TELAAH MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH I

TRANSFORMASI GEOMETRI

OLEH:

1.RATMI QORI (06081181320002)

2.FAUZIAH (06081181320015)

3.NYAYU ASTUTI (06081281320018)

4.ISKA WULANDARI (06081281320038)

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAR SRIWIJAYA

Penjumlahan & Pengurangan Matriks

Perkalian Matriks

TRANSFORMASI

Translasi (Pergesera

n)

T=(a,b)

Pengertian

Refleksi (Pencermin

an)

Terhadap sumbu x

atau sumbu y

Terhadap titik (0,0)

Terhadap garis y=x atau y=-x

Terhadap garis y=mx+c

Pengertian

Rotasi (Perputara

n)

Sejauh dengan pusat (a,b)

Sejauh dengan pusat (0,0)

Pengertian

Dilatasi (Peskalaan/Pe

rkalian)

Dengan pusat

(a,b) dan faktor skala kDengan pusat

(0,0) dan faktor skala k

Pengertian

PENGERTIAN

Determinan Matriks

Invers Matriks

2014

PETA KONSEP

PETA KONSEP

- Garis- Pers.kuadrara

t

Penjumlahan & Pengurangan Matriks

Perkalian Matriks

TRANSFORMASI

Translasi (Pergesera

n)

T=(a,b)

Pengertian

Refleksi (Pencermin

an)

Terhadap sumbu x

atau sumbu y

Terhadap titik (0,0)

Terhadap garis y=x atau y=-x

Terhadap garis y=mx+c

Pengertian

Rotasi (Perputara

n)

Sejauh dengan pusat (a,b)

Sejauh dengan pusat (0,0)

Pengertian

Dilatasi (Peskalaan/Pe

rkalian)

Dengan pusat

(a,b) dan faktor skala kDengan pusat

(0,0) dan faktor skala k

Pengertian

PENGERTIAN

Determinan Matriks

Invers Matriks

TRANSFORMASI GEOMETRI

Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu

bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis dari

transformasi yang dapat dilakukan antara lain :

Translasi (Pergeseran)

Refleksi (Pencerminan)

Rotasi (Perputaran)

Dilatasi (Penskalaan)

1.TRANSLASI / PERGESERAN

Translasi adalah pemindahan atau pergeseran suatu objek

sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.

a.Tranlasi oleh titik :

Dari gambar disamping, terdapat titik (x,y) yang ditranlasikan oleh (a,b) maka di dapatlah sebuah titik baru (x’,y’).Jadi, untuk mencari hasil tranlasi (x,y) oleh titik (a,b) :

dimana :

a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-)

b menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-)

b.Tranlasi pada garis

CONTOH SOAL (translasi oleh titik):

Tentukan koordinat bayangan titik A (2, 4) yang ditranlasikan

oleh titik (3,6)

Jawab :

T=(36)

A (2,4) A’(2+3,4+6)

Dari gambar disamping merupakan tranlasi padagaris y = mx+c terhadap (a,b)

Sama halnya dengan translasi pada titik,

x’=x+aatau x=x’−a

y’=y+b atau y=y’−b

untuk mendapatkan hasiltranlasi garis y = mx +c oleh (a,b) sunstitusix’ dan y’ ke persamaan

jadi,

A’=(5,10)

CONTOH SOAL (tranlasi pada garis)

Tentukan bayangan persamaan garis y + 2x +3 ditranlasikan oleh

titik (3,2)

Jawab :

x’=x+3ataux=x’−3

y’=yatauy=y−2

Jadi, bayangannya adalahy’−2=2 (x’−3 )+3y=2x−1

2.REFLEKSI / PENCERMINAN

Refleksi adalah transformasi yang memindahkan setiap titi pada bidang dengan sifat pencerminan.

Refleksi terhadap sumbu x

Refleksi terhadap sumbu y

Dari gambar disamping terdapat titikP(x,y) yang direfleksikan terhadapsumbu x, maka :

x’=x

y’=−y

persamaantersebutdapatditulisdalambentuk:

x’=1.x+0.y

y’=0.x+(−1).y

ataudalambentukmatriks:

(x'y')=(1 00 −1)(xy)

Dari gambar disamping terdapat titikP(x,y) yang direfleksikan terhadapsumbu y, maka :

x’=−x

y’=y

persamaantersebutdapatditulisdalambentuk:

x’=(−1).x+0.y

y’=0.x+1.y

ataudalambentukmatriks:

Refleksi terhadap garis y = x

Refleksi terhadap garis y = -x

Dari gambar disamping terdapat titikP(x,y) yang direfleksikan terhadapsumbu y=x, maka :

OA=OBataux’=y

AP’=BPatauy’=x

persamaantersebutdapatditulisdalambentuk:

x’=0.x+1.y

y’=1.x+0.y

ataudalambentukmatriks:

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikanterhadap sumbu y=-x, maka

AP’=BPatau−x’=yataux’=−y

OA=OBatau−y’=xatauy’=−x

persamaantersebutdapatditulisdalambentuk:

x’=0.x+(−1).y

y’=(−1).x+0.y

ataudalambentukmatriks:

Refleksi terhadap (0,0)

Refleksi terhadap garis x = h

Dari gambar disamping terdapattitik P(x,y) yang direfleksikan terhadap titik (0,0) maka:

OA=BPatau−x’=xataux’=−x

AP’=OBatau–y’=yatauy’=−y

persamaantersebutdapatditulisdalambentuk:

x’=(−1).x+0.y

y’=0.x+(−1).y

ataudalambentukmatriks:

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikanterhadap garis x = h maka:

Untuk sumbu x :

OA=xdanOB=h

AB=h–x

BC=AB=h–x

OC=OB+BC

x’=h+h–x

x’=2h–x

Untuk sumbu y:

Refleksi terhadap garis y = k

CONTOH SOAL

Jika titik A(15,8) dicerminkan terhadap garis x=7, maka bayangan

titik A adalah titik A’ dengan koordinat….

Jawab: A(15,8) direfleksikan terhadap garis x=7 A’(a',b'¿

(a'b')=(−1 00 1)(158 )+(2(7)

0 ) ¿(−158 )+(140 ) ¿(−18 )

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap garis y = k maka:

Untuk sumbu x:

CP’=AP

x’=x

Untuk sumbu y:

OA=ydanOB=k

AB=OB–OA=k–y

BC=AB=k–y

OC=OB+BC

A(15,8) direfleksikan terhadap garis x=7 A’(−1,8¿

Jadi bayangan titik A(15,8) dicerminkan terhadap garis x=7

adalah A’(−1,8¿

b.Refleksi pada garis

sama halnya dengan rotasi oleh titik, hanya saja hasil rotasi di substitusikan ke persamaannya. Misalkan garis Ax+By+c=0direfleksikan terhadap :

3.ROTASI / PERPUTARAN

Rotasi adalah transformasi dengan cara memutar objek dengan titik

pusat tertentu

a.sumbux

Dengan :x’=xdany’=−y

bayangannya adalah :A (x)+B(−y)+c=0

b.sumbuy

Dengan :x’=−xdany’=y

bayangannya adalah :A (−x)+B(y)+c=0

c. garisy=x

Dengan :x’=ydany’=x

bayangannya adalah : A (y)+B(x)+c=0

d. garisy=−x

Dengan :x’=−ydany’=−x

e.titik (0,0)

Dengan :x’=−xdany’=−y

bayangannya adalah :A (−x)+B(−y)+c=0

f.garisx=h

Dengan :x’=2h–xdany’=y

bayangannya adalah :A (2h–x)+B(y)+c=0

g. garisy=k

Dengan :x’=xdany’=2k–y

bayangannya adalah :A (x)+B(2k–y)+c=0

Rotasi dengan pusat (0,0)

x’=xcos−ysin

y’=xsin+ycos

dalambentukmatriks:

(x'y')=(cosθ −sinθsinθ cosθ )(xy)

Rotasi dengan pusat M(a , b)

DidalamsegitigaOAP:OA=OPcos→x=rcosAP=OPsin→y=rsin

DidalamsegitigaOBP: OB=OP’cos¿

x’=rcos¿x’=rcoscos−rsinsinx’=xcos−ysin

BP’=OP’sin¿y’=rsin¿

y’=rsincos+rcossin

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang dirotasikan dengan pusat M(a,b) maka:

x’–a=(x–a)cos−(y–k)sin

y’–b=(x–b)sin+(y–b)cos

CONTOH SOAL

Tentukanlah bayangan P(3,-5) jika dirotasi 90o dengan pusat

rotasi di A(1,2) dilengkapi dengan gambarnya!

Jawab:

P(3, -5) = P(a, b)A(1, 2) = A(x, y)a’ = (a – x) cos a – (b – y) sin a + xb’ = (a – x) sin a + (b – y) cos a + y

a’ = (3 – 1) cos 90o – (-5 – 2) sin 90o + 1 = 0 + 7 + 1 = 8b’ = (3 – 1) sin 90o – (-5 – 2) cos 90o + 2 = 2 + 0 + 2 = 4

Jadi, bayangan P(3, 5) adalah P’(8, 4)

4.DILATASI / PENSKALAAN

Dilatasi dengan pusat (0,0)

Dari gambar disamping terdapat titikP(x,y) yang didilatasikan dengan pusat (0,0) maka:

OP’=kxOP−OP'OP

=k

OP1'OP1

=OP'OP

→ x'x

=k→x'=kx

P'P1'PP1

=OP'OP

→ y'y

=k→y'=ky

persamaantersebutdapatditulisdalambentuk:

x’=k.x+0.y

y’=0.x+k.y

Dilatasi dengan pusat (a,b)

CONTOH SOAL:

Tentukan persamaan peta dari garis 3x−5y+15=0 oleh dilatasi

terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala 5!

Jawab:

3x−5y+15=0 didilatasi terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala

5, maka:

(x'y')=(5 00 5)(xy)=(5x5y)→(xy)=(

15x'

15y')

Sehingga diperoleh x=15x' dan ¿ 15

y' . Maka bayangannya adalah :

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang didilatasikandengan pusat (a,b) maka:

x’=a+k(x–a)

y’=b+k(y–b)

3(15x')−5(1

5y')+15=0

35x'−

55y'+15=0

3x'−5y'+75=0→3x−5y+75=0

LATIHAN SOAL

1. Bayangan persamaan lingkaran x2+y2=25 oleh translasi T =(−13 )adalah …

2. Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5) adalah (7.-8). Bayangan

kurva y = x2 + 4x – 12 oleh translasi tersebut adalah….

3. Persamaan bayangan garis x + y = 6 setelah di rotasikan pada

pangkal koordinat dengan sudut putaran 90o adalah….

4. Garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu x di A dan memotong sumbu y di

B. karena dilatasi [0, -2], titik A menjadi A’ dan titik B

menjadi B’. Hitunglah luas segitiga OA’B’…

5. Persamaan bayangan parabola y =3x2 – 6x + 1 setelah di rotasikan

pada pangkal koordinat dengan sudut +1800 adalah …

6. Titik B(1,3) dirotasikan terhadap titik (0,0). Tentukan bayangan

titik B apabila titik B dirotasikan

7. Bayangan titik P(3,5) oleh translasi [−23 ] adalah….8. Bayangan garis y=2x -3 yang dicerminkan terhadap garis y=-x

adalah….

9. Bayangan titik B(-1,2) dilatasi terhadap titik pusat A(2,3)

dengan faktor sekala -12 adalah….

10. Hasil transformasi matriks [2 43 5]terhadap titik B(2,3)

adalah….

DAFTAR PUSTAKA

Wirodikromo, Sartono. 2008. Matematika 3A untuk SMA Kelas XII IPA

Semester 1. .Jakarta:Erlangga

http://www.academia.edu/5672247/BAB_18_Transformasi_Geometri_fixs

http://rumus-matematika.com/lebih-mengenal-transformasi-geometri/