MATEMATIKA 5.tankönyv

MEGOLDÁSOK

Oktatási Hivatal

Szerk

eszt

és a

latt

2

TARTALOM

I. Az egész számok 51. A számok kialakulása, a római számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. A helyiértékes írás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93. A számjegyek hármas csoportosítása és a számok kiolvasása . . . . . 134. A természetes számok helyesírása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155. Számrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166. A számok ábrázolása a számegyenesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197. Becslés, kerekítés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218. Összeadás, írásbeli összeadás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239. Kivonás, írásbeli kivonás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

10. Szorzás, írásbeli szorzás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2711. Osztás, írásbeli osztás kétjegyű osztóval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2912. Műveletek tulajdonságai, műveleti sorrend, zárójelek . . . . . . . . . . 3413. Negatív számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3814. A számok ellentettje és abszolút értéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4115. Egész számok összeadása és kivonása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4316. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

II. Törtek, tizedes törtek 531. Ismerkedés a törtekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542. Törtek bővítése, egyszerűsítése, összehasonlítása . . . . . . . . . . . . . 613. Törtek ábrázolása számegyenesen, vegyes törtek . . . . . . . . . . . . . 664. Egyenlő nevezőjű törtek összeadása és kivonása . . . . . . . . . . . . . . 705. Különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása . . . . . . . . . . . . 746. Tört szorzása természetes számmal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817. Tört osztása pozitív egész számmal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858. Műveletek sorrendje, zárójelfelbontás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889. Mit tanultunk eddig? Gyakoroljunk! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

10. Tizedes törtek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9911. Tizedes törtek ábrázolása, kerekítése és összehasonlítása . . . . . . . 10212. Tizedes törtek összeadása és kivonása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10613. Tizedes törtek szorzása természetes számmal . . . . . . . . . . . . . . . 10914. Tizedes törtek osztása pozitív egész számmal . . . . . . . . . . . . . . . 11315. Közönséges törtek tizedes tört alakja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11616. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Bevezető 3

Szerk

eszt

és a

latt

3

TARTALOM

III. Bevezetés a geometriába 129 1. Csoportosítások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 2. Halmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3. Test, felület, vonal, pont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4. A szög . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5. Síkidomok, sokszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6. Testek építése, szemléltetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7. Egyenesek síkban, térben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 8. Téglalap, négyzet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 9. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

IV. Hosszúság, terület, térfogat 165 1. A hosszúság mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 2. Téglalap, négyzet kerülete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 3. A terület mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4. Téglalap, négyzet területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5. Téglatest, kocka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6. Téglatest, kocka felszíne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7. A térfogat mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 8. Téglatest, kocka térfogata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 9. Gyakorlati feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18810. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

V. Helymeghatározás, sorozatok 195 1. A helymeghatározás szerepe környezetünkben . . . . . . . . . . . . . . 196 2. Helymeghatározás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 3. A derékszögű koordináta-rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 4. Pontok ábrázolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5. Tájékozódás síkban, térben (kiegészítő tananyag) . . . . . . . . . . . . . 204 6. Ritmusok, díszítések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 7. Keressünk összefüggéseket! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 8. Sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 9. Nevezetes, érdekes sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21410. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Szerk

eszt

és a

latt

4

TARTALOM

VI. Mérés, arányosság, szöveges feladatok 2251. A tömeg mérése, mértékegységei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2262. Az űrtartalom mérése, mértékegységei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2293. Az idő mérése, mértékegységei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2324. Mértékegység-átváltások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2355. Arányosságok, változó mennyiségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2406. Egyenes arányosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2427. Nyitott mondatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2468. Keressük a megoldásokat! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2479. Egyszerű szöveges feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

10. Szöveges feladatok a hétköznapjainkban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25211. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

VII. Adatgyűjtés, statisztika 2611. Játékok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2622. Táblázatok, grafikonok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2633. Adatgyűjtés, az adatok ábrázolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2644. Átlag és tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2665. Lehetetlen, lehetséges, biztos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2686. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

Szerk

eszt

és a

latt

I. Az egész számok

Az ötödikesek a nyár végi osztálykirándulásról tartottak hazafelé. Űrhajójuk éppen a Mars közelében haladt el, amikor Attila – akit maguk között Okoskának neveztek – megszólalt:– Jé, a távolságmérő pont 96 000 000-n áll! – Mire Zsombi odanézett, a kijelző már 95 995 012-re ugrott.– Azt mutatja, hogy hány kilométerre vagyunk a Földtől.– Akkor már alig van hátra valami! – sóhajtott Panni szomorkásan. A csillagok bámulását ugyan unta egykissé, de azt tudta, hogy a kirándulás után föciből kevesebbet kell majd tanulnia.– Észrevettétek, hogy minden műszerünk hármasával csoportosítva írja ki a számjegyeket? Várjatok,megállítom! Most éppen 95 014 324-et mutat – mondta Attila, miközben kimerevítette a számot a kijel-zőn. – Az utolsó hármas csoport kiolvasása egyszerűen háromszázhuszonnégy. Jobbról a második hár-mas csoport (014) az ezresek számát adja, és tizennégyezernek olvassuk. Az eleje (95) a milliók számátméri, kiolvasva kilencvenötmillió. Amikor megállítottam a számlálót, éppen kilencvenötmillió-tizennégy-ezer-háromszázhuszonnégy kilométerre voltunk otthonról!– Elég – hörögte Gazsi elborult tekintettel –, ezt mindenki tudja. Ha nem hagyod abba, megjárod. – Eköz-ben Panni, orrát a kukucskáló ablakhoz nyomva arra nézett, amerre a Földet sejtette.

Szerk

eszt

és a

latt

6

A SZÁMOK KIALAKULÁSA, A RÓMAI SZÁMOK1.Feladatok1 Nemcsak a római számírás különbözik az Európában is hasz nált számírástól, hanem a keleti arab számok is.a) Írd le arabusul a 785-öt!b) Barátunk, Hamilkar megadta a

telefonszámát: .Írd át általunk használható telefonszámra!

Az arab telefonbillentyűzeten szerepelnek a Magyarországon is használt számjegyek, valamint a valódi arab számjegyek.

Megoldás:

a) b) +36 2167881244

2 Keresd meg, mely számok egyenlők egymással az alábbiak közül!A) négyszázötvenhét E) 764 I) CDXCIIIB) négyszázkilencvenhárom F) 457 J) DCCXCVIC) hétszázhatvannégy G) 796 K) CDLVIID) hétszázkilencvenhat H) 493 L) DCCLXIV

Megoldás:

Összetartozók:  A–F–K;  B–H–I;  C–E–L;  D–G–J

3 Írd át a római számokat az általunk használt helyiértékes írásmód szerint!a) XIV b) LXVI c) XLVIII d) CCLXXIII e) CDXXXIX f) DCLXXVIIg) DCCCVIII h) CMXXV i) MI j) MDLV k) MXLVI l) MMCCXXII

Megoldás:

a) 14; b) 66; c) 48; d) 273; e) 439; f) 677;g) 808; h) 925; i) 1001; j) 1555; k) 1046; l) 2222.

4 Írd le az általunk használt helyiértékes írásmód szerint a következő római számokkal megadott évszámokat!a) DCCCXXXIX b) CMXI c) MCXI d) MCMXLV e) MCMXCIX f) MMXXI

Megoldás:

a) 839; b) 911; c) 1111; d) 1945; e) 1999; f) 2021.

5 A turistautak hosszát mutatja a tábla. Rendezd az útvonalakat növekvő sorrendbe a hosszúságuk szerint!

Megoldás:

Piros 26 km, kék 27 km, zöld 19 km, sárga 24 km.Növekvő sorrend: zöld, sárga, piros, kék.

Szerk

eszt

és a

latt

7

A SZÁMOK KIALAKULÁSA, A RÓMAI SZÁMOK 1.6 a) – Gondoltam egy római számra, amely három jelből áll – mondta Tóni. – Az első jel a harmadik ötszöröse. A harmadik jel a második jel tízszerese. Melyik római számra gondoltam?– Ezt nem lehet megmondani, mert több ilyen szám is van – mondta Gergő.Írd fel a füzetedbe, melyek lehetnek ezek a számok!b) – Így kell ezt! – mondta Gergő – A számomban az első jel a második tízszerese, a második jel pedig aharmadik tízszerese. Melyik számra gondoltam?Szerinted Gergő tudott olyan feladványt adni, amelynek csak egy megoldása van?c) Írj egy feladványt, amelyiknek csak egy, és egy másikat, amelyiknek több megoldása is van!

Megoldás

a) A harmadik jel X vagy C lehet.

Ezért két lehetőség van: LIX, vagy DXC.

b) Itt is több lehetőség van: DLV, CXI, MCX.c) Például: egy lehetőség van, ha az első jel a második százszorosa, a második jel a harmadik jel tízsze-

rese. Ekkor a szám MXI.Több lehetőség van, ha például az első jel a harmadik jel kétszerese, az első jel a második tízszerese.Ekkor lehet: XIV, CXL, MCD.

7 Az azonos színű lufikat tartó gyere-kek egy csapatba tartoznak. Az a felada-tuk, hogy a lufikon szereplő római számok segítségével a lehető legnagyobb számot alkossák úgy, hogy a megfelelő sorrendbe állnak.a) Írd fel a csapatok számait római és arabszámmal is!b) Melyik csapat száma lett a legnagyobb?c) Jutka néni egyedül állt, lufi nélkül. A gyerekek megsajnálták, és adtak neki egy piros lufit. Huncutulmegjegyezték, hogy írhat rá egy római számjelet, de biztosan nem az övé lesz a legnagyobb szám. Melyikrómai számot írta Jutka néni a lufijára, hogy megcáfolja ezt az állítást?

Megoldás:

a) Sárga csapat: DCXX=620, lila csapat DCC=700, világoskék csapat DCL=650.b) A lila csapaté.c) Jutka néni az M-et írta a lufijára.

8 Írd le a következő számokat római számokkal!a) 249 b) 357 c) 497 d) 578 e) 841 f) 945g) 1067 h) 1234 i) 1403 j) 1556 k) 1631 l) 1945

Megoldás:

a) CCXLIX; b) CCCLVII; c) CDXCVII; d) DLXXVIII; e) DCCCXLI; f) CMXLV;g) MLXVII; h) MCCXXXIV; i) MCDIII; j) MDLVI; k) MDCXXXI; l) MCMXLV.

Szerk

eszt

és a

latt

8

A SZÁMOK KIALAKULÁSA, A RÓMAI SZÁMOK1.9 A gonosz boszorkány azt mondta az arra tévedt királyfinak: – Én ezekkel a számkártyákkal 4 különböző számot is ki tudok rakni. Ha neked sikerül többet, szabadon engedlek, de ha nem, varangyos békává varázsollak! De jól figyelj, minden számnál fel kell használnod az összes számkártyát!A királyfi szerencsésen megmenekült. Ugye neked is sikerülne? Sorold fel a felírható számokat a füzetedbe, és írd melléjük az arab megfelelő-jüket is!

Megoldás:

MCXI = 1111MCIX = 1109CMXI = 911CMIX = 909MXCI = 1091

10 A hat jelből álló római számnak nem ismerjük az első és utolsó jelét. Írj az üres helyekre minél több-féle lehetséges jelet, és írd fel az így kapott számokat arab számmal is!

_ M D C X _

Megoldás:

Az első helyre csak M kerülhet. Így a lehetőségek: MMDCXI = 2611; MMDCXV = 2615; MMDCXX = 2620; MMDCXL = 2640; MMDCXC = 2690.

Szerk

eszt

és a

latt

9

A HELYIÉRTÉKES ÍRÁS 2.Feladatok1 Rajzold le a füzetedbe, hogyan írták az egyiptomiak a következő mondatokban lévő számokat!a) Az áradás 4 nappal később következett be, mint tavaly.b) A nagy fáraó uralkodásának első 18 éve békét hozott.c) Mind a 128 adófizető beszolgáltatta a rájuk kirótt vízhasználati és gabonaadót.d) 1200 katona várja parancsodat a holnapi csatában.e) Hét bőséges esztendőt hét szűk termést hozó esztendő követ.f) Mind a 40 testőröd felsorakozott a kérésedre.g) Őszentsége, a hatalmas fáraó papjainak száma 2884.

Megoldás:

a) b) 

c)  d) 

e)  f) 

g) 

2 Írd fel azokat a 2, 3 és 4 jegyű számokat, amelyek csaka) a 8-as számjegyet tartalmazzák! b) a 8-as vagy a 9-es számjegyet tartalmazzák!c) a 0 vagy az 1 számjegyet tartalmazzák! d) a 0, 1, 2 vagy 3 számjegyeket tartalmazzák!

Megoldás:

a) 88, 888, 8888b) kétjegyű számok: 88, 89, 98, 99 háromjegyű számok: 888, 889, 898, 988, 998, 989, 899, 999 négyjegyű számok: 8888, 8889, 8898, 8988, 9888, 8899, 8989, 8998, 9889, 9898, 9988, 8999, 9899,

9989, 9998, 9999c) kétjegyű számok: 10, 11 háromjegyű számok: 100, 110, 101, 111 négyjegyű számok: 1000, 1100, 1010, 1001, 1110, 1101, 1011, 1111d) kétjegyű számok: 10, 20, 30, 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33 háromjegyű számok: 100-től 333-ig 3 · 4 · 4 = 48 db ilyen szám van. négyjegyű számok: 1000 től 3333-ig 3 · 4 · 4 · 4 = 192 db ilyen szám van

Szerk

eszt

és a

latt

10

A HELYIÉRTÉKES ÍRÁS2.3 Sári, Jázmin és Dorci egy régi társasjátékkal játszanak a nagy mamáéknál. Dédi a bankos, aki segít a gyerekek pénzét beváltani, és az összegeket egy lapra írja. Sajnos nincs rajta a szemüvege, így néha elhibázza a feladatát. Keresd meg, hol dolgozott hibátlanul, a hibás váltásokat pedig javítsd ki!

a) Dédi megszámolta Sári pénzét, és 27 200 Ft-ot írt fel.

b) Dédi megszámolta Jázmin pénzét, és 13 800 Ft-ot írt fel.

c) Dédi megszámolta Dorci pénzét, és 13 320 Ft-ot írt fel.

Megoldás:

a) Sári pénze: 1 db tízezres, 6 db ezres és 12 db százas, összesen 17 200 Ft, így Dédi rosszul számolt.b) Jázmin pénze: 13 db ezres, 5 db százas és 3 db tízes, összesen 13 530 Ft, így Dédi rosszul számolt.c) Dorci pénze: 1 db tízezres, 2 db ezres, 12 db százas és 12 db tízes, összesen 13 320 Ft, most Dédi jól

számolt.

4 a) Keresd az alábbi oszlopokban felírt számok közül az egyenlőket! Írd le csoportosítva a füzetedbe az egyenlő számokhoz tartozó betűjeleket!

b) Állítsd növekvő sorrendbe a csoportokat! Ha a csoporton belüli betűket ügyesen sorrendbe teszed, egy értelmes szót kapsz a 12 betűből. Fejtsd meg a rejtvényt!L) 1637 Z) ezernégyszáztizenöt É) 1 ezres, 4 százas, 205 egyesS) 1415 P) ezerhatszázöt A) 1 ezres, 5 százas, 13 tízes, 7 egyesN) 1605 T) ezerötszáznyolcvanhét A) 15 százas, 8 tízes, 7 egyesM) 1587 D) ezerhatszázharminchét Á) 1 ezres, 4 százas, 15 egyes

Megoldás:

1415: SZÁ1587: MTA1605: NPÉ1637: LDA

A rejtvény megfejtése: SZÁMTANPÉLDA

Szerk

eszt

és a

latt

11

A HELYIÉRTÉKES ÍRÁS 2.5 Írd fel a számot, haa) 8 tízesből és 3 egyesből áll! b) 3 tízesből és 8 egyesből áll!c) 3 százasból, 2 tízesből és 8 egyesből áll! d) 3 százasból és 8 egyesből áll!e) 3 tízesből és 8 százasból áll! f) 8 százasból, 3 egyesből és 2 tízesből áll!

Megoldás:

a) 80 + 3 = 83 b) 30 + 8 = 38c) 300 + 20 + 8 = 328 d) 300 + 8 = 308e) 30 + 800 = 830 f) 800 + 3 + 20 = 823

6 Írd fel a számot, haa) 3 egyesből, 8 tízesből és 7 százasból áll! b) 9 tízesből, 7 százasból és 2 egyesből áll!c) 4 ezresből, 7 egyesből és 5 százasból áll! d) 12 egyesből, 13 tízesből és 9 százasból áll!

Megoldás:

a) 3 + 80 + 700 = 783 b) 90 + 700 + 2 = 792c) 4000 + 7 + 500 = 4507 d) 12 + 130 + 900 = 1042

7 Készíts a füzetedbe helyiérték-táblázatot tízezerig! a) A megfelelő helyi érték alá írd be a számok számjegyeinek alaki értékét: 345, 20 123, 189 764!b) A megfelelő helyi érték alá írd be a számok számjegyeinek valódi értékét: 3567, 428 309, 1 700 060!

Megoldás:

a)A szám Százezres Tízezresek Ezresek Százasok Tízesek Egyesek

345 3 4 520 123 2 0 1 2 3

189 764 1 8 9 7 6 4

b) Bővítsük a táblázatot, ekkor minden számjegy valódi értékét be tudjuk írni.

A szám Milliósok Százezre-sek Tízezresek Ezresek Százasok Tízesek Egyesek

3 567 3000 500 60 7428 309 400 000 20 000 8000 300 0 9

1 700 060 1 000 000 700 000 0 0 0 60 0

8 Az alábbiak közül melyek azok a háromjegyű számok, amelyeknél a tízes helyi értéken álló számjegy alaki értéke 5?253; 435; 551; 355; 525; 546; 357; 555Hány ilyen háromjegyű szám van összesen?

Megoldás:

5 darab ilyen szám van a felsoroltak között. Ezek a 253, 551, 355, 357 és az 555. Az összes ilyen tulajdonságú háromjegyű számok száma 90, mert a százasok helyére 9 féle számjegy kerülhet, az egyesek helyére pedig 10.

Szerk

eszt

és a

latt

12

A HELYIÉRTÉKES ÍRÁS2.9 A Bojj bolygón is tízes számrendszert használnak, de fordított sorrendben írják a helyi értékeket, pont úgy, mint a régi egyiptomiak. Mit jelent náluk a 2341 szám? Hogy írnád le a háromezer-ötvenkettőt a Bojj bolygón?

Megoldás:

Egyezernégyszázharminckettő, azaz 1432. 2503.

10 Éva, Sándor és Edit testvérek. Zsebpénzüket a következő címlettáblázattal tartják nyilván.

ezresek ötszázasok kétszázasok százasok ötvenesek húszasok tízesekÉva 5 2 1 1 3Sándor 1 1 3 2 5 1Edit 2 2 1 2 1 1

Számold ki, hogy mennyi pénze van a gyerekeknek! Melyiküknek van a legtöbb pénze?

Megoldás:

Számoljuk ki a címletekből adódó összegeket és adjuk össze!Éva: 5 ∙ 500 + 2 ∙ 200 + 1 ∙ 100 + 1 ∙ 50 + 3 ∙ 10 = 2500 + 400 + 100 + 50 + 30 = 3080 forint.Sándor: 1 ∙ 1000 + 1 ∙ 200 + 3 ∙ 100 + 2 ∙ 50 + 5 ∙ 20 + 1 ∙ 10 = 1000 + 200 + 300 + 100 + 100 + 10 = 1710 forint.Edit: 2 ∙ 1000 + 2 ∙ 500 + 1 ∙ 100 + 2 ∙ 50 + 1 ∙ 20 + 1 ∙ 10 = 2000 + 1000 + 100 + 100 + 20 + 10 = 3230 forint.

Editnek van a legtöbb pénze.

11 a) Írd fel a legkisebb és a legnagyobb kétjegyű számot! Hány kétjegyű szám van?b) Írd fel a legkisebb és a legnagyobb háromjegyű számot! Hány háromjegyű szám van?c) Írd fel a legkisebb és a legnagyobb négyjegyű számot! Hány négyjegyű szám van?

Megoldás:

a) 10, 99. 90 darab kétjegyű szám van.b) 100, 999. 900 darab háromjegyű szám van.c) 1000, 9999. 9000 darab négyjegyű szám van.

12 Egy ötjegyű számnak csak három számjegyét ismerjük.Döntsd el, hogy mi lehet a szám, ha a következőket tudjuk róla!A tízes helyén álló számjegy egyenlő az egyes és a százas helyi értéken álló számok alaki értékének összegével. Az ezresek helyén álló szám alaki értéke a tízezres helyi értéken álló szám alaki értékének kétszerese.

Megoldás:

Tízes: 4 + 1 = 5. Ezres: 2 ∙ 3 = 6. A szám 36 451.Szerk

eszt

és a

latt

13

A SZÁMJEGYEK HÁRMAS CSOPORTOSÍTÁSA ÉS A SZÁMOK KIOLVASÁSA 3.

Feladatok1 Csoportosítsd, és olvasd ki hangosan a következő számokat!a) 56702  b) 406211  c) 101011100  d) 22022020  e) 123456789

Megoldás:a) ötvenhatezer-hétszázkettő; b) négyszázhatezer-kétszáztizenegy; c) százegymillió-tizenegyezer-száz; d) huszonkétmillió-huszonkétezer-húsz;e) százhuszonhárommillió-négyszázötvenhatezer-hétszáznyolcvankilenc.

2 Mondd ki hármas csoportosítású számként a szüleid telefon számát vagy a sajátodat!

Megoldás:Például egy budapesti szám esetén 235-7200-ból 2 357 200, kétmillió-háromszázötvenhétezer-kettőszáz vagy 36 1 235 7200-ból 3 612 357 200, hárommilliárd-hatszáztizenkétmillió-háromszázötvenhétezer-kettőszáz.

3 Zoltán papírlapokra írta a következő számjegyeket: 0; 1; 1; 2; 3; 3; 5; 6. Olvasd ki a számjegyekből kirakható legnagyobb és legkisebb nyolcjegyű számot, ha minden papírt csak egyszer lehet felhasználni!

Megoldás:Legnagyobb szám előállításának szabálya: A nagyobb helyiértéktől indulva, a választható számjegyek közül mindig a legnagyobb számot írjuk: 65 332 110.Legkisebb szám előállításának szabálya: A legnagyobb helyiértékre a legkisebb nullától különböző szám, majd a csökkenő helyiértékekre a választhatók számjegyek közül mindig a legkisebb szám kerül: 10 123 356.

4 A számok kiolvasásánál jobbról a negyedik csoportot milliárdnak nevezzük. Mondd ki a következő szá-mokat a „milliárd” szó alkalmazásával!a) 3 456 123 000 b) 19 000 000 000 c) 123 123 123 123 d) 26 513 032 millió

Megoldás:a) hárommilliárd- négyszázötvenhatmillió-százhuszonháromezer;b) tizenkilencmilliárd;c) százhuszonhárommilliárd- százhuszonhárommillió-százhuszonháromezer-százhuszonhárom;d) huszonhatezer-ötszáztizenhárommilliárd-harminckétmillió vagy

huszonhatbillió-ötszáztizenhárommilliárd-harminckétmillió.

5 Tomi „lusta” SMS-t írt beteg barátjának. A „lusta” jelző azt jelenti, hogy a szövegben előforduló számnevek helyett számjegyeket írt. Tomi a levelet úgy titkosította, hogy a számok helyett csillagot írt, és a számokból képzett hétje-gyű számot később küldte el. Mondd ki a számot!

Megoldás:1 566 627, egymillió-ötszázhatvanhatezer-hatszázhuszonhét.

Szerk

eszt

és a

latt

14

A SZÁMJEGYEK HÁRMAS CSOPORTOSÍTÁSA ÉS A SZÁMOK KIOLVASÁSA3.

6 Az olyan tulajdonságú számokat, amelyek visszafelé olvasva is ugyanazt adják, palindrom számok-nak nevezzük. Ilyen például a 121 vagy a 2002 is. Mondd ki azt a hétjegyű palindrom számot, amelynek első négy számjegye növekvő sorrendben álló páros szám! Keress palindrom szavakat: görög, apa, … !

Megoldás:

2 468 642, kétmillió-négyszázhatvannyolcezer-hatszáznegyvenkettő.

Szerk

eszt

és a

latt

15

Feladatok1 Írd le betűkkel a következő számokat!a) 46  b) 367  c) 1789  d) 5678  e) 23 456  f) 103 206

Megoldás:

a) negyvenhat;  b) háromszázhatvanhét;  c) ezerhétszáznyolcvankilenc;  d) ötezer-hatszázhetvennyolc; e) huszonháromezer-négyszázötvenhat;  f) százháromezer-kétszázhat.

2 Gábor és Éva vitatkozik, hogy az alábbi számokat melyikük írta helyesen. Segíts nekik el dönteni! (Lehet, hogy mind a ketten helyesen vagy helytelenül írták le a számot.)

Gábor írása Éva írása234 kétszázharmincnégy kettőszázharmincnégy

1205 egyezerkétszázöt ezerkétszázöt2567 kétezer ötszázhatvanhét kétezer-ötszázhatvanhét

26709 huszonhatezer-hetesszázkilenc huszonhatezerhétszázkilenc

Megoldás:

   234 – mind a két írásmód helyes.   1205 – mind a két írásmód helyes.   2567 – Éva írta helyesen. 26 709 – Gábor írása helyes.

3 Kati húga a következő számokat írta le, sajnos eléggé összevissza. Csoportosítsd hármasával a szám-jegyeket a füzetedben, és írd melléjük szöveggel a számokat!a) 23 45 45 3 b) 45678920 c) 5000 34 3 d) 12 34

Megoldás:

a)  2 345 453, kétmillió-háromszáznegyvenötezer-négyszázötvenhárom; b) 45 678 920, negyvenötmillió- hatszázhetvennyolcezer-kilencszázhúsz; c)  5 000 343, ötmillió-háromszáznegyvenhárom; d)      1234, ezerkétszázharmincnégy.

4 Írd le a következő számokat a füzetedbe úgy, hogy a számjegyeik hármasával legyenek csoportosítva! Állítsd a számokat növekvő sorrendbe! a) kétmillió-négyszáznyolcvanezer b) kétmillió-négyszáznyolcezer c) kétmillió-negyvennyolcezer d) kétmillió-negyvennyolcezer-kettő e) kétmillió-négyezer-nyolcszáz

Megoldás:

2 480 000; 2 408 000; 2 048 000; 2 048 002; 2 004 800. Nagyság szerint növekvő sorrendben: 2 004 800 < 2 048 000 < 2 048 002 < 2 408 000 < 2 480 000.

A TERMÉSZETES SZÁMOK HELYESÍRÁSA 4.

Szerk

eszt

és a

latt

16

SZÁMRENDSZEREK5.Feladatok1 A Szabolcsi családnak saját almalégyára van. 1 literes üvegekben árulják az almalevet. Figyelnek arra, hogy minél kevesebb csomag legyen, de mindig minden csomag tele legyen. 1 üveget zacskóba raknak, 2-t már szatyorba, 4-et batyuba, 8-at dobozba, 16-ot rekeszbe és 32-t kartonba.a) Tegnap 10 üveg almalevet vettem. Milyen csomagokat kaptam?b) Ma 25 üvegért mentem vissza. Több csomagot kaptam-e, mint tegnap?c) Hány üveg almalevet vettem, ha 1 kartont, 1 dobozt, 1 batyut és 1 zacskót kell hazaszállítanom?

Megoldás:

a) A 10 üveget 1 dobozba és 1 szatyorba tették.b) Igen, mert 1 rekeszt, 1 dobozt, és 1 zacskót adtak a csomagoláshoz.c)

1 karton 32 üveg

1 doboz 8 üveg

1 batyu 4 üveg

1 zacskó 1 üveg

Összesen 45 üveg

45 üveget kellett hazaszállítani.

2 Adottak a képen látható építőelemeink:a) Rajzold a füzetedbe a fenti elemeket egymás alá csök-

kenő sorrendben! Egy négyzetrács 1 egységnyi legyen!b) Állapítsd meg minden elemről (a legutolsót kivéve), hogy a közvetlenül mögötte állóból hány darabra

van szükség a kirakásához!c) Hány egységből álljon az a csík, amit a drapp elem fölé szeretnénk rakni?d) Add meg, hány egység hosszúak azok a csíkok, amelyek az alábbi darabokból állnak!

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 1 0 0 1

Szerk

eszt

és a

latt

17

SZÁMRENDSZEREK 5.Megoldás:a) b) 1 drapp = 2 sárga

1 sárga = 2 szürke, 1 szürke = 2 fekete 1 fekete = 2 piros

c) 32 egységből.d)

drapp sárga szürke fekete piros a csík hossza

1 0 0 1 0 1 ⋅ 16 + 1 ⋅ 2 = 18

1 0 1 0 1 1 ⋅ 16 + 1 ⋅ 4 + 1= 21

1 1 0 0 1 1 ⋅ 16 + 1 ⋅ 8 + 1 = 25

3 A jobb kéz ujjai megfelelhetnek a kettes számrendszer helyi értékeinek. A ki nyújtott hüvelykujj az egyeseket, a mutatóujj a ketteseket, a középső ujj a négyeseket, a gyű-rűsujj a nyolcasokat, a kisujj a tizenhatosokat jelenti.Melyik tízes számrendszerbeli számokat mutatja Tamás a kezével?

a)          b)          c)

d) Számolj a kezeden egyesével 31-ig!

Megoldás:

a) 1 + 8 + 16 = 25; b) 2 + 4 = 6; c) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31.

4 Írd át kettes számrendszerbe az 5-öt, 10-et, 15-öt, 20-at, 25-öt, 30-at!

Megoldás:

tizenhat nyolc négy kettő egy5 1 0 1

10 1 0 1 015 1 1 1 120 1 0 1 0 025 1 1 0 0 130 1 1 1 1 0

Szerk

eszt

és a

latt

18

5 Luca gyönyörű tortát sütött Nagyapó születésnapjára. Az egyetlen gondja az volt, hogy nem tudta, hogyan fogja azt a rengeteg gyertyát feltenni a torta tetejére. Szerencsére eszébe jutott, hogy Nagyapó igazi fejszámolóbajnok, így a képen látható módon oldotta meg a problé-máját. Nagyapó jót mosolygott, amikor meglátta a gyertyákat. Hány éves lett Nagyapó?

Megoldás:Luca kettes számrendszerben „írta” fel nagyapó életkorát. Az égő gyertya 1-est, a nem meggyújtott gyertya 0-t jelent.

A kettes számrendszerbeli szám: 10011012 = 1 ⋅ 64 + 0 ⋅ 32 + 0 ⋅ 16 + 1 ⋅ 8 + 1 ⋅ 4 + 0 ⋅ 2 + 1 = 77

Nagyapó 77 éves.

6 Döntsd el, hogy igaz vagy hamis!a) Ha egy kettes számrendszerbeli szám utolsó jegye 0, akkor a szám páros, azaz osztható 2-vel.b) Ha egy kettes számrendszerbeli szám utolsó két jegye 0, akkor a szám osztható 4-gyel.c) Ha egy kettes számrendszerbeli szám utolsó jegye 1, akkor a szám osztható 3-mal.

Megoldás:a) Igaz b) Igaz c) Hamis

7 A Varázspékségben 1, 3, 9, 27 és 81 fabatkásokkal lehet csak fizetni. Aki a vásárlás összegét a lehető legkevesebb érmével fizeti ki úgy, hogy ne kelljen neki visszaadni, ajándék muffint kap.a) Matrika 65 fabatkáért vásárolt péksüteményt. Hogy fizessen, hogy kapjon egy ajándék muffint?b) Huppla egy 81 fabatkással, három 27 fabatkással, két 9 fabatkással és egy 1 fabatkással fizette ki a

vásárlását, de sajnos nem kapott ajándék sütit. Mit gondolsz, hogyan kellett volna fizetnie?

Megoldás:a) 65 fabatka: 2 db 27 fabatkával, 1 db 9 fabatkával és 2 db 1 fabatkával fizetve kell a legkevesebb érmét

felhasználni.b) A 3 db 27 fabatkás helyett 1 db 81 fabatkást kellett volna adnia, így kevesebb pénzérmét használt

volna fel.

8 Mit gondolsz, milyen számjegyeket használhatsza) a 4-es számrendszerben? b) a 8-as számrendszerben?

Megoldás:a) 0; 1; 2; 3 b) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7

9 – Most számoljunk a 60-as számrendszerben! – mondta Máté bácsi, az ötödikesek matektanára. Látva a sok megszeppent arcot, mosolyogva hozzátette: – Hiszen rengetegszer használtátok már! Hogy monda-nátok például másképp azt, hogy 62 perc? – 1 óra 2 perc! – vágta rá egyszerre az egész osztály. Hány óra és hány perc a a) 197 perc, b) 426 perc, c) 4320 másodperc?

Megoldás:a) 197 perc = 3 óra és 17 percb) 426 perc = 7 óra és 6 percc) 4320 másodperc =72 perc = 1 óra és 12 perc

SZÁMRENDSZEREK5. SZÁMRENDSZEREK5.

Szerk

eszt

és a

latt

19

A SZÁMOK ÁBRÁZOLÁSA A SZÁMEGYENESEN 6.Feladatok1 Olvasd le a vonalzóról, hol kezdődik és hol végződik a ceruza és a radír! Mondd meg, milyen hosszúak!

Megoldás:A ceruza 13 cm, a radír 4 cm hosszú.

2 Mérd meg a vonalzód segítségével, hogy milyen hosszúak a következő tárgyak:a) a tollad;  b) a kulcsod;  c) a mutatóujjad;  d) a tolltartód!

Megoldás: Egyéni megoldások születnek.

3 Olvasd le a számegyenesről, hogy melyik uralkodó mettől meddig uralkodott! (Interneten ellenőrizd, hogy jól olvastad-e le a számokat!)

1200 1250 1300

Imre

III. László

II. András

IV. Béla IV. László

V. István III. András

Megoldás:Imre 1196–1204, III. László 1204–1205, II. András 1205–1235, IV. Béla 1235–1270, V. István 1270–1272, IV. László 1272–1290, III. András 1290–1301.

4 Rajzolj a füzetedbe az előző példa egyeneséhez hasonló időegyenest az 1100–1200 közötti évekről! Keresd meg, hogy a felsorolt Árpád-házi királyok mettől meddig uralkodtak, és szemléltesd az előző feladathoz hasonlóan: Köny-ves Kálmán, II. István, II. Béla, II. Géza, III. István, III. Béla, Imre!

Megoldás:

5 Hány kilométert autózik Szofia) Bánd és Bakonygyepes között? b) Somlóvásárhely és Hosszúpereszteg között?c) Körmend és Somlóvásárhely között? d) Veszprém és Vasvár között?

Megoldás:a) 20 km; b) 30 km; c) 20 + 21 + 30 = 71 km; d) 13 + 20 + 15 + 30 + 21 = 99 km.

Szerk

eszt

és a

latt

20

6 Az autókban lévő sebességmérő műszerek számlapjai görbített számegyenesek. Olvasd le a műsze-rekről, hogy körülbelül mekkora sebességgel megy a gépkocsi! a) b) c)

Megoldás:

a) 50 km/h b) 205 km/h c) 125 km/h

A SZÁMOK ÁBRÁZOLÁSA A SZÁMEGYENESEN6.

Szerk

eszt

és a

latt

21

BECSLÉS, KEREKÍTÉS 7.Feladatok1 Becsüld meg a következő hosszúságokat:a) a tanterem magassága; e) a legmagasabb tanuló magassága;b) a pad hossza; f) a tollad (ceruzád) hosszúsága;c) az udvar hossza; g) az otthonod és az iskola közötti távolság;d) az iskola épületének magassága; h) az iskola előtti fa magassága!Amennyiben lehetőséged van rá, mérd meg vagy derítsd ki a tényleges távolságokat is!

Megoldás:

Egyéni becslések és adatok.

2 Vajon hány példány élhet a következő állatokból Magyarországon? A számok kerekített értékeit meg-találod a táblázatban.

1. 2. 3. 4.

A hazánkban élő túzokok egyedszáma százasokra kerekítve

A szarvasmarhák száma ezresekre kerekítve

Szarvasok száma százasokra kerekítve

Muflonok száma százasokra kerekítve

1500 772 000 96 500 12 300

Megoldás:

A kerekítés miatt pontos érték helyett, csak egy tartomány adható meg. 1. túzokok: 1450–1549; 2. szarvasmarhák: 771 500–772 499; 3. szarvasok: 96 450–96 549; 4. muflonok: 12 250–12349.

3 Nyolc diák magassága: 132 cm, 151 cm, 145 cm, 133 cm, 137 cm, 148 cm, 145 cm, 144 cm. Kerekítsd tízesekre a magasságokat! Mennyivel tér el az összeg a kerekített értékek összegétől?

Megoldás:

A tízesekre kerekített értékek: 130 cm, 150 cm, 150 cm, 130 cm, 140 cm, 150 cm, 150 cm, 140 cm. Az eredeti értékek összege: 1135. A kerekített értékek összege: 1140. A kerekítés következtében az összeg öttel nőtt.

4 a) Sorold fel azokat a természetes számokat, amelyeknek a tízesekre kerekített értéke pont 2000!b) Sorold fel azokat a természetes számokat, amelyeknek a százasokra kerekített értéke 2000, és az utolsó számjegyük 1-es!c) Sorold fel az összes olyan 23-ra végződő természetes számot, amelynek az ezresekre kerekített értéke 25 000!

Szerk

eszt

és a

latt

22

BECSLÉS, KEREKÍTÉS7.Megoldás:

a) 1995, 1996, 1997, 1998, 1999, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004.b) 1951, 1961, 1971, 1981, 1991, 2001, 2011, 2021, 2031, 2041.c) 24 523, 24 623, 24 723, 24 823, 24 923, 25 023, 25 123, 25 223, 25 323, 25 423.

5 a) Nyertünk vagy veszítettünk a kerekítéssel, ha aznap a következő összegeket kellett fizetnünk: 341 Ft, 245 Ft, 272 Ft, 510 Ft, 508 Ft és 194 Ft?b) Gábor úgy okoskodott, hogy a 126 Ft-os csokin spórol 1 forintot a kerekítés miatt. Tehát, ha egyszerre 10 darabot vesz, akkor 10 forintot spórol. Igaza volt?c) Hány darabot kell vennünk egyesével egy 67 forintos csokoládéból, hogy „ingyen” kapjunk egyet?

Megoldás:

a) eredeti 341 245 272 510 508 194kerekített 340 245 270 510 510 195

1 nyereség 0 2 nyereség 0 2 veszteség 1 veszteségPont annyit fizettünk, mint kellett.

b) Nem. Ha egyszerre veszi meg a 10 csokit, akkor 1260 forintot fizet, pont annyit, amennyi 10 csoki ára. A nyeréshez egyesével vagy párosával kell megvennie a csokikat.

c) 67 forintos csokiért 65 forintot fizetünk, így 2 forint a nyereség. 34 csoki esetén 68 forint a nyereség, amiből vehetünk még egy csokit.

6 Pisti észrevette, hogy ha néhány számot tízesekre kerekítünk, akkor úgy viselkednek, mintha ezre-sekre kerekítenénk. Ilyen például a 12 997 szám. A kerekített értéke 13 000. Hány olyan természetes számot találhat Pisti, amelyiknek a tízesekre és az ezresekre kerekített értéke is 13 000?

Megoldás:

Csak tíz darab ilyen szám van, pont azok, amelyeknek tízesekre kerekített értéke 13 000: 12 995, 12 996, …, 13 004.

Szerk

eszt

és a

latt

23

ÖSSZEADÁS, ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS 8.Feladatok1 Végezd el az összeadásokat a füzetedben!a) b) c) d) e)+123+877

+961+987

+1222+8789

+2057+7025

+124 816+524 288

Megoldás:a) b) c) d) e)+123+8771000

+961+9871948

+1222+878910011

+2057+7025 9082

+124 816+524 288 649 104

2 Válaszd ki a „számfelhőből” az alábbi összeadások eredményeit! a) 35 678 + 456 789b) 114 935 + 99 012c) 602 245 + 556 219d) 2 235 013 + 740 558

Megoldás:

a) 492 467 b) 213 947 c) 1 158 464 d) 2 975 571

3 A repülőút-táblázat alapján számold ki, hogy hány kilométeresek a következő utazások!

Budapest Madrid Párizs Róma

Budapest 1976 km 1246 km  811 km

Madrid 1976 km 1054 km 1365 km

Párizs 1246 km 1054 km 1106 km

Róma  811 km 1365 km 1106 km

a) Róma–Párizs–Madridb) Róma–Madrid–Budapest–Párizsc) Budapest–Madrid–Párizs–Róma–Budapest

Megoldás:

a) 1106 + 1054 = 2160 km; b) 1365 + 1976 + 1246 = 4587 km; c) 1976 + 1054 + 1106 + 811 = 4947 km.Sze

rkes

ztés

ala

tt

24

4 Csehország, Ma gyar ország, Lengyel ország és Szlo-vákia elnevezése a „visegrádi négyek”.Mennyi a négy ország összterülete és összlakossága? (Kerekítve adtuk meg a 2020-as adatokat.)

Megoldás:

Összterület: 543 513 km2. Összlakosság: 63 687 000 fő.

5 Gazsi a hét négy napján fut. A GPS-e szerint hétfőn ezernyolcszázhetvenhárom métert, kedden ezer-nyolcszázhatvan métert, szerdán ezernyolcszázhatvanhét métert és pénteken ezernyolcszáznegyven métert futott. Mennyit teljesített a héten összesen? Milyen sorrendben érdemes összeadnod a számokat?

Megoldás:

1873 + 1860 + 1867 + 1840 = (1873 + 1867) + (1840 + 1860) = 3740 + 3700 = 7440 méter.

6 Az 5. a osztály kenutúrán volt a Felső-Tiszán. Peti a telefonjára letöltött távolságmérő app segítségével mérte a távolságot. Telefonját a kenuban elhelyezett hordóba tette, hogy ne érje víz. Az első nap 12 400 métert, a második napon 18 780 métert, a harmadik napon 18 520 métert, az utolsó napon 9770 métert tettek meg a vízen. Összesen hány métert eveztek a négy nap alatt?

Megoldás:

12 400 + 18 780 + 18 520 + 9770 = 59 470 (m). Összesen 59 470 métert eveztek a négy nap alatt.

7 A Habzsi család születésnapi ebédjét étteremben tartotta. Az ebéd után a képen látható számlát kapták. A végösszeget éppen le takarta egy szalvéta. a) Mennyit fizettek összesen a szülinapi ebédért?Az Alagi család is ebédelni ment.b) Mennyit fizetett Alagi anyuka, ha csak a két gyereke evett egy-egy Pán Péter menüt, és az asztalra kikészített, ingyenes csapvizet itták utána?

Megoldás:

a) 9390 Ft-ot fizetett a Habzsi család összesen.b) 2580 Ft-ot fizetett Alagi anyuka.

Ország Terület (km2) Lakosság (fő)

Csehország  78 866 10 700 000

Magyarország  93 036  9 667 000

Lengyelország 322 575 37 860 000

Szlovákia  49 036  5 460 000

ÉRTELEMÉTTEREM KFT.2097 PilisborosjenőSzalonka u. 10–16.ADÓSZÁM: 42122524-2-42

****************************************

Pán Péter menü (kis húsleves, halrudacskák, hasábburgonya, tartármártás)

1 adag 1290 Ft

Marhahúsleves (velőscsont, pirítós) 1 adag

1290 Ft

Húsleves májgaluskával

2 adag 1180 Ft

Lasagne Garfield módra

1 adag 1290 Ft

Rántott sajt áfonyalekvárral és krokettel

1 adag 1290 Ft

Harcsapaprikás nokedlivel

1 adag 1890 Ft

Ásványvíz 1 üveg

290 Ft

Üdítőital 3 üveg

870 Ft****************************************

Fizetendő

9390 FT****************************************VISZONTLÁTÁSRA

ÖSSZEADÁS, ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS8.

Szerk

eszt

és a

latt

25

KIVONÁS, ÍRÁSBELI KIVONÁS 9.Feladatok1 Végezd el a füzetedben a kivonásokat!a) b) c) d) e)+999–763

+1001– 961

+2016–1978

+2017–  89

+213 645–108 859

Megoldás:a) b) c) d) e)+999–763–236

+1001– 961   40

+2016–1978   38

+2017–  89 1928

+213 645–108 859 104 786

2 Számold ki a füzetedben!a) Mennyit kell 4678-hoz hozzáadni, hogy 13 263 legyen?b) Mennyit kell elvenni 89 654-ből, hogy 54 987 legyen?c) Mennyit kell 8345-höz hozzáadni, hogy 47 528 legyen?d) Mennyit kell elvenni 45 994-ből, hogy 38 243 legyen?e) Mennyit kell 6341-hez hozzáadni, hogy 25 262 legyen?

Megoldás:

a) 13 263 – 4678 = 8585; b) 89 654 – 54 987 = 34 667; c) 47 528 – 8345 = 39 183; d) 45 994 – 38 243 = 7751; e) 25 262 – 6341 = 18 921;

3 „A kőtömbökből és földhalmokból álló stonehenge-i építményt Kr. e. 2500 körül kezdték építeni, és Kr. e. 2100 körül fejezték be. Sokan vallási, illetve csillagászati építménynek tartják, amelyet az ősi kelták emeltek a mai Anglia területén (…) .1610-ben Galileo Galilei felfedezte, hogy a Jupiter körül négy nagy hold kering, és ez megerősítette abban a hitében, hogy nem a Föld a világegyetem középpontja.”a) Körülbelül hány évig építették Stonehenge-t?b) Körülbelül hány évvel később élt Galilei, mint Stonehenge építői?c) Hány nagy holdja van a Jupiternek? d) Nézz utána a Naprendszer bolygóinak!

Megoldás:

a) Körülbelül 2500 – 2100 = 400 évig építették. b) Körülbelül 2500 + 1610 = 4110 évvel később élt Galilei. c) A Jupiternek 4 nagy holdja van (jelenleg 67 Jupiter körüli holdat tartanak számon). d) Merkúr, Vénusz, Föld, Mars, Jupiter, Szaturnusz, Uránusz, Neptunusz.

Stonehenge

Szerk

eszt

és a

latt

26

4 Gábor 11 éves, édesapja 40 éves. Hány évvel idősebb Gábor édesapja a fiánál? 15 év múlva mennyivel lesz idősebb az édesapa Gábornál? Hány évesek lesznek akkor?

Megoldás:

Gábor édesapja 40 – 11 = 29 évvel idősebb a fiánál. 15 év múlva is megmarad a 29 év különbség. Gábor 11 + 15 = 26 éves, édesapja 40 + 15 = 55 éves lesz.

5 András és Gábor társasjátékot játszottak. Andrásnak kezdetben 10 000 petákja (játékpénze) volt, amiből 2345 petákot költött játékpiramisok építésére, aztán 3216 petákért léphetett csak tovább. Hány petákja maradt Andrásnak?

Megoldás:

10 000 – 2345 – 3216 = 4439 petákja maradt.

KIVONÁS, ÍRÁSBELI KIVONÁS9.

Szerk

eszt

és a

latt

27

SZORZÁS, ÍRÁSBELI SZORZÁS 10.Feladatok1 A szorzótábla szorzatai (az egyjegyű számok szorzatai) közül gyűjtsd össze azokat, amelyek eredmé-nyében a tízesek helyén 5 áll!

Megoldás:

Csak a 7 · 8 = 56 a megfelelő.

2 Akad-e olyan szorzat, amelynek az egyik tényezője kétjegyű, és eredményében a tízesek helyén 5 áll?

Megoldás:

Igen, például 10 · 5 = 50 vagy 11 · 5 = 55 vagy 25 · 2 = 50, stb.

3 a) Öt természetes szám szorzata 21. Hány azonos tényező van köztük?b) Hét természetes szám szorzata 0. A legnagyobb közülük 1200. Mekkora a legkisebb?

Megoldás:

a) 3 ∙ 7 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1; három azonos tényező található. b) A legkisebb a 0, mert az egyik tényező 0 kell, hogy legyen.

4 a) Melyik számra gondolt Éva, ha 10-zel szorozva 20 000-et kapott?b) Melyik számra gondolt Tamás, ha 100-zal szorozva 345 000-et kapott?c) Melyik számra gondolt Jóska, ha 1000-rel szorozva 10 000-et kapott?

Megoldás:

a) 2000-re, mert 2000 ∙ 10 = 20 000; b) 3450-re, mert 3450 ∙ 100 = 345 000; c) 10-re, mert 10 ∙ 1000 = 10 000.

5 Számold ki fejben!a) 100 ⋅ 76 b) 101 ⋅ 76 c) 99 ⋅ 76d) 240 : 20 e) 2500 : 50 f) 2600 : 130

Megoldás:

a) 100 ⋅ 76 = 7600 b) 101 ⋅ 76 = 7676 c) 99 ⋅ 76 = 7524d) 240 : 20 = 12 e) 2500 : 50 = 50 f) 2600 : 130 = 20

6 Számítsd ki a szorzatokat a füzetedben!a) 428 ⋅ 473  b) 359 ⋅ 371  c) 1024 ⋅ 25  d) 12 ⋅ 123  e) 708 ⋅ 203

Megoldás:

a) 428 ∙ 473 = 202 444; b) 359 ∙ 371 = 133 189; c) 1024 ∙ 25 = 25 600; d) 12 ∙ 123 = 1476; e) 708 ⋅ 203 = 143 724.

Szerk

eszt

és a

latt

28

SZORZÁS, ÍRÁSBELI SZORZÁS10.7 A könyvtárban 34 könyvespolc van, és minden polcon 67 könyv található. Mennyi könyv van a könyvtárban?

Megoldás:

34 ∙ 67 = 2278 könyv van a könyvtárban.

8 Állítsd növekvő sorrendbe a szorzatokat! A = 3456 ⋅ 62  B = 2369 ⋅ 92  C = 7452 ⋅ 29  D = 5423 ⋅ 39

Megoldás:

A = 3456 ⋅ 62 = 214 272; B = 2369 ⋅ 92 = 217 948;C = 7452 ⋅ 29 = 216 108; D = 5423 ⋅ 39 = 211 497.

D < A < C < B

9 Az autókereskedő 258 autót szeretne felújítani. Minden autóhoz 5 új gumit, 3 díszített visszapillantó tükröt és 7 darab reklámmatricát szereltet fel. Hány gumit, visszapillantó tükröt és reklámmatricát kell vásárolnia?

Megoldás:

258 ∙ 5 = 1290 új gumit, 258 ∙ 3 = 774 visszapillantó tükröt, 258 ∙ 7 = 1806 reklámmatricát kell vásárolnia.

10 Egy ültetvényen minden sorba 349 virágot ültetnek, 14 sorba tulipánt és 13 sorba rózsát. Hány virágot ültettek összesen?

Megoldás:

14 ∙ 349 = 4886 tulipán, 13 ∙ 349 = 4537 rózsa, összesen 4886 + 4537 = 9423 virágot ültettek összesen.

11 Egy raklapon 48 doboz és minden dobozban 64 tankönyv van. Hány tankönyv található a raktárban, ha 4 raklapnyit és még 6 doboznyit szállítottak a nyomdából?

Megoldás:

Egy raklapon 48 ∙ 64 = 3072 tankönyv van, négy raklapon 4 ∙ 3072 = 12 288 tankönyv. 6 dobozban 6 ∙ 64 = 384 tankönyv található. Az összes tankönyv száma 12 288 + 384 = 12 672.

12 Mennyi az első 10 természetes szám szorzata?

Megoldás:

Mivel a 0 is köztük van, a szorzat eredménye 0.Szerk

eszt

és a

latt

29

OSZTÁS, ÍRÁSBELI OSZTÁSKÉTJEGYÛ OSZTÓVAL 11.

Feladatok1 Figyeld meg, hogyan változik a hányados, ha az osztandót a 10-szeresére, 100-szorosára, 1000-szere-sére változtatjuk! Végezd el az osztásokat!a) 56 : 8 560 : 8 5600 : 8 56 000 : 8 b) 48 : 4 480 : 4 4800 : 4 48 000 : 4

Megoldás:

a) 56 : 8 = 7 560 : 8 = 70 5600 : 8 = 700 56 000 : 8 = 7000b) 48 : 4 = 12 480 : 4 = 120 4800 : 4 = 1200 48 000: 4 = 12 000

Ha az osztandót a 10-szeresére, 100-szorosára, 1000-szeresére változtatjuk, és az osztó változatlan, akkor a hányados is 10-szeresére, 100-szorosára, 1000-szeresére változik.

2 Figyeld meg, hogyan változik a hányados, ha az osztót a 10-szeresére, 100-szorosára, 1000-szeresére változtatjuk! Végezd el az osztásokat!a) 42 000 : 3 42 000 : 30 42 000 : 300 42 000 : 3000b) 7 800 000 : 6 7 800 000 : 60 7 800 000 : 600 7 800 000 : 6000

Megoldás

a) 42 000 : 3 = 14 000 42 000 : 30 = 1400 42 000 : 300 = 140 42 000 : 3000 = 14

b) 7 800 000 : 6 = 1 300 000 7 800 000 : 60 = 130 000 7 800 000 : 600 = 13 000 7 800 000 : 6000 = 1300

Ha az osztót a 10-szeresére, 100-szorosára, 1000-szeresére változtatjuk, és az osztandó változatlan, akkor a hányados tizedrészére, századrészére, ezredrészére csökken.

3 Figyeld meg, hogyan változik a hányados, ha az osztandót és az osztót is a 10-szeresére, 100-szoro-sára, 1000-szeresére változtatjuk! Végezd el az osztásokat!a) 45 : 5 450 : 50 4500 : 500 45 000 : 5000b) 6300 : 7 63 000 : 70 630 000 : 700 6 300 000 : 7000

Megoldás:

a) 45 : 5 = 9 450 : 50 = 9 4500 : 500 = 9 45 000 : 5000 = 9b) 6300 : 7 =900 63 000 : 70 = 900 630 000 : 700 = 900 6 300 000 : 7000 = 900

Nem változik a hányados értéke.

Szerk

eszt

és a

latt

30

OSZTÁS, ÍRÁSBELI OSZTÁSKÉTJEGYÛ OSZTÓVAL11.

4 Végezd el a következő osztásokat, majd válaszolj a kérdésekre!a) 6 : 7 12 : 23 14 : 25 35 : 56 26 : 49.

Mekkora a hányados és mekkora a maradék, ha az osztandó kisebb, mint az osztó?b) 34 : 34 2 : 2 13 : 13 16 : 16 123 : 123

Mekkora a hányados és mekkora a maradék, ha az osztandó egyenlő az osztóval?

Megoldás:

a) 6 : 7 = 0; 12 : 23 = 0; 14 : 25 = 0; 35 : 56 = 0; 26 : 49 = 0. 6 12 14 35 26

A hányados 0, a maradék pedig az osztandó.

b) 34 : 34 = 1; 2 : 2 = 1; 13 : 13 = 1; 16 : 16 = 1; 123 : 123 = 1.  0 0  0  0   0

A hányados 1, a maradék 0.

5 Becsüld meg a hányadosokat, végezd el az alábbi osztásokat a megadott sorrendben, és a táblázatból keresd ki a helyes végeredményt! Ha a számokhoz tartozó betűket a feladatok sorrendjében összeolvasod, egy értelmes szót kapsz. Nézz utána az interneten a szó jelentésének!2068 : 4 3980 : 5 1771 : 7 5913 : 9 1683 : 11 2808 : 12 3534 : 19 3634 : 23

A 158 É 196 K 796 G 234 M 163 Ny 246 L 657 P 507O 253 R 524 Ó 153 E 686 Ö 517 U 667 I 186 V 696

Megoldás:

2068 : 4 = 517 3980 : 5 = 796 1771 : 7 = 253 5913 : 9 = 6571683 : 11 = 153 2808 : 12 = 234 3534 : 19 = 186 3634 : 23 = 158

A táblázatból kirakott szó: ÖKOLÓGIA

Az ökológia az a tudományág, amely az élettereket, az élőlényeknek egymáshoz és a környezethez való viszonyát vizsgálja.

6 Az „Építsd meg online álmaid birodalmát!” alkalmazás minden hónapban 6 óra 20 percnyi ingyenes, reklámmentes játéklehetőséget biztosít az oldalra regisztráló családoknak. A négy testvér, Tamás, Gábor, András és Zoli a veszekedés elkerülése érdekében elhatározták, hogy mind a négyen ugyanannyi időt ját-szanak majd ezzel az alkalmazással. a) Hány perc játékideje van egy-egy gyereknek havonta?b) Hány gyerek van abban a családban, ahol a fenti játékidőből havi 76 perc jut mindenkinek?c) Egy online matematikaórán közösen regisztrált ebbe az alkalmazásba a 19 fős ötödikes csoport. Hány

percig tudtak a programmal játszani?

Megoldás:

A megadott időt váltsuk át percbe: 6 óra 20 perc = 380 perc.a) 380 : 4 = 95 perc játékidő jut egy testvérnek.b) 380 : 76 = 5 testvér van ebben a családban.c) 380 : 19 = 20 percig tudnak játszani.

Szerk

eszt

és a

latt

31

OSZTÁS, ÍRÁSBELI OSZTÁSKÉTJEGYÛ OSZTÓVAL 11.

7 Az öreg juhász, mivel már nagyon idős volt, három fiára bízta 840 bárá-nyának gondozását. a) El tudják-e osztani a bárányokat egyenlően egymás között?b) Ugyanolyan igazságosan tudnak-e osztozkodni, ha két unokatestvérüket is

bevonják az osztozkodásba?c) El lehetne-e osztani az állatokat egyenlően, ha még két másod-unokatest-

vérnek is adnának a nyájból egy-egy részt?

Megoldás:

a) Igen. Egy rész 840 : 3 = 280. b) 5 gyerek esetén 840 : 5 = 168 bárányt kap egy gyerek. c) 7 gyerek között is szétoszthatók a bárányok, mert 840 : 7 = 120 bárány jut mindenkinek.

8 Oldd meg az alábbi feladatokat! Az osztás elvégzése előtt végezz becslést!a) 552 : 23 b) 2346 : 19 c) 791 : 17 d) 2166 : 25e) 4914 : 21 f) 33 333 : 14 g) 832 : 11 h) 7429 : 23i) 4921 : 21 j) 33 319 : 14 k) 840 : 11 l) 7429 : 19Ellenőrizd szorzással azokat az osztásokat, ahol nem volt maradék!

Megoldás:

Becsléskor kerekítsünk tízesekre!

a) Becslés: 550: 20 ≈ 28 5 5’2’ : 23 = 24 Ellenőrzés: 24 ⋅ 23 = 552   9 2   0 0

b) Becslés: 2350 : 20 ≈118 2 3’4’6’ : 19 = 123   4 4     6 6       9

c) Becslés: 790 : 20 ≈ 40 7 9’1’ : 17 = 46 1 1 1     9

d) Becslés: 2170 : 30 ≈ 72 2 1 6’6’ : 25 = 86   1 6 6     1 6

A többi feladat végeredménye:

e) Hányados 234, maradék 0.f) Hányados 2380, maradék 13.g) Hányados 75, maradék 7.h) Hányados 323, maradék 0.i) Hányados 234, maradék 7.j) Hányados 2379, maradék 13.k) Hányados 76, maradék 4.l) Hányados 391, maradék 0.

Szerk

eszt

és a

latt

32

OSZTÁS, ÍRÁSBELI OSZTÁSKÉTJEGYÛ OSZTÓVAL11.

9 A tejcsokoládékat csomagoló üzemben 16 órán keresztül dolgozik az egyik csomagológép. Összesen 17 280 csokoládét csomagol be egy nap alatt.a) Hány csokoládét csomagol be óránként?b) Hány csokoládéval csomagol be kevesebbet ugyanebből a mennyiségből óránként az a gép, amely

kicsit lassabban dolgozik ugyan, de napi 24 órában működik?

Megoldás:

a) 17 280 : 16 = 1080 csokoládét csomagol be a gép óránként.b) 17 280 : 24 = 720 db csokoládét csomagol be óránként a lassabban dolgozó gép, így

1080 – 720 = 360 db-bal csomagol be kevesebbet.

10 Az 5. b osztály színházba megy Pestre. Az 54 400 Ft-os buszköltséget egyenlően akarják szétosztani az osztály 34 tanulója között. a) Mennyit fizessenek fejenként?b) Hány forinttal lesz több az egy főre jutó költség, ha az osztályból két tanuló biztosan nem tud aznap

színházba menni?

Megoldás:

a) 54 400 : 34 = 1600 Ft-ot kell fejenként fizetni.b) 54 400 : 32 = 1700 Ft-ot kell 32 fő esetén fizetni, így 100 Ft-tal lesz több az egy főre jutó költség.

11 a) A tankolás befejezésénél az ábrán látható értékeket mutatja a benzinkút. Hány forintba került 1 liter üzemanyag ekkor?

b) Mennyit fizetett a következő autós, ha 35 litert tankolt ugyanebből az üzemanyagfajtából?

Megoldás:

a) 17 010 : 42 = 405 Ft 1 liter üzemanyag ára.b) 405 ∙ 35 = 14 175 Ft-ot fizet majd.

12 Egy parkot körülvevő 2400 méteres sétányon 16 méterenként villanyoszlopokat állítottak, a tiszta-ság megőrzése érdekében pedig 150 méterenként kukákat raktak ki. Hány villanyoszlopra és hány kukára volt szükség?

Megoldás:

2400 : 16 = 150 db villanyoszlopot és2400 : 150 = 16 db kukát raktak ki.Sze

rkes

ztés

ala

tt

33

OSZTÁS, ÍRÁSBELI OSZTÁSKÉTJEGYÛ OSZTÓVAL 11.

13 Varázslóországban nem forint a pénzegység, hanem a talmi. A varázs-lótanonc bevásárolt, de sajnos a bűbáj-számlán elmosódtak a számok. Így Csiri bá, a gondnok nem fogja kifi-zetni a számlát. Segíts neki kiszámolni a hiányzó adatokat!

Megoldás:

A varangysóhaj 966 : 23 = 42;A lódarázsszőr 3551 : 67 = 53;Kacajpor 5875 : 47 = 125 talmi/kapszula;Álompótló 8917 : 241 = 37 talmi/darab;Mágiarakás 1224 : 72 = 17 talmi/rakás;Macskabajusz 1023 : 31 = 33.

14 Egy telefontársaság a legújabb reklámjában meghirdette a „Vigyázz nagymamára, nagypapára!” akciót. Ennek keretében október 15-én a nagyszülőknek vásárolt mobiltelefon-készülékekhez kedvezmé-nyes áron hozzájuthatunk. Rengeteg vásárló élt a lehetőséggel, így a cég a nyitást követő első órában 97 darab telefont adott el.a) Mennyibe kerül egy készülék, ha a bevétel az első órában 1 260 030 Ft volt?b) Ezen a napon a bolti nyitvatartás utolsó órájában, a különleges akció keretében 11 000 Ft-ért juthattak

telefonhoz a vásárlók. Hányan vásároltak ekkor, ha a bevétel 693 000 Ft lett?

Megoldás:

a) 1 260 030 : 97 = 12 990 Ft-ba kerül egy készülék.b) 693 000: 11 000 kiszámításakor használjuk fel, hogy a hányados értéke nem változik, ha az osztandót

és az osztót is elosztjuk 1000-rel. c) 693 : 11 = 63 db készüléket adtak el az akció keretében.

A termék neve Egységár Darabszám Összárvarangysóhaj 23 talmi/üveg  966 talmilódarázsszőr 67 talmi/tasak 3551 talmikacajpor    talmi/kapszula  47 5875 talmiálompótló    talmi/darab 241 8917 talmimágiarakás    talmi/rakás  72 1224 talmimacskabajusz 31 talmi/szál 1023 talmi

Szerk

eszt

és a

latt

34

MÛVELETEK TULAJDONSÁGAI,MÛVELETI SORREND, ZÁRÓJELEK12.

Feladatok1 Számold ki a műveletek eredményét fejben!a) 5 + 7 ∙ 8 b) 6 ∙ 5 – 3 ∙ 8 c) 8 : 2 + 7 ∙ 9.d) 16 : 8 : 2 e) 32 : 4 + 25 ∙ 4 f) 30 : 5 ∙ 3 : 9

Megoldás:

a) 5 + 7 ⋅ 8 = 5 + 56 = 61 b) 6 ⋅ 5 – 3 ⋅ 8 = 30 – 24 = 6 c) 8 : 2 +7 ⋅ 9 = 4 + 63 = 67d) 16 : 8 : 2 = 2 : 2 = 1 e) 32 : 4 + 25 ⋅ 4 = 8 + 100 = 108 f) 30 : 5 ⋅ 3 : 9 = 6 ⋅ 3 : 9 = 18 : 9 = 2

2 Keresd az egyenlőket!A: 12 + 37 ⋅ 12 B: 19 ⋅ 18 + 18 ⋅ 19 C: 1012 ⋅ 23 – 112 ⋅ 23 D: 900 ⋅ 23E: 47 ⋅ 98 – 47 ⋅ 31 F: 36 ⋅ 19 G: 47 ⋅ 67 H: 38 ⋅ 12

Megoldás:

A = H 12 + 37 · 12 = 38 · 12;B = F 19 · 18 + 18 · 19 = 36 · 19;C = D 1012 · 23 – 112 · 23 = 900 ·23;E = G 47 · 98 – 47 · 31 = 47 ·67

3 Számold ki!a) 16 ⋅ 23 + 84 ⋅ 23 b) 37 ⋅ 17 – 17 ⋅ 17 c) 132 ⋅ 19 – 32 ⋅ 19

Megoldás:

a) 16 · 23 + 84 · 23 = 100 · 23 = 2300b) 37 · 17 – 17 · 17 = 20 · 17 = 340c) 132 · 19 – 32 · 19 = 100 · 19 = 1900

4 Végezd el a műveleteket!a) 8 + 4 ∙ 9 – 15 : 3b) 24 : 6 + 15 ∙ 4 – 7 ∙ 8c) 19 ∙ 7 + 18 : 3 ∙ 21d) 254 – (56 + 42 : 7)e) 35 : 7 ∙ 25 – (14 ∙ 9 – 48 : 3) – 22 ∙ 5f) 210 : (29 ∙ 3 – 132 : 2) + 15 ∙ 6

Megoldás:

a) 8 + 4 ⋅ 9 – 15 : 3 = 8 + 36 – 5 = 39b) 24 : 6 + 15 ⋅ 4 – 7 ⋅ 8 = 4 + 60 – 56 = 8c) 19 ⋅ 7 + 18 : 3 ⋅ 21 = 133 + 6 ⋅ 21 = 133 +126 = 259d) 254 – (56 + 42 : 7) = 254 – (56 + 6) = 254 – 62 = 192e) 35 : 7 ⋅ 25 – (14 ⋅ 9 – 48 : 3) – 22 ⋅ 5 = 5 ⋅ 25 – (126 – 16) – 110 = 125 – 110 – 110 = –95f) 210 : (29 ⋅ 3 – 132 : 2) + 15 ⋅ 6 = 210 : (87 – 66) + 90 = 210 : 21 + 90 = 10 +90 = 100

Szerk

eszt

és a

latt

35

MÛVELETEK TULAJDONSÁGAI,MÛVELETI SORREND, ZÁRÓJELEK 12.

5 Számolj fejben! Milyen sorrendben végeznéd el a műveleteket?a) 40 + 41 + 42 + 43 + 44 b) 47 + 41 + 53 + 49c) 23 ⋅ 14 – 3 ⋅ 14 d) 19 ⋅ 81 + 81 ⋅ 19

Megoldás:

a) 210b) 47 + 41 + 53 + 49 = 47 + 53 + 41 + 49 = 100 + 90 = 190c) 23 ⋅ 14 – 3 ⋅ 14 = 20 ⋅14 = 280d) 19 ⋅ 81 + 81 ⋅ 19 = 38 ⋅81 = 3078

6 Kezdődjön a tánc! a) Párosítsd a gyerekeket az eredményeik szerint! Írd a párok nevét a füzetedbe!b) Meg tudod keresni a párokat anélkül is, hogy kiszámolnád az eredményeket?

Megoldás:

a) Saci – Sanyó  Janka – Rezső  Zita – Misi  Lilla – Gabó

b) Ha felhasználjuk a zárójelek felbontására, műveleti sorrendre vonatkozó tulajdonságokat, akkor kiszá-molás nélkül is megmondhatók a párok.Saci – Sanyó zárójelfelbontásJanka – Rezső csoportosíthatóságZita –Misi zárójelfelbontásLilla – Gabó zárójelfelbontás

7 a) Minden betű egy számjegyet jelöl. Melyik háromjegyű számot jelöli a TÉR, ha a számjegyeiről tudod, hogy É : R = É É ∙ T = 12 T : É = 3 ∙ Rb) Minden betű egy számjegyet jelöl. Melyik négyjegyű számot jelöli a SAJT, ha a számjegyeiről tudod, hogy S = J + T A = 2 ∙ S A = S ∙ T T : J = 2

Megoldás:

a) É : R = É egyenlőségből R = 1.T : É = 3 ⋅ R egyenlőségből T : É = 3 és É ⋅ T = 12.A betűk számjegyeket jelölnek, ezért T = 6 és É = 2.621-et jelöli a TÉR szó.

b) A = 2 ⋅ S és A = S ⋅ T egyenlőségből T = 2T : J = 2-ből következik, hogy J = 1.S = J + T-ből S = 3.A = 2 ⋅ S-ből A = 6.A keresett négyjegyű szám: 3612.

Szerk

eszt

és a

latt

36

MÛVELETEK TULAJDONSÁGAI,MÛVELETI SORREND, ZÁRÓJELEK12.

8 Helyezz el a műveletsorokban zárójeleket úgy, hogy megkapd a mellettük felsorolt összes végered-ményt! Írd a megoldásokat a füzetedbe!a) 9 + 9 : 9 + 9 ∙ 9 83 91 99 171b) 72 – 6 ∙ 8 + 10 : 2 17 29 533 594c) Találtál-e olyan zárójelezést, amelynek az eredménye nem szerepel a felsorolt számok között?

Megoldás

a) (9 + 9) : 9 + 9 ⋅ 9 = 839 + 9 : 9 + 9 ⋅ 9 = 91((9 + 9) : 9 + 9) ⋅ 9 = 99(9 + 9 : 9 + 9) ⋅ 9 = 171

b) (72 – 6 ⋅ 8 + 10) : 2 =1772 – 6 ⋅ 8 + 10 : 2 = 29(72 – 6) ⋅ 8 + 10 : 2 =533(72 – 6) ⋅ (8 + 10) : 2 = 594

c) Igen, például az a)-nál (9 + 9) : (9 + 9) ⋅ 9 = 9, a b)-nél 72 – (6 ⋅ 8 + 10 : 2) = 19

9 Sárkánymama tanácstalanul ácsorog a sapkabolt előtt, és épp azon gondolkozik, hány darab sap-kát vegyen a családnak télire. Sárkánypapának és a 4 serdülő sárkányfiúnak 14-14 feje van. Neki és a 3 sárkánylánynak csak 7-7. És ott van még a kis Süsü is, a mindig vidám egyfejű. Hány sapkát vásároljon összesen?

Megoldás

5 ⋅ 14 + 4 ⋅ 7 + 1 = 9999 sapkát vásároljon összesen sárkánymama.

10 Egy szupermarketben cukrot szállítanak ki a polcokhoz. A fehér cukorból 24 db, a barna cukorból 36 db van összecsomagolva egy-egy dobozba. Hány darabot kell a polcfeltöltőnek kitennie a polcokra, ha mindkét fajtából 20 dobozt visznek ki?Írd fel kétféle műveletsorral, és számítsd ki az eredményt!

Megoldás

20 ⋅ 24 + 20 ⋅ 36 = 480 + 720 = 120020 ⋅ (24 + 36) = 20 ⋅ 60 = 12001200 db-ot kell kitenni a polcra.

11 A „Tekerj velünk!” biciklikölcsönzőben 180 gyerekbicikli van összesen, ennek a negyede három-kerekű, a többi kétkerekű. Benedek, a kölcsönző tulajdonosa minden kerékre szeretne egy-egy prizmát szerelni. Hány darabot vegyen összesen?

Megoldás

45 db háromkerekű, erre 135 db prizma kell, 135 db kétkerekű, erre 270 db prizma kell, ami összesen 405 db.Műveletsorral: 180 : 4 ⋅ 3 + (180 : 4) ⋅ 3 ⋅2 = 405.

Szerk

eszt

és a

latt

37

MÛVELETEK TULAJDONSÁGAI,MÛVELETI SORREND, ZÁRÓJELEK 12.

12 Egy lekvár üvegének tömege 20 dkg, a benne lévő lekváré 45 dkg. Egy polcra 16 darabot szeretnénk feltenni. A polc vékony, legfeljebb 10 kg-ot bír ki. Rátehetjük a 16 üveg lekvárt? Ha igen, akkor még hány üveg lekvárt lehetne rátenni, ha nem, akkor legfeljebb hány darabot bírna el?

Megoldás

Egy üveg lekvárral együtt 65 dkg. 16 üveg 16 ⋅ 65 = 1040 dkg = 10,4 kg, ezért nem tehetünk rá 16 üveget. Csak 15 üveg lekvárt bír el a polc. Ezek együttes tömege 15 ⋅ 65 = 975 dkg < 1000 dkg = 10 kg.

13 Számítsd ki a műveletsorok eredményét!a) (312 : 13 + 19 ∙ 4) : (24 – 2 ∙ 7) b) (958 – (51 ∙ 17 + 91)) : 29c) (2853 + 588 : 4) : (8 ∙ 15 – 15 ∙ 7) d) (48531 – (7500 + 31)) : 41

Megoldás

a) (312 : 13 + 19 4) : (24 – 2 ⋅ 7) = (24 + 76) : 10 = 10b) (958 – (51 ⋅ 17 + 91)) : 29 = (958 – (867 + 91)) : 29 = (958 – 958) = 0c) (2853 + 588 : 4) : (8 ⋅ 15 – 15 ⋅ 7) = (2853 + 147) : (120 – 105) = 3000 : 15 = 200d) (48531 – (7500 + 31)) : 41 = (48 531 – 7531) : 41 = 41 000 : 41 = 1000

Szerk

eszt

és a

latt

38

NEGATÍV SZÁMOK13.Feladatok1 Januárban az ábrán látható hőmér-sékleti rekordok születtek.a) Hol mérték januárban a legalacso-nyabb hőmérsékletet?b) Hol mértek -26 °C-nál magasabb hőmérsékletet?c) Állítsd csökkenő sorrendbe a telepü-léseket a mért hőmérsékletük szerint!

Megoldás

a) Zabarban, (–32 °C)-t.b) Lentiben (–24 °C), Debrecenben (–22 °C) és Kecskeméten (–25 °C).c) Debrecen, Lenti, Kecskemét, Bábolna, Tésa, Zabar.

2 A bankok meg szokták engedni, hogy egyes ügyfelek több pénzt költsenek, mint amennyi a számlá-jukon van. Ezt úgy mondjuk, hogy egy hitelkeretet nyitnak a számlán. Ha Szmisz már 6 millió fabatkával többet költött, mint amennyi a számláján volt, akkor azt a bank így könyveli: -6 000 000. A képeken Nekeresdfalva öt legnagyobb adósát és banki egyenlegüket látjátok.a) Ki tartozik a legtöbb fabatkával?b) Kinek van a legkevesebb tartozása?c) Kinek van több tartozása, mint Szmisznek?

Megoldás

a) Retepb) Mátrónakc) Kefának és Retepnek

3 Ábrázold számegyenesen, majd állítsd növekvő sorrendbe az alábbi számokat! a) 0, 5, -2, -4, 3, -7, -9 b) 10, -10, 0, -30, 40, -20, -50c) -200, -500, 0, 100, -700, 300, -900

Megoldás

A számegyenes segítségével a növekvő sorrend:a) –9, –7, –4, –2, 0, 3, 5b) –50, –30, –20, –10, 0, 10, 40c) –900, –700, –500, –200, 0, 100, 300

Szerk

eszt

és a

latt

39

NEGATÍV SZÁMOK 13.4 Biztosan hallottál már róla, hogy a történészek Jézus születésének dátumához igazítják az időszámí-tás kezdetét. Azt az eseményt, amely a születése előtt történt, így jelöljük: Kr. e. Rómát például a monda szerint Kr. e. 753-ban alapították. Az első olümpiai játékok Kr. e. 776-ban voltak. A marathóni csata Kr. e. 490-ben volt.a) Rajzolj a füzetedbe egy számegyenest, egy négyzetrács 100 évet jelentsen!b) Ábrázold a számegyenesen a nullát és a fenti évszámokat!c) Kr. e. 585-ben sötétbe borult az ég, és eltűnt a nap. Az ókoriak azt hitték, hogy megharagudtak rájuk az istenek. Ma már ismerjük a magyarázatát, napfogyatkozás volt. Ábrázold a számegyenesen ezt a dátumot is! Nézz utána, mikor volt Magyarországon a legutóbbi teljes napfogyatkozás! Ábrázold ezt a dátumot is a számegyenesen!

Megoldás

a) b) 

c) 

Utoljára Magyarországon 1999. augusztus 11-én volt teljes napfogyatkozás.

5 Herbert Nitsch (Herbert Nics) tartja a szabadtüdős merülés világcsúcsát, több mint 9 percig tudja visszatartani a levegővételt (2020. májusi adat). Már gyerekkorában is 41 méter mélyre merült, amivel megnyerte az első versenyét. Azóta rengeteget gyakorolt, és a súly nélküli merülésben 114 méter mélyre ereszkedett, így ezzel ebben a számban ő a világcsúcstartó. Egy másik versenyszámban, amikor súlyt erő-síthet magára, hogy gyorsan mélyebbre merüljön, 214 méter mélyre jutott, így itt is ő a világcsúcstartó. Ábrázold egy függőleges számegyenesen Nitsch elért eredményeit! Jelöld a számegyenesen 0-val a ten-gerszint magasságát!

Megoldás

Szerk

eszt

és a

latt

40

NEGATÍV SZÁMOK13.6 Rajzolj egy számegyenest a füzetedbe! Jelöld be a számegyenesena) a 2-nél nagyobb egész számokat! b) a 4-nél kisebb egész számokat!c) a −6-nál nagyobb egész számokat! d) a −6-nál kisebb egész számokat!e) a −4-nél nagyobb, de 7-nél nem nagyobb egész számokat!f) a 10-nél nem nagyobb és −4-nél nem kisebb egész számokat!

Megoldás:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

7 Igazak vagy hamisak az alábbi állítások?a) Minden pozitív szám nagyobb bármelyik negatív számnál. b) Minden negatív szám kisebb a nullánál.c) A nulla nagyobb, mint bármely pozitív szám.d) A nulla nagyobb bármely negatív számnál.e) Egy pozitív és egy negatív szám közül a negatív biztosan kisebb.f) 3 < –4    g) –5 < –3    h) –20 > –10

Megoldás:

a) Igaz. b) Igaz. c) Hamis, a 0 minden pozitív számnál kisebb. d) Igaz. e) Igaz. f) Hamis. g) Igaz. h) Hamis.

Szerk

eszt

és a

latt

41

A SZÁMOK ELLENTETTJE ÉS ABSZOLÚT ÉRTÉKE 14.

Feladatok1 Ábrázold számegyenesen a 2; −5; 3 számokat és ellentettjüket!

Megoldás:

2 Írd le a füzetedbe a felsorolt számok ellentettjét és abszolút értékét: 3; –5; –32; 0; 71; –1119!

Megoldása) A számok ellentettje: –3; 5; 32; 0; –71; 1119.b) A számok abszolút értéke: 3; 5; 32; 0; 71; 1119.

3 a) Melyik szám ellentettje 7? b) Melyik szám ellentettjének az ellentettje 7?c) Melyik szám ellentettje ellentettjének az ellentettje 7?

Megoldás:a) –7 b) 7 c) –7

4 a) Adj meg olyan számot, amelyiknek az abszolút értéke 19!b) Adj meg olyan számot, amelyiknek az abszolút értéke −19!

Megoldás:a) Például –19 vagy 19b) Ilyen szám nincs.

5 Állapítsd meg a következő kifejezések értékét! Írd le a füzetedbe!a) |100| b) |–200| c) |0| d) |–11| e) |–2|

Megoldás:a) 100 b) 200 c) 0 d) 11 e) 2

6 Ábrázold számegyenesen azokat az egész számokat, amelyeka) kisebbek, mint 3; b) ellentettje kisebb, mint 3;c) nagyobbak, mint –5; d) ellentettje nagyobb, mint –5;e) abszolút értéke kisebb, mint 6; f) abszolút értéke nagyobb, mint 6!

Megoldás:a)

b)

c)

d)

e)

f)

Szerk

eszt

és a

latt

42

A SZÁMOK ELLENTETTJE ÉS ABSZOLÚT ÉRTÉKE14.

7 Melyek azok az egész számok, amelyeknek az ellentettjea) 7; b) legalább 7; c) legfeljebb 7?

Megoldás

a) –7b) –7, –8, –9, …c) –7, –6, –5, …

8 Két egész szám abszolút értékének az összege 5. Sorold fel az összes lehetőséget!

Megoldás

A legkisebb szám a –5, a legnagyobb szám a +5 lehet.Foglaljuk táblázatba a megoldásokat!

Egyik szám –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 +5

Másik szám 0 +1, –1 +2, –2 +3, –3 +4, –4 +5, –5 +4, –4 +3, –3 +2, –2 +1, –1 0

Az összeadandók felcserélhetők, ezért valójában 10 különböző számpárt kapunk.

Szerk

eszt

és a

latt

43

EGÉSZ SZÁMOK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA 15.

Feladatok1 A „Kincs, ami nincs” társasjátékban készpénz- és adósságkártyákat lehet húzni. Állapítsd meg, melyik gyereknek mekkora a vagyona!a) Regőnek van egy 500 Ft-os készpénzkártyája, és húzott egy 800 Ft-os készpénzkártyát.b) Emőkének van 400 Ft-os készpénzkártyája, és húzott egy 300 Ft-os adósságkártyát.c) Bálintnak van egy 700 Ft-os adósságkártyája,és húzott egy 200 Ft-os készpénzkártyát.d) Miminek van egy 600 Ft-os készpénzkártyája, és húzott egy 900 Ft-os adósságkártyát.e) Ivánnak van egy 900 Ft-os adósságkártyája, és húzott egy 700 Ft-os adósságkártyát.

Megoldás

a) (+500) + (+800) = +1300, Regőnek 1300 Ft-ja van.b) (+400) + (–300) = +100, Emőkének 100 Ft-ja van.c) (–700) + (+200) = –500, Bálintnak 500 Ft adóssága van.d) (+600) + (–900) = –300, Miminek 300 Ft adóssága van.e) (–900) + (–700) = –1600, Ivánnak 1600 Ft adóssága van.

2 A „Kincs, ami nincs” társasjátékban készpénz- és adósságkártyákat lehet húzni. Ha egy gyereknek több pénzt kell kifizetnie a játék folyamán, mint amennyi készpénze van, a banktól adósságkártyát kap. Állapítsd meg, melyik gyerek milyen értékű kártyát kap a banktól, és mekkora vagyona marad! A megol-dáshoz készíts számegyenest is! a) Kelemennek van egy 200 Ft-os készpénzkártyája, és ki kell fizetnie 600 Ft-ot.b) Jucinak 400 forintos adósságkártyája van, és ki kell fizetnie 300 Ft-ot.c) Ibolyának 900 Ft értékű készpénzkártyája van, és ki kell fizetnie 700 Ft-ot.

Megoldás

a) Kelemen 400 Ft adósságkártyát kap, és – 400 Ft-ja van.

b) Juci 300 Ft adósságkártyát kap, és –700 Ft-ja van.

c) Ibolya nem kap kártyát a banktól, és +200 Ft-ja van.Szerk

eszt

és a

latt

44

EGÉSZ SZÁMOK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA15.

3 Számold ki!a) 3 − 10 b) 3 − (−10) c) −3 − 10 d) −3 − (−10)e) 10 − 10 f) (−10) − (−10) g) 100 − (−10) h) −23 − 67

Megoldás:

a) –7 b) 13 c) –13 d) 7e) 0 f) 0 g) 110 h) –90

4 Folytasd a füzetedben 5 számmal! Legyen minden szám 7-tel kevesebb, mint az előző!a) 15; 8; 1; … b) −1; −8; −15; …

Megoldás:

a) 15; 8; 1; –6; –13; –20; –27; –34;b) –1; –8; –15; –22; –29; –36; –43; –50;

5 Írd le zárójelek nélkül, majd számold ki az összegeket!a) (+14) + (+14) b) (+14) – (+14) c) (–14) + (+14) d) (+14) + (−14)e) (+14) – (–14) f) (–14) − (+14) g) (−14) + (−14) h) (−14) − (−14)

Megoldás:

a) 14 + 14 = 28 b) 14 – 14 = 0 c) –14 + 14 = 0 d) 14 – 14 = 0e) 14 + 14 = 28 f) –14 – 14 = –28 g) –14 – 14 = –28 h) –14 + 14 = 0

6 Írd le zárójelek nélkül, majd számold ki az összegeket!a) (+42) + (+28) b) (+24) – (+57) c) (+12) – (+32) d) (+27) – (−42)e) (–19) + (+4) f) (–11) − (+33) g) (−65) − (+43) h) (−88) − (−88)

Megoldás:

a) 42 + 28 = 70 b) 24 – 57 = –33 c) 12 – 32 = –20 d) 27 + 42 = 69e) –19 + 4 = –15 f) –11 – 33 = –44 g) –65 – 43 = –108 h) –88 + 88 = 0

7 Írd fel rövidebb alakban is, és számold ki a műveletek eredményét! Mely esetekben kaptál azonos végeredményt?a) (+13) + (+34) b) (+13) + (−34) c) (−13) + (+34) d) (−13) + (−34)e) (+13) − (+34) f) (+13) − (−34) g) (−13) − (+34) h) (−13) − (−34)

Megoldás:

a) 13 + 34 = 47 b) 13 – 34 = –21 c) –13 + 34 = 21 d) –13 – 34 = –47e) 13 – 34 = –21 f) 13 + 34 = 47 g) –13 – 34 = –47 h) –13 + 34 = 21a = f; b = e; c = h; d = g.Sze

rkes

ztés

ala

tt

45

ÖSSZEFOGLALÁS 16.Feladatok1 Melyik ez a szám: kétmillió-háromszázegyezer-hatvanöt?A) 20 301 065 B) 2 301 065 C) 2 301 165

Megoldás: B).

2 Melyik igaz?A) A 2 345 876 esetén az ezresek helyén a 4 áll.B) A 2 345 876 esetén a százezresek helyén a 3 áll.C) A 2 345 876 esetén a tízezresek helyén a 3 áll.

Megoldás: B).

3 A CMXXV római számA) a 955-öt, B) a 925-öt, C) az 1125-öt jelenti.

Megoldás: B) 925.

4 Mi a nyíl szerepe a számegyenesen? A) Semmi, csak jól mutat.B) Megmutatja a pozitív irányt.C) Az abszolút értéket adja meg.

Megoldás: B) Megmutatja a pozitív irányt.

5 Mennyi 345 345 + 567 987?A) 914 002 B) 913 332 C) 914 432

Megoldás: B) 913 332.

6 Mennyi 345 345 – 567 987?A) –913 332 B) 222 642 C) –222 642

Megoldás: C) –222 642.

7 Mennyi 3456  ⋅ 1000?A) 3 456 000 B) 3 45 600 C) 3 4 560

Megoldás: A) 3 456 000.

8 Mennyi 345  ⋅ 23?A) 7935 B) 7934 C) 7945

Megoldás: A) 7935.Szerk

eszt

és a

latt

46

ÖSSZEFOGLALÁS16.9 Melyik igaz, melyik hamis?A) A 3 és a –3 abszolút értéke megegyezik.B) A –3 kisebb, mint a 3.C) A –(–3) = –3.D) Az 5 – 3 = 3 – 5.

Megoldás:

A) Igaz.B) Igaz.C) Hamis, mert –(–3) = 3. D) Hamis, mert 5 – 3 = 2, viszont 3 – 5 = –2.

10 Mennyi a szorzat eredménye? (–831) ⋅ 13A) –10 813 B) –10 803 C) –10 823

Megoldás: B) –10 803.

11 Mennyi a 4567 : 42 hányadosa?A) 107 B) 109 C) 108

Megoldás: C) 108.

12 Mennyi a 4567 : 42 maradéka?A) 29 B) 31 C) 35

Megoldás: B) 31.

13 Tízes számrendszerben mennyi a 10012?A) 9 B) 7 C) 5

Megoldás: A) 8 + 1 = 9.

14 Melyik a 31 kettes számrendszerben?A) 11112 B) 101012 C) 111112

Megoldás: C) 111112 = 16+8+4+2+1=31.

15 Melyik az 56 501 ezresekre kerekített értéke?A) 56 000 B) 56 500 C) 57 000

Megoldás: C) 57 000.

16 Mennyi (–6) – (–9)?A) 3 B) –15 C) –3

Megoldás: A) (–6) + 9 = 3.

Szerk

eszt

és a

latt

47

ÖSSZEFOGLALÁS 16.17 Határozd meg a szorzások hiányzó tényezőjét!a) ∙ 2 = 516 b) 172 ∙ = 516 c) ∙ 4 = 516 d) 86 ∙ = 516 e) ∙ 12 = 516

Megoldás: a) 258 ∙ 2 = 516; b) 172 ∙ 3 = 516; c) 129 ∙ 4 = 516; d) 86 ∙ 6 = 516; e) 43 ∙ 12 = 516

18 Végezd el a szorzásokat!a)  123 ∙ 7 b)  456 ∙ 2 c)  789 ∙ 5 d)  4123 ∙ 8 e)  7465 ∙ 3 f)  8421 ∙ 10  123 ∙ 70  456 ∙ 20  789 ∙ 50  4123 ∙ 80  7465 ∙ 30  8421 ∙ 100 1230 ∙ 7 4560 ∙ 2 7890 ∙ 5 41230 ∙ 8 74 650 ∙ 3 84 210 ∙ 10 1230 ∙ 70 4560 ∙ 20 7890 ∙ 50 41230 ∙ 80 74 650 ∙ 30 84 210 ∙ 100

Megoldás: a) b) c) d) e) f)    861    912   3 945    32 984    22 395    84 210  8 160  9 120  39 450   329 840   223 950   842 100  8 160  9 120  39 450   329 840   223 950  842 100 81 600 91 200 394 500 3 298 400 2 239 500 8 421 000

19 Végezd el az osztásokat!a)  516 : 2 b)  516 : 3 c)  516 : 4 d)  516 : 6 e)  516 : 12 f)  516 : 43 5160 : 2 5160 : 3 5160 : 4 5160 : 6 5160 : 12 5160 : 43 5160 : 20 5160 : 30 5160 : 40 5160 : 60 5160 : 120 5160 : 430

Megoldás: a) b) c) d) e) f)  258  172  129  86  43  12 2580 1720 1290 860 430 120  258  172  129  86  43  12

20 „Éjszaka −12 °C-ig hűlt le a levegő, reggel viszont már −5 °C-ot mutatott a hőmérő. Délután akár 1 °C-ig is emelkedhet a hőmérséklet, de sajnos éjszaka megint erős fagyra kell számítani.” Rajzolj a füzetetedbe egy számegyenest, és jelöld be az említett hőmérsékleteket színessel!

Megoldás:

21 Egy csokigyárban Fincsi csokoládét csomagolnak. Egy dobozba 16 db csokoládé kerül. Egy csokibonbon tömege 37 g.a) Hány doboz készül 7000 db csokoládéból?b) Mekkora az össztömege a becsomagolt csokibonbonnak? Váltsd át a kiszámolt tömeget egész kg-ra,

egészre kerekítve!

Megoldás

7000 : 16 = 437 doboz készül, és marad még 8 db csokoládé.437 ⋅ 16 ⋅ 37 = 258 704 gramm = 258,704 kg ≈ 259 kg a becsomagolt csokibonbon össztömege.

Szerk

eszt

és a

latt

48

ÖSSZEFOGLALÁS16.22 Végezd el az alábbi műveletsorokat!a) 157 – 54 : 3 + 11 b) 98 + 84 : 4 ∙ 3 c) 23 ∙ 6 + 46 ∙ 3 d) 161 : 7 – 207 : 9e) (48 + 123 + 79 ) : 25 + (23 ∙ 14 + 19 ∙ 52 – 1260 : 2 ) : 17f) 32 ∙ 15 + (97 + 7 ∙ 13 – 720 : 4) ∙ ( 92 – 79) + 4576 : 11

Megoldás

A műveleti sorrendre figyeljünk. Ha zárójel van, akkor először a zárójelben lévő műveleteket kell elvégezni.Az eredmények:a) 150 b) 161 c) 276 d) 0e) (48 + 123 + 79) : 25 + (23 ∙ 14 + 19 ∙ 52 – 1260 : 2) : 17 = 245 : 25 + (322 + 988 – 630) : 17 =

= 10 + 680 : 17 = 10 + 40 = 50f) 32 ∙ 15 + (97 + 7 ∙ 13 – 720 : 4) ∙ (92 – 79) + 4576 : 11 = 480 + (97 + 91 – 180) ∙ 13 + 416 =

= 480 + 8 ∙ 13 + 416 = 480 +104 + 416 = 1000

23 Melyik számot írjuk a helyére, hogy igaz legyen az egyenlőség?a) 23 + (–14) = b) (–17) – (+11) = c) (–13) + |–8| = d) 13 – = –1 e) 8 + = 3 f) (–9) – = –5g) + (–11) = –4 h) – (–6) = –7 i) + |–8| = 5

Megoldás

a) (+9) b) (–28) c) (–5)d) (+14) e) (–5) f) (–4)g) (+7) h) (–13) i) (–3)

24 Készíts számegyenest a füzetedben a családodban lévő személyek életkorának bemutatásához!

Megoldás:

Saját eredmények.

25 Géza a következő 2-es számrendszerbeli számot írta fel barátjának, hogy számolja át 10-es alapú számrendszerbe: 1201, de a barátja kinevette. Miért?

Megoldás:

Nincsen 2-es számjegy a kettes számrendszerben.

26 Géza azt mondta, hogy a 110. hónap 1011. napján született, még tűzijáték is volt a tiszteletére. Aztán még azt is hozzátette, hogy a 3 a szerencseszáma, ezért 3-as számrendszerben írta fel a számokat. Melyik hónap melyik napján született Géza?

Megoldás

Géza december 31-én született.

Szerk

eszt

és a

latt

49

ÖSSZEFOGLALÁS 16.27 Öt pozitív egész szám összege 150. Páros vagy páratlan lesz ennek az öt számnak a szorzata? Vála-szodat indokold!

Megoldás

Öt pozitív egész szám összege csak úgy lehet páros, ha – nincs a számok között páratlan, vagy – kettő páratlan szám van a számok között, vagy– négy páratlan szám van a számok között.Ezért az összeadandók között biztosan van páros szám is, így a szorzatuk páros lesz.

28 Számold ki a művelet eredményét!

4 ⋅ 12 – 8 : 2 + 2

Rakj a megfelelő helyekre zárójeleket úgy, hogy az eredmény az alábbi legyen!

a) 10 b) 34 c) 40 d) 46

Megoldás

4 ⋅ 12 – 8 : 2 + 2 = 46a) (4 ⋅ 12 – 8) : (2 + 2) = 10b) 4 ⋅ (12 – 8 : 2) + 2 = 34c) 4 ⋅ (12 – 8 : (2 + 2)) = 40d) 4 ⋅ 12 – 8 : (2 + 2) = 46

29 Számold ki a 100 tagból álló összeget!(+1) + (−2) + (+3) +(−4) + … + (+99) + (−100)

Megoldás:

Párosával összevonva−1 – 1 − … − 1 = −50

Szerk

eszt

és a

latt

50

30 Az összeadásokban az azonos jelek azonos, a különböző jelek különböző számjegyeket jelölnek. Határozd meg a jelek értékét! Ahol lehet, keress több megoldást!

a)

+

b)

+

Megoldás

a) A kék és piros összeadásánál tízes átlépés nem lehet, az összeadás eredménye két azonos számjegyet tartalmazó kétjegyű szám.A 0 nem lehet a számjegyek között.Megoldások:12; 13; 14; 15; 16; 17; 1821; 23; 24; 25; 26; 2731; 32; 34; 35; 3641; 42; 43; 45;51; 52; 53; 5461; 62; 6371; 72; 81

Táblázattal:

12 13 14 15 16 17 18 23 24 25 26 27 34 35 36 45

21 31 41 51 61 71 81 32 42 52 62 72 43 53 63 54

33 44 55 66 77 88 99 55 66 77 88 99 77 88 99 99

b) A zöld lóhere csak páros szám lehet.A próbálgatások után látható, hogyha az összeadás során az egyeseknél nincs tízes átlépés, akkor a szív is csak páros szám lehet.Ha az összeadás során van tízes átlépés, akkor a szív csak páratlan szám lehet.Vizsgáljuk meg a zöld lóhere 0, 2, 4, 6, 8 értékénél a lehetőségeket.Így az összeadandók: 12, 24, 25, 37, 49 lehet.

25 12 37 24 49

25 12 37 24 49

50 24 74 48 98

ÖSSZEFOGLALÁS16.

Szerk

eszt

és a

latt

51

Szabadulószoba

 1. 2835 2. 405 3. 3 4. 239 5. 182 6. 30 000 7. 97 8. 3169 9. 126 73510. –11011. Összeg: 163 555

163 555 : 35 = 4673

A titkos kód: 4673.

ÖSSZEFOGLALÁS 16.

Szerk

eszt

és a

latt

Szerk

eszt

és a

latt

II. Törtek, tizedes törtek

Egy nappal később az 5. a űrhajója jóval közelebb került a Földhöz, de az utasok ebből nem sokat vettek észre.– Mi az az izé, ami már órák óta ‒270,1-en áll? – kérdezte Gazsi.– Máris észrevetted? Nagyon ügyes vagy! A külső hőmérsékletet mutatja, de nem órák óta, hanem három hete ‒270 °C-ot mutat – szólalt meg Gerzson.– Ez az űr hőmérséklete. Lehetne akár 3,05 K is, ha nem Celsius-, hanem Kelvin-fokban mérnénk a kinti hőmérsékletet. Nagyjából ennyit melegít rajta a háttérsugárzás – tódította Okoska, aki most sem bírt csöndben maradni. – Az abszolút 0 fok körülbelül ‒273,15 °C. – Ez lenne az a hőmérséklet, ahol te is csöndben tudnál maradni? – vágta rá Berta szemrehányó tekintet-tel, hiszen mindannyian figyeltek Gerzson előadásán, amit még az út elején tartott az űr hőmérsékletéről. Szeme sarkából látta, hogy Gazsi is nagyon bólogat.

– És a másik bigyó, amin a mutató a 4

3 jel fölött áll?

– Az az áramforrások töltöttségét jelzi. Ne aggódjatok, ez is bőven elég, több mint amire szükségünk van! 24 napja vagyunk úton, és már csak 6 nap van hátra. Épp a negyede a kirándulásnak. – Hűha! – sóhajtott Panni. – Akkor már csak 5 esti buli lesz?

Szerk

eszt

és a

latt

54

ISMERKEDÉS A TÖRTEKKEL 1.Feladatok1 Az alábbi ábrák egy részét kiszíneztük. Keresd meg, melyik törthöz melyik ábra tartozik! Egy törthöz több ábra is tartozhat.

I. II. III. IV. V. VI.

VII. VIII. IX. X. XI. XII.

I. II. III. IV. V. VI.

VII. VIII. IX. X. XI. XII.

a) 14

b) 23

c) 56

d) 37

Megoldás:

a) 14

: V.; VI.; XII.

b) 23

: I.; II.; X.

c) 56

: IV.

d) 37

: VII.; VIII; XI.

A III. és a IX. egyik törthöz sem tartozik.

2 A legnagyobb építőelem 1 egészet ér. Mekkora része ennek a többi színes építőelem?

Megoldás:

kis piros: 132

sárga: 116

kék: 18

barna: 18

zöld: 14

nagy piros: 12

Szerk

eszt

és a

latt

55

ISMERKEDÉS A TÖRTEKKEL 1.3 Keresd a kakukktojást! Válaszodat indokold!a)

b)

c)

Megoldás:

Egy lehetséges kakukktojás választás:

a) , mert a többinél 13

rész van beszínezve.

b) , mert a többinél 1-nél kisebb rész van beszínezve.

c) , mert a többi ábrában 25

rész van beszínezve, itt 12

.

4 Írd le a következő törteket számokkal!a) három tizenegyed b) két ötöd c) négy heted d) öt hatode) kilenc heted f) három negyed g) egy tized h) három tizenötöd

Megoldás:

a) 311

 b) 25

 c) 47

 d) 56

 e) 97

 f) 34

 g) 110

 h) 315

.

5 Írd le a következő törteket betűkkel!

a) 37

 b) 417

 c) 2526

 d) 12235

 e) 1100

 f) 74

 g) 2356

Megoldás:

a) három heted b) négy tizenheted c) huszonöt huszonhatod d) tizenkettő kétszázharmincötöde) egy század f) hét negyed g) huszonhárom ötvenhatod.Sze

rkes

ztés

ala

tt

56

6 Melyik az a tört, amelyiknek aa) számlálója 10, nevezője 17? b) nevezője 8, számlálója 7?c) számlálója 4, nevezője 5? d) számlálója 8, nevezője 9?e) nevezője 34, számlálója 23? f) számlálója 101, nevezője 103?

Megoldás:

a) 1017

 b) 78

 c) 45

 d) 89

 e) 2334

 f) 101103

7 Minden ábra egy egész. Az egésznek hányad részea) sárga, kék; b) sárga, szürke, piros; c) kék, sárga?

Megoldás:

a) sárgaösszes

= 1230

, kékösszes

= 1830

;

b) sárgaösszes

= 113

, pirosösszes

= 413

, szürkeösszes

= 813

;

c) sárgaösszes

= 2549

, kékösszes

= 2449

.

ISMERKEDÉS A TÖRTEKKEL 1.

Szerk

eszt

és a

latt

57

ISMERKEDÉS A TÖRTEKKEL 1.8 Rajzolj a füzetbe 4×6-os téglalapokat, és színezd ki pirossal többféleképpen

a) az 13

részüket; b) az 56

részüket; c) a 2324

részüket!

d) Hányféle különböző színezést találhatsz a c) feladathoz?

Megoldás:a)

b)

c)

d) 24 helyen lehet az egy színezetlen négyzet, így 24 féle színezés lehet.

9 Gyűjtsetek kupakokat, és rakjátok ki kétféle módon a

a) 25

-öt; b) 34

-et!

Megoldás:

Egyéni megoldások

Szerk

eszt

és a

latt

58

10 Mókamatek szigetén lovagok és lókötők élnek. Mindannyian nagyon szeretik és jól is tudják a mate-kot. Egy dologban azonban különböznek: a lovagok mindig igazat mondanak, a lókötők mindig hazudnak. Miután alaposan megnézték az alábbi képeket, a következőket mondták:

I. III. VIII.VII. IX. X.II. IV. V. VI.

A) Pontosan két olyan ábra van, amelyiknek a felénél kevesebb része színes.

B) Négy olyan ábra van, amelyiknek a 23

része színes.

C) Ugyanannyi ábrának színeztük be a harmadát, mint ahány ábrának a fele színes.

D) Az ábrák fele olyan, amelyeken az 12

részt színeztük be.

E) A VI. ábra 42

része színes.

a) Döntsd el az állítások alapján, hogy melyiket mondhatták a lovagok, és melyiket mondhatták a lókötők!b) Írj te is egy-egy hamis, illetve igaz állítást az ábra alapján!

Megoldás:

Lókötők mondhatták: A); D); EIgazmondók mondhatták: B); C)

11 Mekkora része színezett az alakzatoknak?

a) b) c) d)

e) f) g) h)

Megoldás:

a) 15

b) 312

c) 14

d) 38

e) 28

f) 14

g) 12

h) 38

ISMERKEDÉS A TÖRTEKKEL 1.

Szerk

eszt

és a

latt

59

12 Keresd meg a betűtáblán elrejtett 10 darab törttel kapcsolatos kifejezést!

M U J Ö V N T M W N A R C N Z T Ö NH M Z F V Ü Ö Á E K H R E C B Ö Q ÖX W G A C B R S Z É A F J U Ü R R PÜ A K A A J T F W T T J H Q K T Ü JX N X G D X V É S H O S E P X K B VV E A W N Y O L C A D U G F Ö K W QK V T F U Ü N H Á R O M N E G Y E DH E S Y H M A F Z M E U Ö I J A W IS Z Á M L Á L Ó B A U W C Q H D B UC Ő K Ü S T I Z E D M P K Ö L K U I

Megoldás:

M U J Ö V N T M W N A R C N Z T Ö NH M Z F V Ü Ö Á E K H R E C B Ö Q ÖX W G A C B R S Z É A F J U Ü R R PÜ A K A A J T F W T T J H Q K T Ü JX N X G D X V É S H O S E P X K B VV E A W N Y O L C A D U G F Ö K W QK V T F U Ü N H Á R O M N E G Y E DH E S Y H M A F Z M E U Ö I J A W IS Z Á M L Á L Ó B A U W C Q H D B UC Ő K Ü S T I Z E D M P K Ö L K U I

13 Kati mama és Sanyi papa unokatestvér-találkozót szervezett Miskolcra a hosszú hétvégére. Az unokatestvérek az ország különböző pontjairól érkeznek a találkozóra. 9 órakor az alábbiakat tudjuk az utazókról:a) Arnoldék Szegeden élnek. A 350 km-es útnak már megtették a felét. Hány km van még hátra?b) Bertáék Pécsről érkeznek. Hajnalban indultak, már megtették a 428 km-es út háromnegyed részét. Mekkora része van még hátra az útnak?c) Daniék Sopronból jönnek, és már 280 km-t megtettek a 420 km-ből. Az út mekkora részét tették meg?d) Ha mostantól mindhárman egyenlő sebességgel haladnak, milyen sorrendben érkeznek meg Kati mamáékhoz?

Megoldás:

a) A 350 km-es út fele 175 km, ennyit megtettek, és ugyanennyi van hátra.b) A 428 km-es út egynegyed része van hátra, ami 107 km.c) 140 km van még hátra, az út kétharmad részét tették meg.d) Bertáék érnek oda leghamarabb, aztán Daniék, és legvégül Arnoldék.

ISMERKEDÉS A TÖRTEKKEL 1.

Szerk

eszt

és a

latt

60

ISMERKEDÉS A TÖRTEKKEL 1.14 Jenci szülinapi buliján 24 szeletes torta volt. A fiúk megették a szeletek felét, a lányok a harmadát. A többi szeletet a felnőttek osztották szét maguk között. Hány felnőtt volt Jenci buliján, ha mindenki egy-egy szelet tortát kapott?

Megoldás:

A fiúk 12 szeletet, a lányok 8 szeletet ettek meg, így 4 szelet maradt, tehát 4 felnőtt volt a buliban.

15 Az állatmenhelyen 36 kutyus volt. Decemberben elvitték a kutyusok felét, januárban pedig a mara-dék kutyusok harmadát. Ez idő alatt szerencsére újabb kutya nem került a menhelyre. Hány kutyus maradt a menhelyen?

Megoldás:

36 fele 18, a maradék harmada 6, így 12 kutyus maradt a menhelyen.

Szerk

eszt

és a

latt

61

Feladatok1 Bővítsd

a) a 23

-ot 4-gyel; b) a 47

-et 5-tel; c) a -58

 -ot 3-mal!

Megoldás:

a) 23

 =  812

b) 47

 =  2035

c) - 58

 = - 1524

2 Válaszd ki a számegyenesről, milyen számmal bővítettük az alábbi törteket! Ha a számokhoz tartozó betűket sorban összeolvasod, egy értelmes szót kapsz.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

K S N E A Ű B SZ V GY R O J

a) 35

 =  610

b) - 23

 = - 812

c) 53

 =  4527

d) -2

10 = - 14

70

e) 89

 =  2470

f) -1733

 = - 170330

g) 74

 =  3520

Megoldás:

NAGYSZERŰ

3 a) Bővítsd a példa alapján a következő törteket! 23

= 69

13

54

159

-27

-58

-65

b) Bővítsd a törteket úgy, hogy 100 legyen a nevezőjük!

25

54

1525

-2

10 -

520

-6

50

c) Bővítsd a törteket úgy, hogy 60 legyen a számlálójuk!

23

54

159

-47

-1213

-65

Megoldás:

a) 39

1512

4527

– 621

– 1524

– 1815

b) A 100 és a nevező hányadosával megszorozzuk a számlálót.

40

100 125

100 60

100 – 20

100 – 25

100 – 12

100

c) A 60 és a számláló hányadosával megszorozzuk a nevezőt.

6090

6048

6036

– 60105

– 6065

– 6050

TÖRTEK BÔVÍTÉSE, EGYSZERÛSÍTÉSE, ÖSSZEHASONLÍTÁSA 2.

Szerk

eszt

és a

latt

62

TÖRTEK BÔVÍTÉSE, EGYSZERÛSÍTÉSE, ÖSSZEHASONLÍTÁSA2.

4 Egyszerűsítsd a következő törteket!2

24 10

24 15

24 -

1824

-1224

-3624

312

96

64

-128

-1510

-86

Megoldás:

A számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal osztjuk.1

12 5

12 5

8 -

34

-12

-32

14

32

32

-32

-32

-43

5 Keresi a borsó a héját! Egyszerűsítsd a borsószemekre írt törteket, és válaszd ki, melyik borsónak melyik a héja!

Megoldás:

13

 =  618

 =  927

 =  1236

34

 =  1824

 =  2128

 =  912

76

 =  3530

 =  2118

 =  4942

52

 =  4518

 =  2510

 =  6024

6 Milyen számokat írhatunk a betűk helyére, hogy az egyenlőség igaz legyen? Számolj a füzetedben!

a) 35

 =  6a

 =  b25

 =  24c

 =  d20

 =  27e

 =  f35

b) 1612

 =  g24

 =  8h

 =  i9

 =  20j

 =  k27

 =  4l

Megoldás:

a) a = 10; b =15; c = 40; d =12; e = 45; f = 21.b) g = 32; h =6; i = 12; j = 15; k = 36; l = 3.Sze

rkes

ztés

ala

tt

63

TÖRTEK BÔVÍTÉSE, EGYSZERÛSÍTÉSE, ÖSSZEHASONLÍTÁSA 2.

7 Melyik tört a nagyobb?

a) 12

3 vagy 12

5 b) 3

2 vagy 4

3 c) 2

1 vagy 8

3 d) 12

1- vagy

12

3-

e) 5

4 vagy 4

3 f) 12

7 vagy 4

3 g) 7

5 vagy 8

5 h) 8

5- vagy

5

3-

i) 12

5 vagy 18

7 j) 5

9- vagy

4

9- k)

9

4 vagy 7

3 l) 9

7 vagy 6

5

Megoldás:

Azonos (pozitív) nevezőjű törtek közül az a nagyobb, amelyiknek a számlálója nagyobb. Ahol nem azono-sak a nevezők, ott bővítéssel közös nevezőre hozzuk a két törtet.

a) 512

; b) 812

< 912

, tehát a 34

a nagyobb; c) 48

> 38

, tehát az 12

a nagyobb

d) – 112

> – 312

, tehát a – 112

a nagyobb; e) 1620

> 1520

, tehát a 45

a nagyobb

f) 712

< 912

, tehát a 34

a nagyobb

g) 57

> 58

; h) – 2540

< – 2440

, tehát a – 35

a nagyobb

i) 1536

> 1436

, tehát az 512

a nagyobb

j) – 95

> – 94

; k) 2863

> 2763

, tehát a 49

a nagyobb

l) 4254

< 4554

, tehát az 56

a nagyobb

Szerk

eszt

és a

latt

64

TÖRTEK BÔVÍTÉSE, EGYSZERÛSÍTÉSE, ÖSSZEHASONLÍTÁSA2.

8 Gergő, Máté és Zsiga az alábbi tört-összehasonlításokat vizsgálják:3

12 1  5

12; 3

4 2  2

3; 1

2 2  3

8; 48

52 =  56

49; 7

12 2  3

4; 5

8 1  5

7; -

32

 2 - 12

; 79

 1  810

.

Alapos szemlélődés után a következő megállapításokat teszik:Gergő: A nyolc feladat fele hibás.Zsiga: A feladatok negyede hibás.Máté: Három feladat kivételével mind hibátlan.Kinek van igaza? Válaszodat számolással igazold!

Megoldás:

Alakítsuk át az összehasonlítandó törteket úgy, hogy a nevezőjük vagy a számlálójuk egyenlő legyen.3

12 1  5

12 IGAZ

34

 2  23

;  912

 2  812

IGAZ

12

 2  38

;  48

 2  38

IGAZ

4852

 =  2426

;  5649

 =  87

 =  2421

HAMIS

712

 2  34

;  712

 2  912

HAMIS

58

 1  57

IGAZ

-32

 2 - 12

; HAMIS

79

 1  810

;  7090

 1  7290

IGAZ

Ezek alapján megállapítható, hogy csak Máténak van igaza.

9 Döntsd el az alábbi állításokról, melyik igaz, melyik hamis!a) Ti elfeleztetek egy pizzát, mi elnegyedeltünk egy ugyanakkorát. Te egy szeletet ettél, én kettőt. Tehát kétszer annyit ettem, mint te.b) Te fél liter almalevet ittál, én 5 decilitert. Tehát én tízszer annyit ittam, mint te, mert az 5 a félnek a 10-szerese.

c) Mindkettőnknek van 16-16 szem cukorkája. Én megettem a cukorkáim negyedét, neked már csak a 912

része van meg. Sajnos neked kevesebb cukorkád maradt, mint nekem.

Megoldás:

a) Hamis, mert 1 egésznek a fele ugyanannyi, mint a 24

része.

b) Hamis, mert nem egyforma egységekben számoltunk, a két mennyiség egyenlő.c) Hamis, mert mindketten a 16 szem cukorka negyedét ettük meg.

Szerk

eszt

és a

latt

65

TÖRTEK BÔVÍTÉSE, EGYSZERÛSÍTÉSE, ÖSSZEHASONLÍTÁSA 2.

10 Rendezd csökkenő sorrendbe a következő törteket:

2

1 ; 3

2 ; 4

1 ; 6

5 ; 12

7 !

Megoldás:

Közös nevezőre hozzuk a törteket, majd a számlálóik alapján sorba rendezzük őket.6

12;  8

12;  3

12;  10

12;  7

12.

A rendezés után 56

 2  23

 2  712

 2  12

 2  14

.

11 Vettünk egy új asztalterítőt. a) A terítő hányad része sárga?b) A terítő hányad része piros?c) A terítő hányad része lila?d) A terítő hányad része zöld?e) A terítő hányad része sárga vagy zöld?f) A terítő hányad része piros vagy lila?g) A terítő hányad része nem sárga?h) A terítő hányad része nem lila?i) Állítsd növekvő sorrendbe az így kapott törteket!

Megoldás:

a) sárgaösszes

= 48196

= 1249

; b) pirosösszes

= 75196

;

c) lilaösszes

= 25196

; d) zöldösszes

= 48196

= 1249

;

e) sárga vagy zöldösszes

= 96196

= 2449

; f) piros vagy lilaösszes

= 100196

= 2549

;

g) nem sárgaösszes

= 148196

= 3749

; h) nem lilaösszes

= 171196

.

i) A növekvő sorrend: c) < a) = d) < b) < e) < f) < g) < h).

12 A 90 perces focimeccsen eltelt a második félidő harmada. a) Hány perc telt el a mérkőzésből?b) Hány perc van hátra?

Megoldás:

a) Eltelt az első félidő 45 perce és a második félidő harmada, ami 45 ∙ 13

= 15 perc. 45 + 15 = 60 perc telt el.b) 90 – 60 = 30 perc van hátra.Sze

rkes

ztés

ala

tt

66

TÖRTEK ÁBRÁZOLÁSA SZÁMEGYENESEN, VEGYES TÖRTEK3.

Feladatok1 Írd fel a következő mennyiségeket tört és vegyes tört alakban is! Van olyan ábra, ahol ezt nem tudod megtenni. Melyiknél és miért nem?a) b)

c) d)

Megoldás:

a) 54

 = 1 14

b) 198

 = 2 38

c) 712

, nem írható át vegyes tört alakba.

c) 4812

 = 4, ennek sincs vegyes tört alakja.

2 Alakítsd át a törteket vegyes törtekké!

a) 2

5 b) 2

9 c) 3

10 d) 3

5 e) 4

5 f) 4

7

Megoldás:

a) 52

 = 2 12

b) 92

 = 4 12

c) 103

 = 3 13

d) 53

 = 1 23

e) 54

 = 1 14

f) 74

 = 1 34

Szerk

eszt

és a

latt

67

TÖRTEK ÁBRÁZOLÁSA SZÁMEGYENESEN, VEGYES TÖRTEK 3.

3 Keresd meg az egyenlő törteket, és a betűjelüket írd a füzetedbe! Ha a betűket helyes sorrendbe teszed, egy értelmes magyar szót kapsz. Melyik ez a szó?

a) A =  83

E =  73

P = 2 13

V = 2 23

U = 2 412

K =  2810

SZ = 1 43

R =  219

b) S =  184

A =  72

R =  92

GY = 4 14

I = 4 12

K = 4 714

B =  122

E = 2 52

Megoldás:

a) E =  73

  P = 2 13

  U = 2 412

  SZ = 1 43

  R =  219

  SZUPER

A =  83

  V = 2 23

K =  2810

b) S =  184

  R =  92

  E = 2 52

  I = 4 12

  K = 4 714

  SIKER

A =  72

GY = 4 14

B =  122

4 Írd át törtté!

a) 22

1 b) 52

1 c) 13

1 d) 13

2 e) 54

3 f) 94

1

Megoldás:

a) 4 12

 =  92

b) 5 12

 =  112

c) 1 13

 =  43

d) 1 23

 =  53

e) 5 34

 =  234

f) 9 14

 =  374

5 Melyik betű melyik törtszámot jelöli a számegyenesen?

a) �1 0 1

BA

b) �1 0 1

A B C D

c) �1 0 1

A DB EC F

Megoldás:

a) A = - 12

; B =  12

b) A = - 23

; B = - 13

; C =  13

; D =  23

c) A = - 34

; B = - 24

; C = - 14

; D =  14

; E =  24

; F =  34

Szerk

eszt

és a

latt

68

TÖRTEK ÁBRÁZOLÁSA SZÁMEGYENESEN, VEGYES TÖRTEK3.

6 Keresd meg, melyik betű jelöli a 0-t, az 1-et és a -1-et a számegyenesen!

a) A B C D E F G H

3 14 4

�

b) A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U

1 12 10

�

Megoldás:

a) 0 = E 1 = H -1 = Bb) 0 = L 1 = U -1 = C

7 A gizmákok a számegyenes pozitív felén élő vidám kis lények. Színes kis házacskákban élnek, és azt

is tudjuk, hogy a szomszédos házak ugyanolyan távol, 1 13

egységnyi távolságra vannak egymástól.

a) Rajzolj a füzetedbe egy számegyenest úgy, hogy egy négyzetrács jelöljön 13

egységet!

b) Jelöld a számegyenesen a gizmákok első 6 házát, ha tudod, hogy az első ház az 1 pontban van!

c) Írd a házak alá, melyik pontban helyezkednek el a számegyenesen!d) Hányadik szomszédokra igaz az, hogy pontosan 4 egységnyire vannak

egymástól?

Megoldás:

a–b)

c) 1; 2 13

; 3 23

; 5; 6 13

; 7 23

d) A harmadik szomszédokra.

Szerk

eszt

és a

latt

69

TÖRTEK ÁBRÁZOLÁSA SZÁMEGYENESEN, VEGYES TÖRTEK 3.

8 A számegyenesen élő gizmákok nagy ellensége a rettenetes Krancs. Egy napon a gonosz Krancs meg-

éhezett, így üldözőbe vette az arra járó kis gizmákot. Amíg a Krancs 12

egységnyit lép, addig a gizmák

kétszer 16

egységnyit ugrik. Jelenleg a Krancs a számegyenesen a 0 pontban, a gizmák az 1 12

pontban áll.

a) Rajzolj a füzetedbe egy számegyenest, válaszd ki a megfelelő egységet, és jelöld, hol van rajta a Krancs és a gizmák!

b) Rajzold be különböző színnel, melyik mezőkre léphet a Krancs, és melyik mezőkre ugorhat a menekülő gizmák! (A gizmák természetesen nem a Krancs felé kezd el ugrálni.)

c) A számegyenes melyik pontjában fogja a Krancs elkapni a gizmákot? d) Mennyit lépett eddig a Krancs, és mennyit ugrott a gizmák?

Megoldás:

a)

b)

c) A 4 12

pontnál kapja el a Krancs a gizmákot.

d) Mindketten 9-szer léptek eddig.

Szerk

eszt

és a

latt

70

EGYENLÔ NEVEZÔJÛ TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA4.

Feladatok1 Végezd el a következő műveleteket!

a) 7

2

7

3+   b)

20

6

20

9+   c)

14

5

14

6+   d)

28

15

28

13-   e)

5

8

5

6-   f)

25

17

25

11-

Megoldás:

a) 57

b) 1520

= 34

c) 1114

d) 228

= 114

e) 25

f) 625

2 Rajzolj egy számegyenest a füzetedbe! Ábrázold a felsorolt számokat és a műveletek eredményét!

2

3

2

4+  

6

7

6

2-  

5

8

5

5-  

11

21

11

13-

Megoldás:72

   56

   35

   811

3 Anna a szülinapi buli után összerendezte az öt pizzából megmaradt szeleteket. Mivel eredetileg minden pizzát 8 egyenlő nagyságú szeletre vágtak, könnyű dolga volt. a) Hány szelet pizzája maradt összesen?b) Hány egész pizzát tudna belőle összeállítani?c) Írd fel törtszámmal és vegyes törttel is a maradék pizzák számát!

Megoldás:

a) 17 szelet pizza maradt.b) 2 egész pizzát lehet összerakni, és marad 1 szelet.

c) 178

 = 2 18

pizza maradt.

Szerk

eszt

és a

latt

71

EGYENLÔ NEVEZÔJÛ TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA 4.

4 Válaszolj az alábbi kérdésekre! Írjál, számoljál!

a) Megettem a csokim 712

részét. Mekkora része maradt meg?

b) Ha ma megcsinálnám a házi feladatom 23

részét, mekkora része maradna holnapra?

c) Ha délelőtt megnézném a film felét, akkor 45 perc maradna délutánra. Hány perces a film?

d) A csiga ma megtette az út 25

részét, így holnapra 6 méter maradt még. Az út mekkora része maradt

hátra? Milyen hosszú az egész út?

Megoldás:

a) 1212

-7

12 =  5

12 rész maradt meg.

b) 13

része.

c) 90 perces.

d) Az út 53

része maradt hátra. Ha a 35

rész 6 méter, akkor 15

rész 2 méter, így az egész út 10 méteres.

5 Írj műveletet az alábbi feladatokhoz! Válaszolj a kérdésekre! Számolj!

a) Mennyit adjak hozzá a 47

-hez, hogy 3 17

-et kapjak?

b) Mennyit vegyek el az 5 79

-ből, hogy 2 89

-et kapjak?

c) Két szám különbsége 3 23

, a kisebb szám az 1 13

. Melyik a másik szám?

d) Két szám összege 3, különbsége 2. Melyik ez a két szám?

Megoldás:

a) 3 17

-47

 =  227

-47

 =  187

 = 2 47

2 47

-et kell a 47

-hez hozzáadni.

b) 5 79

-2 89

 =  529

-269

 =  269

 = 2 89

Az 5 79

-ből 2 89

-et kell elvenni.

c) 3 23

+1 13

 = 4 33

 = 5

A nagyobbik szám az 5.

d) A két szám 2 12

és 12

.

Szerk

eszt

és a

latt

72

EGYENLÔ NEVEZÔJÛ TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA4.

6 Keresd a párját! Az alábbi kártyákon összeadásokat látsz számokkal és ábrákkal. Az ábrákon egy négyzet 1 egészet ér. Párosítsd össze ezeket, majd végezd el a műveleteket! Készíts te is hasonló párokat a füzetedben!

6

4

4

10

4

12

12

12

12

12

6

7

6

12

6

6

12

12

12

12

12

12

1

1

1

2

1

2F)

E)

D)

C)

B)

A)

L)

K)

J)

I)

H)

G) 1

2

121

6

4

4

10

4

12

12

12

12

12

6

7

6

12

6

4

12

12

12

12

12

12

1

1

1

2

1

2F)

E)

D)

C)

B)

A)

L)

K)

J)

I)

H)

G) 1

2

121

Megoldás:

A–H; B–J; C–K; D–G; E–L; F-I

G) 1 412

 - 1 412

 = 0

H) 1012

 + 6

12 = 

1612

 =  43

 = 1 13

I) 2 + 1 212

 + 1212

 = 4 212

 = 4 16

J) 1 412

 + 6

12 = 1 10

12 = 1 5

6

K) 1 412

 - 7

12 =  16

12 - 

712

 =  912

 =  34

L) 1 612

 + 6

12 +2 = 3 12

12 = 4

Szerk

eszt

és a

latt

73

EGYENLÔ NEVEZÔJÛ TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA 4.

7 a) Válassz ki minden színből egyet, és állítsd a törteket nagyság sze-rinti sorrendbe!b) Válassz két egyszínű törtet! Add össze őket!c) Válassz minden színből egy-egy párt, és vond ki a nagyobbikból a kisebbiket!

Megoldás:

a) Sok megoldás lehetséges.

b) Pl. narancs 23

 +  53

 =  73

.

c) Pl. narancs 53

 -  23

 =  33

 = 1.

8 János beszolgáltatta a tizedet a várúrnak és egy másik tizedet a templomnak. 10

3 -et elvitt a lánya

lakodalma. A termés hányad része maradt meg a családnak?

Megoldás:

Kiadás: 110

+ 110

+ 310

= 510

. A termés 1 - 510

= 510

= 12

része marad.

3

2

5

4

12

5

3

5

7

15

4

1

12

3

5

1

7

1

5

14

4

3

4

12

12

11

3

7

3

12

25

4

25

23

12

2

25

9

7

8

4

1

7

3

5

2

25

10

Szerk

eszt

és a

latt

74

KÜLÖNBÖZÔ NEVEZÔJÛ TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA 5.

Feladatok1 Írd fel a képekhez tartozó műveleteket a füzetedbe!a) b)

c) d)

Megoldás:

a) 12

 +  13

 =  36

 +  26

 =  56

b) 14

 +  16

 =  312

 +  212

 =  512

c) 1 +  14

 +  12

 = 1 +  14

 +  24

 = 1 34

b) 316

 +  12

 =  316

 +  816

 =  1116

2 Válaszd ki a megfelelő közös nevezőt! Vigyázz, lehet, hogy több helyes válasz is van! Válaszodat a füze-tedben rajzzal indokold!a) Kettedeket és negyedeket akarunk összeadni. A: 2 B: 3 C: 4 D: 6 E: 8b) Kettedeket és harmadokat akarunk összeadni. A: 2 B: 3 C: 6 D: 8 E: 12c) Harmadokat és ötödöket akarunk összeadni. A: 3 B: 5 C: 8 D: 15 E: 20

Megoldás:

a) C; Eb) C; Ec) D

Szerk

eszt

és a

latt

75

KÜLÖNBÖZÔ NEVEZÔJÛ TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA 5.

3 Készíts az alábbi műveletekhez rajzokat a füzetedbe! Végezd is el az összeadásokat!

a) 14

 +  13

b) 14

 +  16

c) 18

 +  34

d) 26

 +  38

Megoldás:

a) 14

 + 13

 =  312

 +  412

 =  712

b) 14

 +  16

 =  312

 +  212

 =  512

c) 18

 +  34

 =  18

 +  68

 =  78

d) 26

 +  38

 =  824

 +  924

 =  1724

4 Végezd el a következő műveleteket!

a) 27

3+ b)

14

32+ c)

12

151- d) 2

10

6-

Megoldás:

a) 177

b) 3114

c) 312

= 14

d) 1410

= 75

5 Számold ki!

a) 8

3

4

3+ b)

3

1

15

6+ c)

4

7

16

11- d)

5

11

25

23-

Megoldás:

a) 98

b) 1115

c) 1716

d) 3225Sze

rkes

ztés

ala

tt

76

6 Végezd el a következő műveleteket!

a) 5

3

4

3+ b)

6

3

5

2- c)

10

7

15

4+ d)

12

21

18

23-

Megoldás:

a) 2720

b) 330

= 110

c) 2930

d) 1736

7 Végezd el a következő műveleteket!

a) 6

1

3

4

3

1+ + b)

10

3

5

2

2

3+ - c)

3

4

5

6

15

4- + d)

4

11

16

11

8

11- -

Megoldás:

a) 116

b) – 810

= – 45

c) 615

= 25

d) 1116

8 Pótold a kimaradt számokat a füzetedben!a) 2

3 3

14- = b) 1 2

3

5

9+ = c)

323

25- = d)

3

1953

7- =

Megoldás:

a) 5 b) 3 c) 8 d) 4

9 Pótold a kimaradt számokat a füzetedben!a) 3

6

2

3

?- = b) 5

6

9

2

8+ = c)

6 3

5

3

76+ = d)

6

13

61

:- =

Megoldás:

a) 8 b) 13 c) 4 d) 7

10 Pótold a kimaradt számokat a füzetedben!a) 4

5

7

11

54

+ = b) 8

11

3

1 7- = c) 21

19

2

19- = d) 19

101

17

2018+ =

Megoldás:

a) 928

b) 2524

c) 1742

d) ⬠ =  20117

 -  10119

 =  3819323

 -  1717323

 =  2102323

 = 6 164323

KÜLÖNBÖZÔ NEVEZÔJÛ TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA 5.

Szerk

eszt

és a

latt

77

11 Janka a hosszú hétvégén teljesítménytúrán volt a barátaival. A hosszú túrát három részre osztották.

Pénteken 15 13

km-t, szombaton 17 14

km-t, vasárnap 11 712

km-t gyalogoltak.

a) Hány km-t gyalogoltak összesen?b) Vajon akkor is ennyit gyalogoltak volna a három nap alatt összesen, ha más sorrendben teljesítik a

távokat?

Megoldás:

a) A távolságokat adjuk össze úgy, hogy az egészek és a törtek összegét számoljuk ki.

15 13

 + 17 14

 + 11 712

 = 43 +  13

 +  14

 +  712

 = 43 +  1412

 = 44 212

 = 44 16

A három nap alatt összesen 44 16

km-t gyalogoltak.

b) Igen, mert az össztávolság nem változik.

12 Végezd el az alábbi műveleteket! Keress egy „trükköt”, amivel egyszerűbben megoldhatod a feladatot!

a) 37

 +  25

 +  47

 +  35

b) 18

 +  911

 +  34

 -  911

c) 515

 +  306

 +  23

 +  4010

 +  88

d) 136

 -  12

 +  164

 +  918

 -  2612

 +  497

Megoldás:

a) 37

 +  25

 +  47

 +  35

 =  37

 +  47

 +  25

 +  35

 = 2

b) 18

 +  911

 +  34

 -  911

 =  18

 +  34

 +  911

 -  911

 =  18

 +  68

 =  78

c) 515

 +  306

 +  23

 +  4010

 +  88

 =  13

 + 5 +  23

 + 4 + 1 = 11

d) 136

 -  12

 +  164

 +  918

 -  2612

 +  497

 =  136

 -  12

 + 4 +  12

 -  136

 + 7 = 11

KÜLÖNBÖZÔ NEVEZÔJÛ TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA 5.

Szerk

eszt

és a

latt

78

KÜLÖNBÖZÔ NEVEZÔJÛ TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA 5.

13 Népdalországban a hivatalos fizetőeszköz a pénz. 1 pénz 16 000 Ft-nak felel meg. A be vásárló énekli:„Én elmentem a vásárba félpénzzel. Tyúkot vettem a vásárban negyedpénzzel. Csirkét vettem a vásárban nyolcadpénzzel. Récét vettem a vásárban tizenhatodpénzzel.Ludat vettem a vásárban tizenhatodpénzzel. Kárikittyom, édes tyúkom, elfogyott a félpénzem.”Számold ki, hogy mennyi forinttal ment a vásárba, hány forintba került egy csirke, egy réce, egy lúd! Vajon valóban elfogyott-e a vásárló összes pénze?

Megoldás:

A félpénz = 8000 Ft. A tyúk ára = negyedpénz = 4000 Ft. A csirke ára = nyolcadpénz=2000 Ft. A réce ára = tizenhatodpénz = 1000 Ft. A lúd ára = tizenhatodpénz = 1000 Ft. Az elköltött összeg 4000 + 2000 + 1000 + 1000 = 8000 Ft, így elfogyott a félpénze, vagyis a 8000 forintja.

Szerk

eszt

és a

latt

79

KÜLÖNBÖZÔ NEVEZÔJÛ TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA 5.

14 Az Újlaki iskolában felújításba fogtak. a) A festők három teli vödör festékkel kezdték

a munkát. Végül az egyik vödörben 3

2 , a második

vödörben 5

2 , a harmadik vödörben 15

4 részig maradt

festék. Hány vödör festék maradt összesen?

b) A 4 méter széles és 10 méter hosszú öltöző lefe-désére maradék padlószőnyeget szántak. Szeren-csére a padlószőnyeget is 4 méter széles tekercsben

árulták. Az első tekercsből 12

49 méter, a másodikból

15

33 méter, a harmadikból 60

157 méter maradt.

Le lehet-e fedni velük az öltözőt?

c) 7

26 méter hosszú szőnyegből levágtak 3

5 métert. Milyen hosszú szőnyeg maradt?

d) Újlakiék a lakásfelújításra szánt 40 000 Ft 8

5 részét festékre, 10

1 részét pedig ecsetekre és festőhen-

gerre költötték. Mennyi pénzük maradt?

Megoldás:

a) 43

 = 1 13

vödör festék maradt összesen.

b) Nem lehet lefedni a maradék darabokkal az öltözőt.

c) 4321

méter szőnyeg maradt.

d) 40000 Ft 18

része 5000 Ft, 58

része 25000 Ft.

40000 Ft 110

része 4000 Ft.

A maradék pénz: 40000 – 25000 – 4000 = 11000 11000 Ft-juk maradt.

15 Melyik a nagyobb? Válaszodat indokold!20202021

vagy 20212022

Megoldás:

Mindkét tört egynél kisebb. Vizsgáljuk meg mennyivel kisebbek mint 1.

1 - 20202021

= 12021

;    1 - 20212022

= 12022

;

12021

> 12022

,

így az első tört „távolabb” van 1-től, azaz közelebb van a 0-hoz. Tehát az első tört a kisebb.

Szerk

eszt

és a

latt

80

KÜLÖNBÖZÔ NEVEZÔJÛ TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA 5.

16 Milyen számokat írhatsz a betűk helyére, hogy igaz legyen az egyenlőség? A különböző betűk külön-böző számokat jelölnek.

a) 1a

 +  1b

 +  1c

 = 1 b) 1a

 +  1b

 +  1c

 +  1d

 = 1

Megoldás:

a) 12

+ 13

+ 16

=1

b) 12

+ 13

+ 19

+ 118

=1

17 Számold ki a tört értékét!

2 4 6 8 98 100

1 3 5 7 97 99

ff

+ + + + + ++ + + + + +

Megoldás:

Végezzük el az összeadást külön a számlálóban és külön a nevezőben. Párosítsuk a tagokat, az elsőt az utolsóval, a másodikat az utolsó előttivel, stb. 50 db szám van a számlá-lóban és a nevezőben is.

Számláló: 1 + 3 + 5 + 7 + ··· + 97 + 99 = (1 + 99) + (3 + 97) + ··· + (49 + 51) = 25 · 100 = 2500

Nevező: 2 + 4 + 6 + 8 + ··· + 98 + 100 = (2 + 100) + (4 + 98) + ··· + (50 + 52) = 25 · 102 = 2550

A tört értéke:1 + 3 + 5 + 7 + ··· + 97 + 99

2 + 4 + 6 + 8 + ··· + 98 + 100 =  2500

2550 =  250

255 =  50

51

Szerk

eszt

és a

latt

81

TÖRT SZORZÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL 6.Feladatok1 A képen építőelemeket látsz. A hosszú piros 1 egészet ér.a) Mennyit ér a sárga?b) Mennyit ér két sárga?c) Hány sárga elem ér 1 egészet?d) Mennyit ér a szürke?e) Mennyit ér három szürke?f) Hány fekete elem ér 1 egészet?g) Hány sárga elem ér annyit, mint két szürke elem?h) Négy szürke elem hány fekete elemet ér?

Megoldás:

a) 212

  b) 412

  c) 6 db  d) 312

  e) 912

  f) 3 db  g) 3 db  h) 3 db-ot

2 Végezd el a szorzásokat! Egyszerűsíts, ha lehet!

a) 34

12$ b) 5

7

17$ c) 10 7

15

3$

d) 8 26

5$ e) 4

3

29$ f) 16 1

64

9$ .

g) 11510⋅ h) 21

36⋅ i) 12 33

4⋅

Megoldás:

a) 3 14

 · 2 =  134

 · 2 =  132

b) 5 17

 · 7 =  367

 · 7 = 36

c) 10 · 7 315

 = 10 · 7 15

 = 10 · 365

 = 72

d) 8 · 2 56

 = 8 ·  176

 =  683

e) 4 23

 · 9 =  143

 · 9 = 42

f) 16 · 1 964

 = 16 ·  7364

 =  734

g) 1 15

 · 10 =  65

 · 10 = 12

h) 2 13

 · 6 =  73

 · 6 = 14

i) 12 · 3 34

 = 12 ·  154

 = 45

Szerk

eszt

és a

latt

82

TÖRT SZORZÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL6.3 Végezd el a műveleteket!

a) 32

1116$ b)

7

914$ c)

18

49$ d)

17

351$ e)

14

1342$

f) 32

111024$ g)

45

19225$ h)

19

3361$ i)

12

11168$ j)

121

1911$

Megoldás

a) 1132

 · 16 =  112

b) 97

 · 14 = 18 c) 418

 · 9 =  42

 = 2

d) 317

 · 51 = 9 e) 1314

 · 42 = 39 f) 1132

 · 1024 = 352

g) 1945

 · 225 = 95 h) 319

 · 361 = 57 i) 1112

 · 168 = 154

j) 19121

 · 11 =  1911

4 Keresd meg az ábrákhoz tartozó számolásokat! Ha az egy ábrához tartozó betűket az ábra jelével együtt megfelelő sorrendbe rakod, három esetben egy-egy keresztnevet kapsz!

B)

É)

I)

U)

D) 8

4

8

4

8

4+ + E)

3

1

3

1+ H) 1

5

215

2+ A)

3

2

3

2

3

2

3

2+ + +

L) 23

1$ M)

2

13$ R) 4

3

2$ Ó) 2 1

5

2$

G) 25

4 K) 23

2 Á) 3

2 O) 12

1

Megoldás:

23

: B; L; Á; E ÁBEL

2 23

: É; K; R; A RÉKA

1 12

: I; D; M; O Domi egy becenév, a naptárban ilyen nincs.

2 45

: U; H; Ó; G HUGÓ

Szerk

eszt

és a

latt

83

TÖRT SZORZÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL 6.5 Kati naponta

4

3 liter tejet iszik meg. Hány liter tejet iszik meg

a) 3, b) 4, c) 5, d) 7, e) 10, f) 28nap alatt?

Megoldás:

a) 3 ∙ 34

= 94

; b) 4 ∙ 34

= 3; c) 5 ∙ 34

= 154

; d) 7 ∙ 34

= 214

; e) 10 ∙ 34

= 152

; f) 28 ∙ 34

= 21.

6 Szorozd meg a törteket az ugyanolyan színű dobozban lévő természetes számmal például : !2

33 2⋅ =

Megoldás:

Narancssárga: 5 ∙ 23

= 103

; 5 ∙ 89

= 409

; 5 ∙ 125

= 12.

Barna: 3 ∙ 23

= 2; 3 ∙ 145

= 425

; 3 ∙ 113

= 11.

Kék: 4 ∙ 225

= 885

; 4 ∙ 234

= 23; 4 ∙ 123

= 483

.

Halványsárga: 7 ∙ 157

= 15; 7 ∙ 16

= 76

; 7 ∙ 38

= 218

.

Piros: 11 ∙ 15

= 115

; 11 ∙ 34

= 334

; 11 ∙ 123

= 1323

= 44.

Zöld: 6 ∙ 212

= 63; 6 ∙ 118

= 334

; 6 ∙ 14

= 32

.

7 Istvánék lakásától 8

5 kilométerre van az iskola.

Hány kilométert tesz meg István jövet-menet

a) naponta,  b) egy hét alatt, ha egy héten öt nap van tanítás,  c) négy hét alatt?

Megoldás:

a) István 2 ∙ 58

= 108

= 54

km-t tesz meg naponta;

b) 5 ∙ 54

= 254

km-t tesz meg hetente;

c) 4 ∙ 254

= 25 km-t tesz meg 4 hét alatt.

3

2

3

2

5

22

9

8

7

15

5

1

4

23 36

1

5

14

4

3

3

12

55

12

8

11

4

1 4 6

73

12 118

3

3

11

2

21

Szerk

eszt

és a

latt

84

TÖRT SZORZÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL6.8 A kiscica 1 nap alatt a macskaeledel

80

3 részét eszi meg. Mennyi macskaeledelt eszik meg

a) 5 nap,  b) 10 nap,  c) 15 nap,  d) 20 nap alatt?e) Megközelítőleg hány napra elég egy zacskó macskaeledel?

Megoldás:

A kiscica

a) 5 ∙ 380

= 1580

= 316

;

b) 10 ∙ 380

= 3080

= 38

;

c) 15 ∙ 380

= 4580

= 916

;

d) 20 ∙ 380

= 6080

= 34

részét eszi meg a macskaeledelnek.

e) 26 nap alatt 26 ∙ 380

= 7880

részét eszi meg a macskaeledelnek, tehát 26 napig elég és egy kicsi ( 280

rész)

még marad.

Szerk

eszt

és a

latt

85

Feladatok1 Végezd el a következő osztásokat! Ha lehet, egyszerűsíts!

a) :9

74 b) :

3

105 c) :

5

124 d) :

3

23 e) :

5

72 f) :

10

34

g) :9

77 h) :

12

55 i) :

3

25 j) :

15

65 k) :

7

92 l) :

9

84

Megoldás:

a) 79 ∙ 4

= 736

b) 10 : 53

= 23

c) 12 : 45

= 35

d) 23 ∙ 3

= 29

e) 75 ∙ 2

= 710

f) 310 ∙ 4

= 340

g) 7 : 79

= 19

h) 5 : 512

= 112

i) 23 ∙ 5

= 215

j) 615 ∙ 5

= 675

= 225

k) 97 ∙ 2

= 914

l) 89 ∙ 4

= 29

2 Készíts ábrákat a példákhoz a füzetedben, és válaszolj a kérdésekre!a) Keve megkapta a csoki ötödének a felét, Zsiga a csoki tizedét. Ki kapott többet?b) Ágotáék elnegyedelték a torta harmadát. Beniék elharmadolták a torta negyedét. Melyik szelet lett a

nagyobb?c) A pizza hatodának a harmada Lucáé, a kilencedének a fele pedig Adélé. Kinek jutott több pizza?

Megoldás:

a)

A csoki ötödének fele egy tized, ezért egyenlő részt kaptak.

b)

A harmadrész negyede: A negyedrész harmada: 1

3 : 4 =  1

12 1

4 : 3 =  1

12 Tehát a két szelet egyenlő.

c)

Luca pizza szelete: 16

 : 3 =  118

, Adél pizza szelete: 19

 : 2 =  118

, tehát a két szelet egyenlő.

TÖRT OSZTÁSA POZITÍV EGÉSZ SZÁMMAL 7.

Szerk

eszt

és a

latt

86

TÖRT OSZTÁSA POZITÍV EGÉSZ SZÁMMAL7.3 Laci egy könyv

25

6 részét olvasta el 3 óra alatt. István ugyanennek a könyvnek 27

10 részét 5 óra alatt

olvasta el. Melyik fiú olvasott gyorsabban?

Megoldás:

Laci 1 óra alatt a könyv 625

: 3 = 225

részét olvasta el. István 1027

: 5 = 227

részét olvasta el. Számlálók

egyenlősége esetén a kisebb nevezőjű tört a nagyobb, tehát Laci olvasott gyorsabban.

4 Írj szöveget az alábbi ábrákhoz! Fogalmazd meg, mekkora részt osztottak szét a gyerekek, és kinek mennyi jutott! Írd fel műveletek segítségével is!a)

b)

Megoldás:

a) Egy torta háromnegyedrészét elosztották négy gyerek között egyenlően.

34

 : 4 =  316

Egy gyerek 316

rész tortát kapott.

b) Apa, anya és Lőrinc két egész és egy fél pizzát egyenlően osztottak el.

2 12

 : 3 =  52

 : 3 =  56

Egy családtag 56

rész pizzát kapott.

Szerk

eszt

és a

latt

87

TÖRT OSZTÁSA POZITÍV EGÉSZ SZÁMMAL 7.5 Számítsd ki!

a) 9 doboz joghurt tömege 5

18 kilogramm. Hány kilogramm 1 doboz joghurt

tömege? Hány kilogramm 4 doboz joghurt tömege?

b) Zoliék 12 nap alatt a telek 49

36 részét művelték meg. Hányad részét művelték

meg 1 nap alatt?

c) 10-en 4 nap alatt 2

7 kilogramm kenyeret ettek meg. Mennyi kenyeret evett meg 1 ember 4 nap alatt?

Mennyi kenyeret evett meg 1 ember 1 nap alatt?

Megoldás:

a) 185

: 9 = 25

kg tömegű egy doboz joghurt. 4 doboz joghurt 4 ∙ 25

= 85

kg.

b) 3649

: 12 = 349

, a telek 349

részét művelték meg 1 nap alatt.

c) 72

: 10 = 720

kilogramm kenyeret evett meg 1 ember 4 nap alatt.

720

: 4 = 780

kilogramm kenyeret evett meg 1 ember 1 nap alatt.

6 Az irodalmi versenyen az Arany csapat is indult. 100-nál kevesebb pontot értek el, de a megszerez-

hető pontok 1213

részével így is elsők lettek. A csapatban 5 gyerek volt, akik fejenként ugyanannyi ponttal

járultak hozzá a sikerhez. Hány pontot lehetett szerezni a versenyen?

Megoldás:

A pontok száma 13-nak és 5-nek is többszöröse kell legyen, ezért 13 ∙ 5 = 65 pontot lehetett megszerezni a versenyen. 60 pontot szereztek meg, és 1 gyerek 12 pontot szerzett meg. A 130 már nem jó megoldás, mert nem kisebb, mint 100.

7 A képen látható madarak közül kettő elrepül, aztán a maradék harmada is. Hány madár marad?

Megoldás:

11 moa látszik a képen. 2 moa elrepülése után 11 – 2 = 9

moa maradt. 9 ∙ 13

= 3 moa repült még el. 6 moa maradt.Szerk

eszt

és a

latt

88

MÛVELETEK SORRENDJE, ZÁRÓJELFELBONTÁS8.

Feladatok1 A kék építőkocka 1 egészet ér.

a) Írd fel, mekkora része a kék építőkockának a piros, a szürke, illetve a sárga!b) Írd fel számokkal is a képen látott műveleteket!c) Hasonlítsd össze a két végeredményt, és döntsd el, melyik a nagyobb! Válaszodat indokold!

Megoldás:

a–b)   I. 1

3 +  1

4 +  1

12 =  4

12 +  3

12 +  1

12 =  8

12 =  2

3

  II. 14

 +  112

 +  13

 =  312

 +  112

 +  412

 =  812

 =  23

c) A két művelet végeredménye egyenlő, mert az összeadandók felcserélhetők.

2 Hami több, nem egyenlő részre vágta a pizzáját. Először megette a pizza harmadát, majd a negyedét, végül a hatodát. Így sajnos nagyon kevés maradt vacsorára. a) A pizza hányad részét ette meg?b) Hányad része maradt meg vacsorára?c) Milyen sorrendben kellett volna megennie a fent említett három részt, hogy

több maradjon vacsorára? Válaszodat indokold!

Megoldás:

a) 13

 +  14

 +  16

 =  412

 +  312

 +  212

 =  912

 =  34

; Hami a pizza 34

részét ette meg.

b) 1 -  34

 =  44

 -  34

 =  14

; A pizza 14

része maradt meg.

c) Mindegy milyen sorrendben eszi meg a három részt, mindig ugyanannnyi marad.

Szerk

eszt

és a

latt

89

MÛVELETEK SORRENDJE, ZÁRÓJELFELBONTÁS 8.

3 Végezd el a következő műveleteket! Csoportosíts ügyesen, hogy a lehető legkevesebbet kelljen számolnod!

a) 17

 +  811

 +  27

 + 2 311

 +  3311

 + 1 47

b) 2 49

 -  85

 +  2112

 -  139

 -  34

 +  85

Megoldás:

Csoportosítsunk úgy, hogy a nevezők azonosak legyenek.

a) 17

 +  811

 +  27

 + 2 311

 +  3311

 + 1 47

 =  17

 +  27

 + 1 47

 +  811

 + 2 311

 +  3311

 =  37

 + 1 47

 + 2 1111

 + 3 = 8

b) 2 49

 -  85

 +  2112

 -  139

 -  34

 +  85

 = 2 49

 -  139

 -  85

 +  85

 +  2112

 -  34

 =  229

 -  139

 +  74

 -  34

 = 2

4 Melyik a nagyobb? Válaszodat indokold!

a) ( 59

 +  47 ) +  3

8 vagy  5

9 + ( 4

7 +  3

8 ) b) ( 78

 +  94 ) -  1

6 vagy  7

8 + ( 9

4 -  1

6 )c) (2 7

18 -  1

6 ) +  49

vagy 2 718

 - ( 16

 +  49 )

Megoldás:

a) 59

 +  47

 +  38

 = 59

 +  47

 +  38

, mert az összeg tagjai tetszőlegesen csoportosíthatók

b) A bal oldal: 78

 +  94

 -  16

 = 258

 -  16

 =  7124

,

A jobb oldal: 78

 +  94

 -  16

 = 78

 +  2512

 =  7124

78

 +  94

 -  16

 = 78

 +  94

 -  16

 , mert ha a zárójel előtt összeadásjel szerepel, akkor a zárójel

elhagyható

c) 2 718

 -  16

 +  49

 >  2 718

 -  16

 +  49

 , mert a jobb oldalon két pozitív szám összegét vonjuk ki

2 718

-ból, a bal oldalon az egyiket kivonjuk, a másikat hozzáadjuk.

Szerk

eszt

és a

latt

90

MÛVELETEK SORRENDJE, ZÁRÓJELFELBONTÁS8.

5 A hétvégi Nagy Gyalogtúra komoly fejtörést okozott Lótifutinak. Meggyőződése ugyanis, hogy ha a szombat dél-utáni és a vasárnapi távokat felcserélik, akkor összességében

több kilométert tesznek meg. Szombaton délelőtt 14 15

, dél-

után 16 23

kilométert gyalogoltak. Vasárnapra a 13 34

kilomé-

teres szakasz maradt.

a) Szerinted hosszabb lenne a teljes távolság a csere után? Válaszodat indokold!

b) Hány kilométert gyalogoltak összesen?

Megoldás:

a) Nem, mert az összeadandókat felcserélhetjük, az összeg nem változik.b) A távokat adjuk össze úgy, hogy az egészek és a törtek összegét számoljuk ki.

14 15

 + 16 23

 + 13 34

 = 43 +  15

 +  23

 +  34

 = 43 +  9760

 = 44 3760

A két nap alatt összesen 44 3760

km-t gyalogoltak.

6 Másold át a füzetedbe, és tegyél az alábbi műveletsorba egy nyitó és egy csukó zárójelet úgy, hogy minden esetben különböző végeredményt kapj! Hány különböző megoldást találtál?

4 34

 -  32

 -  14

 -  38

Megoldás:

4 34

 -  32

 -  14

 -  38

 =  4 34

 -  32

 -  14

 -  38

 =  4 34

 -  32

 -  14

 -  38

 =  218

4 34

 -  32

 -  14

 -  38

 = 4 34

 -  54

 -  38

 =  258

4 34

 -  32

 -  14

 -  38

 = 4 34

 -  78

 =  318

4 34

 -  32

 -  14

 -  38

 = 4 34

 -  32

 -  -  18

 =  278

Négy különböző megoldás van.

Szerk

eszt

és a

latt

91

MÛVELETEK SORRENDJE, ZÁRÓJELFELBONTÁS 8.

7 A 1115

 -  717

 + 2 415

 -  1017

műveletsort így is átírhatod: 1115

 + (- 717 ) + 2 4

15 + (- 10

17 ).

Csoportosítást alkalmazva könnyebb lesz a számolás:1115

 + 2 415

 + (- 717 ) + (- 10

17 ) = 3 + (-1) = 2.

Írd át az alábbi műveleteket, és ügyesen csoportosítva számítsd ki az eredményeket!

a) 197

 -  513

 + 2 -  813

 +  97

b) 7 512

 - 2 319

 -  712

 +  2219

 -  1712

c) -1124

 -  259

 + 1 1428

 + 3 12

 -  1324

 + 2 79

Megoldás:

a) 197

 +  97

 -  513

 -  813

 + 2 = 4 - 1 + 2 = 5

b) 7 512

 -  712

 -  712

 - 2 319

 +  2219

 = 5 512

 - 1 = 4 512

c) -1124

 -  1324

 -  259

 + 2 79

 + 1 12

 + 3 12

 = -1 + 5 = 4

8 Ágostont a barátai rábeszélték, hogy vegyen részt a téli szünetben az „Élj egészségeseb-ben!” kihíváson, így a következő héten minden hétköznap háromszor fog otthon tornázni. Reggel 16

órát, délben 14

órát és délután fél órát tornázik. Hány órát fog tornázni a kihívás szerint a jövő héten

Ágoston?

Megoldás:16

 +  14

 +  12

 ∙ 5 = 1112

 ∙ 5 = 5512

 = 47

12 órát tornázik majd.

Szerk

eszt

és a

latt

92

9 Ági néni, az ötödikesek osztályfőnöke, lelkesen számolgatja, mennyi gyümölcsöt vegyen a szombat délutáni családi napra a gyümölcssalátába. Úgy gondolja, elég lesz a gyerekeknek fejen-

ként 10 dkg alma, 15

kg banán, 100 g narancs és 120

kg kivi. Ági

néni a felnőttekre minden gyümölcsből dupla adagot számolt.a) Melyik gyümölcsből hány kg-ot vegyen, ha az osztályába 36

gyerek jár, és a gyerekek felének eljön egy testvére és az egyik szülője is?

b) Hány kg gyümölcssaláta lesz összesen?c) Becsüljétek meg hány óráig tart elkészíteni ezt Ági néninek, ha egyedül dolgozik?

Megoldás:

a) 36 gyerek + 18 testvér + 18 felnőtt lesz, így 36 + 18 + 2 ∙ 18 = 90 adag saláta kell alma 90 ∙ 10 = 900 dkg = 9 kg banán: 90 : 5 = 18 kg narancs: 90 ∙ 10 = 900 dkg = 9 kg kivi: 90 : 20 = 4 kg és 50 dkgb) Összesen: 40 kg és 50 dkg saláta leszc) Kb. 6-8 órája tuti rámegy. Reméljük, segítenek neki a gyerekek.

10 Anyanyuszi elment a három kisnyuszival a sarki zöldségeshez, hogy megve-

gyék a jövő heti elemózsiájukat! Vettek 5 12

kg káposztát, 8 34

kg répát, 3 15

kg salátát

és 1 310

kg zellert. Hány kg zöldséget cipeltek haza fejenként, ha mindenki ugyan-

olyan nehéz szatyrot cipelt?

Megoldás:

5 12

 + 8 34

 + 3 15

 + 1 310

 : 4 = 18 34

 : 4 =  7516

 = 4 1116

kg zöldséget cipeltek haza fejenként.

MÛVELETEK SORRENDJE, ZÁRÓJELFELBONTÁS8.

Szerk

eszt

és a

latt

93

MIT TANULTUNK EDDIG? GYAKOROLJUNK! 9.

Feladatok1 Válaszd ki azt a törtet, amelyik megadja, hogy az ábra hányad része van beszínezve!

a) 34

   23

b) 34

   35

c) 46

   56

d) 35

   25

e) 512

   710

f) 620

   518

Megoldás:

a) 23

  b) 35

  c) 46

  d) 35

  e) 710

  f) 518

2 Mekkora része van kiszínezve a teljes alakzatnak? a) b) c) d)

Megoldás:

a) 14

  b) 116

  c) 56

  d) 1316

3 Milyen számokat írhatunk a házikó helyére, hogy igaz legyen az egyenlőség?

a) 34

 =  6

b) 425

 =  16

c) 21

 =  47

d) 75

 =  35

Megoldás:

a) 8  b) 100  c) 12  d) 49Szerk

eszt

és a

latt

94

MIT TANULTUNK EDDIG? GYAKOROLJUNK!9.

4 Igaz vagy hamis? Döntsd el!a) Két egyenlő nevezőjű pozitív tört közül az a kisebb, amelyiknek a számlálója kisebb.b) Két egyenlő számlálójú negatív tört közül az a kisebb, amelyiknek a nevezője kisebb.c) A negatív egész számoknak nincs tört alakjuk.d) Vegyes tört alakban felírt pozitív szám értéke nagyobb, mint 1.

Megoldás:

a) igaz  b) igaz  c) hamis  d) igaz

5 Rajzolj a füzetedbe egy számegyenest! Legyen 1 egész 12 kis négyzet. Ábrázold szám egyenesen a felsorolt törteket, és írd a számok alá a betűjelüket! Helyes ábrázolás után a betűket összeolvasva egy értelmes mondatot fogsz kapni. Írd le a füzetedbe!

M =  312

P = - 512

A =  54

N =  23

É = - 12

U =  38

K =  4942

Z = - 34

S = - 32

! =  1510

Megoldás:

A kapott mondat: SZÉP MUNKA!

6 Anya 34

méter bordó szalagot és 23

méter világoszöld szalagot vásárolt egy tavaszi kép díszítésé-

hez. Elegendő-e ez a másfél méter hosszú képkeret körberagasztásához, ha a szalagokat átfedés nélkül ragasztja egymás után, és a teljes keretet lefedi?

Megoldás:

34

 +  23

 =  912

 +  812

 =  1712

 <  32

 =  1812

 A szalag nem lesz elég, 14

m, körülbelül 8 cm hiányzik.

7 Hány cm hosszúak az alábbi szakaszok? Segítségül rajzoltunk egy méterrudat.

a) 12

méter b) 110

méter c) 310

méter d) 35

méter

e) 1 410

méter f) 3 12

méter g) 2 15

méter h) 2 14

méter

1 méter

Megoldás

a) 50 cm b) 10 cm c) 30 cm d) 60 cme) 140 cm f) 350 cm g) 220 cm h) 225 cm

Szerk

eszt

és a

latt

95

MIT TANULTUNK EDDIG? GYAKOROLJUNK! 9.

8 Kati másfél liter vizet töltött a párologtatóba. Este elpárolgott belőle a fele. Hány liter víz maradt a párologtató edényben?

Megoldás:

1 12

 : 2 =  32

 : 2 =  34

 liter víz maradt a párologtató edényben.

9 Peti 18 matricát kapott ajándékba. A felét megtartotta. A maradékot egyenlően elosztotta három barátja között. Rajzolj a feladatról ábrát a füzetedbe! a) Hány matricát kapott egy barátja? b) Ez az összes matricának mekkora része?

Megoldás:

a) (18 : 2) : 3 = 3 darabot kapott egy barátja.

b) 318

 =  16

része.

10 Egy gyümölcskoktél egyötöd része ananászlé, negyed része narancslé, fele almalé. A koktél többi része víz. A koktél hányad része gyümölcslé?

Megoldás:

15

 +  14

 +  12

 =  420

 +  520

 +  1020

 =  1920

része gyümölcslé.

11 Alakítsd át a törteket vegyes törtekké!

a) 5

17 b) 5

21 c) 6

13 d) 7

17 e) 8

9 f) 9

20

Megoldás:

a) 3 25

b) 4 15

c) 2 16

d) 2 37

e) 1 18

f) 2 29

12 Írd át törtté!

a) 25

2 b) 45

3 c) 56

5 d) 17

2 e) 38

5 f) 59

4

Megoldás:

a) 125

b) 235

c) 356

d) 97

e) 298

f) 499

Szerk

eszt

és a

latt

96

MIT TANULTUNK EDDIG? GYAKOROLJUNK!9.

13 Rajzolj egy számegyenest a füzetedbe, és ábrázold az összegeket a számegyenesen!

a) 13

123

2+ b) 1

4

122

1+ c) 3

5

2210

3+ d) 1

5

222

1+ e) 1

2

113

2+ f)

6

533

2+

Megoldás:

a) 4

b) 3 34

c) 5 710

d) 3 910

e) 3 16

f) 4 12

Szerk

eszt

és a

latt

97

MIT TANULTUNK EDDIG? GYAKOROLJUNK! 9.

14 Végezd el a következő műveleteket, és az eredményeket állítsd csökkenő sorrendbe!

a) 56

513

1- b) 2

3

213

2+ c)

6

1112

11+ d) 5

3

223

1-

e) 4 14

3- f) 2 1

3

2+ g) 3

15

7

5

1- h) 6

3

2112

8-

Megoldás:

a) 4 12

b) 4 13

c) 2 112

d) 3 13

e) 2 14

f) 3 23

g) 3 415

h) 5

Csökkenő sorrend: h > a > b > f > d > g > e > c

15 Egy kisdobozos almalé 5

1 liter.

a) Hány liter egy hatos pakk?b) Egy fóliában 12 hatos pakk van. Hány liter üdítőt tartalmaz egy fólia?c) Hány liter üdítőt vásárolt a vendéglős, ha 4 fóliányit vett?

Megoldás:

a) 65

liter egy hatos pakk.

b) 725

litert tartalmaz.

a) 2885

litert vásárolt.

16 Melyik természetes számmal szorozhatjuk meg a 25

3 -öt, hogy 105

4 -nél kisebb számot kapjunk?

Keresd meg az összeset!

Megoldás:

135

 ∙ ☼ <  545

  ☼ = 0; 1; 2; 3; 4

17 Egy könyvesboltban az egyik polcon háromféle könyvet tartanak. A mesekönyv 27

4 cm széles, és

5 darab van belőle a polcon. A kalandregény 47

2 cm széles, és 8 darab van belőle a polcon. A gyermekregény

3 17

centiméter széles, és 5 darab található a polcon. Milyen széles a polc, ha több könyv már nem fér rá?

Megoldás:

2 47

 ∙ 5 + 4 27

 ∙ 8 + 3 17

 ∙ 5 = 12 67

 + 34 27

 + 15 57

 = 62 67

cm széles.

Szerk

eszt

és a

latt

98

MIT TANULTUNK EDDIG? GYAKOROLJUNK!9.

18 Melyiknek nincs párja?

35

�5

70157

�3

32

17

912

�

Megoldás:

17

 ∙ 5-nek nincs párja. A megmaradt két ábrából (bal oldali oszlop első két eleme) egyik sem illik hozzá.

Szerk

eszt

és a

latt

99

TIZEDES TÖRTEK 10.Feladatok1 Írd le a füzetedbe számjegyekkel a következő számokat!a) kétszáztizenhárom egész három tized b) nulla egész hat századc) 49 egész 76 század d) 103 egész 103 ezrede) hatvanhét egész kilenc század f) huszonnyolc egész harminckilenc ezredg) nulla egész kétszáz ezred h) nulla egész nyolcezer tízezred

Megoldás:

a) 213,3; b) 0,06; c) 49,76; d) 103,103; e) 67,09; f) 28,039; g) 0,200; h) 0,8000.

2 Írd le betűvel a következő tizedes törteket!a) 1,45 b) 24,012 c) 73,6 d) 803,06 e) 70,006 f) 65,450 g) 47,3500

Megoldás:

a) Egy egész negyvenöt század; b) huszonnégy egész tizenkét ezred; c) hetvenhárom egész hat tized; d) nyolcszázhárom egész hat század; e) hetven egész hat ezred; f) hatvanöt egész négyszázötven ezred; g) negyvenhét egész háromezer-ötszáz tízezred.

3 Magyarországon 1927 és 1946 között pengő volt a hivatalos pénznem. 1 pengő 100 fillért ért. a) Írd fel a füzetedben tizedes törtekkel a következő értékeket!

1 pengő 17 fillér = ………. pengő 18 pengő 40 fillér = ……….pengőb) Váltsd át az alábbi pengőben megadott értékeket! Írd le az eredményeket a füzetedbe!

96,7 pengő = ………. pengő ……….fillér = ………. fillér17,09 pengő = ………. pengő ………. fillér = ………. fillér

c) Keress az interneten képeket a pengőről és a fillérről!

Megoldás:

a) 1,17  18,40b) 96 pengő 70 fillér = 9670 fillér 17 pengő 9 fillér = 1709 fillér

4 Olvasd le és írd a füzetedbe a lázmérők által mutatott testhőmérsékleteket! a) b) c) d) e) f)

Megoldás:

a) 36,5: harminchat egész öt tized. b) 37,8: harminchét egész nyolc tized. c) 38,2: harmincnyolc egész két tized. d) 37: harminchét egész. e) 40,8: negyven egész nyolc tized. f) 39,7: harminckilenc egész hét tized.

Szerk

eszt

és a

latt

100

TIZEDES TÖRTEK10.5 Írd át tizedes tört alakba!

a) 10

7 b) 310

7 c) 100

14 d) 10

2- e)

5

1- f)

20

3

Megoldás:

a) 0,7 b) 3,7 c) 0,14 d) –0,2 e) –0,2 f) 0,15

6 Írd át tört alakba!a) 0,1 b) −0,11 c) 0,0101 d) −8,1 e) 3,14 f) 2,023

Megoldás:

a) 110

b) - 11100

c) 10110 000

d) - 8110

e) 314100

f) 20231000

7 Párosítsd a tizedes törteket a tört alakjukkal!

A) - 314100

B) 1100

C) - 9871000

D) 925

E) 3141510 000

F) - 112

G) 3,1415 H) -5,5 I) 0,01 J) -3,14 K) 0,36 L) -0,987

Megoldás:

A – J  B – I  C – L  D – K  E – G  F – H

8 Írd a tizedes törteket helyiérték-táblázatba!a) 10,2 b) 100,2 c) 100,02 d) 10,02 e) 1,102

Megoldás:

száz tíz egy , tized század ezred tízezreda)  10,2 1 0 , 2b) 100,2 1 0 0 , 2c) 100,02 1 0 0 , 0 2d)  10,02 1 0 , 0 2e)   1,102 1 , 1 0 2

9 George Stephenson, angol mérnök tervezte és építette az első sikeres sze-mélyszállító vonatot húzó mozdonyt, amelyet Rocketnek nevezett el. A mozdony nyomtávja 1435 mm volt. Ez lett a mai normál vasúti nyomtáv szabványa. Írd fel a nyomtávot centiméterben, deciméterben és méterben is!

Megoldás:

143,5 cm = 14,35 dm = 1,435 mSzerk

eszt

és a

latt

101

TIZEDES TÖRTEK 10.10 Árpi délutánonként lövészetre jár. Az ábrán az egyik gyakorlat utáni lőlapja látható. A körvonalak a kör közepétől 0,5 cm, 1 cm, 1,5 cm, 2 cm és 2,5 cm-re van-nak. A lövedékek átmérője 0,5 cm. Olvasd le, hogy milyen messzire csapódtak be a lövedékek a lőlap közepétől!

Megoldás:

Középről kifelé haladva: 0 cm; 0,5 cm; 0,75 cm; 1 cm; 1,25 cm; 1,5 cm; 1,75 cm; 2 cm; 2,25 cm; 2,5 cm.

Szerk

eszt

és a

latt

102

TIZEDES TÖRTEK ÁBRÁZOLÁSA, KEREKÍTÉSE ÉS ÖSSZEHASONLÍTÁSA11.

Feladatok1 Olvasd le a vonalzóról a megjelölt számokat!

Megoldás:

Balról jobbra haladva: 3,4; 5; 6,7; 8,1; 8,4; 9; 9,9

2 Add meg a számegyenesen betűvel jelölt értékeket!0

D E FCBA

10�10

Megoldás:

A = –7,8  B = –3,4  C = –0,3  D = 1,7  E = 6,9  F = 9,6

3 Készíts a füzetedbe számegyenest, és jelöld be rajta a következő számok helyét!4,2; 4,6; 5,8; 5,5; 5,1; 5; 4,3; 6A számegyenes melyik részét érdemes felrajzolnod?

Megoldás:

Szerk

eszt

és a

latt

103

TIZEDES TÖRTEK ÁBRÁZOLÁSA, KEREKÍTÉSE ÉS ÖSSZEHASONLÍTÁSA 11.

4 Biztosan emlékszel a gizmákokra, akik a számegyenesen élő apró kis lények. Közülük a legjátékosab-bak Zumó és Gizmi, akik hetente háromszor együtt játszanak délutánonként.a) Hétfőn Zumó és Gizmi felváltva, egymás felé ugrálnak a számegyenesen. Zumó a -1,4 számon áll, és

minden ugrással 1 egésszel nagyobb értékű pontra kerül. Gizmi a 6,6 számon áll, és minden ugrásnál 1 egésszel kisebb értékű pontra kerül. Mit gondolsz, találkoznak? Ha igen, akkor melyik pontban? Ábrá-zold a helyüket és az útjukat a füzetedben felrajzolt számegyenesen!

b) Szerdán Zumó a számegyenes -3,2 pontján áll, és ugrásonként 0,3-del nagyobb értékű mezőre ugrik. Gizmi a 4,8 számon áll, és ugrásonként 0,2-del kisebb értékre kerül. Másod-percenként egyet ugranak. Hány másodperc múlva és melyik mezőn találkoznak?

c) Pénteken versenyt rendeznek. Zumó 1,1 nagyságú ugrásokkal, Gizmi 0,9 nagyságú ugrások-kal közelít a 3,4 értéknél kitűzött CÉL felé. Mindketten nyolcszor ugranak.

Ki melyik pontján álljon a számegyenesnek, hogy egyszerre érjenek célba?

Megoldás:

a)

Zumó útja: –1,4  –0,4  0,6  1,6  2,6Gizmi útja: 6,6  5,6  4,6  3,6  2,6A negyedik ugrás után mindketten a 2,6 számra érkeznek: –1,4 + 4 · 1 = 6,6 – 4 · 1 = 2,6

b)

Zumó útja: –3,2 –2,9 –2,6 –2,3 –2,0 –1,7 –1,4 –1,1 –0,8 –0,5 -0,2 0,1 0,4 0,7  1,0 1,3 1,6

Gizmi útja: 4,8 4,6 4,4 4,2 4,0 3,8 3,6 3,4 3,2 3,0 2,8 2,6 2,4 2,2 2,0 1,8 1,6A felírásból is látszik, hogy a 16. ugrás után mindketten az 1,6 mezőn lesznek. Ellenőrizni is tudjuk: –3,2 + 16 · 0,3 = 4,8 – 16 · 0,2 = 1,6

c)

Zumó: 3,4 – 1,1 · 8 = –5,4 számú pontján álljon a számegyenesnek.Gizmi: 3,4 – 0,9 · 8 = –3,8 számú pontján álljon a számegyenesnek.Sze

rkes

ztés

ala

tt

104

TIZEDES TÖRTEK ÁBRÁZOLÁSA, KEREKÍTÉSE ÉS ÖSSZEHASONLÍTÁSA11.

5 A Gizmákfalvi Általános Iskolában testnevelésóra van. Sípszóra minden kis gizmáknak a hozzá legkö-zelebb álló egész értékű pontba kell ugrania. a) Segíts eldönteni, melyik gizmák melyik pontba ugorjon!

b) Hol állhat Aska, ha a 9-es pontba ugrik?

Megoldás:

Zumó: 2  Kita: 3  Ruka: 6 vagy 7  Szepő: 8Aska 8,5-től 9,4-ig bármelyik mezőre állhat.

6 Melyik nagyobb? a) 2,1 vagy 2,01 b) 3,08 vagy 3,081 c) 0,001 vagy 0,019 d) 10,01 vagy 10,10e) 0,003 vagy 0,002 f) 0,023 vagy 0,003 g) 0,003 vagy 1,002 h) 12,003 vagy 11,003

Megoldás:

a) 2,1 > 2,01 b) 3,08 < 3,081 c) 0,001 < 0,019 d) 10,01 < 10,10e) 0,003 > 0,002 f) 0,023 > 0,003 g) 0,003 < 1,002 h) 12,003 > 11,003

7 Kerekítsd tizedekre a következő tizedes törteket!a) 4,023 b) 5,05 c) 4,101 d) 3,7856 e) 10,997 f) 15,6

Megoldás:

a) 4,0 b) 5,1 c) 4,1 d) 3,8 e) 11,0 f) 15,6

8 Kerekítsd századokra a következő tizedes törteket!a) 5,345 b) 123,56 c) 56,04 d) 56,346 e) 9,919 f) 7,9549

Megoldás:

a) 5,35 b) 123,56 c) 56,04 d) 56,35 e) 9,92 f) 7,95

9 Kerekítsd három értékes jegyre a következő számokat!a) 125,345 b) 23,5678 c) 6,34567 d) 0,73491 e) 0,012349 f) 0,0076992

Megoldás:

a) 125 b) 23,6 c) 6,35 d) 0,735 e) 0,0123 f) 0,00770

Szerk

eszt

és a

latt

105

TIZEDES TÖRTEK ÁBRÁZOLÁSA, KEREKÍTÉSE ÉS ÖSSZEHASONLÍTÁSA 11.

10 Írd fel a számokat növekvő sorrendben!a) 1,79; 1,27; 2,09; 1,28; 1,18; 1,08b) 10,2; 9,99; 10; 11,203; 11,202; 10,999c) −1,79; –1,27; −2,09; –1,28; −1,18; –1,08d) 3,34; −3,43; 4,33; –4,3; 3,35; −4,04; 3,98; –3,04e) 2,4; 2,41; –2,4; –2,41; 2,39; –2,39

Megoldás:

a) 1,08 < 1,18 < 1,27 < 1,28 < 1,79 < 2,09b) 9,99 < 10 < 10,2 < 10,999 < 11,202 < 11,203c) −2,09 < −1,79 < –1,28 < –1,27 < −1,18 < –1,08d) –4,3 < −4,04 < −3,43 < –3,04 < 3,34 < 3,35 < 3,98 < 4,33e) –2,41 < –2,4 < –2,39 < 2,39 < 2,4 < 2,41

11 Rendezd nagyság szerint csökkenő sorrendbe a képen látható törteket!

A TENGERVÍZ SÓÖSSZETÉTELE

Só g/l %

nátrium-klorid 35 3,4magnézium-klorid 3,8 0,37magnézium-szulfát 1,6 0,16kalcium-szulfát 1,2 0,12kálium-szulfát 0,9 0,09kalcium-karbonát 0,1 0,01

Nézz utána, hogy miért nem szabad tengervizet inni!

Megoldás:

35 > 3,8 > 3,4 > 1,6 > 1,2 > 0,9 > 0,37> 0,16 > 0,12 > 0,1 > 0,09 > 0,01

Szerk

eszt

és a

latt

106

TIZEDES TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA12.

Feladatok1 Végezd el az összeadásokat a füzetedben! Kivonással ellenőrizd az eredményedet!a) 103,19 b) 78,87 c)   8896,5677 d)  653,726 +  81,81 + 12,105 + 124245,3506 + 7482,8

Megoldás:

Kivonással ellenőrizzék a gyerekek az eredményeiket!c) 185  b) 90,975  c) 133 141,9183  d) 8 136,526

2 Végezd el a kivonásokat a füzetedben! Összeadással ellenőrizd az eredményedet!a) 12,786 b) 78,87 c) 653,726 d) 94,45 −  3,504 − 12,105 − 603,725 – 23,75

Megoldás:

Összeadással ellenőrizzék a gyerekek az eredményeiket!a) 9,282  b) 66,765  c) 50,001  d) 70,7

3 Végezd el a következő műveleteket! Ellenőrzéssel igazold számolásod helyességét!a) 3,25 + 4,17 b) 6,43 + 23,5 c) 6,34 – 2,42 d) 50,07 – 10,40e) 3,457 + 5,987 f) 0,432 + 0,078 g) 4,301 – 2,732 h) 0,345 – 0,562

Megoldás:

Ellenőrizzék a gyerekek az eredményeiket!a) 7,42 b) 29,93 c) 3,92 d) 39,67e) 9,444 f) 0,51 g) 1,569 h) –0,217

4 Végezd el a következő műveleteket!a) (3,6 + 12,7) - (13,5 - 5,05) b) 9,735 - (7,18 + 0,604) c) 37,92 + (11,9 - 6,57)d) Végezd el a műveleteket zárójelek nélkül is! Ugyanazokat az eredményeket kaptad?

Megoldás:

a) 16,3 – 8,45 = 7,85b) 9,735 – 7,784 = 1,951c) 37,92 + 5,33 = 43,25d) Az a) és b) feladat esetében más eredményt kapunk: a) –2,25  b) 3,159

5 Végezd el a műveleteket! Csoportosíts ügyesen, hogy minél kevesebbet kelljen számolnod!a) 5,4 + 13,2 + 4,6 + 6,8 b) 14,73 + 25,67 - 2,23 + 4,33c) 68,163 - 37,847 + 52,347 - 42,663

Megoldás:

a) 5,4 + 4,6 + 13,2 + 6,8 = 10 + 20 = 30b) 14,73 – 2,23 + 25,67 + 4,33 = 12,5 + 30 = 42,5c) 68,163 – 42,663 + 52,347 – 37,847 = 25,5 + 14,5 = 40

Szerk

eszt

és a

latt

107

TIZEDES TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA 12.

6 Melyik a nagyobb?a) 2,23 + 3 vagy 2,25 + 3 b) 2,23 – 1 vagy 2,25 – 1c) 2,23 – 3 vagy 2,25 – 3 d) 4,55 – 1 vagy 2,55 + 1e) 2,23 – 3 vagy 3 – 2,25 f) 6,28 + 1,56 vagy 3,26 + 4,59

Megoldás:

a) 5,23 < 5,25 b) 1,23 < 1,25c) –0,77 < –0,75 d) 3,55 = 3,55e) –0,77 < 0,75 f) 7,84 < 7,85

7 Árpád a piacon almát vásárolt. Az eladó néhány almát rakott a mérlegre, amely ekkor 0,893 kilogram-mot mutatott. Rátett még egy almát, és a mérleg nyelve 1,037 kilogrammnál állt meg. Árpád megörült, mert ki tudta számolni az utolsó alma tömegét. Hogyan? Mennyit kapott?

Megoldás:

1,037 – 0,893 = 0,144 kg az utolsó alma tömege.

8 Tamásék a lakásfelújítás miatt megmérték a falak hosszát és magasságát.a) Az egyik szoba hosszúságát a fal közepén álló szekrény miatt így mérték meg: a szekrény előtti falhossz

2,34 méter. A szekrény hossza 0,80 méter. A szekrény utáni falhossz 1,45 méter. Milyen hosszúságú a fal?b) A 4,15 méter hosszú falhoz két 1,47 méter széles szekrényt akarnak beállítani. Elférhet-e a falhoz még

egy 1,2 méter széles asztal?c) A festők 3,56 méteres falmagassághoz állították be 1,83 méter magas létrájukat. Elérhetik-e

a mennyezetet?

Megoldás:

a) 2,34 + 0,8 + 1,45 = 4,59 méter hosszú a fal. b) 4,15 – 2 ∙ 1,47 = 1,21 méterhez még hozzáilleszthető az 1,2 méter széles asztal. c) 3,56 – 1,83 = 1,73 méter hiányzik a mennyezetig. Egy kinyújtott kezű magas festő elérheti a mennyezetet.

9 Az udvari épületben 5 garázs helyét alakították ki. Egy garázs belül 3,2 méter széles, és az elválasztó falak 0,2 méter vastagok. A két szélső fal 0,35 méter vastag. Hány méter hosszú az épület külső mérete?

Megoldás:

17,5 m az épület külső hossza.Szerk

eszt

és a

latt

108

TIZEDES TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA12.

10 Az Alabári iskolában minden 15 perces nagyszünetben beindul a sulirádió, és folyamatosan szól a zene. Az ide járó diákok elküldhetik zenei kívánságaikat, amelyekből Rádiós Rezső kiválaszt néhány dalt. a) Jól választott-e Rezső, ha a kiválasztott dalok hossza: 2,43 perc, 3,27 perc, 3,52 perc és 4,04 perc? Elő-

ször becsülj, majd számolással ellenőrizd!b) Hány perc maradt még a 15 perces szünetből, ha Rezsőhöz mára csak három zenei kívánság érkezett?

Az egyik 3,17 perc, a másik 4,28 perc, a harmadik pedig 2,15 perc hosszú. Először becsüld meg, majd számolással ellenőrizd a becslésedet!

c) A zenei kívánságlistára ma több dal is felkerült, ezek hossza: 2,43 perc, 3,07 perc, 4,18 perc, 2,68 perc, 3,17 perc, 2,84 perc, 3,87 perc, 3,54 perc, 2,87 perc. Állíts össze két különböző lejátszási listát úgy, hogy a zenék lejátszási ideje összesen 14 és 15 perc között legyen! Választásodat számolással igazold!

Megoldás:

a) Becslés: 3 + 3 + 4 + 4 = 14 perc Összeadva: 13,26 perc hosszú a zenei válogatás, belefér a szünetbe.b) Becslés: 15 – 3 – 4 – 2 = 6 perc Kiszámolva: 5,4 perc marad.c) Összesen: 28,65 perc

Egy lehetséges felosztás: 2,84 + 4,18 + 3,87 + 3,54 = 14,43 2,43 + 2,68 + 3,17 + 3,07 + 2,87 = 14,22

Szerk

eszt

és a

latt

109

TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL 13.

Feladatok1 Becsüld meg és válaszd ki az alábbi lehetőségek közül azt, amelyiket helyesnek gondolod!a) Mit gondolsz, milyen magas lenne tízezer darab A4-es fénymásoló papír, ha egymásra raknánk?

III. mint a tábla magasságaIII. mint az osztályterem magasságaIII. mint az iskola magassága

b) Ezer ötödikes egymás kezét fogva a lehető legnagyobb kört alkotta. Mit gondolsz, mekkora ez a kör?III. körbeéri a Földet az Egyenlítő menténIII. körbeéri Pest megyétIII. körbeéri a Országházat

Megoldás:

a) Az 500 darabos A4-es lap körülbelül 5,5 cm magas, így 10 000 db lap körülbelül 110 cm, tehát az I. lehetőség a helyes.

b) Számoljunk egy ötödikes gyerek kinyújtott két karjának fesztávolságára körülbelül 120 cm-t, így 1000 gyerek 120 000 cm = 1,2 km, tehát a III. válasz a helyes.

2 Végezd el a következő műveleteket!a) 3,6 ⋅ 10 b) 0,36 ⋅ 10 c) 0,036 ⋅ 10 d) 0,0036 ⋅ 10e) 675,67 ⋅ 100 f) 67,567 ⋅ 100 g) 6,7567 ⋅ 100 h) 0,67567 ⋅ 100i) 1,2345 ⋅ 1000 j) 45,672 ⋅ 1000 k) 15,25 ⋅ 1000 l) 0,0045 ⋅ 1000

Megoldás:

a) 36 b) 3,6 c) 0,36 d) 0,036e) 67 567 f) 6756,7 g) 675,67 h) 67,567i) 1234,5 j) 45 672 k) 15 250 l) 4,5

3 Végezd el a következő műveleteket!a) 567 : 10 b) 34,57 : 10 c) 5,9 : 10 d) 0,123 : 10e) 435,2 : 100 f) 26,42 : 100 g) 4,02 : 100 h) 0,023 : 100i) 1234,5 : 1000 j) 45,19 : 1000 k) 1,025 : 1000 l) 0,045 : 1000

Megoldás:

a) 56,7 b) 3,457 c) 0,59 d) 0,0123e) 4,352 f) 0,2642 g) 0,0402 h) 0,00023i) 1,2345 j) 0,04519 k) 0,001025 l) 0,000045

4 a) Váltsd át centiméterbe a következő mennyiségeket! 0,123 m 2,37 dm 14,5 m 123 mm 2,34 dm 9854 mmb) Váltsd át deciméterbe a következő mennyiségeket! 3,56 m 12,372 m 51 cm 763 mm 102,34 mm 985 cm

Megoldás:

a) 12,3 cm 23,7 cm 1450 cm 12,3 cm 23,4 cm 985,4 cmb) 35,6 dm 123,72 dm 5,1 dm 7,63 dm 1,0234 dm 98,5 dm

Szerk

eszt

és a

latt

110

TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL 13.

5 Végezd el a következő szorzásokat!a) 8,7 ⋅ 5 b) 0,37 ⋅ 9 c) 0,057 ⋅ 6 d) 0,0047 ⋅ 51e) 12,3 ⋅ 72 f) 0,27 ⋅ 21 g) 6,75 ⋅ 13 h) 0,67 ⋅ 35

Megoldás:

a) 43,5 b) 3,33 c) 0,342 d) 0,2397e) 885,6 f) 5,67 g) 87,75 h) 23,45

6 Milyen hosszúak a következő vonalak, ha egy kék szakasz hossza 0,34 dm?a) b) c)

Megoldás:

a) 8 ∙ 0,34 = 2,72 dm; b) 10 ∙ 0,34 = 3,4 dm; c) 12 ∙ 0,34 = 4,08 dm.

7 A négy jóbarát együtt cipelte be a papírgyűjtésre a papírt. Andris mindkét kezében egy-egy 5,4 kg-os csomagot hozott. Bende az egyik kezében 3,6 kg-ot, a másik kezében kétszer ennyit cipelt. Marci még a hátizsákját is teletömte egy adag papírral, így három csomag 4,8 kg-os papír volt nála. Zoli mindkét kezé-ben egy-egy 7,3 kg súlyú csomagot cipelt.a) Mit gondolsz, 40 kg-nál többet vittek közösen? b) Becslésedet számolással igazold!

Megoldás:

a) Becslés: 2 ∙ 5,5 + 3 ∙ 3,5 + 3 ∙ 5 + 2 ∙ 7,5 = 51,5 Körülbelül 51 kg papírt vittek. A becslés alapján 40 kg-nál több papírt vittek közösen. A gyerekek

kényelmesen számolnak fél kg-mal is, így ez a becslés erre alapoz.b) 5,4 ∙ 2 + 3,6 + 3,6 ∙ 2 + 3 ∙ 4,8 + 2 ∙ 7,3 = 50,6 kg papírt vittek összesen.

8 Végezd el a műveleteket!a) 2 ∙ (13,2 + 21,94)b) 27,904 + 5 ∙ (8,7 - 3,96)c) 104,26 - 8 ∙ (153,55 - 100,75)

Megoldás:

a) 2 ∙ 35,14 = 70,28b) 27,904 + 5 ∙ 4,74 = 51,604c) 104,26 – 8 ∙ 52,8 = –318,14Sze

rkes

ztés

ala

tt

111

TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL 13.

9 A műveletek elvégzése nélkül tedd ki a megfelelő relációs jelet!a) 4 ∙ (5,4 + 9,73) 4 ∙ 5,4 + 4 ∙ 9,73b) 39,82 - (10,97 + 5,43) 39,82 - 10,97 + 5,43c) 54,17 - (38,72 - 11,88) 54,17 - 38,72 + 11,88

Megoldás:

a) =     b) <     c) =

10 Párosítsd a szöveget a megfelelő műveletsorral és a végeredménnyel. Számolással ellenőrizd megoldásodat! a) Gáspár bicikliversenyre készül, ezért mindennap 13,4 km-t kerékpározik. Hány km-t tekert áprilisban?b) Ambrus úszóversenyre készül, ezért mindennap úszni jár. A hajnali edzésen 2,8 km-t, a délutánin 4,2 km-t úszik. Hány km-t úszott áprilisban összesen?c) Zsiga futóversenyre készül, így minden reggel 4,2 km-t, délutánonként pedig 13,4 km-t fut. Hány km-t futott áprilisban?

A) 4,2 ∙ 30 + 13,4 ∙ 30 = B) 13,4 ∙ 30 = C) (2,8 + 4,2) ∙ 30 =I. 210 km II. 528 km III. 402 km

Megoldás:

a) B és III.     b) C és I.     c) A és II.

11 Recept szerint 1 adag almás süti tésztájához a következő összetevők szükségesek:

0,1 dl tej, 4

1 csomag sütőpor, 4 dkg liszt, 1 dkg porcukor, csipet só.

a) Mennyi hozzávalóra van szükség 8 adag süti tésztájának elkészítéséhez?

b) Mennyi hozzávalóra van szükség 12 adag süti tésztájának elkészítéséhez?c) Mennyi hozzávalóra van szükség 7 adag süti tésztájának

elkészítéséhez?d) Minden mennyiséget tudtál értelmezni?

Megoldás:

a) Tej: 8 ∙ 0,1 = 0,8 deciliter. Sütőpor: 8 ∙ 14

= 84

= 2 csomag. Liszt: 8 ∙ 4 = 32 dkg. Porcukor: 8 ∙ 1 = 8 dkg. Só: nyolc csipet.

b) Tej: 12 ∙ 0,1 = 1,2 deciliter. Sütőpor: 12 ∙ 14

= 124

= 3 csomag. Liszt: 12 ∙ 4 = 48 dkg. Porcukor: 12 ∙ 1 = 12 dkg. Só: tizenkettő csipet.

c) Tej: 7 ∙ 0,1 = 0,7 deciliter. Sütőpor: 7 ∙ 14

= 74

csomag. Liszt: 7 ∙ 4 = 28 dkg. Porcukor: 7 ∙ 1 = 7 dkg. Só: hét csipet.

d) A csipetnek mint mértékegységnek nincs számszorosa, azaz a 8 csipet mennyisége kérdéses lehet. Gya-korlatilag az ételadag mennyiségével nem mindig arányosan nő a hozzávalók mennyisége.

Szerk

eszt

és a

latt

112

TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL 13.

12 Egy különleges papírlap vastagsága 0,025 cm. Milyen vastag egy 1250 oldalas Biblia, amelyet erre a papírra nyomtattak?

Megoldás:

1250 oldal az 625 lap, azaz 625 ∙ 0,025 = 15,625 ≈ 16 cm vastag a Biblia.

13 A teniszt egy 26 ⋅ 9 yard méretű (páros esetén 26 ⋅ 12 yard) pályán játsszák. Mekkora a pálya méter-ben, ha 1 yard = 91,44 cm?

Megoldás:

A 26-szor 9-es pálya méretei: 26 ∙ 91,44 = 2377,44 cm = 23,7744 m és 9 ∙ 91,44 = 822,96 cm = 8,2296 m.A párosok 26-szor 12-es pályájának méretei: 26 ∙ 91,44 = 2377,44 cm = 23,7744 m és 12 ∙ 91,44 = = 1097,28 cm = 10,9728 m.

14 Füstös Géza, a felesége és két gyerekük vonattal akartak eljutni a szomszéd faluba. Ha a vonaton vesz jegyet a család, akkor a felnőttek 12,4, a gyerekek 6,2 eurót fizetnek. Ha elővételben megveszik a neten a jegyeket, akkor a felnőttek 11,4, a gyerekek 6 eurót fizetnek fejenként. a) Mennyit fizet a Füstös család, ha a vonaton vesznek jegyet?b) Mennyit fizet a Füstös család, ha a neten vesznek jegyet?c) Mennyivel fizetnek kevesebbet, ha a neten vesznek jegyet?

Megoldás:

a) (12,4 + 6,2) ∙ 2 = 37,2 euróba kerül.b) (11,4 + 6 ) ∙ 2 = 34,8 euróba kerül.c) 37,2 - 34,8 = 2,4 euróval lesz kevesebb.

Szerk

eszt

és a

latt

113

TIZEDES TÖRTEK OSZTÁSA POZITÍV EGÉSZ SZÁMMAL 14.

Feladatok1 Anélkül, hogy kiszámolnád, állítsd csökkenő sorrendbe az alábbi műveleteket eredményük szerint!a) 75,8 : 100 75,8 : 10 000 75,8 : 10 75,8 : 1000b) 9,47 : 100 2,31 : 100 0,28 : 100 2,13 : 100

Megoldás:

a) 75,8 : 10 > 75,8 : 100 > 75,8 : 1000 > 75,8 : 10 000b) 9,47 : 100 > 2,31 : 100 > 2,13 : 100 > 0,28 : 100

2 Végezd el a következő osztásokat!a) 3,6 : 3 b) 0,042 : 7 c) 184,96 : 8 d) 0,67567 : 100

Megoldás:

a) 1,2 b) 0,006 c) 23,12 d) 0,0067567

3 Becsüld meg az alábbi osztások eredményét, és válassz a lehetőségek közül! Becslésedet számolással ellenőrizd!a) 49,6 : 2 =

A: 25-nél kisebb B: 25-nél nagyobb, de 50-nél kisebb C: 50-nél nagyobbb) 89,4 : 3 =

A: 25-nél kisebb B: 25-nél nagyobb, de 50-nél kisebb C: 50-nél nagyobbc) 267,61 : 7 =

A: 25-nél kisebb B: 25-nél nagyobb, de 50-nél kisebb C: 50-nél nagyobb

Megoldás:

a) 50 : 2 = 25, de ennél kisebb lesz, hiszen felfele kerekítettünk. „A” a helyes, mivel az eredmény 24,8.b) 90 : 3 = 30, de ennél kisebb lesz, csak a könnyebb számolás miatt felfele kerekítettünk. „B” a helyes,

hiszen az eredmény 28,8.c) 280 : 7 = 40, de ennél kisebb lesz, csak a könnyebb számolás miatt felfele kerekítettünk. „B” a helyes,

hiszen az eredmény: 38,23.

4 Végezd el a következő osztásokat!a) 15,6175 : 5 b) 2,67567 : 100 c) 141,22 : 23 d) 9,45 : 45

Megoldás:

a) 3,1235 b) 0,0267567 c) 6,14 d) 0,21Szerk

eszt

és a

latt

114

TIZEDES TÖRTEK OSZTÁSA POZITÍV EGÉSZ SZÁMMAL 14.

5 Végezd el a következő osztásokat olyan bővítéssel, hogy az új osztó 10, 100 stb. legyen!(Például a 3 : 2 esetében az osztót és az osztandót megszorozzuk 5-tel, 15 : 10-et kapunk. A tizedesvesz-szőt eggyel balra mozgatva megkapjuk az 1,5-et.)a) 5 : 2 b) 12 : 5 c) 0,45 : 5 d) 0,7 : 2e) 4 : 25 f) 1 : 4 g) 0,37 : 50 h) 17 : 20

Megoldás:

a) 5 : 2 = 25 : 10 = 2,5b) 12 : 5 = 24 : 10 = 2,4c) 0,45 : 5 = 0,9 : 10 = 0,09d) 0,7 : 2 = 3,5 : 10 = 0,35e) 4 : 25 = 16 : 100 = 0,16f) 1 : 4 = 25 : 100 = 0,25g) 0,37 : 50 = 0,74 : 100 = 0,0074h) 17 : 20 = 85 : 100 = 0,85

6 Végezd el a műveleteket! Megoldásodat szorzással ellenőrizd!a) (2,45 + 8,35) : 3 b) (167,62 + 987,123) : 5 c) (12,67 − 2,35) : 8d) (34,234 – 10,08) : 4 e) 64,13 - 8,68 : 7 f) 460,8 : (12,71 - 3,71)

Megoldás:

a) 3,6 b) 230,9486 c) 1,29d) 6,0385 e) 62,89 f) 51,2A gyerekek az osztóval való visszaszorzással ellenőrizzék az eredményt!Például az a) feladatban: 3,6 ∙ 3 = 10,8 = 2,45 + 8,35

7 A híres cirkuszi bohóc, a gyerekek legnagyobb ámulatára, egykerekű biciklin egyensúlyozott, miköz-ben 12 darab egymásra pakolt poharat tartott a homlokán. A poharak tömege összesen 3 kg volt. Hány dkg egy pohár?

Megoldás:

3 kg = 300 dkg, 300 : 12 = 25 dkg egy pohár.

8 Hófehérke és a hét törpe úgy döntöttek, hogy beneveznek a Balatonkör biciklis váltóversenyre. Ez azt jelenti, hogy egymást váltva ugyanakkora távokat kell biciklizniük. A verseny a Zamárdi strandról indul, és 207,2 km hosszú.a) Hány km-t kell megtenniük fejenként?b) Morgó sajnos az utolsó pillanatban úgy döntött, mégsem indul ebben a versenyben, így végül csak Hófehérke és hat törpe nevezett. Hány km-rel kell így többet tekernie egy-egy indulónak?

Megoldás:

a) 207,2 : 8 = 25,9 km-t kell megtenniük fejenként.b) 207,2 : 7 - 25,9 = 3,7 km-rel kell többet tekerniük fejenként.

Szerk

eszt

és a

latt

115

TIZEDES TÖRTEK OSZTÁSA POZITÍV EGÉSZ SZÁMMAL 14.

9 A három testvér, Csongi, Matyi és Zozó segítettek a nagymamának meggyet szedni. A nagyma-mával kötött egyezség szerint a szedett meggy felét a nagyi befőzi, a másik felét a fiúk eladhatják a piacon, hogy szerezzenek maguknak egy kis zsebpénzt. A fiúk összesen 93,6 kg meggyet szedtek.a) Hány kg meggyből készíthet befőttet nagyi?b) Hány kg meggyet szedtek a fiúk fejenként, ha mind a hárman ugyanannyit szedtek?c) Hány forint zsebpénzt gyűjthetnének, ha kilogramonként 450 Ft-ért tudnák eladni a meggyet a piacon?d) Mennyi pénz jutna nekik fejenként?

Megoldás:

a) 93,6 : 2 = 46,8 kg meggyből készíthet befőttet nagyi.b) 93,6 : 3 = 31,2 kg-ot szedtek fejenként.c) 46,8 ∙ 450 = 21 060 forint zsebpénzt gyűjthetnének.d) 21 060 : 3 = 7020 forint jutna nekik fejenként.

10 A sportversenyen a 4-szer 60 méteres váltófutáson a gyerekek részered-ményei 12,3; 14,2; 10,7 és 10 másodperc voltak. a) Hány másodperc alatt futották le összesen a 4-szer 60 métert?b) Ha minden gyerek ugyanannyi idő alatt futotta volna le a távot, akkor mennyi

időbe telt volna egy 60 méteres táv teljesítése?

Megoldás:

a) 12,3 + 14,2 + 10,7 + 10 = 47,2 másodperc.b) 47,2 : 4 = 11,8 másodperc kellene egy 60 méteres távhoz.

Szerk

eszt

és a

latt

116

KÖZÖNSÉGES TÖRTEK TIZEDES TÖRT ALAKJA15.

Feladatok1 Írd fel a törteket tizedes tört alakban!

a) 2

1 b) 4

1 c) 8

1 d) 16

1 e) 32

1 f) 15

3 g) 55

33 h) 340

3

Megoldás:

a) 0,5 b) 0,25 c) 0,125 d) 0,0625 e) 0,03125 f) 0,2 g) 0,6 h) 3,075

2 Írd fel a törteket tizedes tört alakban!

a) 9

1 b) 9

2 c) 9

8 d) 9

20 e) 3

2 f) 9

10 g) 9

12 h) 9

18

Megoldás:

a) 0,1∙ b) 0,2∙ c) 0,8∙ d) 2,2∙ e) 0,6∙ f) 1,1∙ g) 1,3∙ h) 2

3 Alakítsd át a tizedes törteket közönséges törtté! Ahol lehet, egyszerűsíts!a) 0,2 b) 0,5 c) 0,8 d) 0,25 e) 0,35f) 0,45 g) 0,75 h) 1,2 i) 1,25 j) 4,5

Megoldás:

a) 210

= 15

b) 510

= 12

c) 810

= 45

d) 25100

= 14

e) 35100

= 720

f) 45100

= 920

g) 75100

= 34

h) 1210

= 65

i) 125100

= 54

j) 4510

= 92

Szerk

eszt

és a

latt

117

KÖZÖNSÉGES TÖRTEK TIZEDES TÖRT ALAKJA 15.

4 Ki kivel van egy csoportban? Segíts a pingvineknek 3 fős csoportokat alkotni úgy, hogy egy csoportba az azonos értékű pingvinek kerüljenek! Ha készen vagy, alkoss értelmes szavakat az azonos csoportokhoz tartozó betűkből!

Megoldás:

TOKCÉLPADSÁV

Szerk

eszt

és a

latt

118

KÖZÖNSÉGES TÖRTEK TIZEDES TÖRT ALAKJA15.

5 a) Mi lesz az 3

1 tizedes tört alakjában a tizedesvessző utáni 3. számjegy?

b) Mi lesz az 3

1 tizedes tört alakjában a tizedesvessző utáni 12. számjegy?

c) Mi lesz az 3

1 tizedes tört alakjában a tizedesvessző utáni 1235. számjegy?

d) Mi lesz az 6

1 tizedes tört alakjában a tizedesvessző utáni 4. számjegy?

e) Mi lesz az 49

1 tizedes tört alakjában a tizedesvessző utáni 12. számjegy?

f) Mi lesz az 81

1 tizedes tört alakjában a tizedesvessző utáni 10. számjegy?

Megoldás:

a) 3; b) 3; c) 3; d) 6;

e) 149

= 0,0204081632653…, a 12. tizedesjegy az 5.

f) 181

= 0,012345679012345…, a 10. tizedesjegy a 0.

6 Folytasd a 0,101101110 szám tizedesjegyeit úgy, hogy a kapott száma) végtelen szakaszos tizedes tört legyen; b) végtelen legyen, de ne legyen benne szakasz!

Megoldás:a) Sok lehetőség van: Pl. 0,1∙01101110∙ , vagy 0,10110111∙0∙ stb.;b) 0,101101110111101111101111110… írjunk mindig eggyel több 1-est a következő nulla mögé.

Szerk

eszt

és a

latt

119

ÖSSZEFOGLALÁS 16.Feladatok1 Melyik gizmák áll 4

5-ön?

a)

0 1

b)

0 1

c)

0 1

d)

0 1

Megoldás:

b) és d)

2 Az itt látható csempék a) mekkora része piros;b) mekkora része sárga?

Megoldás:

Az ábrákat balról jobbra tekintve:

a) Az ábrák 618

= 13

, 1325

, 912

= 34

része piros.

b) Az ábrák 1218

= 23

, 1225

, 312

= 14

része sárga.

3 Bővítsd a törteket 2-vel, 10-zel, 7-tel!

a) 2

1 b) 10

3 c) 7

91 d) 140

1 e) 34

5

Megoldás:

a) 12

= 24

= 1020

= 714

b) 310

= 620

= 30100

= 2170

c) 917

= 18214

= 91070

= 63749

d) 1140

= 2280

= 101400

= 7980

e) 534

= 1068

= 50340

= 35238

Szerk

eszt

és a

latt

120

ÖSSZEFOGLALÁS16.4 Egyszerűsítsd a törteket! Keresd meg a tovább már nem egyszerűsíthető alakot!

a) 10

18 b) 9

18 c) 6

32 d) 36

18 e) 144

180

f) 32

1024 g) 45

972 h) 19

2014 i) 106

2014 j) 215

214

Megoldás:

a) 1810

= 95

b) 189

= 2 c) 326

= 163

d) 1836

= 12

e) 180144

= 54

f) 102432

= 32 g) 97245

= 1085

h) 201419

= 106 i) 2014106

= 19 j) 214215

tovább nem egyszerűsíthető

5 Melyik a kakukktojás?

a) 0,4 0,40 4100

40100

b) 2 52100

2510

2,52 252100

c) -17,352 -17 352100

-17,3520 -17 3521000

Megoldás:

a) 4100

    b) 2510

    c) -17 352100

Szerk

eszt

és a

latt

121

ÖSSZEFOGLALÁS 16.6 Egy édességbolt kirakatában négy kosárban különböző színű cukorkák vannak.

a) Az első kosárban a cukorkák 310

része piros, 15

része kék, 19100

része zöld.

A maradék sárga színű. A cukorkák hányad része sárga?

b) A második kosárban a cukorkák 25

része fehér, 13

része piros. A többi cukorka

fekete csomagolású. A kosárban lévő cukrok mekkora része fekete?c) A harmadik kosárban 100 cukorka van, amelynek 4

10 része ezüstszínű, a 35

100 része aranyszínű, a

többi rózsaszín csomagolású. Hány darab ezüstszínű cukorka van a kosárban? Aranyszínű vagy rózsa-szín cukorkából van több? Mennyivel?

d) A negyedik kosárban 45 csokoládé van. 715

része tejcsoki, a többi fehér csoki. Egy 25 fős osztály

osztályfőnöke mindenkinek szeretne venni egy-egy fehér csokit. Jut-e mindenkinek?

Megoldás:

a) 1 - 310

- 15

- 19100

= 31100

része sárga.

b) 1 - 25

- 13

= 1 - 615

- 515

= 415

része fekete csomagolású.

c) 100 : 10 ∙ 4 = 40 ezüstszínű cukorka van. 100 : 100 ∙ 35 = 35 aranyszínű cukorka van. 100 - 40 - 35 = 25 rózsaszín cukorka van. Az arany színű cukorkából van több, 35 - 25 = 10 darabbal.

d) 1 - 715

= 815

része fehér csoki.

45 : 15 ∙ 8 = 24 darab fehér csoki van, így nem jut mind a 25 gyereknek.

7 Végezd el a műveleteket!

a) 10

42

10

18+ b)

9

10

9

17+ c)

8

14

8

30+ d)

7

18

7

11+ e)

144

18

144

17+

f) 10

42

10

18- g)

9

10

9

17- h)

8

14

8

30- i)

7

18

7

11- j)

144

18

144

17-

Megoldás:

a) 6 b) 3 c) 112

d) 297

e) 35144

f) 125

g) − 79

h) −2 i) 1 j) 1144Sze

rkes

ztés

ala

tt

122

ÖSSZEFOGLALÁS16.8 Végezd el a műveleteket!

a) 32

10

2

1+ b)

45

3

9

3- c)

19

3

57

9- d)

12

11

13

12+ e)

13

12

12

11-

f) 10

17

100

31+ g)

81

121

3

4- h)

18

114

24

114- i)

60

59

24

23+ j)

57

111

38

11-

Megoldás:

a) 1032

+ 1632

= 2632

= 1316

b) 345

– 1545

= – 1245

= – 415

c) 319

– 957

= 057

= 0

d) 1112

+ 1213

= 143156

+ 144156

= 287156

e) 1213

– 1112

= 144156

– 143156

= 1156

f) 1710

+ 31100

= 170100

+ 31100

= 201100

= 2 1100

g) 12181

– 43

= 12181

– 10881

= 1381

h) 11418

– 11424

= 45672

– 34272

= 11472

= 1 4272

= 1 712

i) 5960

+ 2324

= 118120

+ 115120

= 233120

= 1 113120

j) 11157

– 1138

= 222114

– 33114

= 189114

= 1 75114

9 Végezd el a műveleteket!

a) :11

3216 b) :

9

147 c) :

2

179 d) :

11

84 e) :

7

2421

f) :11

102432 g) :

19

455 h) :

11

102411 i) :

7

16824 j) :

13

4323

Megoldás:

a) 211

b) 29

c) 1718

d) 211

e) 849

Vagy a számlálót osztjuk, vagy a nevezőt szorozzuk az osztóval.

f) 3211

g) 919

h) 1024121

i) 77

= 1 j) 43299

10 Végezd el a műveleteket fejben!a) 3,2 + 5,6 b) 4,8 + 9,2 c) 6,3 + 7,8d) 12,8 − 4,4 e) 29,5 − 13,2 f) 451,6 − 40,3

Megoldás:

a) 8,8  b) 14  c) 14,1  d) 8,4  e) 16,3  f) 411,3Sze

rkes

ztés

ala

tt

123

ÖSSZEFOGLALÁS 16.11 Csoportosítsd úgy az összeadandókat, hogy a számolás egyszerűbb legyen, és számítsd ki az eredményeket!a) 13,5 + 3,72 + 6,5 + 1,28 b) 134,45 + 12,35 + 17,65 + 45,55c) 14,8 + 24,6 + 43,1 + 35,2 + 6,9 + 25,4

Megoldás:

a) 13,5 + 6,5 + 3,72 + 1,28 = 20 + 5 = 25b) 134,45 + 45,55 + 12,35 + 17,65 = 180 + 30 = 210c) 14,8 + 35,2 + 24,6 + 25,4 + 43,1 + 6,9 = 50 + 50 + 50 = 150

12 Melyik nagyobb? Döntsd el! a) 21 + 14,3 − 8,2 vagy 21 + (14,3 − 8,2) b) 44 − 4,3 + 5,3 vagy 44 − (4,3 + 5,3)c) 72,8 − (12,25 − 4,2) vagy 72,8 − 12,25 − 4,2

Megoldás:

a) =          b) >     c) >

13 Ábel mindennap fut, és telefonjával méri a megtett távolságokat.Hétfőn 12,55 km-t, kedden 13,42 km-t, szerdán 15,20 km-t, csütörtökön 9,52 km-t futott.a) Hány km-t futott a négy nap alatt összesen? Számolás előtt végezz becslést!b) Mennyit futott pénteken, ha az öt nap alatt éppen 60 km-t tett meg?

Megoldás:

a) Becslés: 13 + 13 + 15 + 10 = 51 km-t 12,55 + 13,42 + 15,2 + 9,52 = 50,69 km-t gyalogolt.b) 60 – 50,69 = 9,31 km-t.

14 Végezd el a szorzásokat!a) ,0 4 50$ b) ,0 25 440$ c) ,0 2 66$ d) ,0 125 80$ e) ,0 125 800$f) ,0 23 5$ g) ,42 23 592$ h) ,15 173 248$ i) ,1 63 128$ j) ,23 854 985$

Megoldás:

a) 20 b) 110 c) 13,2 d) 10 e) 100f) 1,15 g) 25 000,16 h) 3762,904 i) 208,64 j) 23 496,19

15 Végezd el az osztásokat!a) , :65 4 10 b) , :8 67 100 c) , :0 2 1000 d) , :0 125 5 e) , :0 12 125

f) :21 75 g) , :102 6 18 h) , :100 1 24 i) :168 175 j) , :25000 16 592

Megoldás:

a) 6,54 b) 0,0867 c) 0,0002 d) 0,025 e) 0,00096f) 0,28 g) 5,7 h) 4,170833… i) 0,96 j) 42,23

Szerk

eszt

és a

latt

124

ÖSSZEFOGLALÁS16.16 Egy híd alatt haladó út mellett az itt látható KRESZ-tábla van kirakva. Mit jelent a tábla? Átmehet-e a híd alatt a kamion, ha a pla-tója 1,6 méter magasan van és 2,35 méter magas kisgépeket szállít?

Megoldás:

1,6 + 2,35 = 3,95 méter > 3,8 méter. Nem fér át a híd alatt.

17 Anya telefonjának a memóriája 128 GB (gigabyte). Ebből a segédprogramok 1,13 GB-ot foglalnak el, a letöltött programok 3,18 GB-ot, a zenék pedig 61,89 GB-ot. Hány GB szabad hely van anya telefonjának a memóriájában?

Megoldás:

128 – 1,13 – 3,18 – 61,89 = 61,8 GB szabad hely van még a memóriában.

18 Keress az irodalomkönyvedben egy olyan részt, ahol 5 szövegsor követi egymást! Mérd meg a vonal-zóddal, hány milliméter magas ez az 5 sor! Milyen távol van két egymás utáni sor alja? Ismételd meg a mérést és a számítást 10 egymás utáni sorral!

Megoldás:

Egyéni megoldások.

19 Mely egyenlőségek igazak?a) 20 ∙ (5,5 + 4,7) = 20 ∙ 5,5 + 20 ∙ 4,7b) 8 ∙ (5,3 - 2,8) = 8 ∙ 5,3 - 8 ∙ 2,8c) 36 ∙ 2,2 + 17,8 = 36 ∙ (2,2 + 17,8)d) 4 ∙ (14,3 - 2,5) + 7,2 = 4 ∙ 14,3 + 4 ∙ 2,5 + 7,2

Megoldás:

a) igaz    b) igaz    c) hamis    d) hamis

20 Válaszd ki, melyik szöveges leíráshoz melyik műveletsor tartozik!a) 15,3 és 8,5 összegének a feleb) 15,3 és 8,5 felének az összegec) 15,3 felének és 8,5-nek az összegeA: 15,3 + 8,5 : 2 B: (15,3 + 8,5) : 2 C: (15,3 : 2) + (8,5 : 2)   D: 15,3 : 2 + 8,5

Megoldás:

a) B     b) A     c) DSzerk

eszt

és a

latt

125

ÖSSZEFOGLALÁS 16.21 Számoljatok ügyesen!Ha átalakítjátok az alábbi műveletsorokat, akkor egyszerűbb számolással kaphatjátok meg az eredményt.a) 11,6 : 3 + 9,4 : 3 b) 215,26 : 4 − 35,26 : 4 c) 57,27 : 5 + 422,73 : 5 – 25

Megoldás:

a) (11,6 + 9,4 ) : 3 = 21 : 3 = 7b) (215,26 – 35,26 ) : 4 = 180 : 4 = 45c) (57,27 + 422,73 – 5 ) : 5 = 480 : 5 = 96

22

Angol font (GBP) Euro (EUR) Svájci frank (CHF) Amerikai dollár (USD)385,49 347,88 325,31 312,33

Egy kisvállalkozó forinttal akar fizetni az interneten, és a bank pénzváltási oldalán a táblázatban látható értékeket találta. Egyéb költség nincs. Hány forintba kerül, ha a) 100 euró értékben vásárol;b) 120 angol fontért vásárol;c) 210 amerikai dollárért vásárol;d) 49 svájci frankért vásárol?

Megoldás:

a) 100 ∙ 347,88 = 34 788 ≈ 34 790 Ft-bab) 120 ∙ 385,49 = 46 258,8 ≈ 46 260 Ft-bac) 210 ∙ 312,33 = 65 589,3 ≈ 65 590 Ft-bad) 49 ∙ 325,31 = 15 940,19 ≈ 15 940 Ft-baA kifizetésnél figyelembe vettük az 5 Ft-ra kerekítés szabályát.

23 Apa a nyaraláshoz forintot vált át az előző feladatban látható árfolyamon. Egyéb költség nincs. Mennyi a) angol fontot; b) eurót; c) svájci frankot; d) amerikai dollártkapna 60 000 Ft-ért?

Megoldás:

a) 60 000 : 385,49 ≈ 155 angol fontot kapna.b) 60 000 : 347,88 ≈ 172 eurót kapna.c) 60 000 : 325,31 ≈ 184 svájci frankot kapna.d) 60 000 : 312,33 ≈ 192 amerikai dollárt kapna.Minden törtet lefelé kerekítettünk, így mindenhol visszakapna még pár forintot is.

Szerk

eszt

és a

latt

126

ÖSSZEFOGLALÁS16.24 Alakítsd át a törteket tizedes törtté!

a) 30810

b) 23

c) 63

d) 83

e) 86

f) 321024

g) 1211331

h) 1248

i) 4326

j) 214575

Megoldás:a) 30,8 b) 0,666… = 0,6

. c) 2 d) 2,666… = 2,6

. e) 1,333… = 1,3

.

f) 0,03125 g) 0,0∙9∙ h) 15,5 i) 1,65∙38461∙ j) 28,6

25 Az egésztelkes jobbágynak a következő adókat kellett fizetnie egy 300 munkanapos évben:– 25 napnyi napszámos jövedelemmel kellett adóznia a földesurának.– 50 nap robot a földesúr részére igásállattal, vagy 100 napnyi igásállat nélkül.

– 110

terményadó az egyházközségnek és 110

a földesurának.

– Rendkívüli adók, egy évben körülbelül 30 napnyi munka.a) Ha egy évben 300 munkanap volt, akkor egy egésztelkes jobbágynak az év hányad részében kellett az adó megfizetéséért dolgoznia? b) János csak féltelkes jobbágy volt, és a családjának hat olyan tagja is volt, aki ledolgozhatta az adókat. (A féltelkes jobbágynak az egésztelkes jobbágy adójának a felét kellett megfizetnie.) Hány napot kellett fejenként dolgozniuk az adó megfizetéséért?Megoldás:Ez egy nyitott feladat. Sokféle értelmezése lehetséges, attól függően, hogy mennyire akarjuk egyszerűsí-teni, illetve bonyolítani.

Ha az 110

terményadókat a napok számításánál nem vesszük figyelembe, akkor:

a) Ha csak a napokat számoljuk, akkor 25 + 50 + 30300

= 105300

= 35100

= 720

Az év 720

, azaz körülbelül harmadrészében kellett dolgoznia, ha igásállattal teljesítette.

Igásállat nélkül 25 + 100 + 30300

= 155300

= 3160

, azaz körülbelül a napok felében kellett az adó megfizetéséért dolgoznia.

Ha az 110

terményadókat is figyelembe vesszük.

Saját munkájának 110

+ 110

= 210

= 15

-e kell még a földesúrnak és az egyháznak.

Saját földjén az idő 1320

: 5 = 13100

részében dolgozik a terményadók megfizetéséért igásállattal.

Ez összesen 35100

+ 13100

= 48100

= 1225

, azaz körülbelül a napok fele.

Igásállat nélkül 2960

: 5 = 29300

, tehát összesen 155300

+ 29300

= 184300

= 4675

, körülbelül a napok 35

-ében dolgozik

az adók megfizetéséért.

b) Igásállattal: (25 + 50 + 30) : 2 = 52,5 napot kell összesen dolgozniuk, tehát 52,5 : 6 = 8,75 napnyi munka jut egy emberre, tehát kerekítve 9 napot kell dolgozniuk.Igásállat nélkül: (25 + 100 + 30) : 2 = 77,5 napot kell összesen dolgozniuk, tehát 77,5 : 6 = 12,916 napnyi munka jut egy emberre, tehát kerekítve 13 napot kell dolgozniuk.…

Szerk

eszt

és a

latt

127

ÖSSZEFOGLALÁS 16.26 Süssünk mézeskalácsot!Egy adag tésztához jól gyúrjuk össze a felsorolt alapanyagokat, majd csomagoljuk fóliába a tésztát, és pihentessük egy napig a hűtő-szekrényben. Hozzávalók: 50 dkg finomliszt, 20 dkg porcukor, 1 kávéskanál szódabikarbóna, 6 dkg olvasztott vaj, 1 dl langyos tej, 20 dkg méz, 1 csomag vaníliás cukor, valamint fahéj, gyöm-bér, szerecsendió, szegfűszeg ízlés szerint, illetve díszíteni.a) Körülbelül mennyi lesz a bekevert tészta tömege?b) Ha egy kerek mézeskalácshoz 2,5 dkg tészta kell, akkor körülbe-lül hányat tud formázni Kristóf egy adag tésztából? Végezz becslést! Ez alapján válaszolj a kérdésre. Ellenőrizd az eredményedet!c) Kristóf talált a fiókban egy póni alakú formázót is, amely nagyobb, és 4,5 dkg tészta kell bele. Hány pónit tud formázni Kristóf egy adag tésztából? Végezz becslést! Ez alapján válaszolj a kérdésre! Ellenőrizd az eredményedet!d) Hányszorosra növeljék az alapanyagok mennyiségét, ha körülbelül 30-30 darabot akarnak készíteni a kétféle alakú mézeskalácsból? Egész számra kerekítve add meg az eredményt!e) Ha nagyon nagy a család és minden összetevőt megháromszorozunk, akkor mennyi lesz az egyes összetevők, illetve a bekevert tészta tömege?

Megoldás:

a) 50 dkg + 20 dkg + 4 g + 6 dkg + 10 dkg + 20 dkg + 12 g + 8 g = 106 dkg + 24 g = 1084 g, ami körülbelül 1 kg tésztát jelent.

b) Becslés: 1000 : 25 = 40 db. 1084 : 25 = 43,36 db, tehát körülbelül 43 darab kerek mézeskalácsot készíthet Kristóf. Ellenőrzés: 43,36 ∙ 25 = 1084.c) 1000 : 50 = 20, tehát ennél kicsit többet tud majd készíteni. 1084 : 45 = 24,08 db, tehát körülbelül 24 db-ot tud majd elkészíteni.d) (30 ∙ 25 + 30 ∙ 45) : 1084 = 2100 : 1084 = 1,937. Tehát 2-szeresére kell növelniük az alapanyagok

mennyiségét.e) Az összetevők tömege a háromszorosára változik: 1,5 kg finomliszt, 60 dkg porcukor, 3 kávéskanál szódabikarbóna, 18 dkg olvasztott vaj, 3 dl langyos tej,

60 dkg méz, 3 csomag vaníliás cukor, kb. 1-1 kávéskanálnyi fahéj, gyömbér, szerecsendió, szegfűszeg A bekevert tészta tömege így körülbelül: 1084 ∙ 3 = 3252 g lesz.

Szerk

eszt

és a

latt

128

ÖSSZEFOGLALÁS16.27 Juli 1

3

2 órát tölt tanulással minden hétköznap. Gerzson csak napi 16

1 órát tölt tanulással, de hétvé-

gén még hozzácsap 3 órányi tanulást.a) Melyik gyerek tölt több időt az otthoni tanulással egy hét alatt, és mennyivel? b) Mennyit tanulna Gerzson naponta, ha a hétvégi 3 órát egyenletesen elosztaná a hétköznapokra?

Megoldás:

a) Juli 1 23

 ⋅ 5 = 8 13

órát tölt tanulással.

Gerzson 1 16

 ⋅ 5 + 3 = 5 56

+ 3 = 8 16

.

8 13

– 8 16

= 16

óra = 10 perc. Juli tanul többet, de a különbség jelentéktelen, mindössze 10 perc hetente.

b) 8 16

: 5 = 496

: 5 = 4930

óra, ami 1 óra és 38 perc naponta.

(Másik lehetőség: Juli 1 óra 40 percet tanul, és Gerzson ennél 2 perccel kevesebbet.)

28 Egy liter benzin ára egy szomszédos országban 1,24 euró. Hány eurót kell fizetnünk, ha 15 liter ben-zint vásárolunk?

Megoldás:

1,24 ∙ 15 = 18,6 eurót kell fizessünk.

29 Online vásárláskor rendeltünk 5 pár zoknit páronként 0,9 euróért, 3 sálat, melynek darabja 2,45 euró, 4 pár kesztyűt páronként 2,99 euróért és 2 sapkát darabonként 3,69 euróért. A kiszállítás akkor ingyenes, ha legalább 30 euróért vásárolunk. Kell-e fizetnünk a kiszállításért? Végezz becslést a pontos számolás előtt!

Megoldás:

Becslés: 5 ∙ 1 + 3 ∙ 2 + 4 ∙ 3 + 2 ∙ 4 = 5 + 6 + 12 + 8 = 31Számolás: 5 ∙ 0,9 + 3 ∙ 2,45 + 4 ∙ 2,99 + 2 ∙ 3,69 = 31,19 euróba került, így nem kell fizetni a kiszállításért.

30 Anya a zserbó készítéséhez négy lapot süt ki. Az összegyúrt tésztát leméri, a mérleg 77,6 dkg-ot mutat.a) Hány dkg-os darabokra vágja a tésztát, mielőtt kisodorná, ha azt szeretné, hogy a négy lap egyenlő tömegű legyen?A lapokat megtöltötte, így a kisült sütemény kb. 120 dkg tömegű lett. A szélét levágta, ez a sütemény töme-gének tizedrésze.b) Hány dekagramm lett a sütemény a szélek nélkül?c) Ezt a leszélezett süteményt feldarabolta, és 30 egyenlő darabot kapott. Hány dkg-os 1 darab sütemény?

Megoldás:

a) 77,6 : 4 = 19,4 dkg-os darabokra vágja.b) 120 – 120 : 10 = 108 dkg-os lett szélek nélkül a sütemény.c) 108 : 30 = 3,6 dkg-os egy darab sütemény.

Szerk

eszt

és a

latt

IV. Bevezetés a geometriába

„Az Europa szinte tökéletes gömbnek látszott, miközben leereszkedtünk. A legjobban az tetszett, hogy ami-kor korcsolyáztunk, akkorákat tudtam ugrani, amekkorát otthon soha” – írta Gazsi a számítógépébe, aztán a Mentés gombra bökött, eltüntette a képernyőről a billentyűzetet, és fejére tette a holosisakot, hogy ismét átvágja magát a gonosz Zog csillagközi flottáján. A játék elején körpályán kellett várakoznia a Hold körül, majd adott jelre egyenes vonalban minél nagyobb sebességre gyorsítania. Aztán már csak az ügyességén múlt, hogyan tudja lerázni a hipertérből előbukkanó Zog-flottát. Gömb alakban fogták körül az ellensé-ges hajók. Gyorsan a déli pólus felé kanyarodott, és amikor követni kezdték, hirtelen észak felé fordult. Hiperűrsebességre kapcsolt, és a Zog-armada belegabalyodott a mögötte keletkező miniatűr fekete lyuk peremébe. A megmaradt pár hajót már könnyűszerrel hagyta maga mögött. Elégedetten állította meg a szeme előtt lebegő holoképet. 90 000 984 pontja lett, és ezzel sikerült rekordot döntenie a kilencedik szin-ten. Nekigyürkőzött volna a tizediknek is – amin már kétszer elbukott –, de Attila megpróbálta félretolni.– Bocs, muszáj használnom a nagy wikikompot. Nem emlékszem, milyen sorrendben jártunk a Jupiter holdjain.Gazsit azonban nem volt könnyű kimozdítani a helyéből, ha játékról volt szó. Kicsit elmélázott, aztán sorolta:– Kívülről befelé haladtunk, úgyhogy Callisto, Ganymedes, Europa, Io volt a sorrend. És hagyjál játszani, ez az én harminc percem! – Azzal a második szintre lépett az Attila elleni, és a tizedik szintre a Zog elleni harcban.

Szerk

eszt

és a

latt

130

CSOPORTOSÍTÁSOK1.Feladatok1 Csoportosítsd a következő tárgyakat: tányér, kés, pohár, kanál, csésze, villa!Milyen szempont alapján alakítottad ki a csoportokat?

Megoldás:

Néhány példa a csoportosításra:– evőeszköz: kés, kanál, villa – nem evőeszköz: tányér, pohár, csésze.– folyadék tartására alkalmas: kanál, tányér, pohár, csésze – nem alkalmas: kés, villa.– „r” betűre végződő: tányér, pohár – nem „r” betűre végződő: kés, kanál, csésze, villa.

2 a) Rendezd az itt látható járműveket két csoportba!b) Rendezd őket három csoportba!Milyen tulajdonság alapján alakítottad ki a csoportokat?

Megoldás:

a) Egyik csoport: bicikli, roller, teherautó, busz, motor, autó (kerekes járművek, vagy szárazföldi járművek).

Másik csoport: csónak, hajó (vízi járművek).b) A három csoport lehet például: nincs kereke (csónak,

hajó), két kereke van (bicikli, roller, motor), legalább 4 kereke van (teherautó, busz, autó).

De lehetne így is: az alsó sorban van, a középső sorban van, a felső sorban van. Vagy akár így is jó: Egy ember mehet vele, két ember mehet vele, több mint két ember mehet vele. Egy-

értelműen meg tudod határozni, melyik járművel hány ember mehet?

3 „Tüzesen süt le a nyári nap sugáraAz ég tetejéről a juhászbojtárra.”a) Melyik versből származik az idézet?Ki írta a verset?b) Gyűjtsd össze az idézetből az egy szótagú szavakat!c) Gyűjtsd össze az idézetből a két szótagú szavakat! d) Gyűjtsd össze az idézetből a legalább három szótagú szavakat!

Megoldás:

a) Petőfi Sándor: János vitéz.b) süt, le, a, nap, az, égc) nyárid) tüzesen, sugára, tetejéről, juhászbojtárraSze

rkes

ztés

ala

tt

131

CSOPORTOSÍTÁSOK 1.4 Európa térképéről a következő városokat választottuk: Budapest, Róma, Miskolc, Lisszabon, Varsó, Pozsony, Krakkó, Hamburg.Hogyan csoportosítanád ezeket a városokat?Nézd meg a térképen, hol vannak ezek a városok! Adj meg többféle csoportosítást!

Megoldás:

Lehetséges csoportosítások:Magyarországi városok: Budapest, Miskolc.Nem magyarországi városok: Róma, Lisszabon, Varsó, Pozsony, Krakkó, Hamburg.

Vagy:

Fővárosok: Budapest, Róma, Lisszabon, Varsó, Pozsony.Nem fővárosok: Miskolc, Krakkó, Hamburg.

Szerk

eszt

és a

latt

132

Feladatok1 Gyűjtsd össze egy halmazba a honfoglaló magyar törzsek vezéreit! Segíthet a történelem könyved.

Megoldás:

„Anonymus… a Gesta Hungarorum (A magyarok cselekedetei) című munkáját, amelyben szól a vérszerző-désről. Szerinte így hívták a hét vezért: Álmos, Előd, Ond, Kond, Tas, Huba, Tétény (Töhötöm). A történé-szek szerint ez a vezérnévsor nem feltétlenül hiteles.” (Forrás OH-TOR05TB 109. oldal.){Álmos, Előd, Ond, Kond, Tas, Huba, Tétény}

2 Válaszd ki a halmazból azokat az elemeket, amelyekre igaz az állítás!

22 13 31342201

0133 2872 99

10 312009

19a) A szám páros. b) A szám páratlan. c) A szám kétjegyű. d) A szám háromjegyű.

Megoldás:

a) 2, 10, 28, 42, 72, 2010b) 13, 19, 31, 99, 133, 313, 2009c) 10, 13, 19, 28, 31, 42, 72, 99d) 133, 313

3 Döntsd el, hogy az állítás igaz vagy hamis az ábrán látható halmaz elemeire! a) Mind teli.b) Egy kivételével mind teli.c) Négy szín fordul elő a halmazban.d) Kettő nagy van a halmazban.e) Van kis sárga háromszög köztük.f) Van nagy kör köztük.g) Kékből van a legtöbb.h) Sárgából van a legtöbb.i) Több a kék, mint a sárga.j) Tíz eleme van a halmaznak.

Megoldás:

a) Hamis b) Igazc) Igaz d) Igaze) Igaz f) Hamisg) Hamis h) Igazi) Hamis j) Igaz

HALMAZOK2.

Szerk

eszt

és a

latt

133

4 Sorold be az állatokat a megfelelő halmazba! Rajzolj a füzetedbe!

RagadozóNövényevő???

a) Találtál olyan állatot, amelyiket mindkét halmazba bele kell írnod? Hová írnád őket?b) Milyen címkét adnál a két halmaz közös részének?c) Milyen címkét adnál a két halmaz egyesítésének?d) Találtál olyan állatot, amelyiket egyik halmazba sem tudod beírni? Hova írnád ezeket?e) Találj ki más halmazokat is a feladatbeli állatokkal! Adjál a halmazoknak nevet, és színezd ki őket a füzetedben!

Megoldás:

A Ragadozók közé tartozik: sas, béka, bagoly, cápa, oroszlán, tigris, krokodil, gorilla, sertés.A növényevők közé tartozik: Szamár (ló), elefánt, nyúl, birka, gorilla, sertés.a) A mindkét halmazba illeszkedő állatokat a közös részbe írjuk: gorilla, sertés b) Például „mindenevő”, de tetszőleges értelmes elnevezés elfogadható.c) Például „kedvenc állataim”, vagy „állatok” vagy „néhány gerinces állat”, de tetszőleges értelmes elneve-

zés elfogadható. d) A felsoroltak mindegyikét be lehet írni valahová. Ha a csiga a felsorolt állatok között lenne, akkor nem

illene a „néhány gerinces állat” címkéjű egyesített halmazba.e) Például szárazföldi – nem szárazföldi.

5 A felsorolt országok közül gyűjtsd egy halmazba azokat, amelyek határosak Magyarországgal! Hasz-náld a földrajzi atlaszodat!

Oroszország, Ukrajna, Horvátország, Szlovénia, Ausztria, Szlovákia, Bosznia-Hercegovina, Csehország, Lengyelország, Németország, Románia, Szerbia

Megoldás:

{Ukrajna, Horvátország, Szlovénia, Ausztria, Szlovákia, Románia, Szerbia}

HALMAZOK 2.

Szerk

eszt

és a

latt

134

6 Legyen az alaphalmaz az {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}.a) Milyen címkét írnál a halmazokra?

b) És most mi lehetne egy-egy jó címke?

Megoldás:

a) Például: páratlan – páros. Minden értelmes megoldás elfogadható.b) Például: kétjegyű számok – egyjegyű számok. Minden értelmes megoldás elfogadható.

1

3

5 214

64

8

12 107 9 11

1315

14

12 10 11

1315

1 35

2

6

4 87

9

HALMAZOK2.

Szerk

eszt

és a

latt

135

HALMAZOK 2.7 Válasszuk alaphalmaznak a 20-nál kisebb természetes számokat. Az A halmaz legyen a 13-nál kisebb számok halmaza. A B halmaz legyen a páratlan számok halmaza.Minden halmazábra esetén fogalmazd meg, hogy mely számok tartoznak bele a színezett részbe!

a) A B

b) A B

c) A B

d) A B

e) A B

f) A B

g) A B

h) A B

Megoldás:

Ha az alaphalmazt minden szöveges válasznál adottnak tekinthetjük, akkor a meghatározásoknál a ter-mészetes szám, illetve néhány helyen a korlátok elhagyhatók. A rövid meghatározást csak az a) válasznál adjuk meg. Sokféle szövegezésben megadhatók a válaszok, mi csak egyet írunk fel. a) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A 13-nál kisebb természetes számok halmaza. Rövidebben: A 13-nál kisebb számok.b) {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} A 20-nál kisebb páratlan természetes számok halmaza.c) {1, 3, 5, 7, 9, 11} A 13-nál kisebb páratlan természetes számok halmaza.d) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19} A 13-nál kisebb vagy páratlan természetes számok

halmaza.e) {14, 16, 18} A 13-nál nem kisebb és páros, de 20-nál kisebb természetes számok halmaza.f) {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12} A 13-nál kisebb nem páratlan természetes számok halmaza.g) {13, 15, 17, 19} A páratlan, 13-nál nem kisebb, de 20-nál kisebb természetes számok halmaza.h) {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 13, 15, 17, 19} Azok a számok, amelyek pontosan egyik halmazban vannak benne.

A 13-nál kisebb páros számok és a 13-nál nem kisebb páratlan számok.Sze

rkes

ztés

ala

tt

136

TEST, FELÜLET, VONAL, PONT3.Feladatok1 Mit szemléltethetünk a következő tárgyakkal: testet, felületet, vonalat vagy pontot?ceruza, a füzet egyik lapja, babszem, egy porszem, az alma héja, a papírlapra rajzolt írott L betű

Megoldás:

• ceruza: testet,• a füzet egyik lapja: felületet,• egy babszem: testet,• egy porszem: pontot,• az alma héja: felületet,• a papírlapra rajzolt írott L betű: vonalat.

2 Rajzolj egy virágot a füzetedbe! a) Rajzod csak görbe vonalakból álljon!b) Rajzod csak egyenes vonalakból álljon!c) Rajzod tartalmazzon egyenes és görbe vonalakat egyaránt!

Megoldás:

Példák:

a) b) c)

3 Rajzolj öt pontot úgy, hogya) egy egyenesen legyenek;b) semelyik három ne legyen egy egyenesen!

Megoldás:

a) b)

Szerk

eszt

és a

latt

137

TEST, FELÜLET, VONAL, PONT 3.4 Mutassatok síkokat a teremben! Mi a különbség a köznyelvben használt „sík” és a geometriai sík között?

Megoldás:

Például a fal síkját vagy a táblát síknak tekintjük, de ha közelebb megyünk hozzájuk, láthatjuk, hogy ici-pici árkok szabdalják a festett felületet. Ezek az árkok nagyító alatt sokkal jobban látszanak. Például azt mondjuk, hogy az Alföld sík, holott tele van kisebb-nagyobb dombocskákkal, földhányással. Egy hegység-hez képest, vagy földrajzórán mégis síknak mondható. Geometriai értelemben ezek nem síkok, de köznapi értelemben nyugodtan tekinthetjük őket síknak.

A másik a méret felőli megközelítés: a köznyelvben használt sík mindig véges tartományra vonatkozik, a geometriai sík pedig végtelen.

5 Az A, B és C pontok egy egyenesre illeszkednek. AB = 6 cm, BC = 2 cm. Mekkora lehet az AC szakasz hossza?

Megoldás:

Az AC szakasz hossza 6 – 2 = 4 cm vagy 6 + 2 = 8 cm, attól függően, hogy a C pont a B pont melyik oldalán helyezkedik el.

6 Rajzoltunk a síkra három pontot: PQ = 7 cm, QR = 4 cm. Vitassátok meg, hogy mekkora lehet a PR sza-kasz hossza!

Megoldás:

1. ábra 2. ábra 3. ábra

A PR távolság legfeljebb 7 + 4 = 11 cm (1. ábra) és legalább 7 – 4 = 3 cm (2. ábra). A két érték között PR szakasz hossza bármekkora lehet. A 3. ábrán egy általános helyzetű eset van felrajzolva.

Szerk

eszt

és a

latt

138

7 Az ábrán lemérheted, hogy AB = 2 cm, BC = 3 cm, CD = 4 cm.

AB

C

D

Rakd hosszuk szerinti növekedő sorrendbe a következő szakaszokat: AC, AB, CD, AD, BD, BC!

Megoldás:

AC = 5 cm, AB = 2 cm, CD = 4 cm, AD = 9 cm, BD = 7 cm, BC = 3 cm.A helyes sorrend: AB < BC < CD < AC < BD < AD.

8 Melyik nyitott, melyik zárt vonal?

a) b)

c)

d)

Megoldás:

a) zárt   b) nyílt   c) zárt   d) nyílt

9 A vonalaik alapján csoportosítsd a felsorolt nyomtatott nagybetűket!

A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, ZAz egyik halmazba kerüljenek azok a betűk, amelyekben van egyenes vonal, a másik halmazba azok a betűk, amelyekben van görbe vonal. Gondold meg, hová kerül például az A, a B és a C! Készíts halmazábrát a füzetedbe!

Megoldás:

Egyenes vonal: A, E, F, H, I, K, L, M, N, T, V, W, X, Y, ZGörbe vonal: C, O, SMindkettő: B, D, G, J, P, Q, R, U

TEST, FELÜLET, VONAL, PONT3.

Szerk

eszt

és a

latt

139

10 a) Hány egyenest határozhat meg 3 pont?b) Hány egyenest határozhat meg 4 pont?

Megoldás:

a) Ha a pontok nem eshetnek egybe, akkor 1-et vagy 3-at.

b) Ha a pontok nem eshetnek egybe, akkor 1-et, 4-et vagy 6-ot.

11 Legyen a K halmaz az AC szakasz pontjainak a halmaza, az L halmaz pedig a BD szakasz pontjainak a halmaza.

AB

C

D

a) Melyik szakasz a K és az L közös része?b) Melyik szakasz a K és az L egyesítése?

Megoldás:

a) A BC szakasz.   b) Az AD szakasz.

TEST, FELÜLET, VONAL, PONT 3.

Szerk

eszt

és a

latt

140

TEST, FELÜLET, VONAL, PONT3.12 Rajzolj a füzetedben két szakaszt úgy, hogya) ne legyen közös pontjuk, de a szakaszok egy egyenesre essenek!b) ne legyen közös pontjuk, és a szakaszok ne essenek egy egyenesre!c) egyetlen közös pontjuk legyen, és a szakaszok egy egyenesre essenek!d) egyetlen közös pontjuk legyen és a szakaszok ne essenek egy egyenesre!e) legyen sok közös pontjuk!

Megoldás:

a)

b)

c)

d)

e)

13 Rajzolj a füzetedben két egyenest úgy, hogya) ne legyen közös pontjuk!b) egyetlen közös pontjuk legyen!c) sok közös pontjuk legyen!

Megoldás:

a)

b)

c)

Szerk

eszt

és a

latt

141

A SZÖG 4.Feladatok1 Rajzolj hegyes-, derék-, tompa-, egyenes-, homorú- és teljesszögeket, minden típusból maximum három különböző nagyságút! Hány szöget rajzolhatsz összesen? (A füzetedben dolgozz!)

Megoldás:

Típusonként legalább egy szöget rajzolunk. Ez minimum 6 darab szög.Hegyes-, tompa- és homorúszögből többféle nagyságút is rajzolhatunk, de maximum 3-3 darabot. Tehát legfeljebb 12 szög van a füzetben.

2 Rajzolj olyan négyszöget, melynek a) egy derékszöge; b) egy homorúszöge van!

Megoldás:

a) b)

3 Milyen szög lehet két hegyesszög összege? Rajzzal indokolj!

Megoldás:

Az összeg lehet hegyesszög , derékszög és tompaszög .

4 Milyen lehet az a két szög, amelynek az összege egyenesszög?

Megoldás:

A két szög lehet hegyesszög és tompaszög, vagy két derékszög.

5 Két szög különbsége derékszög. Milyen lehet a két szög?

Megoldás:

A két szög lehet: ● egyenesszög és derékszög; ● tompaszög és hegyesszög; ● homorúszög és egyenesszög; ● homorúszög és tompaszög; ● teljesszög és homorúszög.Sze

rkes

ztés

ala

tt

142

A SZÖG4.6 Mérés előtt becsüld meg az ábrán látható szögek nagyságát! Szögmérővel ellenőrizd a tippelésedet! Mennyit tévedtél?

α β γ

δ

Megoldás:

Érdemes megbeszélni a diákokkal a becslés és mérés tapasztalatait.α = 35°, β = 90°, γ = 118°, δ = 300°.

7 Szögmérő segítségével rajzolj 15°-os, 120°-os, 240°-os szöget!

Megoldás:

8 Ha α = 78° 12’, β = 53° 48’, akkor hány fok és hány szögperc α + β, α + 2β, α – β és 2α – β?

Megoldás:

α + β = (78 + 53)o + (12 + 48)’ = 131o 60’ = 132o.α + 2β = (78 + 53 + 53)o + (12 + 48 + 48)’ = 184o 108’ = 185o 48’.α – β = 77o 72’ – 53o 48’ = (77 – 53)o + (72 – 48)’ = 24o 24’.2α – β = 156o 24’ – 53o 48’ = 155o 84’ – 53o 48’ = (155 – 53)o + (84 – 48)’ = 102o 36’.

9 Három órakor és kilenc órakor a két mutató merőleges egymásra. Hányszor fordul elő ez a közben eltelt hat óra alatt?

Megoldás:

Minden óra alatt a nagymutató egy teljes kört tesz meg, így pontosan két olyan pillanat lesz, amikor derék-szöget zár be a kismutatóval. Hat óra alatt tizenkétszer fordul elő ilyen helyzet, de ebben benne van a kiinduló és a befejező állapot is.Vagyis a két időpont között tízszer fordul elő.

10 Mekkora szöget zár be az óra két mutatójaa) 2 órakor; b) 4 órakor; c) fél háromkor; d) fél hatkor?

Megoldás:

a) 60°; b) 120°; c) 105°; d) 15°.

Szerk

eszt

és a

latt

143

A SZÖG 4.11 Másolópapír segítségével másold át az ábrán látható szögeket a füzetedbe! Rajzold meg azt a szö-get, amelyika) az α szögnél 90°-kal kisebb; b) a β szögnél 90°-kal nagyobb;c) a c szögnél 180°-kal kisebb; d) a d szögnél 180°-kal nagyobb!

αβ

γ

δ

Megoldás:

a) Szerkesztünk egy derékszöget az egyik szögszárra, „befelé”.

b) Szerkesztünk egy derékszöget az egyik szögszárra, „kifelé”.

c) Meghosszabbítjuk az egyik szögszárat a szögtartományon belül.

d) Meghosszabbítjuk az egyik szögszárat a szögtartományon kívül.

Szerk

eszt

és a

latt

144

12 Igaz? Hamis?a) Minden derékszög szétvágható két hegyesszögre.b) Minden tompaszög szétvágható két hegyesszögre.c) Három hegyesszög összege biztosan tompaszög.d) Három hegyesszög összege lehet homorúszög.

Megoldás:

a) Igaz. b) Igaz.c) Hamis. Például 60° + 60° + 60° = 180°. d) Igaz.

A SZÖG4.

Szerk

eszt

és a

latt

145

SÍKIDOMOK, SOKSZÖGEK 5.Feladatok1 Csoportosítsd a síkidomokat különböző geometriai tulajdonságaik alapján! Készíts többféle csopor-tosítást is, és nevezd el az egyes halmazokat!

A

B

F K

L

HD

C E GJ PO

N

MI

Megoldás:

Például:– Alakzatok, amelyekben van görbe vonal, {D, G, K, L, N, P}. Alakzatok görbe vonal nélkül {A, B, C, E, F, H, I, J, M, O}.

– Legfeljebb 4 csúcsa van. {A, C, D, E, G, H, K, L, M, N, O, P}. Legalább 3 csúcsa van {A, B, C, D, E, F, H, I, J, M, O}

Rengeteg módon lehet csoportot készíteni. Tetszőleges helyes megoldást el kell fogadni.

2 Melyik sokszögnek nincsen átlója?

Megoldás:

A háromszögnek nincsenek átlói.

Szerk

eszt

és a

latt

146

SÍKIDOMOK, SOKSZÖGEK5.3 Rajzolj egy négyszöget, és vágd fel két háromszögre. Hányféleképpen tudod megtenni?

Megoldás:

A megoldás attól függ, milyen négyszöget rajzoltál. Ezt a két átlója mellett szét tudod vágni két-két különböző részre.

A négyzet és a téglalap szétvágásával egyféle háromszöget kapunk.

Ezt a négyszöget is szét tudod vágni, a két-két keletkező rész egyforma alakú és nagyságú lesz, de függ attól, hogy melyik átló mentén vágtad szét.

Ha ezt a négyszöget bármelyik átlója mentén szétvágod, két különböző részt kapsz, de ezek alakja és nagysága nem függ attól, hogy melyik átló mentén vágtad szét.

Szerk

eszt

és a

latt

147

SÍKIDOMOK, SOKSZÖGEK 5.4 Rajzolj egy ötszöget, és vágd fel három háromszögre. Hányféleképpen tudod megtenni?

Megoldás:

A megoldás attól függ, milyen ötszöget rajzoltál. 1. Ha egy általános ötszögből indulunk ki, akkor az első háromszög levágására 5 lehetőség adódik, majd a kapott négyszöget 2 féle módon lehet kettévágni. Mindegyik esetben kapunk egy második olyan három-szöget is, amelyik az ötszög „szélén” van, kezdhettük volna ezzel is, és ugyanahhoz a daraboláshoz jut-nánk. A lehetőségek száma tehát 5 ∙ 2 : 2 = 5.

2. Ha nem vágunk, hanem rajzolunk, akkor láthatjuk, hogy minden darabolás tulajdonképpen azt jelenti, hogy kiválasztunk egy csúcsot, és az onnan induló két átló mentén felvágjuk az ötszöget. Mivel 5 csúcs van, a lehetőségek száma is 5.

Más ötszögek esetén is el lehet készíteni az egyes eseteket. Érdemes megbeszélni a gyerekekkel, hogy mikor mit tekintsünk különböző darabolásnak.

5 Rajzolj olyan négyszögeket, amelyeknek pontosan két egyenlő hosszú oldala van, és azoka) szomszédosak;  b) szemköztiek!

Megoldás:

a) Például: b) Például:

Szerk

eszt

és a

latt

148

6 Rajzolj olyan négyszögeket, amelyeknek pontosan két szomszédos oldaluk merőleges egymásra!

Megoldás:

7 Rajzolj olyan sokszögeket, amelyeknek csak két szomszédos oldala merőleges egymásra!

Megoldás:

8 Rajzolj olyan sokszögeket, amelyeknek bármely két szomszédos oldala merőleges egymásra!

Megoldás:

9 Rajzolj olyan négyszöget, amelynek két szemközti oldalegyenese merőleges egymásra!

Megoldás:

10 Rajzolj olyan négyszöget, amelynek két-két szemközti oldalegyenese merőleges egymásra!

Megoldás:

SÍKIDOMOK, SOKSZÖGEK5.

Szerk

eszt

és a

latt

149

11 Az ötszögben a piros átlókon vagy a kék oldalakon lépkedhetsz csúcstól csúcsig. a) Vissza tudsz-e jutni a kiindulási pontba, ha minden piros átlón egyszer kell

végighaladnod?b) Vissza tudsz-e jutni a kiindulási pontba, ha minden piros átlón és kék oldalon egy-

szer kell végighaladnod?

Megoldás:

a) Igen    b) Igen

SÍKIDOMOK, SOKSZÖGEK 5.

Szerk

eszt

és a

latt

150

Feladatok1 Készíts különböző testeket két egyforma gyufásdobozból! Két lap fedje egymást az össze illesztésnél! Hány különböző testet tudtál készíteni?

Megoldás:

Háromféle különböző test építhető össze két gyufásdobozból.

2 Rajzold le a füzetedbe a képen látható doboz élvázát, és nevezd el a csúcsokat!a) Sorold fel a test éleit! Használd a két nagybetűs megadási módot!b) Sorold fel a test lapjait! Használd a négy nagybetűs megadási módot a lapok megnevezésekor!

Megoldás:

a) AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG, DH.b) ABCD, EFGH, ADHE, BCGF, ABFE, CDHG.

3 Az ábrán egy ötszöget és egy háromszöget látsz. Képzeld el és rajzold le annak a testnek az élvázát, amelyet egy darab ötszögből és öt darab háromszögből lehet megépíteni!

Megoldás:

TESTEK ÉPÍTÉSE, SZEMLÉLTETÉSE6.

Szerk

eszt

és a

latt

151

TESTEK ÉPÍTÉSE, SZEMLÉLTETÉSE 6.4 Milyen test élvázát tudnád elkészíteni (összeragasztani) 12 darab gyufaszálból? Gondolkodj több megoldáson is!

Megoldás:

Két lehetőséget mutatunk:

5 Sorold fel az ábrán látható test éleit!

Megoldás:

A képen látható test élei: AB, BC, CD, DA, AE, DE, BF, CF, EF.

6 a) El tudsz képzelni olyan testet, amelyet négy síklap határol? Ha igen, akkor rajzold le az élvázát!b) El tudsz képzelni olyan testet, amelyet három síklap határol?Ha igen, akkor rajzold le az élvázát!

Megoldás:

a) Igen, például:

b) Ilyen test nem létezik. Egy lapnak minimum háromszögnek kell lenni, és ha ennek éleire még egy-egy lap csatlakozik, akkor minimum 4 lap keletkezik.

7 A képen látható testet másold le a füzetedbe, és illessz rá egy másik tes-tet! A rajzod legyen olyan hatású, mintha egy házikót ábrázoltál volna! Ter-vezz ilyen módon többféle háztetőt! Rajzold be a nem látható éleket is!

Megoldás:

Néhány lehetőség:

A B

CD

E F

Szerk

eszt

és a

latt

152

8 Egyforma kockákból testeket építettünk. Ragasztás nélkül úgy helyeztük egymásra a kockákat, hogy teljes lapjukkal érintkezzenek egymással. Az ábrák azt mutatják, hogy azon a helyen hány darab kockát tettünk egymásra. Rajzold le az építményeket a nyíl irányából nézve!

1 2 3 3 3 3 1 0 2 2 1 4

1 1 2 1 4 1 1 1 4 0 0 1↑ ↑ ↑ ↑

Megoldás:

9 Egy testet csak síklapok határolnak és a) 4 csúcsa van; b) 6 csúcsa van. Rajzolj ilyet, ha tudsz, akkor többfélét is!

Megoldás:

a) Másfajta testet nem lehet rajzolni.

b) Például az ábrán látható testek, de más megoldás is lehetséges.

10 Egy testnek 9 éle van, és csak síklapok határolják. Rajzolj ilyet, ha tudsz, akkor többfélét is!

Megoldás: Sok más test is lehetséges.

TESTEK ÉPÍTÉSE, SZEMLÉLTETÉSE6.

Szerk

eszt

és a

latt

153

11 Egy testnek 10 lapja van, és csak síklapok határolják. Rajzolj ilyet, ha tudsz, akkor többfélét is!

Megoldás:

12 Készíts két különböző testet, amelyeknek van egy-egy egyforma oldallapjuk! Az egyforma lapok mentén illeszd össze őket! Ábrázold a kapott testet!

Megoldás:

Mi ezt kaptuk:

Sok más test is lehetséges.

TESTEK ÉPÍTÉSE, SZEMLÉLTETÉSE 6.

Szerk

eszt

és a

latt

154

EGYENESEK SÍKBAN, TÉRBEN7.Feladatok1 Keress a környezetedben különböző helyzetű egyenespárokat!

Megoldás:

Példa párhuzamos egyenespárra: sínpár, zebracsíkok széle, kerítéslécek széle, lépcső élei, széklábak.Példa metsző egyenesekre: útkereszteződés, a terem egy sarokban összefutó élei, háztető.Példa kitérő egyenesekre: felüljáró, aluljáró.

2 Hány kitérő élt találsz a képen látható test AB éléhez?

Megoldás:

Kettőt: DE, CE.

3 Rajzolj olyan nyomtatott nagybetűket, amelybena) vannak párhuzamos szakaszok, de nincsenek merőlegesek;b) vannak merőleges szakaszok, de nincsenek párhuzamosak;c) párhuzamos és merőleges szakaszok is vannak!

Megoldás:

a) Például M, N, U, W, Z    b) Például T, L    c) Például E, F, H,

4 Rajzolj egy egyenest! Képzeld el az összes pontot, amely ettől az egyenestől 2 cm-re található! Mit alkotnak ezek a pontok?

Megoldás:

a) Síkban ez két párhuzamos egyenes, az egyenes két oldalán, tőle 2-2 cm távolságban.b) Térben ez egy „cső”.

5 Rajzolj négy párhuzamos egyenest! Használj két megfelelő vonalzót! Milyen távol van egymástól a két szélső egyenes?

Megoldás:

Egyéni eredmények.

6 Rajzolj három egyenest a füzetedbe úgy, hogy bármelyik kettőa) párhuzamos; b) merőleges legyen!Mindkét ábrát el tudod készíteni?

Megoldás :

a) Három egymással párhuzamos egyenest könnyű rajzolni. b) A füzetben nem lehet három, egymásra páronként merőleges egyenest rajzolni, mert ha a síkban két

egyenes merőleges ugyanarra az egyenesre, akkor ezek párhuzamosak lesznek egymással.

A B

CD

E

Szerk

eszt

és a

latt

155

EGYENESEK SÍKBAN, TÉRBEN 7.7 A távolba vesző út két szélét és közepét jelző csíkok gyakran metszőnek látszanak. Milyen hely-zetűek lehetnek ezek a fehér vonalak valójában?

Megoldás:

Ezek a valóságban párhuzamosak.

8 A Göncölszekeret (Nagy Medve) alkotó hét fő csillagot az ábrán lát-ható módon szokták összekötni. Képzeld el az ábra négyszögének két átlóját is! Milyen helyzetűek lehetnek ezek az egyenesek valójában?

Megoldás:

Metszők vagy kitérők.

9 Igaz vagy hamis? Döntsd el!a) A térben haladó két egyenes mindig metszi egymást.b) A síkban lévő két egyenes mindig metszi egymást.c) Három egyenes feloszthatja a síkot 4 részre.d) Három egyenes feloszthatja a síkot 7 részre.

Megoldás:

a) Hamis    b) Hamis    c) Igaz    d) Igaz

10 Nikolett három gombóc gyurmát tett az asztalra, és mindháromba beleszúrt egy-egy pálcát. Az így kialakított térbeli alkotásról két képet készített. Az egyiken a neve kezdőbetűje látható, a másikon három pár-huzamos szakasz. Milyen helyzetűek valójában ezek a pálcák? Készítsd el te is ezt a térbeli ábrát!

Megoldás:

Valójában kettő párhuzamos, egy pedig kitérő velük.Például így nézhet ki az alkotás:

Szerk

eszt

és a

latt

156

TÉGLALAP, NÉGYZET8.Feladatok1 Keress párhuzamos és merőleges egyenespárokat az ábrán! A leírásnál hasz-náld a matematikai jelöléseket!

Megoldás:

Párhuzamos egyenespárok: e<b, e<a, b<a. Merőleges egyenespárok: f9e, f9a, f9b.

2 Igazak-e a következő állítások?a) Minden négyzet téglalap.b) Van olyan téglalap, amelyik négyzet.c) Ha egy négyszög négyzet, akkor téglalap is.d) Ha egy négyszög téglalap, akkor négyzet is.

Megoldás:

a) Igaz.b) Igaz (az a téglalap négyzet, amelynek egyenlő hosszúságú oldalai vannak).c) Igaz.d) Hamis (nem minden téglalap oldalai azonos hosszúságúak).

3 Döntsd el, hogy az ábrán látható sík-idomok közül melyik négyzet! Használd a vonalzódat!

Megoldás:

Négyzetek: 1, 3, 6.

a

b

e

f g

1

23

4

5

6

4 A négyzetrácson látható A, B és C pontokhoz melyiket válasszuk negyediknek, hogy egy téglala-pot kapjunk?

A

B

C

Megoldás:

A kilenc pont közül a középsőt választva kapunk téglalapot.

Szerk

eszt

és a

latt

157

TÉGLALAP, NÉGYZET 8.5 Keress az ábrán olyan pontnégyeseket, amelyek téglalapot határoznak meg! Adj meg minél több lehetőséget!

A B

C

F

D

E

G

H

P

Megoldás:

ABCD, ABFE, EFCD, AHGD, HBCG, AHPE, HBFP, EPGD, PFCG.

6 A Százholdas Pagonyban Róbert Gida háza, a Méhecskék fája, Nyuszi háza, valamint Bagoly háza egy téglalap négy csúcsában helyezkedik el. A Méhecskék fájától délre haladva eljutunk Bagoly házához. Róbert Gida háza Nyuszi házától van a legtávolabb és a Méhecskék fájához van a legközelebb. Rajzolj egy lehetséges térképvázlatot!

Megoldás:

A négy ház közül Róbert Gida (RG) és Nyuszi (NY) háza a téglalap szemközti csúcsaiban van, mivel az átló a leghosszabb szakasz. A Méhecskék fája (MF) és Bagoly (B) háza is szemközti csúcsok, és azt is tudjuk, hogy ÉD irányúak, valamint Róbert Gida és a Méhecskék fája a téglalap rövidebb oldalán találhatók. Lehet-séges térképvázlatok:

7 Nézz utána, hogy néz ki egy teniszpálya, majd rajzolj egy ezt szemléltető ábrát a füzetedbe! Hány tég-lalapra vágják a vonalak a pályát?

Megoldás:

A vonalak a pályát tíz téglalapra vágják.

Szerk

eszt

és a

latt

158

ÖSSZEFOGLALÁS9.FeladatokA következő 5 feladatra adott A, B és C válaszok közül csak egy helyes! Melyik az?

1 Ha két halmaznak 3, illetve 6 eleme van, akkor az egyesítésüknek lehet A) 5 eleme; B) 6 eleme; C) 10 eleme.

Helyes válasz: A.

2 Egy test lapjainak a száma nem lehetA) 5; B) 4; C) 3.

Helyes válasz: C.

3 Ha AB szakasz hossza 14 mm, és BC szakasz hossza 1,1 cm, akkor AC szakasz hossza nem lehetA) 25,1 mm; B) 3 mm; C) 25 mm.

Helyes válasz: A.

4 Három hegyesszög összegeA) lehet teljesszög; B) lehet 270°; C) lehet 180°.

Helyes válasz: C.

5 Ha α = 76°44’, akkor a 2 · αA) homorúszög; B) 152° 24’; C) nem egyenesszög.

Helyes válasz: C.

Szerk

eszt

és a

latt

159

ÖSSZEFOGLALÁS 9.6 Válassz egy párt az itt látható négy kártya közül, és keress egy olyan közös tulajdonságot, amelyik illik mindkét kiválasztott kártyára. Készítsd el az összes párt, és mindegyikhez keress megfelelő tulajdonságot!

Megoldás:

Hat lehetséges pár van:1. pár:

   Mindkettőn van négyzet.

2. pár:

   Mindkettőn van szakasz.3. pár:

   Mindkettőn van vonal.

4. pár:

   Mindkettőn van szakasz.5. pár:

   Mindkettőn van piros szín.

6. pár:

   Mindkettőn van vonal.

7 Rajzold le a füzetedbe a téglalapok és négyzetek halmazát! Hogyan helyezkedik el ez a két halmaz egymáshoz képest?

Megoldás:

Szerk

eszt

és a

latt

160

ÖSSZEFOGLALÁS9.8 Az A halmaz elemei az {1, 4, 9, 16}, a B halmaz elemei pedig az {1, 3, 5, 7, 9} számok.a) Ábrázold a két halmazt a füzetedben!b) Hány eleme van a két halmaz közös részének?c) Hány eleme van a két halmaz egyesítésének?

Megoldás:a)

b) A közös rész az {1, 9}, kételemű.c) Az egyesítés az {1, 3, 4, 5, 7, 9, 16}, hételemű.

9 Tudjuk, hogy egy A és egy B halmaz részhalmaza az {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} halmaznak, az A és B közös részének elemszáma 3, egyesítésük elemszáma pedig 6. a) Adj meg két ilyen halmazt!b) Adj meg két ilyen halmazt, ha az A halmaz elemszáma a lehető legnagyobb!c) Adj meg két ilyen halmazt, ha az A halmaz elemszáma a lehető legkisebb!

Megoldás:

Számos különböző megoldás létezik.a) Például A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 5, 6}.

b) Például A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {4, 5, 6}.

c) Például A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Szerk

eszt

és a

latt

161

ÖSSZEFOGLALÁS 9.10 Hány részre vágja az egyenest az egyenesre illeszkedő három pont? Mi a kapott részek neve?

Megoldás:

A három pont az egyenest négy részre vágja: két szakaszra és két félegyenesre.

11 Rajzolj négy pontot úgy, hogya) egy egyenesre illeszkedjenek;b) semelyik három ne legyen egy egyenesen;c) pontosan három illeszkedjen egy egyenesre!

Megoldás:

a)       b)       c) 

12 Hány részt kaphatnál, ha a képen látható tortáta) két sík mentén;   b) három sík mentén szétvágnád?

Megoldás:

a) Három részt kapunk, ha a két sík párhuzamos és négy részt, ha a két sík metsző.b) Ha a három sík párhuzamos egymással, akkor négy részt kapunk. Ha két sík párhuzamos, és a har-

madik nem, akkor négy, öt és hat részre is vághatjuk a tortát. Ha semelyik két sík nem párhuzamos egymással, akkor akár nyolc részt is kaphatunk.

13 A képen egy tömb sajtot szemléltetünk, amelynek levágták egy sík mentén az egyik sarkát.a) Hány csúcsa, éle, lapja van a kisebbik levágott testnek?b) Hány csúcsa, éle, lapja van a nagyobbik levágott testnek?c) Hány átlója van a kisebbik levágott test lapjainak?

Megoldás:

a) A levágott testnek négy csúcsa, hat éle és négy lapja van.b) A nagyobbik levágott testnek 10 csúcsa, 15 éle és 7 lapja van.c) A kisebbik levágott test lapjai háromszögek, ezért nincsen átlójuk.

14 Rajzold le azokat a nyomtatott nagybetűket, amelyek segítségével szemléltetheted aa) párhuzamos szakaszokat; b) merőleges szakaszokat!

Megoldás:

a) E, F, H, M, N, W, Z;b) E, F, H, L, T.

Szerk

eszt

és a

latt

162

ÖSSZEFOGLALÁS9.15 A képen egy test élvázát látod. Add meg azokat az éleket, amelyeka) az AB éllel párhuzamosak; b) az AB élre merőlegesek;c) az AB élhez képest kitérők; d) az AD éllel párhuzamosak!

Megoldás:

a) DE;  b) AD, BE, CF;  c) CF, DF, EF;  d) BE, CF.

16 Igazak-e a következő állítások?a) Az ötszögnek öt csúcsa van.b) Van olyan sokszög, amelyiknek nincs átlója.c) A hatszögeknek hat oldala van.d) Egy sokszögnek ugyanannyi csúcsa van, mint oldala.

Megoldás:

a) Igaz    b) Igaz    c) Igaz    d) Igaz

17 Rajzolj a füzetedbe vonalzó és szögmérő segítségével 70°-os, 110°-os, 160°-os, 195°-os, 280°-os szöget!

Megoldás:

A

B

C

D

E

F

Szerk

eszt

és a

latt

163

ÖSSZEFOGLALÁS 9.18 Ossz fel a füzetedben vonalzó és szögmérő segítségével egy 360°-os szögeta) négy darab 90°-os szögre;b) egy 45°-os, két 90°-os és egy 135°-os szögre;c) 45°-os szögekre;d) egy 210°-os szögre, a maradékot pedig 30°-os szögekre! Hány 30°-os szöget kaptál?

Megoldás:

a) b)

c) d)

19 A boltban szeletelt kenyeret vettünk. Összesen 16 szelet volt a zacskóban.a) Hány vágás kellett ehhez?b) Milyen helyzetűeknek tekinthetők ezek a vágások?

Megoldás:

a) 15 vágás kellett ehhez.b) A vágások párhuzamosnak tekinthetők.Sze

rkes

ztés

ala

tt

164

ÖSSZEFOGLALÁS9.20 Egy kockát három sík mentén kis kockákra vágtunk szét.a) Milyen helyzetűek ezek a síkok egymáshoz képest?b) Hány kis kockát kaptunk így összesen?

Megoldás:

a) A síkok merőlegesek.b) Nyolc kiskockát kaptunk.

21 Igazak-e a következő állítások?a) Egy egyenesen lévő 2 különböző pont 3 részre osztja az egyenest.b) Egy síkban lévő 2 különböző egyenes 3 részre osztja a síkot.c) Egy síkban lévő 2 párhuzamos egyenes 3 részre osztja a síkot.d) A térben lévő 2 különböző egyenes mindig metszi egymást.e) A térben lévő 2 különböző egyenes sohasem metszi egymást.f) Minden négyzet téglalap.g) Minden téglalap négyzet.h) Nincs olyan téglalap, amelyik négyzet.i) Ha a téglalap minden oldala ugyanolyan hosszúságú, akkor az négyzet.j) Ha a téglalap két átlója merőleges egymásra, akkor az négyzet.k) Van olyan négyzet, amelynek az átlói különböző hosszúságúak.l) Ha egy négyszögben minden szomszédos oldal merőleges egymásra, akkor az négyzet.

Megoldás:

a) Igaz b) Hamis c) Igaz d) Hamise) Hamis f) Igaz g) Hamis h) Hamisi) Igaz j) Igaz k) Hamis l) Hamis

Szerk

eszt

és a

latt

III. Mérés és mértékegységek

– Emlékszel, amikor még a Jupiternél jártunk? – fordult Gerzson Bertához. – Akkor voltunk legtávolabb otthonról. Úgy körülbelül ötször olyan messze a Naptól, mint a Földön. – Vagyis öt csillagászati egységre – kotyogott közbe Okoska. – Mondhattam volna én is, de nem akartam hasonlítani rád.A másik nem zavartatta magát:– Tudjátok, egy csillagászati egység az a körülbelüli Nap-Föld távolság, és a Jupiter ötször távolabb van a Naptól, mint a Föld. Hm, várjatok, megnézem a hajó wikikompján. – Önelégült mosoly terült el az arcán. – Jól mondtam! A Jupiter körülbelül 780 000 000 kilométerre van a Naptól, a Föld pedig kb. 150 000 000 kilométerre, az annyi, mint … 5,2-szeres távolság.– Tudod ugyanezt fénypercekben is? – kérdezte huncut mosollyal Berta, de Okoska nem vette a lapot.– Hát persze. A fény 300 000 kilométert tesz meg 1 másodperc alatt, úgyhogy …, ha jól számolom, 780000000

300000 = 2600 másodperc, vagyis 43,33 perc kell a fénynek, amíg elér a Naptól a Jupiterig.

Mire Okoska felnézett a képernyőről, Gerzson és Berta már odébbálltak, és ez elég volt ahhoz, hogy fény-évekre érezzék magukat.

Szerk

eszt

és a

latt

166

A HOSSZÚSÁG MÉRÉSE1.Feladatok1 Gyűjtsetek a padtársaddal közösen olyan távolságokat, amelyeket kilométer-, méter-, centiméter-, milliméter-pon-tossággal adnátok meg!

Megoldás:

Néhány példa: kilométerben a repülőút hosszát, az autó által megtett út hosszát mérjük. Méterben adjuk meg egy épület magasságát, úszómedence hosszát, lőtávolságot, alagutak hosszát. Centiméter pontos-sággal az emberek magasságát, ruha hosszát, pizza méretét, folyó vízállását mérjük. Milliméter pontos-ságot a leesett csapadék mérésénél, építészeti tervezéseknél, nagy pontosságot igénylő tervezéseknél használunk.

Természetesen minden, a gyerekek által gyűjtött, említett helyes példa jó lehet. Ezek ellenőrzése, megbe-szélése tanári feladat.

2 Először becsüld meg, majd mérd meg a matematikakönyved szélességét, magasságát és vastagságát milliméter pontossággal! Hány millimétert tévedtél az egyes becsléseknél?

Megoldás:

Szélessége: 205 mm,magassága: 275 mm,vastagsága:  10 mm.

Kivonással mindenki megkaphatja ezekhez képest a becslései eltérését.

3 Az iskolaudvar szélességéről megállapították, hogy 25 m-nél nagyobb, de 26 m-nél kisebb. Írjuk le ezt a megállapítást matematikai jelekkel! Ha ez a szélesség közelebb van a 25 m-hez, akkor ezt hogyan írhatjuk le?

Megoldás:

Legyen az iskolaudvar szélessége x.

Ekkor 25 < x < 26, illetve 25 < x < 25,5 (vagy 25 és fél vagy 2512) a helyes matematikai jelölések. (Ez utóbbi

esetben mondhatjuk, hogy az udvar szélessége kb. 25 méter.)

4 Péter pohara majdnem 2 dm magas, Pál pohara milliméter-pontossággal 210 mm. Mennyivel lehet Pál pohara magasabb, mint Péteré?

Megoldás:

2 dm = 200 mm, ezért Pál pohara biztosan legalább 210 – 200 = 10 milliméterrel magasabb Péter poharánál.Sze

rkes

ztés

ala

tt

167

A HOSSZÚSÁG MÉRÉSE 1.5 Nézz utána, és írd össze, hogy a futók milyen távokat futnak az atlétikaversenyeken! Melyik mérték egységet használjuk ezek megadásakor?

Megoldás:

Ezen távok megadásánál a méter mértékegységet használjuk. A szabadtéri síkfutás versenyszámok a következők:• Rövidtáv: 100 m, 200 m, 400 m;• Középtáv: 800 m, 1500 m;• Hosszútáv: 5000 m, 10 000 m, maratoni táv, ami 42 195 m (kerekítve 42,2 km);• Váltófutás: 4 × 100 m, 4 × 400 m.Gátfutó számok még a 110 m (nőknél 100 m), a 400 m és a 3000 méteres akadályfutás.

6 Keressetek olyan távolságokat, amelyeka) nem hosszabbak, mint 3 láb; b) 1 hüvelyknél hosszabbak, de 1 lépésnél nem!

Megoldás:

A tankönyvi szemléltető ábra alapján, vagy más forrásból utána járhatunk, hogy1 hüvelyk = 2,54 cm,1 láb ≈ 0,3 m,1 lépés ≈ 76 cm.

Természetesen a testrészekkel kifejezett mértékegységek nagyon sok esetben csak közelítő értékek.a) 3 láb körülbelül 100 cm, ennél kisebb távolságok: fejméret, cipőméret, újszülött hossza, széklábak

távolsága, palacsinta átmérője stb.b) Vagyis 2,54 cm-nél hosszabb, de kb. 76 cm-nél nem hosszabb távolságokat kell megadni. Ilyen távolsá-

gok: ceruza, tolltartó, füzet, hajpánt, karkötő, útlevél, igazolvány, távirányító stb.

7 Az iskolai focicsapatban Zsolt 26 m-re tudja elrúgni a labdát, Gedeon 29 m-re, Viktória pedig 27 m-re. Jack azt mondja, hogy ő 30 yardra tudja elrúgni a labdát (1 yard körülbelül 91,5 cm).Sorba állítottuk a gyerekeket aszerint, hogy ki milyen messze tudja rúgni a labdát. Melyik lehet a meg-adottak közül a helyes sorrend?a) Zsolt < Viktória < Gedeon < Jack b) Jack > Gedeon > Viktória > Zsoltc) Zsolt < Viktória < Jack < Gedeon d) Viktória < Zsolt < Gedeon < Jack

Megoldás:

Jack rúgásának hossza: 30 yard = 30 ⋅ 91,5 cm = 2745 cm = 27,45. Ezek alapján Zsolt rúgja a legkisebbet, utána jön Viktória, Jack, végül Gedeon rúgja legmesszebbre a labdát. A helyes válasz a c).

8 Szerinted hány éves lehet az a leckében szereplő fiú, aki széttárt karokkal 1 métert tud megmutatni? Fiatalabb nálad?

Megoldás:

A saját széttárt karjához viszonyíthat minden tanuló. Természetesen ezek alapján csak annyit mondha-tunk, hogy valószínűleg fiatalabb a képen látható fiú, mint egy ötödikes.

Szerk

eszt

és a

latt

168

Feladatok1 Hány milliméter a téglalapok kerülete? Mérj és számolj!

a) b)

Megoldás:

a) A téglalap két oldalának hossza 40 mm és 18 mm, tehát a kerülete K = (40 + 18) ∙ 2 = 58 ∙ 2 = 116 (mm).b) A téglalap két oldalának hossza 50 mm és 16 mm, tehát a kerülete K = (50 + 16) ∙ 2 = 66 ∙ 2 = 132 (mm).Pár milliméter eltérés a mérés során természetes, elfogadható.

2 Hány cm a négyzetek kerülete? Mérj és számolj!

a) b) c) d)

Megoldás:

a) A négyzet oldalának hossza 20 mm, tehát a kerülete K = 4 ∙ 20 = 80 (mm), azaz 8 cm.b) A négyzet oldalának hossza 16 mm, tehát a kerülete K = 4 ∙ 16 = 64 (mm), azaz 6,4 cm.c) A négyzet oldalának hossza 13 mm, tehát a kerülete K = 4 ∙ 13 = 52 (mm), azaz 5,2 cm.d) A négyzet oldalának hossza 24 mm, tehát a kerülete K = 4 ∙ 24 = 96 (mm), azaz 9,6 cm.Pár milliméter eltérés a mérés során természetes, elfogadható. Az egyes kerületek körülbelül 8, 6, 5 és 10 cm hosszúak.

3 Mekkora a téglalap kerülete, ha két szomszédos oldalának hosszaa) 16 cm és 45 cm; b) 0,72 m és 81 cm?

Megoldás:

Számolás előtt váltsuk át azonos mértékegységre a két oldal hosszát.a) k = 2 ⋅ (16 + 45) = 2 ⋅ 61 = 122 (cm). b) k = 2 ⋅ (72 + 81) = 2 ⋅ 153 = 306 (cm).

4 Számítsd ki a négyzet oldalának hosszát, ha kerületea) 32,2 dm; b) 36,96 m; c) 342 mm; d) 558 m!

Megoldás:

a) 32,2 : 4 = 8,05 (dm). c) 342 : 4 = 85,5 (mm).b) 36,96 : 4 = 9,24 (m). d) 558 : 4 = 139,5 (m).

TÉGLALAP, NÉGYZET KERÜLETE2.

Szerk

eszt

és a

latt

169

TÉGLALAP, NÉGYZET KERÜLETE 2.5 Igaz-e?a) Ha a téglalap rövidebb oldalainak hosszát duplázzuk, hosszabb oldalainak hosszát pedig felezzük, akkor a kerülete nem változik.b) Ha a négyzet kerülete a felére csökken, akkor az oldalak hossza is a felére csökken.c) Ha a négyzet oldalainak hosszát megduplázzuk, akkor a kerülete is megduplázódik.d) Ha a téglalap egyik oldalát 5 cm-rel növeljük, a másik oldalát 5 cm-rel csökkentjük, akkor a kerülete nem változik.

Megoldás:

a) Hamis, mert például ha egy téglalap oldalai 1 cm és 10 cm hosszúak, akkor: 2 ⋅ (1 + 10) = 22 ≠ 14 = 2 ⋅ (2 + 5).

b) Igaz.c) Igaz.d) Igaz.

6 Ádám és Éva rajzolt egy-egy négyzetet a táblára. Éva négyzeté-nek oldala 2 cm-rel hosszabb volt, mint Ádámé. Mennyivel nagyobb Éva négyzetének kerülete Ádám négyzetének kerületénél?

Megoldás:

Éva négyzete oldalanként 2 centiméterrel hosszabb Ádáménál, tehát a kerülete 4 ⋅ 2 = 8 centiméterrel hosszabb.

7 Számítsd ki a téglalap egyik oldalának hosszát, ha ismert a másik oldalának hossza és a kerülete!a) 11 cm és 52 cm b) 27 mm és 16 cm

Megoldás:

A megadott adatok közül a nagyobb a kerület, a kisebb pedig az adott oldal hossza, hiszen a kerület min-dig hosszabb egy oldalnál.Gondolkozzunk visszafelé! Az ismeretlen oldal hosszának kétszeresét megkapjuk, ha kerületből kivonjuk az ismert oldal hosszának kétszeresét. Ezután már csak meg kell felezni a kapott értéket. a) (52 – 22) : 2 = 30 : 2 = 15 (cm) a másik oldal hossza.b) (16 – 5,4) : 2 = 10,6 : 2 = 5,3 (cm) a másik oldal hossza. Természetesen lehet mm-ben is számolni, ha el

akarjuk kerülni a tizedes törteket.

Szerk

eszt

és a

latt

170

TÉGLALAP, NÉGYZET KERÜLETE2.8 Évi megnyerte az iskolai szavalóversenyt, ezért egy szép könyvet kapott. A könyvet becsomagoltuk, és körül is kötöttük az ábrán látható módon. Ha a masnira 60 cm szalag maradt, akkor hány cm szalagot vettünk összesen?

Megoldás:

A szalag hossza:4 ⋅ 2 + 2 ⋅ 16 + 2 ⋅ 24 + 60 = 8 + 32 + 48 + 60 = 148 (cm).

2 cm

24 cm16 cm

Szerk

eszt

és a

latt

171

A TERÜLET MÉRÉSE 3.Feladatok1 Gondold át az alábbi lefedési feladatokat! Ha kell, darabold fel az alakzatokat!a) Hány piros négyzettel lehet lefedni az alakzatokat? b) Hány zöld négyzettel lehet lefedni az alakzatokat?c) Hányszor annyi zöld négyzet kell egy-egy alakzat lefedéséhez, mint piros?d) Rendezd az alakzatokat területük mérete szerint! Kezdd a legkisebbel!

I.

II. III.

IV.

V.

Megoldás:

I. II. III. IV. V.a) piros négyzettel fedés 7 6 1 2 8b) zöld négyzettel fedés 28 24 4 8 32c) hányszoros 4 4 4 4 4

d) III. < IV. < II. < I. < V.

2 Add meg négyzetmilliméterben!a) 8 cm2 b) 10 cm2 c) 0,3 cm2 d) 8,4 cm2

e) 22 cm2 f) 34 dm2 g) 0,4 dm2 h) 0,005 m2

Megoldás:

a) 800 mm2 b) 1000 mm2 c) 30 mm2 d) 840 mm2

e) 2200 mm2 f) 340 000 mm2 g) 4000 mm2 h) 5000 mm2

3 Add meg négyzetcentiméterben!a) 310 mm2 b) 6 mm2 c) 75 mm2 d) 8200 mm2

e) 70 dm2 f) 1,9 dm2 g) 0,8 dm2 h) 0,002 dm2

Megoldás:

a) 3,1 cm2 b) 0,06 cm2 c) 0,75 cm2 d) 82 cm2

e) 7000 cm2 f) 190 cm2 g) 80 cm2 h) 0,2 cm2

Szerk

eszt

és a

latt

172

A TERÜLET MÉRÉSE3.4 Add meg négyzetdeciméterben!a) 540 cm2 b) 5,6 cm2 c) 53 cm2 d) 1300 cm2

e) 15 cm2 f) 0,006 m2 g) 1,6 m2 h) 0,0036 m2

Megoldás:

a) 5,4 dm2 b) 0,056 dm2 c) 0,53 dm2 d) 13 dm2

e) 0,15 dm2 f) 0,6 dm2 g) 160 dm2 h) 0,36 dm2

5 Add meg négyzetméterben!a) 70 000 cm2 b) 9100 cm2 c) 75 dm2 d) 600 dm2

e) 1 km2 f) 11 km2 g) 0,6 km2 h) 0,09 km2

Megoldás:

a) 7 m2 b) 0,91 m2 c) 0,75 m2 d) 6 m2

e) 1 000 000 m2 f) 11 000 000 km2 g) 600 000 km2 h) 90 000 km2

6 Egy 360 hektáros föld 1,2 km2-es részén kukoricát, felén búzát, a többi részen pedig burgonyát ter-melnek. Szemléltesd rajz segítségével a feladatot! Hány négyzetméteren ültettek burgonyát?

Megoldás:

A burgonya ültetésére 360 – 120 – (360 : 2) = 360 – 120 – 180 = 60 hektárnyi terület marad. Mivel 1 hektár az egy 100×100 méteres, tehát 10 000 m2-es terület, ezért 60 ha = 600 000 m2. 600 000 m2-en ültettek burgonyát.Szemléltetés:

Szerk

eszt

és a

latt

173

7 Magyarország tájegységeinek adatait kutatva a következő szöveget találtuk az Alföldről:A Duna középső szakaszának legnagyobb meden-céje, és hazánk legnagyobb tájegysége. Területe 50 000 km2. Északon az Északi-középhegység, kele-ten és délen az országhatár, nyugaton a Dunán-túli-középhegység határolja. Az Alföld kiemelkedő pontjai: a Kő-hegy (228 m), a Szár-hegy (227 m), az Ólom-hegy (172 m), a Hoportyó (183 m). Leg-mélyebb pontja Gyálarétnél 75,5 m. (Bozó András Magyarország természetjáró földrajza összefogla-lója alapján)A szöveg alapos tanulmányozása után válaszolj a kérdésekre!a) Kevesebb vagy több mint felét foglalja el az Alföld Magyarország területének?b) Rakd növekedő sorrendbe az Alföld kiemelkedő pontjait!c) Mennyivel magasabb a Kő-hegy a felsorolt magaslatok leg ala csonyabbjánál?d) Mekkora a szintkülönbség Gyálarét és a Kő-hegy között?e) Lehet-e nagyobb az Alföldnél az Északi-középhegység és a Dunántúli-középhegység együttes területe?

Megoldás:

a) Magyarország területének több mint felét foglalja el az Alföld.b) A helyes sorrend: Ólom-hegy (172 m), Hoportyó (183 m), Szár-hegy (227 m), Kő-hegy (228 m).c) A legalacsonyabb magaslat az Ólom-hegy. A Kő-hegy 228-172=56 méterrel magasabb az Ólom-hegynél.d) 228 – 75,5 = 152,5 méter.e) Mivel az Alföld az ország területének több, mint a felét elfoglalja, ezért lehetetlen, hogy más tájegysé-

gek együttes területe nagyobb legyen nála.

8 Pista bácsi háromnyomásos gazdálkodást folytatott az 1800 négyszögöles földjén. Hány hektáron vetett búzát? Ha valamelyik fogalmat nem ismered, nézz utána az interneten!Mit gondolsz, honnan származik a négyszögöl mértékegység?

Megoldás:

1800 négyszögöl harmada 600 négyszögöl. 1 négyszögöl ≈ 3,6 m2, akkor 600 négyszögöl az 600 ∙ 3,6 = = 2160 m2 = 0,216 hektár. Pista bácsi kb. 0,2 hektáron vetett búzát. A négyszögöl egy akkora négyzetnek a területe, melynek egy oldal 1 öl hosszú. 1 öl volt az a hosszúság, amelyet egy felnőtt ember a két kiterjesztett karjával átér, nagyjából 1,9 méter.

A TERÜLET MÉRÉSE 3.

Szerk

eszt

és a

latt

174

TÉGLALAP, NÉGYZET TERÜLETE4.Feladatok1 A 3. lecke 1. példájában a zöld és a rózsaszínű burkolólapok is 50 cm × 50 cm-es négyzetek.a) Hány lappal lehet lefedni 1 m2 területet?b) Hány lappal van lefedve és hány négyzetméter a konyha?c) Hány lappal van lefedve és hány négyzetméter a folyosó?d) Hány négyzetméterrel nagyobb a folyosó, mint a konyha?

Megoldás:

a) 4 dbb) 12 lappal van lefedve, és 12 : 4 = 3 m2-es a konyha.c) 20 lappal van lefedve és 20 : 4 = 5 m2-es a folyosó.d) 5 m2 – 3 m2 = 2 m2-rel.

2 Számítsd ki a téglalap területét, ha oldalainak hosszaa) 82 cm és 31 cm; b) 210 mm és 871 mm;c) 20 cm és 11 dm; d) 0,012 km és 120 dm!

Megoldás:

a) T = 2542 cm2 b) T = 182 910 mm2

c) T = 22 dm2 d) T = 144 m2

3 Számítsd ki a téglalap ismeretlen oldalának hosszát, ha ismert oldalának hosszaa) 13 cm és területe 312 cm2; b) 28 mm és területe 868 mm2;c) 15 cm és területe 3 dm2; d) 44 mm és területe 11 cm2.

Megoldás:

a) 24 cm b) 31 mmc) 20 cm d) 25 mm

4 Mekkora a négyzet területe, ha kerületea) 356 cm; b) 4000 mm?

Megoldás:

a) T = (356 : 4) ⋅ (356 : 4) = 89 ⋅ 89 = 7921 (cm2)b) T = (4000 : 4) ⋅ (4000 : 4) = 1000 ⋅ 1000 = 1 000 000 (mm2)

5 Egy 22 méter széles, 35 méter hosszú, téglalap alakú telekre egy 9 méter széles, 12 méter hosszú házat építenek.a) Mekkora részt foglal el a ház a telekből?b) Mekkora lesz a ház körüli udvar?

Megoldás:

a) 108 négyzetmétert foglal el.b) 22 ⋅ 35 – 108 = 662 (m2).

Szerk

eszt

és a

latt

175

TÉGLALAP, NÉGYZET TERÜLETE 4.6 Egy téglalap kerülete 18 cm.a) Megmondható-e, hogy mekkora területe?b) Elképzelhető, hogy 20 cm2 a területe?c) Elképzelhető, hogy csak 8 cm2 a területe?

Megoldás:

a) Nem tudjuk megmondani. Lehet például 8 cm2 és 14 cm2 is.b) Elképzelhető, ha az oldalai 4 és 5 cm hosszúak.c) Elképzelhető, ha az oldalai 1 és 8 cm hosszúak.

7 Egy golyóstoll csomagolásán a következő szöveg található: „Hazánk-ban 1966 óta sikeresen gyártott modell, írás hossza 8000 méter.”a)  Hányszor másolhatjuk le az ábrán látható sokszög határvonalát

ezzel a tollal?b)  Hány km2 területű a legnagyobb négyzet, amit rajzolhatnánk ezzel

a golyóstollal?c)  Nézz utána, hogy kinek a találmánya a go lyós toll!

Megoldás:

a) A sokszög minden oldala 1 cm hosszú, ezért a kerülete 20 cm. 8000 m = 800 000 cm. 800000 : 20 = 40 000, vagyis ennyiszer másolhatjuk le az ábrát.b) 8000 m = 8 km, 8 : 4 = 2. Vagyis 2 km oldalhosszúságú a legnagyobb négyzet, amit rajzolhatunk, ennek

területe pedig 4 km2.c) Bíró László József.

Szerk

eszt

és a

latt

176

TÉGLATEST, KOCKA5.Feladatok1 Hány párhuzamos és hány merőleges lappárja van a téglatest alakú tanteremnek?

Megoldás:

Téglatest alakú tanteremben három párhuzamos lappárt figyelhetünk meg. Az egyik a padló és a mennye-zet, a második pár a jobb és baloldali fal, a harmadik pár pedig az első és a hátsó fal.A tanterem minden oldallapjának merőleges lappárja a vele közös éllel rendelkező lapok, például a padló-nak és a mennyezetnek a négy oldalfal merőleges lappárja. Összesen 12 merőleges lappárja van.

2 Keress a lakásotokban merőleges síkokat!

Megoldás:

Néhány példa: padló és az oldalfalak, asztallap és oldallapja, széktámla és ülőrész, tükör és polc, szekrény-ajtó és polc, szekrényajtó és padló. Természetesen előfordulhatnak eltérések egyes esetekben, illetve más példák is tökéletesek lehetnek.

3 Egy téglatest alakú fagyitortát két merőleges sík mentén egyforma darabokra vágtunk. Hány rész keletkezett?

Megoldás:

4 db

4 A téglatest alakú sajtot 10 párhuzamos sík mentén feldaraboltuk. Hány részre vágtuk összesen?

Megoldás:

11 részre vágtuk.

5 Hány lapátlója van egy téglatestnek? Nevezd el a csúcsokat, és sorold fel a lapátlókat!

Megoldás:

Minden téglatestnek laponként kettő, azaz összesen 12 lapátlója van. A tankönyv 175. oldalán látható betűzött téglatest jelöléseit használva a lapátlók: AC, BD, AF, BE, AH, DE, DG, CH, BG, CF, EG, FH.

6 Hány egyenest határoz meg a téglatest 8 csúcsa?

Megoldás:

Egy olyan egyenes, amely a téglatest két csúcsán keresztülhalad az él, vagy lapátló, vagy testátló lehet. Tudjuk, hogy a téglatestnek 12 éle, 12 lapátlója és 4 testátlója van, ezért a 8 csúcs által meghatározott egyenesek száma 28.Sze

rkes

ztés

ala

tt

177

TÉGLATEST, KOCKA 5.7 Igazak-e a következő állítások?a) Van olyan téglatest, amelyik kocka.b) Minden kocka téglatest.c) Ha egy téglatestnek van három négyzetlapja, akkor az kocka.d) Ha egy téglatestnek van két négyzetlapja, akkor az kocka.e) Egy téglatestnek nem lehet pontosan négy lapja négyzet.

Megoldás:

a) Igaz (az, amelyiknek minden éle egyenlő hosszúságú).b) Igaz.c) Igaz.d) Hamis (lehet négyzetes oszlop).e) Igaz (akkor már mindegyik lapja négyzet).

8 Színezd ki egy téglatest csúcsait úgy, hogy minden élnek különböző színű legyen a két vége! Törekedj arra, hogy kevés színt használj! Hány színnel sikerült megoldanod a színezést?

Megoldás:

A színezéshez két szín használata is elegendő.

9 Hány különböző alakú tömör téglatest építhető 6 darab egyforma kockából?

Megoldás:

Kétféle téglatest építhető.

10 Rajzold le annak a téglatestnek a hálózatát, amely két darab 2 cm-es élű kockára vágható szét!

Megoldás:

Szerk

eszt

és a

latt

178

TÉGLATEST, KOCKA5.11 Az asztalon lévő téglatest alakú dobozoknak összeszámoltuk az éleit és a csúcsait. Ha ezek száma összesen 120, akkor hány doboz van az asztalon?

Megoldás:

Egy téglatestnek 8 csúcsa és 12 éle van, azaz összesen 20 csúcsa és éle van. Mivel a 120 a 20-nak a hatszo-rosa, ezért hat doboz van az asztalon.

12 Egy szabályos dobókockán a szemben lévő lapokon lévő pöttyök összege mindig hét. Melyik hálóból lehet szabályos dobókockát hajtogatni?a) b) c)

Megoldás:

a) Igen b) Igen c) Igen

Szerk

eszt

és a

latt

179

TÉGLATEST, KOCKA FELSZÍNE 6.Feladatok1 Mekkora a téglatest felszíne, ha az egy csúcsba futó éleinek hosszaa) 34 mm, 19 mm, 6 mm; b) 45 cm, 20 cm, 14 cm;c) 0,5 m, 2,1 dm, 32 cm; d) 160 mm, 8 cm, 0,11 m?

Megoldás:

a) 1928 mm2. b) 3620 cm2.c) 6644 cm2. d) 784 cm2.

2 Mekkora a kocka felszíne, ha egy élének hosszaa) 24 mm; b) 35 cm; c) 121 cm; d) 0,5 m?

Megoldás:

a) 3456 mm2. b) 7350 cm2. c) 87 846 cm2. d) 1,5 m2.

3 Milyen hosszú lehet a kocka éle?a) A = 600 cm2 b) A = 384 dm2 c) A = 864 mm2 d) A = 1,5 m2

Megoldás:

a) Egy lap területe 600 : 6 = 100 cm2, ez úgy lehet, ha a kocka éle 10 cm hosszú.b) Egy lap területe 384 : 6 = 64 dm2, ez úgy lehet, ha a kocka éle 8 dm hosszú.c) Egy lap területe 864 : 6 = 144 mm2, vagyis a kocka éle 12 mm hosszú.d) Egy lap területe 1,5 : 6 = 0,25 m2, vagyis a kocka éle 0,5 m hosszú.

4 Képzelj el egy 9000 km élű kockát! Hasonlítsd össze felszínének nagyságát a Föld felületének nagysá-gával! (A Föld felülete körülbelül 510 millió km2.) Használj számológépet!

Megoldás:

A kocka felszíne 9000 · 9000 · 6 = 486 000 000 km2, ez 510 – 486 = 24 millió négyzetkilométerrel keve-sebb, mint a Föld felülete.

5 Vegyük a Hold felszínét 37 500 000 km2-nek (ennél valójában egy kicsit nagyobb). Mekkora kockának lenne ugyanekkora a felszíne? Próbálgass, használj számológépet!

Megoldás:

A kocka egy lapjának területe 37 500 000 : 6 = 6 250 000 = 2500 · 2500. Tehát egy 2500 km élű kockának lenne ugyanekkora a felszíne.

6 Mekkora a kocka felszíne, ha az éleinek a hossza összesen 312 cm?

Megoldás:

A kockának 12 éle van, ezért egy élének a hossza 312 : 12 = 26 cm. A felszíne 4056 cm2.

Szerk

eszt

és a

latt

180

TÉGLATEST, KOCKA FELSZÍNE6.7 Dobókockáink oldallapjai 1 cm2 területűek. a) Mekkora felszínű téglatest rakható ki 2 darab dobókockából?b) Mekkora felszínű téglatest rakható ki 4 darab dobókockából?c) Mekkora felszínű téglatest rakható ki 15 darab dobókockából?

Megoldás:

a) Egyféle téglatestet tudunk kirakni, ennek élei 1, 1 és 2 cm hosszúak. Felszíne 10 cm2. Úgy is gondolkozhatunk, hogy 1 kocka felszíne 6 cm2, és ha két lapot összeragasztunk, akkor a felszín

2 ∙ 6 – 2 = 10 (cm2) lesz.b) Kétféle téglatestet tudunk kirakni, ezek élei 1, 1 és 4 cm, illetve 1, 2 és 2 cm hosszúak. Felszínük 18 cm2

és 16 cm2. Úgy is gondolkozhatunk, hogy 4 kocka felszíne 24 cm2, és ha 3, illetve 4 lapot összeragasztunk, akkor a

felszín 3 ∙ 2 = 6, illetve 4 ∙ 2 = 8 (cm2)-rel lesz kevesebb.c) Most is kétféle téglatestet tudunk kirakni, ezek élei 1, 1 és 15 cm, illetve 1, 3 és 5 cm hosszúak. Felszí-

nük 62 cm2, illetve 46 cm2.

8 Egy 256 cm2 felszínű téglatestnek van 12 cm és 4 cm hosszúságú éle is. Mekkora a harmadik él hossza?

Megoldás:

Az adatok alapján két lap területösszege meghatározható: 96 cm2. A további négy téglalap területösszege ezek alapján 256 – 96 = 160 (cm2). A négy téglalap egymás mellé rajzolható egy nagy téglalappá:

Ennek a vízszintes oldala 12 + 4 + 12 + 4 = 32 (cm).Vagyis a harmadik él hossza 5 cm.

9 A képen látható Rubik-torony tizenhat kis „kockából” áll. A torony felszíne 193,6 cm2.a) Milyen magas a torony?b) Mekkora a látható kis kék lap területe?c) Mekkora lenne egy kis kocka felszíne?

Megoldás:

a) Ha a torony felszínének vesszük a felét, majd a 65

részét, akkor egy 2 ∙ 2 ∙ 2-es Rubik-kocka felszínét

kapjuk, ami 116,16 cm. Ennek a hatoda lesz egy ilyen Rubik-kocka egyik oldallapjának a területe, ami 19,36. Egy ilyen négyzetnek az oldala hosszabb, mint 4 cm. Találgatással megkapható, hogy 4,4 cm.

A toronymagassága ennek a kétszerese, vagyis 8,8 cm.b) Mivel 40 db kis négyzetlap számolható meg az oszlop felületén, ezért egy ilyen négyzetlap, például a

kék lap területe: 193,6 : 40 = 4,84 (cm2). (Természetesen az előző megoldás eredményeit is használhatjuk. Például: 19,36 : 4 = 4,84.) c) Egy kis kocka éle a torony magasságának a negyede, azaz 2,2 cm. A felszíne: 6 ∙ 2,2 ∙ 2,2 = 29,04 (cm2).

Szerk

eszt

és a

latt

181

10 A 6 cm élű kockának vagy a 4 cm, 6 cm és 9 cm élű téglatestnek nagyobb a felszíne?

Megoldás:

A 6 cm élű kocka felszíne A = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216 (cm2).Az adott téglatest felszíne A = (4 ∙ 6 + 4 ∙ 9 + 6 ∙ 9) ∙ 2 = (24 + 36 + 54) ∙ 2 = 114 ∙ 2 = 228 (cm2). A téglatest felszíne egy kicsit nagyobb.

11 Marci a téglatest hálóján nem az éleket mérte meg, de szerencsére megjelölte a megmért távolságo-kat. Ki lehet számolni a téglatest felszínét a Marci által megadott adatokból? Ha igen, akkor számold ki a téglatest felszínét!

14 cm

36 cm

8 cm

Megoldás:

Határozzuk meg következtetéssel a téglalapok oldalainak hosszát. A téglatest lapjairól, mint kék, zöld és szürke lapokról fogunk beszélni. Ismert egy él, hossza 8 cm. Ez az él a zöld lapnak is éle, tehát a szürke oldallap magassága 14 – 8 = 6 (cm). A szürke oldallap szélessége 36 – 2 ∙ 8 = 20 (cm). A téglalap egy csúcs-ból induló három éle tehát 6 cm, 8 cm és 20 cm hosszú.Felszíne A = (6 ∙ 8 + 6 ∙ 20 + 8 ∙ 20) ∙ 2 = (48 + 120 + 160) ∙ 2 = 328 ∙ 2 = 656 (cm2).

TÉGLATEST, KOCKA FELSZÍNE 6.

Szerk

eszt

és a

latt

182

A TÉRFOGAT MÉRÉSE7.Feladatok1 Az ötödikes Peti mellett megállt Juci, az elsős kishúga, és kibetűzte Peti könyvéből a következő szót: ŰRTARTALOM, majd boldogan felkiáltott, hogy ő tudja mi az. Mi az? – kérdezett vissza Peti. Juci boldogan sorolni kezdte, hogy az űrben lévő tartalom például a Nap meg a Hold meg a csillagok. Fogalmazd meg a saját szavaiddal az „űrtartalom” szó jelentését úgy, hogy egy elsős is megértse!

Megoldás:

Egyéni megoldások

2 6 db egységnyi térfogatú kis kockából építs minél többféle alakzatot úgy, hogy a kockák oldalaikkal érintkezzenek egymáshoz! Egy-egy alakzathoz mind a hat kockát használd fel!a) Rajzold le ezeket a füzetedbe!b) Melyik építménynek a legnagyobb a térfogata?

Megoldás:

a) Egyéni megoldások, például

b) Minden építmény térfogata 6 egység.

3 Számold meg, hány kis kockából állnak a tömör épít-mények! Számítsd ki a testek térfogatát, ha tudod, hogy egy kis kocka térfogata 1 cm3!

Megoldás:

a) 15 db, 15 cm3   b) 28 db, 28 cm3

4 Zoé szobájában az ajtó 80 cm széles és 210 cm magas. Beférnek-e az alábbi bútorok az ajtón, és ha igen, hogyan?a) Az ágy szélessége 90 cm, magassága 50 cm, hosszúsága 200 cm.b) Az íróasztal szélessége 70 cm, magassága 70 cm, hosszúsága 115 cm.c) A ruhásszekrény szélessége 90 cm, magassága 200 cm, mélysége 85 cm.d) A kedvenc bekeretezett festményük szélessége 215 cm, magassága 215 cm, vastagsága 3 cm.

Megoldás:

a) Hosszában, az „élére” állítva az ágy 50 cm széles és 90 cm magas, tehát befér az ajtón.b) Hosszába fordítva, az íróasztal 70 cm széles és 70 cm magas, tehát befér az ajtón.c) Minden élének hossza nagyobb, mint az ajtó szélessége, ez nem fog beférni.d) Mérj és számolj! A 3 cm széles képet meg is lehet dönteni, hogy ferdén álljon az ajtóban. Ha rajzolunk

egy 80×210 mm-es téglalapot, akkor az átlóját kb. 224 milliméteresnek mérhetjük. Az ajtó méretei tízszer ekkorák, tehát óvatosan át lehet tolni egy 215 cm-es képet.

Szerk

eszt

és a

latt

183

A TÉRFOGAT MÉRÉSE 7.5 Mennyit kell hozzáadni, hogy 12 dm3 legyen?a) 23 cm3 b) 12 000 mm3 c) 210 cm3 d) 2000 mm3

Megoldás:

a) 12 000 – 23 = 11 977 (cm3).b) 12 000 000 – 12 000 = 11 988 000 (mm3).c) 12 – 0,21 = 11,79 (dm3).d) 12 000 – 2 = 11 998 (cm3).

Szerk

eszt

és a

latt

184

TÉGLATEST, KOCKA TÉRFOGATA8.Feladatok

1 Változik-e az öt dobókocka együttes térfogata, ha több különböző módon rakod őket egymásra?

Megoldás:

A térfogat nem változik a pakolás módjától, a szilárd testek tér-fogata összeadódik.

2 Rakjál ki a színesrúd készlet 12 fehér kis kockájából különböző téglatesteket.a) Mekkorák lettek az egyes téglatestek élei? b) Hányféle téglatestet lehet kirakni?c) Hány egység lett a térfogatuk?d) Hány egység lett a felszínük? e) Ha egy térfogategység az 1 cm élű kocka, akkor mekkora a térfogatuk?f) Ha egy térfogategység a 2 cm élű kocka lenne, akkor mekkora lenne a 12 kocka térfogata?

Megoldás:

a) Az élek lehetnek 1, 1, 12 vagy 1, 2, 6 vagy 1, 3, 4 vagy 2, 2, 3 egység hosszúak. b) Az a) részben felsorolt négyféle tömör téglatestet lehet kirakni.c) Az egyes téglatestek térfogata sorban 12, 12, 12 és 12 térfogategység. Már az 1. feladatban megállapí-

tottuk, hogy az össztérfogat nem függ az egyes összeállítások módjától. d) A felszínek különbözők, sorban 50, 40, 38, 32 egységnégyzet területűek.e) A térfogat mérőszáma megegyezik az egységek számával, tehát 12 cm3.f) Ekkor egy egység V = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8 (cm3) térfogatú lenne. 12 egység az V = 12 ∙ 8 cm3 = 96 cm3.

3 Számítsd ki a téglatest térfogatát, ha egy csúcsba futó éleinek hosszaa) 19 cm, 12 cm, 38 cm; b) 30 mm, 16 mm, 28 mm;c) 6 m, 32 dm, 750 mm; d) 700 cm, 60 dm, 16 m!

Megoldás:

a) 8664 cm3. b) 13 440 mm3.c) 14 400 dm3. d) 672 m3.

4 Határozd meg a téglatest egy csúcsba futó harmadik élének hosszát, ha a másik két élea) 5 cm és 8 cm, térfogata pedig 320 cm3; b) 8 cm és 75 mm, térfogata pedig 360 cm3;c) 7 m és 13 dm, térfogata pedig 1092 dm3; d) 80 cm és 1,2 m, térfogata pedig 2400 dm3!

Megoldás:

a) 8 cm. b) 6 cm.c) 1,2 dm. d) 25 dm.Sze

rkes

ztés

ala

tt

185

TÉGLATEST, KOCKA TÉRFOGATA 8.5 Állapítsd meg a kocka térfogatát, ha egy élének hosszaa) 12 dm; b) 34 cm; c) 220 mm; d) 13 m!

Megoldás:

a) 1728 dm3. b) 39 304 cm3.c) 10 648 000 mm3 = 10 648 cm3. d) 2197 m3.

6 Egy téglatest kiterített hálóján megadtunk néhány adatot. Számítsd ki a felszínét és a térfogatát!Nézz utána, hogy van-e olyan tégla, amelyiknek ezek a méretei!

Megoldás:

A = (6,5 ∙ 12 + 6,5 ∙ 25 + 12 ∙ 25) ∙ 2 = 1081 (cm2), V = 6,5 ∙ 12 ∙ 25 = 1950 (cm3)Ezek a kisméretű tömör tégla méretei.

7 Mekkora a kocka élhossza? Próbálj ki néhány számot!a) V = 125 mm3 b) V = 64 cm3 c) V = 1000 dm3 d) V = 1331 m3

Megoldás:

a) 5 mm. b) 4 cm. c) 10 dm. d) 11 m.

8 Egy kocka alakú láda tetejét pontosan letakarja egy 81 dm2 nagyságú terítő. Mekkora a láda térfogata?

Megoldás:

A terítő oldala, azaz a láda éle 9 dm hosszú, a térfogata 729 dm3. 16 cm magas lehet a keskenyedő felső részig.

9 Egy desszertes doboz a 308 cm2 területű lapjával érintkezik az asztallal. Az ezzel párhuzamos lap 3 cm-re van az asztallaptól. Mekkora a doboz térfogata?

Megoldás:

3 ⋅ 308 = 924 cm3 térfogatú a doboz.

10 Egy téglatest alakú szobában 105 m3 levegő fér el. Határozd meg a terem adatait, ha az élek méterben mérve egész számok!

Megoldás:

105 = 3 ⋅ 5 ⋅ 7, itt az egyet nem számolhatjuk tényezőnek, mivel 1 méter magas vagy széles vagy hosszú terem nem létezik, tehát a teremnek 3 m, 5 m és 7 m hosszú élei vannak. (Az adatok alapján az is sejthető, hogy a terem magassága 3 m.)

6,5 cm

12 cm

25 cm

Szerk

eszt

és a

latt

186

TÉGLATEST, KOCKA TÉRFOGATA8.11 Dobozos narancslét vásároltunk. A doboz két élének a hossza: 8 cm és 8 cm. Milyen magasan áll a dobozban a narancslé, ha a felirat szerint 1 liter van benne, és az ital nem éri el a keskenyedő felső részt?

Megoldás:

1 l = 1 dm3 = 1000 cm3. 1000 : 8 : 8 = 15,625 cm. A doboz körülbelül 16 cm magas lehet.

12 Három kis kockát kétféleképpen lehet egymáshoz ragasz-tani. Vagy egy oszlopot alkotnak, nevezzük ezt I-nek, vagy egy L alakot. A testeket akárhogy forgathatod, de a ragasztást nem lehet szétszedni.a)  Ki lehet-e rakni egy 3×3×3-as kockát csupa I alakzatból?b) Ki lehet-e rakni egy 3×3×3-as kockát csupa L alakzatból?

Megoldás:

a) Igen, és a kirakás elég nyilvánvaló, 9 darab I alakzat szükséges ehhez.b) Igen, de ez nem annyira egyszerű. Ha komplett rétegeket akarunk kirakni, akkor előbb-utóbb akadályba

ütközünk. Fel kell adnunk a „szabályosságot”. A következő ábrasor mutat egy lehetséges kirakást.

I alakzat L alakzat

Szerk

eszt

és a

latt

187

TÉGLATEST, KOCKA TÉRFOGATA 8.13 Ragassz össze gondolatban négy kis kockát úgy, hogy a kapott test példányaival ki lehessen rakni egy 4×4×4-es kockát! Ha nehéz elképzelned, használd a színesrúd készlet elemeit. Megtaláltad az összes lehetséges megoldást?

Megoldás:

Négy kiskockát a következő módokon lehet egymáshoz ragasztani a térben. (A VI-os alakzatból van jobbos és balos, de ez a kirakás szempontjából lényegtelen.)

Az I., II., III., IV. alakzattal kényelmesen, szintenként lehet kirakni a kockát. Egy-egy szintet lerajzolunk.

Az V. alakzattal a legnehezebb a feladat, ezzel is kirakható, de ki kell lépni a térbe, és nem lesz szimmetrikus. Két-két VI., illetve két-két VII. alakzatot a térben összeforgatva egy-egy 2×2×2-es kockát kapunk, tehát ezek is alkalmasak a kirakásra.Ez egy nehéz, összetett feladat, nem véletlenül kapott 3 wifi jelölést. Akár magasabb osztályokban is jó játékot jelenthet a kocka kirakása.

Szerk

eszt

és a

latt

188

GYAKORLATI FELADATOK9.Feladatok1 Daniék vásároltak egy 20 méter széles és 25 méter hosszú hétvégi telket. Szeretnék körbe keríteni. A kerítésoszlopokat ötméterenként kell elhelyezni. Hány darab oszlopra lesz szükségük?

Megoldás:

A 25 méteres oldalra 6-6 oszlop kell, a 20 méteres oldalra 3-3, tehát összesen 18 oszlop szükséges.

2 Az előző feladatban szereplő telekre elhelyeznek egy 64 m2-es faházat. Mekkora rész marad beépítetlenül?

Megoldás: 20 ⋅ 25 – 64 = 436 m2.

3 Öt darab dobókockából egy négyzetes oszlopot építünk. Hány darab pötty lehet minimum és maxi-mum a felületén?

Megoldás:

Mivel a dobókockák szemközti lapjain lévő pöttyök összege mindig 7, ezért az oszlop alja és teteje változ-tathat a pöttyök összegén. Az öt kocka oldalán körben 5 · 14 = 70 pötty van. Összesen a tornyon minimum 1+1+70 = 72, maximum 6 + 6 + 70 = 82 pötty lehet. (Ellenőrizhetjük, hogy minden közbülső értéket is elő tudunk állítani.)

4 Egy medence szélessége 12 méter, a hossza 50 méter, a víz mélysége mindenütt 2 méter. Hány hekto-liter vízzel töltötték meg?

Megoldás:

1200 m3 = 1 200 000 dm3 = 12 000 hl vízzel töltötték meg.

5 A kedvenc könyvedet olvasás előtt szeretnéd papírba kötni. A könyv 2 cm vastag, a borítója pedig 16 cm-szer 23 cm-es, és a kinyitott könyv mellett minden irányban 4-4 cm kell még a csomagoláshoz. Mekkora papírra van szükséged?

Megoldás:

Ha mindenhol 4 cm-et számolunk a visszahajtásra, akkor (4 + 16 + 2 + 16 + 4) ⋅ (4 + 23 + 4) = 42 ⋅ 31 = 1302, azaz 1302 cm2 nagyságú papírra lesz szükségünk.

6 Egy mélygarázs építésénél egy 40 méter széles és 60 méter hosszú területről 15 méter mélyen elszál-lították a földet. A szállítást olyan teherautókkal végezték, amelyekre 6 m3 földet lehetett rakni. Hány for-dulóval tudták elszállítani ezt a mennyiséget?

Megoldás:

Az elszállítandó földmennyiség 36 000 m3, amit 36 000 : 6 = 6000 fordulóval tudnak elszállítani.

Szerk

eszt

és a

latt

189

ÖSSZEFOGLALÁS 10.Feladatok1 Bendegúz „vágja a centit”, azaz annyira várja a nyári vakációt, hogy minden nap reggelén levág a mérőszalagjából egy 1 centiméteres darabot. Úgy kezdte a vágást, hogy pont az utolsó tanítási napra fogy-jon el a szalag.Milyen hosszú volt a szalag, ha már 4 hete és 6 napja vágja a centiket, és még 3 hét és 2 nap van hátra?

Megoldás:

A feladat szövege alapján 1 nap = 1 cm, a megadott időtartamok összege:4 ∙ 7 + 6 + 3 ∙ 7 + 2 = 57.Vagyis 57 cm hosszú volt a szalag.

2 A néptáncegyüttes szabója pántlikának való szalagot vesz a lányok hajába. A 20 lány közül 14 egy copfba, 6 pedig két copfba fonja a haját. Egy copfba 120 cm hosszú szalag kell. A boltban csak méterre kerekítve lehet vásárolni. Mennyi szalagot vegyen a szabó?

Megoldás:

A pántlikákhoz (14 + 6 ∙ 2) ∙ 120 = 26 ∙ 120 = 3120 cm = 31,2 m szalag szükséges, ezek elkészítéséhez a boltban a szabó 32 m szalagot kell kérjen.

3 Add meg ezeknek a mennyiségeknek a tízszeresét egy másik mértékegységgel!a) 1 mm b) 1 cm c) 1 dm d) 100 m

Megoldás:

a) 1 cm; b) 1 dm; c) 1 m; d) 1 km;

4 Írd le növekedő sorrendben a megadott mennyiségeket! Használj egy közös mértékegységet!1200 mm; 0,2 m; 32 cm; 0,25 km; 3 dm; 20 mm

Megoldás:

Legyen centiméter a közös mértékegység.A növekedő sorrend: 20 mm = 2 cm, 0,2 m = 20 cm, 3 dm = 30 cm, 32 cm,1200 mm = 120 cm, 0,25 km = 25 000 cm;

5 Írd le egy kisebb egész számmal és annak megfelelő mértékegységgel a következő mennyiségeket! Amelyiket lehet, azt add meg többféleképpen is! a) 2800 cm b) 25 020 mm c) 20 000 cm d) 2800 dm

Megoldás:

a) 280 dm = 28 m b) 2502 cm c) 2000 dm = 200 m d) 280 mSzerk

eszt

és a

latt

190

ÖSSZEFOGLALÁS10.6 A következő mennyiségek összegét pótold 3 km-re!a) 1400 m, 120 cm, 11 dm b) 22 000 mm, 2020 m, 300 cmc) 2,1 km, 880 cm, 9900 mm d) 150 000 cm, 1600 dm, 170 000 mm

Megoldás:

a) 1597,7 m; b) 955 m; c) 881,3 m; d) 1170 m.

7 A varródobozban lévő mérőszalag hossza 150 cm. Összekötöttünk három zsinórt, a hosszuk 59 cm, 630 mm és 3 dm. Megmérhető-e a mérőszalaggal az így kapott zsi-nór hossza egyszeri hozzáérintéssel?

Megoldás:

A három zsinór összesen 152 cm hosszú, vagyis azt gondolhatnánk, hogy nem mérhető meg a 150 cm-es mérőszalaggal az összekötött zsinór hossza. Gondoljunk viszont arra, hogy kétszer is csomóznunk kell. Ezzel, nagy valószínűséggel vesztünk legalább 2 cm-t. (Persze ez függ például a zsinórok vastagságától is.)

8 A mérföld a hosszúságegységek egyik nagy csoportja, amelynek számos fajtáját még ma is használjuk, bár nem tartoznak a nemzetközileg elfogadott szabványhoz. A magyar mérföld 8353,6 méterrel, az angol mérföld 1609,3 méterrel, a tengeri mérföld 1852 méterrel egyenlő.Add meg kilométerre kerekítve a következő hosszúságokat!a) 10 magyar mérföld b) 5 tengeri mérföld c) 4 angol mérföld

Megoldás:

a) 84 km; b) 9 km; c) 6 km.

9 Ha egy magyar mesében szereplő hős felveszi a „hétmérföldes” csizmáját, amelyben minden lépése hét mérföld hosszúságú lesz, akkor körülbelül hány lépéssel jut el Sopronból Miskolcra? (Miskolc és Sop-ron távolsága légvonalban 327 km.) Használd az előző feladat szövegét!

Megoldás:

6 lépéssel jut el Sopronból Miskolcra.1 magyar mérföld 8353,6 m. 1 lépés a hétmérföldes csizmában 58 473,1 m, nagyjából 58,5 km lesz. 5 lépés még kevés, de 6 lépés már több mint 350 km, 6 lépés tehát elég.

10 Az egyik boltban párosával mintás cipőfűzőket lehet vásárolni. A cipőfűzők hossza 80, 100, 110, 120, 160 és 200 cm. Kétszeri vásárlás után van 4 darab cipőfűződ. A következő mennyiségek közül melyik lehet ezek hosszúságának összege?a) 3600 mm b) 760 cm c) 56 dm d) 5 me) 32 dm f) 6 m g) 70 dm h) 460 cm

Megoldás:

a) 2 ∙ 80 + 2 ∙ 100; c) 2 ∙ 120 + 2 ∙ 160; e) 2 ∙ 80 + 2 ∙ 80;f) 2 ∙ 100 + 2 ∙ 200; h) 2 ∙ 110 + 2 ∙ 120. b) d) g) megoldás hiányzik!

Szerk

eszt

és a

latt

191

ÖSSZEFOGLALÁS 10.11 Jani szeretné a 82 cm-es képátmérőjű televízióját a falra szerelni. Ehhez egy fali konzolt kell vásá-rolnia. Az üzletben található konzolokra colban írták rá, hogy milyen méretű televíziókhoz valók. Megve-gye-e Jani a „max. 35 colos képátmérőjű televízióhoz” feliratú konzolt? Nyomozz, érdeklődj! Hány centi-méter az 1 col?

Megoldás:

1 col = 2,54 cm. Jani televíziója körülbelül 32 colos, tehát a konzol jó lesz hozzá.

12 Orosz regényírók műveiben találkozhatsz a verszta mértékegységgel: 1 verszta = 1066,78 m. Ha egy ilyen regényben azt olvasod, hogy a trojka 15 versztát tett meg a tajgában, akkor hány kilométert haladt?

Megoldás:

A trojka 16 kilométert haladt. (Pontosabban 16 kilométert és 1,7 métert.)

13 Ha bemegyünk egy barkácsboltba, mert a kerti csaphoz locsolótömlőt szeretnénk vásárolni, akkor meg fogják kérdezni tőlünk, hogy hány colos csaphoz szeretnénk csatlakoztatni. Az ácsok, asztalosok, víz-, gáz-, fűtésszerelők is használják ezt a mértékegységet. A col másik elnevezése az inch, és ezek egyenlők a hüvelyk elnevezésű egységgel is. Írd le a következő mondatokat úgy, hogy milliméter szerepeljen bennük! a) A kerítést 1 colos vastagságú deszkákból készítették.b) Eladó egy 22 inch képátmérőjű monitor.c) A mesebeli Hüvelyk Matyi magassága 7 hüvelyk.

Megoldás:

a) A kerítést 25,4 milliméter vastagságú deszkákból készítették.b) Eladó egy 558,8 milliméter képátmérőjű monitor.c) A mesebeli Hüvelyk Matyi magassága 177,8 milliméter.

14 Egy teherautónak Debrecenből Sopronba kell eljutnia közúton. A Debrecenben felrakott szállítmány egy részét Miskolcra, a másik részét Szegedre kell vinnie, de mindegy, hogy milyen sorrendben. Ezután Kecskemétről Sopronba kell fuvaroznia egy újabb rakományt. A városok közötti legrövidebb közúti távol-ságok a következők: Debrecen–Kecskemét 182 km, Debrecen–Miskolc 98 km, Debrecen–Szeged 212 km, Miskolc–Szeged 257 km, Miskolc–Kecskemét 185 km, Szeged–Kecskemét 86 km, Kecskemét–Sopron 287 km.a) Milyen lehetséges útvonalakat tudsz elképzelni?b) Mekkora az eltérés a legrövidebb és a leghosszabb útvonal között?

Megoldás:

a) Lehetséges útvonalak: 1. Debrecen – Miskolc – Szeged – Kecskemét – Sopron.2. Debrecen – Szeged – Miskolc – Kecskemét – Sopron.

b) A két útvonal hossza:1. 98 + 257 +86 + 287 = 728 km.2. 212 + 257 + 185 + 287 = 941 km.Vagyis a legjobb és a legrosszabb útvonal eltérése 213 km.

Szerk

eszt

és a

latt

192

ÖSSZEFOGLALÁS10.15 Ha a téglatest éleinek hosszát összeadjuk és eredményül 160 cm-t kapunk, akkor mennyi az egy csúcsba befutó három él hosszának az összege?

Megoldás:

A téglatestnek 4-4-4 egyforma hosszú éle van, tehát az egy csúcsba futó három él hosszának összege 160 : 4 = 40 (cm).

16 Hány centiméter hosszú egy oldala a 2020 cm kerületű négyzetnek?

Megoldás:

A négyzet oldala 2020 : 4 = 505 (cm) hosszú.

17 Mekkora a négyzet kerülete, ha oldalának hosszaa) 24 cm; b) 23,5 dm; c) 12 m; d) 41 mm?

Megoldás:

a) 96 cm; b) 94 dm; c) 48 m; d) 164 mm.

18 Mekkora a téglalap kerülete, ha két oldalának hossza a) 19 cm és 31 cm; b) 23,5 mm és 36,5 mm;c) 46 dm és 102 dm; d) 27 m és 306 m?

Megoldás:

a) 100 cm; b) 120 mm; c) 296 dm; d) 666 m.

19 a) Ha egy 120 hektáros téglalap alakú szántóföld egyik oldalának hossza 1,5 km, akkor a másik oldala milyen hosszú?b) Ha egy 480 méter kerületű téglalap alakú kert egyik oldala 76 méter, akkor milyen hosszú a másik oldala?c) Mekkora a 100 hektáros négyzet alakú legelő oldalának hossza?d) Mekkora a 244 méter kerületű négyzet alakú park oldalának hossza?

Megoldás:

a) 120 ha = 1 200 000 m2, vagyis a másik oldal hossza 1 200 000 : 1500 = 800 m.b) 480 : 2 – 76 = 164 m.c) 1000 m.d) 244 : 4 = 61 m.

20 Írd le a füzetedbe a hiányzó mértékegységeket!a) 23 cm² = 2300 … b) 250 mm² = 2,5 … c) 400 cm² = 4 … d) 30 000 cm² = 3 …

Megoldás:

a) 23 cm² = 2300 mm² b) 250 mm² = 2,5 cm² c) 400 cm² = 4 dm² d) 30 000 cm² = 3 m²

Szerk

eszt

és a

latt

193

ÖSSZEFOGLALÁS 10.21 Mekkora a négyzet területe, ha oldalának hosszaa) 57 cm; b) 46 dm; c) 150 m; d) 600 mm?

Megoldás:

a) 3249 cm2; b) 2116 dm2; c) 22 500 m2; d) 36 dm2.

22 Mekkora a téglalap területe, ha két oldalának hosszaa) 25 cm és 35 cm; b) 20 mm és 350 mm; c) 38 dm és 120 dm; d) 12 m és 360 m?

Megoldás:

a) 875 cm2; b) 7000 mm2; c) 4560 dm2; d) 4320 m2.

23 Mekkora a kocka felszíne és térfogata, ha élének hosszaa) 11 mm; b) 48 cm; c) 15 dm; d) 60 m?

Megoldás:

a) A = 726 mm2; V = 1331 mm3;b) A = 13 824 cm2; V = 110 592 cm3;c) A = 1350 dm2; V = 3375 dm3;d) A = 21 600 m2; V = 216 000 m3.

24 Mekkora a téglatest felszíne és térfogata, ha éleinek hosszaa) 15 cm, 36 cm és 65 cm; b) 20 m, 35 m és 77 m?

Megoldás:

a) A = 7710 cm2; V = 35 100 cm3;b) A = 9870 m2; V = 53 900 m3.

25 Egy 14 méter széles és 33 méter hosszú medencében 250 cm a vízmélység. Hány hektoliter víz van a medencében?

Megoldás:

14 ∙ 33 ∙ 2,5 = 1155 m3 = 11550 hl.

26 A vízóráról leolvasható szám m3-ben mutatja az elfogyasztott víz mennyiségét. A vízóra felszerelés-kor 0-ról indult és most 267-es számot mutat. Hány liter víz fogyott el?

Megoldás:

267 m3 = 267 000 dm3 = 267 000 l.

27 Józsi megnézte hazánk csapadékviszonyait bemutató térképét. Megállapította, hogy lakóhelyén átla-gosan 600 mm csapadék hullik évente. Hány hektoliter csapadékot jelent ez éves viszonylatban a 300 m2 területű kiskertjében?

Megoldás:

300 ∙ 0,6 = 180 m3 = 180 000 dm3 = 180 000 l = 1800 hl.

Szerk

eszt

és a

latt

194

28 A 8 cm élű kocka vagy a 7 cm, 8 cm, 9 cm élű téglatest térfogata a nagyobb?

Megoldás:

A kocka térfogata 8 ∙ 8 ∙ 8 = 512 (cm3). A téglatest térfogata 7 ∙ 8 ∙ 9 = 504 (cm3). A kocka térfogata kicsit nagyobb.

TESZT! Az utolsó 5 feladat tesztkérdés, a válaszok közül csak egy helyes! Melyik az?

29 Egy ház homlokzatára reklámszöveget festettek. A szövegben szerepel egy 120 cm magas és 80 cm széles nyomtatott nagy L betű. A betű mindkét szára egy-egy 22 cm széles téglalapból áll. Mekkora felüle-tet foglal el ez a betű a falon?A) 39,16 dm2 B) 44 dm2 C) 4884 cm2

Helyes válasz: A.

30 Egy 18 cm × 28 cm-es könyvben az utolsó oldalra a 220-as oldalszám kerülne. Hány m2-es szobát lehetne lefedni a könyv lapjaival?A) 55 440 B) 5,544 C) 11,088

Helyes válasz: B.

31 Egy gyufaszál 4 cm magas négyzetes oszlopnak tekinthető. Az oldallapjai 2 mm szélesek. Egy doboz-ban a felirat szerint 43 gyufaszál található. Mekkora a térfogata a dobozban található gyufaszálaknak?A) 6,88 mm3 B) 6880 cm3 C) közel 7 cm3

Helyes válasz: C.

32 Kartonpapírból elkészítettük egy felülről nyitott, téglatest alakú doboz hálózatát. A téglatest élei-nek hossza 2 cm, 3 cm és 6 cm. Mennyi nem lehet a hálózat területe?A) 54 cm2 B) 66 cm2 C) 72 cm2

Helyes válasz: C.

33 Egy kocka éleinek hossza egész centiméter. A felszíne lehetA) 75 cm2 B) 128 cm2 C) 150 cm2

Helyes válasz: C.

ÖSSZEFOGLALÁS10.

Szerk

eszt

és a

latt

V. Helymeghatározás, sorozatok

– Hol vagyunk? – dörzsölgette a szemét álmosan Zsombi, mert kicsit hosszúra nyúlt az előző esti csapatjáték.– Nem tudom, kérdezd le a wikikompon! – mormogta fogai között Okoska, aki szintén csak félig nyitotta ki a szemét.Zsombi álmosan kecmergett ki az ágynak nevezett alvóhevederekből, és rátenyerelt a kezelőpanelre.– Hol vagyunk? – ismételte meg a kérdést, de most már a wikikomp érzékelőjéhez.– Az űrben. De a kérdésből arra következtetek – hangzott a számítógép kimért válasza –, hogy azt szeret-néd tudni, milyen messze vagyunk a Földtől. T-71:12:40, azaz 71 óra 12 perc és 40 másodperc van hátra a landolásig.– Ajaj! 71 óra… Már csak három nap – mormogta, és az esti kakaó által rajzolt szomorkás bajusz hűen tükrözte a gondolatait. – Honnan tudod ilyen pontosan?– Hasonló az eljárás, mint a földi navigációs rendszereknél, csak képzeld el nagyobb méretekben. A Gaia űrszonda sokmillió csillag pontos helyét mérte meg, ezeket az adatokat ismerem. A Föld és a Hold körül is keringenek olyan műholdak, amelyek pozíciója nagyon pontosan ismert. Ha tudjuk a távolságukat és az irányaik által bezárt szögeket, akkor ezekből az adatokból kiszámítható a mi helyünk a világűrben. Nekem már csak annyi a dolgom, hogy a hajtóművek segítségével az előre meghatározott pályán tartsam a hajót, ehhez mérések sorozatát hajtom végre, és...– Három nap – suttogta Zsombi félálomban, miközben lekapcsolta a wikikompot és elindult a mosdó felé,hiszen aludni ráér majd otthon is.

Szerk

eszt

és a

latt

196

A HELYMEGHATÁROZÁS SZEREPEKÖRNYEZETÜNKBEN1.

Feladatok1 Az ábra egy játékbolt polcait mutatja.Arra a kérdésre, hogy „Hol van a maci?”, sokféleképpen vála-szolhatunk. Például:– A cicától eggyel balra.– A pingvintől hárommal balra és eggyel feljebb.A kérdés akkor pontosabb, ha azt is megkérdezzük, hogy melyik állathoz képest érdekel bennünket a maci helye. Például:– Hol van a maci az oroszlánhoz képest?– Kettővel fölötte és kettővel balra.Tegyetek fel ilyen kérdéseket az ábra alapján, majd válaszol-játok meg!

Megoldás:

Néhány lehetőség: Hol van az oroszlán a zsiráfhoz képest? A zsiráf alatt.Hol van az egér az elefánthoz képest? Az elefánttól eggyel balra.

A gyerekek példái után érdemes megbeszélni, hogy a feladatnak kevesebb megoldása van, ha van egy kiindulási, viszonyítási pont (az egyik kisállat), mintha csak a „Hol van…?” típusú kérdésre válaszolnánk.

2 Valaki gondoljon egy tárgyra a teremből, a többiek pedig próbálják meg kitalálni a helyét olyan kérdé-sekkel, amelyekben az „alatt”, „fölött”, „jobbra”, „balra” szavak szerepelnek! Például: A táblától jobbra helyezkedik el? Szemmagasság alatt van?

Megoldás:

Ennél a feladatnál is nagyon hasznos a tapasztalatok megbeszélése.

3 A sakktáblán a bábuk helyének meghatározásához az oszlopokat A–H betűkkel, a sorokat 1–8 számokkal jelölik. A bástya a C6-os mezőn áll. a) Olvasd le a többi bábu helyét!b) Hol van a huszár a királyhoz képest?c) Hol van a bástya a huszárhoz képest?

Megoldás:

a) A huszár az A7-es mezőn, a király pedig az F2-es mezőn áll.b) A huszár a királyhoz képest öttel balra és öttel hátrébb van.c) A bástya a huszárhoz képest kettővel jobbra és eggyel előrébb van.Sze

rkes

ztés

ala

tt

197

A HELYMEGHATÁROZÁS SZEREPE KÖRNYEZETÜNKBEN 1.

4 Bendegúz és Baltazár az ábrán jelölt házakban lak-nak. Megbeszélték, hogy találkoznak a mozi előtt. Írd le a térkép alapján, hogyan kell el jutniuk a mozihoz!

Megoldás:

Bendegúz a házból kilépve jobbra induljon el, és menjen egyenesen, egészen a második házig, azután forduljon jobbra, és haladjon egyenesen, a mozi az ötödik háznál lesz a sarkon. Baltazár a házból kilépve jobbra induljon el, a második kereszteződésnél forduljon balra, és az utca jobb oldalán, a negyedik ház sarkánál lesz a mozi.

5 Egy tanteremben öt sorban és hat oszlopban ülnek a gyerekek. Az osztályfőnök úgy döntött, hogy a következő ülésrendnél kisorsolja a helyeket. A 15-ös szám kihúzása például azt jelenti, hogy a diáknak az 1. sor (balról) 5. helyére kell ülnie.a) Csaba és Csongor szeretnének egymás közelében ülni. Csaba kihúzta a 43-as helyet. Sorold fel, mely szám sorsolásának örülne Csongor!b) Hol ül Csabához képest Cili, aki 26-ost húzott?c) Sorold fel, milyen számokat nem szeretne húzni Cinna, aki szemüveges, és nem lát jól a hátsó sorból!d) Milyen cetlit húzhatott az, aki azt mondja: „Kitti és én ülünk az osztály közepén”?

Megoldás:

a) Csongor a következő számoknak örülne: 32, 33, 34, 42, 44, 52, 53, 54.b) Cili Csabához képest három hellyel jobbra és két sorral előrébb ül.c) Cinna nem szeretné a következő számokat húzni: 51, 52, 53, 54, 55, 56.d) Nincs pontosan meghatározható ilyen szám. A leginkább a 33, vagy a 34 gazdája mondhat ilyet.

Szerk

eszt

és a

latt

198

HELYMEGHATÁROZÁS2.Feladatok1 Az 1. példában láttunk két lehetsé-ges útvonalat a (2; 3) kereszteződés és az (5; 2) kereszteződés között. Adjunk meg továbbiakat, ahol szintén csak három kereszteződésen haladunk át!

Megoldás:

Az első jelzőszám a sugárút, a második pedig a körút jele. A három kereszte-ződést érintő utak:(2; 3), (2; 2), (3; 2), (4; 2), (5; 2).(2; 3), (3; 3), (3; 2), (4; 2), (5; 2).(2; 3), (3; 3), (4; 3), (4; 2), (5; 2).(2; 3), (3; 3), (4; 3), (5; 3), (5; 2).

2 Nézd meg az 1. példa ábráját!a) Add meg a 2. körút kereszteződéseit!b) Add meg a 3. sugárút kereszteződéseit!c) Fogalmazz meg egy észrevételt az előző két rész válaszait látva!

Megoldás:

a) A 2. körút kereszteződései: (1; 2), (2; 2), (3; 2), (4;2), (5; 2), (6; 2), (7; 2), (8; 2).b) A 3. sugárút kereszteződései: (3; 1), (3; 2), (3; 3).c) Az a) rész megoldásaiban a második szám mindig 2, a b) rész megoldásaiban az első szám mindig 3.

3 A lecke folyamkilométereket tartalmazó táblázata alapján válaszolj!a) Mennyit haladtunk, ha Szatmárcsekétől eljutottunk Tuzsérig?b) Melyik táv a nagyobb, és mennyivel: Tiszabecs–Tivadar vagy Tuzsér–Tokaj?

Megoldás:

a) A településekhez tartozó folyamkilométer értékeket ki kell vonni egymásból. A távolság a Tiszán mérve: 720 – 617 = 103 folyamkilométer.

b) Tiszabecs és Tivadar települések távolsága 744 – 705 = 39 folyamkilométer, míg Tuzsér és Tokaj távol-sága 617 – 544 = 73 folyamkilométer. Tehát a második táv 73 – 39 = 34 folyamkilométerrel nagyobb.

4 A Budapest–Miskolc távolságot 180 kilométernek vehetjük. Autóval utazva táblák tájékoztatnak a számunkra fontos adatokról. Az egyik táblán ezt látjuk: Mezőkövesd 68 km, Miskolc 125 km.a) Hány kilométerre vagyunk Budapesttől?b) Mekkora a távolság Mezőkövesd és Miskolc között?

Megoldás:

a) Mivel a 180 km hosszú útból még 125 km van hátra, ezért Budapesttől 180 – 125 = 55 kilométerre vagyunk.

b) Amikor Mezőkövesdre érünk, 68 kilométert teszünk meg, ezért a Miskolcig hátralévő útból már csak 125 – 68 = 57 km van hátra. Tehát a két város közti távolság 57 kilométer.

1. körút

2. k

örút

3. k

örút

IV. kerület

III. kerület II. kerület

I. kerület

P

1. sugárút

2. sugárút

3. sugárút

4. sugárút

5. sugárút

6. sugárút

7. sugárút

8. sugárút

Szerk

eszt

és a

latt

199

A DERÉKSZÖGÛ KOORDINÁTA-RENDSZER 3.Feladatok1 Egy rendezett számpárról tudjuk, hogy az első tagja 4 többszöröse és egyjegyű pozitív szám, a máso-dik tagja pedig –3 vagy 5.a) Írd le az összes ilyen számpárt! Pl. (8; –3).b) Ábrázold a számpárok által meghatározott pontokat a koordináta-rendszerben!

Megoldás:

a) (4; –3), (8; –3), (4; 5), (8, 5).

b)

y

x

1

10

(4, 5) (8, 5)

(4, –3) (8, –3)

2 Írd le rendezett számpárral az alábbi pontok helyét! Az origóból indulj!A pont: Menj jobbra 3-at, majd felfelé 6-ot!B pont: Menj balra 3-at, majd felfelé 6-ot!C pont: Menj jobbra 3-at, majd lefelé 6-ot!D pont: Menj balra 3-at, majd lefelé 6-ot!

Megoldás:

A(3; 6), B(–3; 6), C(3; –6), D(–3; –6).

3 Készítsd el az összes lehetséges rendezett párt, ha az első helyre 1-et vagy 2-t, a második helyre pedig 3-at, 4-et vagy 5-öt írhatsz! Ábrázold a számpárok által meghatározott pontokat a koordináta-rendszerben!

Megoldás:

(1; 3), (1, 4), (1; 5), (2, 3), (2; 4), (2, 5).

Szerk

eszt

és a

latt

200

A DERÉKSZÖGÛ KOORDINÁTA-RENDSZER3.4 Rácspontnak hívjuk azokat a pontokat, amelyeket két egész számból álló rendezett számpárral adunk meg. Ábrázold koordináta-rendszerben a következőkben meghatározott pontok közül a rácspontokat!

43

; 5  , (–4; 2), (–3; 10), (1; 18), 4; – 12

 , 1011

; 5  , 42

; 5  , (4; 0)

Megoldás:

5 Sorold fel az ábrán látható pontok közül a rácspontok betűjelét! Add meg a hozzájuk tartozó számpárokat is!

Megoldás:

A rácspontok: A(5; 4), C(–5; 2).

6 Tervezz a koordináta-rendszerben egy szép ábrát néhány pont segítségével! Add meg az ábra pontja-ihoz tartozó számpárokat!

Megoldás:

Minden ábra elfogadható, ha a pontok koordinátái helyesen szerepelnek.Az ábra erre mutat példát.

A (0; 1), B (3; 3), C (1; 0), D (3; –3), E (0; –1), F (–3; –3), G (–1; 0), H (–3; 3)

� x

y

�

�

D

C B

A

E

F

Szerk

eszt

és a

latt

201

PONTOK ÁBRÁZOLÁSA 4.Feladatok1 Ábrázold a derékszögű koordináta-rendszerben a következő pontokat: A(0; 10), B(3; 6), C(1; 6), D(4; 2), E(2; 2), F(5; –2), G(1; –2), H(1; –4), I(0; –4)!a) Kösd össze a pontokat ebben a sorrendben!b) Az első koordinátáknak vedd az ellentettjét, a második koordinátákat hagyd változatlanul! Írd le az új pontok koordinátáit!c) Ábrázold, majd kösd össze az új pontokat is! Milyen alakzatot kaptál? Színezd ki!

Megoldás:a)

b) Az új pontok koordinátái: A’(0; 10), B’(–3; 6), C’(–1; 6), D’(–4; 2), E’(–2; 2), F’(–5; –2), G’(–1; –2), H’(–1; –4), I’(0; –4).c)

Szerk

eszt

és a

latt

202

PONTOK ÁBRÁZOLÁSA4.2 Ábrázold a következő pontokat! Mi a közös bennük? Hol helyezkednek el?P(4; 4), Q(–5; –5), R(0; 0), S(2; 2), T(6; 6), V(–2; –2)

Megoldás:

3 Ábrázold a következő pontokat! Mi a közös bennük? Hol helyezkednek el?V(2; 4), W(6; 4), X(4; 4), Y(–5; 4), Z(0; 4)

Megoldás:

Az a közös a pontokban, hogy a második koordinátájuk 4. Egy vízszintes egyenesen helyezkednek el, ami az y tengelyen négynél halad át.

Szerk

eszt

és a

latt

203

PONTOK ÁBRÁZOLÁSA 4.4 Jegyezd le az ábrán látható alakzatokat koordináták segítségével!

� x

y

�

�

Megoldás:

A nyíl alakzat pontjainak koordinátái: (0; 3), (–2; 1), (–2, 2), (–5; 2), (–5; 4), (–2, 4), (–2; 5).Az X alakzat pontjainak koordinátái: (1; 1), (2; 2), (1; 3), (2; 4), (3, 3), (4; 4), (5; 3), (4, 2), (5; 1), (4; 0),

(3; 1), (2; 0).Az S alakzat pontjainak koordinátái: (0; 0), (1; 0), (1; –2), (–2; –2), (–2; –1), (–3, –1), (–3; –2), (–4; –2),

(–4; 0), (–1; 0), (–1; –1), (0; –1).

5 Tervezz a koordináta-rendszerben téglalapot, négyzetet, háromszöget úgy, hogy minden csúcsuk rácspont legyen! Írd le a csúcsok koordinátáit!

Megoldás:

Például: Téglalap: (–4; 1), (–2; 1), (–2, –2), (–4; –2)Négyzet: (6; 4), (7; 4), (7, 5), (6; 5)Háromszög: a) (4; –1), (5; –2), (6, 0) b) (–1; 4), (–1; 0), (5, 2)

Szerk

eszt

és a

latt

204

TÁJÉKOZÓDÁS SÍKBAN, TÉRBEN (KIEGÉSZÍTÔ TANANYAG) 5.

Feladatok1 Ákos nagyon szereti a szép ásványokat, már van is egy kisebb gyűjteménye. Ezeket kis dobozokban tárolja. A dobozok három sorban helyezkednek el, és minden sorban 7 doboz található. A könnyebb tájé-kozódás érdekében az ásványokat úgy koordinátázta, hogy mindegyik kapott két számot. Az első meg-adja, hogy hányadik sorban, a második pedig megadja, hogy abban a sorban hányadik dobozban van. Vázlatosan rajzold le a füzetedbe a dobozokat!

3. sor

2. sor

1. sor

a) A piros dobozban pirit található. Add meg a pirit koordinátáit!b) A zöld dobozban kalcit van. Add meg a kalcit koordinátáit!c) A kalkopiritről csak azt tudjuk, hogy mindkét koordinátája páros szám. Maximum hány dobozt kell megnéznünk, hogy biztosan megtaláljuk? Vázlatosan rajzold le a füzetedbe a dobozokat, és jelöld kékkel a megfelelőket!d) A galenit két koordinátája egyenlő. Vázlatosan rajzold le a füzetedbe a dobozokat, és jelöld barnával a megfelelőket!

Megoldás:

a) A pirit koordinátái: (1, 4).b) A kalcit koordinátái: (2, 6).c) Három doboznak mindkét koordinátája páros, de a harmadikban volt a kalcit. Még két doboz jön szóba:

d) Három dobozban lehet:

Szerk

eszt

és a

latt

205

TÁJÉKOZÓDÁS SÍKBAN, TÉRBEN (KIEGÉSZÍTÔ TANANYAG) 5.

2 Az ábra egy áruház vázlatrajzát mutatja. A bejárattól Ani-tának az A, Botondnak a B, Cilinek a C pontba kellene eljutnia. Tekintsd a bejáratot origónak! a) Add meg a célpon tokat koordináták segítsé gével!b) Dömötörnek a D(0; 3) pontba kellene eljutni. Hol van ez a

pont? Hogyan irányítanád őt a bejárattól?

Megoldás:

a) A célpontok: A(7; 2), B(–1; 8), C(12; 5).b) A D pont helye:

Egy lehetséges irányítás: „Menj egyenesen, kicsit tovább a jobbra nyíló folyosónál, és állj meg ott!”

3 Képzelj el egy 27 kis „kockából” álló Rubik-kockát a térbeli koor-dináta-rendszerben! Az origótól legtávolabbi csúcs legyen a (3; 3; 3) koordinátákkal adva.a) Add meg a kocka csúcsainak koordinátáit!b) Milyen háromszög véleményed szerint az (1; 1; 0), (1; 0; 1) és (0; 1; 1) koordinátákkal megadott háromszög? Állításodat próbáld indok-lással alátámasztani!

Megoldás:

a) A kocka csúcsainak koordinátái:(0; 0; 0), (3; 0; 0), (0; 3; 0), (0; 0; 3), (3; 3; 0), (3; 0; 3), (0; 3; 3), (3; 3; 3).

b) A három pont egy szabályos háromszöget határoz meg, mivel ha páronként megvizsgáljuk őket, egy-egy egység oldalú négyzet átellenes csúcsaiban helyezkednek el, tehát ugyanakkora távolságra vannak egymástól.

4 Képzelj el egy 64 kis „kockából” álló Rubik-kockát a térbeli koor-dináta-rendszerben! Az origótól legtávolabbi csúcs legyen a (4; 4; 4) koordinátákkal adva.a) Add meg a kocka lapközéppontjainak koordinátáit!b) Add meg a kocka középpontjának koordinátáit!

Megoldás:

a) A lapközéppontok koordinátái: (2; 2; 0), (2; 0; 2), (0; 2; 2), (2; 2; 4), (2; 4; 2), (4; 2; 2).

b) A kocka középpontjának koordinátái: (2; 2; 2).

Szerk

eszt

és a

latt

206

RITMUSOK, DÍSZÍTÉSEK6.Feladatok1 Biztosan észrevetted már, hogy a legtöbb dalban vannak olyan részek, amelyeket ugyanazzal a dal-lammal éneklünk.

Én el-mentem a vá-sár-ba fél pénz - zel, Tyúkot vettem a vá-sár-ban fél-pénz-zel.

Kitrákotty-mese

Tyúkom mondja: kit-rá-kotty, Kári-kitytyom, é-des tyúkom, mégis van egy fél pén-zem.

9

a) Keresd meg a fenti kottában, melyik dallamrész ismétlődik!b) Írj ehhez a dalhoz két olyan versszakot, amelyik még nem szerepel benne! Figyelj a szótagszámra is!c) Keress olyan dalokat, amelyekben megjelenik egy visszatérő dallam, például a refrén!

Megoldás:

a) Az első négy ütem megismétlődik.b) Egyéni ötletek meghallgatása.c) Lehet gyűjtőmunka is, de órán is megbeszélhetők. Például:

Hull a szilva a fáról… Tavaszi szél… Virágéknál ég a világ… A horgosi csárda ki van festve…

2 Az alábbi jelek ritmusokat jelentenek.

a) Tapsoljátok el a következő ritmust kétszer egymás után!

b) Tapsoljátok el a következő ritmust háromszor egymás után!

c) Írj saját ritmust, és tapsolja el a padtársad!d) Tapsolj saját ritmust, és írja le a padtársad! Utána cseréljetek szerepet!

Megoldás:

Esősorban tevékenykedtetés és egyéni megoldások.

Szerk

eszt

és a

latt

207

RITMUSOK, DÍSZÍTÉSEK 6.3 Vannak olyan sorozatok is, amelyek periodikusan, örökösen visszatérve ismétlődnek. Ilyenek például a hét napjai. Ha ma hétfő van, milyen nap lesza) 3 nap múlva;b) 10 nap múlva;c) 2021 nap múlva?d) Keress még periodikus sorozatokat!

Megoldás:

a) csütörtökb) csütörtökc) szombatd) Az idő múlása jellemezhető periodikus sorozattal: hónapok, órák, Holdnaptár, …

További periodikus sorozatok: nyakláncok, parketta díszítések, …

4 Katóék a táncórán egy új koreográfiát kezdtek tanulni. Linus hiányzott, így másnap Kató lelkes magya-rázatba kezdett, hogy megnyugtassa őt. „Simán megjegyzed!” – mondta neki. – Két lépés jobbra, két lépés balra, forgás jobbra, taps, forgás balra és végül taps. Ezt kell négyszer elismételni. Linus gyorsan fel is írta magának a mozdulatsort:

a) Ha minden jel egy mozdulatot jelent, hány mozdulatból áll összesen a négy ismétlés?b) Mi lesz a 4., 15. és 37. mozdulat?c) Hányadik mozdulat egyezik meg a 16. mozdulattal a négy ismétlésen belül?

Megoldás:

a) 8 ⋅ 4 = 32b) A 4. mozdulat lépés balra, 15. mozdulat forgás balra, a 37. mozdulat forgás jobbra.c) A 8., 16., 24., 32. mozdulatok egyeznek meg.

Szerk

eszt

és a

latt

208

RITMUSOK, DÍSZÍTÉSEK6.5 Anya és apa a nagy lakásfelújítás közepén kitalálták, hogy a konyhába tesznek egy díszítősort a csem-pék közé, amely körbe fut a konyhafalon. A csempék 10 cm × 10 cm nagyságúak, és ilyen sorrendben követik majd egymást:

a) Hány csempe fér a 13,7 méter hosszú falra?b) Milyen mintájú lesz az utolsó csempe?c) Melyik mintájú csempéből lesz a legkevesebb?

Megoldás:

a) 13,7 m = 1370 cm; 1370 : 10 = 137 csempe fér el.b) Öt minta ismétlődik, így 137 : 5 = 27, és a maradék 2, tehát az utolsó csempe a kék díszítésű.c) A 3., a 4. és az 5. csempéből lesz a legkevesebb.

6 Rozi egy sormintát rajzolt a füzetébe. A rajzolás lépéseit az ábrán látod.

1. 2. 3. 4. 5.

a) Fogalmazd meg a rajzolás szabályát!b) Rajzold meg lépésről lépésre azt az ábrát, amit Rozi a 8., 10., 15. lépésben láthatott!

Megoldás:

a) A szabály: Először rajzolunk egy olyan derékszögű háromszöget, amelynek két oldala egyenlő, majd a derékszöggel szemközti oldalra kifelé felmérünk egy derékszöget és a megrajzolt szárra felmérjük az eredeti háromszög rövidebb oldalát. A következő háromszög ugyanígy szerkesztendő, mindig a leg-hosszabb oldalra kifelé mérjük a derékszöget, és a megrajzolt szárra az első háromszög rövidebb olda-lát mérjük fel.

b) Rajzolás a füzetbe a leírtak alapján. 15. lépés10. lépés8. lépés

Szerk

eszt

és a

latt

209

RITMUSOK, DÍSZÍTÉSEK 6.7 Biztosan találkoztál már a hétköznapi életben is azzal a szóval, hogy sorozat. Vajon miért hívunk egy filmsorozatot sorozatnak?

Megoldás:

Egyéni vélemények megfogalmazása.Általában közös szereplők kötnek össze egy-egy részt, a történet lehet folytatásos is, de önálló részekből is állhat.

Szerk

eszt

és a

latt

210

KERESSÜNK ÖSSZEFÜGGÉSEKET!7.Feladatok1 Az 1. példa ötletét felhasználva készíts egy feladványt magyarországi településekkel!

Megoldás:

Egy lehetséges feladvány: Ózd, Eger, Dabas, Sopron stb.

2 Írj egy lehetséges folytatást a megkezdett felsoroláshoz: András, Ákos, Botond, Cecília, Csongor, Dani-ella, …!Lehetne-e tagja a felsorolásnak a Molnár, Gergely, Kovács, Eger, Ferenc?Érvelj az igen és a nem mellett is!Ha igen, akkor hányadikak lehetnének a felsorolásban?

Megoldás:

Egy lehetséges folytatás: Elemér, Éva, Ferenc, Gedeon.

A megadott szavak nem lehetnek tagjai a felsorolásnak, ha csak keresztnevekkel lehet folytatni, valamint a Gergely és Ferenc neveket kizárjuk.

A megadott szavak tagjai lehetnek a felsorolásnak, ha az a szabály, hogy az ábécé következő betűjével kez-dődik a soron következő szó.

Eger a 7., Ferenc a 9., Gergely a 10., Kovács a 16., Molnár a 18. tag lenne a sorozatban.

3 Folytasd a dominósorozatot három elemmel! A megadottakból választhatsz!

Megoldás:

4 Sorban egymás mellé tettük a pénzérméket, a számokkal felfelé: 5, 10, 20, 50, 100, majd újra 5, 10, 20, 50, 100 és így tovább, sokszor egymás után raktunk egy 5, 10, 20, 50 és 100 Ft-os pénzérmét. Ezután minden harmadik pénzérmét megfordítunk.a) Mi lesz látható a 48. pénzérmén?b) Mi lesz látható a 100. pénzérmén?

Megoldás:

a) Mivel öt pénzérme ismétlődik, ezért a 46. érme ötös, a 47. érme tízes és a 48. érme húszas lesz. Ennek hátlapján a magyar nőszirom van.

b) Az előzőekben leírt módon gondolkodva megkapjuk, hogy a 100. pénzérme százas, és biztosan szám-mal felfelé van az asztalon.

Szerk

eszt

és a

latt

211

KERESSÜNK ÖSSZEFÜGGÉSEKET! 7.5 Folytasd a sorozatot többféleképpen! Mindegyiket indokold meg!a) 1; 2; 3; 2; 1; …b) 2; 4; 6; …c) 1; 3; 5; 7; …

Megoldás:

Többféle megoldás is elfogadható, ha megfelelő az indoklás. Például:a) 1; 2; 3; 2; 1; 2; 3; 2; 1; … (ismétlődés)

1; 2; 3; 2; 1; 2; 3; 4; 3; 2; 1; 2; 3; 4; 5; 4; 3; 2; 1; … (mindig eggyel „magasabb domb”)1; 2; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 2; 1; 0; -1; 0; 1; 2; 3; 2; 1; … (mindig eggyel „mélyebb völgy”)

b) 2; 4; 6; 2; 4; 6; 2; 4; 6; (ismétlődés) 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; (páros számok) 2; 4; 6; 8; 1; 3; 5; 7; 10; 12; 14; 16; 9; 11; 13; 15; (négy páros, négy páratlan)c) 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; … (páratlan számok)

1; 3; 5; 7; 2; 4; 6; 8; 9; 11; 13; 15; 10; 12; 14; 16;… (négy páratlan, négy páros)1; 3; 5; 7; 1; 3; 5; 7; 1; 3; 5; 7; … (ismétlődés)

6 Megadtunk néhány pontot a koordinátáikkal. Kösd össze őket a megadott sorrendben, majd a megfi-gyelésedet alkalmazva adj meg még további három pontot!(0; 0), (1; 1), (1; 0), (3; 2), (3; 0), (6; 3), …

Megoldás:

Készítsünk ábrát a szöveg szerint!

A további három pont: (6;0), (10,4), (10;0).

7 Hogyan tovább?121, 232, 343, 454, 565, 676, 787, 898, …

Megoldás:

Egy lehetséges folytatás: Leírjuk sorban a pozitív egész számokat duplán, úgy hogy közéjük mindig a náluk eggyel nagyobb számot írjuk be.9109, 101110, 111211, 121312, … .

Egy másik lehetséges folytatás: Olyan háromjegyű számokat írunk, amelynek a két szélső jegye 1-től 9-ig sorban a számjegyek, majd kezdődik újra. A középső jegy pedig ugyanígy, de 2-vel kezdve.919, 121, 232, 343, 454, … .

Megjegyzés: Fontos megbeszélni, hogy azokban az esetekben, amikor a kérés alapján nem egyértelmű a folytatás, akkor az ötletességünk és fantáziánk alapján több jó megoldást is megfogalmazhatunk.

Szerk

eszt

és a

latt

212

SOROZATOK8.Feladatok1 A számegyenesen látható állatok a berajzolt helyről az adott irányba indulnak, és mindig ugyanakkorát ugranak. Melyik számhoz érnek az első, a második, az ötödik és a tizedik ugrásukkal?

�7�8�9�10�11�12 �6 �1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12�2�3�4�5

�7�8�9�10�11�12 �6 �1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12�2�3�4�5

�7�8�9�10�11�12 �6 �1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12�2�3�4�5

�7�8�9�10�11�12 �6 �1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12�2�3�4�5

�7�8�9�10�11�12 �6 �1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12�2�3�4�5

Megoldás:

első ugrás második ugrás ötödik ugrás tízedik ugrás

a) 5 + 1 ⋅ 3 = 8 5 + 2 ⋅ 3 = 11 5 + 5 ⋅ 3 = 20 5 + 10 ⋅ 3 = 35

b) –3 + 1 ⋅ (–1) = –4 –3 + 2 ⋅ (–1) = –5 –3 + 5 ⋅ (–1) = –8 –3 + 10 ⋅ (–1) = –13

c) 3 + 1 ⋅ 1,5 = 4,5 3 + 2 ⋅ 1,5 = 6 3 + 5 ⋅ 1,5 = 10,5 3 + 10 ⋅ 1,5 = 18

d) 2 + 1 ⋅ (–2) = 0 2 + 2 ⋅ (–2) = –2 2 + 5 ⋅ (–2) = –8 2 + 10 ⋅ (–2) = –18

e) 3,5 + 1 ⋅ 2,5 = 6 3,5 + 2 ⋅ 2,5 = 8,5 3,5 + 5 ⋅ 2,5 = 16 3,5 + 10 ⋅ 2,5 = 28,5

a)

b)

c)

d)

e)

Szerk

eszt

és a

latt

213

SOROZATOK 8.2 Keress egy-egy szabályt, és folytasd a sorozatokat 3-3 számmal!a) 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, … b) 0, 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, … c) 1, 2, 4, 8, 16, … d) 5, 3, 1, –1, … e) 1, 2, 11, 3, 111, 4, 1111, 5, … f) 1, –2, 3, –4, 5, –6, …

Megoldás:

a) 29, 37, 46. Szabály: mindig eggyel többet adunk hozzá az előző számhoz.b) –4, 5, –5. Szabály: a természetes számok sorozatában minden pozitív szám után leírjuk az ellentettjét is.c) 32, 64, 128. Szabály: kettővel szorozzuk az előző számot.d) –3, –5, –7. Szabály: kettőt kivonunk az előző számból.e) 11 111, 6, 111 111. Szabály: növekvő sorrendben leírjuk a pozitív egész számokat, majd az 1-nél nagyobbak után annyi

darab 1-esből álló számot írunk, amennyi a szám értéke.f) 7, –8, 9, –10, 11, –12, … . Szabály: sorban elképzeljük a pozitív egész számokat, és minden másodiknak az ellentettjét vesszük.

3 Add meg az előző feladat b) és e) részében szereplő sorozatok 15. és 16. tagját anélkül, hogy a közbe-esőket felsorolnád! Használd az általad kitalált szabályokat!

Megoldás:

b) –7 és 8.   e) 11 111 111 és 9.

4 Pisti indulni szeretne a maratoni futóversenyen. Edzeni kezd, és az első héten egy kört fut a Margitszi-geten, ami a maratoni távnak az egynyolcada. Ezután minden héten egy körrel többet fut.a) Hány hét múlva mondhatja el, hogy már lefutott egy maratoni távot?b) Hány hét múlva mondhatja el, hogy azon a héten lefutott egy maratoni távot?

Megoldás:

a) Négy hét múlva mondhatja el, hogy már lefutott egy maratoni távot, mert az 1. héten 1 kört, a 2. héten 2 kört, a 3. héten 3 kört, a 4. héten 4 kört fut, 1+2+3+4=10 miatt a 8. körre a 4. héten kerül sor.

b) A nyolcadik héten mondhatja el, mert azon a héten fut 8 kört, azaz összesen egy maratoni távot.

5 Julcsi 3 naponta hajat mos, és 5 naponta rendet rak a szobájában. Ma kedd van, és mindkettőt elvé-gezte. Legközelebb a hét melyik napján fog egybeesni ez a két tevékenysége?

Megoldás:

Julcsi 15 nap múlva fogja újra a hajmosást és a rendrakást egy napon végezni, ami szerdára esik.

6 Egy ötfős családban valaki kint hagyott az asztalon egy nagy szelet süteményt. Aznap mindenki, mikor arra járt, megette a sütemény felét. Hányad részét ette meg az utolsóként érkezett?

Megoldás:

Az első arra járó a felét ette meg, a második a negyedét, a harmadik a nyolcadát, a negyedik a tizenhatodát. Az ötödik megette a harminckettedét (és a sütemény harminckettede ekkor még megmaradt).

Szerk

eszt

és a

latt

214

NEVEZETES, ÉRDEKES SOROZATOK9.Feladatok1 Képzeljük el, hogy a Rubik-kockákat kis kockákból rakjuk össze.

Hány darab kis kockát használunk az egyes nagy kockák építéséhez? Adjuk meg az így kapott sorozat első nyolc tagját! A sorozat első tagja legyen az 1.

Megoldás:

A sorozat első nyolc tagja: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512.

2 Írd le az 1. példában szereplő Xénia sorozatának első tíz tagját! Aztán minden szomszédos pár alá írd le az összegüket is! Mit veszel észre? Milyen sorozatot kapsz így?

Megoldás:

Xénia sorozata: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55.Az összegek: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.Például: csupa négyzetszámot kapunk.Ezek éppen Yvette számai.

3 Xénia és Yvette sorozata is 1-gyel kezdődik. Keress még olyan számot, amely mindkét sorozatban szerepel!

Megoldás:

Ilyen szám például a 36.

Megjegyzés: Elképzelhető, hogy a gyerekek nem találnak továbbiakat, de érdekességként leellenőriztet-hető velük, hogy például az 1225 is megfelelő szám. (Ez a szám a 35. Yvette sorozatában, és a 49. Xénia sorozatában.)

4 Add meg Xénia, Yvette és Zelma sorozatában is a legkisebb háromjegyű számot!

Megoldás:

A legkisebb háromjegyű szám Xénia sorozatában a 105, Yvette sorozatában a 100, Zelma sorozatában pedig a 117.

5 A leckében szereplő három lány közül kinek a sorozatában szerepelhet a 121?

Megoldás:

Yvette sorozatában szerepel.

Megjegyzés: Ezzel a feladat kérdésére válaszoltunk, de érdemes megvizsgáltatni a gyerekekkel, hogy a többiekében szerepel-e. (A válasz: nem.)

Szerk

eszt

és a

latt

215

NEVEZETES, ÉRDEKES SOROZATOK 9.6 Nevezz meg legalább egyet a leckében szereplő három lány közül, akinek a sorozatában biztosan nem szerepel a 2016!

Megoldás:

Yvette sorozatában biztosan nem szerepel.Ez ellenőrizhető a leggyorsabban, hiszen 44 ⋅ 44 még kevés, a 45 ⋅ 45 már sok.

Megjegyzés: Xénia sorozatában viszont szerepel, Zelmáéban pedig szintén nem.

Szerk

eszt

és a

latt

216

ÖSSZEFOGLALÁS10.Feladatok

1 A felsoroltak közül melyik adat szokott szerepelni egy színházjegyen?A) a napi hőmérséklet B) a néző neve C) az előadás dátuma

A helyes válasz: C.

2 A postai levelek címzésénél fontos szerepe van a helymeghatározásnak. Ennek segítségével kézbesí-tik a megfelelő helyre a levelet. Milyen szám nem szerepel a címzésben?A) irányítószám B) évszám C) házszám

A helyes válasz: B.

3 Az elektronikus levelek is csak akkor érkeznek meg a címzetthez, ha pontosan írjuk a címet. A címben melyik jelnek kell feltétlenül szerepelnie?A) % B) @ C) &

A helyes válasz: B.

4 Biztosan emlékszel, hogy a sakktáblán az oszlopokat A–H betűkkel, a sorokat 1–8 számokkal jelölik. A bástyával a D3 mezőről a G3 mezőre léptünk. Mit mondhatunk a G3 mezőről?A) Ugyanabban az oszlopban van, mint a D3 mező.B) Ugyanabban a sorban van, mint a D3 mező.C) Másik oszlopban és másik sorban is van, mint a D3 mező.

A helyes válasz: B.

5 Béka Benő, a számegyenesen ugráló béka a -7 pontban ácsorgott, majd egy hatalmas lendülettel tíz egységnyit ugrott pozitív irányba. Hol van most?A) -17 pontban B) +3 pontban C) +17 pontban

A helyes válasz: B.

6 A számegyenes melyik számát határozza meg a következő mondat: A négyestől 2 egységre, a kilen-cestől 3 egységre található.A) 6 B) 9 C) az előzőektől eltérőt

A helyes válasz: A.

7 Hány számot határoz meg a számegyenesen a következő mondat? Az egyestől 2 egységre van.A) 1 B) 2 C) 3

A helyes válasz: B.Sze

rkes

ztés

ala

tt

217

ÖSSZEFOGLALÁS 10.8 A számegyenesen bejelöltük a –1,5 és a 6,5 közötti intervallumot (számközt). Hány darab egész szám van ebben az intervallumban?A) 8 B) 7 C) 6

A helyes válasz: A.

9 Hány számegyenes kell a síkban a derékszögű koordináta-rendszer felrajzolásához?A) 3 B) 2 C) 1

A helyes válasz: B.

10 Hány olyan pont van a derékszögű koordináta-rendszerben, amelynek első jelzőszáma 2?A) 1 B) 2 C) végtelen sok

A helyes válasz: C.

11 Hány olyan pont van a derékszögű koordináta-rendszerben, amelynek mindkét jelzőszáma 2?A) 1 B) 2 C) végtelen sok

A helyes válasz: A.

12 Nyúl Nyuszti kicsit félős, így csak a rácspontokon mer ugrálni. Épp a koordináta-rendszer (5; 3) pontjában várakozott, majd hirtelen három egységnyit balra ugrott és két egységnyit lefele. Hol van most?A) a (3; 0)pontban B) a (2; 1) pontban C) a (8; 1) pontban

A helyes válasz: B.

13 A Sorozatok című lecke ezzel a sorozattal kezdődött: 2014, 1007, 1008, 504, 252, 126, 63, 64, … . A számok alapján melyik az a mondat, amelyik nem erről a sorozatról szól?A) Egy páros szám után a szám fele következik.B) Egy páros szám előtt a nála 1-gyel nagyobb szám áll.C) Egy páratlan számot a nála 1-gyel nagyobb szám követ.

A helyes válasz: B.

14 Melyik szám áll a háromjegyű páros számok sorozatában a negyedik helyen?A) 108 B) 106 C) az előzőek egyike sem

A helyes válasz: B.Szerk

eszt

és a

latt

218

ÖSSZEFOGLALÁS10.15 Egy sorozat minden tagja annyi ötös számjegyet tartalmaz, ahányadik tagja a sorozatnak. Minden tag csak ötös számjegyből áll. Hányadik tagja a sorozatnak az a szám, amelyben a számjegyek összege 100?A) 100 B) 25 C) 20

A helyes válasz: C.

16 Józsi felírta a füzetébe sorban a számjegyeket, és a 9-es után elkezdte elölről: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, ... a) Kata nézte Józsi sorozatát, és minden szám kétszeresének az utolsó jegyét írta le. Írd le te is Kata

sorozatát!b) Hanna nézte Józsi sorozatát, és minden szám háromszorosának az utolsó jegyét írta le. Írd le te is

Hanna sorozatát!c) Milyen sorozatot kapsz, ha kilenccel szorzod Józsi sorozatának az elemeit?

Megoldás:

a) 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, …b) 0, 3, 6, 9, 2, 5, 8, 1, 4, 7, 0, 3, …c) Az első 10 eleme a kilences szorzótábla, és ez ismétlődik.

17 Rajzolj a füzetedbe egy nyolcszor nyolcas négyzetet, és ezt tekintsd úgy, mint egy sakktáblát. Jelöld a táblán a következő bábukat!

Világos bábukkirály: a1, huszár: d7, huszár: e7, gyalog: f6.

Sötét bábukkirály: h8, gyalog: a2

Ha tudsz sakkozni, akkor azon is gondolkodhatsz, hogy hogyan lehet matt öt lépésben.

Megoldás:a b c d e f g h

a b c d e f g h

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

Szerk

eszt

és a

latt

219

ÖSSZEFOGLALÁS 10.18 Egy kis színházteremben 10 sorban ülhetnek a nézők, és minden sorban 12 hely van. Egy hatfős tár-saság megvette az utolsó hat jegyet az előadásra. A jegyek a következő helyekre szóltak: 2. sor 1. szék, 4. sor 3. szék, 4. sor 4. szék, 7. sor 10. szék, 7. sor 12. szék és 10. sor 11. szék. Marci és Patrik egyedül ültek. Zsombor és Dóra jegye egymás mellé szólt, és Dóra ült közelebb a sor közepéhez. Bence azt tervezte, hogy majd megkéri a mellette ülőt a helycserére. Bence azért szeretett volna eggyel beljebb kerülni, hogy Brigi mellett ülhessen. a) Készíts rajzot a füzetedbe! Jelöld a szövegben szereplő helyeket!b) Add meg, hogy kinek hova szól a jegye!

Megoldás: a)–b)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 1. 2. Marci 3. 4. Zsombor Dóra 5. 6. 7. Brigi Bence 8. 9.10. Patrik

Marci és Patrik neve a táblázatban felcserélhető!

19 Ábrázold koordináta-rendszerben a következő nyolc pontot!A(2; 3), B(1; 4), C(–3; 1), D(–2; –4), E(0; 3), F(–4; 0), G(4; –3), H(–3; 3)

Megoldás:

Szerk

eszt

és a

latt

220

ÖSSZEFOGLALÁS10.20 A koordináta-rendszerben bejelölt hat pontot add meg egy-egy számpár segítségével!

Megoldás:

A(1; 2), B(2; 3), C(–3; –1), D(–1; –3), E(0; –2), F(–3; 0).

21 A koordináta-rendszerben színezéssel szemléltesd azokat a pontokat, amelyekneka) mindkét jelzőszáma pozitív szám; b) csak az egyik jelzőszáma negatív szám;c) az első jelzőszáma 1; d) legalább az egyik jelzőszáma 0;e) legalább az egyik jelzőszáma 2; f) a második jelzőszáma –2;g) a két jelzőszáma egyenlő; h) a második jelzőszáma pozitív szám!

Megoldás:a) b) c)

d) e) f)

g) h)

� x

y

�

�

A

B

C

D

F

E

Szerk

eszt

és a

latt

221

ÖSSZEFOGLALÁS 10.22 Juli, miközben a testvérét, Fecót várta a suli előtti lépcsőn ücsörögve, sormintát rajzolt az aszfaltra. Mire Fecó előkerült, már 100 darab minta díszelgett a suli előtt. Így kezdődött:

és aztán ezek a minták ismétlődtek folyamatosan.a) Melyik színt használta a legtöbb ábrához?b) Hány sünit rajzolt összesen?c) Melyik mintákból rajzolta a legkevesebbet?d) Mennyivel több falevelet rajzolt, mint szívecskét?

Megoldás:

a) A piros színt.b) 17 sünit.c) A virágból és a levélből.d) Nem falevelet rajzolt többet, hanem szívecskét.

23 Melyik két dominót kell felcserélned, hogy mindhárom sorban és mindhárom oszlopban ugyanannyi pötty legyen a dominókon?

Megoldás:

Készítsünk táblázatot a dominókon szereplő pöttyök számáról:

Akkor lesz mindenhol egyenlő számú pötty, ha minden sorban és oszlopban szerepel egy-egy 5, 6 és 7 pöttyös dominó. Ennek az állapotnak az eléréséhez a 2. sor utolsó és a 3. sor első dominóját kell kicserélni:

Szerk

eszt

és a

latt

222

ÖSSZEFOGLALÁS10.24 Hogyan tudnád folytatni?a) 123, 456, 789, 101, 112, 131, 415, 161, 718, …b) 0, 12, 345, 6789, 10111, 213141, 5161718, …

Megoldás:

a) 123, 456, 789, 101, 112, 131, 415, 161, 718, 192, 021, 222, 324, 252, 627, 282, 930, …b) 0, 12, 345, 6789, 10111, 213141, 5161718, 19202122, 232425262, 7282930313, …

Kiegészítés: A természetes számok sorozatából először egy, kettő, három… hosszúságú számsorozatot készítünk. (A leírt számok hossza mindig egy számjeggyel nő.)

25 Niki minden harmadik nap meglocsolja kedvenc virágát, és minden nyolcadik nap lemossa a leveleit. Niki január 3-án locsolt, január 8-án lemosta a leveleket.a) Add meg az év első 15 olyan napját, amikor locsolt!b) Add meg az év első 6 olyan napját, amikor a leveleket lemosta!c) Mikor esett az évben először egy napra a két tevékenysége?d) Mit csinált február 9-én?e) Mit csinálhatott március 25-én?

Megoldás:

a) Január 3., 6., 9., 12., 15., 18., 21., 24., 27., 30., február 2., 5., 8., 11., 14.b) Január 8., 16., 24., február 1., 9., 17.c) Január 24-én.d) Lemosta a kedvenc növényének a leveleit.e) Szökőév esetén egyiket sem, ha pedig nem volt szökőév, akkor virágot locsolt.

26 a) Írd fel a 3-ra végződő pozitív egész számok sorozatának első tíz tagját!b) Írd fel a pozitív páratlan számok sorozatának tagjait 23-ig!

Megoldás:

a) 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93. b) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23.

27 Aladár nagy fogadalmat tett. Háromnapos edzéstervet állított össze magának, és ezt ismételgeti a tanév végéig minden este. Első nap 20 fekvőtámaszt csinál, második nap 50 felülést, harmadik nap 75 guggolásból felugrást. A fogadalmát március elsején kezdte.a) Hány fekvőtámaszt csinált márciusban?b) Mennyivel több guggolásból felugrást csinált márciusban, mint felülést?c) Márciusban vagy áprilisban csinált több felülést? Mennyivel többet?

Megoldás:

a) A 3 napos edzéstervéből 10-et végzett el teljesen, a megkezdett 11-edikből még az 1. napi fekvőtáma-szokat, azaz összesen, 11 ⋅ 20 = 220 fekvőtámaszt.

b) Mindkét fajtából 10–10 nap erősített, így 750 guggolásból felugrást és 500 felülést végzett, tehát 250-nel több guggolásból felugrást csinált.

c) Mindkét hónapban 10 szer végez felülést, tehát ugyanannyit.

Szerk

eszt

és a

latt

223

ÖSSZEFOGLALÁS 10.28 Abdurhamil, a híres kalóz kincsesládát talált egy lakatlan szigeten, benne valamennyi arannyal. Ész-revette, hogy a láda melletti lapon az alábbi szöveg olvasható:

Ez a láda csodaláda. Valahányszor kiveszel belőle kilenc aranyat, megháromszorozza a ládában maradt aranyak számát.

Abdurhamil boldogan hajóra szállt, egy nagyvárosba utazott, és elkezdte gondtalanul költeni az aranyát. Hatalmasat csalódott azonban, mert amikor harmadszor is kivett a ládából kilenc aranyat, üres lett a kin-csesláda. Hány arany volt a ládában eredetileg?

Megoldás:

Visszafelé gondolkodással oldjuk meg a feladatot. 0 aranya volt a végén, ezért0  →  9 = 3 ⋅ 3  →  3 + 9 = 12 = 3 ⋅ 4  →  4 + 9 = 1313 aranya volt Aburhamilnak.

29 A 2 × 2 × 2-es Rubik-kocka mellett a dupla és a tripla változat fényképét is láthatod. Képzeld el, hogy ezeket kis kockákból kell összeragasztanod.

a) Hány darab kis kocka kell a képen látható alakzatok elkészítéséhez?b) Gondold tovább! Hány darab kis kocka kellene a következő három alakzathoz?c) Hány darab piros négyzetet láthatsz az egyes alakzatokon? Sorold fel az első hat darabszámot!d) Hány darab színes négyzet határolja a képen látható alakzatokat?

Megoldás:

a) Az elsőhöz 8, a másodikhoz 15, a harmadikhoz pedig 22 kis kocka szükséges.b) A kockák száma héttel növekszik, vagyis a következő három alakzathoz 29, 36 és 43 kis kocka kell.c) 4, 7, 10, 13, 16, 19.d) Az elsőt 24, a másodikat 42, a harmadikat pedig 60 négyzet határolja.Sze

rkes

ztés

ala

tt

224

ÖSSZEFOGLALÁS10.30 Egyesével növekedő pozitív egész számokat írtunk egymás mellé a füzetünkbe. A sorozat első száma kétjegyű, utolsó száma háromjegyű szám. A harmincadik számjegy leírása után abbahagytuk a számok felsorolását.a) Sorold fel te is a megfelelő számokat!b) Hány darab háromjegyű számot írhattunk a füzetünkbe?c) Hány darab számot írhattunk egy sorozatban összesen?

Megoldás:

a) Négyféle számsor van:97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107;94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105;91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103;88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101.

b) 8, 6, 4 vagy 2 darabot írhattunk.c) 11, 12, 13 vagy 14 számot írhattunk.

Szerk

eszt

és a

latt

VI. Arányosság, egyenletek

Gerzson és Gazsi a kilátóteraszon álltak, és az óráról órára nagyobbnak látszódó Földet nézték.– A Féreglyuk Expresszel kellett volna jönnünk, nem ezzel az ósdi ionmotoros vacakkal – horkant fel Ger-zson. – Mi lettünk volna az elsők a suliból, akik a FérExszel utaznak. – Ez igaz, de így csak 260 euró volt az út fejenként, a FérExszel pedig 740 lett volna. – Az pont a háromszorosa – szúrta közbe Panni, aki valahogy a hátuk mögé sündörgött.– Majdnem eltaláltad – vigyorgott kajánul Gerzson –, de 260 ⋅ 3 az 780, és nem 740.– Jól van, na. Majdnem háromszoros. Kerekítve igazam van – toppantott Panni. – Az út viszont hét napig tart haza, míg a FérExszel csak négy óra lenne. Az viszont… egy nap az 6-szor 4 óra, azaz 42-szer hosszabb ideig jövünk, mint a FérExszel – folytatta Gazsi mosolyogva.– Az apró betűt is elolvastad a reklámjukban? – kérdezte Gerzson. – A FérEx csak Hold körüli pályára szállít, ahonnan hagyományosan lehet a Földre utazni, ami gyakorlatilag plusz egy nap. – Az még mindig csak 4 + 24 = 28 óra. Egy hét az 7 ⋅ 24 = 168 óra, ami pont hatszor annyi idő. – Azaz majdnem háromszor annyi pénzért, hatodannyi idő alatt értünk volna haza – foglalta össze Panni, és elégedetten állt meg a két fiú között.

Szerk

eszt

és a

latt

226

A TÖMEG MÉRÉSE, MÉRTÉKEGYSÉGEI1.Feladatok1 Járj utána, hogy a következő hétköznapi helyzetekben melyik mértékegységet használjuk a tömeg mérésére!a) poggyász a repülőgépen b) egy híd teherbírása c) ékszer d) egy gombóc fagyi e) a tankönyv tömege f) gyógyszerek összetétele

Megoldás:

a) kilogramm b) tonna c) grammd) dekagramm e) gramm f) milligramm

2 Válaszd ki az alábbi mondatok közül azokat, amelyek helyesek, elhangozhattak egy beszélgetés során! Amelyik szerinted lehetetlen, azt javítsd ki, fogalmazd át úgy, hogy hihető legyen!a) Örömmel tudatjuk, hogy 3530 g-mal és 53 cm-rel megszületett kislányunk, Anna.b) 23 dkg lett a felvágott. Maradhat? Nem, hazavinném.c) A daru maximális teherbírása 1 kg.d) Megmértem magam a mérlegen, 43 dkg vagyok.e) Vettem 2 kg faanyagot a kerti szerszámoskamra megépítéséhez, de nem tudom hazavinni, mert nem

bírom el.

Megoldás:

a) Helyes.b) A tömeg helyes. Sok más országban a húsáruk tömegét grammban adják meg. Viccként elhangozhat!

A gyakoribb válaszok: „Igen, maradhat.”, illetve „Nem, inkább pontosan kérem.”c) A daru maximális teherbírása 1 tonna.d) Megmértem magam a mérlegen, 43 kg vagyok.e) Vettem 2 mázsa (200 kg) faanyagot a kerti szerszámoskamra megépítéséhez, de nem tudom haza-

vinni, mert nem bírom el.

3 Mérjétek meg, kinek hány kg az iskolatáskája, esetleg a torna-zsákja! Osszátok két részre a lemért táskákat úgy, hogy egy óriás-mérleg két kosarába téve azokat, a mérleg egyensúlyban legyen!

Megoldás:

Egyéni eredmények, méréssel ellenőrizzük a becslés jóságát.

4 Becsüljetek, majd mérjétek meg a következő tárgyak tömegét!a) matektankönyv b) tolltartó c) 5 db ceruzad) egy 100 Ft-os e) egy dobókocka f) egy radír

Megoldás:

Egyéni eredmények, méréssel ellenőrizzük a becslés jóságát.

Szerk

eszt

és a

latt

227

A TÖMEG MÉRÉSE, MÉRTÉKEGYSÉGEI 1.5 Egészítsd ki az alábbi mennyiségeket úgy, hogy a tömegük 3 kg legyen!a) 1 kg b) 38 dkg c) 87 g d) 1 t

Megoldás:

a) 1 kg + 2 kgb) 38 dkg + 262 dkgc) 87 g + 2913 gd) 1 tonnát nem lehet, mert több mint 3 kg.

6 Szeleburdiék egy ház ötödik emeletén laknak. A hétvégi nagybevásárlásról hazaérkezve a lift előtt tanakodnak, mert annak ajtaján a következő szöveg olvasható: Maximum 300 kg (4 fő) szállítására alkalmas.Tudjuk, hogy a gyerekek 25 kg és 36 kg tömegűek, az anyuka 60 kg, az apuka 75 kg. A csomagjaik tömegét nem ismerik. Mit tanácsolsz nekik? Beszállhatnak-e egyszerre az összes csomagjukkal a liftbe? (Nézz utána, ki írt könyvet a Szeleburdi családról!)

Megoldás:

A családtagok együttes tömege 25 + 36 + 60 + 75 = 196 kg. A csomagjaik együttes tömege nem valószínű, hogy meghaladja a fennmaradó 104 kilogrammot, hiszen ez azt jelentené, hogy egyenként 26 kg tömegű csomagot cipelnek. Azt tanácsoljuk nekik, hogy nyugodtan szálljanak be egyszerre a liftbe.

Bálint Ágnes írt regényt Szeleburdi család címen.

7 Anya, Jocó és Lincsi vásárolni mentek a sarki kisboltba. Vettek 1 kg kenyeret, 25 dkg sajtot, 35 dkg felvágottat, 2 csomag vajat (darabonként 100 g), 3 kg mosóport, 2 kg cukrot, 3 kg lisztet, 0,5 kg porcukrot, 0,5 kg zsem-lemorzsát, 2 csomag spagettit (darabonként 50 dkg), 40 dkg darált húst, 2 tábla csokit (darabja 10 dkg) és két csomag nápolyit (darabonként 100 g).a) Hány kg-ot vásároltak összesen?b) Mekkora terhet kellett vinniük külön-külön, ha mindannyian ugyanakkora tömegű árut tettek a táskájukba?c) Oszd szét a megvett termékeket úgy, hogy mindenki ugyanannyit cipeljen haza!

Megoldás:

Minden árut váltsunk át kg-ba.

kenyér 1 kg; sajt 0,25 kg; felvágott 0,35 kg; 2 csomag vaj 0,2 kg;mosópor 3 kg; cukor 2 kg; liszt 3 kg; porcukor 0,5 kg;zsemlemorzsa 0,5 kg; spagettit 1 kg; darált hús 0,4 kg; csoki 0,2 kg;nápolyi 0,2 kg.

a) 12,6 kg-ot vásároltak összesen.b) Fejenként 4,2 kg-ot vittek haza.c) Például: Jocó viszi a mosóport, a kenyeret és a vajat, anya viszi a lisztet, a spagettit és a nápolyit, a töb-

bit Lincsi.

Szerk

eszt

és a

latt

228

A TÖMEG MÉRÉSE, MÉRTÉKEGYSÉGEI1.8 Másold le a feladatot a füzetedbe! Add meg a hiányzó mértékegységeket!a) 3,5 kg = 3500 …… b) 0,3 t = 300 …… c) 4,2 g = 4200 …… d) 39 dkg = 390 …… e) 4800 mg = 4,8 …… f) 0,2 dkg = 2 …… g) 1450 g = 1,45 …… h) 420 dkg = 4,2 ……

Megoldás:

a) 3,5 kg = 3500 g b) 0,3 t = 300 kg c) 4,2 g = 4200 mg d) 39 dkg = 390 ge) 4800 mg = 4,8 g f) 0,2 dkg = 2 g g) 1450 g = 1,45 kg h) 420 dkg = 4,2 kg

9 Másold le a feladatot a füzetedbe! Add meg a hiányzó mérőszámokat!a) 1600 mg = …… g b) 380 g = …… kg c) 4600 dkg = …… kg d) 370 kg = …… g e) 4,8 t = …… kg f) 0,78 kg = …… g g) 48 dkg = …… g h) 0,38 g = …… mg

Megoldás:

a) 1600 mg = 1,6 g b) 380 g = 0,38 kg c) 4600 dkg = 46 kg d) 370 kg = 370 000 ge) 4,8 t = 4800 kg f) 0,78 kg = 780 g g) 48 dkg = 480 g h) 0,38 g = 380 mg

Szerk

eszt

és a

latt

229

AZ ÛRTARTALOM MÉRÉSE, MÉRTÉKEGYSÉGEI 2.Feladatok1 Mit gondolsz, körülbelül mennyi víz fogya) egy zuhanyzásnál; b) egy mosásnál; c) az autómosóban egy kocsimosásnál?Ha nem tudod a válaszokat, nézz utána az interneten!

Megoldás:

a) Nagyon változó, 40 l – 140 l között változhat, függ a zuhanyrózsa méretétől, a zuhanyzás idejétől.b) 40-80 litert fogyaszt egy mosógép.c) Nagyon változó, 100 l – 400 l között lehet az autómosóban felhasznált víz.

2 Az üvegen található utasítás szerint 0,7 liter bodzaszörpöt 6 liter vízzel kell hígítani ahhoz, hogy finom legyen. a) Készítsetek el egy nagy edényben ennyi üdítőt! Becsüljétek meg, mekkora edényt válasszunk az

összekeveréshez!b) Hány liter lett összesen a hígított szörp?c) Hány embernek jutna belőle, ha mindenki 2 dl-t kapna?d) Hány dl jutna fejenként, ha az osztályból mindenki ugyanannyit kapna?

Megoldás:

a) Egy legalább 7 literes edényt érdemes választani, hogy a szörpöt össze is tudjuk keverni.b) 6,7 liter lett a higított szörp. c) 67 : 2 = 33,5 így 33 embernek jutna belőle.d) Az osztálylétszámmal kell elosztani a 67 dl-t.

3 Írd fel mindegyik edény űrtartalmát három különböző mértékegységgel!a) félliteres szörpösüveg b) 2 deciliteres pohár c) másfél hektoliteres hordó

Megoldás:

a) 0,5 dm³ = 500 cm³ = 500 000 mm³b) 0,2 dm³ = 200 cm³ = 200 000 mm³c) 150 dm³ = 150 000 cm³ = 0,15 m³

4 Mit gondolsz, mennyi az űrtartalmaa) egy kis locsolókannának? 2 dl, 2 l, 2 hlb) egy kis üdítős üvegnek? 500 ml, 500 cl, 500 dlc) egy üzemanyag szállító kamion tartályának? 250 dl, 250 l, 250 hl

Megoldás:

a) 2 lb) 500 mlc) 250 hl

Szerk

eszt

és a

latt

230

AZ ÛRTARTALOM MÉRÉSE, MÉRTÉKEGYSÉGEI2.5 a) Add meg literben: 13 hl; 440 dl; 37 500 cl; 900 ml!b) Add meg deciliterben: 23 l; 0,5 hl; 800 cl; 56 000 ml!

Megoldás:

a) 13 hl = 1300 l; 440 dl = 44 l; 37 500 cl = 375 l; 900 ml = 0,9 l.b) 23 l = 230 dl; 0,5 hl = 500 dl; 800 cl = 80 dl; 56 000 ml = 560 dl.

6 Állítsd párba az egyenlőket!

Megoldás:

Ancsi-Levi   Mimi-Balu   Róza-Gazsó   Ilus-Vini   Saci-Palkó   Dorka-Áki

7 A Sebaj családnál elromlott a csap, így egész nap csöpögött, másodpercenként egyszer. 1 csepp víz 0,05 ml. a) Mennyi vizet pazaroltak el 24 óra alatt?b) És egy 30 napos hónap alatt?

Megoldás:

Egy óra alatt 3600 · 0,05 ml = 180 ml víz csöpögött ki a csapból.a) 1 nap = 24 óra alatt 24 · 180 = 4320 ml = 4,32 liter.b) 1 hónap alatt 30 · 4,32 = 129,6 liter.

8 Egy étterem konyháján két 3 literes étolajat bontottak fel. Az egyikből fél litert használtak el, a másik-ból pedig 14 decilitert. Hány deciliter étolaj maradt összesen?

Megoldás:

30 + 30 – 5 – 14 = 41 deciliter étolaj maradt a konyhán.

9 Dini és Lóci apukája az állatkertben dolgozik. Az ő feladata többek között az is, hogy az elefánt előtt mindig legyen megfelelő mennyiségű víz. Háni, az elefánt egyszerre átlagosan 8 liter vizet szív fel az ormá-nyába és fecskendez aztán a szájába. Háni előtt egy 3,2 hl-es tartály áll.a) Hányszor szippanthatja tele az ormányát az előtte álló teli vizes tartályból?b) Amikor a tartály félig üres lett, Háni elment aludni. Dini, Lóci és az apukájuk pedig szorgalmasan hor-dani kezdték a tartályba a vizet. Dini vödre 6 deciliteres, Lócié 5 literes és apáé 20 literes. Ha mindig együtt mennek a kúthoz, hányszor forduljanak, hogy újra tele legyen a tartály?

Megoldás:

a) 3,2 hl = 320 liter,  320 : 8 = 40 40-szer szippanthatja tele az ormányát.b) Egy alkalommal 0,6 l + 5 l + 20 l = 25,6 liter vizet visznek a tartályba. A tartály fele 160 liter. Próbáljuk szorzással meghatározni, hányszor kell fordulniuk. 25,6 · 6 = 153,6 l, ezért a hetedik fordulóra is szükség van, de marad víz a vödrökben.

Szerk

eszt

és a

latt

231

10 Anya és Luca a karácsonyi vásárra szegfűszeg-illatú illóolajat készítettek házilag, hogy ezzel is hoz-zájáruljanak az osztálypénzhez. Összesen 1,5 liter illóolajat készítettek, amit kétféle méretű üvegcsébe öntöttek. Ugyanannyi 10 ml-es és 20 ml-es üvegcse készült. Hányat készítettek összesen?

Megoldás:

Váltsuk át milliliterbe az 1,5 litert.1,5 liter = 1500 ml1500 : 30 = 50 db 10 ml-es és 50 db 20 ml-es üvegcsét készítettek.

AZ ÛRTARTALOM MÉRÉSE, MÉRTÉKEGYSÉGEI 2.

Szerk

eszt

és a

latt

232

AZ IDÔ MÉRÉSE, MÉRTÉKEGYSÉGEI3.Feladatok1 a) Számítsd ki, hány hónapos vagy! Hasonlítsátok össze az eredményeket! Ki lett a legfiatalabb?b) Számítsd ki, hány napot éltél? Hány nap a korkülönbség az osztály legidősebb és legfiatalabb tagja között?c) Vannak köztetek olyanok, akik között csak pár nap vagy pár óra a korkülönbség?

Megoldás:

Egyéni számolás, eredmények, tevékenykedtetés.

2 Váltsd át a következő mondatokban szereplő időtartamokat olyan mértékegységbe, amelyik jobban illik a szövegkörnyezetbe!a) A tűzoltók 300 másodpercen belül a helyszínre értek.b) Ez a kisbaba 840 órás.c) Fáradt vagyok, mert éjjel csak 300 percet aludtam.

Megoldás:

a) A tűzoltóság 5 percen belül a helyszínre ért.b) 840 : 24 = 35 napos ez a kisbaba.c) Fáradt vagyok, mert éjjel csak 5 órát aludtam.

3 Az ábra segítségével válaszolj a kérdésekre!

a) Összesen mennyi ideig van nyitva a bolt egy héten?b) Este hét óra után hét perccel léptünk be a boltba. Hány percünk van még a vásárlásra?c) A boltban két eladó, Éva és Noé dolgozik. Úgy osztották be a napo-kat, hogy Éva hétfőn, szerdán és pénteken van a boltban, Noé ked-den, csütörtökön és szombaton. Hetenként cserélnek, hogy igazságos legyen a beosztás. Hány órát dolgozik Éva és Noé hetente?d) Zénó szerdán 12:26-kor zárva találja a boltot. Zénó nem nézi meg a nyitvatartásról szóló táblát, ezért távozni akar. Te mit tanácsolnál neki?

Megoldás:

a) Ha a nyitva tartási időből levonjuk a fél óra ebédszünetet, akkor hétköznap 11, szombaton pedig 6 óra hosszan van nyitva a bolt. Ez összesen 5 ∙ 11 + 6 = 61 óra nyitva tartási idő hetente.

b) A bolt még 23 percig nyitva van, ennyi időnk maradt a vásárlásra.c) Az az eladó, aki hétfőn, szerdán és pénteken van a boltban, heti 3∙11=33 órát dolgozik, a másik, aki

kedden, csütörtökön és szombaton megy be, 2 ∙ 11 + 6 = 28 órát dolgozik a héten.d) Zénónak érdemes lenne 4 percet várakoznia, mert akkor nyit ki a bolt az ebédszünet után.Sze

rkes

ztés

ala

tt

233

AZ IDÔ MÉRÉSE, MÉRTÉKEGYSÉGEI 3.4 Egy bank internetes szolgáltatása alapján az ügyfelek az előző három hónap pénzügyi adatait nézhe-tik meg. Hány napot jelenthet ez?

Megoldás:

Három egymás utáni hónap általában 31, 30, 31 vagy 30, 31, 30 napos, azaz 92 vagy 91 nap adatait tartal-mazhatja a kimutatás. A február adhat ettől eltérő értéket. Ezt külön megvizsgáljuk szökőévre is:31 + 31 + 28 = 90, 31 + 28 + 31 = 90, 28 + 31 + 30 = 89.31 + 31 + 29 = 91, 31 + 29 + 31 = 91, 29 + 31 + 30 = 90.Vagyis 89, 90, 91, 92 napot jelenthet ez.

5 Add meg a hiányzó mérőszámokat! a) 3,5 min = …… s b) 4,25 h = …… min c) 4,5 nap = …… h d) 0,5 hét = …… he) 720 s = …… min f) 78 h = …… nap g) 3 nap = …… hét h) 3,5 hét = …… h

Megoldás:

a) 3,5 min = 210 s b) 4,25 h = 255 min c) 4,5 nap = 108 h d) 0,5 hét = 84 h

e) 720 s = 12 min f) 78 h = 3,25 nap g) 3 nap = 37

hét h) 3,5 hét = 588 h

6 Add meg a hiányzó mértékegységeket!a) 330 s = 5,5 …… b) 780 h = 32,5 …… c) 336 h = 2 …… d) 7200 s = 2 ……

Megoldás:

a) 330 s = 5,5 min b) 780 h = 32,5 nap c) 336 h = 2 hét d) 7200 s = 2 h

7 A Nap 2014. 03. 15-én, szombaton 5 óra 57 perckor kelt fel és 17 óra 49 perckor nyugodott le.a) Milyen hosszú volt a nappal?b) Milyen hosszú volt az ezt követő éjszaka, ha másnap 5 óra 55 perckor kelt fel a Nap?c) Délután 4 óra előtt 12 perccel mennyivel van közelebb hozzánk a következő napnyugta, mint az előző napkelte?

Megoldás:

a) 11 óra és 52 perc hosszú volt a nappal.b) 12 óra és 6 perc hosszú volt az éjszaka.c) A napkelte 9 óra 51 percnyire, a napnyugta 2 óra 1 percnyire van, azaz 7 óra 50 perccel van közelebb a

következő napnyugta, mint az előző napkelte.

Szerk

eszt

és a

latt

234

AZ IDÔ MÉRÉSE, MÉRTÉKEGYSÉGEI3.8 Késő Klára minden reggel ébredés után háromnegyed órát készülődik az iskolába indulásig. Tíz perc alatt kiér a buszmegállóba, ahol az öt percenként közlekedő busz húsz perc alatt elviszi az iskoláig. A buszról leszállva öt percre van szüksége, hogy az osztályterembe érjen, elfoglalja a helyét, és előkészüljön az első órára. Az első órára 8 órakor csöngetnek be. Sajnos Klári sokszor elkésik. Amikor osztályfőnöke kérdőre vonja, azzal védekezik, hogy ő az általa kiszámított időben pontosan felkel. a) Mikor kel fel Klára? b) Vajon mit javasolt neki az osztályfőnöke?

Megoldás:

a) Klárinak ébredéstől számítva 80-85 percre van szüksége ahhoz, hogy ne késsen el. Klári úgy gondol-hatja, hogy ha rögtön jön a busz, elég a 80 perc, ezért 6 : 40-re állítja az ébresztőóráját.

b) Legyen 5 (vagy 10) perccel korábban az ébresztő.

9 Rozi május 29-én elhatározta, hogy a következő naptól kezdve minden nap 10 percet fog futni, aztán ötnaponta fél perccel emeli az adagot. Rozi ezt a tervet tartotta június végéig.a) Hány percet futott június 10-én? b) Mely napokon futott Rozi 11 percet?c) Hány órát futott összesen júniusban?

Megoldás:

a) 11 percet futott június 10-én.b) Június 9-től 13-ig futott 11 percet.c) 3 ∙ 10 + 5 ∙ (10,5 + 11 + 11,5 + 12 + 12,5) + 2 ∙ 13 = 343,5 perc = 5,725 órát futott júniusban.

Szerk

eszt

és a

latt

235

MÉRTÉKEGYSÉG-ÁTVÁLTÁSOK 4.Feladatok1 Erős Pista otthon súlyzózik. Súlyzójának rúdja 3 kilogramm. 40 dekagrammos, 75 dekagrammos, 1250 grammos és 230 dekagrammos fémtárcsái vannak, mindegyikből két-két darab. A rúd mindkét végére három tárcsa fér rá, és mindig felszerel legalább egy-egy tárcsát.a) Mekkora a legnagyobb súly, amivel dolgozhat?b) Melyik tárcsákat szerelje fel a rúdra, ha 7 kilogrammal szeretne edzeni?c) Mekkora az eltérés a legkönnyebb és a legnehezebb összeállítás között?

Megoldás:

Váltsunk át mindent kilogrammra:40 dkg = 0,4 kg, 75 dkg = 0,75 kg, 1250 g = 1,25 kg, 230 dkg = 2,3 kg.

a) A négyféle súly közül a három nehezebbet kell feltennie a súlyzójára. Így legfeljebb 3 + 2∙(2,3 + 1,25 + 0,75) = 11,6 kg súllyal dolgozhat.

b) A rúd 3 kg tömegű, ezért a tárcsákat úgy kell választani, hogy összesen 4 kilogrammot nyomjanak. Mivel 2 ∙ (1,25 + 0,75) = 4, ezért a 0,75 kg és az 1,25 kg tömegű tárcsákat kell felszerelni a rúdra.

c) A legnehezebb összeállítást már tudjuk, hogy 11,6 kg. A legkönnyebb összeállítás az lesz, ha a rúdra a legkönnyebb fémtárcsákat, vagyis a két 0,4 kg-osat teszi fel. Ez az összeállítás 3,8 kg lesz. A két össze-állítás tömegének eltérése 7,8 kg.

2 Csiga Biga 14:00 órakor indult el a tőle 22,5 méterre lakó barátjához. a) Vajon odaér-e este 6-ra, ha 7,5 cm-t halad percenként?b) Mikor induljon reggel haza, ha legkésőbb 11:25-re haza kell érnie?

Megoldás:

a) Este 6 óráig 4 óra telik el, ez 4⋅60=240 perc. Összesen 240⋅7,5 cm = 1800 cm = 18 méter, így nem ér oda este 6 órára.

b) Váltsunk át minden adatot mm-be, hogy el tudjuk végezni az osztást. 22,5 m = 22500 mm; 7,5 cm = 75 mm. 22 500 : 75 = 300 perc, ami 5 óra, így 6:25-kor kell elindulnia.

3 A mozdony 50 tonna terhet bír elhúzni. Hány darab vagonnal indítható el az ábrán látható moz-dony? A vagonoknak nem tudjuk megváltoztatni a sorrendjét.

Megoldás:

A vagonok összteherbírása tonnában számolva 34 + 4,5 + 3,5 + 7 = 49 tonna, ezért a mozdony négy vagon-nal is elindítható.Sze

rkes

ztés

ala

tt

236

MÉRTÉKEGYSÉG-ÁTVÁLTÁSOK4.4 Hogyan lehet egy 3 és egy 5 perces homokórával pontosan 4 percet mérni?

Megoldás:

Ha egyszerre indítjuk el a két homokórát, akkor a 3 perces lejártakor az 5 percesből még 2 percnyi van hátra. Ekkor fordítsuk meg a 3 perceset, amelyben az 5 perces lejártakor 1 perc marad. Az 5 perces meg-fordításakor ez az 1 perc eltelik, s onnantól, hogy a 3 perces másodszorra is kiürült, az 5 perces homokóra lejártáig pontosan 4 perc telik el.

3 perc 3 perc 4 perc

5 perc 5 perc

5 Lali és a nagypapája rendszeresen járnak horgászni. Lali rengeteg trükköt ellesett már tőle. Lassan közeleg nagypapa születésnapja, így Lali egy szuper horgászajándékot eszelt ki a számára. Vett egy tekercs 150 méter hosszú damilt és 40 darab horgot. Egy horogelőke megkötéséhez 25 cm-es damil kell, ha ügye-sebbek vagyunk, elég 20 cm is. Lali először kötött 10 előkét 25 cm-es damillal, majd nagyon belejött, így a többi horogra elég volt 20 cm-es damilból kötnie az előkéket. Hány méter zsinór maradt?

Megoldás:

A 25 cm-es előkéhez 10 ⋅ 25 = 250 cm = 2,5 m damil kellett. 40 – 10 = 30 db 20 cm-es előkéhez 30 ⋅ 20 = 600 cm = 6 m damilra volt szükség. Így összesen 150 – (2,5 + 6) = 141,5 méter maradt.

6 Add meg ezeknek a mennyiségeknek a tizedrészét egy másik mértékegységgel!a) 10 cm b) 7 dkg c) 5 dm d) 25 l e) 1,5 m f) 0,5 kg

Megoldás:

Többféle megoldás lehet. Például:a) 10 mm b) 7 gramm c) 5 cm d) 25 dl e) 1,5 dm f) 5 dkg

Szerk

eszt

és a

latt

237

MÉRTÉKEGYSÉG-ÁTVÁLTÁSOK 4.7 Írd le növekedő sorrendben a megadott mennyiségeket! Használj egy közös mértékegységet!a) 6500 mm, 65 cm, 6,5 m, 0,65 km, 650 dm b) 24 g, 0,5 kg, 31 dkg, 0,006 t, 7,5 kg c) 0,5 nap, 1 hét, 200 h, 3 nap, 7200 min d) 2500 ml, 23 dl, 0,03 hl, 275 cl, 28,8 l

Megoldás:

a) Legyen méter a közös mértékegység:  6500 mm = 6,5 m; 65 cm = 0,65 m; 6,5 m; 0,65 km = 650 m; 650 dm = 65 m A növekvő sorrend:  65 cm < 6500 mm = 6,5 m < 650 dm < 0,65 km

b) Legyen gramm a közös mértékegység:  24 g; 0,5 kg = 500 g; 31 dkg =310 g; 0,006 t=6000 g, 7,5 kg = 7500 g A növekvő sorrend:  24 g < 31 dkg < 0,5 kg < 0,006 t < 7,5 kg

c) Legyen óra a közös mértékegység:  0,5 nap = 12 óra; 1 hét = 168 óra; 200 h = 200 óra; 3 nap = 72 óra; 7200 min = 120 óra A növekvő sorrend:  0,5 nap < 3 nap < 7200 min < 1 hét < 200 h

d) Legyen liter a közös mértékegység:  2500 ml = 2,5 l; 23 dl = 2,3 l; 0,03 hl = 3 l; 275 cl = 2,75 l; 28,8 l A növekvő sorrend:  23 dl < 2500 ml < 275 cl < 0,03 hl < 28, 8 l

8 A következő mennyiségek összegét pótold 5 kg-ra!a) 3400 g, 12 dkg, 1 kg b) 12 000 mg, 988 g, 300 dkg c) 0,0002 t, 80 dkg, 1100 g d) 4 g, 44 dkg, 4 kg

Megoldás:

a) 48 dkg b) 1 kg c) 290 dkg d) 556 g

9 Írd le egy kisebb egész számmal és annak megfelelő mértékegységgel a következő mennyiségeket! Amelyiket lehet, azt add meg többféleképpen is! Sorold fel a megadott mennyiségek közül azokat, ame-lyekkel hosszúságot adtunk meg!a) 2000 kg b) 2800 cm c) 70 dl d) 14 nap e) 25 020 mm f) 6900 l g) 120 000 dkg h) 5100 dm i) 32 400 s j) 15 000 g k) 830 ml l) 15 840 min

Megoldás:

a) 2000 kg = 2 tonna b) 2800 cm = 280 dm = 28 mc) 70 dl = 7 liter d) 14 nap = 2 héte) 25 020 mm = 2502 cm f) 6900 l = 69 hlg) 120 000 dkg = 1200 kg h) 5100 dm = 510 mi) 32 400 s = 540 perc = 9 óra j) 15 000 g = 1500 dkg = 15 kgk) 830 ml = 83 cl l) 15 840 min = 264 óra = 11 nap

Hosszúságot adtunk meg az alábbi mennyiségekkel: 2800 cm, 25020 mm, 5100 dm (b), e), h)).

Szerk

eszt

és a

latt

238

MÉRTÉKEGYSÉG-ÁTVÁLTÁSOK4.10 Pótold 4 l-re a következő mennyiségek összegét!a) 2 l, 15 dl, 30 cl b) 3 l, 3 dl, 3 clc) 2200 ml, 6 dl, 75 cl d) 0,007 hl, 940 ml, 58 cl

Megoldás

a) 2 dl b) 67 clc) 450 ml d) 1780 ml

11 Mennyivel több, mint egy nap a következő időtartamok összege?a) 11 h, 120 min, 50 400 s b) 300 min, 18 000 s, 15 h c) 0,5 nap, 11 h, 100 min d) 15 000 s, 1200 min, 0,5 h

Megoldás:

a) 3 órával b) 1 órával c) 40 perccel d) 40 perccel

12 Nagymama kétkarú konyhai mérleget használ. A mérleg egyik ser-penyőjébe beleöntött fél kg porcukrot, 20 dkg lisztet, és beleütött két egyforma tojást. A mérleg másik serpenyőjébe beletett 3 darab 20 dkg és 2 darab 10 dkg feliratú súlyt. A mérleg most egyensúlyban van. Hány grammosak lehettek a tojások?

Megoldás:

A tojások 50 grammosak.

13 Lencsi és Zita frissítő koktélokat kevertek maguknak.a) Lencsi citromos koktéljába 1

2 citrom leve, 1

2 lime leve, 5 cl cukorszirup és 1,8 dl szóda kell. Ha ezeket

összekeveri, 14

liter koktélt kap, amit már csak egy kis mentalevéllel ízesít. Sajnos se citrom, se lime nincs

otthon, így ezek helyett citromlevet használ. Mennyi citromlevet öntsön a koktélhoz?b) Zita fél liter málnás-fekete teás koktél készít. Már öntött a poharába 1 dl fekete teát, 3 ml citromlevet, 8 cl cukorszirupot és 50 ml málnaszörpöt. Mennyi szódát öntsön még hozzá?

Megoldás:

a) 14

liter – 5 cl – 1,8 dl = 25 cl – 5 cl – 18 cl = –2 cl.

2 cl citromlevet kell hozzáönteni.b) Az összetevők űrtartalma 1 dl + 3 ml + 8 cl +50 ml = 100 ml + 3 ml + 80 ml + 50 ml =233 ml = 2,33 dl.

0,5 l = 5 dl, ezért 5 dl - 2,33 dl = 2,67 dl szódát kell hozzátölteni.

14 Két tehervagonban 16 tonna feketeszén van. Egy ház éves fűtéséhez és a bentlakók melegvíz- ellátá-sához 8000 kg szénre van szükség. Hány ház ellátására elegendő a két vagonban lévő szén?

Megoldás:

Két ház ellátására elegendő a szén.

Szerk

eszt

és a

latt

239

MÉRTÉKEGYSÉG-ÁTVÁLTÁSOK 4.15 Az iskolai tanórák 45 percesek, de rendkívüli esetben lehetnek rövidített tanórák is, amelyek csak 40 percesek. Vezessük be a tanóra mértékegységet th rövidítéssel, és a rövidtanóra mértékegységet rth rövidítéssel. Vagyis 1 th = 45 min, 1 rth = 40 min.Add meg a következő mennyiségeket th-ban és rth-ban!a) 6 h b) 1 nap c) 720 min d) 21 600 s

Megoldás:

a) 8 th = 9 rth b) 32 th = 36 rth c) 16 th = 18 rth d) 8 th = 9 rth

16 a) Ha felveszem a „Hipp-hopp, ott legyek, ahol akarok” varázsköpenyemet, akkor 15 000 m-t tudok megtenni egy szempillantás alatt. Hány szempillantás alatt érek Budapestről a tőle légvonalban 165 km távolságra lévő Debrecenbe?b) Hány dkg „Hopponáló por” kell ehhez az úthoz, ha 6 g 5 km megtételéhez elegendő?

Megoldás:

a) 15 000 m = 15 km, 165 : 15 = 11 szempillantás alatt lehet Budapestről Debrecenbe érni.b) 165 : 5 = 33, és 33 ⋅ 6 = 198 gramm = 19,8 dkg „Hopponáló por” kell az úthoz.

Szerk

eszt

és a

latt

240

ARÁNYOSSÁGOK, VÁLTOZÓ MENNYISÉGEK5.

Feladatok1 Ha egy tojás ára 40 Ft, akkor mennyibe kerül aa) hat; b) tíz; c) tizenöt darabos doboz?

Megoldás:

a) 240 Ft; b) 400 Ft; c) 600 Ft.

2 Egy felnőtt embernek naponta 2–2,5 liter folyadék bevitelére van szüksége. Ezt a vízigényt nem csak közvetlenül ivással, hanem táplálékkal (pl. leves, egyéb folyadéktartalmú étel) is bevihetjük a szervezetbe. Mennyi folyadékra van szüksége egy embernek egy hét, egy hónap, egy év során?

Megoldás:

Egy hét: 14–17,5 liter.

31 napos hónap: 62–77,5 liter.30 napos hónap: 60–75 liter.29 napos hónap: 58–72,5 liter.28 napos hónap: 56–70 liter.(Azaz egy hónapban körülbelül 56–77,5 liter.)

Szökőévben: 732–915 liter.Nem szökőévben: 730–912,5 liter.(Azaz egy évben kb. 730–915 liter.)

3 Lóri Budapesten él. Iskolába és edzésre menet rendszeresen használja a tömegközlekedési eszközö-ket, ezért havonta bérletet vásárol. Egy diákbérlet ára 3450 Ft. Hány forintba kerül egy utazása, ha össze-sen 23, 25, 46, 115 alkalommal utazott ebben a hónapban?

Megoldás:

150 Ft, 138 Ft, 75 Ft, 30 Ft

4 Egy pénztárcában csupa egyforma papírpénz van, összesen 20 000 Ft értékben. Hány darab bankjegy lehet benne összesen?

Megoldás:

   500 Ft-osokból 40 db; 1 000 Ft-osokból 20 db; 2 000 Ft-osokból 10 db; 5 000 Ft-osokból  4 db;10 000 Ft-osokból  2 db;20 000 Ft-osból  1 db.Sze

rkes

ztés

ala

tt

241

ARÁNYOSSÁGOK, VÁLTOZÓ MENNYISÉGEK 5.

5 Ede meghallgatta kedvenc együttesének 6 perces számát. Másnap megmutatta Tóninak és Palinak, így hárman együtt hallgatták meg ezt a számot. Mennyi ideig tartott ekkor a zenehallgatás?

Megoldás:

Természetesen ennek a számnak a meghallgatása akkor is 6 percig tartott.

6 Gombóc Artúr a következőt mondta:„A kedvenc desszertemet kicsi és nagy csomagolásban lehet vásárolni. Vettem 4 csomaggal a kicsiből, és 32 barátomnak tudtam adni belőle. Mindenki egyet evett. Egy következő alkalommal a nagy csomagolású-ból vettem, de csak 3 csomaggal. Hány barátomat kínálhatom meg most? Hány darab desszert van a kicsi csomagolásúban?”Megtudtuk, hogy a nagy csomagban 15 darab desszert van. Segíts Artúrnak a kérdések megválaszolásában!

Megoldás:

45 barátját kínálhatja meg a 3 nagy csomagból.A kicsi csomagolásúban 8 db desszert van.

7 „Aranyos” következtetés: Ha III. Béla 25 év alatt 150 rendeletet hozott, akkor 13 év alatt 130 rendeletet hányadik László adott ki?Móricka azonnal észrevette, hogy a 150 a 3 ⋅ 25-nek a kétszerese. Ezért olyan sorszámot kezdett el keresni, amelyiket 13-mal szorozva és duplázva megkapja a 130-at. Ezt gyor-san megtalálta! Mivel 5 ⋅ 13 duplája 130, ezért a válasza: V. László. Mit szólsz ehhez a következtetéshez? Találj ki hasonló feladatot!

Megoldás:

Ez helytelen következtetés. A királyok nevében a sorszámoknak nincs ilyen jelentése.

Szerk

eszt

és a

latt

242

EGYENES ARÁNYOSSÁG6.Feladatok1 Egy gyerek vállszélessége körülbelül 50 cm. a) Hány gyerek álljon szorosan egymás mellé, hogy végigérjék az 5,5 méter széles termet?b) Hányszor ennyi gyerek kell ahhoz, hogy a 11 méteres hosszúságot is betöltsék?c) Mérjétek meg, a ti termetek hány „gyerekvállhossznyi”, és következtessetek a terem méreteire!

Megoldás:

a) 550 : 50 = 11 gyerek álljon egymás mellé.b) Kétszer ennyi gyerek.c) Egyéni megoldások.

2 Döntsd el, melyik igaz, melyik hamis az alábbi állítások közül! Válaszodat beszéld meg a padtársaddal!a) Kétszer annyi idős gyerek kétszer annyit eszik.b) Kétszer annyi bárányhoz kétszer annyi juhászkutya kell.c) Kétszer annyi csempével kétszer akkora falat tudok kicsempézni.d) Kétszer annyi ceruzával kétszer olyan szép rajzot tudok készíteni.e) Kétszer annyi idős ember kétszer olyan magas.

Megoldás:

a) Hamis   b) Hamis   c) Igaz   d) Hamis   e) Hamis

3 Gyűjtsetek 3-4 fős csoportokban olyan hétköznapi mennyiségeket,a) amelyek között egyenes arányosság van! b) amelyekben az összetartozó értékek közül mind a kettő növekszik, még sincs köztük egyenes

arányosság!c) Cseréljenek listát a csoportok, és ellenőrizzék egymás munkáját!

Megoldás:

a) Például: üdítő darabszáma és az ára, biciklikerék fordulatszáma és a megtett út, …b) Például: az ember életkora és a magassága, tanulásra fordított idő és a tudás mennyisége …c) egyéni megoldások.

4 Ambrus hozott egy zacskó cukrot, és miután mind a 11 barátjának adott egy szemet, neki is maradt egy. Hány zacskó cukrot hozzon, ha a 36 fős osztályába mindenkinek szeretne adni egy-egy cukrot?

Megoldás:

1 zacskóban 11 + 1 = 12 szem cukor van.36 : 12 = 3 zacskó cukor éppen elég lesz.Sze

rkes

ztés

ala

tt

243

EGYENES ARÁNYOSSÁG 6.5 Döntsd el, melyik állítás igaz, melyik hamis! A hamisakat javítsd ki!a) Ha egy csomag mogyoró 280 Ft, akkor három csomag mogyoró 820 Ft.b) Ha 24 kg eperből 30 üveg lekvárt tudunk készíteni, akkor 4 kg eperből 5 üveg lekvár lesz.c) Ha a búcsúban 960 Ft a körhintára három menetjegy, akkor két menetjegyért 640 Ft-ot kell fizetnünk.d) Ha a menzán 16 gyereknek 32 bundás kenyeret sütnek, akkor 4 gyereknek 10 készül.

Megoldás:

a) Hamis, hiszen 3 ⋅ 280 = 840 Ft.b) Igaz.c) Igaz.d) Hamis, hiszen 1 gyereknek 2, így 4 gyereknek 4 ⋅ 2 = 8 kenyér készül.

6 Zsófi újévi fogadalma, hogy egy hét alatt 350 fekvőtámaszt csinál, min-dennap ugyanannyit.a) Hány fekvőtámaszt csinál naponta?b) Mennyit csinált januárban?c) Mennyivel csinálna kevesebbet februárban, mint januárban?d) Hány fekvőtámaszt csinál egy év alatt?

Megoldás:

a) 350 : 7 = 50 darabot csinál naponta.b) 50 ⋅ 31 = 1550 darabot csinált januárban.c) Szökőévben 100-zal, amúgy 150-nel csinálna kevesebbet.d) 365 ⋅ 50 = 18 250 darabot, szökőévben, pedig 50-nel többet, 18 300 darabot csinálna.

7 Nagyi minden hétköznap vesz mindkét unokájának egy-egy zacskó Mazsidrazsit, amiért összesen 270 Ft-ot fizet naponta. a) Mennyibe kerül egy zacskó Mazsidrazsi? b) Mennyit költ erre egy hét alatt?

Megoldás:

a) 270 : 2 = 135 Ft-ba kerül egy zacskó.b) 5 ⋅ 270 = 1350 Ft-ot költ erre hetente.

8 Másfél üveg szilvalekvár egy tepsi flódni (töltött sütemény) elkészítéséhez elegendő. Mennyit használ el anya két, illetve három tepsi süteményhez?

Megoldás:

Két tepsihez 2 ⋅ 1,5 = 3 üveg, három tepsihez 3 ⋅ 1,5 = 4,5 üveg lekvár kell.Szerk

eszt

és a

latt

244

EGYENES ARÁNYOSSÁG6.9 Fél kg túró elkészítéséhez 3 liter tej kell. a) Hány liter tej kell 2, 5, 10 kg túró elkészítéséhez?b) Hány kg túró készíthető 6, 15, 42 liter tejből?

Megoldás:

a) Táblázatban foglaljuk össze a megoldásokat:

Túró (kg) 0,5 2 5 10Tej (liter) 3 12 30 60

b) Táblázatban foglaljuk össze a megoldásokat:

Tej (liter) 3 6 15 42Túró (kg) 0,5 1 2,5 7

10 10 tojásból 4 adag rántottát sütünk.a) Hány adag rántotta lesz 15, 20, 50 tojásból?b) Hány tojás kell 10, 30, 40 adag rántotta elkészítéséhez?

Megoldás:

a) Táblázatban foglaljuk össze a megoldásokat:

Tojás (db) 10 15 20 50Rántotta (adag) 4 6 8 20

b) Táblázatban foglaljuk össze a megoldásokat:

Rántotta (adag) 4 10 30 40Tojás (db) 10 25 75 100

11 Egy literes almalé 100 g cukrot tartalmaz.a) Hány g cukrot tartalmaz 3, 7, 10 liter almalé?b) Mikor fogyasztasz el több cukrot? Ha megiszol 2 liter almalevet vagy ha megeszel 40 szem kockacuk-rot? Egy kockacukor tömege 4 g.

Megoldás:

a) Táblázatban foglaljuk össze a megoldásokat:

Almalé (liter) 1 3 7 10Cukortartalom (g) 100 300 700 1000

b) Két liter almalében 2 ⋅ 100 = 200 g cukor van, míg 40 szem kockacukor 40 ⋅ 4 = 160 g, így 2 liter almalével több cukrot viszünk be a szervezetünkbe.

Szerk

eszt

és a

latt

245

12 Mama pici pékségében egy tepsi túrós csodasütemény 15 perc alatt készül el.a) Hány óra alatt készül el 2, 5, 12 tepsi ilyen sütemény?b) Hány tepsi süteményt tud elkészíteni Mama 5,5 óra alatt, ha megállás nél-kül dolgozik?

Megoldás:

a) Táblázatban foglaljuk össze a megoldásokat:

Darabszám 1 2 5 12Elkészítési idő (perc) 15 30 75 180

b) 5,5 óra = 330 perc, így 330 : 15 = 22 tepsi süteményt tud elkészíteni, ha megállás nélkül dolgozik.

13 Vince 100 m2 területen 15 perc alatt nyírja le a füvet. A szomszéd néni telke 500 m2, amit Vince m2-enként 5 Ft-ért nyír le.a) Hány perc alatt végez Vince, ha a szomszéd néni egész telkén lenyírja a füvet?b) Hány Ft-ot keresett vele összesen?

Megoldás:

a) 5 ⋅ 15 = 75 perc alatt végez.b) 500 ⋅ 5 = 2500 Ft-ért nyírja le a füvet.

14 A japán mágnesvonat a világ leggyorsabb vonata, 12 perc alatt tesz meg 100 km-t.a) Hány perc alatt tesz meg 275 km-t? b) Hány km-t tesz meg fél óra alatt?c) Nézz utána az interneten, hogy néz ki ez a mágnesvonat, és mióta működik!

Megoldás:

a) 12 ⋅ 2,75 = 33 perc alatt teszi meg.b) (30 ⋅ 100) : 12 = 250 km-t tesz meg.c) Érdemes kiselőadásnak is feladni, 2004 óta működik.

EGYENES ARÁNYOSSÁG 6.

Szerk

eszt

és a

latt

246

NYITOTT MONDATOK7.Feladatok1 Az A = {hétfő; kedd; szerda; csütörtök; péntek} alaphalmaz mely elemei adják a következő nyitott mondat igazsághalmazát?Ezen a héten … van matematikaóránk.

Megoldás:

Igazsághalmaz: A megfelelő napokat felsoroljuk.

2 Legyen az alaphalmaz a háromjegyű számok halmaza. Add meg a nyitott mondatok igazsághalmazát!a) A … számok csupa egyforma számjegyből állnak. b) A … számok kisebbek, mint 105.c) A … számok pontosan két nullát tartalmaznak. d) A … számok nagyobbak, mint 999.e) A … számok pontosan egy nullát és két kilencest tartalmaznak.

Megoldás:

a) {111; 222; 333; 444, 555; 666; 777; 888; 999}.b) {100;101; 102; 103; 104}.c) {100; 200; 300; 400, 500; 600; 700; 800; 900}.d) Nincs ilyen szám.e) {990; 909}.

3 Írj egy-egy olyan nyitott mondatot, amelynek az igazsághalmazaa) I = {1; 2; 3; 4; 5; 6}; b) I = {7; 77; 777}; c) I = {0}!

Megoldás:

a) A … számokat lehet dobókockával dobni.b) A … pozitív egész számok 1000-nél kisebbek, és csak 7-es számjegyet tartalmaznak.c) A … számnak nincs előjele.

4 Ha egy 24 szeletes tortának több mint a kétharmada elfogyott, akkor a tálcán még … szelet torta lehet. Add meg a fenti nyitott mondat igazsághalmazát!

Megoldás:

{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

5 Két egymást követő hónap napjainak számát összegezzük, és 60-at kapunk. Vagyis + = 60. Add meg a két megfelelő számot! Mely hónapok lehetnek ezek?

Megoldás:

A hónapok 28, 29, 30 vagy 31 naposak lehetnek. Csak 30 + 30 = 31 + 29 = 29 + 31 = 60, de nincs két 30 napos egymás utáni hónap, azaz az első eset nem fordul elő.A másik két lehetőség szökőévben lehet: január, február, illetve február, március.

Szerk

eszt

és a

latt

247

KERESSÜK A MEGOLDÁSOKAT! 8.Feladatok1 Súgtam a számvarázsló robotnak egy számot. Megszorozta 3-mal, majd hozzáadott 7-et és a kijelző-jén látod, mit kapott. Milyen számot súgtam a robotnak?

Megoldás:

a) 7    b) 13    c) –4    d) 0,5

2 Súgtam a számvarázsló robotnak néhány számot, és mindegyikkel ugyanazt a műveletet végezte el. Az ábrákon a súgott és a kapott számokat látod. Mi volt a titkos művelet?a) b)

Megoldás:

a) Minden számhoz adjon hozzá 5-t.b) Minden számhoz adjon hozzá 2-t, majd vegye a felét.

3 Gondoltam egy természetes számra, és hozzáadtam a nála 8-cal kisebb számot, így a) 26-ot; b) – 2-t; c) 100 000-et kaptam.Melyik számra gondoltam?

Megoldás:

a) 17 b) 3 c) 50 004

4 Egy szám kétszereséhez 4-et kell adni, hogy 100 legyen. Melyik ez a szám?

Megoldás:

A keresett szám: 48.

5 Egy számot 3-mal kell csökkenteni, hogy a 4-szerese 100 legyen. Melyik ez a szám?

Megoldás:

A keresett szám: 28.

6 Egy szám feléhez 40-et kell adni, hogy 100 legyen. Melyik ez a szám?

Megoldás:

A keresett szám: 120.

a) b) c) d)

Szerk

eszt

és a

latt

248

KERESSÜK A MEGOLDÁSOKAT!8.7 Egy számot 2-vel kell növelni, hogy a harmada 100 legyen. Melyik ez a szám?

Megoldás:

A keresett szám: 298.

8 Egy számot saját magával kell megszorozni ahhoz, hogy 64-et kapjunk. Melyik ez a szám? Hány meg-oldást találtál?

Megoldás:

Két megoldás adódik, mert 8 ⋅ 8 = (–8) ⋅ (–8) = 64, tehát a keresett szám a 8 és a –8.

Szerk

eszt

és a

latt

249

EGYSZERÛ SZÖVEGES FELADATOK 9.Feladatok1 Zeg és Zug, a két kis vakond 80 vakondtúrást ástak együtt. Zeg 4-gyel többet ásott, mint Zug. Mennyit ástak külön-külön?

Megoldás:

Ha Zeg 4-gyel kevesebbet ásott volna, ugyanannyit ástak volna, így (80 – 4) : 2 = 38 métert ásott Zug és 38 + 4 = 42 métert ásott Zeg.

2 Dragon és Nibbio, a két sárkány 96 királylányt rabolt el eddig összesen. Dragon kétszer annyit, mint Nibbio. Hány királylányt rabolt el Dragon?

Megoldás:

96 : 3 = 32 királylányt rabolt el Nibbio és 32 ⋅ 2 = 64 királylányt Dragon.

3 Hami és Nyami, a két kis mókus összesen 48 szem mogyorót gyűjtött. Ha Nyami 6-ot megenne, akkor ugyanany-nyi lenne mindkettőjüknek. Kinek hány szem mogyorója van?

Megoldás:

Ha Nyami 6-ot megenne, akkor együttesen 48 – 6 = 42 mogyo-rójuk lenne, és mindegyiküknek ugyanannyi, ezért 42 : 2 = 21 lenne fejenként. Tehát Haminak 21 mogyorója volt.Nyaminak 6-tal több, azaz 27 mogyorója volt.

4 Troll és Mroll, a két szörnyeteg összesen 60 drágakövet lopott el. Ha Troll még 4-et ellopna, három-szor annyi drágaköve lenne, mint Mrollnak. Mennyivel több drágakövet lopott Troll, mint Mroll?

Megoldás:

Ha Troll még 4-t ellopna, akkor összesen 60 + 4 = 64 drágakövük lenne. 64 : 4 = 16 lenne Mrollnak, és 60 – 16 = 44 lenne Trollnak.

5 Zsiga bácsi a kertjében lévő orgonabokrokról vágott le virágokat. Hetesével összekötve árusította azokat a piacon. Összesen 14 csokrot készített, de 5 szál kimaradt a csokrokból. Hány orgonát vágott le összesen?

Megoldás:

A 14 csokorban: 14 ⋅ 7 = 98 szál. Vagyis összesen 103 szálat vágott le.

6 Az előző feladattal kapcsolatban azt is tudjuk, hogy minden csokorban 5 lila és 2 fehér orgona volt. Hány fehér orgonát vághatott le összesen?

Megoldás:

A 14 csokorban: 14 ⋅ 2 = 28 fehér virág volt.A kimaradt 5 színét nem ismerjük, ezért 28, 29, 30, 31, 32 vagy 33 fehéret vághatott le.

Szerk

eszt

és a

latt

250

EGYSZERÛ SZÖVEGES FELADATOK9.7 Tegnap Zsófi és én megkaptuk aputól a zsebpénzünket, összesen 5000 forintot. Ha Zsófi kétszer, én pedig háromszor annyi zsebpénzt kaptam volna, akkor mindketten ugyanannyit kaptunk volna. Hány forint Zsófi zsebpénze?

Megoldás:

A szövegből kiderül, hogy Zsófinak több pénze volt, mint nekem.Zsófinak 3000 Ft a zsebpénze.Gondolkodjunk visszafelé. Az ugyanannyi pénznek a fele Zsófié, a harmada az enyém. A kettő együtt12

+ 13

= 56

rész, ami 5000 Ft. 16

rész 1000 Ft. Zsófi pénze 12

= 36

rész, 3 ⋅ 1000 = 3000 Ft.

8 A bútorraktárban háromszor annyi négylábú szék van, mint háromlábú.a) Hány darab a háromlábú, ha összesen 224 szék található a rak tárban?b) Hány darab a háromlábú, ha a székeknek összesen 600 lába van?

Megoldás:

a) A megoldásnál segít az ábra készítése: Háromlábú székek száma: Négylábúszékek száma: Összesen 224 db volt, ezért 224 : 4 = 56. 56 háromlábú szék van.b) Három darab négylábú és egy darab háromlábú széknek összesen 15 lába van. Mivel 600 : 15 = 40, ezért 40 darab háromlábú és 3 * 40 = 120 db négylábú szék van a raktárban.

Másik megoldás:

Próbálgatás módszerével is oldjuk meg a feladatot.A négylábúak száma 150 db-nál kevesebb, mert akkor a lábak száma éppen 600 lenne, de még van három-lábú is. Készítsünk táblázatot. A négylábú székek számát csökkentsük hármasával, így a háromlábú szé-kek száma is egész lesz.

Négylábú székek száma 147 144 141 138 135 132 129 126 123 120Háromlábú székek száma 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40Lábak száma 735 720 705 690 675 660 645 630 615 600

120 db négylábú és 40 db háromlábú szék van.

9 Egy törtszámot úgy kapunk, hogy két különböző színű dobókockával dobunk, majd a piros kockával dobott szám lesz a tört számlálója, a zölddel dobott pedig a nevezője. Mely esetekben lehet a tört értéke egész szám?

Megoldás:

Ahhoz, hogy megtaláljuk az összes megoldást, készítsünk táblázatot.A tört értéke egész szám, ha:

Piros dobókocka 1 2 3 4 5 6Zöld dobókocka 1 1; 2 1; 3 1; 2; 4 1; 5 1; 2; 3; 6

Szerk

eszt

és a

latt

251

10 Írj szöveges feladatot az alábbi ábrákhoz! Cseréld ki a feladatodat a padtársadéval, és oldjátok meg egymás feladatát!a) b)

115 csipet

43 falat 134 falat

Megoldás:

Egyéni megoldások.Például:a) Anna és Peti mézes-mákos süteményt sütöttek, Anna négyszer annyit, mint Peti. Ki hány csipet mákot

rakott a tésztába, ha együtt 115 csipet mákot használtak el?b) Cini és Mini, a két kisegér együtt 134 falat sajtot evett. Ha Cini 43 falattal többet evett volna, akkor

ugyanannyit ettek volna. Ki hány falat sajtot evett?

EGYSZERÛ SZÖVEGES FELADATOK 9.

Szerk

eszt

és a

latt

252

SZÖVEGES FELADATOK A HÉTKÖZNAPJAINKBAN 10.

Feladatok1 Lali, Benő és Dorka egy ültő helyükben megittak másfél liter üdítőt. Benő kétszer, Lali háromszor annyit ivott, mint Dorka. Ki hány dl üdítőt ivott?

Megoldás:

1,5 l = 15 dl, így 15 : 6 = 2,5 dl-t ivott Dorka, 2,5 ⋅ 2 = 5 dl-t ivott Benő, 2,5 ⋅ 3 = 7,5 dl-t ivott Lali.

2 Ilus néni egy 2 kg-os súlyt helyezett a mérleg egyik serpenyőjébe. Tercsi 20 dkg-os és 60 dkg-os cipókkal pakolta tele a mérleg másik serpenyőjét. Melyik cipóból mennyit rakhatott Tercsi, ha a mérleg egyensúlyban volt?

Megoldás:

Több megoldás van, ezért táblázatba foglaltuk a megoldásokat:

60 dkg 3 2 120 dkg 1 4 7

3 Egy tábla csoki 16 cm × 8 cm-es. Hány 2 cm × 1 cm-es kis darabot kapunk három tábla ilyen csokiból?

Megoldás:

Egy táblából 64 kis darabot kaphatunk, ezért 3 táblából 192 kis darabra vágható.

4 Hanna, Bori és Kinga elindultak a 7,8 km hosszú váltóversenyen. Hanna másfélszer annyit futott mint Kinga, Bori 200 m-rel kevesebbet, mint Hanna. Ki hány métert futott a versenyen?

Megoldás:

Ha Bori még 200 métert futott volna, összesen 7800 + 200 = 8000 métert futottak volna. Hanna és Bori együtt háromszor annyit futott volna, mint Kinga, így 8000 : 4 = 2000 métert futott Kinga.

2000 ⋅ 1,5 = 3000 métert futott Hanna és 3000 – 200 = 2800 métert futott Bori.

5 A bevásárlókosárba egyenlő tömegű barackot és almát tettünk. A kosár tömege üresen 56 dkg. Meny-nyi barack és mennyi alma van a kosárban, ha a teli kosár 6 kg?

Megoldás:

(600 – 56) : 2 = 272. Vagyis 272 dkg alma és ugyanennyi barack van a kosárban.Szerk

eszt

és a

latt

253

SZÖVEGES FELADATOK A HÉTKÖZNAPJAINKBAN 10.

6 Tegnap elköltöttem a pénztárcámban lévő pénz felét, és még vettem egy meggyes rétest 200 Ft-ért. Ma pontosan a maradék pénzem felét költöttem el. Most összesen 500 Ft van a pénz tárcámban. Mennyi pénzem volt a tegnapi vásárlásaim előtt?

Megoldás:

Ma reggel 1000 Ft-om volt. Tegnap a rétes vásárlása előtt 1200 Ft volt nálam. Vagyis a vásárlásaim előtt 2400 Ft-om volt.

7 Az 5250 Ft-ot egyenlő számú 50 Ft-os és 100 Ft-os pénzérmékkel fizettük ki. Összesen hány darab érme kellett ehhez?

Megoldás:

5250 : (50 + 100) = 35.35 db 50-es, és 35 db 100-as kellett, vagyis összesen 70 érme.

8 Botondnak van egy kis félretett pénze. Takarékoskodni kezd, így megkétszerezi ezt az összeget. Ekkor elkölt 400 Ft-ot. Összehúzza a nadrágszíjat, és ismét sikerül megkétszerezni az előző költés után maradt összeget. Ekkor elkölt belőle 1000 Ft-ot, és még marad 3000 Ft-ja. Mennyi pénze volt eredetileg?

Megoldás:

Gondolkodjunk visszafelé! Eredetileg 1200 Ft-ja volt.2 ⋅ 2 ⋅ – 400 (2 ⋅ – 400) ⋅ 2 – 1000 = 3000(2 ⋅ – 400) ⋅ 2

⋅ 2 ⋅ 2–400 –1000

Ezért visszafelé gondolkodva: ((3000 + 1000) : 2 + 400) : 2 = 1200

9 Tóni 1,2 km-re lakik az iskolától. Ezt a távot minden tanítási napon megteszi reggel és délután is. Hány kilométert gyalogolt iskolába menet és jövet Tóni a tanév 16, 28, 100, 180 tanítási napján?

Megoldás:

16 nap alatt 1,2 ⋅ 2 ⋅ 16 = 38,4 km-t;28 nap alatt 1,2 ⋅ 2 ⋅ 28 = 67,2 km-t;100 nap alatt 1,2 ⋅ 2 ⋅ 100 = 240 km-t;180 nap alatt 1,2 ⋅ 2 ⋅ 180 = 432 km-t gyalogolt Tóni.

10 Egy téglalap egyik oldala 11 cm-rel hosszabb, mint a másik. A kerülete 54 cm. Mekkora a területe?

Megoldás:

A téglalap oldalai 8 cm és 19 cm. A területe 152 cm2.Szerk

eszt

és a

latt

254

SZÖVEGES FELADATOK A HÉTKÖZNAPJAINKBAN 10.

11 Egy téglalap területe 72 cm². Tudjuk, hogy az egyik oldala 1 cm-rel rövidebb, mint a másik. Mekkora a téglalap kerülete?

Megoldás:

A téglalap oldalai 8 cm és 9 cm. A kerülete 34 cm.

12 Egy családban a három testvér közül Anna és Tomi együtt 37, Anna és Balázs együtt 46, Tomi és Balázs együtt 41 évesek. Hány éve-sek külön-külön?

Megoldás:

Ha összeadjuk a megadott életkorokat, akkor a három gyerek életkora összegének kétszeresét kapjuk.37 + 46 + 41 = 124A három gyerek életkorának összege 124 : 2 = 62 év.Anna és Tomi együtt 37, összesen 62, akkor Balázs 62 – 37 = 25 éves.Ugyanígy végiggondolva, Tomi 16 éves, Anna 21 éves.

13 Egy háromgyermekes családban az apa, az anya és a három gyermek életkorának összege 76 év. Mennyi lesz az életkoruk összege 2 év múlva?

Megoldás:

Mindenki 2 évvel idősebb lesz, ezért 86.

14 Egy háromgyermekes családban az apa, az anya és a három gyermek éveinek összege 71. Két esz-tendővel ezelőtt a családtagok éveinek összege 62 volt. Hogyan lehetséges ez?

Megoldás:

Az egyik gyermek egy évvel ezelőtt született.

15 Bugárország fizetőeszköze a gubacs és a gubó. Egy gubacs száz gubót ér. Panni pénzt szeretne váltani, mielőtt átlépi az országhatárt, ahol a következő tábla van kifüggesztve:a) Hány gubót vásárolhat Panni 15 forintért?b) Minimum hány forintot váltson, ha Bugárországban 60 gubacs és 20 gubó értékben szeretne majd

vásárolni?c) Visszafelé jövet maradt nála 15 gubacs. Hány forintot veszít a visszaváltásnál?

Megoldás:

Az ártáblán a vétel azt jelenti, hogy 270 Ft-ért vesz 1 gubacsot a bank. Az eladás azt jelenti, hogy az 1 guba-csot 300 Ft-ért adja a vevőnek.a) Egy gubó ára a gubacs árának századrésze, azaz 3 Ft.

Mivel 15 : 3 = 5 ezért 5 gubót vásárolhat Panni 15 Ft-ért.b) 60 gubacsért 60 ⋅ 300 forintot, azaz 18 000 Ft-ot, 20 gubóért 20 ⋅ 3 = 60 Ft-ot kell fizetnie.

Panninak összesen legalább 18 060 forintot kell beváltania.c) Panni egy gubacs visszaváltásakor 30 Ft-ot, 15 gubacsnál 30 ⋅ 15, azaz 450 Ft-ot veszít.

Szerk

eszt

és a

latt

255

SZÖVEGES FELADATOK A HÉTKÖZNAPJAINKBAN 10.

16 Egy könyv oldallapjainak számozása az ötödik oldalon 5-tel kezdődik. Összesen 716 számjegyet használtak az oldalak számozásához. Melyik szám szerepel a könyv utolsó oldalán?

Megoldás:

Egyjegyű számból 5 db van (5-9), a számjegyek száma 5;kétjegyű számból 90 db van, a számjegyek száma 180.Az összes háromjegyű számot nem használták fel, mert ahhoz 900 ⋅ 3 = 2700 számjegy kellene.716-185 = 531 számjegy maradt a háromjegyűekhez.531 : 3 = 177 háromjegyű szám kellett a számozáshoz, 276 oldalas a könyv.

Szerk

eszt

és a

latt

256

ÖSSZEFOGLALÁS11.Feladatok1 Jancsi vigyorogva mesélte délután a nagymamájának, hogyan telt a napja. – Éjfél után 23 400 másodperccel ébredtem. Felkeltem, felöltöztem, fogat mostam, majd megittam a szo-kásos 0,002 hl kakaómat, ettem 50 000 mg lekváros kenyeret, és elindultam az iskolába. A déli harangszó előtt 255 perccel már bent voltam a suliban. Volt pár órám, aztán már csak 1 200 000 mm-t kellett meg-tennem, hogy végre ideérjek hozzád. – Örülök, hogy itt vagy! – válaszolta nagymama. – Elmondanád még egyszer az előbbieket hétköznapi nyelven úgy, hogy dédike is megértse? – Persze! – mosolygott Jancsi, és ezt mondta: … Mit mondott?

Megoldás:

Jancsi éjfél után 23 400 másodperc = 6,5 óra múlva, azaz fél 7-kor ébredt. 0,002 hl = 2 dl, ennyi kakaót ivott, 50 000 milligramm = 50 gramm = 5 dkg lekváros kenyeret evett, három-negyed 8-kor volt az iskolában, és 1 200 000 mm = 1200 m = 1,2 km-t tett meg hazafelé.

2 A rút királykisasszonyra rámosolygott a szerencse, mert megtalálta végre az örök szépség elixír tit-kos receptjét. Csak 17 dkg méz, 60 g póknyál, 8000 mg légypiszok, 13 g reszelt szúnyogfullánk és negyed kg darált, szárított kígyóbőr kell az elkészítéséhez. Rögtön ki is találta, hogy 100-szoros adagot készít. Beosont hát a banya raktárába, kicsente a hozzávalókat, és elkészítette a bájkeveréket.a) Melyik hozzávalóból mennyi kell a 100-szoros adaghoz?b) Hány kg lett összesen az elixír?

Megoldás:

a) 100 adaghoz 1700 dkg = 17 kg méz, 6000 g = 6 kg póknyál, 800 000 mg = 0,8 kg légypiszok, 1300 g = 1,3 kg szúnyogfullánk és 25 kg darált szárított kígyóbőr kell.

b) Az elixír összesen 50,1 kg.

3 Lótifuti úgy döntött, lefut egy hét alatt összesen 10 km-t. Hétfőn 800 m-t futott, majd mindennap 200 méterrel többet. a) Mennyit futott vasárnap?b) Sikerült lefutnia egy hét alatt a 10 km-t?

Megoldás:

a) Vasárnap 2000 métert futott.b) 800 + 1000 + 1200 + 1400 + 1600 + 1800 + 2000 = 9800 métert futott, tehát nem futotta le a 10 km-t.

Szerk

eszt

és a

latt

257

ÖSSZEFOGLALÁS 11.4 Grét, a tavasztündér elindult szokásos hajnali munkájára. Minden fűszálra 6 csepp harmatot szórt. Tudjuk, hogy 20 harmatcsepp az 1 ml.a) Ha 0,3 dl harmatot hozott magával, akkor hány fűszálra jut 6 csepp?b) Becsüld meg, hány fűszál van 1 dm2-en! Hány csepp harmat kell rá összesen? Fejezd ki deciliterben is!c) Hangya Boynak 0,0027 liter folyadékra van szüksége még napfelkelte előtt. Hány fűszálról kell megsze-reznie a harmatcseppeket?

Megoldás:

a) 0,3 dl = 30 milliliter, ebben 30 ⋅ 20 = 600 harmatcsepp van. 600 : 6 = 100 fűszálra jutott harmat.b) Egyéni számolás.c) 0,0027 liter = 2,7 milliliter, 2,7 ⋅ 20 = 54 harmatcsepp. Hangya Boynak 54 : 6 = 9 fűszálról kell megsze-

reznie a harmatcseppet.

5 Micimackó egy kanál mézet eszik minden olyan reggel, amikor a naptárban párat-lan sorszámú napot lát, és két kanál mézet, ha páros sorszámút. Hány kanál mézet eszika) január 13-án; b) február 14-én; c) az év első hetében;d) az év utolsó négy napjában; e) május 31-től június 6-ig?

Megoldás:

a) 1 kanál. b) 2 kanál. c) 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 10 kanál.d) 2 + 1 + 2 + 1 = 6 kanál. e) 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 = 10 kanál.

6 Egy zsömle 15 Ft-ba kerül a pékségben. Mennyit fizetünk, ha a vásárolt zsömlék számaa) 3 darab; b) 5 darab; c) 6 darab; d) 10 darab?

Megoldás:

a) 45 Ft-ot; b) 75 Ft-ot; c) 90 Ft-ot; d) 150 Ft-ot.

7 Egy cipó akciós ára 99 Ft.a) Rendezd táblázatba az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 darab cipó árát! Azt is tartalmazza a táblázat, hogy valójában

mennyi pénzt kell érte adnunk. Gondolj a készpénzfizetésnél alkalmazott kerekítésre! b) Minimum hány darabot vásároltunk, ha pontosan tudtunk fizetni érte?

Megoldás:

a) darab 1 2 3 4 5 6 7 8ár (Ft)  99 198 297 396 495 594 693 792fizetendő (Ft) 100 200 295 395 495 595 695 790

b) Minimum 5 darabot.Sze

rkes

ztés

ala

tt

258

ÖSSZEFOGLALÁS11.8 Bence lakásának ajtajáig a bejárati kaputól összesen 60 lépcső vezet. Bence az egyik nap úgy érkezett haza, hogy minden lépcsőre rálépett, a következő napon csak minden másodikra, az azt követőn pedig minden harmadikra, aztán kezdte az egészet elölről.a) Készíts egy táblázatot az első 12 napról, hogy mikor hány darab lépcsőre lépett rá!b) Ha ezt a szokását tartja, akkor hány lépcsőre fog rálépni a 25. napon?c) Hány lépcsőre fog rálépni az első három napon összesen?d) Hány lépcsőre fog rálépni az első hat napon összesen?e) Bence elképzelte, hogy mi lenne, ha tudna akkorákat lépni, hogy minden negyedik, ötödik, hatodik

lépcsőre lépne. Hány lépcsőre lépne rá ezekben az esetekben?

Megoldás:

a) napok 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12lépcsők 60 30 20 60 30 20 60 30 20 60 30 20

b) 60 lépcsőre.  c) 110 lépcsőre.  d) 220 lépcsőre.  e) 15, 12, 10 lépcső.

9 Melyik szó kerülhet a három pont helyére? A választható szavak: piros, zöld, egy, két, alma. Ahol lehet, adj meg több lehetőséget is! a) Megálltam, mert a közlekedési lámpán a … lámpa gyulladt ki.b) Lehet egymást követő … hónap összesen 62 napos.c) Ha almát mondunk, akkor leggyakrabban … színűnek gondolják az emberek, pedig van … alma is.d) … fecske nem csinál nyarat! – tartja a mondás.e) … … …. volt az uzsonnám.

Megoldás:

a) pirosb) kétc) piros, zöldd) Egye) Egy piros alma vagy Egy zöld alma vagy Két piros alma vagy Két zöld alma.

10 Egy pénzkiadó automatában csupa azonos bankjegy van, de nem tudjuk, hogy milyen címletű. Sze-retnénk 60 000 Ft-ot kivenni az automatából. Hány darab bankjegyet kaphatunk?

Megoldás:

A forgalomban lévő bankjegyek értéke 2016-ban:20 000 Ft, 10 000 Ft, 5000 Ft, 2000 Ft, 1000 Ft, 500 Ft.Vagyis a darabszámok: 3 db, 6 db, 12 db, 30 db, 60 db vagy 120 db.Sze

rkes

ztés

ala

tt

259

ÖSSZEFOGLALÁS 11.11 Az asztalon van néhány 100 Ft-os és néhány 200 Ft-os érme, az értékük összesen 1200 Ft. Melyikből hány darab lehet?

Megoldás:

A lehetséges darabszámokat a táblázat mutatja:

100 Ft-os 10 8 6 4 2200 Ft-os 1 2 3 4 5

12 Írd be a … helyére az összes lehetséges kétjegyű számot! (A füzetedben dolgozz!)a) A számjegyek összege 17 a … számokban.b) A … számokban a számjegyek összege 3.c) A tízesek helyén 6-tal nagyobb számjegy szerepel a … számokban, mint az egyesek helyén.d) A … számokban van 1-es számjegy.e) Két egyforma számjegy szerepel a … számokban.f) 4-re végződő számot kapsz, ha a … számoknak a kétszeresét veszed.

Megoldás:

a) 98, 89.b) 30, 21, 12.c) 60, 71, 82, 93.d) 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91.e) 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.f) 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 97.

13 a) Melyik számból kell 14-et elvenned, hogy 60-at kapj?b) Melyik számhoz kell 26-ot hozzáadni, hogy 80-at kapj?c) Melyik számot kell megszoroznod 3-mal, hogy 96-ot kapj?d) Melyik számot kell elosztanod 5-tel, hogy 16-ot kapj?

Megoldás:

a) 74.b) 54.c) 32.d) 80.

14 Melyik száma) kétszeresét kell 3-mal növelned, hogy 25-öt kapj?b) felét kell 2-vel csökkentened, hogy 13 legyen az eredmény?

Megoldás:

a) 11.b) 30.

Szerk

eszt

és a

latt

260

ÖSSZEFOGLALÁS11.15 A következő kérdéseket írd át nyitott mondatokká, aztán add meg a megoldásukat!a) Mennyiből kell –12-t elvenni, hogy a különbség 8 legyen?b) Mennyihez kell 23-at adni, hogy az összeg –1 legyen?c) Melyik számot kell 3-mal megszorozni, hogy a szorzat egy híján 1000 legyen?d) Melyik számot kell 7-tel megszorozni, hogy a szorzat 1-gyel több legyen 55-nél?

Megoldás:

a)  – (–12) = 8, vagyis  = –4.b)  + 23 = –1, vagyis  = –24.c) 3 = 1000 – 1, vagyis  = 333.d) 7 = 55 + 1, vagyis  = 8.

16 Néhány hétpöttyös katicabogár berepült az ablakon. A pöttyeik száma 14-gyel több, mint a lábaik száma. Hány katica röpült be az ablakon?

Megoldás:

Az ablakon 14 katica röpült be.

17 Panka 27 plüssállatából néhányat az ágyán helyezett el, néhányat pedig egy polcra rakott. A polcon 5-tel több állat van, mint az ágyon. Hány darab plüssállat van Panka ágyán?

Megoldás:

Az ágyra 11 plüssállatot rakott.

18 Nagymama összesen 60 darab derelyét készített, amelyek között volt szilvalekváros, és volt túrós is. A túrósok száma 12-vel kevesebb, mint a lekvárosoké.a) Hány darab lekváros derelye készült?b) Hány unokája lehet a nagymamának, ha mind a kétféle derelyét igazságosan el tudja osztani közöttük?

Megoldás:

a) 36 darab.b) Lehet 1, 2, 3, 4, 6 vagy 12 unokája.

19 A szekrényben kétféle pöttyös bögrét találhatsz. A hétpöttyösből 3-mal több van, mint a négypöttyösből. Hány bögre van összesen a szek-rényben, ha a pöttyök száma 76?

Megoldás:

Ha 3-mal kevesebb hétpöttyös bögre lenne, akkor a pöttyök száma 21-gyel kevesebb, és a kétfajta bögré-ből ugyanannyi lenne.(76 – 21) : 11 = 5Négypöttyösből 5 db, hétpöttyösből 8 darab, azaz 13 bögre van a szekrényben.

Szerk

eszt

és a

latt

VII. Adatgyűjtés, statisztika

Leszálláshoz készülődtek. Az osztály kialvatlanul és izgatottan toporgott az ablakoknál. Együtt hallgatták a wikikomp tájékoztatóját. – Kedves utasok! Hamarosan megérkezünk a célhoz. Kérem, foglalják el ülőhelyeiket a landolás idejére! Pozicionálom a leszállást segítő egységeket, hogy minél zavartalanabb legyen útjuk utolsó szakasza. Köszönöm, hogy társaságunkat választották az utazáshoz, remélem, máskor is találkozunk még. Ekkor szólalt meg Okoska. – Ne aggódjatok, azt olvastam a tájékoztató füzetben, hogy tavaly körülbelül 1 000 000 landolás volt a Liszt Ferenc 4-es terminálon, és 999 998 teljesen sikeres volt!– Mi történt a másik kettővel? – kérdezte Zsombi aggódva.– Arról nem írtak semmit, de ez csak 2 : 1 000 000-hoz, azaz 1 : 500 000-hez az esély arra, hogy valami apró probléma lesz. – Mi lesz, ha nem sikerül a pozicionálás? – aggódott tovább a másik.– Akkor szinte bárhol földet érhetünk, ami nem lenne túl kellemes. A Föld felszíne nagyjából 510 millió km2, és ebből 360 millió km2-t borít víz. Ez azt jelenti, hogy ... ,

510

3600 7. az esély arra, hogy a leszállás után

a tengerben kötünk ki. Miközben Attila szóval tartotta osztálytársait, mindegyikük bekötötte magát, és baj nélkül landoltak. Gondolatban már a hatodikos kirándulást tervezték.

Szerk

eszt

és a

latt

262

JÁTÉKOK1.Egyéni eredmények, jó szórakozást a játékokhoz.

Szerk

eszt

és a

latt

263

TÁBLÁZATOK, GRAFIKONOK 2.Feladatok1 A leckében szereplő menetrend szerint hány HÉV indul ezen a napon 14:00 és 18:00 között ebből a megállóból?

Megoldás:

2 Valaki 12:00 és 12:30 között érkezik ebbe a megállóba, de nem tudja a pontos időt. Mit gondolhat, hány percen belül fog érkezni HÉV?

Megoldás:

12:00 és 12:30 között a szerelvények 10 percenként indulnak, tehát legfeljebb 10 percet kell várni ebben az időszakban az indulásra.

3 Hány napon nem várható csapadék a 15 napos előrejelzés ábrája alapján?

Megoldás:

Négy olyan nap van az előrejelzésen, amelyiken nem várható csapadék.

4 Hány olyan napot jósolnak, amikor a napi legmagasabb hőmérséklet 20 fok fölötti?

Megoldás:

Nyolc ilyen napot jósoltak. (A 20-as előrejelzés még nem 20 fölötti!)

5 Hány olyan nap várható, amikor a napi legalacsonyabb hőmérséklet is meghaladja a 10 fokot?

Megoldás:

Két ilyen nap várható.

6 Melyik napon lehet a legnagyobb a hőmérsékleti eltérés?

Megoldás:

Rögtön az első szombaton, 24 – 6 = 18 fok. Ez a legnagyobb hőingadozás.Szerk

eszt

és a

latt

264

ADATGYÛJTÉS, AZ ADATOK ÁBRÁZOLÁSA3.

Feladatok1 Sétálj a környéketeken, és figyeld meg, hány különböző fajta fát látsz! Készíts táblázatot és grafikont az eredményeidből! Nem baj, ha nem mindegyik fát ismered fel. Írd vagy rajzold le a tulajdonságait, hogy meg tudd különböztetni a többitől!

Megoldás:

Egyéni eredmények

2 Gyűjtsétek össze, hogy ebben a tanévben ki hány könyvet olvasott! Készítsetek táblázatot az adatok-ból! Válaszd ki öt barátodat, és ábrázold oszlopdiagramon a táblázatbeli adataikat!

Megoldás:

Egyéni táblázatok, egyéni eredmények.

3 Gyűjtsétek össze, hogy kinek hány testvére van! Készítsetek táblázatot az adatokból! Rajzoljatok osz-lopdiagramot is az adatok alapján!

Megoldás:

Egyéni táblázatok, egyéni eredmények.

4 Egy állatkert néhány lakójának egyedszámát mutatja a diagram. Álla-pítsd meg, hogy melyik oszlop melyik állathoz tartozik! Hány van belőlük az állatkertben?Feleannyi víziló van, mint zebra.Több a csimpánz, mint az orangután.Ugyanannyi elefánt van, mint víziló.

Megoldás:

Az oszlopok balról jobbra: elefánt vagy víziló, zebra, csimpánz, elefánt vagy víziló, orangután.

0

1

2

3

4

5

6

Szerk

eszt

és a

latt

265

ADATGYÛJTÉS, AZ ADATOK ÁBRÁZOLÁSA 3.

5 Összesen 30 gyerek jár az osztályba. 5

2 részük fiú. A lányok harmada barna hajú, 2 fekete, a többi

szőke. A fiúk negyede szőke, fele barna, 1 vörös, a többi fekete.Készíts a füzetedbe oszlopdiagramot, amelyen ábrázolod, hogy az osztály tanulói között hány szőke, barna, fekete, vörös gyerek van!

Megoldás:

Lásd az ábrát!Nem volt kérdés, de könnyen eljuthatunk a megoldáshoz, ha táblázatot készítünk.

Lány Fiú18 12

Barna Fekete Szőke Barna Fekete Szőke Vörös6 2 10 6 3 1

6 Mérjétek le, hogy kinek hány cm hosszú a haja! Rendezzétek az adatokat táblázatba! Készítsetek gra-fikont az adatok alapján!

Megoldás:

Egyéni táblázatok, egyéni eredmények.

Szerk

eszt

és a

latt

266

ÁTLAG ÉS TULAJDONSÁGAI4.Feladatok1 Add meg a következő számok átlagát!a) 2; 8 b) 1; 9 c) –1; 11 d) –12; 22 e) 2,5; 9,5

Megoldás:

a) 5; b) 5; c) 5; d) 5; e) 6.

2 Két szám átlaga 5. Mennyi lehet az egyik szám, ha a másika) 2; b) 9; c) 7; d) –8; e) 1,3?

Megoldás:

a) 8; b) 1; c) 3; d) 18; e) 8,7.

3 Adj meg 2 egész számot, ha átlaguka) 10; b) 7; c) 4,5; d) –2; e) 4

3!

Megoldás:

Az a), b), c), d) esetben sok megoldás létezik, példáula) 0, 20; b) 0, 14; c) 4, 5; d) –4, 0; e) Nincs ilyen számpár!

4 Adj meg 3 egész számot, ha átlaguka) 10; b) 7; c) 4,5; d) –2; e) 4

3!

Megoldás:

Az a), b), d), e) esetben sok megoldás létezik, példáula) 0, 10, 20; b) 6, 7, 8; c) Nincs ilyen számhármas!  d) –4, –2, 0;  e) 0, 1, 3.

5 A májusi eső aranyat ér. a) Mely napon (napokon) esett a legkevesebb eső az első 7 nap alatt?b) Hány mm eső esett május első hetében összesen?c) Ha összesen ugyanannyi (mint a grafikonon látható), de mindennap

egyforma mennyiségű eső esett volna, akkor mennyi eső jutna egy napra?

Megoldás:

a) Május 7-én 0 mm eső esett.b) 21 mm;c) 3 mm;

0123456789

eső

(mm

)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.májusSze

rkes

ztés

ala

tt

267

ÁTLAG ÉS TULAJDONSÁGAI 4.6 Át lehet-e sétálni egy folyón, ha annak átlagos mélysége 70 cm?

Megoldás:

Nem tudhatjuk. Ettől még lehet olyan része a folyónak, ahol 5 méter mély, de az is lehet, hogy szinte min-denütt körülbelül 70 cm mély.

Szerk

eszt

és a

latt

268

LEHETETLEN, LEHETSÉGES, BIZTOS 5.Feladatok1 Biztos, lehetetlen vagy lehetséges?a) Minden matekóra véget ér.b) Egy kockát tízszer feldobva mindig páros számot dobsz.c) Egy kockát tízszer feldobva a dobott számok összege 9.d) Mostantól év végéig minden jegyem ötös lesz.e) Az öcsém fiatalabb nálam. f) Feldobok egy fehér és egy piros kockát, és a fehéren kisebb szám jön ki.

Megoldás:

a) Biztos. (Még akkor is, ha van, akinek végtelen hosszúnak tűnik.)b) Lehetséges. Csak kicsi az esélye.c) Lehetetlen. A legkisebb lehetséges összeg a 10.d) Lehetséges.e) Biztos.f) Lehetséges.

2 Sajnos Olga néni kicsit megégette az almás pite alját a tepsi szélénél, de ez nem látszik. A tányéron evésre vár 12 szelet almás pite, amelyek közül 3 égett aljú.a) A tányéron lévő piték hányad része égett? b) Hányat kell elvenni a tányérról, hogy biztosan legyen köztük jó?c) Hányat kell elvenni a tányérról, hogy biztosan legyen köztük jó és égett is?d) Jó vagy égett pitére van nagyobb esély, ha csak egyet vehetek el?

Megoldás:

a) 312

= 14

;

b) 4;c) 10;

d) 34

> 14

, tehát jó pitére van nagyobb esély.

Szerk

eszt

és a

latt

269

LEHETETLEN, LEHETSÉGES, BIZTOS 5.3 Az 5. b-be 8 szőke, 12 barna és 5 fekete hajú gyerek jár.a) Legfeljebb hány gyereket választhatok ki, hogy ne legyen köztük szőke?b) Hány gyereket kell kiválasztani a hétvégi sportversenyre, hogy biztos legyen köztük szőke?c) Hány gyereket kell kiválasztani a hétvégi sportversenyre, hogy biztos legyen köztük barna?d) Ha csak egy gyereket választunk, akkor az legnagyobb eséllyel milyen hajszínű lesz?e) Hány gyereket kell kiválasztani, hogy biztos köztük legyen a fekete hajú, ábrándos tekintetű Panni?Gyűjtsétek össze, hogy az osztályotokba hány szőke, barna, fekete, vörös hajú gyerek jár, és válaszoljátok meg az első négy kérdést a ti adataitok alapján is!

Megoldás:

a) 17;b) 18;c) 14;d) barna;e) 25.

4 Kata, Lujza, Miklós és Norbi Ki nevet a végén?-t játszik. Értékeljük a játék közben elhangzó állításokat. Melyik igaz, melyik hamis?Kata: Már öt kör óta próbálok kezdeni. Lehetetlen ezzel a kockával hatost dobni. Lujza: Norbi bábuja kettővel előttem van. Lehet, hogy ki tudom ütni.Miklós: Ha hatost dobok, akkor még egyet dobhatok, tehát léphetek előre akár tizenegyet is. Norbi: Ha Lujza ötöt dob, akkor én utána a hármassal kiüthetem.

Megoldás:

Kata és Lujza esetében feltesszük, hogy jól számolnak, tehát hogy az első állításuk igaz.Kata: A „Lehetetlen ezzel a kockával hatost dobni.” állítás egy szabályos dobókocka esetén matematikai értelemben hamis.Lujza: „… Lehet, hogy ki tudom ütni.” Igaz.Miklós: Igaz.

Szerk

eszt

és a

latt

270

ÖSSZEFOGLALÁS6.Feladatok1 Egy cukrászdában nagyon sokféle fagylaltot árusítanak. Az ábra azt mutatja, hogy öt egymást követő munkanapon a nyitás utáni első órában hány gombóc csokoládé- és hány gombóc vaníliafagylaltot adtak el. A kérdések is a nyitás utáni egy órára, és erre a kétféle fagylaltra vonatkoznak.

0

10

hétfõ kedd szerda csütörtök péntek

napok

darab

csokoládé vanília

a) Hány gombóc csokoládéfagylaltot adtak el?b) Hány gombóc vaníliafagylaltot adtak el?c) Hány gombóccal fogyott több csütörtökön, mint kedden?d) Melyik nap adtak el legkevesebbet a vaníliából?e) Melyik nap adtak el legkevesebbet a csokoládéból?

Megoldás:

a) 53 gombócot. b) 50 gombócot. c) 5 gombóccal. d) Kedden. e) Szerdán.

2 Az osztály 32 tanulója megírta a matematikadolgozatot. Hárman írtak elégtelen, öten elégséges, tízen közepes, nyolcan jó és hatan jeles dolgozatot.a) Rendezd táblázatba az adatokat!b) Készíts grafikont az osztály eredményeiről!

Megoldás:

a)

b)

Szerk

eszt

és a

latt

271

ÖSSZEFOGLALÁS 6.3 Egy iskolában minden évben rendeznek tanár-diák labdarúgó-mérkőzést. Az alábbi táblázat tíz év eredményeit tartalmazza:

Év 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020Tanár gól 0 6 2 2 1 2 3 1 1 2Diák gól 2 4 3 1 2 3 2 3 1 1

a) Melyik évben volt a legtöbb gól?b) Hányszor nyertek a diákok?c) Összesítve ki vezet a gólok számát tekintve?d) Volt-e döntetlen mérkőzés?

Megoldás:

a) 2012-ben.   b) Ötször.   c) A diákok.   d) Igen (2019-ben).

4 Egy perselyben 3500 Ft van összesen. Van benne 5, 10, 20, 50, 100 és 200 Ft-os pénzérme is.a) Készíts egy lehetséges táblázatot a pénzérmékről!b) Készíts egy grafikont, amely a táblázatod adatait szemlélteti!

Megoldás:

a)

b)

Szerk

eszt

és a

latt

272

ÖSSZEFOGLALÁS6.5 Döntsd el, hogy lehetetlen, lehetséges vagy biztos!a) A Föld kocka alakú.b) Egy százforintost feldobva, az fej vagy írás lesz.c) A kő-papír-olló játékban papírt mutatsz és nyersz.d) A kő-papír-olló játékban papírt mutatsz és nem nyersz.e) Kapsz házi feladatot ma.f) Ma két jegyet kapsz, amelyek átlaga 3,2.g) Egy téglalapnak két átlója van.h) Egy háromszögnek kevesebb mint két átlója van.

Megoldás:

a) Hamis b) Biztos c) Lehetséges d) Lehetségese) Lehetséges f) Lehetetlen g) Biztos h) Biztos

6 Egy traktorkereskedés februárban 38 traktort adott el, átlagosan 1 190 000 Ft-os áron. a) Mennyi volt a kereskedés februári bevétele?b) Lehet, hogy februárban mindennap legalább két traktort adtak el?c) Biztos, hogy februárban mindennap adtak el traktort?d) Lehet, hogy volt olyan nap, amikor 8 traktort adtak el? e) Biztosan volt olyan vásárló, aki több mint egy traktort vett?f) Készíts egy lehetséges oszlopdiagramot a négyheti eladásokról, ha

tudjuk, hogy minden héten adtak el traktort!

Megoldás:

a) A februári bevétel 38 ∙ 1 190 000 = 45 220 000 Ft volt.b) Lehetetlen, mert február 28 vagy 29 napos.c) Nem biztos, csak lehetséges.d) Igen, lehetséges.e) Nem, de lehetséges.f) Egyéni ábra

7 A kisbabákról adatokat szoktak felvenni, mint például a testtömeg, a testhossz és a fejkörfogat (a fej kerü-lete). A védőnő hat egy hónapos babáról gyűjtött adatokat, amelyeket táblázatba rendezett:

Anna Ráhel Gyöngyvér Kolos Etele SándorTesttömeg (g) 3100 4400 4200 4400 3600 4800Testhossz (cm)   48   57   57   58   54   58Fejkörfogat (cm)   34   39   37   38   36   38

a) Számold ki az átlagos tömeget, hosszt és fejkörfogatot!b) Melyik baba testméretei a legátlagosabbak ezen adatok alapján?

Megoldás:

Átlagok 4083 13

gramm, 55 13

cm és 37 cm.

Attól függ mit mennyire veszünk figyelembe, Gyöngyvér vagy Etele van közel mindhárom átlagos értékhez.

Szerk

eszt

és a

latt

273

ÖSSZEFOGLALÁS 6.8 Ha kinyitod a matematikakönyvedet, akkor mi az esélye, hogy az oldalszám a jobb oldalon páratlan szám lesz? Próbáld ki!Mi az esélye, hogy maradék nélkül osztja a 3? Próbálgasd!

Megoldás:A jobb oldalon mindig páratlan oldalszám áll, tehát ennek esélye 1. Annak esélye, hogy 3-mal osztható

lesz, körülbelül 13

.

9 Össze tudod párosítani a grafikonokat az adatokkal?A) Feldobtunk egy érmét hússzor, és lejegyeztük, hány fej

és hány írás volt. B) Az osztályban az első 20 gyerek között ilyen a lányok és a

fiúk megoszlása.

Megoldás:

Pusztán ezen adatok alapján ez nem eldönthető. Mindegyik grafikon tartozhat akár az a), akár a b) kísérlethez.

Tesztfeladatok1 Az 5. b-ben 10 lány kislabdahajítását mérik.

0

5

10

15

20

25

m

V. A. W. G. Sz. P. Sz. L. G. V. K. P. Z. A. A. B. C. D. H. L.

Aki 18 méter fölött dobott, az 5-öst kapott. Hányan kaptak ötöst?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3

Megoldás: D)

0 0

5 5

10 10

Szerk

eszt

és a

latt

274

ÖSSZEFOGLALÁS6.2 A kiterített négy kocka egyikével 120-szor dobtak a gyerekek Kengyel tanárnő matekóráján. A dobott számok darabszámát a táblázat tartalmazza. Szerinted melyik kockát használhatták a legnagyobb eséllyel?

dobott szám  1  2  3  4darab 63 16 15 26

A) B) C) D)

6

2 3 5 4

1

2

3 2 4 1

1

2

3 1 4 1

1

2

1 4 4 1

3

Megoldás: C)

3 Bütyök félévi jegyeihez képest év végére 2 tárgyból egy-egy jegyet javított, testnevelésből viszont két jegyet rontott. A többi jegye nem változott. Mennyivel változott év végére az átlaga a félévi átlagához képest?

A) Romlott.  B) Nem változott.  C) Nőtt.  D) Ezekből az informá ciók ból nem lehet megállapítani.

Megoldás: B)

4 Melyik nem lehet négy egész szám átlaga?

A) 5,5 B) –2 C) 3,25 D) 5,2

Megoldás: D)

Szerk

eszt

és a

latt