VISOKA TEHNIČKA ŠKOLA STRUKOVNIH STUDIJA„NOVI BEOGRAD“

Seminarski rad- DINAMIKA ROBOTA-

Fleksibilni mašinski sistemi

Student: Profesor:Dejan Ilić Vesna dr Šotra

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana1

br. indeksa: 207/2011

Maj, 2014

SADRŽAJ

Strana

1 UVOD ...................................................1

2 DINAMIČKI MODEL ROBOTA..................................2

3 DIREKTNI I INVERZNI PROBLEM DINAMIKE....................9

4 KOMPLETAN MODEL DINAMIKE ROBOTA........................12

5 PRIMENA RAČUNARA ZA PRORAČUN DINAMIKE.................15

6 DINAMIKA ROBOTA SA OGRANIČENIM KRETANJEM HVATALJKE.....19

7 DINAMIKA ROBOTA SA ELASTIČNIM PRENOSOM POGONA..........26

8 LITERATURA.............................................29

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana1

1 UVOD

Dinamika robota je od svih teorijskih aspekata robotikeposlednja nasla praktičnu primenu. Zato ćemo na početku iznetiodređena obrazloženja i argumente u prilog njeneprimene.Krenimo od činjenice da se uspešno projektovanje iupravljenje nekog sistema ne može izvesti bez njegovog dobrogpoznavanja. Ovo je, svakako tačno, ali pod pojmom "dobrogpoznavanja" ne podrazumeva se uvek isto. Razmatrajmo problemmehaničkog sistema - konkretno jednog robota. Dobro poznavanjetakvog sistema može, a ne mora uključivati poznavanjematematičkog modela njegove dinamike (tzv. dinamičkog modela).U ranijim fazama razvoja robotike projektovanje robota nijeuključivalo tačan proračun dinamike, a upravljanje nije vodiloračuna o mnogim dinamičkim efektima već se, uz određeneaproksimacije, svodilo na poznatu teoriju automatskogupravljanja. Ovakav pristup bio je posledica nerazvijeneteorije robotike. Naime, dugo vremena praksa proizvodnje iprimene robota razvijala se nezavisno od teorije koja je bilačesto isuviše akademski orijenti-sana. Ovakvo stanje ipak nijesprečilo neke proizvođače da naprave veoma uspešne robotskeuređaje.U današnje vreme, međutim, zahtevi za složenim i vrlobrzim robotskim sistemima diktirali su povezivanje teorije iprakse. Sa stanovišta primene dinamike robota ključnu ulogu jeodigrao razvoj efikasnih metoda za proračun dinamike uz pomoćračunara. Uz niz kasnije razrađenih metoda, dinamički model ina njemu zasnovani proračuni i simulacija, postao jenezaobilazni deo svakog uspešnog pro-jektovanja robota.Drugamogućnost za primenu dinamičkog modela je dinamičkoupravljanje. Ta mogućnost se danas još uvek malo koristi,

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana2

međutim, metode za sračunavanje dinamike u realnom vremenu,koje već postoje, znatno nas približavaju ovom cilju.Ova glavarazmatra prvo osnovni pristup opisivanju dinamike robota iformiranju dinamičkog modela. Detaljno izvođenje jedne odmetoda za formiranje modela dato je u prilogu P3, a ovde serazmatra forma i korisćenje dobijenog rezultata. Ovo jeurađeno zato da bi se ova glava rasteretila od dugačkihmatematičkih izvođenja koja zahtevaju i obimno znanjemehanike.Dalje u ovoj glavi se razmatra rešavanje direktnog iinverznog problema dinamike, a zatim i primena računara uproračunu dinamike robota. Na kraju ćemo ukazati i na nekespecijelne probleme: dinamika robota sa elastičnimdeformacijma u sistemu za prenos pogona i dinamika u fazifunkcionalno zatvorenog lanca.

2 DINAMIČKI MODEL ROBOTA

Pod dinamičkim modelom robota podrazumevaćemo sistemdiferencijalnih jednačina koje opisuju dinamiku robota.  Izvođenje modela zahteva dosta znanja iz mehanike, pogotovomehanike krutog tela, koje veći broj čitalaca možda nema.Zato ćemo ovde izložiti glavne ideje i formule iinterpretirati krajnji rezultat, a detaljno izvođenje modeladati u prilogu P3. 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana3

 Sl. 2.1. Robot kao otvoreni kinematički lanac

 Posmatrajmo manipulacioni robot kao otvoreni kinematički la-nac bez grananja (sl. 2.1). Označimo zglobove redom sa S1,S2,..., Sna segmente sa 1,2,...n. Pretpostavimo, zatim, da suzglobovi takvi da omogućavaju jednu relativnu rotaciju ilijednu relativnu translaciju. Kako svaki zglob ima po jedanstepen slobode to će mehanizam ukupno imati n stepeni slo-bode. Dinamiku takvog mehaničkog sistema možemo opisati sanajmanje n skalarnih diferencijalnih jednačina drugog reda.Taj sistem jednačina zvaćemo dinamički model.   U kinematici su generalisane koordinate q1,..., qn kaonajmanji skup parametara koji jednoznačno definišu položajrobota.Za generalisane koordinate izabrana su pomeranja uzglobovima pa smo ih zvali i unutrašnje koordinate. Vektorunutrašnjih (generalisanih) koordinata je definisan kao 

 Dinamiku mehanizama robota možemo sada opisati na višenačina: primenom opštih teorema dinamike sistema (teorema okoličini kretanja i teorema o kinetičkom momentu), primenomLagranževih jednačina, primenom Apelovih jednačina ili

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana4

Gausovog principa. Model koji se dobija svakako je isti bezobzira nai pristup koji se koristi jer su svi ovi

pristupi u suštini ekvivalentni. Međutim, sa stanovištametodologije sastavljanja modela razlike su bitne. Ovde ćemokoristiti; opšte teoreme dinamike jer takav pristup zahtevanajmanje znanja iz mehanike. Da bismo formirali dinamičkimodel celog sistema tj. celog lančanog mehanizma krenućemo odposmatranja jednog njegovog segmenta. Neka to bude

segment "j". Ako hoćemo da posmatramo segment izdvojen,napravićemo zamišljene prekide lanca u zglobovima  i   (sl. 2.2). Na slici 2.2a prikazan je prekid u zglobu  .Međusobno dejstvo segmenata pokazuje se u obliku parova silai momenata, dakle u obliku akcija i reakcija. Ako pod akcijompodrazumevamo dejstvo narednog segmenta (j) na prethodni (j-1) onda pod reakcijom podrazumevamo dejstvo prethodnog na

naredni. Tako,  i  bi predstavljali reakcije, a   

i   akcije. Sila   momenat   nekada se nazivajuukupnom silom i momentom u zglobu jer predstavljaju ukupnodejstvo koje se kroz zglob prenosi sa prethodnog segmenta nanaredni. 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana5

 Sl. 2.2. Izdvajanje jednog segmenta lanca

 Ako sada izdvojimo segment "j", na njega će delovati sile imomenti kako je prikazano na slici 2.2b. Treba naglasiti da

se u sili   i momentu sadrži i pogon koji u tom zglobudeluje. Ako je posmatrani zglob translatorni, tada sepogonska sila sadrži u sili  , a ako je zglob rotacioni,tada sa označavamo pogonski momenat i on se sadrži u

momentu  . Treba naglasiti da je u pitanju takozvanaizlazna sila ili izlazni momenat pogonskog motora, a akopostoji reduktor, onda se radi o izlaznom momentu reduktora.Opišimo sada kretanje izdvojenog segmenta "j". Pomeranjetežišta segmenta opisujemo takozvanom teoremom o kretanjutežišta: 

                                                       (2.1)   je masa segmenta,  ubrzanje težišta, a   ubrzanjeZemljine teže. Posmatrajmo sada obrtanje tela oko svog težišta. Položajtežišta na telu i u odnosu na zglobove prikazan je na slici2.2b i definisan vektorima i . Obrtanje opisujemo Ojlerovom vektorskom jednačinom: 

                 (2.2)

 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana6

 je ugaono ubrzanje, a  ugaona brzina segmenta. Oznake ~ukazuje da su vektori izraženi trima projekcijama nakoordinatnom sistemu vezanom za segment.

   je tenzor inercije sračunat za ose vezanog sistema. Uopštem slučaju je 

                                                      (2.3)

 Međutim, ose vezanog sistema se najčešće postavljaju upravcima glavnih osa inercije tela. Tada tenzor inercija imadijagonalnu formu  

                       (2.4) 

gde   predstavlja moment inercije oko ose  vezanog sistema,

a analogno važi za   i  .Na desnoj strani jednačine (2.2)nalaze se momenti koji su takođe izraženi u odnosu na vezanisistem segmenta "j". Dogovor o korišćenju indeksa ~ iznad ili

ispod oznake neke veličine ( npr.   i  ). T rebanaglasiti da je jednačinu (2.1) isto tako

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana7

moguće napisati u vezanom sistemu čime bi se postiglajednoobraznost. Druga mogućnost je da se obe jednačine pišu uspoljašnjem sistemu. Tada (2.1) ostaje u obliku kakvom je većnapisana, a (2.2) se prevodi u spoljašnji sistem množenjem saprelaznom matricom  . 

 Sl. 2.3. Sila  i momenti u rotacionom zglobu

 U izvedenim vektorskim jednačinama (2.1) i (2.2) pojavljuju

se sila   i momenat  , tj. ukupna sila i momenat u zglobu.Razmotrimo detaljnije ove veličine. Posmatrajmo prvorotacioni zglob (sl. 4.3). Takav zglob dozvoljava samo jednorelativno pomeranje i to obrtanje oko ose . Otuda silareakcije   (od segmenta "j-1" na segment "j") može imati

bilo koji pravac, dok reakcioni momenat   mora biti

normalan na osu  (tj.  ). U rotacionom zglobu deluje

još i pogonski momenat  ; dakle deluje oko ose . Ukupnasila i momenat u zglobu su sada: 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana8

                                                     (2.5a)

 

Ranije smo rekli da   predstavlja reakciju. Međutim, sadasmo tu reakciju podelili na reakciju   koja je posledicasamog kinematičkog para tj. konstrukcije zgloba ikomponentu  , koje potiče od pogona. 

Ako je posmatrani zglob "j" translatorni (sl. 2.4) tada jesila reakcije   normalna na osu , a reakcioni momenat može biti bilo kog pravca. U zglobu deluje i pogonska sila

duž ose translacije:  . Ukupna sila i momenat su tada

                                                         (2.5b)

Jednačine (2.5a) i (2.5b) možemo napisati na jedinstven način 

                                                    (2.6)

 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana9

 Sl. 2.4. Sile i momenat u  translatornom zglobu

   uvođenjem indikatora  , kojim određujemo tip zgloba (0 zarotacioni a 1 za translatorni zglob).Vektorske jednačine(2.1) i (2.2) zajedno sa (2.6) opisuju dinamiku segmenta "j".Ako ove jednačine napišemo za svaki segment dolazimo do 2nvektorskih jednačina: 

                                               (2.7a)

 

    (2.7b) koje opisuju dinamiku celog sistema.

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana10

 Ubrzanje težišta ( ) i ugaona brzina i ubrzanje ( , ) moguse izraziti u zavisnosti od generalisanih koordinata q injihovih izvoda   i  . Ako to uradimo u sistemu (2.7) nakontoga nam preostaje da u sistemu izvršimo eliminisanje

reakcija  , ,j = l,...,n. Analizirajmo prvo brojjednačina i broj nepoznatih koje treba eliminisati. Sistem(2.7) sadrži 2n vektorskih, odnosno 6n skalarnih jednačina.Broj vektorskih reakcija koje treba eliminisati je takođe 2ntj. po dve u svakom zglobu. Međutim, broj nepoznatihskalarnih komponenata reakcija je 5n tj. po pet u svakomzglobu. To je zato što ona reakcija koja ima proizvoljanpravac sadrži tri nezavisne nepoznate skalarne komponente, aona koja je normalna na osu zgloba sadrži dve. Sada, nakoneliminacije bn nepoznatih iz 6n jednačina dobija se sistem nskalarnih jednačina koje ne sadrže reakcije već samo skalarnevrednosti pogonskih sila i momenata (P1,...,Pn).Postupaka zaeliminisanje reakcija ima više i svaki od njih ima svoje spe-cifičnosti. Otuda se razlikuju i po brzini rada i utroškumemorijskog prostora računara. Jedan metod za eliminacijureakcija izložen je u prilogu P3.Bez obzira na izabranipristup formiranju dinamičkog modela, kao razultat dobijamosistem n skalarnih diferencijalnih jednačina drugog reda.Ovaj sistem, odnosno dinamički model može se napisati uobliku 

                                  (2.8) 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana11

Označavanje   ukazuje da koeficijent   predstavlja

funkciju generalisanih koordinata , a  ukazuje daje sabirak   funkcija generalisanih koordinata q i brzina  . 

Sistem (2.8) može se napisati i u matričnom obliku 

                                                                        (2.9)

  gde su matrice sistema jednake: 

                                                                       (2.10) a matrica pogona: 

                                                                                                        

                   kNaglasimo još jednom   predstavlja pogonski momenat ako je   rotacioni zglob, a pogonsku silu ako je zglob translatorni. Usvakom slučaju radi se o izlaznom momentu ili sili motora, aako postoji reduktor tada se radi o izlaznom momentureduktora. Ova diskusija je značajna jer možemo zaključiti da

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana12

model (2.9) opisuje dinamiku mehanizma robota ne vodećiračuna o dinamici pogonskih motora. Problem kod ovakvogmodela nije samo u njegovoj teorijskoj nekompletnosti.Važniji je problem u korišćenju modela. Izlazni momentimotora ne mogu se menjati po želji i nezavisno jer to nisuulazne upravljačke veličine već izlazne veličine koje zaviseod ponašanja, odnosno dinamike motora. Ono što možemo poželji menjati to su ulazni naponi   u slučaju elektromotora istruje servorazvodnika u slučaju hidrauličnih motora.Promenom ovih upravljačkih veličina treba ostvariti željenokretanje robota.Da bi se dobio dinamički model koji bi vodioračuna o kompletnoj dinamici robotskog sistema potrebno je uzmodel (2.9) uzeti u obzir i matematičke modele pogonskihmotora, kao i relacije koje pokazuju transformaciju momenatai brzina kroz reduktore . O ovakvom kompletnom dinamičkommodelu biće reči nešto kasnije (2.3).Razmotrićemo sadapodatke koje je potrebno poznavati da bi se mogao formiratidinamički model robota. Prvo, pošto je neophodno rešitikinematiku robota, to je potrebno poznavati sve podatke ogeometriji. Podsetimo sada da pod poznatom geometrijom

podrazumevamo poznavanje  ,za svaki segment "j".Svakako, potrebno je znati i tipove zglobova tj. indikatore , j=l,...,n. Za rešavanje dinamike robota potrebno jepoznavati još i inercijalna svojstva segmenata: masu  itenzor inercije  , za svaki segment "j". Nabrojani podacipredstavljaju karakteristike samog mehanizma i ne zavise odnjegovog kretanja. Da bismo mogli praktično rešiti bilodirektni bilo inverzni problem dinamike moramo poznavati i

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana13

početno stanje sistema tj. početni položaj q(t0) i početnubrzinu  (t0).

3 DIREKTNI I INVERZNI PROBLEM DINAMIKE 

U kinematici uvedeni su pojmovi direktnog i inverznogproblema kinematike. Ovi pojmovi su bili vezani zaizražavanje kretanja robota preko unutrašnjih i prekospoljašnjih koordinata, dakle uvedeni su specijalno zaprobleme robotike. U dinamici srećemo pojmove direktnog iinverznog problema dinamike, ali ti pojmovi nisu nužno vezaniza robotiku, već se koriste u slučaju bilo kog mehaničkogsistema. Te pojmove ćemo zato i definisati za proizvoljanmehanički sistem. Ako posmatramo sistem tela koja se krećupod dejstvom određenih sila, tada pod direktnim problemompodrazumevamo nalaženje sila koje izazivaju neko zadatokretanje sistema. Kod inverznog problema sile posmatramo kaopoznate (zadate) i tražimo kretanje koje će one izazvati. Urobotici, sistem koji posmatramo predstavlja mehanizam robotai on se kreće pod dejstvom težine i pogonskih sila imomenata. Kako su težine uvek poznate, to kada govorimo ozadatim silama ili traženju sila mislimo na sile i momentepogonskih motora, Formulisaćemo problem preciznije. Podkretanjem robota podrazumevaćemo promenu unutrašnjihkoordinata, dakle vremensku funkciju q(t). Pod poznatimpogonima podrazumevaćemo vremensku funkciju P(t). Sada poddirektnim problemom podrazumevamo nalaženje funkcije P(t) zapoznato q(t), a pod inverznim problemima podrazumevamonalaženje funkcije q(t) za poznato P(t).Razmotrimo rešavanje

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana14

direktnog problema. Prvo ćemo uočiti osnovnu ideju zaproračun. Ako je poznato kretanje q(t), onda možemo reći dasu poznati i izvodi, odnosno unutrašnje brzine q(t) iunutrašnja ubrzanja q(t). Tada se pogoni mogu dobiti izrelacije (2.9). 

                        (3.1) Pošto se ova ideja realizuje pomoću računara, to stvari stojenešto drukčije. Funkcija q(t) nije data analitički većdiskretizovano, odnosno nizom vrednosti koje odgovaraju nizutrenutaka vremena t0,t1,..., tk. Neka je interval izmeđupojedinih trenutaka jednak Δt. Kako relacija (3.1) zahtevapoznavanje  i ,to bi bilo neophodno sprovesti numeričkodiferenciranje, a to je nepoželjan posao.  

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana15

 Sl. 3.1. Shema rešavanja direktnog problema  dinamike

 U opisanom postupku rešavanja direktnog problema smatrali smoda je kretanje zadato preko unutrašnjih koordinata q(t) ilipreciznije preko unutrašnjih ubrzanja  (t). U teorijikinematike robota ističe se da je kretanje pogodnije zadatipreko spoljašnjih koordinata X(t). Tada se rešavanjedirektnog problema dinamike mora kombinovati sa rešavanjeminverznog problema kinematike (sl. 3.1b). Razmotrićemo sada rešavanje inverznog problema dinamike. Onpodrazumeva nalaženje kretanja q(t) ili X(t) ako je poznatzakon promene pogona P(t). U stvari, potrebno je izvršitiintegraciju sistema diferencijalnih jednačina (2.9). Jedanjednostavni postupak integracije

predstavljen je na slici 3.2 i zasnovan je na ideji da seubrzanja  smatraju konstantnim na malom intervalu Δt. Drugamogućnost je da se sistem 2.9 napiše u obliku 

             (3.2) koji je pogodan za upotrebu bilo koje od standardnih metodaza numeričku integraciju sistema diferencijalnih jednačina. 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana16

 Sl. 3.2. Shema  rešavanja inveiznog problemu dinamike

 Korištenjem bilo kog od spomenuta dva pristupa, dobijamozakon kretanja u unutrašnjim koordinatama q(t), unutrašnjebrzine (t) i ubrzanja (t). Dobijene funkcije su, naravno,diskretizovane. Ako želimo da nađemo kretanje u spoljašnjimkoordinatama onda je potrebno rešiti još i direktni problemkinematike.

4 KOMPLETAN MODEL DINAMIKE ROBOTA 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana17

U odeljku 2 naglasili smo da izvedeni dinamički model (2.9)ne opisuje kompletnu dinamiku robota. Naime, izveli smo modelza mehanizam robota, a nismo uključili dinamiku pogonskihmotora. Sada ćemo izvesti kompletan dinamički model kojipovezuje upravljačke veličine (napon kod motora jednosmernestruje i struja servorazvodnika kod hidrauličnog motora) sakretanjem robota (q(t)).U principu, kompletan dinamički modelodređenje modelom mehanizma (2.9) kome se pridružuju modelimotora. Tako, ako se robot pokreće elektromotorimajednosmerne struje, tada modelu (2.9) pridružujemo model(2.8) za svaki zglob j=l,...,n. Takođe, potrebno jedefinisati vezu koordinata obrtanja motora ( ) i koordinatapomeranja zgloba ( ), dakle prenosni sistem, a zatim ipromenu momenta kroz taj prenos. Ukupno, dinamiku robotaopisujemo jednačinama: 

                                          (4.1) za mehanizam, 

           (4.2a)

 

                                                      (4.2b)

 za  pogonske motore (aktuatori) i 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana18

                                                              (4.3a)

      j=1,...,n                      

                   (4.3b) za prenosni sistem (transmisija). 

Naglasimo da model SA može biti i nižeg reda, na primer,drugog reda kao što je dato relacijom (3.1). Naglasimo takođeda linearnost relacije (3.2a) po naponu   važi samo do određene granične vrednosti. U opštem slučaju, umesto upisali bismo funkciju n( ) koja predstavlja nelinearnost tipazasićenja. Konačno, recimo još da prenos pogona uvek unosigubitke, što obično izražavamo kroz koeficijent korisnogdejstva .Ako se robot pokreće hidrauličnim pogonomtada modelu mehanizma (2.9) pridružujemo model -

ili . Prenos pogona ovde može bitiprilično raznolik. Kod obrtnih motora veza se može svesti na

oblik - odnosno na (4.16). Međutim, kodhidrauličnog cilindra veza između pomeranja klipa ( ) ipomeranja zgloba ( ) može biti direktna (  =  ) ali možebiti i posredna: linearna (  = r ) ili nelinearna (  = f()). Slično važi i za odnos momenata.

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana19

 Razmotrimo sada mogućnost da se ukupni dinamički modelnapiše u kompaktnoj formi. Smatraćemo da se model svakogpogonskog sistema može uz određena uprošćenja linearizovati iopisati jednačinom (4.15a). Red modela tj. dimenzijavektora   neka je  , a vektor sadrži određene promenljivekoje definišu stanje sistema.   predstavlja upravljačkupromenljivu koja odgovara posmatranom pogonskom sistemu, a   izlazni pogon (momenat ili sila). Dalje, radi jednostavnostiizvođenja pretpostavimo direktnu vezu pomeranja motora ipomeranja zgloba ( = 1 u (4.16)) što ne umanjuje opštost jerse prenosni odnos lako može ugraditi u model.Sledeći relaciju (4.13), model mehanizma SM napišemo u obliku 

                           (4.17)

 

gde je   = q,   =  .  je kolona vektor stanjamehanizma i dimenzija mu je 2n(4.17) se dalje može napisati uobliku 

                          (4.18)

 gde je 

    (4.19) 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana20

Posmatrajmo ponovo motore. Neka se   elemenata vektora   poklapa sa elementima vektora ξ tj.   koordinata stanjamotora "j" je već sadržano u vektoru stanja mehanizma.

Na primer, obrtanje motora ( ) i brzina   se po pretpostavcipoklapaju sa   i   i uključeni su u ξ. Tada bi bilo 

 i                                                                  k popunjen ceo vektor ξ. Napišimo sada model SA tj. (4.15a) u kompaktnoj formi: 

                           (4.20)

 

gde je kolona vektor stanja   dimenzije  .

Dalje je   , C=diag[C1...Cn],  F = diag[], D = diag[ ]. Uočimo da je ceo vektor ξ uključen

u   pa   definiše ukupno stanje robota. Ujedinimo sada modeleSM i SA tj (4.14) i (4.20). Uvedimo prvo matricu   dimenzije1 x   takvu da je . Na primer,  ako je   određeno sa (4.15b) i   Sada iz (4.14) sledi 

                                                (4.21)

 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana21

gde je T=diag [Ti...rn]. Zamenom x iz (4.20) i (4.21) dobijase 

                (4.22)

 

gde je En jedinična matrica dimenzije n x n. Zamenimo sada Piz (4.22) u (4.20). Čime dobijamo kompletni model dinamikerobota u obliku 

                                               (4.23)

 Matrice sistema su 

                           (4.24)

i dimenzije su im N  l i N n respektivno.Očigledno da sada pojam direktnog i inverznog problemadinamike treba preformulisati. Direktni problem podrazumevanalaženje upravljanja u (t) koje je potrebno da bi seostvarilo zadato kretanje robota, a inverzni problem podra-zumeva nalaženje kretanja ukoliko je poznato upravljanje. Ovodrugo nazivamo simulacijom.

5 PRIMENA RAČUNARA ZA PRORAČUN DINAMIKE

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana22

 Iz dosadašnjeg izlaganja o formiranju matematičkog modeladinamike robota možemo zaključiti da se teško može izvršitiručno sastavljanje takvog modela. Ovaj zaključak trebalo biobrazložiti. Postupak za formiranje diferencijalnih jednačinakretanja omogućava, u principu, da se jednačine napišu ručno.Međutim, takav pristup ima mnogo nedostataka. Prvo, jako jevelika mogućnost grešaka pri tako složenom izvođenju. Drugo,ako se matematički model i formira bez greške, on će bitiveoma kabast i nepodesan za upotrebu. Iste mane pojaviće seako se za ručno formiranje modela izabere bilo koji drugimehanički pristup. Otuda se javlja ideja da se ceo tajsloženi posao formiranja i rešavanja matematičkog modelarobota prebaci na računar. Postupak za formiranjematematičkog modela formuliše se tako da ima rekurzivnikarakter, te je veoma prikladan za primenu na računaru.Objasnimo sada ideju primene računara za rešavanje dinamike.Posmatrajmo matematički model (4.9). Matrice modela H(q) i h(q, ) mogu se posmatrati kao analitički izrazi koji određujuzavisnost od q, odnosno od q i  .S druge strane možemo

H(q) i h(q,  ) tretirati kao složene računarske postupkekojima se izračunava brojna vrednost H polazeći od brojnopoznatog q i, takođe, brojna vrednost h, polazeći od q i  .

Tako, kompletne analitičke izraze za matematički model naovaj način nećemo dobiti, ali postupci za brojno sračunavanjematrica modela dovoljni su za rešavanje direktnog i inverznogproblema dinamike. Prvi računarski postupci za proračun

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana23

dinamike bili su zasnovani na ovakvom postupku. Oni suomogućili Siru primenu računara u robotici. Opisani numerički pristup ima i svoje nedostatke. Sheme naslikama 4.5 i 4.6 pokazuju da je sračunavanje matrica H i hneophodno izvršiti ponovo kada god se promene vrednosti q i , dakle u svakom koraku integracije. Pri takvom računu svakiput će se iznova sračunavati i mnoge veličine koje ne zaviseod q i   i koje se nisu menjale. Očigledno, ponešto će senepotrebno računati jer se moglo izračunati samo jednom, napočetku. U svakom slučaju, opisani numerički pristup neomogućava da se u proračunu izdvoje ti elementi koji nezavise od q i   od onih koji zavise i koji se moraju računatiza svaki trenutak vremena ponovo. Zato se došlo na ideju dase odustane od numeričkog modela i da se vrati na analitičkeizraze H(q) i h(q,  ). Ovo lici na povratak ručnom pisanjumodela, međutim, u ovom novom pristupu analitičke izrazesastavlja računar. U dobijenim izrazima lako se izdvajajuelementi koji ne zavise od q i   i koji se mogu izračunatisamo jednom, na početku. Ovakav pristup se obično nazivasimboličkim modelom.Računarski postupci za formiranje irešavanje dinamičkog modela omogućili su da se konačno sretnuteorija i praksa robotike. Do tada, teorija se razvijalapretežno akademski, bez ozbiljnije primene, a praksa jenapredovala nezavisno, oslanjajući se na znanja iz oblastiautomatskog upravljanja. Jasno je da je takva praksa imalasvoje granice preko kojih nije mogla preći bez celovitijeteorije robota. Primena računara za rešavanje kinematike idinamike omogućila je da se prevaziđu nedostaci teorijerobotike i ona postane upotrebljiva u praksi.Ovakva,računarski orijentisana kinematika i dinamika iskorisćene sus jedne strane za razradu savršenijih metoda upravljanja

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana24

robotima, a s druge strane za razvoj metoda računarskogprojektovanja robota. Kako ćemo se upravljanjem baviti uposebnoj glavi ove knjige, to ćemo ovde obratiti pažnju namogućnosti primene dinamike i računara u procesuprojektovanja mehanizma i pogonskog sistema robota. U odeljku 3 opisan je računarski postupak za rešavanjedirektnog problema dinamike. Postupak omogućava da se,polazeći od željenog kretanja izraženog preko spoljašnjih

koordinata X(t), izračuna promena unutrašnjih koordinataq(t), brzina  (t) kao i potrebni pogonski momenti P(t). Ovipodaci već sami po sebi mogu biti korisni, a na osnovujednačina koje opisuju kinematiku i dinamiku robota moguće jeizračunati i niz drugih karakteristika. Moguće je odreditisve reakcije u zglobovima, a zatim za svaki od segmenata naćiraspodelu sila koje na njega deluju. Odatle se dobijajumehanički naponi u materijalu (npr. naponi savijanja iuvijanja). Sledeći korak je proračun elastičnih deformacija.Proračun deformacija može biti uprošćen jer bi egzaktnotretiranje zbog tog problema vodilo ka elastodinamici kojunajčešće moramo rešavati primenom metode konačnih elemenata.U svakom slučaju proračun napona i deformacija služiće namkao osnova za projektovanje dimenzija robota.Proračunomdinamike robota dobija se niz karakteristika potrebnih za iz-bor pogonskih motora. Pored potrebnih momenata i brzina lakomožemo sračunati potrebnu snagu, a takođe formirati dijagrambrzina-momenat (P- ). Ovakav dijagram može se uporedivati sakataloškim karakteristikama motora. Na opisani model dinamikerobota lako se dodaje modul za proračun grejanja i prenosatoplote u motorima.Moguće je izračunati još neke dinamičke

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana25

karakteristike kao što je utrošak energije itd. Tako dolazimodo zaključka da raspolažemo postupkom koji omogućava da sezada željena konfiguracija robota (dimenzije, mase, itd.) iželjeni manipu-lacioni zadatak, a kasnije izračuna nizdinamičkih karakteristika. Takav postupak nazivamo algoritmomza dinamičku analizu. Ovaj algoritam, u vidu računarskogprograma, predstavlja korisnu alatku u procesu projektovanjarobota. Projektant može brzo proanalizirati veći brojrazličitih konfiguracija robota radi izbora najpovoljnije.Može i menjati pojedine dimenzije i druge parametre da biuočio uticaj tih promena na važne dinamičke karakteristike.Sve ovo omogućava brže i uspešnije projektovanja.Sledećikorak u korišćenju računara za projektovanje robota jeformiranje takozvanog interaktivnog postupka projektovanja iodgovarajućeg programskog pa-keca. Cilj nam je da zapostavljeni manipulacioni zadatak odaberemo konfiguracijurobota (dimenzije, motore itd.) koja će zadovoljiti svepostavljene zahteve i sva ograničenja. Kao prime ograničenjamožemo navesti uslov da elastična deformacija segmenatarobota bude manja od dozvoljene vrednosti. Shema programaprikazana je na slici 4.7. Postupak kreće od neke zadatepočetne konfiguracije robora. Izvrši se dinamička analiza itestiranje izračunatih dinamičkih karakteristika. Ukoliko susvi testovi pozitivni, dakle sva ograničenja zadovoljena,onda je posmatrana konfigracija dobra. Ako pak neki test budenegativan, dakle neko od ograničenja ne bude zadovoljeno,računar će štampati odgovarajuću poruku kao i preporuke zaizmene konfiguracije koje će popraviti negativni test.Programski paket sadrži i posebne konunikacione potprogramekoji omogućavaju projektantu jednostavnu izmenu pojedinihpodataka o konfiguraciji robota. Nakon što je projektant uveokorekcije konfiguracije, postupak kreće od početka tj. vršinovu dinamičku analizu i testiranje. Takav ciklus se

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana26

ponavlja sve dok se konačno ne dođe do konfiguracije kojazadovoljava sve zahteve i sva ograničenja, a to će biti ondakada svi testovi budu pozitivni. 

 Sl. 5.5. Algoritam za  interaktivno projektovanje

 Krajnji korak u korišćenju računara u projektovanju robota jeformiranje postupka i programskog paketa koji bi na osnovupostavljenih zahteva vršio automatski izbor najpovoljnijekonfiguracije robota. Ovaj postupak podrazumeva definisanjenekog kriterijuma optimalnosti i razvoj pogodnih metodaoptimizacije. Ovim bismo zaključili naše izlaganje ideja računarskogprojektovanja u robo-tici. Opisane postupke dopunjavamo i

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana27

programima za simulaciju i grafičko prikazivanje čimekompletiramo programski paket za računarsko projektovanje.

 

6 DINAMIKA ROBOTA SA OGRANIČENIM KRETANJEM HVATALJKE 

Ovaj odeljak obrađuje dinamiku robota čija hvataljka ne možeda se kreće proizvoljno u prostoru, već su joj nametnuteodređena ograničenja. Pri ovome naglasimo da pod terminomhvataljka podrazumevamo poslednji segment lanca bez obzira nazavršni uređaj koji se tu nalazi. Ovakva ograničenjanametnuta kretanju hvataljke česta su u nekim fazamaizvršenja robotskog zadatka. Na primer, ako robot treba dapiše po nekoj površini (sl. 6.2.) tada hvataljka ne može dase kreće proizvoljno već se vrh pisaljke prinudno kreće popovršini. Drugi primer bi se mogao naći u zadacima montaže(sl. 6.3 i 6.4). Ako, robot uvlači neki predmet u otvor tadaje kretanje poslednjeg segmenta (koji u sebe uključuje ipredmet) ograničeno na jednu translaciju i eventualno jednoobrtanje. Konačno, ograničenja se javljaju i u slučajevimadvoručne ili višeručne manipulacije (sl. 6.5). Niz drugihprimera mogao bi se navesti. U svakom slučaju jesno je dauvedena ograničenja smanjuju broj stepeni slobode hvataljke,a takođe, ograničenja izazivaju pojavu sila reakcije vezekoje bitno utiču na dinamiku robota. Ovde ćemo problem

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana28

tretirati tako da pokrijemo one slučajeve koji suinteresantni za praktičnu primenu. 

 Sl. 6.1. Mehanizam robota sa silom i momentom

 Posmatrajmo radi uprošćenja robot sa n = 6 stepeni slobode i smatrajmo da tokom izvršenja za dataka robot ne dolazi u singularne položaje. U tom slučaju, bez uvedenih ograničenja hvataljke bi takođe imala 6 stepeni slobode. Dinamiku ovakvogmehanizma možemo opisati modelom (4.9). Radi daljeg izvođenjaproširimo posmatranje na robota na čiji poslednji segment, u

zadatoj tački A, deluje sila   i još deluje spreg momenta    (Sl.6.1) koji

deluju na hvataljku Tačka A definisana je vektorom  . Dinamiku ovakvog mehanizma opisujemo modelom: 

                                            (6.1) 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana29

gde je FA matrica dimenzija 3 1 koja sadrži elementevektora  , matrica MA (takođe 3 1) sadrži vektor   (daklezadržavamo dogovor o pisanju vektora u obliku 3 1 matrice iobrnuto). DF i DM su odgovarajuće matrice dimenzija n 3 kojepokazuju uticaj   i   na generalisane sile u zglobovima: 

                 (6.2)

 

                          (6.3)

 

                       (6.4)

 Pri posmatranju kretanja sa ograničenjem, FA i MA ćepredstavljati reakcije ograničenja (reakcije veze). U praksise uvođenje ograničenja najčešće svodi na kontakt hvataljkesa nepomičnom podlogom (stacionarno ograničenje) ili pak nakontakt sa nekim telom koje se kreće po zadatim zakonima i načije kretanje robot ne utiče (nestacionarno ograničenje).Ipak, javljaju se i slučajevi kada dinamika robota utiče i natela sa kojima je robot u kontaktu (na primer, dvoručnamanipulacija). U svakom slučaju, dobija se strukturazatvorenog lanca. 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana30

6.1. Opšta metodologija uvođenja ograničenja 

U poglavlju o kinematici uveden je vektor spoljašnjihkoordinata koji, u slučaju n- 6, sadrži sledeće komponente. 

                                                           (6.5) Ovaj vektor povezan je sa unutrašnjim koordinatama prekoJakobijeve forme: 

                                                                         (6.6) Ako uvedemo ograničenje na kretanje hvataljke tada će sesmanjiti broj stepeni slobode. Neka je  ,ovaj smanjenibroj.Obično govorimo o redukovanom broju stepeni slobodehvataljke. Dakle, posmatramo ograničenje koje ukida   stepeni slobode pri čemu je   = n- . Za definisanjepoložaja hvataljke sada uvodimo   nezavisnihparametara   koji formiraju takozvani redukovani vektorpoložaja 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana31

                                                                  (6.7) Najčešće se parametri   uvode tako da određuju relativnipoložaj hvataljke u odnosu na uvedeno ograničenje. Vektorspoljašnjih koordinata X moguće je povezati sa redukovanimvektorom položaja   preko nove Jakobijeve forme 

                                                                        (6.8)   gde je Jr takozvani redukovani jakobijan dimenzija n×nr,pridružena matrica Ar je dimenzija  n×1. Matrice Jr iAr izvode se iz relacija koje definišu postavljenoograničenje. Kombinovanjem (6.6) i (6.8) dobija se 

                                                             (6.9)   Ova relacija definiše kinematiku ograničenog kretanja.Dinamiku ograničenog kretanja opisujemo modelom (6.1) pri

čemu  i  predstavljaju silu reakcije veze i reakcionimomenat.   Model možemo napisati i kompaktnije: 

                                                                  (6.10)

 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana32

   gde je 

                                                                            (6.11)   šestokomponentni vektor reakcije, a 

                                                                       (6.12) je dimenzija n × 6.  Komponente vektora reakcije RA u opštemslučaju nisu nezavisne, već u zavisnosti od tipa uvedenogograničenja zadovoljavaju određene međusobne odnose koji semogu izraziti relacijom 

                                                                                 (6.13) gde je E matrica dimenzija (6 - n + nr) ×6, koja se izvodi izizraza koji definišu uvedeno ograničenje. Sada relacije(6.9), (6.10) i (6.13) definišu matematički model kinematikei dinamike ograničenog kretanja mehanizma robota. Ako želimokompaktniju formu modela zamenićemo   iz (6.9) u (6.10) idobiti 

                          (6.14)

 Sada ovu realizaciju, zajedno sa (6.13) možemo napisati uobliku: 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana33

 (6.15) 

Dobijeni model je dimenzije (nr + 6) × (nr + 6). Moguće je,međutim, napisati još kompaktniju formu. Šestokomponentnivektor reakcije RA može se izraziti kao linearna funkcijanc nezavisnih komponenata. Dakle, nezavisnih komponenata imanc = n-nr, odnosno onoliko koliko stepeni slobode je "ukinuto"uvođenjem ograničenja. Sada  je 

                                                                               (6.16) gde RAr vektor dimenzije n- nr koji sadrži nezavisne reakcije ikoji nazivamo još redukovani vektor reakcije. Matrica Gdimenzija (6 ×(n — nr)) izvodi se polazeći od definicionihrelacija ograničenja. Uvođenjem (4.40) u (4.38) dobija sedinamički model 

                             (6.17)

 odnosno 

                  (6.18)

 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana34

Dimenzije blokova u ovom modelu su: 

                      (6.19)

 pa je model dimenzija (n × n). Razmotrimo prvo rešavanje direktnog problema dinamike. Podtim terminom ćemo ovde podrazumevati da je zadato kretanjeXr(t) i reakcije RAr(t) koje želimo ostvariti, a traže seodgovarajući pogoni u zglobovima P(t). Očigledno, P seizračunava direktno iz jednačine (6.18). Inverzni problempodrazumeva integraciju modela. Zadati su pogoni P(t), atraži se kretanje Xr(t) i reakcija RAr (t). Model (6.18)omogućava rešavanje ubrzanja   i reakcija RAr, a time iintegraciju modela. 

6.2. Tipovi ograničenja 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana35

 Sl. 6.2. Zadatak pisanja - ograničenje tipa površine

 Razmotrimo tipove ograničenja koji se javljaju u praktičnimproblemima. Ovde ćemo glavne tipove ukratko objasniti, a uprilogu P4 izvešćemo dinamički model tj. matrice Jr, Ar, E iG, Za jedan konkretan tip ograničenja - ograničenje u oblikupovršine. Jedno od čestih ograničenja je ograničenje tipa površine (sl.6.2). Tada je položaj hvataljke određen sa dva relativnaparametra   i   koji definišu položaj vrha pisaljke napovršini i tri ugla koji definišu orijentaciju hvataljke.Uvedeno ograničenje ukinuto je jedan stepen slobode (nc= 1).Redukovani vektor položaja ima komponente Xr =  idimenzije je nr = 5. Sto se tiče reakcija, momenat je jednaknuli (  = 0), a sila reakcije   mora biti normalna na površinu (podrazumevajući glatku površinu), paima jednu nezavisnu komponentu (nc = n-nr = 1).

 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana36

Sl.6.3.Zadatak montaže - ograničenje tipa cilindričnog para          Sl.6.4.Zadatakmontaže - ograničenje tipa translatornog para

 Drugi čest slučaj ograničenja je ograničenje tipacilindričnog para (sl. 6.3). Tada hvataljka ima samo dvastepena slobode (nr = 2) jer je moguća samo translacija dužose otvora i obrtanje oko te ose. Tim pomeranjima odgovarajuparametri »7i i »72 koji čine redukovani vektor položaja: Xr =[ ]T. Reakcije   i   moraju biti obe normalne na osuotvora, pa, prema tome, svaka od njih ima po dve nezavisnekomponente. Dakle, nc = n- nr = 4.U procesu montaže javlja se i ograničenje tipa translatornogpara (sl. 6.4). Za razliku od prethodnog slučaja, ovdehvataljka ima samo jedan stepen slobode (uvlačenje) pa je nr =1 i redukovani vektor položaja sadrži samo podužnu koordinatuuvlačenja: Xr = [ ]. Sila reakcije   je i dalje normalna naosu otvora, pa ima dve nezavisne komponente, ali, reakcionimomenat   može imati proizvoljan pravac, pa ima trinezavisne komponente.   Dakle, ukupno ima nc = n - nr = 5nezavisnih komponenata reakcije. 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana37

 Sl. 6.5. Dvoručna  manipulacija

 Još niz tipova ograničenja možemo nabrojati, međutim, ovdećemo spomenuti još samo jedan specijalan slučajdvoručnumanipulaciju. Na slici 6.5 prikazana su dva robota kojiobavljaju zadatak montaže. Tokom izvršenja zadataka njihovehvataljke su povezane cilindričnim parom.Kada govorimo okretanju robota sa ograničenjem nametnutim na kretanjehvataljke, neophodno je spomenuti i pitanje sudara. Naime,pri nailasku na ograničenje tj. pri pre      lasku saslobodnog na ograničeno kretanje dolazi do sudarnog efekta.Sudar se, u opštem slučaju, rešava primenom teoreme okoličini kretanja i teoreme o kinetičkom momentu (vidi prilogP4). Jedan slučaj kretanja robota sa ograničenjem obrađen jei prilogom na kraju knjige. 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana38

7 DINAMIKA ROBOTA SA ELASTIČNIM PRENOSOM POGONA Prenosni sistem nikada ne može biti u potpunosti krut. Naime,uvek postoje elastične deformacije, pa možemo reći da jerelacija (4.16) aproksimativna i da važi tek za dovoljno krutprenos. Sada se postavlja pitanje šta znači "dovoljno krut"prenos. Mehanička krutost elemenata prenosnog sistema jestevelika i najčešće je aproksimacija (4.16) opravdana. Međutim,u nekim preciznim proračunima deformacije u prenosu se morajuuzeti u obzir. Uzmimo na primer deformaciju istezanjaprenosnog lanca ili deformaciju uvijanja cevastog delaharmonik-drajv reduktora. Zato ovde pokazujemo, na neštouprošćenom primeru, kako izgleda dinamički model robota saelastičnim prenosnim sistemom. Na sličan način može seanalizirati i prenos sa složenijom elastičnom deformacijomtj. sa više deformabilnih elemenata. Kako se radi i odinamici motora i o dinamici mehanizma, to će dobijeni modelpredstavljati kompletni model dinamike. Prilikom izvođenjakompletnog dinamičkog modela (odeljak 4) opisali smomehanizam modelom (4.1), motore modelom (4.2), a prenosnisistem relacijama (4.3a) i (4.3b). U slučaju deformabilnogelastičnog prenosa modeli mehanizma i motora se ne menjaju.Menjaju se, međutim, relacije koje opisuju.

prenos. Neka je prenosni sistem takav kakav je prikazan naslici 7.1. i neka je jedini elastični elemenat osovinaAj'Aj''. Konstantu torzione krutosti označimo sa  , akonstantu prigušenja sa  . 

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana39

 Sl. 7.1.  Uprošćeni sistem za prenos pogona

 Moment motora   predstavlja ulazni momenat za zupčast par.Nakon zupčastog para (zanemarujući njegovu inerciju) dobijase momenat  koji se osovinom Aj'Aj" prenosi na zglob. Akose zanemari inercija osovine onda je 

                                                                  (7.1) tj. relacija (4.3a) važi i u slučaju elastičnog prenosa.Međutim, usled elastične deformacije osovine Aj'Aj''koordinata obrtanja motora i koordinata obrtanja zgloba postaju međusobno nezavisne. Time se broj generalisanihkoordinata povećava za n(  ,j = l,...,n), a broj promenljivih

stanja za 2n( , , j = 1...., n). Relacija (4.3b) očigledno više ne vazi, jer se pojavljujeuvijanje tj. ugaona deformacija  . Relacija (4.16a)tj. (7.2), mada važi, ne primenjuje se u tom obliku. Momenatkoji vrši elastičnu deformaciju može se napisati u obliku            

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana40

             (7.2)

 Sada model mehanizma (7.1) postaje 

         (7.3)

 gde je 

                                                                           (7.4) 

                   (7.5)

 Model motora (4.15) postaje 

         (7.6)                                          Sada (7.3) i (7.4) određuju kompletan model dinamike

robota.   Ukupan broj koordinata stanja je 5n (  , ,j= l,...,n).

Dinamika Robota

Uradio:

Dejan Ilić

VTŠNovi Beograd

Strana41

LITERATURA

Internet: http://www.mfkg.kg.ac.rs/index2.php?option=com_docman&task=doc_view&gid=991&Itemid=27http://www.pardos.marketing.free.fr/24.htmhttp://www.plasticsdatasource.org/global.htm,http://www.pec.engr.wisc.edu/research/research_008.html,