tín hiệu và hệ thống,đỗ tú anh,dhbkhcm

Tín Hiệu và Hệ Thống

Đỗ Tú [email protected]

Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện

Bài 7: Phép biến đổi Laplace và Miền hội tụBiến đổi Laplace ngược, Các tính chất

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

http://cuuduongthancong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

22

Chương 6: Phép biến đổi Laplace

6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace

6.2 Phép biến đổi Laplace ngược

6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace

6.4 Hàm truyền đạt

EE3000-Tín hiệu và hệ thống




3EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Tổ chức




44EE3000-Tín hiệu và hệ thống 4



6.1.1 Phép biến đổi Laplace

6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ

6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ








Pierre Simon de Laplace (1749-1827)




66EE3000-Tín hiệu và hệ thống 6EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Tại sao cần phép biến đổi Laplace?

Ta có

Khi phân tích trong miền thời gian, ta phân tích tín hiệu x(t) thành cácxung và cộng các đáp ứng của hệ thống với các xung đó.

Khi phân tích trong miền tần số, ta phân tích tín hiệu x(t) thành cácthành phần mũ phức có dạng est trong đó s là tần số phức

s jσ ω= +





Biiến đổi Laplace của một tín hiệu x(t) được định nghĩa là

Định nghĩa phép biến đổi Laplace

Giải thích bằng phép biến đổi Fourier

Phép biến đổi Laplace có thể được coi là phép biến đổi Fourier củatín hiệu x(t) sau khi nhân với hàm mũ thực te σ−
















9

Biến đổi Laplace: Ví dụ 1Ảnh Fourier của tín hiệu mũ thực nhân quả

chỉ tồn tại khi a > 0

Tuy nhiên, từ định nghĩa biến đổi Laplace, ta có

Do đó với bất kỳ giá trị nào của a, biến đổi Laplace tồn tại với mọigiá trị σ > -a






Do s = σ+jω, ta viết lại thành

Nếu a > 0, X(s) tồn tại với σ = Re{s} = 0, khi đó trở thành X(jω).

Ngược lại, biến đổi Laplace X(s) không bao gồm biến đổi Fourier X(jω).

Miền hội tụ: Miền các giá trị của s để biến đổi Laplace hội tụ


Biến đổiLaplacebao gồmbiến đổiFourier

Biến đổi Laplace: Ví dụ 1






11

Xét tín hiệu mũ thực phản nhân quả

Ảnh Laplace của nó là

Miền hội tụ

Biến đổiLaplacebao gồmbiến đổiFourier






Sơ đồ điểm không/điểm cựcẢnh Laplace thường có dạng phân thức của s, tức là

( )( ) ,( )

B sX sA s

= với s thuộc miền hội tụ (MHT)

trong đó B(s) và A(s) tương ứng là các đa thức bậc M và N của biến s

M nghiệm của tử thức B(s) đgl các điểm không của ảnh Laplace

N nghiệm của mẫu thức A(s) đgl các điểm cực của ảnh Laplace.

Chú ý: các điểm cực của B(s)/A(s) nằm ngoài MHT, còn các điểmkhông có thể nằm trong hoặc nằm ngoài MHT.

Mô tả một cách cô đọng đặc tính của ảnh Laplace trong mặt phẳngs bao gồm cả việc chỉ ra vị trí các điểm không và điểm cực, ngoàiMHT.





Xét tín hiệu x(t) là tổng của hai tín hiệu mũ nhân quả

có ảnh Laplace là

Biểu diễn X(s) thành dạng phân thức

Điểmkhông

Điểmcực

















15EE3000-Tín hiệu và hệ thốngEE3000-Tín hiệu và hệ thống

Các tính chất của miền hội tụVới tín hiệu một phía phải

1( ) 0, .x t t t= >

{

Với tín hiệu một phía trái

2( ) 0, .x t t t= <

} maxRe ,s σ>

trong đó σmax là phần thực lớn nhấtcủa các điểm cực

MHT:

{ } minRe ,s σ<

trong đó σmin là phần thực nhỏ nhấtcủa các điểm cực

MHT:

0t

1t

( )x t

( )x t

0t

2t





( )x t

0t

Với tín hiệu khoảng hữu hạn (tín hiệu vừa là một phía phải, vừa làmột phía trái

1 2( ) 0, .x t t t t t= < ∪ >

MHT: toàn bộ mặt phẳng s

Với tín hiệu hai phía (không phải là các tín hiệu trên)

{ }1 2Re ,sσ σ< <

trong đó σ1 và σ2 là các phần thựccủa (ít nhất) hai điểm cực

MHT:

Các tính chất của miền hội tụ

( )x t

0 t1t 2t




2( )x t

sdfssdfdsfs

1( )x t

sdfssdf


Xét tín hiệu hai phía ( ) ( ) ( )at atx t e u t e u t−= − −

( )x t

0

( 0)a >

t

( )x t

0

( 0)a <

t

Do đó 1 1( ) , Re ,X s a as a s a

= + − < <+ −

2 22 Re ,s a a

s a= − < <

−

Từ các ví dụ trên ta có

{ }11( ) , ReX s s a

s a= > −

+{ }2

1( ) , ReX s s as a

= <−

và

σ

jω

a− a× ×

Miền hội tụ: Ví dụ

















Để tìm lại tín hiệu x(t) từ ảnh Laplace của nó, ta sử dụng biến đổiFourier ngược.

Do ( ) ( ) ,t j t

Biến đổi Laplace ngược

X j x t e e dtσ ωσ ω∞

− −

−∞

⎡ ⎤+ = ⎣ ⎦∫nên có thể viết ảnh Fourier ngược của nó là

1( ) ( )2

t j tx t e X j e dσ ωσ ω ωπ

∞−

−∞

= +∫Nhân cả hai vế với eσt, ta có

( )1( ) ( )2

j tx t X j e dσ ωσ ω ωπ

∞+

−∞

= +∫

Thay s = σ+jω và ds=jdω,

1 ( ) ( ) 2

jst

j

x t X s e dsj

σ

σπ

+ ∞

− ∞

= ∫

nằm trong MHT





Biến đổi Laplace ngược: Ví dụCho hàm phân thức bậc 2

được phân tích thành tổng các phân thức đơn giản

Có 3 khả năng của MHTvà





Biến đổi Laplace ngược: Ví dụTrường hợp MHT là

tín hiệu x(t) phải là tín hiệu một phía phải

Ta có

Do đó ảnh Laplace của

là




Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ

EE3000-Tín hiệu và hệ thống 22

Trường hợp MHT là

tín hiệu x(t) phải là tín hiệu hai phía

Ta có


là




Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ


Trường hợp MHT là

tín hiệu x(t) phải là tín hiệu phía trái

Ta có


là




Các cặp biến đổi Laplace





2525EE3000-Tín hiệu và hệ thống 2525EE3000-Tín hiệu và hệ thống 25













Tính tuyến tính

Cho các tín hiệu x1(t) và x2(t) có các ảnh Laplace là X1(jω) và X2(jω)với các MHT tương ứng R1 và R2

Ta có 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )ax t bx t aX s bX s+ ↔ +

MHT: 1 2R R R′ ⊃ ∩

Thông thường, khi không có sự triệt tiêu điểm cực/điểm không

1 2R R R′ = ∩

Khi R1 và R2 không giao nhau, R’ là tập rỗng

ảnh Laplace của 1 2( ) ( )ax t bx t+ không tồn tại





Tính tuyến tính: Ví dụXét hai tín hiệu x1(t) và x2(t) sau

1( ) ( ),atx t e u t−=

2 ( ) ( ) ( )at atx t e u t e u t−= − −

11( ) , Re{ }>X s s a

s a= −

+

22( ) , Re{ }<

( )( )sX s a s a

s a s a= − <

+ −

Tổng của hai tín hiệu 1 2( ) ( ) ( )x t x t x t= +

1 21 2 3( ) ( ) ( ) ,

( )( ) ( )( )s s aX s X s X s

s a s a s a s a s a−

= + = + =+ + − + −

Do đó 1 2 2R R R R′ = ∩ =

Hiệu của hai tín hiệu 1 2( ) ( ) ( )x t x t x t= −

1 21 2 1( ) ( ) ( ) ,

( )( )sX s X s X s

s a s a s a s a−

= − = − =+ + − −

Do đó, MHT R’ lớn hơn 1 2R R∩

Re{ }a s a− < <

Re{ }s a<





Tính dịch thời gian

Theo định nghĩa{ }0 0( ) ( ) stL x t t x t t e dt

∞ −−∞

− = −∫Đặt 0t tτ = −

{ } 0

0 0

0

( )0

( )

( ) ( )

( )

( )

s t

st s t

st

L x t t x e d

e x e d

e X s

τ

τ

τ τ

τ τ

∞ − +−∞

∞− − +−∞

−

− =

=

=

∫

∫

00( ) ( ), stx t t e X s R R− ′− ↔ =Do đó

Cho tín hiệu x(t) có ảnh Laplace X(s) với MHT là R





Tính dịch tần số (Điều chế)Dễ dàng chứng minh được

{ }00 0( ) ( ), Res te x t X s s R R s′↔ − = +

Ví dụ { }1( ) , Reate u t s as a

− ↔ > −+

{ }1( ) , Re( )

u t s a as a a

↔ > − +− +

{ }1( ) , Re 0u t ss

↔ >

σ

jω

b c

R

σ

jω

{ }0Reb s+

R′

{ }0Rec s+




Tính co giãnẢnh Laplace của x(at)

1( ) ( ), sx at X R aRa a

′↔ =

30

σ

jω

b c

R R ′

σ

jω

ab ac

Đặc biệt khi a = -1, ta có

( ) ( ), x t X s R R′− ↔ − = −


Tính đảothời gian





Đạo hàm và tích phân

MHTsẽ không thay đổi (R’ = R) nếu không có sự triệt tiêu điểmkhông/điểm cực tại s = 0

Đạo hàm hai vế của biến đổi Laplace ngược theo thời gian t, ta suy ra

( ) ( ), dx t sX s R Rdt

′↔ ⊃

Ví dụ: { }1( ) , Re 0u t ss

↔ >( ) ( ) 1, du t t s

dtδ= ↔ ∀

Theo tính chất đối ngẫu( )( ) , dX stx t R R

ds′− ↔ =




Đạo hàm và tích phân


Ảnh Laplace của tích phân của tín hiệu x(t)

{ }1( ) ( ), Re 0t

x d X s R R ss

τ τ−∞

′↔ ⊃ ∩ >∫

Ví dụ:

Đáp ứng xung

Đáp ứng bước nhảy với a > 0

{ }1( ) ( ) ( ) , Reath t e u t H s s as a

−= ↔ = > −+

{ }1( ) ( ) , Re 0( )

s t S s ss s a

= ↔ = >+





Tích chập

( )x t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h t x h t dτ τ τ∞

−∞= ∗ = −∫( )h t

Hệ LTI

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

st

st

st

Y s y t e

x h t d e dt

x h t e dt d

τ τ τ

τ τ τ

∞ −−∞

∞ ∞ −−∞ −∞

∞ ∞ −−∞ −∞

=

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

∫ ∫

∫ ∫

Ta có

( )se H sτ−

( )( ) sx dH s e ττ τ∞ −−∞

= ∫

Do đó ( ) ( ), ( ) y h xHY s X s R R Rs= ⊃ ∩

Thông thường nếu không có sự triệt tiêu điểmkhông/điểm cực

y h xR R R= ∩




Tích chập: Ví dụ


Xét đáp ứng của hệ bậc 1 (có thể không ổn định) với tín hiệu vào x(t)

Lấy biến đổi Laplace

Do đó biến đổi Laplace của tín hiệu ra của hệ thống là

và biến đổi Laplace ngược là





Các tính chất của biến đổi Laplace

Tính chất Miền thời gian Ảnh Laplace MHT

Tuyến tính1 2( ) ( )ax t bx t+ 1 2R R R′ ⊃ ∩1 2( ) ( )aX s bX s+

Dịch thời gian 0( )x t t− 0 ( )ste X s− R R′ =

Điều chế 0 ( ) s te x t 0( )X s s− { }0ReR R s′ = +

Co giãn trục ( ) x at 1 ( )sXa a

R aR′ =

Đảo trục ( ) x t− ( )X s− R R′ = −Đạo hàm ( )dx t

dt( )sX s R R′ ⊃

( ) tx t−( )dX s

dsR R′ =

Tích phân ( ) t

x dτ τ−∞∫

1 ( )X ss

{ }Re 0R R s′ ⊃ ∩ >

Tích chập 1 2( ) ( )x t x t∗ 1 2( ) ( )X s X s 1 2R R R′ ⊃ ∩




Documents

tín hiệu và hệ thống,đỗ tú anh,dhbkhcm