Projet de plaques

Projet de plaques EAS - GCU

15/04/2013

Alejandro Jiménez Rios

Sommaire :

1. Présentation générale et hypothèses principales de la théorie des

plaques et des poutres.

2. Etude préliminaire : cas de la plaque circulaire simplement appuyée.

3. Mise en place des méthodes de résolution pour la plaque carrée.

4. Calculs.

5. Analyse des résultats.

6. Etude de sensibilité du maillage.

7. Influence des dimensions de la plaque.

8. Conclusion du projet.

9. Bibliographie.

10. Annexes

1.- Présentation général et hypothèses principales de la théorie des

plaques et des poutres

D’abord on présentera dans ce projet les hypothèses principales de la théorie des poutres et des

plaques, suivies d’une étude préliminaire correspondant a l’étude du cas d’une plaque circulaire

simplement appuyée, avec un rayon R et une épaisseur h, soumise à un chargement de type A. On

utilisera un modèle aux éléments finis et comparera les résultats numériques avec les solutions

analytiques démontrées au cours des premiers TDs.

R (m) h (m)

3.5 .11 Tableau 1 : Dimensions de la plaque circulaire

Après, on étudiera le cas d’une plaque mince carrée de dimensions a*a, simplement

appuyé sur quatre murs porteurs et soumis a deux différent conditions de charges. Pour la

premier condition des charges, A, on prendra en compte le poids propre de la plaque, p, plus un

charge d’exploitation uniformément repartie, q = 150 kg/m2, et on fera le calcul a l’ELU en

fournissant les résultats obtenues par trois méthodes différentes : différences finies, séries de

Navier et éléments finis. Pour la deuxième condition, B, on prendra en compte le poids propre de

la plaque plus une charge repartie sur deux rectangles de dimensions u* v, q = 7 ton, distants

d’une longueur d. On fera aussi le calcul à l’ELU et fournira les résultats obtenues par les méthodes

de séries de Navier et éléments finis.

a (m) u et v (m) d (m) h (m)

7.5 .75*.75 1 .10 Tableau 2 : Dimensions de la plaque rectangulaire

Les caractéristiques des matériaux pour toutes les plaques sont :

E (Mpa) ν ρ (kg/m3)

32000 .3 2500 Tableau 3 : Caractéristiques du matériau

Puis, on fera une analyse des différents résultats obtenus par chaque une des méthodes

utilisés et comparera ces résultats avec les tables et abaques de Timoshenko et Pigeaud pour

vérifier la conformité des résultats et sa convergence selon la finesse des modèles proposées, ainsi

comme la sensibilité du maillage et l’influence des dimensions de la plaque.

À la fin du projet ne restera que présenter des conclusions et la bibliographie utilisée.

1.1.- Hypothèses principales de la théorie de poutres

La théorie des poutres s’applique sur des solides élancés (typiquement les prismes dont la longueur vaut 20 fois la plus grande dimension latérale). Là où la détermination de la solution exacte pour les champs de contrainte et de déformation n’est pas possible, elle permet d’obtenir une solution approchée, qui donne une bonne idée des efforts et des déplacements. Il y a deux théories, la théorie d’Euler-Bernoulli et la théorie de Timoshenko mais on présentera seulement le premier. La différence principal entre ceux deux théories est que la théorie d’Euler-Bernoulli néglige l'influence du cisaillement et la théorie de Timoshenko lui prendre en compte. Les hypothèses principales de la théorie d’Euler-Bernoulli sont :

a) Hypothèse de Barré de Saint-Venant: les résultats ne s'appliquent valablement qu'à une distance suffisamment éloignée de la région d'application des efforts intenses (deux à trois fois la largeur de la section normale).

b) Hypothèse de Bernoulli: les sections planes, normales aux fibres avant déformation demeurent normales aux fibres après déformation.

Image 4 : Déformation d’une poutre

On fait aussi la supposition de que le matériau est homogène, isotrope et suive une loi de comportement linéaire et que les déplacements sont relativement petites.

Image 5 : Loi de comportement élastique

1.2.- Hypothèses principales de la théorie de plaques

Une plaque est un solide limité par 2 plans parallèles distant de l’épaisseur tel que h << L,l. On

classifie les plaques pour ses épaisseurs selon le paramètre

Selon la valeur d’élancement (

Dans ce projet on travaille dans le domaine de plaques minces (

que les déformations sont relativement petites (w << h).

moyen XY pour Z=0 et on définira les déplacements de flexion avec w.

Comme dans les poutres, il y a aussi deux modèles différents pour la théorie de plaques.

On présente en général le modèle de la théorie de Hencki

Kirchoff mais on utilisera dans ce projet la théorie de Kircchoff. Les de

la contrainte normale au plan XY est nulle (σ

suive une loi de comportement linéaire

Les hypothèses de la théorie de Hen

a) Elle prend en compte un

b) Elle exprime les

Hypothèses principales de la théorie de plaques


classifie les plaques pour ses épaisseurs selon le paramètre λ, lequel est définie comme

� ��

�

Selon la valeur d’élancement (λ) on peut classifier les plaques en utilisant le suivant sch

Schéma 1 : Classification des plaques

Dans ce projet on travaille dans le domaine de plaques minces (� � .012

sont relativement petites (w << h). On supposera l’existence d’un plan

moyen XY pour Z=0 et on définira les déplacements de flexion avec w.

Image 6 : Dimensions d’une plaque


On présente en général le modèle de la théorie de Hencki-Midlin et le modèle de la théorie de

Kirchoff mais on utilisera dans ce projet la théorie de Kircchoff. Les deux théories

au plan XY est nulle (σz = 0) et que le matériau est homogène, isotrope et

suive une loi de comportement linéaire.

de la théorie de Hencki-Midlin sont :

Elle prend en compte un cisaillement transversal.

Elle exprime les déplacement avec trois variables indépendantes


t définie comme :

λ) on peut classifier les plaques en utilisant le suivant schéma :

012 et on supposera

On supposera l’existence d’un plan


Midlin et le modèle de la théorie de

ux théories considèrent que

homogène, isotrope et

avec trois variables indépendantes: βx, βy, W(x,y).

c) Elle exprime la

déplacement.

Les hypothèses de la théorie de Kircchoff sont

a) Elle considère que le

b) Elle utilise qu’une

c) Elle exprime l

déplacement.

Dans l’image 7 on présent la convention et la notation pour les

déformations et les efforts, suivre par les relations entre eux et las formules que leurs

Image 7

),(

.

.

yxWW

y

WzV

x

WzU

=

−=

−=

δδδ

δ

Elle exprime la déformation à partir des dérivées premières du champ de

déplacement.

Les hypothèses de la théorie de Kircchoff sont :

Elle considère que le cisaillement transversal est nul.

Elle utilise qu’une seule variable de déplacement : W(x,y)

Elle exprime la déformation à partir des dérivées secondes du champ de

déplacement.

Dans l’image 7 on présent la convention et la notation pour les

et les efforts, suivre par les relations entre eux et las formules que leurs

7 : Déplacements, déformations et efforts d’une plaque

xy

y

x

γ

ε

ε

=

=

=

déformation à partir des dérivées premières du champ de

a déformation à partir des dérivées secondes du champ de

Dans l’image 7 on présent la convention et la notation pour les déplacements, les

et les efforts, suivre par les relations entre eux et las formules que leurs caractérise.

yx

Wz

y

Wz

x

Wz

δδδ

δδδ

δ

2

2

2

2

2

..2

.

.

−=

−

−

2.- Etude préliminaire : cas de la plaque circulaire simplement

appuyée

Nous nous intéressons ici au cas de chargement A sur une plaque circulaire simplement appuie. A l’aide de CAST3M (le code CAST3M est présenté dans l’annexe 1), nous déterminons la flèche et les moments fléchissant pour les comparer avec les résultats trouvés avec les solutions analytiques des premiers TD’s. Donc on utilise les équations suivantes:

��

�� − � ∗

� + �

� + �∗ �� +

� + �

� + �∗ ��

�� + � ∗ �

��∗ �� − ��

�� − �

��∗ [�� + �� ∗ �� − �� + � ∗ ��]

*Touts les résultats sont présentés dans le tableau et les valeurs trouves avec ces formules

au-dessus sont présentes dans l’annexe 2. *Remarque : Les graphiques et les valeurs ci-dessous correspondent au un maillage tell

que le diamètre de la plaque est divisé en 80 éléments, dans le tableau on présente aussi les valeurs obtenues en utilisant un fines de maillage dans laquelle on divise le diamètre de la plaque en 10 éléments et on fait la comparaison de cette variation et comme ca affecte les résultats qu’on obtient.

Lors de la résolution analytique, nous avons fait les hypothèses suivantes : � Le déplacement est uniquement fonction du rayon r (et non de l’angle θ).

� Par conséquent, le moment de torsion M(xy) et les moments Mx et My ne dépendent que

du rayon r. � W(z), M(x) et M(y) au contourne de la plaque sont nuls.

2.1.1.- Déplacement maximal w(r)

Grace aux images ci-dessous on peut constater qu’effectivement le déplacement W(z) ne dépende

que du rayon de la plaque. On peut voir aussi que le déplacement maximal apparait au centre de

la plaque mais par contre, il y a aussi un petite déplacement tout autour du contour de la plaque,

ca que ne corresponde pas à l’hypothèse qu’on a proposé.

On obtient presque les mêmes valeurs de déplacements entre les deux modèles aux

éléments finis même si le premier est plus précis est détaillé par rapport au deuxième. On

constate que la différence entre ces valeurs là est la valeur que nous donne l’équation analytique

est presque nulle. On peut supposer que le premier modèle est le plus précis des trois mais aussi

qu’avec les trois on obtient un résultat acceptable.

Image 8 : Déplacements W(z)

Image 9 : Déplacements W(z)

2.1.2.- Moments en x (Mx)

Selon nos hypothèses le moment M(x) ne dépende que des déplacements W(z) et à la fois que de

rayon. Malgré cela on peut voir dans les images suivants que il y a un allongement du champ des

moments suivant l’axe y comme résultat on n’obtient pas une distribution uniforme des moments

que soit indépendant de θ et on n’obtient non plus un moment nul au contour de la plaque.

Ce fait peut expliquer que les valeurs trouvées entre les deux modèles aux éléments finis

et le modèle analytique au milieu de la plaque soient parais mais que par contre l’écart par

rapport aux bordes de la plaque soit plus grande, cet a dit, que dans les modèles aux éléments

finis le moment ne soient pas nulles.

Image 10 : Moments M(x)

Image 11 : Moments M(x)

2.1.3.- Moments en y (My)

L’analyse pour les moments M(y) est le même que pour les moments M(x) sauf que l’axe autour

de laquelle les moments sont éloignées est l’axe x.

Image 12 : Moments M(y)

Image 13 : Moments M(y)

2.1.4.- Moments en xy et yx (Mxy et Myx)

À fin de trouver une solution analytique pour un plaque circulaire simplement appuyée on a pris

l’hypothèse de que les déformations tranchants sont nuls aussi bien que les moments de

cisaillements. Néanmoins on peut constater qu’en fait il y a un moment que ne devient pas

négligeable agissant sur quatre points de la plaque.

Ca qui peut expliquer aussi le fait de que les valeurs des moments Mx et My changent par rapport

au rayon aussi comme par rapport à l’angle θ.

Image 14 : Moments M(xy)=M(yx)

Image 15 : Moments M(xy)=M(yx)

2.1.5 Tableau des valeurs comparatives

*Remarque : Les valeurs du tableau sont les valeurs des grandeurs au centre de la plaque.

Grandeur Cas3m maillage fine

Cast3m maillage moins fine

Solution analytique

W(r) (mm) 14.33 14.55 14.61

M(n) (kN*m) 14.78 14.89 14.80

M(t) (kN*m) 14.78 14.89 14.80

M(nt) (kN*m) 3.17 3.29 0

2.2 Analyse des résultats et conclusions

D’abord la comparaison entre les deux modèles aux éléments finis. Même si les valeurs trouvés

varient en peut on dirait que avec les deux on obtient un résultat satisfacteur. Les différences plus

grandes entre ces deux modèles là se trouvent proche du contour de la plaque mais au milieu, que

c’est où on trouve les valeurs maximales, les deux donnent des résultats très proches.

Si on fait la comparaison par rapport à la solution analytique on trouve que les résultats

sont similaires sauf pour les moments de cisaillement.

Tableau des écarts :

Grandeur Ecart entre Cast3m (%) Ecart Cast3m-Analytique (%)

W(r) (mm) 1.51 0.41

M(n) (kN*m) 0.74 0.61

M(t) (kN*m) 0.74 0.61

M(nt) (kN*m) 3.65 -

3.- Mise en place des méthodes de résolution pour la plaque carrée

3.1.- Méthode par différences finies

Cette méthode s’appuie sur l’approximation des operateurs dérivés par la formule de Taylor. Nous l’utiliserons uniquement pour résoudre le cas A de chargement. Cela permet de créer un dictionnaire d’image des operateurs dérivés. Nous nous basons donc sur la formule de Taylor suivante en 2D :

�! + �, # + $ � �!, # + �� % + $ &' +12! ∗ (ℎ % + $ &)) +⋯+ 1+! ∗ (ℎ % + $ &), + -,.'

Avec : (ℎ % + $ &), = ℎ, ∗ %/ + $ ∗ ℎ,0' ∗ %/12 ∗ & +⋯+ $, ∗ &/ %/ = 3, 3!, 56 &/ = 3, 3#,

Avec h et k étant les pas de discrétisation respectivement selon x et y. Par la suite, nous

prendrons un pas de discrétisation h selon x égal a celui selon y (h=k). Nous nous baserons sur le schéma centre des différences finies, ce qui nous donne après

calcul les images suivantes (en 2D) pour les différents operateurs dérivés : 33! = 12ℎ ∗ �−101�56 33# = 12ℎ ∗ 7−101 8 3)3!) = 1ℎ) ∗ �1 −2 1�56 3)3#) = 1ℎ) ∗ 7 1−21 8

∆ = 1ℎ) ∗ 70 1 01 −4 10 1 08 56 3)3!3# = 14ℎ) ∗ 7 1 0 −10 0 0−1 0 1 8 Dans notre cas, nous avons un bord simplement appuyé ce qui nous permet de résoudre

l’équation :

∆∆; = <(!, #)=

= = > ∗ ℎ?12(1 − @))

En résolvant le système d’équation équivalent : ∆A = −<(!, #) ∆; = −A=

Dans D avec M=0 et W=0 sur le contour. Avec : A = A% +A&1 + @

3.2.- Méthode de Navier

La résolution du problème par séries de Navier s’opère en approximant le cas de chargement ainsi que le déplacement par une série de sinus. Nous pouvons des lors partir directement de l’équation en double laplacien. Nous approximons donc le chargement par :

<(!, #) = B BCD,, ∗ sin HIJ!K L ∗ sin H+J#M LN,OP

NDOP

Et le déplacement par:

Q(!, #) = B BRD,, ∗ sin HIJ!K L ∗ sin H+J#M LN,OP

NDOP

Nous pouvons en déduire une relation entre CD,, etRD,,, soitRD,, = (CD,,). Nous obtenons alors : ∆∆; = <(!, #)=

B BJS ∗ RD,, ∗ TI)K) + +)M)U ∗ sin HIJ!K L ∗ sin H+J#M L =N,OP

NDOP

1= B BCD,, ∗ sin HIJ!K L ∗ sin H+J#M LN,OP

NDOP

RD,, = 1JS ∗ = ∗ CI,+VI2K2 + +2M2W)

3.1.- Méthode des éléments finis

La résolution par éléments finis se base sur la discrétisation de la plaque et les deux équations équivalentes:

∆A = −<(!, #) ∆; = −A=

Nous utiliserons pour cette résolution le logiciel CAST3M qui se base sur les éléments finis

comme méthode de résolution.

4.- Calculs

4.1.- Méthode par différences finies

Nous allons maintenant poser le système équations qui nous permettra de résoudre le problème. Nous utiliserons ici un maillage fixe de 10x10. Ci-dessous un schéma résumant la disposition des nœuds :

Image 16 : Disposition des nœuds sur la plaque

*Remarque : nous ne définissons pas ici de nœuds sur le bord car les moments, ainsi que

les déplacements sont nuls à cet endroit. Pour résoudre l’équation de la flèche, nous devons donc résoudre deux laplaciens

successifs en considérant le moment et le déplacement (selon z) nul sur les bords. En nous servant des images des dérivées définies ci-dessus, nous obtenons pour le premier laplacien le systeme d’équation suivant (AX est le moment au nœud i) :

∆A' = 1�) ∗ �−4A' +A) +A'P� = −<(!, #) ∆A) = 1�) ∗ �−4A) +A' +A? +A''� = −<(!, #) ∆A? = 1�) ∗ �−4A? +A) +AS +A')� = −<(!, #) ∆AY' = 1�) ∗ �−4AY' +AZ) +AYP� = −<(!, #)

Nous pouvons représenter ce système de 81 équations à 81 inconnues par le système matriciel suivant :

1�) ∗ �C� ∗ [A'A)…AY'

] = _̂_̀−<(!, #)−<(!, #)…−<(!, #)abb

c

Avec la matrice [A] construite avec les coefficients devant les AX des équations définies ci-

dessus (matrice 81x81). Cela nous permet de déterminer les moments M. aux nœuds i :

[ A'A)…AY'] = �) ∗ �C�0' ∗ _̂_̀

−<(!, #)−<(!, #)…−<(!, #)abbc

Puis nous obtenons de même les déplacements ;X grâce au système matriciel suivant à

l’aide du deuxième laplacien. Nous obtenons donc les déplacements aux nœuds i de la plaque :

[ ;';)…;Y'] = −�)= ∗ �C�0' ∗ [ A'A)…AY'

]

Nous pouvons en déduire les moments de flexion A%etA&, le moment de torsionA%&.

Pour les moments de flexion/torsion, nous utilisons les images en DF suivantes :

A% = −=�) ∗ 70 @ 01 −2(1 + @) 10 @ 08

A& = −=�) ∗ 70 @ 01 −2(1 + @) 10 @ 08

A%& = −=(1 − @)4�) ∗ 7 1 0 −10 0 0−1 0 1 8 Les conditions limites nécessaires pour résoudre ces systèmes d’équations sont que le

moment M et le déplacement W sur le bord de la plaque sont nulles. Ca nous donne l’expression suivant aux DF :

;d%e = −;X,e

Nous pouvons donc résumer les 3 systèmes ci-dessous :

[ A%'A%)…A%')'] = −=�) ∗ �R'� ∗ [ ;';)…;')'

]

_̂_̀A&'A&)…A&')'abb

c = −=�) ∗ �R)� ∗ [ ;';)…;')']

[ A%'A%)…A%')'] = −=(1 − @)4�) ∗ �R?� ∗ [ ;';)…;')'

]

Avec les matrices R', R), R? des matrices 121x121 définies a l’aide des images de DF définies ci-avant. Le résultat obtenu grâce à la résolution de ces systèmes sera présentée dans la partie d’analyse des résultats. Les valeurs de chaque point que sera présenté est d’accord a le schéma ci-dessous :

On présentera aussi coupes selon des directions judicieusement choisies pour comparer les méthodes mises en œuvre. Les trois coups utilisés sont ceux présentés sur le schéma ci-dessous :

4.2.- Méthode de Navier

Pour calculer CD,, nous effectuons le calcul suivant :

f <(!, #) ∗ sinTI′J!K Uh! = f B BCD,, ∗ sin HIJ!K L ∗ sin H+J#M LN,OP

NDOP ∗ sin TI′J!K Uh!i

PiP

Or :

f sin VI′J!K W ∗ sin HIJ!K L h! = j0klI ≠ I′K2 klI = I′ niP

Nous avons donc:

CD,, = 4KM ∗f f <(!, #) ∗M0

K0 sin HIJ!K L ∗ sin H+J#M Lh!h#

Dans notre cas, (Cas de charge A) nous avons une charge repartie uniforme<P. Donc

q(x,y)=<P et nous avons alors :

CD,, = 4<0KM ∗f sin HIJ!K Lh!K0 ∗ f op sin H+J#M Lh#

Et nous obtenons donc finalement pour une plaque carrée avec une longueur et largueur

de 7.5m*7.5m :

CD,, = q 4<0I+J) ∗ �(−1)D − 1� ∗ �(−1), − 1�klI56+lIrKls5k0klItu+rKls5k n

RD,, = 1JS ∗ = ∗ CI,+VI2K2 + +2M2W)

Nous obtenons alors simplement les déplacements grâce aux coefficients Aw,xetBw,xet donc les moments qui en découlent.

Le résultat obtenu grâce à la résolution de ces systèmes sera présentée dans la partie d’analyse des résultats. Les valeurs de chaque point que sera présenté ainsi comme les coups est d’accord à le même schéma utilisé pour présenter les résultats des différences finies.

4.1.- Méthode des éléments finis

Nous allons développer les principes de résolution de cette méthode. Tout d’abord, il est nécessaire de discrétiser la plaque en x et y respectivement en m et n « morceaux ». Le schéma ci-dessous résume la situation :

Image 17 : Discrétisation du problème en éléments finis

Nous résolvons alors successivement le problème à l’aide des équations des moments et des déplacements à l’aide de la discrétisation effectuées ci-dessus. Ces équations deviennent alors :

∆A = −<(!, #) ↔ AX.',} +AX0',} − 2AX,}(~!)) +AX,}.' +AX,}0' − 2AX,}(~#)) = −<(l, �) ∆; = −A= ↔ ;X.',} +;X0',} − 2;X,}(~!)) +;X,}.' +;X,}0' − 2;X,}(~#)) = −A(l, �)=

Avec : AX,} = 0rtus � l = 1� = 1…+56 � l = I� = 1…+nn ;X,} = 0rtus �l = 1…I� = 1 56 �l = 1…I� = + nn = = > ∗ ℎ?12 ∗ (1 − @)) Nous obtenons alors dans les deux cas n x m équations, que l’on peut résoudre en utilisant

la méthode matricielle comme en différence finie. Dans un premier temps on détermine les moments M en chaque nœud. On détermine ensuite les déplacements w. Enfin on peut en déduire les moments fléchissant et de torsion. Le résultat de cette méthode sera présenté dans las section d’analyse des résultats.

Pour le cas de charge A on peut discrétiser la plaque comme on veuille mais par contre pour le cas de charge B il faut trouver une division telle que on puisse sur poser les éléments de la zone d’application de la charge ponctuelle avec celle de la plaque.

On a une longueur de 7.5 m, une zone d’application de .75m x .75m et une séparation entre charges de une mètre, donc la division la plus grande avec la quelle on peut discrétiser notre plaque est de 30 éléments, soit .25m la longueur de chacune. On commençant avec cette discrétisation après on peut travailler des éléments plus petites et ca nous donnera le point de convergence de résultats de cette méthode.

On présente les résultats trouvés et l’analyse de l’influence du maillage dans les parties ci-après correspondants.

5.- Analyse des résultats

5.1 Cas de charge A :

5.1.1 Méthode par différences finies

Élément W (m) Mx (N*m) My (N*m) Mxy (N*m)

1 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -7.12E+03

2 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -8.79E+03

3 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -7.08E+03

4 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -4.90E+03

5 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -2.49E+03

6 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

7 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 2.49E+03

8 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 4.90E+03

9 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 7.08E+03

10 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 8.79E+03

11 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 7.12E+03

12 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -8.79E+03

13 2.60E-03 2.59E+03 2.59E+03 -8.18E+03

14 4.82E-03 3.95E+03 4.37E+03 -6.63E+03

15 6.49E-03 4.70E+03 5.55E+03 -4.61E+03

16 7.51E-03 5.08E+03 6.22E+03 -2.35E+03

17 7.85E-03 5.20E+03 6.43E+03 0.00E+00

18 7.51E-03 5.08E+03 6.22E+03 2.35E+03

19 6.49E-03 4.70E+03 5.55E+03 4.61E+03

20 4.82E-03 3.95E+03 4.37E+03 6.63E+03

21 2.60E-03 2.59E+03 2.59E+03 8.18E+03

22 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 8.79E+03

23 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -7.08E+03

24 4.82E-03 4.37E+03 3.95E+03 -6.63E+03

25 8.97E-03 6.92E+03 6.92E+03 -5.45E+03

26 1.21E-02 8.37E+03 8.97E+03 -3.82E+03

27 1.40E-02 9.11E+03 1.02E+04 -1.96E+03

28 1.47E-02 9.34E+03 1.06E+04 0.00E+00

29 1.40E-02 9.11E+03 1.02E+04 1.96E+03

30 1.21E-02 8.37E+03 8.97E+03 3.82E+03

31 8.97E-03 6.92E+03 6.92E+03 5.45E+03

32 4.82E-03 4.37E+03 3.95E+03 6.63E+03

33 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 7.08E+03

34 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -4.90E+03

35 6.49E-03 5.55E+03 4.70E+03 -4.61E+03

36 1.21E-02 8.97E+03 8.37E+03 -3.82E+03

37 1.63E-02 1.10E+04 1.10E+04 -2.70E+03

38 1.90E-02 1.20E+04 1.25E+04 -1.39E+03

39 1.99E-02 1.23E+04 1.30E+04 0.00E+00

40 1.90E-02 1.20E+04 1.25E+04 1.39E+03

41 1.63E-02 1.10E+04 1.10E+04 2.70E+03

42 1.21E-02 8.97E+03 8.37E+03 3.82E+03

43 6.49E-03 5.55E+03 4.70E+03 4.61E+03

44 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 4.90E+03

45 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -2.49E+03

46 7.51E-03 6.22E+03 5.08E+03 -2.35E+03

47 1.40E-02 1.02E+04 9.11E+03 -1.96E+03

48 1.90E-02 1.25E+04 1.20E+04 -1.39E+03

49 2.20E-02 1.38E+04 1.38E+04 -7.19E+02

50 2.31E-02 1.41E+04 1.43E+04 0.00E+00

51 2.20E-02 1.38E+04 1.38E+04 7.19E+02

52 1.90E-02 1.25E+04 1.20E+04 1.39E+03

53 1.40E-02 1.02E+04 9.11E+03 1.96E+03

54 7.51E-03 6.22E+03 5.08E+03 2.35E+03

55 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 2.49E+03

56 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

57 7.85E-03 6.43E+03 5.20E+03 0.00E+00

58 1.47E-02 1.06E+04 9.34E+03 0.00E+00

59 1.99E-02 1.30E+04 1.23E+04 0.00E+00

60 2.31E-02 1.43E+04 1.41E+04 0.00E+00

61 2.42E-02 1.47E+04 1.47E+04 0.00E+00

62 2.31E-02 1.43E+04 1.41E+04 0.00E+00

63 1.99E-02 1.30E+04 1.23E+04 0.00E+00

64 1.47E-02 1.06E+04 9.34E+03 0.00E+00

65 7.85E-03 6.43E+03 5.20E+03 0.00E+00

66 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

67 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 2.49E+03

68 7.51E-03 6.22E+03 5.08E+03 2.35E+03

69 1.40E-02 1.02E+04 9.11E+03 1.96E+03

70 1.90E-02 1.25E+04 1.20E+04 1.39E+03

71 2.20E-02 1.38E+04 1.38E+04 7.19E+02

72 2.31E-02 1.41E+04 1.43E+04 0.00E+00

73 2.20E-02 1.38E+04 1.38E+04 -7.19E+02

74 1.90E-02 1.25E+04 1.20E+04 -1.39E+03

75 1.40E-02 1.02E+04 9.11E+03 -1.96E+03

76 7.51E-03 6.22E+03 5.08E+03 -2.35E+03

77 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -2.49E+03

78 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 4.90E+03

79 6.49E-03 5.55E+03 4.70E+03 4.61E+03

80 1.21E-02 8.97E+03 8.37E+03 3.82E+03

81 1.63E-02 1.10E+04 1.10E+04 2.70E+03

82 1.90E-02 1.20E+04 1.25E+04 1.39E+03

83 1.99E-02 1.23E+04 1.30E+04 0.00E+00

84 1.90E-02 1.20E+04 1.25E+04 -1.39E+03

85 1.63E-02 1.10E+04 1.10E+04 -2.70E+03

86 1.21E-02 8.97E+03 8.37E+03 -3.82E+03

87 6.49E-03 5.55E+03 4.70E+03 -4.61E+03

88 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -4.90E+03

89 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 7.08E+03

90 4.82E-03 4.37E+03 3.95E+03 6.63E+03

91 8.97E-03 6.92E+03 6.92E+03 5.45E+03

92 1.21E-02 8.37E+03 8.97E+03 3.82E+03

93 1.40E-02 9.11E+03 1.02E+04 1.96E+03

94 1.47E-02 9.34E+03 1.06E+04 0.00E+00

95 1.40E-02 9.11E+03 1.02E+04 -1.96E+03

96 1.21E-02 8.37E+03 8.97E+03 -3.82E+03

97 8.97E-03 6.92E+03 6.92E+03 -5.45E+03

98 4.82E-03 4.37E+03 3.95E+03 -6.63E+03

99 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -7.08E+03

100 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 8.79E+03

101 2.60E-03 2.59E+03 2.59E+03 8.18E+03

102 4.82E-03 3.95E+03 4.37E+03 6.63E+03

103 6.49E-03 4.70E+03 5.55E+03 4.61E+03

104 7.51E-03 5.08E+03 6.22E+03 2.35E+03

105 7.85E-03 5.20E+03 6.43E+03 0.00E+00

106 7.51E-03 5.08E+03 6.22E+03 -2.35E+03

107 6.49E-03 4.70E+03 5.55E+03 -4.61E+03

108 4.82E-03 3.95E+03 4.37E+03 -6.63E+03

109 2.60E-03 2.59E+03 2.59E+03 -8.18E+03

110 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -8.79E+03

111 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 7.12E+03

112 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 8.79E+03

113 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 7.08E+03

114 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 4.90E+03

115 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 2.49E+03

116 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

117

118

119

120

121

* Déplacement w(r) :

0.010.020.03

Z

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Dé

pla

cem

en

ts W

0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -2.49E+03

0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -4.90E+03

0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -7.08E+03

0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -8.79E+03

0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -7.12E+03

Series1

Series70

0.010.020.03

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Y

X

Déplacement W (m)

0-0.01 0.01-0.02 0.02-0.03

0 5 10 15

Déplacements W (m)

Coup 1

Coup 2

Coup 3

2.49E+03

4.90E+03

7.08E+03

8.79E+03

7.12E+03

Coup 1

Coup 2

Coup 3

* Moments en x (A%) :

* Moments en y (A&) :

1000015000

Z

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

Mo

me

nt

Mx

1000015000

Z

Series1

Series70

50001000015000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011

Y

X

Moment Mx (N*m)

0-5000 5000-10000 10000-15000

0 5 10 15

Moment Mx (N*m)

Coup 1

Coup 2

Coup 3

Series1

Series70

50001000015000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Y

X

Moment My (N*m)

0-5000 5000-10000 10000-15000

Coup 1

Coup 2

Coup 3

* Moments en xy (A%&) :

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

Mo

me

nt

My

-10000-5000

5000

10000

Z

-10000

-10000

-5000

0

5000

10000

Mo

me

nt

Mxy

0 5 10 15

Moment My (N*m)

Coup 1

Coup 2

Coup 3

Series1

Series7

100005000

0

5000

10000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Y

X

Moment Mxy (N*m)

10000--5000 -5000-0 0-5000 5000-10000

0 5 10 15

Moment Mxy (N*m)

Coup 1

Coup 2

Coup 3

Coup 4

Coup 1

Coup 2

Coup 3

Coup 1

Coup 2

Coup 3

Coup 4

• Table Récapitulatif des Résultats :

Différences Finies

Grandeur Valeur Localisation (m)

W (mm) 24.20 (3.75, 3.75)

Mx (kN*m) 14.70 (3.75, 3.75)

My (kN*m) 14.70 (3.75, 3.75)

Mxy (kN*m) +-8.79 *

*Il y a 8 points sur la surface de la plaque où on peut trouver cette valeur. Chacun des points se

trouve à .75m de chacun des 4 coins de la plaque (Voir graphiques ci-dessus).

5.1.2 Méthode de Navier


1 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -8.92E+03

2 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -8.49E+03

3 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -7.22E+03

4 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -5.24E+03

5 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -2.76E+03

6 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -1.44E-11

7 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 2.76E+03

8 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 5.24E+03

9 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 7.22E+03

10 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 8.49E+03

11 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 8.92E+03

12 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -8.49E+03

13 2.37E-03 1.58E+03 1.58E+03 -8.07E+03

14 4.50E-03 3.01E+03 3.01E+03 -6.86E+03

15 6.20E-03 4.14E+03 4.14E+03 -4.99E+03

16 7.29E-03 4.87E+03 4.87E+03 -2.62E+03

17 7.66E-03 5.12E+03 5.12E+03 -1.37E-11

18 7.29E-03 4.87E+03 4.87E+03 2.62E+03

19 6.20E-03 4.14E+03 4.14E+03 4.99E+03

20 4.50E-03 3.01E+03 3.01E+03 6.86E+03

21 2.37E-03 1.58E+03 1.58E+03 8.07E+03

22 9.38E-19 1.65E-11 1.65E-11 8.49E+03

23 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -7.22E+03

24 4.50E-03 3.01E+03 3.01E+03 -6.86E+03

25 8.56E-03 5.72E+03 5.72E+03 -5.84E+03

26 1.18E-02 7.88E+03 7.88E+03 -4.24E+03

27 1.39E-02 9.26E+03 9.26E+03 -2.23E+03

28 1.46E-02 9.74E+03 9.74E+03 -1.17E-11

29 1.39E-02 9.26E+03 9.26E+03 2.23E+03

30 1.18E-02 7.88E+03 7.88E+03 4.24E+03

31 8.56E-03 5.72E+03 5.72E+03 5.84E+03

32 4.50E-03 3.01E+03 3.01E+03 6.86E+03

33 1.78E-18 3.15E-11 3.15E-11 7.22E+03

34 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -5.24E+03

35 6.20E-03 4.14E+03 4.14E+03 -4.99E+03

36 1.18E-02 7.88E+03 7.88E+03 -4.24E+03

37 1.62E-02 1.08E+04 1.08E+04 -3.08E+03

38 1.91E-02 1.27E+04 1.27E+04 -1.62E+03

39 2.01E-02 1.34E+04 1.34E+04 -8.47E-12

40 1.91E-02 1.27E+04 1.27E+04 1.62E+03

41 1.62E-02 1.08E+04 1.08E+04 3.08E+03

42 1.18E-02 7.88E+03 7.88E+03 4.24E+03

43 6.20E-03 4.14E+03 4.14E+03 4.99E+03

44 2.46E-18 4.33E-11 4.33E-11 5.24E+03

45 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -2.76E+03

46 7.29E-03 4.87E+03 4.87E+03 -2.62E+03

47 1.39E-02 9.26E+03 9.26E+03 -2.23E+03

48 1.91E-02 1.27E+04 1.27E+04 -1.62E+03

49 2.24E-02 1.50E+04 1.50E+04 -8.52E+02

50 2.36E-02 1.58E+04 1.58E+04 -4.45E-12

51 2.24E-02 1.50E+04 1.50E+04 8.52E+02

52 1.91E-02 1.27E+04 1.27E+04 1.62E+03

53 1.39E-02 9.26E+03 9.26E+03 2.23E+03

54 7.29E-03 4.87E+03 4.87E+03 2.62E+03

55 2.89E-18 5.09E-11 5.09E-11 2.76E+03

56 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -1.44E-11

57 7.66E-03 5.12E+03 5.12E+03 -1.37E-11

58 1.46E-02 9.74E+03 9.74E+03 -1.17E-11

59 2.01E-02 1.34E+04 1.34E+04 -8.47E-12

60 2.36E-02 1.58E+04 1.58E+04 -4.45E-12

61 2.48E-02 1.66E+04 1.66E+04 -2.33E-26

62 2.36E-02 1.58E+04 1.58E+04 4.45E-12

63 2.01E-02 1.34E+04 1.34E+04 8.47E-12

64 1.46E-02 9.74E+03 9.74E+03 1.17E-11

65 7.66E-03 5.12E+03 5.12E+03 1.37E-11

66 3.04E-18 5.35E-11 5.35E-11 1.44E-11

67 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 2.76E+03

68 7.29E-03 4.87E+03 4.87E+03 2.62E+03

69 1.39E-02 9.26E+03 9.26E+03 2.23E+03

70 1.91E-02 1.27E+04 1.27E+04 1.62E+03

71 2.24E-02 1.50E+04 1.50E+04 8.52E+02

72 2.36E-02 1.58E+04 1.58E+04 4.45E-12

73 2.24E-02 1.50E+04 1.50E+04 -8.52E+02

74 1.91E-02 1.27E+04 1.27E+04 -1.62E+03

75 1.39E-02 9.26E+03 9.26E+03 -2.23E+03

76 7.29E-03 4.87E+03 4.87E+03 -2.62E+03

77 2.89E-18 5.09E-11 5.09E-11 -2.76E+03

78 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 5.24E+03

79 6.20E-03 4.14E+03 4.14E+03 4.99E+03

80 1.18E-02 7.88E+03 7.88E+03 4.24E+03

81 1.62E-02 1.08E+04 1.08E+04 3.08E+03

82 1.91E-02 1.27E+04 1.27E+04 1.62E+03

83 2.01E-02 1.34E+04 1.34E+04 8.47E-12

84 1.91E-02 1.27E+04 1.27E+04 -1.62E+03

85 1.62E-02 1.08E+04 1.08E+04 -3.08E+03

86 1.18E-02 7.88E+03 7.88E+03 -4.24E+03

87 6.20E-03 4.14E+03 4.14E+03 -4.99E+03

88 2.46E-18 4.33E-11 4.33E-11 -5.24E+03

89 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 7.22E+03

90 4.50E-03 3.01E+03 3.01E+03 6.86E+03

91 8.56E-03 5.72E+03 5.72E+03 5.84E+03

92 1.18E-02 7.88E+03 7.88E+03 4.24E+03

93 1.39E-02 9.26E+03 9.26E+03 2.23E+03

94 1.46E-02 9.74E+03 9.74E+03 1.17E-11

95 1.39E-02 9.26E+03 9.26E+03 -2.23E+03

96 1.18E-02 7.88E+03 7.88E+03 -4.24E+03

97 8.56E-03 5.72E+03 5.72E+03 -5.84E+03

98 4.50E-03 3.01E+03 3.01E+03 -6.86E+03

99 1.78E-18 3.15E-11 3.15E-11 -7.22E+03

100 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 8.49E+03

101 2.37E-03 1.58E+03 1.58E+03 8.07E+03

102 4.50E-03 3.01E+03 3.01E+03 6.86E+03

103 6.20E-03 4.14E+03 4.14E+03 4.99E+03

104 7.29E-03 4.87E+03 4.87E+03 2.62E+03

105 7.66E-03 5.12E+03 5.12E+03 1.37E-11

106 7.29E-03 4.87E+03 4.87E+03 -2.62E+03

107 6.20E-03 4.14E+03 4.14E+03 -4.99E+03

108 4.50E-03 3.01E+03 3.01E+03 -6.86E+03

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121


0.010.020.03

Z

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0

Dé

pla

cem

en

ts W

2.37E-03 1.58E+03 1.58E+03 -8.07E+03

9.38E-19 1.65E-11 1.65E-11 -8.49E+03

0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 8.92E+03

9.38E-19 1.65E-11 1.65E-11 8.49E+03

1.78E-18 3.15E-11 3.15E-11 7.22E+03

2.46E-18 4.33E-11 4.33E-11 5.24E+03

2.89E-18 5.09E-11 5.09E-11 2.76E+03

3.04E-18 5.35E-11 5.35E-11 1.44E

2.89E-18 5.09E-11 5.09E-11 -2.76E+03

2.46E-18 4.33E-11 4.33E-11 -5.24E+03

1.78E-18 3.15E-11 3.15E-11 -7.22E+03

9.38E-19 1.65E-11 1.65E-11 -8.49E+03

3.72E-34 1.73E-25 1.73E-25 -8.92E+03

Series1

Series70

0.010.020.03

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Y

X

Déplacements W (m)

0-0.01 0.01-0.02 0.02-0.03

0 5 10 15

Déplacements W (m)

Coup 1

Coup 2

Coup 3

8.07E+03

8.49E+03

8.92E+03

8.49E+03

7.22E+03

5.24E+03

2.76E+03

1.44E-11

2.76E+03

5.24E+03

7.22E+03

8.49E+03

8.92E+03

Coup 1

Coup 2

Coup 3



100001500020000

Z

0-5000

0

5000

10000

15000

20000

Mo

me

nts

Mx

100001500020000

Z

0-5000

Series1

Series70

5000100001500020000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Y

X

Moments Mx (N*m)

5000 5000-10000 10000-15000 15000-20000

0 5 10 15

Moments Mx (N*m)

Coup 1

Coup 2

Coup 3

Series1

Series70

5000100001500020000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Y

X

Moments My (N*m)

5000 5000-10000 10000-15000 15000-20000

20000

Coup 1

Coup 2

Coup 3

20000


0

5000

10000

15000

20000

Mo

me

nts

My

-10000

-5000

5000

10000

Z

-10000

-10000

-5000

0

5000

10000

Mo

me

nts

Mxy

0 5 10 15

Moments My (N*m)

Coup 1

Coup 2

Coup 3

Series1

Series7

10000

5000

0

5000

10000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Y

X

Moments Mxy (N*m)

10000--5000 -5000-0 0-5000 5000-10000

0 5 10 15

Moments Mxy

Coup 1

Coup 2

Coup 3

Coup 4

Coup 1

Coup 2

Coup 3

Coup 1

Coup 2

Coup 3

Coup 4


Navier

Grandeur Valeur Localisation

W (mm) 24.8 (3.75, 3.75)

Mx (kN*m) 16.57 (3.75, 3.75)

My (kN*m) 16.57 (3.75, 3.75)

Mxy (kN*m) 8.92 *


trouve à chacun des 4 coins de la plaque (Voir graphiques ci-dessus).

5.1.3 Méthode des éléments finis


Image 18 : Déplacements w(r)

* Moments en x (A%)

Image 19 : Moments ��

* Moments en y (A&)


* Moments en xy (A%&)



Éléments finis


W (mm) 24.196 (3.7, 3.7)

Mx (kN*m) 14.869 (3.7, 3.7)

My (kN*m) 14.869 (3.7, 3.7)

Mxy (kN*m) 10.076 *


trouve à chacun des 4 coins de la plaque (Voir graphiques ci-dessus).

5.2 Cas de charge B :

5.2.1 Méthode de Navier


1 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -7.38E+03

2 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -7.04E+03

3 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -5.96E+03

6 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 7.43E+02

7 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 2.96E+03

8 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 4.56E+03

9 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 5.46E+03

10 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 5.85E+03

11 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 5.95E+03

12 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -7.05E+03

13 1.96E-03 1.22E+03 1.20E+03 -6.76E+03

14 3.74E-03 2.54E+03 2.20E+03 -5.79E+03

15 5.13E-03 3.69E+03 2.92E+03 -3.99E+03

16 5.93E-03 4.22E+03 3.37E+03 -1.66E+03

17 6.06E-03 4.16E+03 3.45E+03 7.47E+02

18 5.54E-03 3.48E+03 3.20E+03 2.94E+03

19 4.50E-03 2.36E+03 2.71E+03 4.46E+03

20 3.13E-03 1.32E+03 1.95E+03 5.23E+03

21 1.59E-03 5.68E+02 1.01E+03 5.54E+03

22 1.65E-17 5.63E-12 1.05E-11 5.62E+03

23 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -5.95E+03

24 3.75E-03 2.25E+03 2.64E+03 -5.82E+03

25 7.18E-03 4.98E+03 4.93E+03 -5.21E+03

26 9.86E-03 7.59E+03 6.58E+03 -3.56E+03

27 1.14E-02 8.46E+03 7.70E+03 -1.36E+03

28 1.16E-02 8.43E+03 7.77E+03 6.42E+02

29 1.06E-02 7.08E+03 7.02E+03 2.82E+03

30 8.57E-03 4.50E+03 5.77E+03 4.07E+03

31 5.92E-03 2.40E+03 3.99E+03 4.47E+03

32 3.01E-03 1.02E+03 2.01E+03 4.60E+03

33 3.12E-17 1.01E-11 2.08E-11 4.63E+03

34 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -3.86E+03

35 5.11E-03 2.87E+03 4.22E+03 -3.86E+03

36 9.86E-03 6.89E+03 8.60E+03 -3.85E+03

37 1.37E-02 1.24E+04 1.23E+04 -2.63E+03

38 1.57E-02 1.22E+04 1.41E+04 -5.72E+02

39 1.61E-02 1.29E+04 1.42E+04 -1.60E+01

40 1.46E-02 1.11E+04 1.25E+04 2.46E+03

41 1.17E-02 5.99E+03 9.20E+03 2.95E+03

42 8.03E-03 3.08E+03 5.84E+03 2.96E+03

43 4.07E-03 1.31E+03 2.82E+03 2.99E+03

44 4.21E-17 1.28E-11 2.90E-11 3.01E+03

45 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -9.91E+02

46 5.78E-03 3.12E+03 4.85E+03 -8.84E+02

47 1.12E-02 7.57E+03 1.06E+04 -5.40E+02

48 1.56E-02 1.65E+04 1.83E+04 -3.66E+02

49 1.79E-02 1.38E+04 1.81E+04 -4.66E+02

50 1.83E-02 1.57E+04 1.94E+04 2.21E+02

51 1.67E-02 1.38E+04 1.72E+04 -9.15E+01

52 1.33E-02 6.69E+03 1.08E+04 3.87E+02

53 9.12E-03 3.49E+03 6.56E+03 7.58E+02

54 4.62E-03 1.52E+03 3.13E+03 9.62E+02

55 4.78E-17 1.30E-11 3.12E-11 1.03E+03

56 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 1.69E+03

57 5.66E-03 3.24E+03 3.87E+03 1.82E+03

58 1.09E-02 7.35E+03 7.56E+03 2.09E+03

59 1.50E-02 1.19E+04 1.03E+04 1.35E+03

60 1.73E-02 1.26E+04 1.21E+04 1.14E+02

61 1.77E-02 1.29E+04 1.22E+04 -1.59E+02

62 1.62E-02 1.11E+04 1.08E+04 -1.61E+03

63 1.31E-02 6.71E+03 8.52E+03 -1.72E+03

64 9.07E-03 3.66E+03 5.63E+03 -1.29E+03

65 4.62E-03 1.61E+03 2.78E+03 -1.00E+03

66 4.79E-17 1.62E-11 2.86E-11 -9.09E+02

67 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 3.44E+03

68 4.92E-03 2.92E+03 2.45E+03 3.40E+03

69 9.38E-03 6.05E+03 4.54E+03 3.10E+03

70 1.29E-02 8.75E+03 6.04E+03 2.10E+03

71 1.49E-02 9.95E+03 7.08E+03 7.45E+02

72 1.53E-02 9.90E+03 7.24E+03 -5.24E+02

73 1.41E-02 8.46E+03 6.69E+03 -1.81E+03

74 1.15E-02 5.90E+03 5.65E+03 -2.49E+03

75 8.08E-03 3.49E+03 4.04E+03 -2.56E+03

76 4.15E-03 1.59E+03 2.08E+03 -2.47E+03

77 4.30E-17 1.60E-11 2.16E-11 -2.43E+03

78 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 4.34E+03

79 3.85E-03 2.29E+03 1.41E+03 4.17E+03

80 7.31E-03 4.50E+03 2.60E+03 3.57E+03

81 9.99E-03 6.27E+03 3.47E+03 2.46E+03

82 1.16E-02 7.19E+03 4.05E+03 1.02E+03

83 1.19E-02 7.15E+03 4.22E+03 -4.79E+02

84 1.10E-02 6.19E+03 4.03E+03 -1.83E+03

85 9.13E-03 4.60E+03 3.50E+03 -2.76E+03

86 6.45E-03 2.90E+03 2.59E+03 -3.22E+03

87 3.33E-03 1.37E+03 1.37E+03 -3.39E+03

88 3.46E-17 1.39E-11 1.44E-11 -3.43E+03

89 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 4.73E+03

90 2.62E-03 1.53E+03 7.49E+02 4.50E+03

91 4.96E-03 2.95E+03 1.39E+03 3.79E+03

92 6.78E-03 4.05E+03 1.86E+03 2.63E+03

93 7.86E-03 4.65E+03 2.19E+03 1.17E+03

94 8.12E-03 4.63E+03 2.31E+03 -3.72E+02

95 7.55E-03 4.07E+03 2.25E+03 -1.78E+03

96 6.27E-03 3.12E+03 1.98E+03 -2.85E+03

97 4.46E-03 2.04E+03 1.49E+03 -3.54E+03

98 2.31E-03 9.89E+02 8.01E+02 -3.90E+03

99 2.40E-17 1.01E-11 8.43E-12 -4.01E+03

100 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 4.88E+03

101 1.32E-03 7.64E+02 3.21E+02 4.62E+03

102 2.50E-03 1.46E+03 5.99E+02 3.87E+03

103 3.41E-03 1.99E+03 8.04E+02 2.70E+03

104 3.96E-03 2.28E+03 9.53E+02 1.24E+03

105 4.10E-03 2.28E+03 1.02E+03 -2.96E+02

106 3.82E-03 2.02E+03 9.97E+02 -1.73E+03

107 3.18E-03 1.57E+03 8.89E+02 -2.88E+03

108 2.27E-03 1.05E+03 6.73E+02 -3.68E+03

109 1.18E-03 5.15E+02 3.63E+02 -4.14E+03

110 1.23E-17 5.28E-12 3.83E-12 -4.29E+03

111 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 4.91E+03

112 1.36E-17 7.82E-12 3.32E-12 4.65E+03

113 2.59E-17 1.50E-11 6.37E-12 3.89E+03

114 3.53E-17 2.13E-11 9.82E-12 2.72E+03

115 4.10E-17 2.35E-11 1.04E-11 1.27E+03

116 4.24E-17 2.39E-11 1.15E-11 -2.70E+02

117 3.95E-17 2.13E-11 1.12E-11 -1.71E+03

118 3.29E-17 1.62E-11 9.23E-12 -2.88E+03

119 2.35E-17 1.08E-11 6.87E-12 -3.72E+03

120 1.22E-17 5.35E-12 3.69E-12 -4.21E+03

121 1.27E-31 5.41E-26 3.82E-26 -4.37E+03



Z

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

Dé

pla

cem

en

ts W

2.00E+04

Z

Series1

Series70.00E+005.00E-031.00E-021.50E-022.00E-02

1 3 5 7 9 11

Y

X

Déplacements W (m)

0.00E+00-5.00E-03 5.00E-03-1.00E-02

1.00E-02-1.50E-02 1.50E-02-2.00E-02

0.00E+00

03

02

02

02

0 5 10 15

Déplacements W (m)

Coup 1

Coup 2

Coup 3

Series1

Series70.00E+005.00E+031.00E+041.50E+042.00E+04

1 3 5 7 9 11

Y

X

Moments Mx (N*m)

0.00E+00-5.00E+03 5.00E+03-1.00E+04

1.00E+04-1.50E+04 1.50E+04-2.00E+04

Coup 1

Coup 2

Coup 3


0.00E+00

5.00E+03

1.00E+04

1.50E+04

2.00E+04

Mo

me

nts

Mx

Z

0.00E+00

5.00E+03

1.00E+04

1.50E+04

2.00E+04

2.50E+04

Mo

me

nts

My

0.00E+00

5.00E+03

1.00E+04

1.50E+04

2.00E+04

0 5 10 15

Moments Mx (N*m)

Coup 1

Coup 2

Coup 3

Series1

Series70.00E+005.00E+031.00E+041.50E+042.00E+04

1 3 5 7 9 11

Y

X

Moments My (N*m)

0.00E+00-5.00E+03 5.00E+03-1.00E+04

1.00E+04-1.50E+04 1.50E+04-2.00E+04

0.00E+00

5.00E+03

1.00E+04

1.50E+04

2.00E+04

2.50E+04

0 5 10 15

Moments My (N*m)

Coup 1

Coup 2

Coup 3

Coup 1

Coup 2

Coup 3

Coup 1

Coup 2

Coup 3


• Table Récapitulatif des Résultats

Grandeur

W (mm)

Mx (kN*m)

My (kN*m)

Mxy (kN*m)

-1.00E+04-5.00E+030.00E+005.00E+031.00E+04

Z

-1.00E+04

-8.00E+03

-6.00E+03

-4.00E+03

-2.00E+03

0.00E+00

2.00E+03

4.00E+03

6.00E+03

8.00E+03

Mo

me

nts

Mxy

Récapitulatif des Résultats :

Éléments finis

Valeur

16.37

16.47

19.39

5.95

Series1

Series7

1.00E+045.00E+030.00E+005.00E+031.00E+04

1 3 5 7 9 11Y

X

Moments Mxy (N*m)

-1.00E+04--5.00E+03 -5.00E+03-0.00E+00

0.00E+00-5.00E+03 5.00E+03-1.00E+04

1.00E+04

8.00E+03

6.00E+03

4.00E+03

2.00E+03

0.00E+00

2.00E+03

4.00E+03

6.00E+03

8.00E+03

0 5 10 15

Moments Mxy

Coup 1

Coup 2

Coup 3

Coup 4

Localisation

(3.5, 4.75)

(2.5, 5.35)

(4.12, 5)

(0.0, 7.5)

Coup 1

Coup 2

Coup 3

Coup 4

5.2.2 Méthode des éléments finis

* Déplacements W(z) :

Image 22 : Déplacements W

* Moments M(x) :


* Moments M(y)


* Moments M(xy)



Éléments finis


W (mm) 15.576 (3.5, 4.75)

Mx (N*m) 16.034 (2.5, 5.375)

My (N*m) 19.626 (4.125, 5)

Mxy (N*m) 7.592 (0.0, 7.5)

5.3 Compilation des résultats :

5.3.1 Case de charge A :

Grandeur Différences finies Navier Éléments finis

W(r) (mm) 24.2 24.8 24.196

M(n) (kN*m) 14.748 16.57 14.869

M(t) (kN*m) 14.748 16.57 14.869

M(nt) (kN*m) 8.79 8.92 10.076

À fin de mener la comparaison des résultats d’une meilleure façon on présentera les écarts

entre la méthode de différences finies et Navier par rapport à la méthode des éléments finis. On

va considérer qu’un écart meneur à 5% et une bonne approximation et que par contre, un écart

supérieur à 10% et dehors de la limite :

Grandeur D F – E F Navier – E F

W(r) (mm) 0.02 2.50

M(n) (kN*m) 0.81 11.44

M(t) (kN*m) 0.81 11.44

M(nt) (kN*m) 12.76 11.47

On peut regarder que les résultats entre la méthode des différences finies et des éléments

finis est plus proche que entre Navier et éléments finis. Ca peut être comme ca à cause de le

numéro d’éléments pris en compte ou de la finesse de maillage utilisés dans la résolution.

5.3.2 Case de charge B :

Grandeur Navier Éléments finis

W(r) (mm) 16.37 15.576

M(n) (kN*m) 16.47 16.034

M(t) (kN*m) 19.39 19.626

M(nt) (kN*m) 5.95 7.592

À fin de mener la comparaison des résultats d’une meilleure façon on présentera les écarts

entre la méthode de Navier par rapport à la méthode des éléments finis. On va considérer qu’un

écart meneur à 5% et une bonne approximation et que par contre, un écart supérieur à 10% et

dehors de la limite :

Grandeur Navier – E F

W(r) (mm) 5.10

M(n) (kN*m) 2.72

M(t) (kN*m) 1.20

M(nt) (kN*m) 21.63

5.4 Méthodes de références utilisées dans la pratique d’Ingénierie :

On utilisera les abaques de Timoshenko pour traiter le cas de charge A ainsi comme la

approximation poutre et les abaques de Pigeuad. Tandis que pour étudier le cas de charge B on

n’utilisera que les abaques de Pigeuad.

5.4.1 Abaques de Timoshenko :

Dans notre cas on a les valeurs de q=5518.125 N/mˆ2, ν=.3, h=.1m, E=32000000000 Pa,

b=7.5m, a=7.5m donc un rapport b/a=1. Avec cette valeur on obtient les suivants coefficients :

� = .00406

� =.0479

�' = .0479

En utilisant ces valeurs et les équations suivantes on obtient finalement les valeurs

cherchées de la flèche et les moments.

= = > ∗ ℎ?12(1 − @)) = 2930402.93

;IK! = � ∗ < ∗ KS= = .02419I = 24.19II

A%Di% = � ∗ < ∗ K) = 14867.89� ∗ I

A%Di% = �' ∗ < ∗ K) = 14867.89� ∗ I

5.4.2 Abaques de Pigeaud :

D’abord on suppose que la charge agissante est appliquée au plan moyen de la plaque et que la

plaque est simplement appuyée. La relation ρ=a/b=1 donc M1=M2 et par conséquent Ma =Mb. On

utilisera une valeur de ν=.3, P=310394.53 N ça que nous donne :

Ai = A� = (A' + @ ∗A)) ∗ �

Grace aux abaques on trouve une valeur de M1=.036 et donc finalement :

A%Di% = A&Di% = 14526.46� ∗ I

5.4.3 Approximation poutre :

On suppose une poutre simplement appuyée avec un portée effective de l=7.5m et un

largueur de 1m soumis a un charge uniformément repartie q=5518.125 N/m. On utilise

simplement les équations donnés pour la théorie de poutres a fin de connaitre le moment et le

déplacement maximaux au centre de la portée :

ADi% = < ∗ �)8 = 38799.32� ∗ I

;Di% = 5 ∗ < ∗ �S384 ∗ > ∗ � = 5 ∗ < ∗ �S384 ∗ = = .07757I = 77.57II

5.4.2 Abaques de Pigeaud cas de charge B :

*Remarque : Les abaques de Pigeaud nous permettent calculer les moments au centre

d’une plaque soumise a charges reparties sur des rectangles. Néanmoins, comme on l’a vérifié, on

sait que lors que les rectangles ne sont pas symétriques par rapport au centre de la plaque, les

moments maximaux, ceux qui servent au dimensionnement, ne se trouvent pas au centre de la

plaque mais un peu excentrés en direction de la charge. Donc on donnera les valeurs trouvées

grâce aux abaques mais on sait que ces valeurs sont les valeurs au centre de la plaque, no les

valeurs maximaux.

On a donc deux rectangles (A et B) :

A fin de calculer les moments Ma (Mx), on utilise les diagrammes suivants et pour calculer

les moments Mb (My) on inverse seulement les valeurs de v et u.

� Rectangle A :

� Rectangle B :

Rectangle A

Zone u (m) v (m) P (N) u/a v/b M1 M2 M (N*m)

Ix 3.5 2.5 534100 0.46666667 0.33333333 0.1 0.1 69433

Iy 2.5 3.5 534100 0.33333333 0.46666667 0.11 0.11 76376.3

IIx 3.5 1 213640 0.46666667 0.13333333 0.108 0.108 29995.056

IIy 1 3.5 213640 0.13333333 0.46666667 0.15 0.15 41659.8

IIIx 2 2.5 305200 0.26666667 0.33333333 0.132 0.132 52372.32

IIIy 2.5 2 305200 0.33333333 0.26666667 0.123 0.123 48801.48

IVx 2 1 122080 0.26666667 0.13333333 0.142 0.142 22535.968

IVy 1 2 122080 0.13333333 0.26666667 0.17 0.17 26979.68

Rectangle B

Zone u (m) v (m) P (N) u/a v/b M1 M2 M (N*m)

Ix 1.5 2.5 228900 0.2 0.33333333 0.15 0.15 44635.5

Iy 2.5 1.5 228900 0.33333333 0.2 0.13 0.13 38684.1

IIx 1.5 1 91560 0.2 0.13333333 0.165 0.165 19639.62

IIy 1 1.5 91560 0.13333333 0.2 0.18 0.18 21425.04

Mx A (N*m) 2400.398

My A (N*m) 3223.675

Mx B (N*m) 6248.97

My B (N*m) 4314.765

Mx total 8649.368

My total 7538.44

On peut voir que les moments trouves sont plus petites que ceux trouvées grâce au

modèle des éléments finies parce que comme on avait dit, les moments données pour Pigeaud

sont les moments au centre de la plaque et pas les moments maximaux.

6.- Etude de sensibilité du maillage

Dans notre cas on a une longueur de 7.5 m, une zone d’application de .75m x .75m et une séparation entre charges de une mètre, donc la division la plus grande avec la quelle on peut discrétiser notre plaque est de 30 éléments, soit .25m la longueur de chacune. On commençant avec cette discrétisation après on peut travailler des éléments plus petites et ca nous donnera le point de convergence de résultats de cette méthode.

Dans les tableaux ci-dessous on présente les valeurs trouvées en divisant chaque coté de la plaque en 30, 60, 90, 120, 150 et finalement en 180 éléments. On s’a arrêté là parce comme on peut voir la différence entre les deux derniers divisions est presque nulle donc on arrive à la conclusion de que la méthode converge aux ses valeurs remarquées en jaune.

Grandeur 30 60

Valeur Localisation Valeur Localisation

W(r) (mm) 15.576 (3.5, 4.75) 15.565 (3.5, 4.75)

M(n) (kN*m) 16.034 (2.5, 5.375) 15.762 (4.062, 5.312)

M(t) (kN*m) 19.626 (4.125, 5) 19.600 (4.062, 5.375)

M(nt) (kN*m) 7.592 (0.0, 7.5) 7.597 (0.0, 7.5)

Grandeur 90 120


W(r) (mm) 15.562 (3.5, 4.75) 15.562 (3.5, 4.75)

M(n) (kN*m) 15.754 (4.042, 5.292) 15.714 (4.031, 5.282)

M(t) (kN*m) 19.610 (4.042, 5.333) 19.561 (4.031, 5.375)

M(nt) (kN*m) 7.598 (0.0, 7.5) 7.598 (0.0, 7.5)

Grandeur 150 180


W(r) (mm) 15.562 (3.55, 4.75) 15.562 (3.54, 4.75)

M(n) (kN*m) 15.706 (4.1, 5.325) 15.707 (4.083, 5.312)

M(t) (kN*m) 19.562 (4.025, 5.35) 19.546 (4.02, 5.375)

M(nt) (kN*m) 7.599 (0.0, 7.5) 7.599 (0.0, 7.5)

7.- Influence des dimensions de la plaque

On utilisera le modèle des éléments finis pour étudie l’influence des dimensions de la

plaque. On commence avec un plaque carrée, la même que on a étudié dans ce projet, et qui nous

donne une relation b/a=1. Après on change la valeur de b a fin d’obtenir las relations b/a=2, b/a=3

et finalement b/a=4. Pour chacun de ces relations on obtiendra les valeurs des déplacements et

moments Mx et puis on les comparera avec les valeurs donnes pour les équations de la théorie de

poutres.

Grandeur b=a b=2a b=3a b=4a

Valeur Valeur Valeur Valeur

W(r) (mm) 24.196 60.34 72.87 76.36

M(n) (kN*m) 14.869 31.561 36.894 38.322

ADi% = < ∗ �)8 = 38799.32� ∗ I

;Di% = 5 ∗ < ∗ �S384 ∗ > ∗ � = 5 ∗ < ∗ �S384 ∗ = = .07757I = 77.57II

Maintenant on pout conclure que dans les cas ou on aura une relation b/a >=4 on peut utiliser les équations de la théorie de poutres a fin d’obtenir les valeurs des déplacements ainsi comme de moments dans le sens de la petite portée avec des résultats très proches a ceux données pour une modèle aux éléments finis plus complexe. Néanmoins il faudra faire attention aux moments dans le sens de la grande porte à proximité des coins ainsi comme des moments de cisaillement.

Ca peut s’expliquer grâce à que plus le rapport b/a augmente, plus la bande est éloignée des bords et plus son influence diminue et donc plus on se rapproche d’une situation en théorie des poutres.

8.- Conclusion du projet

Dans ce projet on a pu mener une étude des plaques minces avec lequel on a réaffirmé et bien

compris tout ceux connaissances appris pendant les amphis et les TD’s. Grâce à les différents cas

des charges, les différents géométries de las plaques et aux différents méthodes de résolution

utilisés (Analytique, différences finies, Navier, éléments finis, abaques, approximation poutre) on

peut dire que maintenant on a acquis une formation solide par rapport a ce sujet.

En étudiant la plaque circulaire on a pu voir si la solution analytique et si les hypothèses

qu’on été pris on compte sont satisfaites ou non. En ce qui concerne les moments de flexion et les

mouvements, les résultats ont été satisfaisants puisque la différence entre les valeurs obtenues

par les deux méthodes (élément analytique et finie) est inférieure à 5%. Cependant l'un de nos

hypothèses était censé l'absence de couples et de distribution uniforme le long du rayon de la

plaque dans les moments x et y, à l'aide du logiciel CAST3M, nous avons réalisé que ce n'est pas

entièrement vrai et est expliquer pourquoi les différences entre les valeurs obtenues par les deux

méthodes. Nous concluons donc que le modèle des éléments finis est plus proche de la réalité

physique du comportement d'une plaque et il est préférable d'utiliser dans les situations dont il

est nécessaire de procéder à une étude approfondie et plus spécialisée.

Nous avons également étudié une plaque carrée simplement appuyée dans deux cas de

charge différents qui consistaient dans le cas A, charges uniformément réparties sur la surface de

la plaque entière (telles charges représentent le poids de la plaque et charges d’exploitation ), cas

B, des charges réparties sur deux petits rectangles de façon asymétrique par rapport aux axes de la

plaque.

Pour obtenir les valeurs nécessaires pour mener à bien la conception d'une plaque (flèche

et moments) on a utilisé trois méthodes différentes de résolution (différences finies, Navier et

éléments finis) et également une simplification accrue de certaines méthodes utilisées dans la

pratique courante d’un ingénieur (Abaques de Timoshenko, abaques de Pigeuad et approximation

poutre). Pour le cas de charge A nous utilisons toutes les méthodes mentionnées et pour le cas B

seulement Navier, éléments finis et abaques de Pigeuad.

Les résultats obtenus par ces méthodes ont été analysés et on a calculé les écarts pour une

meilleure présentation. Grâce aux écarts calculés, nous concluons que les trois méthodes

montrent une bonne approximation en termes de valeurs de la flèche maximale et les moments

fléchissant parce que ces écarts étaient inférieurs à 10%. Néanmoins pour le cas de charge B et

pour les moments de torsion dans tous les cas cette différence a augmenté à une valeur moyenne

de 15%, ce qui en pratique ne devrait pas confier jamais trouvé le premier résultat, mais essayer

d'améliorer notre modèle ou de prendre en compte la valeur maximale ainsi trouvée sur le côté de

la sécurité du travail, et donc de garantir l'intégrité structurelle du projet.

Basé sur la méthode des éléments finis à l'aide de la résolution du programme CAST3M on

a affiné notre modèle afin de voir dans quelle mesure les résultats obtenus sont constants, c'est à

dire le point où notre modèle est conforme à la réalité et que la manipulation dans l'ordinateur

reste possible et dans un délai raisonnable résolution. Il arrive un moment où même si vous

doublez la finesse du modèle la différence des valeurs entre les deux résultats est minime et

n'affectera pas notre conception finale. Dans notre cas, nous concluons que cet objectif est atteint

en divisant notre plaque en 120 éléments et qu'au-delà de ce nombre n'est pas la peine de

dépenser plus de temps de calcul et de capacité de mémoire pour arriver a trouver les bonnes

valeurs.

Un autre point important abordé dans ce projet est la comparaison faite pour comparer

une plaque avec une poutre simplement appuyée et comme les dimensions de la plaque à un

moment donné peut faire de cette approche un modèle raisonnable. Dans le cas d'une plaque

rectangulaire simplement appuyée ce point est atteint lorsque l'une des dimensions de la plaque

est au moins 4 fois plus grande que l'autre. Si cela pouvait arriver, on pourra prendre une section

de largeur unité et grâce à l'application des équations de la théorie des poutres trouvées on

arrivera à des valeurs très similaires aux valeurs que nous trouverions avec la modélisation en

utilisant la théorie des plaques.

En guise de conclusion définitive et, personnellement, je trouve qu'il vaut mieux utiliser le

logiciel Cast3m pour effectuer les études de plaques parce qu'avec ce programme, nous pouvons

modéliser n'importe quelle géométrie et cas de charge qui peuvent surgir et une fois que le

modèle soit fini on peut facilement affiner et modifier les paramètres afin de compléter notre

analyse ou simplement vérifier nos résultats.

9.- Bibliographie

• Theory of elasticity. S. Timoshenko

• Theory de plates and shells. S. Timoshenko

• Modélisation des plaques par éléments finis. J. M. Reynouard, département de génie civil

et urbanisme, INSA Lyon.

• Théorie des plaques. J. M. Reynouard, département de génie civil et urbanisme, INSA

Lyon.

• http://mms.ensmp.fr/Notes/Compopoutre.pdf

• http://www.si.ens-cachan.fr/accueil_V2.php?page=affiche_ressource&id=17

10.- Annexes

10.1.- Annexe 1 : Code CAST3M utilisé pour plaque circulaire

*** Unidades m, pa, N, ******* ;

*****************************************;

* Plaque circulaire simplement appuyée *;

*****************************************;

*;

*;

********************;

* Type d'analyse *;

********************;

*;

*;

OPTION DIME 3 ELEM TRI3 ;

DENS 1 ;

*;

*;

***************;

* Géométrie *;

***************;

*;

*;

******************************************************** ;

*********DENSITE DU MAILLAGE**************************** ;

******************************************************** ;

N1 = 40 ;

******************************************************** ;

*********** DEFINITION DES POINTS ********************** ;

******************************************************** ;

C = 0 0 0 ;

P1 = 3.5 0 0 ;

P2 = 0 -3.5 0 ;

P3 = -3.5 0 0 ;

P4 = 0 3.5 0 ;

******************************************************* ;

*********** DEFINITION DES LIGNES ********************* ;

******************************************************* ;

LIG1 = CERC N1 P1 C P2 ;




RAY1 = D N1 C P1 ;

RAY2 = D N1 C P2 ;

RAY3 = D N1 C P3 ;

RAY4 = D N1 C P4 ;

LIG5 = D N1 P1 P3 ;

LIG6 = D N1 P2 P4 ;

LIG5 = LIG5 COULEUR VERT ;

LIG6 = LIG6 COULEUR ROUGE ;

****************************************************************** ;

*********** DEFINITION DE CONTORNE ******************************* ;

****************************************************************** ;

CONT = LIG1 ET LIG2 ET LIG3 ET LIG4 ;

*TRACER CONT ;

****************************************************************** ;

*********** DEFINITION DES SURFACES ****************************** ;

****************************************************************** ;

SURF1 = SURF (RAY1 ET LIG1 ET RAY2) 'PLAN' ;




SURFT = SURF1 ET SURF2 ET SURF3 ET SURF4 ;

ELIM .0001 (LIG5 ET LIG6 ET SURFT) ;

ELIM .0001 SURFT ;

TRACE (SURFT ET LIG5 ET LIG6 ) ;

*

*

*************************

* Modèle des matériau *

*************************

*

*

***************************************************************** ;

************* CALCUL ELASTIQUE LINEAIRE ************************* ;

***************************************************************** ;

MODL1 = MODL SURFT MECANIQUE ELASTIQUE DKT ;

MATE1 = MATR MODL1 YOUNG 32000000000 NU 0.3 RHO 2500 EPAI .11 ;

***************************************************************** ;

MATT = MATE1 ;

MODLT = MODL1 ;

RIGI1 = RIGIDITE MODLT MATT ;

*

*

*****************

* Chargements *

*****************

*

*

****************************************************************** ;

**************** CHARGEMENT MECANIQUES *************************** ;

****************************************************************** ;

press_pp = (1.35 * 2500 * 9.81 * 0.11 * -1) + (1.5 * 150 * 9.81 * -1);

CHA1 = PRES COQU MODL1 press_pp NORM ;

FORCT = CHA1 ;

*

*

****************************

* Conditions aux limites *

****************************

*

*

* plaque simplement appuyée ;

CL1 = BLOQ UZ CONT ;

CL2 = BLOQ UX UY P1 ;

CL3 = BLOQ UY P3 ;

CL = CL1 ET CL2 ET CL3 ;

RIGI1 = RIGI1 ET CL ;

*

*

****************

* Resolution *

****************

*

*

DEP = RESOU RIGI1 FORCT ;

DEPX = EXCO UX DEP ;

DEPY = EXCO UY DEP ;

DEPZ = EXCO UZ DEP ;

*

*

********************************

* Exploitation des résultats *

********************************

*

*

**************************************************************** ;

********* EXTRACTION VALEUR MAX & POSITION DEPZ **************** ;

**************************************************************** ;

maxDEPZ = MAXI DEPZ ABS ;

list maxDEPZ ;

opti donn 5;

MAX1 = DEPZ POIN MAXI ABS ;

xuzmax = COOR 1 MAX1 ;

yuzmax = COOR 2 MAX1 ;

list xuzmax ;

list yuzmax ;

****************************************************************** ;

*** CALCUL DES FLUX LINEIQUES DE CONTRAINTES ********************* ;

****************************************************************** ;

SIG = SIGMA MATT MODLT DEP ;

VEC1 = 1 0 0 ;

VEC2 = 0 1 0 ;

VEC3 = 0 0 1 ;

SIG1 = RTENS SIG MODLT VEC1 VEC2 ;

MEMB1 = EXCO SIG1 N11 ;


FEX1 = EXCO SIG1 M11 ;



****************************************************************** ;

************ EXTRACTION VALEURS MAX MOMENT *********************** ;

****************************************************************** ;

maxMOMX = MAXI FEX1 ABS ;

maxMOMY = MAXI FEX2 ABS ;

maxMOMXY = MAXI FEX12 ABS ;

list maxMOMX ;

list maxMOMY ;

list maxMOMXY ;

opti donn 5;

minMOMX = MAXI (-1*FEX1) ABS ;

minMOMY = MAXI (-1*FEX2) ABS ;

minMOMXY = MAXI (-1*FEX12) ABS ;

list minMOMX ;

list minMOMY ;

list minMOMXY ;

****************************************************************** ;

***************** REACTIONS *************************************;

******************************************************************;

REA1 = REAC CL DEP ;

RES1 = RESULT REA1 ;

LIST RES1 ;

****************************************************************** ;

******************* DEFORMATION ********************************** ;

****************************************************************** ;

OPTION CADRE 20 ;

DEF = DEFORMEE SURFT DEP 10 ROUGE ;

DEF1 = DEFORMEE SURFT DEP 0. BLANC ;

TRACE (DEF ET DEF1 ) ;

****************************************************************** ;

************* ISOVALEURS DES DEPLACEMENTS ************************ ;

****************************************************************** ;

OPTION CADRE 15 ;

CONT10 = CONTOUR SURFT ;

OPTION ISOV SURF ;

TITRE 'ISO Ux' ;

TRACE DEPX SURFT ;

TITRE 'ISO Uy' ;

TRACE DEPY SURFT ;

TITRE 'ISO Uz' ;

TRACE FACE DEPZ SURFT ;

****************************************************************** ;

***CALCUL DES FLUX AUX POINTS POUR TRACE DE COURBE *************** ;

****************************************************************** ;

SIGP = CHANG 'CHPO' MODLT SIG1 ;

****************************************************************** ;

************* ISOVALEURS DES FLUX LINEIQUES ********************** ;

****************************************************************** ;

TITRE 'MEMBRANE Nx' ;

TRACE MEMB1 MODLT SURFT ;

****************************************************************** ;

TITRE 'MEMBRANE Ny' ;

TRACE MEMB2 MODLT SURFT ;

****************************************************************** ;

TITRE 'FLEXION Mx' ;

TRACE FEX1 MODLT SURFT ;

****************************************************************** ;

TITRE 'FLEXION My' ;


****************************************************************** ;

TITRE 'FLEXION Mxy' ;


****************************************************************** ;

********************* TRACE DE COURBE **************************** ;

****************************************************************** ;

EVOLVC1 = EVOL BLANC 'CHPO' DEP UZ LIG5 ;

DESSINE EVOLVC1 ;

****************************************************************** ;

EVSIG1 = EVOL BLANC 'CHPO' SIGP M11 LIG5 ;

EVOLG1 = EVSIG1 ;

DESSINE EVOLG1 ;

****************************************************************** ;


EVOLG2 = EVSIG2 ;

DESSINE EVOLG2 ;

****************************************************************** ;


EVOLG3 = EVSIG3 ;

DESSINE EVOLG3 ;

****************************************************************** ;


EVOLG4 = EVSIG4 ;

DESSINE EVOLG4 ;

****************************************************************** ;

EVSIG5 = EVOL BLANC 'CHPO' SIGP M12 CONT ;

EVOLG5 = EVSIG5 ;

DESSINE EVOLG5 ;

****************************************************************** ;

*EVSIG6 = EVOL BLANC 'CHPO' SIGP M12 LIG7 ;

*EVOLG6 = EVSIG6 ;

*DESSINE EVOLG6 ;

FIN

10.2.- Annexe 2 : Calcul sur Excel pour la plaque circulaire

h (m) 0.11

E (Mpa) 32000000000

p (MN/m^2) 2697.75

q (MN/m^2) 1471.5

R (m) 3.5

ν 0.3

qo (MN/m^2) 5849.21

D (MN*m) 3900366.3

r (m) w (m) Mn (N*m) Mt (N*m)

0 0.014335628 14778.401 14778.401

0.1 0.014321057 14766.337 14771.455

0.2 0.014277374 14730.145 14750.6172

0.3 0.014204661 14669.825 14715.8875

0.4 0.01410306 14585.3769 14667.2659

0.5 0.013972768 14476.8009 14604.7525

0.6 0.013814037 14344.0969 14528.3471

0.7 0.013627178 14187.2649 14438.0499

0.8 0.013412554 14006.3049 14333.8608

0.9 0.01317059 13801.2169 14215.7798

1 0.012901761 13572.0009 14083.807

1.1 0.012606603 13318.6569 13937.9422

1.2 0.012285706 13041.1848 13778.1856

1.3 0.011939717 12739.5848 13604.5371

1.4 0.011569339 12413.8568 13416.9967

1.5 0.01117533 12064.0008 13215.5645

1.6 0.010758507 11690.0168 13000.2404

1.7 0.010319741 11291.9047 12771.0243

1.8 0.00985996 10869.6647 12527.9164

r (m) w (m) Mn (N*m) Mt (N*m)

1.9 0.009380148 10423.2967 12270.9167

2 0.008881346 9952.80064 12000.025

2.1 0.00836465 9458.17661 11715.2415

2.2 0.007831212 8939.42458 11416.5661

2.3 0.007282243 8396.54454 11103.9988

2.4 0.006719007 7829.53651 10777.5396

2.5 0.006142827 7238.40047 10437.1886

2.6 0.005555079 6623.13643 10082.9456

2.7 0.004957198 5983.74439 9714.81081

2.8 0.004350674 5320.22434 9332.78412

2.9 0.003737054 4632.5763 8936.86555

3 0.00311794 3920.80025 8527.0551

3.1 0.002494991 3184.89621 8103.35277

3.2 0.001869923 2424.86416 7665.75856

3.3 0.001244508 1640.70411 7214.27247

3.4 0.000620572 832.416054 6748.8945

3.5 0 0 6269.62465

<P = 1.35 ∗ r + 1.5 ∗ <

= = > ∗ ℎ?12 ∗ (1 − @))

10.3.- Annexe 3 : Code CAST3M utilisé pour plaque carrée, cas de charge A

*** Unidades m, pa, N, ******* ;

*

*************************************;

* Plaque carrée simplement appuyée *;

*************************************;

*

********************;

* Type d'analyse *;

********************;

*

OPTI DIME 3 ELEM TRI3 ;

*

***************;

* Géométrie *;

***************;

*

L1= 7.5 ;

L2= 7.5 ;

NB1 = 75 ;

NB2 = 75 ;

A1 = 0. 0. 0. ;

A2= L1 0. 0.;

A3 = L1 L2 0.;

A4 = 0. L2 0. ;

A1A2 = DROI NB1 A1 A2;




PLAQ1 = DALL A1A2 A2A3 A3A4 A4A1 'PLAN';

PLAQ = PLAQ1 ;

ELIM 0.001 PLAQ ;

OEIL = (L1/2.) (-0.5 * L2) (0.5 * L1) ;

SI (NEG GRAPH 'N') ;

TRACE OEIL PLAQ ;

FINSI ;

GEOC = CONTOUR PLAQ ;

*

*************************


*************************

*

Ey = 32000000000 ;

nu1 = 0.3 ;

epai1 = 0.1 ;

rho1 = 2500 ;

MOD1=MODL PLAQ1 MECANIQUE ELASTIQUE ISOTROPE DKT;

MAT1=MATR MOD1 YOUN Ey NU nu1 EPAI epai1 RHO rho1 ;

RIGI1 = RIGI MOD1 MAT1 ;

*

*****************

* Chargements *

*****************

*

press_pp = (1.35 * 2500 * 9.81 * 0.1 * -1) + (1.5 * 150 * 9.81 * -1);

CHA1 = PRES COQU MOD1 press_pp NORM ;

VECT1 = VECT CHA1 FX FY FZ 0.005 ROUGE;

*

****************************


****************************

*

CL1=BLOQ UZ A1A2 ;

CL2=BLOQ UZ A2A3 ;

CL3=BLOQ UZ A3A4 ;

CL4=BLOQ UZ A4A1 ;

CL5=BLOQ UX UY A1;

CL6=BLOQ UY A2;

CL = CL1 ET CL2 ET CL3 ET CL4 ET CL5 ET CL6 ;

RIGI1 = RIGI1 et CL;

*

****************

* Resolution *

****************

*

DEP1 = RESO RIGI1 CHA1 ;

DEPZ = EXCO UZ DEP1 ;

*

********************************


********************************

*

**************************************************************** ;


**************************************************************** ;


list maxDEPZ ;

opti donn 5;




list xuzmax ;

list yuzmax ;

****************************************************************** ;


****************************************************************** ;

SIG = SIGMA MAT1 MOD1 DEP1 ;

VEC1 = 1 0 0 ;

VEC2 = 0 1 0 ;

VEC3 = 0 0 1 ;

SIG1 = RTENS SIG MOD1 VEC1 VEC2 ;






****************************************************************** ;


****************************************************************** ;




list maxMOMX ;

list maxMOMY ;

list maxMOMXY ;

opti donn 5;




list minMOMX ;

list minMOMY ;

list minMOMXY ;

****************************************************************** ;

******************* REACTIONS ************************************ ;

****************************************************************** ;

REAC1 = REAC RIGI1 DEP1;

VECTR = VECT REAC1 FX FY FZ 0.002 BLEU;

LIST REAC1 ;

****************************************************************** ;


****************************************************************** ;

OEIL = 0.0 0.0 1000.0 ;

TITRE 'ISO Uz' ;

TRACE OEIL FACE DEPZ PLAQ ;

****************************************************************** ;

** CALCUL DES FLUX AUX POINTS POUR TRACE DE COURBE *************** ;

****************************************************************** ;

SIGP = CHANG 'CHPO' MOD1 SIG1 ;

****************************************************************** ;


****************************************************************** ;


TRACE OEIL MEMB1 MOD1 PLAQ ;

****************************************************************** ;


TRACE OEIL MEMB2 MOD1 PLAQ ;

****************************************************************** ;


TRACE OEIL FEX1 MOD1 PLAQ ;

****************************************************************** ;



****************************************************************** ;



****************************************************************** ;

***** FLECHE SELON TIMOSHENKO ****************************** ;

****************************************************************** ;

fleche = maxDEPZ;

mess 'fleche calculee = ' fleche ' m' ;

* Avec les abaques de Timoshenko

D1 = Ey * (epai1 ** 3) / (12. * (1. - (nu1 ** 2))) ;

* Pour a = 8.4 et b = 8.4 (donc b/a = 1)

alpha = 0.00406 ;

flecheth = alpha * (-1. * press_pp) * (l1 ** 4) / D1 ;

mess 'fleche theorique = ' flecheth ' m' ;

mess 'erreur sur fleche =' (((flecheth-fleche) / flecheth) * 100) ' %' ;

FIN ;

10.3.- Annexe 3 : Code CAST3M utilisé pour plaque carrée, cas de charge B

*** Unidades m, pa, N, ******* ;

*

********************************************************;

* Plaque carrée simplement appuyée, cas de charge B *;

********************************************************;

*

********************;

* Type d'analyse *;

********************;

*

OPTI DIME 3 ELEM TRI3 ;

*

***************;

* Géométrie *;

***************;

*

L1= 7.5 ;

L2= 7.5 ;

NB1 = 30 ;

NB2 = 30 ;

A1 = 0. 0. 0. ;

A2= L1 0. 0.;

A3 = L1 L2 0.;

A4 = 0. L2 0. ;





PLAQ1 = DALL A1A2 A2A3 A3A4 A4A1 'PLAN';

ELIM 0.01 PLAQ1 ;

SI (NEG GRAPH 'N') ;

OEIL = (L1/2.) (-0.5 * L2) (0.5 * L1) ;

TRACE OEIL PLAQ1 ;

FINSI ;

GEOC = CONTOUR PLAQ1 ;

* chargement : impact rectangulaire

* définir l'impact

cx_imp = 2.375 ;

cy_imp = 5.375 ;

cx_im2 = 4.125 ;

u = 0.75 ;

v = 0.75 ;

* charge uniforme sur la plaque N/m²

q_chg = -91560.0 ;

*

*************************


*************************

*

Ey = 32000000000 ;

nu1 = 0.3 ;

epai1 = 0.1 ;

rho1 = 2500. ;

MOD1=MODL PLAQ1 MECANIQUE ELASTIQUE ISOTROPE DKT;

MAT1=MATR MOD1 YOUN Ey NU nu1 EPAI epai1 RHO rho1 ;

*

*****************

* Chargements *

*****************

*

* on définit les points de la zone d'impact 1

PBG = (cx_imp - (u/2)) (cy_imp - (v/2)) 0.0 ;

PBD = (cx_imp + (u/2)) (cy_imp - (v/2)) 0.0 ;

PHD = (cx_imp + (u/2)) (cy_imp + (v/2)) 0.0 ;

PHG = (cx_imp - (u/2)) (cy_imp + (v/2)) 0.0 ;

PBG2 = (cx_im2 - (u/2)) (cy_imp - (v/2)) 0.0 ;

PBD2 = (cx_im2 + (u/2)) (cy_imp - (v/2)) 0.0 ;

PHD2 = (cx_im2 + (u/2)) (cy_imp + (v/2)) 0.0 ;

PHG2 = (cx_im2 - (u/2)) (cy_imp + (v/2)) 0.0 ;

* nombre d'élements selon X

tailleX = (FLOT L1) / NB1 ;

NBX = ENTIER (u*1.0001 / tailleX) ;

* nombre d'élements selon Y

tailleY = (FLOT L2) / NB2 ;

NBY = ENTIER (v*1.0001 / tailleY) ;

* creations des droites des rectangles d'impact

Dteimp1 = DROI NBX PBG PBD;

Dteimp2 = DROI NBY PBD PHD;

Dteimp3 = DROI NBX PHD PHG;

Dteimp4 = DROI NBY PHG PBG;

Dteimp12 = DROI NBX PBG2 PBD2;

Dteimp22 = DROI NBY PBD2 PHD2;

Dteimp32 = DROI NBX PHD2 PHG2;

Dteimp42 = DROI NBY PHG2 PBG2;

GEOimpac = DALL Dteimp1 Dteimp2 Dteimp3 Dteimp4 'PLAN';

trew = DALL Dteimp12 Dteimp22 Dteimp32 Dteimp42 'PLAN';

GEOimpac = (GEOimpac ET trew);

GEOimpac = GEOimpac COUL ROUG ;

NBIMP = NBEL GEOimpac ;

saut 2 ligne ;

MESS 'nb elet zone impact : NBIMP = ' NBIMP ;

saut 2 ligne ;

* fusion des deux maillages

ELIM 0.001 (GEOimpac ET PLAQ1) ;

TRAC GEOimpac ;

* Charge ponctuele

MODIMP = MODL GEOimpac MECANIQUE ELASTIQUE ISOTROPE DKT;

CHA1 = PRES COQU MODIMP q_chg NORM ;

VECT1 = VECT CHA1 FX FY FZ 0.05 ROUGE;

FINSI ;

*

****************************


****************************

*

CL1=BLOQ UZ A1A2 ;

CL2=BLOQ UZ A2A3 ;

CL3=BLOQ UZ A3A4 ;

CL4=BLOQ UZ A4A1 ;

CL5=BLOQ UX UY A1;

CL6=BLOQ UY A2;

CL = CL1 ET CL2 ET CL3 ET CL4 ET CL5 ET CL6 ;

RIGI1 = RIGI MOD1 MAT1 ;

RIGI1 = RIGI1 et CL;

*

****************

* Resolution *

****************

*

DEP1 = RESO RIGI1 CHA1 ;

DEPZ = EXCO UZ DEP1 ;

*

********************************


********************************

*

**************************************************************** ;


**************************************************************** ;


list maxDEPZ ;




list xuzmax ;

list yuzmax ;

opti donn 5;

****************************************************************** ;


****************************************************************** ;

SIG = SIGMA MAT1 MOD1 DEP1 ;

VEC1 = 1 0 0 ;

VEC2 = 0 1 0 ;

VEC3 = 0 0 1 ;

SIG1 = RTENS SIG MOD1 VEC1 VEC2 ;






****************************************************************** ;


****************************************************************** ;




list maxMOMX ;

MAX2 = FEX1 POIN MAXI ABS ;

XMX = COOR 1 MAX2 ;

YMX = COOR 2 MAX2 ;

list XMX ;

list YMX ;

list maxMOMY ;


XMY = COOR 1 MAX3 ;

YMY = COOR 2 MAX3 ;

list XMY ;

list YMY ;

list maxMOMXY ;


XMXY = COOR 1 MAX4 ;

YMXY = COOR 2 MAX4 ;

list XMXY ;

list YMXY ;

opti donn 5;




list minMOMX ;

list minMOMY ;

list minMOMXY ;

****************************************************************** ;

******************* REACTIONS ************************************ ;

****************************************************************** ;

REAC1 = REAC RIGI1 DEP1;

VECTR = VECT REAC1 FX FY FZ 0.002 BLEU;

LIST REAC1 ;

****************************************************************** ;


****************************************************************** ;

OEIL = 0.0 0.0 1000.0 ;

TITRE 'ISO Uz' ;

TRACE OEIL FACE DEPZ PLAQ1 ;

****************************************************************** ;

** CALCUL DES FLUX AUX POINTS POUR TRACE DE COURBE *************** ;

****************************************************************** ;

SIGP = CHANG 'CHPO' MOD1 SIG1 ;

****************************************************************** ;


****************************************************************** ;


TRACE OEIL MEMB1 MOD1 PLAQ1 ;

****************************************************************** ;


TRACE OEIL MEMB2 MOD1 PLAQ1 ;

****************************************************************** ;


TRACE OEIL FEX1 MOD1 PLAQ1 ;

****************************************************************** ;



****************************************************************** ;



*FIN ;

Documents

Projet de plaques