IFT.M.01/83

SUPER-SIMETRIAIntrodução pelo formalismo dos Super-Campos

Mario Goto*

* Instituição de origem: Departamento de Física do Centro de Ciências Exatas da Fundação Universidade Estadual de Londrina/PARANÁ (em licença de Doutoramento pelo programa PICD/CAPES).

Conteúdo

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 - Transformações de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1 - Grupo de Poincaré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 - Álgebra de Lie graduada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 - Super-campos e Transformações de Supersimetria . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1 - Super-translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 - Supersimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 - Super-campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 - Álgebra da Supersimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 - Projeção Chiral dos Super-campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1 - Derivada Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 - Super-campos Chirais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 - Super-campos Espinoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 - Lagrangeanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1 - Modelo de Wess-Zumino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2 - Modelo de Wess-Zumino extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 - Formalismo de Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.1 - Grupo Abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2 - Generalização (Grupo Abeliano) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.3 - Lagrangeana no Gauge de Wess-Zumino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.4 - Grupo Não Abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6 - Modelo SU(3)XSU(2)XU(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Apêndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

A1 - Métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

A2 - Matrizes de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

A3 - Identidade de Fierz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

A4 - Derivada Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

A5 - Produto de Super-campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

A6 - Correntes Conservadas em Teorias de Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

A7 - Quebra Espontânea de Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

3

4

IntroduçãoEste trabalho pretende ser uma primeira introdução formal à supersime-

tria, através do formalismo dos supercampos desenvolvido por A. Salam eJ. Strathdee. A supersimetria é uma extensão do Grupo de Poincaré, unifi-cando partículas de spin inteiro (bósons) e semi-inteiro (férmions), realizadoatravés de cargas fermiônicas, anticomutantes, que definem a "graduação"da álgebra de Lie do Grupo de Poincaré.Na secção II faz-se uma breve revisão do Grupo de Poincaré e a con-

strução das representações do mesmo, com uma pequena referência à ál-gebra de Lie graduada. Na seccção III introduz-se os supercampos comofunções definidas sobre um superespaço, sobre o qual define-se a transfor-mação de supersimetria. Em IV procede-se à decomposição chiral dos su-percampos que dão as representações irredutíveis da supersimetria. Em V,a construções das lagrangeanas supersimétricas passo a passo, o formalismode gauge introduzido na secção VI e, finalmente, na secção VII apresenta-se um modelo supersimétrico mínimo baseado no grupo de simetria internaSU(3)× SU(2)× U(1).

Agradecimentos ao Professor orientador A. H. Zimerman.

Observação:Material re-editado com pequenas alterações, em 2006.

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1 Transformações de Poincaré[1,2]

Para o estudo de um sistema físico é necessário fixar um sistema de referênciaque, a menos da conveniência do observador, é completamente arbitrário. Éintuitivo que, devido a esta arbitrariedade, as leis físicas não devem dependerde um referencial em particular, isto é, todos os sistemas de referenciais sãoabsolutamente equivalentes do ponto de vista da natureza.Em relação ao espaço-tempo, esta arbitrariedade é devido ao fato de

não se poder localizar nenhum ponto ou orientação privilegiados que possamidentificar um referencial absoluto. O espaço é uniforme, isto é, homogêneoe isotrópico. A homogeneidade implica na invariança das leis da naturezapor translação espacial e a isotropia, a invariança por rotação. A homogenei-dade temporal implica na invariança por "translação" temporal, sinônimo dearbitrariedade na escolha da origem do tempo.Além da equivalência dos referenciais transladados e ou rotacionados en-

tre si, há uma outra classe de transformações de simetria que relacionam osreferenciais inerciais movendo-se uniformemente uns em relação aos outros,através das transformações de Galileu na física newtoniana e das transfor-mações de Lorentz na física einsteniana.Na relatividade einsteniana, fixo um referencial, define-se o espaço-tempo

de Minkowski cujas coordenadas (contra-variantes)

(xµ) = (x0, xi) = (x0, x1, x2, x3) (1)

representam eventos localizados no espaço com coordenadas (x1 = x, x2 =y, x3 = z) e no tempo no instante x0 = ct.As transformações de Lorentz atuam sobre as coordenadas como

x0µ = Λµνx

ν, (2)

com a condição de que a métrica

s2 = xµxµ = (ct)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2 (3)

seja invariante, isto é,

x0µx0µ = gµλΛ

λκx

κΛµνx

ν = gµλΛλκΛ

µνx

κxν = xνxν, (4)

e portantogµλΛ

λκΛ

µν = gκν, (5)

onde as componentes do tensor métrico são definidas como⎧⎨⎩ g00 = g00 = 1gij = gij = −1 para i = jgµν = gµν = 0 para µ 6= ν

. (6)

6

Em forma matricial, ficaΛTgΛ = g, (7)

onde ΛT representa a matriz transposta de Λ, de modo que

detΛ = ±1. (8)

Veja também que ¡Λ00¢2 − ¡Λi

0

¢2= 1, (9)

isto é, ¯Λ00¯ ≥ 1. (10)

Se detΛ = +1 a transformação é própria e se detΛ = −1 é imprópria. SeΛ00 ≥ 1 a transformação é ortócrona e se Λ00 < 1, não-ortócrona.Como a transformação identidade tem detΛ = +1 e Λ00 = 1, as trans-

formações de Lorentz contínuas são próprias e ortócronas, contendo rotaçõesespaciais próprias e deslocamentos uniformes. Quaisquer outras transfor-mações de Lorentz podem ser construídas como produto de uma transfor-mação de Lorentz própria e inversões espaciais e ou temporal, razão pela qualé suficiente concentrar os estudos somente sobre as transformações própriase ortócronas que, em forma infinitesimal, fica

x0µ = Λµνx

ν = (δµν + ωµν )x

ν , (11)

com Λµν = δµν + ωµ

ν e a condição ωνµ = −ωµν para satisfazer à invariançada métrica. As transformações de Lorentz formam uma estrutura de grupocontendo 6 (seis) parâmetros essenciais (3 das rotações e 3 dos deslocamentosuniformes.Leis físicas relativísticas devem ser invariantes por transformações de

Lorentz, ou seja, serem descritas por equações covariantes, significando quea forma destas são as mesmas em todos os referenciais inerciais. Grandezasrelativisticamente importantes, conforme as propriedades das transformaçõesinduzidas pelas transformações de Lorentz (2), são classificadas como

a) escalares, que são invariantes

φ0(x0) = φ(x), (12)

b) vetores, cujas componentes transformam-se da mesma forma que ascomponentes das coordenadas,

A0µ(x0) = ΛµνA

ν(x), (13)

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c) espinores, que transformam-se como

ψ0(x0) = S(Λ)ψ(x) (14)

ed) tensores de ordem genérica, cujas componentes transformam-se, índice

a índice, como as componentes dos vetores,

T 0µν···(x0) = ΛµαΛ

νβ · · ·Tαβ···(x). (15)

De uma forma geral pode-se considerar os vetores como tensores de primeiraordem e os escalares como tensores de ordem zero. Os pseudo-escalares,pseudo-vetores, etc. transformam-se da mesma forma que os escalares, ve-tores, etc., a menos do fator multiplicativo detΛ que determina a troca desinal quando houver uma inversão espacial ou temporal.As transformações de Lorentz (2) acrescidas de translações no espaço-

tempo definem as transformações de Poincaré ou transformações de Lorentznão homogêneas,

x0µ = Λµνx

ν + aµ, (16)

os termos de translação acrescentando mais 4 parâmetros independentes.As transformações de Poincaré formam uma estrutura de grupo contendo10 parâmetros essenciais. As propriedades dos campos escalares, vetoriais,espinoriais, etc. são unicamente determinadas pela transformação de Lorentz,visto que por translações estas grandezas são invariantes.As transformações de Poincaré relacionam todos os referenciais inerciais

entre si e, como as leis da natureza devem ser as mesmas em todos estes refe-renciais, as equações que descrevem as leis da física, em particular, devem teras mesmas formas em quaisquer destes referenciais. Significa que as equaçõesdevem ser covariantes por estas transformações, conhecidas portanto comotransformações de simetria.

1.1 Grupo de Poincaré[1,2,3]

As transformações de Lorentz (2) e as transformações de Poincaré (16) rela-cionam os diversos referenciais inerciais entre si, e os observadores em re-pouso nestes referenciais observam o mesmo sistema físico. As quantidadesrelevantes a este sistema podem ser grandezas escalares, vetoriais, espino-riais, tensoriais, etc., as quais se relacionam pelas transformações (12-15),respectivamente, nestas mudanças de referenciais.Em vez de aplicar as transformações de simetria para mudanças de refe-

renciais mantendo fixo o sistema físico, pode-se manter o referencial fixo e

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aplicar as transformações de simetria sobre o sistema físico. Estes dois pro-cedimentos são fisicamente equivalentes e, embora na física clássica prevaleçao primeiro caso, na mecânica quântica é mais proveitoso considerar o segundocaso. Isto porque na mecânica quântica existem muitas transformações desimetria baseadas nas coordenadas internas do sistema, independentes dascoordenadas do espaço-tempo (coordenadas externas). Pode-se citar comoexemplo de transformações de simetria interna as simetrias de gauge. Apli-cando as transformações de simetria sobre o sistema físico, mantendo o refer-encial fixo, tem a vantagem de unificar o formalismo para tratar destes doistipos de transformações.

Figure 1: Em (a), o sistema físico A no referencial R, representado pelovetor de estado ψR(x). Em (b), o mesmo sistema físico A no novo referencialR0 = L−1(R), representado pelo vetor de estado ψR0(x

0). Em (c), o sistemafísico transformado A0 = L(A) no referencial antigo R, representado pelovetor de estado ψ0R(x).

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Considere um sistema físico A satisfazendo a determinadas leis físicas eum outro sistema A0 idêntico a A a menos de uma transformação de simetria,

A0 = L(A) (17)

de modo que A0 deve satisfazer às mesmas leis físicas de A quando observadosno mesmo referencial R. Na linguagem da mecância quântica, o vetor deestado

ψR(x) = ψ(x) (18)

representa o sistema A no referencial R enquanto que o vetor de estado ψ0R(x)representa A0 no mesmo referencial.Fazer a transformação do sistema físico A mantendo o referencial R fixo,

equação (17), é equivalente a fazer uma transformação inversa do referencial,

R0 = L−1(R), (19)

mantendo o sistema físico A fixo, as coordenadas de R0 relacionadas como ascoordenadas de R através da transformação direta

x0 = L(x), (20)

como pode-se ver nas ilustrações da figura (1) onde, por razões de simplici-dade e clareza, as transformações estão representados como translações.No referencial R0 o sistema físico A é representado pelo vetor de estado

ψR0(x0) e, dada a arbitrariedade da escolha da origem do referencial, o sistema

A visto do referencial R0 é idêntico ao sistema A0 visto do referencial R, fatoque pode ser traduzido pela igualdade

ψR0(a0) = ψ0R(a

0) (21)

paraa0 = L(a), (22)

onde a representa as coordenadas numéricas, do centro de massa, por exem-plo, do sistema físico. De uma forma geral, o sistema A0 visto do referencialR fica

ψR0(x) = ψ0R(x) ≡ ψ0(x) , (23)

a primeira igualdade devendo ser considerada como a definição para a funçãoψ0(x).Pela transformação de coordenadas (18), o vetor de estado transforma-se

comoψR0(x

0) = ψ0(x0) = S(L)ψ(x) (24)

10

e, considerando que as coordenadas devem ser do referencial R,

ψ0(x) = S(L)ψ(L−1x). (25)

Em forma infinitesimal, a transformação de coordenadas (20) e a suainversa ficam

x0 = Lx = x+ δx ⇐⇒ L−1x = x− δx (26)

e o vetor de estado transforma-se como

ψ0(x) = ψ(L−1x) + δTψ(x), (27)

isto é,

ψ0(x) = ψ(x− δx) + δTψ(x) = ψ(x)− δxµ∂µψ + δTψ(x), (28)

que relaciona a variação total

δTψ(x) = ψ0(x)− ψ(x− δx) = δFψ(x) + δ0ψ(x)

com a variação funcional

δFψ(x) = ψ0(x)− ψ(x) (29)

mais a variação devido à variação do argumento da função,

δ0ψ(x) = ψ(x)− ψ(x− δx) = δxµ∂µψ. (30)

Em síntese, quando se faz a transformação do sistema físico Amantendo oreferencial R fixo, o vetor de estado ψ0(x) do novo sistema A0 está relacionadocomo o vetor de estado ψ0(x) do sistema A pela variação funcional (29),

δFψ(x) = ψ0(x)− ψ(x) = δTψ(x)− δxµ∂µψ. (31)

1.1.1 Translação

Considere uma translação pura, cuja transformação infinitesimal (26) assumea forma

x0µ = xµ + δxµ = xµ + µ. (32)

Como as grandezas físicas são invariantes por translação,

δTψ(x) = 0

e portantoδFψ(x) = − µ∂µψ, (33)

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de modo que o campo transforma-se como

ψ0(x) = (1− µ∂µ)ψ(x) = (1 + i µPµ)ψ(x). (34)

Para uma translação finita

x0µ = xµ + aµ (35)

resultaψ0(x) = eia

µPµψ(x) (36)

onde

Pµ = i∂µ = i∂

∂xµ(37)

é o operador (hermitiano) de momento linear, gerador do sub-grupo dastranslações do Grupo das Transformações Gerais de Lorentz.

1.1.2 Transformação de Lorentz

A transformação de Lorentz na forma infinitesimal pode ser escrita como

x0µ = Λµνx

ν = (δµν + ωµν)x

ν, (38)

a invariança da métrica levando à condição

ωµν = −ωνµ. (39)

As grandezas físicas transformam-se diferentemente conforme sejam escalares,vetores, etc. Serão considerados apenas escalares e espinores.

Escalares Uma função escalar, por definição, deve ser invariante pelastransformações de Lorentz,

δTφ(x) = 0 (40)

e portanto

φ0(x) = (1− δxµ∂µ)φ (41)

paraδxµ = ωµνxν (42)

eδxµ∂µ = ωµνxν∂µ = −1

2ωµν (xµ∂ν − xν∂µ) =

i

2ωµνLµν

ondeLµν = i (xµ∂ν − xν∂µ) (43)

12

contem os operadores de momento angular orbital e do movimento retilíneouniforme das Transformações de Lorentz., de modo que

φ0(x) =µ1− i

2ωµνLµν

¶φ(x) (44)

ou, na forma finita,φ0(x) = e−

i2ωµνLµνφ(x) (45)

Diz-se que esta equação define os geradores do Grupo de Lorentz para arepresentação escalar.

Espinores A transformação de uma função espinorial ψ(x), dada pelaequação (14), para o caso de um espinor de Dirac, fica

ψ0(x0) = e−i4ωµνσµνψ(x) (46)

e, portanto, pela equação (25),

ψ0(x) = e−i4ωµνσµνe−

i2ωµνLµνψ(x)

ouψ0(x) = e−

i4ωµνJµνψ(x) (47)

para

Jµν = Lµν +1

2σµν , (48)

que define os geradores do Grupo de Lorentz para a representação espinorial.De uma forma mais geral, os geradores do Grupo de Lorentz podem ser

escritos na formaJµν = Lµν + Sµν, (49)

onde os operadores Lµν e Sµν comutam entre si e obedecem às mesmas re-lações de comutação de Jµν,

[Jµν, Jρσ] = igνρJµσ − igµρJνσ − igνσJµρ + igµσJνρ (50)

que definem a álgebre de Lie do Grupo.As componentes espaciais Jij formam a álgebra

[Jij, Jkl] = −iδjkJil + iδikJjl + iδjlJik + iδilJjk (51)

do grupo SO(3) de rotação, como pode-se ver definindo os três geradores(hermitianos) de rotação

Ji =1

2ijkJjk, (52)

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operadores de momento angular. Aqui, ijk é o tensor completamente antis-simétrico de Levi-Civita, com 123 = 1. Os restantes três geradores são dastransformações puras de Lorentz,

Ki = J0i, (53)

operadores anti-hermitianos. Em termos destes novos geradores, as relaçõesde comutação (50) e (51) ficam⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

[Ji, Jj] = i ijkJk.

[Ki, Kj] = i ijkJk

[Ji, Kj] = i ijkKk

, (54)

que inter-relacionam todos os geradores entre si e mostram que as transfor-mações especiais de Lorentz não formam uma estrutura de sub-grupo, aocontrário das rotações.Com as seguintes definições,

Ni =1

2(Ji +Ki) (55)

e o seu conjugado hermitiano

N †i =

1

2(Ji −Ki) , (56)

estes novos grupos de geradores Ni e N†i satisfazem, cada qual, à álgebra de

Lie do grupo SU(2), além de comutarem entre si,⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

[Ni, Nj] = i ijkNkhN †

i , N†j

i= i ijkN

†k ,h

Ni, N†j

i= 0

. (57)

Deste modo pode-se obter dois operadores invariantes,

N2 = NiNi e¡N †¢2 = N †

iN†i , (58)

com auto-valores n(n+1) em(m+1) respectivamente, n em podendo assumirvalores inteiros e semi-inteiros,

n,m = 0,1

2, 1,3

2, 2, · · · , etc.,

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como é bem conhecido do grupo SU(2) de spin. Assim, as representações doGrupo de Lorentz podem ser identificadas pelos pares (n,m) e os seus estadospelos auto-valores de N3 e N

†3 . Os grupos SU(2) definidos pelos geradores

Ni e N†j não são independentes pois os mesmos podem ser intercambiados

por conjugação hermitiana ou por operação de paridade, que transformam

Ji −→ Ji , Ki −→ −Ki e Ni −→ N †i . (59)

Como

Ji = Ni +N †i , (60)

o spin da representação (n,m) é a soma n +m. A seguir, alguns exemplosdestas representações:

1. (0, 0) - (pseudo) escalar, spin 0.

2. (1/2, 0) - espinor de mão esquerda, spin 1/2.

3. (0, 1/2) - espinor de mão direita, spin 1/2. (As definições esquerda edireita são simples convenções.)

As representações (1/2, 0) e (0, 1/2) intercambiam entre si por transfor-mações de paridade, não possuindo, portanto, paridades definidas. São es-pinores a duas componentes complexas denominadas espinores de Weyl. Sea paridade for relevante, recorre-se à representação da soma direta (1/2, 0)+(0, 1/2), que são os espinores de Dirac. Representações de ordem mais alta(spin maior) podem ser obtidas pelo produto destas representações funda-mentais. Por exemplo,

1. (1/2, 0)× (0, 1/2) = (1/2, 1/2) - quadri-vetor, spin 1.2. (1/2, 0)× (1/2, 0) = (0, 0) + (1, 0) - a parte escalar é o produto anti-ssimétrico e a representação (1, 0) a parte simétrica correspondente aum tensor antissimétrico de segunda ordem, auto-dual,

Bµν = −Bνµ =i

2ρσ

µν Bρσ.

A representação (0, 1) que aparece no produto (0, 1/2)× (0, 1/2) é umtensor de segunda ordem, anti-auto-dual,

Cµν = −Cνµ = − i

2ρσ

µν Cρσ.

O tensor eletromagnético Fµν transforma-se como (0, 1)+ (1, 0), pelogrupo de Lorentz.

15

O grupo de Poincaré, definido pelas transformações (6), formado pelasTransformações Gerais de Lorentz (2) mais as translações do espaço-tempo,contém 10 parâmetros essenciais associados aos 10 geradores, 4 de translação,equação (37), e 6 do grupo das Tranformações Gerais de Lorentz, equação(48). A álgebra de Lie do grupo de Poincaré é definida pelas relações decomutação⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

[Pµ, Pν] = 0

[Jµν , Pρ] = −igµρPν + igνρPµ

[Jµν , Jρσ] = igνρJµσ − igµρJνσ − igνσJµρ + igµσJνρ,

. (61)

As representações do grupo de Poincaré são definidas pela massa e pelospin, a massa definida pelo invariante

PµPµ = m2 ≥ 0 . (62)

O outro operador de Casimir, que define o spin da representação, é construídocom a ajuda do quadri-vetor de Pauli-Lubanski,

Wµ = −12

µνρσPνJρσ = −12

µνρσSρσPν, (63)

obedecendo às relações de comutação⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩[W µ, P ν ] = 0

[Jµν ,Wρ] = −igµρWν + igνρWµ

[Wµ,Wν ] = i µνWρP σ

, (64)

o invariante de Casimir sendo

WµWµ = m2s(s+ 1), (65)

que define a representação de massa m e spin s, para s = 0, 1/2, 1, 3/2, · · ·inteiros e semi-inteiros.Os estados dentro de cada representação de spin e massa não nula são

indicados pela orientação da componente s3 do spin, −s ≤ s3 ≤ s.Para massa nula,

PµPµ =WµW

µ = 0, (66)

e comoPµW

µ = 0, (67)

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P µ e Wµ devem ser proporcionais,

Wµ = ±sP µ, (68)

a constante de proporcionalidade ±s definido pelo spin da representação.Neste caso, uma representação de spin s 6= 0 admite somente dois estados,correspondentes às duas únicas orientações do spin, ou helicidades, +s e −s.

1.2 Álgebra de Lie graduada[4,7]

Considere um conjunto de parâmetros αi de uma transformação contínuapara definir uma "graduação",⎧⎨⎩ ni = 1 se αi for fermiônico

eni = 0 se αi for bosônico,

de modo que se tenhaαiαj = (−1)ninjαjαi. (69)

Assim, se αi e αj forem bosônicos, ou se um deles for bosônico,

αiαj = αjαi, (70)

e se ambos, αi e αj, forem fermiônicos,

αiαj = −αjαi, (71)

ou seja, os parâmetros bosônicos comutam entre si e com os parâmetrosfermiônicos, e os parâmetros fermiônicos anti-comutam entre si e comutamcom os parâmetros bosônicos.Suponha uma transformação T(α), que pode ser expressa como uma série

de potências em αi,

T(α) = 1 + αiTi +1

2αiαjTij + · · · , (72)

comTji = (−1)ninjTij. (73)

e a lei de composiçãoT (α)T (β) = T [f(α, β)], (74)

f(α, β) tendo a mesma graduação de α e β, definido por

fi(α, β) = αi + βi + fjkiαjβk + · · · . (75)

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Comparando os termos de mesma potência em αi e βj na equação (72),resulta a relação que define a álgebra de Lie graduada

TiTj − (−1)ninjTjTi = CijkTk (76)

paraCijk = (−1)ninjfijk − fjik = −(−1)ninjCjik. (77)

A álgebra de Lie graduada assim definida generaliza a identidade de Jacobina forma

(−1)nkni Ti, Tj , Tk+(−1)ninj Tj, Tk , Ti+(−1)njnk Tk, Ti , Tj = 0,(78)

onde o símbolo · · · , · · · pode indicar comutação ou anti-comutação seguindoa definição

Ti, Tj = TiTj − (−1)ninjTjTi (79)

conforme o caráter bosônico ou fermiônico dos geradores Ti e Tj.A álgebra de Lie graduada pode ser vista como uma extensão da álgebra

de Lie usual, indtroduzindo uma graduação através de geradores fermiônicosque obedecem a relações de anti-comutação entre si e de comutação com osdemais geradores bosônicos. A álgebra de Lie do grupo de Poincaré podeser graduada introduzindo os geradores espinoriais Qα com a característicafundamental de misturar os campos bosônicos e fermiônicos, o que permitea construção de multipletos contendo indistintamente bósons e férmions,levando à simetria bóson-férmion, a que se denomina supersimetria.Considerando somente os geradores fermiônicos Qα, a relação de anti-

comutaçãoQα, Q

0β = QαQ

0β +Q0

βQα (80)

deve resultar numa quantidade bosônica e pode ser escrita, de uma formageral, como

Qα, Q0β = Aµ

αβPµ +BµναβJµν + C l

αβZl , (81)

onde Pµ são os geradores de momento, Jµν os geradores do grupo de Lorentz eZl geradores bosônicos de alguma simetria interna. Foi visto que as represen-tações do grupo de Lorentz são identificadas pelos pares (n,m), a soma n+mdefinindo o spin da representação. Assim, os geradores como representações

18

do grupo de Lorentz ficam⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Pµ ↔ (1/2, 1/2) - quadri-vetor.

Jµν ↔ (1, 0) e (0, 1) - tensor antissimétrico auto-dual e anti-auto-dual.

Zl ↔ (0, 0) - escalar.

Qα ↔ (1/2, 0) e (0, 1/2) - componente L e R do espinor de Dirac.

Se considerar o gerador Qα na representação básica (1/2, 0) e Q0β = Q∗β

na representação (0, 1/2), o produto QαQ∗β pertencer à representação vetorial

(1/2, 1/2), e portanto deve ser proporcional ao único quadri-vetor disponíveldentre os geradores do grupo de Poincaré, de modo que

Qα, Q∗β = Aµ

αβPµ . (82)

Se tanto Qα como Q0β = Qβ pertencerem à mesma representação (1/2, 0),

como(1/2, 0)× (1/2, 0) = (1, 0) + (0, 0),

a relação de anti-comutação entre Qα e Qβ deve ser uma combinação linearde Jµν e Zl. No entanto, como Pµ e Qα comutam entre si, fica proibido otermo proporcional a Jµν, de modo que deve-se ter

Qα, Qβ = C lαβZl . (83)

Muitos resultados podem ser obtidos analisando as propriedades do grupode supersimetria, como os exemplificados acima. No entanto, neste texto,a supersimetria é estudada através do formalismo de super-campos desen-volvido por A. Salam e J. Stradhdee [5], que fornece uma metodologia simplese eficiente para a construção de modelos supersimétricos.

19

2 Super-campos e Transformações de Super-simetria[5,6,7,8]

Teorias construídas com a generalização do grupo de Poincaré, introduzindogeradores espinoriais, são conhecidas como teorias supersimétricas e a álgebraresultante, que agora contém relações de anti-comutação destes geradoresespinoriais, é denominada álgebra de Lie graduada.Os geradores espinoriais (spin 1/2) permitem construir super-multipletos

contendo partículas de spin inteiro (bósons) e semi-inteiro (férmions), forma-lizando a unificação bóson-férmion. Neste contexto, o formalismo de super-campos, desenvolvido por A. Salam e J. Strathdee [5], fornece uma maneirasimples e eficiente de realizar esta unificação.Os super-campos são funções definidas sobre o que se denomina um super-

espaço, contendo o espaço-tempo usual acrescido por dimensões abstratasdefinidas por coordenadas fermiônicas, resultando num (super-) espaço dedimensão 8.As coordenadas deste super-espaço são definidas por

(xµ, θα) (1)

onde xµ são as coordenadas usuais do espaço-tempo, elementos pares daálgebra de Grassman, e θα são as novas coordenadas, elementos ímpares daálgebra de Grassman. A estas novas coordenadas θα associa-se uma regrafundamental, que é a de anti-comutação,

θαθ0β + θ0βθα = 0, (2)

com consequência imediata sobre qualquer função local f(x, θ). Isto porque,devido a esta regra de anti-comutação,

θαθα + θαθα = 0,

ou melhor,θαθα = 0, (sem soma em α) (3)

de modo que os produtos

θα1θα2θα3 · · · θαi · · · θαn(αj = 1, 2, 3 ou 4) serão identicamente nulos se n > 4, pois neste casonecessariamente surgirão produtos quadráticos, equação (3). Assim qualquerfunção f(x, θ) pode ser expandida como série de potências em θα, resultandonuma função polinomial de grau finito em θα, no caso, de grau 4.

20

As quatro coordenadas θα podem ser consideradas como as componentesde um espinor de Majorana,

θ =

⎛⎜⎜⎝θ1

θ2

θ3

θ4

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝θ1θ2θ3θ4

⎞⎟⎟⎠ . (4)

dUm espinor de Majorana ψ, definido pela condição ψC = ψ, contém qua-tro componentes independentes, que podem ser tornadas reais se for adotadaa representação de Majorana das matrizes γµ de Dirac. Veja o apêndice A2.Devido a esta comodidade, será adotada a representação de Majorana

para as matrizes de Dirac, que satisfazem à anti-comutação

γµ, γν = 2gµν ,algumas das propriedades mostradas nas equações (A2—A45) do apêndice A2.As coordenadas θα também são reais.cPode-se construir 16 produtos independentes com as coordenadas θα, que

são1 1θα 4θαθβ 6θαθβθγ 4θαθβθγθδ 1

, (5)

sendo que existem µ4

2

¶= 6

combinações para os produtos do tipo θαθβ eµ4

3

¶= 4

combinações para os produtos do tipo θαθβθγ, e qualquer função definidasobre o super-espaço poderá ser expandida como

f(x, θ) = f0(x) + fα(x)θα +

1

2fαβ(x)θ

αθβ +1

6fαβγ(x)θ

αθβθγ +

+1

24fαβγδ(x)θ

αθβθγθδ. (6)

21

(os coeficientes numéricos são arbitrários).Em vez de expandir na série de potências acima, é mais conveniente fazer

a expansão em série de produtos com propriedades bem definidas sob o grupode Lorentz,

1 escalar 1θ espinor 4θθ escalar 1θγ5θ pseudo-escalar 1θγµγ5θ pseudo-vetor 4¡θθ¢θ espinor 4¡

θθ¢2

escalar 1

. (7)

As potências e os produtos das coordenadas fermiônicas listadas em (5)e (7) podem ser relacionadas usando a identidade de Fierz, apresentado noapêndice A3. Ainda em (7), θ é o espinor adunto de θ definida por

θ = θ†γ0 = θTγ0, (8)

sendo que a igualdade θ† = θT é válida para os espinores de Majorana e narepresentação de Majorana das matrizes γµ de Dirac.

2.1 Super-translação

Considere uma transformação nas coordenadas do super-espaço, que serádenominada super-translação,⎧⎨⎩ xµ −→ x0µ = xµ + i

2γµθ

θ 7−→ θ0α = θα + α. (9)

Pela própria definição da transformação acima, os parâmetros α devem serdo mesmo tipo das coordenadas θα, anti-comutantes entre si,

α β + β α = 0 (10)

e com θα,αθβ + θβ α = 0. (11)

Em geral, quaisquer componentes espinoriais são anti-comutantes entre si.Pode-se verificar que somente as super-translações não formam uma es-

trutura de grupo. Realmente, considere a transformação, infinitesimal,⎧⎨⎩ x0µ = xµ + i21γµθ = xµ + δ1x

µ

θ0α = θα + 1α = θα + δ1θα

, (12)

22

onde, genericamente, ⎧⎨⎩ δxµ = i2γµθ

δθα = α. (13)

Em seguida, uma outra transformação sucessiva,⎧⎨⎩ x00µ = x0µ + i22γµθ0 = x0µ + δ2x

0µ

θ00α = θ0α + 2α = θ0α + δ2θ0α

, (14)

que resulta ⎧⎨⎩ x00µ = xµ + δ1xµ + δ2x

µ + δ2δ1xµ

θ00α = θα + δ1θα + δ2θ

α + δ2δ1θα

. (15)

Considerando que

δ2δ1xµ = δ2

µi

21γµθ

¶=

i

21γµδ2θ =

i

21γµ 2 (16)

eδ2δ1θ

α = δ21α = 0, (17)

a transformação resultante fica⎧⎨⎩ x00µ = xµ + i2( 1 + 2) γµθ + i

21γµ 2

θ00α = θα + 1α + 2α, (18)

que contém um termo adicional de translação nas coordenadas do espaço-tempo, não sendo uma super-translação definida pela equação (9).

dAparentemente, nas transformações sucessivas (12) e (14), poder-se-iafazer as substituições diretas, sem passar pelos passos (15-17), o que levariaa

x00µ = x0µ +i

22γµθ0 = xµ +

i

21γµθ +

i

22γµ

¡θ + 1

¢,

onde, no entanto, inadvertidamente, a segunda variação foi realizada antesda primeira, incorrendo num erro pelo fato de as transformações não seremcomutativas.c

Note que termos do tipoi

2γµθ ,

23

apesar de serem reais, isto é,µi

2γµθ

¶∗=

i

2γµθ ,

não o são no sentido usual, pois as potênciasµi

2γµθ

¶n

são identicamente nulas para n > 4, o que não ocorre com nenhum númeroreal diferente de zero.

2.2 Supersimetria[5,6]

Como visto acima, as super-translações por si, definidas em (9), não de-finem uma estrutura de grupo. Deve-se entender a supersimetria como umageneralização do grupo de Poincaré, que permita unificar as diversas repre-sentações (do grupo de Poincaré) pela adição de geradores espinoriais que,como será visto adiante, são justamente os geradores das super-translações.Assim, define-se as transformações de supersimetria como o conjunto das

transformações de Poincaré mais as super-translações, que em forma infinites-imal pode-se escrever como⎧⎨⎩ x0µ = xµ + δxµ

θ0 = θ + δθ, (19)

para ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩δxµ = ωµ

νxν + aµ + i

2γµθ

δθ = − i4ωµνσ

µνθ +£δθ = − i

4ωµνθσ

µν +¤ . (20)

Estas transformações definem uma estrutura de grupo.Considere, agora, as transformações sucessivas⎧⎨⎩ x0µ = xµ + δ1x

µ

θ0 = θ + δ1θ(21)

e ⎧⎨⎩ x00µ = x0µ + δ2x0µ

θ00 = θ0 + δ2θ0

. (22)

24

Fazendo as substituiões (21) em (22), resultam nas transformações⎧⎨⎩ x00µ = xµ + δ1xµ + δ2x

µ + δ2δ1xµ

θ00 = θ + δ1θ + δ2θ + δ2δ1θ(23)

onde os termos infinitesimais das transformações são definidos pela equação(20), ⎧⎨⎩ δ1xµ = ω1µνx

ν + a1µ +i21γµθ

δ1θ = − i4ω1µνσ

µνθ + 1(24)

e ⎧⎨⎩ δ2xµ = ω2µνxν + a2µ +

i22γµθ

δ2θ = − i4ω2µνσ

µνθ + 2. (25)

Consequentemente, os termos de segunda ordem ficam

δ2δ1xµ = ω1µνδ2xν +

i

21γµδ2θ

= ω1µνωνλ2 xλ +

µω1µνa

ν2 +

i

21γµ

2

¶+

+i

2

µω1µν

2γν − i

41γµ

£ω2σ

¤¶θ (26)

e

δ2δ1θ = − i

4ω1µνσ

µνδ2θ

= − i

4

£ω1σ

¤µ− i

4

£ω2σ

¤θ

¶− i

4

£ω1σ

¤2 , (27)

onde se recorre à notação simplificada

[ωσ] = ωµνσµν (28)

para a contração total dos índices tensoriais.Veja também que

δ2δ1θ = − i

4ω1µνδ2θσ

µν

= − i

4ω1µν

µ− i

4

£ω2θσ

¤+ 2

¶σµν . (29)

25

Invertendo a ordem das transformações (21) e (22), os termos de segundaordem, equações (26-29), ficam

δ1δ2xµ = ω2µνωνλ1 xλ +

µω2µνa

ν1 +

i

22γµ

1

¶+

i

2

µω2µν

1γν − i

42γµ

£ω1σ

¤¶θ

(30)e

δ1δ2θ = − i

4

£ω2σ

¤µ− i

4

£ω1σ

¤θ

¶− i

4

£ω2σ

¤1 . (31)

Para as coordenadas espinoriais na forma conjugada adjunta, a equivalenteà equação (27) é

δ1δ2θ = − i

4ω2µν

µ− i

4

£ω1θσ

¤+ 1

¶σµν . (32)

Os termos infinitesimais de segunda ordem, equações (26-29), das trans-formações sucessivas (1) e (2) e os termos correspondentes, equações (30-32),das transformações sucessivas (2) e (1) mostram a não comutatividade dastransformações de supersimetria,⎧⎨⎩ [δ2, δ1]xµ = δ3xµ

[δ2, δ1] θ = δ3θ(33)

para ⎧⎨⎩ δ3xµ = ω3µνxν + a3µ +

i23γµθ

δ3θ = − i4ω3µνσ

µνθ + 3, (34)

os novos parâmetros definidos em termos dos parâmetros das transformaçõesanteriores, ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

ω3µν = ω1µλωλ2 ν − ω2µλω

λ1 ν

a3µ = ω1µνaν2 − ω2µνa

ν1 + i 1γµ

2

3 = − i4σµν

¡ω1µν

2 − ω2µν1¢ . (35)

Para a componente espinorial, deve-se considerar, também,

3 =i

4

¡ω1µν

2 − ω2µν1¢σµν . (36)

A álgebra das transformações de supersimetria fica definida, formalmente,pela relação de comutação

[δ2, δ1] = δ3 , (37)

26

faltando determinar a representação dos geradores desta álgebra.Para as super-translações puras, as relações de comutação (33) ficam⎧⎨⎩ [δ2, δ1]xµ = δ3xµ = a3µ = i 1γµ

2

[δ2, δ1] θ = 0. (38)

2.3 Super-campos Escalares[5,6]

Os super-campos escalares são funções definidas sobre o super-espaço invari-antes pelas transformações de supersimetria,

φ0(x0, θ0) = φ(x, θ) . (39)

Analogamente, os super-campos vetoriais são definidos pela transformação

φ0µ(x0, θ0) = Λµνφ

ν(x, θ) , (40)

os super-campos espinoriais por

ψ0α(x0, θ0) = Sαβ(Λ)ψβ(x, θ) , (41)

etc.. onde Λ define as transformações de Lorentz.Pelo grupo de Lorentz, as coordenadas θα trransformam-se como es-

pinores, e por reflexão espacial, pela regra

θα −→ i¡γ0θ¢α

, (42)

o fator i presente para manter real. Deste modo é conveniente expandir ossuper-campos em termos dos produtos listados em (7), que tem transfor-mações bem definidas pelo grupo de Lorentz.Os super-campos escalares assumem a forma geral

φ(x, θ) = A(x) + θψ(x) +1

4θθF (x) +

i

4θγ5θG(x) +

+1

4θγµγ5θAµ(x) +

1

4

¡θθ¢.θχ(x) +

1

32

¡θθ¢2D(x) , (43)

lembrando que (Veja o apêndice A3)

θγµθ = θσµνθ = 0 ,

os fatores numéricos colocados por conveniência para cálculos posteriores.Contém campos escalares A(x), F (x) e D(x), um campo pseudo-escalar,

27

G(x), um campo pseudo-vetorial Aµ(x) e campos espinoriais ψ(x) e χ(x).Estes campos podem ser complexos.No caso de um super-campo escalar real,

[φ(x, θ)]∗ = φ(x, θ) ,

considerando que a conjugação complexa é definida para inverter a ordemdos fatores anti-comutantes, por exemplo,¡

θψ¢∗

=¡θαγ

0αβψβ

¢∗= ψ∗β

¡γ0¢αβ

θ∗α = −ψ∗βγ0αβθα

= ψ∗βγ0βαθα = ψ†γ0θ = ψθ ,

os campos de Bose serão reais e os campos de Fermi, espinores de Majorana.Por exemplo, se ¡

θψ¢∗= ψθ = θψ ,

o campo ψ(x) deve ser um espinor de Majorana.Considere uma super-translação aplicada ao sistema de coordenadas, dada

pelas equações (9) e (13) que, como foi visto, é fisicamente equivalente aaplicar a transformação inversa ao sistema físico, mantendo fixo o sistema decoordenadas, ⎧⎨⎩ x0µ = xµ − δxµ

θ0α = θα − δθα. (44)

Esta última transformação determinará uma variação funcional no super-campo escalar dada por

φ0(x0, θ0) = φ(x+ δxµ, θ + δθ) . (45)

28

Usando as variações infinitesimais definidas em (13), resulta

φ0(x0, θ0) = φ(x+i

2γµθ, θ + )

= A(x) +i

2γµθ∂µA+

¡θ +

¢µψ +

i

2γµθ∂µψ

¶+

+1

4

¡θ +

¢(θ + )

µF +

i

2γµθ∂µF

¶+

+i

4

¡θ +

¢γ5 (θ + )

µG+

i

2γµθ∂µG

¶+

+1

4

¡θ +

¢γµγ5 (θ + )

µAµ +

i

2γνθ∂νAµ

¶+

+1

4

¡θ +

¢(θ + ) .

¡θ +

¢µχ+

i

2γνθ∂νχ

¶+

+1

32

£¡θ +

¢(θ + )

¤2µD +

i

2γνθ∂νD

¶. (46)

Retendo somente os infinitésimos de primeira ordem, fica

φ0(x0, θ0) = A(x) +i

2γµθ∂µA+ θψ + ψ + θ

µi

2γµθ

¶∂µψ +

+1

4θθF +

1

2θF +

1

4θθ

µi

2γµθ

¶∂µF +

i

4θγ5θG+

+i

2γ5θG+

i

4θγ5θ

µi

2γµθ

¶∂µG+

1

4θγµγ5θAµ +

+1

2γµγ5θAµ +

1

4θγµγ5θ

µi

2γνθ

¶∂νAµ +

+1

4θθ.θχ+

1

4θθ. χ+

1

2θ.θχ+

+1

4θθ.θ

µi

2γνθ

¶∂νχ+

1

32

¡θθ¢2D +

1

8θθ.θ D . (47)

A identidade de Fierz, apêndice A3,

1

4

16XA=1

4Xα,β=1

Xβα (ΓA)αβ¡ΓA¢ρσ= δρβδασ , (48)

29

permite reordenar os produtos de espinores nos produtos padrão (7):

1)

i

2θ ( γµθ) ∂µψ = − i

8

XA

θΓAθ. γµΓA∂µψ

= − i

8θθ. ðψ − i

8θγ5θ. γνγ5∂νψ +

− i

8θγ5γµθ. γνγ5γµ∂νψ

2)

θθ. χ = −14

XA

θΓAθ. ΓAχ

= −14θθ. χ− 1

4θγ5θ. γ5χ− 1

4θγ5γµθ. γ5γµχ

3)

θγ5θ.θγµ = −θθ.θγ5γµ

4)

θγνγ5θ.θγµ ∂µAν = −θθ.θγνγ5γµ∂µAν

5)

θθ.θ

µi

2γµθ

¶∂µχ = − i

8θθXA

θΓAθ. γµΓA∂µχ = − i

8

¡θθ¢2

γµ∂µχ

Usando estas identidades, a expansão (47) pode ser colocada na formapadrão (43),

30

φ0(x0, θ0) = A(x) + ψ(x) + θ

∙ψ +

1

2

¡F + iγ5G+ γνγ5Aν − iγµ∂µA

¢ ¸+

+1

4θθ

∙F +

1

2(χ− iγµ∂µψ)

¸+

+i

4θγ5θ

∙G+

i

2γ5 (χ− iγµ∂µψ)

¸+

+1

4θγµγ5θ

∙Aµ − 1

2γ5¡γµχ− iγν∂νγµψ

¢¸+

+1

4θθ.θ

∙χ+

1

2

¡D − iγν∂νF − γ5γν∂νG+ iγµγ5γν∂νAµ

¢ ¸+

+1

32

¡θθ¢2[D − i γµ∂µχ] , (49)

que define o super-campo

φ0(x, θ) = A0(x) + θψ0(x) +1

4θθF 0(x) +

i

4θγ5θG0x) +

+1

4θγµγ5θA0µ(x) +

1

4

¡θθ¢.θχ0(x) +

1

32

¡θθ¢2D0(x) , (50)

com os novos campos relacionados através das transformações definidas pelasvariações funcionais⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

δA(x) = ψ(x)

δψ = 12(F + iγ5G+ γνγ5Aν − iγµ∂µA)

δF = 12(χ− iγµ∂µψ)

δG = i2γ5 (χ− iγµ∂µψ)

δAν =12

¡γνγ5χ− iγµγ5γν∂

µψ¢

δχ = 12(D − iγν∂νF − γ5γν∂νG+ iγµγ5γν∂νAµ)

δD = −i γµ∂µχ

. (51)

É usual referir-se às variações funcionais definidas acima como transfor-mações de supersimetria dos campos, apesar de que contenha somente uma

31

super-translação. Evidentemente, as transformações pelo grupo de Lorentz,ou de Poincaré, estão implícitas na natureza dos campos considerados.

2.4 Álgebra da Supersimetria[5,6,7]

Quando se varia as coordenadas anti-comutantes θα, naturalmente as funçõesdestas coordenadas, como os super-campos, também sofrerão variações. Istoé, variando

θ −→ θ + δθ ,

uma função destas coordenadas variará como

f(θ) −→ f(θ + δθ) = f(θ) + δf

ondeδf = f(θ + δθ)− f(θ) ,

que é exatamente o procedimento usado na secção anterior para determi-nar as transformações de supersimetria dos campos contido num super-camoescalar.O que se deseja aqui é definir as variações δf ou δφ, por exemplo, em

termos das suas derivadas, como ocorre com as funções usuais. Como estãoenvolvidas variáveis anti-comutantes, esta questão requer uma certa cautelapois a a ordem dos fatores é importante.As derivadas em relação às variáveis θα podem ser definidas da maneira

usual [12], porém devem obedecer às regras

∂

∂θα(f1.f2) =

∂f1∂θα

.f2 ± f1∂f2∂θα

, (52)

conforme a função f1 seja bosônica (+) ou fermiônica (−), e∂

∂θα∂

∂θβ= − ∂

∂θβ∂

∂θα, (53)

as mesmas regras valendo para derivadas em relação a θα.Considere uma função linear em θα tal que

Aαθα −→ Aαθα +Aαδθα , (54)

isto é,

δ (Aαθα) = Aαδθα = ± ∂

∂θα(Aβθβ) δθα , (55)

32

conforme o coeficiente Aα seja bosônico (+) ou fermiônico (−), ou

δ (Aαθα) = (Aβθβ)

←−∂

∂θαδθα , (56)

onde o símbolo←−∂ indica derivação à esquerda.

Funções de segundo grau em ordem θα podem ser expandidas como com-binação linear de termos θΓAθ,

δ¡θΓAθ

¢=

¡θ + δθ

¢ΓA (θ + δθ)− θΓAθ = θΓAδθ + δθΓAθ

=¡θΓAθ

¢ ←−∂∂θα

δθα + δθβ∂

∂θβ

¡θΓAθ

¢, (57)

desde que se encare θα e θαcomo variáveis independentes.

Estes exemplos mostram que as regras para expressar as diferenciais defunções em θα e θ

αé

δf = f

←−∂

∂θαδθα + δθβ

∂f

∂θβ. (58)

No caso de θ ser um espinor de Majorana, θ e θ não são independentes eportanto a diferencial pode ser simplificada para

δf = δθβ∂f

∂θβ= δθ

∂f

∂θ. (59)

Para o super-campo-escalar φ(x, θ), equação (43), resulta

φ0(x0, θ0) = φ(x+ δxµ, θ + δθ) = φ(x, θ) + δxµ∂φ

∂xµ+ δθα

∂φ

∂θα,

ou seja,

δφ = δxµ∂φ

∂xµ+ δθ

∂φ

∂θ. (60)

No caso da super-translação, equações (13), resulta

δφ =

µ∂

∂θ+

i

2γµθ∂µ

¶φ = −i Sφ , (61)

que define os geradores de super-translação

Sα = i

µ∂

∂θ+

i

2γµθ∂µ

¶α

. (62)

33

É fácil verificar que o operador

δ = −i S =µ

∂

∂θ+

i

2γµθ∂µ

¶(63)

gera a super-translação nas coordenadas,

δxµ = −i Sxµ =µ

∂

∂θ+

i

2γµθ∂µ

¶xµ =

i

2γµθ

e

δθα = −i Sθα = β

µ∂

∂θβ+

i

2(γµθ)β ∂µ

¶θα = βγ

0βα =

α .

As transformações sucessivas podem ser estudadas variando os parâmet-ros das transformações do operador (63),

δ1 = −i 1S e δ2 = −i 2S ,

de modo queφ01 = φ+ δ1φ

eφ0012 = φ01 + δ2φ

0 = φ+ δ1φ+ δ2φ+ δ2δ1φ . (64)

Invertendo a ordem das transformações, resulta

φ0021 = φ02 + δ1φ0 = φ+ δ2φ+ δ1φ+ δ1δ2φ (65)

de modo queφ0012 − φ0021 = [δ2 , δ1]φ . (66)

Por outro lado, considerando as translações sucessivas das coordenadas,equação (18),

φ0012 = φ+¡1 + 2

¢µ ∂

∂θβ+

i

2(γµθ)β ∂µ

¶φ+

i

21γµ 2∂µφ (67)

e

φ0021 = φ+¡2 + 1

¢µ ∂

∂θβ+

i

2(γµθ)β ∂µ

¶φ+

i

22γµ 1∂µφ (68)

de sorte queφ0012 − φ0021 = i 1γµ 2∂µφ (69)

desde que2γµ 1 = − 1γµ 2 .

34

Assim,[δ2, δ1]φ = i 1γµ 2∂µφ

ou, em termos dos geradores (68),£1S, 2S

¤= i 1γµ 2∂µ =

1γµ 2Pµ . (70)

O lado esquerdo desta equação pode ser desdobrada como£1S, 2S

¤= 1

αSα2βSβ − 2

βSβ1αSα

= − 1αSαSβ

2β − 1

αSβSα2β = − 1

α Sα , Sβ 2β

e o lado direito,

1γµ 2Pµ = − 1γµγ0¡2¢T

Pµ = − 1α (γ

µC)αβ Pµ2β ,

onde C = −γ0 é o operador de conjugação de carga na representação deMajorana das matrizes γµ de Dirac. Voltando à equação original (70), resultana relação de anti-comutação dos geradores de super-translação,

Sα , Sβ = SαSβ + SβSα = − (γµC)αβ Pµ . (71)

Os geradores Sα são componentes de um espinor de Majorana.A relação de anti-comutação (71) pode ser obtida diretamente, usando a

sua representação diferencial definida em (68). Realmente, como operadoresdiferenciais fermiônicos, devem obedecer à regra de derivação (53),

SαSβ φ = Sα (Sβ) φ− SβSαφ+ Sβ (Sα)φ ,

onde o último termo deve ser acrescido para descontar a ação de Sβ sobreSα, e como φ é arbitrário, resulta

SαSβ + SβSα = Sα (Sβ) + Sβ (Sα) .

Usando a definição (62), obtem-se

Sα (Sβ) = i∂

∂θα

∙−12(γµθ)β ∂µ

¸=

i

2

¡γµγ0

¢αβ

∂µ

= − i

2(γµC)αβ ∂µ ,

e, trocando os índices e considerando que a matriz (γµC) é simétrica,

Sβ (Sα) = − i

2(γµC)βα ∂µ = −

i

2(γµC)αβ ∂µ ,

35

de modo que

SαSβ + SβSα = Sα (Sβ) + Sβ (Sα) = −i (γµC)αβ ∂µ ,

que reproduz a relação de anti-comutação (71).Assim como as super-translações não formam um grupo, os seus geradores

também não formam uma álgebra fechada. Para tanto deve-se considerar asupersimetria, que contém o grupo de Poincaré mais o grupo das super-translações, equações (19-20). Neste caso, a variação (61) fica

δφ = −i Sφ+ (ωµνxν + aµ) ∂

µφ+i

4ωµνθσ

µν ∂

∂θφ (72)

que, usando a igualdade

ωµνxν∂µ = −1

2ωµν (x

µ∂ν − xν∂µ)

pode ser reescrita como

δφ =

∙aµ∂µ − 1

2ωµν

µxµ∂ν − xν∂µ − i

2θσµν

∂

∂θ

¶− i S

¸φ .

Em termos dos geradores, fica

δφ =

∙−iaµP µ +

1

2ωµνJ

µν − i S

¸φ , (73)

onde

Jµν = i (xµ∂ν − xν∂µ) +1

2θσµν

∂

∂θ(74)

é o gerador de momento angular.A não comutatividade das transformações sucessivas fica definido pela

diferençaφ0012 − φ0021 = [δ2 , δ1]φ (75)

onde, agora,

δ = −iaµP µ +1

2ωµνJ

µν − i S , (76)

Explicitando a variação do super-campo devido às variações sucessivasdas coordenadas,

φ0012(x, θ) = φ(x00, θ00) = φ(x, θ) +

+ (δ1 + δ2 + δ2δ1)xµ∂µφ+ (δ1 + δ2 + δ2δ1) θ

∂

θφ ,

36

mais o análogo para φ0021(x, θ), resulta

φ0012 − φ0021 = [δ2 , δ1]xµ∂µ + [δ2 , δ1] θ

∂

θφ = δ3φ (77)

que, comparada com o resultado (??), define a relação de comutação formal

[δ2 , δ1] = δ3 , (78)

os parâmetros das transformações geradas por δ3 definidas nas equações (35).Substituindo as expressões correspondentes a δ1, δ2 e δ3 definidas pela

equação (76), corresponde a∙−ia2µP µ +

1

2ω2µνJ

µν − i 2S ,−ia1νP ν +1

2ω1ρσJ

ρσ − i 1S

¸= −ia3µP µ +

1

2ω3µνJ

µν − i 3S

que pode ser rearranjada para

−a1µa2ν [Pµ, P ν] + 12a1νω

2ρσ [P

µ, Jρσ]− 12a2νω

1ρσ [P

µ, Jρσ]− 14ω1µνω

2ρσ [J

µν, Jρσ] +

+a1µ2α [S

α, P µ] − a2µ1α [S

α, P µ] + 12ω1µν

2α [J

µν, Sα] +

−12ω2µν

1α [J

µν , Sα]− [ 1S, 2S] =

= −iω2µνaν1P µ + iω1µνaν2P

µ − 1γµ2Pµ − i

2

¡ω1µρω

ρ2 ν − ω2µρω

ρ1 ν

¢Jµν

+14

¡ω1µν

2 − ω2µν1¢σµνS .

Comparando os termos de mesma potência nos parâmetros de transfor-mação dos lados direito e esquerdo, resulta no conjunto de equações⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

[P µ, P ν] = 0

[Sα, P µ] = 0

[Sα, Jµν ] = 12(σµνS)α

[ 1S, 2S] = 1γµ2Pµ

a1µω2ρσ [P

µ, Jρσ] = −2iω2ρσaσ1P ρ

ω1µνω2ρσ [J

µν , Jρσ] = 2i¡ω1µρω

ρ2 ν − ω2µρω

ρ1 ν

¢Jµν

..

37

A seguir os parâmetros das transformações podem ser eliminados, re-stando as relações de comutação e de anticomutação dos geradores,⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

[P µ, P ν ] = 0

−i [Pµ, Jρσ] = gµηP σ − gµσP ρ

−i [Jµν, Jρσ] = gνρJµσ − gνσJµρ + gµσJνρ − gµρJνσ

[Sα, P µ] = 0

[Sα, Jµν] = 12(σµνS)α©

Sα, Sβª= − ¡γµC¢Pµ

. (79)

As relações de comutação e de anticomutação acima definem a álgebrada supersimetria. As três primeiras correspondem exatamente às relaçõesde comutação da álgebra de Lie do grupo de Poincaré. A última, relaçãode anticomutação, são dos geradores da super-translação, e que definem agraduação da álgebra de Lie.A comutação entre os geradores da supersimetria e da translação,Sα e P µ,

respectivamente, permite a construção de multipletos contendo partículas demesma massa, com spins inteiro e semi-inteiro, incluindo portanto bósons eférmions num mesmo multipleto. A relação de comutação entre os geradoresSα e Jµν simplesmente mostra que o gerador de super-translação é um espinorsob o grupo de Lorentz.Os geradores espinoriais Sα, devido à anti-comutação, para um determi-

nado P µ, definem uma álgebra de Clifford contendo 16 elementos indepen-dentes, de modo que as representações irredutíveis destes geradores devemser matrizes 4× 4 atuando num espaço de dimensão 4.

38

3 Projeção Chiral dos Super-campos5,6

Um super-campo escalar, equação (2.43) da secção anterior,

φ(x, θ) = A(x) + θψ(x) +1

4θθF (x) +

i

4θγ5θG(x) +

+1

4θγµγ5θAµ(x) +

1

4

¡θθ¢.θχ(x) +

1

32

¡θθ¢2D(x) ,

contém 16 elementos independentes, em geral funções complexas. No en-tanto, a relação de anti-comutação dos geradores de super-translação,

Sα , Sβ = − (γµC)αβ Pµ ,

da álgebra da supersimetria dada pelas equações (2.79) impõe que as repre-sentações irredutíveis devem ser quadri-dimensionais. Neste sentido os super-campos escalares são redutíveis, e esta secção cuida de obter as representaçõesirredutíveis destes super-campos.

3.1 Derivada Covariante

As derivadas covariantes

Dα =∂

∂θα− i

2(γµθ)α ∂µ (1)

tem papel muito importante na construção das representações irredutíveis apartir dos super-campos. São operadores diferenciais fermiônicos semelhantesaos geradores Sα, e a partir da regra de derivação

DαDβφ = Dα (Dβ)φ−DβDαφ+Dβ (Dα)φ

pode-se obterDα, Dβ = Dα (Dβ) +Dβ (Dα) ,

onde

Dα (Dβ) =∂

∂θα

∙− i

2(γµθ)β ∂µ

¸=

i

2

¡γµγ0

¢αβ

∂µ

e

Dβ (Dα) =∂

∂θβ

∙− i

2(γµθ)α ∂µ

¸=

i

2

¡γµγ0

¢αβ

∂µ ,

resultando uma relação de anti-comutação idêntica à dos geradores de super-translação,

Dα, Dβ = −¡γµC

¢αβ

P µ . (2)

39

Em relação aos geradores da supersimetria, considere-se as operações⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩Dα, Sβ = Dα (Sβ) + Sβ (Dα)

[Dα, Pµ] = Dα (P

µ)− P µ (Dα)

[Dα, Jµν] = Dα (J

µν)− Jµν (Dα)

, (3)

que podem ser calculadas usando as representações diferenciais

Pµ = i∂µ

do momento linear,

Jµν = i (xµ∂ν − xν∂µ) +1

2θσµν

∂

∂θ

do momento angular e

S = i

µ∂

∂θ+

i

2γµθ ∂µ

¶,

gerador da super-translação.Em cálculos explícitos, considerando

Dα (Sβ) =∂

∂θα

∙−12(γµθ)β ∂µ

¸=

i

2

¡γµγ0

¢αβ

∂µ

e

Sβ (Dα) = i∂

∂θβ

∙− i

2(γµθ)α ∂µ

¸= −1

2

¡γµγ0

¢αβ

∂µ ,

resulta a anticomutação

Dα, Sβ = Dα (Sβ) + Sβ (Dα) = 0 .

Em relação ao momento linear, é imediato constatar que

Dα (Pµ) = P µ (Dα) = 0

e, para o momento angular„

Dα (Jµν) =∂

∂θα

∙1

2θσµν

∂

∂θ

¸− i

2(γηθ)α ∂η [i (xµ∂ν − xν∂µ)]

=

µ1

2σµν

∂

∂θ

¶α

+1

2

¡γµθ¢α∂ν − 1

2(γνθ)α ∂µ

40

e

Jµν (Dα) =1

2

µθσµν

∂

∂θ

¶ ∙− i

2

¡γηθ¢α∂η¸

= − i

4

¡θσµν

¢β

∂

∂θβ

h−γηγ0θT

iα∂η =

i

4

¡θσµν

¢β

¡γηγ

0¢αβ

∂η

=i

4

³γηγ

0σTµνθT´α∂η =

i

4

¡γησ

Tµνθ¢α∂η

=i

4

¡σµνγηθ

¢α∂η +

1

2

¡γµθ

¢α∂ν − 1

2(γνθ)α ∂µ ,

e portanto

Dα (Jµν)− Jµν (Dα) =1

2(σµν)αβ Dβ .

A partir destes cálculos, pode-se obter o conjunto das relações de comu-tação e de anti-comutação⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

Dα, Sβ = 0

[Dα, Pµ] = 0

[Dα, Jµν] =12(σµν)αβ Dβ

. (4)

As derivadas covariantes Dα definem a mesma estrutura da álgebra dosoperadores de super-translação Sα. São componentes de um espinor deLorentz e invariantes por super-translações e translações espaço-temporais.Por exemplo,

δDα = −i β Sβ, Dα = 0por super-translações e

δDα =i

2ωµν [J

µν, Dα] = − i

4ωµν (σ

µν)αβ Dβ

pelas transformações de Lorentz.Como as derivadas covariantes definem uma álgebra de Clifford, equação

(2), também definem um espaço tendo por base os 16 produtos indepen-dentes, a base usual contendo as combinaçõesn

1, Dα, DD, Dγ5D, Dγµγ5D, DD ·Dα,¡DD

¢2o(5)

onde define-se o adjuntoD = DTγ0 , (6)

41

lembrando que D é um espinor de Majorana. Com os operadores adjuntos,valem as relações de anti-comutação©

Dα, Dβ

ª=¡γµ¢αβ

P µ (7)

e ©Dα,Dβ

ª=¡C−1γµ

¢αβ

P µ , (8)

obtidas por substituições diretas em (2) e portanto são equivalentes entre si.Veja que a base do espaço de Clifford gerado pelos operadores Dα não

contém os produtos DγµD e DσµνD. Isto ocorre porque o primeiro é pro-porcional a 1 e o segundo é identicamente nulo,

DγµD = 2Pµ (9)

eDσµνD = 0 , (10)

como serão demonstrados a seguir.Para o primeiro,

DγµD = DTγ0γµD =¡γ0γµ

¢αβ

DαDβ

=¡γ0γµ

¢αβ[Dα (Dβ)−DβDα +Dβ (Dα)]

= − ¡γ0γµ¢αβ

DβDα +¡γ0γµ

¢αβDα,Dβ

que, com a relação de anti-comutação (2) fica

DγµD = − ¡γ0γµ¢αβ

DβDα −¡γ0γµ

¢αβ(γνC)αβ P

ν .

Usando as igualdades¡γ0γµ

¢T= γ0γµ, C = −γ0 e tr (γνγµ)P ν = 4gµνPν = 4P

µ ,

resulta

DγµD = −Dβ

¡γ0γµ

¢βα

Dα +¡γ0γµ

¢βα

¡γνγ

0¢αβ

P ν

= −Dβ

¡γ0γµ

¢βα

Dα + tr (γνγµ)P ν = −DγµD + 4P µ ,

o que leva diretamente à equação (9).

42

Quanto à equação (10),

DσµνD = DTγ0σµνD = Dα

¡γ0σµν

¢αβ

Dβ

= − ¡γ0σµν¢αβ

DβDα +¡γ0σµν

¢αβDα, Dβ

= −DσµνD + tr (γησµν)Pη = −DσµνD = 0 .

Define-se os operadores chirais

D+ =1

2

¡1 + γ5

¢D =

∂

∂θ−− i

2γµθ−∂µ (11)

e

D− =1

2

¡1− γ5

¢D =

∂

∂θ+− i

2γµθ+∂µ (12)

com os respectivos conjugados

D+ =1

2

¡1− γ5

¢D = DT

−γ0 (13)

eD− =

1

2

¡1 + γ5

¢D = DT

+γ0 (14)

cujas relações inversas sãoD± = −γ0DT

∓ (15)

ondeθ+ =

1

2

¡1 + γ5

¢θ; θ− =

1

2

¡1− γ5

¢θ; etc..

Em função destas componentes chirais, a relação de anti-comutação (2)pode ser desdobrada nas seguintes relações de anti-comutação:n

Dα±,D

β±o= 0

nDα+,D

β−o= −1

2

£(1 + γ5) γµC

¤αβP µ

nDα±,D

β

±o=

1

2

£(1± γ5) γµ

¤αβP µ

nDα±,D

β

∓o= 0

nD

α

+,Dβ

−o=

1

2

£(1 + γ5)C

−1㵤αβ

Pµ . (16)

43

Note que as componentes de mesma chiralidade anti-comutam, e comoD+ e D− são espinores a duas componentes independentes, os produtos detrês ou mais componentes de mesma chiralidade são identicamente nulos.Por exemplo,

Dα±D

β±D

γ± ≡ 0

assim comoD

α

∓Dβ±D

γ± ≡ 0 ,

etc., e em especial,D+

¡D−D+

¢ ≡ 0 (17)

eD−

¡D+D−

¢ ≡ 0 . (18)

Estas identidades são fundamentais para a construção dos operadores deprojeção definidos no apêndice A4,

E+ = − 1

4∂2¡D+D−

¢ ¡D−D+

¢, (A4-15)

E− = − 1

4∂2¡D−D+

¢ ¡D+D−

¢(A4-16)

e

E1 = 1− E+ − E− = 1 +1

4∂2¡DD

¢2, (A4-17)

os quais satisfazem às equações diferenciais⎧⎨⎩D∓E± ≡ 0

D∓D±E1 ≡ 0. (A4-18)

ComoE+ +E− +E1 = 1 ,

pode-se decompor, por exemplo os super-campos escalares, em

φ(x, θ) = (E+ +E− +E1)φ(x, θ) , (19)

definindo as projeções ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩φ+(x, θ) = E+φ(x, θ)

φ−(x, θ) = E−φ(x, θ)

φ1(x, θ) = E1φ(x, θ)

(20)

44

ondeφ(x, θ) = φ+(x, θ) + φ−(x, θ) + φ1(x, θ) , (21)

as projeções satisfazendo às equações⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩D−φ+ = 0

D+φ− = 0

D−D+φ1 = D+D−φ1 = 0

, (22)

decorrentes das identidades (A4-18).Os operadores de projeção E± e E1 são quantidades escalares e, portanto,

invariantes supersimétricos.

3.2 Super-campos Chirais5,6

As projeçõesφ±(x, θ) = E±φ(x, θ)

do super-campo escalar φ(x, θ) são chamadas de super-campos chirais. Estessuper-campos chirais continuam sendo super-campos escalares, podendo serexpandidos na forma padrão, equação (2.43), embora nem todos os camposcontidos sejam agora independentes. As relações de dependência podem serobtidas impondo as condições dadas em (22).Os super-campos chirais positivos

φ+(x, θ) = E+φ(x, θ)

devem satisfazer à condição

D−φ+ = 0 .

45

Tomando o resultado do apêndice A4, equação (A4-22),

D−φ =1

2(1− γ5)ψ +

1

4(1− γ5) θ (F − iG) +

+1

4(1− γ5) (γ

µθ) (Aµ − i∂µA) +

+1

16

¡θθ + θγ5θ

¢(1− γ5) (χ+ iγµ∂µψ) +

+1

16θγνγ5θ (1− γ5)

¡γνχ+ iγµγν∂

µψ¢+

+1

16θθ (1− γ5) (θD − iγµθ∂µF + iγµθ∂µiG− iγµγνθ∂µAν) +

+i

64

¡θθ¢2(1− γ5) γ

µ∂µχ . (A4-22)

leva às condições sobre os campos⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

γ5ψ+ = ψ+

F = iG = F+

Aµ = i∂µA+

χ = −iγµ∂µψ+D = iγµγν∂µAν = −γµγν∂µ∂νA+ = −∂2A+

(23)

além da identidade

(1− γ5) γµ∂µχ = −iγµγν∂µ∂ν (1− γ5)ψ+ ≡ 0 , (24)

e o fato de ψ = ψ+ ser um espinor de chiralidade positiva.Assim, os super-campos chirais φ+(x, θ) assumem a forma

φ+(x, θ) = A+(x) + θψ+(x) +1

4θ (1 + γ5) θF+(x) +

+i

4θγµγ5θ∂µA+(x)− i

4θθ · θγµ∂µψ+(x) +

− 132

¡θθ¢2∂2A+(x) , (25)

46

contendo os campos independentes A+(x), ψ+(x) e F+(x), transformando-sepor super-translações como⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

δA+ = ψ+

δψ+ =12(1 + γ5) (F+ − iγµ∂µA+)

δF+ = −i γµ∂µψ+

. (26)

No caso dos super-campos chirais negativos

φ−(x, θ) = E−φ(x, θ) ,

devem satisfazer à condiçãoD+φ− = 0

que, aplicada à equação (A4-22) do apêndice A4 leva a⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

γ5ψ− = −ψ−F = −iG = F−

Aµ = −i∂µA−

χ = −iγµ∂µψ−D = −iγµγν∂µAν = −γµγν∂µ∂νA− = −∂2A−

(27)

além da identidade

(1 + γ5) γµ∂µχ = −iγµγν∂µ∂ν (1 + γ5)ψ− ≡ 0 , (28)

agora com ψ = ψ− sendo espinor de chiralidade negativa.Os super-campos chirais φ−(x, θ) assumem a forma

φ−(x, θ) = A−(x) + θψ−(x) +1

4θ (1− γ5) θF−(x) +

− i

4θγµγ5θ∂µA−(x)− i

4θθ · θγµ∂µψ−(x) +

− 132

¡θθ¢2∂2A−(x) , (29)

47

contendo os campos independentes A−(x), ψ−(x) e F−(x) com as super-translações ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

δA− = ψ−

δψ− =12(1− γ5) (F− − iγµ∂µA−)

δF+ = −i γµ∂µψ− .

. (30)

Pode-se expressar os super-campos chirais de umamaneira mais compactarecorrendo às variáveis auxiliares

yµ = xµ +i

4θγµγ5θ = xµ +

i

4θ+γ

µθ+ − i

4θ−γµθ− (31)

eyµ = xµ − i

4θγµγ5θ = xµ − i

4θ+γ

µθ+ +i

4θ−γµθ− . (32)

Nestas novas variáveis as componentes chirais da derivada covariante,equações (11) e (12) ficam

D+ =

µ∂

∂θ−

¶y

− i

2γµθ−∂µ =

µ∂

∂θ−

¶y

(33)

e

D− =µ

∂

∂θ+

¶y

=

µ∂

∂θ+

¶y

− i

2γµθ+∂µ (34)

que, aplicadas sobre as variáveis auxiliares (31) e (32), resultam⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

D+yµ = −iγµθ−

D+yµ = 0

D−yµ = 0

D−yµ = −iγµθ+

. (35)

Isto significa que, para funções arbitrárias de yµ e yµ, necessariamente⎧⎨⎩ D−f(y) ≡ 0

D+f(y) ≡ 0. (36)

De maneira similar, ⎧⎨⎩ D−f(θ+) ≡ 0

D+f(θ−) ≡ 0. (37)

48

Estas identidades implicam que os super-campos chirais podem ser escritascomo

φ+(x, θ) = φ(y, θ+) = A+(y) + θ−ψ+(y) +1

2θ−θ+F+(y) (38)

eφ−(x, θ) = φ(y, θ−) = A−(y) + θ+ψ−(y) +

1

2θ+θ−F−(y) , (39)

satisfazendo automaticamente às condições⎧⎨⎩ D−φ(y, θ+) ≡ 0

D+φ(y, θ−) ≡ 0. (40)

As transformações de supersimetria podem ser obtidas através das vari-ações dos super-campos φ(y, θ+) e φ(y, θ−) pelas super-translações, onde asvariáveis yµ e yµ transformam-se como

δyµ = i γµ(1 + γ5)

2θ = i +γ

µθ+ (41)

e

δyµi γµ(1− γ5)

2θ = i −γµθ− . (42)

Formas equivalentes de expressar os super-campos chirais são

φ+(x, θ) = e−i4θγµγ5θ∂µ

∙A+(x) + θ−ψ+(x) +

1

2θ−θ+F+(x)

¸(43)

e

φ−(x, θ) = e−i4θγµγ5θ∂µ

∙A−(x) + θ+ψ−(x) +

1

2θ+θ−F−(x)

¸. (44)

Em princípio, os super-campos φ+(x, θ) e φ−(x, θ) são independentes. Noentanto, em certos casos podem aparecer ligados por condições tal como

φ−(x, θ) =£φ+(x, θ)

¤∗. (45)

Neste caso, como£φ+(x, θ)

¤∗= e−

i4θγµγ5θ∂µ

∙A∗+(x) + θ−ψC

+(x) +1

2θ+θ−F ∗+(x)

¸,

resulta nas condições sobre os campos⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩A− = (A+)

∗

ψ− = ψC+

F− = (F+)∗

. (46)

49

Veja que as condições ψ− = ψC+ ou ψ+ = ψC

− equivalem à condição deMajorana

ψC = ψC+ + ψC

− = ψ .

Quanto às componentes

φ1(x, θ) = E1φ(x, θ) ,

devem satisfazer simultaneamente às condições

D−D+φ1 = 0 e D+D−φ1 = 0 ,

equivalentes a

D(1± γ5)

2Dφ1 = 0 .

Usando a equação (A4-24) do apêndice A4, resultam nas condições inde-pendentes sobre os campos⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

F ± iG = 0

χ = iγµ∂µψ

−D ∓ 2i∂µAµ + ∂2A = 0

(47)

que implicam em ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩F = iG = 0

χ = iγµ∂µψ

D = ∂2A e ∂µAµ = 0

. (48)

As demais igualdades,⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

±D + 2i∂µAµ ∓ ∂2A = 0

±∂µF + 2i∂µG = 0

γµ∂µχ− i∂2ψ = 0

∂2F ± i∂2G = 0

, (49)

podem ser consideradas como identidades.

50

Assim,

φ1(x, θ) = A1(x) + θψ1(x) +−1

4θγµγ5θA1µ(x) +

+1

4θθ · θiγµ∂µψ1(x) +

1

32

¡θθ¢2∂2A1(x) , (50)

contendo os campos independentes A1(x), ψ1(x) e A1µ(x), o campo vetorialsatisfazendo à condição ∂µA1µ = 0.Por super-translação, estes campos transformam-se como⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

δA1 = ψ1

δψ1(x) =12(γµγ5θA1µ − iγµ∂µA1)

δA1ν = γ5σµν∂µψ

. (51)

3.3 Super-campos Espinoriais6

Será analisada de forma breve os super-campos espinoriais definidos pelatransformação dada pela equação (2.41)

ψ0α(x0, θ0) = Sαβ(Λ)ψβ(x, θ) ,

onde Λ representa os parâmetros do grupo de Lorentz. Mais exatamente,serão considerados os super-campos espinoriais chirais, lembrando que a chi-ralidade, neste caso, pode ser de dois tipos. Um está relacionado com aestrutura chiral espinorial, que define as componentes de mão direita e es-querda,

ψR(x, θ) =1

2(1 + γ5)ψ(x, θ) (52)

eψL(x, θ) =

1

2(1− γ5)ψ(x, θ) , (53)

respectivamente. O outro está relacionado com as coordenadas espinoriaisθα definido pelas condições

D−ψ+(x, θ) = 0 (54)

eD+ψ−(x, θ) = 0 (55)

para as projeções chirais positiva e negativa, respectivamente.

51

Usando as coordenadas auxiliares, equações (31) e (32), os super-camposespinorias podem ser escritos numa forma simples,

ψ++(x, θ) = ψR+(x, θ) = ψR(y, θ+)

= λ+(y) +

∙η(y) +

1

2σµνFµν(y)

¸θ+ +

1

2θ−θ+χ+(y)

= e−i4θγµγ5θ∂µ

∙λ+ +

µη +

1

2σµνFµν

¶θ+ +

1

2θ−θ+χ+

¸, (56)

com chiralidade positiva em relação à sua estrutura espinorial,

γ5ψ++(x, θ) = ψ++(x, θ) , (57)

e positiva também em relação à estrutura das coordedadas θ,

D−ψ++(x, θ) = 0 , (58)

onde os campos λ+(x) e χ+(x) são espinores chirais positivos ou de mãodireita, η(x) um escalar de Lorentz e Fµν(x) um tensor antisimétrica desegunda ordem.Por super-translação, equações (41) e (42), resulta na variação

ψR(y, θ+) −→ ψR(y + δy, θ+ + δθ+) = λ+(y) + i ( +γµθ+) ∂µλ+(y) +

+

∙η(y) +

1

2σµνFµν(y)

¸θ+ +

∙η(y) +

1

2σµνFµν(y)

¸+ +

+i ( +γµθ+) ∂µ

∙η(y) +

1

2σµνFµν(y)

¸θ+ +

+1

2θ−θ+χ+(y) + −θ+χ+(y)

cuja variação é

δψR(y, θ+) =

∙η +

1

2σµνFµν

¸+ + i ( +γ

µθ+) ∂µλ+ +

+ −θ+χ+ + i ( +γµθ+) ∂µ

∙η +

1

2σµνFµν

¸θ+ .

52

Usando a relação (A3-18) do apêndice A3,

ψαχβ =

1

4

16XA=1

ψΓAχ (ΓA)βα , (A3-18)

as matrizes base ΓA e ΓA dadas pelas equações (A3-1) e (A3-5), podem serfeitos os rearranjos

i ( +γµθ+) ∂µλ+ = i ( +γ

µ)α (θ+)α (∂µλ+)

= −14

16XA=1

¡i +γ

µΓA∂µλ+¢(ΓAθ+)

= −∙1

2(i +γ

µ∂µλ+) +1

4(i +γ

µσηχ∂µλ+)σηχ

¸θ+

e, de maneira similar,

( −θ+)χ+ = −∙1

2−χ+ +

1

4−σηχχ+σηχ

¸θ+

assim como

i ( +γµθ+) ∂µ

∙η +

1

2σµνFµν

¸θ+ =

i

2

¡θ−θ+

¢∂κ

∙η +

1

2σµνFµν

¸γκ − .

Com estes rearranjos, a variação do supe-campo fica

δψR(y, θ+) =

∙η +

1

2σµνFµν

¸+ − 1

2+

¡χ+ + iγµ∂µλ+

¢+

−14σηχ

£−σηχχ+ + i +γ

µ∂µσηχλ+¤θ+ +

1

2

¡θ−θ+

¢i∂κ

∙η +

1

2σµνFµν

¸γκ − (59)

que, comparado com a expressão do super-campo (56) fornece a variação dos

53

campos

δλ+ =

∙η +

1

2σµνFµν

¸+

δη = −12+

¡χ+ + iγµ∂µλ+

¢δFµν = −1

2−£σµνχ+ + i (γ∂) σµνλ+

¤δχ+ = i∂κ

∙η +

1

2σµνFµν

¸γκ − (60)

O super-campo

ψ−+(x, θ) = ψL+(x, θ) = ψL(y, θ+)

= U−(y) + Vµ(y)γµθ+ +

1

2θ−θ+W−(y)

= e−i4θγµγ5θ∂µ

∙U−(x) + Vµ(x)γ

µθ+ +1

2θ−θ+W−(x)

¸, (61)

com chiralidade negativa em relação à sua estrutura espinorial,

γ5ψ−+(x, θ) = −ψ−+(x, θ) , (62)

e positiva em relação à estrutura das coordedadas θ,

D+ψ−+(x, θ) = 0 . (63)

Contém os campos espinoriais U−(x) e W−(x) de chilaridades negativas e ocampo vetorial Vµ(x).Por super-translação, equações (41), transforma-se como

ψ−+(x, θ) −→ ψL(y + δy, θ+ + δθ+) =

= U−(y) + i ( +γµθ+) ∂µU−(y) + Vµ(y)γ

µθ+ +

+Vµ(y)γµ+ + i ( +γ

µθ+) ∂µVν(y)γνθ+ +

+1

2θ−θ+W−(y) + −θ+W−(y) ,

54

onde

i ( +γµθ+) ∂µU− = −1

4

16XA=1

¡i +γ

µΓA∂µU−¢(ΓAθ+)

= −12(i +γ

µ∂µγνU−) (γνθ+) ,

( −θ+)W− = −12(i +γ

νW−) (γνθ+)

ei ( +γ

µθ+) ∂µVν(y)γνθ+ =

i

2

¡θ−θ+

¢γµ (γ∂)Vµ − ,

resultando na variação do supe-campo

δψL(y, θ+) = Vµ(y)γµ+ − 1

2

¡γµW− − iγµ∂µγ

νU−¢γνθ+ +

+i

2

¡θ−θ+

¢γµ (γ∂)Vµ − (64)

e na dos campos

δU− = Vµγµ+

δVµ = −12

¡γµW− + i (γ∂) γµU−

¢δW− = iγµ (γ∂)Vµ − . (65)

Analogamente,

ψ−−(x, θ) = ψL−(x, θ) = ψL(y, θ−)

= λ−(y) +∙ξ(y) +

1

2σµνGµν(y)

¸θ− +

1

2θ+θ−χ−(y)

= e−i4θγµγ5θ∂µ

∙λ− +

µξ +

1

2σµνGµν

¶θ− +

1

2θ+θ−χ−

¸,(66)

com chiralidades negativas em relação às suas estruturas espinorial e dascoordenadas,

γ5ψ−−(x, θ) = −ψ−−(x, θ) , (67)

55

eD+ψ−−(x, θ) = 0 ; (68)

e

ψ+−(x, θ) = ψR−(x, θ) = ψR(y, θ−)

= U+(y) + Vµ(y)γµθ− +

1

2θ+θ−W+(y)

= e−i4θγµγ5θ∂µ

∙U+(x) + Vµ(x)γ

µθ− +1

2θ+θ−W+(x)

¸, (69)

tem chiralidades positiva em relação à sua estrutura espinorial,

γ5ψ+−(x, θ) = ψ+−(x, θ) , (70)

e negativa em relação às coordedadas,

D−ψ+−(x, θ) = 0 . (71)

As transformações dos campor por super-translação são

δλ− =

∙ξ +

1

2σµνGµν

¸−

δξ = −12+

¡χ− + iγµ∂µλ−

¢δGµν = −1

2

£σµνχ− + i (γ∂)σµνλ−

¤δχ− = i∂κ

∙ξ +

1

2σµνGµν

¸γκ + (72)

e

δU+ = Vµγµ+

δVµ = −12

¡+γµW+ + i − (γ∂) γµU+

¢δW+ = iγµ (γ∂)Vµ + . (73)

56

4 Lagrangeanas5,6

As invariantes DD e¡DD

¢2tem papel relevante na construção das la-

grangeanas supersimétricas. Veja que estas lagrangeanas podem ser con-sideradas como super-campos escalares,

L = L(x, θ) , (1)

transformando-se por super-translações (do sistema físico) como

δL = −i SL =µ

∂

∂θ+

i

2γµθ ∂µ

¶L , (2)

que são as suas variações funcionais.Para que as equações de movimento sejam invariantes na forma, ou seja,

covariante, a ação Zd4x L

deve ser invariante,

δ

Zd4x L =

Zd4x

µ∂

∂θ+

i

2γµθ ∂µ

¶L

=∂

∂θ

Zd4x +

i

2γµθ

Zd4x ∂µL = 0 , (3)

e como a integral de superfície não contribui, implica que

∂

∂θα

Zd4x L = 0 . (4)

Significa que as lagrangeanas devem ser independentes das coordenadas θα amenos de termos em derivada nas coordenadas do espaço-tempo, que resul-tam em integrais de superfície.Com a derivada covariante

Dα =∂

∂θα − i

2

¡γµθ

¢α∂µ (3.1)

é possível construir os escalares

DDφ = −2F + θ (−χ+ i (γ∂)ψ) +1

4θθ (−D + ∂µ∂

µA) +

+1

4θγ5θ · 2i∂µAµ +

1

4θγνγ5θ · 2i∂νiG+

+1

4θθ · θ ¡iγµ∂µχ+ ∂2ψ

¢+1

32

¡θθ¢2 · 2∂2F . (A4-25)

57

e

¡DD

¢2φ = 2

¡D − ∂2A

¢+ θ

¡−2iγµ∂µχ− 2∂2ψ¢++1

4θθ¡−4∂2F¢+ 1

4θγ5θ

¡−4∂2G¢++1

4θγνγ5θ (−4∂ν∂µAµ) +

1

4θθ · θ2∂2 (−χ+ iγµ∂µψ)

+1

32

¡θθ¢22∂2

¡−D + ∂2A¢

(A4-26)

a partir de um super-campo escalar arbitrário φ(x, θ). Para super-camposchirais φ±(x, θ), resultam

1

2DDφ± = −F± + θi (γ∂)ψ± +

1

4θ¡1∓ γ5

¢θ∂2A± +

±14θγνγ5θ · i∂νF± + 1

4θθ · θ∂2ψ+ +

1

32

¡θθ¢2∂2F± (5)

e1

4

¡DD

¢2φ± = −∂2A± − θ∂2ψ± ∓

1

4θ¡1± γ5

¢θ∂2F± +

∓ i

4θγνγ5θ∂ν∂

2A± +1

4θθ · θiðψ± +

+1

32

¡θθ¢2∂2A+ . (6)

Termos do tipo ¡DD

¢2φ e DDφ±

satisfazem aos requisitos de uma lagrangeana supersimétrica. O único termosignificativo de

¡DD

¢2φ é a componenteD(x) do super-campo escalar φ(x, θ)

pois os outros termos aparecem como derivadas, especialmente os que depen-dem de θ, que podem ser eliminados tomando θ = 0, isto é,

1

2

¡DD

¢2φ¯θ=0

= D − ∂2A . (7)

A parte em derivada, ∂2A = ∂µ (∂µA) não é significativa, e a componente

D(x) é um escalar de Lorentz e invariante por super-translação a menos deuma derivada,

δD = −i ∂µ∂µχ(x) . (8)

58

No caso dos termos DDφ±, os termos significativos são as componentes F±dos super-campos chirais φ±(x, θ), que podem ser isolados tomando θ = 0,

1

2DDφ±

¯θ=0

= −F±(x) . (9)

As transformações destas componentes são

δF± = −i γµ∂µψ±(x) , (10)

garantindo a invariança supersimétrica, a menos das derivadas.Deseja-se construir as lagrangeanas a partir das representações super-

simétricas irredutíveis, por exemplo φ±(x, θ). Como o produto de super-campos de mesma chiralidade resulta num outro super-campo de igual chi-ralidade,

φ1,±(x, θ).φ2,±(x, θ) = φ3,±(x, θ) , (11)

e o produto de super-campos de chiralidades diferentes resulta num super-campo não chiral,

φ+(x, θ).φ−(x, θ) = φ(x, θ) , (12)

então uma lagrangeana supersimétrica de uma representação (super) escalardeverá ter a forma

L(φ+, φ−) ∼¡DD

¢2 ¡φ+φ−

¢¯θ=0

+ DD£f(φ+) + f(φ−)

¤¯θ=0

,

onde f(φ±) é uma função polinomial em φ±, devendo-se notar que

f(φ+) =Xn

cn¡φ+¢n

(13)

é um super-campo chiral positivo e

f(φ−) =Xn

cn¡φ−¢n

(14)

um super-campo chiral negativo.O termo

¡DD

¢2 ¡φ+φ−

¢fornece a parte cinética da lagrangeana, enquanto

que o segundo termo contém termos de massa e de auto-interação.A condição de renormalizabilidade é fundamental para restringir a quan-

tidade de invariantes que podem ser acrescidas à lagrangeana. Por exemplo,na parte cinética, todos os termos¡

DD¢2 ¡

φ+φ−¢npara n = 1, 2, 3, · · ·

59

são igualmente invariantes, e a função polinomial f(φ±) poderia ser de qual-quer grau. A análise da dimensionalidade dos candidatos à lagrangeana ésuficiente para eliminar termos que não sejam renormalizáveis. Tomando porunidade de massa M , dimensão igual a 1, então (na convenção = c = 1) adimensão da lagrangeana deve ser 4, lembrando que as coordenadas xµ temdimensão −1,

[L] =M4 ; [xµ] =M−1 ,

estabelecendo a dimensionalidade dos campos. A componente D(x) do pro-duto φ+φ− contém (veja o apêndice A5) termos do tipo

∂µA+∂µA−, F+F− e ∂µψ+

Cγµψ−,

de modo que as dimensões destes campos devem ser⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩[A±] =M£ψ±¤=M3/2

[F±] =M2

(15)

ou, para as variáveis externas,⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

£φ±¤=M

[θ] =M−1/2

£f(φ±)

¤=M3

[Dα] =M1/2

. (16)

O único termo renormalizável em¡DD

¢2 ¡φ+φ−

¢n(n = 1, 2, 3, · · · ) é jus-

tamente o termo cinético¡DD

¢2 ¡φ+φ−

¢(n = 1). A adição de termos com

n > 1 implica na necessidade de multiplicações por constantes de dimension-alidades que são inversas de potências de massa, introduzindo divergênciasque não podem ser removidas com um número finito de contra-termos. Porum argumento análogo, restringe-se a função f(φ±) para uma função polino-mial de 3o. grau em φ±.Uma maneira convencional de expressar a lagrangeana é

L(φ+, φ−) =1

8

¡DD

¢2 ¡φ+φ−

¢− 12DD

£f(φ+) + f(φ−)

¤, (17)

calculado em θ = 0.

60

4.1 Modelo de Wess-Zumino

Apresenta-se aqui um procedimento para a construção da lagrangeana deum modelo supersimétrico simples contendo um único super-campo chiralpositivo, equação (3.25), cujo conteúdo de campos é

φ+(x, θ) ∼©A, ψ+, F

ª. (18)

Por questões de simplicidade, os índices ± dos campos escalares A e F serãoomitidos. A este super-campo pode-se associar o super-campo chiral negativocomo o seu conjugado complexo,

φ−(x, θ) =£φ+(x, θ)

¤∗ ∼ ©A−, ψ−, F−ª , (19)

para ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩A− = A∗

ψ− = ψ∗+ = ψC+

F− = F ∗

, (20)

o espinorψ = ψ+ + ψ−

sendo um espinor de Majorana.Denominando por A0(x), ψ0(x), F 0(x), · · · , etc. os campos contidos no

produtoφ0(x, θ) = φ+(x, θ).φ−(x, θ) , (21)

na lagrangeana (17) a parte cinética fica

Lc =1

4(D0 − ∂µ∂

µA0) (22)

onde, conforme apresentado no apêndice A5,⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

A0 = AA∗

D0 = −A∂2A∗ −A∗∂2A+ 4FF ∗ + 2∂µA∂µA∗+

+2ihψC+γ

µ∂µψ− −³∂µψ

C+

´γµψ−

i . (23)

Como ψ é um espinor de Majorana,

⇒hψC+γ

µ∂µψ− −³∂µψ

C+

´γµψ−

i=£ψ−γ

µ∂µψ− −¡∂µψ−

¢γµψ−

¤=

∙ψ(1 + γ5)

2γµ∂µψ −

¡∂µψ

¢ (1 + γ5)

2γµψ

¸= ψγµ∂µψ .

61

Nos termos contendo o campo A,

A∂2A∗ = ∂µ (A∂µA∗)− ∂µA∂

µA∗

eA∗∂2A = ∂µ (A

∗∂µA)− ∂µA∗∂µA .

Assim,

D0 = −∂µ∂µ (AA∗) + 4∂µA∂µA∗ + 4FF ∗ + 2iψγµ∂µψ ,

de modo que a parte cinética da lagrangeana fica

Lc = FF ∗ + ∂µA∂µA∗ +

i

2ψγµ∂µψ − 1

2∂µ∂

µ (AA∗) .

O último termo, em derivada, não contribui na ação, podendo ser desprezado.Eliminar este termo em derivada equivale a reescrever a equação (22) como

Lc =1

4(D0 + ∂µ∂

µA0) = FF ∗ + ∂µA∂µA∗ +

i

2ψγµ∂µψ . (24)

As funções f(φ±) são super-campos chirais, definidas em (13) e (14), osuper-campo chiral positivo

f+ = f(φ+) =Xn

cn¡φ+¢n

com coeficientes⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Af+ =P

n cnAn

ψf+ =P

n cnnAn−1ψ+

Ff+ =P

n cnhnAn−1F − n(n−1)

2An−2ψC

+ψ+

i , (25)

e o super-campo chiral negativo

f− = f(φ−) =Xn

Cn

¡φ−¢n= f∗+

com coeficientes⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Af− =P

n cn (A∗)n

ψf− =P

n cnn (A∗)n−1 ψ−

Ff− =P

n cnhn (A∗)n−1 F ∗ − n(n−1)

2(A∗)n−2 ψC

−ψ−i . (26)

62

Assim,

−12DDφ+

¯θ=0

= Ff+ =Xn

cn

∙nAn−1F − n(n− 1)

2An−2ψC

+ψ+

¸e

−12DDφ−

¯θ=0

= Ff− =Xn

cn

∙n (A∗)n−1 F ∗ − n(n− 1)

2(A∗)n−2 ψC

−ψ−

¸que podem ser escritas como

−12DDφ±

¯θ=0

= Ff+ = f 0(A±)F± − 12f 0

0(A±)ψC

±ψ± ,

onde

f(A±) = f(φ±)¯θ=0

f 0(A±) =∂f

∂A±, etc..

A lagrangeana completa fica, feitas as substituições, e desprezando termosem derivada,

Lc = FF ∗ + ∂µA∂µA∗ +

i

2ψγµ∂µψ +

+ [f 0(A)F + f 0(A∗)F ∗]− 12

hf 0

0(A)ψ−ψ+ + f 0

0(A∗)ψ+ψ_

i.(27)

A função f(A) é um polinômio de 3o. grau em A,

f(A) = c0 + c1A+ c2A2 + c3A

3 , (28)

sendo que a constante c0 é irrelevante, refletindo o fato de que a lagrangeanaé invariante por um acréscimo de uma constante no super-campo,

φ+ −→ φ+ + C

que pode ser absorvida pelo campo A+,

A+ −→ A+ + C ,

63

e equivale às mudanças nos coeficientes da função (28),

c1 −→ c1 + 2c2C + 3c3C

c2 −→ c2 + 3c3C

c3 −→ c3

a menos de uma constante que pode ser somada à função f(A). Constantesaditivas em f(A) não influem na lagrangeana (27) uma vez que só aparececomo derivadas. Uma escolha adequada da constante C permite fazer

c1 = 0

resultando na funçãof(A) = c2A

2 + c3A3 . (29)

Como a lagrangeana não contém derivadas dos campos F±, estas não sãovariáveis dinâmicas independentes (não se pode definir os seus momentoscanônicos). São campos auxiliares que podem ser eliminados com o auxílioda equaçaõ de Euler-Lagrange,

∂L∂F±

− ∂µ

µ∂L

∂ (∂µF±)

¶=

∂L∂F±

= 0 ,

que resulta nas relaçõesF = −f 0(A∗) (30)

eF ∗ = −f 0(A) . (31)

Com estas substituições, a lagrangeana fica

Lc = ∂µA∂µA∗ +

i

2ψγµ∂µψ − f 0(A)f 0(A∗) +

−12

∙f 0

0(A)ψ

(1 + γ5)

2ψ + f 0

0(A∗)ψ

(1− γ5)

2ψ

¸. (32)

Comof 0(A) = 2c2A+ 3c3A2 . (33)

ef 0

0(A) = 2c2 + 6c3A , (34)

64

resulta

f 0(A)f 0(A∗) = 4c22AA ∗+12c2c3AA∗ (A+A∗) + 9c23 (AA∗)2

e

⇒∙f 0

0(A)ψ

(1 + γ5)

2ψ + f 0

0(A∗)ψ

(1− γ5)

2ψ

¸=

=£(2c2ψψ + 6c3 (A+A∗) + 6c3 (A−A∗)ψγ5ψ

¤.

Com isto, a parte livre da lagrangeana fica

L0 = ∂µA∂µA∗ −m2AA∗ +

1

2ψ (iγµ∂µ −m)ψ − f 0(A)f 0(A∗) , (35)

que contém um campo escalar complexo A(x) e um campo espinorial ψ(x)com uma massa comum

m = 2c2 > 0 . (36)

A parte da (auto) interação fica

LI = 12c2c3AA∗ (A+A∗) + 9c23 (AA

∗)2 +

+£6c3 (A+A∗) + 6c3 (A−A∗)ψγ5ψ

¤(37)

ou, definindo o campo escalar complexo como

A = A1 + iA2 , (38)

LI = 12c2c3¡A21 +A22

¢2A1 + 9c

23

¡A21 +A22

¢2+

+£12c3A1 + 12c3A2iψγ5ψ

¤. (39)

Mostra que o campo real A1(x) é um escalar enquanto que o campo realA2(x) é um pseudo-escalar.Esta é a lagrangeana de Wess-Zumino, de um super-multipleto escalar.

Contém um escalar, um pseudo-escalar e um espinor (spin 1/2) de Majorana,representações (0, 0) e (0, 1/2) ou (1/2, 0) do grupo de Lorentz, formando ummultipleto caracterizado pela massa comum m.Existe uma corrente conservada associada à invariança supersimétrica,

que pode ser determinada pelo método usual. Mais especificamente, existe

65

uma corrente conservada espinorial associada à super-translação, calculadano apêndice A6. Veja que as lagrangeanas supersimétricas são somas decomponentesD(x) de super-campos escalares φ(x, θ) e de componentes F±(x)de super-campos chirais φ±(x, θ), mais precisamente,

Lc =1

4[D0(x) + ∂µ∂

µA0] + Ff+(x) + Ff−(x) , (40)

o termo em derivada servindo para cancelar um termo idêntico contido emD0(x). Por super-translação,⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

δA0 = ψ0

δD0 = −i γµ∂µχ0

δF 0f± = −i γµ∂µψ0f±

(41)

conforme as regras de produto apresentadas no apêndice A5. Mostra que aslagrangeanas supersimétricas são invariantes por super-translação a menosde termos em derivadas, que não contribuem na ação mas devem ser levadosem conta ao calcular a corrente conservada, através do fator Ωµ da equaçãode conservação (A6-20).A equação (A6-12) do apêndice A6 identifica o fator Ωµ com a variação

funcional da lagrangeana,

∂µΩµ = δFL = −1

4

£δD0 + ∂2δA0

¤− δFf+ − δFf− .

Enfim, a corrente conservada é

jµ ∼ γνγµ¡ψ+∂νA

∗ + ψ−∂νA¢+ iγµ

£ψ−f

0(A∗) + ψ+f0(A)

¤, (42)

e a carga espinorial

Qα =

Zd3x

¡j0¢α

, (43)

geradores da super-translação, e portando obedecendo à mesma relação deanti-comutação (2.71),

Qα, Qβ = (−γµC)αβ Pµ . (44)

Multiplicando esta equação à esquerda por (Cγν)βα e somando nos índices αe β, resulta X

α,β

Qα, Qβ (Cγν)βα =Xα,β

¡γµC

¢α β (Cγν)βα P

µ ,

66

de onde resulta, usando C = −γ0 e C2 = (−γ0)2 = 1,

Pµ =1

4

Xα,β

Qα, Qβ¡γ0γµ

¢βα

(45)

e, em especial, para µ = 0,

P 0 = H =1

2

Xα

Q2α ≥ 0 . (46)

Através desta identidade, pode-se ver que se

hHi0 = 0 , (47)

isto é, se a energia mínima (vácuo) for nula, a supersimetria não pode serquebrada espontaneamente. Isto porque

hHi0 = h0|H |0i =1

2

Xα

h0|Q2α |0i

e, para todo α,h0|Q2

α |0i ≥ 0 .Então, para hHi0 = 0 resulta obrigatoriamente

h0|Q2α |0i = 0

e, portanto,Qα |0i = 0 ,

isto é, todos os geradores de super-translação aniqulam o vácuo, indicando ainexistência de degenerescência do vácuo, o que impede a quebra espontâneade simetria.A quebra espontânea de supersimetria pode realizar-se desde que o mín-

imo de energia seja positivo, pois

hHi0 =1

2

Xα

h0|Q2α |0i ≥ 0 .

4.2 Modelo de Wess-Zumino extendido5,7

Uma extensão imediata do modelo anterior é considerar super-campos es-calares múltiplos. Considere, pois, o conjunto de super-campos chirais φa(x, θ),assumidas como todos de chiralidade negativa,

φa(x, θ) = e−i4θγµγ5θ∂µ

∙ϕa(x) + θ+ψ

a−(x) +

1

2θ+θ−Fa(x)

¸. (48)

67

A construção da lagrangeana deste modelo segue os passos do anterior e,tendo como referência a equação (17), fica

L = 1

8

¡DD

¢2(φ∗aφa)−

1

2DD [f(φa) + f(φ∗a)] , (49)

que deve ser calculada para θ = 0. Os super-campos φ∗a conjugados complexosdos φa são de chiralidade positiva

φ∗a = ei4θγµγ5θ∂µ

∙ϕ∗a(x) + θ−ψa

+(x) +1

2θ+θ−F ∗a (x)

¸. (50)

Em princípio a parte cinética poderia conter termos como

1

8

¡DD

¢2(φ∗aφb) ,

porém os super-campos φa(x, θ) sempre podem ser redefinidos, eliminandoestes produtos cruzados na parte cinética da lagrangeana. A função f(φa),neste caso, é

f(φa) =Xn

cnφa1φa2φa3 · · ·φan . (51)

A lagrangeana em funçãod os campos internos fica

L = F ∗aFa + ∂µϕ∗a∂

µϕa +i

2ψaγ

µ∂µψa +

µ∂f

∂ϕa

¶∗F ∗a +

µ∂f

∂ϕa

¶Fa +

−12

µ∂2f

∂ϕa∂ϕb

¶∗ψa

(1 + γ5)

2ψb −

1

2

µ∂2f

∂ϕa∂ϕb

¶ψa

(1− γ5)

2ψb , (52)

somados nos índices a e b. Eliminando os campos auxiliares

F ∗ = −µ

∂f

∂ϕa

¶(53)

e

F = −µ

∂f

∂ϕa

¶∗, (54)

a lagrangeana fica

L = ∂µϕ∗a∂

µϕa +i

2ψaγ

µ∂µψa −µ

∂f

∂ϕa

¶∗µ∂f

∂ϕa

¶+

−12

µ∂2f

∂ϕa∂ϕb

¶∗ψa

(1 + γ5)

2ψb −

1

2

µ∂2f

∂ϕa∂ϕb

¶ψa

(1− γ5)

2ψb (55)

68

ou, definindo

Mab = −µ

∂2f

∂ϕa∂ϕb

¶∗ψa

(1 + γ5)

2−µ

∂2f

∂ϕa∂ϕb

¶ψa

(1− γ5)

2(56)

e

V (ϕ) =Xa

µ∂f

∂ϕa

¶∗µ∂f

∂ϕa

¶, (57)

assume a forma compacta

L = ∂µϕ∗a∂

µϕa +i

2ψaγ

µ∂µψa +1

2ψaMabψb − V (ϕ) . (58)

O potencial V (ϕ) é um polinômio de 4o. grau em ϕ, sendo o termo quecomanda a quebra espontânea da (super) simetria.O mínimo da energia vai coincidir com o mínimo do potencial, e como

V (ϕ) =Xa

¯µ∂f

∂ϕa

¶¯2≥ 0 , (59)

o mínimo absoluto existirá se µ∂f

∂ϕa

¶ϕ0

= 0 (60)

para todos os campos ϕa para algum

ϕ0 = h0|ϕ |0i ,

onde, por questões de simplicidade, recorre-se à notação matricia

ϕ =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ϕ1ϕ2ϕ3

....

ϕn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .

ondeltimo termo, em derivada, não contribui na ação, podendo ser desprezado.

Eliminar este termo em derivada equivale a reescrever a equação (22) como

Lc =1

4(D0 + ∂µ∂

µA0) = FF ∗ + ∂µA∂µA∗ +

i

2ψγµ∂µψ . (61)

69

As funções f(φ±) são super-campos chirais, definidas em (13) e (14), osuper-campo chiral positivoe

F = −f 0(A∗) (62)

eF ∗ = −f 0(A) . (63)

Com estas substituições, a lagrangeana fica

Lc = ∂µA∂µA∗ +

i

2ψγµ∂µψ − f 0(A)f 0(A∗) +

−12

∙f 0

0(A)ψ

(1 + γ5)

2ψ + f 0

0(A∗)ψ

(1− γ5)

2ψ

¸. (64)

Neste caso, a supersimetria não pode ser espontaneamente quebrada pois

hHi0 = hV i0 = 0 .Se não existir nenhum ϕ0 tal que satisfaça a equação (60), então para qual-quer outro mínimo,

hV (ϕ0)i0 > 0 .Se ϕ0 for escolhido como o vácuo do sistema, pode-se definir o novo campoescalar

ϕ0 = ϕ− ϕ0 , (65)

o termo quadrático do potencial nesta nova variável ficandoXa,b

µ∂2V

∂ϕa∂ϕ∗b

¶0

ϕ0aϕ0∗b +

1

2

µ∂2V

∂ϕa∂ϕb

¶0

ϕ0aϕ0b +

1

2

µ∂2V

∂ϕ∗a∂ϕ∗b

¶0

ϕ∗0a ϕ∗0b

que pode ser escrito, formalmente, como a operação matricial

1

2

¡ϕ0a ϕ0∗b

¢∗⎛⎜⎝∂2V

∂ϕa∂ϕ∗b

∂2V∂ϕ∗a∂ϕ∗b

∂2V∂ϕa∂ϕb

∂2V∂ϕ∗a∂ϕb

⎞⎟⎠0

µϕ0aϕ0∗b

¶. (66)

Definindo

Aab = −µ

∂2f

∂ϕa∂ϕb

¶0

, (67)

então µ∂2V

∂ϕa∂ϕ∗b

¶0

=Xc

µ∂2f

∂ϕa∂ϕc

¶0

µ∂2f

∂ϕb∂ϕc

¶∗0

=¡AA†

¢ab

(68)

70

e portanto a soma do quadrado das massa dos campos escalares ϕa éXa

m2a = 2tr

¡AA†

¢. (69)

A matriz de massa dos férmions fica

Mab =1

2(1− γ5)Aab +

1

2(1 + γ5)A

∗ab . (70)

Calculando o produto matricial

MM † = AA† ,

levando em conta que Aba = Aab, pode-se determinar a soma do quadradodas massas dos férmions, X

fermions

m2 = tr¡AA†

¢. (71)

Como os férmions estão representados por espinores de Majorana, contendodois graus de leberdade cada, obtém-se uma importante relação entre a soma(dos quadrados) das massas dos férmions e dos escalares contidos no super-multipleto, X

fermions

m2 =X

escalares

m2a , (72)

somados sobre todos os graus de liberdade.

71

5 Formalismo de Gauge5,6,7

Na secção anterior foram apresentados modelos supersimétricos onde pode-senotar que a parte cinética da lagrangeana do modelo em questão é invari-ante por transformações globais de fase dos campos constituintes. Uma vezdetectada uma transformação de simetria global, pode-se implementar o for-malismo de gauge, adotando o procedimento usual de impor a simetria portransformações locais cujo custo é a necessidade de introduzir os campos degauge.No caso supersimétrico, para manter a invariança torna-se necessária a

introdução de companheiros fermiônicos para os campos de gauge vetoriais,formando super-multipletos pertencentes à mesma representação adjunta dogrupo de simetria considerado.Serão consideradas apenas as simetrias internas.A supersimetria é uma simetria externa, isto é, envolve transformações

de coordenadas que, quando tornada local, introduz como campos de gaugeos campos gravitacionais, agora com companheiros supersimétricos. É amaneira de introduzir a gravitação no formalismo supersimétrico, conhecidocomo super-gravitação.

5.1 Grupo Abeliano

Considere a lagrangeana supersimétrica do Modelo de Wess-Zumino exten-dido da secção anterior, cuja parte cinética é

Lc =1

8

¡DD

¢2(φ∗aφa)

¯θ=0

= ∂µϕ∗a∂

µϕa +i

2ψaγ

µ∂µψa + F ∗aFa , (1)

que é invariante pela transformação de fase global⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ϕa(x) −→ e−iqaωϕa(x)

ψa−(x) −→ e−iqaωψa

−(x)

Fa(x) −→ e−iqaωFa(x)

, (2)

onde qa são cargas reais e ω uma constante real. Em termos dos super-camposchirais, as transformações acima equivalem a⎧⎨⎩ φa(x, θ) −→ e−iqaωφa(x, θ)

φ∗a(x, θ) −→ eiqaωφ∗a(x, θ), (3)

que mantém o produto (φ∗aφa) invariante.

72

Veja que em (2),

ψa+(x) = ψ∗a− (x) −→ eiqaωψa

+(x)

e, portanto, em forma infinitesimal,

ψa(x) = ψa+(x) + ψa

−(x) −→

−→∙(1 + iqaω)

µ1 + γ5

2

¶+ (1− iqaω)

µ1− γ5

2

¶¸ψa(x)

definindo a transformação do espinor

ψa(x) −→ ¡1 + iγ5qaω

¢ψa(x) . (4)

Considere, agora, as transformações de fase locais,⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ϕa(x) −→ ϕ0a(x) = e−iqaω(x)ϕa(x)

ψa−(x) −→ ψ0a−(x) = e−iqaω(x)ψa

−(x)

Fa(x) −→ F 0a(x) = e−iqaω(x)Fa(x)

, (5)

onde ω(x) é uma função arbitrária. As transformações dos super-camposchirais podem ser obtidos pelas substituições dos campos constituintes,

φ0a(x, θ) = φ0a(y, θ−) = ϕ0a(y) + θ+ψ0a−(y) +

1

2θ+θ−F 0

a(y)

= e−i4θγµγ5θ∂µ

£e−iqaω(x)ϕa(x) + θ+e

−iqaω(x)ψa−(x) +

+1

2θ+θ−e−iqaω(x)Fa(x)

¸= e−iqaω(y)φa(y, θ−)

resultando nas transformações

φ0a(x, θ) = e−iqaω(y)φa(x, θ) , (6)

eφa(x, θ) = eiqaω(y)φ∗a(x, θ) (7)

para a sua conjugada complexa, supondo que.

ω(y) = [ω(y)]∗ . (8)

73

Assim, nas transformações locais, a fase em si é um super-campo,

ω(yµ) = ω(xµ +i

4θγµγ5θ)

= ω(x) +i

4θγµγ5θ∂µω − 1

32

¡θθ¢2∂2ω (9)

e

ω(yµ) = ω(xµ − i

4θγµγ5θ)

= ω(x)− i

4θγµγ5θ∂µω − 1

32

¡θθ¢2∂2ω . (10)

Mais precisamente, ω(yµ) é um super-campo chiral positivo e ω(yµ) um super-campo chiral negativo, cuja única componente independente é a função es-calar ω(x).Como ω(yµ) 6= ω(y), o produto φa(x, θ)φ

∗a(x, θ) não é mais invariante,

φ0∗a φ0a = eiqa[ω(y)−ω(y)]φ∗aφa , (11)

e comoω(y)− ω(y) =

i

2θγµγ5θ∂µω , (12)

entãoφ0∗a φ

0a = e−

12qaθγµγ5θ∂µωφ∗aφa . (13)

Para restabelecer a invariança intruduz-se um super-campo de gaugeΦ(x, θ) com a transformação

Φ(x, θ) Φ0(x, θ) = Φ(x, θ) +1

4θγµγ5θ∂µω (14)

de modo que o produtoφ∗ae

2qaΦφa (15)

seja invariante.A lagrangeana supersimétrica invariante de gauge fica

Lc =1

8

¡DD

¢2 ¡φ∗ae

2qaΦφa¢¯

θ=0− 12DD [f(φa) + f(φ∗a)]

¯θ=0

, (16)

com a função f(φa) restrita a termos que satisfaçam a invariança de gauge.

74

Com o super-campo Φ(x, θ) acaba-se por introduzir novos campos gaugealém do campo vetorial usual Aµ(x), todos invariantes pela transformação degauge (14) exceto o campo vetorial, que deve transformar-se da forma usual,

Aµ(x) A0µ(x) = Aµ(x) + ∂µω . (17)

O super-campo Φ(x, θ) contém os escalares de Lorentz A(x), F (x) e D(x),o pseudo-escalar G(x), o vetor Aµ(x) e os espinores ψ(x) e χ(x), com astransformações por super-translação dadas pelas equações (2.57). Para con-struir a lagrangeana livre destes campos de gauge, deve-se antes procuraruma representação que seja irredutível.Considere o tensor anti-simétrico

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ

com a transformação

δFµν = ∂µδAν − ∂νδAµ =1

2γ5¡γµ∂ν − γν∂µ

¢(χ+ iðψ) .

Definindo

λ =χ+ iðψ2

entãoδλ =

1

4

¡D + ∂2A+ iγµγνγ5Fµν

¢e, para

η =1

4

¡D + ∂2A

¢resulta

δη = − i

4ð (χ+ iðψ) = − i

2ðλ .

Em suma, os campos

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ

λ =χ+ iðψ2

(18)

η =1

4

¡D + ∂2A

¢

75

formam um super-multipleto, transformando-se entre si como

δFµν = γ5¡γµ∂ν − γν∂µ

¢λ = − i

2γ5£σµν, γη

¤∂ηλ

δλ =

µη +

i

4γµγνγ5Fµν

¶(19)

δη = − i

2ðλ

δλ =

µη +

i

4γ5γνγµFµν

¶.

Para construir a lagrangeana contendo os membros do super-multipleto,pode-se partir de formas já conhecidas. Para o espinor, por exemplo, espera-se que a lagrangeana livre tenha a forma usual

Lλ =i

2λγµ∂µλ .

Por super-translação,

δLλ =i

2

¡δλ¢γµ∂µλ+

i

2λγµ∂µ (δλ)

=i

2

¡δλ¢γµ∂µλ+

i

2∂µ¡λγµδλ

¢− i

2

¡∂µλ

¢γµδλ

=i

2δλγµ∂µλ+

i

2∂µ¡λγµδλ

¢+

i

2δλγµ∂µλ

que, negligenciando o termo em derivada, leva a

δLλ = iδλγµ∂µλ = i

µη +

i

4γ5γνγµFµν

¶ðλ

= −2ηδη − 14γ5γνγµFµνðλ .

Agora,

γ5γνγµFµνðλ = γ5γνγµFµνγη∂ηλ = γ5γνδµηFµν∂

ηλ

= γ5γνFµν∂µλ = −1

2γ5Fµν (γ

µ∂ν − γν∂µ)λ

= −12FµνδF

µν

76

e portanto

δLλ = −2ηδη + 18FµνδF

µν ,

de modo que

δ

µi

2λγµ∂µλ+ η2 − 1

16FµνF

µν

¶= 0 . (20)

A lagrangeana do super-multipleto, invariante supersimétrico e de gaugeserá, portanto,

Lg =i

2λγµ∂µλ+ η2 − 1

16FµνF

µν .

Pode-se normalizar a lagrangeana de modo a deixar a parte do campotensorial com o coeficiente usual,

Lg −→ L0g = 2iλγµ∂µλ+ 4η2 −1

4FµνF

µν

ou

L0g =i

2λ0γµ∂µλ

0 + η02 − 14FµνF

µν, (21)

com a redefinição dos campos

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ

λ0 = 2λ = χ+ iðψ (22)

η0 = 2η =1

2

¡D + ∂2A

¢

δFµν = γ5¡γµ∂ν − γν∂µ

¢λ =

1

2γ5¡γµ∂ν − γν∂µ

¢λ0

δλ0 =µη0 +

i

2γµγνγ5Fµν

¶(23)

δη0 = − i

2ðλ0

δλ0=

µη0 +

i

2γ5γνγµFµν

¶.

77

Como a transformação do campo escalar η(x) por super-translação é umtermo de derivada, pode-se acrescentar à lagrangeana o termo conhecidocomo de Fayet-Iliopoulos,

LFI = −2ξη(x) , (24)

onde ξ é uma constante arbitrária.

5.2 Generalização (Grupo Abeliano)

O conjunto dos campos (18) define um super-multipleto de gauge de massanula. Os campos são componentes de um super-campo de gauge Φ(x, θ)que, sendo um super-campo escalar, contém outros campos que não os dosuper-multipleto, e devem ser eliminados de alguma maneira. Esta questãoestá associada a uma formulação mais geral da própria transformação de faselocal, equação (6), que pode ser generalizada como

φa(x, θ) −→ φ0a(x, θ) = e−iqaΩ(x,θ)φa(x, θ) (25)

eφ∗a(x, θ) −→ φ∗a(x, θ) = eiqaΩ

∗(x,θ)φ∗a(x, θ) (26)

para o campo complexo conjugado, onde Ω(x, θ) deve ser um super-campochiral negativo para manter a chiralidade dos super-campos φa(x, θ), queforam definidas como de chiralidade negativa,

Ω(x, θ) = Ω(y, θ−) = ω(y) + θ+S−(y) +1

2θ+θ−W (y)

= ω(x) + θS−(x) +1

2θ+θ−W (x)− i

4θγµγ5θ∂µω +

− i

4θθ.θγµ∂µS− − 1

32

¡θθ¢∂2ω (27)

e

Ω∗(x, θ) = ω∗(x) + θS∗−(x) +1

2θ−θ+W ∗(x) +

i

4θγµγ5θ∂µω

∗ +

− i

4θθ.θγµ∂µS

∗− −

1

32

¡θθ¢∂2ω∗ , (28)

onde ω(x) e W (x) são funções escalares complexas arbitrárias e S−(x) é acomponente chiral negativa de um espinor S(x).

78

Na parte cinética da lagrangeana, o produto dos super-campos φ∗aφa, quenão é mais invariante, transformando-se como

φ∗aφa −→ e−iqa[Ω(x,θ)−Ω∗(x,θ)]φ∗aφa ,

deve ser substituído pela expressão

φ∗ae2qaΦφa

que será invariante se o super-campo de gauge transformar-se como

Φ −→ Φ0(x, θ) = Φ(x, θ) +i

2[Ω(x, θ)− Ω∗(x, θ)] . (29)

O super-campo de gauge Φ(x, θ) pode ser decomposto nas suas parteschirais irredutíveis,

Φ(x, θ) = Φ+(x, θ) + Φ−(x, θ) + Φ1(x, θ) (30)

e, escolhendo como real tal que Φ−(x, θ) = Φ∗+(x, θ), de modo que a trans-formação de gauge fique

Φ0(x, θ) = Φ+(x, θ)− i

2Ω∗(x, θ) + Φ−(x, θ) +

i

2Ω(x, θ + Φ1(x, θ)) , (31)

pode-se ver que a parte chiral Φ+(x, θ) é completamente arbitrária, podendoser suprimida por uma escolha adequada de gauge, restando a parte irre-dutível Φ1(x, θ) que contem um campo escalar, A1(x), um campo espinorial,ψ1(x) e o campo vetorial A1µ(x) que deve satiafazer à condição de gauge

∂µA1µ(x) = 0 .

Embora o super-campo irredutível Φ1(x, θ) aparente ser o candidato nat-ural para representar o super-multipleto dos campos de gauge, há uma sériarestrição, pois o produto invariante

φ∗ae2qaΦ1φa

pode conter potências arbitrárias de Φ1, tornando-o não renormalizável. Poresta razão recorre-se a uma representação diferente.Considere o super-campo escalar na sua forma geral, equação (2.43) da

secção anterior,

φ(x, θ) = A(x) + θψ(x) +1

4θθF (x) +

i

4θγ5θG(x) +

+1

4θγµγ5θAµ(x) +

1

4

¡θθ¢.θχ(x) +

1

32

¡θθ¢2D(x) . (32)

79

Como

Ω(x, θ)− Ω∗(x, θ) = (ω − ω∗) + θ¡S− − S∗−

¢+1

2θθ (W −W ∗) +

+1

2θγ5θ (W +W ∗) +

1

4θγµγ5θ∂µ(−i) (ω + ω∗) +

− i

4θθ.θγµ∂µ

¡S− − S∗−

¢− 1

32

¡θθ¢∂2 (ω − ω∗) ,(33)

a transformação (29) corresponde às transformações dos campos⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

A(x) −→ A(x)− ωI(x)ψ(x) −→ ψ(x)− S−,I(x)F (x) −→ F (x) + ωI(x)G(x) −→ G(x)− ωR(x)

Aµ(x) −→ Aµ(x) + ∂µωR(x)χ(x) −→ χ(x) + iðS−,I(x)D(x) −→ D(x) + ∂2ωI(x)

, (34)

onde os índices R e I indicam as partes real e imaginária, respectivamente.O importante é que os campos

F (x), λ(x), η(x)

que formam o super-multipleto são invariantes por estas transformações,de modo que a lagrangeana livre de gauge e o termo de Fayet-Iliopoulos,equações (21) e (24), respectivamente, são automaticamente invariantes pelatransformação de gauge generalizada (29), o que permite escolher as funçõesω(x), S(x) e W (x) tal que anulem os campos indesejáveis,

A(x) = F (x) = G(x) = ψ(x) = 0 ,

o super-campo de gauge assumindo a forma

Φ(x, θ) =1

4θγµγ5θAµ(x) +

1

2θθ.θλ(x) +

1

8

¡θθ¢η(x) . (35)

Conhecida como gauge de Wess-Zumino, nesta escolha a transformação degauge (29) fica

Φ −→ Φ0(x, θ) = Φ(x, θ) +i

2[Ω(x, θ)− Ω∗(x, θ)]

= Φ(x, θ) +1

4θγµγ5θ∂µω , (36)

80

que justamente coincide com a transformação não generalizada (14) onde

Ω(x, θ) = ω(y)

contendo uma única componente real ω(x) e S(x) =W (x) = 0. As transfor-mações de gauge das componentes são⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

Aµ(x) −→ Aµ(x) + ∂µω(x)

λ(x) −→ λ(x)

η(x) −→ η(x)

. (37)

O super-campo de gauge na forma (35) não é invariante por super-translação,sendo necessário, para manter a forma, combiná-la adequadamente com umatransformação de gauge.

5.3 Lagrangeana no Gauge de Wess-Zumino

Será calculada explicitamente a parte cinética da lagrangeana mais as inter-ações de gauge,

L0 = 1

8

¡DD

¢2 ¡φ∗ae

2qaΦφa¢= Lc + LI , (38)

usando o gauge de Wess-Zumino, cujo super-campo de gauge tem a forma(35). A exponencial fica

e2qaΦ = 1 + 2qaΦ+ 2 (qaΦ)2 , (39)

considerando que as potências superiores a Φ2 são automaticamente nulas.Como

Φ2 =1

16

¡θθ¢2AµA

µ , (40)

então

e2qaΦ = 1 +1

4θγµγ5θ (2qaAµ) +

1

4θθ.θ (4qaλ) +

+1

32

¡θθ¢2 ¡8qaη + 4q

2aAµA

µ¢. (41)

O super-campo de gauge Φ(x, θ) deve ser real, e também a exponencial resultanum super-campo escalar real.

81

A seguir, serão definidos os produtos (sem soma em a)

φ0a = φ∗aφa (42)

e (com soma em a)φ00 = e2qaΦφ0a . (43)

Os campos resultantes, coeficientes de φ0a e φ00, podem ser obtidos usando as

expressões da regra de produto de super-campos do apêndice A5.O super-campo φ0a, produto de super-campos de chiralidades positiva e

negativa, não tem chiralidade defintida, e os campos componentes são

A0a = ϕ∗aϕa

ψ0a = ϕ∗aψa− + ψa

−ϕa

F 0a = ϕ∗aFa + F ∗aϕa

G0a = i (ϕ∗aFa − F ∗aϕa)

A0aµ = −iϕ∗a∂µϕa + iϕa∂µϕ∗a − ψ

a

−γµψa−

χ0a = −iϕ∗aγµ∂µψa− − iϕaγ

µ∂µψ∗a− + 2ψ

a+F

a + 2F aψa− +

+iγµψ∗a+ ∂µϕa + iγµψa−∂µϕ

∗a

D0a = −ϕ∗a∂2ϕa − ϕa∂

2ϕ∗a + 4F∗aFa + 2∂

µϕ∗a∂µϕa +

−2i³∂µψ

a

−´γµψ

a− + 2iψ

a

−γµ∂µψa

−

O super-campo φ00 também não tem chiralidade definida, e os seus campossão

A00 = A0 =Xa

ϕ∗aϕa

ψ00 = ψ0 =Xa

¡ϕ∗aψ

a− + ψa

−ϕa

¢F 00 = F 0

G00 = G0

A00µ =Xa

³−iϕ∗a∂µϕa + iϕa∂µϕ

∗a − ψ

a

−γµψa− + 2qaAµϕ

∗aϕa

´χ00 =

Xa

¡χ0a + 4qaϕ

∗aϕaλ− 2qaAµγ

µγ5ψ0a¢

D00 =Xa

D0a +

¡8qaη + 4q

2aAµA

µ¢ϕ∗aϕa +

+4qaAµ³−iϕ∗a∂µϕa + iϕa∂µϕ

∗a − ψ

a

−γµψa−´+

−8qaλ¡ϕ∗aψ

a− + ψa

−ϕa

¢82

A lagrangeana (38) fica

L0 = 1

4

¡D00 + ∂2A00

¢=1

4

¡D0 + ∂2A0

¢aa+ LI (44)

ondeLc =

1

4

¡D0 + ∂2A0

¢aa= ∂µϕ

∗a∂

µϕa +i

2ψaγµ∂µψ

a + F ∗aFa (45)

é a parte cinética dos campos originais e

LI =¡2qaη + q2aAµA

µ¢ϕ∗aϕa +

+qaAµ

³iϕa∂

µϕ∗a − iϕ∗a∂µϕa − ψ

a

−γµψa

−´− 2qaλ

¡ϕ∗aψ

a− + ψ∗a− ϕa

¢(46)

é a interação destes campos com os campos de gauge.Veja que

⇒ [(∂µ − iqaAµ)ϕ∗a] [(∂

µ + iqaAµ)ϕa] = ∂µϕ

∗a∂

µϕa +

+iqaAµ (iϕa∂µϕ∗a − iϕ∗a∂

µϕa) + q2aAµAµϕ∗aϕa

e

ψa

−γµψa

− = ψa (1 + γ5)

2γµ(1− γ5)

2ψa = −1

2ψaγµγ5ψa

poisψaγµψa = 0

e, portanto,

i

2ψaγµ∂µψ

a − qaAµψa

−γµψa

− =i

2ψaγµ¡∂µ − iqaγ

5Aµ

¢ψa ,

de modo que a lagrangeana (38) pode ser escrita em termos das derivadascovariantes de gauge

Dµϕa = (∂µ + iqaA

µ)ϕa (47)

eDµψa =

¡∂µ − iqaγ

5Aµ¢ψa , (48)

resultando

L0 = Lc + LI = F ∗aFa +Dµϕ∗aD

µϕa +i

2ψaγµDµψ

a +

+2qaηϕ∗aϕa − 2qaλ

∙(1− γ5)

2ϕ∗a +

(1 + γ5)

2ϕa

¸ψa . (49)

83

A lagrangeana completa, é (somados em a e b)

L = F ∗aFa +Dµϕ∗aD

µϕa +i

2ψaγµDµψ

a +

+2qaηϕ∗aϕa − 2qaλ

∙(1− γ5)

2ϕ∗a +

(1 + γ5)

2ϕa

¸ψa +

+

µ∂f

∂ϕa

¶∗F ∗a +

µ∂f

∂ϕa

¶Fa +

1

2ψaMabψ

b +

+i

2λγµ∂µλ+ η2 − 1

4FµνF

µν − 2ξη , (50)

com a definição

Mab = −µ

∂2f

∂ϕa∂ϕb

¶∗(1 + γ5)

2−µ

∂2f

∂ϕa∂ϕb

¶(1− γ5)

2. (51)

Esta lagrangeana contém os campos auxiliares Fa e η que podem ser elimi-nados com o auxílio da equação de Euler-Lagrange,

Fa = −µ

∂f

∂ϕa

¶∗e

η = ξ −Xa

qaϕ∗aϕa ,

de modo que

LF = F ∗aFa +

µ∂f

∂ϕa

¶∗F ∗a +

µ∂f

∂ϕa

¶Fa = −

Xa

µ∂f

∂ϕa

¶∗µ∂f

∂ϕa

¶(52)

e

Lη = η2 + 2qaηϕ∗aϕa − 2ξη = −η2 = −

Ãξ −

Xa

qaϕ∗aϕa

!2. (53)

Estes termos definem o potencial

V (ϕ) =Xa

µ∂f

∂ϕa

¶∗µ∂f

∂ϕa

¶+

Ãξ −

Xa

qaϕ∗aϕa

!2, (54)

para um parâmetro ξ arbitrário, de modo que a lagrangeana total (50) fica

L = Dµϕ∗aD

µϕa +i

2ψaγµDµψ

a − 2qaλ∙(1− γ5)

2ϕ∗a +

(1 + γ5)

2ϕa

¸ψa +

+i

2λγµ∂µλ− 1

4FµνF

µν +1

2ψaMabψ

b − V (ϕ) . (55)

84

5.4 Grupo Não-Abeliano7

No modelo de Wess-Zumino extendido, representado por super-campos chi-rais negativos, cujos campos componentes são©

ϕa(x), ψa−(x), Fa(x)

ª,

as transformações locais destes campos representadas por um grupo não-abeliano ficam ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

ϕa(x) −→£e−itAωA(x)

¤abϕb(x)

ψa−(x) −→

£e−itAωA(x)

¤abψb−(x)

Fa(x) −→£e−itAωA(x)

¤abFb(x)

, (56)

onde tA são os geradores (hermitianos) do grupo considerado e ωA(x) funçõesreais arbitrárias. Os geradores obedecem à álgebra de Lie do grupo,

[tA, tB] = ifABCtC , (57)

fABC a constante de estrutura, completamente anti-simétrica nos três índices.A transformação equivalente do super-campo em particular é

φa(x, θ) −→ φ0a(x, θ) =£e−itAωA(y)

¤abφb(x, θ) (58)

e, para o seu complexo conjugado,

φ∗a(x, θ) −→ φ∗a(x, θ) =£eit∗AωA(y)

¤abφ∗b(x, θ)

=£eitAωA(y)

¤baφ∗b(x, θ) . (59)

O produto global invariante é

φ†(x, θ)φ(x, θ) = φ∗a(x, θ)φa(x, θ) (60)

que localmente transforma-se como

φ∗0a (x, θ)φ0a(x, θ) = φ∗b(x, θ)

£eitAωA(y)

¤ba

£e−itAωA(y)

¤abφb(x, θ) ,

não sendo invariante, portanto. Para construir um novo produto que sejainvariante local, introduz-se os super-campos de gauge ΦA(x, θ) com a trans-formação

e2tAΦA −→ eitAωA(y)e2tAΦAe−itAωA(y) (61)

85

de modo que o produto invariante seja

φ†(x, θ)e2tAΦAφ(x, θ) = φ∗a(x, θ)£e2tAΦA

¤abφb(x, θ) . (62)

O número de super-campos de gauge necessário é igual ao número de ger-adores do grupo. Como estes geradores não são comutativos, a manipulaçãodos exponenciais requer maior atenção.Em forma generalizada, a transformação (58) fica

φa(x, θ) −→ φ0a(x, θ) =£e−itAΩA(x,θ)

¤abφb(x, θ) (63)

e, para o complexo conjugado,

φ∗a(x, θ) −→ φ∗0a (x, θ) =£eitAΩ

∗A(x,θ)

¤abφ∗b(x, θ) , (64)

os super-campos de gauge transformando-se através da regra

e2tAΦA −→ e−itBΩBe2tAΦAeitCΩ∗C , (65)

de modo a manter invariante o produtro (60). Também

e−2tAΦA −→ e−itBΩ∗Be−2tAΦAeitCΩC . (66)

As funções de gauge ΩA(x, θ) são super-campos chirais negativos (tem amesma chiralidades dos super-campos φa(x, θ)), e Ω

∗A(x, θ) são super-campos

chirais positivos obedecendo, portanto, às condições

D+ΩA = D−Ω∗A = 0 . (67)

Deste modo o super-campo espinorial

ψ−− ∼ D−D+

£e2tAΦAD−e−2tBΦB

¤(68)

transforma-se como

ψ−− −→ D−D+

£e−itBΩBe2tAΦAeitCΩ

∗CD−e−itDΩ

∗De−2tEΦEeitFΩF

¤(69)

= D−D+

£e−itBΩBe2tAΦAD−e−2tEΦEeitFΩF

¤=£e−itBΩBψ−−e

itFΩF¤,

a última passagem usando o fato de que¡D−D+

¢D−eitBΩB = D

α

−nDα+, D

β

−oeitBΩB ∼ D

α

−ðeitBΩB ≡ 0

devido à identidade (67).

86

Do mesmo modo o super-campo espinorial

ψ++ ∼ D+D−£e−2tAΦAD+e

2tBΦB¤

(70)

transforma-se como

ψ++ −→£e−itBΩ

∗Bψ++e

itFΩ∗F

¤, (71)

de modo que se pode construir a invariante supersimétrica

ψ−−ψ++ ,

cuja componente F é a lagrangeana livre dos campos de gauge, no caso nãoabeliano contendo possíveis auto-interações,

Lgauge ∼¡DD

¢ψ−−ψ++

¯θ=0

. (72)

Os super-campos espinoriais ψ++(x, θ) e ψ−−(x, θ) são exatamente os definidosna secção 3.Será usado um procedimento menos rigoroso para construir a lagrangeana

de gauge, pelo procedimento usual de substituições das derivadas comunspelas derivadas covariantes de gauge. Para construir as derivadas covariantes,deve-se conhecer as transformações dos campos de gauge. Será assumido ogauge de Wess-Zumino, quando é válida a transformação (61) na forma nãogeneralizada.Os super-campos de gauge tem a forma

ΦA(x, θ) =1

4θγµγ5θAA

µ (x) +1

2θθ.θλA(x) +

1

8

¡θθ¢ηA(x) (73)

no gauge de Wess-Zumino e portanto

e2tAΦA = 1 + 2tAΦA + 2tAtBΦAΦB , (74)

considerando que as potências superiores a Φ2 são automaticamente nulas.Como

ΦAΦB =1

16

¡θθ¢2AAµA

µB , (75)

então

e2qAΦA = 1 +1

4θγµγ5θ

¡2tAA

Aµ

¢+1

4θθ.θ

¡4tAλ

A¢+

+1

32

¡θθ¢2 ¡8tAη

A + 4tAtBAAµA

µB

¢. (76)

87

A transformação de gauge (61) em forma infinitesimal fica

e2tAΦA −→ [1− itAωA(y)] e2tAΦA [1 + itAωA(y)]

= e2tAΦA − itBωB(y)e2tAΦA + ie2tAΦAtBωB(y) (77)

onde ωB(y) e ωB(y) são super-campos chirais

ωA(y) = ω(x) +i

4θγµγ5θ∂µωA − 1

32

¡θθ¢2∂2ωA . (78)

eωA(y) = ωA(x)− i

4θγµγ5θ∂µωA − 1

32

¡θθ¢2∂2ωA . (79)

Em (77) tem os produtos

tAωA(y)e2tBΦB = tAωA(x) +

1

4θγµγ5θ

£2tAtBA

Bµ + itA∂µωA

¤+

+1

4θθ.θ

£4tAtBωAλ

B¤+

+1

32

¡θθ¢2 £8tAtBωAη

B + 4tAtBtCωAABµA

µC+

− tA∂2ωA + 4itAtB∂µωA.A

µB

¤e

e2tBΦB tAωA(y) = tAωA(x) +1

4θγµγ5θ

£2tBtAA

Bµ − itA∂µωA

¤+

+1

4θθ.θ

£4tBtAωAλ

B¤+

+1

32

¡θθ¢2 £8tBtAωAη

B + 4tBtCtAωAABµA

µC+

− tA∂2ωA − 4itBtA∂µωA.A

µB

¤que, substituídos resulta

e2tAΦA −→ e2tAΦ0A = 1 +

1

4θγµγ5θ

¡2tBA

0Bµ

¢+1

4θθ.θ (4tAλ

0A) +

+1

32

¡θθ¢2 ¡8tAη

0A + 4tBtCA

0Bµ A0µC

¢, (80)

88

onde ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩A0Aµ = AA

µ + ∂µωA + fCBAωCABµ

λ0A = λA + fCBAωCλB

η0A = ηA + fCBAωCηB

, (81)

que definem as transformações de gauge dos campos componentes deΦA(x, θ).O tensor antissimétrico

FAµν = ∂µAAν − ∂νAAµ − fABCABµACν (82)

tranaforma-se como

F 0Aµν = FAµν − fABCωCFBµν (83)

mostrando que os camposFAµν , λA, ηA

formam um super-multipleto pertencente à representação adjunta do grupoconsiderado. Os geradores na representação adjunta são definidos a partirdas constantes de estrutura,³

tadjA

´BC= −i (fA)BC ,

e com isto as transformações (81) e (83) ficam⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

F 0Aµν = FAµν − i

³tadjC

´AB

ωCFBµν

λ0A = λA − i³tadjC

´AB

ωCλB

η0A = ηA − i³tadjC

´AB

ωCηB

. (84)

Substituindo a derivada comum pela derivada covariante na equação (21)resulta a lagrangeana dos campos de gauge,

Lg =i

2λAγ

µDµλA + ηAηA −1

4FAµνF

µνA (85)

onde

DµλA = ∂µλA + i³tadjC

´AB

ACµλB

= ∂µλA + fCABACµλB (86)

89

é a derivada covariante sobre o campo λA.O termo de Fayet-Ilioupoulos é

LFI = −2ξAηA , (87)

para ξA constantes arbitrárias.A parte cinética mais as interações de gauge é dada por

L0 = 1

8

¡DD

¢2 ¡φ†e2tAΦAφ

¢=1

8

¡DD

¢2 £e2tAΦA

¤abφ∗aφb , (88)

O produtoφ0a = φ∗aφb

tem os coeficientes

A0ab = ϕ∗aϕb

ψ0ab = ϕ∗aψb− + ψa

−ϕb

F 0ab = ϕ∗aFb + F ∗aϕb

G0ab = i (ϕ∗aFb − F ∗aϕb)

A0abµ = −iϕ∗a∂µϕb + iϕb∂µϕ∗a − ψ

a

−γµψb−

χ0ab = −iϕ∗aγµ∂µψb− − iϕbγ

µ∂µψ∗a− + 2ψ

a+Fb + 2F

∗aψ

b− +

+iγµψ∗a+ ∂µϕb + iγµψb−∂µϕ

∗a

D0ab = −ϕ∗a∂2ϕb − ϕb∂

2ϕ∗a + 4F∗aFb + 2∂

µϕ∗a∂µϕb +

−2i³∂µψ

a

−´γµψ

b− + 2iψ

a

−γµ∂µψb

− (89)

e o produtoφ00 =

£e2tAΦA

¤abφ∗aφb

(somados em a e b) os coeficientes

A00 = A0aa = ϕ∗aϕa

ψ00 = ψ0aa =¡ϕ∗aψ

a− + ψa

−ϕa

¢F 00 = F 0

aa = ϕ∗aFa + F ∗aϕa

G00 = G0aa = i (ϕ∗aFa − F ∗aϕa)

A00µ =³−iϕ∗a∂µϕa + iϕa∂µϕ

∗a − ψ

a

−γµψa− + 2ϕ

†tAϕAAµ

´χ00 =

³χ0aa + 4ϕ

†tAϕλ− γµγ5¡2tAA

Aµ

¢abψ0ab´

D00 = D0aa + ϕ†

¡8tAη

A + 4tAtBAAµA

µB

¢ϕ+

+4 (tAAµA)ab

³iϕa∂µϕ

∗b − iϕ∗a∂µϕb +−ψa

−γµψb−´+

−8 ¡tAλA¢ab ¡ϕ∗aψb− + ψ∗a− ϕb

¢(90)

90

A lagrangeana (88), calculada para θ = 0, é

L0 = 1

4

¡D00 + ∂2A00

¢=1

4

¡D0 + ∂2A0

¢aa+ LI

= Lc + LI ,

a parte cinética sendo

Lc =1

4

¡D0 + ∂2A0

¢aa= ∂µϕ

∗a∂

µϕa +i

2ψaγµ∂µψ

a + F ∗aFa (91)

e a parte da interação de gauge,

LI = ϕ∗a¡2tAη

A + tAtBAAµA

µB

¢abϕb +

+¡tAA

Aµ

¢ab

³iϕb∂

µϕ∗a − iϕ∗a∂µϕb − ψ

a

−γµψb

−´+

−2 (tA)ba λA ¡

ϕ∗aψb− + ψ∗a− ϕb

¢(92)

ou

L0 =h¡∂µ − it∗AA

Aµ

¢abϕ∗bi £(∂µ + itBA

µB)ac ϕc

¤+

+i

2ψaγµ∙µ

∂µ + itBABµ

(1− γ5)

2

¶ab

¸ψb + F ∗aFa +

+2ϕ∗a (tA)ab ϕbηA − 2 (tA)ba λ

A £ϕ∗aψ

b− + ψ∗a− ϕb

¤. (93)

Finalmente, a parte do super-potencial definido pelas componentes F dasfunções f(φ+) e f(φ−),

Lf =

µ∂f

∂ϕa

¶∗F ∗a +

µ∂f

∂ϕa

¶Fa +

−12

µ∂2f

∂ϕa∂ϕb

¶∗ψa (1 + γ5)

2− 12

µ∂2f

∂ϕa∂ϕb

¶ψa (1− γ5)

2ψb . (94)

A lagrangeana total é

L = L0 + Lgauge + LFI + Lf

91

ou, explicitamente,

L =h¡∂µ − it∗AA

Aµ

¢abϕ∗bi £(∂µ + itBA

µB)ac ϕc

¤+

+i

2ψaγµ∙µ

∂µ + itBABµ

(1− γ5)

2

¶ab

¸ψb + F ∗aFa +

+2ϕ∗a (tA)ab ϕbηA − 2 (tA)ba λ

A £ϕ∗aψ

b− + ψ∗a− ϕb

¤+

+i

2λAγ

µ¡∂µ + fCA

Cµ

¢AB

λB + ηAηA − 1

4FAµνF

µνA +

−2ξAηA +µ

∂f

∂ϕa

¶∗F ∗a +

µ∂f

∂ϕa

¶Fa +

−12

µ∂2f

∂ϕa∂ϕb

¶∗ψa (1 + γ5)

2− 12

µ∂2f

∂ϕa∂ϕb

¶ψa (1− γ5)

2ψb . (95)

Esta lagrangeana contém como campos auxiliares as funções Fa(x) e

ηA(x), que aparecem nas combinações

LF = F ∗aFa +

µ∂f

∂ϕa

¶∗F ∗a +

µ∂f

∂ϕa

¶Fa (96)

eLη = ηAη

A − 2ξAηA + 2ϕ∗a (tA)ab ϕbηA . (97)

Aplicando a equação de Euler-Lagrange, resultam

Fa = −µ

∂f

∂ϕa

¶∗(98)

eηA = ξA − (tA)bc ϕ∗bϕc (99)

que, substituídos em (96) e (97) levam a

LF = −Xa

µ∂f

∂ϕa

¶∗µ∂f

∂ϕa

¶(100)

e

Lη = −XA

ηAηA = −

XA

[ξA − (tA)bc ϕ∗bϕc]£ξA − ¡tA¢

deϕ∗dϕe

¤, (101)

92

que constituem os termos do potencial, definido como

V (ϕ) =Xa

µ∂f

∂ϕa

¶∗µ∂f

∂ϕa

¶+XA

[ξA − (tA)bc ϕ∗bϕc]£ξA − ¡tA¢

deϕ∗dϕe

¤.

(102)Definindo o termo de massa dos férmions,

Mab = −µ

∂2f

∂ϕa∂ϕb

¶∗(1 + γ5)

2−µ

∂2f

∂ϕa∂ϕb

¶(1− γ5)

2(103)

e, fazendo as devidas substituições, a lagrangeana (95) fica

L =h¡∂µ − it∗AA

Aµ

¢abϕ∗bi £(∂µ + itBA

µB)ac ϕc

¤+

+i

2ψaγµ∙µ

∂µ + itBABµ

(1− γ5)

2

¶ab

¸ψb +

+i

2λAγ

µ¡∂µ + fCA

Cµ

¢AB

λB − 14FAµνF

µνA +

−2 (tA)ba λA £

ϕ∗aψb− + ψ∗a− ϕb

¤+1

2ψaMabψ

b − V (ϕ) . (104)

93

6 Modelo SU(3)× SU(2)× U(1)9,10

Considerar-se-á nesta secção a extensão supersimétrica do modelo SU(3) ×SU(2) × U(1) que, embora não seja fenomenologicamente adequado, servepara ilustrar os problemas e as dificuldades inerentes aos modelos super-simétricos.Como a supersimetria não é uma lei natural da natureza no universo

atual, uma das primeiras providências que se tem em mente é justamentequebrá-la, de preferência pelos mecanismos de quebra espontânea. Nestemodelo descrito por S. Weinberg, sugere-se que a supersimetria sobrevivaaté uma escala de energia ordinária, da ordem de 300GeV , o que poderiaajudar a superar o problema da hierarquia presente nas teorias de gaugeatuais. Também trará importantes consequências fenomenológicas, por seracessível à experimentação.Omodelo mínimo contém os quarks e os léptons usuais como componentes

fermiônicos de um conjunto de super-campos chirais, que estão relacionadosna tabela a seguir, juntamente com a representação dentro dos grupos SU(3),SU(2) e U(1). Somente os quarks são coloridos, tripletos de SU(3); as com-ponentes de mão esquerda são dupletos de SU(2), e as componentes de mãodireita singletos de SU(2).Abaixo segue uma tabela contendo os super-campos e as partículas con-

tidos no modelo:

Super-campos e partículas contidos no modelo.

Por quarks e léptons considera-se as famíliasµu

d

¶,

µc

s

¶,

µt

b

¶para os quarks (carga 2/3 na linha superior e −1/3 na inferior) eµ

νee

¶,

µνµµ

¶,

µνττ

¶94

para os léptons, cujos membros ou gerações devem ser convenientementesomados.A lagrangeana supersimétrica completa é dada em (5.104) da secção an-

terior,

L =h¡∂µ − it∗AA

Aµ

¢abϕ∗bi £(∂µ + itBA

µB)ac ϕc

¤+

+i

2ψaγµ∙µ

∂µ + itBABµ

(1− γ5)

2

¶ab

¸ψb +

+i

2λAγ

µ¡∂µ + fCA

Cµ

¢AB

λB − 14FAµνF

µνA +

−2 (tA)ba λA £

ϕ∗aψb− + ψ∗a− ϕb

¤+1

2ψaMabψ

b − V (ϕ) , (5.104)

onde

Mab = −µ

∂2f

∂ϕa∂ϕb

¶∗(1 + γ5)

2−µ

∂2f

∂ϕa∂ϕb

¶(1− γ5)

2(5.103)

é o termo de massa dos férmions é

V (ϕ) =Xa

µ∂f

∂ϕa

¶∗µ∂f

∂ϕa

¶+XA

[ξA − (tA)bc ϕ∗bϕc]£ξA − ¡tA¢

deϕ∗dϕe

¤(5.102)

o potencial definido pelos campos escalares.Na realidade, Mab e V (ϕ) são funções de ϕa e ϕ

∗a, e f = f(ϕa) é a parte

escalar do super-potencial f(φa) construído como função somente dos super-campos chirais negativos (secção 4). A expressão do potencial, explicitadosos geradores FA = λA/2 de SU(3), σi/2 de SU(2) e Y se U(1) fica

V (ϕ) =

µ∂f

∂ϕa,α

¶∗µ∂f

∂ϕa,α

¶+

+

∙ξA −

(λA)bc2

ϕ∗b,αϕc,α

¸"ξA −

¡λA¢de

2ϕ∗d,βϕe,β

#+

+

∙ξ0i −

(σi)αβ2

ϕ∗b,αϕb,β

¸ ∙ξ0i − (σi)γδ

2ϕ∗d,γϕd,δ

¸+

+£ξ00 − Yϕϕ

∗b,αϕb,α

¤ £ξA − ¡tA¢

deϕ∗d,βϕd,β

¤, (1)

onde a, b, c, · · · (variando de 1 a 3) e A (variando de 1 a 8) são índices deSU(3), e α, β, γ, · · · (variando de 1 a 2) e i (variando de 1 a 3) são índicesde SU(2).

95

Os seguintes produtos conservam a hipercarga de U(1):⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩LαLL

βLE

∗R

Qa,αL D∗b

RLβL

U∗aR D∗bRD

∗cR

.

Para tornar invariantes por SU(3) e SU(2), deve-se contrair os índices ade-quadamente a fim de resultar em singletos nos dois grupos,⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

αβLαLL

0βLE

∗R

αβQa,αL D∗b

RLβL

abcU∗aR D∗bRD

0∗cR

,

as linhas indicando gerações diferentes. O super-potencial é a combinaçãolinear dos três termos invariantes acima,

f(φ) = a1 αβLαLL

0βLE

∗R + a2 αβQ

a,αL D∗b

RLβL + a3

abcU∗aR D∗bRD

0∗cR , (2)

a parte significativa sendo somente a parte dos campos escalares,

f(φ) = a1 αβLαLL0βL E∗R + a2 αβQa,α

L D∗bRLβL + a3

abcU∗aR D∗bRD0∗cR , (3)

que entra na construção de V (ϕ) e Mab. Os únicos campos escalares neu-tros disponíveis para quebrar a simetria SU(2)× U(1) são os companheirosescalares dos neutrinos, NL, aos quais pode-se associar valores esperados novácuo não nulos,

hNLi0 6= 0. (4)

Assim, calculadas no vácuo, todas as derivadas primeiras do super-potencialsão identicamente nulas, µ

∂f

∂ϕa

¶≡ 0 . (5)

Derivadas de segunda ordem não nulas sãoµ∂2f

∂LαL∂E∗R

¶0

= a1 αβ

DL0βLE0= a1 α1 hN 0

Li0 (6)

e µ∂2f

∂Qa,αL ∂D∗aR

¶0

= a2 αβ

DLβL

E0= a2 α1 hNLi0 , (7)

96

as quais definem as massas dos férmions.Derivadas de terceira ordem não nulas sãoÃ

∂3f

∂LαL∂L0βL ∂E∗R

!0

= a1 αβ , (8)

̶3f

∂Qa,αL ∂D∗aR ∂Lβ

L

!0

= a2 αβ (9)

e µ∂3f

∂U∗aR ∂D∗aR ∂D0∗cR

¶0

= a3abc , (10)

que definem os acoplamentos de Yukawa.Fazendo a expansão de Mab ao redor do ponto de mínimo

hϕi0 = (0, 0, · · · , hNLi0 , · · · , 0) (11)

e redefinindo os camposϕa − hϕai0 −→ ϕa (12)

resulta exatamente

Mab = (Mab)0 +

µ∂Mab

∂ϕc

¶0

ϕc +

µ∂Mab

∂ϕ∗c

¶0

ϕ∗c , (13)

aparecendo dentro da lagrangeana como

1

2ψaMabψ

b =1

2(Mab)0 ψ

aψb +

1

2ψa∙µ

∂Mab

∂ϕc

¶0

ϕc +

µ∂Mab

∂ϕ∗c

¶0

ϕ∗c

¸ψb .

Assim,

LMψ=1

2ψaMabψ

b (14)

define as massas dos férmions e

LY uk =1

2ψa∙µ

∂Mab

∂ϕc

¶0

ϕc +

µ∂Mab

∂ϕ∗c

¶0

ϕ∗c

¸ψb (15)

os acoplamentos de Yukawa.Em (6-14),

(Mab)0 = −µ

∂2f

∂ϕa∂ϕb

¶0

(1− γ5)

2+ c.c.

97

(c.c. indica complexo conjugado), cujos termos não nulos são

(M αe∗)0 = −µ

∂2f

∂LαL∂E∗R

¶0

(1− γ5)

2+ c.c.

= −a1 αβ

DL0βLE0= −a1 α1 hN 0

Li0 (16)

e

(Mqa,αd∗,a)0 = −µ

∂2f

∂Qa,αL ∂D∗aR

¶0

(1− γ5)

2+ c.c.

= −a2 α1 hNLi0 (17)

ou, mais precisamente,

(Mee∗)0 = a1 hN µL +N τ

Li0 (18)

e(Mdad∗,a)0 = a2 hN e

L +N eL +N µ

L +N τLi0 (19)

que aparecem na lagrangeana como

LMψ=

1

2Mee∗ψeψe∗ +

1

2Me∗eψe∗ψe + (e −→ µ, τ) +

+1

2Mdd∗ψdψd∗ +

1

2Md∗dψd∗ψd + (d −→ s, b) .

Veja que ψa são espinores de Majorana, por construção. Por exemplo,

ψe = eL + e∗L

eψe∗ = e∗R + eR ,

que não representam as funções de onda dos elétrons ou pósitrons. No en-tanto,

ψeψe∗ + ψe∗ψe = (eL + e∗L) (e∗R + eR) + (e

∗R + eR) (eL + e∗L)

= eLeR + e∗Le∗R + e∗ReL + eRe

∗L = ee+ e∗e∗

onde ⎧⎨⎩ e = eR + eL

e∗ = e∗R + e∗L(20)

98

representam os elétrons e os pósitrons e, portanto,

LMψ=

1

2Mee∗ee+

1

2Me∗ee

∗e∗ + (e −→ µ, τ) +

+1

2Mdd∗dd+

1

2Md∗dd

∗d∗ + (d −→ s, b) , (21)

a massa dos elétrons sendoMee∗ =Me∗e e a massa dos quarks d,Mdd∗ =Md∗d.Os neutrinos e os quarks u continuam sem massa.Quanto aos acoplamentos de Yukawa,

LY uk =1

2ψa∙µ

∂Mab

∂ϕc

¶0

ϕc +

µ∂Mab

∂ϕ∗c

¶0

ϕ∗c

¸ψb

= −12ψa∙µ

∂3f

∂ϕa∂ϕb∂ϕc

¶0

(1− γ5)

2ϕc +

µ∂3f

∂ϕa∂ϕb∂ϕc

¶∗0

(1 + γ5)

2ϕ∗c

¸ψb

= −Xa≥b

ψa∙µ

∂3f

∂ϕa∂ϕb∂ϕc

¶0

(1− γ5)

2ϕc + c.c.

¸ψb

Utilizando as derivadas (8-10),

LY uk = −a1 αβα∙E∗R(1− γ5)

2+ ER (1 + γ5)

2

¸0β +

−a1 αβ0β∙LαL

(1− γ5)

2+ Lα∗

L

(1 + γ5)

2

¸e+

−a1 αβα∙L0βL(1− γ5)

2+ L0β∗L

(1 + γ5)

2

¸e+

−a2 αβqa,α

∙D∗aR

(1− γ5)

2+Da

R

(1 + γ5)

2

¸β +

−a2 αβd∗a∙Qa,α

L

(1− γ5)

2+Q∗a,αL

(1 + γ5)

2

¸β +

−a2 αβqa,α

∙LβL

(1− γ5)

2+ L∗βL

(1 + γ5)

2

¸da +

−a3 abcu∗b∙D∗cR

(1− γ5)

2+Da

R

(1 + γ5)

2

¸d0∗a +

−a3 abcd∗c∙U∗bR

(1− γ5)

2+ U b

R

(1 + γ5)

2

¸d0∗a +

−a3 abcd0∗c∙D∗aR

(1− γ5)

2+Da

R

(1 + γ5)

2

¸d0∗b

99

ou, de forma mais concisa,

LY uk = −a1 αβ

h ∗αL E∗R 0β + 0∗

LLαLe∗R

i+

−a2 αβ

hq∗a,αD∗aR β

L + da

RQa,αL

βL + qL

∗a,αLβLd∗aR

i+

−a3 abchubRD∗cR d0∗aR + dcR U∗bR d0∗aR + d0

a

RD∗cR u∗bRi+ c.c. .

Explicitando as componentes de SU(2), a lagrangeana acima contém in-terações lépton-lépton,

L , = −a1 αβ

h ∗αL E∗R 0β + 0∗

LLαLe∗R

i+ c.c. , (22)

cujos acoplamentos estão especificados na tabela abaixo,

ν∗LE∗Re0L νLERe0∗Le∗LE∗Rν 0L eLERe0∗Le0∗LNLe

0∗R e0LNLe

0R

ν 0∗LERe∗R ν 0LE∗LeRν∗LE 0Re∗R ν∗LE 0∗L eRe∗LN 0

Le∗R e∗LN 0∗

L eR

A figura (1) ilustra o diagrama de Feynman correspondente aos acopla-mentos da equação (22) onde, usando como exemplo o primeiro termo databela acima, L1 = ν∗L é alinha do anti-férmion, L2 = e0L a linha do férmione L = E∗R a linha do bóson escalar.

Figure 1: Diagrama de Feynman dos acoplamentos das equações (4.22) e(4.23).

100

A componente seguinte da lagrangeana contém interações lépton-quark,

Lq, = −a2 αβ

hq∗a,αD∗aR β

L + da

RQa,αL

βL + qL

∗a,αLβLd∗aR

i+ c.c. , (23)

cujos acoplamentos estão listados na tabela a seguir:

u∗aL D∗aR eL uaLDaRe∗L

d∗aL D∗aR νL d

a

LDaRν

∗L

da

RUaReL d

∗aR U∗aR e∗L

da

RDaLνL d

∗aR D∗aL ν∗L

u∗aL ELd∗aR uaLE∗LdaRd∗aL NLd

∗aR d

a

LN ∗Ld

aR

Usando a mesma figura (1) e tomando como exemplo o primeiro acopla-mento, L1 = u∗aL é a linha dos anti-quarks, L2 = eL a linha do lépton eL = D∗aR a linha dos bósons escalares.Finalmente, o termo

Lq,q = −a3 abchubRD∗cR d0∗aR + dcR U∗bR d0∗aR + d0

a

RD∗cR u∗bRi+ c.c. (24)

contem as interações quark-antiquark, detalhadas na tabela seguinte.

ubRD∗cR d0∗aR u∗bRDcRd

0aR

dc

RU∗bR d0∗aR d∗cRDb

Rd0aR

d0aRD∗cR u∗bR d

0∗aR Dc

RubR

No diagrama de Feymann representado pela figura (1) tendo o primeiroacoplamento como exemplo, L1 = ubR é a linha dos anti-quarks, L2 = d0∗aR alinha do lépton e L = D∗cR a linha dos bósons escalares.As interações (23) e (24), que envolvem quarks e léptons, possibilitam o

decaimento dos prótons através da troca dos bósons escalares DaR, ilustrados

no diagrama de Feynman da figura (2).Por exemplo, no decaimento

p −→ π0 (ρ0) + e+ ,

o próton, representado por L1 = d∗R, L2 = uR e L5 = uR decai para o

méson π0 representado por L3 = u∗L e L6 = uR mais o pósitron L4 = eL,intermediado pelo bóson escalar L = D0R, lembrando que a direção das setasdas linhas de férmions indicam se representam férmions (seta para a direita)ou anti-férmions (seta para a esquerda). A outra possibilidade é a reação

p −→ π+ (ρ+) + νL ,

101

Figure 2: Diagrama de Feynman representando decaimentos de prótons.

representado por L1 = d∗R, L2 = uR e L5 = uR decaindo para o méson

π+ (L3 = d∗L e L6 = uR) mais o neutrino L4 = νL, intermediado pelo

bóson escalar L = D0R. Estas reações de primeira ordem, intermediadas pelosescalares companheiros super-simétricos dos quarks, com escala de massa daordem de . 300GeV , são catastróficas.Tem pelo menos três pontos incorretos neste modelo:

1. Os quarks u (carga 2/3) permanecem sem massa.

2. Os números bariônico B e leptônico L não são conservados, causando,em particular, um decaimento a nível catastrófico dos prótons. A con-servação dos números bariônicos e leptônico B−L poderia ser impostaa mão, eliminando as interações indesejáveis, mas atualmente deseja-se que tal conservação seja consequência de uma lei de simetria maisampla.

3. Após a quebra da supersimetria e de SU(2) × U(1), no modelo so-brevivem os escalares leves, garantidos pelo teorema de Dimopoulos eGeorgi. Este teorema mostra que em qualquer modelo supersimétricocom o grupo de gauge SU(3)× SU(2)× U(1) onde somente os quarkse glúons são coloridos, após a quebra espontânea de supersimetria e deSU(2) × U(1), permanece ao menos um escalar mais leve que o maisleve dos quarks d ou u.

102

Os quarks u podem ser tornados massivos introduzindo um super-campode Higgs HL, de chiralidade negativa, singleto SU(3), dupleto SU(2) e hiper-carga Y = 1/2.A conservação de B − L é obtida introduzindo uma simetria discreta,

invariança pela troca de sinal de todos os super-campos dos quarks e léptons.Isto elimina as três interações anteriores, equação (2), e portanto torna-senecessário um outro super-campos de Higgs H 0

L, singleto SU(3), dupleto deSU(2) e hipercarga Y = −1/2, para gerar as massas dos quarka d. Ossuper-campos HL e H 0

L são considerados pares pela simetria discreta acimadefinida, isto é, quando todos os super-campos dos quarks e léptons mudamde sinal, os super-campos de Higgs mantêm o mesmo sinal.Os produtos invariantes são

αβHαLH

0βL

αβHαLL

βLE

∗R

αβHαLQ

αβL D∗a

R

αβH0αL Qαβ

L U∗aR

resultando o super-potencial

f(ϕ) = a1 αβHαLH0β

L + a2 αβHαLLβ

LE∗R + a3 αβHαLQαβ

L D∗aR +

+a4 αβH0αLQαβ

L U∗aR . (25)

As massas dos férmions, dadas por

(Mab)0 = −µ

∂2f

∂ϕa∂ϕb

¶0

(1− γ5)

2+ c.c. (26)

resultam

(M βc∗)0 ∼ 1β hNLi0¡Mqαβd∗a

¢0∼ 1β

­Y0L®0¡Mqαβu∗a

¢0∼ 2β hU 0Li0 (27)

103

correspondentes às massas dos férmions (e, µ, τ), os quarks d (d, s, b) e osquarks u (u, c, t), cujos valores numéricos devem ser ajustados fenomeno-logicamente. Os neutrinos permanecem sem massa.Os números B e L são automaticamente conservados, associando-se B =

L = 0 para os super-campos de Higgs, de modo que, pelo menos em primeiraordem o modelo está protegido do decaimento dos prótons.Resta o problema dos escalares leves, que somente pode ser resolvido à

mão impondo uma quebra explícita de supesimetria.Decaimentos de pròtons podem ocorrer em processos de ordem mais alta,

associados a interações efetivas que não conservem B e L. Interações efetivasde mais baica ordem, e portanto menos suprimidas, são as de dimensão 5,correspondentes aos termos não renormalizáveis do super-potencial, a saber

L0LL0LH

0LH

0L B = 0, L = 2

QLQLU∗RD

∗R B = L = 0

QLU∗RLLE

∗R B = L = 0

QLQLQLLL B = 3, L = 1

U∗RU∗RD

∗RE

∗R B = −3, L = −1

O primeiro não conserva o número leptônico L e os dois últimos nãoconservam B e L. As constantes de acoplamento destas interações são daordem de

∼ f2/M ,

onde f e M são, respectivamente, a constante de acoplamento e a massatípica das partículas super-pesadas (de Higgs ou de Gauge) do modelo. Naanálise de S. Weinberg9, a supressão por M−1 das reações promovidas porestas interações não é suficiente para inibir os decaimentos dos prótons a umnível aceitável.Dimopoulos e Georgi10 embebem o mesmo modelo numa simetria mais

alta SU(5), com escala de massa da ordem de 1017GeV , mesmo assim re-sultando a vida média do próton da ordem de 1028 anos. S. Weinbergfaz a supressão da violação de B e L através de um grupo mais amplo,SU(3)× SU(2)× U(1)× eG, onde este grupo adicional eG pode ser um outroU(1) associado a um número quântico adicional eY .

104

Bibliografia

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105

106

SUPERSIMETRIA

Introdução pelo formalismo dos super-campos

A P Ê N D I C E S

107

1 Métrica

As coordenadas do espaço-tempo são dadas por

(xµ) =¡x0, xi

¢=¡x0, x1, x2, x3

¢,

onde x0 = ct é a coordenada temporal e xi para (i = 1, 2 e 3) são as co-ordenadas espaciais. Será adotado o sistema de unidades naturais para asconstantes de Planck e a velocidade da luz,

~ = 1 e c = 1 ,

e a convenção de soma ou contração dos índices duplos.A transformação de Poincaré

x0µ = Λµνx

ν + aν

mantém a métrica invariante,

s2 = xµxµ = x0µx0µ ,

ondexµ = gµνx

ν ,

o tensor métrico definido pela matriz

gµν = gµυ =

⎛⎜⎜⎝1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

⎞⎟⎟⎠ , (A1-1)

isto é, ⎧⎨⎩ g00 = 1gii = −1 (i = 1, 2, 3)gµυ = 0 para µ 6= ν

. (A1-2)

O tensor métrico é utilizado para transformar um vetor contra-variante Aµ

num vetor covariante Aµ e vice-versa,

Aµ = gµνAν (A1-3)

eAµ = gµνAν . (A1-4)

Veja que

g νµ = gµ ν = δµν =

½1 se µ = ν0 se µ 6= ν

. (A1-5)

108

Como no caso da métrica, define-se os produtos escalares de dois quadri-vetores

AB = AµBµ = AµBµ = gµνA

µBν = A0B0 −AiBi . (A1-6)

Por convenção usual, índices repetidos indicam somatória, índices gregos emgeral indicando espaço-tempo e índices latinos as componentes espaciais.Para as derivadas, usa-se a notação curta

∂µ =∂

∂xµe ∂µ =

∂

∂xµ= gµν∂ν , (A!-7)

e o operador d’alambertiano fica

¤2 = ∂µ∂µ = ∂20 − O2 , (A1-8)

onde O é o operador gradiente usual,

Oi =∂

∂xi= ∂i = (grad)i . (A1-9)

Em situações que não causem confusão, usa-se igualmente

¤2 = ∂µ∂µ = ∂2 . (A1-10)

O operador quadri-momento é definido por

Pµ = i∂µ =¡i∂0,−i∂i¢ . (A1-11)

Produtos contraídos de matrizes γµ de Dirac com vetores Aµ indica-secomo

γµAµ = (γA) . (A1-12)

Como as matrizes de Dirac obedecem à relação de anti-comutação

γµ, γν = 2gµν ,

então

(γA) (γA) = γµAµγνAν =

1

2γµ, γνAµAν = gµνAµAν = AµA

µ (A1-13)

e, em especial,

(γ∂) (γ∂) = γµ∂µγν∂ν = gµν∂µ∂ν = ∂µ∂

µ = ∂2 = ¤2 . (A1-14)

109

2 Matrizes de Dirac[2,3,11]

As matrizes γµ de Dirac, presentes na equação de Dirac,

(iγµ∂µ −m)ψ = 0 (A2-1)

devem satisfazer à relação de anti-comutação

γµ, γν = γµγν + γνγµ = 2gµν , (A2-2)

onde gµν é o tensor métrico definido no aêndice A1. Neste caso, assume-seγ0 hermitiano e γi (i = 1, 2 e 3) anti-hermitianos,¡

γ0¢†= γ0 e

¡γi¢†= γi (A2-3)

respectivamente. As representações irredutíveis são matrizes 4×4, as diversasrepresentações ligadas por transformações de similaridade,

eγµ = UγµU † , (A2-4)

onde U é uma matriz unitária.Por uma transformação de Lorentz

x0µ = Λµνx

ν ,

transforma-se como

S(Λ)γµS−1(Λ) = (Λ−1)µ νγν , (A2-5)

que define a transformação do espinor ψ(x) da equação de Dirac,

ψ0(x0) = S(Λ)ψ(x) , (A2-6)

para

S(Λ) = exp

µ− i

4ωµνσ

µν

¶, (A2-7)

onde ωµν = −ωνµ são os parâmetros da transformação de Lorentz e

σµν =i

2[γµ, γν] . (A2-8)

Veja que ¡σ0i¢†

= −σ0i = −iγ0γie

.¡σij¢†

= σij = iγiγj . (A2-9)

110

Uma outra combinação útil é

γ5 = γ5 = iγ0γ1γ2γ3 , (A2-10)

com as propriedades ¡γ5¢†= γ5 e

¡γ5¢2= 1 (A2-11)

além das relações de anti-comutação©γ5, γµ

ª= 0 (A2-12)

e ©γ5, σµν

ª= 0 . (A2-13)

Envolvendo σµν ainda tem as relações de comutação

[γµ, σηχ] = 2i (gµηγχ − gµχγη) (A2-14)

e[σµν, σηχ] = −2i (gνχσηµ + gµχσνη + gνησµχ + gµησχν) (A2-15)

obtidas a partir da relação básica (A2-2), com o auxílio eventual das identi-dades

AB,C = A B,C− [A,C]Be

[AB,C] = A B,C− A,CB .

Tem ainda as igualdades⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

γ0γµγ0 = (γµ)†

γ0γ5γ0 = − (γ5)† = −γ5

γ0γµγ5γ0 = − (γ5γµ)†

γ0σµνγ0 = (σµν)†

. (A2-16)

Para o espinor de Dirac ψ, define-se o seu adjunto

ψ = ψ†γ0 (A2-17)

e a conjugação de cargaψC = Cψ

T, (A2-18)

111

onde C é a matriz de conjugação de carga que deve satisfazer às relações⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

CγµC−1 = −γTµ

Cγ5C−1 = −γT5

CσµνC−1 = −σµνT

Cγ5γµC−1 =

¡γ5γµ

¢T. (A2-19)

A matriz C naturalmente depende da representação das matrizes de Dirac.Com o auxílio das matrizes de Pauli

σ1 =

µ0 11 0

¶, σ2 =

µ0 −ii 0

¶e σ3 =

µ1 00 −1

¶(A2-20)

serão construídas as três representações mais usadas das matrizes de Dirac.

2.1 Representação de Dirac

É a representação genérica usada na maioria dos casos, tanto na mecânicaquântica relativística como na teoria quântica dos campos.

γ0 = β =

µI 00 I

¶γi = βαi =

µ0 σi

−σi 0

¶γ5 =

µ0 II 0

¶C = iγ2γ0 = −i

µ0 σ2

σ2 0

¶CT = C† = −C; CC† = C†C = 1; C2 = 1 (A2-21)

2.2 Representação chiral

A representação chiral ou de Weyl é muito útil para clarificar as relaçõesexistentes entre os espinores de Dirac com as suas projeções chirais e osespinores de Weyl [1].

112

γ0 = β =

µ0 II 0

¶γi = βαi =

µ0 −σiσi 0

¶γ5 =

µI 00 −I

¶C =

µ −σ2 00 σ2

¶CT = C† = −C; CC† = C†C = 1; C2 = 1 (A2-22)

A ligação com a representação de Dirac faz-se usando a matriz

U =1√2

µI −II I

¶(A2-23)

através da operação matricial

γµchiral = UγµDiracU† . (A2-24)

As representações do grupo de Lorentz são indicados pelos pares (n,m),o spin dado pela soma n +m. Em especial, para spin 1/2, tem-se as repre-sentações µ

1

2, 0

¶eµ0,1

2

¶,

que identificam os espinores de mão esquerda e direita, respectivamente ψL(x)e ψR(x). Estas representações não tem paridade definida, por reflexão espa-cial transformando-se uma na outra. São denominados espinores de Weyl,e contém cada um duas componentes complexas. É comum, na literatura,indicar as componentes do espinor de mão direita por um índice simples,

(ψR)α = ψα (A2-25)

e por um índice pontuado as componentes do espinor de mão esquerda,

(ψL)α = ψ .α , (A2-26)

α e.α variando de 1 a 2. Pela transformação de Lorentz, os espinores de Weyl

transformam-se pelo grupo SU(2),

ψ0L(x0) = SLψL(x)

e

ψ0R(x0) = SRψR(x) (A2-27)

113

paraSL = e−

i2σj(ωj+ivj) (A2-28)

eSR = e−

i2σj(ωj−ivj) (A2-29)

onde σj são as matrizes de Pauli,

J i = −12σi (i = 1, 2, 3) (A2-30)

os geradores de rotação espacial e

Ki =i

2σi (A2-31)

os geradores das transformações especiais de Lorentz nas três direções doespaço.Os espinores de Dirac transformam-se como na equação (A2-6), a matriz

de transformação (A2-7) podendo ser explicitada, usando as propriedades deantissimetria, ωµν = −ωνµ e σµν = −σνµ, como

S(Λ) = exp

µ− i

4ωµνσ

µν

¶= exp

µ− i

2ωijσ

ij − i

2ω0iσ

0i

¶(A2-32)

para os índices ordenados i < j, onde

σij =i

2

£γi, γj

¤= iγiγj

eσ0i =

i

2

£γ0, γi

¤= iγ0γi

que, na representação chiral, assumem as formas

σij = ijk

µσk 00 σk

¶e

σ0i = i

µσi 00 −σi

¶.

Assim, o argumento da exponencial em (A2-32) fica

− i

2ωijσ

ij − i

2ω0iσ

0i = − i

2ωij

ijk

µσk 00 σk

¶− i

2ω0i

µiσi 00 −iσi

¶

114

que, redefinindo os parâmetros

ωk = kijωij (A2-33)

das rotações espaciais evi = ω0i (A2-34)

das transformações especiais de Lorentz, leva a

S(Λ) = exp

∙− i

2ωk

µσk 00 σk

¶− i

2vi

µiσi 00 −iσi

¶¸, (A2-35)

sugerindo que o espinor ψ(x) pode ser decomposto em blocos,

ψ(x) =

µψR(x)ψL(x)

¶, (A2-36)

onde ψR e ψL são exatamente os espinores de Weyl, com as transformaçõesdadas pelas equações A2-27 - A2-29.A operação de paridade é bem definida,

ψ(x) =

µψR

ψL

¶P−→µ

ψL

ψR

¶= γ0ψ . (A2-37)

A decomposição chiral é realizada com o auxílio da matriz

γ5 = iγ0γ1γ2γ3 =

µI 00 −I

¶,

de modo que

ψ+(x) =1

2

¡1 + γ5

¢ψ(x) =

µψR

0

¶(A2-38)

e

ψ−(x) =1

2

¡1− γ5

¢ψ(x) =

µ0ψL

¶(A2-39)

e portantoψ(x) = ψ+(x) + ψ−(x) . (A2-40)

O espinor adjunto fica

ψ = ψ†γ0 =³ψ†L ψ†R

´(A2-41)

e a conjugação de carga,

ψC = CψT=

µ −σ2ψ∗Lσ2ψ∗R

¶. (A2-42)

115

A condição de Majorana ψC = ψ implica

−σ2ψ∗L = ψR e σ2ψ∗R = ψL ,

de modo que um espinor de Majorana deve ter as componentes

ψ(x) =

µψR

σ2ψ∗R

¶(A2-43)

ou

ψ(x) =

µ −σ2ψ∗LψL

¶, (A2-44)

mostrando que os espinores de Majorana são equivalentes aos espinores deWeyl.

2.3 Representação de Majorana

A representação de Majorana, que é utilizada neste texto, é construída demodo que o operador de Dirac (iγµ∂µ −m), da equação de Dirac (A2-1), sejareal. O espinor ψ(x) é, em geral, uma função complexa.As matrizes são

γ0 =

µ0 σ2

σ2 0

¶γ1 = i

µσ3 00 σ3

¶γ2 =

µ0 −σ2σ2 0

¶γ3 = −i

µσ1 00 σ1

¶γ5 =

µσ2 00 −σ2

¶C = γ0 . (A2-45)

Todas são imaginárias,

(γµ)∗ = γµ

e¡γ5¢∗

= −γ5 (A2-46)

o que implica em¡γ0¢T= −γ0, ¡γi¢T = γi,

¡γ5¢T= −γ5, CT = −C. (A2-47)

A ligação com a representação de Dirac é feita através da matriz

U = U∗ =1√2

µ1 σ2

σ2 −1¶

(A2-48)

pela transformaçãoγµMajorana + UγµDiracU

† . (A2-49)

116

2.3.1 Espinores de Majorana

Os espinores de Majorana são definidos para satisfazerem à condição

ψC = CψT= ψ (A2-50)

e tornam-se reais na representação de Majorana das matrizes γµ de Diracpois

ψC = −γ0 ¡ψ†γ0¢T = ψ∗ , (A2-51)

e portantoψC = ψ = ψ∗ .

Se ψ e χ forem espinores de Majorana, então, usando as propriedades desimetria ou de anti-simetria das matrizes a seguir,¡

γ0¢T

= −γ0

¡γ0γµ

¢T= γ0γµ

¡γ0γ5

¢T= −γ0γ5

¡γ0γµγ5

¢T= −γ0γµγ5

¡γ0σµν

¢T= γ0σµν , (A2-52)

pode-se estabelecer as seguintes relações, seguidamente utilizadas no texto,

ψχ = χψ

ψγµχ = −χγµψ

ψγ5χ = χγ5ψ

ψγµγ5χ = χγµγ5ψ

ψσµνχ = −χσµνψ (A2-53)

Em particular,ψγµψ = ψσµνψ = 0 . (A2-54)

117

Realmente, indicando por ΓA qualquer uma das combinações de matrizesγµ envolvidas em (A2-53),

ψΓAχ = ψα

¡γ0ΓA

¢αβ

χβ = −χβ¡γ0ΓA

¢αβ

ψα ,

usando o fato de que ψα e χβ são anticomutantes, ψαχβ = −χβψα. Para¡γ0ΓA

¢simétrico (ΓA = γµ ou σµν), resulta

ψΓAχ = −χΓAψ

e para¡γ0ΓA

¢antissimétrico (ΓA = 1, γµγ5 ou γ5),

ψΓAχ = χΓAψ ,

justamente os resultados listados em (A2-53).Um espinor de Majorana na representação de Majorana possui quatro

componentes reais,

ψ =

⎛⎜⎜⎝ψ1ψ2ψ3ψ4

⎞⎟⎟⎠ , (A2-55)

o seu adjunto dado porψ = ψ†γ0 = ψTγ0 . (A2-56)

Como γ5 não é diagonal nesta representação, as relações entre o espinorψ e as suas projeções chirais

ψ+ =1

2

¡1 + γ5

¢ψ

eψ− =

1

2

¡1− γ5

¢ψ

não tem a simplicidade como ocorre na representação chiral.A seguir algumas das propriedades envolvendo as projeções chirais ψ+ e

118

ψ− de um espinor de Majorana ψ:

¡ψ+¢∗

= ψ∗+ =1

2

¡1− γ5

¢ψ = ψ−

¡ψ−¢∗

= ψ∗− =1

2

¡1 + γ5

¢ψ = ψ+

¡ψ+¢T

= ψT+ =

1

2ψT¡1− γ5

¢¡ψ−¢T

= ψT− =

1

2ψT¡1 + γ5

¢¡ψ+¢†

=1

2ψT¡1 + γ5

¢= ψT

−

¡ψ−¢†

=1

2ψT¡1− γ5

¢= ψT

+

¡ψ+¢=

¡ψ+¢†γ0 = ψT

−γ0 =

1

2ψ¡1− γ5

¢¡ψ−¢=

¡ψ−¢†γ0 = ψT

+γ0 =

1

2ψ¡1 + γ5

¢(A2-57)

Como a matriz γ0 é imaginária, então¡ψ¢∗=¡ψ†γ0

¢∗= −ψ , (A2-58)

isto é, ψ é imaginário também. Assim¡ψ+¢∗

= ψ∗T−¡γ0¢∗= − ¡ψ−¢ γ0 = −¡ψ−¢ ,

e

ψ∗− = ψ∗T+

¡γ0¢∗= − ¡ψ+¢ γ0 = −ψ+ . (A2-59)

119

Envolvendo conjugação de carga,¡ψC¢= ψ∗Tγ0 = (ψ∗) = ψ

¡ψ+¢C

=¡ψ+¢∗= ψ−¡

ψ−¢C

=¡ψ−¢∗= ψ+

¡ψ+¢C

= ψ∗T+ γ0 = ψT−γ

0 =¡ψ−¢

¡ψ−¢C

= ψT+γ

0 =¡ψ+¢. (A2-60)

As relações equivalentes a (A2-53) para as componentes chirais são:¡ψ+¢χ− =

¡χ+¢ψ−¡

ψ−¢χ+ =

¡χ−¢ψ+¡

ψ+¢γµχ+ = −¡χ−¢γµψ−¡

ψ−¢γµχ− = −¡χ+¢γµψ+¡

ψ+¢σµνχ− = −¡χ+¢σµνψ−¡

ψ−¢σµνχ+ = −¡χ−¢σµνψ+¡

ψ+¢γµγ5χ+ =

¡χ+¢γµγ5ψ+¡

ψ−¢γµγ5χ− =

¡χ−¢γµγ5ψ−¡

ψ+¢γ5χ− =

¡χ+¢γ5ψ−¡

ψ−¢γ5χ+ =

¡χ−¢γ5ψ+ (A2-61)

Os produtos de componentes de chiralidades opostas são identicamentenulos.

120

3 Identidade de Fierz[11]

Com as quatro matrizes γµ de Dirac, que satisfazem a relação de anti-comutação

γµ, γν = 2gµν ,pode-se construir uma base contendo contendo 4 × 4 = 16 matrizes linear-mente independentes que serão denominados ΓA, para o índice A variandode 1 a 16.Uma base usual é⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Γ1 = 1

Γ2 a Γ5 = γ0, γ1, γ2, γ3

Γ6 a Γ11 = σµν = i2[γµ, γν]

Γ12 a Γ15 = γµγ5

Γ16 = γ5 = iγ0γ1γ2γ3

. (A3-1)

Uma outra base é formada pelas matrizes ΓA tal que (sem soma em A)

ΓAΓA = ΓAΓA = 1 , (A3-2)

ou seja,ΓA =

¡ΓA¢−1

, (A3-3)

com propriedadetr¡ΓAΓB

¢= 4δAB = 4δAB . (A3-4)

Os elementos desta base são⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Γ1 = 1

Γ2 a Γ5 = γ0, γ1, γ2, γ3

Γ6 a Γ11 = σµν =i2

£γµ, γν

¤Γ12 a Γ15 = γ5γµ

Γ16 = γ5 = γ5

. (A3-5)

Note queγ0 = γ0 e γi = −γi . (A3-6)

121

Qualquer matriz 4× 4 pode ser expandida como

X =16XA=1

CAΓA , (A3-7)

os coeficientes CA dados por

CA =1

4tr (XΓA) (A3-8)

e, portanto,

X =16XA=1

1

4tr (XΓA)Γ

A . (A3-9)

Em termo das componentes, fica

Xρσ =1

4

16XA=1

4Xα,β=1

Xβα (ΓA)αβ¡ΓA¢ρσ

,

que leva à identidade de Fierz

1

4

16XA=1

(ΓA)αβ¡ΓA¢ρσ= δρβδασ . (A3-10)

Com esta identidade pode-se estabelecer importantes relações envolvendoprodutos das coordenadas de Majorana θα, lembrando que

θγµθ = θσµνθ = 0 (A3-11)

pois θ é um espinor de Majorana:

1o.)θγ5θ.θ = −θθ.θγ5 (A3-12)

Demonstração: escrita em componentes, fica

θγ5θ.θβ=¡θγ5¢α

θαθβ= −θβθα ¡θγ5¢α = −θρδρβδασθσ ¡θγ5¢α .

Nesta forma, está preparada para inserir a identidade de Fierz,

θγ5θ.θβ= −1

4

16XA=1

θρ(ΓA)αβ

¡ΓA¢ρσθσ¡θγ5¢α= −1

4

16XA=1

θΓAθ.¡θγ5ΓA

¢β.

122

Explicitando a expansão nos elementos da base listados em (A3-1), excluindoas componentes identicamente nulas (A3-11), fica

θγ5θ.θβ= −1

4θθ.¡θγ5¢β − 1

4θγ5θ.θ

β − 14θγνγ5θ.

¡θγν¢β

ou, rearranjando os termos,

5θγ5θ.θβ= −θθ. ¡θγ5¢β − θγνγ5θ.

¡θγν¢β

.

Aplicando novamente o identidade de Fierz,

θγνγ5θ.¡θγν¢β

= −14

16XA=1

θΓAθ.¡θγνγ5ΓAγν

¢β= −1

4θθ.¡θγνγ5γν

¢β+

−14θγ5θ.

¡θγνγ5γ5γν

¢β − 14θγλγ5θ.

¡θγνγ5γ5γλγν

¢β.

Considerando as somatórias e as propriedades das matrizes de Dirac,

θγνγ5θ.¡θγν¢β= θθ.

¡θγ5¢β− θγ5θ.

¡θ¢β− 1

4θγλγ5θ.

£θγν (−γνγλ + 2gλν)

¤β,

isto é,

θγνγ5θ.¡θγν¢β= θθ.

¡θγ5¢β − θγ5θ.

¡θ¢β+1

2θγλγ5θ.

¡θγλ¢β

que pode ser rearranjada para

1

2θγνγ5θ.

¡θγν¢β= θθ.

¡θγ5¢β − θγ5θ.

¡θ¢β

e substituída na equação iniciai,

θγ5θ.θβ= −1

4θθ.¡θγ5¢β − 1

4θγ5θ.θ

β − 12θθ.¡θγ5¢β+1

2θγ5θ.

¡θ¢β

⇒ θγ5θ.θβ − 1

4θγ5θ.θ

β= −1

4θθ.¡θγ5¢β − 1

2θθ.¡θγ5¢β

que, após as simplificações finais leva ao resultado (A3-12),

θγ5θ.θβ= −θθ. ¡θγ5¢β

2o.)θγνγ5θ.θ = −θθ.θγνγ5 (A3-13)

123

Demonstração: como no caso anterior, aplicando a identidade de Fierz,resulta

θγνγ5θ.θβ= −1

4

16XA=1

θΓAθ.¡θγνγ5ΓA

¢β= −1

4θθ.¡θγνγ5

¢β − 14θγ5θ.

¡θγνγ5γ5

¢β − 14θγλγ5θ.

¡θγνγ5γ5γλ

¢β= −1

4θθ.¡θγνγ5

¢β+1

4θθ.¡θγ5γν

¢β+1

4θθ.¡θγλγ5γνγλ

¢β= −1

2θθ.¡θγνγ5

¢β+1

4θθ.¡θγλγνγλγ

5¢β

= −12θθ.¡θγνγ5

¢β+1

4θθ.£¡θ¡−γνγλ + 2gλν¢ γλγ5¢¤β

= −12θθ.¡θγνγ5

¢β − θθ.¡θγνγ5

¢β+1

2θθ.¡θγνγ5

¢β= −θθ. ¡θγνγ5¢β .

3o.)θγ5θ.θ = −θθ. ¡γ5θ¢ (A3-14)

Demonstração: pode-se recorrer à primeira relação, equação (A3-12), lem-brando que

θ = θTγ0 =⇒ θ = −γ0θT .

Assim,

θγ5θ.θβ = −θγ5θ.³γ0θ

T´β= −θγ5θ. ¡γ0¢

βηθη

= θθ.¡θγ5¢η

¡γ0¢βη= θθ.θχ

¡γ5¢χη

¡γ0¢βη

= −θθ.³γ0γ5θ

T´β= θθ.

³γ5γ0θ

T´β= −θθ. ¡γ5θ¢

β.

4o.)θγνγ5θ.θ = −θθ. ¡γνγ5θ¢ (A3-15)

124

Demonstração: é decorrência da segunda relação,

θγνγ5θ.θβ = −θγνγ5θ.³γ0θ

T´β= −θγνγ5θ. ¡γ0¢

βηθη

= θθ.¡θγνγ5

¢η

¡γ0¢βη= θθ.θχ

¡γνγ5

¢χη

¡γ0¢βη

= −θθ.θχ¡γνγ5γ0

¢χβ= θθ.

³γνγ5γ0θ

T´β

= −θθ. ¡γνγ5θ¢β,

onde se usou o fato de que o produto γνγ5γ0 é anti-simétrico,¡γνγ5γ0

¢T= − γνγ5γ0 .

Reunindo os resultados:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

θγ5θ.θ = −θθ.θγ5

θγνγ5θ.θ = −θθ.θγνγ5

θγ5θ.θ = −θθ. (γ5θ)

θγνγ5θ.θ = −θθ. (γνγ5θ)

.

Como consequências imediatas, surgem as seguintes identidades, que per-mitem simplificar em muito os produtos envolvendo as coordenadas de Ma-jorana θα:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

θθ.θγ5θ = θγ5θ.θθ = −θθ.θγ5θ = 0

θθ.θγνγ5θ = θγνγ5θ.θθ = −θθ.θγνγ5θ = 0

θγ5θ.θγνγ5θ = θγνγ5θ.θγ5θ = θθ.θγνθ = 0

θγ5θ.θγ5θ = − ¡θθ¢2θγµγ5θ.θγνγ5θ =

¡θθ¢2gµν

. (A3-16)

A última igualdade pode ser demonstrada como segue:

θγµγ5θ.θγνγ5θ = −θθ.θγµγ5γνγ5θ = θθ.θγµγνθ

= θθ.θ (gµν − iσµν) θ =¡θθ¢2gµν .

125

Uma outra igualdade interessante é

4Xµ=0

¡θγµγ5θ

¢.¡θγ5γµθ

¢= −4 ¡θθ¢2 . (A3-17)

Usando a identidade de Fierz, pode-se expandir os produtos de dois es-pinores quaisquer como

ψαχβ = ψρδραδβσχ

σ =1

4

16XA=1

ψρ (ΓA)βα¡ΓA¢ρσχσ

=1

4

16XA=1

ψρ

¡ΓA¢ρσχσ (ΓA)αβ =

1

4

16XA=1

ψΓAχ (ΓA)βα . (A3-18)

De maneira similar, pode-se obter

ψαχβ = ψρδραδβσχσ =

1

4

16XA=1

ψΓAχ¡ΓAγ

0¢βα

. (A3-19)

Um outro produto comum é

θψ.θχ = θαψα.θβγ0βηχη = −θαθβψαγ

0βηχη

= −14

16XA=1

θΓAθ (ΓA)αβ ψαγ0βηχη

= −14

16XA=1

θΓAθ.χTγ0ΓA ψ . (A3-20)

Aqui, θα são as coordenadas de Majorana e se ψ e χ forem espinores deMajorana,.

θψ.θχ = −14

16XA=1

θΓAθ.χΓA ψ = −14

16XA=1

θΓAθ.ψΓA χ . (A3-21)

126

4 Derivada Covariante5,6

Na secção 3, foram definidas as derivadas covariantes

Dα =∂

∂θα− i

2(γµθ)α ∂µ (3.1)

com as relações de anti-comutação

Dα, Dβ = −¡γµC

¢αβ

P µ , (3.2)

componentes de um espinor de Majorana e invariantes por super-translações.Usando as propriedades da matriz γ5 = γ5

1

2

¡1± γ5

¢ 12

¡1± γ5

¢=1

2

¡1± γ5

¢e ¡

1 + γ5¢ ¡1− γ5

¢=¡1− γ5

¢ ¡1 + γ5

¢= 0 ,

pode-se obter as relações de anti-comutação envolvendo as componentes chi-rais da derivadas covariantes diretamente da relação básica (3.2).Assim, n

Dα+,D

β+

o=

½(1 + γ5)αη

2Dη,

(1 + γ5)βχ2

Dχ

¾

=(1 + γ5)αη

2

(1 + γ5)βχ2

Dη,Dχ

= −(1 + γ5)αη2

(1 + γ5)βχ2

¡γµC

¢ηχP µ

e, lembrando que a matriz transposta γT5 = −γ5, resultanDα+, D

β+

o= −

∙(1 + γ5)

2γµC

(1− γ5)

2

¸αβ

P µ ,

isto é, nDα+, D

β+

o= 0 . (A4-1)

De maneira análoga, pode-se verificar que as componentes de mesma chi-ralidade anti-comutam, n

Dα−, D

β−o= 0 , (A4-2)

127

nDα+, D

β

−o= 0 (A4-3)

e nDα−,D

β

+

o= 0 . (A4-4)

A consequência imediata é que produtos de três ou mais elementos de mesmachiralidade são identicamente nulos.As relações de anti-comutação das componentes de chiralidades diferentes

ficamnDα+,D

β−o=

½(1 + γ5)αη

2Dη,

(1− γ5)βχ2

Dχ

¾

=(1 + γ5)αη

2

(1− γ5)βχ2

Dη,Dχ

= −(1 + γ5)αη2

¡γµC

¢ηχP µ = −

∙γµ(1− γ5)

2C

¸αβP µ ,(A4-5)

nDα+, D

β

+

o=

(1 + γ5)αη2

(1− γ5)βχ2

©Dη,Dχ

ª=

∙(1 + γ5)

2γµ

¸αβP µ , (A4-6)

nDα−,D

β

−o=

∙(1− γ5)

2γµ

¸αβP µ (A4-7)

e nD

α

+,Dβ

−o=

∙(1− γ5)

2Cγµ

¸αβP µ . (A4-8)

Multiplicando as equações (A4-6) e (A4-7), somando em todos os índices,resultan

Dα+,D

β

+

onDβ−, D

α

−o=

∙(1 + γ5)

2γµ

¸αβ ∙(1− γ5)

2γν

¸βαPµP ν

= tr

µ(1 + γ5)

2γµ(1− γ5)

2γν

¶P µP ν

= tr

µγµ(1− γ5)

2γν

¶P µP ν = tr

³γµγν2

´P µP ν

= 2gµνPµP ν = 2PµP

µ . (A4-9)

128

Considerando que os produtos de operadores de mesma chiralidade sãoidenticamente nulos,

Dα

+Dα− = Dα

+Dα

− ≡ 0 , (A4-10)

e usando a propriedade

Dα

±Dα∓ = D

η

±¡γ0¢ηαDα∓ = −Dη

±¡γ0¢αηDα∓ = −Dα

∓Dα

± , (A4-11)

pode-se obternDα+,D

β

+

onDβ−,D

α

−o=

³Dα+D

β

+ +Dβ

+Dα+

´³Dβ−D

α

− +Dα

−Dβ−´

= Dα+D

β

+Dα

−Dβ− +D

β

+Dα+D

β−D

α

−

= −Dα

−Dβ

+Dα+D

β− −D

β

+Dα

−Dβ−D

α+

= −Dα

−nD

β

+,Dα+

oDβ− +D

α

−Dα+D

β

+Dβ− +

−Dβ

+

nD

α

−,Dβ−oDα+ +D

β

+Dβ−D

α

−Dα+

= −nD

α

−,Dβ−on

Dβ

+, Dα+

o+

+D−D+ ·D+D− +D+D− ·D−D+

ou seja,¡D−D+

¢ ¡D+D−

¢+¡D+D−

¢ ¡D−D+

¢= 4PµP

µ = −4∂2 . (A4-12)

Considere as identidades

D+

¡D−D+

¢ ≡ 0 (3.17)

eD−

¡D+D−

¢ ≡ 0 . (3.18)

A multiplicação à direita da equação (A4-12) por¡D−D+

¢ ¡D+D−

¢re-

sulta £¡D−D+

¢ ¡D+D−

¢¤2= −4∂2 ¡D−D+

¢ ¡D+D−

¢(A4-13)

e a multiplicação à esquerda resulta£¡D+D−

¢ ¡D−D+

¢¤2= −4∂2 ¡D+D−

¢ ¡D−D+

¢. (A4-14)

129

Com estas igualdades pode-se mostrar que os operadores

E+ = − 1

4∂2¡D+D−

¢ ¡D−D+

¢(A4-15)

eE− = − 1

4∂2¡D−D+

¢ ¡D+D−

¢(A4-16)

são operadores de projeção, ortogonais entre si. Isto é,

E2+ = E+ , E2

− = E− e E+E− = E−E+ = 0 .

TambémE1 = 1− E+ −E−

é um operador de projeção, ortogonal a E+ e E−.O resultado

E21 = (1−E+ −E−)

2 = 1− 2 (E+ +E−) + (E+ +E−)2

= 1− 2 (E+ +E−) +¡E2+ +E2

− +E−E+ +E+E−¢

= 1− (E+ +E−) = E1

é a condição para ser operador de projeção, e

E1E+ = E1E− = 0

são as condições de ortogonalidade.Como

E+ +E− = − 1

4∂2©D+D− , D−D+

ª= − 1

4∂2

½D1− γ52

D , D1− γ52

D

¾e, lembrando que ¡

Dγ5D¢2= − ¡DD

¢2,

de onde resultaE+ +E− = − 1

4∂2¡DD

¢2,

a expressão formal do operador E1 pode ser escrita na forma

E1 = 1− E+ − E− = 1 +1

4∂2¡DD

¢2. (A4-17)

130

Estes três operadores de projeção satisfazem, identicamente, às equaçõesdiferenciais ⎧⎨⎩ D∓E± ≡ 0

D∓D±E1 ≡ 0. (A4-18)

A seguir serão listadas algumas expressões envolvendo derivadas do super-campo escalar, equação (2.43),

φ(x, θ) = A(x) + θψ(x) +1

4θθF (x) +

i

4θγ5θG(x) +

+1

4θγµγ5θAµ(x) +

1

4

¡θθ¢.θχ(x) +

1

32

¡θθ¢2D(x) ,

visando operações com as derivadas covariantes equação (3.1).

4.1 Coordenadas fermiônicas

∂φ

∂θα= ψα +

1

2θαF +

i

2

¡γ5θ¢α

G+1

2

¡γµγ5θ

¢αAµ +

+1

8

£¡θθ¢χα − θγ5θ (γ5χ)

α − θγµγ5θ¡γ5γµχ

¢α¤+

+1

8

¡θθ¢ · θαD(x) . (A4-19)

4.2 Coordenadas do espaço-tempo

(γµθ)α ∂µφ = (γµθ)α ∂µA−1

4θθ · (γµ∂µψ)α −

1

4θγ5θ · (γµγ5∂µψ)α +

−14θγνγ5θ · ¡γµγ5γν∂µψ¢α + 14θθ (γµθ)α ∂µF +

− i

4θθ¡γµγ5θ

¢α∂µG− 1

4θθ¡γµγνγ5θ

¢α∂µAν +

− 116

¡θθ¢2. (γµ∂µχ)α . (A4-20)

131

4.3 Derivada covariante

Dαφ =∂φ

∂θα− i

2(γµθ)α ∂µφ

= ψα +1

2θαF +

i

2

¡γ5θ¢α

G− 12

¡γ5γµθ

¢αAµ +

− i

2(γµθ)α ∂µA+

1

8θθ£χα + i (γµ∂µψ)α

¤+

−18θγ5θ

£(γ5χ)

α + i (γµγ5∂µψ)α¤+

−18θγνγ5θ

£(γ5γνχ)

α + i¡γµγ5γν∂

µψ¢α

¤+

+1

8θθ£θαD − i (γµθ)α ∂µF −

¡γµγ5θ

¢α∂µG+ i

¡γµγνγ5θ

¢α∂µAν

¤+

+i

32

¡θθ¢2. (γµ∂µχ)α . (A4-20)

4.4 Componente chiral (negativo)

(1− γ5)Dφ = 2D−φ

= (1− γ5)ψα +

1

2(1− γ5) θ (F − iG) +

+1

2(1− γ5) (γ

µθ) (Aµ − i∂µA) +

+1

8θθ (1− γ5) (χ+ iγµ∂µψ) +

1

8θγ5θ (1− γ5) (χ+ iγµ∂µψ) +

+1

8θγνγ5θ (1− γ5)

¡γνχ+ iγµγν∂

µψ¢+

+1

8θθ (1− γ5) (θD − iγµθ∂µF + iγµθ∂µiG− iγµγνθ∂µAν) +

+i

32

¡θθ¢2(1− γ5) γ

µ∂µχ . (A4-22)

132

4.5 Componente chiral (positivo)

(1 + γ5)Dφ = 2D+φ

= (1 + γ5)ψα +

1

2(1 + γ5) θ (F + iG) +

−12(1 + γ5) γ

µθ (Aµ + i∂µA) +

+1

8θθ (1 + γ5) (χ+ iγµ∂µψ)− 1

8θγ5θ (χ+ iγµ∂µψ) +

−18θγνγ5θ (1 + γ5)

¡γνχ+ iγµγν∂

µψ¢+

+1

8θθ (1 + γ5) (θD − iγµθ∂µF − iγµθ∂µiG+ iγµγνθ∂µAν) +

+i

32

¡θθ¢2(1 + γ5) γ

µ∂µχ . (A4-23)

4.6 Produtos chirais

1

2D (1± γ5)Dφ = − (F ± iG)− 1

2θ (1∓ γ5) (χ− iγµ∂µψ) +

−18θθ (D ± 2i∂µAµ − ∂µ∂

µA) +

+1

8θγ5θ (±D + 2i∂µAµ ∓ ∂µ∂

µA) +

+i

4θγνγ5θ (±∂νF + i∂νG) +

+1

4θθ · θ (1± γ5) [iγ

µ∂µχ+ ∂µ∂µψ] +

+1

32

¡θθ¢2∂2 (F ± iG) . (A4-24)

133

4.7 Produto escalar

DDφ = −2F + θ (−χ+ i (γ∂)ψ) +1

4θθ (−D + ∂µ∂

µA) +

+1

4θγ5θ · 2i∂µAµ +

1

4θγνγ5θ · 2i∂νiG+

+1

4θθ · θ ¡iγµ∂µχ+ ∂2ψ

¢+1

32

¡θθ¢2 · 2∂2F . (A4-25)

4.8 Produto escalar quadrático

¡DD

¢2φ = −2 ¡D − ∂2A

¢+ θ

¡−2iγµ∂µχ− 2∂2ψ¢++1

4θθ¡−4∂2F¢+ 1

4θγ5θ · ¡−4∂2G¢+

+1

4θγνγ5θ · (−4∂ν∂µAµ) +

1

4θθ · θ2∂2 (−χ+ iγµ∂µψ)

+1

32

¡θθ¢2 · 2∂2 ¡−D + ∂2A

¢. (A4-26)

134

5 Produtos de Super-campos5

Os super-campos escalares tem a forma geral

φ(x, θ) = A(x) + θψ(x) +1

4θθF (x) +

i

4θγ5θG(x) +

+1

4θγµγ5θAµ(x) +

1

4

¡θθ¢.θχ(x) +

1

32

¡θθ¢2D(x) , (2.43)

conforme visto na secção 2, equação (2.43).O produto de dois super-campos escalares, φ1(x, θ) e φ2(x, θ) resulta num

terceiro super-campo escalar,

φ1(x, θ).φ2(x, θ) = φ3(x, θ) , (A5-1)

onde φ3(x, θ) deve ter a mesma estrutura mostrada na equação (2.43). Osrearranjos dos coeficientes resultantes da multiplicação podem ser feitas uti-lizando expansões baseadas na identidade de Fierz cujas regras estão noapêndice A3. Deve-se lembrar também que para um espinor arbitrário ψ(x)na representação de Majorana das matrizes de Dirac,

ψC = CψT= −γ0ψT

= ψ∗

e

ψC =¡ψC¢†γ0 =

³Cψ

T´†

γ0 =¡ψ¢∗C†γ0 = −ψ∗ .

Da mesma forma, produtos de dois super-campos chirais de mesma chi-ralidade resultam num outro super-campo de igual chiralidade. Para evitaruma miscelânea de índices de naturezas diferentes, será usada uma notaçãocompacta,

φ+(1).φ+(2) = φ+(2) , (A5-2)

eφ−(1).φ−(2) = φ−(2) , (A5-3)

para os produtos de super-campos chirais, cuja interpretação é intuitiva.A seguir, após rearranjados adequadamente, apresenta-se os coeficientes

resultantes destes produtos de super-campos. Para o produto de dois super-campos escalares, os coeficientes do super-campo escalar resultante são

135

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

A3 = A1A2

ψ3 = A1ψ2 + ψ1A2

F3 = A1F2 + F1A2 − ψC1 ψ2

G3 = A1G2 +G1A2 + iψC1 γ5ψ2

A3ν = A1A2ν +A1νA2 + ψC1 γ5γνψ2

χ3 = A1χ2 + χ1A2 + ψ1F2 + 2F1ψ2 − iγ5ψ1G2+

−iγ5G1ψ2 − γνγ5ψ1A2ν − γνγ5A1νψ2

D3 = A1D2 +D1A2 + 2F1F2 + 2G1G2 + 2A1µAµ2+

−2χC1 ψ2 − 2ψC1 χ2

. (A5-4)

Para os produtos de super-campos chirais, os coeficientes do super-campochiral resultante são⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

A+(3) = A+(1)A+(2)

ψ+(3) = A+(1)ψ+(2) + ψ+(1)A+(2)

F+(3) = A+(1)F+(2) + F+(1)A+(2)− ψC+(1)ψ+(2)

(A5-4)

para os de chiralidade positiva e

A−(3) = A−(1)A−(2)

ψ−(3) = A−(1)ψ−(2) + ψ−(1)A−(2)

F−(3) = A−(1)F−(2) + F−A− − ψC−ψ−

(A5-6)

para os de chiralidade negativa. Os produtos são simétricos nos índices 1 e2.Produtos de super-campos de chiralidades diferentes resultam super-campos

não chirais, cujos coeficientes podem ser obtidas diretamente de (A5-4), lem-

136

brando das relações ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

G = −iF+

Aµ = i∂µA+

χ = −iγµ∂µψ+D = −∂2A+

(A5-7)

para os super-campos de chiralidade positiva e⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

G = −iF−

Aµ = −i∂µA−

χ = −iγµ∂µψ−D = −∂2A−

(A5-8)

para os de chiralidade negativa, como discutidas na secção 3. Assim, oscoeficientes do produto

φ+(1).φ−(2) = φ(2) (A5-9)

resultam⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

A(3) = A+(1)A−(2)

ψ(3) = A+(1)ψ−(2) + ψ+(1)A−(2)

F (3) = A+(1)F−(2) + F+(1)A−(2)

G(3) = A+(1)F−(2)− F+(1)A−(2)

Aµ(3) = −iA+(1)∂µA−(2) + iA+(2)∂µA−(1)− ψC+(1)γµψ−(2)

χ(3) = −iA+(1)γµ∂µψ−(2)− iA−(2)γµ∂µψ+(1) + 2ψ+(1)F−(2)+

+2F+(1)ψ−(2) + iγυψ+(1)∂νA−(2) + iγυψ−(2)∂νA+(1)

D(3) = −A+(1)∂2A−(2)−A−(1)∂2A+(2)A+(1) + 4F+(1)F−(2)+

+2∂µA+(1)∂µA−(2)− 2i∂µψC

+(1)γµψ−(2) + 2iψ

C+(1)γ

µ∂µψ−(2)(A5-10)

137

onde, no coeficiente D(3) foi usado

χC+ =¡χ∗+¢†γ0 = χT+γ

0 = −i ¡γµ∂µψ+¢T γ0= −i∂µψT

+ (γµ)T γ0 = −i∂µψC

+γµ .

Naturalmente, potências (φ)n de super-campos escalares são outros super-campos escalares e, em especial, potências

¡φ±¢nde super-campos chirais

continuam super-campos de mesma chiralidade. Pode-se obter, diretamentede (A5-4),

¡φ+¢2:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩A+(2) = A2+

ψ+(2) = 2A+ψ+

F+(2) = 2A+F+ − ψC+ψ+

, (A5-11)

¡φ+¢3:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩A+(3) = A3+

ψ+(3) = 3A2+ψ+

F+(3) = 3A2+F+ − 3A+ψC

+ψ+

(A5-12)

e

¡φ+¢4:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩A+(4) = A4+

ψ+(4) = 4A3+ψ+

F+(4) = 4A3+F+ − 6A2+ψC

+ψ+

. (A5-13)

Genericamente,

¡φ+¢n:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩A+(n) = An

+

ψ+(n) = nAn−1+ ψ+

F+(n) = nAn−1+ F+ − n(n−1)

2An−2+ ψC

+ψ+

(A5-14)

e

¡φ−¢n:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩A−(n) = An

−

ψ−(n) = nAn−1− ψ−

F−(n) = nAn−1− F− − n(n−1)

2An−2− ψC

−ψ−

. (A5-15)

138

6 Correntes Conservadas emTeorias de Gauge

Segue uma rápida revisão dos procedimentos para a obtenção das correntesconservadas para transformações de simetria contínuas13. A uma dada sime-tria do sistema físico, traduzida pela invariança das equações de movimento,existe uma quantidade que é conservada.Considere a lagrangeana, função do campo e da sua derivada primeira,

L = L(ϕ, ∂µϕ) , (A6-1)

onde ϕ(x) pose eventualmente representar um conjunto de campos. Por umatransformação genérica, que pode incluir transformações de coordenadas, alagrangeana também pode ser afetada, com a transformação

L [ϕ(x), ∂µϕ(x)] −→ L0 £ϕ0(x0), ∂0µϕ0(x0)¤ , (A6-2)

No caso de transformações infinitesimais, a variação total da função la-grangeana fica

δTL = L0 £ϕ0(x0), ∂0µϕ0(x0)¤− L [ϕ(x), ∂µϕ(x)]= L0 £ϕ0(x0), ∂0µϕ0(x0)¤− L £ϕ0(x0), ∂0µϕ0(x0)¤+

+L £ϕ0(x0), ∂0µϕ0(x0)¤− L [ϕ(x), ∂µϕ(x)]= δFL+ δ0L , (A6-3)

ondeδFL = L0

£ϕ0(x0), ∂0µϕ

0(x0)¤− L £ϕ0(x0), ∂0µϕ0(x0)¤ (A6-4)

é a variação funcional da lagrangeana e

δ0L = L £ϕ0(x0), ∂0µϕ0(x0)¤− L [ϕ(x), ∂µϕ(x)]= L £ϕ+ δTϕ, ϕ,µ + δTϕ,µ

¤− L £ϕ,ϕ,µ

¤=

∂L∂ϕ

δTϕ+∂L∂ϕ,µ

δTϕ,µ (A6-5)

é a variação da lagrangeana devido à variação dos seus argumentos, cujavariação total do campo ϕ(x) é

δTϕ = δFϕ+ δxµ∂µϕ (A6-6)

139

e a variação total da derivada do campo,

δTϕ,µ = δFϕ,µ + δxν∂νϕ,µ , (A6-7)

onde recorre-se às notações de derivadas

ϕ,µ ≡ ∂µϕ ≡ ∂ϕ

∂xµ,

conforme as circunstâncias exijam para manter as equações legíveis.Veja que, em transformações locais,

∂µδTϕ 6= δT∂µϕ (A6-8)

embora∂µδFϕ = ∂µ [ϕ

0(x)− ϕ(x)] = δF∂µϕ . (A6-9)

Considere a variação total da lagrangeana,

δTL = δFL+ δ0L = δFL+ ∂L∂ϕ

δTϕ+∂L∂ϕ,µ

δTϕ,µ

onde

δ0L =∂L∂ϕ

δTϕ+∂L∂ϕ,µ

δTϕ,µ

=∂L∂ϕ(δFϕ+ δxµ∂µϕ) +

∂L∂ϕ,µ

¡δFϕ,µ + δxν∂νϕ,µ

¢=

∂L∂ϕ

δFϕ+∂L∂ϕ,µ

δFϕ,µ + δxµ.∂µL .

Assim, usando a equação de Euler-Lagrange

∂L∂ϕ− ∂µ

µ∂L∂ϕ,µ

¶= 0 ,

resulta

δTL = δFL+ ∂µ

µ∂L∂ϕ,µ

¶δFϕ+

∂L∂ϕ,µ

δFϕ,µ + δxµ.∂µL

= δFL+ ∂µ

µ∂L∂ϕ,µ

δFϕ

¶+ δxµ.∂µL . (A6-10)

140

Como as equações de movimento são obtidas através da equação de Euler-Lagrange, uma transformação de simetria requer uma lagrangeana invariantena forma funcional,

L0 £ϕ0(x0), ∂0µϕ0(x0)¤ = L £ϕ0(x0), ∂0µϕ0(x0)¤e, além disto, como a própria equação de Euler-Lagrange é obtida pelo princí-pio variacional, pode-se acrescentar um divergente de um quadri-vetor arbi-trário que seja uma função somente do campo, Ωµ(ϕ),

L0 £ϕ0(x0), ∂0µϕ0(x0)¤ = L £ϕ0(x0), ∂0µϕ0(x0)¤+ ∂µΩµ (A6-11)

desde que Ωµ(ϕ) seja nula na fronteira de integração e, portanto,

δFL = ∂µΩµ , (A6-12)

ou seja,

δTL = ∂µ

µ∂L∂ϕ,µ

δFϕ

¶+ δxµ.∂µL+ ∂µ⊗µ . (A6-13)

Em geral, devido ao fato de ser uma função escalar por construção,

δTL = 0 , (A6-14)

resultando

∂µ

µ∂L∂ϕ,µ

δFϕ

¶+ δxµ.∂µL+ ∂µΩ

µ = 0 . (A6-15)

Este resultado já é suficiente para definir a corrente conservada. O termo

δxµ.∂µLpode ser substituído pela derivada do produto,

∂µ (δxµL) = δxµ.∂µL ,

como é fácil de verificar nos casos de translações e transformações de Lorentz,pois

∂µµ = 0; ∂µ (ω

µνxν) = ωµµ = 0 ,

resultando na corrente conservada

jµ ∼ ∂L∂ϕ,µ

δFϕ+ δxµL+ Ωµ , (A6-16)

tal que∂µj

µ = 0 .

141

Se desejar um rigor maior, pode-se lembrar que a ação extendida a umcerto domínio R,

A =

Z R

d4xL [ϕ(x), ∂µϕ(x)]deve ser invariante pela transformação de simetria,

δA =

Z R0

d4x0L0 £ϕ0(x0), ∂0µϕ0(x0)¤− Z R

d4xL [ϕ(x), ∂µϕ(x)] = 0 .

Pode-se fazer uma mudança das variáveis de integração da primeira integral,Z R0

· · · d4x0 =Z R

· · ·J d4x =

Z R

· · · (1 + ∂µδxµ) d4x (A6-17)

ondeJ = (1 + ∂µδx

µ) (A6-18)

é a jacobiana da transformação. Assim, resulta

δA =

Z R

d4x [L ∂µδxµ + δTL] = 0

e, usando (A6-13),

δA =

Z R

d4x∂µ

∙∂L∂ϕ,µ

δFϕ+ δxµL+ ∂µ⊗µ

¸= 0 .

Considerando que a região de integração é arbitrária,

∂µ

∙∂L∂ϕ,µ

δFϕ+ δxµL+ ∂µ⊗µ

¸= 0 , (A6-19)

que define a corrente conservada (A6-16).No caso de uma simetria interna, δxµ = 0 e

∂µ

∙∂L∂ϕ,µ

δFϕ+ ∂µ⊗µ

¸= 0 , (A6-20)

A variação funcional (A6-12) pode ser calculada considerando que, devidoà invariança da ação,

δTL = 0 ,de modo que

δFL = −δ0L = −∂L∂ϕ

δTϕ− ∂L∂ϕ,µ

δTϕ,µ

= −∂L∂ϕ

δFϕ− ∂L∂ϕ,µ

δFϕ,µ − δxµ∙∂L∂ϕ

∂µϕ+∂L∂ϕ,ν

∂µϕ,ν

¸,(A6-21)

142

onde não se deve levar em conta a equação de Euler-Lagrange. No caso desimetrias internas (δxµ = 0), fica

δFL = −∂L∂ϕ

δFϕ− ∂L∂ϕ,µ

δFϕ,µ . (A6-22)

Esta variação deve ser identificada com ∂µΩµ, equação (A6-12), para que

a lagrangeana satisfaça às condições de simetria, ou seja, que as equaçõesde movimento resultem as mesmas. A seguir serão calculadas as correntesconservadas ligadas às principais transformações contínuas de simetria.

6.1 Translações

As translações infinitesimais no espaço-tempo são definidas por

δxµ = µ = −i νPνxµ

e a variação funcional

δFϕ = i νPνϕ = − ν∂νϕ .

A equação de conservação (A6-19) fica (Ωµ = 0)

ν∂µ

∙∂L∂ϕ,µ

∂νϕ− gµνL¸= 0

e, considerando que os parâmetros ν são independentes e arbitrários,

∂µ

∙∂L∂ϕ,µ

∂νϕ− gµνL¸= 0 ,

ou seja,∂µT

µν = 0 (A6-23)

para

Tµν =∂L∂ϕ,µ

∂νϕ− gµνL (A6-24)

que define o tensor densidade de corrente de energia e momento.A carga conservada é a energia e momento

P µ =

Zd3xT 0µ =

Zd3x

∙∂L∂ϕ,0

∂µϕ− L¸. (A6-25)

143

6.2 Transformações de Lorentz

As transformações de Lorentz na forma infinitesimal ficam

δxµ = ωµνxν =i

2ωνηLνηx

µ ,

a variação funcional ficando

δFϕ = − i

2ωµνJµνϕ

paraJµν = i (xµ∂ν − xν∂µ) + Sµν = Lµν + Sµν .

A equação de conservação (A6-19) fica (Ωµ = 0)

∂µ

∙∂L∂ϕ,µ

(Lνη + Sνη)ϕ− LνηxµL¸= 0

ou, substituindo os operadores diferenciais,

∂µ∙∂L∂ϕ,µ

(xν∂ηϕ− xη∂νϕ)− i

µ∂L∂ϕ,µ

Sνη

¶ϕ− (xνgµη − xηgµν)L

¸= 0 .

Usando a definição do tensor corrente de energia e momento (A6-24), fica

∂µ∙(xνTµη − xηTµν)− i

µ∂L∂ϕ,µ

Sνη

¶ϕ

¸= 0

que define a corrente

jµνη =¡xνT

µη − xηT

µν

¢− i∂L∂ϕ,µ

Sνηϕ (A6-26)

com a lei de conservação∂µj

µνη = 0 . (A6-27)

A carga conservada é

Mµν =

Zd3xj0µν , (A6-28)

identificado como o momento angular total.

144

6.3 Simetrias internas

No caso de simetrias internas,

δxµ = 0

eδFϕ = −igωataϕ ,

de modo que a equação de conservação (A6-20) define a corrente conservada

jµa = ig∂L∂ϕ,µ

taϕ+⊗µa (A6-29)

com a equação de continuidade

∂µjµa = 0 . (A6-30)

Aqui, ta são os geradores da transformação considerada, matrizes n× n at-uando sobre a representação n dimensional

ϕ = (ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 · · ·ϕn)T .

6.4 Super-translação

A corrente conservada associada à super-translação pode ser determinadada forma usual lembrando que, para θ = 0 equivale a uma transformaçãointerna,

δxµ =i

2γµθ

¯θ=0

= 0 . (A6-31)

A lagrangeana também pode ser colocada na forma usual,

L = L(ϕ, ∂µϕ) ,a menos de termos em derivada, que são irrelevantes do ponto de vista dasequações de movimento, porém contribuem na corrente. Por exemplo, no casodo modelo de Wess-Zumino apresentado na secção 4, a corrente conservadadefinida pela equação (A6-20) resulta

jµ ∼ ∂L∂A,µ

δA+∂L∂A∗,µ

δA∗ +∂L∂ψ,µ

δψ + Ωµ , (A6-32)

o fator Ωµ identificado pela variação funcional da lagrangeana, equação (A6-12). Por comodidade, está-se omitindo o índice F nas variações funcionais).Substituindo as derivadas da lagrangeana, resulta

jµ ∼ (∂µA∗) δA+ (∂µA) δA∗ + i

2ψγµδψ + Ωµ , (A6-33)

145

as variações dos campos (vistos na secção 3) dadas por⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩δA = ψ+

δA∗ = ψ−

δψ = δψ+ + δψ− =12(1 + γ5) (F − iðA) + 1

2(1− γ5) (F

∗ − iðA∗)(A6-34)

que, substituídas em (A6-33) e após algumas manipulações algébricas, leva a

jµ ∼ ψ+∂µA∗ + ψ−∂

µA− i

2γµ¡ψ−F + ψ+F

∗¢++1

2γνγµ

¡ψ−∂νA+ ψ+∂νA

∗¢ + Ωµ . (A6-35)

Para identificar Ωµ, considere a expressão original da lagrangeana super-simétrica (secção 4),

L = 1

4[D0(x) + ∂µ∂

µA0] + Ff+(x) + Ff−(x) ,

onde D0(x) e A0(x) são as componentes D e A, respectivamente, do super-campo escalar

φ0(x) = φ+(x).φ−(x)

produto dos supercampos chirais φ+(x) e φ−(x) e Ff+(x) e Ff−(x) são ascomponentes F dos supercampos chirais

f± = f(φ±) .

Pela equação (A6-22), resulta

δFL = −14

£δD0(x) + ∂2µδA

0¤− δFf+ − δFf− , (A6-36)

os campos transformando-se por super-translação como⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩δA0 = ψ0

δD0 = −i γµ∂µχ0

δF 0f± = −i γµ∂µψf±

, (A6-37)

onde ψ0 e χ0 são as componentes dos super-campo φ0 = φ+.φ− e ψ0f± ascomponentes dos super-campos f± = f(φ±). Após as substituições,

δFL = 1

4

£i γµ∂µχ

0 − ∂2µδψ0¤+ i γµ∂µψf+ + i γµ∂µψf− , (A6-38)

146

onde, pelas regras do produto (apêndice A5),

ψ0 = Aψ− +A∗ψ+

χ0 = −iAðψ− −−iA∗ðψ+ + 2F ∗ψ+ + 2Fψ− + (A6-39)

+iγµψ+∂µA∗ + iγµψ−∂µA ,

e

ψf+ = f 0(A)ψ+ = −F ∗ψ+(A6-40)

ψf− = f 0(A∗)ψ− = −Fψ− ,

(veja secção 4). Feitas as substituições, a (A6-38) fica

δFL = −2γµ∂µ

£γνψ−∂νA+ γνψ+∂νA

∗ + iF ∗ψ+ + iFψ−¤, (A6-41)

ou seja,

Ωµ = −2γµ£γνψ−∂νA+ γνψ+∂νA

∗ + iF ∗ψ+ + iFψ−¤. (A6-42)

Substituindo em (A6-35), resulta

jµ ∼ γν∂νA∗γµψ++ γν∂νAγ

µψ−+ i γµ£ψ−f

0(A∗) + ψ+f0(A)

¤. (A6-43)

ou

jµ = γνγµ¡ψ+∂νA

∗ + ψ−∂νA¢+ iγµ

£ψ−f

0(A∗) + ψ+f0(A)

¤, (A6-44)

que é a corrente associada à simetria por super-translação. Esta corrente éum espinor-vetor (espinor de Rarita-Scwinger), a carga conservada sendo

Qα =

Zd3x

¡j0¢α

. (A6-45)

6.5 Teorias da gauge

Considere a lagrangeana de um sistema livre,

L0 = L0(ϕ, ∂µϕ) , (A6-46)

147

e uma transformação de simetria global

δϕ = δFϕ = −igωataϕ . (A6-47)

Considerando apenas simetrias internas, a nova lagrangeana fica

L00(ϕ0, ∂µϕ0) = L0(ϕ, ∂µϕ) = L0(ϕ0 − δϕ;ϕ0,µ − δϕ,µ)

= L0(ϕ0, ∂µϕ0)− ∂µ

µ∂L0∂ϕ,µ

δϕ

¶ou, usando a equação de conservação (A6-11),

L00(ϕ0, ∂µϕ0) = L0(ϕ0, ∂µϕ0) + ∂µΩµ .

No caso de uma transformação local, a equação (A6-47) fica

δϕ = −igωa(x)taϕ (A6-49)

e, considerando que

δϕ,µ = ϕ0,µ(x)− ϕ,µ(x) = ∂µδϕ , (A6-50)

a lagrangeana nas novas variáveis fica

L00(ϕ0, ∂µϕ0) = L0(ϕ, ∂µϕ) = L0([ϕ0 − δϕ; ∂µ (ϕ0 − δϕ)])

= L0(ϕ0, ∂µϕ0)− ∂µ

µ∂L0∂ϕ,µ

δϕ

¶. (A6-51)

Aqui o termo de divergência não é nulo, pois a equação de conservação(A6-20) é válida somente para parâmetros ωa constantes. Deve-se utilizar alei de conservação (A6-30), de modo que

∂µ

µ∂L0∂ϕ,µ

δϕ

¶= ig (∂µω

a)∂L0∂ϕ,µ

taϕ+ ∂µΩµ . (A6-52)

Assim,

L00(ϕ0, ∂µϕ0) = L0(ϕ0, ∂µϕ0) + ∂µΩµ + ig

∂L0∂ϕ,µ

taϕ ∂µωa , (A6-53)

a variação funcional da lagrangeana dada por

δFL = ig∂L0∂ϕ,µ

taϕ ∂µωa + ∂µΩ

µ = jµa ∂µωa , (A6-54)

148

a corrente jµa definida em (A6-29). O termo ∂µΩµ é arbitrário e pode ser

convenientemente absorvido.A variação funcional (A6-54) destrói a invariança das equações de movi-

mento. Para corrigir isto torna-se necessário introduzir campos vetoriais degauge Aa

µ(x) com a transformação

Aaµ(x) −→ Aa

µ(x) + ∂µωa + gfabcωbAc

µ , (A6-55)

onde fabc é a constante de estrutura, completamente antissimétrica, da álge-bra de Lie do grupo das transformações em questão,£

ta, tb¤= ifabctc . (A6-56)

Com os campos de gauge define-se a derivada covariante

Dµϕ =¡∂µ + igtaA

aµ

¢ϕ , (A6-57)

covariante no sentido de transformar-se da mesmamaneira que o campo sobreo qual atua,

Dµϕ −→ (1− igωata)Dµϕ , (A6-58)

o que leva à invariança funcional da lagrangeana

L = L0(ϕ,Dµϕ) = L0(ϕ, ∂µϕ) + jµaAaµ (A6-59)

desde que L0(ϕ, ∂µϕ) seja invariante por uma transformação global.A lagrangeana total, incluindo os campos de gauge, tem a forma

L = L0(ϕ, ∂µϕ) + jµaAaµ + Lgauge (A6-60)

ondeLgauge = −1

4F aµνF

µνa (A6-61)

é a parte livre dos campos de ggauge e

F aµν = ∂µA

aν − ∂νA

aµ − gfabcAb

µAcν . (A6-62)

O tensor anti-simétrico F aµν transforma-se como

F aµν −→ F a

µν + gfabcωbF cµν (A6-63)

ou, em termos dos geradores da representaçãoadjunta¡taadj¢bc= −ifabc , (A6-64)

a transformação fica

F aµν −→ F a

µν − i¡taadj¢bc

ωbF cµν , (A6-65)

significando que os campos de gauge pertencem à representação adjunta dogrupo de simetria.

149

7 Quebra Espontânea de Simetria

A quebra espontânea de simetria ocorre quando o sistema tem uma certasimetria na lagrangeana mas tem o estado de vácuo degenerado. Na medidaem que o sistema tem de escolher apenas um como o seu estado de vácuo,justamente este processo de escolha do vácuo leva à quebra da simetria origi-nal da lagrangeana. Nas teorias de campo, a quebra espontânea de simetria érealizada através de campos escalares auto-interagentes, mais propriamentetáquions, pois devem ter o sinal do termo de massa quadrática invertido.Um exemplo típico de um sistema com quebra espontânea de simetria é

representado pela lagrangeana de um campo escalar real com simetria ϕ −→−ϕ,

L = 1

2∂µϕ∂

µϕ− m2

2ϕ2 − λ

4!ϕ4 , (A7-1)

onde pode-se identificar o termo de potencial

V (ϕ) =m2

2ϕ2 +

λ

4!ϕ4 . (A7-2)

O mínico de energia do sistema coincide com o mínimo do potencial, queocorre quando

∂V

∂ϕ= m2ϕ+

λ

3!ϕ3 = 0 , (A7-3)

que é satisfeita paraϕ = 0 ou ϕ2 = −3!m2/λ . (A7-4)

Para m2 > 0, o mínimo ocorre para um único valor do campo, ϕ = 0.No entanto, para m2 < 0 (táquion) e para λ > 0, o ponto ϕ = 0 quando

V (0) = 0 é um ponto de máximo local. Os pontos de mínimo são duplamentedegenerados, identificados como

ϕ0 = ±r−3!m

2

λ. (A7-5)

Escolher um destes estados de mínimo como o vácuo físico significa fazera redefinição do campo original

ϕ −→ ϕ+ ϕ0 . (A7-6)

150

Assim, a lagrangeana original agora fica

L =1

2∂µϕ∂

µϕ− 12m2 (ϕ+ ϕ0)

2 − λ

4!(ϕ+ ϕ0)

4

=1

2∂µϕ∂

µϕ− 12m2¡2ϕϕ0 + ϕ2 + ϕ20

¢+

− λ

4!

¡ϕ4 + ϕ40 + 4ϕϕ

30 + 4ϕ

3ϕ0 + 6ϕ2ϕ20¢, (A7-8)

que, a menos de termos constantes, pode ser reorganizado na forma

L =1

2∂µϕ∂

µϕ−µ1

2m2 +

λ

4ϕ20

¶ϕ2 −

µm2ϕ0 +

λ

3!ϕ30

¶ϕ+

− λ

4!ϕ4 − λ

3!ϕ3ϕ0 , (A7-9)

onde verifica-se que a simetria anterior ϕ −→ −ϕ não existe mais.Se fizer asubstituição do campo ϕ0 no coeficiente do termo quadrático ϕ

2, resulta

L = 1

2∂µϕ∂

µϕ− 12|m|2 ϕ2 −

µm2ϕ0 +

λ

3!ϕ30

¶ϕ− λ

4!ϕ4 − λ

3!ϕ3ϕ0 , (A7-10)

de modo que a lagrangeana ganha o termo de massa com o sinal correto.

7.1 Bósons de Goldstone

Uma generalização imediata é modelo de Goldstone, que contém um campoescalar complexo cuja lagrangeana,

L = 1

2∂µϕ

∗∂µϕ− 12m2ϕ∗ϕ− λ

4!(ϕ∗ϕ)2 , (A7-11)

tem simetria de faseϕ −→ eiαϕ (A7-12)

ou, equivalentemente, dois campos escalares reais com simetria O(2),

L = 1

2∂µϕ1∂

µϕ1 +1

2∂µϕ2∂

µϕ2 −1

2m2¡ϕ21 + ϕ22

¢− λ

4!

¡ϕ21 + ϕ22

¢2. (A7-13)

Como antes, o ponto de mínimo da energia coincide com o de mínimo dopotencial

V (ϕ1, ϕ2) =1

2m2¡ϕ21 + ϕ22

¢+

λ

4!

¡ϕ21 + ϕ22

¢2. (A7-14)

151

Considerando apenas o caso m2 < 0 (táquions) e λ > 0, resulta nascondições ⎧⎨⎩ m2ϕ1 +

λ3!(ϕ21 + ϕ22)ϕ1 = 0

m2ϕ2 +λ3!(ϕ21 + ϕ22)ϕ2 = 0

, (A7-15)

satisfeitas para ϕ = ϕ1 + iϕ2 = 0, que é um ponto de máximo local, e para

ϕ21 + ϕ22 = ϕ∗ϕ = −3!m2

λ, (A7-16)

que define os pontos de mínimo, infinitamente degenerados, que podem serrepresentados, a menos de uma fase arbitrária, por

ϕ = ϕ1 + iϕ2 = ρ0eiθ (A7-17)

para

ρ20 =6m2

λe 0 ≤ θ < 2π . (A7-18)

A escolha de um destes estados de mínimo como o vácuo físico, por ex-emplo, fazendo θ = 0, significa redefinir os campos originais, nesta escolha,como

ϕ1 −→ ϕ1 + ρ0 e ϕ2 −→ ϕ2 , (A7-19)

de modo, fazendo as substituições

ϕ21 −→ (ϕ1 + ρ0)2 = 2ρ0ϕ1 + ρ20 + ϕ21 , (A7-20)

a lagrangeana, a menos de termos constantes, fica

L =1

2∂µϕ1∂

µϕ1 +1

2∂µϕ2∂

µϕ2 −1

2|m|2 ϕ21 +

− λ

3!ϕ1¡ϕ21 + ϕ22

¢− λ

4!

¡ϕ21 + ϕ22

¢2, (A7-21)

cuja simetria de fase original não está mais presente.Nesta nova forma, o campo ϕ1 tem massa |m| enquanto que o campo ϕ2

tem massa nula, conhecido como o bóson de Goldstone.A escolha de um dos vácuos como o vácuo físico, ao mesmo tempo em

que acarreta a quebra da simetria original da lagrangeana, parte dos camposescalares originais passam a ter massa nula, os bósons de Goldstone. Es-tas partículas escalares sem massa, inexistentes na realidade, aparentementeinviabilizaria a quebra espontânea de simetria como um mecanismo válidonas teorias de campo. No entanto, se for considerada a simetria local, osbósons de Goldstone são absorvidos pelos campos vetoriais de gauge, quetambém adquirem massas pela quebra espontânea de simetria, num processoconhecido como o mecanismo de Higgs.

152

7.2 Mecanismo de Higgs

O modelo de Goldstone extendido para a simetria local permite a eliminaçãodos bósons de Goldstone, ao mesmo tempo em que os campos de gaugeadquirem massa pela quebra espontânea de simetria. Este procedimento éconhecido como o mecanismo de Higgs, No entanto, na presença dos camposvetoriais de gauge, o processo de quebra espontânea de simetria cria termosde massa para os campos de gauge e os bósons de Goldstone são absorvidospor estes campos vetoriais agora massivos. A lagrangeana, com os camposde gauge, fica

L = −14F µνFµν +Dµϕ

∗Dµϕ−m2ϕ∗ϕ− λ

4(ϕ∗ϕ)2 , (A7-22)

com simetria de fase local. Considerandom2 < 0, pode-se ver que o potencial

V (ϕ) = m2ϕ∗ϕ− λ

4(ϕ∗ϕ)2 (A7-23)

assume valor mínimo para os campos definidos por

ϕ = v.eiη , (A7-24)

onde

v =

r2

λ|m| (A7-25)

e η uma fase arbitrária.Neste caso, é conveniente redefinir os campos usando a representação

polar

ϕ =1√2(χ+ v) eiθ/v (A7-26)

onde χ e θ são campos reais, que entram na lagrangeana como

L = −14F µνFµν + ∂µχ∂

µχ− 12χ2µm2 +

3λv2

4

¶− λ

16

¡χ4 + 4vχ3

¢+

+

µχ+ v

2

¶2µ∂µθ

v− eAµ

¶2. (A7-27)

A massa do campo χ é dado porµm2 +

3λv2

4

¶=

µ− |m|2 + 3

2|m|2

¶=1

2|m|2 (A7-28)

153

e corresponde, portanto, a |m| /√2. O campo de gauge Aµ também tem umtermo de massa, enquanto que o campo escalar θ pode ser eliminado pelaredefinição do campo de gauge,

Aµ −→ Aµ +∂µθ

ev, (A7-29)

que absorve o campo escalar sem diminuir o grau de liberdade do sistema,pois o campo vetorial massivo tem três graus de liberdade, enquanto que ocampo vetorial de massa nula tem apenas dois graus de liberdade.Este procedimento pode ser imediatamente extendido para grupos de

simetria não abeliana, como ocorre no modelo de Weinberg-Salam da in-teração eletrofraca.

154