Luoghi geometrici con Geogebra

Luoghi geometrici con GeogebraNicola Melone

Liceo Garofano22.03.2016

Se vogliamo prevedere il futuro della

Matematica, la via da seguire è quella di

studiare la storia e le attuali condizioni

della nostra scienza

Henri Poincaré (18541912)

Nicola Melone

Cenni storici

Nicola Melone

Tra le 23 definizione degli enti geometrici fondamentali

contenute nel primo Libro degli Elementi di Euclide la

definizione del cerchio è forse il primo esempio esplicito di

luogo geometrico

Nicola Melone

1

Tra le 23 definizione degli enti geometrici fondamentali

contenute nel primo Libro degli Elementi di Euclide la

definizione del cerchio è forse il primo esempio esplicito di

luogo geometrico

Definizione 15. Cerchio è una figura piana compresa dauna sola linea, tutte le rette che incidono sulla quale,condotte da un solo punto tra quelli che sono postiall'interno della figura, sono uguali tra loro

Definizione 16: Ed il punto è chiamato centro del cerchio

Nicola Melone

2

Luoghi geometrici interessanti dal punto di vista didattico sono

curve e superfici

Nella sua Collezione matematica (Synagoge) Pappo (IV sec.

d.C.) riferisce che i greci classificavano le curve in:

Nicola Melone

3


curve e superfici



luoghi piani (o curve piane, costruibili a partire da rette ecirconferenze)

Nicola Melone

4


curve e superfici




luoghi solidi (curve intersezione tra sfere, cilindri, coni epiani, ad esempio le coniche)

Nicola Melone

5


curve e superfici




luoghi solidi (curve intersezione tra sfere, cilindri, coni epiani, ad esempio le coniche)

curve lineari o meccaniche (tracciate attraverso opportunimeccanismi)

Nicola Melone

6

Nicola Melone

7

I matematici greci inventarono metodi di costruzione basati su curve

meccaniche, cioè curve tracciate mediante opportuni e geniali

meccanismi, ma non considerarono le curve meccaniche come veri oggetti

matematici e privilegiarono

le costruzioni con riga e compasso

Nicola Melone

8

I matematici greci inventarono metodi di costruzione basati su curve

meccaniche, cioè curve tracciate mediante opportuni e geniali

meccanismi, ma non considerarono le curve meccaniche come veri oggetti

matematici e privilegiarono

le costruzioni con riga e compasso

La situazione cominciò a cambiare nel periodo

alessandrino, in particolare con Archimede (287212 a.C.) e

i suoi studi sulla spirale con cui egli risolse il problema

della rettificazione della circonferenza

Archimede Descartes

Nicola Melone

9

Le curve meccaniche acquisirono dignità matematica soltanto

con tre eventi straordinari per lo sviluppo della Matematica:

Nicola Melone

10



L’Algebra simbolica di Francois Viète (15401603), che segnò ilpassaggio dalla matematica retorica (uso esclusivo del linguaggionaturale) e da quella sincopata di Diofanto (linguaggio naturale conalcune abbreviazioni) alla matematica simbolica

Viète

Nicola Melone

11




Viète

La Geometria analitica di René Descartes (15961650) ePierre de Fermat (16011665)

Descartes Fermat

Nicola Melone

12




Viète

Il Calcolo infinitesimale di Gottfried Leibniz (1646‐1716) eIsaac Newton (1643‐1727)

Leibniz Newton

Descartes Fermat

La Geometria analitica di René Descartes (15961650) ePierre de Fermat (16011665)

Nicola Melone

13

L’opera di Viete favorì l’evoluzione dell’Algebra da strumento dirisoluzione di problemi (risoluzione di equazioni) a scienzadelle grandezze astratte

Nicola Melone

14


La geometria analitica di Descartes e Fermat, ovverol’applicazione dell’algebra alla Geometria, consentì la nascitadella Geometria algebrica e quindi lo studio delle curvealgebriche. Descartes nel II libro della Géométrie distingueancora le curve geometriche (curve algebriche) dalle curvemeccaniche (curve trascendenti), che non considerava oggettimatematici

Nicola Melone

15


La geometria analitica di Descartes e Fermat, ovverol’applicazione dell’algebra alla Geometria, consentì la nascitadella Geometria algebrica e quindi lo studio delle curvealgebriche. Descartes nel II libro della Géométrie distingueancora le curve geometriche (curve algebriche) dalle curvemeccaniche (curve trascendenti), che non considerava oggettimatematici

Il Calcolo infinitesimale di Leibniz e Newton consentì la nascitadella Geometria differenziale e quindi lo studio delle curvetrascendenti e delle proprietà locali

Considerazioni sui luoghi geometrici

Nicola Melone

Nicola Melone

16

I luoghi geometrici mi sembrano un argomento molto efficacedal punto di vista didattico per i seguenti motivi:

Nicola Melone

17


1. È un eccellente esercizio di comprensione di un testo


2. Consente l’uso di geometria euclidea, algebra elementare,geometria analitica, trigonometria, calcolo infinitesimale perla costruzione di semplici modelli matematici(rappresentazione analitica di un luogo) ed ha un naturalelegame con la Fisica

Nicola Melone

18



2. Consente l’uso di geometria euclidea, algebra elementare,geometria analitica, trigonometria, calcolo infinitesimale perla costruzione di semplici modelli matematici(rappresentazione analitica di un luogo) ed ha un naturalelegame con la Fisica

3. Abitua a schematizzare attraverso un disegno unaproposizione geometrica: un disegno, non preciso macorretto, che trasferisca su carta le relazioni e leimplicazioni logiche tra oggetti

Nicola Melone

19


4. Il legame con le curve meccaniche e con i problemidi costruzione classici consente un’escursioneinterdisciplinare con la storia e la filosofia delmondo greco classico e alessandrino dal VI secoloa.C. al III secolo d.C.

Nicola Melone

20

4. Il legame con le curve meccaniche e con i problemidi costruzione classici consente un’escursioneinterdisciplinare con la storia e la filosofia delmondo greco classico e alessandrino dal VI secoloa.C. al III secolo d.C.

5. L’uso consapevole e ragionato di software didattici(Matlab, Mathematica, Cabrì, Geogebra, …) stimola eallena alla rappresentazione dinamica di oggettimatematici, alla formulazione di ipotesi e alla loroverifica

Nicola Melone

21

Nicola Melone

22

Una definizione generale di luogo geometrico

Nicola Melone

23


Definizione 1. Un luogo geometrico di uno spazioeuclideo ndimensionale En è un insieme costituitodai sottospazi di data dimensione verificanti unaassegnata proprietà


In un piano euclideo E2 solitamente i luoghi geometrici sonodescritti da punti, quindi:


Nicola Melone

24


In un piano euclideo E2 solitamente i luoghi geometrici sonodescritti da punti, quindi:


Definizione 2. Un luogo geometrico di uno pianoeuclideo E2 è un insieme costituito dai puntiverificanti una assegnata proprietà

Nicola Melone

25

Esempi

Nicola Melone

25

1. circocentro di un triangolo: luogo dei punti equidistanti dai vertici del triangolo

2. incentro di un triangolo: luogo geometrico dei punti equidistanti dai lati del triangolo

3. asse di un segmento: luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento

4. bisettrice di un angolo: luogo dei punti equidistanti dai lati dell'angolo

Luoghi geometrici lineari

Esempi Nicola Melone

26

Circonferenza: luogo dei punti la cui distanza da unpunto dato (centro) è costante (raggio)

Ellisse: luogo dei punti per i quali è costante lasomma delle distanze da due punti fissati (fuochi)

Iperbole: luogo dei punti per i quali è costante ilvalore assoluto della differenza delle distanze dadue punti fissati (fuochi)

Parabola: luogo dei punti equidistanti da un punto(fuoco) e da una retta (direttrice) fissati

6. Le coniche come luoghi geometrici di un piano euclideo E2

Esempi Nicola Melone

27

Le coniche, Apollonio di Perga, 262190 a.C.

7. Due generalizzazioni elementari in E2 e in E3

Nicola Melone

28

7.1 Il luogo dei punti di E2

equidistanti da n puntiA1, A2, …, An fissati è


Nicola Melone

29



se n=1•A1


Nicola Melone

30



se n=1•A1

•A1

•A2

se n=2


Nicola Melone

31



se n=1•A1

•A1

•A2

se n=2

se n≥3 e i punti appartengono ad una stessa circonferenza

• A3• A1

• A2

• C

• An


Nicola Melone

32

• Ai



se n=1•A1

•A1

•A2

se n=2

se n≥3 e i punti appartengono ad una stessa circonferenza

φ se n ≥ 3 e i punti non appartengono ad una stessa circonferenza

• A1• A2

• C• Ai• An


Nicola Melone

33

• A3



Nicola Melone

34



Nicola Melone

35

se n=1• A1



Nicola Melone

36

se n=1• A1

se n=2•A1

•A2



Nicola Melone

37

se n=1• A1

se n=2•A1

•A2

se n = 3 e i punti nonsono allineati

A1 •

•A2

• A3••



Nicola Melone

38

• A1 • A2

• Ai• An

se n=1• A1

se n=2•A1

•A2


• Cse n>3 e i punti appartengono ad una stessa sfera

A1 •

•A2

• A3••



Nicola Melone

39

se n=1• A1

se n=2•A1

•A2


se n>3 e i punti non appartengono ad una stessa sfera

φ

se n>3 e i punti appartengono ad una stessa sfera

• C

• A1 • A2

• Ai• An

A1 •

•A2

• A3••

Quadriche in E3

Nicola Melone

40

8. Il luogo delle rette di E3 incidenti 3 rettesghembe è un iperboloide iperbolico

• • •

•••

9. Il luogo delle rette di E3 parallele ad unpiano ed incidenti 2 rette sghembe (nonparallele al piano) è un paraboloideiperbolico

••

• •

Nicola Melone

41

Quadriche in E3

8. Il luogo delle rette di E3 incidenti 3 rettesghembe è un iperboloide iperbolico

• • •

•••

Per rappresentare analiticamente un luogo piano definito da una proprietà è

utile individuare:

Nicola Melone

42

Nicola Melone

43

a. gli oggetti geometrici fissi

b. il punto che descrive il luogo

c. gli oggetti geometrici variabili che fanno descrivere il luogo

d. le relazioni matematiche espresse dalla proprietà cui deve soddisfare ilpunto che descrive il luogo

e. un conveniente riferimento cartesiano


utile individuare:

Nicola Melone

44







utile individuare:

e successivamente







utile individuare:

f. introdurre parametri nell’ambito degli oggetti variabili

g. esprimere mediante le relazioni matematiche le coordinate delpunto che descrive il luogo in funzione dei parametri introdotti(equazioni parametriche del luogo)

e successivamente

Nicola Melone

45

Nicola Melone

46

Molti luoghi geometrici sono “elementari”, nel senso che mancano oggetti

geometrici variabili (di cui alla lettera c) e le relazioni matematiche (di cui alla

lettera d) collegano direttamente il punto che descrive il luogo agli oggetti

geometrici fissi

Nicola Melone

47




geometrici fissi

In tali casi la rappresentazione analitica del luogo è molto semplice, essendo

sufficiente imporre alle coordinate cartesiane del generico punto P(x,y) del

piano di verificare le suddette relazioni matematiche (di cui alla lettera d)




geometrici fissi

In tali casi la rappresentazione analitica del luogo è molto semplice, essendo

sufficiente imporre alle coordinate cartesiane del generico punto P(x,y) del

piano di verificare le suddette relazioni matematiche (di cui alla lettera d)

i luoghi degli esempi precedenti (tranne 8,9) sono di questo tipo

Nicola Melone

48

Questi luoghi sono semplici e complessi allo stesso tempo

• presentano il vantaggio della semplicità della determinazionedella loro rappresentazione analitica

ma

Nicola Melone

49



ma

• la proprietà che li definisce non consente di costruire il luogoper punti e, quindi, non si può studiare elementarmente laforma della curva

Nicola Melone

50



ma

• la proprietà che li definisce non consente di costruire il luogoper punti e, quindi, non si può studiare elementarmente laforma della curva

Per ovviare a questo inconveniente si cercano proprietà geometriche

equivalenti che consentano la costruzione per punti

Nicola Melone

51

Alcune curve “celebri” come

luoghi geometrici

Nicola Melone

52

• oggetti fissi: i due fuochi F1 , F2 , i numeri reali positivi c , a• oggetto che descrive il luogo: il punto P• relazione matematica : d(P,F1) + d(P,F2) = 2a

F2F1

P

Ellisse

Fissati due punti distinti F1 , F2 (fuochi), posto d(F1,F2)=2c e considerato

un numero reale a, con a>c>0 , il luogo dei punti P tali che la somma

delle distanze da F1 e F2 sia uguale a 2a è una curva (algebrica) detta

ellisse

Nicola Melone

53

Fissato il riferimento cartesiano con l’origine nel punto medio del

segmento F1F2, asse delle ascisse la retta per F1 ed F2 e asse delle

ordinate l’asse del segmento F1F2, il luogo è costituito dai punti P(x,y)

del piano tali che

razionalizzando e ponendo b2=a2c2 si trae

P•

•F1

•F2

•O

Ellisse Nicola Melone

54

Ellisse

Per costruire l’ellisse per punti si può osservare che essa si ottiene anche al

modo seguente:

luogo dei punti di intersezione della circonferenza γr di centro F1 e raggio

r con la circonferenza ΓR di centro F2 e raggio R=2ar , al variare di r

nell’intervallo chiuso [ac , a+c]

F2F1

B

A

γr ΓR

Nicola Melone

55

Animazione con Geogebra:facendo variare r nello slider, i puntiA e B descrivono l’ellisse ellisse costruzione.ggb

• oggetti fissi: i due fuochi F1 , F2 , i numeri reali positivi c, a• oggetto che descrive il luogo: il punto P

• relazione matematica : |d(P,F1) d(P,F2)| = 2a

Fissati due punti distinti F1 , F2 (fuochi), posto d(F1,F2)=2c e considerato un

numero reale a, con c>a>0 , il luogo dei punti P tali che il valore assoluto

della differenza delle distanze da F1 e F2 sia uguale a 2a è una curva

(algebrica), detta iperbole

Iperbole Nicola Melone

56

F2F1

P


57

Fissato il riferimento cartesiano con l’origine nel punto medio del segmento

F1F2, asse delle ascisse la retta per F1 ed F2 e asse delle ordinate l’asse del

segmento F1F2, il luogo è costituito dai punti P(x,y) del piano tali che

razionalizzando e ponendo b2=c2a2 si trae

• P

Per costruire l’iperbole per punti si può osservare che essa si ottiene anche al

modo seguente:

luogo dei punti di intersezione della circonferenza γr (γ’r) di centro F1 (F2 )

e raggio r con la circonferenza ΓR (Γ ’R ) di centro F2 (F1 ) e raggio R=2a+r ,

al variare del numero reale r ≥ ca


58

F2γrΓR

C

γ ’r

Γ ’R B

A

D

F1

A, B descrivono uno dei ramiC,D descrivono l’altro ramo

Animazione con Geogebra:facendo variare r nello slider, i puntiA , B, C, D descrivono l’iperbole iperbole costruzione.ggb

• oggetti fissi: il fuoco F , la direttrice d e il numero reale p>0• oggetto che descrive il luogo: il punto P• relazione matematica : d(P,F) = d(P,d)

Parabola

d

PF

Fissati un punto F (fuoco), una retta d (direttrice) non contenente F e

posto p=d(F,d) , il luogo dei punti P equidistanti da F e da d è una

curva (algebrica) detta parabola di parametro p

Nicola Melone

59

Parabola Nicola Melone

60

Denotato con H il piede della perpendicolare a d per F e fissato il

riferimento cartesiano avente tale perpendicolare come asse delle

ordinate e asse delle ascisse l’asse del segmento FH, il luogo è costituito dai

punti P(x,y) del piano tali che

razionalizzando si trae

d

F P

•H

O•

Per costruire la parabola per punti si può osservare che essa si ottiene anche al

modo seguente:

Considerato un punto A su d, la parabola è il luogo dei punti P di

intersezione dell’asse rA del segmento AF con la perpendicolare sA a d per

A, al variare di A su d

Parabola Nicola Melone

61

dA

• P

sA

rA

F

O•

Animazione con Geogebra:facendo variare A su d , il punto Pdescrive la parabola parabola.ggb

Ovale di Cassini e lemniscata di Bernoulli

• oggetti fissi: i due fuochi F1 , F2 e i numeri reali c, a• oggetto che descrive il luogo: il punto P• relazione matematica : d(P,F1)⋅d(P,F2) = a2

Nicola Melone

62

Fissati due punti distinti F1, F2 (fuochi), un numero reale

a>0 e posto d(F1,F2)=2c , il luogo dei punti P tali che il

prodotto delle distanze da F1 e F2 sia uguale ad a2 è

una curva (algebrica) detta ovale di Cassini , se a≠c,

lemniscata di Bernoulli , se a=c

Giovanni D. Cassini (16251712)

Jakob Bernoulli(16541705)

F2F1

P

Ovale di Cassini e lemniscata di Bernoulli Nicola Melone

63

razionalizzando si trae:

c=a

c<a

c>a c>a

Fissato il riferimento cartesiano con l’origine nel punto medio del segmento

F1F2, asse delle ascisse la retta per F1 ed F2 e asse delle ordinate l’asse del

segmento F1F2, il luogo è costituito dai punti P(x,y) del piano tali che

F2F1

P

•O

Ovale di Cassini e lemniscata di Bernoulli Nicola Melone

64

Animazione con Geogebra:facendo variare A su Γ, i punti G e H descrivono l’ovalee variando opportunamente la posizione di C siottengono vari tipi di ovali

12

3 3

ovale di Cassini 1.ggb

c<a

ovale di Cassini 3.ggb

c>a

c=alemniscata 2.ggb

Per costruire l’ovale di Cassini per punti si può osservare che essa si ottiene anche almodo seguente:

Sia Γ la circonferenza di diametro il segmento F1F2 , C

un punto fissato sulla retta per F1 , F2 tale che

d(C,F1).d(C,F2)=a2 ed Ar ,Br i punti di intersezione tra Γ

e una retta r per C. L’ovale è il luogo dei punti G,H di

intersezione tra la circonferenza γ1 , di centro F1 e

raggio il segmento CAr, con la circonferenza γ2 , di centro

F2 e raggio il segmento CBr , al variare della retta r per C

γ2

γ1

Γ

•G

•H

•C

Br •

Ar

•

•F2

•F1

r

d(C,A)⋅ d(C,B) = d(C,F1)⋅ d(C,F2) = potenza di C

•F1

•F2

•T

a

•C

B•

A •

Altra costruzione della lemniscata di Bernoulli:

Animazione con Geogebra:facendo variare B su Γ, i punti E,F descrivono lalemniscata di Bernoulli Lemniscata di Bernoulli.ggb

Lemniscata di Bernoulli

Sia Γ una circonferenza fissata, C un punto fissato non appartenente a Γ e

diverso dal centro di Γ e B,D i punti di intersezione tra Γ e una retta per C. Il

luogo dei punti E,F di intersezione tra la retta CB e la circonferenza γ di

centro C e raggio il segmento BD, al variare della retta per C, è una lemniscata

di Bernoulli

B

E

C

D

ΓF

γ

Nicola Melone

65

Fissati due punti A, B, posto d(A,B) = d e considerato un numero reale k>0, il luogodei punti P tali che il rapporto delle distanze da A e B sia uguale a k è unacirconferenza (detta di Apollonio), se k≠1, l’asse del segmento AB, se k=1

Circonferenza di Apollonio

• oggetti fissi: i due fuochi A, B e i numeri reali d, k• oggetto che descrive il luogo: il punto P• relazione matematica : d(P,F1)/d(P,F2) = k

Fissato il riferimento cartesiano con l’origine nel punto A, asse delle ascisse laretta AB e asse delle ordinate la perpendicolare ad AB per A, il luogo è costituitodai punti P(x,y) del piano tali che

P

B(d,0)A

razionalizzando si trae : (k21)(x2+y2)2k2dx+k2d2=0onde

k=1 asse del segmento AB:

k≠1 circonferenza di Apollonio

Nicola Melone

66

• Oggetti fissi: la circonferenza γ , il raggio a>0, i punti O,A e la retta t• oggetto che descrive il luogo: il punto P• oggetti variabili: la retta r per O• relazioni matematiche: P∈r e d(O,P) = d(Dr ,Er)

tr

P •

•Dr

•AO •

•Er

γ

Sia γ una fissata circonferenza di raggio a>0, O un suo punto fissato

e t la retta tangente a γ nel punto A di γ diametralmente opposto

ad O. Considerata una retta r per O e denotati con Dr,Er i suoi punti

di intersezione con γ e t , rispettivamente, il luogo descritto dal

punto P della retta r tale che d(O,P)=d(Dr,Er), al variare di r , è

una curva (algebrica) detta cissoide di Diocle

Diocle di Caristo240180 a.C.

Nicola Melone

67

Cissoide di Diocle

Fissato il riferimento cartesiano con origine il punto O, asse delle ascisse la

retta per O, A e asse delle ordinate la tangente a γ in A, risulta

γ : (xa)2 + y2 = a2 , r: y = mx , t: x = 2a , ondet

r

P •

•Dr

•Er

γ

•O

•A(2a,0)

Nicola Melone

68

Cissoide di Diocle

Osserviamo ora che le condizioni P∈r, d(O,P)=d(D,E) equivalgono ovviamente

alla relazione vettoriale

Eliminando il parametro m si ottiene

x3 + (x2a)y2 = 0

e quindi

Animazione con Geogebra: facendovariare il punto C’ sull’asse delle ascissei punti P1,P2 descrivono il luogo cissoide di Diocle.ggb

i simmetrici di F, G rispetto alla parallela all’asse delle

ordinate per O’ . Il luogo descritto dai punti P1, P2 al variare

di C sull’asse delle ascisse è la cissoide di Diocle•C

•O

•O’

• D

•C’

• E

•P1

•P2

•A(2a,0)

•F

•G

γ

Nicola Melone

69

Cissoide di Diocle

Per costruire la cissoide di Diocle per punti si può osservare che essa si ottieneanche al modo seguente:

Considerati due punti C, C’ sull’asse delle ascisse, simmetrici rispetto al centro

O’ di γ , siano D, E i punti di intersezione di γ con la retta per C’ parallela

all’asse delle ordinate, F, G i punti di intersezione della retta per C parallela

all’asse delle ordinate con le rette AD e AE , rispettivamente, e P1, P2

Concoide di Nicomede

Siano r una fissata retta (base), P un punto fissato (polo) tale che

d(P,r)= a >0 e b un numero reale positivo. Considerata una retta t

per P, posto Ct = t∩r e denotata con Γt la circonferenza di centro

Ct e raggio b, il luogo descritto dai punti At ,Bt di intersezione

della retta t con la circonferenza Γt , al variare di t , è una curva

(algebrica) detta concoide di Nicomedet

•Ct Γt

•Bt

At •

P •

r

• Oggetti fissi: la retta r , il punto P , i numeri reali positivi a,b• oggetti che descrivono il luogo: i punti At , Bt• oggetti variabili: la retta t per P• relazioni matematiche: {At ,Bt} = t∩ Γt

Nicola Melone

70

Nicomede280210 a.C. (?)

Concoide di Nicomede Nicola Melone

71

Fissato il riferimento cartesiano con l’origine nel punto P, asse delle ascisse la

retta per P parallela ad r e asse delle ordinate la perpendicolare per P all’asse

delle ascisse, risultat

•Ct Γt

•Bt

At •

P •

r

da cui si ottiene facilmente

(x2+y2)(ya)2 = b2y2

1: b<a

3 : b>a

2: b=a

concoide 1.ggb

concoide 2.ggb

concoide 3.ggb

Animazione con Geogebra: facendovariare la retta t per P (ovvero il punto Ct)i punti At ,Bt descrivono il luogo

Concoide di Nicomede Nicola Melone

72

Quadratrice (o trisettrice) di Ippia

Definizione di Pappo. Sia OABC un quadrato di lato d(O,A)=a,

traslando il lato AB di moto rettilineo uniforme fino a farlo

sovrapporre a OC e ruotando il lato OA di moto circolare

uniforme intorno al punto O in modo che nello stesso intervallo

di tempo si sovrapponga ad OC, il luogo descritto dal punto di

intersezione tra i due segmenti durante il movimento è una

curva (trascendente) detta quadratrice (o trisettrice) di Ippia

Nicola Melone

73

Ippia di Elide460399 a.C.

O

C B

A

P

•

•

•

•

A’

B’

A1

Quadratrice (o trisettrice) di Ippia

• Oggetti fissi: la circonferenza Γ , il quadrato OABC, il numero reale a>0• oggetto che descrive il luogo: il punto P• oggetti variabili: i punti D, E• relazioni matematiche: P = rE∩ OD

Nicola Melone

74

Definizione equivalente. Sia Γ la circonferenza di centro O e raggio a, D un

suo punto che ruota con velocità costante ed E un punto della retta OA che

trasla con velocità costante in modo che, partendo contemporaneamente da A ,

raggiungano nello stesso intervallo di tempo i punti C e O, rispettivamente . La

curva è descritta dal punto P di intersezione tra la retta OD e la retta rE per E

parallela ad AB

O

C B

A

P •

• •

•• •

•

E

D

rE

Γ

Fissato il riferimento cartesiano con l’origine nel punto O, asse delle ascisse laretta OA, asse delle ordinate la retta OC, risulta

O

C B

A

P •

• •

•• •

•

E

D

rE

Γ

onde

eliminando il parametro h si ha:

Animazione con Geogebra: facendo variarelo slider h il punto P descrive il luogo quadratrice.ggb

Quadratrice (o trisettrice) di Ippia Nicola Melone

75

C

O

B

A

Spirale di Archimede

Fissato un punto O, il luogo descritto da un punto P che si

muove di moto rettilineo uniforme a partire da O su una

semiretta r di origine O, mentre r ruota con velocità

costante intorno ad O, è una curva (trascendente) detta

spirale di Archimede

Nicola Melone

76

Archimede di Siracusa 287212 a.C.

Sezione occhio di lucciola

In Natura si trovano molti esempi di spirali di

Archimede:

• la forma di alcune Galassie

• i solchi della traccia dei vecchi dischi di vinile

• in Neurologia facendo disegnare ad un paziente unaspirale di Archimede si può valutare una disfunzionemotoria nella malattia di Parkinson

O

• P

Spirale di Archimede Nicola Melone

77

Fissati un riferimento cartesiano R(x,y) con origine nel punto O e asse

delle ascisse coincidente con la posizione iniziale di r ed un riferimento

polare R’(ρ,θ) con polo O e asse polare l’asse delle ascisse, l’equazione

polare della curva è:

ρ = kθ e dalle formule

segue

O

P

r

••

Animazione con Geogebra: facendo variare loslider θ il punto P descrive il luogo spirale Archimede.ggb

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Archimedean_spiral.svg

Versiera di AgnesiNicola Melone

78

Maria Gaetana Agnesi (17181799) fu una matematica e

filosofa, considerata da molti storici tra le migliori matematiche

Divideva le sue giornate tra la religione e la matematica ed era

impegnata in opere di carità e nella promozione dell’istruzione

delle donne

Già all’età di 9 anni aveva scritto un discorso in Latino in difesa

dell’istruzione superiore femminile

Nel 1750 fu la prima donna a ricevere un incarico di

insegnamento universitario presso l’Università di Bologna,

circostanza straordinaria in quanto nel XVIII secolo quasi

ovunque era ancora proibito alle donne di frequentare

l’università Busto nel Palazzo di Brera a Milano

Versiera di Agnesi Nicola Melone

79

Nel 1748 fu la prima donna a pubblicare un libro di Matematica dal

titolo Instituzioni Analitiche ad uso della Gioventù Italiana,

molto apprezzato in tutta Europa , tradotto anche in inglese e

considerato la migliore introduzione ai risultati di Euler. Nel libro la

Agnesi studiò in particolare in dettaglio una curva algebrica che

chiamò versiera, che era stata già studiata da Fermat nel 1666 e di

cui Grandi nel 1703 aveva descritto una costruzione

La curva viene utilizzata:

• in Fisica per descrivere alcuni fenomeni di risonanza nello studio deglispettri atomici e molecolari

• in Statistica per descrivere la distribuzione di Cauchy di una variabile casuale

Nicola Melone

80

Sia Γ una circonferenza di raggio a>0 , O, A due punti diametralmente

opposti fissati su di essa e t la retta tangente a Γ in A. Considerata una

retta l per il punto O e denotati con Bl e Dl i punti di intersezione di l con

Γ e t , rispettivamente, il luogo descritto dal punto Pl , intersezione della

retta rl per Bl parallela a t con la retta sl per Dl ortogonale a t, al variare

della retta l , è una curva (algebrica) detta versiera di Agnesi

• Oggetti fissi: la circonferenza Γ , i punti O,A , la retta t, il numero reale a>0• oggetto che descrive il luogo: il punto Pl• oggetti variabili: la retta l (quindi i punti Bl, Dl )• relazioni matematiche: Pl = rl∩ sl

Versiera di Agnesi

Bl•

•O

•A

•Dl

•Pl

rl

sl

t

l

Γ

Nicola Melone

81

Fissato il riferimento cartesiano con origine in O, asse delle ordinate la retta

OA e come asse delle ascisse la perpendicolare ad essa per O, risulta

Γ : x2 + y2 – 2ay = 0 , A(0,2a) , t: y = 2a , l: x = m y , onde

Ne segue che

ed eliminando il parametro risulta

x2y + 4a2y 8a3 = 0

versiera.ggb

Animazione con Geogebra: Facendo variare il punto Blsu Γ il punto Pl descrive il luogo

•Pl

Bl•

•Dl

Versiera di Agnesi

Documents

Luoghi geometrici con Geogebra