Trabajo de Geometría

Triángulos

Definición: un triangulo es un polígono de tres lados y se clasifica:

Clasificación:

1. Por sus lados:

a. Equilátero: si sus tres lados son congruentes.b. Isósceles: si tiene dos lados congruentes.c. Escaleno: si ninguno de los lados son congruentes.

2. Según sus ángulos:

a. Rectángulo: si uno de sus ángulos internos es recto; el lado que se opone al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

b. Obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso.c. Acutángulo: cuando sus tres ángulos son agudos.

Líneas y puntos notables en el triangulo:

1. Mediana: es un segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las medianas se interceptan en un punto llamado baricentro o centro de gravedad.

2. Altura: es el segmento perpendicular trazado desde un vértice a su lado opuesto, o a la prolongación de dicho lado. Las tres alturas se interceptan en un punto llamado ortocentro.

3. Bisectriz: es el rayo que partiendo de un vértice biseca al ángulo correspondiente a dicho ángulo. El punto donde concurren las bisectrices interiores se denomina incentro.

4. Mediatriz: línea recta que biseca perpendicularmente a uno de sus lados. El punto de concurrencia de las mediatrices se llama circuncentro.

5. Ceviana: es todo segmento que une el vértice de un triangulo con un punto cualquiera del lado opuesto.

Segmentos proporcionales

Definición: dos segmentos AB y CD son proporcionales a otros dos A´B´ y C´D´, si la razón de los dos primeros es igual a la razón de los otros dos.

Perímetro del triangulo equilátero con el mayor lado del triangulo anterior: P = 3(48) = 144

Teorema de thales: Tres o más rectas paralelas determinan segmentos proporcionales en dos secantes cualesquiera.

Si L1 // L2 // L3, y S1, S2 son dos secantesCualesquiera, entonces:

ABBC

=DEEF

Propiedad.

Si se traza una recta paralela a un lado del triangulo, entonces, esta determina segmento proporcionales sobre los otros dos lados.

Si L1 // AC entonces BMMA

=BNNC

Semejanza de triángulos

Definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales.

a) A D, B E, C F

b)ad=be= cf

Relaciones métricas en el triangulo rectángulo

Si un triangulo rectángulo ABC, recto en A, se traza la altura correspondiente a la hipotenusa AH = h, entonces se verifica:

1. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y sus proyecciones sobre dicha hipotenusa.

ab=bn,b2=an

ac= cm,c2=am

2. La altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre la hipotenusa.

mh=hn,h2=mn

3. La altura correspondiente a la hipotenusa es cuarta proporcional entre la hipotenusa y los catetos.

ab= ch,ah=bc

4. Teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

a2=b2+c2

Generalizando el teorema de Pitágoras para triángulos oblicuángulos (no rectángulos).

1. Lado opuesto a un ángulo agudo en un triangulo: el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto del uno de estos lados por la proyección del otro lado sobre este.

a2=b2+c2−2bm , Aagudo

2. Lado opuesto a un triangulo obtuso en un triangulo: en la figura el triangulo BAC es obtusángulo, con ángulo B obtuso y h altura relativa al lado AC.

b2=a2+c2+2an ,Bobtuso

3. Teorema de la Ceviana o teorema de Stewart: el cuadrado de la longitud de una Ceviana, trazada desde un vértice del lado del triangulo multiplicada por el lado opuesto, es igual a la suma de los productos de los cuadrados de los lados que determinan el vértice, multiplicados por las longitudes de los segmentos opuestos que determina la Ceviana en el tercer lado, menos el producto del tercer lado por el producto de los segmentos en que quedo el tercer lado.

Si xb es la longitud de la Ceviana BT, trazada desde el vértice B, hacia el tercer lado AC de longitud b, y, m y n son las longitudes de los segmentos en que queda dividido el tercer lado, entonces se cumple:

x 2bb=a2m+c2n−bmn

Cuadriláteros

Definición: los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados, que resultan de unir cuatro segmentos de recta.

Clasificación:

1. Paralelogramos: si sus dos pares de lados son paralelos, estos a la vez son:

a. Paralelogramo propiamente dicho.b. Rectángulo: si sus cuatro ángulos son de 90°.c. Rombo: si sus cuatro lados son congruentes.d. Cuadrado: si es rectángulo y rombo a la vez.

2. Trapecio: si solo un par de sus lados son paralelos, pueden ser:

a. Isósceles: si sus lados no paralelos son congruentes.b. Escaleno: si sus lados no paralelos no son congruentes.c. Rectángulo: si el trapecio tiene un ángulo recto.

3. Trapezoide: si ningún par de sus lados son paralelos.

Mediana de un trapecio: es el segmento de recta que une los puntos medios de sus lados no paralelos.

Propiedades:

1. La mediana de un trapecio es paralela a las bases y tiene por medida la semisuma de las longitudes de las bases.

MN=a+b2

2. La longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio es igual a la semidiferencia de sus bases.

PQ=a−b2

Circunferencia

Definición: es el conjunto de puntos del plano que equidistan de otro punto fijo del mismo del plano denominado: Centro.

La región del plano limitada por la circunferencia recibe el nombre de círculo

Elementos:

Centro: punto “O”.Radio: segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la curva: OA= R.Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.Secante: recta que contiene a una recta: LS.Tangente: recta que toca en un punto de la circunferencia: LT.Diámetro: cuerda que pasa por el centro.Arco: parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella: B̂C

Sector circular: es la parte del círculo limitada por dos radios y por el arco subtendido.

Angulo central: mӨ=arcAB

Angulo inscrito: m=arc AB2

Longitud de la circunferencia:C=2πr=πd

r: radiod: diámetro

Longitud del arco:

LAB=2 πr (❑360 °

)

: Medida angular del arco

Polígonos

Polígono inscrito: es aquel que sus vértices se encuentran sobre una misma circunferencia.

Polígono circunscrito: cuando sus lados son tangentes a una misma circunferencia.

Polígono regular: cuando sus lados y sus ángulos son congruentes.

Propiedades

Un cuadrilátero es inscriptible en una circunferencia, cuando dos de sus ángulos opuestos son suplementarios.

Áreas de regiones poligonales y circulares

Región poligonal: Es una porción del plano limitada por polígonos.

Área de una región poligonal: es la medida de la extensión de dicha región.A continuación se da un cuadrado con las principales formulas de las figuras geométricas notables.

figuras símbolos Formulas

Lado: LÁrea: S

CUADRADO

S = L2

Diagonal: dÁrea: S

CUADRADO

S=d2

2

Base: bAltura: hÁrea: S

RECTANGULO

S = b * h

S = b * h

Altura: hÁrea: S

PARALELOGRAMO

Diagonal mayor: DDiagonal menor: d

Área: S

ROMBO

S=D∗d2

Base menor: aBase mayor: b

Altura: hÁrea: S

TRAPECIO

S=( a+b2 )h

Lados: a, b, c, dDiagonales: d1 y d2

Área: S

CUADRILATERO

S=d1d22

sen

Lados: a, b, cBase: bAltura: hÁrea: S

TRIANGULO

S=b∗h2

S=a∗b2

sen

Lados: a, b, cSemiperímetro: p

Área: S

TRIANGULO

S=√ p ( p−a ) (p−b )(p−c )∗d

p=a+b+c2

Lado: LÁrea: S

TRIANGULO EQUILATERO

S= L2

4 √3

Altura: hÁrea: S

TRIANGULO EQUILATERO

S=h2

3 √3

Cateto: a, bÁrea: S

TRIANGULO RECTANGULOS=a∗b

2

Semiperímetro: pApotema: ap

POLIGONO REGULAR

S = p * ap

Radio: RÁrea: S

CIRCULO

S = πR2

Segmento: m, nHipotenusa: m + n

Área: S

TRIANGULO RECTANGULO

S = m * n

Lados: a, b, cRadio: RÁrea: S

TRIANGULO INSCRITO

S=a∗b∗c4 R

Semiperímetro: pRadio: RÁrea: S

TRIANGULO CISCUNSCRITO

S = p * R

Radio: RAngulo: Área: S

SECTOR CIRCULAR

S= π r2 °360 °

Radios: R, rÁrea: S

CORONA CIRCULAR

S = π(R2 – r2)

Radios: R, rAngulo:

S=π (R2−r2) °360 °

Área: S

TRAPECIO CIRCULAR

Áreas y volúmenes de sólidos geométricos

Solido geométrico

Se llaman sólidos geométricos a las figuras que encierran cierta región del espacio mediante superficies.

Se llama poliedro al sólido formado por la intersección de cuatro a más polígonos planos no coplanares a los cuales se les llama caras. Los lados se estos reciben el nombre de aristas.

Clasificación:

1. Por su número de caras:

De 4 caras: tetraedroDe 5 caras: pentaedroDe 6 caras: hexaedro

2. Por su forma:

Poliedro convexo: cuando es una recta secante interceptan a su superficie en solo dos puntos.

En este tipo de poliedros se cumple el TEOREMA DE EULER que dice que su número de caras (C) mas su número de vértices (V) es igual al número de aristas (A) mas dos.

C + V = A + 2

Poliedro no convexo: cuando esa secante intercepta en la superficie del poliedro en más de dos puntos.

Poliedros regulares o Platónicos

Son aquellos poliedros cuyas caras son polígonos regulares congruentes entre sí. Solo existen 5 poliedros regulares de los cuales solo describimos a los tres primeros y son:

El tetraedro

El hexaedro

El octaedro

El dodecaedro

El icosaedro

Tetraedro regular: Está formado por 4 triángulos equiláteros.

Caras = 4 Vértices = 4 Aristas = 6

Si a es la longitud de sus aristas, entonces:

Altura: h=a√63

Área lateral:SL=3a2√34

Área total:ST=a2√3

Volumen: V=a3√212

Hexaedro regular: Está formado por 6 cuadrados.



Diagonal: D=a√3

Área lateral:SL=4a2

Área total:ST=6a2

Volumen: V=a3

Octaedro regular: Está formado por 4 triángulos equiláteros.



Altura: h=a√63

Área lateral:SL=3a2√34

Área total:ST=a2√3

Volumen: V=a3√212

Poliedros irregulares

Aquel que tiene caras y ángulos desiguales, por ejemplo un cono. El cono posee un triángulo, polígono regular y una circunferencia, polígono irregular.

Prisa recto: es el sólido que tiene dos caras llamadas bases, que son polígonos paralelos y congruentes entre sí; las otras caras del prisma son paralelogramos y se llama caras laterales. Estas caras se interceptan unas a otras en segmentos paralelos y congruentes entre si, a los cuales se les llama aristas laterales.

Área lateral:SL=p .hÁrea total:ST=SL+2BVolumen: V=B .hB = base: polígono de “n” ladosp = Semiperimetro de la baseh = altura

Paralelepípedo: es el prisma cuyas bases son regiones paralelográmicas, se clasifican en:

a. Paralelepípedo rectangular, ortoedro o rectoedro: es el paralelepípedo cuyas caras son rectángulos.

b. Cubo: es el paralelepípedo cuyas caras son cuadrados.

c. Romboedro: es el paralelepípedo cuyas caras son rombos.

Pirámide regular: es aquella que tiene como base un polígono regular mientras que sus caras laterales son triángulos isósceles congruentes entre sí, razón por la cual sus aristas laterales tienen igual longitud. Se llama apotema de la pirámide regular a la distancia que hay de su vértice a cualquiera de las aristas de su base.

Propiedad: la altura de una pirámide regular intercepta a la base en su centro de gravedad.

Área lateral:SL=p .ap

Área total:ST=SL+a

Volumen: V=a .h3

Base: polígono de “n” ladosp = Semiperimetro de la basea = área de la baseh = altura

Sólidos de revolución: es aquel que haciendo girar una región plana alrededor de una recta fija llamado eje de revolución. Los principales sólidos son:

a. Cilindro circular recto: es el sólido que se obtiene al hacer girar 360° una superficie rectangular alrededor de uno de sus lados, el cual es considerado como su eje.Su base son un par de círculos y el desarrollo de su superficie lateral es una región rectangular que tiene como uno de sus lados a la generatriz del cilindro mientras que el otro tiene por longitud, la longitud de la circunferencia de la base del cilindro.La altura del cilindro de revolución es la distancia que hay entre sus bases y es igual a la longitud de la generatriz.

Área lateral: SL=2πrgÁrea total: ST=2π r (r+g)Volumen: π r2hr = radio de la baseg = generatrizh = altura

b. Cono circular recto: es el sólido obtenido al hacer girar la región correspondiente a un triangulo rectángulo una vuelta completa alrededor de un eje que contiene un cateto, el otro cateto genera la base (circulo) y la hipotenusa (generatriz) genera la superficie lateral.El desarrollo de la superficie lateral es un sector circular que tiene como radio la generatriz del cono y como arco la longitud de la circunferencia de la basa del cono.

Área lateral: SL=πrgÁrea total: ST=πr (r+g)

Volumen: 13π r2h

r = radio de la baseg = generatrizh = altura

c. La esfera: es el sólido obtenido al hacer girar un semicírculo en torno a un eje que contiene a su diámetro.

Área total:ST=4 π r2

Volumen:43πr 3

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Definición: Se denominan a los diferentes cocientes que se pueden establecer con las longitudes de los lados de un triangulo rectángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos y cuyo resultado es un numero real adimensional.

Catetos: a, bHipotenusa: cÁngulos agudos: A Y B mA + mB = 90°Teorema de Pitágoras: c2=¿a2+b2¿

Definiciones de las razones trigonométricas

senoӨ= catetoopuesto aӨhipotenusa cosecanteӨ= hipotenusa

cateto opuesto aӨ

cosenoӨ= catetoadyacente aӨhipotenusa secanteӨ= hipotenusa

catetoadyacente aӨ tangenteӨ= catetoopuesto aӨ

cateto adyacente aӨ cotangenteӨ= catetoadyacente aӨcatetoopuesto aӨ

30° 37° 45° 53° 60°

Seno12

35

√22

45

√32

Coseno √32

45

√22

35

12

Tangente √33

34 1

43 √3

Cotangente √343 1

34

√33

Secante 2√33

54 √2

53 2

cosecante 253 √2

54

2√33

Razones trigonométricas reciprocas: son reciprocas si una de ellas e el inverso multiplicativo de la otra, por tanto su producto es igual a la unidad.

Sen ӨCos ӨTg ӨCtg ӨSec ӨCsc Ө

Razones trigonométricas de ángulos complementarios: es igual a la co - razón trigonométrica se du ángulo complementario.

Sen Ө =Cos (90° - Ө)

Tg Ө = Ctg (90° - Ө)

Sec Ө = Csc (90° - Ө)

Razones trigonométricas de ángulos es posición normal

Sistema de coordenadas rectangulares: es aquel sistema formado por des rectas numéricas coplanares que se cortan perpendicularmente en un punto llamado origen. Estas dos rectas dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes.

Signos de las razones trigonométricas

Sen Ө. Csc Ө = 1 Sen Ө = 1

CscӨ Csc Ө = 1

SenӨ

Cos Ө. Sec Ө = 1 Cos Ө = 1

SecӨSecӨ= 1

cosӨ

Tg Ө. Ctg Ө = 1 Tg Ө = 1

CtgӨCtgӨ= 1

TgӨ

Abscisa Ordenada (+)I cuadrante + + TodasII cuadrante - + Sen, CscIII cuadrante - - Tg, CtgIV cuadrante + - Cos, Sec

Eje X + ó - 0Eje Y 0 + ó -

Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales: los ángulos cuadrantales son aquellos ángulos en posición normal que se encuentran en el límite de la frontera de 2 cuadrantes consecutivos. La medida de estos ángulos con múltiplos de 90

0°(0 rad)

90°

(π2rad)

180°(π rad) 270° (

3π2

rad) 360°(2π rad)

Sen 0 1 0 -1 0Cos 1 0 -1 0 1Tg 0 ∄ 0 ∄ 0Ctg ∄ 0 ∄ 0 ∄Sec 1 ∄ -1 ∄ 1Csc ∄ 1 ∄ -1 ∄

Ángulos en posición normal

Se dice que un ángulo está en posición normal, respecto a un sistema de coordenadas rectangulares, cuando su lado inicial coincide con el semieje de positivo de abscisas y su vértice coincide con el origen del sistema de coordenadas, su lado final se encuentra en cualquier parte del plano.

Si el lado final se encuentra en el primer cuadrante al ángulo se le denomina “ángulo del primer cuadrante”, algo similar se hace para los otros cuadrantes.

Ángulos coterminales: son si tiene en mismo vértice, el mismo lado inicial y el mismo lado terminal. Por lo general, si Ө1 y Ө2 son coterminales, entonces se cumple:

Ө1 = Ө2 + k360° = Ө2 k Z

Circunferencia trigonométrica

Es aquella circunferencia inscrita en el plano cartesiano con centro en el origen de coordenadas y radio igual a la unidad, en dicho sistema.

C = {(x, y) R2/ x2 + y2 = 1}

La circunferencia unitaria corta a los ejes de coordenadas en los putos: A (1,0); B (0,1); C (-1,0); D (0,-1)

En el grafico P (x, y) punto extremo del arco AP.

De la relación Cos = xr ,

Como r = 1, se tiene x = Cos (1)

Análogamente se tiene que y = Sen (2)

De donde se tiene que P (Cos, Sen)

Elevando al cuadrado (1) y (2) se tiene

x2 = Cos2 y2 = Sen2

Sumando miembro a miembro se tiene

x2 + y2 = Cos2 + Sen2 x2 + y2 = 1

Funciones trigonométricas

Surgen como solución al problema de definir las nociones de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante de un numero real, por ser la medida de un ángulo expresado en radianes es un numero real. Por lo tanto, una función trigonométrica tiene dominio y rango en R.

Función Seno y= {(x; y) / y = senx}

a. representación en la circunferencia trigonométrica:

b. grafica y análisis de la función seno: f(x) = senx, x [0; 2π]

El seno de un arco está representado por la perpendicular trazada del externo del arco al diámetro horizontal (ordenada del extremo del arco)

Sen = MP

La curva SINUSOIDE, esta continuaDominio: RRango: [-1; 1]Valor mínimo y máximo: -1 y 1 respectivamentePeriodo: 2π

Función Cosenoy= {(x; y) / y = cosx}


b. grafica y análisis de la función Coseno: f(x) = Cos x, x [0; 2π]

Función Tangentey= {(x; y) / y = tgx}


b. grafica y análisis de la función Tangente: f(x) = Tg x, x [0; 2π]

Identidades trigonométricas

Definición: es una igualdad que contiene funciones trigonométricas y que se verifican para cualquier valor admisible de la variable angular.

Identidades principales

a. identidades de funciones reciprocas

El coseno de un arco está representado por la perpendicular trazada del externo del arco al diámetro vertical (abscisa del extremo del arco)

Cos = QP

La curva COSINUSOIDE, esta continuaDominio: RRango: [-1; 1]Valor mínimo y máximo: -1 y 1 respectivamentePeriodo: 2π

El tangente de un arco está representado por el segmento tomado sobre la tangente geométrica trazada por el origen de arcos y está limitada por dicho origen y el punto de intercepción de la tangente con la prolongación del radio que pasa por el extremo del arcoTg = AT

La curva TANGENTOIDE, esta discontinuaDominio: R – {x/x = (2n + 1) π/2, n Z}Rango: RPeriodo: π

Sen x. Csc x = 1Cos x. Sec x = 1Tg x. Ctg x = 1

b. identidades de división

Tg x= SenxCosx

Ctg x=CosxSenx

c. identidades de cuadrados o pitagóricas

Sen2 x + Cos2x = 11 + Tg2 x = Sec2 x1 + Ctg2 x = Csc2 x

Identidades de ángulos compuestos

Sen(x y) = Sen x. Cos y Cos x. Sen y

Cos(x y) = Cos x. Cos y Sen x. Sen y

Tg(x y) = Tg xTg y1Tg x .Tg y

Identidades del ángulo doble

Sen 2x = 2Sen x. Cos x

Cos 2x = Cos2 x – Sen2 x

= 1- Sen2 x Sen2 x = 1−cos2 x

2

= 2 Cos2 x – 1 Cos2 x = 1+cos2x

2

Tg 2x = 2Tgx1−Tg2 x

Identidades del ángulo mitad

Sen x2 = √ 1−cos x2

Cos x2 = √ 1+cos x2

Tg x2 = √ 1−cos x1+cos x

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Trabajo de Geometría