Résolution numérique des Equations différentielles 1e Partie

Professeur : Joël M. ZINSALO/Ecole Polytechnique d’Abomey Calavi/UAC Page 1

RESOLUTION NUMERIQUE DES

EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES

Les équations différentielles ordinaires (EDO) apparaissent très souvent dans la

modélisation des phénomènes physiques et des sciences de l'ingénieur. Trouver la

solution d'une EDO ou d'un système d'EDO est ainsi un problème courant, souvent

difficile ou impossible à résoudre de façon analytique. Il est alors nécessaire de

recourir à des méthodes numériques pour résoudre ces équations différentielles.

2.1. Concepts et définitions

Un grand nombre de problèmes en sciences appliquées mènent à des équations

différentielles ordinaires.

Une équation différentielle est une équation avec une fonction inconnue faisant

intervenir une ou plusieurs de ses dérivées. Si la fonction inconnue dépend

uniquement d’une variable indépendante, l’équation est une équation différentielle

ordinaire. Un système différentiel est un ensemble d’équations différentielles et des

conditions associées. L’ordre de l’équation différentielle est l’ordre de la dérivée le

plus élevé.

Dans la formulation la plus simple, on cherche une fonction : � = ��2.1� dont la dérivée vérifie une équation de la forme :

�′ = ��, ��2.2� On appelle équation différentielle d'ordre p une équation de la forme :

��, �, �′, �′′, … �� = 0�2.3� On appelle forme canonique d'une EDO une expression du type :

�� = ��, �, �′, �′′, … ��2.4�


Toute équation différentielle canonique peut être écrite comme un système

d'équations différentielles du premier ordre en introduisant � − 1 fonctions définies

comme :

�� = �� = ��⋯⋯⋯

�� = ��2.5�

L'équation canonique se met sous la forme du système d'EDO d'ordre 1 suivant :

�� = �� = �!

⋯⋯⋯�′� = #$%, �, ��, ��, … ��&

�2.6�

A cause de la grande variété de problèmes et de types d’équations, il n’existe pas

une méthode de résolution des EDO que l’on pourrait qualifier de « meilleure », ni

même applicable à toutes les situations. En particulier, dans le domaine des

équations différentielles ordinaires on se confronte à des problèmes raides et on se

heurte à des problèmes de stabilité. Il faut alors une variété de méthodes avec

comme objectif :

• choix approprié du modèle

• vitesse de calcul

• précision

• fiabilité.

L’ordre de l’équation différentielle est l’ordre de la dérivée le plus élevé. Par

exemple : ��, �, � ′, �"� = 0�2.7� est une équation d’ordre deux.

Une forme moins compacte pour les équations différentielles est la suivante :


*� +��+�� + *�� +��+�� +⋯+ *- = ℎ��2.8� Si les coefficients 0 ne font pas intervenir � ou ses dérivées, alors l’équation est

linéaire. Si les coefficients sont constants et que ℎ�� = 0, alors l’équation est dite

homogène.

Tout problème d’équation différentielle peut être classé soit comme un problème aux

valeurs initiales ou un problème aux conditions aux limites. Le type de

classification dépend du nombre d’endroits où sont réparties les conditions aux

limites.

S’il s’agit d’un seul endroit, on parle d’un problème aux valeurs initiales.

Lorsque les conditions sur la variable dépendante sont réparties sur plusieurs

endroits, on a alors un problème aux valeurs aux frontières.

2.2. Problème de Cauchy

On appelle problème de Cauchy ou problème à valeur initiale le problème qui

consiste à trouver une fonction ��définie sur l'intervalle 1*, 23 telle que :

4�� = $�, ��&∀� ∈ 1*, 23��*� = �- �2.9�

Pour une équation d’ordre un, la donnée de la valeur de la solution en un point

8 �- = *��*� = �- �2.10�

s'appelle la condition initiale. Pour le problème :

4�′ = ��, ��*� = �- �2.11�

Il existe une solution unique si et � sont continus et différentiables pour toute

valeur de �-.


De façon plus générale, pour un système d’équations différentielles ordinaires, le

problème de Cauchy est décrit par :

��′ �� = ��, ��, �9, … , �:��*� = *��9′ �� = 9��, ��, �9, … , �:��9�*� = *9⋮⋮�:′ �� = ��, ��, �9, … , �:��:�*� = *:

�2.12�

Que l’on peut résumer par: �′�� = <��, �� *� = 0

où � = 1��, �9��, … , �:��3= et < = 1�, 9, … , :3= avec la condition initiale ��*� = 1��*�, �9�*�, … , �:�*�3=.

En plus des systèmes de premier ordre, il existe des systèmes d’ordre > de la

forme :

�:�� = <$�, ��, ��… , �:��& ��*� = *�, � ′�*� = *9, … �:��*� = *:

Ces systèmes peuvent être équivalents au moyen des fonctions auxiliaires :

?�� = ��?9�� = ��⋮ ⋮

?:�� = ��:�� ou bien

@′ = ABBC?�′?9′⋮?:′ DE

EF = G?9?H⋮ I ,@�*� = G*�*9⋮*:I = 0�2.13�

2.3. Méthodes numériques de résolution des EDO

2.3.1. Concepts et définitions


La plus vaste des systèmes différentiels d’intérêt pratique ne peuvent pas être

résolus par des méthodes analytiques. Pour ce faire, on utilise des méthodes

numériques dont le but est de trouver une solution discrète. On entend par

solution discrète, une suite de valeurs J�KL, J�KL qui approche la fonction ��. A la base, les méthodes numériques supposent que la solution existe sur un

intervalle donné et qu’elle peut être représentée par un seul polynôme ou par des

polynômes par morceaux. C’est ainsi que la précision et la convergence de la

solution dépendent de cette approximation.

On utilisera �� pour noter la solution exacte et �K = ��K� pour une valeur

numérique. De façon générale �K ≠ ��K� et on définit l’erreur N comme : N = ��K� − �K. La solution numérique est calculée pour des valeurs successives ��, �9…�:.

L'écart entre deux abscisses �KO� − �K = ∆�K = ℎK, noté h, est appelé pas de

discrétisation. Ce pas, dans les méthodes les plus simples, est constant, mais il

peut être judicieux de travailler avec un pas variable.

Le choix du maillage et de la répartition des nœuds peuvent s'avérer crucial.

Les techniques de résolution des EDO sont basées sur :

• l'approximation géométrique de la fonction

• les formules d'intégration numérique (rectangle, trapèze, Simpson...)

• les développements de Taylor au voisinage de �K.

2.3.2. Propriétés des méthodes numériques

Plusieurs notions mathématiques sont introduites lors de la résolution d'EDO au

moyen de leurs équivalents discrétisés. Les trois principales sont la convergence, la

stabilité et la consistance permettant de relier la solution exacte des équations

continues à la solution exacte des équations discrétisées et à la solution numérique

obtenue.

A ces propriétés, il convient d'ajouter la notion de précision ainsi que des aspects

informatiques comme la facilité de mise en œuvre, les coûts CPU et mémoire.


Consistance d'une méthode

La consistance est la propriété qui assure que la solution exacte de l'équation

discrétisée tende vers la solution exacte de l'équation continue lorsque le pas de

discrétisation h tend vers 0.

Stabilité d'une méthode

C'est la propriété qui assure que la différence entre la solution numérique obtenue

et la solution exacte des équations discrétisées reste bornée. La stabilité indique si

l'erreur augmente ou non au cours du calcul.

Une méthode peut être stable sous condition (elle sera dite conditionnellement

stable) ou toujours stable (elle sera dite inconditionnellement stable).

Ordre de précision d'une méthode

L'erreur de troncature Q est définie comme la différence entre la solution exacte �R et

l'approximation numérique obtenue �:, soit :

Q: = |�R�>� − �:| = T�ℎ�� L'ordre de précision de la méthode est donnée par l'entier p.

Convergence et taux de convergence d'une méthode

Une méthode est convergente si, lorsque le pas de discrétisation tend vers 0, la

solution numérique tend vers la solution exacte de l'équation continue.

Une méthode est convergente à l'ordre l si et seulement :

lim:→YmaxK |QK| = T�ℎ\�

Résultat théorique : Une méthode stable et consistante est convergente.

2.3.3. Principales méthodes numériques de résolution des EDO

Les principales méthodes de résolution numérique des EDO sont séparées en deux

grands types :


• les méthodes à un pas :

Pour ces méthodes, le calcul de la valeur discrète �:O�au noeud �:O� fait intervenir

la valeur �: obtenue à l'abscisse précédente. Les principales méthodes sont :

- Méthodes d'Euler explicite et implicite

- Méthode de Taylor

- Méthode d'Euler amélioré

- Méthode d'Euler-Cauchy

- Méthode de Crank-Nicholson

- Méthodes de Runge et Kutta.

• les méthodes à pas multiples

Pour ces méthodes, le calcul de la valeur discrète �:O�au noeud �:O� fait intervenir

plusieurs valeurs �:; �:��; �:�9, … obtenues aux abscisses précédentes. Les

principales méthodes sont :

- Méthode de Nystrom ou saute-mouton

- Méthodes d'Adams-Bashforth-Moulton

- Méthodes de Gear.

2.3.4. Rappel sur le développement en série de Taylor

On a :

�� + ℎ� = �� + ℎ1! � ′�� + ℎ92! �"�� + ⋯�2.14� �� + ℎ� = �� + ℎ1! � ′��^____`____ab��.cd�efghchi

+ j�k�9�_ _aihhidhc′ghchi9 �2.15� La méthode classique permettant l’obtention d’expressions aux différences repose

sur la combinaison de divers développements en série de Taylor.

Ce mécanisme est général et il permet la construction d’un nombre varié de

formules.

Considérons la courbe ci-dessous et sa dérivée :


l�l�

au point d'abscisse x. Cette dérivée correspond à la tangente à la courbe au point

d'abscisse x.

Figure 1 : Interprétation géométrique

Par exemple, les développements en avant et en arrière autour d’un point m, pour

une fonction ��, peuvent s’écrire comme :

�KO� = �K + +�+� k� + +²�+�²

�k��92 +⋯+ +:�+�: �k��:>! �2.16�

�K�� = �K − +�+� k� + +²�+�²

k�²2 +⋯+ �−1�: +:�+�: �k��:>! �2.17�

Et à partir de ces séries, il est possible de déduire différentes formules qui

approximent des dérivées. Si on s’intéresse à la dérivée première, on trouve

facilement les trois relations suivantes : +�+� = �KO� − �Kk� + 0�k��2.18� +�+� = �K − �K��k� + 0�k��2.19� +�+� = �KO� − �K��2k� + 0�k�9��2.20� Les deux premières formules décentrées d’ordre 1, j�k��, sont obtenues

directement à partir des développements en avant et en arrière respectivement. La

�KO�

�K �K��

�K�� K �KO�

Approximation de la tangente

Tangente


troisième équation, est une expression centrée d’ordre 2, j�k�9�,qui provient de la

soustraction au deuxième développement du premier.

De la même manière, il est possible d’obtenir des expressions aux différences

complètement décentrées en plusieurs points au moyen du développement en série

de Taylor complètement à gauche ou complètement à droite, selon le cas. Ainsi, les

expansions :

�KO� = �K + +�+� k� + +²�+�²

�k��92 + +H�+�H �k��H6 + ⋯�2.21�

�KO9 = �K + +�+� �2k�� + +²�+�²

�2k��²2 + +H�+�H �2k��H6 + ⋯�2.22�

peuvent être considérées pour déduire une formule d’ordre deux pour la dérivée

première. Si on soustrait 1 2⁄ fois l’équation (2.21) à 2 fois l’équation (2.22) on

trouve :

2�KO� − 12�KO9 = 32 �K + k� +�+� + 0�k�H��2.23�

et finalement o�o% = −!�p + q�pO� − �pO��r% + s�%��2.24�

2.4. Méthodes à pas unique

La formulation générale des méthodes à un pas explicite est :

4 �-+t>>é�:O� = �: +v��:, �:, ℎ��2.25�

où la fonction v définit la méthode utilisée.

La formulation générale des méthodes à un pas implicite est :

4 �-+t>>é�:O� = �: +v��:, �:, �:O�, ℎ��2.26�


L'obtention de la solution à chaque abscisse nécessite la résolution d'une équation.

Ces méthodes sont obtenues en intégrant l'équation différentielle et en utilisant des

formules d'intégration numérique pour le second membre. L'ordre du schéma

est égal au degré du polynôme pour lequel l'intégration est exacte + 1.

2.4.1. La méthode de Taylor

Une manière simple de construire des méthodes à pas unique pour la résolution

d’une EDO scalaire �′ = ��, �� est le remplacement des dérivées dans le

développement de Taylor, c’est-à-dire en introduisant des expressions telles que : �′ = �" = w + x �′′′ = ww + 2wx + xw + xw + xx9 + x9

dans

�KO� = �K + ℎ +�+�yK + ℎ92 +²�+�²yK +⋯ℎ:>! +:�+�:yK.

Le choix du nombre de termes après �K permet la définition d’une grande famille de

méthodes avec un ordre de précision égal au nombre de termes employés.

La série de Taylor permet aussi la définition de l’ordre d’une méthode à un pas.

Plus précisément, on considère l’incrément absolu (exact) :

�KO� − �K = ℎ��, �� + ℎ92 ′ +⋯ℎ��! ��, �� + z�ℎ�O��2.27� et relatif

k��, �, ℎ� = ��, �� + ℎ2 ′ +⋯ℎ��! ��, �� + z�ℎ��2.28� et on approxime ce dernier par {��, �, ℎ�, c’est-à-dire :

|�%, �, }� = <�%, �� + }� <′ +⋯}��! <��%, ��2.29� On dit que la méthode définie par l’Eq. (2.29) est une méthode de Taylor

d’ordre p.


Algorithme : Méthode de Taylor d’ordre 2

1) Etant donné un pas d’abscisse ℎ, une condition initiale ��-, �-� et un nombre

maximale d’itérations N

2) Pour 0 ≤ > ≤ � :

�:O� = �: + ℎ��:, �:� + ℎ92 �l��:, �:�l� + l��:, �:�l� ��:, �:��

�:O� = �: + ℎ ��m�N�:O�N��:O� 3) Arrêt.

Exercice :

Résoudre (Programme en FORTRAN 90):

4�� = ��1� = 2

dont on connaît la solution exacte : �� = 2N$w��& 9⁄

On prendra ℎ = 0,5.

2.4.2. La méthode d’Euler

La méthode d’Euler est de loin la méthode la plus simple de résolution numérique

d’équations différentielles ordinaires. Elle possède une belle interprétation

géométrique et son emploi est facile. Toutefois, elle est relativement peu utilisée en

raison de sa faible précision. La méthode d’Euler existe sous forme explicite et

implicite.


Méthode explicite, d'ordre 1, dont l'algorithme est :

Algorithme : Méthode d’Euler explicite


maximal d’itérations N.

2) Pour 0 ≤ > ≤ � : �:O� = �: + ℎ��:, �:� �:O� = �: + ℎ ��m�N�:O�N��:O� 3) Arrêt.

Remarque :

La méthode peut s'interpréter de plusieurs manières :

1) Via les formules d'intégration numérique : la méthode est le résultat de

l'application de la formule des rectangles basée au point �:.

2) Géométriquement : la méthode revient à remplacer localement en chaque

point �: la courbe solution par sa tangente.

3) Via les développements de Taylor : la méthode provient du développement de

Taylor d'ordre 1 de la fonction y au voisinage de �:.

Exercice :

Ecrire un programme en FORTRAN 90 permettant de résoudre l’équation

différentielle par la méthode d’Euler explicite :

4�� = −�� + � + 1��0� = 1

On prendra ℎ = 0,1. On peut montrer que la solution analytique de cette équation différentielle est : � = N�w + �

Quel constat faîtes vous en prenant : ℎ = 0,05 puis ℎ = 0,025?


Méthode implicite, d'ordre 1, dont l'algorithme est :

Algorithme : Méthode d’Euler implicite



2) Pour 0 ≤ > ≤ � : �:O� = �: + ℎ��:O�, �:O�� :O� = �: + ℎ ��m�N�:O�N��:O� 3) Arrêt.

Exercice :


différentielle par la méthode d’Euler implicite :

4�� = −�� + � + 1��0� = 1



2.4.3. Méthode d'Euler améliorée

C’est une méthode explicite dont l'algorithme est :

Algorithme : Méthode d'Euler améliorée



2) Pour 0 ≤ > ≤ � :

�:O�∗ = �: + ℎ2 ��:, �:� �:O� = �: + ℎ ��: + ℎ2 , �:O�∗ � �:O� = �: + ℎ ��m�N�:O�, �:O�∗ N��:O�

3) Arrêt.


Géométriquement, la méthode consiste à remplacer dans la méthode d'Euler la

pente de la tangente en ��:, �:� par la valeur corrigée au milieu de l'intervalle 1�:; �:O�3.

Exercice :


différentielle par la méthode d’Euler améliorée :

4�� = −�� + � + 1��0� = 1



2.4.4. Méthode d'Euler-Cauchy

C’est une méthode explicite dont l'algorithme est :

Algorithme : Méthode d'Euler-Cauchy



2) Pour 0 ≤ > ≤ � : �:O�∗ = �: + ℎ��:, �:� �:O� = �: + ℎ2 1��:, �:� + ��:O�, �:O�∗ �3 �:O� = �: + ℎ ��m�N�:O�, �:O�∗ N��:O�

3) Arrêt.

Géométriquement, la méthode d'Euler-Cauchy consiste à remplacer dans la

méthode d'Euler la pente de la tangente en ��:, �:� par la moyenne de cette pente

avec la valeur corrigée en �:O�.


Exercice :


différentielle par la méthode d'Euler-Cauchy:

4�� = −�� + � + 1��0� = 1



2.4.5. Méthode de Crank-Nicholson

C’est une méthode implicite, d'ordre 2, dont l'algorithme est :



2) Pour 0 ≤ > ≤ � :

�:O� = �: + ℎ2 1��:, �:� + ��:O�, �:O��3 �:O� = �: + ℎ ��m�N�:O�N��:O� 3) Arrêt.

Elle est obtenue en utilisant la formule d'intégration numérique des trapèzes.

Exercice :


différentielle par la méthode de Crank-Nicholson:

4�� = −�� + � + 1��0� = 1




La prise en compte de plus de termes permet la définition de procédures de plus en

plus précises. Cependant, on doit évaluer des dérivées secondes, troisièmes, etc.

Afin de contourner cet inconvénient qui alourdit le calcul, on dispose des méthodes

de Runge-Kutta qui permettent d’obtenir une précision équivalente à celle des

formules de Taylor, mais d’une manière beaucoup plus efficace.

2.4.6. Méthodes de Runge – Kutta

Ce sont des méthodes d'ordre élevé, obtenues à partir des formules d'intégration

numérique plus précises que la formule des rectangles.

Essentiellement il s’agit de trouver une ou plusieurs équations à l’aide de formules

de récurrence : �KO� = �K + 2�� + 29�9 +⋯+ 2:�:�2.30� avec

�� = ℎ ��K + ��ℎ, �K +�*��,\��\�� \�� = 1,2…>�

où par définition

�- = 0N��*��,\�\ = 0��\�� t�� = 1

Les différences 2, � et* peuvent être obtenus en comparant l’expression (2.30) avec

certains termes des expansions en série de Taylor de � autour de �K. Par exemple

pour une méthode de Runge-Kutta d’ordre deux, les divers coefficients sont trouvés

en tenant compte de la série tronquée

�KO� = �K + ℎ�K′ + ℎ²�9"2 = �K + ℎK + ℎ92 �w + x�K�2.31�

ainsi que des expressions : �KO� = �K + 2�� + 29�9 �� = ℎ��K , �K�

�9 = ℎ��K + ��ℎ, �K + *��


Pour compléter la démarche on fait appel à un développement bidimensionnel de

Taylor pour �9.

Notamment :

�9 ≈ ℎ ��K, �K� + ��ℎ ll� + *�� ll�� Finalement, après remplacement et comparaison terme à terme, on arrive à : 2� + 29 = 1

29�� = 12

29*�� = 12

On a maintenant une famille de formules d’ordre deux. Si on choisit2� = 0, il vient

que 29 = 1,*�� = �9 , �� = �9 et on obtient la méthode implicite du point milieu , c’est-à-

dire :

�KO� = �K + �9 �� = ℎ��K , �K�

�9 = ℎ ��K + ℎ2 , �K + ��2 � Par contre, avec 2� = �9 on a : 29 = �9, *�� = 1, �� = 1 et on retrouve la méthode

trapézoïdale ou formule d’Euler modifiée, c'est-à-dire :

�KO� = �K + 12 �� + �9� �� = ℎ��K , �K�

�9 = ℎ��K + ℎ, �K + �� A partir de ces deux méthodes implicites, il est possible de construire des méthodes

explicites utilisant simplement la méthode d’Euler. En fait, pour la méthode du

point milieu, par exemple, on prédit d’abord la valeur de la fonction à la position � + �9 avec :


��KO�9 = �K + ℎ2��K, �K� et par la suite on effectue une correction selon

�KO� = �K + ℎ ��K + ℎ2 , ��KO�/9� Quoique simple, cette manipulation a une conséquence importante en ce qui

concerne l’erreur. En effet, la première étape produit une erreur de troncature

d’ordreℎ.

Cependant, on retrouve le terme ��KO�/9 implicitement dans ��K + �9 , ��KO�/9� qui est

multiplié par ℎ lorsqu’il est utilisé à l’étape de correction. Ainsi, la méthode du point

milieu explicite à deux étapes produit une erreur plus petite que celle de la méthode

d’Euler. Cette erreur est z�ℎ9�.

Tel que la méthode du point milieu, la méthode trapézoïdale est implicite puisqu’elle

requiert la connaissance de quantités inconnues à la position �K + ℎ. Pour obtenir

une méthode explicite (aussi d’ordre ℎ²) on utilise les formules :

��KO� = �K + ℎ��K , �K� �KO� = �K + ℎ2 $��K, �K� + ��K + ℎ, ��KO��&

Ces deux méthodes montrent l’idée générale des méthodes explicites de Runge-

Kutta, qui est l’obtention au moyen de plusieurs évaluations dans l’intervalle 1�m, �KO�3.

Parmi les différentes possibilités, la méthode d’ordre quatre est la plus répandue.

Elle peut être obtenue par le même principe que la méthode d’ordre inférieur, c’est-

à-dire à l’aide d’une approximation de Taylor. Dans ce cas, le développement mène

à un ensemble de 11 équations et 13 inconnues.


On surmonte le problème en choisissant deux variables. En plus de sa précision, la

popularité de cette méthode est due au rapport coût bénéfice.

En effet, pour une fonction d’ordre �, au- delà de l’ordre quatre, le nombre d’étapes � est plus grand que �.

Ceci est résumé par un théorème de J.C Butcher : pour � ≥ 5, il n’existe pas de

méthode explicite de Runge-Kutta avec s=p étapes.

La formule « classique » d’ordre 4 est la suivante :

�KO� = �K + 16 �� + 2�9 + 2�H + �� Avec

�� = ℎ��K, �K� �9 = ℎ ��K + ℎ2 , �K + ��2 � �H = ℎ ��K + ℎ2 , �K + �92 � �� = ℎ��K + ℎ, �K + �H�

Remarque : Les méthodes de Runge-Kutta peuvent être associées à la

quadrature numérique. Par exemple, l’intégrale :

�KO� − �K = � ��, ��+�w�� w�

peut être approximée en tenant compte de la fonction K, ce qui mène à la méthode

d’Euler explicite. Elle peut aussi être approximée à la position KO�, ce qui conduit à

la méthode d’Euler implicite. Finalement, on peut considérer une moyenne de ces

deux quantités, ce qui vient à considérer une quadrature selon la règle des

trapèzes. De la même manière, la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 peut être

regardée à partir de la formule de quadrature de Simpson :

�pO� − �p ≈ }¡ �<p + q<pO�� + <pO��


2.4.6.1. Formulation générale des méthodes de R-K

Pour un système EDO, �′�� = ��, ��, une méthode de Runge-Kutta à � étapes est

définie par les � + �formules :

¢\ = �K + ℎ � *\£<��K + �£ℎ¤£�� , ¢£�,¥ = 1,… ¦

�KO� = �K + ℎ�2\<��K +¤\�� \ℎ, ¢\��2.32�

Les ¦ premières formules, dites internes, sont des approximations de la solution

aux positions intermédiaires �K + �\ℎ. La dernière équation est dite externe et fournit

la valeur de la solution à la nouvelle position m + 1. Ces équations sont souvent utilisées sous une forme plus adéquate pour la

programmation des formes explicites. En particulier :

§\ = <��K + ��ℎ, �K + ℎ � *\£§£�,¥ = 1,… ¦¤£��

�KO� = �K + ℎ�2\§\¤

\�� 2.33�

Étant donné qu’une méthode de Runge-Kutta est complètement définie par ses *\£, �£, 2\, on a l’habitude de résumer la méthode par le tableau de Butcher ci-dessous :

�� *�� *�9 … *�¤ �9 *9� *99 … *9¤ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ �¤ *¤� *¤9 ⋯ *¤¤ 2� 29 ⋯ 2¤

où �K est choisi de sorte que :

�K = �*K�m = 1… ¦¤��


Pour alléger la nomenclature, le tableau de Butcher est représenté par un triplet �¨, 2, �� où ¨ est une matrice carrée de dimension ¦ × ¦ tandis que 2 et � sont des

vecteurs de dimensions �. Ainsi, on écrit tout simplement :

� ¨

2=

La méthode de Runge-Kutta est explicite si *K� = 0 pour � ≥ m, c'est-à-dire, si la

matrice ¨ est strictement triangulaire inférieure. Si *K� = 0 pour � > m (¨ est

triangulaire inférieure), la solution se ramène à calculer successivement � fois une

équation à une inconnue. La méthode de Runge-Kutta est dite alors diagonalement

implicite (DIRK). Dans le cas général on parle des méthodes de Runge-Kutta

implicites (IRK). Selon cette notation, par exemple, les méthodes explicites du point

milieu trapézoïdale se représente par :

0 0 0

1 0 1/2 ½

De la même manière, la méthode classique d’ordre quatre s’exprime par le tableau

suivant :

0 0 0 0 0 1/2 1/2 0 0 0 1/2 0 1/2 0 0 1 0 0 1 0

1/6 1/3 1/3 1/6

0 0 0

1/2 1/2 0 0 1


2.4.6.2. Collocation et Méthodes Implicites de Runge-Kutta

Bien qu’en générale les méthodes implicites sont plus lourdes que les méthodes

explicites, pour les problèmes très mal conditionnés (raides) ces dernières

pénalisent énormément le pas de discrétisation. Dans ce cas, il est donc préférable

d’utiliser des méthodes implicites.

Plusieurs méthodes implicites de Runge-Kutta ont été développées à travers la

quadrature numérique. Les plus importantes sont celles obtenues d’après la

quadrature de Gauss d’ordre 2¦, ¦ étant le nombre de points de collocation ;

quadrature de Radau d’odre 2¦ – 1, où inclut un des points au début ou à la fin de

l’intervalle et la quadrature de Lobatto, d’ordre 2¦ - 2, pour laquelle on considère

les deux points aux extrémités. On remarque que même si à première vue les

méthodes de Radau et de Lobatto semblent moins intéressantes puisque pour un

même ordre de précision demandent une ou deux évaluations de plus, en réalité

elles sont utilisées de la manière composée, donc avec un effort de calcul

comparable à celui requis par la quadrature de Gauss.

Avant de continuer le développement des méthodes implicites de Runge-Kutta, on

fera un court rappel sur la quadrature pour approximer une intégrale du type

« = � <�%�o%¬0

et de remplacer la fonction �� par un polynôme v�� et d’intégrer ce dernier de

manière exacte, S’il y a � points de collocation distincts, ce polynôme de degré �– �

peut s’écrire comme :

v�� =�$��&®�¤��

où �� indique les différents points de collocation et ®� des polynômes de base sous

la forme de Lagrange que l’on définit comme :


®� = ¯ �� − �K�� − �K�¤

K��

Ainsi :

° = � ��+� ≈±b � v��+� = � �$��&®�+�¤

��±b

±b

En introduisant la définition :

²� = � ®�+�±b

On obtient alors :

° = � ��+� ≈±b �²�$��&¤

��

Si par exemple on s’intéresse au cas ¦ = 1, il existe un seul polynômes de Lagrange

qui est simplement ® = 1, ce qui mène à : ²� = 2 − *

Ainsi, l’intégrale se réduit à :

° ≈ ²�� = �2 − *� �2 + *2 � Si on choisit maintenant des poids ²� et ²9 correspondant aux polynômes de

Lagrange de premier degré

®� = � − 2* − 2 N�®9 = � − *2 − * Dans l’intervalle 1*, 23, on trouve

²� = � � − 2* − 2 +� = �� − 2�92�* − 2�³b± = 12 �2 − *�±

b

Et de la même manière ²9 = �9 �2 − *�. Alors l’intégrale s’approxime selon :

° ≈ ²�� + ²99 = 2 − *2 $�*� + �2�&


2.4.6.3. Application de la quadrature

Pour les EDO, la quadrature se traduit par le choix d’une fonction (habituellement)

polynômiale v et d’imposer que cette fonction satisfasse les conditions du problème �′ = ��, �� aux points de collocation. Notamment :

v��K� = �K v′��K + �\ℎ� = $�K + �\ℎ, v��K + �\ℎ�&¥ = 1,… ¦�2.34�

Alors, la solution numérique est donnée par :

�KO� = v��KO��*Ń��KO� = �K + ℎ�2.35� Pour ¦ points distincts �0 ≤ �� < �9…�¤ ≤ 1� les équations de collocation �2.34� définissent une méthode implicite de Runge-Kutta à � étapes. Ceci à été démontré

par Gillou et Soulé de la manière suivante.

On définit ¶£ = v£′ ��K + �£ℎ� et on écrit v′��K + �ℎ� en utilisant une forme

polynômiale de Lagrange, c’est-à-dire :

v′��K + �ℎ� = ℎ � ®£�¤£�� K + �ℎ�§£

avec

®£�� = ¯ � − �\�£ − �\ 1 ≤ ¥ ≤ ¦¤·¸£

Par la suite, on intègre v′ par rapport à � entre �K et �\ = �K + �\ℎ �¥ = 1,… ¦� et entre �K et �KO� = �K + ℎ

v��K + �\ℎ� − v��K� = ℎ � ¹� ®£��+�º»- ¼¤

£�� §£�2.36� v��KO�� − v��K� = ℎ � ¹� ®£��+��

- ¼¤£�� §£�2.37�

Si on utilise les définitions :


*\£ = � ®£º»- ��+�2£ = � ®£�

- ��+�¥, ½ = 1,… , ¦

et qu’on substitue l’équation �2.37� dans �2.34�,on trouve les expressions connues

des formules de Runge-Kutta :

¶\ = v′��\� = ��\, v\� = ��\ , �K + ℎ � *\£¶£¤£�� ,¥ = 1,… , ¦

�KO� = �K + ℎ�2\¶\¤\��

Où on a utilisé la définition �\ = �K + �\ℎ. On note que dans le cadre des formules

implicites, on résout d’abord un système de ¦ équations à ¦ inconnues pour les ¶\ variables et par la suite on déduit �KO�. A titre d’exemple, on regarde le cas ¦ = 1 et �� = �9, pour un seul point de collocation

(de Gauss). Le calcul des coefficients est :

*�� = � 1+� = 12�9- 2� = � 1+� = 1�

-

On constate qu’on a retrouvé la méthode implicite du point milieu, qui selon la

nomenclature de Butcher s’écrit :

1/2 1/2

1

On refait maintenant le calcul avec un seul point de collocation, �� = 1, choisi à

l’extrémité droite.

Dans ce cas, il s’agit d’une quadratique de Radau pour laquelle le calcul est :

*�� = � 1+� = 1�- 2� = � 1+� = 1�

-

Ce résultat conduit à la méthode d’Euler implicite que l’on représente par :


1 1

1

Finalement, on regarde le cas avec ¦ = 2 où l’on choisit les points extrémités �� = 0

et �9 = 1, ce qui mène à une quadrature de Lobatto. Avec ces données, les

polynômes de Lagrange sont ®� = 1 − � ®9 = �. Après intégration, on retrouve la

méthode trapézoïdale implicite : 0 0 0 1 12 12

12 12

Remarque : Les coefficients des schémas de Runge-Kutta ont les propriétés :

� *\£ = �� ,�2\ = 1¤\��

¤£��

Résolution implicite

L’implémentation des méthodes de Runge-Kutta implicites est largement plus

exigeante que celles des méthodes explicites. Afin d’illustrer la difficulté, on

considère une méthode à deux étapes �m. N.¦ = 2 points de collocation� pour une

équation scalaire selon la formule �2.32�.

Alors, d’après les équations internes on a :

¾� = �K + ℎ*��K + ��ℎ, ¾�� + ℎ*�9��K + �9ℎ, ¾9� ¾9 = �K + ℎ*9��K + �9ℎ, ¾�� + ℎ*99��K + �9ℎ, ¾9�

On constate que les valeurs ¾� et ¾9 apparaissent dans les membres de gauche et

de droite des équations. Ainsi, leur calcul demande un processus itératif tel que la

méthode de Newton, par exemple. Dans ce cas on définit les fonctions :

�� = ¾� − �K − ℎ*��K + ��ℎ, ¾�� − ℎ*�9��K + �9ℎ, ¾9�


�9 = ¾9 − �K − ℎ*9��K + �9ℎ, ¾�� − ℎ*99��K + �9ℎ, ¾9� Et on calcule les éléments de la matrice Jacobienne,

¿À»¿ÁÂ �avec ¥, ½ = 1,2�, nécessaires pour la résolution de :

ÃÄÅ¢Ä = −#�¾Ä� ¢ÄO� = ¢Ä + Å¢Ä

où � denote un indice d’itération Å¢ = �Å¾�, Å¾9�= et # = ��, �9�=. Plus en détaille,

avec Ã\£ = ¿Æ»¿ÁÂ, cette équation s’écrit comme :

Ç1 − ℎ*��Ã�� −ℎ*�9Ã�9−ℎ*9�Ã9� 1 − ℎ*99Ã99È ÇÅ¾�Å¾9È = − Ç��9È Alors, pour chaque pas, ce système doit être résolu plusieurs fois pour ¾� et ¾9 avant

de calculer �KO�. Pour simplifier davantage on considère la méthode d’Euler implicite

appliquée à une seule équation. Alors, à partir de la formule : �KO� = �K + ℎ��KO�, �KO�� On définit la fonction : $�KO�Ä & = �KO�Ä − �K − ℎ��KO�, �KO�Ä � D’où l�\l� = 1 − ℎ ll�

Et d’après la méthode de Newton on écrit

�1 − ℎ ll��Å�KO� = −��KO�Ä � �KO�ÄO� = �KO�Ä + Å�KO�

De manière générale, à chaque itération de Newton on doit résoudre un système de

taille ¦ × ¦, avec ¦ le nombre d’étapes de la méthode de Runge-Kutta.

Une fois que la convergence est satisfaite, on applique :


�KO� = �K + ℎ� 2\<��Ä + �\ℎ, ¢\�.¤\��

Cette opération doit être répétée à chaque pas de temps.

2.4.6.4. Les algorithmes

Méthode de Range Kutta d’ordre 2

Une méthode explicite, d'ordre 2, peut être obtenue par l'utilisation de la formule

des trapèzes.

L'algorithme, noté RK2, s'écrit :

Algorithme : Méthode de Range-Kutta d’ordre 2



2) Pour 0 ≤ > ≤ � : �:O�∗ = �: + ℎ��:, �:� �:O� = �: + ℎ2 1��:, �:� + ��:O�, �:O�∗ �3 �:O� = �: + ℎ ��m�N�:O�, �:O�∗ N��:O�

3) Arrêt.

Exercice :


différentielle par la méthode de Range-Kutta d’ordre 2 :

4�� = −�� + � + 1��0� = 1


Quel constat faîtes vous en prenant : ℎ = 0,05 puis ℎ = 0,025? Une autre méthode de Range-Kutta d’ordre 2 qui est très utilisée est la méthode

du point milieu qui correspond au choix suivant des *K.


*� = 0;*9 = 1; *H = 12; *� = ��:, �:�2 En remplaçant ces valeurs des coefficients *K dans l’équation suivante : ��:O�� = ��:� + *�ℎ��:, �:� + *9ℎ��: + *Hℎ, �: + *�ℎ��2.38�

on obtient l’algorithme suivant :

Algorithme : Méthode du point milieu



2) Pour 0 ≤ > ≤ � : �� = ℎ��:, �:� �:O� = �: + ℎ Ç ��: + ℎ2 , �: + ��2 �È �:O� = �: + ℎ ��m�N�:O�N��:O�

3) Arrêt.

Exercice :


différentielle par la méthode du point milieu :

4�� = −�� + � + 1��0� = 1






2) Pour 0 ≤ > ≤ � : �� = ℎ��:, �:�


�9 = ℎ ��: + ℎ2 , �: + ��2 � �H = ℎ ��: + ℎ2 , �: + �92 � �� = ℎ��: + ℎ, �: + �H� �:O� = �: + 16 1�� + 2�9 + 2�H + ��3 �:O� = �: + ℎ ��m�N�:O�N��:O�

3) Arrêt.

Exercice :



4�� = −�� + � + 1��0� = 1


Quel constat faîtes vous en prenant : ℎ = 0,05 puis ℎ = 0,025? Méthodes de Runge - Kutta implicites ou méthodes de Radau

Des méthodes de Runge et Kutta implicites (ou méthodes de Radau) peuvent aussi

être construites à partir des techniques d'intégration numériques.

Une méthode implicite, d'ordre 3, peut être obtenue :




2) Pour 0 ≤ > ≤ � :

�� = ℎ ��: + ℎ3 , �: + ℎ12 �5�� − �9��


�9 = ℎ ��: + ℎ, �: + ℎ4 �3�� + �9�� :O� = �: + 14 �3�� + �9� �:O� = �: + ℎ ��m�N�:O�N��:O�

3) Arrêt.

Il est nécessaire de résoudre un système linéaire pour évaluer �� et �9.

Exercice :



4�� = −�� + � + 1��0� = 1



2.5. Méthodes à pas multiples

Pour le calcul d’une quantité �KO�, les formules à pas unique utilisent exclusivement

la valeur approchée �K de l’étape précédente. Par contre, l’utilisation de

l’information qui provient de plusieurs points �K��, �K�9… permet d’obtenir des

méthodes à un coût moins élevé ayant la même précision. Cependant le fait

d’utiliser plusieurs valeurs modifie la nature fondamentale d’un problème aux

conditions initiales ce qui entraine de l’instabilité et le besoin de formules de

démarrage.

Pour l’équation différentielle scalaire type �′ = ��, ��, la forme générale des

méthodes à pas multiples linéaires est donnée par :


�KO� = *£��K + *£�9�K�� +⋯*-�KO��£+ ℎ$2£��KO�, �KO�� + 2£��K, �K� + ⋯2-��KO��£, �KO��£�&�2.39� Lorsque 2£ = 0, la méthode est explicite ou ouverte.

Quand 2£ ≠ 0, la méthode est dite implicite ou fermée puisque �KO� apparaît

dans chaque membre de l’équation.

La famille d’équations la plus utilisée pour la résolution de problèmes non-raides

est sans doute celle de Adams. Essentiellement il existe deux types de méthodes :

celles de Adams-Bashforth (explicites) et d’Adams-Moulton (implicites). Ces deux

familles de méthodes peuvent être encore regardées sur la base de la série de

Taylor ou à travers une relation intégrale.

2.5.1. Méthodes d’Adams-Bashforth : formules ouvertes

Pour ces formules, un développement en série de Taylor autour de m donne :

�KO� = �K + ℎ +�+�yK + ℎ92 +9�+9�³K +⋯ℎ:>! +:�+:�yK Compte tenu de l’équation que l’on résout, soit

cxcw = ��, ��, on peut écrire l’équation

précédente comme :

�pO� = �p + }<p + }�� <p′ +⋯}ÉÉ! <pÉ�� Le nombre de termes que l’on retiendra permettra la définition de diverses formules

d’Adams. Par exemple, pour la formule d’ordre 2 cette équation devient :

�pO� = �p + }<p + }�� <p′ +⋯Ê�}!� Le terme K′est approchée par son homologue discret :

<p′ = <p − <p��} + Ê�}�. Cette équation introduite dans l’équation précédente donne :

�pO� = �p + }� �!<p − <p��


Ainsi, pour évaluer �KO� avec cette formule, il faut reconnaître K et K��. Il en résulte

donc que pour initier le processus il faut démarrer avec une autre méthode d’ordre

équivalent (ici d’ordre 2).

En utilisant le même principe, il est possible de trouver des formules d’ordre

supérieur.

La plus courante est celle d’ordre 4 où la fonction ��, �� est approximée par un

polynôme passant par les points ��K, K , … �K�H, K�H�. �pO� = �p + }�q �ËË<p − ËÌ<p�� + !Í<p�� − Ì<p�!��2.40�

En générale, on peut exprimer une formule de degré > + 1 selon l’expression :

�KO� = �K + ℎ�Î:ÄK�Ä + z�ℎ:O9�:Ä�- �2.41�

En résumé les formules d’Adams-Bashforth se présentent comme suit : �pO� = �p + }<pÏÐoÐÑ�

�pO� = �p + }� �!<p − <p��ÏÐoÐÑ�

�pO� = �p + }�� !<p − �¡<p�� + Ë<p��ÏÐoÐÑ!

�pO� = �p + }�q �ËË<p − ËÌ<p�� + !Í<p�� − Ì<p�!�ÏÐoÐÑq

Le tableau suivant donne des coefficients des méthodes d’Adams-Bashforth

jusqu’à l’ordre 6.

Ð Òs,Ð Ò�,Ð Ò�,Ð Ò!,Ð Òq,Ð ÒË,Ð 0 1 1 3/2 −1/2 2 23/12 −4/3 5/12 3 55/24 −59/24 37/24 −3/8 4 1901/720 −1387/36 109/30 −637/360 251/720 5 4277 1440⁄ −7923 1440⁄ 4991 720⁄ −3649 720⁄ 959/480 −95/288


2.5.2. Méthodes d’Adams-Moulton : formules fermées

Dans cette catégorie, les formules peuvent aussi être obtenues au moyen d’un

développement en série de Taylor, cette fois-ci en arrière :

�K = �KO� − ℎKO� + ℎ92 KO�′ − ℎH6 KO�" +⋯

c’est-à-dire :

�KO� = �K + ℎKO� − ℎ92 KO�′ + ℎH6 KO�" +⋯

A titre d’exemple, on voit que l’approximation :

KO�′ = KO� − Kℎ + Ó�ℎ� permet de retrouver la formule de la méthode d’Euler modifiée

�KO� = �K + ℎ92 �KO� + K� Les formules d’ordre supérieur peuvent être obtenues en prenant plus de termes

dans le développement en série de Taylor. Pour le cas particulier de l’ordre 4, on

trouve :

�pO� = �p + }�q �Ì<pO� + �Ì<p − Ë<p�� + <p�� Cette formule, qu’approxime la fonction ��, �� par un polynôme passant par les

points ��KO�, KO�, … �K�9, K�9�, est dite fermée ou implicite car la valeur �KO� dépend

elle-même de KO�. Tel que pour les méthodes ouvertes, les formules d’ordre > + 1

sont données par l’expression générale :

�KO� = �K + ℎ�ÎÔ:,ÄKO��Ä + z�ℎ:O9�:Ä�-

Le tableau suivant résume les coefficients pour les méthodes d’Adams-Moulton :

jusqu’à l’ordre 6.


� ÎÔ-,h ÎÔ�,h ÎÔ9,h ÎÔH,h ÎÔ�,h ÎÔÕ,h 0 1 1 1/2 ½ 2 5/12 2/3 −1/12 3 9/24 19/24 −5/24 1/24 4 251/720 646/720 −264/720 106/720 −19/720 5 475 1440⁄ 1427 1440⁄ −798 1140⁄ 482 1440⁄ −173/1440 27/1440

Puisque les méthodes implicites requièrent �KO� pour évaluer KO�, dans le cas

général ces méthodes demandent la résolution d’un système. Pour résoudre ce

problème, on peut utiliser une méthode itérative en employant une première valeur

estimée de �KO� qui permettra de connaître une première approximation pour KO�. Par la suite, on effectue une série de cycles jusqu’à ce qu’elle converge à une

précision voulue.

Notamment, à partir d’une valeur d’une valeur �KO��-� , on effectuera des itérations

pour l’équation :

�pO��Ö� = �p + }�Ò×s<pO��Ö�� + Ò×�<p +⋯Ò×Ð<p�ÐO�� jusqu’à la convergence. Afin d’abréger, on utilise une (bonne) valeur initiale pour les

itérations dans les formules d’Adams-Bashforth.

A partir des valeurs qu’elles fournissent (prédiction), on effectue quelques itérations

avec les formules fermées (correction).

Cette stratégie est connue sous le nom de méthode de prédicteur-correcteur.

Par exemple, la séquence à l’ordre 4 est formée par :

Prédicteur :

�KO�Ä�� = �K + ℎ24 �55K − 59K�� + 37K�9 − 9K�H� Correcteur

�KO�Ä = �K + ℎ24 $9KO�Ä�� + 19K − 5K�� + K�9&� = 1,2, …

Remarques

- Les coefficients des méthodes fermés sont plus petits, ce qui les rend plus

précis au niveau des erreurs d’arrondi.


- L’erreur de troncature des formules fermées est plus petite que celle des

formules ouvertes.

- Les formules d’Adams-Moulton sont en général plus stables que les formules

d’Adams-Bashforth.

- Pour démarrer, on a besoin des valeurs ��, �9, etc. Celles-ci peuvent être

calculées en utilisant une méthode de Runge-Kutta (d’ordre 4 par exemple)

- Les itérations du correcteur sont généralement arrêtées par une limite sur

l’erreur relative : � = Ø�KO�Ä − �KO�Ä��Ø/|�KO�Ä |. - En pratique deux ou trois itérations suffisent aux formules fermées

d’Adams-Moulton pour atteindre la précision recherchée. Pour le cas d’un

prédicteur-correcteur d’ordre 4, ceci veut dire de 3 à 4 évaluations (une pour

le prédicteur et 2 ou 3 pour le correcteur).

- En général, les méthodes d’Adams sont plus précises et plus stables que les

méthodes de Runge-Kutta. Cependant, les méthodes d’Adams exigent plus

d’espace pour ‘mémoriser’ la fonction en plusieurs points.

Pour terminer, on présente des tableaux classiques des formules d’Adams-

Bashforth et d’Adams-Moulton.

2.5.3. Méthode d’Adams et quadrature numérique

Tel que pour les méthodes de Runge-Kutta, les méthodes d’Adams peuvent être

conçues à partir de la quadrature numérique. En d’autre mots, on approxime la

fonction (�, �) dans l’intégrale :

�(%pO�) − �(%p) = � <(%, �)o�%p��

%p

par un polynôme qui tient compte de la valeur de la fonction à différentes positions

K�h où � est un entier positif correspondant à l’ordre du polynôme d’interpolation.

Alors la forme approchée est :

�pO� − �p = � Ùp(%)o%%p��

%p.


Tableau 1.1 : Méthodes de Adams-Bashforth

Ordre Méthode Erreur 1 �KO� = �K + ℎK 12 ℎ9�"�Ú� 2 �KO� = �K + ℎ2 �3K − K��

512 ℎH� ′′′�Ú� 3 �KO� = �K + ℎ12 �23K − 16K�� − 5K�9�

38 ℎ��Ú� 4 �KO� = �K + ℎ24 �55K − 59K�� + 37K�9 − 9K�H�

251720 ℎÕ��Õ��Ú�

Tableau 1.2 : Méthodes de Adams-Moulton

Ordre Méthode Erreur 1 �KO� = �K + ℎKO� −12ℎ9�"�Ú� 2 �KO� = �K + ℎ2 �KO� + K�

− 112 ℎH� ′′′�Ú� 3 �KO� = �K + ℎ12 �5KO� + 8K − K�� − 124 ℎ��Ú� 4 �KO� = �K + ℎ24 �9KO� + 19K − 5K�� + K�9� − 19720ℎÕ��Õ��Ú�

Pour les méthodes d’Adams-Bashforth, le polynôme d’interpolation peut s’écrire :

ÛK�h� = �K�Ä®K,Ä�h��hÄ�- *Ń�®K,Ä�h�� = ¯ $� − �K��&$�K�Ä − �K��&

h��-


où � identifie le polynôme de base Lagrange tandis que m fait référence au dernier

point de calcul des � + 1 considérés. Alors, lorsqu’on remplace l’expression du

polynôme dans l’intégrale on obtient :

�KO� − �K = �K�Ä� ®K,Ä�h��w�� w�

hÄ�- +�

Si on définit :

2K,Ä�h� = 1ℎ� ®K,Ä�h��w�� w� +�

où ℎ est considérée une constante, la méthode d’intégration d’Adams-Basforth à � + 1 pas s’écrit

�KO� = �K + ℎ�2K,Ä�h�K�ÄhÄ�-

On regarde maintenant l’exemple à 2 points aux positions −ℎ et 0. Dans ce cas, les

polynômes de base de Lagrange de degré 1 sont :

®K,-�� = −�ℎ N�®K,�� = � + ℎℎ

d’où

2K,-�� = 1ℎ� −�ℎ�- +� = −12 N�2K,�� = 1ℎ� � + ℎℎ�

- +� = 32

On retrouve alors la formule :

�pO� = �p + }� �!<p − <p�� Tel que pour les méthodes d’Adams-Bashforth, il est possible de trouver des

expressions semblables pour les méthodes d’Adams-Moulton. Pour ce faire, on

suppose connues comme précédemment les valeurs �K, K , K��…K�h et on colloque

maintenant un polynôme ÛK�hO�� de degré > + 1. Après un développement analogue à

celui décrit pour les méthodes explicites, on peut trouver

�KO� = �K + ℎ � 2ÜK,Ä�h�K�ÄhÄ��

où


2ÜK,Ä�h� = 1ℎ� ®K,ÄO��hO��w�� w� +�

Si on regarde encore l’exemple à 2 points −ℎ et 0, associées aux points m, m + 1, avec

les mêmes polynômes de base de Lagrange :

®K,-�� = −�ℎ

et

®K,�� = �� + ℎ�ℎ

et qu’on intègre entre −ℎ et 0, on a :

2ÜK,-�� = 1ℎ� −�ℎ-�� +� = 12 N�2ÜK,�� = 1ℎ� � + ℎℎ-

�� +� = 12

et on redécouvre la formule trapézoïdale

�pO� = �p + }� �<p + <pO�� 2.5.4. Résumé

La résolution numérique d’une équation différentielle de la forme �� = ��, �� dans l’intervalle 1m, m + 13 est faite par :

1. L’intégration

��KO�� − ��K� = � ��, ��+�w�� w�

2. L’approximation de ��, �� par un polynôme v��, �� exprimé selon la

forme de Lagrange

v�h�� = �Ä®Ä�h��hÄ�- *Ń�®Ä�h�� =¯ �� − �Ä�$�� − �Ä&

h��-

3. La combinaison de 1) et 2) pour obtenir :

�KO� = �K + ℎ�¹� ®Ä��+�w�� w� ¼ Ä h

Ä��

4. Si les Ä correspondent aux valeurs de la fonction en plusieurs

positions m + 1, m, m − 1,… on trouve les méthodes d’Adams. Si le calcul

inclut la valeur cherchée, m + 1, la méthode est dite implicite ou

d’Adams-Moulton, dans le cas contraire elle devient une méthode


explicite d’Adams-Bashforth.

5. Si lesÄ sont seulement choisis dans l’intervalle1m, m + 13, on a les

méthodes de Runge-Kutta. Parmi ces choix, on trouve des points de

Gauss dans l’intervalle 10,13 qui mènent à une méthode précise

d’ordre 2¦ avec ¦ le nombre de points d’intégration.

2.5.5. Les algorithmes

Méthode de Nystrom ou saute-mouton

Méthode à 2 pas dont l'algorithme est :

4�-+t>>é��*¥��¥é*Ń��>N½é�ℎt+Nà�>�*¦�:O� = �:�� + 2ℎ��:; �:�

Géométriquement : on considère la droite de pente ��:; �:� passant par le point ��:��; �:�� parallèle à la tangente passant par ��:; �:�. La valeur �:O� est

l'ordonnée du point de cette droite d'abscisse �:O�.

Méthode d'Adams-Bashforth à 2 pas, explicite, d'ordre 2 :

Þ �-+t>>é��*¥��¥é*Ń��>N½é�ℎt+Nà�>�*¦�:O� = �: +ℎ2 $3��:; �:� − ��:��; �:��&


Þ �-+t>>é��, �9�*¥��¥é¦*Ń��>N½é�ℎt+Nà�>�*¦�:O� = �: + ℎ12 $23��:; �:� − 16��:��; �:�� + 5��:�9; �:�9�&


Þ �-+t>>é��, �9, �H�*¥��¥é¦*Ń��>N½é�ℎt+Nà�>�*¦�:O� = �: + ℎ24 $55��:; �:� − 59��:��; �:�� + 37��:�9; �:�9� − 9��:�H; �:�H�&


Méthode d'Adams-Moulton à 1 pas, implicite, d'ordre 2 :

Þ�-+t>>é�:O� = �: + ℎ2 $��:; �:� + ��:O�; �:O��&


Þ�-+t>>é��*¥��¥é*Ń��>N½é�ℎt+Nà�>�*¦�:O� = �: + ℎ12 $5��:O�; �:O�� + 8��:; �:� − ��:��; �:��&


Þ�-+t>>é��, �9�*¥��¥é¦*Ń��>N½é�ℎt+Nà�>�*¦�:O� = �: + ℎ24 $9��:O�; �:O�� + 19��:; �:� − 5��:��; �:�� + ��:�9; �:�9�&

Pour rendre les méthodes d'Adams-Moulton explicite, on remplace le �:O� "gênant"

par son estimation par la méthode d'Adams-Bashforth.

Sont construits ainsi des schémas explicites dits prédicteur-correcteur.

Le schéma prédicteur-correcteur d'ordre 1 est :

Þ�-+t>>é�:O�∗ = �: + ℎ��:; �:��:O� = �: + ℎ��:O�; �:O�∗ �


��-+t>>é��*¥��¥é*Ń��>N½é�ℎt+Nà�>�*¦�:O�∗ = �: +ℎ2 $3��:; �:� − ��:��; �:��&�:O� = �: + ℎ2 $��:; �:� + ��:O�; �:O�∗ �&



�� -+t>>é��N��9�*¥��¥é¦*Ń��>N½é�ℎt+Nà�>�*¦�:O�∗ = �: + ℎ12 $23��:; �:� − 16��:��; �:�� + 5��:�9; �:�9�&�:O� = �: + ℎ12 $8��:; �:� − ��:��; �:�� + 5��:O�; �:O�∗ �&


�� -+t>>é��, �9, �H�*¥��¥é¦*Ń��>N½é�ℎt+Nà�>�*¦�:O�∗ = �: + ℎ24 $55��:; �:� − 59��:��; �:�� + 37��:�9; �:�9�& − 9��:�H; �:�H��:O� = �: + ℎ24 $9��:O�; �:O�∗ � + 19��:; �:� − 5��:��; �:�� + ��:�9; �:�9�&

Méthodes de Gear

Les méthodes de Gear ne sont pas construites à partir de techniques d'intégration

numérique mais directement à partir de polynôme d'interpolation passant par p

points ��KO�; �KO��, ��K; �K�,..., ��K��O�; �KO��.

Méthode de Gear à 2 pas, implicite, d'ordre 2 :

Þ�-+t>>é��*¥��¥é*Ń��>N½é�ℎt+Nà�>�*¦�:O� = 43 �: −13 �:�� + 2ℎ3 ��:O�; �:O��


Þ �-+t>>é��, �9�*¥��¥é¦*Ń��>N½é�ℎt+Nà�>�*¦�:O� = 1811 �: − 911 �:�� + 211�:�9 + 2ℎ11 ��:O�; �:O��



Þ �-+t>>é��, �9, �H�*¥��¥é¦*Ń��>N½é�ℎt+Nà�>�*¦�:O� = 4825 �: −3625 �:�� + 1625�:�9 − 325�:�H + 12ℎ25 ��:O�; �:O��

2.6. Stabilité

2.6.1. Une description simple

Malgré l’apparence logique et simple d’une équation discrète représentant une

équation différentielle, elle peut s’avérer inappropriée. Il est fondamental de

prendre conscience que lors d’une résolution itérative, tout problème est ramené à

un calcul évolutif et que pour qu’une solution ait un sens, il est indispensable que

les erreurs ne s’amplifient pas. Le problème de l’amplification des erreurs est

étudié à travers la stabilité.

Cette notion est facilement introduite à l’aide de la méthode d’Euler explicite

lorsqu’elle est appliquée à l’équation : +�+� = *�

��0� = �- dont la solution exacte est : �� = �-Nbß D’après la méthode d’Euler on trouve �ÄO� = �Ä + *�Äk� = �Ä�1 + *k�� c'est-à-dire �� = �-�1 + *k�� 9 = �-�1 + *k��9 ⋮ �Ä = �-�1 + *k��Ä

ou bien �Ä = �-àÄ*Ń�à = �1 + *k��.


La valeur de à, ou facteur d’amplification, contrôle la solution numérique. Si * > 0 et à > 1, la solution calculée croit avec le temps, et elle suit la solution analytique.

Dans ce cas, la valeur du pas k� n’influe que sur la précision des résultats. Lorsque * est négatif �* = −*� l’expression de à devient :

à = �1 − *k��. On peut maintenant distinguer trois situations possibles : à < −1, −1 ≤ à < 0N�0 < à < 1

a) Si à < −1, la formule �ÄO� = �-àÄ implique que la solution croit tout le temps,

et en plus, qu’elle oscille. Par exemple si à = −2, on aura �� = −2�- �9 = 4�- �H = −8�- ⋮

Il est évident que cette solution n’est pas bornée.

a) Si −1 ≤ à < 0 on a pour la borne inférieure −1 ≤ 1 − *∆� puis ∆� ≤ 2/*

Malgré que cette condition assure que la solution reste bornée, elle oscille encore.

Par exemple si à = −0.5 on obtiendra �� = −0.5�- �9 = 0.25�- �H = −0.125�- ⋮

Ainsi la solution numérique ne suit la solution analytique qu’une fois sur deux.

b) Si 0 ≤ à < 1 on a pour la borne inférieure

0 ≤ 1 − *∆� donc, ∆� ≤ 1/*


Cette dernière condition, plus restrictive que l’antérieure, assure que le schéma de

calcul est absolument stable ; la solution reste bornée, et sans osciller, elle

s’approche de la solution analytique. En d’autres mots, la méthode d’Euler est

absolument stable dans la région |à| = |1 + *ℎ| ≤ 1, qui est un cercle unitaire dans

le plan complexe centré en �−1,0�. Si cette condition n’est pas vérifiée, il est vain de

vouloir résoudre l’équation différentielle précédente par la méthode d’Euler.

Maintenant on va considérer la méthode d’Euler trapézoidale dont son application

conduit à l’expression :

�ÄO� = �Ä + *�Ä2 ∆� + *�ÄO�2 ∆� ou encore

�ÄO� = 1 + *�Ä∆�/21 − *�Ä∆�/2 �Ä

Si on considère que :

*�Ä2 ∆� = ´ + m²

avec ´ et ² comme étant des réels, le facteur d’amplification s’écrit :

|à| = á1 + *�Ä∆�21 − *�Ä∆�2 á = ³�1 + ´� + m²�1 − ´� − m²³ = ³1 + ´9 + ²9 + 2´1 + ´9 + ²9 − 2´³�/9 Par conséquent, si ´ < 0�* < 0�, la méthode d’Euler modifiée est fortement stable,

superstable ou A-Stable. On note que ceci n’implique pas la méthode est dépourvue

d’erreurs, sinon qu’elle permet le choix d’un pas de temps uniquement dictée par la

précision.

2.6.2. Un peu d’instabilité

A l’aide d’une équation modèle on a trouvé que certains schémas de calcul, tel que

la méthode d’Euler explicite, divergent si le pas de temps est trop grand.

Maintenant on regarde la stabilité même d’une équation différentielle.

On considère l’équation type �� = $�, ��, ��& et on ajoute une perturbation �â = � + Å.

A l’aide du développement de Taylor on peut écrire :


�â� = $�, ��, � + Å�& = $�, ��, ��& + Å ll�

Si on intègre chaque équation pour un intervalle de temps petit on peut écrire : �� + k�� ≃ � + ∆�$�, ��, ��&,�â�� + ∆�� ≃ �â + ∆�$�, ��, ��& + ∆�ÃÅ

Avec :

Ã = ll�

Alors, l’erreur devient :

∆�$�â�� + ∆�� − �� + ∆��& − Å = ÃÅ

Plus précisément, cette équation indique que l’amplification ou l’amortissement

d’une perturbation Å dans le temps dépend du Jacobien Ã. Retenons

Considérons un problème à la valeur initiale : �� = ��, �� ∈ 10; ä3N��0� = �-

Le Jacobien est :

Ã = ll�

Si Ã < 0, l’équation est stable et il existe un pas de discrétisation seuil ℎ£bw à partir

duquel une méthode explicite sera stable. On a :

ℎ£bw = 2½*�|Ã|

Si Ã > 0 l’équation est instable et les méthodes explicites sont instables quelque soit

le pas de discrétisation h. Les méthodes sont dites inconditionnellement instables.

Dans certains cas, le Jacobien J peut changer de signe. Le comportement de la

méthode est instable dans certains intervalles et stable dans d'autres.

Exemple :

Par exemple :


�� = −�� − 1��

Le Jacobien est :

ll� = �1 − �� Alors, elle est stable dans l’intervalle 1 ≤ � ≤ 2, mais instable dans l’intervalle 0 ≤ � ≤ 1.

Pour un système d’équations, le Jacobien est une matrice dont ses composantes

sont données par ¿Æ�¿xå. Maintenant la stabilité est donnée par le maximum de la

partie réelle des valeurs propres de J. Si toutes les valeurs propres ont une

partie réelle négative, le système d’équations différentielles est stable.

Par contre, si une ou plusieurs valeurs propres ont une partie réelle positive, le

système est instable.

D’où provient le critère de stabilité basé sur la partie réelle ? Une explication simple

peut être donnée à travers l’équation �� = æ� avec ��0� = 1, pour laquelle le jacobien

est Ã = æ et la solution � = Nçß. Si on considère cette dernière quantité comme étant

décrite dans le plan complexe, on a : æ = * + m2. Alors : Nçß = N�bOK±�ß = NbßNK±ß Nçß = Nçß��t¦�2�� + m ¦m>�2��

Donc, c’est le terme Nçß qui contrôle la stabilité puisque le module du terme entre

parenthèses ne peut pas dépasser l’unité.

Par la suite on regarde l’exemple très connu du problème du pendule pour illustrer

la notion de stabilité d’un système. Un des modèles mathématiques du pendule est

donné par l’équation (adimensionnelle) différentielle du second ordre :

Ó" = −2+ ∙ Ó′ − Ó

où Ó est l’angle entre la corde et la verticale et o un coefficient de dissipation ou

friction.

Si on définit �� = Ó et �9 = Ó′ on trouve le système :


�9� = −2+ ∙ �9 − �� = �9 Dont la matrice jacobienne est :

Ã = é 0 1−1 −2+ê Les valeurs propres sont données par l’équation |Ã − ë°|, soit :

ì−ë 1−1 −2+ − ëì = 0

D’où ë = −+ ± î+² − 1. Alors, si + > 0, les deux valeurs propres sont négatives et le

système est stable. Cependant, si + < 0, ce qui est une condition non physique,

conduit à un système instable.

2.6.3. Analyse de stabilité de la méthode d’Euler explicite

Soient �ÄO�i et �ÄO� les valeurs exactes et numériques au temps �ÄO� données par :

�ÄO�i = �Äi + ℎ�′Äi + ℎ92 �Ä" (Ú)

�ÄO� = �Ä + ℎ�Ä� Alors, si on introduit la définition �ÄO� = �ÄO�i − �ÄO� on a :

�ÄO� = �Äi − �Ä + ℎ$��Äi − �Ä� & +ℎ92 �Ä" (Ú)

= �Äi − �Ä + ℎ(Äi − Ä) + ℎ92 �Ä" (Ú)

= �Äi − �Ä + ℎ (Äi − Ä)

(�Äi − �Ä) (�Äi − �Ä) + ℎ

92 �Ä" (Ú)

= �Äi − �Ä + ℎ ll� (ð)(�Äi − �Ä) +ℎ92 �Ä" (Ú)

�ÄO� = Ç1 + ℎ ll� (ð)È (�Äi − �Ä) +ℎ92 �Ä" (Ú)

Ou encore :

�ÄO� ≃ Ç1 + ℎ ll� (ð)È �Ä


A partir de cette équation il est facile de conclure que pour empêcher l’amplification

des erreurs il faut respecter la condition :

y1 + ℎ ll�y < 1�2.42� Finalement, en remplaçant la définition de Ã on trouve que la condition de stabilité

pour une équation calculée selon la méthode explicite est :

−2 < ℎÃ < 0 �2.43� Pour le cas d’un système d’équations, la condition de stabilité �2.43� devient : ‖ ° + ℎÃ^à= ‖ < 1�2.44�Puisque le rayon spectral de la matrice ä, la valeur propre maximale en valeur

absolue, noté par ò�ä� est toujours inférieur à toute norme de la matrice, la

condition de stabilité s’écrit : ò�ä� < 1

Si cette condition est satisfaite, par définition, elle est aussi satisfaite pour toutes

les valeurs propres, couramment notés par le symbole ë. En générale, celles-ci

peuvent avoir une partie réelle et une partie imaginaire, alors on découvre une

région dans le plan complexe.

2.6.4. Analyse de stabilité de la méthode d’Euler implicite

Une analyse semblable permet de trouver l’expression suivante pour la propagation

de l’erreur lors de l’application de la méthode d’Euler implicite :

�ÄO� = �Ä�° − ℎÃ��2.45� Maintenant on constate que la condition

ó 1�° − ℎÃ�ó < 1�2.46�


est toujours satisfaite. Ainsi, la méthode numérique est inconditionnellement stable.

Cependant, il faut noter que si Ã > 0 on retrouve l’instabilité, cette fois-ci causée par

l’équation et non par la méthode numérique.

2.6.5. Région de stabilité des méthodes de Runge-Kutta

Pour l’équation : +�+� = *�

la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 devient : �� = ℎ��K, �K� = *ℎ�K �9 = ℎ ��K + ℎ2 , �K + ��2 � = *ℎ �1 + 12*ℎ� �K �H = ℎ ��K + ℎ2 , �K + �92 � = *ℎ ¹1 + 12*ℎ �1 + 12*ℎ�¼�K �� = ℎ��K + ℎ, �K + �H� = *ℎ �1 + 12*ℎ ¹1 + 12*ℎ �1 + 12*ℎ�¼��K Donc

ôpO� = �� + 0} + �� 0}�� + �¡ �0}�! + ��q �0}�q�ôp Dans ce cas, la région de superstabilité ou de stabilité absolue est définie par la

condition :

³1 + õ + õ92 + õH6 + õ�24³ < 1

où õ = *ℎ. Afin de retrouver une interprétation géométrique à la stabilité, on

considère õ comme une variable complexe telle que :

³1 + õ + õ92 + õH6 + õ�24³ = ÚNKöÚ ≤ 10 ≤ Ó ≤ 2÷

La valeur Ú = 1 identifie la frontière de la région de stabilité qui est normalement

une courbe fermée. Cette façon de trouver la limite de la région de stabilité peut se

résumer pour des méthodes de Runge-Kutta d’ordre > en résolvant l’équation :

1 − NKö +�õÄ�! = 0:Ä��


2.6.6. Contrôle de l’erreur

Idéalement, on voudrait connaître l’erreur globale d’une solution numérique afin de

vérifier si elle répond à une précision spécifiée au préalable. C’est ainsi qu’à une

position �K , on désire borner cette erreur exprimée par la différence entre la solution

exacte ��K� et la valeur calculée �K, c’est-à-dire �ø = ��K� − �K Mais la solution exacte ��K�n’est pas connue. On peut donc, seulement chercher à

estimer cette erreur. Malheuresement ceci est assez compliqué. On contrôle l’erreur

locale, à chaque itération, ce qui permettra de contrôler l’erreur globale.

Le calcul de l’erreur locale, demande la prise en compte de tous les termes que l’on

a négligé en prenant une série tronquée. Evidemment ce calcul n’est pas possible,

même avec l’expression de Taylor pour le résidu, c’est-à-dire :

�KO� = �K + ℎ�K� + ℎ92 �K" +⋯ ℎùO�� + 1�! �:O��Ú� Le terme ℎú = �û� �ùO��!�ùO��Ú�, qui représente l’erreur locale de troncature, est

exprimée en fonction de Ú avec �K ≤ Ú ≤ �KO�, mais on ignore la position de Ú.

Cependant, un estimé de l’erreur peut être obtenu en comparant la solution obtenue

par deux méthodes de précision différentes.

Soit, localement, ü��KO�� la solution exacte de l’équation : +�+� = ��, �� à la position �KO�. Cette solution peut être exprimée par

ü��KO�� = �K + ℎ��K , �K� + ℎú où �K, indique la solution à la position �K, ℎ le pas, ��K, �K� une fonction dépendante

de la méthode choisie, et ℎú l’erreur locale de troncature de la méthode. Puisque �KO�, la valeur numérique qu’approche ü��KO��, est donnée par :

�KO� = �K + ℎ��K, �K� On déduit


ℎú = ü��KO�� − �KO��2.47� Exprimons maintenant la valeur ü��KO�� en fonction d’une deuxième méthode �â, plus précise que �

ü��KO�� = �K + ℎ�â��K , �K� + ℎú où ℎú dénote l’erreur locale de troncature associée à cette deuxième méthode. Dans

ce cas nous avons une valeur �âKO�, différente de �KO� qu’estime ü��KO�� par : �âKO� = �K + ℎ�â��K, �K� Donc ℎú = ü��KO�� − �âKO��2.48� En soustrayant l’équation �2.48� de l’équation �2.47� on obtient : ℎú − ℎú = �âKO� − �KO� Puisque �âKO� est calculé avec une méthode plus précise que celle pour �KO�, l’erreur

de troncature ℎú est plus petite que ℎú. Si on néglige ℎú par rapport à ℎú on trouve ℎú ≈ �âKO� − �KO� ou bien

ú = ��âKO� − �KO��ℎ �2.49� Ce résultat indique que si l’on connaît des valeurs numériques�KO� et�âKO�, calculées

par deux méthodes différentes, nous sommes en mesure d’estimer l’erreur. Mais

notre objectif n’est pas simplement de la connaître, mais de la contrôler au travers

du pas ℎ. Pour ce faire, on compare l’erreur locale donnée par :

ℎú = ℎùO�� + 1�! �ùO��Ú� que l’on exprime par ú ≈ ¶ℎù

Avec celui donnée par l’équation �2.49� en même temps qu’on introduit un coefficient

de sécurité þ (lequel on multiple ℎ). De cette sorte,

ú ≈ ¶ℎù ≈ ¶�þℎ�ù = ¶þùℎù = þùú = þù ��âKO� − �KO��ℎ Finalement, en imposant une tolérance � pour cette quantité de manière que :

³þù��âKO� − �KO��ℎ ³ ≤ � on arrive à :


þ ≤ � �ℎK|�âKO� − �KO�|��ù

où �âKO� et �KO� représentent les résultats fournis par les deux méthodes, avec �âKO� plus précis que �KO�, ℎK le pas à la ième itération, � l’ordre de la méthode la moins

précise, � un paramètre de tolérance qui borne l’erreur, et þ le coefficient par lequel

on doit multiplier le pas ℎK.

2.6.7. Méthodes emboîtées : Runge-Kutta-Fehlberg

Pour diminuer le coût du calcul de |�âKO� − �KO�| on a développé des méthodes Runge-

Kutta emboitées dont l’idée fondamentale est le partage de quelques étapes de

calcul (les �K). En d’autres termes, il s’agit de trouver une méthode d’ordre � + 1

avec une formule d’ordre � intégré. Une des méthodes la plus connue est celle de

Fehlberg dans laquelle on propose l’utilisation de méthodes d’ordre 4 et 5 pour

obtenir une méthode à pas variable avec contrôle de l’erreur. Ces méthodes sont :

�KO� = �K + ℎ � 25216¶� + 14082565¶H + 21974104¶� − 15¶Õ��2.50� �âKO� = �K + ℎ � 16135¶� + 665612825¶H + 2856156430¶� − 950¶Õ + 255¶��2.51�

Pour lesquelles : ¶� = ��K, �K� ¶9 = ��K + ℎ4 , �K + ℎ4¶�� ¶H = ��K + 3ℎ8 , �K + ℎ � 332¶� + 932¶9��

¶� = ��K + 12ℎ13 , �K + ℎ �19322197¶� − 72002197¶9 + 72962197¶H�� ¶Õ = ��K + ℎ, �K + ℎ �439216¶� − 8¶9 + 3680513 ¶H − 8454104¶��

¶� = ��K + ℎ2 , �K + ℎ �− 827¶� + 2¶9 − 35442565¶H + 18594104¶� − 1140¶Õ��


Dans ce cas on peut vérifier que :

�âKO� − �KO�ℎ = 1360¶� − 1284275¶H − 219775240¶� + 150¶Õ + 255¶��2.52� Le pas optimal þℎ est calculé en multipliant le paramètre þ par le pas ℎ, avec þ

donné par :

þ = 0.84 ∗ Ç �ℎ|�âKO� − �KO�|È-.9Õ �2.52� On note que l’utilisation de cette méthode demande seulement l’évaluation de six

coefficients ¶ au lieu de dix si on utilisait deux méthodes séparées d’ordre 4 et 5,

quatre pour la méthode d’ordre 4 et 6 pour celle à l’ordre 5.

Quelques pas de l’algorithme :

- A partir d’un point ��K , �K� et avec un ℎ-, on calcule |xâ�� x�� |� selon l’équation �2.52�

- On teste la condition |xâ�� x�� |� ≤ �, et si elle s’avère correcte, on calcule �KO�

d’après �2.50� et on continue. Dans le cas contraire on évalue þ suivant

l’équation �2.52� et on pose ℎ� = þℎ-. Cette valeur ℎ� est employée pour la

prochaine étape.

Contraintes additionnelles

1. 0.1ℎ- ≤ ℎ� ≤ 5ℎ-. Cette condition a été ajoutée afin d’éviter une oscillation exagérée des pas ℎ.

2. ℎ£K: ≤ ℎ� ≤ ℎ£bw

Si ℎ� > ℎ£bw. On pose ℎ� = ℎ£bw. Ceci parce que par définition, la méthode

suppose déjà un « petit » ℎ.

Si ℎ� < ℎ£bw l’algorithme a failli à sa tâche et on arrête. Si la procédure ne

peut suivre la solution qu’avec un très petit pas, on doit analyser le problème

plus profondément.


2.6.8. Equations raides

Bien que la taille du pas de discrétisation ne devrait être donnée que par

l’exactitude voulue, elle doit aussi respecter le critère de stabilité, et dans certaines

situations la grandeur requise par la stabilité dépasse largement celle imposée par

la précision. Dans ce cas, un problème à valeurs initiales est défini comme étant

raide. Autrement, pour une méthode explicite :

Un problème aux valeurs initiales dans un intervalle 10, ¬3 est dit raide si le

pas nécessaire pour garantir la stabilité est beaucoup plus petit que celui

requis pour représenter la solution avec suffisamment de précision.

Dans la communauté scientifique, on reconnaît un problème raide par la présence

d’échelles de temps multiples. En particulier, on dit qu’un problème est raide si les

échelles de temps ou d’abscisse sont très variées et si le phénomène est stable

dans le rang des échelles les plus rapides.

2.7. Problème aux conditions aux limites

La méthode de TIR consiste à remplacer le problème de conditions aux limites par

un problème de conditions initiales. Les conditions aux limites qui ne sont pas des

conditions initiales ne peuvent se concevoir que pour des équations différentielles

d'ordre au moins égal à 2, ou pour les systèmes d'équations différentielles du 1er

ordre.

Soit l'équation différentielle du second ordre suivante :

Contrairement à un problème aux conditions initiales, pour un problème aux

valeurs aux frontières la fonction doit vérifier des conditions à plus d’un point. Pour

une équation différentielle d’ordre >, ou pour un système de > équations du 1ih ordre, la solution comprend É paramètres et donc É conditions frontières.


L’exemple le plus simple est celui d’une équation d’ordre deux où des conditions

sur la variable dépendante sont spécifiées aux deux extrémités de l’intervalle 1*, 23, c’est-à-dire pour le problème défini par :

+9�+�9 = ��, �� +�+� + þ��, �� + ��, ��2.52� �$��*�, ��*�& = ´�ℎ$��2�, ��2�& = ´9�2.53�

Deux méthodes seront considérées pour traiter ce type de problème : les méthodes

de tir et les méthodes aux différences finies.

2.7.1. Méthode de tir : cas linéaire

En premier lieu, on considère le problème linéaire dans l’intervalle 1*, 23, décrit par :

+9�+�9 = �� +�+� + þ�� + �� *� + �9��*� = æ�H��2� + ��2� = Î

Si ��, þ�� et �� sont continues, il existe une solution unique �� donnée par : �� = �� + ��9�� où �� et �9�� sont des solutions qui dépendent des conditions aux frontières et �

est une constante arbitraire.

Conditions ��0� = ��, ��¬� = �� Pour ce cas, il existe une solution unique �� dans l’intervalle 1*, 23 du problème

aux valeurs initiales : +9��+�9 = �� +��+� + þ�� + �� *� = ´��*� = 0

et une solution unique �9�� dans l’intervalle 1*, 23 du problème aux valeurs

initiales : +9�9+�9 = �� +�9+� + þ��9 �9�*� = 0�9��*� = 1


On note que puisque ��*� = ´�et �9�*� = 0, la solution donnée par : �� = �� + ��9�� est satisfaite pour toute constante � en ce point.

Afin de satisfaire la deuxième condition frontière, on doit choisir � de telle façon

que : ��2� = ��2� + ��9�2� = ´9 Lorsque �9�2� ≠ 0, alors � est définie par :

� = ´9 − ��2��9�2�

Si �9�2� = 0, on a deux cas. Si ��2� = ´9 il existe toujours une solution pour une

constante �, si ��2� ≠ ´9, aucune valeur de � vérifie l’équation à la frontière 2. Donc, le problème n’a pas de solution.

Conditions �0� = �� , ��¬� + ��¬� = �� Tel que précédemment, il existe une solution unique �� dans l’intervalle 1*, 23 du

problème aux valeurs initiales : +9��+�9 = �� +��+� + þ�� + �� *� = ´��*� = 0


initiales : +9�9+�9 = �� +�9+� + þ��9 �9�*� = 0�9��*� = 1

Encore, si ��, þ�� et �� sont continues, la solution unique �� est donnée par la

combinaison : �� = �� + ��9�� Les conditions aux frontières ��*� = ´� et �9�*� = 0, permettent de trouver une

solution ��*� pour toute constante �. Pour trouver la valeur de � qui satisfait la

condition frontière à l’extrémité 2, on remplace les valeurs calculées de ��2� = ´� et �9�2� = 0 dans la condition ��2� + �9�9�2� = ´9, ce qui donne :


��2� + ��9��2�^____`____ax��±� + �9 1��2� + ��9�2�3^____`____ax��±� = ´9

Si �9��2�+�9�9�2� ≠ 0, alors � est donnée par :

� = ´9 − 1��2� + �9��2�3�9��2� + �9�9�2�

Quand �9��2� + �9�9�2� = 0 et si ��2� + �9��2� = ´9, toute constante � satisfait le

problème et il y aura une infinité de solutions.

Par contre, si �9��2� + �9�9�2� = 0 et ��2� + �9��2� ≠ ´9, il n’existe aucune solution

au problème aux valeurs aux frontières.

Conditions ��0� + ��0� = �� , ��¬� + ��¬� = �� Pour ce cas, il existe aussi une solution unique �� dans l’intervalle 1*, 23 du

problème aux valeurs initiales :

+9��+�9 = �� +��+� + þ�� + �� *� = 0��*� = ´�


initiales : +9�9+�9 = �� +�9+� + þ��9 �9�*� = 1�9��*� = −�� qui mènent à une solution �� donnée par �� = �� + ��9��. Les conditions pour ��*� = 0, ��*� = ´�, �9�*� = 1 et �9��*� = −��, assurent que la

solution ��*� = ��*� + ��9�*� respecte la condition frontière ��*� + ��*� = ´� pour

toute valeur de �. Pour la frontière en � = 2, l’analyse conduit aux mêmes résultats

que le cas antérieur.


Exercice 1

Un fluide à hautes température et pression circule dans une conduite métallique.

Pour supporter les conditions d’opération, les parois de la conduite sont très

épaisses, car on y observe un important transfert thermique. La température T

dans la paroi vérifie l’équation différentielle : +9ä+�9 + 1� +ä+� = 0

où � est la distance radiale.

Sur la paroi intérieure en � = 1�½, la température est celle du fluide, soit 100°�

tandis que la paroi externe en � = 2�½ est maintenue à la température ambiante

soit 20°�.

Résoudre numériquement ce problème.

Exercice 2

Une tige métallique de diamètre � = 0,02½ et de longueur ® = 0,05½ est exposée à

l’air ambiant à une température äY = 20°�. La première extrémité de la tige est

maintenue à ä- = 320°� tandis que l’autre extrémité est supposée parfaitement

isolée, c'est-à-dire qu’il n’y a aucun flux de chaleur à cette extrémité ou encore que : ä��®� = 0. L’équation différentielle régissant la température ä�� dans la tige est de la forme : Ó"�� = �9Ó�� où Ó�� = ä�� − äY et :

�9 = 4Î��

Î désigne un coefficient de transfert de chaleur avec le milieu ambiant et Î = 100 ∙ °�� ∙ ½�9et � = 50 ∙ °�� ∙ ½�� est la conductivité thermique.

Résoudre ce problème.

2.7.2. Méthode de tir : cas des équations non linéaires

Pour le problème : �" = ��, �, �′� �$��*�, ��*�& = ´�ℎ$��2�, ��2�& = ´9


La solution peut être trouvée à l’aide de la méthode suivante :

• on résout le problème �" = ��, �, �′� avec les conditions « initiales »

��*� = ´��*� = 0

• on résout le problème �" = ��, �, �′� avec les conditions « initiales »

�9�*� = ´��9��*� = 1

En général, la solution de ces deux problèmes fournira des valeurs ¾±��, ¾±�9� en � = 2 qui seront différentes de �- (la condition aux limites). Afin de corriger « l’angle

de tir », soit �Ä� �*�, • on considère la résolution successive de l’équation non linéaire :

�$��*�& = ¾±�Ä�$�±� �*�& − �± = 0

pour � = 3,4… etc.

Cette opération vise l’obtention de valeurs de ¾±�Ä� de plus en plus proches de �±. Il

est pratique courante d’aborder la résolution au moyen de la méthode de la

sécante. En particulier, si on appelle Ä aux valeurs de �Ä� �*� et �Ä aux valeurs

correspondantes de ¾±�Ä�, la méthode de la sécante s’écrit :

ÄO9 = �ÄO�Ä − �ÄÄO��ÄO� − �Ä = ��ÄO� − �±�Ä − ��Ä − �±�ÄO��ÄO� − �Ä

Cette formule itérative aussi peut s’écrire comme :

�Ä� �*� = �Ä�9� �*� + 1�Ä�� *� − �Ä�9� �*�3�´9 − ℎ$�Ä�9�2�, �Ä�9� �2�& éℎ��Ä��2�, �Ä�� 2�� − ℎ��Ä�9�2�, �Ä�9� �2��ê

pour � = 3,4….

où on résout à chaque fois le problème �" = ��, �, �′� avec la nouvelle condition �Ä� �*� et �Ä�*� = ´�.


- on continue jusqu’à ce que la valeur de �Ä�2� entre deux itérations

successives soit suffisamment proche.

Autre formulation

Soit à résoudre l’équation différentielle : �� = $�, ��, ��&�2.54�

On distinguera deux types de conditions aux limites, complétant ainsi le problème

(2.54).

Dans le premier cas, la condition aux limites en � = 2 porte sur la fonction �� : ��*� = �b N��2� = �±�2.55�

tandis que dans le deuxième cas, la condition aux limites est sur la dérivée �� ∶ ��*� = �b N��′�2� = �±� �2.56�

Ces 2 cas résulteront en des algorithmes légèrement différents, mais l’idée de base

est toujours la même. De toute évidence, le problème linéaire déjà étudié en est un

cas particulier.

Tout comme dans le cas linéaire, nous allons utiliser des problèmes intermédiaires

bien choisis mais avec des conditions initiales. Par contre, puisque le problème est

non linéaire, il ne suffira pas de résoudre seulement deux problèmes

intermédiaires.

Considérons pour ce faire le problème intermédiaire suivant avec conditions

initiales :

Þ��" �� = ��, ��, �� *� = �b�� *� = Î �2.57�

L’équation (2.57) se ramène à un système de deux équations d’ordre 1 en posant : �� = ��,��N�� = ��,9�� On a :


Þ��,�� = ��,9��,��*� = �b��,9� �� = ��, ��,��, ��,9��,9�*� = Î�2.58�

Condition : ��*� = �bN��2� = �±

L’idée est de trouver la bonne valeur de Î de sorte que ��2� = �±, ce qui revient à

déterminer l’angle de tir en � = * permettant d’atteindre la cible �± en � = 2. On

constate alors que cela revient à résoudre l’équation non linéaire de la variable Î : �Î� = ��2� − �± =��,��2� − �± = 0.�2.39� Condition : ��*� = �bN��′�2� = �±� On résout de manière similaire l’équation non linéaire : �Î� = �� 2� − �±� =��,9�2� − �±� = 0.�2.40�

L’évaluation de la fonction �Î� s’effectue par étapes :

- pour une valeur de Î donnée

- on résout le système (2.58) (par une méthode de Runge Kutta)

- Si les conditions aux limites sont de type ��*� = �b N��2� = �±, alors �Î� = ��,��2� − �± et si les conditions sont de type ��*� = �b N��′�2� = �±� alors on a : �Î� = ��,9�2� − �±�

On peut dès lors appliquer les méthodes de la sécante et de la bissection.

Algorithme de la sécante

1. Pour Î- et Î� données

2. Pour > ≥ 1 :

Î:O� = Î: − �Î:� �Î: − Î:��$�Î:� − �Î:��& Algorithme de la bissection

1. Pour Î- et Î� donnés et vérifiant �Î-��Î�� < 0

2. On pose

Î£ = Î- + Î�2


3. On choisit entre les intervalles 1Î-, Î£3 et 1Î£, Î�3 celui où il y a changement de

signe de la fonction �Î� 4. On recommence le processus avec le nouvel intervalle

Remarque

Le choix de Î- et Î� pour les méthodes de la bissection et de la sécante est toujours

délicat. Dans le cas des conditions aux limites de type ��*� = �bN��2� = �± une

valeur approximative de Î- est :

Î- = �± − �b2 − *

Ce qui correspond à calculer la pente de la droite passant par les points �*, �b� et �2, �±�. Pour des conditions aux limites de la forme ��*� = �bN��′�2� = �±� , on

prendra simplement Î- = �±� , ce qui signifie que l’on utilise la pente de la droite de

pente �±� et passant par �*, �b�. Une fois Î- convenablement choisi, on détermine Î� pour la méthode de la

bissection de sorte que la fonction �Î� change de signe dans l’intervalle 1Î-, Î�3. Enfin, pour la méthode de la sécante, on peut prendre par exemple Î� = 1,001Î-. Rappelons que les valeurs suggérées de Î- et Î� ne fonctionnent pas toujours et que

rien ne garantit la convergence des méthodes de bissection et de la sécante.

2.7.3. Méthode de tir : système d’équations linéaires

On décrit maintenant la méthode de tir pour le système d’équations de premier

ordre : �� = ¨�� + Ð�� b��*� + �±��2� = Ò�2.54�

où �± ,�b et ¨ sont des matrices tandis que ��, �, Ð��, ��*�, ��2�, Ò représentent des

vecteurs.

La solution du système précédent est donnée par l’expression :

� = ¾�� + ��2.55�


où ¾�� (une matrice) est une solution fondamentale, � est un vecteur constant et � une solution particulière. La solution fondamentale ¾�� est celle du système : ¢� = ¨��¢ ¢�*� = «�2.56� La solution particulière est déterminée par la solution du problème aux valeurs

initiales

�� = ��%��+ Ð�� 0� = ��2.57�

avec � un vecteur quelconque, souvent � = s.

Alors, pour trouver la solution du problème �2.54� donnée par �2.55� on doit d’abord

résoudre > colonnes, chacune représentant un système de > équations

différentielles pour ¾�� 2.56� et une colonne �2.57� de > équations différentielles

pour le vecteur �. En plus, l’application de �2.55� demande la connaissance du

vecteur �. D’une manière semblable à celle développée pour une seule équation, on

remplace la formule �2.55� dans l’expression �2.54� pour la condition aux frontières.

Ceci conduit à : Î = �b$¾�*�� + ��*�& + �±$¾�2�� + ��2�& = $�b + �±¾�2�&� + �b��*� + �±��¬�

On constate facilement que le calcul de � implique la résolution du système de É équations :

$�b + �±¢�2�&� = Ò − �b��*� + �±��¬��2.58� En résumé, les étapes nécessaires pour la résolution du système ��. Ëq� sont

les suivantes :

1. Résolution des équations ��. Ë¡� et ��. ËÍ�. Ceci fournit ¢�¬� et ��¬� 2. Calcul de � en résolvant le système ��. Ë�� 3. Calcul de ��0� = � + ��0� ��. ËË� 4. Résolution du système ��. Ëq� avec la nouvelle condition ��0�.


On signale que même si le calcul de �� est donné de manière explicite par �2.55�, on n’utilise pas cette formule puisqu’elle exige le stockage d’une matrice ¾�� pour

chaque point de discrétisation ! En plus, on note que le calcul de ¦ ��þ. 2.58� seulement demande la connaissance de ¾�*� = °, ¾�2�, ��*� = æ et de ��2�. Donc,

ces quantités sont stockées seulement aux extrémités * et 2 de l’intervalle de calcul.

Parmi les techniques de résolution des systèmes d’équations différentielles, nous

allons présenter la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4.

La forme générale d’un système d’équations différentielles avec conditions initiales

s’écrit :

�� = �$�, ��, �9��,⋯ , �£��&$��-� = ��,-&�9�� = 9$�, ��, �9��,⋯ , �£��&$�9��-� = �9,-&�H�� = H$�, ��, �9��,⋯ , �£��&$�H��-� = �H,-&⋮�£� �� = £$�, ��, �9��,⋯ , �£��&$�£��-� = �£,-&

�2.59�

On note �K��:�, la valeur exacte de la mi variable dépendante en � = �: et �K,: son

approximation numérique.


Algorithme : Méthode de Runge-Kutta d’ordre 4

1. Etant donné un pas d’abscisse ou de temps ℎ et un nombre d’itérations N.

2. Etant données des conditions initiales $�-, ��,-, �9,-, ⋯ , �£,-& 3. Pour 0 ≤ > ≤ � :

Pour m = 1, 2, 3,⋯ ,½ : �K,� = ℎK$�:, ��,:, �9,:, ⋯ , �£,:& Pour m = 1, 2, 3,⋯ ,½ :

�K,9 = ℎK ��: + ℎ2 , ��,: + ��,�2 , �9,: + �9,�2 ,⋯ , �£,: + �£,�2 � Pour m = 1, 2, 3,⋯ ,½ :

�K,H = ℎK ��: + ℎ2 , ��,: + ��,92 , �9,: + �9,92 ,⋯ , �£,: + �£,92 � Pour m = 1, 2, 3,⋯ ,½ : �K,� = ℎK$�: + ℎ, ��,: + ��,H, �9,: + �9,H,⋯ , �£,: + �£,H& Pour m = 1, 2, 3,⋯ ,½ :

�K,:O� = �K,: + 16 $�K,� + 2�K,9 + 2�K,H + �K,�& �:O� = �: + ℎ

Ecrire �:O� et �K,:O� pour m = 1, 2, 3,⋯ ,½

4. Arrêt.

Exercice :

Considérons le problème suivant :

� ∶ ��+9�+�9 + *�� +�+� + 2�� + �� = 0��-� = æ��-� = Î

qui peut s’écrire encore :

�� +9�+�9 = −*�� +�+� − 2�� − ��-� = æ��-� = Î


En posant :

��?�� = +�+��, �, ?� = ?��, �, ?� = −*�� +�+� − 2�� − ��

Le système S peut être éclaté en deux sous-systèmes S1 et S2.

Þ+�+� = ��, �, ?��-� = Î et Þ

+?+� = 9��, �, ?�?��-� = ��-� = æ

On peut remarquer que les deux systèmes précédents sont liés et on ne peut donc

pas les résoudre séparément. Au cours d’une même itération, on calculera zn et yn.


Algorithme 1. Etant donné un pas h, une condition initiale (t0,y0,z0 ) et un nombre N de subdivision,

2. � ← �0 � ← �0 ? ← ?0 ��m�N�, �

3. Pour n de 1 à N, effectuer //=== On calcule les coefficients K==== ¶11 ← .��, �, ?� ¶21 ← .9��, �, ?� ¶12 ← .� �� , �9 , � , ��9 , ? , �9�9 � ¶22 ← .9 �� , �9 , � , ��9 , ? , �9�9 � ¶13 ← .� �� , �9 , � , ��99 , ? , �999 � ¶23 ← .9 �� , �9 , � , ��99 , ? , �999 � ¶14 ← .�� , ., � , ¶13, ? , ¶23� ¶24 ← .9�� , ., � , ¶13, ? , ¶23� //=== On calcule ensuite zn et yn==== ? ← ? , �

� �¶21 , 2¶22 , 2¶23 , ¶24� � ← � , �� ¶11 , 2¶12 , 2¶13 , ¶14� � ← � , .

Ecrire t,y Fin Pour

4. Arrêt Exemple

Soit à résoudre le problème

On peut définir les fonctions f1(t,y,z)= z et f2(t,y,z)=-4y+t2-1 ¶11 � . ∗ ? ¶21 � . ∗ ��4 ∗ � , �9 � 1� ¶12 � . ∗ �? , ¶21/2� ¶22 � . ∗ ��4 ∗ �� , ¶11/2� , �� , ./2�9 � 1� ¶13 � . ∗ �? , ¶22/2� ¶23 � . ∗ ��4 ∗ �� , ¶12/2� , �� , ./2�9 � 1� ¶14 � . ∗ �? , ¶23� ¶24 � . ∗ ��4 ∗ �� , ¶13� , �� , .�9 � 1�


Alors, On obtient le programme suivant : C ========================================================= C Ce programme effectue la résolution C numérique d'un système d'équations C différentielles d'ordre 2 C =========================================================

implicit none real*8 h,t,y,z,K11,K12 ,K13,K14,K21,K22,K23,K24 integer N, i parameter (N=2000, h=0.01) ! Ici on définit le nombre d’itérations et le pas

C---------------------------------------------------------------------------------- C -------------------- Initialisations et unités logiques --------------------

y=.0d0 z=.0d0 t=.0d0 open(1,file='T', access='sequential', status='unknown') write(1,*) t, y do i=1,N

C ===== Détermination de zn et yn=============== ¶11 = ℎ ∗ ? K21 = h ∗ �−4.0d0 ∗ y + t ∗∗ 2 − 1.0d0� K12 = h ∗ �z + K21/2� K22 = h ∗ �−4.0d0 ∗ �y + K11/2� + �t + h/2� ∗∗ 2 − 1.0d0� K13 = h ∗ �z + K22/2� K23 = h ∗ �−4.0d0 ∗ �y + K12/2� + �t + h/2� ∗∗ 2 − 1.0d0� K14 = h ∗ �z + K23� ¶24 = ℎ ∗ �−4.0+0 ∗ �� + ¶13� + �t + h� ∗∗ 2 − 1.0d0� ? = ? + �¶21 + 2. +0 ∗ ¶22 + 2.0+0 ∗ ¶23 + ¶24�/6.0+0 � = � + �¶11 + 2. +0 ∗ ¶12 + 2.0+0 ∗ ¶13 + ¶14�/6.0+0 � = � + ℎ write(1,*) t, y enddo close(1) end

2.7.4. Méthode aux différences finies : cas linéaire

Cette méthode consiste à remplacer le problème différentiel �2.53� par un problème

algébrique approximatif. La démarche comprend deux étapes :

- La discrétisation des équations.

- La résolution du système algébrique résultant

On considère l’intervalle [*, 2] ou l’espace est discrétisé en > + 1 éléments (réguliers)

de taille ℎ.


. � 2 � *> , 1

et on remplace les dérivées par des approximations discrètes. Un choix classique

pour la première et la deuxième dérivée est :

�� ≈ �KO� − �K��2ℎ ,�" ≈ �KO� � 2�K + �K��ℎ9 Alors, au point intérieur m, l’équation différentielle type

®�� " , ��, ��′ + þ��, �� = ��, �� *� = æ��2� � Î

devient

�KO� � 2�K + �K��ℎ9 + �KO� − �K��2ℎ ��K� + �Kþ��K� = ��K� et après regroupement, on obtient :

�1 − ℎ2 �K� �K�� + �ℎ9þK − 2��K + �1 + ℎ2 �K� �KO� = ℎ9�K

ou encore de façon plus compacte

*K�K�� + 2K�K + �K�KO� = +K où les coefficients *K, 2K, �K et +K sont données par les expressions :

*K � 1 − ℎ2 �K,2K � .9 � þK �K � 1 + ℎ2 +K � .9�K

Cette équation écrite pour chaque nœud m donne lieu à un système matriciel : ¨� � o

ou plus en détail


*� ABBC2� ��*9 29 �9⋮*: 2:DE

EF ! ABBBBC�-��9⋮�:�:O�DE

EEEF� G+�+9⋮+:I

Le système comprend > , 2 inconnus et > équations de m = 1 jusqu’à m = >. On

complète avec les conditions aux frontières.

2.7.5. Conditions aux frontières

Conditions de Dirichlet

Dans ce cas, il s’agit de valeurs connues aux frontières m = 0 et m = > + 1. Alors, on

modifie les équations :

- pour m = 1

2�� + ��9 = �� − *��- = +�

- pour m = > *:�:�� + 2:�: = �: − �:�:O� = +:

Et le système à résoudre prend la forme :

"2� �� ⋮*: 2:# $��⋮�:% = $+�⋮+:

% Conditions de Neumann

Avec ce nom, on identifie le cas où l’on connaît la valeur de la dérivée de la variable

à l’étude. Soit

�� = æ �:� = Î

Pour obtenir une discrétisation consistante, on doit approximer les dérivées aux

frontières au même ordre que dans le reste du domaine. Donc, dans le cas présent,

par des approximations à l’ordre deux, typiquement par :

�9 − �-2ℎ = æ �:O� − �:��2ℎ = Î


L’incorporation de cette information peut se faire de manière explicite ou implicite.

Dans le premier cas, on ajoute ces équations dans le système. Notamment :

ABBBC�1/2ℎ 1/2ℎ*� 2� ��⋮*: 2: �:−1/2ℎ 1/2ℎDE

EEF

ABBBC �-��⋮�:�:O�DE

EEF =

ABBBC æ+�⋮+:Î DE

EEF

La deuxième approche consiste à modifier la première et la dernière équation en

substituant l’expression pour �- et �:O� en fonction de �9 et �:��, respectivement.

Dans ce cas, le système :

"2� *� + �� ⋮*: + �: 2:# $��⋮�:% = $+� + *�2æℎ⋮+: − �:2Îℎ%

A cause de l’ordre naturel choisi pour la numérotation et que dans chaque équation

il ait seulement trois inconnues, le système a une structure tridiagonale. D’habitude

on résout ce genre de problème avec l’algorithme de Gauss-Thomas. Un résumé de

la méthode est donné à la fin de ce document.

Conditions mixtes ou de Robin

Pour l’équation de deuxième ordre à l’étude, la forme la plus générale des

conditions aux frontières s’écrit comme suit :

´-�� − ´�� = æ²-�: , ²��:� = ÎTel que pour les conditions de Neumann, les dérivées aux frontières doivent être

représentées par des approximations du même ordre que dans le reste du domaine.

Alors, on utilise :

�� = �9 − �-2ℎ �:� = �:O� − �:��2ℎ

Une fois qu’on introduit ces approximations aux frontières, on trouve :

´-�� − ´� �9 − �-2ℎ = æ


²-�: , ²� �:O� � �:��2ℎ = Î

D’où

�- = �9 + 2ℎ � æ� − ´-´� ��

�:O� = �:�� + 2ℎ � Î²� − ²-²� �:�. Lorsqu’on substitue ces expressions explicites pour �- et �:O� dans la 1èhi et >Kè£i

équation on élimine les points en dehors du domaine. Par exemple, l’équation pour

le nœud m = 1 devient :

�2� − 2ℎ*� ´-´�� + �*� + ��9 = +� − 2*�ℎ æ�

2.7.6. Méthode aux différences finies : cas non linéaire

La méthode aux différences peut aussi être appliquée pour résoudre des équations

non linéaires du type :

+9�+�9 = ��, �� +�+� + þ��, �� + ��, �� $��*�, ��2�& = 0

Tel que précédemment, avec l’introduction des expressions aux différences, ou

ramène cette expression à la forme :

K = �1 − ℎ2 �K��K, �K�� :�� + �ℎ9þK��K, �K� − 2��K + �1 + ℎ2 �K��K, �K�� KO� − ℎ9�K��K, �K� = 0

Pour l’ensemble d’inconnus �K, pour m = 2, >, nous avons le système non-linéaire :

�� =�� -, ��, �9� = 0⋮K��K��, �K, �KO�� = 0⋮:��:��, �:, �:O�� = 0


A cause de la non-linéarité, on doit aborder ce système par itération. Si on choisit la

méthode de Newton comme technique de résolution, le calcul de la matrice

jacobienne Ã est nécessaire. Cependant, la forme de celle-ci est simple, parce que

chaque fonction K, n’est fonction que des variables �K�� et �KO� et lK/l�\ = 0 pour

¥ ≠ m − 1, m, m + 1, ce qui donne lieu à une matrice tridiagonale. A différence d’une

équation linéaire où l’on résout qu’une seule fois un système tridiagonal, nous

devrons maintenant résoudre plusieurs fois un système tridiagonal avec une

matrice Ã dont les coefficients varient d’itération en itération. Notamment :

ÃÄÅ�Ä = −��Ä� � � 1 …

�ÄO� � �Ä , Å�Ä

Ã �ABBBBBBBCl�l�� l�l�9⋱ ⋱ ⋱lKl�K�� lKl�K lKl�KO�⋱l:l�:�� l:l�:DE

EEEEEEF

Si on utilise la nomenclature- � ��-, �:�, pour définir les conditions aux frontières

discrètes, la matrice Jacobienne incluant ces conditions devient :

� =

ABBBBBBBBBC l�l�- ⋱ ⋱ l��l�:l�l��

l�l�9⋱ ⋱ ⋱lKl�K��lKl�K

lKl�KO�⋱l�l�:��l�l�:DE

EEEEEEEEF

Une méthode plus simple de linéarisation, mais moins efficace, est obtenue si on

résout de manière itérative le système d’équations algébrique ou les coefficients

des inconnues �K�� et �KO� sont évalues à l’itération précédente. En d’autres mots,

ils sont « gelés » à chaque étape de calcul.


2.7.7. Systèmes tridiagonal et pentadiagonal

Fréquemment la matrice d’un système linéaire ¨� � 2 possède une structure bande.

Si on note par þ la largeur de la demi-bande supérieure et � la largeur de la demi-

bande inférieure, la matrice est caractérisée par *K� � 0 partout ou � > m + þ et

m > � + �

Un cas particulier de ce type de matrice est constitué par celle ou les demi-bandes �

et þ sont égales. Dans plusieurs applications, par exemple lors de la résolution des

équations aux dérivées partielles, des matrices tridiagonales et pentadiagonales

avec une ou deux diagonales de chaque côté de la diagonale principale, doivent

être résolues.

Afin d’obtenir des procédures efficaces pour aborder de tels systèmes, la structure

de leur matrices doit être considéré avec attention. Dans un premier temps nous

allons examiner des procédures provenant de la méthode de Gauss et, par suite,

des techniques suivant une décomposition ®ü.

2.7.7.1. Méthode de Gauss-Thomas

Inspiré de l’élimination gaussienne pour une matrice pleine, cet algorithme réduit la

matrice de départ à une matrice bande supérieure, avec une mise à l’échelle

adéquate pour rendre le terme sur la diagonale égale à l’unité.

Considérons d’abord le cas simple d’un système tridiagonal représenté par :

ABBBC2� ��*9 29 �9⋱ ⋱ ⋱*:�� 2:�� :��*: 2: DE

EEF

ABBBC ��9⋮�:��: DE

EEF

ABBBC +�+9⋮+:��+: DE

EEF

Voyons maintenant l’élimination sous la forme proposée par Thomas. D’abord on

divise la première équation par 2� définissant ainsi :

2�� = 1, �� = ��2� , +�� = +�/��

Et le système prend la forme :


ABBBC 1 ��*9 29 �9⋱ ⋱ ⋱*:�� 2:�� :��*: 2: DE

EEF

ABBBC ��9⋮�:��: DE

EEF =

ABBBC +��+9⋮+:��+: DE

EEF

Maintenant l’élimination du terme *9 implique :

29 = 29 − *9�� +9 = +9 − *9+��

et

�9 = �9

La mise à l’échelle de la nouvelle deuxième équation par 29 mène aux expressions :

29� = 1

�9� = �929 = �929 − *9��

+9 = +929 = +9 − *9+��29 − *9��

En général, les coefficients pour la mè£i équation sont :

2K = 1

�K� = �K2K − *K�K��

+K� = +K − *K+K��2K − *K�K��

et le système transformé a la forme :

ABBBBBBC

1 ��1 �9�. .. .. .. .. �:��1 DEEEEEEF

ABBBBBBC��9..�K..�:DE

EEEEEF

=ABBBBBBC+��+9�..+K�..+:� DE

EEEEEF


Pour compléter la résolution on doit procéder à la remontée. Celle-ci est

extrêmement simple. En effet :

�: � +:N� �K � +K � �KO��K�; m � > � 1,1

Il est à noter que lors de calculs successifs avec une même matrice tridiagonale, il

pourrait être intéressant de l’inverser et de ramener les calculs au simple produit

de la matrice inverse fois un vecteur. Cependant l’algorithme de Thomas demande

à peine quelques opérations de plus que cette multiplication. Signalons en passant

que lorsque le terme |2K − *K�K�� | est petit, des erreurs d’arrondissement importantes

peuvent se propager au cours de l’élimination.

L’algorithme précédent peut être facilement généralisé au traitement d’un système

pentadiagonal, avec l’inclusion d’un pas additionnel. Notons ce système par :

ABBBBBBBC2� �� *9 29 �9 9NH *H 2H �H H. . . .NK *K 2K �K K. . . .Nù�� *ù�� 2ù�� ù��Nù *ù 2ù DE

EEEEEEF

ABBBBBBC��...�K..�ùDE

EEEEEF

=ABBBBBBC+�...+K..+ùDE

EEEEEF

Maintenant la première étape consistera en l’élimination des termesNK. Ceci conduit

au système :

ABBBBBBBC2′� �′� ′�*′9 2′9 �′9 ′9N′H *′H 2′H �′H ′H. . . .*′K 2′K �′K ′K. . . .N′ù�� *′ù�� 2′ù�� ′ù��N′ù *′ù 2′ù DE

EEEEEEF

ABBBBBBC��...�K..�ùDE

EEEEEF

=ABBBBBBC

+��+9�..+K�..+ù� DEEEEEEF

Avec

2′� = 2�, �′� = ��, ′� = �, +�� = +�

2′9 = 29, �′9 = �9, ′9 = 9, +9� = +9

et


*′K = *K − NK2�K��*�K�� ,2′K = 2K − NK��K��*�K�� ,�′K = �K − NK�K��*�K�� ,′K = K ,+K� = +K − NK+�K��*�K�� ,(�

��)��*

m ≥ 3.

Les étapes suivantes sont essentiellement les mêmes que celle précédemment

employées pour une tridiagonale. C’est-à-dire, d’abord une mise à l’échelle par 2K et

par la suite l’élimination des *K. Le système résultant de ces opérations à la forme :

ABBBBBBBC 1 ��" "�1 �9" "9. . .. . .1 �K" "K. .1 �:��"1 DE

EEEEEEF

ABBBBBBC��9..�K..�:DE

EEEEEF

=ABBBBBBBC+�"+9"..+K"..+:" DE

EEEEEEF

Avec : �"K � �� /2��, "K � ��/2��, +K" � ��/2′�, et

�"K � ��K − *�KK��"2′K − *�K��:��","K � K�2�K − *�K��:��" ,+K" � +�K − *�K+K��"2′K − *�K��:��" (��

�)��*

m ≥ 2.

La résolution de ce système transformé demande une substitution à rebours. Celle-

ci est résumée par l’expression


�K � +K" � �"K�KO� � K"�KO9

2.7.7.2. Décomposition LU pour une matrice tridiagonale

Pour ce type de matrice la décomposition LU devient assez simple. Nous allons

d’abord regarder la variante de Crout. Celle-ci donnera comme résultat des

matrices L et U bandes avec deux diagonales chacune, mais par construction, la

matrice U aura des 1 sur la diagonale principale. Si on regarde la structure de cette

décomposition. ¨ � ®ü,

ABBBBBC2� ��*9 29 �9. .. .. .. .*: 2:DE

EEEEF�ABBBBBBC¥�¥9 ¥9¥H ¥H. .. .. .¥: ¥:DE

EEEEEF

ABBBBBC 1 �9. .. .1 �H. .. �:1 DE

EEEEF

On peut immédiatement s’apercevoir que les éléments ¥K, de la sous-diagonale de ®

correspondent aux éléments *K, de la matrice ¨. Par suite il n’est pas difficile de

vérifier que les éléments restants seront obtenues d’après :

¥� = 2�

m = 2, >

�K = �K��/¥K��

�K = 2K − *K�K Si on note par ¨� = + le problème à étudier, les substitutions en avant et en arrière

pour compléter la résolution, seront aussi très simples, en effet :

Pour ®� = +

�K = +�/¥�

m = 2, >

�K = +K − *K�K��/¥K


Pour ü� � �

�: � �:

m � > � 1,1

�K = �K − �KO� + �KO�

Suivant une procédure équivalente on peut obtenir la décomposition ®ü de Doolittle,

notamment :

ABBBBBC2� ��*9 29 �9. .. .. .. .*: 2:DE

EEEEF

=ABBBBBC 1¥9 1. .. .. .. .¥: 1 DE

EEEEF

ABBBBBC�� â��9 �â9. .. .. .. .�:DE

EEEEF

Maintenant et d’une manière analogue à la méthode de Crout, les éléments �âK de la

super diagonale de ü correspondent aux éléments �K des matrices. Par la suite,

l’application des produits alternés d’une colonne par des lignes et vice-versa,

permet le calcul des �K et ¥K. Ainsi l’algorithme de décomposition est :

�� = 2�

m = 2, >

¥K = *K/�K��

�K = 2K − ¥K�K��

Finalement, on complète la résolution par ®x = +

�� = ¥�

m = 2, >

�K = +K − ¥K�K��

Et ü� = �

�: = �:/�:

m = > − 1,1

�K = ��K − �K�KO��/�K

Documents

Résolution numérique des Equations différentielles 1e Partie