magic square

GENERALISASI METODE PENGKONSTRUKSIAN PERSEGI

AJAIB ORDER GENAP DENGAN ELEMEN PENYUSUN

BILANGAN RASIONAL

Yeni Rohma Yanti, Dr. Baiduri, M.Si, Dr. Moh. Mahfud Effendi, M.M

[email protected]

085733359386

ABSTRAK

Abstract: Magic square is a set of numbers which arrange in a square is an𝑛 × 𝑛 and there should

be no numbers are repeated also amount of each row, each column, and bath diagonal is the same.

The magic square construction requeres construct and method of magic number. Construction

methods of magic square used Diagonal Lozenge Method, Strachey Method, and LUX method.

The steps of constructing of magic square even order is constituent elements of magic square

forming and arithmetic sequence pattern, furthermore to calculate the magic square number is use

this formula 𝜇𝑛 = 𝑛𝑎 +𝑛

2(𝑛2 − 1)

𝑡

𝑢 and constructed by Diagonal Lozenge method, Strachey

method, and LUX method. The construction results obtained can be modified in matrix form [𝐴] +1

𝑢[𝑇𝑛].

Abstrak: Persegi ajaib adalah sekumpulan bilangan yang tersusun dalam sebuah persegi ukuran

𝑛 × 𝑛 dengan tidak bolah ada bilangan yang berulang serta jumlah dari baris, kolom, dan diagonal

adalah sama. Pada konstruksi persegi ajaib memerlukan metode konstruksi dan jumlah ajaib.

Metode konstruksi persegi ajaib yang digunakan adalah metode Diagonal Lozenge, metode

Strachey, dan metode LUX. Langkah-langkah dalam mengkonstruksi persegia ajaib order genap

yakni elemen penyusun persegi ajaib memebentuk pola barisan aritmatika, selanjutnya menghitung

jumlah ajaibnya menggunkan rumus 𝜇𝑛 = 𝑛𝑎 +𝑛

2(𝑛2 − 1)

𝑡

𝑢 dan dikonstruksi dengan metode

Diagonal Lozenge, metode Strachey, dan metode LUX. Hasil konsruksi yang didapat dirubah

dalam bentuk matriks, sehigga akhirnya membentuk matriks [𝐴] +1

𝑢[𝑇𝑛].

Kata Kunci:Magic Square, Generalisasi, Jumlah Ajaib, Matriks.

PENDAHULUAN

Persegi ajaib (Magic Square)

merupakan salah satu karya seni

matematika yang sudah dikenal sejak

2800 sebelum Masehi oleh Bangsa

Cina(Tung Khoe, 2011). Persegi ajaib

(Magic Square) mempunyai banyak

manfaat yakni, untuk mengasah otak

anak, melatih daya ingat, serta dapat

meningkatkan konsentrasi belajar

anak.Banyak metode yang bisa

digunakan dalam mengkonstruksi

persegi ajaib, tetapi tidak semua

persegi dapat dikonstruksi dengan

metode yang sama. Hal tersebut

membuat para matematikawan tertarik

untuk meneliti lebih lanjut tentang

metode pengkonstruksian persegi ajaib.

Seperti yang telah dilakukan oleh

Hendarto (2006) mengkaji metoda

konstruksi persegi ajaib order 𝑛 × 𝑛

dan dalam penelitianya tersebut

menyebutkan bahwa Andrew (1927),

Benson (1976) dan Cazalas (1934)

telah menyelesaikan masalah

konstruksi persegi ajaib beberapa

bilangan asli dan kelipatanya, Andrew

(1960) dan Chebrakov (1998)

menyelesaikan untuk pengkonstruksian

bilangan prima. Hasil dari konstruksi

persegi ajaib tersebut adalah sebuah

persegi ajaib baku, dengan bilangan

penyusun dimulai dari angka

1, 2, 3, … , 𝑛2 dan generalisasi jumlah

ajaibnya adalah 𝑆𝑛

2

𝑛.

Perkembangan yang cukup

pesat terjadi pada metode

pengkonstruksian dan penentuan

bilangan ajaib pada persegi ajaib.

Perhitungan jumlah ajaib yang

digunakan oleh Yulianto (2011)

menggunakan model barisan aritmatika

dan hasil generalisasi jumlah ajaib

untuk order-4𝜇4 ≥ 34, sedangkan nilai

antar suku pada baris aritmatika sangat

dipengaruhi oleh suku pertama dan

selisih (beda) antar bilangan. Dari

bentuk persegi ajaib yang ada selisih

antar bilangan ajaib berupa bilangan

bulat sehingga bilangan ajaib yang

terbentuk merupakan elemen bilangan

bulat.Selisih antar bilangan ajaib tidak

hanya pada bilangan bulat saja

sehingga bisa dikembangkan pada

bilangan rasional dan jumlah ajaib pada

persegi ajaib yang dihasilkan elemen

bilangan rasional. Pada kajin ini jumlah

ajaib 𝜇𝑛 akan diperluas menjadi elemen

bilangan rasional dengan aturan barisan

matematika yang selisih antar bilangan

ajaib merupakan elemen bilangan

rasional. Elemen bilangan persegi ajaib

yang dihasilkan dikonstruksi dengan

beberapa metode yakni metode

lozenge, strachey method, dan metode

LUX, hasil dari konstruksi dianalisis

dan dibentuk matriks dengan

menggunakan aturan penjumlahan

matriks dan perkalian matriks dengan

skalar. Penulis memilih konstruksi

menggunakan penjumlahan dan

perkalian matriks dengan skalar karena

matriks lebih mudah dipahami dan

hampir semua orang memahami materi

tersebut sehingga nantinya bisa

mempermudah dalam mengkonstruksi

persegi ajaib tanpa harus menghafal

metode konstruksi yang baru.

Berdasarkan pemahaman di

atas maka penulis tertarik untuk

mengembangkan konstruksi persegi

ajaib dengan menggunakan elemen

bilangan rasional pada order genap

dengan 𝑛 ≠ 2. Sehingga penulis

memberi judul tugas akhir ini

“Generalisasi Metode

Pengkonstruksian Persegi Ajaib Order

Genap Dengan Elemen Penyusun

Bilangan Rasional”.

Normal Magic Square (Persegi Ajaib

Baku)

Normal magic square atau

sering disebut persegi ajaib baku

merupakan persegi ajaib dengan ukuran

𝑛 × 𝑛 petak yang setiap petaknya

tersusun atas bilangan-bilangan

berbeda sebanyak𝑛2 dengan 𝑛 adalah

bilangan bulat positif(Pickover, 2002).

Order persegi ajaib adalah sebuah

persegi yang memiliki 𝑛 baris dan 𝑛

kolom dengan elemen sebanyak

𝑛2(Kirmani dan Singh : 2005).

Konstruksi Persegi Ajaib

Pengkonstruksian pada persegi

ajaib ini merupakan persoalan yang

luas, baik ditinjau dari order maupun

metode konstruksinya. Metode

konstruksi persegi ajaib secara umum

dikelompokkan menjadi dua besar

yakni order genap (2𝑛) dan order

ganjil (2𝑛 + 1). Pada kajian ini akan

membahas tentang generalisasi metode

konstruksi pada persegi ajaib order

genap (2𝑛) dengan menggunakan

contoh yang terbatas pada order 2 <

𝑛 ≤ 8. Bilangan ajaib/elemen penyusun

persegi ajaib (𝑎𝑖𝑗) yang digunakan

dalam menyusun persegi ajaib adalah

bilangan rasional karena dalam

menentukan selisih antar bilangan ajaib

menggunakan bilangan rasional

sehingga elemen penyusun persegi

ajaib merupakan bilangan rasional

sehingga jumlah ajaib (𝜇𝑛) yang

peroleh merupakan elemenbilangan

rasional.

Langkah-langkah dalam Konstruksi

Metode Strachey(Mujtahidah, 2013)

1. Persegi order (4𝑚 + 2) dibagi

menjadi 4 bagian sama besar yang

tiap bagianya diberi mana

𝐴, 𝐵, 𝐶, dan 𝐷 dengan urutan

2. pada bagian 𝐴 diisi dengan bilangan

ke-1 hingga bilangan ke-1

4𝑛2,

sedangkan pada bagian 𝐵 diisi

dengan bilangan lanjutan dari

bagian 𝐴 sebanyak 1

4𝑛2, begitu juga

dengan bagian 𝐶 yang merupakan

lanjutan dari bilangan pada bagian 𝐵

sebanyak 1

4𝑛2, dan 𝐷 merupakan

lanjutan dari bilangan pada bagian 𝐶

sebanyak 1

4𝑛2. Sedangkan

penempatan bilangan pada masing-

masing bagian menggunakan aturan

pada metode Siames.

3. menukar 𝑚 kolom pertama pada

bagian 𝐴 dengan 𝑚 kolom pertama

pada bagian𝐷. Kemudian menukar

(𝑚 − 1) kolom terakhir pada

bagian𝐵 dengan (𝑚 − 1) kolom

terakhir pada bagian𝐶.

4. menukar petak barisan tengah paling

kiri pada bagian A dengan sel yang

sesuai pada bagian D. Kemudian

menukar petak yang tepat di tengah-

tengah pada bagian A dengan sel

yang sesuai pada bagian D.


Metode LUX(Mujtahidah, 2013)

Gambar 1 Metode LUX

1. Persegi order (4𝑚 + 2) dibagi

menjadi kumpulan petak 2 × 2.

2. Petak-petak yang terbentuk diberi

tanda dengan ketentuan sebagai

berikut.

(𝑚 − 1) baris pertama adalah L

1 baris berikutnya adalah U

(𝑚 − 1) baris terakhir adalah X

Selanjutnya tukar petak U yang

berada di tengah dengan petak L

yang ada di atasnya.

3. Menuliskan bilangan menggunakan

metode Siames hingga semua petak

terisi dengan menggunakan aturan

LUX pada gambar 1.


Metode Diagonal Lozenge

Simon (1964) menggambarkan

langkah-langkah dalam

mengkonstruksi persegi ajaib berorder-

4𝑚 dengan 𝑚 ≥ 1, berikut adalah

langkah-langkahnya:

1. Gambar persegi kosong 𝑛 × 𝑛 yang

berukuran order-4𝑚 dan masukkan

bilangan secara berurutan

dimulaidari bilangan pertama hingga

bilangan terakhir dalam persegi

tersebut.

2. Buat garis menyilang disetiap

diagonalnya.

3. Refleksikan semua bilangan yang

terletak pada garis diagonal tersebut

terhadap titik pusat persegi.

4. satukan hasil refleksi tersebut

dengan bilangan awal yang tetap

pada posisinya semula.

METODE PENELITIAN

Persegi ajaib sangat menarik

untuk digeneralisasi serta banyak

metode yang bisa digunakan untuk

konstruksi persegi ajaib, cara

konstruksi persegi ajaib dibagi dalam

dua kelompok besar yakni berdasarkan

pada order persegi ajaib, yang mana

ada order ganjil (2𝑛 + 1) dan genap

(2𝑛). Konstruksi order ganjil bisa

menggunakan metode siames,

sedangkan order genap menggunakan

metode lozenge, metode strachey, dan

metode LUX, sedangkan pada

penelitian ini membahas order genap.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Menentukan Pola Bilangan

Penyusun Persegi Ajaib

Pola bilangan penyusun persegi

ajaib baku yang digunakan haruslah

membentuk pola barisan aritmatika

yaitu memiliki selisis antara dua suku

yang berurutan selalu tetap.Selisih

antar bilangan pada persegi ajaib harus

berupa bilangan pecahan, sehingga

dapat dimisalkansuku pertama 𝑎 dan

selisih antar bilangan𝑡

𝑢dengan 𝑡, 𝑢 ∈ 𝑍

, 𝑡 ≠ 0, 𝑢 ≠ 0 dan 𝑡 < 𝑢 maka.

𝑎, 𝑎 +𝑡

𝑢, 𝑎 +

2𝑡

𝑢, … , 𝑎 +

(𝑛−1)𝑡

𝑢 ......... (1)

Setelah didapat barisan aritmatika

langkah selanjutnya adalah menghitung

jumlah ajaib persegi ajaib baku yang

dalam perhitunganya memerlukan deret

aritmatika sehingga dari barisan

aritmatika tersebut dibentuk menjadi

deret aritmatika dan hasilnya sebagai

berikut.

𝑎 + (𝑎 +𝑡

𝑢) + (𝑎 +

2𝑡

𝑢) + ⋯+

(𝑎 +(𝑛−1)𝑡

𝑢).

Generalisasi Jumlah Ajaib Persegi

Ajaib Baku

Menentukan bilangan penyusun

persegi ajaib yang tergenaralisasi

sangat diperlukan karena bilangan

penyusun persegi ajaib akan digunakan

untuk menentukan jumlah ajaib pada

persegi ajaib yang tergeneralisai.

Teorema

Jika bilangan penyusun persegi ajaib

order-n dengan 𝑛 ≥ 3 berbentuk

barisan aritmatika dengan bilangan

awal 𝑎 dan beda 𝑡

𝑢 dengan 𝑡 dan 𝑢

bilangan bulat, 𝑡 ≠ 0, 𝑢 ≠ 0 dan 𝑡 < 𝑢,

maka jumlah ajaibnya 𝜇𝑛 = 𝑛𝑎 +

𝑛

2(𝑛2 − 1)

𝑡

𝑢.

Bukti:

Didapatkan bahwa untuk

menghitung nilai dari barisan

aritmatika sebanyak suku ke-𝑥

adalah 𝑆𝑥2 =𝑛2

2[2𝑎 + (𝑥 − 1)𝑏]

sehingga pada persegi ajaib dengan

banyak suku 𝑛2 persamaan menjadi

𝑆𝑛2 =𝑛2

2[2𝑎 + (𝑛2 − 1)𝑏]

𝑆𝑛2 =𝑛2

2[2𝑎 + (𝑛2 − 1)

𝑡

𝑢]

Dari rumus jumlah seluruh bilangan

penyusun persegi ajaib didapatkan

rumus jumlah ajaib persegi ajaib

sebagai berikut

𝜇𝑛 =𝑆𝑛2

𝑛

=

𝑛2

2[2𝑎 + (𝑛2 − 1)

𝑡

𝑢]

𝑛

=𝑛2 [2𝑎 + (𝑛2 − 1)

𝑡

𝑢]

2𝑛

=𝑛 [2𝑎 + (𝑛2 − 1)

𝑡

𝑢]

2

𝜇𝑛 = 𝑛𝑎 +𝑛

2(𝑛2 − 1)

𝑡

𝑢 .................. (2)

Jadi, untuk mencari jumlah ajaib

dari persegi ajaib order-𝑛 yang

tergeneralisasi bisa menggunakan

rumus 𝜇𝑛 = 𝑛𝑎 +𝑛

2(𝑛2 − 1)

𝑡

𝑢.

Sehingga dapat disimpulkan

bahwa jumlah ajaib dari persegi ajaib

dipengaruhi oleh nilai bilangan awal,

beda dan order persegi ajiab serta

jumlah ajaibnya merupakan elemen

bilangna rasional. Langkah selanjutnya

dalam generalisasi adalah

mengkonstruksi persegi ajaib dengan

metode yang sudah ditentukan serta

akan dirubah dalam bentuk matriks.

Konstruksi Persegi Ajaib Order

Genap Pada Jumlah Ajaib

Tergeneralisasi

Mengkonstruksi menggunakan

metode yang sudah ditentukan untuk

mengetahui pola letak dari bilangan

penyusun persegi ajaib. Metode yang

digunakan adalah metode Strachey,

metode LUX, dan metode Diagonal

Lozenge. Metode Strachey dan metode

LUX hanya berlaku pada persegi 4𝑚 +

2 dengan 𝑚 ≥ 1, sedangkan metode

Diagonal Lozenge berlaku untuk

persegi 4𝑚 dengan 𝑚 ≥ 1. Karena

yang akan dibahas adalah persegi ajaib

order genap maka dimulai dari order-4

dengan bilangan pertama= 𝑎 dan

selisih antar bilangan=𝑡

𝑢 selanjutnya

dikonstruksi menggunakan metode

diagonal lozenge.

1

𝑢(𝑎𝑢 + 15𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 2𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 12𝑡)

1


1

𝑢(𝑎𝑢 + 10𝑡)

1


1


1


1


1


1

𝑢(𝑎𝑢 + 11𝑡)

1


1

𝑢(𝑎𝑢 + 13𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 14𝑡)

1

𝑢(𝑎)

Gambar 2 Hasil Konstruksi Persegi

Ajaib Orde- Dengan Metode

Doagonal Lozenge

Untuk memastikan jumlah ajaib

dari persegi ajaib pada gambar 1 maka

perlu dilakukan analisis jumlah ajiab

dari setiap baris, kolom, dan

diagonalnya serta dilakukan

perhitungan menggunakan rumus 𝜇4 =

4𝑎 + 30𝑡

𝑢=

4𝑎𝑢+30𝑡

𝑢=

1

𝑢(4𝑎𝑢 + 30𝑡). Jika

jumlah ajaib yang dihasilkan sama

maka langkah selanjutnya adalah

merubah bilangan pada pada persegi

ajaib hasil konstruksi ke dalam bentuk

matriks dengan aturan 𝑎11 (baris 1

kolom 1) pada persegi ajaib diletakkan

pada 𝑎11 (baris 1 kolom 1) pada

matriks begitu juga dengan penempatan

bilangan yang lainya. Berukut adalah

bentuk matriksnya

[ 1

𝑢(𝑎𝑢 + 15𝑡)

1


1


1

𝑢(𝑎𝑢 + 10𝑡)

1


1

𝑢(𝑎𝑢 + 12𝑡)

1


1


1


1


1


1

𝑢(𝑎𝑢 + 13𝑡)

1


1

𝑢(𝑎𝑢 + 11𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 14𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢)

]

=1

𝑢[

(𝑎𝑢 + 15𝑡) (𝑎𝑢 + 𝑡)

(𝑎𝑢 + 4𝑡) (𝑎𝑢 + 10𝑡)

(𝑎𝑢 + 2𝑡) (𝑎𝑢 + 12𝑡)

(𝑎𝑢 + 9𝑡) (𝑎𝑢 + 7𝑡)(𝑎𝑢 + 8𝑡) (𝑎𝑢 + 6𝑡)

(𝑎𝑢 + 3𝑡) (𝑎𝑢 + 13𝑡)

(𝑎𝑢 + 5𝑡) (𝑎𝑢 + 11𝑡)

(𝑎𝑢 + 14𝑡) (𝑎𝑢)

]

=1

𝑢([

𝑎𝑢 𝑎𝑢𝑎𝑢 𝑎𝑢




] + [

15𝑡 𝑡4𝑡 10𝑡

2𝑡 12𝑡9𝑡 7𝑡

8𝑡 6𝑡3𝑡 13𝑡

5𝑡 11𝑡14𝑡 0𝑡

])

= [

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

] +1

𝑢[

15𝑡 𝑡4𝑡 10𝑡

2𝑡 12𝑡9𝑡 7𝑡

8𝑡 6𝑡3𝑡 13𝑡

5𝑡 11𝑡14𝑡 0𝑡

]

= [𝐴] +1

𝑢[𝑇4] ............................................ (3)

Agar lebih memahami dalam

penggunaan rumus diatas maka berikut

dalam contohnya. Terdapat suatu

barisan aritmatika dengan suku pertama

adalah 1 dan selisih antar bilangan 2

3

maka, dapat diketahui 𝑎 = 1, 𝑡 =

2, 𝑢 = 3.

[

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

] +1

𝑢[

15𝑡 𝑡4𝑡 10𝑡

2𝑡 12𝑡9𝑡 7𝑡

8𝑡 6𝑡3𝑡 13𝑡

5𝑡 11𝑡14𝑡 0𝑡

]

= [

1 11 1

1 11 1

1 11 1

1 11 1

] +1

3[

15 × 2 24 × 2 10 × 2

2 × 2 12 × 29 × 2 7 × 2

8 × 2 6 × 23 × 2 13 × 2

5 × 2 11 × 214 × 2 0

]

= [

1 11 1

1 11 1

1 11 1

1 11 1

] +1

3[

30 28 20

4 2418 14

16 126 26

10 1128 0

]

=

[ 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1]

+

[ 10

2

3

8

3

20

3

4

38

614

3

16

34

226

3

10

3

11

3

28

30 ]

=

[ 11

5

3

11

3

23

3

7

39

717

3

19

35

329

3

13

3

14

3

31

31 ]

Dari bentuk matriks yang didapat akan

dirubah dalam bentuk persegi ajaib

dengan aturan 𝑎11 (baris 1 kolom 1)

pada matriks diletakkan pada 𝑎11 (baris

1 kolom 1) pada persegi ajaib begitu

juga dengan penempatan bilangan yang

lainya. Namun sebelum dirubah dalam

bentuk persegi ajaib terlebih dahulu

dihitung jumlah ajaibnya menggunakan

rumus yang ada

𝜇4 = 4𝑎 + 30𝑡

𝑢= 4 × 1 + 30 (

2

3)

= 4 + 20 = 24

Berikut adalah bentuk persegi ajaibnya

11 5

3

7

3 9

11

3

23

3 7

17

3

19

3 5

13

3

14

3

3 29

3

31

3 1

Gambar 3 Hasil Persegi Ajaib Order-4

Dengan 𝜇4 = 24

Sama dengan cara konstruksi

order-4 hanya saja pada order-6 ini

metode konstruksinya menggunakan

metode Strachey dan metode LUX

sehingga berikut adalah hasil

konstruksi persegi ajaib baku order-6.

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 34𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 5𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 25𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 18𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 23𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 2𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 31𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 6𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 20𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 22𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 24𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 30𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 8𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 21𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 26𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 19𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 7𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 27𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 32𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 16𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 9𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 14𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 29𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 4𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 33𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 11𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 13𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 15𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 3𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 35𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 28𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 12𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 17𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 10𝑡)

(a)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 31𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 28𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 3𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 23𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 20𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 29𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 30𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 2𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 21𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 22𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 11𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 8𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 16𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 19𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 27𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 24𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 9𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 10𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 17𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 18𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 25𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 26𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 12𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 15𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 35𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 32𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 4𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 7𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 13𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 14𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 33𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 34𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 5𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢

+ 6𝑡)

(b)

Gambar 4 Hasil Konstruksi Persegi

Ajaib Orde-6(a) Dengan Metode

Strachey dan (b) Dengan Metode LUX

Untuk memastikan jumlah ajaib

dari persegi ajaib pada gambar 1 maka

perlu dilakukan analisis jumlah ajiab

dari setiap baris, kolom, dan

diagonalnya serta dilakukan

perhitungan menggunakan rumus 𝜇6 =

6𝑎 + 105𝑏 = 6𝑎 + 105𝑡

𝑢=

6𝑎𝑢+105𝑡

𝑢=

1

𝑢(6𝑎𝑢 + 105𝑡). Jika jumlah ajaib yang

dihasilkan sama maka langkah

selanjutnya adalah merubah bilangan

pada pada persegi ajaib hasil konstruksi

ke dalam bentuk matriks dengan aturan

𝑎11 (baris 1 kolom 1) pada persegi

ajaib diletakkan pada 𝑎11 (baris 1

kolom 1) pada matriks begitu juga

dengan penempatan bilangan yang

lainya. Berukut adalah bentuk matriks

dari metode strachey

[ 1

𝑢(𝑎𝑢 + 34𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢)

1


1


1

𝑢(𝑎𝑢 + 31𝑡)

1


1

𝑢(𝑎𝑢 + 30𝑡)

1


1


1

𝑢(𝑎𝑢 + 25𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 18𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 23𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 20𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 22𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 24𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 21𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 26𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 19𝑡)

1


1

𝑢(𝑎𝑢 + 27𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 32𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 29𝑡)

1


1

𝑢(𝑎𝑢 + 33𝑡)

1


1

𝑢(𝑎𝑢 + 35𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 28𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 16𝑡)

1


1

𝑢(𝑎𝑢 + 14𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 11𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 13𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 15𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 12𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 17𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 10𝑡)]

=1

𝑢

[ (𝑎𝑢 + 34𝑡) (𝑎𝑢) (𝑎𝑢 + 5𝑡)(𝑎𝑢 + 2𝑡) (𝑎𝑢 + 31𝑡) (𝑎𝑢 + 6𝑡)(𝑎𝑢 + 30𝑡) (𝑎𝑢 + 8𝑡) (𝑎𝑢 + 𝑡)

(𝑎𝑢 + 25𝑡) (𝑎𝑢 + 18𝑡) (𝑎𝑢 + 23𝑡)(𝑎𝑢 + 20𝑡) (𝑎𝑢 + 22𝑡) (𝑎𝑢 + 24𝑡)(𝑎𝑢 + 21𝑡) (𝑎𝑢 + 26𝑡) (𝑎𝑢 + 19𝑡)


(𝑎𝑢 + 16𝑡) (𝑎𝑢 + 9𝑡) (𝑎𝑢 + 14𝑡)(𝑎𝑢 + 11𝑡) (𝑎𝑢 + 13𝑡) (𝑎𝑢 + 15𝑡)(𝑎𝑢 + 12𝑡) (𝑎𝑢 + 17𝑡) (𝑎𝑢 + 10𝑡)]

=1

𝑢

(

[ 𝑎𝑢 𝑎𝑢 𝑎𝑢𝑎𝑢 𝑎𝑢 𝑎𝑢𝑎𝑢 𝑎𝑢 𝑎𝑢

𝑎𝑢 𝑎𝑢 𝑎𝑢𝑎𝑢 𝑎𝑢 𝑎𝑢𝑎𝑢 𝑎𝑢 𝑎𝑢


𝑎𝑢 𝑎𝑢 𝑎𝑢𝑎𝑢 𝑎𝑢 𝑎𝑢𝑎𝑢 𝑎𝑢 𝑎𝑢]

+

[ 34𝑡 0𝑡 5𝑡2𝑡 31𝑡 6𝑡30𝑡 8𝑡 𝑡

25𝑡 18𝑡 23𝑡20𝑡 22𝑡 24𝑡21𝑡 26𝑡 19𝑡

7𝑡 27𝑡 32𝑡29𝑡 4𝑡 33𝑡3𝑡 35𝑡 28𝑡

16𝑡 9𝑡 14𝑡11𝑡 13𝑡 15𝑡12𝑡 17𝑡 10𝑡]

)

=

[ 𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎]

+1

𝑢

[ 34𝑡 0𝑡 5𝑡2𝑡 31𝑡 6𝑡30𝑡 8𝑡 𝑡

25𝑡 18𝑡 23𝑡20𝑡 22𝑡 24𝑡21𝑡 26𝑡 19𝑡

7𝑡 27𝑡 32𝑡29𝑡 4𝑡 33𝑡3𝑡 35𝑡 28𝑡

16𝑡 9𝑡 14𝑡11𝑡 13𝑡 15𝑡12𝑡 17𝑡 10𝑡]

= [𝐴] +1

𝑢[𝑇6𝑎] ............................................... (4)

Contoh persegi ajaib order-6 dengan

bilangan pertama −3 dan selisih antar

bilangan adalah 1

4, sehingga didapat

𝑎 = −3, 𝑡 = 1,

𝑢 = 4. Berikut adalah perhitunganya.

[ 𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎]

+1

𝑢

[ 34𝑡 0𝑡 5𝑡

2𝑡 31𝑡 6𝑡

30𝑡 8𝑡 𝑡

25𝑡 18𝑡 23𝑡

20𝑡 22𝑡 24𝑡

21𝑡 26𝑡 19𝑡

7𝑡 27𝑡 32𝑡

29𝑡 4𝑡 33𝑡

3𝑡 35𝑡 28𝑡

16𝑡 9𝑡 14𝑡

11𝑡 13𝑡 15𝑡

12𝑡 17𝑡 10𝑡]

=

[ −3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3]

+1

4

[ 34 × 1 0 5 × 1

2 × 1 31 × 1 6 × 1

30 × 1 8 × 1 1

25 × 1 18 × 1 23 × 1

20 × 1 22 × 1 24 × 1

21 × 1 26 × 1 19 × 1

7 × 1 27 × 1 32 × 1

29 × 1 4 × 1 33 × 1

3 × 1 35 × 1 28 × 1

16 × 1 9 × 1 14 × 1

11 × 1 13 × 1 15 × 1

12 × 1 17 × 1 10 × 1]

=

[ −3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3]

+

[ 17

20

5

4

1

2

31

4

3

2

15

22

1

4

25

4

9

2

23

4

511

26

21

4

13

2

19

4

7

4

27

48

29

41

33

4

3

4

35

47

49

4

7

2

11

4

13

4

15

4

317

4

5

2 ]

=

[

11

2−3 −

7

4

−5

2

9

4−

3

2

9

2−1 −

11

4

13

4

3

2

11

4

25

23

9

4

7

2

7

4

−5

4

15

45

7

4−2

21

4

−9

4

23

44

1 −3

4

1

2

−1

4

1

4

3

4

05

4−

1

2]

Selanjutnya menghitung jumlah

ajaibnya menggunakan rumus yang ada

𝜇6 = 6𝑎 + 105𝑡

𝑢= 6 × (−3) + 105 (

1

4)

= −18 +105

4=

33

4


adalah

11

2 -3 −

7

4

13

4

3

2

11

4

−5

2

9

4 −

3

2 2

5

2 3

9

2 −1 −

11

4

9

4

7

2

7

4

−5

4

15

4 5 1 −

3

4

1

2

7

4 −2

21

4 −

1

4

1

4

3

4

−9

4

23

4 4 0

5

4 −

1

2


Cara a Dengan 𝜇4 =33

4

Sedangkan berikut adalah konstruksi

dengna metode LUX

[ 1

𝑢(𝑎𝑢 + 31𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 28𝑡)

1


1

𝑢(𝑎𝑢 + 29𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 30𝑡)

1


1

𝑢(𝑎𝑢 + 11𝑡)

1


1

𝑢(𝑎𝑢 + 16𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 23𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 20𝑡)

1


1

𝑢(𝑎𝑢 + 21𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 22𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 19𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 27𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 24𝑡)

1


1

𝑢(𝑎𝑢 + 10𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 17𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 12𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 15𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 35𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 13𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 14𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 33𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 18𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 25𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 26𝑡)

1

𝑢(𝑎𝑢 + 32𝑡)

1


1


1

𝑢(𝑎𝑢 + 34𝑡)

1


1

𝑢(𝑎𝑢 + 6𝑡) ]

=1

𝑢

[ (𝑎𝑢 + 31𝑡) (𝑎𝑢 + 28𝑡) (𝑎𝑢 + 3𝑡)(𝑎𝑢 + 29𝑡) (𝑎𝑢 + 30𝑡) (𝑎𝑢 + 𝑡)(𝑎𝑢 + 11𝑡) (𝑎𝑢 + 8𝑡) (𝑎𝑢 + 16𝑡)

(𝑎𝑢) (𝑎𝑢 + 23𝑡) (𝑎𝑢 + 20𝑡)(𝑎𝑢 + 2𝑡) (𝑎𝑢 + 21𝑡) (𝑎𝑢 + 22𝑡)(𝑎𝑢 + 19𝑡) (𝑎𝑢 + 27𝑡) (𝑎𝑢 + 24𝑡)


(𝑎𝑢 + 18𝑡) (𝑎𝑢 + 25𝑡) (𝑎𝑢 + 26𝑡)(𝑎𝑢 + 32𝑡) (𝑎𝑢 + 4𝑡) (𝑎𝑢 + 7𝑡)(𝑎𝑢 + 34𝑡) (𝑎𝑢 + 5𝑡) (𝑎𝑢 + 6𝑡) ]

=1

𝑢

(

[ 𝑎𝑢 𝑎𝑢 𝑎𝑢𝑎𝑢 𝑎𝑢 𝑎𝑢𝑎𝑢 𝑎𝑢 𝑎𝑢



𝑎𝑢 𝑎𝑢 𝑎𝑢𝑎𝑢 𝑎𝑢 𝑎𝑢𝑎𝑢 𝑎𝑢 𝑎𝑢]

+

[ 31𝑡 28𝑡 3𝑡29𝑡 30𝑡 𝑡11𝑡 8𝑡 16𝑡

0𝑡 23𝑡 20𝑡2𝑡 21𝑡 22𝑡19𝑡 27𝑡 24𝑡

9𝑡 10𝑡 17𝑡12𝑡 15𝑡 35𝑡13𝑡 14𝑡 33𝑡

18𝑡 25𝑡 26𝑡32𝑡 4𝑡 7𝑡34𝑡 5𝑡 6𝑡 ]

)

=


𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎]

+1

𝑢

[ 31𝑡 28𝑡 3𝑡29𝑡 30𝑡 𝑡11𝑡 8𝑡 16𝑡

0𝑡 23𝑡 20𝑡2𝑡 21𝑡 22𝑡19𝑡 27𝑡 24𝑡

9𝑡 10𝑡 17𝑡12𝑡 15𝑡 35𝑡13𝑡 14𝑡 33𝑡

18𝑡 25𝑡 26𝑡32𝑡 4𝑡 7𝑡34𝑡 5𝑡 6𝑡 ]

=


𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎

𝑎 𝑎𝑎 𝑎]

+1

𝑢

[ 31𝑡 28𝑡 3𝑡29𝑡 30𝑡 𝑡11𝑡 8𝑡 16𝑡

0𝑡 23𝑡 20𝑡2𝑡 21𝑡 22𝑡19𝑡 27𝑡 24𝑡

9𝑡 10𝑡 17𝑡12𝑡 15𝑡 35𝑡13𝑡 14𝑡 33𝑡

18𝑡 25𝑡 26𝑡32𝑡 4𝑡 7𝑡34𝑡 5𝑡 6𝑡 ]

= [𝐴] +1

𝑢[𝑇6𝑏] ............................................. (5)

Dengan contoh soal yang sama dengan

cara a yakni bilangan pertama −3 dan

selisih antar bilangan adalah 1

4,

sehingga didapat𝑎 = −3, 𝑡 = 1, 𝑢 = 4.

Berikut adalah perhitunganya.

[ 𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎]

+1

𝑢

[ 31𝑡 28𝑡 3𝑡

29𝑡 30𝑡 𝑡

11𝑡 8𝑡 16𝑡

0𝑡 23𝑡 20𝑡

2𝑡 21𝑡 22𝑡

19𝑡 27𝑡 24𝑡

9𝑡 10𝑡 17𝑡

12𝑡 15𝑡 35𝑡

13𝑡 14𝑡 33𝑡

18𝑡 25𝑡 26𝑡

32𝑡 4𝑡 7𝑡

34𝑡 5𝑡 6𝑡 ]

=

[ −3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3]

+1

4

[ 31 × 1 28 × 1 3 × 1

29 × 1 30 × 1 1

11 × 1 8 × 1 16 × 1

0 23 × 1 20 × 1

2 × 1 21 × 1 22 × 1

19 × 1 27 × 1 24 × 1

9 × 1 10 × 1 17 × 1

12 × 1 15 × 1 35 × 1

13 × 1 14 × 1 33 × 1

18 × 1 25 × 1 26 × 1

32 × 1 4 × 1 7 × 1

34 × 1 5 × 1 6 × 1 ]

=

[ −3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3

−3 −3]

+

[ 31

47

3

4

29

4

15

2

1

4

11

42 4

023

45

1

2

21

4

11

2

19

4

27

46

9

4

5

2

17

4

315

4

35

4

13

4

7

2

33

4

9

2

25

4

13

2

8 17

4

17

2

5

4

3

2 ]

=

[

9

44 −

9

4

7

4

9

2−

11

4

−1

4 −1 1

−311

42

−5

2

9

4

5

2

7

4

15

43

−3

4−

1

2

5

4

03

4

23

4

1

4

1

2

21

4

3

2

13

4

7

2

5 −2 −5

4

11

2−

7

4−

3

2]

Selanjutnya menghitung jumlah

ajaibnya menggunakan rumus yang ada

𝜇6 = 6𝑎 + 105𝑡

𝑢= 6 × (−3) + 105 (

1

4)

= −18 +105

4=

33

4


adalah

9

4 4 −

9

4 −3

11

4 2

7

4

9

2 −

11

4 −

5

2

9

4

5

2

−1

4 −1 1

7

4

15

4 3

−3

4 −

1

2

5

4

3

2

13

4

7

2

0 3

4

23

4 5 −2 −

5

4

1

4

1

2

21

4

11

2 −

7

4 −

3

2


Cara b Dengan 𝜇4 =33

4

Menggunakan langkah-langkah

yang sama dalam mengkonstruksi

maka akan diperoleh hasil konstruksi

persegi ajaib order genap. Untuk order

genap kelipatan 4 dapat dilakukan

dengan satu cara konstruksi yakni

dengan metode doagonal lozenge.

Sedangkan untuk order genap yang

bukan kelipatan 4 dapat dilakukan

dengan dua cara konstruksi yakni

dengan metode strahey dan metode

LUX.

SIMPULAN

Berdasarkan hasil pembahasan

persegi ajaib order genap yang

tergeneralisasi didapatkan langkah-

langkah dalam mengkonstruksi persegi

ajaib order genap, yaitu pertama

menentukan elemen penyusun persegi

ajaib, yakni harus membentuk pola

barisan aritmatika.Kedua menentukan

jumlah ajaib persegi ajaib dengan

rumus 𝜇𝑛 = 𝑛𝑎 +𝑛

2(𝑛2 − 1)

𝑡

𝑢. Ketiga

dikonstruksi dengan metode yang

sudah ada sebelumnya, yakni metode

Lozenge untuk persegi ajaib 4𝑚

sedangkan metode Strachey dan

metode LUX untuk persegi ajaib 4𝑚 +

2 dengan 𝑚 ≥ 1. Yang terakhir adalah

hasil konstruksi persegi ajaib diubah

dalam bentuk matriks dengan

aturan𝑎11 (baris 1 kolom 1) pada

persegi ajaib diletakkan pada 𝑎11 (baris

1 kolom 1) pada matriks begitu juga

dengan penempatan bilangan yang

lainnya. Selanjutnya dikonstruksi

hingga membentuk matriks [𝐴] +1

𝑢[𝑇𝑛].

RUJUKAN

Hendarto, Cahyono. 2006. Metode

Pengkonstruksian Persegi Ajaib.

Gammatika Tahun 2011 No.2:

149-162.

Kirmani, M. Zaki & N.K. Singh. 2005.

Encyclopedia Of Islamic Science

And Scientists.New Delhi:Global

Vision Publishing House.

Mujtahidah, Adila. 2013. Azimat

Gabungan Antara Alfabetik Dan

Numerik. Skripsi S1 SAINS

Matematika. Universitas Islam

Negeri Malang.

Pickover, Clifford A.. 2002. The Zen of

Magic Square, Circles, and Stars.

New Jersey: Princeton University

Press.

Simon, William. 1964. Mathematical

Magic. New York: Charles

Scribner’s Sons.

Tung, Khoe Yao. 2011. Memahami

Teori Bilangan Dengan Mudah

Dan Menarik. Jakarta: PT

Gramedia Widiasarana Indonesia.

Yulinto, Dedi. 2011. Generalisasi

Jumlah Ajaib Pada Persegi Ajaib

Order Empat. Skripsi S1

Pendidikan. Universitas

Muhammadiyah Malang.

Documents

magic square