電子物性第 1 　第 4 回

電子物性第 1 　第 4 回

２　はじめに３　Ψがあると電子がある。４　電子の居場所を解析しよう。５　ポテンシャル６　見えているのはエネルギー

目次

ーシュレーディンガーの波動方程式ー

電子物性第 1 スライド 4-1

７　周波数はエネルギー８　周波数の計算９　周波数からのエネルギー10　波長は運動量11　運動量の計算

12　運動エネルギー13　シュレーディンガーの波動方程式14　まとめ

問題：何が電子の波なのか正体不明。

① 　波動関数 Ψ を導入しました。


はじめに水素原子の電子のエネルギーは、量子化されている。

電子の波動性（＝干渉する性質）を考えるとよい。

対応：正体不明のまま波動関数 Ψ を導入し解析。

Ψ があると電子がある。波動関数 Ψ

だと電子が一個存在する。（単位 [ 個 nm-3] など）

の意味を考えよう。Ψ （ x, t ）＝ ei(kx － ωt)

縦軸は、正体不明のまま。意味するところは、 Ψ があれば電子がある。

電子物性第 1 　第 4回－シュレーディンガーの波動方程式－

① 　 Ψ の意味は、それがあるところは電子がある。

電子物性第 1 スライド 4-3Ψ があると電子がある。

波動関数 Ψ




問題：何が電子の波なのか正体不明。

はじめに水素原子の電子のエネルギーは、量子化されている。

電子の波動性（＝干渉する性質）を考えるとよい。

対応：正体不明のまま波動関数 Ψ を導入し解析。

電子の居場所を解析しよう。波動関数 Ψ があれば電子がある。

の性質Ψ （ x, t ）＝ ei(kx － ωt)

矛盾しない（干渉してなくならない）条件⇒ 電子の所在を解析できる。

（微分とか）を利用して、

① 　 Ψ の方程式は電子の居場所を解析します。






Ψ があると電子がある。波動関数 Ψ




ポテンシャル波動関数 Ψ を解析する。ポイントは電子にとって

のポテンシャルエネルギー

電子のエネルギー

高い程不安定

電子の波e2

4π ε 0r2 V(r) =

x

y

原子核＋ e の静電気

電子の波動性は Ψ が保証。

① 　電子の感じるポテンシャルは原子核の静電気。


ポテンシャル波動関数 Ψ を解析する。

ポイントは電子にとってのポテンシャルエネルギー原子核＋ e の静電気

電子の波動性は Ψ が保証。


高い程不安定

電子の波e2

4π ε 0rV(r) =

x

y

見えているのはエネルギー

見えない。電子の波

電子の仕事e-

光hν


光との相互作用

電子の波自身は...

見える。





① 　観測できる量は、エネルギーと運動量②　波は見えなくとも、エネルギーは見える（図示）。

電子物性第 1 スライド 4-6-1

見えているのはエネルギーつぎにどうやって Ψ を解析するか？

ポイントは　測定可能な量　を調べたい。見えているもの波でわかったものは、第 1 に E = hν のエネルギー

第 2 に p = 　　　　の運動量hλ

エネルギーの方でまとめて、




高い程不安定

電子の波e2

4π ε 0r2 V(r) =

x

y


電子の波動性は Ψ が保証。 0

0

周波数はエネルギー

0

E = hν は、

時間軸でよく振れると、

エネルギー大と示します。

①　観測できる量は、エネルギーと運動量② 　波は見えなくとも、エネルギーは見える（図示）。


見えているのはエネルギー見えない。

電子の波

電子の仕事e-

光hν




見える。




高い程不安定

電子の波e2

4π ε 0r2 V(r) =

x

y


電子の波動性は Ψ が保証。 0

0


0

E = hν は、



① 　 E=hν 式で周波数がエネルギーに対応する。②　エネルギーが増えても振幅ではなく、周波数の増加。


周波数はエネルギーエネルギーの方程式で、波動関数 Ψ を考えます。

まず、光で最初に出てきた、 E = hν 式を使います。すなわち、強さでなく周波数がエネルギーです。

図に示すと、



電子の仕事e-

光hν




見える。

周波数の計算

Ψ

Ψ の時間微分dΨ

ｄｔで割ってあげると、

dΨｄｔ

Ψ

＝－ iωei(kx － ωt)

＝ ei(kx － ωt)

＝－ iωと（角）周波数がでました。

時間

=高エネルギー周波数大

エネルギーが増加

0

時間0

①　E=hν式で周波数がエネルギーに対応する。② 　エネルギーが増えても振幅ではなく、周波数の増加。



のように対応し、

振幅は増加しない。

時間0

E = hν は、





電子の仕事e-

光hν




見える。

周波数の計算

Ψ



dΨｄｔ

Ψ


＝ ei(kx － ωt)


① 　 Ψ は正体不明のため、割って消して解析したい。②　Ψを時間微分してΨ自身で割れば、時間分の1。③　Ψの時間微分÷Ψの定数倍で周波数がでる。


周波数の計算周波数は、単位 [s-1] です。

Ψは、単位 [ 正体不明 ] です。Ψは、そのまま残してはだめ。

として消してしまいたい。操作（ Ψ ）Ψ

⇒

0

0


0

E = hν は、



周波数からのエネルギー

からエネルギーは、E = hν

となります。

dΨｄｔ

Ψ　－ i

1

= hω

= h =

dΨｄｔ

Ψih

（ただし h ＝　　　）h2π

①　Ψは正体不明のため、割って消して解析したい。② 　 Ψ を時間微分して Ψ 自身で割れば、時間分の 1 。③　Ψの時間微分÷Ψの定数倍で周波数がでる。


周波数の計算



⇒

Ψ の時間微分の単位は [ 正体不明･ s-1] 。dΨ

ｄｔ割ってあげると、

dΨｄｔ

Ψは、単位 [s-1] で、周波数が出せる。

0

0


0

E = hν は、





となります。

dΨｄｔ

Ψ　－ i

1

= hω

= h =

dΨｄｔ

Ψih


①　Ψは正体不明のため、割って消して解析したい。②　Ψを時間微分してΨ自身で割れば、時間分の1。③ 　 Ψ の時間微分 ÷Ψ の定数倍で周波数がでる。


周波数の計算



⇒


ｄｔ割ってあげると、

dΨｄｔ

Ψは、単位 [s-1] で、ν が出せる。


＝ ei(kx － ωt)




となります。

dΨｄｔ

Ψ　－ i

1

= hω

= h =

dΨｄｔ

Ψih


0

0


0

E = hν は、



① 　もちろん、微分して出した ν に h を掛けてエネルギー。


周波数からのエネルギーからエネルギーは、E = hν

となります。

dΨｄｔ

Ψ　－ i

1

波があまり立たない。

y

0

電子が運動していない。

波が立つ

x

0

電子が運動している。

波長は運動量

= hω

= h =

dΨｄｔ

Ψih


周波数の計算

Ψ



dΨｄｔ

Ψ


＝ ei(kx － ωt)


① 　運動量は電子の波長の逆数から出せます。②　電子の運動する方向に沢山波が立ちます。③　運動していない方向には電子の波は立ちません。


波長は運動量

次は運動量です。

p = 　　　　で求められます。hλ

空間で波が密だと運動していることになります。

例えば、

dΨｄ x

Ψｰ i p = h 　　　　

運動量の計算

となります。

運動量の計算 p は、

dΨｄ x

= ikei(kx － ωt) = ikΨを使っています。



となります。

dΨｄｔ

Ψ　－ i

1

= hω

= h =

dΨｄｔ

Ψih


波が立つ

x

0


波長は運動量

次は運動量です。

p = 　　　　で求められます。hλ

空間で波が密だと運動していることになります。


　　一方、運動していない　　　方向に波を見ると、

①　運動量は電子の波長の逆数から出せます。② 　電子の運動する方向に沢山波が立ちます。③　運動していない方向には電子の波は立ちません。

dΨｄ x

Ψｰ i p = h 　　　　

運動量の計算

となります。


dΨｄ x




となります。

dΨｄｔ

Ψ　－ i

1

= hω

= h =

dΨｄｔ

Ψih



y

0


波が立つ

x

0


①　運動量は電子の波長の逆数から出せます。②　電子の運動する方向に沢山波が立ちます。③ 　運動していない方向には電子の波は立ちません。

波長は運動量電子物性第 1 スライド 4-10-3

dΨｄ x

Ψｰ i p = h 　　　　

運動量の計算

となります。


dΨｄ x




となります。

dΨｄｔ

Ψ　－ i

1

= hω

= h =

dΨｄｔ

Ψih


① 　運動量は波数 k に比例します。②　波数kはΨの空間微分で出てきます。③　運動量はΨの空間微分から計算可能です。

運動量の計算電子物性第 1 スライド 4-11-1

運動量の計算は、 p = 　　　　hλ を波数 k で、

p = 　　　　h2π

k とすれば簡単です。


y

0


波が立つ

x

0


波長は運動量

= hk 　

運動エネルギー運動エネルギーは、 Ek = mv21

2= (mv)21

2m=

p2

2m

ですが、 p2 は、d2Ψｄ x2 = (ik)2ei(kx － ωt) = ｰ k2Ψ二階微分

より、Ek =

p2

2m

d2Ψｄ x2

Ψ=

ｰ h2

2m=

12m

(hk) 2

①　運動量は波数kに比例します。② 　波数 k は Ψ の空間微分で出てきます。③　運動量はΨの空間微分から計算可能です。


Ψ を x で微分します。

すなわち、 dΨｄ x

= ikei(kx － ωt) =ikΨ です。


y

0


波が立つ

x

0


波長は運動量

運動量の計算は、 p = 　　　　hλ を波数 k で、

p = hk 　とすれば簡単で、


2= (mv)21

2m=

p2

2m


より、Ek =

p2

2m

d2Ψｄ x2

Ψ=

ｰ h2

2m=

12m

(hk) 2

①　運動量は波数kに比例します。②　波数kはΨの空間微分で出てきます。③ 　運動量は Ψ の空間微分から計算可能です。


となります。


k

dΨｄ x

= ikei(kx － ωt) = ikΨ

dΨｄ x

Ψｰ i

を使っています。


y

0


波が立つ

x

0


波長は運動量

p = h 　　　　


2= (mv)21

2m=

p2

2m


より、Ek =

p2

2m

d2Ψｄ x2

Ψ=

ｰ h2

2m=

12m

(hk) 2

① 　運動エネルギーは Ψ の２階微分で求めます。

運動エネルギー電子物性第 1 スライド 4-12

運動エネルギーは、 Ek = mv212

= (mv)212m

= p2

2m


より、 Ek = p2

2m

d2Ψｄ x2

Ψ= ｰ h2

2m= 1

2m(hk)2

dΨｄ x

Ψｰ i p = h 　　　　

運動量の計算

となります。


dΨｄ x


シュレーディンガーの波動方程式

がシュレーディンガーの波動方程式です。

これを満たす Ψ が存在する場所に電子がいます。

ｰ h2

2md2Ψｄ x2 + V(r)Ψ 　 =

dΨｄｔih

① 　運動エネルギー＋ポテンシャルでエネルギー②　周波数から求めたエネルギーも代入できる。③　シュレーディンガーの方程式ができました。



運動エネルギーは、ですから、

位置エネルギーを足して全エネルギー

+ V(r) = 周波数からのエネルギー

ｰ h2

2m

d2Ψｄ x2

Ψ


2= (mv)21

2m=

p2

2m


より、Ek =

p2

2m

d2Ψｄ x2

Ψ=

ｰ h2

2m=

12m

(hk) 2

まとめシュレーディンガーの波動方程式は、

Ψ の時間微分から、周波数とエネルギーを、Ψ の空間微分から、運動量、運動エネルギーをそれぞれ、求め、電子の所在を解析します。

①　運動エネルギー＋ポテンシャルでエネルギー② 　周波数から求めたエネルギーも代入できる。③　シュレーディンガーの方程式ができました。



運動エネルギーは、ですから、

ｰ h2

2m

d2Ψｄ x2

Ψ

位置エネルギーを足して全エネルギー

+ V(r) =

ですが、これに Ψ を掛けて、

dΨｄｔ

Ψih




2= (mv)21

2m=

p2

2m


より、Ek =

p2

2m

d2Ψｄ x2

Ψ=

ｰ h2

2m=

12m

(hk) 2

①　運動エネルギー＋ポテンシャルでエネルギー②　周波数から求めたエネルギーも代入できる。③ 　シュレーディンガーの方程式ができました。





ｰ h2

2md2Ψｄ x2 + V(r)Ψ 　 =

dΨｄｔih




2= (mv)21

2m=

p2

2m


より、Ek =

p2

2m

d2Ψｄ x2

Ψ=

ｰ h2

2m=

12m

(hk) 2

まとめ電子物性第 1 スライド 4-14

シュレーディンガーの波動方程式は、


スライドを終了します。

① 　 Ψ の微分演算を工夫して波動方程式を作りました。



ｰ h2

2md2Ψｄ x2 + V(r)Ψ 　 =

dΨｄｔih


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電子物性第 1 第 4 回

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