DEFINICION

TRANSFORMADA DE FOURIERPAMELA CONDOYCARLOS CHÁVEZJOEL ARÉVALO Ingeniería Electrónica y Redes de Información

*TEMAS

*Definición*Transformada Inversa*Ejemplos

MATEMÁTICA AVANZADA - Transformada de Fourier 2

*Definición

*Es una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. *Es reversible, siendo capaz de transformaciones de cualquiera de los dominios al otro. *El propio término se refiere tanto a la operación de transformación como a la función que produce.

MATEMÁTICA AVANZADA - Transformada de Fourier 3

*Definición

*En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado coeficientes de las series de Fourier. *Ellos representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-tiempo original.

MATEMÁTICA AVANZADA - Transformada de Fourier 4

*Representación

Dada la función f(x) una función no necesariamente periódica, tal que:

Definimos la Transformada de Fourier de f(x) como:

MATEMÁTICA AVANZADA - Transformada de Fourier 5

*Representación

De la misma forma podemos definir la Transformada Inversa de Fourier de F() como:

* En el contexto de las señales se usa el símbolo de j en lugar de i como variable dependiente.

MATEMÁTICA AVANZADA - Transformada de Fourier 6

*Ejemplo (Transformada de Fourier)

*Obtenga la Transformada de Fourier de un pulso rectangular:

MATEMÁTICA AVANZADA - Transformada de Fourier 7

*Ejemplo 1

𝑃𝜏 ( 𝑥)= 𝑓 ( 𝑥 )={0 𝑝𝑎𝑟𝑎−∞< 𝑥<− 12𝜏

1 𝑝𝑎𝑟𝑎− 12𝜏 < 𝑥<1

2𝜏

0 𝑝𝑎𝑟𝑎 12𝜏< 𝑥<∞

MATEMÁTICA AVANZADA - Transformada de Fourier 8

*Ejemplo 1

= =-

MATEMÁTICA AVANZADA - Transformada de Fourier 9

Se sabe que la transformada de Fourier se obtiene con:

F(w) =

La transformada inversa de Fourier es:

f(t) =

La transformada inversa nos permite calcular una expresión en el dominio del tiempo a partir de una expresión en el dominio de la frecuencia.

*Transformada Inversa de Fourier

MATEMÁTICA AVANZADA - Transformada de Fourier 10

Hallar la transformada inversa de Fourier de la siguiente función:

g(w)=

(g)=

(g)=]

*Ejemplo

=dwI1

I2Cálculo de I1 (Utilizando la teoría de residuos) I1=f(z)= = z=-, polo de orden 3

Res[f(z)]= z=-

I1= Res[f(z)]=-i; x<0 I1=0; x>0 Cálculo de I2 (teoría de residuos) I2=dw f(z)= Res[f(z)]= z=

I2== ; x>0 z=- I2=0; x>0 Entonces la transformada inversa de Fourier quedaría: ;

*Ejercicio 3

*Hallar la transformada de Fourier de:

MATEMÁTICA AVANZADA - Transformada de Fourier 15

*Ejercicio 3MATEMÁTICA AVANZADA - Transformada de Fourier 16

*Ejercicio 4

*Hallar la transformada de Fourier de:

MATEMÁTICA AVANZADA - Transformada de Fourier 17

*Ejercicio 4MATEMÁTICA AVANZADA - Transformada de Fourier 18

*Ejercicio 4MATEMÁTICA AVANZADA - Transformada de Fourier 19

*Bibliografía

*Departamento de Matemáticas, Tecnológico de Monterrey, 2008*http://cb.mty.itesm.mx/ma3002/materiales/ma3002-3-02.pdf

*Análisis de Señales, Tecnológico de Costa Rica, 2009*http://www.ie.itcr.ac.cr/acotoc/Maestria_en_Computacion/Sistemas%20de%20Comunicacion%20I/Material%20util/Tablas%20Fourier.pdf

MATEMÁTICA AVANZADA - Transformada de Fourier 20

*Muchas GraciasMATEMÁTICA AVANZADA - Transformada de Fourier 21