Embed Size (px)
Citation preview
III Colóquio de Matemática da Região Nordeste
O NÚMERO ZERO: UM BREVE ESTUDO SOBRE SUA CRIAÇÃO, PROPRIEDADES
E CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA
E. G. LIMA NETA¹, G. S. S. FERREIRA2 e O. L. D. SILVA
3
Estudante do curso de Licenciatura em Matemática, Campus de Cedro – Instituto Federal do Ceará, IFCE. E-mail: [email protected]¹; Professor de Matemática, Campus de Juazeiro do Norte – Instituto Federal do
Ceará, IFCE. E-mail: [email protected]; Estudante, Campus de Cedro – Instituto Federal do Ceará, IFCE.
Resumo
Os sistemas de numeração tiveram origem em diversas sociedades na antiguidade, tais como a
egípcia, a romana e a grega, de modo que cada uma destas civilizações apresentou uma maneira
distinta para solucionar problemas comuns relacionados ao controle de suas atividades e bens,
este seria o início dos métodos de contagem. Registros históricos desses povos permitiram
entender como cada sociedade interpretava as quantidades através de seus símbolos, sendo que
tais simbologias apresentavam uma característica comum: a inexistência de um símbolo que
denotasse a ausência de quantidade, ou seja, a inexistência de um algarismo que tivesse a
funcionalidade que o zero possui em nosso sistema de numeração. A utilização de um símbolo
para representar esta ausência foi feita por volta de 100 a.C à 150 d.C pela civilização hindu,
ideia esta que surgiu a partir de outra invenção utilizada para realizar cálculos aritméticos
básicos: o ábaco. De fato, a utilização do algarismo zero contribuiu para o desenvolvimento dos
métodos de calcular, que seria a base para a aritmética contemporânea. Com isso, compreender as
funções e significados deste número é um ponto de partida coerente para se entender grande parte
das representações matemáticas do mundo real. Diante da relevância das propriedades aplicadas
ao zero, este artigo propõe um estudo detalhado baseado na bibliografia deste número com
relação às operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, abordando aplicações e
propriedades em potenciação, radiciação, fatorial e limites, além da realizar uma breve
contextualização histórica. Explanar as propriedades matemáticas relacionadas ao zero serve
como base de estudo tanto para o desenvolvimento de conteúdos mais aprofundados em
matemática quanto para promover o ensino em sala de aula, que certamente irá esclarecer a
origem de fórmulas e propriedades, ajudando na coesão de diversas áreas da matemática, além de
fornecer subsídios para dar continuidade em outras linhas de pesquisa, inclusive em áreas afins
do conhecimento, que envolvam o estudo do número e do algarismo zero de alguma forma.
Palavras chave: número zero, sistema de numeração, aritmética.
III Colóquio de Matemática da Região Nordeste
O NÚMERO ZERO: UM BREVE ESTUDO SOBRE SUA CRIAÇÃO, PROPRIEDADES
E CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA
INTRODUÇÃO
Um Breve Histórico dos Sistemas de Numeração
Desde os primórdios, em diversos eventos cotidianos, o ser humano necessitou de
algum método de contagem que lhe auxiliasse no controle de suas atividades, por exemplo:
quantificar os animais que havia em seus rebanhos para não haver perdas, realizar controle de
produção de sacas de milho, arroz e outros grãos, entre outros eventos que podiam estar
envolvidos em atividades de escambo, vendas, produção ou território. Desse modo, as
civilizações foram buscando maneiras para facilitar seu trabalho, resultando assim no surgimento
dos Sistemas de Numeração. Dentre esses sistemas, alguns se destacaram, dentre eles: o egípcio,
o romano e o grego.
Os egípcios criaram seu sistema de numeração que usava um método de
agrupamento, onde cada unidade era representada por um bastão e ao chegar à décima unidade
eles substituíam as dez marcas por outro símbolo que denominavam de calcanhar e, desse modo,
escreviam seus números formando agrupamentos nas dezenas, nas centenas e nos milhares. Já
para os gregos, a utilização das letras do seu alfabeto adicionado a três letras do alfabeto fenício,
para escrever seus números, facilitava a contagem sem repetições excessivas.
Assim como os egípcios, os romanos também utilizavam agrupamentos para
representar seus números, porém adotaram a adição e a subtração para que não fosse necessário
repetir alguns símbolos várias vezes, por exemplo: utilizavam I para representar uma unidade e V
para representar cinco unidades, então ao invés de usar I quatro vezes para escrever o número
quatro, eles usavam a subtração, escreviam IV, que significava a subtração de uma unidade das
cinco unidades existentes, resultando assim no número quatro. No entanto, os romanos também
III Colóquio de Matemática da Região Nordeste
tinham números em que eram necessários vários caracteres para identificá-los, ou a repetição de
seus algarismos, como por exemplo o número 1.113, que é representado por MCXIII.
Até o momento, os sistemas numéricos tinham um objetivo comum: representar
quantidades tangíveis de bens que representavam algum valor. Entretanto, no decorrer dos anos
surgiram reflexões e uma real necessidade sobre como seria utilizar um símbolo para quantificar
o nada.
Descoberta do Zero
Os sistemas de numeração até então expostos utilizavam os símbolos como forma de
representar quantidades. Dessa forma, não era necessário apresentar um símbolo que
representasse o vazio, ou a ausência de quantidade, já que esta necessidade surgiria com a
evolução da matemática. Foi através do ábaco que a civilização hindu percebeu a necessidade de
um símbolo para representar o vazio. Este instrumento simples para efetuar cálculos aritméticos
básicos utilizava colunas com contas ou pedras, em que as quantidades em cada coluna
representam as unidades, dezenas, centenas etc.
III Colóquio de Matemática da Região Nordeste
Figura 1- Foto de ábaco feito em madeira1
Fonte: Abacus Photo Gallery.
O povo hindu utilizava o ábaco da seguinte forma: as colunas eram feitas de areia e
marcavam os primeiros algarismos, de um a nove. Ao se deparar com uma contagem em que
necessitasse representar uma quantidade além dos algarismos que possuíam, ou seja, além do
nove, eles escreviam o próximo algarismo na coluna seguinte e deixavam um espaço vazio, este
espaço que estava destinado ao zero, ao qual denominavam sunya2, que significa vazio.
Segundo Hogben (1956), citado por Tahan (1973), o símbolo zero teve origem de
fato na Índia, por volta de 100 a.C à 150 d.C. Entretanto, contrapondo esta ideia, Tahan (1973)
afirma que muitos séculos mais tarde, e longe de qualquer inspiração oriental, os maias, oriundos
da América, cerca de 500 d.C, também utilizaram o zero para representar datas em seus
1 Disponível em: http://abacus.etherwork.net/Photos/7.gif. Acesso em julho de 2014.
2 Segundo Gundlach (1992), como a mais antiga forma do símbolo hindu era comumente usado em inscrições e
manuscritos para assinalar um espaço em branco, era chamada de sunya, significando lacuna ou vazio.
III Colóquio de Matemática da Região Nordeste
monumentos. De fato, não foi somente o povo hindu que relacionou a abstração de vazio a um
símbolo e, por conseguinte, a um sistema numérico. Mas a sua contribuição para o sistema
decimal é salientada pelo matemático e astrônomo Pierre Simon Laplace (1749-1827).
Devemos à Índia o engenhoso método de exprimir todos os números por meio de dez
símbolos, cada qual portador tanto de um valor de posição como de um valor absoluto,
invenção notável, mas tão simples que nem sempre lhe reconhecemos o mérito. Não
obstante, a esta mesma simplicidade, à imensa facilidade que trouxe a todos os cálculos,
devemos o achar-se a aritmética à vanguarda de todas as grandes invenções. Só podemos
apreciar condignamente o mérito desta descoberta, lembrando-nos que escapou ao gênio
de Arquimedes, de Apolônio e de todos os matemáticos da antiguidade clássica. (TAHAN, 1973, p. 82).
O conceito de número zero contribuiu para o desenvolvimento das metodologias do
cálculo, através das operações fundamentais, que mais adiante seriam a base para a aritmética
como hoje a conhecemos. Naturalmente, o envolvimento com este símbolo para o vazio trouxe À
aritmética a necessidade de estudo mais aprofundados e determinação de suas propriedades em
diferentes temas da matemática, tais como: conjuntos, matrizes, determinantes, fatorial,
radiciação, potenciação.
PROPRIEDADES E APLICAÇÕES DO ZERO
Adição, subtração, multiplicação e divisão
Nos conjuntos numéricos, em se tratando das operações aritméticas de adição e
subtração, o número zero é chamado de elemento neutro. Por conseguinte, define-se que:
{ } e { }.
Referente à operação aritmética de multiplicação, o número zero não é um elemento
neutro, porém considera-se que: { }, ou seja, qualquer número
multiplicado por zero resultará em zero.
Na operação de divisão, existem duas possibilidades referentes à posição de ocupação
do número zero. Na primeira possibilidade, afirma-se que não há uma definição nos números
III Colóquio de Matemática da Região Nordeste
reais para divisão de um número por zero. Dessa forma, tornam-se indefinidas as operações na
forma { }.
Por outro lado, considerando-se que , obtém-se a divisão . Com
isso, temos que a equação é verdadeira para todo valor real de a, mas torna-se
impossível determinar o resultado da divisão anterior, que pode ser qualquer número real. Por
definição, a divisão entre zeros é dita incalculável ou indeterminada.
Para a outra possibilidade, a seguinte definição torna-se verdadeira, dado qualquer
número real diferente de zero, tem-se que: { }.
Potenciação e radiciação
O princípio da potenciação, escrito sob a forma está em multiplicar uma base real
na quantidade de vezes que o expoente indicar. Para simplificar, consideremos como
exemplo a potência de base 2 na tabela a seguir:
Tabela 1: exemplo de potenciação para base 2
Potência Resultado
21 2
22 4
23 8
24 16
25 32
26 64
27 128
28 256
29 512
III Colóquio de Matemática da Região Nordeste
210
1024
Deste modo, a potenciação de um número real é definida de acordo com a expressão
algébrica a seguir: { [ ] }. Para uma potenciação
com expoente zero e base real não nula, deve-se considerar a seguinte expressão: {
}, ou seja, para qualquer valor real, se o expoente for igual a zero, tem-se como
resultado o valor um. Dessa forma, sejam m e n valores inteiros diferentes de zero, considera-se
que , de acordo com a propriedade da divisão de potências. Declarando que m
= n, obtém-se , pois, de acordo com a propriedade da divisão, qualquer número
dividido por ele mesmo é igual a 1. Dessa forma, pode-se concluir corretamente que:
. Convém observar que esta propriedade não é válida para , ou seja, a
notação não faz sentido, já que a multiplicação por zero resulta no próprio zero.
A radiciação é a operação inversa da potenciação. Seja x um número real não
negativo e , com , então representa-se a raiz enésima de x da seguinte forma: √
.
Além disso, tem-se que √ = , em que se chama n de índice do radical e x de radicando.
Considerando n = 0, tem-se √
= , desse modo não é possível calcular a raiz de
um número com índice zero. Entretanto, quando e , pode-se afirmar que: √
= .
Como o valor n é diferente de zero, por definição de potenciação, tem-se que . Logo,
conclui-se que √
.
Fatorial
Seja n um número pertencente ao conjunto dos naturais. Define-se o fatorial de n a
multiplicação do mesmo com o seu antecessor, repetidas vezes, até o número um. Para
exemplificar, considere n = 4, ou seja, tem-se como resultado do número quatro fatorial, como
sendo 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24. Como definição, considere a expressão algébrica em seguir:
III Colóquio de Matemática da Região Nordeste
{ }.
De acordo com as propriedades do fatorial, considerar que 1! = 1 é bastante simples e
não requer muito raciocínio. Entretanto, não se pode dizer o mesmo da igualdade 0! = 1. Como
forma de explicá-la, será utilizado o conceito de combinação simples, por sua relação direta com
o fatorial. Considere um conjunto com m elementos. Precisa-se saber quantos agrupamentos são
possíveis formar com grupos de n elementos. A combinação desse conjunto pode ser calculada
através da definição de combinação simples, da seguinte forma.
Para simplificar, seja o conjunto F = {a, b, c} composto por três elementos e se
necessita separá-los em grupos de três elementos, ou seja, teremos m = n = 3. Fica bastante
evidente, mesmo sem utilizar a fórmula, que haverá somente uma única maneira de agrupá-los,
que seria o mesmo conjunto de três elementos, ou seja:
A partir da expressão anterior, pode-se concluir através da fórmula de combinação
simples, que quando aplicado m = n tem-se apenas uma combinação possível, que por
consequência resulta na definição 0! = 1.
III Colóquio de Matemática da Região Nordeste
Limites
Na função ⁄ , para x = 0, tem-se que a função é indefinida, pois não há como
dividir um número por zero. Entretanto, quando se aplica o conceito de limites na função dada,
torna-se possível calcular um valor aproximado. Pela definição, tem-se que
.
A expressão anterior determina que quando uma variável x aproximando-se de um
determinado número a, então a função f(x) tende ao limite L. Por conseguinte, aplicando-se o
conceito de limites na função ⁄ , obtém-se a função abaixo, que esta representada no
plano cartesiano através das figuras abaixo:
Figura 2: gráfico da função em ⁄ , para x > 0.
Fonte: formatação própria através do software Geogebra 4.4
3
3 GeoGebra - Dynamic Mathematics for Everyone. Disponível em: <http://www.geogebra.org/>.
III Colóquio de Matemática da Região Nordeste
Figura 3: gráfico da função em ⁄ , para x < 0.
Fonte: formatação própria através do software Geogebra 4.4
4
A partir da visualização do gráfico na Figura 2, observa-se que quanto mais próximo
de zero estiver o valor de x, maior será o resultado da divisão ⁄ , enquanto que na Figura 2,
pode-se observar que quanto mais próximo de zero estiver o valor de x, menor será o resultado da
divisão ⁄ , ou seja, estes limites tendem ou ao infinito positivo ou ao infinito negativo,
representados simbolicamente por:
ou
.
Ainda utilizando a função ⁄ em limites, com x tendendo ao infinito,
percebe-se que enquanto o valor de x tende ao mais ou ao menos infinito, mais próximo de zero
será o limite da função, então obtém-se os seguintes limites:
ou
4 GeoGebra - Dynamic Mathematics for Everyone. Disponível em: <http://www.geogebra.org/>.
III Colóquio de Matemática da Região Nordeste
CONCLUSÃO
A utilização do símbolo zero pelos hindus se deve a partir da necessidade eminente
nas aplicações práticas dos algarismos existentes em seu sistema nas operações com o ábaco,
contrapondo a ideia da concepção através da necessidade de contagem do vazio. Dessa forma, o
sistema numérico decimal hindu ganhou destaque tanto histórico quanto referencial, dentre os
demais sistemas da época, justamente pelas premissas de cálculo aritmético, potencializadas pela
invenção do algarismo para denotar o vazio.
Os estudos sobre as propriedades do zero abrangem não somente a matemática, mas
também áreas como a Computação e a Física. Mesmo para a Matemática Moderna, o estudo do
zero pode contribuir para o desenvolvimento de novas teorias e ajudar no entendimento de outras
existentes, como foi percebido na aplicação de Limites, em Cálculo Diferencial e Integral. Além
disso, o perceptível impacto histórico deste símbolo mostra como a necessidade de abstração na
área da Matemática pode impactar diretamente na representação do mundo real, e
consequentemente na problemática que o envolver.
III Colóquio de Matemática da Região Nordeste
REFERÊNCIAS
GUNDLACH, Bernard H. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula:
Números e numerais. Atual Editora, 1992.
LADEIRA, Laelio. As Origens da Matematica. Disponível em:
<http://lojadepesquisasgodf.webs.com/artigos.htm>. Acesso em: 7 jul. 2014.
LORENSATTI, Edi Jussara Candido. Aritmética: Um Pouco de História. IX ANPED Sul -
Seminário de Pesquisa em Educação da Região Sul. 2012. Disponível em
<http://www.ucs.br/etc/conferencias/index.php/anpedsul/9anpedsul/paper/viewFile/1786/265>.
Acesso em: 10 jul. 2014.
MENDES, Iran Abreu. Números. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2006.
MOISÉS, Roberto Perides; LIMA, Luciano Castro. Zero: História do número. Uol/Página 3, 10
set. 2007. Disponível em: <http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/zero-historia-do-
numero.htm>. Acesso em 17 jul. de 2014.
PAPMEM – Programa de Aperfeiçoamento do Professor de Matemática do Ensino Médio.
Perguntas e Respostas. Vídeos. Editado em julho de 2010. Disponível em
<http://video.impa.br/index.php?page=janeiro-de-2010-2>. Acesso em: 18 jul. de 2014.
TAHAN, Malba. As Maravilhas da Matemática. Segunda edição brasileira. Rio de Janeiro:
Bloch Editores, 1973.
VOMERO, Maria Fernanda. Tudo o que o nada tem. Revista Superinteressante, n. 04, p. 55-58,
ed. 163, abril/maio, 2001.
