PELUANG, NILAI HARAPAN,DAN DISTRIBUSI

1

Arif Rahman Hakim

[Online Available]https://independent.academia.edu/ArifRahmanHakim

Tujuan Pembelajaran2

Mahasiswa dapat mengetahui, menghitung,& memahami peluang.

Mahasiswa dapat mengetahui, menghitung,& memahami peluang.

Definisi:Probabilitas adalah peluang suatu kejadian

Manfaat:Manfaat mengetahui probabilitas adalahmembantu pengambilan keputusan yang tepat,karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian,dan informasi yang tidak sempurna.

Contoh:• pembelian harga saham berdasarkan analisis

harga saham• peluang produk yang diluncurkan perusahaan

(sukses atau tidak), dll.

PELUANG : PENDAHULUAN

3

Definisi:Probabilitas adalah peluang suatu kejadian

Manfaat:Manfaat mengetahui probabilitas adalahmembantu pengambilan keputusan yang tepat,karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian,dan informasi yang tidak sempurna.

Contoh:• pembelian harga saham berdasarkan analisis

harga saham• peluang produk yang diluncurkan perusahaan

(sukses atau tidak), dll.

Peluang (Probabilitas):Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event)akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakanantara 0 sampai 1 atau dalam persentase.

Percobaan:Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yangmemungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpamemperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.

Hasil (outcome):Suatu hasil dari sebuah percobaan.

Peristiwa (event):Kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuahpercobaan atau kegiatan.

PELUANG : PENDAHULUAN

4

Peluang (Probabilitas):Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event)akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakanantara 0 sampai 1 atau dalam persentase.

Percobaan:Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yangmemungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpamemperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.

Hasil (outcome):Suatu hasil dari sebuah percobaan.

Peristiwa (event):Kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuahpercobaan atau kegiatan.

ILUSTRASI

Percobaan/Kegiatan

Pertandingan final sepak bola ligaChampion (29 Mei 2016).Real Madrid vs Atletico Madrid diStadion San Siro, Milan, Italia.

Hasil Atletico Madrid MenangReal Madrid Kalah

5

Hasil Atletico Madrid MenangReal Madrid Kalah

Peristiwa Real Madrid Menang 5-3(via adu Penalti)

Ruang Sampel

Kumpulan dari semua hasil yang mungkindari sebuah percobaan.

Percobaan/eksperimen

Ruang sampel Peristiwa

Pelembaran sekepingmata uang

- {M,B) - Muncul muka:{M}- Muncul belakang: {B}

6

Pelembaran sekepingmata uang

- {M,B) - Muncul muka:{M}- Muncul belakang: {B}

Pelemparansepasang mata uang

- {MM,MB,BM,BB}

- Dua muka muncul: {MM}- Satu muka muncul: {MB,BM}- Sedikitnya 1 muka muncul:

{MM,MB,BM}

BEBERAPA PRINSIP MENGHITUNG RUANG SAMPEL

Factorial = n!

Permutasi nPr = n!/ (n-r)!

• Factorial (berapa banyak cara yang mungkindalam mengatur sesuatu dalam kelompok).

• Permutasi (sejumlah kemungkinan susunan jikaterdapat satu kelompok objek).

7

Permutasi nPr = n!/ (n-r)!

Kombinasi nCr = n!/r! (n-r)!

• Kombinasi (berapa cara sesuatu diambil darikeseluruhan objek tanpa memperhatikan urutannya.

• Penggandaan (penggunaan kedua operasi itusecara bersama-sama dalam n1 x n2 cara..Penggandaan n1 x n2

PELUANG SUATU PERISTIWA

Definisi:Setiap peristiwa mempunyai kesempatan yangsama untuk terjadi.

Rumus:

8

Definisi:Setiap peristiwa mempunyai kesempatan yangsama untuk terjadi.

Rumus:

Probabilitas Himpunan bagian dari S/ suatu peristiwa = (dibagi)

Himpunan semua hasil yangmungkin atau ruang sampel

ILUSTRASI

Percobaan Peristiwa Probabilitasmunculnya

satu peristiwa

Kegiatanmelempar uang

1. Muncul gambar2. Muncul angka

2 ½

Kegiatanperdagangansaham

1. Menjual saham2. Membeli saham

2 ½

JmlRuangSampel

9

Kegiatanperdagangansaham

1. Menjual saham2. Membeli saham

2 ½

Perubahan harga 1. Inflasi (harga naik)2. Deflasi (harga turun)

2 ½

Mahasiswa belajar 1. Lulus memuaskan2. Lulus sangat memuaskan3. Lulus terpuji

3 1/3

HUKUM PELUANG (PROBABILITAS)

A. Hukum Penjumlahan

A.1 Komplementer

Peluang sebuah kejadian bernilaiantara 0 s/d 1. Jika A adalah sebuahkejadian atau peristiwa maka: 0 P(A) 1

10

Jika adalah dua kejadian yang salingkomplementer, maka

A.1 Komplementer

Peluang sebuah kejadian bernilaiantara 0 s/d 1. Jika A adalah sebuahkejadian atau peristiwa maka: 0 P(A) 1

1)AP(P(A))AP(A

A.3 Hukum penjumlahan (bila PeristiwaSaling Lepas)Jika A dan B dua peristiwa yang salinglepas, makaP(A atau B) = P(A) + P(B) atau P(A B)= P(A) + P(B)

A.4 Hukum penjumlahan (bila peristiwa-peristiwa tidak saling lepas)P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB)

11

A.3 Hukum penjumlahan (bila PeristiwaSaling Lepas)Jika A dan B dua peristiwa yang salinglepas, makaP(A atau B) = P(A) + P(B) atau P(A B)= P(A) + P(B)

A.4 Hukum penjumlahan (bila peristiwa-peristiwa tidak saling lepas)P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB)

B. Hukum Perkalian dan Pembagian

•Peluang MarjinalPeluang yang mengacu pada hubungan antara elemandalam subset dengan set.

• Peluang BersamaPeluang dari dua peristiwa yang digabungkan menjadisatu peristiwa yang memiliki karakteristik dari keduaperistiwa tersebut secara simultan.

• Peluang BersyaratPeluang ini dihitung dari subset (angka-angka marginal)bukan dari set keseluruhan.

• Peluang MajemukPeluang yang mengukur peristiwa majemuk.

B. Hukum Perkalian dan Pembagian

•Peluang MarjinalPeluang yang mengacu pada hubungan antara elemandalam subset dengan set.

• Peluang BersamaPeluang dari dua peristiwa yang digabungkan menjadisatu peristiwa yang memiliki karakteristik dari keduaperistiwa tersebut secara simultan.

• Peluang BersyaratPeluang ini dihitung dari subset (angka-angka marginal)bukan dari set keseluruhan.

• Peluang MajemukPeluang yang mengukur peristiwa majemuk.

12

ILUSTRASI DIAGRAM POHON

13

Jual

0,6 BNI

BLP

BCA

0,25

0,40

0,35

Keputusan Jual atau Beli Jenis Saham

Probabilitas Bersyarat

Probabilitas bersama

1 x 0,6 x 0,35 = 0,21

1 x 0,6 x 0,40 = 0,24

1 x 0,6 x 0,25 = 0,15

• Diagram Pohon

Suatu diagramberbentuk pohonyang membantumempermudahmengetahuiprobabilitas suatuperistiwa

1

Beli

0,6 BNI

BNI

BLP

BCA

0,25

0,25

0,40

0,35

1 x 0,6 x 0,25 = 0,15

1 x 0,4 x 0,35 = 0,14

1 x 0,4 x 0,40 = 0,16

1 x 0,4 x 0,25 = 0,10

0,21+0,24+0,15+0,14+0,16+0,10 =1,0

Jumlah Harus =1.0

• Diagram Pohon

Suatu diagramberbentuk pohonyang membantumempermudahmengetahuiprobabilitas suatuperistiwa

0,4

Aturan Bayes

Jika peristiwa-peristiwa B1,B2, …,Bkmerupakan sekatan dari ruang sampel Sdengan P(Bi0) untuk i =1,2,3,…,k, makauntuk sembarang kejadian A yang bersifatP(A0),

14

Jika peristiwa-peristiwa B1,B2, …,Bkmerupakan sekatan dari ruang sampel Sdengan P(Bi0) untuk i =1,2,3,…,k, makauntuk sembarang kejadian A yang bersifatP(A0),

)()|(........)()|()()|(

)()|()|(

2211 kk

jjj BPBAPBPBAPBPBAP

BPBAPABP

Tujuan Pembelajaran15

Mahasiswa dapat mengetahui &menghitung nilai harapan danpengambilan keputusan.

Mahasiswa dapat mengetahui &menghitung nilai harapan danpengambilan keputusan.

[Online Available]https://independent.academia.edu/ArifRahmanHakim

NILAI HARAPAN

Nilai harapan dari sebuah variabel acakX, diartikan sebagai rata-rata nilaivariabel acak X dalam jangka panjang.Nilai ini dapat diperoleh dengan nilaiharapan dari X yang merupakan rata-rataterbobot dari X dengan peluang Xsebagai bobotnya. Formulanya sbb.

16

Nilai harapan dari sebuah variabel acakX, diartikan sebagai rata-rata nilaivariabel acak X dalam jangka panjang.Nilai ini dapat diperoleh dengan nilaiharapan dari X yang merupakan rata-rataterbobot dari X dengan peluang Xsebagai bobotnya. Formulanya sbb.

k

i 1iix )P(XXE(X)μ

BEBERAPA DEFINISI BERKAITAN DENGANNILAI HARAPAN

Variabel acak adalah sebuah besaran yang merupakan hasildari percobaan random yang dapat mempunyai nilai yangberbeda-beda.Variabel acak diskret: variabel acak yang hanya mempunyainilai-nilai tertentu yang terpisah secara jelas yang merupakanfungsi dari hasil percobaan pada sesuatu hal yang menjadi pusatperhatian kita. Misalnya perhatian kita adalah banyaknya mukamuncul. Maka yang dimaksud fungsi disini adalah “banyaknyamuka muncul dari sebuah outcome”.Variabel acak kontinu: variabel acak yang mengambil nilaiberapa saja pada suatu interval tertentu. Jadi ruang sampelvariabel acak kontinu mengandung banyaknya kemungkinan yangtidak terbatas, yang sama banyaknya dengan titik yang adapada suatu interval nilai dimana variabel acak itu didefinisikan.

17

Variabel acak adalah sebuah besaran yang merupakan hasildari percobaan random yang dapat mempunyai nilai yangberbeda-beda.Variabel acak diskret: variabel acak yang hanya mempunyainilai-nilai tertentu yang terpisah secara jelas yang merupakanfungsi dari hasil percobaan pada sesuatu hal yang menjadi pusatperhatian kita. Misalnya perhatian kita adalah banyaknya mukamuncul. Maka yang dimaksud fungsi disini adalah “banyaknyamuka muncul dari sebuah outcome”.Variabel acak kontinu: variabel acak yang mengambil nilaiberapa saja pada suatu interval tertentu. Jadi ruang sampelvariabel acak kontinu mengandung banyaknya kemungkinan yangtidak terbatas, yang sama banyaknya dengan titik yang adapada suatu interval nilai dimana variabel acak itu didefinisikan.

CONTOHBerikut ini merupakan perkiraan laba dari kemungkinan hasilyang dapat diperoleh seorang pedagang berikut peluangterjadinya:

Nilai harapan laba dari pedagang tersebut adalah

KemungkinanHasil

Laba Rugi Impastotal

Laba (X) 100rb -25rb 0

P(X) 50% 20% 30% 100%

18

Berikut ini merupakan perkiraan laba dari kemungkinan hasilyang dapat diperoleh seorang pedagang berikut peluangterjadinya:

Nilai harapan laba dari pedagang tersebut adalahKemungkinan

HasilLaba Rugi Impas

totalLaba (X) 100rb -25rb 0

P(X) 50% 20% 30% 100%

X.P(X)

Tujuan Pembelajaran19

Mahasiswa dapat mengetahui, menghitung,& memahami distribusi binomial &hipergeometrik

Mahasiswa dapat mengetahui, menghitung,& memahami distribusi binomial &hipergeometrik

[Online Available]https://independent.academia.edu/ArifRahmanHakim

Rumus distribusi probabilitas binomial:

DISTRIBUSI PROBABILITAS BINOMIAL

• Bila suatu ulangan binom mempunyai peluang keberhasilan pdan peluang kegagalan g (1-p).

• Maka, sebaran peluang bagi peubah acak binom X adalahbanyaknya keberhasilan dalam n ulangan yang bebas.

20

• Bila suatu ulangan binom mempunyai peluang keberhasilan pdan peluang kegagalan g (1-p).

• Maka, sebaran peluang bagi peubah acak binom X adalahbanyaknya keberhasilan dalam n ulangan yang bebas.

CONTOH DISTRIBUSI BINOMIAL

Tentukan peluang mendapat tepat tiga bilangan 2 bila sebuahdadu setimbang dilemparkan 5 kali.

Jawab: P(X=2) = b (3; 5; 1/6)

= 0.032

Peluang keberhasilan setiap ulangan bebas ini adalah 1/6 danpeluang kegagalan 5/6.

21

Tentukan peluang mendapat tepat tiga bilangan 2 bila sebuahdadu setimbang dilemparkan 5 kali.

Jawab: P(X=2) = b (3; 5; 1/6)

= 0.032

Peluang keberhasilan setiap ulangan bebas ini adalah 1/6 danpeluang kegagalan 5/6.

CONTOH DISTRIBUSI BINOMIAL

PT X mengirim buah melon ke sebuah Hypermart Y. Buah yangdikirim 90% diterima dan sisanya ditolak. Setiap hari dikirim15 buah ke Hypermart Y. Berapa peluang buah diterima?

Jawab: P (X=13) = b (13; 15; 0.9)

=

= 0.4510 – 0.1841 = 0.2669

Untuk mencari nilai distribusi binomial dapat menggunakantabel distribusi binomial dengan n=15; dimana X =13(90%*15) dengan P(p)= 0,9.22

PT X mengirim buah melon ke sebuah Hypermart Y. Buah yangdikirim 90% diterima dan sisanya ditolak. Setiap hari dikirim15 buah ke Hypermart Y. Berapa peluang buah diterima?

Jawab: P (X=13) = b (13; 15; 0.9)

=

= 0.4510 – 0.1841 = 0.2669

Untuk mencari nilai distribusi binomial dapat menggunakantabel distribusi binomial dengan n=15; dimana X =13(90%*15) dengan P(p)= 0,9.

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

• Dalam distribusi binomial diasumsikan bahwa peluangsuatu kejadian tetap atau konstan atau antar-kejadiansaling lepas.

• Dalam dunia nyata, jarang terjadi hal demikian. Suatukejadian sering terjadi tanpa pemulihan dan nilaisetiap kejadian adalah berbeda atau tidak konstan.

• Distribusi dengan tanpa pemulihan dan probabilitasberbeda adalah Distribusi Hipergeometrik.

• Distribusi hipergeomtrik bergantung pada banyaknyakeberhasilan k diantara n benda yang diambil daripopulasi N benda.

Rumus nilai Distribusi Hipergeometrik:

P(x) = h(x;N;n;k) = ([(k x) * (N-k n-x)]/(N n)

23

• Dalam distribusi binomial diasumsikan bahwa peluangsuatu kejadian tetap atau konstan atau antar-kejadiansaling lepas.

• Dalam dunia nyata, jarang terjadi hal demikian. Suatukejadian sering terjadi tanpa pemulihan dan nilaisetiap kejadian adalah berbeda atau tidak konstan.

• Distribusi dengan tanpa pemulihan dan probabilitasberbeda adalah Distribusi Hipergeometrik.

• Distribusi hipergeomtrik bergantung pada banyaknyakeberhasilan k diantara n benda yang diambil daripopulasi N benda.

CONTOH DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

Hitung peluang terambilnya 5 kartu yang terdiri dari 3 kartumerah tanpa pemulihan (tanpa diputar ulang).Jawab: P (X) = h (3;52;5;26)

=

= 0.3251

24

Hitung peluang terambilnya 5 kartu yang terdiri dari 3 kartumerah tanpa pemulihan (tanpa diputar ulang).Jawab: P (X) = h (3;52;5;26)

=

= 0.3251

Hitung peluang terambilnya 3 kartu hati bila 5 kartu diambilsecara acak tanpa pemulihan (tanpa diputar ulang).Jawab: P (X) = h (3;52;5;13)

=

= 0.0815

Terima Kasih

25

Terima Kasih

[Online Available]https://independent.academia.edu/ArifRahmanHakim