SEMINARSKI RAD

TEORIJA POVRŠINSKIH NOSAČA

ŠKOLSKA GODINA2014/2015

PREDMETNI PROFESORProf. dr Dušan Kovačević

STUDENTVuk Stojanović G-48/12

Page

Sadržaj rada:

Postavka zadatka.............................................................................................................2Uvod.................................................................................................................................31. Ravni površinski nosači................................................................................................32. Krivi površinski nosači..................................................................................................83. Metoda konačnih elemenata......................................................................................134. MKE modeliranje........................................................................................................185. Zadatak......................................................................................................................236. Literatura....................................................................................................................29

Za zadatu konstrukciju primenom programa AXIS odrediti i prikazati dijagrame sila u presecima:

- za cilindričnu i sfernu ljusku: momente savijanja i normalne sile u pravcu tangente nameridijalnu krivu i u pravcu tangente na paralelni krug;

- za kružnu ploču: momente savijanja i normalne sile u radijalnom i tangentnom pravcu.

Konstrukciju analizirati za slučajeve opterećenja:1) sopstvena težina2) opterećenje od tečnosti (g=10kN/m3).

Podaci: L=4.3m=430cm; a=5.2m=520cm; α1=40°; α2=10°.

debljine elemenata: cilindrična ljuska h=15cm sferna ljuska h=10cm kružna ploča h=15cm materijal: C30/37

UVOD

V

Page

Konstrukcija koja je zadata sastoji se od:1. kružne ploče u osnovi (dno rezervoara),2. cilindrične ljuske (kao omotača odnosno zidovi rezervoara) i3. sferne ljuske, kao pokrivača.

Površinski nosači dele se na:

1. RAVNE POVRŠINSKE NOSAČE - PLOČE i ZIDOVE2. KRIVE POVRŠINSKE NOSAČE - LJUSKE i MEMBRANE

1. RAVNI POVRŠINSKI NOSAČI

• PLOČE •

Ploče su ravni površinski nosači-tela ograničena dvema (paralelnim) ravnima icilindričnom površinom ortogonalnom na njih.

Debljina h (rastojanje dve paralelne ravni) mala je u odnosu na ostale linearnedimenzije ploče.Ona može biti konstantna ali i promenljiva.

Srednja ravan ploče, je ravan koja polovi debljinu ploče i pri deformacijiploče usled opterećenja, prelazi u elastičnu površinu ploče.

Ploče prema vrsti opterećenja delimo na:

Ploče opterećene na savijanje - ploče optrećene normalno na svoju ravan.Ploče-zidovi - ploče opterećene (napregnute) u svojoj ravni.

• Sile u preseku •

U teoriji ploča, kao i teoriji ljuski, uobičajeno je da se umesto komponentalnih napona u razmatranju uvode sile u preseku. Ove sile definisaćemo putem unutrašnjih sila, odnosno putem napona.Isecimo iz ploče elemenat na dva preseka paralelna sa ravni zy na međusobnom odstojanju dx i sa dva preseka paralelna ravni zx na odstojanju dy. (sl. 1)

Sl. 1.

V

Page

Usvojeni pravougli koordinatni sistem Ox, y, z ima x i y ose u srednjoj ravni ploče, a z osa je orijentisana naniže.

U isečenom elementu posmatrajmo ravan sa normalom u pravcu x-ose u kojoj se javljaju komponentalni naponi dx, tzx, txy.

Prema definiciji, redukcioni momenat i rezultanta unutrašnjih sila na jedinicu dužine elementa srednje ravni, odnosno njihove komponente u pravcu koordinatnih osa određene su sledećim izrazima:

• Normalna sila:

• Momenat koji leži u ravni paralelnoj sa xz ravni:

• Transverzalna sila:

• Smičuća sila:

• Torzioni momenat u ravni paralelnoj yz ravni:

V

Page

Posmatrajući ravan sa normalom u pravcu y-ose dobijamo izraze za sile utoj ravni (Ny, My, Tyx, Nyx , Myx).

Ako u preseku ploče imamo momente Mx,My,Mxy i transverzalne sile Tzx i Tzy kažemoda je ploča napregnuta na savijanje.

Ako se javljaju sile koje leže u srednjoj ravni ploče Nx,Ny,Nxy kažemo da jeploča napregnuta u svojoj ravni.

Savremenu teoriju savijanja ploča postavio je KIRCHOFF (1850) na bazi hipoteza koje predstavljaju uopštavanje hipoteza koje se čine kod savijanja stapova. Te hipoteze su sledeće:

1. Linearan elemenat upravan na srednju ravan ploče pre deformacije ostaje prav,nepromenjene dužine i upravan na deformisanu srednju ravan (elastičnu površinu) iposle deformacije.

2. Prilikom deformacije ne menja se dužina kao ni ugao između linijskih elemenatasrednje ravni (ugibi su mali u odnosu na debljinu ploče).

3. Normalni naponi dz, za ravni paralelne sa srednjom ravni, smatraju se malim imogu da se zanemare.

V

Page

U zavisnosti od odnosa debljine ploče prema ostalim njenim dimenzijama navedene pretpostavke više ili manje odgovaraju stvarnom ponašanju ploče.Ploče možemo da podelimo u tri grupe:

1. Veoma tanke ploče ili membrane: h/b ≤ 1/8 do 1/100

Veliki ugibi, mala krutost na savijanje (fleksiona).

2. Tanke ploče: 1/8 do 1/100 ≤ h/b ≤ 1/5 do 1/8

Srednja fleksiona krutost (najveći deo ploča koje se primenjuju u građevinarstvu).

3. Debele ploče: h/b ≥ 1/5 do 1/8

Velika fleksiona krutost i veliki uticaj smicanja.

• Kružna ploča •

Za izučavanje deformacija i naprezanja kružne ploče poslužićemo se u ovu svrhu pogodnijim polarnim koordinatama.

Kod kružnih ploča koordinatni sistem koji nam je zgodniji za izračunavanje deformacija inaprezanja je polarni koordinatni sistem z.Komponentalna pomeranja u pravcu radijusa označavamo sa u, u pravcu tangente nakoncentrični krug – v, a u pravcu normale na srednju ravan sa w.

• Kod pravouglog koordinatnog sistema na osnovu usvojenih hipoteza imamo:

• Klizanja između pravaca r i z odnosno i z su jednaka 0 pa imamo:

V

Page

• Momenti savijanja Mr i Mi momenat torzije Mr

• Diferencijalna jednačina ploče u polarnim koordinatama:

odnosno u skraćenom obliku ( -Laplasov operator u polarnim koordinatama)

• PLOČE OPTEREĆENE U SVOJOJ RAVNI •

Ploče koje su opterećene zapreminskim ili površinskim silama ravnomernoraspoređenim po debljini ploče i paralelnim srednjoj ravni kažemo da su napregnute usvojoj ravni, odnosno govorimo o ravnom naprezanju. Kod ovih ploča javljaju se samosile Nx,Ny i Nxy. Srednja ravan ploče ostaje ravna i posle deformacije, odnosnodeformacija se odvija bez krivljenja ploče.

Ravan problem u polarnim koordinatama

Kod kružnih ploča položaj svake tačke određen je koordinatama r i Diferencijalna jednačina za naprezanje u ravni kružne ploče kada je površinskoopterećenje X=Y=0 data je izrazom:

V

Page

Rotaciono simetrična kružna ploča pri ravnom naprezanju

Kada su granični uslovi i opterećenje rotaciono simetrični, naprezanja i deformacije susamo u funkciji od koordinate r.Diferencijalna jednačina u ovom slučaju data je izrazom:

Opšte rešenje ove homogene diferencijalne jednačine je:F = D + A ln r + B r2 + C r2 ln rI njenim rešavanjem dobijamo izraze za Nr i Nr

2. KRIVI POVRŠINSKI NOSAČI

• LJUSKE •

Površinski sistemi nosača čija srednja površina ima jednostruku ili dvostruku krivinu nazivaju se ljuske. Ljuske su površinske konstrukcije (tela) ograničena sa dve krive površi. Te krive površinalaze se na odstojanju h za koje se predpostavlja da je malo u odnosu na ostaledimenzije ljuske i naziva se debljina ljuske. Debljina ljuske može biti konstantna ipromenljiva.Geometrijsko mesto tačaka, između tih površi, jednako udaljenih od ovih površi nazivamo srednjom površi date ljuske.Ljuske kao delovi konstrukcija izrađene su od različitih materijala (drvo, čelik, beton) inalaze široku primenu u građevinarstvu (rezervoari,cevovodi,hale ...), kao i u mašinstvu i brodogradnji.Različitog su oblika i veličine (cilindrične, sferne, konusne) i u najvećem broju slučajevanastaju obrtanjem krive linije (izvodnice) oko centralne ose (osovine). Bočne strane ograničavaju telo ljuske i one seku srednju površ po zatvorenoj liniji. Ta zatvorena linija zove se kontura ljuske.

V

Page

Prema odnosu debljine h i poluprečnika krivine srednje površi R,ljuske možemo podelitiu dve velike grupe:

•tanke ljuske max (h/R)<1/20 • srednje debele ljuske i• debele ljuske.

U izučavanju ljuski smatra se da je materijal izotropan i da se pokorava generelisanom Hukovom zakonu , tj . da važe sledeće postavke :

1. Debljina ljuske je mala u odnosu na druge dimenzije ljuske.2. Ugibi su mali u odnosu na debljinu ljuske.3. Linijski element koji je bio pre deformacije upravan na srednju površ ljuske ostaje i

posle deformacije upravan na deformisanu srednju površ.4. Naponi upravni na srednju površ tako su mali da se mogu zanemariti.

Sve pretpostavke dosta dobro važe za tanke ljuske, za srednje debele i debele ljuske nisu dovoljno tačne, mada jasna granica u pogledu debljine ljuske ne postoji.

• Sile u preseku ljuske •

Srednju površ ljuske možemo zadati u vektorskom obliku:

- pri čemu je vektor položaja tačke srednje površi i zavisi od proizvoljnih parametara a i b. U sklarnom obliku ova jednačina se raspada na 3 parametarske jednačine:

x=x(y=y(;z=z(

Linija ai b – krivolinijske koordinate

Specijalni slučaj koordinata a i b imamo kada su linije a i b međusobno ortogonalne.

V

Page

Položaj bilo koje tačke određen je glavnim koordinatama a i b i odstojanjem „z“ tetačke od srednje površine.Ako isečemo iz ljuske diferencijalno mali elemenat ds1xds2, sa poluprečnicima krivinaRa i Rb, u okolini tačke A (presecima upravnim na srednju površ a duž tangenti na linijea=const odnosno b=const), razmatraju se komponentalni naponi:

da, db, tab, taz, tba i tbz.

Dobijamo izraze za presečne sile za const , a slično tome je i za drugi pravac const.

Postoji konjugovanost smičućih napona tab = tba ali je:

V

Page

Nab # Nba

Mab # Nba

Presečne sile const. i const.

• Sferna kupola •Sferna ljuska nastaje rotacijom kružnog luka oko svog poluprečnika (deolopte).Najčešće se koriste kao krovne konstrukcije pa se nazivaju i sferne kupole. Mogubiti zatvorene ili sa otvorom na gornjem kraju (služi za postavljanjeventilacije,osvetljenja i sl.).• Za sfernu kupolu je:

• Za opterećenje sopstvenom težinom:

• Cilindrična ljuska (kružna) •Za sistem glavnih koordinata biramo odstojanje x od nekog unapred usvojenog preseka

V

Page

i ugao f koji zaklapa normala u posmatranoj tački sa pravcem neke unapred usvojenenormale .

Kako je ljuska kružna, rotaciono simetrična, presečne sile neće zavisiti od koordinatefpa imamo sile kao na prikazanoj slici:

3. METODA KONAČNIH ELEMENATA

V

Page

• Uvod – razvoj MKE •

Metoda konačnih elemenata MKE je numerička metoda i pripada grupi tzv.“diskretne“analize.Metoda je zasnovana na fizičkoj podeli (diskretizaciji) sistema, na konačne veličine.Ideja o podeli (diskretizaciji, usitnjavanju dekompoziciji) odnosno zameni jednogkontinualnog sistema određenim brojem odgovarajućih podsistema, vezana je za početakrazmišljanja o rešavanju složenih zadataka njihovim svođenjem na kombinacijejednostavnih i lako rešivih. Za te pokušaje karakteristična je bila „analiza tačnostirešenja“ tj. „greška proračuna“. Za inicijalni razvoj MKE (bez obzira na dilemu ko više )treba da zahvalimo: matematičarima(funkcije u intervalima), fizičarima (problemgraničnih vrednosti u mehanici) i inžinjerima (proračun izuzetno složenihkonstrukcija). Bilo je puno različito usmerenih radova na ovu temu, ali najveći razvojnastupa sa pojavom mikroračunara (mikroprocesora) i tada dolazi do razvoja raznihprograma. Oni su prvo primenu pronasli u vojnoj industriji (vazduhoplovstvo,aerodinamika) a zatim pojavom CASA softvera, postaju dostupni širem krugukorisnika. Podrazumevani koncept razvoja MKE softvera, koji se zadržao i danas jekombinacija modula:- za opisivanje problema (formulacija)- za rešavanje problema (tip rešenja)- za prikazivanje rešenja

Modeli i metode, računarske mehanike mogu da budu:•Analitičke (rešenje se dobija za klasu problema i to u obliku funkcija)•Numeričke (rešenja se dobijaju za pojedinačne probleme)

Podela numeričkih metoda prema diskretizaciji: MKE (metoda konačnih elemenata) MGE (metoda graničnih elemenata) MKR (metoda konačnih razlika) MKZ (metoda konačnih zapremina) MS (metoda spektra) MBM (metoda bez mreže)

Oblici MKE mogu da se klasifikuju na osnovu formulacije:- preko pomeranja- preko sila- mešovito- hibridnoi prema tipu rešenja:- preko krutosti- preko fleksibilnosti- kombinovano

Algoritam primene analitičkih metoda:-definisanje zavisnosti između geometrijskih i fizičkih veličina na diferencijalno malomelementu-proširenje zavisnosti na ceo domen- definisanje konturnih i graničnih uslova- rešavanje ovako definisanih jednačina i dobijanje rešenja u obliku neprekidne funkcije.

V

Page

Veoma pojednostavljen algoritam primene MKE u analizi konstrukcija:- diskretizacija-podela realnog sistema na sistem KE- izbor odgovarajućeg tipa KE- formiranje sistema jednačina za izabrani sistem KE- rešavanje sistema jednačina- proračun potrebnih veličina za KE- prikazivanje rešenja

• Modeliranje primenom MKE •

Modeliranje konstrukcije je kreiranje idealizovane i pojednostavljene reprezentacijeponašanja konstrukcije za neko dejstvo. Cilj je izbor optimalnog modela sa minimalnimbrojem parametara, dovoljnih za dobru aproksimaciju. Pouzdanost modela može se odreditina različite načine. U najvećem broju slučajeva potrebno je da se razmatra:

- Greška rešenja (odstupanje dobijenog rešenja od tačnog za dati matematičkimodel)

- Greška modela (neodgovarajuće opisivanje geometrijskog problema, neodgovarajući izbor tipa KE...)

Analiza grešaka MKE modela, jedna je od najvažnijih tema u oblasti numeričkogmodeliranja.

V

Page

- Diskretizacija u MKEŠto tačnije opisivanje topologije i geometrije konstrukcijskog sistema nije krajnji cilj, većsamo početni korak u nastojanju da se formira model potrebne tačnosti. Greškediskretizacije najčešće nastaju zbog primene KE neodgovarajućeg oblika i zbognedovoljnog broja KE. Oblik KE zavisi od broja,rasporeda i povezanosti čvorova i odgeometrijskih karakteristika. Tip KE zavisi od izabranih stepeni slobode i od fizičkomehaničkih karakteristika. Čvorne tačke (Čvorovi KE) su obično u uglovima ili krajnjimtačkama KE (kod složenih imamo i međučvorove). Geometrija KE definisana jepoložajem čvorova.- Kod linijskih (1D) KE – prava ili kriva linija- Kod površinskih (2D) KE – ravne trougaone ili četvorougaone površine- Kod prostornih (3D) KE – prostorna površ – tetraedar ili prizma

Aproksimacija 1 u MKENumeričko modeliranje polja pomeranja

V

Page

Pored fizičke diskretizacije suština MKE je i u numeričkoj interpolaciji polja (običnopomeranja) u okviru pojedinačnog KE. Bitno obeležje MKE- numerički prelaz sa jednogkontinualnog domena na sistem podomena koji su diskretno povezani učvorovima. Posledica tog povezivanja KE u čvorovima je aproksimacija polja pomeranjaza ceo sistem, ali preko prethodno definisanog polja pomeranja u KE. U ovoj fazibira se tip KE. Tako može da se napravi klasifikacija KE prema podobnosti.Na slici su prikazane mogućnosti primene nekih KE u odnosu na tip realnogsistema. U nekim slučajevima različiti elementi realnog sistema mogu da se modelirajuprimenom KE istog oblika, ali različitog tipa. Svi kriterijumi za izbor tipa KE zasnovani suna potrebi što tačnijeg aproksimiranja ponašanja odgovarajućeg konstrukcijskogelementa. Za modeliranje ponašanja rešetkastih sistema koristi se linijski „štap“ KE, sazglobnim vezama na krajevima (najjednostavniji - služi za modeliranje samo aksijalnihopterećenja). Bolja aproksimacija postiže se korišćenjem „greda“ KE, sa translatornim irotacionim stepenima slobode u čvorovima za modeliranje savijanja i aksijalnognaprezanja. Ovo je i najčešće korišćen KE koji se koristi za modeliranje ponašanjakonstrukcijskih sistema koji su sastavljeni od greda i stubova.

Aproksimacija 2 u MKENumeričko modeliranje konturnih i prelaznih uslova

V

Page

Uslovi oslanjanja i karakter veza između elemenata realnog sistema, odgovarajupojmovima „konturni“ i „prelazni“ uslovi u matematičkom modelu.-Konturni uslovi odnose se na sistem KE kao celinu – matrica krutosti sistema KE.-Prelazni uslovi odnose se na pojedinačne KE ili grupu KE- matrica krutosti KE.Definisanjem određenog broja oslonaca tj. konturnih uslova uvode se ograničenjageneralisanih pomeranja sistema KE kao krutog tela u ravni ili prostoru. Definisanjemodređenog broja karakterističnih veza između KE tj. prelaznih uslova uvode seograničenja relativnih pomeranja između KE koji imaju zajedničke čvorove.Da bi se sprečila sva 3 stepena slobode pomeranja sistema KE u ravni (dve translacije ijedna rotacija) potrebno je da se uvedu najmanje 3 ograničenja (oslonac A sprečava 2translatorna pomeranja, a oslonac B zajedno sa A, sprečava rotaciono pomeranje). Da bi se sprečilo svih 6 u prostoru ( tri translacije i tri rotacije) potrebno je uvesti najmanjue6 ograničenja, kao što je prikazano na slici.

Formiranje matrica, rešavanje jednačina sistema KE i proračun uticajaModeliranje dejstva- opterećenja

Bez obzira na realni oblik i način delovanja, dejstva na konstrukciju se predstavljajupreko opterećenja koja su:-kontinualno raspoređena opterećenja (površinska – sila po jedinici površine- sneg,vetar, hidrostatički pritisak, korisno opterećenje i zapreminska – sila po jedinicizapremine – sopstvena težina, inercijalne sile, centrifugalne sile i dr.)-koncentrisana opterećenja.Linijska opterećenja su izvedena opterećenja i nastaju sumiranjem površinskih pojednoj od dve dimenzije ili zapreminskih po dve od tri dimenzije. Ova linijska opterćenjadeluju na linijske KE na konturama i u ravni površinskih KE. Koncentrisana suaproksimacija kontinualnih koje deluju u jednoj relativno uskoj zoni i ona su prirodnaposledica MKE diskretizacije. Sva opterećenja se u MKE transformišu u opterećenjakoncentrisana u čvorovima sistema KE.Sistem jednačina MKE čine matrica krutosti sistema KE i vektor opterećenja.Vektor opterećenja formira se od ekvivalentnih koncentrisanih opterećenja u čvorovimaKE ili od koncentrisanih sila koje deluju na sistem KE.

Transformacija kontinualnog u koncentrisano opterećenje:- Transformacija prema tzv. težinskim funkcijama (kod KE sa međučvorovima).- Transformacija prema čvorovima sistema KE (postupak pripadajuće zone).

V

Page

- Transformacija prema konturi KE sistema.Rešavanje jednačina sistema KE, proračun uticaja i prikazivanje rezultataSistem linearnih algebarskih jednačina MKE čine:-matrica krutosti sistema KE,-vektor nepoznatih generalisanih pomeranja čvorova sistema KE,-vektor opterećenja čvorova sistema KE.

4. MKE MODELIRANJE U STATIČKOJ ANALIZI POVRŠINSKIH SISTEMA

• Klasifikacija površinskih KE •

Površinski KE koriste se za diskretizaciju sistema sastavljenih od površinskih konstrukcijskihelemenata: zidova, ploča, ljuski, rebara, membrana i dr. kao i za kompleksnije analizelinijskih konstrukcijskih elemenata. Takvi KE su geometrijski dvodimenzionalni, jer imaju dvedimenzije, dužinu i širinu, izražene u odnosu na treću (debljina). Matematički su takođedvodimenzionalni, jer imamo dve međusobno ortogonalne ose koje određuju srednjuravan koja polovi debljinu površinskog KE. Prema broju, tipu i položaju čvorova u odnosu na uglove KE postoje:

• standardni površinski KE (imaju čvorove samo u uglovima KE)• površinski KE višeg reda (pored čvorova u uglovima postoje i međučvorovi na stranama i čvorovi unutar površine KE)

Prema stepenima slobode u čvorovima (sl. A) pa razlikujemo sledeće tipovepovršinskih KE:

• trougaoni /četvorougaoni površinski KE opterećen u srednjoj ravni – podva translatorna stepena slobode pomeranja u čvoru KE (u i v ).• trougaoni /četvorougaoni površinski KE opterećen ortogonalno nasrednju ravan – jedan translatorni stepen slobode pomeranja (u pravcu normalena srednju ravan w) i po dva rotaciona stepena slobode pomeranja (uortogonalnim ravnima kojima pripada normala na srednju ravan KE) u čvoru KE.• trougaoni /četvorougaoni površinski KE opterećen i u srednjoj ravni iupravno na nju – po tri tanslatorna stepena slobode pomeranja i po trirotaciona stepena slobode u ravnima kojima pripada normala i u srednjoj ravni.

Prema naponskom stanju koje se aproksimira:

• zidni ili membranski površinski KE (aksijalno naprezanje i savijanje u srednjojravni).• ploča KE (linearno stanje napona po debljini KE – savijanje uz zanemaren uticajsmicanja)• ploča KE sa uticajima smicanja• ljuska KE (površinski KE koji aproksimira kombinovano stanje napona usledaksijalnog naprezanja i savijanja uz zanemarivanje smicanja) • ljuska KE sa uticajima smicanja

V

Page

Navedenim stepenima slobode generalisanih pomeranja odgovaraju statičkeveličine – generalisane sile, sile u presecima i naponi površinskih KE. (sl. B)

Sl. A-Stepeni slobode površinskih KE Sl. B-Definicija sila u presecima povšinskih KE

• Trougaoni površinski KE opterećeni u sopstvenoj ravni •

Najjednostavniji KE za aproksimaciju ravnog stanja napona je trougaoni KE sačvorovima u temenima, linearnom promenom pomeranja i konstantnim deformacijama u okviru KE. Iz tih razloga se u literaturi taj KE se naziva “linearni trougaoni KE”. Jedna od karakteristika takvog KE je mogućnost dobijanja izraza za matricu krutosti i vektor ekvivalentnog opterećenja u zatvorenom obliku.Bolji rezultati postižu se korišćenjem trougaonih KE sa 6 čvorova - tri u temenima i tri u sredinama strana – “kvadratni trougaoni KE” (trougaoni KE sa linearnom deformacijom).Na slici prikazan je trougaoni KE sa čvorovima u temenima kao u trougaoni KE sa međučvorovima.

• Četvorougaoni površinski KE opterećen u svojoj ravni •

Najjednostavniji četvorougaoni KE za aproksimaciju ravnog stanja napona je

V

Page

četvorougaoni KE sa čvorovima u temenima - „bilinearni četvorougaoni KE“ (sl. A).Obeležavanje čvorova sprovodi se prema pravilu obilaženja u pravcu suprotnom od rotacije kazaljke na satu. Za taj KE karakteristična su po dva translatorna stepena slobode u čvoru, pa je ukupan broj stepeni slobode n=8 (2+2+2+2). Za razmatranja u vezi sa četvorougaonim KE obično se formuliše prirodni koordinatni sistem sa koordinatama “x” i “h” kao na prikazanoj slici.Vrednost ovih koordinata varira u granicama -1 do +1.U cilju dobijanja što tačnijih rezultata i otklanjanja nedostataka koje primena Q4 donosi(dobijaju se veće krutosti kod modela u odnosu na realne krutosti) može se primeniti bikvadratni četvorougaoni KE „Q9“. Obeležavanje čvorova i ovde se sprovodi prema pravilu obilaženja u pravcu suptrotnom od rotacije kazaljke na satu, pri čemu se prvo obeležavaju čvorovi u uglovima, a zatim čvorovi na sredinama strana KE i najzad čvor u ležištu.

Sl.-Četvorougaoni KE sa čvorovima u temenima Sl.-Prirodne koordinate za četvorougaoni KE

Sl.-Četvorougaoni KE sa čvorovima u temenima, međičvorovima na sredinama strana i čvorom u težištu

• Površinski KE za modeliranje ponašanja ljuski •Ljuske su ravni ili krivi površinski konstrukcijski elementi opterećeni simultano (spregnuto):• tangencijalno tj membranski (u sopstvenoj površi)

V

Page

• ortogonalno, na savijanje (normalno na sopstvenu površ).Modeliranje, analiza i proračun sistema, zasnovanih na ljuskama,najkompleksniji jezadatak u oblasti numeričke analize 2D površinskih konstrukcija, baš iz razloga što sunaprezanja simultana i ne mogu da se analiziraju odvojeno. S toga, svi površinskikonstrukcijski elementi, zbog složenog oblika prenosa opterećenja, su ljuske. Podela nazidove i ploče sprovodi se na osnovu dominantnih naponskih stanja u ciljupojednostavljenja numeričkih modela.Sva razmatranja sprovode se u srednjoj površi u kojoj se usvaja sistem krivolinijskihKoordinata a,b. Treća koordinatna osa (y, nekada se označava i sa z-osa) ima pravac normale na srednju površ i smer koji odgovara tzv. “desnom koordinatnom sistemu”.

U teoriji ljuski razmatra se matematičko modeliranje ljuski koje pripadaju sledećim kategorijama:• veoma tanke ljuske (beznačajna fleksiona krutost) – membranski model ljuske,• tanke ljuske veoma male fleksione krutosti (interakcija aksijalnog naprezanja i savijanjauz zanemarivanje uticaja smicanja),• ljuske srednje debljine značajne fleksione krutosti -ne zanemajuje se uticaj smicanja• ljuske velike debljine, velike fleksione krutosti, uticaji smicanja višeg reda,• ljuske veoma velike debljine – 3D modeli ljuski.Navedeni kriterijum klasifikacije površinskih konstrukcijskih elemenata ljuski uslovljen je sledećim faktorima:• geometrijske karakteristike i topologija ljuske,• fleksiona krutost ljuske,• karakter konturnih uslova ljuske,• način funkcionisanja,• mogućnost zanemarenja uticaja smicanja na ponašanje ljuske.Po načinu formulisanja, KE ljuski mogu da se klasifikuju kao:• krivi KE ljuski• KE ljuski nastali od 3D KE• ravni KE ljuski

Trougaoni ravni KE ljuske •

V

Page

Najjednostavniji ravni trougaoni KE ljuske može da se dobije kombinovanjem 2D trougaonog KE opterećenog u sopstvenoj ravni i 2D trougaonog KE opterećenog na savijanje, kao na prikazanoj slici.

Ovakvom kombinacijom dobijamo 2D trougaoniravni KE luske sa po 6 stepeni slobodeu svakom čvoru. Rotacioni stepen slobode i,z (oko ose normalne na srednju ravan)može da se izostavi ali njegovim ostavljanjem povećava se tačnost aproksimacije zbogispunjenja uslova kompatibilnosti rotacija i jednostavnost implementacije u MKEsofteveru (svaki čvor 6 stepeni slobode, ukupno n=18 stepeni slobode). U praksi za dobijanje tačnijih rezultata koristi se kombinacija 2D trougaonog KE za ravno stanje i 2D trougaonog KE za savijanje sa 6 čvorova (3 u uglovima i 3 na sredinama stranica). Ukupan broj stepeni slobode je 12x3 odnosno n=36.

• Četvorougaoni ravni KE ljuskeRavni četvorougaoni KE ljuske može da se dobije kombinovanjem 2D četvorougaonog KE opterećenog u sopstvenoj ravni i 2D četvorougaonog KE opterećenog na savijanje, kao na prikazanoj slici.

Kao rezultat nastaje 2D četvorougaoni KE ljuske sa 6 stepeni slobode u svakom čvoru. Isto kao i kod trougaonih treba ostaviti rotacioni stepen slobode oko ose normalne na srednju ravan KE. Dobri rezultati u praksi se postižu kombinacijom 2D za ravno stanje napona i 2D„serendipity“ (4 u uglovima i 4 na sredinama stranica). Probleme koji nastaju pri diskretizaciji kod naglih promena zakrivljenosti rešavamo povećavanjem gustine mreže sistema KE ili upotebom tj. kombinovanjem više trougaonih (2 ili 4) i jednog složenogčetvorougaonog KE pomoću koga može geometrijski da se modelira vitoperenapovršina konstrukcijskog sistema ljuske.

V

Page

5. ZADATAK Predmetni zadatak je rađen u studentskoj verziji programa za strukturalnuanalizu Axis VM 12 Student version. Izmodeliran je tako da su i kružna ploča icilindrična ljuska i kupola usvojeni kao KE ljuske, sastavljene od konačnih elemenatadužine 1m u radijalnom pravcu i 1/24 kruga u tangencijalnom pravcu. Kružna ploča kaokonstrukcijski element modelirana je sa 120 KE, cilindrična ljuska sa 120 KE, sfernaljuska sa 96 KE, tako da je ukupan broj 336 KE. Broj konačnih elemenata je ograničenupotrebom studentske verzije (400 KE).Urađen je linearni statički proračun, za opterećenje od sopstvene težine ivodenog pritiska i na sledećim slikama vide se dobijeni dijagrami.

IZGLED I DIMENZIJE

V

Page

AKSONOMETRIJA

V

Page

UTICAJI OD SOPSTVENE TEŽINE

Momenti savijanja u pravcu tangente na krug

Momenti savijanja u pravcu tangente na meridijalnu krivu (cilindrična i sferna ljuska) i u radijalnom pravcu (kružna ploča)

V

Page

Normalna sila u pravcu tangente na krug (nx)

Normalna sila u pravcu tangente na meridijalnu krivu (cilindrična i sferna ljuska) i u radijalnom pravcu (kružna ploča)

V

Page

UTICAJI OD PRITISKA VODE

Moment savijanja u pravcu tangente na krug

Momenti savijanja u pravcu tangente na meridijalnu krivu (cilindrična i sferna ljuska) i u radijalnom pravcu (kružna ploča)

V

Page

Normalna sila u pravcu tangente na krug (nx)

Normalna sila u pravcu tangente na meridijalnu krivu (cilindrična i sferna ljuska) i u radijalnom pravcu (kružna ploča)

V

Page

6. LITERATURA

1. Dušan Kovačević : MKE modeliranje u analizi konstrukcija2. Nikola Hajdin : Teorija površinskih nosača3. Ratko Salatić : Teorija konstrukcija 2 -predavanja (skripta)4. Vlade Vračarić : Teorija površinskih nosača5. Vlatko Brčić: MKE

V