite construir o reconstruir algunas
componentes de la OMP9 Sucesiones. Las tecnologías relacionadas con este concepto
son necesarias para el análisis de fractales no lineales, ya que los mismos se generan a
52
través de sucesiones por recursión. El conjunto de Mandelbrot y los de Julia son dos
ejemplos clásicos de fractales no lineales, que se definen a través de una sucesión por
recursión en el plano complejo. Para representarlos, son necesarios numerosos cálculos
por lo que el uso de la computadora resulta una herramienta fundamental. De esta
manera, el estudio de fractales no lineales involucra a la OMP7 Números complejos y la
OMP11, Cálculos y representaciones computacionales.
A principio del siglo pasado, Gastón Julia y Pierre Fatou, matemáticos franceses,
trabajaron en la iteración de expresiones simples como siendo los
números complejos y una cierta constante también compleja. Este proceso
iterativo consiste en tomar un número complejo , elevarlo al cuadrado y sumarle al
resultado. El número complejo obtenido se vuelve a elevar al cuadrado y al resultado se
le vuelve a sumar , y así sucesivamente. La sucesión de resultados se
denomina órbita de , y el valor al que tiende se denomina atractor.
Por ejemplo, para , la órbita de es:
Si se analiza esta sucesión de número complejos, puede observarse que se
aleja hacia el infinito. Este proceso se repetiría para todos los puntos del plano.
En 1906, Fatou demostró que al aplicar este proceso iterativo a todos los
puntos del plano complejo se observa que la mayoría de ellos generan órbitas que se
van hacia el infinito, pero que quedan puntos para los cuales no ocurre esto. Si para un
se cumple que un elemento de su órbita tiene, módulo mayor que y que el valor
de , entonces la órbita de ese tiende a infinito. Los puntos cuya órbita no se va a
53
infinito forman un conjunto cuyo interior se denomina conjunto de Fatou y su borde,
la frontera entre los puntos donde órbita escapa y los puntos para los que esto no
ocurre, se denomina Conjunto de Julia asociado a la constante inicial.
La variedad que se puede encontrar entre los Conjuntos de Julia es amplia. Van
desde la circunferencia de centro y radio , para , hasta conjuntos muy
complejos. En la Figura 9, se muestran algunos ejemplos de dichos conjuntos.La
primera imagen es un fractal cuya gráfica es llamada ―conejo de Douady‖, que toma el
valor .
Figura N° 9: Ejemplos de Conjuntos de Julia
Como se puede observar, algunos de estos conjuntos son de una única pieza
(conexos), mientras que otros están separados en varias partes (disconexos), que
podrían ser hasta infinitas.
54
En la figura 10 se muestra un ejemplo de conjunto de Julia conexo, el cual es un
conjunto continuo constituido por una sola pieza. En cambio, en la figura 11, se puede
observar un conjunto de Julia no conexo, constituido por una colección infinita de
puntos que puede ser visualizado como una nube de puntos, alrededor de un punto dado.
Figura N° 10: Conjunto de Julia conexo Figura N° 11: Conjunto de Julia no conexo
En el año 1919, Julia y Fatou probaron de manera independiente que para saber
si el Conjunto de Julia asociado a un cierto número complejo era conexo o no, era
necesario estudiar la órbita de . Más concretamente, si la órbita del escapaba a
infinito, entonces el Conjunto de Julia asociado a es disconexo, y si la órbita del no
tiende a infinito, entonces este Conjunto de Julia es conexo. Este hallazgo fue muy
importante, ya que permitió conocer el tipo de Conjunto de Julia sin necesidad de
estudiar las órbitas de todos los números complejos, hecho que simplificó enormemente
los cálculos.
BenoitMandelbrot a fines de la década de 1970, utilizó programas
computacionales, para hallar los valores de para los que el Conjunto de Julia era
conexo, y representó una figura fractal en el plano complejo, conocida como el
Conjunto de Mandelbrot.
Puesto que una imagen fractal puede implicar miles de millones de cálculos,
para su estudio se necesitan utilizar software para realizar dichos cálculos y las gráficas,
llamando a la OMP11 representaciones computacionales, y por esta razón su estudio está
ligado directamente al desarrollo de las computadoras.
55
Se puede definir el conjunto de Mandelbrot como el conjunto de números
complejos para los cuales el proceso iterativo no tiende a infinito, es decir, no es
divergente.
Entonces, dado un número cualquiera , se eleva al cuadrado. Al número
obtenido le sumamos y lo volvemos a elevar al cuadrado y así continúa el este
proceso de iteración.
De esta manera, el conjunto de Mandelbrot y los de Julia están estrechamente
relacionados puesto que el conjunto de Mandelbrot contiene en su interior a todos
los conjuntos de Julia cuadráticos. Cada punto en el conjunto de Mandelbrotdetermina
una estructura geométrica del conjunto de Julia, como se puede observar en la figura 9.
Si está en el conjunto de Mandelbrot, entonces el de Julia será conexo (cerrado). De lo
contrario, el conjunto de Julia será sólo una colección de puntos desconectados.
En la figura 12, se muestran ejemplos de Conjuntos de Julia y sus
correspondientes valores de .
; b) ; c) ; d) ; e) ;
f) ; g) ; h) ; i)
56
Figura 12: Conjunto de Mandelbrot y algunos de los Conjuntos de Julia que contiene.
Dada la función compleja cuadrática , la órbita
correspondiente a es la sucesión , y se
conoce como órbita crítica. BenoitMandelbrot, fue el primero en determinar el
conjunto de los valores de para los cuales las órbitas críticas no divergen.
Para determinar los valores de que hacen que la órbita de 0 bajo
escapen al infinito existe un criterio denominado del escape: si , y la órbita de 0
bajo sale del circulo de radio 2 centrado en el origen, entonces esta órbita tiende
a infinito. Este criterio es muy importante pues el conjunto de Mandelbrot reside dentro
del disco , independientemente del número de iteraciones que se realice.
57
Por ejemplo si c = -0,5 + i, pero la órbita de 0 bajo sale
del círculo de radio 2, ya que si se itera la función , si
se generan los siguientes valores:
Número
de Paso Valor actual
Distancia
del
Origen
En la cuarta iteración se aprecia que la distancia del punto de origen es más
grande de dos. Esto nos indica que el punto no se mantiene dentro del conjunto del
Mandelbrot como muestra la figura 13.
.
Figura 13: Gráfica que muestra el comportamiento de un punto fuera del Conjunto de
Mandelbrot
Si se realiza el mismo procedimiento con otro punto dentro del conjunto del
Mandelbrot, por ejemplo , la distancia del punto de origen nunca ser
mayor a dos. Supongamos que se determina comonúmero máximo de iteraciones 200,
la distancia al origen no será mayor a 2, por lo quese asumé que el punto inicial se
encuentra dentro del conjunto Mandelbrot y es pintado en negro como se muestra en la
figura 11.
58
Número
de Paso Valor actual
Distancia
del Origen
Figura 14: Gráfica que muestra el comportamiento de un punto dentro del Conjunto de
Mandelbrot
Para representarlo, se consideran los valores de para los cuales las órbitas
críticas no escapan al infinito, asignándole color negro a dichos valores. Los valores de
cerca de los bordes del conjunto de Mandelbrot tienen órbitas que escapan al infinito
solamente después de una cantidad grande de iteraciones. A estos puntos se los pinta de
un color distinto de negro, de acuerdo al número de iteraciones realizadas, como
(Figura 14).
59
Figura 15: Conjunto de Mandelbrot
En la Figura 15 se observa el fractal de Mandelbrot con diferentes
acercamientos. La primera imagen es el Conjunto de Mandelbrot en su estado original,
o sea, sin haber hecho ningún acercamiento dentro de la imagen. La siguiente imagen se
genera ampliando un sector del fractal, o sea, tiene un acercamiento y si se hubiese
seleccionado otro lugar del fractal donde comenzar a interactuar, hubiese generado
imágenes distintas pero al mismo tiempo estadísticamente similares, sin importar la
porción del fractal elegido, como las dos abajo contiguas.
Una propiedad de este conjunto es que es conexo, es decir, de una sola pieza.
Este hecho fue demostrado por los matemáticos AdrienDouady y John H.
Hubbard alrededor de 1984-1985.
Utilizando los acercamientos que nos permite realizar un programa graficador
de fractales, se puede observar que el conjunto de Mandelbrot tiene infinitos detalles,
por lo cual se puede inferir que su perímetro es infinito mientras que su área es finita
por encontrarse todo el conjunto circunscripto en una circunferencia acotada de radio
60
. La noción de dimensión fractal provee una manera de medir qué tan rugosa es su
figura. En el cálculo de la dimensión de fractales muy complejos como el Conjunto
Mandelbrot se utilizan computadoras y se demostró que su dimensión topológica es 2
pero aún no se conoce su dimensión fractal. Así, el estudio de la medida del Conjunto
Mandelbrot conduce al reencuentro con la OMP3 Área, la OMP4, Perímetros y OMP2
Dimensión fractal.
61
Capítulo V
Diseño e Implementación de la AEI. Descripción de las clases
62
Introducción al Diseño de la AEI
En el Capítulo IV se describió en el MPR cuya cuestión generatriz esQ0:¿Cómo
se puede construir un fractal? Una de las preguntas derivadas de Q0 es Q0,2: ¿Cómo se
genera un fractal teórico? A partir de esta pregunta se diseñó e implementó la AEI que
se describe a continuación.
En el siguiente esquema se muestran la pregunta generatrizQ0,2: ¿Cómo se genera un
fractal teórico? los tipos de tareas involucradas y su relación con 15 OMP. Las OMP
son: OMP1: Autosimilitud, OMP2: Dimensión fractal, OMP3: Área de superficies
planas, OMP4: Perímetro de superficies planas, OMP5: Procesos iterativos, OMP6:
Semejanza, OMP7: Números complejos, OMP9: Sucesiones, OMP11: Cálculo y
representaciones computacionales, OMP12: Ecuaciones exponenciales, OMP14:
Transformaciones y OMP15: Matrices.
Para comenzar a responder Q0,2: ¿Cómo se genera un fractal teórico?, surge la
necesidad de reconstruir la OMP5 que desarrolla el tipo de tarea T5: Estudiar procesos
iterativos, ya que la generación de un fractal teórico, matemático, se define como la
repetición constante de un cálculo simple (iteración), de lo que se deriva la OMP2 y el
tipo de tarea T2: Hallar la función iterativa. Este tipo de tarea involucra técnicas y
tecnologías que se relacionan con las OMP9, específicamente por el tipo de tarea T9:
63
Hallar una sucesión; de donde surge T12: Construir una ecuación exponencial y T14:
estudiar las transformaciones, las cuales podrían plantearse mediante matrices (T15).
Este modelo de repetición, permite realizar una aproximación a la gráfica de un
fractal, que solo es realizable a través del uso de la computadora que ejecuta iteraciones
de procesos algebraicos que resultan imposibles de llevar a cabo con las herramientas
tradicionales debido a la complejidad, el número de cálculos y el tiempo que requiere
esta tarea. Se establece así la relación con cálculos y representaciones computacionales
(T11). De esta manera se utilizaría el software EXPLORADOR FF 5.1 como una
herramienta para la construcción del concepto de fractal. Para ello, se propone explorar
dos de los fractales matemáticos más conocido, ya que se generan a partir de una
función iterativa sencilla, el Conjunto de Mandelbrot y los Conjuntos de Julias (T5,1)
que se genera en el plano bidimensional de los números complejos (T7).
A través de la exploración y análisis de la gráfica de estos conjuntos, se
desarrolla el estudio de la autosimilitud (T1) y la semejanza (T6), de la dimensión (T2) y
el estudio de la longitud del fractal (T4).
Diseño y descripción de la implementación: Clase I
Es conveniente mencionar que esta AEI se implementó a continuación de una
AEI diseñada a partir de la pregunta ¿Cómo se puede medir un fractal? e implementada
por otra profesora. Al comienzo de la clase se explicó a los estudiantes que el director
del proceso de estudio cambiaría pero que continuarían con el estudio de fractales,
buscando respuestas a las preguntas derivadas de la cuestión generatriz : ¿Cómo se
puede construir un fractal? que quedaron pendientes.
La profesora propuso a los estudiantes retomar las preguntas derivadas de . El
intento en responder Q0 se realizó durante el proceso de estudio de la AEI anterior y las
preguntas derivadas a Q0 se formularon también durante el desarrollo de esa primera
AEI. . Los estudiantes buscaron en sus carpetas las preguntas derivadas de Q0, las
enumeraron y la profesora las anotó en el pizarrón:
Q0,1: ¿Qué herramientas o elementos se necesitan?
Q0,2:¿Tiene una fórmula matemática?
Q0,3:¿Qué es lo que queremos construir?
Q0,4:¿De qué manera construimos un fractal?
64
Q0,5:¿Cómo está compuesto?
Q0,6:¿Para qué sirven?
Q0,7:¿Cuáles son los pasos para construirlo?
Q0,8:¿Toda persona puede construir un fractal?
Q0,9:¿Qué tipos de fractales existen?
Q0,10:¿Qué conocimientos tenemos que tener para construir un fractal?
Q0,11:¿Qué ventajas y desventajas tiene la construcción de un fractal?
De este conjunto de preguntas, Q0,1, Q0,3, Q0,5,Q0,6,Q0,8,Q0,11fueron abordadas en
la AEI anterior. Se propuso entonces responder las preguntas restantes,
Q0,2,Q0,4,Q0,7,Q0,9,Q0,10, al igual que las preguntas derivadas de cada una de éstas. La
comunidad de estudio (profesor y estudiantes) acordó que se responderán las preguntas
siguientes:
Q0,2:¿Los fractales tienen una fórmula matemática?
Q0,4:¿De qué manera construimos un fractal?
Q0,7:¿Cuáles son los pasos a construirlo?
Q0, 9,1: ¿Qué diferencia hay entre fractales naturales y matemáticos?
Q0,9: ¿Qué tipos de fractales existen?
Q0,10:¿Qué conocimientos tenemos que tener para construir un fractal?
En esta parte del proceso de estudio, resultó necesaria la intervención de la
profesora ya que es quién decidió continuar con la búsqueda de respuestas a la pregunta
Q0,2:¿Los fractales tienen una fórmula matemática? Se continuó trabajando bajo la
modalidad de trabajo grupal – manteniendo la conformación de los grupos realizada por
los estudiantes al inicio de la AEI 1(G1: E1, E2, E3, E6; E13 G2: E4, E5, E9; G3: E7,
E8, E10, E11, E12). – pero cada estudiante realizó su producción individual. A la
primera clase asistieron nueve de los trece estudiantes, conformando tres grupos (G1:
E1, E2, E3, E6; G2: E4, E5, E9; G3: E7, E8). Para comenzar a contestar la pregunta
Q0,2: ¿Los fractales tienen una fórmula matemática?, la profesora entregó a cada grupo
la Actividad que se presenta a continuación. Esta actividad comienza recuperando el
estudio realizándola clase anterior, donde se estudió el fractal Triángulo de Sierpinski,
específicamente, el cálculo de su dimensión. El objetivo de esta actividad es introducir a
65
los estudiantes en la noción de funciones iterativas a través del proceso de construcción
geométrico de un fractal ya conocido, en este caso el Triángulo de Sierpinski.
La construcción del Triángulo de Sierpinski se realiza de la siguiente manera:
a)
Actividad 1:
1.1 De la siguiente secuencia, resulta el conocido Triángulo de Sierpinski.
a) Observar las siguientes iteraciones y construir el término siguiente.Describe el proceso de
construcción.
b) A partir de la construcción anterior, completar la tabla siguiente:
Iteración n Cantidad de triángulos blancos Comparando con iteración
anterior
0 f(0)=
1 f(1)= f(1)= f(0). __________
2 f(2)= f(2)=
3 f(3)= f(3)=
n
c) Describe el proceso que te permitió arribar a los resultados vertidos en la tabla.
Iteración 3 Iteración 2 Iteración 1 Iteración 0
66
Dicho proceso puede describirse en los siguientes términos: sobre los lados de
cada triángulo blanco que resultó de la anterior iteración, se unen los puntos medios de
los mismos, resultando cada triángulo blanco dividido en 4 nuevos triángulos, 3 blancos
y el central pintado de color oscuro.
Cada grupo de estudiantes trabajó en la actividad durante 45 minutos. Luego,
se difundieron las respuestas aportadas por cada grupo. Todos los estudiantes pudieron
dibujar correctamente la tercera iteración (inciso a), sin embargo en la descripción del
proceso de dicha construcción 2 estudiantes no contestaron (E3 y E9), 5 lo hicieron de
forma poco desarrollada (E4, E5, E6, E7, E8) y sólo 2 (E1 y E2) lo resolvieron en
forma completa.
A continuación se presentan dos fragmentos de resolución representativos de
este tipo de respuestas. El primero (Figura 16) presenta la construcción realizada por el
estudiante E1, quien además de haber contestado de forma completa, hace referencia a
―figuras congruentes‖, ―triángulo equilátero‖ o ―aplicar una misma transformación
sucesivamente‖.
.
Figura 16: Resolución de E1, que contestó de forma completa
67
El segundo fragmento de resolución (Figura 17) corresponde al estudiante E9, que la
responde indicando solo, que en las iteraciones anteriores dibuja en cada espacio en
blanco, un triángulo más.
Figura 17: Resolución del estudiante E9, quien contesta de forma poco desarrollada.
La segunda parte de la actividad propone la construcción de una tabla con el
objetivo de relacionar la cantidad de triángulos blancos que resultan de cada iteración
con las funciones iteradas. Se completa observando las iteraciones anteriores hasta
generalizar que es el resultado de multiplicar por tres, como se muestra a
continuación:
Iteración Cantidad de triángulos blancos Comparando con
iteración anterior
Todos los estudiantes resolvieron sin dificultades las primeras cuatro filas, salvo
E1, quien no completó correctamente la columna donde se compara con la iteración
anterior, a pesar de que describió de forma muy completa la manera en que arribó a los
resultados hasta la iteración 3 (Figura 18).
Figura 18: Resolución de E1
68
Este mismo estudiante explicó detalladamente el proceso de construcción de cada
iteración. Describe el proceso en función de las aristas de los triángulos en blanco.
Justifica el uso de la base 3 a partir de los lados del triángulo (Figura 19).
Figura 19: Resolución de E1
Los estudiantes realizarondiferentes resoluciones para completar la última fila de
la tabla – correspondiente a la iteración , que conduce a la generalización de la
expresión de la función iterativa para determinar la cantidad de triángulos blancos que
resultan de cada iteración – pero ninguno logró obtener una generalización. En la
mayoría de los casos, los estudiantes le asignaron un valor a , el que correspondería a
la iteración siguiente, es decir, a la iteración . Por ejemplo, el estudiante E2 del
grupo G1dividió la última fila en 2 columnas como estaba en las filas anteriores, y le
asignó a el valor , es decir, consideró a como la iteración 4. No aportó respuesta a
la parte c) de la actividad, la cual tiene por objetivo describir el proceso que permite
arribar a los resultados (Figura 20).
69
Figura 20: Resolución de E2. Situación 1, inciso b)
Por otra parte, el estudiante E6 integrante del grupo G1construyó el término general de
una sucesión ( ) que da como resultado para cada valor de , la cantidad
de triángulos blancos, pero no pudo hallar la expresión de la función iterativa (Figura
21).
Figura 21: Resolución de E6. Situación 1, inciso b) y c)
E9 aporta una respuesta similar ala de E2, es decir, continúa la secuencia asignando a
el valor , es decir, como si fuera el valor que continua a , comparando con la
iteración anterior. E9 no pudo aportar respuestas a la parte c).
En este momento del proceso de estudio se realizó una nueva intervención de la
profesora quienvolvió a leer la tabla con los resultados que se habían obtenido hasta ese
momento. Se pretendía construir la función iterativa. De esta forma, con la dirección de
la profesora se logró construir la función iterativa. A continuación, se presenta un
fragmento de transcripción del audio de esta intervención de la profesora (figura 22).
Turnos
de habla Profesora Estudiantes
1. [La profesora comienza leyendo las primeras 4 filas que
los estudiantes habían pasado a completar]
Observando esto:
f(1)=f(0).3;
f(2)=f(1).3;
f(3)=f(2).3,
70
Entonces, ¿a qué va a ser igual f(n)?
(…silencio…)
[Profesora vuelve a repetir lo mismo]
2. E:- ¿A la suma de todo?
3. ¿a n como la suma de todo esto? ¿Por qué? ¿n
representa cualquier número, no? es lo que dijeron
recién, y acá dice comparando con la iteración
anterior… [los estudiantes asienten]
(…silencio…)
[Profesora vuelve a leer lo que está en el cuadro]
4. E6:- al anterior
5. ¿Y cómo escribo eso?
6. E2:-f(n) va a ser igual a f(n).3,
porque no se sabe qué número
sigue
7. [la profesora escribe f(n)=f(n).3 y señala al segundo
término f(n)] ¿Pero éste no debería ser el anterior?
8. E2:- si
9. ¿Y cómo escribo el anterior?
10. E7:-“x”
11. ¿Cuál es el anterior a 3?
12. E:- 2
13. ¿Y el anterior a 2?
14. E:- 1
15. ¿Cómo estamos encontrando el anterior?
16. E:- restando 1
17. E2:- ah, entonces sería n-1
18. (Profesora escribe en el pizarrón la expresión)
[la profesora asiente y escribe la fórmula a la que
abordaron, f(n)= f(n-1).3] Pareciera que hubiésemos
encontrado una fórmula que dependiendo de la iteración
me dice cuánto triangulitos blancos tengo.
19. E:- claro
E3:- Entonces volviendo al
segundo cuadro, ahí no iría 81,
¿no?
20. Claro, igual no borren, pongan no es correcto porque…
y expliquen
Figura 22: Extracto de transcripción de la clase 1: Puesta en común sobre la expresión algebraica de la función
iterativa.
La profesora recordó nuevamente durante esta clase que debían registrar en la
carpeta cualquier pregunta que pueda surgir de este estudio.
Podría mencionarse algunas características de la clase en términos de las
funciones didácticas mesogénesis, topogénesis y cronogésis.
Mesogenético Topogenético Cronogenético
-Se retoman e incorporan las
cuestiones derivadas de
:¿Cómo se puede construir
un fractal?planteadas durante
la AEI anterior y que se
-La profesora y los
estudiantes acuerdan las
cuestiones que se
responderán en la AEI.
Los estudiantes
necesitan un tiempo de
debate prolongado con
el grupo y con la clase
en su conjunto para
71
esperan responder en la AEI
actual.
- Se construye gráficamente
la secuencia de iteraciones
que forman el fractal
geométrico Triángulo de
Sierpinski.
- Se arriba a la generalización
de la expresión de una
función iterativa, relacionada
con la OMP5: Procesos
iterativos
-La profesora propone
comenzar a estudiar la Q0,2:
¿los fractales tienen una
fórmula matemática?
Los estudiantes construyen la
gráfica aproximada de un
fractal.
-La profesora gestiona las
discusiones que se fueron
generando para arribar a la
generalización de la función
iterativa, relacionada con el
fractal construido.
lograr construir la
función iterativa.
Descripción y diseño de la implementación: Clase II
Se comenzó la clase devolviendo a los estudiantes sus producciones, recordando
lo trabajado y lo abordado en la sesiónanterior, donde se exploró la construcción del
triángulo de Sierpinski y se construyó la expresión de una función iterativa que permite
obtenerla cantidad de triángulos blancos en cada iteración al construir el triángulo de
Sierpinski.
A continuación, se formuló la pregunta ¿Qué tipo de fractal es el triángulo de
Sierpinski? Los estudiantes buscaron en su carpeta y se refirieron ala clasificación de
fractales en naturales y matemáticos. A partir de la lectura de esta sección de la carpeta,
responden que se trata de un fractal matemático. La profesora señaló que esa
clasificación es parte de la respuesta a la pregunta ¿qué tipos de fractales existen?
Un estudiante mencionó que la curva de Koch también es un fractal matemático
-que estudiaron durante la AEI anterior, donde graficaron y calcularon su perímetro y
área. A partir de este comentario, la profesora propuso continuar con la búsqueda de
respuestas a la pregunta ¿Qué tipo de fractales matemáticos existen?
La búsqueda de respuestas a esta pregunta incorpora, a diferencia de la clase
anterior, la posibilidad de disponer de una computadora por grupo. Las máquinas que se
utilizaron fueron provistas, dos por la profesora y una por la dirección de la institución.
La profesora anota la pregunta en el pizarrón y los estudiantes comienzan a buscar
información en Internet, conectando las computadoras a wi- fi, que generan desde sus
72
celulares. La búsqueda en Internet se lentifica bastante pues, por tratarse de una zona
rural, la conexión es muy débil. De todas maneras, los grupos realizan la búsqueda en
diferentes páginas web. Se acordó previamente llevar un registro de las direcciones
URL consultadas.
Luego de aproximadamente 45 minutos se realizó una puesta en común, donde
cada grupo presentó la información obtenida. La profesora realizó un registro de esa
información en el pizarrón y al finalizar la puesta en común, todos los grupos lo
registraron en sus carpetas. Esta búsqueda se centró en los fractales lineales y no
lineales, en su representación, generación y la identificación de algunos ejemplos de
cada tipo. A continuación se presenta un fragmento de esta toma de notas del estudiante
E2, representativo de la información que resultó de la búsqueda en Internet sobre los
tipos de fractales matemáticos que existen (Figura 23)
Figura 23: Información de E2 que resultó de la puesta en común sobre los tipos de fractales matemáticos que existen
A continuación se presenta un fragmento de la transcripción del audio (Figura
24), que contiene la manera en que se desarrolló la puesta en común, la información
seleccionada por los estudiantes para presentar al resto de la clase y lo que
efectivamente se registró en el pizarrón.
Turnos
de habla Profesor Estudiantes
21. E2: Encontré que había fractales lineales y
no lineales.
22. P: Bien [anota en el pizarrón la respuesta]
73
23. E2: Los fractales lineales son aquellos que
varían su escala y son idénticos
24. P: ¿Encontraste un ejemplo de lineales?
25. E2: -Sí, la alfombra de Sierpinski
26. P: [anota en el pizarrón] ¿Encontraste el
dibujo?
27. E3:- Sí, ¿puedo pasar a dibujarlo?
28. P: Si, por favor, porque habíamos visto el
triángulo de Sierpinski…me intriga.
[Dirigiéndose a E4] ¿Ustedes habían
encontrado la alfombra de Sierpinski?
29. E4:- No
30. P:- Porque ellas ponen como ejemplo de
lineal, que varía la escala pero son idénticos
y encontraron como ejemplo la alfombra de
Sierpinski, y habíamos visto el triángulo.
31. E4: Si, el triángulo de Sierpinski
32. E3: ¿hago paso por paso, o lo hago
directamente?
33. P: - Explicá cómo se forma la alfombra
34. E3: [Dibuja y luego explica] Se empieza de
un solo cuadrado, y se le va agregando uno
en el medio. Luego se le va agregando otro
cuadrado en cada una de las esquinas,
quedando 8 cuadrados. Y a estos cuadrados
se le van agregando otros ocho alrededor. O
sea que hay ocho y para cada uno de esos
hay otros ocho… y así…
35. P: ¿dónde buscaste la explicación sobre la
construcción? ¿O lo dedujiste observando el
dibujo?
36. E3: [se fija en sus apuntes… duda]
37. P: [Se dirige al grupo-clase] ¿se entiende
cómo es la construcción de la alfombra?
38. E5: Sí profesora.
39. E4: Sí, es fácil.
40. P: [Se dirige a E6, que había puesto
expresión de duda]: ¿Hay algo que no te
convence?
41. E6: No, porque está mal el dibujo
42. P: [dirigiéndose a E6]: ¿Y vos cómo harías el
dibujo?
43. E6: [duda…]
44. P: Este cuadrado… [Señalando el pizarrón]
¿Cómo llegó acá?
45. E3: [busca la explicación de la construcción
a pedido de la profesora]: Profe, no decía
cómo se construye.
46. P: Me gustaría que además de cómo uno
visualmente se den cuenta de cómo se
construye, podamos explicar el proceso de
construcción. Esto es muy importante. [La
profesora relee lo que había en el pizarrón].
Varía la escala y son idénticos. [Dirigiéndose
74
a la E2] ¿Querés seguir leyendo?
47. [E2 comienza a leer sobre fractales no
lineales] Figura 24: Extracto 1 de la transcripción de audio, puesta en común de la información hallada sobre fractales
lineales
No toda la información registradapor los grupos se difundiódurante la puesta en
común. Por ejemplo, el grupo G1 (E1, E3, E2, E6) describió qué tienen en común los
fractales matemáticos, indican que son el producto de la repetición de un proceso
geométrico elemental, y realizó una clasificación de fractales, en lineales y no lineales,
con una breve explicación sobre la construcción y las características de autosimilitud de
los mismos. Además, nombró algunos ejemplos de fractales lineales, dibujó y explicó
sobre la construcción de la Alfombra de Sierpinski y realizó nuevas preguntas tales
como ¿el poliedro?, ¿el fractal de Lyapunov?). A continuación se muestra un fragmento
de la información registrada por el grupo G1 (Figura 25).
Figura 25: información registrada por el grupo G1
Por su parte, el grupo G2 (E4, E5), registró ―fractales temáticos‖ en vez de
―fractales matemáticos‖, aunque en internet, por la información hallada, parece que
buscó con el término correcto. Además, escribieron nuevas preguntas, ¿Cuántos
fractales temáticos hay?, ¿Qué función cumplen los fractales?, ¿Cómo se puede
expresar la línea de Koch? y ¿Qué son las funciones holomorfas? En forma de ítems,
75
nombraron algunos fractales sin desarrollar ninguna característica (triángulo de
Sierpinski, fractal de Newton y el Conjunto de Mandelbrot y de Julia) y diferentes
dimensiones (Fractal, Topológica, Haudoff-Besicovitch). A continuación se muestra un
fragmento de la información del grupo G2 (Figura 26)
Figura 26: Información hallada por G2
El grupo G3 (E10, E8, E11, E12) describió cómo se genera el Conjunto de
Mandelbrot a través de algoritmos de escape y su relación con fractales del tipo Julia.
Además, enumeraron conceptos relacionados con fractales matemáticos, como
“funciones iteradas”, “aleatorias”, “bifurcaciones”, “algoritmos de escape”, “escape
de atractor finito”, “órbita caótica o atractores”, “Mandelbrot”, “Helecho de
Barnsley”, “el triángulo de Sierpinski”, “atractor de Lorez”, “difusión” y “celular”.
También realizó preguntas, ¿Qué es el fractal tipo Julia?, ¿O el Conjunto de Julia?,
¿Qué es el fractal?, ¿qué es la retroalimentación?, ¿y la iteración? A continuación se
muestra un fragmento de esta información de G3 (Figura 27)
76
Figura 27: Información hallada por G3
El grupo G3 expone que su grupo encontró en internet un fractal no lineal
llamado el conjunto de Mandelbrot, entonces formularon la pregunta ¿qué es el
conjunto de Mandelbrot? La profesora decidió consultar si los demás grupos
encontraron información sobre este conjunto pues, observó que en general los grupos se
habían detenido en el mismo. La profesora propuso continuar formulando preguntas a
partir del Conjunto de Mandelbrot, obteniendo las siguientes: ¿qué es el conjunto de
Mandelbrot? ¿Qué es una iteración compleja? ¿Qué es el algoritmo de escape?
En esta clase predominó la puesta en común de la información obtenida en
Internet y la formulación de nuevas preguntas a partir de esa información. Cada grupo
registró, no sólo lo obtenido en su propia búsqueda sino también, lo acordado entre
todos. En términos de las funciones didácticas se puede sintetizar esta clase de la
siguiente manera:
Mesogenético Topogenético Cronogenético
-Se incorpora al medio de
estudio Internet. Se buscó allí
información referida a la
clasificación de fractales.
-Se retoman los tipos de
fractales previamente
estudiados: matemáticos y
naturales.
-La profesora introduce la
cuestión Q0, 9: ¿Qué tipo de
fractales se pueden
construir?
-Los estudiantes investigan
sobre las características de
los fractales lineales y no
lineales e introducen nuevas
De la información de
fractales no lineales
surgen muchas
preguntas cuya
respuesta requiere una
extensión del tiempo
reloj.
77
-Se caracterizan los fractales
matemáticos y en particular
los lineales y no lineales.
-Se introducen nuevas
preguntas derivadas de la Q1,3:
¿qué tipos de fractales se
pueden construir? y en
particular, preguntas sobre el
Conjunto de Julia y el
Conjunto de Mandelbrot, por
ejemploQ 0,9,1: ¿qué es el
Conjunto de Mandelbrot? , Q
0,9,2: ¿qué es el Conjunto de
Julia?,Q 0,9,3: ¿qué es una
iteración compleja?
cuestiones derivadas.Los
estudiantes seleccionan de la
información encontrada
aquella relevante a exponer al
grupo-clase. La profesora
gestiona las intervenciones
para sistematizar la
información en el pizarrón.
Descripción y diseño de la implementación: Clase III
Se comenzó la clase recordando la información registrada en conjunto.
Comenzó el estudiante E2, del grupo G1leyendo lo anotado en su carpeta:- “La
pregunta era qué tipos de fractales matemáticos existen. En base a lo que encontramos,
había dos tipos, los lineales y los no lineales. Los lineales decía que varía la escala, son
idénticos y los no lineales es que tienen estructura similar y que se generan con
funciones complejas. Ejemplos de eso tenemos el Conjunto de Mandelbrot y el Conjunto
de Julia y que Julia era una modificación de Mandelbrot.”
El estudiante E8 del grupo G3 completa mencionando:- El fractal de
Mandelbrot se genera mediante algoritmos de escape. Para cada punto se calcula una
serie de valores mediante la repetición de una fórmula hasta que se cumple una
condición. Se descubren en 1975, que tienen dimensión decimal y que solo se puede
dibujar con ayuda del ordenador”
La profesora intervino indicando que una de las preguntas que quedó pendiente
de responder fue ¿Qué es el conjunto de Mandelbrot? Se propuso entonces buscar
información en Internet para responder esta pregunta.
Cada grupo de estudiantes trabajó en la actividad durante 45 minutos. Luego, se
realizó la difusión de las respuestas aportadas por cada grupo. Conviene mencionar aquí
que durante esta clase el Grupo 1 se dividió en dos subgrupos, y
78
, debido a que en esta clase contaban con una computadora más. A
continuación se presenta un fragmento de resolución representativo del grupo G1,1que
muestra la información que encontraron sobre el Conjunto de Mandelbrot.
Es uno de los grupos que aportó la mayor información. Durante este proceso
mencionan diversas OM tales como números complejos; sucesiones acotadas,
divergentes u oscilantes; transformaciones; autosimilitud o autosemejanza. Define, al
igual que lo hace el grupo , al conjunto de Mandelbrot a través de la sucesión por
recursión en el plano complejo: y desarrolla una breve explicación
sobre qué valores van a pertenecer al conjunto dependiendo del resultado de la
sucesión.La figura 28 muestra un fragmento de esta información obtenida y registrada
por el grupo grupo .
Figura 28: Información hallada por G1,1 sobre el Conjunto de Mandelbrot
El Estudiante E3, integrante del Grupo G1,1 además realizó una posible representación
del Conjunto de Mandelbrot (Figura 29).
79
Figura 29: Dibujo del estudiante E3 del Conjunto de Mandelbrot
El subgrupo agregó información a la hallada por , indicando que la
representacióndel conjunto de Mandelbrotpuede realizarse mediante Algoritmos de
Escape y que otra forma de definirlo es a través de su relación con los conjuntos de
Julia. También desarrolla brevemente qué dimensión tiene y agrega una breve
explicación de las propiedades topológicas del conjunto: compacto y conexo.
La figura 30 muestra un fragmento de información de la información obtenida
por el subgrupo .
Figura 30: Información agregada por E2 respecto a la del subgrupo G1, 1 sobre el Conjunto de Mandelbrot
El Grupo describe la relación del conjunto de Mandelbrot con los de Julia,
además escribe sobre la propiedad de ser conexo. Contiguamente realiza la pregunta
¿Qué es conexo? Y la contesta brevemente. La figura 31 presenta un fragmento de la
información obtenida y registrada por el grupo . Este grupo registra que el conjunto
80
de Mandelbrot es uno de los más conocidos y que contiene a todos los conjuntos Julia.
Además, registran que el conjunto de Mandelbrot es conexo y formulan la pregunta
¿Qué significa ser ―conexo‖?
Figura 31: Información hallada por E5 sobre el Conjunto de Mandelbrot
El Grupo describió al conjunto de Mandelbrot de forma muy similar al grupo
. Un estudiante aportó además información sobre la pregunta ¿cuánto mide la costa
de Inglaterra?, realizada por el matemático Benoit Mandelbrot relacionando esta
instancia del proceso de estudio con la AEI previamente recorrida. El grupo G3,
comenzó la puesta en común planteando que no entendió la información que encontró y
solicitó a la clase si no se podía ―armar una definición‖ (del Conjunto de Mandelbrot)
para todos por igual. La profesora explicó que eso íbamos a intentar. Se realizó entonces
un registro común (en el pizarrón) de la información más relevante obtenida por cada
grupo para dar respuesta a la pregunta formulada previamente ¿Qué es el Conjunto de
Mandelbrot? De esta selección de información se acordó registrar lo siguiente:
- ¿Qué es iterativo?
- Para Mandelbrot se considera fractal el objeto o conjunto de números que posee
fragmentos con tamaño y orientación variables pero de aspecto similar.
- El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de números complejos para los cuales el
método iterativo no tiene fin.
81
- Es un fractal autosimilar formado por el conjunto de puntos estables cuya órbita es
acotada bajo cierta transformación iterativa no lineal.
- Es un fractal de aspecto autosimilar
- El conjunto se define en el plano complejo.
- Sea un número complejo cualquiera, a partir de C se construye una sucesión por
recursión.
- La fórmula de la sucesión por recursión es:
Durante el registro de información, los estudiantes plantearon que no
comprendían la información hallada sobre la función iterativa compleja que describe al
Conjunto de Mandelbrot, por esto la profesora proponer continuar estudiando la
relación entre los fractales y dichas fórmulas la clase siguiente.
En esta clase predominó no sólo la puesta en común de la información obtenida
en Internet y la formulación de nuevas preguntas a partir de esa información, sino
también la selección de lo que fue considerado relevante por cada grupo para aportar a
la construcción de respuesta a la pregunta relativa al Conjunto del Mandelbrot. Pregunta
que surgió de una búsqueda previa de información por parte de los mismos estudiantes.
La búsqueda de respuestas a esta pregunta condujo a la formulación de otras preguntas
tales como ¿Qué significa que el conjunto sea ―conexo‖?. Estas acciones y la
predominancia del protagonismo de los estudiantes y de cada grupo de clase describen
un proceso de estudio diferente al tradicional. En términos de las funciones didácticas se
puede sintetizar esta clase de la siguiente manera:
Mesogenético Topogenético Cronogenético
-Se desarrollaron las
características del Conjunto
de Mandelbrot, su
representación y la función
iterativa que lo genera a partir
de la incorporación al medio
de estudio de toda la
información obtenida en
Internet y la selección de lo
que resultaría ser relevante.
-Son los propios estudiantes
los que buscan la información
y los que seleccionan aquella
que consideran relevante para
la construcción de la
respuesta a Q 0,9,1: ¿qué es el
Conjunto de Mandelbrot?
-Al realizar la difusión de la
información obtenida, los
Los tiempos reloj
limitaron el desarrollo
de las respuestas
disponibles que los
estudiantes
introdujeron en el
medio cuando
buscaron en Internet.
82
estudiantes solicitan construir
entre todos una respuesta a la
pregunta anterior. La
profesora propone continuar
con esto entonces la clase
siguiente.
-El profesor interviene en esta
clase para registrar la
información en común en el
pizarrón y para gestionar las
difusiones de respuesta. Es
decir, el profesor adopta un
lugar asociado a la de un
profesor director del proceso
de estudio.
Descripción y diseño de la implementación: Clase IV
Se comenzó la clase devolviendo a los estudiantes sus producciones y
recordando lo investigado la última clase para contestar a la pregunta ¿Qué es el
conjunto de Mandelbrot? A partir deesta investigación se nombraron y registraron las
características del conjunto (autosimilar, conexo, compacto) y se lo definió a través de
la sucesión por recursión en el plano complejo: . Los estudiantes
explicitaron en la clase III que no comprendían la construcción de la sucesión por
recursión en el plano complejo que define al conjunto de Mandelbrot, por lo que la
profesora les propuso profundizar estas cuestiones. Para llevar adelante este estudio, la
profesora introduce al medio de estudio una actividad cuyo objetivo es precisamente
que los estudiantes se ―encuentren‖ con la generación de una sucesión por recursión,
reemplazando diferentes valores en la función y así puedan concluir sobre los diferentes
valores que ésta arroja y su relación con el conjunto de Mandelbrot. Se esperaba que
los estudiantes noten la complejidad del proceso para hallar los resultados de la
sucesión y la importancia del uso de programas computacionales como una herramienta
de cálculo de los puntos que pertenecen y así definen al Conjunto de Mandelbrot.
La profesora, además recuerda que pueden hacer uso de toda la información
obtenida previamente,
83
Para hallar las primeras 6 iteraciones si , o se
reemplazan estos valores en la expresión correspondiente a cada iteración. Si esta
sucesión queda acotada, entonces se dice que pertenece al conjunto de Mandelbrot, y
si no, queda excluido del mismo.Por otra parte, se sabe que los puntos cuya distancia al
origen es superior a 2, es decir, no pertenecen al conjunto. Por lo tanto
basta encontrar un solo término de la sucesión que verifique para estar seguro
de que c no está en el conjunto.
:
1° iteración:
2° iteración:
3° iteración:
4° iteración:
5° iteración:
6° iteración:
De esta manera si , resulta la sucesión:
divergente.Como no está acotada, el valor
no es un elemento del Conjunto de Mandelbrot.
Actividad 2:
Uno de los fractales más conocidos es el Conjunto de Mandelbrot que se genera en
el plano bidimensional de los números complejos.
Sea , si se eleva al cuadrado y se le suma después el mismo , resulta:
….
2.1 Hallar las primeras 6 iteraciones si:
Describe el proceso que te permitió arribar a los resultados y basándote en lo
investigado anteriormente, cómo los relacionas con el Conjunto de Mandelbrot
84
Si :
1° iteración:
2° iteración:
3° iteración:
4° iteración:
5° iteración:
6° iteración:
Si , resulta la sucesión oscilante: , por lo que el valor
pertenece al Conjunto de Mandelbrot puesto que está acotada en una circunferencia de
radio menor o igual a 2.
Si Z= :
1° iteración:
2° iteración:
3° iteración:
4° iteración:
5° iteración:
6° iteración: resultado con cifras que no
pueden ser calculadas con la calculadora convencional.
Si , resulta la sucesión
, no acotada en un módulo menor o igual a 2, por
lo que el valor no pertenece al Conjunto de Mandelbrot.
Durante esta actividad solo los integrantes del grupo G2, E4 y E5, trabajaron en
forma grupal, y los cinco estudiantes restantes E2, E3, E6, E13 y E7, decidieron
trabajar, por elección propia, en forma individual. Luego de 1 hora y 20 minutos se
difundieron las respuestas aportadas por cada grupo y por cada estudiante, registrando
las en el pizarrón.
85
De los tres incisos donde tomaba diferentes valores para hallar hasta la sexta
iteración que proponía la actividad, seis de los siete alumnos hallaron las iteraciones
donde tomaba el valor , cuatro de los estudiantes resolvieron de forma incompleta
donde tomaba el valor , y solo un estudiante alcanzó a realizar la primera iteración
del inciso donde tomaba el valor . Los estudiantes explicaron que no les había
alcanzado el tiempo y que los cálculos eran muy largos y complicados.Preguntan a la
profesora si no era posible utilizar la computadora para efectuar los cálculos.
Los estudiantes lograron completar cómo sería la expresión algebraica de la
cuarta, quinta y sexta iteración; la mayoría explicó el proceso que le permitió arribar a
los resultados y su relación con el Conjunto de Mandelbrot.
A continuación se presentan dos fragmentos de construcción de estas
iteracionesy las diferentes formas que se presentaron para calcular las sucesiones. La
Figura 32 presenta la construcción realizada por el estudiante E2 quien realizó todos los
cálculos cada vez que resolvió las sucesivas iteraciones.
Figura 32: Fragmento de resolución del estudiante E2
86
El estudiante E3 simplificó los cálculos relacionando con las iteraciones previas y con la
fórmula de la función iterativa que describe al Conjunto de Mandelbrot (Figura 33).
Figura 33: Fragmento de resolución ndel estudiante E3 quien considera la función iterativa que describe al
Conjunto de Mandelbrot, la clase anterior.
Esta clase se caracterizó por un predominio de trabajo numérico por parte de los
estudiantes. En términos de las funciones didácticas se puede sintetizar esta clase de la
siguiente manera:
Mesogenético Topogenético Cronogenético
-La profesora introdujo al
medio una segunda actividad
a partir de la cual se
construyeron términos de la
función iterativa que
representa el Conjunto de
Mandelbrot, relacionándose
los resultados con las OMP9:
Sucesiones , OMP7: Números
complejos y OMP5: Procesos
iterativos
- Se cuestiona la complejidad
de los cálculos y surge
entonces la necesidad de
incorporar al medio de estudio
el uso de programas de
cálculo.
-La profesora introduce una
actividad para abordar la
cuestión Q 0,9,3: ¿qué es una
iteración compleja?Los
estudiantes resuelven y
extraen conclusiones de los
resultados. Luego los
relacionan con el Conjunto de
Mandelbrot.
-Los estudiantes plantean la
necesidad de utilizar
programas de cálculo.
La complejidad y
extensión de los
cálculos requirieron un
mayor tiempo reloj que
el previsto.
87
Descripción y diseño de la implementación: Clase V
En esta clase se continuó el estudio e investigación en torno al fractal de
Mandelbrot. Asistieron a esta clase la mitad de los estudiantes. Se devolvieron a los
estudiantes sus producciones parciales. Conviene recordar que el objetivo de la
actividad consistía en generar una sucesión por recursión, reemplazando valores en la
función. Los estudiantes obtuvieron conclusiones sobre los valores que esta
sucesiónarroja y su relación con el conjunto de Mandelbrot.
Los estudiantes expresaron cuán complejo y largo les resultó hallar los valores
de la sucesión, y que por ello no habían terminado. Consideraron que sería más fácil si
se utilizara la computadora para realizarlos.
La profesora propone continuar con la actividad atendiendo a la solicitud de los
estudiantes respecto al uso de la computadora. Para ello, comunica a los estudiantes que
pueden utilizar el software Explorador FF5.1 que, a pesar de ser un graficador con cierta
lentitud en la respuesta, es sencillo de utilizar, permite visualizar gran variedad de
fractales y tiene numerosas herramientas para su estudio. La profesora instala el
software en las cuatro computadoras con las que cuenta el curso.
Los estudiantes mostraron entusiasmo al comenzar a interactuar con la gráfica
del Conjunto de Mandelbrot, el cual es el primero en aparecer al abrir el programa. Las
imágenes son atractivas por su estética; el usuario puede marcar una zona rectangular
donde lo desee para efectuar un zoom y estudiar los detalles de la gráfica. Además se
pueden cambiar los colores, rotar la imagen, cambiar a nuevas imágenes de fractales,
etc. La profesora da explicaciones de uso sencillas e invita a los estudiantes a indagar
más en ese u otros programas que incluso trabajan imágenes en 3D.
Se propone entonces a los estudiantes ampliar la actividad 2 con una segunda
parte. El objetivo de esta ampliación fue la generación de nuevas preguntas que
emerjan, y el registro de las características que puedan observar. La profesora
compartió con los estudiantes el objetivo de la actividad: explorar por primera vez la
gráfica del Conjunto de Mandelbrot.
Segunda parte de la Actividad 2 a) Explorar el conjunto de Mandelbrot utilizando el graficador EXPLORADOR FF 5.1
b) ¿Cómo caracterizarías este conjunto?
88
Las siguientes figuras (Figura 34) son algunos ejemplos de imágenes con
diferentes acercamientos al conjunto de Mandelbrot con las que los estudiantes se
podían encontrar al utilizar el zoom del software.
Figura 34: Conjunto de Mandelbrot con diferentes acercamientos
En las imágenes, observamos figuras irregulares de muchos detalles, con
diferentes colores que muestran las distintas órbitas. En color negro están los puntos
que forman el conjunto de Mandelbrot, mostrando la caracterización de ser conexo, es
decir, la de ser una sola pieza. Por ser un conjunto conexo se puede inferir que su
perímetro es infinito mientras que su área es finita.
89
Otra propiedad que se puede observar es la de autosimilitud que presenta el
conjunto de Mandelbrot. Si ampliamos la imagen cerca del borde del conjunto
encontraremos en muchas zonas al propio conjunto de Mandelbrot otra vez, además de
figuras autosimilares.
Los estudiantes estuvieron media hora indagando en la figura de Mandelbrot.
Luego se comunicó al resto de la clase lo que cada grupo observó en las pantallas. En
este momento se comprobó que muchos estudiantes no habían podido registraren su
carpeta las características que observaron en la pantalla sobre el Conjunto de
Mandelbrot.
El estudiante E4 compartió con sus compañeros lo escrito sobre la característica
de similitud que observó, diciendo que ―el dibujo siempre es igual‖. No hubo consenso
con el resto del grupo y se generó un debate. El siguiente extracto de transcripción de
audio (figura 35) muestra cómo se acuerda que el fractal es similar en algunas partes.
Turnos
de habla Profesora Estudiantes
1. E4:- Nosotros lo que pusimos es que la forma
nunca va cambiando, es siempre igual, aunque
estemos más cerca y después cambia al final con
todas esas cosas raras.
[Risas de estudiantes]
[Hablan varios estudiantes a la vez, grabación
confusa]
2. E6:-la imagen es lo mismo
3. E7:- no, se van achicando
4. P:- Hablen de a uno por favor
5. E11:- Cuando se agranda se notan más detalles
pero la imagen sigue siendo la misma
6. P:- [dirigiéndose al resto del grupo]
¿La misma?
7. E6, E11 y E7:- no
8. E6:- Es similar, más o menos…
9. E11:- claro es similar a la inicial…
10. P:- ¿Acordamos que es similar?
11. E6:- Profe, en la esquinita también es similar…
12. P: ¿qué esquinita?
13. E7:- en los bordes…
14. E11:- claro, donde salen como unas ramas
15. E6:- claro, donde se ve como un amanecer [risas]
16. P -Bien. ¿Observaron algo más?.. Figura 35: Extracto de transcripción de audio donde se acuerda con los estudiantes que una característica del
Conjunto de Mandelbrot es la de ser similar en algunas partes.
Otro estudiante mencionó que al acercarse más con el zoom se notan más
detalles.
90
E11 aportó que la imagen está unida, y el grupo acuerda que eso corresponde a
otra característica, la de ―estar unido o cerrado‖. La profesora preguntó si recordaban
cómo se denominaban los conjuntos unidos o cerrados ya que ellos lo habían
encontrado durante clases anteriores, haciendo referencia a conjuntos conexos.
La profesora introduce una pregunta referida al cálculo del perímetro y área de
una figura con la característica que acababan de mencionar, la de ser cerrada. El
estudiante E6 dice que no se puede calcular el perímetro porque tiene muchos detalles.
La profesora preguntó cuántos son ―muchos‖ detalles, y E3 responde ―infinitos‖ y que
por eso su perímetro será infinito.
Inmediatamente los estudiantes indican que el área también será infinita, aunque
existen dudas y desacuerdos entre los estudiantes cuando uno de ellos expresa que en
los extremos se va ―achicando‖. La profesora preguntó si se observa un área
infinitamente grande, luego recordó tener en cuenta las características antes
mencionadas y registradas–línea cerrada o unida, tiene muchos detalles, perímetro
infinito-. E2 menciona que, mirándolo así, el área no es infinita porque es una figura
cerrada. La profesora preguntó nuevamente entonces ¿cómo sería el área? Y propuso
regístralo en el pizarrón. Varios estudiantes contestaron que es finita.
En la figuras36 y 37 se presenta la toma de notas de las características del
conjunto de Mandelbrotregistradas por el estudiante E2.
Figura 36: Características del Conjunto de Mandelbrot registradas por el estudiante E5
91
Figura 372: Características observadas y registradas por el estudiantes E2 sobre el Conjunto de Mandelbrot
A partir de esta caracterización, la profesora introduce la siguiente pregunta:
¿Cuál es la diferencia entre el conjunto de Mandelbrot y los fractales matemáticos
lineales?
Los estudiantesE2, E3 y E7 indicaron como única diferencia la autosimilitud.
El estudiante E7 registró que la diferencia que hay entre el Conjunto de
Mandelbrot y los fractales geométricos es que estos últimos siguen la misma figura cada
vez más pequeña y en el Conjunto de Mandelbrot varia la forma.
E2 escribió características del Conjunto de Mandelbrot como las de ser un
fractal no lineal, con estructura autosimilar, que se genera con distorsiones complejas y
que además se representa con un ordenador. Señaló además que la diferencia con los
fractales lineales es que estos al variar la escala son idénticos.
Otros estudiantes,E4, E5, E6 y E13, no determinaron claramente cuáles son las
diferencias entre ambos tipos de fractales.
Los estudiantes E4 y E5 plantearon que la diferencia es que el Conjunto de
Mandelbrot no se puede medir porque su área es infinita, en cambio en los fractales
geométricos sí.
El estudianteE6 también se refirió a que el Conjunto de Mandelbrot puede ser
infinito o finito, y que en cambio los fractales matemáticos lineales son infinitos. El
estudiante no especificó qué es lo que puede ser infinito o finito de los fractales.
Además agregó que los fractales geométricos son lineales mientras que el conjunto de
Mandelbrot es no lineal, y que en su fórmula se utilizan números complejos.
92
El estudiante E13 planteó que los fractales lineales no tienen una línea unida
como la imagen del Conjunto de Mandelbrot.
La profesora propuso retomar la actividad anterior, donde los estudiantes debían,
sin utilizar el graficador, realizar cálculos para estudiar si un punto pertenecía o no al
Conjunto de Mandelbrot. Estos cálculos resultaron ser muy engorrosos y extensos para
ellos, y habían notado que el uso de la computadora hubiera facilitado la tarea. Uno de
los puntos que debían estudiar es el valor , tarea que quedó inconclusa. En
esta clase, la profesora propuso entonces resolver esta cuestión utilizando el programa
de computación EXPLORADOR FF 5.1, ingresando dicho valor en la viñeta de
parámetros correspondientes a la función que representa al Conjunto de Mandelbrot.
Este punto no pertenece al conjunto de Mandelbrot. Al reemplazar el valor, la
computadora arrojó una gráfica que los estudiantes caracterizaron como ―confusa‖ por
tratarse de una nube de puntos sin ningún objeto definido.
La profesora propuso investigar lo observado pero en la próxima clase pues se
finalizó la sesión. Los estudiantes continuaron unos minutos explorando diferentes
gráficas de fractales, con la función aleatoria del programa. Esto generó mucho
entusiasmo en los estudiantes al poder comparar y comentar entre ellos las imágenes
que les devolvía en pantalla el software.
Esta clase se caracterizó por el ingreso al medio de estudio de un software que
facilitaría la resolución de la actividad. La profesora propuso a los estudiantes la
reformulación y desarrollo de la actividad a partir del uso del software. Se generó una
difusión de las características inferidas a partir de las imágenes devueltas por el
software. En términos de las funciones didácticas se puede sintetizar esta clase de la
siguiente manera:
Mesogenético Topogenético Cronogenético
- La clase se centró en
explorar la gráfica del
Conjunto de Mandelbrot a
partir del software. Las
conclusiones obtenidas a
partir de esta exploración
permitirían el reencuentro con
OM por ejemplo:OMP11:
Cálculo y representaciones
-La profesora decidió
incorporar a partir de la
solicitud de los estudiantes,
un programa de computación
como ayuda al estudio
fractales.
-Pocos estudiantes pudieron
registrar en su carpeta las
La incorporación del
software y la
exploración de los
Conjuntos de Julia
requirieron una
prolongación del
tiempo reloj.
93
computacionalesOMP1:
Autosimilitud;OMP3: Área de
superficies planas y OMP4:
Perímetro de superficies
planas.
- Se obtuvieron respuestas
parciales sobre las diferencias
entre el Conjunto de
Mandelbrot y los fractales
geométricos.
-Se exploró parcialmente las
gráficas de los Conjuntos de
Julia con la función aleatoria
del programa.
características observadas en
la gráfica del Conjunto de
Mandelbrot, por lo que la
profesora gestionó las
discusiones que se fueron
generando en torno a ellas.
Descripción y diseño de la implementación: Clase VI
Se dio comenzó la clase devolviendo, como se realizó en cada una de ellas, a
los estudiantes sus producciones y se recordó lo realizado la clase previa respecto a la
exploración de la gráfica del Conjunto de Mandelbrot, a través del uso del
softwareExplorador FF5.1. Los estudiante habían observado que el Conjunto de
Mandelbrot es una figura irregular de muchos detalles, con diferentes colores y que es
una sola pieza, o sea cerrado o conexo. También habían inferido que por ser un
conjunto conexo, su perímetro es infinito mientras que su área es finita. Otra
propiedad que se acordó fue la de autosimilitud. Además, se utilizó la función de
cálculo en el software para completar los cálculos que habían quedado pendientes.
Luego se comenzaron a explorar diferentes gráficas de los Conjuntos de Julia, con la
opción aleatoria del programa. A esta última clase asistieron la totalidad de los
estudiantes, trece y se incorporan computadoras a la clase. Se logra disponer de una
máquina por estudiante.
La profesora propuso la actividad 3 instalando previamente el programa
Explorador FF 5.1 en las máquinas que todavía no lo tenían. La profesora compartió con
los estudiantes el objetivo de la actividad: explorar diferentes Conjuntos de Julia
introduciendo los diferentes valores de en el programa. Además explicó que se
propone el valor de ya que estudiando la órbita de cero, y variando ,
94
obtendremos algunos de los Conjuntos de Julia más conocidos, con diferentes
características.
En la gráfica siguiente (Figura 38) para el valor se observan una
circunferencia y las órbitas de diferentes colores alrededor de la misma, con centro en el
origen de coordenadas. Su perímetro será finito. Es un conjunto conexo, por lo que su
área será finita. No se muestra autosimilaridad.
Figura 38: Conjunto de Julia, si c=0
En la Figura 39 para el valor se observan una figura autosimilar y simétrica.
Alrededor de la misma se distinguen las órbitas de diferentes colores. Es un conjunto
conexo, por lo que su área será finita y por los infinitos detalles, su perímetro será
infinito.
Actividad 3
La función iterativa, , representa los Conjuntos de Julia (donde el
valor inicial de es cero, o sea ). Utilizando el graficador EXPLORADOR
FF 5.1 explora el Conjunto de Julia, si:
a)
b)
c)
¿Cómo caracterizarías los Conjuntos de Julia?
95
Figura 39: Conjunto de Julia, si c=-1
Si (Figura 40) se obtiene el fractal conocido como ―Dendrita‖. Al
aumentar los acercamientos se puedeinferir que es un fractal conexo, por lo que su área
será finita. Debido a los infinitos detalles, su perímetro será infinito.Se distinguencon
diferentes colores las diferentes órbitas según el número de iteraciones.
Figura 40: Conjunto de Julia, si c=-i
Siete estudiantes registraron los resultados obtenidos al explorar el conjunto de
Julia con el software. Realizaron la representación de las imágenes de los fractales en
sus carpetas y mencionaron sus características.
96
Todos los estudiantes indicaron los diferentes colores que se observaban, pero
solo algunos pudieron relacionarlos con las diferentes órbitas del fractal. Además
detectaron que en las imágenes, las figuras se repetían a diferentes escalas, pero muy
pocos utilizaron el término de ―autosimilar‖ para caracterizarlas.
Los estudiantes, para describir las figuras que observaban, las compararon con
objetos geométricos que conocían como, círculo, circunferencia, rectángulo, línea o
expresiones tales como ―Círculo rectangular‖ o ―circunferencia redonda‖. Cuatro
estudiantes dibujaron en su carpeta lo que observaban.
Tres estudiantes describieron los parámetros y la función iterativa que se vincula
con la gráfica, especificando que el número de iteraciones utilizadas es de , que las
coordenadas donde se ubica el centro de la gráfica es el origen de coordenadas y
que el exponente de , en la fórmula que representa al fractal es . Todos estos datos los
entrega una pantalla del programa, al ingresar la fórmula de la función iterativa que se
desea graficar.
En la fractal graficado donde , (figura 38) todos los estudiantes
describieron imagen que observaban como una circunferencia, o ―círculos dentro de
otros círculos‖.
En el fractal representado cuando (figura 39) muchos estudiantes
mencionaron que la imagen es similar a la del Conjunto de Mandelbrot.
En el fractal representado cuando (figura 40), casi todos los estudiantes
compararon la imagen observada en la pantalla con objetos de la naturaleza que
responden a patrones fractales, escribiendo que se parece a ―un trueno‖, ―un rayo con
detalles‖, ―una grieta‖, ―una raíz‖, ―circuitos eléctricos‖
Ningún estudiante mencionó otras características como el valor del perímetro,
área o si son conexos o no, características observadas y registradas al explorar el
Conjunto de Mandelbrot.
A continuación, se presenta un fragmento de la producción del estudiante E3 al
explorar los Conjuntos de Julia (Figura 41).
97
Figura 41: Producción de E3, representativa de la actividad de exploración de los Conjuntos de Julia
Es fundamental menciona que esta clase correspondió a la última del período escolar y
entonces la profesora consideró conveniente recuperar la pregunta inicial ¿cómo
construir un fractal? Incorporó una última actividad.
Todos los estudiantes lograron resolverla actividad. En la todos los casos,
seleccionaron fractales geométricos, como la Esponja de Menger, el Triángulo de
Sierpinski, la Curva de Koch cerrada (Copo de Nieve), o la Curva de Koch abierta.
Hubo diversas justificaciones respecto a la elección del mismo. En el caso del
Triángulo de Sierpinski, los estudiantes indicaron que lo elegían ―porque es una figura
explicativa ya que con solo verlo te das cuenta que es un fractal‖, otros mencionaron
―porque resultó fácil construirlo‖ o ―por su simplicidad‖.
Basándote en la cuestión inicial ¿Cómo construir un fractal?:
1.- Elegir un fractal de los estudiados.
2.- Justificar el porqué de tu elección.
3.- ¿Qué características tiene dicho fractal?
4.- Explicar cómo se construye.
98
U estudiante seleccionó la Esponja de Menger, fractal en 3D, por su forma más
compleja pero autosimilar.
El fractal Curva de Koch cerrada o Copo de Nieve, fue elegido por 7 estudiantes,
justificando de diversas maneras: ―porque me llamó la atención por su infinita figura‖,
―me fue muy difícil construirlo y estuvo bueno hacerlo‖, ―porque fue uno de los que
analizamos en la clase‖, y al resto de los estudiantes por resultarle interesante. El
estudiante que eligió el fractal Curva de Koch abierta no justificó su elección.
Casi todos los estudiantes para explicar cómo se construyó realizaron las
transformaciones paso por paso, dibujando las distintas secuencias. Desarrollaron de
forma muy completa las características de los mismos, haciendo mención a su
perímetro, área, su similitud a diferentes escalas, la infinitud del proceso. A
continuación se presentan 4 producciones representativas de esta exploración que
realizaron los estudiantes, según los 4 tipos de fractales geométricos seleccionados.
99
Figura 42: Caracterización del Triángulo de Sierpinski del estudiante E2
Figura 43: Caracterización de la Esponja de Menger realizada por el Estudiante E1
100
Figura 44: Caracterización de la Curva de Koch abierta propuesta por el Estudiante E6
Figura 45: Caracterización del Copo de Koch propuesta por el Estudiante E11
Esta clase se caracterizó por la exploración del conjunto de Julia y por realizarse
una actividad de síntesis donde cada estudiante o grupo de estudiantes decidió, a partir
de una actividad propuesta por la profesora, explorar y caracterizar un tipo de fractal. En
términos de las funciones didácticas se puede sintetizar esta clase de la siguiente
manera:
Mesogenético Topogenético Cronogenético
- Se utilizó el software para
generar fractales del tipo Julia
y para describir las
características de las gráficas
de los Conjuntos de Julia
-La profesora introdujo la
preguntaQ 0,9,2: ¿qué son los
Conjuntos de Julias?, a través
de una actividad.
Esta clase
correspondió a la
última del ciclo
escolar, por lo tanto,
se limitó la
101
obtenidas.
-Se desarrolló cómo se
construye y caracteriza un
fractal a elección, retomando
la preguntainicialQ0:¿cómo
construir un fractal?
-Los estudiantes exploraron y
caracterizaron diferentes
Conjuntos de Julia.
-Los estudiantes desarrollaron
las características y el
proceso de construcción de
un fractal a elección.
continuidad de la AEI.
102
Síntesis de la descripción general de las clases según aspectos de las funciones didácticas:
Clase/Nivel Mesogenético Topogenético Cronogenético
Clase 1 -Se retoman e incorporan las cuestiones
derivadas de :¿Cómo se puede construir
un fractal?planteadas durante la AEI
anterior y que se esperan responder en la
AEI actual.
- Se construye gráficamente la secuencia
de iteraciones que forman el fractal
geométrico Triángulo de Sierpinski.
- Se arriba a la generalización de la
expresión de una función iterativa,
relacionada con la OMP5: Procesos
iterativos
La profesora y los estudiantes acuerdan las
cuestiones que se responderán en la AEI.
La profesora propone comenzar a estudiar
la Q0,2: ¿los fractales tienen una fórmula
matemática?
Los estudiantes construyen la gráfica
aproximada de un fractal.
La profesora gestiona las discusiones que
se fueron generando para arribar a la
generalización de la función iterativa,
relacionada con el fractal construido.
Los estudiantes necesitan
un tiempo de debate
prolongado con el grupo
y con la clase en su
conjunto para lograr
construir la función
iterativa.
Clase 2 -Se incorpora al medio de estudio Internet.
Se buscó allí información referida a la
clasificación de fractales.
-Se retoman los tipos de fractales
previamente estudiados: matemáticos y
naturales.
-Se caracterizan los fractales matemáticos
y en particular los lineales y no lineales.
- Se introducen nuevas preguntas derivadas
de la Q1,3: ¿qué tipos de fractales se
pueden construir? y en particular,
preguntas sobre el Conjunto de Julia y el
Conjunto de Mandelbrot, por ejemploQ
La profesora introduce la cuestión Q0, 9:
¿Qué tipo de fractales se pueden
construir?
Los estudiantes investigan sobre las
características de los fractales lineales y no
lineales e introducen nuevas cuestiones
derivadas.Los estudiantes seleccionan de
la información encontrada aquella
relevante a exponer al grupo- clase. La
profesora gestiona las intervenciones para
sistematizar la información en el pizarrón.
De la información de
fractales no lineales
surgen muchas preguntas
cuya respuesta requiere
una extensión del tiempo
reloj.
103
0,9,1: ¿qué es el Conjunto de Mandelbrot? ,
Q 0,9,2: ¿qué es el Conjunto de Julia?,Q 0,9,3:
¿qué es una iteración compleja?
Clase 3 -Se desarrollaron las características del
Conjunto de Mandelbrot, su representación
y la función iterativa que lo genera a partir
de la incorporación al medio de estudio de
toda la información obtenida en Internet y
la selección de lo que resultaría ser
relevante.
Son los propios estudiantes los que buscan
la información y los que seleccionan
aquella que consideran relevante para la
construcción de la respuesta a Q 0,9,1: ¿qué
es el Conjunto de Mandelbrot?
Al realizar la difusión de la información
obtenida, los estudiantes solicitan construir
entre todos una respuesta a la pregunta
anterior. La profesora propone continuar
con esto entonces la clase siguiente.
El profesor interviene en esta clase para
registrar la información en común en el
pizarrón y para gestionar las difusiones de
respuesta. Es decir, el profesor adopta un
lugar asociado a la de un profesor director
del proceso de estudio.
Los tiempos reloj
limitaron el desarrollo de
las respuestas disponibles
que los estudiantes
introdujeron en el medio
cuando buscaron en
Internet.
Clase 4 -La profesora introdujo al medio una
segunda actividad a partir de la cual se
construyeron términos de la función
iterativa que representa el Conjunto de
Mandelbrot, relacionándose los resultados
con las OMP9: Sucesiones , OMP7:
Números complejos y OMP5: Procesos
iterativos
-La profesora introduce una actividad para
abordar la cuestión Q 0,9,3: ¿qué es una
iteración compleja? Los estudiantes
resuelven y extraen conclusiones de los
resultados. Luego los relacionan con el
Conjunto de Mandelbrot.
-Los estudiantes plantean la necesidad de
utilizar programas de cálculo.
La complejidad y
extensión de los cálculos
requirieron un mayor
tiempo reloj que el
previsto.
104
- Se cuestiona la complejidad de los
cálculos y surge entonces la necesidad de
incorporar al medio de estudio el uso de
programas de cálculo.
Clase 5 - La clase se centró en explorar la gráfica
del Conjunto de Mandelbrot a partir del
software. Las conclusiones obtenidas a
partir de esta exploración permitirían el
reencuentro con OM por ejemplo: OMP11:
Cálculo y representaciones
computacionales OMP1: Autosimilitud;
OMP3: Área de superficies planas y OMP4:
Perímetro de superficies planas.
- Se obtuvieron respuestas parciales sobre
las diferencias entre el Conjunto de
Mandelbrot y los fractales geométricos.
-Se exploró parcialmente las gráficas de
los Conjuntos de Julia con la función
aleatoria del programa.
-La profesora decidió incorporar a partir
de la solicitud de los estudiantes, un
programa de computación como ayuda al
estudio fractales.
-Pocos estudiantes pudieron registrar en su
carpeta las características observadas en la
gráfica del Conjunto de Mandelbrot, por lo
que la profesora gestionó las discusiones
que se fueron generando en torno a ellas.
La incorporación del
software y la exploración
de los Conjuntos de Julia
requirió una prolongación
del tiempo reloj.
Clase 6 - Se utilizó el software para generar
fractales del tipo Julia y para describir las
características de las gráficas de los
Conjuntos de Julia obtenidas.
-Se desarrolló cómo se construye y
caracteriza un fractal a elección,
retomando la pregunta inicial Q0:¿cómo
construir un fractal?
La profesora introdujo la pregunta Q 0,9,2:
¿qué son los Conjuntos de Julias?, a través
de una actividad.
Los estudiantes exploraron y
caracterizaron diferentes Conjuntos de
Julia.
-Los estudiantes desarrollaron las
características y el proceso de construcción
Esta clase correspondió a la
última del ciclo escolar, por
lo tanto, se limitó la
continuidad de la AEI.
105
de un fractal a elección.
106
Partiendo de la cuestión inicial se pretendían abordar el estudio de un conjunto de OMtales
como: OMP1: Autosimilitud, OMP2: Dimensión fractal, OMP3: Área de superficies planas,
OMP4: Perímetro de superficies planas, OMP5: Procesos iterativos,OMP6: Semejanza,
OMP7: Números complejos, OMP9: Sucesiones, OMP11: Cálculo y representaciones
computacionales, OMP12: Ecuaciones exponenciales, OMP14: Transformaciones y OMP15:
Matrices.
En el siguiente esquema se colocan los tipos de tarea que se pueden abordar de las
organizaciones matemáticas puntuales, destacando en azul las que efectivamente se
estudiaron y en rojo las que no.
107
Capítulo VI
Conclusiones
108
En este trabajo de tesis, se construyó un MPR cuya pregunta generatriz es ¿Cómo se
puede construir un fractal? Se diseñó una AEI para el estudio de fractales teóricos, y se
describió la implementación de la misma durante seis clases, en un curso compuesto por
trece estudiantes correspondiente al último año de la escuela secundaria, habituados al
estudio de la matemática de manera tradicional.
Las organizaciones matemáticas posibles de construir o reconstruir para dar
respuesta a la pregunta ―¿Cómo se puede construir un fractal?‖ y sus derivadas permitió la
construcción del MPR, que resulta ser una herramienta valiosa para establecer posibles
recorridos de estudio, que incluyen preguntas, obras matemáticas y tareas relacionada a la
OML fractales.
El MPR constituyó la base para el diseño particular de la AEI a partir de una de sus
preguntas derivadas ¿Cómo construir un fractal teórico? El diseño de la AEI fue realizada a
partir no sólo del MPR sino también, a partir de las necesidades que emergieron del proceso
de estudio. El objetivo de la AEI fue hacer encontrar o reencontrar a los estudiantes con
conceptos que supone el estudio de fractales teóricos, como la autosimilitud, funciones
iterativas complejas o su representación, y las obras asociadas a ellos. Surgió la necesidad
de introducir al medio de estudio el uso de software como una herramienta indispensable
para representar fractales y para obtener caracterizaciones de casos particulares de ellos.
En cuanto a la implementación de la AEI y a las características de las actividades
que la conforman, se logró construir un medio de estudio a partir no sólo de las actividades
propuestas por el profesor sino también a partir de la diversidad de preguntas introducidas
por los estudiantes y la incorporación del software. Los avances conseguidos en este
sentido fueron muy importantes, sobre todo teniendo en cuenta que los estudiantes
contaban solo con una computadora, la cual utilizaba toda la institución, y que no hay
internet en la zona. Los estudiantes estaban habituados a que siempre el profesor es quien
incorporaba y ofrecía la información en las clases. La implementación de la AEI en cambio
permitió una apertura en el topos de los estudiantes, quienes participaron en la construcción
del medio introduciendo nuevas preguntas, aportando las obras y respuestas pre-construidas
109
que encontraban en sus búsquedas en Internet, etc. Además fue posible que el profesor
asuma su lugar de director del proceso de estudio dando lugar a los estudiantes e
introduciendo al medio la formulación de las actividades cuando era necesario.
El proceso de estudio llevado a cabo a partir de la implementación de la AEI resultó
caracterizado principalmente por la formulación de preguntas por parte de los estudiantes,
por las búsquedas en Internet y por el uso del software. Fue notable el compromiso
asumido por parte de los estudiantes durante esta forma de concretar el proceso de estudio,
a pesar de la resistencia inicial en asumir de forma autónoma la resolución de las cuestiones
problemáticas.
En la primera clase, se acordó con el grupo que las preguntas a abordar en la AEI - y
las nuevas que se introduzcan al medio durante el proceso de estudio-, serían:
Q0,2:¿Los fractales tienen una fórmula matemática?
Q0,4:¿De qué manera construimos un fractal?
Q0,7:¿Cuáles son los pasos a construirlo?
Q0, 9,1: ¿Qué diferencia hay entre fractales naturales y matemáticos?
Q0,9: ¿Qué tipos de fractales existen?
Q0,10:¿Qué conocimientos tenemos que tener para construir un fractal?
Esta lista de preguntas se intentaron responder a lo largo de la AEI, y de ellas surgieron
nuevas preguntas. Por ejemplo, al intentar responder qué tipos de fractales existen, se
derivó Q 0, 9,1: ¿qué es el Conjunto de Mandelbrot?, Q 0, 9,2: ¿qué es el Conjunto de
Julia?,Q0,9,3: ¿qué es una iteración compleja?
A partir de las preguntas planteadas, las respuestas y los media disponibles–
Internet, el software EXPLORADOR FF 5.1 y la carpeta de los estudiantes- se fue
construyendo el medio de estudio. Aunque ciertas OMP no se desarrollaron como se
esperaba, por ejemplo la OMP3: Área de superficies planas y OMP4: Perímetro de
superficies planas, fue posible un reencuentro a partir de la formulación de preguntas.
110
En cuanto al nivel de la topogénesis y aunque fue necesaria la intervención de la
profesora para orientar el estudio y para formular las actividades, fue posible generar una
amplitud del topos de los estudiantes especialmente por la formulación de preguntas y por
la búsqueda de información.
Una enseñanza de este tipo resulta innovadora no sólo para los estudiantes sino
también para el profesor, ya que requiere también un cambio en su topos. Un profesor que,
en general, está habituado a posicionarse en un lugar que le ha asignado el modelo
tradicional de enseñanza, debe correrse para ocupar el lugar de un orientador del proceso de
estudio. Los estudiantes demandaron en algunos momentos un acuerdo compartido por toda
la clase. Por ejemplo, reclamaron la definición ―común‖ para el Conjunto de Mandelbrot.
Aún con ciertas limitaciones, la experiencia significó un avance importante en
cuanto al papel que los actores del proceso de enseñanza y aprendizaje. En esta experiencia
el topos del profesor se caracterizó con acciones tales como: diseñar las actividades que se
propusieron en las clases según las necesidades de cada una; gestionar las discusiones
originadas en las clases a partir de la información encontrada por cada grupo de estudiantes
con el fin de construir respuestas y decidir qué preguntas incorporar en su medio de estudio.
El topos del estudiante, por su parte, incorporó gestos tales como formular preguntas,
introducir en el medio la información que consideraba útil para la elaboración de
respuestas, explorar en conjunto con el profesor el software, etc.
Las modificaciones en el medio de estudio y en el topos tanto de los estudiantes
como del profesor conducen a una dilatación del tiempo reloj. La implementación de esta
AEI requirió más tiempo reloj que en una enseñanza tradicional porque los estudiantes no
se limitaron a resolver una serie de ejercicios sino que realizaron las acciones antes
mencionadas. Estos cambios a nivel de la cronogénesis no permitieron el desarrollo de
encuentros con otras OMP tales como OMP6: Semejanza, OMP2: Dimensión fractal, OMP3:
Área de superficies planas, OMP4: Perímetro de superficies planas, OMP12: Ecuaciones
exponenciales, OMP14: Transformaciones y OMP15: Matrices. Chevallard (2009) dice al
respecto que la cronogénesis distingue fuertemente este tipo de dispositivos respecto a los
utilizados frecuentemente en la escuela: la construcción y trabajo del medio M demandan
una dilatación del tiempo didáctico, es decir, una extensión del tiempo reloj requerido.
111
El profesor debe aprender a asumir las ideas que involucra este nuevo tipo de
trabajo, enfrentando muchas veces sus propias concepciones, construidas a los largo de toda
su escolaridad, signada fuertemente por el paradigma de la monumentalización de los
saberes. En este caso la profesora debió aprender a delegar responsabilidades en el proceso
de estudio, a dar lugar a los estudiantes, a generar un clima de confianza donde el
estudiante se anime a equivocarse, a generar respuestas parciales, etc.
En esta propuesta los estudiantes también se enfrentan a sus propias concepciones
sobre lo que implica el estudio de la matemática, construida también a lo largo de su
escolaridad. Los estudiantes lograron buscar y seleccionar información, explorar,
conjeturar, construir respuestas provisorias e introducir nuevas preguntas. Es decir,
lograron asumir un lugar más responsable en su propio proceso de aprendizaje. Esto
implicó resistencias, al estar acostumbrados a otro tipo de enseñanza. Estas resistencias se
fueron superando en la medida que avanzaban las clases, ya que los objetivos y las técnicas
involucradas fueron siendo compartidas por el conjunto de la clase.
Las características antes mencionadas permiten concluir que, a pesar de las
diferentes restricciones fue posible introducir algunos gestos de la PICM. Para continuar
esta investigación, se considera importante volver a implementar esta propuesta con mayor
tiempo en el calendario escolar, de manera que se puedan profundizar y articular mejor las
organizaciones matemáticas. A su vez, favorecer que los estudiantes asuman un mayor
protagonismo en la construcción del medio, lo que permitiría aprovechar mejor todo el
potencial que tiene la TAD para el estudio con sentido de los saberes que se abordan en la
escuela secundaria.
112
Referencias
113
Referencias
Artigue, M. (1990). Epistemología y didáctica. Recherches en didactique des mathématiques, 10.
Bannon, T. J. (1991). Fractals and Transformations.Mathematics Teacher, 84(3), 178-85.
Barquero (2009) Barquero, B. (2009) Ecología de la Modelización Matemática en la enseñanza
universitaria de las Matemáticas, Tesis Doctoral, Universidad Autónoma de Barcelona.
Barton, R. (1990). Chaos and fractals.The Mathematics Teacher, 524-529.
Benoit Mandelbrot, B. (1982).La Geometría Fractal de la Naturaleza. Recuperado de:
http://www.megaepub.com/autor/benot-mandelbrot.html
Buitrago, A. R., & Delicado, M. J. H. (2004). Actividades de geometría fractal en el aula de
secundaria (I). Suma: Revista sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas, (47), 19-
28.
Buitrago, A. R., & Delicado, M. J. H. (2005). Actividades de geometría fractal en el aula de
secundaria (II). Suma: Revista sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas, (48),
15-21.
Cañadas, M. C., Gallardo, S., Crisostomo, E., Martínez-Santaolalla, M. J., Molina, M., & Peñas, M.
(2005). Uso del Geometricks en Didáctica de la Matemática: triángulo equilátero y
fractales.
Cañibano, M. A., Vazquez, P. S., & Gandini, M. (2011) Ideas para Enseñar. Unión: Revista
iberoamericana de Educación Matemática, (28), 191-196
Chevallard, Y (2001) Aspectos problemáticos de la formación docente. XVI Jornadas del Seminario
Interuniversitario de Investigación en Didáctica de las Matemáticas, Huesca. Recuperado
dehttp://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/article.php3?id_article=15
Chevallard, Y. (1991) La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado.
Argentina:Aique Grupo Editor S. A.
Chevallard, Y. (1992) Concepts fondamentaux de la didactique : Perspectives apportées peu une
approche anthropologique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 12 (1) 73-112.
Chevallard, Y. (1997) Familière el problématique, la figure du professeur. Recherches en
Didactique des Mathématiques, 17 (3), 17-54.
Chevallard, Y. (1999). El análisis de las prácticas docentes en la teoría antropológica de lo
didáctico. Recherches en Didactique des Mathématiques, 19(2), 221-266.
Chevallard, Y. (2000) La recherche en Didactique et la formation des professeurs: problematiques,
concepts, problemes. Actas de la Xème École d'Été de Didactique des Mathématiques, I,
98-112.
114
Chevallard, Y. (2004). Vers une didactique de la codisciplinarité. Notes sur une nouvelle
épistémologie scolaire. Journées de didactique comparée 2004, Ecole normale supérieure de
Lyon, Lyon, Francia. Recuperado de http://yves.chevallard.free.fr/
Chevallard, Y. (2007). Les mathématiques à l‘école : pour une révolution épistémologique et
didactique. Bulletin de l‘APMEP, 471, 439-461. Recuperado de:
http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/article.php3?id_article=110
Chevallard, Y. (2007). Passé et présent de la théorie anthropologique du didactique. En L. Ruiz–
Higueras, A. Estepa y F. J. García (Eds.), Sociedad, escuela y matemáticas. Aportaciones de
la Teoría Antropológica de lo Didáctico (pp. 705-746). Jaén, España: Universidad de Jaén.
Recuperado de http://yves.chevallard.free.fr/
Chevallard, Y. (2009). La notion de PER: problèmes et avancées. Recuperado de:
http://yves.chevallard.free.fr
Chevallard, Y. (2012a). Teaching mathematics in tomorrow‘s society: A case for an oncoming
counterparadigm. Texte préparatoire à la regular lecture qui sera donnée dans le cadre du
congrès ICME-12 (Séoul, 8-15 juillet 2012). Recuperado de:
http://www.icme12.org/upload/submission/1985_F.pdf
Chevallard, Y. (2012b). Théorie Anthropologique du Didactique & Ingénierie Didactique du
Développement. Journal du seminaire TAD/IDD. Recuperado de:
http://www.aixmrs.iufm.fr/formations/filieres/mat/data/fdf/20112012/journal-tad-idd-2011-
2012-7.pdf
Chevallard, Y. (2013a). Journal du Seminaire TAD/IDD. Théorie Anthropologique du Didactique
& Ingénierie Didactique du Développement. ‗Universtité d‘Aix-Marseille, Aix-en-Provence
y Marsella, Francia. Recuperado de:
http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/journal-tadidd-2012-2013-5.pdf
Chevallard, Y. (2013b). La matemática en la escuela. Por una revolución epistemológica y
didáctica. Ciudad Autónoma de Buenos Aires: Libros del Zorzal.
Chevallard, Y., Bosch, M., & Gascón, J. (2006). Estudiar matemáticas el eslabón perdido entre
enseñanza y aprendizaje.Barcelona: ICE-Horsori.
Cibes, M. (1990). The Sierpinski triangle: Deterministic versus random models. The Mathematics
Teacher, 617-621.
Coes, L. (1993). Building Fractal Models with Manipulatives.MathematicsTeacher, 86(8), 646-51.
Comas Roqueta, J., & Herrera Ponz, M. J. (2010). Cálculo de la dimensión fractal del contorno de
una ciudad como trabajo de investigación en secundaria. Suma: Revista sobre Enseñanza y
Aprendizaje de las Matemáticas, (65), 23-32.
115
Costa, V. A., Arlego, M. y Otero, M. R. (2014). Enseñanza del Cálculo Vectorial en la Universidad:
propuesta de Recorridos de Estudio e Investigación. REFIEDU. Revista de Formación e
Innovación Educativa Universitaria, 7 (1), 20-
40.http://webs.uvigo.es/refiedu/Refiedu/Vol7_1/REFIEDU_7_1_3.pdf
Dewdney, A. K. (1991). ExploringFractals.ScienceProbe, 1(4), 49.
Dıaz, G. A., & Pedraza, S. M. S. Presentación del proyecto: Una introducción a la geometría fractal
a nivel universitario. (2006)
Donvito A.; Sureda, P; Otero M. R, (2013b). REI Bidisciplinar en Tres Escuelas Secundarias. En La
Teoría Antropológica de lo Didáctico en el aula de matemática. Otero, M. R.; Fanaro, M.
A.; Córica, A. R.; Llanos, V. C.; Sureda, P.; Parra, V. (2013). Buenos Aires: Editorial
Dunken.
Donvito, A (2013) Implementación y análisis de un REI en torno a los planes de ahorro, en tres
instituciones. Tesis para la Licenciatura en Educación Matemática. UNCPBA.
Donvito, A.; Sureda, P.; Otero, M. R. (2013a). Description of attitudes belonging to the Research
Pedagogy and the World Questioning in high school.International Journal of Education and
Research. 10 (1), 1-10. Recuperado el 03 de junio de 2014,
de:http://www.ijern.com/journal/October-2013/46.pdf
Egnatoff, W. J. (1991). Fractal Explorations in Secondary Mathematics, Science, and Computer
Science.Journal of computers in mathematics and science teaching, 10(2), 21-42.
Eliecer, V. F. J. (2009). Construcción de fractales clásicos. Propuesta Didáctica.
EsbenshadeJr, D. H. (1991). Fractal Bread.PhysicsTeacher, 29(4), 236.
Figueiras, L., Molero, M., Salvador, A., y Zuasti, N. (2000). Una propuesta metodológica para la
enseñanza de la Geometría a través de los fractales. Suma, 35, 45-54.
Fonseca, C.; Pereira, A.; Casas, J. M. (2011) Los REI en la creación de secuencias de enseñanza y
aprendizaje. En Bosch, M., Gascón, J., Ruiz Olarría, A., Artaud, M., Bronner, A.,
Chevallard, Y., Cirade, G., Ladage, C. & Larguier, M. (Eds.), Un panorama de la TAD (pp.
671-684) III Congreso Internacional sobre la TAD (Sant Hilari Sacalm, 25-29 enero 2010)
Eje 3. Teoría y práctica de las AEI y los REI. CRM Documents, vol. 10, Centre de Recerca
Matemàtica, Bellaterra (Barcelona). Recuperado
de http://www.crm.cat/Conferences/0910/cdidactic/cdidactic.pdf
García, F.; Bosch, M.; Gascón, J.; Ruiz Higueras, L. (2005). Integración de la proporcionalidad
escolar en una Organización Matemática Regional en torno a la Modelización funcional: los
planes de ahorro. Obtenido del sitio web del I Congreso Internacional sobre la Teoría
116
Antropológica de lo Didáctico (I CITAD). Recuperado
de:http://www4.ujaen.es/~aestepa/TAD/Comunicaciones/Garcia_Bosch_Gascon_Ruiz.pdf
Gazzola, M P; Otero, M R; Llanos, V C y Arlego, M (2015) Enseñanza codisciplinar en Física y
Matemática en la Escuela Secundaria por medio de Recorridos de Estudio y de
Investigación. Revista Enseñanza de la Física. Número Especial.
Gazzola, M. P.; Llanos V. C.; Otero, M. R. (2011). Funciones Racionales en la secundaria: primeros
resultados de una actividad de estudio e investigación (AEI). Actas del I Congreso
Internacional de Enseñanza de las Ciencias y la Matemática (I CIECyM) y del II Encuentro
Nacional de Enseñanza de la Matemática (II ENEM). NIECyT, Facultad de Ciencias
Exactas. UNCPBA. pp. 494-500. Recuperado
de: http://iciecymiienem.sites.exa.unicen.edu.ar/actas
Hanna, G. y Harrison, P (1993) Fractals in the Secondary School Curriculum, en J de Lange et Al.
(Eds) Innovation in maths Education by Modelling and application. p. 103-117. New York
Hausdorff, F., y Brieskorn, E. (2008) FelixHausdorff Obras Completas Tomo III: la teoría de
conjuntos (1927, 1935) Deskripte la teoría de conjuntos y la topología (Vol.
3). SpringerScience y Business Media.
JULIA, G. (1918) Memoria en la iteración de funciones racionales. Matemática Pura y Aplicada
Journal, p. 47-246.
Ko, R. H., y Bean, C. P. (1991). A Simple Experiment That Demonstrates Fractal
Behavior.PhysicsTeacher, 29(2), 78-79.
Krippendorf, K: Metodología de análisis de contenido. Teoría y práctica, Barcelona, Piados, 1.990.
Llanos, V. C.; Bilbao, M. P.; Otero, M. R. (2011) Implementación de una AEI relativa al campo
conceptual de las funciones polinómicas en la escuela secundaria: perspectiva didáctica y
cognitiva. Actas del I Congreso Internacional de Enseñanza de las Ciencias y la
Matemática (I CIECyM) y II Encuentro Nacional de Enseñanza de la Matemática (II
ENEM). NIECyT, Facultad de Ciencias Exactas, UNCPBA. Tandil, del 8 al 11 de
Noviembre de 2011. pp. 486-492. Recuperado
de http://iciecymiienem.sites.exa.unicen.edu.ar/actas
Llanos, V. C.; Otero, M. R.; Bilbao, M. P. (2011). Funciones Polinómicas en la Secundaria:
primeros resultados de una Actividad de Estudio y de Investigación (AEI). Revista
Electrónica de Investigación en Educación en Ciencias. 6 (1), pp. 102-112. Argentina.
Recuperado de http://www.exa.unicen.edu.ar/reiec/
Llanos, V. C; Otero, M. R. (2011). Evolución de una AEI como producto de investigación al cabo
de seis implementaciones consecutivas. Actas del I Congreso Internacional de Enseñanza
117
de las Ciencias y la Matemática (I CIECyM) y del II Encuentro Nacional de Enseñanza de
la Matemática (II ENEM). NIECyT, Facultad de Ciencias Exactas. UNCPBA. pp. 501-508.
ISBN 978-950-658-284-5. Recuperado
de: http://iciecymiienem.sites.exa.unicen.edu.ar/actas
Margolinas, C. (2010).La investigación en la enseñanza de las matemáticas y francés: más allá de
las diferencias. Práctica. Lingüística, literatura,enseñanza, (145-146), 26-32.
Moreno-Marín, J. C. (2002). Experiencia didáctica en Matemáticas: construir y estudiar fractales.
IDEAS Y RECURSOS, 91.
Moreno-Marín, J. C. (2003). El juego del caos en la calculadora gráfica: construcción de fractales.
IDEAS Y RECURSOS, 69.
Moreno-Marín, J. C. (2003). Triángulos y tetraedros fractales. Suma: Revista sobre Enseñanza y
Aprendizaje de las Matemáticas, (44), 13-24
Otero M. R.; Llanos, V. C.; Gazzola, M. P. (2012). La pedagogía de la investigación en la escuela
secundaria y la implementación de Recorridos de Estudio e Investigación en matemática.
Revista Ciencia Escolar: enseñanza y modelización, 1 (2), pp. 31-42. Recuperado de:
http://www.revistacienciaescolar.cl/revista.html
Otero, M. R. (2013). La Teoría Antropológica de lo Didáctico. En MR Otero; M. Fanaro; AR
Corica; VC Llanos; P. Sureda; V. Parra (2013). La Teoría Antropológica de lo Didáctico en
el Aula de Matemática, 15-28.
Otero, M. R.; Llanos, V. C. (2011). Enseñanza por REI en la Escuela Secundaria: desafíos,
incertidumbres y pequeños logros al cabo de seis implementaciones. Actas del I Congreso
Internacional de Enseñanza de las Ciencias y la Matemática (I CIECyM) y del II Encuentro
Nacional de Enseñanza de la Matemática (II ENEM). NIECyT, Facultad de Ciencias
Exactas. UNCPBA. pp. 15-23. Recuperado
de http://iciecymiienem.sites.exa.unicen.edu.ar/actas
Parra V., Otero M. R., Fanaro M. A. (2013) Recorridos de Estudio e Investigación co-disciplinares
a la Microeconomía.Revista Números. 82, 17-35. Recuperado el 03 de junio de 2013,
de: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/82/Articulo s_02.pdf
Parra, V., Otero, M. R. & Fanaro, M. (2015). Recorrido de estudio e investigación codisciplinar a la
microeconomía en el último año del nivel secundario. Preguntas generatrices y derivadas.
Uno. Revista deDidáctica de la Matemáticas, 69, 1-10.
Ruiz, N.; Bosch, M.; Gascón, J. (2007). La modelización funcional con parámetros en un taller de
matemáticas con Wiris. En Ruiz-Higueras L.; Estepa A.; García F. J. (eds.) Sociedad,
118
Escuela y Matemáticas. Aportaciones de la Teoría Antropológica de lo Didáctico
(TAD). Universidad de Jaen.
Reinstein, D. Sally, P. and Camp, D, (1997, January), Generating Fractals Through Self
Replication, Mathematics Teacher, 90 (1) 34-36.
Ruíz-Higueras, L.; García, F. J. (2011). Análisis de praxeologías didácticas en la gestión de
procesos de modelización matemática en la escuela infantil. Revista Latinoamericana de
Investigación en Matemática Educativa (RELIME), 14 (1), pp. 41-70.
Serrano, L; Bosch, M; Gascón, J; (2013). Análisis ecológico de la modelización matemática en
economía y propuesta didáctica. 4e congrès international sur la théorie anthropologique du
didactique (4e CITAD). Toulouse, Francia.
Simmt, E., & Davis, B. (1998). Fractal cards: A space for exploration in geometry and discrete
mathematics. The Mathematics Teacher, 91(2), 102.
Valdes, J. E. N., & Parra, L. L. P. (2015).Fractales a nuestro alrededor. VIDYA, 32(1), 16.
Von Koch, H. (1904). En una curva continua sin una tangente obtenida por una construcción
geométrica elemental. Arkivför Matematik, 1, 681-704.
119
Anexo 1: Transcripción de Audios
Transcripción de la grabación de la clase 1
Turnos de
habla
Profesora Estudiantes
1. Profesora:- Vamos a continuar con este tema, falta todavía por ver… me gustaría que
vayan al primer día. Cierren las computadoras, no hace falta que las apaguen, luego
vamos a seguir trabajando con ellas.
Me gustaría que vayan al primer día, a las preguntas que habían hecho. Recuerdan que
esas nos iban a guiar de cómo seguir la investigación.
Las tengo acá anotadas… ¿tienen la primer clase?
2. E: si
3.
P:-Bueno, entre todas las preguntas que habían hecho, me pareció que deberíamos
acordar con ustedes, si se habían contestado o no. Por ejemplo:
-¿Los fractales tienen una fórmula matemática?
[Profesora anota en el pizarrón, los estudiantes buscan]
P:- Igual ustedes en el resumen habrán puesto lo que les parecía que habíamos
avanzado o no, porque es un tema bastante extenso y cuando ustedes mas vayan
indagando mas se va a ir abriendo.
Después otra que vi que habían anotado era: ¿De qué manera construimos un fractal?
Otra: ¿Cuáles son los pasos para construirlo?, ¿Qué diferencia hay entre los fractales
naturales y los matemáticos?, ¿Qué tipos de fractales existen?... ¿Algunas de estas ya
las fuimos contestando?, por ejemplo ¿Qué tipos de fractales existen?...
[Profesora anota en el pizarrón]
4. […silencio…]
5. P: ¿Qué fractales estuvieron viendo? aunque no se acuerden el nombre específico.
6. E1: -los geométricos, el de Sierpinsky…
7. P: ¿y de los naturales?
8. Estudiantes: las nubes, la costa….
9. P: Después teníamos otra pregunta: ¿qué conocimientos tenemos que tener para
construir un fractal? También era otra pregunta, entre otras…
Yo me detuve en esta, ¿tiene una fórmula matemática, un fractal?
120
10. E4:- si
11. P:- ¿Cuál?
12. […Silencio…risas…]
13. P:- Me gustaría que a continuación copien estas preguntas, aunque ya las tengan de
antes.
14. […estudiantes copian…]
15. P:- Continuemos repasando un poco las preguntas de la primer clases….quiero saber si
está contestado, si a ustedes les parece que falta o no… ¿les parece qué ya vimos todos
los tipos de fractales que existen?
16. E:- No
E:- algunos eran el triángulo o los naturales…
17. P:- … ¿De qué manera construimos un fractal?
18. […estudiantes comentan entre ellos y copian las
preguntas…]
19. P:- Por ejemplo, ¿Sabemos certeramente cuál es la diferencia entre fractales naturales
y matemáticos?...
20. […silencio…]
21. P: ¿qué se les ocurre?
22. E2: - los naturales parecen ser infinitos pero son
finitos, en cambio los fractales matemáticos son
infinitos, no se sabe cuándo van a terminar
23. P:- ¿a qué te referís con finitos o infinitos?
24. E3:- cuando hicimos el triángulo cada vez se iban
haciendo más triángulos chicos y los naturales no
era exactos
25. P:- o sea, por ejemplo un fractal natural, cuál era…
26. Estudiantes: montañas, nubes, mar…
27. P:- ¿entienden lo que dicen las chicas? [refiriéndose a E2 y E3]
28. E:si
29. P:- es muy interesante, es una diferencia …. Lo podemos seguir trabajando, es una
primera idea que está muy buena. Me gustaría que entonces contesten debajo de la
pregunta y escriban con sus palabras esa idea…¿necesitan que E2 lo explique de
nuevo?
30. Estudiantes:- si
31. E2:- Los fractales naturales parecen tener una
121
apariencia infinita pero son finitos, en cambio los
matemáticos tienden a ser infinita porque vos al
hacer, como vimos en los casos del copo de nieve o
del triangulo de sierpinsky, siempre vas a ir a una
escala más infinita y tiende al infinito y el número
se va a elevar mas y vos no sabes cuándo va a
terminar.
32. P: - o sea, por ejemplo, lo que decías del copo de nieve que íbamos haciendo las
estrellitas o puntas y acá estamos como trabados por el tamaño de la tiza, pero
podríamos haber seguido haciendo puntas…
¿Y de los naturales qué decías?
33. E2:- las nubes parecen que la forma tienden a
infinito pero no, la nube tiene un límite.
34. P:- bueno, escriban con sus palabras esta idea, aunque ocupe un renglón, ustedes
después lo van a ir completando.
35. […estudiantes escriben en sus carpetas…]
36. P:- Respecto a las que todavía no tenemos cómo contestar; como la de si ¿un fractal
tienen una fórmula matemática?, ¿continuamos con esta pregunta?.
Vieron que la última clase estuvimos trabajando con el triángulo de Sierpinsky, yo les
traje una actividad donde podemos seguir trabajando con esto y descubriendo para ir
respondiendo a estas preguntas que se hicieron inicialmente.
Se las doy y les pido que la peguen en la carpeta porque va a ser parte de su trabajo.
Pueden hacerla grupalmente, pero ya saben que las respuestas deben estar en cada una
de sus hojas porque me las voy a llevar.
37. […estudiantes hablan entre ellos mientras leen la
consigna…]
38. P: chicos lo que me dice E4 recién, es interesante… [Profesora dirigiéndose a E4]¿Para
qué pregunta me dijiste esto?
39. E4: ¿de qué manera podemos construir un fractal?
40. P: lo que me dice él es que un fractal es como que sigue su forma, [dirigiéndose E4]
¿pero se achica qué…?
41. E5: el tamaño…pero sigue manteniendo su forma
42. E7: Se va dividiendo en varias partes
43. P: claro, ¿o sea qué es lo que se va achicando en realidad?, ¿cómo?, ¿se va dividiendo
en varias partes y a su vez mantiene la forma?
44. E4: Claro
45. P: -¿es algo que vimos en todos los fractales que fuimos viendo?
122
46. E:si
47. P: -bueno, pongan un uno, o asterisco abajo de la pregunta de qué manera podemos
construir un fractal, y escriban esa idea
48. E2:- La dimensión es infinita, pero el área siempre
va a ser finita, ¿o no? Porque la forma se va a
mantener
49. P: - [repite lo que la alumna dice para comprenderlo en voz alta]¿la dimensión va a ser
infinita…?
50. E2:- claro, que va a ir creciendo
51. P:- ¿la dimensión?
52. […Varios alumnos dialogan…]
53. E3: no, se mantiene la misma dimensión que la del
cuadrado original
54. E4: no, aumenta la dimensión
55. P:- cuando decís dimensión… ¿hablas de tamaño?
56. E2:- no, hablo del tema que vimos de que se iba
haciendo cada vez más chico….
57. P:- Bueno, anoten la idea en su carpeta y después la van completando
P:- [lee la consigna en voz alta] en el uno dice, de la siguiente secuencia resulta el
conocido triángulo de Sierpinsky, observa y dibuja el término siguiente.
58. [Los estudiantes intentan decir ―Sierpinsky‖
entonces la profesora repite la palabra Sierpinsky
con los estudiantes, hasta que ellos pueden
nombrarlo correctamente]
59.
[La profesora aclara que pueden dibujarlo ahí o en la carpeta de forma más grande, pero
que quede prolijo. Continua leyendo la consigna]
P: - b:-Completar la tabla
[Recomienda leer bien las columnas que tienen y completen.]
[Continúa con la consigna]
P: -c:- Describe el proceso de construcción
[Luego explica]
P:- Tienen que escribir cómo fue que lo armaron, porque uno puede hacer el dibujo
pero toda la idea de cómo lo pensó es importe también. También deben explicar cómo
arribaron a los resultados de la tabla. Bueno, se los dejo para pensar y después
hacemos la puesta en común.
Puesta en común:
123
60. P:- Bueno, ¿quién pasa a dibujar el término siguiente?
61. E6:- yo yoyo[recibe directivas de su compañera de
banco mientras dibuja en el pizarrón].
62. P:- ¿a alguien le quedó diferente?
63. E:- no, más o menos…
64. P:- ¿Estamos todos de acuerdo que esta es la iteración tres?
65. E:- si
66. P:- Y ¿cómo describirían la construcción? ¿Alguien quiere decir?, E8, ¿cómo lo
hiciste?
67. E8:- bueno, que a cada triángulo grande se le va
dibujando triángulos
68. E2[interrumpiendo]: -Del primer triángulo que
empezamos dibujando equilátero, obtenemos tres
lados iguales. Entonces a esos lados los dividimos
en dos y nos quedarían dos segmentos, y después de
los dos segmentos que obtenemos de cada lado, los
unimos y al medio nos queda un nuevo triangulo
equilátero y a ese no lo pintamos…
69. E7:- lo mismo pero diferente
[Risas]
70. P:-[repite ambas propuestas de explicación, y propone continuar con el siguiente inciso].
En el b dice, completa la tabla. ¿Alguien quiere pasar?
71. E3:- ¿A completar la tabla?, Yo paso
72. P:- ¿Qué entienden por iteración? ¿Había aparecido esa palabra antes?
73. E3: -Si, iteración si
74. E9:-es la siguiente figura…
75. E2:- es una sucesión, que se va siguiendo…
76. [… silencio en los alumnos…]
77.
P:- ¿están seguros de eso?, Estaría bueno anotarlo si no están muy seguros, para
después buscarlo. ¿Y por qué dice iteración y no sucesión?
78. E7:- Si si, mejor
79. [E6 Comienza a completa la tabla en el pizarrón]
80. P:- ¿Quién continúa completando?
81. [Grabación confusa: se generan discusiones entre
los esudiantes porque arribaron a resultados
124
diferentes. Van llegando a acuerdos]
82. [Grabación confusa:La profesora comienza a leer la tabla y preguntando si alguien puso
algo diferente y cómo fueron arribando a los resultados].
83. [Grabación confusa: Los estudiantes explican. Se
genera un conflicto porque hay diferentes resultados
en el último cuadro, se escriben todas las propuestas
y pide que se expliquen. Los estudiantes no logran
usar una letra para generalizar y así hallar la
expresión de la función iterativa.]
84. [La Profesora relee el cuadro y los resultados a los que ellos arribaron. Continúa el
debate]
85. [La profesora comienza leyendo las primeras 4 filas que los estudiantes habían pasado a
completar]
Observando esto:
f(1)=f(0).3;
f(2)=f(1).3;
f(3)=f(2).3,
Entonces, ¿a qué va a ser igual f(n)?
(…silencio…)
[Profesora vuelve a repetir lo mismo]
86. E:- ¿A la suma de todo?
87. ¿a n como la suma de todo esto? ¿Por qué? ¿n representa cualquier número, no? es lo
que dijeron recién, y acá dice comparando con la iteración anterior… [los estudiantes
asienten]
(…silencio…)
[Profesora vuelve a leer lo que está en el cuadro]
88. E6:- al anterior
89. ¿Y cómo escribo eso?
90. E2:-f(n) va a ser igual a f(n).3, porque no se sabe
qué número sigue
91. [la profesora escribe f(n)=f(n).3 y señala al segundo término f(n)] ¿Pero éste no debería
ser el anterior?
92. E2:- si
93. ¿Y cómo escribo el anterior?
94. E7:-“x”
125
95. ¿Cuál es el anterior a 3?
96. E:- 2
97. ¿Y el anterior a 2?
98. E:- 1
99. ¿Cómo estamos encontrando el anterior?
100. E:- restando 1
101. E2:- ah, entonces sería n-1
102. (Profesora escribe en el pizarrón la expresión)
[la profesora asiente y escribe la fórmula a la que abordaron, f(n)= f(n-1).3] Pareciera
que hubiésemos encontrado una fórmula que dependiendo de la iteración me dice
cuánto triangulitos blancos tengo.
103. E:- claro
E3:- Entonces volviendo al segundo cuadro, ahí no
iría 81, ¿no?
104. Claro, igual no borren, pongan no es correcto porque… y expliquen
105. [Los estudiantes dialogan entre ellos mientras
anotan]
106. P:- Recuerden buscar qué es iteración, porque no sé si quedó claro esto, y anotar todas
las preguntas que tengan.
La próxima clase seguimos contestando las preguntas, porque ya estamos en recreo.
Transcripción de la grabación de la clase 2
Puesta en común
Turnos de
habla
Profesora Estudiantes
1. Profesora: vamos a hacer la puesta en común hasta lo que tengamos… ¿qué grupo
empieza?, ¿Querés empezar a leer? [profesora dirigiéndose a E1]
2. [silencio…]
3. Chicos, la pregunta que tenían que investigar, ¿Cuál era?
4. E1:- ¿Qué tipos de fractales matemáticos existen?
126
5. P: Escuchamos si alguien tiene algo parecido paramos un cachito y contribuimos con
eso, para no leer todos lo mismo. Después si alguien encontró algo diferente lo vamos
agregando.
6. E2: Encontré que había fractales lineales y no
lineales.
7. P: Bien [anota en el pizarrón la respuesta]
8. E2: Los fractales lineales son aquellos que varían
su escala y son idénticos
9. P: ¿Encontraste un ejemplo de lineales?
10. E2: -Sí, la alfombra de Sierpinski
11. P: [anota en el pizarrón] ¿Encontraste el dibujo?
12. E3:- Sí, ¿puedo pasar a dibujarlo?
13. P: Si, por favor, porque habíamos visto el triángulo de Sierpinski…me intriga.
[Dirigiéndose a E4] ¿Ustedes habían encontrado la alfombra de Sierpinski?
14. E4:- No
15. P:- Porque ellas ponen como ejemplo de lineal, que varia la escala pero son idénticos y
encontraron como ejemplo la alfombra de Sierpinski, y habíamos visto el triángulo.
16. E4: Si, el triángulo de Sierpinski
17. E3: ¿hago paso por paso, o lo hago directamente?
18. P: - Explicá cómo se forma la alfombra
19. E3: [Dibuja y luego explica] Se empieza de un solo
cuadrado, y se le va agregando uno en el medio.
Luego se le va agregando otro cuadrado en cada
una de las esquinas, quedando 8 cuadrados. Y a
estos cuadrados se le van agregando otros ocho
alrededor. O sea que hay ocho y para cada uno de
esos hay otros ocho… y así…
20. P: ¿dónde buscaste la explicación sobre la construcción? ¿O lo dedujiste observando el
dibujo?
21. E3: [se fija en sus apuntes… duda]
22. P: [Se dirige al grupo-clase] ¿se entiende cómo es la construcción de la alfombra?
23. E5: Sí profesora.
24. E4: Sí, es fácil.
25. P: [Se dirige a E6, que había puesto expresión de duda]: ¿Hay algo que no te convence?
26. E6: No, porque está mal el dibujo
E5: Vos estás mal [dirigiéndose a E6]
27. P: [dirigiéndose a E6]: ¿Y vos cómo harías el dibujo?
127
28. E6: [duda…]
29. P: Este cuadrado… [Señalando el pizarrón] ¿Cómo llegó acá?
30. E3: [busca la explicación de la construcción a
pedido del docente]: Profe, no decía cómo se
construye.
[Murmullo en el aula]
31. P: Me gustaría que además de cómo uno visualmente se da cuenta de cómo se
construye, podamos explicar el proceso de construcción. Esto es muy importante. [La
profesora relee lo que había en el pizarrón]. Varía la escala y son idénticos.
[Dirigiéndose a la E2] ¿Querés seguir leyendo?
32. [E2 comienza a leer sobre fractales no lineales,
grabación confusa]
33. P: Es decir, [anota en el pizarrón]…los no lineales son iteraciones cómo [se dirige E2
para que continúe la frase]
34. E2: son estructuras similares…
35. P: Y al principio… ¿qué leíste?
36. E2: Se generan creando distorsiones complejas, no
lineales
37. P: [dirigiéndose al grupo- clase] ¿Esto que leyó… qué significa?
38. […silencio…]
39. P: [dirigiéndose a E2]: ¿dice algo más?
40. E2: [grabación confusa, lee lo que encontró y luego
dice…] o sea, se ve el original pero cuando lo vas
desarrollando más va a haber variaciones
pequeñas… encontré ejemplos de fractales no
lineales como el conjunto de Mandelbrot y el
conjunto de Julia.
41. P: [anota en el pizarrón] ejemplos de no lineales, el conjunto de Mandelbrot y el
conjunto de Julia. [Se dirige al grupo- clase]: ¿Mandelbrot? Esta palabra, ¿les suenan?
42. E10: Sí
43. P: [dirigiéndose al grupo de E8]: ¿qué encontraron sobre esto?
44. E8: Encontramos sobre el conjunto de Mandelbrot
pero hicimos una pregunta sobre eso.
45. P: ¿Qué preguntaron?
128
46. E8: ¿qué es el conjunto de Mandelbrot? [risas en el
grupo clase]
47. P: [tono de broma] Es una buena pregunta. [anota en el pizarrón la pregunta] ¿qué es el
conjunto de Mandelbrot] ¿alguna otra pregunta hicieron?
48. Estudiantes: eh… [silencio]
49. P [dirigiéndose a G1] chicas ¿ustedes hicieron preguntas?... Cuando encontraron el
ejemplo del conjunto de Mandelbrot, ¿comprendieron de qué se trataba?
50. E3: Sí, el término surgió del matemático
BenoitMandelbrot en 1975 y deriva del
latinFractin, que significa quebrado o fracturado,
muchas estructuras naturales son del tipo fractal.
La propiedad matemática de los fractales es que la
dimensión es un número no entero…
51. P [interrumpe y se dirige a la clase]: ¿vieron la dimensión? Es un número no entero, que
es lo que en la última clase ustedes habían arribado. Podemos ir anotando estas
características ¿Cómo dijiste? [anota en el pizarrón]… tienen dimensión no entera.
52. E3: [continúa leyendo el aspecto histórico]
53. P: Esto es más de la historia de cómo surge el conjunto de Mandelbrot.
[dirigiérdose a otro grupo]: ¿ustedes encontraron algo más sobre Mandelbrot o Julia?
54. E3: Sí, de Mandelbrot. Que es autosimilar. [Anota
en el pizarrón]
55. P: ¿Apareció cómo es el conjunto… o algo más?
56. E11: Sí, que está generado por el conjunto de
puntos estables de órbita acotada bajo cierta
transformación iterativa no lineal.
57. P: O sea, otra vez la palabra iterativa. Es decir… ¿se genera por una iteración, no?
58. […silencio…]
59. P [dirigiéndose al grupo-clase]: es lo mismo que encontraron los chicos, que surge de
una iteración compleja.Vamos a tener que seguir buscando sobre esto, ¿qué es una
iteración compleja?[Anota la pregunta en el pizarrón] ¿algo más encontraron?
60. […silencio…]
61. P [volviendo a G3]: ¿encontraron algo más?
62. E8:- Sí, los algoritmos de escape de Mandelbrot
63. P:- ¿de qué...? ¿Algoritmos de…? [risas en el grupo. La profesora anota en el pizarrón]
¿qué es eso del algoritmo de escape?
64. E8: -No sé, no me entiendo la letra, explica cómo se
hace
129
65. P:- A ver, leelo con voz fuerte. [Se dirige a otro grupo] ¿Ustedes encontraron algo de
algoritmo de escape?
66. E3:- No
67. P: -Bueno a ver escuchemos
68. [E8 lee lo que encontró, no sé escucha clara la
grabación] E8:- …. Esto solo puede dibujarse con
ayuda del ordenador.
69. P:- [interrumpe] ¿Con ayuda de qué…?
70. E8: -del ordenador.
71. P:- Eso es importante porque dice “sólo se puede…” [Señala para que E8 continúe la
frase]
72. E8: -que solo puede dibujarse con ayuda del
ordenador
73. P:- [anota en el pizarrón] ¿Por qué dice eso?
74. E8:- no sé…Además dice que una característica de
estructura del fractal Mandelbrot , es la de generar
infinitos conjuntos de fractales ya que por cada uno
de ellos se pueden generar fractales tipo Julia,
modificando la fórmula de Mandelbrot.
75. P:- o sea que Julia es una modificación… ¿cómo dice? Porque ahí hay una relación
entre el conjunto de Julia y el de Mandelbrot.
76. E8: -Que julia es una modificación de la fórmula de
Mandelbrot
77. P [se dirige al grupo- clase]: -¿vieron lo que encontró? Que julia es una modificación de
la fórmula de Mandelbrot[la profesora lo anota en el pizarrón]
78. [Grupo murmura]
79. P:- Bien, un montón de cosas salieron, necesitaría otro pizarrón…[profesora
pregunta la hora, estudiante contesta 11:45]. Sé que encontraron más cosas pero lo
podemos seguir investigando la próxima clase.
80. P:- Sé que encontraron más cosas pero lo podemos seguir investigando la próxima
clase. Para ir cerrando leamos lo que tenemos hasta ahora: tenemos los lineales, como
la alfombra de sierpinsky o el triángulo de sierpinsky, que varía en la escala y son
idénticos. [Pregunta al grupo] ¿Qué otros lineales teníamos?
81. E2:- El conjunto de Cantor
82. P:- Bien… y otros más. [Continúa leyendo el pizarrón] Y los no lineales, todos estos
matemáticos, que se generan con distorsiones complejas, por ejemplo, Mandelbrot,
130
Julia. Julia parece ser una modificación de Mandelbrot. Mandelbrot sólo se pude
dibujar con ayuda de la computadora… ¿alguien encontró el dibujo?
83. E4: -Sí, yo lo encontré.
84. P:- Sólo se puede dibujar con la computadora. Eso es algo que qué nos dice. Si antes no
había computadora, ¿qué pasaba?
85. E- No se podía.
86. P:- Ahí hay algo importante… [Lo deja en suspenso] ¿Qué más me dijeron? [vuelve a
leer el pizarrón] Me dijeron que se genera con una iteración…
87. E2: Si, con esta fórmula [mostrando a la profesora
una fórmula en su carpeta]
88. P:- Bueno, después vamos a verlo. Vieron que iteraciones vimos algo la última clase.
Qué es autosimilar… otra vez aparece el tema de fractales autosimilares. Surgió como
pregunta el conjunto de Julia. Se descubrieron en 1975 los fractales… o sea, hace
poco, sólo 40 años… dimensión decimal [no entera]… algoritmos de escape que había
que buscar algo más. Me gustaría que anoten todo esto así nos vamos guiando un poco
con las ideas de lo que ya tenemos y seguimos la próxima clase. Está muy bueno como
avanzamos en fractales matemáticos, encontramos muchas cosas. Falta todavía.
89. [Los alumnos comienzan a copiar]
90. P:- Si les parece que podemos agregar algo más en esto de lo que buscamos,
agréguenlo y después lo leemos.
Transcripción de la grabación de la clase 3
Turnos de
habla
Profesora Estudiantes
1. P:-La idea es retomar lo que vimos la última clase. ¿Tienen escrito lo último? Vamos a
seguir con esto. Cada grupo va a leer su producción
2. E2:-La pregunta era que tipos de fractales
matemáticos existen. En base a lo que encontramos,
había dos tipos, los lineales y los no lineales. Los
lineales decía que varía la escala, son idénticos y
los no lineales es que tienen estructura similar y
131
que se generan con funciones complejas. Ejemplos
de eso tenemos el conjunto de Mandelbrot y el
conjunto de julia y que julia era una modificación
de Mandelbrot.
3. P:- Parece que los lineales, como los que dibujo E3…
4. E3: - la alfombra de Sierpinsky
5. P:- claro, también está el triángulo de Siempirski, esos los trabajamos un poquito. El
que no trabajamos nunca es el otro… ¿cómo se llama?
6. E3:- el conjunto de Mandelbrot.
7. P:- habíamos encontrado algunas ideas, ¿las tienen ahí? E8, ¿querés leerlas?
8. E8:- [lee lo encontrado en la última clase]
9. P:- es algo complicada la información que encontraron. ¿Alguien entendió como para
explicarla?
10. […silencio…]
11. P:- Es muy importante lo que encontraste. De a poco vamos a ir entendiendo un poco
más sobre esto. En esta clase vamos a buscar en internet un poco más sobre el conjunto
de Mandelbrot, porque parece ser de los no lineales. Vamos a verlo en la computadora.
E8 mencionaba esto de la necesidad de la computadora. Trabajemos media hora
buscando información y después hacemos una actividad con lo encontrado
[la profesora va a solucionar temas de internet. Se hace una pausa]
Puesta en Común 12. P:- vamos a ver si entendemos un poco más lo de Madelbrot. Lo que hayan encontrado,
todos los grupos van a pasar y vamos a ir anotando las ideas en el pizarrón. ¿Quién
pasa a escribir? No tienen que anotar todo lo que encontraron, simplemente lo que les
parezca más importante o no esté en el pizarrón. No importa si hayan terminado de
escribir, la idea es que entre todos vayamos armando las ideas centrales.
[ Se acomodan los grupos]
13. E11:- Nosotras no entendimos nada, bueno yo no entendí
nada. Pusimos algo que decía la computadora. Para
Mandelbrot se considera fractal el objeto o conjunto de
números que posee fragmentos con tamaño y orientación
variables pero de aspecto similar. Este conjunto de
números no es infinito, o sea, no es divergente. Después
pusimos la pregunta ¿qué es el conjunto de Mandelbrot?
Respondimos que es el conjunto de números complejos
para los cuales el método iterativo no tiene fin. Quiere
decir, que no es divergente.
132
14. P:- ¿Tienen alguna pregunta respecto a eso que leyeron?
15. E11:- ¿había que hacer preguntas? ¡Viste había que
hacer preguntas! [Dirigiéndose a E12] Tengo preguntas,
que es iterativo y esas cosas.
16. P:- ¿qué es iterativo?[Dirigiéndose al grupo clase] (…dudas en la clase…) Bueno, anotemos. Leé
de nuevo lo que encontraste, a ver si alguno encontró lo mismo y así vamos a ir entendiendo.
17. E13:- (vuelve a leer la información hallada)
18. E11:- no entendí nada
19. P:- ¿alguien más encontró algo de lo que están diciendo?
20. E8: -¿lo puede repetir profe?
21. P:- Si, pero… ¿alguien encontró otra información más clara?
22. E2:- ¿No lo podemos pasar en limpio entre todos así nos
queda una definición a todos igual?
23. P:- Eso vamos a intentar. Lo que pasa es que cuando los temas son complejos no hay una única
definición. Son conceptos que involucran muchos conceptos.
24. E2:- ah
25. (Lee el grupo G1) E3: es un fractal autosimilar formado
por el conjunto de puntos estables cuya órbita es acotada
bajo cierta transformación iterativa no lineal.
26. P:- Bien. Otra vez la palabra iterativa. Otra vez la palabra autosimilar. Podemos ir anotando
algunas ideas.
27. E11:- conjunto... ¿qué anoto?
28. P:- -No sé, ¿qué quieren ir anotando? ¿Qué podemos decir de estas definiciones que dijeron?
¿Querés leer de nuevo E3?
29. E3:- [Repite].
30. E11:- ¿Pero qué quieren decir todas esas palabras?
31. P:- A ver E2, ¿qué se te ocurre que podemos decir de esto?
32. E6:- Yo entendí como que es parecido pero no es igual,
igual en todas sus partes. O sea que es de aspecto
similar.
33. P.- Bueno anotemos esa idea (anota en el pizarrón). Es un fractal de aspecto autosimilar…
¿Hasta ahí se entiende qué es autosimilar? Cómo dijo E6, no es igual pero tiene partes similares.
¿Encontraron el dibujo?
34. Estudiantes [al unísono]: Sí
35. P: - observándolo, ¿les parece que tiene partes similares?
36. Estudiantes: Si, si
37. E2:- Cambia el tamaño nada más.
38. P:- ¿En lo de autosimilar estamos todos de acuerdo entonces?
39. Estudiantes [al unísono]:- Si
133
40. P:- ¿a ver E7 que encontraron ustedes?
41. E7 :- la realidad nos dice que una figura con
bordes rectos o redondeados, tiene una longitud
menor que otra equivalente pero de mayor
rugosidad.
42. P- Bien. Qué más.
43. E12:- Encontramos también que posee fragmentos
de tamaño y orientación variables. ¿Le podemos
agregar eso a la
definición del pizarrón? Que posee fragmentos de
orientación y tamaños variables.
44. [E11 pasa y lo escribe en el pizarrón].
45. P:- Bien el grupo G1, ¿quieren sumar algo?
46. [El grupo pasa al pizarrón]
E1:- Nosotros vamos a poner una propiedad.
[Discuten en el grupo lo que van a escribir en el
pizarrón] Una propiedad fundamental de los
fractales es la autosimilitud o autosemejanza que se
refiere a una cierta invariabilidad con respecto a la
escala.
47. P: ¿qué quiere decir eso?
48. [Risas en el curso]
49. E6:- Que al tener un fractal, al acercarme a una
imagen es igual a la más grande. Si miramos el
dibujo y vemos esta parte del dibujito, es igual a la
otra grande. El tamaño no es igual pero si la forma,
autosimilar.
50. P [dirigiéndose al grupo- clase]: -fíjense que no dice de Mandelbrot, esa es una
propiedad fundamental de los fractales. O sea que ya tenemos una idea de que puede
ser fractal y que no. ¿Quién más encontró algo de Mandelbrot?
51. E8:- Si, lo que encontró el primer grupo.
[Discuten sobre la información que tienen]
52. E7:- yo encontré que una
imagen, cuanto más se achicaba, más se iban
viendo los detalles de los bordes, con más claridad.
53. P- o sea, cuanto más me acerco más detalles. ¿Qué más?
134
54. E7:-También encontré que Mandelbrot se planteó
una pregunta, y la pregunta decía, ¿Cuánto mide la
costa de Inglaterra? Había un dato que decía que
medía 12.429 km, y después de eso se planteó tres
situaciones. Medirla con un satélite, con un avión o
con una regla piedra por piedra.
55. P:- Es parecido a lo que habíamos hecho nosotros, de cómo medir la costa de Mar del
Plata.
56. E7: Si. Decía que con el satélite veía los bordes
suaves. Con el avión veía más detalles que con el
satélite no se veían, más rugosidades. Y con la
regla, piedra por piedra, es la mejor idea, que es la
que yo tuve [los compañeros de clase se ríen ya que
esa idea fue la que sugirió el alumno para medir la
costa de Mar del Plata cuando se realizó dicha
actividad]
E7:- se van notando mas los detalles
57. P:- ¿Y ustedes? Lean lo que encontraron.
58. E5: Hay algo que nos pareció interesante. [E5 lee]
Que Mandelbrot es un fractal anexo.
59. E9:- Conexo, no anexo. [Risa] Lo que quiere decir
que todos sus puntos permanecen unidos al
conjunto principal en una especie de hilo fino. Se
puede ver un dibujo, es una figura cerrada.
[E9 pasa a escribir la idea y relee]
60. P:- Acá E1 encontró algo de una fórmula, ¿quieren contarlo al grupo?
61. [estudiantes discuten si tienen la misma fórmula]
62. E2:- Decía que el conjunto de Mandelbrot es uno de los
fractales más conocidos y estudiados. Encontramos un
poco de historia que dice que lleva su nombre en honor
al matemático BenoitMandelbrot que investigó sobre este
conjunto cerca de la década de los 70. Luego pasamos a
la definición. Este conjunto se define así en el plano
complejo.
63. P:- Dice que se define en el plano complejo. Vimos nosotros el plano complejo. Pero ¿qué
significa que se define en el plano complejo?
135
64. [Silencio]
E2:- Sea un número complejo cualquiera, a partir de C
se construye una sucesión por recursión. Después
aparece lo de la fórmula.
65. P.- ¿cuál es la fórmula que aparece?
66. E11:- ¿Eso que sería, cómo se calcula?
67. E2: -Sí
68. P:- o sea, esa imagen (señalando la de Mandelbrot) se tiene que construir a partir de algo. El
tema es cómo se construye. [Escribe la fórmula que le dictan en el pizarrón]
69. E16:- ¿Profe, el plano complejo no eran los números
imaginarios?
70. P:- Claro. Recuerden repasar para la próxima clase… [Señalando la fórmula] Z, ¿qué sería?
¿Qué encontraron?
71. E1:- Z es igual a cero
72. P.- Claro, Z inicial igual a cero. ¿y Z con subíndice n + 1, que significa?
73. […Silencio…]
74. P:- ¿qué significa n + 1?
75. [Conversan entre ellos]
76. P:- ¿Cuándo usábamos n+ 1… cuándo queríamos indicar qué...?
77. E6:- que era una suma… a no…
78. E11:- cuando queríamos saber el próximo…¿Cómo era?
79. P:- Si yo digo n, ¿Qué está representando?
80. Estudiante:- un número cualquiera
81. P:- ¿y si digo n+1?
82. E2:- el número que sigue.
83. E11:- ah si eso lo hacíamos
84. P:- entonces, este Z con subíndice cero me habla de un valor inicial. Y si dice Z con subíndice n +
1, me está hablando del número que sigue.
85. Estudiantes:- Siiii
86. P:- el número que sigue va a ser igual a Z al cuadrado más un C donde C, ¿qué era?
87. E2:- C es un número complejo
88. P:- Bien. Les parece que esta fórmula y su relación con el conjunto lo investiguemos un poco más
la próxima clase. ¿Algo más para agregar al conjunto de Mandelbrot?
89. E2:- Después, para finalizar sobre lo que
encontramos, que si esa sucesión queda acotada,
entonces se dice que esta pertenece al conjunto de
136
Mandelbrot. Y si no, queda excluido del mismo.
90. P.- Bien. ¿Algo más?
91. E2:- después encontramos otra fórmula que tiene
que ver con el conjunto de Julia, que es lo que
vimos la otra clase. Que era una modificación del
conjunto de Mandelbrot. Lo que apareció es la
relación con el conjunto de Julia.
92. P:- Bien. ¿y en qué se modifica la fórmula?
93. E2:- Encontramos otra manera de definir este
conjunto. El conjunto de complejo C para Julia
está asociado a… y aparece otra fórmula.
94. P : Bueno la próxima clase vamos a continuar. Tenemos bastante información un poco
más que la anterior clase. Vamos a trabajar la siguiente a ver si entendemos esto
[señalando la fórmula]
95. E2:- Nosotros encontramos unas propiedades
topológicas del conjunto de Mandelbrot, que es
compacto y conexo. Y buscamos que la topología es
la que estudia el espacio y demás…
96. P:- bueno y cuando decimos conexo es lo que habíamos señalado acá. ¿Y compacto?
97. E2:- decía algo de que es tipo una estructura unida,
enlazada…y su complemento también es conexo.
98. P:- Un poco más se va entendiendo el tema… Me interesa ver esto que anotaron acá de
cómo se genera. La próxima voy a traer una actividad para que comprendamos más
esto. Me entregan las hojas por favor, de lo que trabajaron esta clase.
Transcripción de la grabación de la clase 5
Puesta en Común Turnos de
habla
Profesora Estudiantes
1. Profesora: -¿están todos con el programa abierto? Hay muchos graficadores de
fractales, algunos que grafican en 3D. Elegí este porque a pesar de que es lento, ósea
cada cosa que le indico tarda bastante, arriba de la pantalla van a ver que aparece el
porcentaje de cuánto tarda, es el más sencillo de utilizar, se aprende rápido y me
137
permite visualizar un montón de fractales.
Hay muchos graficadores, después ustedes si quieren buscar en Internet hay algunos
que grafican hasta en 3D.
Comienza la pantalla con Mandelbrot, amplien la pantalla, vieron que tarda bastante,
acostúmbrense que cada vez que tocan algo el programa tarda en cargar un poco,
¿recuerdan todo lo que ustedes tardaban en calcular cada una de las iteraciones?
2. [Estudiantes murmuran y van siguiendo las
indicaciones de la profesora]
3. Profesora: -Entonces si hacen doble clic en el pad y mantienen apretado, arman un
rectángulo que es la zona que quieren acercar. Así se pueden acercar a la parte que a
ustedes les interese mirar, y de la misma forma con el botón izquierdo pueden alejarse.
4. [Estudiante pregunta porque no le sale. Profesora se
acerca y lo ayuda.]
5. Profesora: -Ahora con todo lo que estuvieron trabajando respecto de las características
de los fractales, les escribo la consigna para esta parte de la clase, es un trabajo
individual.
6. [Estudiantes mientras la profesora habla hacen
comentarios mientras observan la imagen que les
aparece]
7. E4:- mira son todos iguales
E11:- ah mira todo lo que aparece
8. P:-después van a ver que pueden cambiar los colores, y otras cosas, pero por ahora
quiero que nos concentremos en ésta tarea para la que tienen aproximadamente media
hora.
9. E5: -¿es mucha tarea?
10. P: -si setenta y cinco cálculos combinados con fracciones [tono de broma]
11. E5: -uf
12. P: -continuado de lo que veníamos haciendo, ahora les dicto la consigna, pero
recuerden anotar todo lo que les genere dudas, pueden seguir haciendo preguntas.
Pongan [profesora dicta la consigna], explorar el conjunto de Mandelbrot utilizando el
graficador Explorador FF5.1, ese el inciso a, el inciso b es ¿cómo caracterizarías este
conjunto?
13. [Se interrumpe la clase porque ingresa una
estudiante, la profesora indica que escribirá la
consigna en el pizarrón]
14. P: -¿Se entiende la consigna? La idea es que vayan anotando todo lo que van
138
observando, las características, no tengan miedo de poner algo equivocado, utilicen
todo lo que estuvieron investigando y estudiando sobre los fractales, sobre Mandelbrot,
porque la intención ahora es explorar la gráfica, que hasta ahora no lo habíamos
hecho. Tenemos media hora y después seguimos explorando otras funciones del
programa.
15. [Los estudiantes comienzan a explorar con el
graficador]
16. P:- ¿quién empieza a leer?
17. [Estudiantes se hacen bromas]
E3:- Lo único que escribí es explorar el conjunto de
Mandelbrot
Estudiantes:- [Risas]
18. P:- ¿E3, no escribiste nada?
19. E3:- No
20. P:- ¿por qué?
21. E3:- no sé
22. P:- ¿alguien escribió algo?
23. E3:- ellos están con sus hojas, dale
24. P:- a ver lean E4 y E5
25. E4:- Nosotros lo que pusimos es que la forma
nunca va cambiando, es siempre igual, aunque
estemos más cerca y después cambia al final con
todas esas cosas raras.
[Risas de estudiantes]
[Hablan varios estudiantes a la vez, grabación
confusa]
26. E6:-la imagen es lo mismo
27. E7:- no, se van achicando
28. P:- Hablen de a uno por favor
29. E11:- Cuando se agranda se notan más detalles
pero la imagen sigue siendo la misma
30. P:- [dirigiéndose al resto del grupo] ¿La misma?
31. E6, E11 y E7:- no
32. E6:- Es similar, más o menos…
33. E11:- claro es similar a la inicial…
34. P:- ¿Acordamos que es similar?
35. E6:- Profe, en la esquinita también es similar…
139
36. P: ¿qué esquinita?
37. E7:- en los bordes…
38. E11:- claro, donde salen como unas ramas
39. E6:- claro, donde se ve como un amanecer [risas]
40. P -Bien. ¿Observaron algo más?..
41. E11:- y siempre está unido
42. P:- unido, o sea ¿Qué es cerrado?
43. E11:- si
44. P:-Bien, entonces dijeron que…
[Profesora busca una tiza, no la encuentra y le pide a E4 que busque en la preceptoria]
45. P:- entonces lo que fueron observando es que tiene partes autosimilares, que como dijo
E11, a medida de que te acercas mas se van notando mas los detalles…
46. E11:- que está unida
47. P:- que está unida, cerrada… ¿Qué más? Respecto a lo que estuvimos viendo respecto a
la costa, si nosotros quisiéramos calcular el perímetro de esa figura, ¿cuánto nos
daría?
48. E:-[ silencio]
49. P:- ¿tiene un perímetro definido? Está la figura ahí, ¿piensan que se podría llegar a
calcular el perímetro?, ¿Cómo lo calcularían?
50. E6:- no porque tiene muchos detalles
51. P:- ¿Cuánto es muchos detalles?, ustedes se podían ir acercando…
52. E3:- hasta el infinito
E7:- porque como que te aparecen partículas cada
vez mas chiquitas, y no se puede
53. P:- o sea si quisiera calcularlo, es tanto el detalle y el detalle que seguiría entrando sin
fin. Entonces anotemos las características que me dijeron. [profesora anota en el
pizarrón]
54. E3:- es autosimilar
E6:- es una línea unida
55. P:- ¿Recuerdan cómo se llamaba cuando es una línea unida?,
56. E7:- a no sé
57. P:- En una de las clases le pusieron nombre, cuando es una línea cerrada, unida, creo
que E8 lo había encontrado….
58. [silencio]
59. P:- Bueno no importa, igual se entiende. ¿qué más habían dicho? Que tiene muchos
140
detalles. ¿el perímetro era?
60. E7:- infinito, perímetro infinito
61. P:- Respecto al área, ya que estamos hablando de perímetro, ¿el área se puede llegar a
calcular? ¿Es finita, infinita?
62. E4:- infinita
63. [grabación confusa]
141
Anexo 2: Producciones Finales de los estudiantes
Figura 46: Trabajo Final de E1
Figura 47: Trabajo Final de E2
142
Figura 48: Trabajo Final de E3
143
Figura 49: Trabajo Final de E4
Figura 50: Trabajo Final de E5
144
Figura 51: Trabajo Final de E6
Figura 52: Trabajo Final de E7
145
Figura 53: Trabajo Final de E8
Figura 53: Trabajo Final de E9
146
Figura 55: Trabajo Final de E10
Figura 56: Trabajo Final de E11
147
Figura 57: Trabajo Final de E12
Figura 58: Trabajo Final de E13
