MAKALAH

Investigasi Komposisi Dua Refleksi Berurutan Terhadap Dua Garis Sejajar

Disampaikan untuk memenuhi tugas mata kuliah Geometri Transformasi (Mat-231/ SKS 2-1)

Dosen Pengampu: Della Maulidiya, S.Si, M.Kom dan Ringki Agustinsa, M.Pd

Disusun Oleh :

Nama : Dama Yanti Silaen

NPM : A1C013065

Semester : VA

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS BENGKULU

2015

BAB I

TUJUAN INVESTIGASI

Dalam makalah ini, dilakukan dua investigasi. Investigasi ini bertujuan :

- Investigasi I bertujuan untuk membuktikan dua refleksi berurutan terhadap dua garis sejajar

ekuivalen dengan sebuah translasi tunggal dengan jarak translasi sama dengan dua kali jarak

antara kedua garis refleksi dan arah translasi tegak lurus terhadap kedua garis, dari garis

pertama ke garis ke dua.

- Investigasi II membuktikan bahwa M 1° M 2≠ M 2° M1, di mana M 1 adalah refleksi terhadap

garis pertama dan M 2 adalah refleksi terhadap garis kedua.

BAB II

INVESTIGASI

Definisi Refleksi

Diberikan suatu garis s. Suatu fungsi M s disebut pencerminan garis bila untuk setiap titik P pada

bidang memenuhi :

Jika P∈ s maka M (P )=P

Jika P∉ s maka M (P )=P' sedemikian hingga s menjadi garis sumbu atau bisektor tegak

lurus PP' .

Sifat-sifat Refleksi

Suatu refleksi memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

a) Isometri

Definisi

Suatu transformasi T disebut isometri jika dan hanya jika untuk sepasang titik P dan Q,

P ’Q ’=PQdengan P ’=T (P) dan Q ’=T (Q) .

b) Peta dari suatu garis lurus tetap berupa garis lurus,

c) Mengawetkan besarnya sudu antara dua garis,

d) Mengawetkan kesejajaran. (Muhsetyo, 2007:8.6)

Definisi Translasi

Geseran atau translasi bidang searah A⃗B adalah pemetakan T AB sedemikian hingga untuk setiap titik pada bidang dipenuhi P⃗P ' = A⃗B dengan P ’=T AB(P). (Muhsetyo, 2007:8.18)

Seperti halnya refleksi, transalasi juga memiliki sifat isometri sehingga translasi juga mengawetkan

keantaraan, ruas garis, titik tengah, besar sudut, ketegaklurusan, dan kesejajaran.

Definisi Dilatasi

Diberikan suatu titik Adan bilangan positif k>0. Suatu pemetaan DA ,k dikatakan dilatasi dari A

dengan faktor skala k , jika dan hanya jika

DA ,k ( A)=A dan

untuk sembarang titik P ≠ A , DA ,k (P)=P ’ adalah titik pada A⃗P sedemikian hingga

AP’=k (AP). (Muhsetyo, 2007:8.37)

Definisi Komposisi Transformasi

Diberikan dua transformasi bidang T 1 dan T 2 untuk sembarang titik P pada bidang, komposisi transformasi T 1 dilanjutkan T 2 didefinisikan oleh T 2° T1 ( P )=T 2 [T 1(P) ]. (Muhsetyo, 2007:8.15)

Vektor

Istilah vektor berasal dari bahasa Latin yang berarti “membawa / memindahkan”. Vektor dapat

digambarkan pada sebuah bidang yang disebut bidang Cartesius dengan sumbu horisontal x dan

sumbu vertical y. Vektor adalah sebuah ruas garis berarah yang berhubungan dengan perpindahan

dari sebuah titik ke titik lainnya. Sebuah vektor dari titik A ke titik B dinotasikan A⃗B, di mana A

disebut titik asal (initial point) dan titik B disebut titik akhir (terminal point). Vektor juga dapat

dinyatakan dengan huruf kecil seperti a, b, v. Jika titik asal O(0, 0) dan titik akhir A maka vektor

dari O ke A yaitu a = O⃗A . Vektor nol adalah vektor yang titik asal dan titik akhirnya sama,

biasanya dinyatakan dengan 0. Panjang ruas garis berarah merupakan panjang vektor dan arah ruas

garis berarah adalah arah vektor.

Definisi Kesejajaran

Garis sejajar adalah garis-garis lurus yang terletak pada bidang yang sama dan tidak berpotongan

sejauh apapun garis tersebut diperpanjang.

Jika kesejajaran garis ditinjau dari nilai gradien dan besar sudut inklinasinya, maka dua garis

dikatakan sejajar apabila kedua garis tersebut memiliki gradien dan sudut inklinasi yang sama.

Kemiringan suatu garis dinamakan gradien (slope of the line) dan dinyatakan oleh notasi m. Nilai

gradien suatu garis dapat bernilai positif, negatif, nol atau tidak terdefinisi. Sedangkan sudut

inklinasi garis (angle of inclination) adalah sudut bernilai positif yang dibentuk antara garis dan

sumbu x positif dan biasanya dinotasikan oleh sudut a.

Hubungan antara sudut inklinasi dengan gradien (m)

m=∆ y∆ x

tan α= ∆ y∆ x

tan α=m

α=arc tan m

dari nilai gradien dapat dikatakan besar sudut inklinasinya. Dengan demikian kita dapatkan

beberapa kemungkinan sudut inklinasi yang terbentuk dengan melihat nilai gradien yang kita

peroleh:

- Jika gradiennya bernilai positif, maka sudut inklinasinya sudut lancip

- Jika gradiennya bernilai negatif, maka sudut inklinasinya sudut tumpul

- Jika gradiennya sama dengan nol, maka sudut inklinasinya sudut lurus (0 ° atau180 °)

- Jika tidak memiliki gradien, maka sudut inklinasinya sudut siku-siku (90 °)

Investigasi I

Untuk melakukan investigasi ini, kita akan menggunakan bantuan geogebra untuk membuktikan

dua refleksi berurutan terhadap dua garis sejajar ekuivalen dengan sebuah translasi tunggal dengan

jarak translasi sama dengan dua kali jarak antara kedua garis refleksi dan arah translasi tegak lurus

terhadap kedua garis, dari garis pertama ke garis ke dua.

1. Dengan menginputkan persamaan garis pada input bar buatlah dua garis yang sejajar,

misalkan garis m dan n

2. Buat titik (x , y )

3. Refleksikan titik (x , y ) terhadap garis m dengan mengaktifkan fasilitas Reflect About Line,

sehingga diperoleh titik bayangan(x ’ , y ’).

4. Refleksikan titik (x ’ , y ’ ) terhadap garis n dengan mengaktifkan fasilitas Reflect About

Line, sehingga diperoleh titik bayangan(x ’ ’ , y ’ ’)

5. Dengan menggunakan fasilitas Perpendicuar Line, buatlah sebuah garis l yaitu garis yang

tegak lurus terhadap garis sejajar dan melalui titik asal.

6. Tentukan titik P yaitu titik potong antara garis l dan garis m dan juga tentukan titik Q yaitu

titik potong antara garis l dan garis m dengan menggunakan fasilitas Intesect.

7. Pilih Vector dari Toolbox, buatlah vektor dengan titik asal P dan titik akhir Q yaitu suatu

vektor yang memiliki jarak sama dengan jarak antara garis m dengan garisn dan arah vektor

tegak lurus terhadap kedua garis

8. Pilih fasilitas Dilate from point, dilatasikan P⃗Q terhadap titik P dengan faktor skala 2,

sehingga diperoleh P⃗Q ' .

9. Translasikan titik (x , y ) terhadap P⃗Q ' , sehingga diperoleh titik (x ’ ’’ , y ’ ’’ ) dengan

menggunakan fasilitas Translate by vector.

10. Jika titik (x ’ ’ , y ’ ’) sama dengan titik (x ’ ’’ , y ’ ’ ’), maka terbukti bahwa dua refleksi

berurutan terhadap dua garis sejajar ekuivalen dengan sebuah translasi tunggal dengan jarak

translasi sama dengan dua kali jarak antara kedua garis refleksi dan arah translasi tegak lurus

terhadap kedua garis, dari garis pertama ke garis ke dua.

Hasil Investigasi

Misalkan terdapat 4 pasang garis, kemudian kita cek apakah pasangan-pasangan garis tersebut

merupakan garis sejajar.

Nama Persamaan Garis Nilai gradien (m) Sudut Inklinasi ( Deskripsi

Garis α)

Garis k y=2 0 0 ° atau180 ° Garis k dan garis

l sejajarGaris l y=−1 0 0 ° atau180 °

Garis m x=3 tidak terdefinisi 90 ° Garis m dan garis

n sejajarGaris n x=5 tidak terdefinisi 90 °

Garis o y=x 1 45 ° Garis o dan garis

p sejajarGaris p y=x+2 1 45 °

Garis q y=−x+1 −1 135 ° Garis q dan garis

r sejajarGaris r y=−x−1 −1 135 °

Menggunakan matriks dan geogebra di mana M 1 adalah refleksi terhadap garis pertama dan M 2

adalah refleksi terhadap garis kedua.

A ( x , y ) M 1→

A' ( x' , y ' ) M 2→

A ' ' (x ' ' , y ' ' ) A ( x , y ) T v→

A ' ' ' (x' ' ' , y ' ' ' )

Misalkan:

M 1 = refleksi terhadap garis y=2

M 2 = reflaksi terhadap garis y=−1

Untuk refleksi pada garis y = k menggunakan

rumus

( x 'y ' )=( x+0

− y+2 k )Kita refleksikan sebuah titik (titik A) terhadap

dua dua garis sejajar secara berurutan:

A ( x , y ) M 1→

A' ( x' , y ' ) M 2→

A ' ' (x ' ' , y ' ' )

Titik A (−2,3 ) kita refleksikan terhadap garis

Titik A (−2 , 3 ) kita translasikan dengan vektor

v=[ 0−6 ], diperoleh :

( x ' ' 'y ' ' ')=(1 0

0 1)( xy )+(a

b)

( x ' ' 'y ' ' ')=(1 0

0 1)(−23 )+( 0

−6)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(−2+0

0+3 )+( 0−6)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(−2

3 )+( 0−6)

( x ' ' 'y ' ' ' )=( −2+0

3+(−6))

y=2, diperoleh :

( x 'y ' )=( x+0

− y+2 k )

( x 'y ' )=( −2+0

−3+2(2))

( x 'y ' )=(−2+0

−3+4)

( x 'y ' )=(−2

1 )Diperoleh, A (−2,3 ) M y=2

→A' (−2,1 )

Kemudian Refleksikan titik A ’ (−2,1 )terhadap

garis y=−1, diperoleh

( x ' 'y ' ')=( x+0

− y+2 k )

( x ' 'y ' ')=( −2+0

−1+2(−1))

( x ' 'y ' ')=(−2+0

−1−2)

( x ' 'y ' ')=(−2

−3)Diperoleh, A

' (−2,1 ) M y=−1→

A ' ' (−2,−3)

Jadi,

A (−2,3 ) M y=2→

A' (−2,1 ) M y=−1→

A ' ' (−2,−3)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(−2

−3)Diperoleh, A (−2 , 3 )T [0,6 ]

→

A ' ' ' (−2 ,−3)

Misalkan:

M 1 = refleksi terhadap garis x=3

M 2 = reflaksi terhadap garis x=5

Untuk refleksi pada garis x = h menggunakan

Titik B (2,1 ) kita translasikan dengan vektor

u=[40 ], diperoleh :

rumus

( x 'y ' )=(−x+2 h

y+0 )Kita refleksikan sebuah titik (titik B) terhadap

dua dua garis sejajar secara berurutan:

B (x , y ) M 1→

B' ( x ' , y ' ) M 2→

B' ' (x ' ' , y ' ' )

Titik B(2,1) kita refleksikan terhadap garis

x=3, diperoleh :

( x 'y ' )=(−x+2 h

y+0 )

( x 'y ' )=(−2+2(3)

1+0 )

( x 'y ' )=(−2+6

1+0 )

( x 'y ')=(4

1)Diperoleh, B(2,1)M x=3

→B ’(4,1)

Kemudian Refleksikan titik B’(4,1) terhadap

garis x = 5, diperoleh

( x ' 'y ' ')=(−x+2 h

y+0 )

( x ' 'y ' ')=(−4+2(5)

1+0 )

( x ' 'y ' ')=(−4+10

1+0 )

( x ' 'y ' ')=(61)

( x ' ' 'y ' ' ')=(1 0

0 1)( xy )+(a

b)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(1 0

0 1)(21)+(40)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(2+0

0+1)+(40)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(21)+(4

0)

( x ' ' 'y ' ' ')=(2+4

1+0)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(61)

Diperoleh, A (2,1 ) T [ 0,4 ]→

A ' ' ' (6,1)

Diperoleh, B’ (4,1) M x=5→

B ’’ (6,1)

Jadi, B(2,1)M x=3→

B ’ (4,1) M x=5→

B ’’(6,1)

Kita refleksikan sebuah titik (titik C) terhadap

dua dua garis sejajar secara berurutan:

C ( x , y ) M 1→

C ' ( x' , y ' ) M 2→

C ' '( x' ' , y ' ' )

Misalkan:

M 1 = refleksi terhadap garis y=x

M 2 = reflaksi terhadap garis y=x+2

Titik C (3,1) kita refleksikan terhadap garis

y=x , diperoleh :

( x 'y ' )=(0 1

1 0)( xy )

( x 'y ' )=(0 1

1 0)(31)

( x 'y ' )=(0+1

3+0)

( x 'y ' )=(13)

Sehingga, C (3,1 ) M y=x→

C ’ (1,3 )

Kemudian kita refleksikan Titik C ’ (1 ,3)

terhadap garis y=x+2, diperoleh :

( x ' 'y ' ')=(0 1

1 0)( xy−c)+(0c )

( x ' 'y ' ')=(0 1

1 0)( 13−2)+(02)

Titik C (3,1 ) kita translasikan dengan vektor

w=[−22 ], diperoleh :

( x ' ' 'y ' ' ')=(1 0

0 1)( xy )+(a

b)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(1 0

0 1)(31)+(−22 )

( x ' ' 'y ' ' ')=(3+0

0+1)+(−22 )

( x ' ' 'y ' ' ' )=(31)+(−2

2 )

( x ' ' 'y ' ' ' )=(3−2

1+2 )

( x ' ' 'y ' ' ' )=(13)

Diperoleh, D (3,1 )T [−2,2 ]→

D ' ' ' (1,3)

( x ' 'y ' ')=(0 1

1 0)(11)+(02)

( x ' 'y ' ')=(0+1

1+0)+(02)

( x ' 'y ' ')=(11)+(02)

( x ' 'y ' ')=(1+0

1+2)

( x ' 'y ' ')=(13)

Sehingga diperoleh, C ’(1,3)M y= x+2→

C ’’ (1,3).

Jadi, C (3,1) M y=x→

C ’(1,3) M y=x+ 2→

C ’’ (1,3)

Kita refleksikan sebuah titik (titik D) terhadap

dua dua garis sejajar secara berurutan:

D ( x , y ) M1→

D' ( x ' , y ' ) M 2→

D ' ' (x' ' , y ' ')

Misalkan:

M 1 = refleksi terhadap garis y=−x+1

M 2 = reflaksi terhadap garis y=−x−1

Titik D(−2 ,−2) kita refleksikan terhadap garis

y=−x+1, diperoleh :

( x 'y ' )=(−0 −1

1 0 )( xy−c)+(0

c )

( x 'y ' )=( 0 −1

−1 0 )( −2−2−1)+(01)

( x 'y ')=( 0 −1

−1 0 )(−2−3)+(01)

Titik D (−2 ,−2 ) kita translasikan dengan

vektor r=[−2−2], diperoleh :

( x ' ' 'y ' ' ')=(1 0

0 1)( xy )+(a

b)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(1 0

0 1)(−2−2)+(−2

−2)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(−2+0

0−2 )+(−2−2)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(−2

−2)+(−2−2)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(−2−2

−2−2)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(−4

−4)Diperoleh, D (−2 ,−2 ) T [−2 ,−2 ]

→

D ' ' ' (−2 ,−2)

( x 'y ' )=(0+3

2+0)+(01)

( x 'y ' )=(32)+(0

1)

( x 'y ' )=(3+0

2+1)

( x 'y ' )=(33)

Diperoleh, D(−2 ,−2) M y=− x+1→

D ’ (3,3).

Kemudian kita refleksikan Titik D ’(3,3)

terhadap garis y=−x−1, diperoleh :

( x ' 'y ' ')=(−0 −1

1 0 )( xy−c)+(0

c )

( x ' 'y ' ')=( 0 −1

−1 0 )( 33−(−1))+( 0

−1)

( x ' 'y ' ')=( 0 −1

−1 0 )(34)+( 0

−1)

( x ' 'y ' ')=( 0−4

−3+0)+( 0−1)

( x ' 'y ' ')=(−4

−3)+( 0−1)

( x ' 'y ' ')=( −4+0

−3+(−1))

( x ' 'y ' ')=(−4

−4)Diperoleh, D ’(3,3) M y=−x−1

→D’’ (−4 ,−4)

Jadi,

D(−2 ,−2) M y=− x+1→

D ’ (3,3) M y=− x−1→

D’ ’(−4 ,−4 )

A (−2,3 ) M y=2→

A' (−2,1 ) M y=−1→

A ' '(−2,−3)

A (−2,3 ) T [0 ,−6 ]→

A ' ' ' (−2 ,−3)

, B(2,1)M x=3→

B ’ (4,1) M x=5→

B ’’ (6,1)

, B(2,1)T [0 , 4 ]→

B ’ ' ’(6,1)

C (3,1) M y=x→

C ’ (1,3) M y=x+ 2→

C ’’ (1,3)

C (3,1)T [−2,2 ]→

C ’' ’ (1,3)

D(−2 ,−2) M y=− x+1→

D ’ (3,3) M y=− x−1→

D’ ’(−4 ,−4 )

D(−2 ,−2)T [−2,2 ]→

D’ ’(−4 ,−4 )

Titik

Asal

Garis

pertama

Bayangan

Pertama

(refleksi

titik asal

terhadap

garis

pertama)

Garis kedua Bayangan

Kedua

(refleksi

titik

bayangan

pertama

terhadap

garis

kedua)

Vektor

translasi

Bayangan

ketiga

(translasi

titik asal

terhadap

vektor

translasi)

A(−2,3) y=2 A ' (−2,1) y=−1 A ' '(−2 ,−3) v=[ 0−6 ] A ' ' '(−2 ,−3)

B(2,1) x=3 B' (4,1) x=5 B' '(6,1) u=[40 ] B' ' ' (6,1)

C (3,1) y=x C ' (1,3) y=x+2 C ' ' (1,3) w=[−2−2] C ' ' ' (1,3)

D(−2 ,−2) y=−x+1 D '(3,3) y=−x−1 D ' '(−4 ,−4) r=[−2−2] D ' ' '(−4 ,−4 )

Dari hasil investigasi terlihat bahwa titik (x’ ’ , y ’ ’) sama dengan titik (x ’ ’’ , y ’ ’ ’) sehingga

terbukti bahwa dua refleksi berurutan terhadap dua garis sejajar ekuivalen dengan sebuah translasi

tunggal dengan jarak translasi sama dengan dua kali jarak antara kedua garis refleksi dan arah

translasi tegak lurus terhadap kedua garis, dari garis pertama ke garis ke dua.

Investigasi II

Untuk melakukan investigasi ini, kita akan menggunakan bantuan geogebra untuk membuktikan

M 1° M 2≠ M 2° M1, di mana M 1 adalah refleksi terhadap garis pertama dan M 2 adalah refleksi

terhadap garis kedua.

1. Dengan menginputkan persamaan garis pada input bar buatlah dua garis yang sejajar,

misalkan garis k danl

2. Buat titik (x , y )

3. Refleksikan titik (x , y ) terhadap garis k dengan mengaktifkan fasilitas Reflect About Line,

sehingga diperoleh titik bayangan (x’ , y ’ )

4. Refleksikan titik (x ’ , y ’) terhadap garis l dengan mengaktifkan fasilitas Reflect About

Line, sehingga diperoleh titik bayangan (x ’ ’ , y ’ ’)

5. Refleksikan titik (x , y ) terhadap garis l dengan mengaktifkan fasilitas Reflect About Line,

sehingga diperoleh titik bayangan (x’ ’ ’ , y ’ ’ ’ )

6. Refleksikan titik (x ’ , y ’ ) terhadap garis k dengan mengaktifkan fasilitas Reflect About

Line, sehingga diperoleh titik bayangan (x ’ ’’ ’ , y ’’’ ’)

7. Jika titik (x ’ ’ , y ’ ’) sama dengan titik (x ’ ’’ ’ , y ’ ’ ’ ’), maka terbukti bahwa

M 1° M 2≠ M 2° M1, di mana M 1 adalah refleksi terhadap garis pertama dan M 2 adalah

refleksi terhadap garis kedua.

Hasil investigasi

Misalkan terdapat 4 pasang garis sejajar, garis k sejajar dengan garis l, garis m sejajar dengan garis

n, garis o sejajar dengan garis p, dan garis q sejajar dengan garis r.

Nama

Garis

Persamaan Garis Nilai gradien (m) Sudut Inklinasi (

α )

Deskripsi

Garis k y=2 0 0 ° atau180 ° Garis k dan garis

l sejajarGaris l y=−1 0 0 ° atau180 °

Garis m x=3 tidak terdefinisi 90 ° Garis m dan garis

n sejajarGaris n x=5 tidak terdefinisi 90 °

Garis o y=x 1 45 ° Garis o dan garis

p sejajarGaris p y=x+2 1 45 °

Garis q y=−x+1 −1 135 ° Garis q dan garis

r sejajarGaris r y=−x−1 −1 135 °

Menggunakan matriks dan geogebra untuk membuktikan M 1° M 2≠ M 2° M1, di mana M 1 adalah

refleksi terhadap garis pertama dan M 2 adalah refleksi terhadap garis kedua.

M 2° M 1 M 1° M 2

Misalkan:

M 1 = refleksi terhadap garis y=2

M 2 = reflaksi terhadap garis y=−1

Untuk refleksi pada garis y = k menggunakan

rumus

( x 'y ' )=( x+0

− y+2 k )Titik A (−2,3 ) kita refleksikan terhadap garis

y=2, diperoleh :

( x 'y ' )=( x+0

− y+2 k )

( x 'y ' )=( −2+0

−3+2(2))

( x 'y ' )=(−2+0

−3+4)

( x 'y ' )=(−2

1 )Diperoleh, A (−2,3 ) M y=2

→A' (−2,1 )

Untuk refleksi pada garis y = k menggunakan

rumus

( x 'y ' )=( x+0

− y+2 k )Titik A (−2,3 ) kita refleksikan terhadap garis

y=−1, diperoleh :

( x ' ' 'y ' ' ')=( x+0

− y+2 k )

( x ' ' 'y ' ' ')=( −2+0

−3+2(−1))

( x ' ' 'y ' ' ' )=(−2+0

−3−2)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(−2

−5)Diperoleh, A (−2,3 ) M y=−1

→A ' ' ' (−2 ,−5 )

Kemudian Refleksikan titik A' ' ' (−2 ,−5 )

terhadap garis y=2, diperoleh

( x ' 'y ' ' )=( x+0

− y+2 k )

Kemudian Refleksikan titik A ’ (−2,1 )terhadap

garis y=−1, diperoleh

( x ' 'y ' ')=( x+0

− y+2 k )

( x ' 'y ' ')=( −2+0

−1+2(−1))

( x ' 'y ' ')=(−2+0

−1−2)

( x ' 'y ' ')=(−2

−3)Diperoleh, A

' (−2,1 ) M y=−1→

A ' ' (−2,−3)

Jadi,

A (−2,3 ) M y=2→

A' (−2,1 ) M y=−1→

A ' ' (−2,−3)

( x ' 'y ' ')=( −2+0

−(−5)+2(2))

( x ' 'y ' ' )=(−2+0

5+4 )

( x ' 'y ' ' )=(−2

9 )Diperoleh, A

' (−2,1 ) M y=−1→

A ' '(−2,−3)

Jadi,

A (−2,3 ) M y=−1→

A ' ' ' (−2 ,−5 ) M y=2→

A ' ' ' ' (−2,9)

M 2° M 1 = (−2 ,−3)

M 1° M 2 = (−2,9)

Maka, M 1° M 2≠ M 2° M1

Misalkan:

M 1 = refleksi terhadap garis x=3

M 2 = reflaksi terhadap garis x=5

Untuk refleksi pada garis x = h menggunakan

rumus

( x 'y ' )=(−x+2 h

y+0 )Titik B(2,1) kita refleksikan terhadap garis

x=3, diperoleh :

( x 'y ' )=(−x+2 h

y+0 )

( x 'y ' )=(−2+2(3)

1+0 )

( x 'y ' )=(−2+6

1+0 )

( x 'y ')=(4

1)Diperoleh, B(2,1)M x=3

→B ’(4,1)

Kemudian Refleksikan titik B’(4,1) terhadap

garis x = 5, diperoleh

( x ' 'y ' ')=(−x+2 h

y+0 )

( x ' 'y ' ')=(−4+2(5)

1+0 )

Untuk refleksi pada garis x = h menggunakan

rumus

( x 'y ' )=(−x+2h

y+0 )Titik B(2,1) kita refleksikan terhadap garis

x=5, diperoleh :

( x ' ' 'y ' ' ' )=(−x+2 h

y+0 )

( x ' ' 'y ' ' ' )=(−2+2(5)

1+0 )

( x ' ' 'y ' ' ' )=(−2+10

1+0 )

( x ' ' 'y ' ' ' )=(81)

Diperoleh, B(2,1)M x=5→

B ' ' ’(8,1)

Kemudian Refleksikan titik B’ ' '(8,1) terhadap

garis x = 3, diperoleh

( x ' ' ' 'y ' ' ' ' )=(−x+2 h

y+0 )

( x ' ' ' 'y ' ' ' ' )=(−8+2(3)

1+0 )

( x ' ' ' 'y ' ' ' ' )=(−8+6

1+0 )

( x ' ' ' 'y ' ' ' ' )=(−2

1 )Diperoleh, B’ ' '(4,1) M x=3

→B ’' ' ’ (−2 ,1)

( x ' 'y ' ')=(−4+10

1+0 )

( x ' 'y ' ')=(61)

Diperoleh, B’ (4,1) M x=5→

B ’’ (6,1)

Jadi, B(2,1)M x=3→

B ’ (4,1) M x=5→

B ’’(6,1)

Jadi, B(2,1)M x=5→

B ’ ’’ (8,1) M x=3→

B ’’’ ’(−2,1)

M 2° M 1 = (6,1)

M 1° M 2 = (−2,1)

Maka, M 1° M 2≠ M 2° M1

Misalkan:

M 1 = refleksi terhadap garis y=x

Titik C (3,1) kita refleksikan terhadap garis

y=x+2, diperoleh :

M 2 = reflaksi terhadap garis y=x+2

Titik C (3,1) kita refleksikan terhadap garis

y=x , diperoleh :

( x 'y ' )=(0 1

1 0)( xy )

( x 'y ' )=(0 1

1 0)(31)

( x 'y ' )=(0+1

3+0)

( x 'y ' )=(13)

Sehingga, C (3,1 ) M y=x→

C ’ (1,3 )

Kemudian kita refleksikan Titik C ’ (1 ,3)

terhadap garis y=x+2, diperoleh :

( x ' 'y ' ')=(0 1

1 0)( xy−c)+(0c )

( x ' 'y ' ')=(0 1

1 0)( 13−2)+(02)

( x ' 'y ' ')=(0 1

1 0)(11)+(02)

( x ' 'y ' ')=(0+1

1+0)+(02)

( x ' 'y ' ')=(11)+(02)

( x ' 'y ' ')=(1+0

1+2)

( x ' 'y ' ')=(13)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(0 1

1 0)( xy−c)+(0c )

( x ' ' 'y ' ' ')=(0 1

1 0)( 31−2)+(02)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(0 1

1 0)( 3−1)+(0

2)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(0−1

3+0)+(02)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(−1

3 )+(02)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(−1+0

3+2 )

( x ' ' 'y ' ' ' )=(−1

5 )Sehingga diperoleh, C (3,1) M y=x+ 2

→C ’’ ’(−1,5)

Kemudian kita refleksikan Titik C ’' ' (−1 , 5)

terhadap garis y=x , diperoleh :

( x ' ' ' 'y ' ' ' ' )=(0 1

1 0)( xy )

( x ' ' ' 'y ' ' ' ' )=(0 1

1 0)(−15 )

( x ' ' ' 'y ' ' ' ')=( 0+5

−1+0)

( x ' ' ' 'y ' ' ' ' )=( 5

−1)diperoleh, C ’’ ’(−1,5) M y=x

→C ’’’ ’(5 ,−1)

Jadi,

C (3,1) M y=x+ 2→

C ’’ ’(−1,5) M y=x→

C ’’’ ’(5 ,−1)

Sehingga diperoleh, C ’(1,3)M y= x+2→

C ’’ (1,3).

Jadi, C (3,1) M y=x→

C ’(1,3) M y=x+ 2→

C ’’ (1,3)

M 2° M 1 = (1,3)

M 1° M 2 = (5 ,−1)

Maka, M 1° M 2≠ M 2° M1

Misalkan:

M 1 = refleksi terhadap garis y=−x+1

M 2 = reflaksi terhadap garis y=−x−1

Titik D(−2 ,−2) kita refleksikan terhadap garis

y=−x+1, diperoleh :

( x 'y ' )=(−0 −1

1 0 )( xy−c)+(0

c )

Titik D(−2 ,−2) kita refleksikan terhadap garis

y=−x−1, diperoleh :

( x ' ' 'y ' ' ' )=(−0 −1

1 0 )( xy−c)+(0

c )

( x ' ' 'y ' ' ')=( 0 −1

−1 0 )( −2−2−(−1))+( 0

−1)

( x ' ' 'y ' ' ' )=( 0 −1

−1 0 )(−2−1)+( 0

−1)

( x 'y ' )=( 0 −1

−1 0 )( −2−2−1)+(01)

( x 'y ')=( 0 −1

−1 0 )(−2−3)+(01)

( x 'y ' )=(0+3

2+0)+(01)

( x 'y ' )=(32)+(0

1)

( x 'y ' )=(3+0

2+1)

( x 'y ' )=(33)

Diperoleh, D(−2 ,−2) M y=− x+1→

D ’ (3,3).

Kemudian kita refleksikan Titik D ’(3,3)

terhadap garis y=−x−1, diperoleh :

( x ' 'y ' ')=(−0 −1

1 0 )( xy−c)+(0

c )

( x ' 'y ' ')=( 0 −1

−1 0 )( 33−(−1))+( 0

−1)

( x ' 'y ' ')=( 0 −1

−1 0 )(34)+( 0

−1)

( x ' 'y ' ')=( 0−4

−3+0)+( 0−1)

( x ' 'y ' ')=(−4

−3)+( 0−1)

( x ' 'y ' ')=( −4+0

−3+(−1))

( x ' 'y ' ')=(−4

−4)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(0+1

2+0)+( 0−1)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(12)+( 0

−1)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(1+0

2−1)

( x ' ' 'y ' ' ' )=(11)

Diperoleh, D(−2 ,−2) M y=− x−1→

D’ ' (1,1).

Kemudian kita refleksikan Titik D ’' (1,1)

terhadap garis y=−x+1, diperoleh :

( x ' ' ' 'y ' ' ' ' )=(−0 −1

1 0 )( xy−c)+(0

c )

( x ' ' ' 'y ' ' ' ' )=( 0 −1

−1 0 )( 11−1)+(01)

( x ' ' ' 'y ' ' ' ' )=( 0 −1

−1 0 )(10)+(01)

( x ' ' ' 'y ' ' ' ' )=( 0+0

−1+0)+(01)

( x ' ' ' 'y ' ' ' ' )=( 0

−1)+(01)

( x ' ' ' 'y ' ' ' ' )=( 0

−1+1)

( x ' ' ' 'y ' ' ' ')=(00)

Diperoleh, D ’’’(1,1)M y=− x+1→

D ’’ ’’ (0,0)

Jadi,

Diperoleh, D ’(3,3) M y=−x−1→

D’’ (−4 ,−4)

Jadi,

D(−2 ,−2) M y=− x+1→

D ’ (3,3) M y=− x−1→

D’ ’(−4 ,−4 )

D(−2 ,−2) M y=− x−1→

D’ ’’ (1,1) M y=−x +1→

D ’’’’ (0,0)

M 2° M 1 = (−4 ,−4)

M 1° M 2 = (0,0)

Maka, M 1° M 2≠ M 2° M1

Tabel Investigasi

Titik

Asal

Persamaan

garis 1

Persamaan

garis 2

M 1 M 2° M 1 M 2 M 1° M 2

A(−2,3) y=2 y=−1 A ’ (−2,1) A ’’(−2 ,−3) A ’’’ (−2 ,−5) A ’’’ ’(−2,9)

B(2,1) x=3 x=5 B’ (4,1) B’ ’(6,1) B’ ’’(8,1) B’ ’’’ (−2,1)

C (3,1) y=x y=x+2 C ’ (1,3) C ’’ (1,3) C ’’ ’(−1,5) C ’’ ’ ’ (5 ,−1)

D(−2 ,−2) y=−x+1 y=−x−1 D ’(3,3) D ’’ (−4 ,−4) D ’’’ (1,1) D ’’’ ’(0,0)

Dari Investigasi diperoleh bahwa M 1° M 2≠ M 2° M1.

Sehingga terbukti bahwa M 1° M 2≠ M 2° M1, di mana M 1 adalah refleksi terhadap garis pertama dan

M 2 adalah refleksi terhadap garis kedua.

BAB III

KESIMPULAN

Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa dua refleksi berurutan terhadap dua garis sejajar

ekuivalen dengan sebuah translasi tunggal dengan jarak translasi sama dengan dua kali jarak antara

kedua garis refleksi dan arah translasi tegak lurus terhadap kedua garis, dari garis pertama ke garis

ke dua dan M 1° M 2≠ M 2° M1, di mana M 1 adalah refleksi terhadap garis pertama dan M 2 adalah

refleksi terhadap garis kedua.

DAFTAR PUSTAKA

Johanes. dkk. 2006. Kompetensi Matematika. Jakarta : Yudhistira

Muhsetyo, Gatot. Pembelajaran Matematika SD. Universitas Terbuka