Exercício 1.2

Demonstre que dados dois pontos, e , sempre existem

infinitos pontos entre e e infinitos pontos tais

que está entre e .

Solução

Dados os pontos A e B, pelo axioma O2, existe um ponto

entre A e B, que chamaremos de . Pelo mesmo axioma,

existe um ponto entre e B. Ainda pelo mesmo axioma,

existe um ponto , entre os pontos e B. Continuando o

raciocínio, encontraremos uma seqüência de pontos ,

entre os pontos A e B.

Para provar que existem infinitos pontos D tais que está

entre e , usaremos o mesmo axioma. Pelo axioma, existe

um ponto tal que está entre e . Pelo mesmo

axioma, existe um ponto tal que está entre e .

Analogamente, existe um ponto tal que está entre

. Continuando dessa forma, existe uma seqüência de pontos

tais que está entre e .

Exercício 1.5

Cada polígono tem uma nomenclatura, de acordo com o número

de lados, por exemplo, o triângulo é um polígono com três

lados, o quadrilátero é o polígono com quatro lados. Qual é

a nomenclatura dos polígonos de cinco, seis, até dez lados?

Solução

3 lados - triângulo4 lados - quadrângulo ou quadrilátero 5 lados - pentágono6 lados - hexágono7 lados - heptágono8 lados - octógono9 lados - eneágono10 lados - decágono11 lados - undecágono12 lados - dodecágono 13 lados - tridecágono 14 lados - tetradecágono 15 lados - pentadecágono

20 lados - icoságonoExercícios 1.9

1) Sejam e pontos distintos de uma mesma reta

cujas coordenadas são respectivamente e . Demonstre

que o ponto está entre e , se, e somente se, o

número está entre os números e .

Solução

Vamos admitir que .

Suponha que o ponto C esteja entre A e B. Pelo axioma MS3

temos que ou seja, . Então

e . Dessas desigualdades, podemos

concluir que e . Portanto ou

seja, o número está entre os números e .

Suponha agora que o número esteja entre os números e

. Devemos provar que o ponto C está entre A e B. Se isto

não acontecer, teremos duas possibilidades: (i) A está

entre C e B, ou (ii) B está entre A e C. No primeiro caso,

teremos daí teríamos , ou seja, ,

isto é, , que é uma contardição. No segundo caso

teríamos , então, , ou seja, ,

obtendo assim que , que é uma contradição. Portanto a

única possibilidade é que o ponto C esteja entre A e B.

Para o caso A demonstração é análoga.

2) Sejam um segmento de reta e . Dizemos que é

ponto médio desse segmento, quando . Dado um

segmento , demonstre que este possui um ponto médio e

que ele é único.

Solução

Prova da existência: sejam as coordenadas dos pontos

A e B. Considere o número . Pelo axioma MS2, existe

um ponto C sobre a reta, que tem coordenada o número .

Como e .

Então . Como está entre os números ,

pelo exercício anterior, o ponto C está entre os pontos A e

B. Logo C é ponto médio do segmento AB.

Prova da unicidade: Suponha que o segmento AB possua um

outro ponto médio C’, de coordenada . Então teríamos

(i) , quando e (ii) ,

quando . Em ambos os casos, temos que .

Portanto . E pelo axioma MS2, temos que C’=C.

3) Dados um segmento e um número real positivo qualquer

, demonstre que existe um ponto entre e , tal que

. Demonstre, também, que este ponto é único.

Solução

Essa demonstração é análoga à do exercício anterior.

Suponha que e sejam as coordenadas dos pontos A e B,

respectivamente.

Prova da existência: sejam as coordenadas dos pontos

A e B. Considere o número .(que pode ser obtido a

partir da igualdade , com coordenada do ponto C)

Pelo axioma MS2, existe um ponto C sobre a reta, que tem

coordenada o número . É imediato verificar que o número

encontra-se entre os números e . Pelo exercício

1.9(1), o ponto C encontra-se entre A e B. Este ponto C

satisfaz a equação .

Prova da unicidade: Suponha que o segmento AB possua um

outro ponto C’, de coordenada , tal que . Neste

caso, teremos que Então pelo axioma MS2, temos

que C’ = C.

4) Sejam e pontos de uma mesma reta. Faça um

desenho representando esses pontos, admitindo que

e .

Solução imediata.

5) Sejam e pontos distintos de uma mesma reta,

tais que . Calcule as medidas e , sabendo

que .

6) Usando régua e compasso, descreva uma maneira de

construir:

a) Um triângulo isósceles, ou seja, um triângulo que possui

dois lados com medidas iguais. Em um triângulo isósceles,

os lados que possuem a mesma medida são chamados laterais,

e o terceiro lado é chamado de base do triângulo.

Solução

Trace um segmento AB e com o compasso, trace um círculo com

centro no ponto A e raio, por exemplo, maior ou igual à

medida do segmento AB. Trace também um outro círculo com

centro no ponto B e com a mesma medida do raio do primeiro

circulo. Esses círculos se encontram em dois pontos C e D.

Os triângulos ABC e ABD são isósceles de base AB.

b) Um triângulo equilátero, ou seja, um triângulo que

possui os três lados com medidas iguais.

Solução

Faça a construção do item (a), considerando os círculos

tendo como raio a medida do segmento AB. Neste caso, os

triângulos ABC e ABD são eqüiláteros, tendo como medida de

lado a medida do segmento AB.

7) A soma das medidas dos lados de um polígono é chamada

perímetro do polígono. Faça desenhos de três polígonos,

meça seus lados e calcule seus perímetros.

Solução: várias possibilidades.

8) Um conjunto contido no plano é chamado limitado,

quando existe um círculo , no plano, que contém todos os

pontos do conjunto . Um conjunto é ilimitado, quando não

é limitado. Demonstre que são limitados:

a) Um conjunto finito;

b) Um segmento;

c) Um triângulo;

d) Um polígono com “n” lados.

Solução

Em cada item devemos exibir um círculo no qual o conjunto

está dentro do círculo. Ou seja, em cada item devemos

exibir o cento e o raio de um círculo, tal que o conjunto

está dentro desse círculo.

a) se X é um conjunto finito, digamos formado pelos

elementos , considere, por exemplo, o

círculo com centro no ponto e raio

.

b) Se o segmento for AB, considere, por exemplo, o

círculo de centro no ponto A e raio .

c) Se o triângulo for ABC, considere, por exemplo o

círculo com centro no ponto A e raio .

d) Se o polígono for , considere, por exemplo, o

círculo com centro no ponto e raio

.

Exercícios 1.15

1) Demonstre que ângulos opostos pelo vértice têm a mesma

medida.

Solução

Suponha que duas retas r e s se interceptam em um ponto O

como na figura abaixo

Sabemos que . Então .

2) Considere uma reta e um ponto . Demonstre que

pelo ponto passa uma reta , que é perpendicular à

e, além disso, essa reta é única.

Solução

Prova da existência:

Considere um dos semiplanos determinados pela reta m, a

partir do axioma O3. Nesse semiplano considere todas as

semirretas de origem P. Pelo axioma MA2 existe uma

semirreta correspondente à 90. A reta n que contém essa

semirreta é a reta procurada.

Veja a figura abaixo

Para demonstrar a unicidade, suponha que existam duas retas

n e n’ perpendiculares à m. Essas retas determinam duas

semirretas, em um dos semiplanos, correspondentes à 90, o

que é uma contradição com o axioma MA2.

3) Qual é a medida do ângulo formado pelos ponteiros dos

minutos e das horas de um relógio, ao marcar 11 horas e

30 minutos?

Solução: 165º.

4) Se um ângulo e seu suplemento têm a mesma medida, qual é

a medida desse ângulo? Justifique sua resposta.

Solução

Seja esse ângulo. Então daí segue que

.

5) Se um ângulo e seu complemento têm a mesma medida, qual

é a medida desse ângulo? Justifique sua resposta.

Solução

Seja esse ângulo. Então daí segue que .

6) Se dois ângulos e são suplementares e a diferença

entre eles é 65º, quais as medidas desses ângulos?

Solução

Pelas hipóteses temos que e .

Resolvendo esse sistema de equações obteremos e

.

7) Mostre que o suplemento de um ângulo obtuso é um ângulo

agudo.

Solução

Se então . Somando 180º de ambos os lados

dessa equação obteremos . Ou seja, o suplemento

de é um ângulo agudo.

8) Sabendo que um dos quatro ângulos determinados por duas

retas que se interceptam mede 75º, quais são as medidas

dos outros ângulos? Justifique sua resposta.

Solução

Suponha que o ângulo , conforme ilustra a figura

abaixo.

Então , pois é o suplemento do ângulo .

O ângulo , pois e são opostos pelo

vértice.Analogamente, , pois e são

opostos pelo vértice.

UNIDADE 2

Exercício 2.16

Demonstre que em um triângulo ABC isósceles, a mediana

relativa à base é também bissetriz e altura.

Demonstração

Seja ABC um triângulo isósceles cuja base é AB. Seja CD sua

mediana relativa à base. Mostraremos que ACD = BCD e que A

C é um ângulo reto. Para isso considere os triângulos ADC

e BDC. Como AD = BD (pois CD é mediana), AC = BC (já que o

triângulo é isósceles com base AB) e  = (pela

proposição anterior), então ADC = BCD, pelo primeiro caso

de congruência. Segue, portanto, que A D = B D e C A = B

C. A primeira igualdade nos diz que CD é bissetriz do

ângulo A B. Como A B é um ângulo raso e C A+ B C = A B

então C A+ B C = 180º. Já sabemos que C A = B C, então

concluímos que C A = B C = 90º. Portanto CD é

perpendicular a AB, isto é, CD é a altura relativa a AB.

Corolário 2.20

2) Um triângulo ABC possui, pelo menos, dois ângulos

agudos.

Demonstração

Se um triângulo não tiver dois ângulos agudos, ele tem

dois ângulos obtusos. Consequentemente, a soma dos

ângulos internos desse triângulo será maior do que 180º,

contradizendo o corolário 2.20(1).

3) Se duas retas distintas e são perpendiculares a

uma terceira reta , então, a reta é paralela à reta

.

Demonstração

Suponha que r e s não sejam paralelas. Desse modo, elas

se interceptam em um ponto A, conforme ilustra a figura

a seguir

Como as retas r e s são perpendiculares à t, então

, logo a soma de dois ângulos desse

triângulo será 180º, contradizendo o corolário 2.20(1).

Exercícios 2.26

1) Mostre que os ângulos da base de um triângulo ABC

isósceles são agudos.

Solução

Como o triângulo ABC é isósceles, digamos, por exemplo de

base AB, então pela proposição 2.12 . Se esses ângulos

forem obtusos, sua soma é maior do que 180º, contradizendo

o corolário 2.20(1)

2) Seja P um ponto interior de um triângulo ABC. Mostre que

.

Solução

Observe a figura a seguir

Pelo teorema do ângulo externo, e .

Portanto .

3) Mostre que, se duas alturas de um triângulo são

congruentes, então, o triângulo é isósceles.

Solução

Seja ABC um triângulo, com AE e CD alturas, como mostra a

figura a seguir.

Então . Assim, AC é hipotenusa dos triângulos ADC

e CEA. Como AE = CD, esses triângulos são congruentes, pelo

caso hipotenusa cateto. Portanto , ou seja, .

Então ABC é isósceles de base AC.

4) Em um cartório de registros de imóveis um escrivão

recusou registrar um terreno triangular cujos lados,

segundo o seu proprietário, mediam 150m, 70m e 60m. Qual

justificativa matemática você pode dar para essa atitude

do escrivão?

Solução

Pela desigualdade triangular a soma das medidas de

quaisquer dois lados de um triângulo é maior do que o

terceiro lado. E o terreno em questão teria um lado, o que

mede 150m, igual à soma dos outros dois.

5) Sejam ABC e EFG triângulos em que AB = EF, e

. Esses triângulos são congruentes? Se a resposta for

afirmativa, demonstre. Caso contrário, dê um

contraexemplo.

Solução

Suponha que ABC não seja congruente à EFG. Seja H tal que

EH = AC, como mostra a figura a seguir

Então ABC = EFH, consequentemente . Como , temos

que , contradizendo o teorema do ângulo externo.

6) Na figura, a seguir, temos que e . Mostre

que .

Solução

Como , pela proposição 2.24, segue que . Como

, temos que .

8) Se um triângulo ABC é equilátero e D é um ponto do segmento BC, mostre que .

Solução

Como ABC é equilátero, . Como AD divide o ângulo

, segue que . Portanto, pela proposição 2.24

temos que .

UNIDADE 3

Exercícios 3.17

1) A partir do Teorema Fundamental da Proporcionalidade,

inclusive as notações estabelecidas naquele resultado, demonstre

que

Solução

Do Teorema Fundamental da Proporcionalidade, temos que

Como e

substituindo essas identidades na igualdade , temos

que

Portanto , daí segue que .

2) Demonstre que: se duas retas r e s são transversais de um

feixe de retas paralelas, então, a razão entre dois segmentos

quaisquer determinados em uma delas é igual à razão entre os

segmentos correspondentes da outra. Esse resultado é conhecido

como Teorema de Tales.

Solução

Considere as transversais r e s interceptando as retas paralelas

a, b e c, respectivamente nos pontos A, B e C e nos pontos A’,

B’ e C’. Trace pelo ponto A uma reta s’ paralela à s,

interceptando as retas a, b e c nos pontos A, B” e C”, como

mostra a figura a seguir.

Use o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e o exercício

3.17(1), para terminar a demonstração.

3) Três lotes têm frente para a rua “Tales de Mileto” e para a

rua “Leonardo da Vinci”, como ilustra a figura, a seguir. As

divisas laterais são perpendiculares à rua “Leonardo da Vinci” e

as medidas de frente para essa rua dos lotes 1, 2 e 3 são,

respectivamente, 50m, 40m e 30m. Sabendo que a medida da frente

total dos três lotes para a rua “Tales de Mileto” é 240m,

encontre a medida de frente para a rua Tales de Mileto de cada

um dos lotes.

Solução

Sejam respectivamente as medidas de frente para a rua

Tales de Mileto dos lotes 1, 2 e 3. Pelo teorema de Tales,

exercício 3.17(2), segue que

Portanto, metros.

4) Utilizando régua e compasso, descreva um processo de divisão

de um segmento AB em 3, 5 e 6 partes iguais, justificando cada

passo.

Solução

Para a divisão do segmento AB em 3 partes iguais, trace uma

semirreta

formando um ângulo agudo com a semirreta

determinada por AB. Usando compasso, a partir do ponto A,

considere três segmentos de medidas iguais nessa semirreta,

obtendo os pontos C, D e E. Em seguida trace um segmento ligando

o ponto E ao ponto B, e retas paralelas à determinada pelo

segmento BE, passando pelos pontos B e C, que interceptam o

segmento AB nos pontos C’ e D’ respectivamente, conforme a

figura abaixo

Os pontos C’ e D’ dividem o segmento AB em três partes iguais. A

justificativa da igualdade das partes, segue do teorema de

Tales. Escreva os detalhes.

Para a divisão do segmento AB em 5, 6, 7, ..., partes iguais,

fazemos de modo análogo.

6) Demonstre que dado um triângulo ABC de lados, medindo a,

b e c, AD uma bissetriz interna, conforme ilustra a figura,

a seguir, em que DB = x e DC = y, temos que . Esse

resultado é conhecido como Teorema da Bissetriz Interna

(DOLCE, POMPEO; 1980).

Sugestão: trace uma reta paralela à AD, passando pelo

vértice C e considere a interseção dessa reta com a

semirreta .

SoluçãoTraçando a reta paralela à AD, passando pelo vértice C, suponha

que essa reta intercepte a reta que contém o lado AB, no ponto

E. Então teremos que . Portanto . A partir do

Teorema Fundamental da Proporcionalidade (ou teorema de Tales),

podemos concluir que . Daí segue que .

7) Na figura, a seguir, A é o centro do círculo, BD é um

diâmetro, C é outro ponto do círculo, e são ângulos

determinados de acordo com a figura. Demonstre que .

Solução

Como AB = AC, então . Pelo corolário 3.7(c),

temos que .

8) Mostre que as diagonais de um quadrilátero ABCD se

interceptam em seus pontos médios se, e somente se, esse

quadrilátero for um paralelogramo.

Solução

Suponha que as diagonais AC e BD se encontram em um ponto E

que é ponto médio das duas diagonais, então ,

veja a figura abaixo.

Consequentemente, ECD = EAB. Logo AB e CD são congruentes e

paralelos. Então ABCD é um paralelogramo.

Suponha agora que ABCD seja um paralelogramo. Trace as

diagonais AC e BD, que se encontram no ponto E. Como AB é

paralelo à CD então . Analogamente, como AD é

paralelo a BC segue que . Como AB = DC, segue AEB

= CED e portanto . Então as diagonais de um

quadrilátero ABCD se interceptam em seus pontos médios.

10) Mostre que todo retângulo é um paralelogramo.

Solução

Como um retângulo possui os quatro ângulos internos iguais

a 90º, segue que seus lados opostos são paralelos. Portanto

ele é um paralelogramo.

11) Mostre que as diagonais de um retângulo são

congruentes.

Solução

Seja ABCD um retângulo. Trace as diagonais AC e BD, como na

figura a seguir.

Como ABCD é um paralelogramo, temos que AB=CD e BC=AD.

Usando o fato de que todos os seus ângulos são retos, segue

que ABC=DCB. Portanto, AC=BD.

12) Mostre que as diagonais de um losango cortam-se em

ângulo reto e são bissetrizes de seus ângulos.

Solução

Seja ABCD um losango. Como um losango é um paralelogramo,

segue do exercício 3.17(8) que as diagonais se interceptam

em um ponto E que é ponto médio das diagonais. Como os

lados de um losango possuem a mesma medida, segue pelo

terceiro caso de congruência de triângulos que AEB = CEB.

Consequentemente, . Como , segue

que . Portanto as diagonais AC e BD são

perpendiculares. Da congruência AEB = CEB segue também que

portanto BD é bissetriz do ângulo . De modo

análogo, demonstra-se que BD é também bissetriz do ângulo

e AC é Bissetriz de e de .

13) Mostre que, se as diagonais de um quadrilátero são

congruentes e se cortam em um ponto que é ponto médio de

ambas, então, o quadrilátero é um retângulo. Se, além

disso, as diagonais são perpendiculares, então, o

quadrilátero é um quadrado.

Solução

Seja ABCD um quadrilátero cujas diagonais se interceptam em

um ponto que é ponto médio de ambas, então, pelo exercício

3.17(8), ABCD é um paralelogramo. Como por hipótese as

diagonais AC e BD têm as mesmas medidas, então pelo

terceiro caso de congruência de triângulo ABC = BAD. Então

e

Usando agora a hipótese de que ABCD é um paralelogramo,

seus lados opostos são paralelos, daí pode-se concluir que

. Como e segue que

Portanto ABCD é um retângulo.

Se além disso as diagonais forem perpendiculares, segue, de

congruência de triângulos que o quadrilátero é um quadrado.

14) Seja ABCD um trapézio, tendo AB como base. Se esse

trapézio é isósceles demonstre que e .

Solução

Seja ABC um trapézio isósceles de base AB. Trace pelo ponto

D uma reta perpendicular à AB, interceptando esse segmento

no ponto E. Trace também uma reta pelo ponto C,

perpendicular à AB, interceptando esse segmento no ponto F,

como mostra a figura abaixo.

Pelo caso hipotenusa cateto, temos que AED = BFC. Portanto

e . Usando o fato de que DC é paralelo à AB,

segue que .