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Esercitazione 4

Oscillatore armonico

Si analizza un oscillatore armonico ovvero un sistema dinamico del secondo ordine ad un ingresso singolo,

costituito da due masse connesse tra loro da una molla ideale e uno smorzatore ideale. Segue lo schema del

sistema fisico:

Ipotesi:

- Rigidezza della molla ideale 𝐾𝑅 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 ;

- 𝐾𝑅 indipendente dalla differenza tra posizioni istantanee 𝑦 − 𝑥 ;

- Coefficiente di smorzamento viscoso dimensionale 𝐶𝑅 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 ;

- 𝐶𝑅 indipendente dalla corrispondente velocità relativa;

- Forza motrice comandata 𝐹𝑀 applicata alla prima massa;

- Carico esterno 𝐹𝑅 agente sulla seconda massa;

- Smorzamento assoluto del sistema tramite 𝐶𝐴.

Equazioni del sistema:

𝑀1�̈� = 𝐹𝑀 − 𝐶𝐴�̇� − 𝐶𝑅(�̇� − �̇�) − 𝐾𝑅(𝑥 − 𝑦)

𝑀2�̈� = 𝐶𝑅(�̇� − �̇�)+𝐾𝑅(𝑥 − 𝑦) − 𝐹𝑅

Si definisce la forza comandata 𝐹𝑀 come il prodotto tra un guadagno 𝐺𝑀 e un errore di posizione 𝑒𝑟𝑟, ovvero

differenza tra una posizione comandata 𝐶𝑜𝑚 e la corrispondente posizione istantanea 𝑦.

𝐹𝑀 = 𝐺𝑀𝑒𝑟𝑟 = 𝐺𝑀(𝐶𝑜𝑚 − 𝑦)

Si rappresenta lo schema a blocchi nel seguente modo:

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Si analizzano diverse simulazioni.

La prima viene eseguita con i seguenti parametri:

- Comando a gradino;

- Passo di integrazione 10−3;

- Metodo di integrazione ode1 (Eulero);

- Carico esterno 𝐹𝑅 agente con 𝑠𝑡𝑒𝑝 𝑡𝑖𝑚𝑒 = 5 [𝑠];

- 𝐾𝑅 = 100 [𝑁

𝑚].

Il software Matlab presenta un ordine prestabilito della sequenza di colori rispettivamente associati all’ordine

degli output dello scope. In particolare: giallo, fuxia, ciano, rosso, verde, blu, associati rispettivamente a

𝐶𝑜𝑚, 𝑦, 𝜕𝑦, 𝑥, 𝜕𝑥, riportati inoltre al centro del grafico.

La massa 1 si ferma nella posizione comandata a transitorio esaurito.

Il carico esterno 𝐹𝑅 subentra all’istante 5 secondi determinando una variazione di distanza tra le due masse

dovuta alla variazione di compressione di molla e smorzatore. Questo influenza il comportamento dinamico

del sistema portando la massa 2 in una posizione y differente da quella iniziale (a transitorio esaurito).

Parametri seconda simulazione:

- Comando a gradino;

- Passo di integrazione 10−3;

- Metodo di integrazione ode1 (Eulero);

- Carico esterno 𝐹𝑅 agente con 𝑠𝑡𝑒𝑝 𝑡𝑖𝑚𝑒 = 0 [𝑠];

- 𝐾𝑅 = 100 [𝑁

𝑚].

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A differenza della simulazione precedente, la posizione della massa 2 si porta subito ad una posizione diversa

dal comando (a transitorio esaurito).

Parametri terza simulazione:

- Comando a gradino;

- Passo di integrazione 10−3;

- Metodo di integrazione ode1 (Eulero);

- Carico esterno 𝐹𝑅 agente con 𝑠𝑡𝑒𝑝 𝑡𝑖𝑚𝑒 = 5 [𝑠];

- 𝐾𝑅 = 1000 [𝑁

𝑚].

L’incremento di rigidezza della molla del sistema comporta un intervallo del transitorio inferiore rispetto alla

precedente simulazione. Durante il transitorio c’è una riduzione del valore istantaneo dell’errore di posizione

𝑒𝑟𝑟 ed un aumento della frequenza di oscillazioni.

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Parametri quarta simulazione:

- Comando a gradino;

- Passo di integrazione 10−3;

- Metodo di integrazione ode1 (Eulero);

- Carico esterno 𝐹𝑅 agente con 𝑠𝑡𝑒𝑝 𝑡𝑖𝑚𝑒 = 5 [𝑠];

- 𝐾𝑅 = 10000 [𝑁

𝑚].

L’incremento di rigidezza della molla determina l’insorgenza di fenomeni di instabilità numerica poiché il

passo di integrazione risulta troppo elevato rispetto al tempo caratteristico del sistema.

Parametri quinta simulazione:

- Comando a gradino;

- Passo di integrazione 10−3;

- Metodo di integrazione ode1 (Eulero);

- Carico esterno 𝐹𝑅 agente con 𝑠𝑡𝑒𝑝 𝑡𝑖𝑚𝑒 = 5 [𝑠];

- 𝐾𝑅 = 12000 [𝑁

𝑚].

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Si verifica instabilità numerica divergente a causa dell’ulteriore incremento della rigidezza del sistema,

incremento della pulsazione naturale e diminuzione dello smorzamento naturale. Nella successiva

simulazione si andrà a verificare come riducendo il passo di integrazione a 10−4 non si presenterà instabilità

numerica poiché esso sarà di ordine di grandezza prossimo a quello del tempo caratteristico.

Parametri sesta simulazione:

- Comando a gradino;

- Passo di integrazione 10−4;

- Metodo di integrazione ode1 (Eulero);

- Carico esterno 𝐹𝑅 agente con 𝑠𝑡𝑒𝑝 𝑡𝑖𝑚𝑒 = 5 [𝑠];

- 𝐾𝑅 = 12000 [𝑁

𝑚].

Si verifica l’assenza di instabilità numerica al seguito della riduzione del passo di integrazione. Il dettaglio

ingrandito evidenzia, al pari della simulazione 3, come ci sia un aumento della frequenza delle oscillazioni a

seguito dell’aumento della rigidezza della costante di rigidezza della molla.

Parametri settima simulazione:

- Comando a gradino;

- Passo di integrazione 10−3;

- Metodo di integrazione ode1 (Eulero);

- Carico esterno 𝐹𝑅 agente con 𝑠𝑡𝑒𝑝 𝑡𝑖𝑚𝑒 = 5 [𝑠];

- 𝐾𝑅 = 100 [𝑁

𝑚];

- Smorzamento assoluto 𝐶𝐴 = 0;

- Smorzamento viscoso 𝐶𝑅 = 0.

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Azzerando gli smorzamenti del sistema si può facilmente notare come le oscillazioni del sistema

incrementino, divergendo.

Riduzione ad un grado di libertà

E’ possibile fare una semplificazione del sistema trascurando tutti i termini che implicano una differenza di

posizione tra le due masse determinata da una ipotesi di rigidezza infinita della molla del sistema.

L’equazione che descrive il sistema semplificato è:

�̈�(𝑀1 + 𝑀2) = 𝐹𝑀 − 𝐹𝑅 − 𝐶𝐴�̇�

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In questo caso lo schema a blocchi risulterà semplificato nel seguente modo:

Questa semplificazione ha una validità quando nel sistema a due gradi di libertà il termine di rigidezza ha un

valore sufficientemente alto. In particolare, nel grafico seguente con una rigidezza 𝐾𝑅 = 20 [𝑁

𝑚] , gli scarti

tra le linee del sistema completo e semplificato sono troppo marcati.

Adottando invece una rigidezza 𝐾𝑅 = 1000 [𝑁

𝑚] , gli scarti si riducono notevolmente e sono trascurabili,

permettendo l’utilizzo del sistema semplificato.

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